›
›

Luận văn Phân tích dao động của tấm chữ nhật mỏng trực hướng trên nền đàn hồi với biên hoàn toàn tự do bằng phương pháp biến đổi tích phân cosin hữu hạn kép

pdf 64 trang phuongnguyen 30
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Luận văn Phân tích dao động của tấm chữ nhật mỏng trực hướng trên nền đàn hồi với biên hoàn toàn tự do bằng phương pháp biến đổi tích phân cosin hữu hạn kép", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfluan_van_phan_tich_dao_dong_cua_tam_chu_nhat_mong_truc_huong.pdf

Nội dung text: Luận văn Phân tích dao động của tấm chữ nhật mỏng trực hướng trên nền đàn hồi với biên hoàn toàn tự do bằng phương pháp biến đổi tích phân cosin hữu hạn kép

  1. ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ VIỆN CƠ HỌC VŨ THỊ AN NINH PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG CỦA TẤM CHỮ NHẬT MỎNG TRỰC HƯỚNG TRÊN NỀN ĐÀN HỒI VỚI BIÊN HOÀN TOÀN TỰ DO BẰNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN COSIN HỮU HẠN KÉP LUẬN VĂN THẠC SĨ Hà Nội - 2011
  2. LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan rằng tất cả những kết quả khoa học trình bày trong luận văn này là thành quả lao động của bản thân tôi với sự giúp đỡ của người hướng dẫn khoa học. Học viên Vũ Thị An Ninh
  3. LỜI CÁM ƠN Trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn này, tôi đã nhận được sự hướng dẫn tận tình của các thầy, cô giáo và sự giúp đỡ của các cán bộ công tác tại khoa cơ học Kỹ thuật và Tự động hóa trường Đại học Công nghệ - Viện cơ. Trước hết, tôi xin chân thành cảm ơn tới các thầy cô giáo, các cán bộ công tác tại khoa cơ học Kỹ thuật và Tự động hóa trường Đại học Công nghệ - Viện cơ đã tận tình dạy bảo cho tôi trong suốt quá trình học tập tại trường. Tôi xin gửi lời biết ơn sâu sắc tới TS. Phạm Thị Toan, người đã dành rất nhiều thời gian và tâm huyết hướng dẫn nghiên cứu và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn tốt nghiệp. Nhân đây, tôi xin chân thành cảm ơn các đồng nghiệp trong Bộ môn Cơ lý thuyết- Trường Đại học Giao thông Vận tải đã tạo rất nhiều điều kiện để tôi học tập và hoàn thành tốt luận văn. Cuối cùng tôi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè và người thân đã động viên khích lệ tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn. Mặc dù tôi đã có nhiều cố gắng hoàn thiện luận văn bằng tất cả nhiệt tình và năng lực của mình, tuy nhiên không thể tránh khỏi những thiếu sót, rất mong nhận được sự đóng góp quí báu của thầy cô và các bạn. Hà nội, ngày 01 tháng 3 năm 2011 Học viên Vũ Thị An Ninh
  4. - 1i - MỤC LỤC MỤC LỤC . 1i DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT 3i DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ 5i MỞ ĐẦU 1 Chương 1. TỔNG QUAN 3 1.1 Tổng quan các nghiên cứu về dao động tấm 3 1.2 Phương pháp biến đổi tích phân cosin hữu hạn kép . 4 Kết luận chương 1 5 Chương 2. THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN DAO ĐỘNG UỐN CỦA TẤM MỎNG TRÊN NỀN ĐÀN HỒI THEO MÔ HÌNH NỀN WINKLER . 6 2.1 Các giả thiết cơ bản của lý thuyết tấm mỏng . 6 2.2 Thiết lập phương trình vi phân dao động uốn của tấm mỏng trực hướng 7 2.3 Phương trình vi phân dao động uốn của tấm mỏng đẳng hướng 16 2.4. Phương trình vi phân dao động uốn của tấm mỏng trên nền đàn hồi theo mô hình nền Winkler 17 2.4.1 Ứng xử của nền đàn hồi 17 2.4.2 Mô hình nền Winkler 18 2.4.3 Phương trình vi phân dao động uốn của tấm mỏng trên nền đàn hồi theo mô hình nền Winkler 19 Kết luận chương 2 20 Chương 3. GIẢI BÀI TOÁN DAO ĐỘNG CỦA TẤM MỎNG TRỰC HƯỚNG TRÊN NỀN ĐÀN HỒI VỚI BIÊN HOÀN TOÀN TỰ DO 21 3.1 Bài toán . 21 3.2 Giải bài toán . 22 3.3 Kết quả số . 40 Kết luận chương 3 40
  5. - 2i - KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ . TÀI LIỆU THAM KHẢO 41 PHỤ LỤC 43 PL1. Chương trình Matlab tính định thức cho tấm trực hướng 46 PL2. Chương trình Matlab tính định thức cho tấm đẳng hướng 46 50
  6. - 3i - DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT Qx,: Lực cắt trên một đơn vị dài ở các mặt cắt x = const theo hướng z. Qy: Lực cắt trên một đơn vị dài ở các mặt cắt y = const theo hướng z. Mx: Mô men uốn trên một đơn vị dài ở các mặt cắt x = const. My: Mô men uốn trên một đơn vị dài ở các mặt cắt y = const. Mxy: Mô men xoắn trên một đơn vị dài, vuông góc với mặt cắt x= const. Myx: Mô men xoắn trên một đơn vị dài, vuông góc với mặt cắt y = const. q: Tải trọng ngoài phân bố trên một đơn vị diện tích, vuông góc với mặt trung hòa. w(x,y,t): Dịch chuyển của các điểm thuộc mặt trung hòa theo hướng z. u: Dịch chuyển theo phương x của điểm M cách mặt trung hòa một khoảng z. v: Dịch chuyển theo phương y của điểm M cách mặt trung hòa một khoảng z. w: Dịch chuyển theo phương z của điểm M cách mặt trung hòa một khoảng z. u0: Dịch chuyển theo phương x của điểm A thuộc mặt trung hòa. v0 : Dịch chuyển theo phương y của điểm A thuộc mặt trung hòa. w0: Dịch chuyển theo phương z của điểm A thuộc mặt trung hòa. Ex, Ey: mô đun đàn hồi theo các phương x và y.  xy, yx : hệ số Poisson theo phương y,x. Gxy: mô đun cắt. Dx : độ cứng uốn của tấm đối với trục x. Dy : độ cứng uốn của tấm đối với trục y. Dxy : độ cứng xoắn của tấm. 2 : toán tử Laplace. p: Phản lực nền. k : hệ số phản lực nền. a : Chiều dài của tấm. b : Chiều rộng của tấm. : mật độ khối của tấm.
  7. - 4i - h: bề dày của tấm. ω : Tần số riêng của tấm. W(x, y) : hàm dạng mô tả ‘‘mode’’ dao động của tấm.
  8. - 5i - DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ Hình 2.1: Cách thiết lập hệ trục tọa độ 7 Hình 2.2: Phân tố hình hộp chữ nhật chịu tác dụng của các lực và mô men 8 Hình 2.3: Tại mặt cắt y = const của tấm 11 Hình 2.4: Mô tả sự biến dạng của tấm chịu tác động của tải trọng phân bố theo mô hình nền Winkler 18
  9. - 1 - MỞ ĐẦU Trong thực tế, tấm chữ nhật trực hướng thường gặp nhiều trong các ứng dụng kỹ thuật khác nhau của vật liệu composite như các kết cấu, công trình xây dựng, cơ khí và công nghiệp hàng không. Dao động của tấm chữ nhật với các điều kiện biên thay đổi được nghiên cứu rộng rãi từ lâu. Hầu hết các nghiên cứu đó chỉ thích hợp với các điều kiện biên đặc biệt. Phương pháp được sử dụng nhiều nhất trong phân tích dao động tự do của tấm là phương pháp năng lượng Rayleigh – Ritz. Gorman áp dụng phương pháp chồng chất để giải xấp xỉ bài toán dao động tự do của tấm với các điều kiện biên hình học thay đổi [9,10]. Hurlebaus và các tác giả khác [8] mở rộng lời giải chuỗi Fourier với các điều kiện biên phức tạp hơn điều kiện biên tựa đơn giản. Các phương pháp số khác như phương pháp phần tử hữu hạn [20] và phương pháp phần tử biên [21] được nhiều nhà nghiên cứu áp dụng để phân tích tấm trên nền đàn hồi. Tuy nhiên, rất khó thu được lời giải chính xác thỏa mãn cả phương trình đạo hàm riêng và các điều kiện biên của tấm. Biến đồi tích phân là một trong các phương pháp tốt nhất thu được lời giải hiển của phương trình đạo hàm riêng trong đàn hồi [17]. Phương pháp này thường sử dụng để phân tích một số bài toán kết cấu [18]. Trong thiết kế mặt đường cứng cao tốc hoặc mặt đường bê tông xi măng là mô hình giống như tấm mỏng Kirchhoff với các biên tự do hoàn toàn. Rất tiếc, dựa trên hiểu biết của tác giả, không có bài báo nào nói về cách áp dụng phép biến đổi tích phân hữu hạn để phân tích tấm chữ nhật trực hướng trên nền đàn hồi. Luận văn này trình bày chi tiết cách thiết lập phương trình vi phân dao động uốn của tấm mỏng trực hướng và áp dụng phương pháp biến đổi tích phân cosin hữu hạn kép để xác định tần số dao động riêng của tấm mỏng trực hướng đặt trên nền đàn hồi theo mô hình nền Winkler. Do chỉ áp dụng các biến đổi tích phân cơ bản vào phương trình chuyển động của tấm mỏng trên nền đàn hồi, nên lời giải trình bày trong luận văn này là hợp lý và đơn thuần lý thuyết.
  10. - 2 - Mục đích của đề tài: Xác định tần số riêng của tấm mỏng chữ nhật trực hướng với điều kiện biên tự do. Áp dụng phương pháp biến đổi tích phân cosin hữu hạn kép để giải bài toán. Bố cục luận văn gồm ba chương: Chương 1. Tổng quan. Tổng hợp các phương pháp nghiên cứu dao động của tấm nói chung và trình bày phương pháp được áp dụng trong luận văn. Chương 2. Thiết lập phương trình vi phân dao động uốn của tấm mỏng trên nền đàn hồi theo mô hình nền Winkler. Dựa trên nguyên lý Đ’Alembert và các phương trình cơ bản trong lý thuyết đàn hồi và các giả thiết cơ bản của lý thuyết tấm mỏng để thiết lập phương trình vi phân dao động uốn của tấm mỏng trực hướng đặt trên nền đàn hồi theo mô hình nền Winker. Chương 3. Giải bài toán dao động của tấm mỏng trực hướng trên nền đàn hồi với biên hoàn toàn tự do. Trình bày chi tiết cách thiết lập định thức để xác định tần số dao động riêng của tấm trực hướng đặt trên nền đàn hồi dựa trên phương pháp biến đổi tích phân cosin hữu hạn kép. Áp dụng phần mềm Matlab để giải định thức trên.
  11. - 3 - CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN Trong các ngành kỹ thuật hiện đại, nhiều kết cấu và chi tiết là những tấm dị hướng, tức là tấm làm bằng vật liệu có tính chất đàn hồi khác nhau theo các phương. Trong số những vật liệu dị hướng, vật trực hướng có tầm quan trọng trong các ứng dụng thực tế. Do vậy, dao động tấm mỏng chữ nhật trực hướng được rất nhiều tác giả quan tâm. Tuy nhiên, rất khó thu được lời giải chính xác thỏa mãn cả phương trình đạo hàm riêng và các điều kiện biên của tấm. Xác định tần số riêng trong dao động tự do của tấm chữ nhật mỏng trực hướng biên hoàn toàn tự do không đặt tải bằng phương pháp biến đổi tích phân hữu hạn kép được đặt ra. Phương pháp này không cần phải xác định hàm biến dạng mà chỉ cần sử dụng một số phép biến đổi toán học cơ bản áp dụng cho phương trình chuyển động của tấm trực hướng trong lý thuyết tấm kinh điển. 1.1 Tổng quan các nghiên cứu về dao động tấm. Nghiên cứu tần số dao động của tấm đầu tiên phải kể đến Chaladni [22], người tiên phong trong lĩnh vực nghiên cứu thực nghiệm. Sau đó Navier và Levy tìm được các lời giải giải tích đối với các điều kiện biên đặc biệt. Tuy không tìm được nghiệm dạng đóng đối với trường hợp tấm chữ nhật với các điều kiện biên tự do, nhưng cũng đã đưa ra một số phương pháp giải xấp xỉ. Warburton [19] áp dụng các hàm dao động mô tả đặc tính của dầm theo phương pháp Rayleigh [16] để thu được biểu thức xấp xỉ đơn giản cho tần số dao động tự nhiên của tấm mỏng trực hướng. Bài báo của ông được Hearmon [13] mở rộng và áp dụng cho tấm trực hướng đặc biệt, và Dickinson [6] nghiên cứu các bài toán tải trọng phẳng. Tuy nhiên, số cạnh tự do càng nhiều thì càng làm giảm độ chính xác của tần số dao động. Kim và Dickinson [7] cải tiến biểu thức xấp xỉ, sử dụng phương pháp Rayleigh kết hợp với lý thuyết năng lượng thế năng cực tiểu. Iguchi [23] giới thiệu lời giải tấm chữ nhật đẳng hướng. Tuy nhiên, công việc chỉ dừng lại với tấm vuông. Rajalingham và một số tác giả khác [4] rút gọn phương trình dao
  12. - 4 - động của tấm thành hệ phương trình vi phân thường. Tuy nhiên, cũng chỉ đưa ra các kết quả đối với các tham số mô tả đặc tính của tấm chữ nhật đẳng hướng bị ngàm. Liew và Lam [14] phân tích dao động tấm chữ nhật tựa tại một điểm dựa trên phương pháp Rayleigh – Ritz và tổ hợp các hàm tấm trực hướng Gram – Schmidt. Một phương pháp xấp xỉ được đề xuất, có thể áp dụng rộng rãi đối với bài toán tấm tựa tại một điểm chịu sự phân bố tùy ý với sự kết hợp bất kỳ các điều kiện biên cổ điển. Bài báo của Lessa được Deobald và Gibson [5] mở rộng, họ cũng áp dụng phương pháp Rayleigh - Ritz cho tấm trực hướng. Gorman [11,12] giải phương trình vi phân đối với tấm đẳng hướng cũng như tấm trực hướng bằng phương pháp siêu vị trí. Gần đây, Wang và Lin [15] đưa ra phương pháp tổng quát hóa xét dao động của tấm trực hướng. Ông đưa ra nghiệm dạng chuỗi. Sự hội tụ của nghiệm được đảm bảo và chính xác đến từng điểm. Tần số riêng được kiểm nghiệm bằng phương pháp khác và chỉ ra rằng phương pháp này là đơn giản và hiệu quả. Chính vì những ưu điểm của cách tiếp cận này mà luận văn đã chọn phương pháp biến đổi tích phân cosin hữu hạn kép vào bài toán mở rộng hơn, đó là bài toán xác định tần số riêng của tấm trực hướng trên nền đàn hồi. Thiết lập phương trình chuyển động của tấm chữ nhật trực hướng trên nền đàn hồi, sau đó áp dụng phương pháp biến đổi tích phân cosin hữu hạn kép để xây dựng định thức xác định tần số riêng của tấm. Tiếp theo, sử dụng phần mềm Matlab để tính toán trên định thức đã được thiết lập. 1.2 Phương pháp biến đổi tích phân cosin hữu hạn kép Nếu f (x,y) là hàm của hai tham biến độc lập x và y, với 0 < x < a, 0 < y < b, thì biến đổi tích phân cosin hữu hạn kép được định nghĩa bởi phương trình: a b f (m, n) f (x, y) cos x cos ydxdy m n 0 0 Công thức ngược của biến đổi tích phân cosin hữu hạn kép được xác định:
  13. - 5 - 1 2 f (x, y) f (0,0) f (m,0)cos x ab ab  m m 1 2 4  f (0,n)cos  n y  f (m,n)cos m x cos n y ab n 1 ab m 1 n 1 Kết luận chương 1 Nêu tổng quan về nghiên cứu dao động tấm của các nhà nghiên cứu bằng các phương pháp khác nhau, phương pháp biến đổi tích phân côsin hữu hạn kép áp dụng trong luận văn và phương pháp số dùng để giải định thức xác định tần số dao động.
  14. - 6 - CHƯƠNG 2. THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN DAO ĐỘNG UỐN CỦA TẤM MỎNG TRÊN NỀN ĐÀN HỒI THEO MÔ HÌNH NỀN WINKLER Tấm là phần tử kết cấu có dạng phẳng mà bề dày của nó nhỏ so với các kích thước khác. Cũng như khi nghiên cứu dao động uốn của dầm, khi tính toán dao động uốn của tấm người ta sử dụng nhiều mô hình cơ học khác nhau. Tiêu chuẩn phân biệt quan trọng nhất là tỷ số giữa bề dày h của tấm với các kích thước bề mặt của tấm. Người ta thường phân ra bốn loại tấm: tấm rất mỏng, tấm mỏng, tấm trung bình và tấm dày. Trong chương này, tác giả sẽ trình bày chi tiết cách thiết lập phương trình dao động uốn của tấm mỏng theo lý thuyết của Kirchhoff trên nền đàn hồi Winkler. 2.1 Các giả thiết cơ bản của lý thuyết tấm mỏng Để thiết lập phương trình dao động uốn của tấm, ta thừa nhận các giả thiết của lý thuyết tấm mỏng của G. R. Kirchoff (1824 - 1887) [3] như sau: 1- Biến dạng uốn của tấm khi dao động là những biến dạng nhỏ tuân theo định luật Hooke. 2- Trong tấm luôn luôn tồn tại một lớp trung hòa mà khoảng cách giữa các điểm của nó không thay đổi. Khi tấm bị uốn ít, lớp trung hòa trùng với mặt cong trung bình chia đôi bề dày của tấm. Ta gọi mặt này là mặt trung hòa. 3- Các phần tử của tấm nằm trên đường thẳng vuông góc với mặt trung hòa, khi tấm bị uốn vẫn nằm trên đường thẳng đó và đường thẳng đó vẫn vuông góc với mặt trung hòa. 4- Không xét đến các ứng suất vuông góc với mặt trung hòa. 5- Bỏ qua ảnh hưởng của biến dạng trượt và quán tính quay.
  15. - 7 - 2.2 Thiết lập phương trình vi phân dao động uốn của tấm mỏng trực hướng Xét dao động uốn của tấm mỏng trực hướng có bề dày h nhỏ so với các kích thước khác của mặt đáy, mật độ khối không đổi. Mặt phẳng song song với mặt đáy và chia đôi bề dày h của tấm được gọi là mặt giữa hay mặt trung hòa. Ta chọn hệ trục tọa độ như trên hình 2.1 với trục ox, oy nằm trong mặt giữa, trục oz vuông góc với mặt giữa và hướng về phía dưới. x 0 dx dy h z y Hình 2.1: Cách thiết lập hệ trục tọa độ. Ta tưởng tượng tách ra từ tấm một phân tố hình hộp chữ nhật có các cạnh dx, dy, h . Khi đó phân tố chịu tác dụng của các lực và mô men như hình vẽ 2.2:
  16. - 8 - Qydx (q - h w )dxdy Myxdx Qxdy Mydx Mxdy dx Mxydy dy (Mxy+Mxy,xdx)dy (Mx+Mx,xdx)dy h (My+My,ydy)dx (Qx+ Qx,xdx)dy (Myx+Myx,ydy)dx (Qy+Qy,ydy)dx Hình 2.2: Phân tố hình hộp chữ nhật chịu tác dụng của các lực và mô men trong đó: Qx, Qy: Lực cắt trên một đơn vị dài ở các mặt cắt x = const, y = const theo hướng z. Mx, My: Mô men uốn trên một đơn vị dài ở các mặt cắt x = const, y = const. Mxy, Myx: Mô men xoắn trên một đơn vị dài, vuông góc với mặt cắt x= const, y = const. q = q(x,y,t): Tải trọng ngoài phân bố trên một đơn vị diện tích, vuông góc với mặt trung hòa. w(x,y,t): Dịch chuyển của các điểm thuộc mặt trung hòa theo hướng z. Áp dụng nguyên lý Đ’Alembert, viết các phương trình cân bằng tĩnh – động cho các lực tác dụng lên phân tố hình hộp chữ nhật ở trên. Cụ thể: Tổng hình chiếu các lực theo phương trục z là: Qxdy – (Qx + Qx,xdx )dy + Qydx – (Qy + Qy,ydy )dx - (q - h w)dxdy = 0 Rút gọn phương trình trên ta được: Qx,x + Qy,y + q - h w = 0
  17. - 9 - hay : Q Qy 2w x h q 0 (2.1) x y t2 Phương trình mô men theo đường thẳng phía bên trái nằm trong mặt giữa và song song với trục 0y là: -Mxdy + (Mx + Mx,xdx)dy + Myxdx - (Myx + Myx,ydy)dx – (Qx + Qx,xdx)dy.dx dx dx dx + Q dx. - (Q +Q dy)dx. - (q - h w)dxdy. = 0 y 2 y y,y 2 2 rút gọn phương trình trên ta được: 2 2 dx Mx,xdxdy - Myx,ydxdy – Qx dy.dx - Qx,x dx dy - Qy,y dy 2 dx 2 - (q - h w) dy = 0 2 bỏ qua các số hạng nhỏ bậc cao, ta có: Mx,x - Myx,y – Qx = 0 hay M M yx x Q 0 (2.2) x y x Tương tự, phương trình mô men theo đường thẳng phía trong nằm trên mặt giữa và song song với trục 0x là: Mydx - (My+My,ydy)dx + Mxydy - (Mxy+Mxy,xdx)dy + (Qy+Qy,ydy)dx. dy - dy dy dy Q dy. + (Q + Q dx)dy. + (q - h w)dxdy. = 0 x 2 x x,x 2 2 rút gọn phương trình trên, ta có: dy 2 - M dxdy - M dxdy + Q dxdy + Q dy 2dx + Q dx y,y xy,x y y,y x,x 2 dy 2 + (q - h w) dx = 0 2 Bỏ qua các số hạng nhỏ bậc cao, ta nhận được : My,y + Mxy,x - Qy = 0 hay
  18. - 10 - M y M xy Q 0 (2.3) y x y Từ phương trình (2.2) suy ra : M M yx Q x (2.4) x x y Từ phương trình (2.3) suy ra : M y M xy Q (2.5) y y x Thế (2.4), (2.5) vào phương trình (2.1): M M M  M yx  y xy 2w x h q 0 x x y y y x 2 t khai triển các số hạng trong phương trình trên, ta được : 2 2 2 2M  M yx  M y  Mxy 2w x h q 0 (2.6) x2 xy y2 xy t2 Mặt khác, theo quy luật đối ứng của ứng suất tiếp: Mxy = - Myx (2.7) Thay (2.7) vào phương trình (2.6): 2 2 2 2M  Mxy  M y  M xy 2w x h q 0 x2 xy y2 xy t2 cuối cùng ta được : 2 2 2M  M y  Mxy 2w x 2 h q 0 (2.8) x2 y2 xy t2 Bây giờ, ta biểu diễn mối quan hệ giữa Mx, My, Mxy qua độ võng w của mặt trung hòa. Cần lưu ý rằng, theo [1] : h / 2 h / 2 h / 2 M x  xxzdz , M y  yy zdz , M xy  xy zdz (2.9) h / 2 h / 2 h / 2 Xét điểm M(x, y, z) thuộc pháp tuyến của mặt trung hòa của tấm và cách mặt trung hòa một khoảng là z. Ta ký hiệu u, v, w là các thành phần dịch chuyển của điểm M theo các trục x, y, z, tương ứng. Ký hiệu u0, v0, w0 là các thành phần
  19. - 11 - dịch chuyển tương ứng của điểm A thuộc mặt trung hòa mà MA vuông góc với mặt trung hòa. Từ các giả thiết trên, ta có : u0 = v0 = 0, w0 = w(x,y,t) Muốn tìm mối quan hệ giữa chuyển vị u và độ võng w(x,y,t), ta cắt tấm bằng mặt phẳng song song với mặt phẳng 0xz, hình 2.3. Xét điểm M cách điểm A một đoạn z. Sau khi biến dạng thì pháp tuyến của mặt trung hòa vẫn thẳng và chỉ xoay đi một góc α quanh trục đi qua điểm này, bề dày của tấm không thay đổi và mặt giữa không biến dạng vì không có lực căng, cho nên tất cả các điểm trên mặt giữa chỉ có chuyển vị thẳng đứng. Do vậy chuyển vị của điểm M theo phương x sẽ là: u tan → u = z tanα z α x 0 A M* z α M z u Hình 2.3: Tại mặt cắt y = const của tấm mà w tan x suy ra: w u = z x Trong kỹ thuật người ta thường quy ước độ võng hướng xuống dưới là dương, tức là ngược lại với quy ước ở hình vẽ trên. Vì vậy để phù hợp về dấu khi quy ước độ võng hướng xuống dưới là dương, ta thêm vào dấu âm trước vế phải của biểu thức trên:
  20. - 12 - w u = - z (2.10) x Tương tự, mối quan hệ giữa chuyển vị v và độ võng w(x,y,t) là: w v = - z (2.11) y Công thức Cauchy liên hệ giữa biến dạng và dịch chuyển trong lý thuyết đàn hồi tuyến tính [1], ta có: u v 1 u v  ,  ,  (2.12) xx yy xy x y 2 y x Thế các công thức (2.10) và (2.11) vào phương trình (2.12), ta được: 2w 2w 2w  xx z ,  yy z ,  xy z (2.13) x2 y2 xy Liên hệ giữa biến dạng và ứng suất viết cho vật liệu trực hướng [2] như sau: 1  yx  xx  xx  Ex Ey yy 1  xy  yy  yy  xx (2.14) Ey Ex 1  xy  xy 2Gxy trong đó: Ex, Ey: mô đun đàn hồi theo các phương x và y.  xy, yx : hệ số Poisson hay hệ số co ngang theo phương y,x khi tấm chịu kéo theo phương x, y tương ứng. Gxy: mô đun cắt hay còn gọi là mô đun đàn hồi loại 2 của tấm, đặc trưng cho sự thay đổi độ lớn của góc giữa các phương x và y. Để đơn giản, ta ký hiệu như sau:  x  xy,  y  yx , G Gxy với ký hiệu trên, phương trình (2.14) được viết lại:
  21. - 13 - 1  y  xx  xx  Ex Ey yy 1  x  yy  yy  xx (2.15) Ey Ex 1   xy 2G xy Đối với vật liệu trực hướng [2], ta có sự liên hệ sau đây:  y  x Ex y Ey x (2.16) Ey Ex Thế (2.16) vào phương trình (2.15) và viết gọn lại, ta được: 1  xx    Ex xx x yy 1  yy    (2.17) Ey yy y xx 1   xy 2G xy Từ (2.17), ta có thể biểu diễn ứng suất qua biến dạng như sau: Ex xx  xEy yy  xx 1  x y Ey yy  yEx xx  yy (2.18) 1  x y  xy 2G xy Thay (2.13) vào phương trình (2.18), ta nhận được:
  22. - 14 - 2 2 zE 2 2 z  w  w x  w  w  xx E  E  1   x 2 x y 2 1   2 y 2 x y x y x y x y zE z 2w 2w y 2w 2w  yy E  E  1   y 2 y x 2 1   2 x 2 x y y x x y y y 2w  2Gz xy xy (2.19) Thế phương trình (2.19) vào (2.9) ta sẽ biểu diễn được các thành phần mô men uốn và mô men xoắn qua hàm độ võng w: E 2 2 E h3 2 2 x  w  w h/2 2 x  w  w M x  z dz  1   2 y 2 2 y 2 x y x y h/2 12 1   x y x y 3 E 2 2 E h 2 2 y  w  w h/2 2 y  w  w M y  z dz  1   2 x 2 2 x 2 x y y x h/2 12 1   y x x y 2 3 2  w h/2 2 Gh  w M xy 2G z dz 2 xy h/2 12 xy đặt : 3 Exh Dx : được gọi là độ cứng uốn của tấm đối với trục x. 12 1  x y 3 Eyh Dy : được gọi là độ cứng uốn của tấm đối với trục y. 12 1  x y Gh3 D : được gọi là độ cứng xoắn của tấm. xy 12 Khi đó phương trình trên được viết lại:
  23. - 15 - 2w 2w M D  x x 2 y 2 x y 2w 2w M D  (2.20) y y 2 x 2 y x 2w M 2D xy xy xy Thế (2.20) vào phương trình (2.8): 2 2w 2w 2 2w 2w D   D   x y y x x2 x2 y2 y2 y2 x2 (2.21) 2 2w 2w 4D  h q 0 xy xy xy 2 t khai triển và nhóm các số hạng trên lại: 4w 4w 4w 4w D  yD D  xD x x4 x x2y2 y y4 y x2y2 (2.22) 2 4w  w 4 Dxy h q x2y2 t2 với biểu thức liên hệ (2.16), ta có : D  D  D (2.23) 1 x y y x Thay (2.23) vào (2.22) và viết gọn lại, ta có: 4w 4w 4w 2w D 2(D 2D ) D h q (2.24) x x4 1 xy x2y2 y y4 t2 đặt: H = D1 + 2Dxy khi đó phương trình (2.24) có dạng : 4w 4w 4w 2w D 2H D h q (2.25) x x4 x2y2 y y4 t2 phương trình (2.25) được gọi là phương trình dao động uốn của tấm mỏng trực hướng theo lý thuyết Kirchhoff.
  24. - 16 - Nếu q = 0, phương trình dao động uốn tự do của tấm mỏng trực hướng có dạng: 4w 4w 4w 2w D 2H D h 0 (2.26) x x4 x2y2 y y4 t2 2.3 Phương trình vi phân dao động uốn của tấm mỏng đẳng hướng Nếu tấm mỏng là đẳng hướng, ta có : Ex = Ey = E,  x  y  (2.27) mô đun cắt G có thể tính theo mô đun đàn hồi E và hệ số Poisson  bằng hệ thức: E G (2.28) 2 1  Từ (2.27), (2.28) suy ra : Eh3 Dx = Dy = H = D = (2.29) 2 12 1  khi đó phương trình (2.25) trở thành: 4 4 4  w  w  w 2w D 2 h q (2.30) 4 2 2 4 2 x x y y t Phương trình (2.30) được gọi là phương trình dao động uốn của tấm mỏng đẳng hướng theo lý thuyết Kirchhoff. Nếu ta sử dụng toán tử Laplace: 2 2 2    2 x y2 khi đó toán tử Laplace kép hay còn gọi là toán tử điều hòa kép có dạng: 4 4 4 4 2 x 4 x 2y 2 y 4 sử dụng toán tử trên, phương trình (2.30) được viết gọn hơn như sau: 2w D4w h q (2.31) t2
  25. - 17 - Nếu q = 0, khi đó dao động uốn tự do của tấm mỏng đẳng hướng có dạng: 2w D 2w h 0 (2.32) t2 2.4 Phương trình vi phân dao động uốn của tấm mỏng trên nền đàn hồi theo mô hình nền Winkler 2.4.1 Ứng xử của nền đàn hồi Ứng dụng thành công các nguyên lý kỹ thuật công trình vào thiết kế các mô hình kết cấu, trên cơ sở đó tiến hành phân tích chính xác và thiết kế “đúng” với mô hình thực là một vấn đề rất khó khăn. Trong phân tích nền, sự tương tác giữa nền đàn hồi và kết cấu rất phức tạp do đó để đạt đến mô hình thực càng khó hơn. Mô hình cấu trúc chung thường là tấm bê tông đặt trực tiếp trên nền đàn hồi (nền đất). Tải trọng của kết cấu được truyền trực tiếp tới môi trường nền, giữa nền và kết cấu có sự tác động qua lại lẫn nhau hướng theo tải trọng đỡ và chống. Các tính chất tự nhiên của nền rất phức tạp, không thuần nhất và không đẳng hướng nên khi mô hình hóa được coi như phi tuyến, còn các kết cấu thép và bê tông có thể được mô hình hóa và phân tích như tuyến tính, đẳng hướng hoặc dị hướng. Như đã đề cập ở trên, tính chất của nền đất rất khó xác định, nó là vật liệu “mềm”, nên khó thu được các mẫu thực nghiệm khi làm thí nghiệm có kết quả giống với ứng xử thực “ trong đất”. Mặt khác, loại nền đất ảnh hưởng đến khả năng thu được các mẫu đặc trưng (ví dụ, đất sét cứng khó lấy mẫu hơn đất sét mềm). Ứng xử của các mẫu trong phòng thí nghiệm khác xa so với sự phức tạp của bài toán thực tế. Tính chất vật liệu nền và môi trường nền là hai nhân tố phức tạp của bài toán, tính chất vật liệu nền phụ thuộc vào ứng suất, và môi trường nền trong thực tế phụ thuộc vào các lớp vật liệu có tính chất và cấu thành khác nhau. Do các nhân tố này, cấu thành và các tính chất thực sự của nền chưa được xác định và vẫn còn là một ẩn số. Như vậy, ta cần đưa ra các giả thuyết đơn giản hơn để phân tích sự tương tác giữa nền đất và kết cấu.
  26. - 18 - 2.4.2 Mô hình nền Winkler Xét một tấm mỏng đặt trên nền đàn đàn hồi, dưới tác dụng của tải trọng q tấm bị uốn, đè lên nền một áp lực nào đó; ngược lại, trong quá trình biến dạng của tấm, nền cũng tác dụng lên tấm một phản lực p(x,y,t) ngược chiều với chuyển động của tấm. Phản lực này phụ thuộc vào độ võng w của tấm và do đó nó là hàm chưa biết. Nền đàn hồi Tấm mỏng Hình 2.4: Mô tả sự biến dạng của tấm chịu tác động của tải trọng phân bố theo mô hình nền Winkler. Trong lý thuyết tính tấm trên nền đàn hồi, hai giả thiết sau đây thường được thừa nhận trong mọi mô hình: 1) Giữa tấm và nền coi như tiếp xúc không có ma sát. 2) Tấm và nền tiếp xúc hoàn toàn với nhau tại mọi điểm, do đó độ võng của tấm cũng chính là độ lún của nền dưới tác dụng của tải trọng. Winkler đưa ra mô hình đơn giản nhất và được sử dụng rộng rãi trong tính toán dầm, tấm trên nền đàn hồi. Theo mô hình này, độ lún của một điểm bất kỳ trong nền tỷ lệ với áp lực p mà điểm đó thu nhận. Theo mô hình này, phản lực p(x,y,t) được xác định như sau: p(x,y,t) = kw(x,y,t) (2.33) trong đó k là hệ số phản lực nền hay còn gọi là hệ số nền. Mô hình Winkler được giả thiết không tồn tại sự tác động qua lại giữa các điểm kề sát nhau trong môi trường nền và được coi như các lò xo đàn hồi tuyến tính, hình 2.4, với độ cứng “k”, đặt tại các điểm riêng biệt rời rạc dưới tấm. Mô hình này còn được gọi là “ mô hình một tham số”
  27. - 19 - 2.4.3 Phương trình vi phân dao động uốn của tấm mỏng trên nền đàn hồi theo mô hình nền Winkler Trường hợp tấm mỏng trực hướng : khi đó phương trình dao động uốn của tấm trên nền đàn hồi theo mô hình nền Winkler có dạng: 4w 4w 4w 2w D 2H D h q p x x4 x2y2 y y4 t2 thế (2.33) vào phương trình trên và viết lại, ta được: 4w 4w 4w 2w D 2H D kw h q (2.34) x x4 x2y2 y y4 t2 Nếu q = 0, khi đó ta có phương trình vi phân dao động uốn tự do của tấm mỏng trên nền đàn hồi theo mô hình nền Winkler như sau: 4w 4w 4w 2w D 2H D kw h 0 (2.35) x x4 x2y2 y y4 t2 Trường hợp tấm mỏng đẳng hướng: phương trình vi phân dao động uốn của tấm mỏng trên nền đàn hồi theo mô hình nền Winkler có dạng: 4w 4w 4w 2w D 2 kw h q (2.36) 4 2 2 4 2 x x y y t Nếu q = 0, phương trình vi phân dao động uốn tự do của tấm mỏng trên nền đàn hồi theo mô hình nền Winkler có dạng: 4w 4w 4w 2w D 2 kw h 0 (2.37) 4 2 2 4 2 x x y y t
  28. - 20 - Kết luận chương 2 Trong chương này trình bày lại các giả thiết cơ bản của lý thuyết tấm mỏng. Trên cơ sở đó, đưa ra cách thiết lập chi tiết phương trình vi phân dao động uốn của tấm mỏng trực hướng. Tính phức tạp của ứng xử nền đất thực và sự khó khăn của các nhà nghiên cứu khi mô tả sự tương quan giữa mô hình nền trong các bài toán với mô hình nền thực. Mô tả chi tiết mô hình nền Winker áp dụng cho tấm chữ nhật trực hướng và đẳng hướng.
  29. - 21 - CHƯƠNG 3. GIẢI BÀI TOÁN DAO ĐỘNG CỦA TẤM MỎNG TRỰC HƯỚNG TRÊN NỀN ĐÀN HỒI VỚI BIÊN HOÀN TOÀN TỰ DO 3.1 Bài toán Xét tấm mỏng chữ nhật trực hướng không đặt tải được đặt trực tiếp trên nền đàn hồi, khi đó phương trình chuyển động của tấm theo mô hình nền Winkler có dạng: 4w 4w 4w 2w D 2H D kw h 0 (3.1) x x4 x2y2 y y4 t2 với biên hoàn toàn tự do nên không có lực cắt, mô men uốn, mô men xoắn tại gối tựa:  2w 2w Q D H 0 tại x = 0 và x = a (3.2) x x x 2 2 x y 2w 2w M D D 0 tại x = 0 và x = a (3.3) x x 2 1 2 x y 2w M 2D 0 tại x = 0 và x = a (3.4) xy xy xy  2w 2w Q D H 0 tại y = 0 và y = b (3.5) y y y 2 2 y x 2w 2w M D D 0 tại y = 0 và y = b (3.6) y y 2 1 2 y x 2w M 2D 0 tại y = 0 và y = b (3.7) xy xy xy Trong các phương trình trên ta sử dụng ký hiệu:
  30. - 22 - 3 Exh Dx là độ cứng uốn của tấm đối với trục x. 12(1 x y ) 3 Eyh Dy là độ cứng uốn của tấm đối với trục y. 12(1 x y ) Gh3 D là độ cứng xoắn của tấm. xy 12 G là mô đun cắt hay còn gọi là mô đun đàn hồi loại 2 của tấm Ex, Ey là mô đun Young theo các hướng x và y tương ứng. υy, υx, ρ là các hệ số Poisson và mật độ của tấm. w là độ võng của tấm. k là hệ số nền. h, a, b là độ dày, chiều dài, chiều rộng của tấm. D1 = υyDx = υxDy, H = D1 + 2Dxy Dao động của tấm được biểu diễn qua hàm độ võng w, trong thực tế nó thường có dạng dao động điều hòa với tần số góc riêng ω nào đó. Mục đích của bài toán này là xác định giá trị của ω. 3.2 Giải bài toán Giả sử dao động điều hòa của tấm có dạng: w(x, y, t) = W(x, y) sinωt (3.8) trong đó W(x, y) là hàm dạng mô tả ‘‘mode’’ dao động của tấm và phụ thuộc vào hai biến x, y với 0 < x < a, 0 < y < b, và ω là tần số góc riêng của tấm. Nghiệm riêng (3.8) thỏa mãn phương trình chuyển động (3.1) và các điều kiện biên từ (3.2) đến (3.7). Từ (3.8) suy ra :
  31. - 23 - 4w 4W 4w 4W sint ; sint x4 x4 y4 y4 (3.9) 4w 4W 2w sint ; W2 sint x2y2 x2y2 t2 Thế (3.9) vào (3.1) cho ta: 4 4 4  W  W  W 2 Dx 2H Dy (k h )W 0 x4 x2y2 y4 Đặt λ = k – hρω2. Ta được: 4W 4W 4W Dx 2H Dy W 0 (3.10) x4 x2y2 y4 Để giải phương trình đạo hàm riêng (3.10), ta áp dụng phương pháp biến đổi tích phân cosin hữu hạn kép [19]. Nghiệm W(x, y) của phương trình (3.10) được tìm dưới dạng chuỗi như sau : 1 2 W (x, y) W (0,0) W (m,0)cos x ab ab  m m 1 (3.11) 2 4 W (0,n) cos  n y W (m, n) cos m x cos  n y ab n 1 ab m 1 n 1 trong đó: a b W (m,n) W (x, y) cos x cos  ydxdy m n 0 0 m n m ;  a n b Để tìm các số hạng vế bên phải của phương trình (3.11), trước hết ta nhân hai vế phương trình (3.10) với cosαmxcosβny với m = 1, 2, ; n = 1, 2, ; 0 < x < a, 0 < y < b, sau đó lấy tích phân hai vế theo x và y ta được:
  32. - 24 - a b  4W a b  4W D cos x cos  ydxdy 2H cos x cos  ydxdy x x 4 m n x 2y 2 m n 0 0 0 0 (3.12) a b  4W a b D cos x cos  ydxdy  W cos x cos  ydxdy 0 y 4 m n m n 0 0 y 0 0 Thực hiện biến đổi tích phân các biểu thức trong phương trình (3.12): Xét biểu thức thứ nhất trong (3.12): a b  4W b a  4W sh1 cos x cos  ydxdy cos xdx cos ydxdy (3.13) 4 m n 4 m n 0 0 x 0 0 x trong đó: a 4 a 3 3 a 3  W  W  W a  W cos xdx cos xd cos x sin xdx 4 m m 3 3 m 0 m 3 m 0 x 0 x x 0 x 3 a 2  W a  W  cos x sin xd 3 m 0 m m 2  x 0 x  3 2 a a 2   W a  W  W cos m x m sin m x m cos m xdx x 3 0 x 2 x 2 0 0  a 3 2 a  W  W 2 W 3 cos m x m 2 sin m x m cos m xd x x x 0 0 a 3 2 a a  W  W 2 W W 3 cos m x m 2 sin m x m cos m x m sin m xdx x x x x 0 0 0 a 3 2 a  W  W 2 W 3 3 cos m x m 2 sin m x m cos m x m sin m xdW x x x 0 0 a 3 2 a  W  W 2 W 3 4 3 cos m x m 2 sin m x m cos m x mW sin m x m W cos m xdx x x x 0 0 3 3 a m  W 2 m W  W 2 W 4 ( 1) m ( 1) m m W cos m xdx x 3 x x 3 x x a x 0 0  3W  3W W W a ( 1) m 2 ( 1) m 4 W cos xdx 3 3 m m m x x a x x 0 x x a x x 0 0 thế biểu thức này vào phương trình (3.13), cho ta:
  33. - 25 - b 3 3 a  m  W  W 2 m W W 4 sh1 ( 1) m ( 1) m W cos m xdxcos  n ydxdy x 3 x3 x x 0 x a x 0 x a x 0 0  a b 4 W cos x cos  ydxdy m m n 0 0 b 3 3  m  W  W 2 m W W ( 1) 3 3 m ( 1) cos n ydxdy x x x x 0 x a x 0 x a x 0  a b với lưu ý W W cos x cos  ydxdy m n 0 0 ta được: a b  4W sh1 cos xcos ydxdy x4 m n 0 0 (3.14) b 3 3  4 m  W  W 2 m W W mW(m,n) ( 1) 3 3 m ( 1) cosn ydxdy x x x x 0 x a x 0 x a x 0  Tương tự, xét biểu thức thứ ba trong (3.12): a b  4W a b  4W sh3 : cos x cos ydxdy cos ydy cos xdx (3.15) 4 m n 4 n m 0 0 y 0 0 y trong đó: b 4 b 3 3 b 3  W  W  W b  W cos ydy cos yd cos y  sin  ydy 4 n n 3 3 n 0 n 3 n 0 y 0 y y 0 y 3 b 2  W b  W  cos  y  sin  yd 3 n 0 n n 2  y 0 y  b 3 2 b 2   W b  W  W cos n y n sin n y n cosn ydy y3 0 y2 y2 0 0  b 3 2 b  W  W 2 W 3 cos n y n 2 sin n y n cos n yd y y y 0 0 b 3 2 b b  W  W 2 W W 3 cos n y n 2 sin n y n cos n y n sin n ydy y y y y 0 0 0
  34. - 26 - b 3 2 b  W  W 2 W 3 3 cosn y n 2 sinn y n cosn y n sinn ydW y y y 0 0 b 3W 2W W b cos y  sin y  2 cos y  3Wsin y  4 Wcos ydy 3 n n 2 n n n n n n n y y y 0 0 3 3 b n  W 2 n W  W 2 W 4 ( 1) 3 n ( 1) 3 n n Wcosn ydy y y y y y b y 0 0 3W 3W W W b ( 1)n  2 ( 1)n  4 Wcos ydy y3 y3 n y y n n y b y 0 y b y 0 0 thế biểu thức trên vào phương trình (3.15) ta được: a 3 3 b  n  W  W 2 n W W 4 sh3 ( 1)  n ( 1)  n W cos  n ydycos m xdx y 3 y 3 y y 0 y b y 0 y b y 0 0  a b a  3W  3W W W   4 W cos x cos  ydxdy ( 1) n  2 ( 1) n cos xdx n m n y 3 y 3 n y y m 0 0 0 y b y 0 y b y 0  hay a b  4W sh3 cos x cos ydxdy 4 m n 0 0 y (3.16) a 3 3  4 n  W  W 2 n W W  n W (m, n) ( 1)  n ( 1) cos m xdx y 3 y 3 y y 0 y b y 0 y b y 0  Biểu thức thứ hai trong (3.12) được tách làm hai phần. Phần thứ nhất tính tích phân theo x trước, theo y sau: a b  4W b a 4W  sh2 : cos x cos  ydxdy cos xdx cos  ydy 2 2 m n 2 2 m  n 0 0 x y 0 0 x y  a b a 3W  b 3W a 3W  cos m xd cos n ydy cos m x m sin m xdxcos n ydy y 2x y2x y2x 0 0  0 0 0  a b 3W a  2W  cos m x m sin m xd cosn ydy y2x y 2 0 0 0 
  35. - 27 - a b  3W  2W a  2W  cos x sin x 2 cos xdx cos  ydy 2 m m 2 m m 2 m  n 0 y x y 0 y 0  b 3 3 a b 2 m  W  W 2  W  ( 1) cos  n ydy m cos n ydycos m xdx y 2x y 2x y 2 0 x a x 0 0 0  b 3 3 a b m  W  W 2 W  ( 1) cos  n ydy m cos  n yd cos m xdx y 2x y 2x y 0 x a x 0 0 0  b 3 3 a b b  m  W  W 2 W W ( 1) cos  n ydy m cos  n y  n sin  n ydycos m xdx y 2x y 2x y y 0 x a x 0 0 0 0  b 3 3 a b b  m  W  W 2 W ( 1) cos  n ydy m cos  n y  n sin  n ydW cos m xdx y 2x y 2x y 0 x a x 0 0 0 0  b  3W  3W ( 1)m cos ydy y 2x y 2x n 0 x a x 0 a b b  2 W 2 m cos  n y  nW sin  n y  n W cos  n ydycos m xdx y 0 0 0  cuối cùng biểu thức trên có thể viết lại như sau: a b  4W b  3W  3W sh2 cos x cos  ydxdy ( 1) m cos  ydy x 2y 2 m n y 2x y 2x n 0 0 0 x a x 0 (3.17) a W W 2 ( 1) n cos xdx 2  2W m,n m y y m m n 0 y b y 0 Phần thứ hai tính tích phân theo y trước, theo x sau: a b  4W a b  4W  sh2 : cos x cos  ydxdy cos  ydy cos xdx 2 2 m n 2 2 n  m 0 0 x y 0 0 x y  b a b 3W  a 3W b 3W  cos n yd cos m xdx cosn y n sin n ydycos m xdx x2y x2y x2y 0 0  0 0 0  b a 3W b  2W  cosn y n sin n yd cos m xdx x2y x2 0 0 0  b a 3 2 b 2   W  W 2  W 2 cos n y  n 2 sin  n y  n 2 cos  n ydycos m xdx x y x x 0 0 0 
  36. - 28 - a 3 3 b a 2 n  W  W 2  W  ( 1) cos m xdx  n cos m xdxcos  n ydy x 2y x 2y x 2 0 y b y 0 0 0  a 3 3 b a n  W  W 2 W  ( 1) cos m xdx  n cos m xd  cos  n ydy x 2y x 2 y x 0 y b y 0 0 0  a 3 3 b a a  n  W  W 2 W W ( 1) cos m xdx  n cos m x m sin m xdx cos  n ydy x 2 y x 2 y x x 0 y b y 0 0 0 0  a  3W  3W ( 1) n cos xdx x 2y x 2y m 0 y b y 0 b a a  2 W 2  n cos m x mW sin m x m W cos m xdxcos  n ydy x 0 0 0  cuối cùng ta thu được biểu thức: a b  4W a  3W  3W sh2 cos x cos  ydxdy ( 1)n cos xdx 2 2 m n 2 2 m x y x y x y 0 0 0 y b y 0 (3.18) b W W  2 ( 1) m cos  ydy 2  2W m,n n n m n 0 x x a x x 0 Thế các phương trình (3.14), (3.16), (3.17), (3.18) vào (3.12), ta được: 4 2 2 4 Dx m 2H m  n Dy  n W (m,n) a 2 2 2 2  n   W  W   W  W ( 1) H Dy H Dy cos m xdx y x 2 y 2 y x 2 y 2 0 y b y 0  b 2 2 2 2  m   W  W   W  W 1) Dx H Dx H cos  n ydy (3.19) x x 2 y 2 x x 2 y 2 0 x a x 0  a W W (D  2 H 2 ) ( 1)n cos xdx y n m y y m 0 y b y 0 b W W (D 2 H 2 ) ( 1)m cos  ydy x m n n 0 x x a x x 0 Thay các điều kiện biên (3.2) và (3.5) vào phương trình (3.19), ta thu được :
  37. - 29 - 4 2 2 4 Dx m 2H m  n Dy  n W (m,n) a W W (D  2 H 2 ) ( 1)n cos xdx (3.20) y n m y y m 0 y b y 0 b W W (D 2 H 2 ) ( 1)m cos  ydy x m n n 0 x x a x x 0 vế phải của (3.20) là tích phân xác định, là hằng số. Ta đặt : a W W I ( 1) n cos xdx m y y m 0 y b y 0 b W W J ( 1) m cos  ydy n n 0 x x a x x 0 do đó (3.20) có thể viết như sau: 4 2 2 4 2 2 2 2 Dx m 2H m  n Dy  n W (m, n) (Dy  n H m )I m (Dx m H n )J n hay 2 2 2 2 (Dy  n H m )I m (Dx m H n )J n W (m,n) 4 2 2 4 (3.21) Dx m 2H m  n Dy  n  Từ (3.21) suy ra : W (0,0) 0 2 HI m Dx J 0 W (m,0) m 4 (3.22) Dx m  2 Dy I 0 HJ n W (0, n)  n 4 Dy  n  thay (3.21) và (3.22) vào (3.11) cho ta : 2 HI D J 2 Dy I 0 HJ n W (x, y) 2 m x 0 cos x  2 cos  y ab  m D 4  m ab  n D  4  n m 1 x m n 1 y n 2 2 2 2 4 (D y  n H m )I m (Dx m H n )J n cos x cos  y  4 2 2 4 m n ab m 1 n 1 Dx m 2H m  n D y  n  hay:
  38. - 30 - 2 2 W (x, y)  m HI m Dx J 0 Cm0 cos m x   n Dy I 0 HJ n C0n cos  n y m 1 n 1 (3.23) 2 2 2 2 2(D y  n H m )I m (Dx m H n )J n Cmn cos m x cos  n y m 1 n 1 trong đó: 2 Cmn 4 2 2 4 ab Dx m 2H m  n Dy  n  Từ (3.23) ta có :  2W 2 2 2 2 (3.24a) 2(Dy  n H m )I m (Dx m H n )J n Cmn m  n sin m xsin  n y xy m 1 n 1  2W 4 HI D J C cos x 2  m m x 0 m0 m x m 1 (3.24b) 2 2 2 2 2 2 m (D y  n H m )I m (Dx m H n )J n Cmn cos m x cos  n y m 1 n 1  2W  4 D I HJ C cos  y y 2  n y 0 n 0n n n 1 (3.24c) 2 2 2 2 2 2  n (Dy  n H m )I m (Dx m H n )J n Cmn cos m xcos  n y m 1 n 1 Để ý đến (3.24a), ta dễ dàng thấy rằng (3.23) thỏa mãn các điều kiện biên (3.4) và (3.7). Thay (3.24b), (3.24c) vào điều kiện biên (3.3), ta được : 4 Dx  m HI m Dx J 0 Cm0 cos m x m 1 2 2 2 2 2 2Dx  m (D y  n H m )I m (Dx m H n )J n Cmn cos m x cos  n y m 1 n 1 tại x = 0 và x=a 4 D1   n D y I 0 HJ n C0n cos  n y n 1 2 2 2 2 2 2D1   n (D y  n H m )I m (Dx m H n )J n Cmn cos m x cos  n y 0 m 1 n 1 Tại x = 0 :
  39. - 31 - 4 4 Dx  m HI m Dx J 0 Cm0 D1   n Dy I 0 HJ n C0n cos  n y m 1 n 1 2 2 2 2 2 2Dx  m (D y  n H m )I m (Dx m H n )J n Cmn cos  n y m 1 n 1 2 2 2 2 2 2D1   n (D y  n H m )I m (Dx m H n )J n Cmn cos  n y 0 m 1 n 1 nhóm các số hạng trong phương trình trên, cho ta: 4 4 Dx  m HI m Dx J 0 Cm0 D1   n Dy I 0 HJ n C0n cos  n y m 1 n 1 (3.25) 2 2 2 2 2 2 2 D1  n Dx m (D y  n H m )I m (Dx m H n )J n Cmn cos  n y 0 m 1 n 1 Tại x = a: m 4 4 Dx ( 1) m HI m Dx J 0 Cm0 D1   n D y I 0 HJ n C0n cos  n y m 1 n 1 m 2 2 2 2 2 2Dx ( 1) m (Dy  n H m )I m (Dx m H n )J n Cmn cos  n y m 1 n 1 m 2 2 2 2 2 2D1 ( 1)  n (Dy  n H m )I m (Dx m H n )J n Cmn cos  n y 0 m 1 n 1 viết gọn các số hạng trong phương trình trên, ta được: m 4 4 Dx ( 1) m HI m Dx J 0 Cm0 D1   n Dy I 0 HJ n C0n cos  n y m 1 n 1 (3.26) m 2 2 2 2 2 2 2( 1) D1  n Dx m (D y  n H m )I m (Dx m H n )J n Cmn cos  n y 0 m 1 n 1 Thay (3.24b), (3.24c) vào điều kiện biên (3.6), ta được : 4 D y   n Dy I 0 HJ n C0n cos  n y n 1 2 2 2 2 2 2Dy   n (Dy  n H m )I m (Dx m H n )J n Cmn cos m x cos  n y m 1 n 1 tại y=0 và y=b 4 D1  m HI m Dx J 0 Cm0 cos m x m 1 2 2 2 2 2 2D1  m (Dy  n H m )I m (Dx m H n )J n Cmn cos m x cos  n y 0 m 1 n 1 Tại y = 0 :
  40. - 32 - 4 4 D y   n Dy I 0 HJ n C0n D1  m HI m Dx J 0 Cm0 cos m x n 1 m 1 2 2 2 2 2 2Dy   n (Dy  n H m )I m (Dx m H n )J n Cmn cos m x m 1 n 1 2 2 2 2 2 2D1  m (D y  n H m )I m (Dx m H n )J n Cmn cos m x 0 m 1 n 1 tương đương: 4 4 D y   n Dy I 0 HJ n C0n D1  m HI m Dx J 0 Cm0 cos m x n 1 m 1 (3.27) 2 2 2 2 2 2 2 D1 m D y  n (Dy  n H m )I m (Dx m H n )J n Cmn cos m x 0 m 1 n 1 Tại y = b : n 4 4 D y ( 1)  n Dy I 0 HJ n C0n D1  m HI m Dx J 0 Cm0 cos m x n 1 m 1 n 2 2 2 2 2 2Dy  ( 1)  m (D y  n H m )I m (Dx m H n )J n Cmn cos m x m 1 n 1 n 2 2 2 2 2 2D1 ( 1) m (Dy  n H m )I m (Dx m H n )J n Cmn cos m x 0 m 1 n 1 phương trình trên tương đương với: n 4 4 Dy  ( 1)  n D y I 0 HJ n C0n D1  m HI m Dx J 0 Cm0 cos m x n 1 m 1 (3.28) n 2 2 2 2 2 2 2 ( 1) D1 m Dy  n (Dy  n H m )I m (Dx m H n )J n Cmn cos m x 0 m 1 n 1 Cộng vế với vế hai phương trình (3.25) và (3.26): 4 m 4 Dx  m HI m Dx J 0 Cm0 1 ( 1)  2D1   n Dy I 0 HJ n C0n cos  n y m 1 n 1 m 2 2 2 2 2 2 21 ( 1)  D1 n Dx m (Dy  n H m )I m (Dx m H n )J n Cmn cos  n y 0 m 1 n 1 đặt m 2 2 Amn 2Cmn 1 ( 1) (Dx m D1 n ) ta được:
  41. - 33 - 1 2 1 2  m Am0 HI m D x J 0   n A0 n D y I 0 HJ n cos  n y 2 m 1 2 n 1 2 2 2 2   Amn (D y  n H m )I m (D x m H n )J n cos  n y 0 m 1 n 1 phương trình trên tương đương với: 1 2 2 2 1 2 2 2 H  m Am0 I m  Amn (D y  n H m )I m cos  n y  H n A0n (Dx m H n )Amn J n cos  n y 2 m 1 m 1 n 1 n 1 2 m 1 1 2 1 2  m Am0 Dx J 0   n A0n Dy I 0 cos  n y 0 2 m 1 2 n 1 hay 1 2 2 2 H m A m0 I m   A mn( D y  n H m ) I m cos  n y 2 m 0 m 0 n 1 12 2 2 1 2 1 2  HAnn0 ( DHAJ xmnmnnn  ) cos  y  mmx ADJ 0 0   nny ADI 0 0 cos  n y n 0 2 m 1 2 m 1 2 n 1 12 2 2 1 2 2 2  HAI 0 00 0  ADHI 0n( y  n 0 ) 0 cos  n yHA  0 00  ( DH x m 0)AJm 0 0  0 2n 1 2 m 1  với lưu ý: A00 = 0; α0 = 0; β0 = 0 nên ta được: 1 2 2 2  H m Am0 I m  Amn (D y  n H m )I m cos  n y 2 m 0 m 0 n 1 1 2 2 2 (3.29)  H n A0n (Dx m H n )Amn J n cos  n y n 0 2 m 1 1 2 2   n A0n D y I 0 cos  n y  m Am0 Dx J 0 0 2 n 1 m 1 Tương tự, cộng hai phương trình (3.27) và (3.28): 4 n 4 D y   n Dy I 0 HJ n C0n 1 ( 1)  2D1  m HI m Dx J 0 Cm0 cos m x n 1 m 1 2 2 2 2 2 2 n 2 D1 m Dy  n (D y  n H m )I m (Dx m H n )J n Cmn 1 ( 1) cos m x 0 m 1 n 1 đặt
  42. - 34 - B 2C 1 ( 1)n (D 2 D  2 ) mn mn  1 m y n ta được : 1 1  2 D I HJ B 2 HI D J B cos x 2  n y 0 n on 2  m m x 0 m0 m n 1 m 1 2 2 2 2  Bmn (D y  n H m )I m (Dx m H n )J n cos m x 0 m 1 n 1 tương đương: 1 2 2 2   n H Bon J n  Bmn (Dx m H n )J n cos m x 2 n 1 m 1 n 1 1 2 2 2  m HBm0  Bmn (D y  n H m ) I m cos m x m 1 2 n 1 1 2 1 2   n D y I 0 Bon  m Dx J 0 Bm0 cos m x 0 2 n 1 2 m 1 hay 1 2 2 2   n H Bon J n  Bmn (Dx m H n )J n cos m x 2 n 0 m 1 n 0 1 2 2 2 1 2 1 2  m HBm0  Bmn (D y  n H m ) I m cos m x   n Dy I 0 Bon  m Dx J 0 Bm0 cos m x m 0 2 n 1 2 n 1 2 m 1 1 2 2 2 1 2 2 2   0 HB00 J 0  Bm0 (Dx m H 0 )J 0 cos m x 0 HB00  B0n (Dy  n H 0 ) I 0  0 2 m 1 2 n 1  với lưu ý: B00 = 0; α0 = 0; β0 = 0 do vậy phương trình trên được viết lại dưới dạng: 1 2 2 2  n H Bon J n  Bmn (Dx m H n )J n cos m x 2 n 0 n 0 m 1 1 2 2 2  H m Bm0  Bmn (Dy  n H m ) I m cos m x (3.30) m 0 2 n 1 1 2 2  n Dy BonI 0  m Dx Bm0 J 0 cos m x 0 2 n 1 m 1 Nhân phương trình (3.29) với cosβjy (j = 0, 1, 2, ) và sau đó tích phân theo y trong miền [0, b], với lưu ý sau :
  43. - 35 - b cos j ydy 0 0 b (n ≠ j) cosn ycos j ydy 0 0 b 2 b cos  j ydy 0 2 Do đó, ta được: 1 2 2 2 1 2 2 2 H A  (Dx m H )A J Dy A I  A (Dy H m)Im 0 2 j 0 j j mj j 2 j 0 j 0 mj j  m 1  m 1 j 0,1,2, j 1,2,3, (3.31) Tương tự, nhân phương trình (3.30) với cosαix (i = 0, 1, 2, 3, ) và sau đó tích phân theo x trong miền [0, a] với lưu ý : a cos mxdx 0 0 a cos mxcos ixdx 0 (m i) 0 a 2 a cos ixdx 0 2 cho ta: 1 2 2 2 1 2 2 2 H B  B (Dyn H ) I DxB J  B (Dx Hn )Jn 0 2 i i0 in i i 2 i i0 0 in i  n 1  n 1 i 0,1,2,3, i 1,2,3, (3.32) Các phương trình (3.31) và (3.32) lập thành một hệ phương trình đại số thuần nhất chứa các ẩn Im và Jn (m = 0, 1, 2, 3, ; n = 0, 1, 2, 3, ) như sau:
  44. - 36 - 1 2 H A 0 00 2 0 0 0 0 . . 2 2  (D H ) A x m 0 m0 m 1 1 2 H A 1 01 2 1 2 2 2 J 0 0 D  A D  H A . . 0  y 1 01 y 1 1 11 0 2 2 2 J   (D H ) A 1 x m 1 m1 0 J m 1 2 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  .  . . . . . . . I 0 0 1 2 H B I 0 0 00 1 2 0 I 0 0 0 0 . . 2 . 2 2 .  D  H B y n 0 0n .  n 1 .  1 2 H B 1 10 2 2 2 2 2 D H B D H B 0 . . 1 2 x 1 1 11 x 1 2 12 D B 2 2 x 1 10  D  H B 2 y n 1 1n n 1 . . . . . . . . . . . . . (3.33)
  45. - 37 - Để phương trình (3.33) có nghiệm không tầm thường thì định thức của ma trận hệ số phải bằng không. Từ đây ta xác định được tần số riêng của tấm bằng cách giải định thức sau: 1 H 2 A 2 0 00 0 0 0 0 . .  ( D 2 H 2 ) A x m 0 m 0 m 1 1 H 2 A 2 1 01 1 2 2 2 0 0 D  A D  H A . . 2 y 1 01 y 1 1 11  ( D 2 H 2 ) A x m 1 m1 m 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 . . . . . . . 1 H 2 B 2 0 00 0 0 0 0 . .  D  2 H 2 B y n 0 0n n 1 1 H 2 B 1 10 2 2 2 2 2 D H B D H B 0 . . 1 2 x 1 1 11 x 1 2 12 D B  D  2 H 2 B 2 x 1 10 y n 1 1n n 1 . . . . . . . . . . . . . (3.34)
  46. - 38 - Nếu tấm là đẳng hướng, ta có : E = Ex = Ey υ = υx = υy Eh3 D = Dx = Dy = H = 12(1  2 ) Phương trình chuyển động của tấm đẳng hướng không đặt tải trên nền đàn hồi là:  4 w  4 w  4 w  2 w D 2 kw(x, y,t) h 0 (3.35) 4 2 2 4 2 x x y y t các điều kiện biên   2W  2W Q D 0 tại x = 0 và x = a x 2 2 x x y  2W  2W M D  0 tại x = 0 và x = a x 2 2 x y  2W M D(1  ) 0 tại x = 0 và x = a xy xy   2W  2W Q D 0 tại y = 0 và y = b y 2 2 y x y  2W  2W M D  0 tại y = 0 và y = b y 2 2 y x  2W M D(1  ) 0 tại y = 0 và y = b xy xy Khi đó hệ phương trình để xác định Im và Jn (m = 0, 1, 2, 3, ; n = 0, 1, 2, 3, ) như sau: 1 1 A*  A* J A* I  A* I 0 (3.36) 2 0 j mj j 2 0 j 0 mj m m 1   m 1 j 0,1,2, j 1,2,3 1 * * 1 * * B  B I B J  B J 0 (3.37) 2 i0 in i 2 i0 0 in n n 1  n 1  i 0,1,2, i 1,2,3,
  47. - 39 - với 2 2 * 2 2 2( m n ) *  Cmn D( m n )Cmn ;  ab ( 2  2)2 * D m n * 2 2 * m 2 2 Amn Amn( m n ) 2Cmn1 ( 1) ( m n ) * 2 2 * n 2 2 Bmn Bmn( m n ) 2Cmn1 ( 1) (n  m) Các phương trình (3.36) và (3.37) được viết dưới dạng ma trận như sau: 1 * * A  A 0 0 0 0 0 J0 00 m 1 m0 0 2 J  1 0 1 * * 1 * * * 0 A  A 0 A A A J2 0 01 m 1 m1 01 11 21 2 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   I0 0 1 * * 0 0 0 0 B  B 0 0 I1 0 2 00 n 1 0n I 2 . 1 1 * * * * * . B B B 0 B  B 0 . 2 10 11 12 2 10 n 1 1n  .  . . . . . . . . Tần số riêng của tấm đẳng hướng trên nền đàn hồi được xác định từ định thức sau: 1 * * A  A 0 0 0 0 0 2 00 m 1 m0 1 * * 1 * * * 0 A  A 0 A A A 2 01 m 1 m1 2 01 11 21 . . . . . . . . . . . . . . = 0 . . . . . . . 1 * * 0 0 0 B  B 0 0 2 00 n 1 0n 1 * * * 1 * * B B B 0 B  B 0 2 10 11 12 2 10 n 1 1n . . . . . . . . (3.38)
  48. - 40 - Sau đây ta áp dụng phần mềm Matlab để giải các định thức (3.34) và (3.38) với những số liệu cụ thể. 3.3 Kết quả số Tấm trực hướng. Tấm làm bằng vật liệu glass – epoxy: với các tính chất vật liệu và hình học được cho như sau: 7 3 a = b = 4.5m; h = 0.2m; k = 5.5x10 N/m ; υx = 0.25 ; υy = 0.0836 ; 9 9 9 3 Ex = 53.8x10 Pa ; Ey = 18x10 Pa ; G = 9x10 Pa ; ρ = 340 kg/m . Tấm đẳng hướng. Ta xét trường hợp tấm làm bằng bê tông với các tính chất vật liệu và thông số hình học được cho như sau: a = b = 4.5m; h = 0.2m; k = 5.5x107 N/m3 ; υ = 0.16 ; E = 1.5x1010 Pa ; ρ = 2500 kg/m3 Trong tính toán cho cả hai trường hợp tấm đẳng hướng và trực hướng, ta lấy m = n = 10. Khi đó các giá trị của tần số riêng nhận được như sau: Tấm trực hướng Tấm đẳng hướng Tần số riêng 147.0593 77.0310 Kết luận chương 3 Trên cơ sở chương 2, trong chương này trình bày bài toán tấm trực hướng trên nền đàn hồi với điều kiện biên hoàn toàn tự do. Trình bày chi tiết cách giải bài toán. Biểu diễn nghiệm riêng của bài toán dưới dạng dao động điều hòa, trên cơ sở đó áp dụng phương pháp biến đổi tích phân côsin hữu hạn kép cùng với các biến đổi tích phân cơ bản đã đưa đến một định thức chỉ chứa một ẩn duy nhất để xác định tần số riêng. Ngoài ra, chương này cũng xét đến trường hợp đặc biệt đó là bài toán tấm đẳng hướng. Áp dụng phần mềm Matlab để tính tần số riêng cho các vật liệu tấm cụ thể.
  49. - 41 - KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Luận văn này được trình bày trong ba chương chính: Chương 1 trình bày tổng quan nghiên cứu dao động của tấm của các tác giả theo các phương pháp khác nhau. Giới thiệu phương pháp biến đổi tích phân côsin hữu hạn kép và phương pháp số sử dụng trong luận văn. Nội dung chương 2 tập trung vào xây dựng phương trình vi phân dao động uốn của tấm mỏng trực hướng. Nêu lên tính phức tạp của ứng xử nền đất thực và sự khó khăn của các nhà nghiên cứu khi mô tả nền trong các bài toán. Trình bày mô hình nền Winker và áp dụng mô hình này vào phân tích tấm trực hướng và đẳng hướng. Chương 3 thực hiện giải bài toán tấm mỏng trực hướng trên nền đàn hồi theo mô hình nền Phút Winker với điều kiện biên hoàn toàn tự do bằng phương pháp biến đổi tích phân kép để xác định tần số riêng của tấm. Sử dụng phần mềm Matlab để tính tần số riêng của tấm cho những trường hợp cụ thể. Những kết quả chính của luận văn đạt được gồm: Trình bày chi tiết cách thiết lập phương trình vi phân dao động uốn của tấm mỏng trực hướng trên nền đàn hồi theo mô hình nền Winkler. Xác định tần số riêng của tấm mỏng trực hướng trên nền đàn hồi bằng phương pháp biến đổi tích phân cosin hữu hạn kép. Áp dụng phần mềm Matlab để xác định tần số riêng của tấm cho những trường hợp cụ thể. Trên cơ sở những kết quả đạt được, một số kiến nghị được đề nghị để tiếp tục nghiên cứu theo hướng này là: Mở rộng phương pháp biến đổi tích phân vào phân tích tấm trên nền đàn hồi với các mô hình tấm và điều kiện biên khác nhau. Áp dụng phân tích dao động của tấm chữ nhật vào các bài toán thực tế.
  50. - 42 - Tóm lại, luận văn này chỉ ra rằng tần số riêng của tấm mỏng theo lý thuyết Kirchoff với các biên tự do trên nền đàn hồi có thể được tính bằng phương pháp biến đổi tích phân. Lời giải hiển đối với quá trình tính toán tần số riêng của tấm mỏng trên nền đàn hồi với các cạnh tự do rất quan trọng trong nhiều ứng dụng như thiết kế nền của các kết cấu công trình, mặt đường cứng của đường cao tốc và sân bay, Phương pháp phân tích này cho kết quả tính toán với khả năng chính xác cao, nó có ý nghĩa to lớn trong lý thuyết và thực hành.
  51. - 43 - TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1]. Đào Huy Bích (2000), Lý thuyết đàn hồi, Nhà xuất bản Đại học quốc gia Hà Nội, Hà Nội. [2]. Trần Lưu Chương, Phạm Sĩ Liên (1967), Lý thuyết bản và vỏ mỏng đàn hồi, phòng nghiên cứu toán cơ lý thuộc ủy ban khoa học và kỹ thuật nhà nước, Hà Nội. [3]. Nguyễn Văn Khang (1998), Dao động kỹ thuật, Nhà xuất bản khoa học và kỹ thuật, Hà Nội. Tiếng Anh [4]. R. B. Bhat, C. Rajalingham and G. D. Xistris (1997), “Vibration of rectangular plates by reduction of the plate partial differential equation into simultaneous ordinary differential equations”, Journal of Sound and Vibration 203, pp. 169 – 180. [5]. L. R. Deobald and R. F Gibson (1988), “Determination of elastic constants of orthotropic plates by a modal analysis/ Rayleigh – Ritz technique”, Journal of Sound and Vibration 124, pp. 269 – 283. [6]. S. M. Dickinson (1978), “The buckling and frequency of flexural vibration of rectangular isotropic and orthotropic plates using Rayleigh’s method”, Journal of Sound and Vibration 61, pp. 1- 8. [7]. S. M. Dickinson and C. S. Kim (1985), “Improved approximate expressions for the natural frequencies of isotropic and orthotropic rectangular plates”, Journal of Sound and Vibration 103, pp. 142 – 149. [8]. L. Gaul, S. Hurlebaus, J. T. –S. Wang (2001), “ An exact series solution for calculating the natural frequencies of orthotropic plates with completely free boundary”, Journal of Sound and Vibration 244, pp. 747 – 759. [9]. D. J. Gorman (1980), “A comprehensive study of the free vibration of rectangular plates resting on symmetrically distributed uniform elastic
  52. - 44 - edge supports”, Journal of Applied Mechanics 56, pp. 893 – 899. [10]. D. J. Gorman (1982), Free Virbration Analysis of rectangular Plates, Elevier North Holland, Inc. [11]. D. J. Gorman (1993), “Accurate free vibration analysis of the completely free orthotropic rectangular plate by the method of superposition”, Journal of Sound and Vibration 165, pp. 409 – 420. [12]. D. J. Gorman (1999), Vibration Analysis of Plates by the Superposition Method, World Scientific Publishing, Singapore. [13]. R. F. S. Hearmon (1959), “The frequency of frexural vibration of rectangular orthotropic plates with clambed or supported edges”, Journal of Applied Mechanics 26, pp. 537 – 540. [14]. K. Y. Lam and K. M. Liew (1994), “Effects of arbitrarily distributed elastic point constraints on vibrational behaviour of rectangular plates”, Journal of Sound and Vibration 174, pp. 23 – 36. [15]. C. –C. Lin and J. T. –S. Wang (1999), “A method for exact series solution in structural mechanics”, Journal of Applied Mechanics 66, pp. 380 – 387. [16]. J. W. S. Rayleigh (1945), The Theory of Sound, Dover Publications Inc, New York. [17]. Ian. H. Sneddon (1972), The Use of Integral Transforms, McGraw - Hill Inc. [18]. Ian. H. Sneddon (1981), The Application of Integral Transform in Elasticity, McGraw - Hill Inc. [19]. G. B. Warburton (1954), “The vibration of rectangular plates”, Proceedings of the institution of Mechanical Engineers 168, pp. 371-384. [20]. T. Y. Yang (1972), “A finite element analysis of plate on two parameters foundation model”, Computer and Structure (2), pp. 573 – 616. [21]. A. E. Zafrang (1995), “A new fundamental solution for boundary element analysis of thick plate on Winkle foundation”, International Journal of Numerical Engineering (38), pp. 887 – 903.
  53. - 45 - Tiếng Đức [22]. E. E. F. Chladni (1802), Die Akustik, Leipzig. [23]. S. Iguchi (1953), “Die Eigenschwingungen und Klangfiguren der vierseitig freien rechteckigen Platte”, Ingenieur – Archiv 21, trang từ 303 – 322.
  54. - 46 - PHỤ LỤC PL1. Chương trình Matlab tính định thức cho tấm trực hướng. clc disp('Chuong trinh tinh omega w Tam truc huong'); disp(' '); m = input( 'Nhap vao gia tri cua m=n= '); n=m; a=4.5; b=4.5; G=9*10^9; h=0.2; k=5.5*10^7; v1=0.25; v2=0.0836; ro=340; E1=53.8*10^9; E2=18*10^9; w=0; detmt=1; tic; while detmt>0 Dx=E1*h^3/(12*(1-v1*v2)); Dy=E2*h^3/(12*(1-v1*v2)); D1=v1*Dy; Dxy=G*h^3/12 ; H=D1+2*Dxy; lamda=k-h*ro*w^2; %Lap cac ham anfa(m); beta(n); Amn; Bmn; Cmn anfa = zeros(m); beta=zeros(n); C=zeros(m,n); A=zeros(m,n); B=zeros(m,n);
  55. - 47 - for i=1:m for j=1:n anfa(i) = (i)*pi/a; beta(j) = (j)*pi/b; C(i,j)=2/(a*b*(Dx*anfa(i)^4 +2*H*anfa(i)^2*beta(j)^2+Dy*beta(j)^4+lamda)); A(i,j)=2*C(i,j)*(1+(-1)^i)*(Dx*anfa(i)^2+D1*beta(j)^2); B(i,j)=2*C(i,j)*(1+(-1)^j)*(D1*anfa(i)^2+ Dy*beta(j)^2); end end %Lap cac ham Aon la (Ao(i,j);Bon la Bo(i,j); anfa0 = zeros(m); beta0=zeros(n); C0=zeros(m+1,n+1);A0=zeros(m+1); B0=zeros(n+1); for i=1 for j=1:(n+1) anfa0(i) = (i-1)*pi/a; beta0(j) = (j)*pi/b; C0(i,j)=2/(a*b*(Dx*(anfa0(i))^4 +2*H*anfa0(i)^2*beta0(j)^2+Dy*beta0(j)^4+lamda)); A0(i,j)=2*C0(i,j)*(1+(-1)^(i-1))*(Dx*anfa0(i)^2+D1*beta0(j)^2); B0(i,j)=2*C0(i,j)*(1+(-1)^j)*(D1*anfa0(i)^2+ Dy*beta0(j)^2); end end %Lap cac ham Amo la (Amo(i,j);Bmo la Bmo(i,j); anfam0 = zeros(m); betam0=zeros(n); Cm0=zeros(m+1,n+1);Am0=zeros(m+1); Bm0=zeros(n+1); for i=1:(m+1) for j=1 anfam0(i) = (i)*pi/a; betam0(j) = (j-1)*pi/b;
  56. - 48 - Cm0(i,j)=2/(a*b*(Dx*anfam0(i)^4 +2*H*anfam0(i)^2*betam0(j)^2+Dy*betam0(j)^4+lamda)); Am0(i,j)=2*Cm0(i,j)*(1+(-1)^i)*(Dx*anfam0(i)^2+D1*betam0(j)^2); Bm0(i,j)=2*Cm0(i,j)*(1+(-1)^(j-1))*(D1*anfam0(i)^2+ Dy*betam0(j)^2); end end %Lap ma tran vuong m+n+2 matran=zeros(m+n+2,m+n+2); for i=1:m for j=i tg=zeros(m); tg(j)=0; for k=1:m tg(j)=tg(j)+anfa(k)^2*A(k,j); end matran(i+1,j+1)=(A0(1,j)*beta(j)^2*H)/2+ Dx*tg(j)+H*beta(j)^2*sum(A(:,j)); end end % Ma tran A tu cot thu n+3 for i=1:m for j=1:n matran(i+1,n+j+2)=(Dy*beta(i)^2+H*anfa(j)^2)*A(j,i); end end % Phan tu dau tien cua ma tran tg0=0; for i=1:m tg0=tg0+anfa(i)^2*Am0(i,1) ; end;
  57. - 49 - matran(1,1)=Dx*tg0; % Cot thu n+2 for j=1:n matran(j+1,n+2)=(Dy*beta(j)^2*A0(1,j))/2; end % Nua duoi cua matran (chua B(i,j)) % Ma tran B tu hang thu n+3 cot thu 2 for i=1:m for j=1:n matran(i+n+2,j+1)=(Dx*anfa(i)^2+H*beta(j)^2)*B(i,j); end end % Ma tran phan chua B tu (hang thu n+3 cot thu 1) den (hang m+n+2 cot 1) for i=1:m matran(i+m+2,1) = Dx*anfa(i)^2*Bm0(i,1)/2; end %Ma tran phan chua B tu (hang thu n+3 cot thu n+3) den (hang m+n+2 cot m+n+2) for i=1:m for j=i tg1=zeros(m); tg1(j)=0; for k=1:m tg1(j)=tg1(j)+ beta(k)^2*B(i,k); end matran(i+n+2,j+m+2)=H*anfa(i)^2*Bm0(i,1)/2+H*anfa(i)^2*sum(B(i,:))+Dy*t g1(j); end end % Phan tu (n+2,m+2) cua ma tran tg2=0;
  58. - 50 - for i=1:m tg2=tg2+ beta(i)^2*B0(1,i); end matran(m+2,n+2)=Dy*tg2; % w=w+1; detmt=det(matran); end disp('ma tran m+n+2 phan tu=') disp(matran); disp('Gia tri n=m=');disp(n) disp('De dinh thuc cua ma tran cap') disp(m+n+2) disp('trên = 0 thi Gia tri gan dung cua tan so vong omega w=') disp(w); disp('Khi do gia tri tuong ung cua tan so f là') disp(w/(2*pi)) toc; disp('Nhan phim "Enter" de thoat'); pause; PL2. Chương trình Matlab tính định thức cho tấm đẳng hướng clc disp(' Chuong trinh tinh omega w '); disp(' '); m = input('Nhap vao gia tri cua m=n= '); n=m; a=4.5; b=4.5; E=2.3*10^10; h=0.2; k1=5.5*10^7; v=0.18; ro=2500; w=0;
  59. - 51 - detmt=1; tic; while detmt>0 D=E*h^3/(12*(1-v^2)); K=k1/D; lamda=K-h*ro*w^2/D; %Lap cac ham anfa(m); beta(n); Amn, Bmn, Cmn anfa = zeros(m); beta=zeros(n); C=zeros(m,n); A=zeros(m,n); B=zeros(m,n); % % for i=1:m for j=1:n anfa(i) = (i)*pi/a; beta(j) = (j)*pi/b; C(i,j)=2*(anfa(i)^2+beta(j)^2)/(a*b*((anfa(i)^2+beta(j)^2)^2+lamda)); A(i,j)=2*C(i,j)*(1+(-1)^i)*(anfa(i)^2+v*beta(j)^2); B(i,j)=2*C(i,j)*(1+(-1)^j)*(v*anfa(i)^2+beta(j)^2); end end %Lap cac ham Aon la (Ao(i,j);Bon la Bo(i,j); anfa0 = zeros(m); beta0=zeros(n); C0=zeros(m+1,n+1);A0=zeros(m+1); B0=zeros(n+1); for i=1 for j=1:(n+1) anfa0(i) = (i-1)*pi/a; beta0(j) = (j)*pi/b; C0(i,j)=2*(anfa0(i)^2+beta0(j)^2)/(a*b*((anfa0(i)^2+beta0(j)^2)^2+lamda)); A0(i,j)=2*C0(i,j)*(1+(-1)^(i-1))*(anfa0(i)^2+v*beta0(j)^2); B0(i,j)=2*C0(i,j)*(1+(-1)^j)*(v*anfa0(i)^2+beta0(j)^2); end end %Lap cac ham Amo la (Amo(i,j);Bmo la Bmo(i,j); anfam0 = zeros(m); betam0=zeros(n); Cm0=zeros(m+1,n+1);Am0=zeros(m+1); Bm0=zeros(n+1); for i=1:(m+1) for j=1 anfam0(i) = (i)*pi/a; betam0(j) = (j-1)*pi/b; Cm0(i,j)=2*(anfam0(i)^2+betam0(j)^2)/(a*b*((anfam0(i)^2+betam0(j)^2)^2+la mda)); Am0(i,j)=2*Cm0(i,j)*(1+(-1)^(i))*(anfam0(i)^2+v*betam0(j)^2); Bm0(i,j)=2*Cm0(i,j)*(1+(-1)^(j-1))*(v*anfam0(i)^2+betam0(j)^2);
  60. - 52 - end end %Lap ma tran vuong m+n+2 matran=zeros(m+n+2,m+n+2); for i=1:m for j=i matran(i+1,j+1)=A0(1,j)/2+sum(A(:,j)); end end % Ma tran A tu cot thu n+3 for i=1:m for j=1:n matran(i+1,n+j+2)=A(j,i); end end % Phan tu dau tien cua ma tran matran(1,1)=sum(Am0(:,1)); % Cot thu n+2 for j=1:n matran(j+1,n+2)=A0(1,j)/2; end % Nua duoi cua matran (chua B(i,j)) % Ma tran B tu hang thu n+3 cot thu 2 for i=1:m for j=1:n matran(i+n+2,j+1)=B(i,j); end end % Ma tran phan chua B tu (hang thu n+3 cot thu 1) den (hang 2n+2 cot 1) for i=1:m matran(i+m+2,1)=Bm0(i,1)/2; end %Ma tran phan chua B tu (hang thu n+3 cot thu n+3) den (hang 2n+2 cot 2n+2) for i=1:m for j=i matran(i+n+2,j+m+2)=Bm0(i,1)/2+sum(B(i,:)); end end % Phan tu (n+2,m+2) cua ma tran matran(n+2,m+2)=sum(B0(1,:)); % w=w+1; detmt=det(matran); end
  61. - 53 - disp('ma tran m+n+2 phan tu=') disp(matran); disp('Gia tri n=m=');disp(n) disp('De dinh thuc cua ma tran cap'); disp(m+n+2) disp('phan tu tren =0 thi Gia tri gan dung omega w=') disp(w); disp('Khi do gia tri cua tan so f ='); disp(w/(2*pi)) toc; disp('Nhan phim "Enter" de thoat'); pause;
  62. - 54 -
  63. - 55 -
  64. - 56 -