›
›

Luận văn Mô hình toán học tiền tệ

pdf 61 trang phuongnguyen 2450
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Luận văn Mô hình toán học tiền tệ", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfluan_van_mo_hinh_toan_hoc_tien_te.pdf

Nội dung text: Luận văn Mô hình toán học tiền tệ

  1. Lời mở đầu Toán học tài chính ra đời hơn 100 năm nay nhưng đặc biệt phát triển trong khoảng ba, bốn thập kỷ nay và ngày càng tỏ ra hữu ích trong thực tiễn đời sống kinh tế của quốc gia và các cộng đồng kinh tế thế giới. Nó gắn liền với việc phân tích một cách khoa học những sự kiện tăng trưởng, rủi ro, lạm phát, khủng hoảng tài chính và bảo hiểm vốn là những vấn đề tài chính, thời sự nhất là trong cơn suy thoái nền kinh tế toàn cầu hiện nay. Mục đích của toán học tài chính là dùng các công cụ toán học để nghiên cứu về thị trường tài chính, giúp ta đưa ra các cách định giá các sản phẩm tài chính. Các thị trường tài chính quan trọng nhất là các thị trường cổ phiếu, thị trường trái phiếu, các thị trường hợp đồng quyền chọn, thị trường hợp đồng giao sau và thị trường tiền tệ trong đó thị trường tiền tệ là lớn nhất. Giá trị buôn bán trao đổi trong thị trường này trên toàn thế giới là hơn 300 tỷ USD mỗi ngày. Vì lý do quan trọng của thị trường tiền tệ nên đã có nhiều phương pháp toán tài chính định giá các hợp đồng về tiền tệ, tỷ giá hối đoái vì các hợp đồng quyền chọn tính theo nhiều chỉ tệ. Trong luận văn này chúng tôi tổng hợp một số phương pháp toán học để nghiên cứu thị trường tiền tệ. Luận văn gồm 3 chương: Chương I: Trình bày một số khái niệm cơ bản về toán tài chính. Chương II: Nêu các phương pháp toán trong hợp đồng ký kết trước; các quyền chọn ngoại tệ, Quyền chọn mua bán tiền tệ cặp đôi, mô hình lãi suất ngoại tệ. Chương III: Dành nghiên cứu một loại hợp đồng đặc biệt trong thị trường tiền tệ. Loại hợp đồng này có tên là hợp đồng chuyển đổi giá hay hợp đồng 1
  2. Quanto. Cuối cùng trong phần phụ lục, tôi nêu một số kiến thức cơ sở về lý thuyết xác suất như kỳ vọng toán có điều kiện, martingale và ứng dụng của martingale trong tài chính. Qua đây tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS. Trần Hùng Thao, người đã tận tình giảng giải và hướng dẫn tôi trong suốt quá trình làm luận văn này. Tôi xin cảm ơn các thầy cô trong khoa Toán-Cơ-Tin học trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên - ĐH Quốc Gia Hà Nội đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập, xin cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp của tôi đã động viên, giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu. Hà Nội, tháng 12 năm 2009 Phạm Thị Yến 2
  3. Mục lục 1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU 7 1.1 Thị trường tài chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 Cổ phiếu và các phái sinh tài chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Các hợp đồng quyền chọn mua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.2 Các điều kiện của hợp đồng quyền chọn mua . . . . . . . . 9 1.3.3 Lời hay lỗ vào lúc đáo hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.4 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4 Các hợp đồng Quyền Chọn Bán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4.2 Các điều kiện của hợp đồng Quyền Chọn Bán . . . . . . . 11 1.4.3 Lời hay lỗ vào lúc đáo hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.5 Định giá Quyền chọn, mô hình Black–Scholes . . . . . . . . . . . . 12 1.5.1 Giới thiệu mô hình và kết quả . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.5.2 Mô hình Blacks – Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.5.3 Công thức Black – Scholes về giá của hợp đồng quyền chọn mua 15 1.6 Lý thuyết về độ chênh lệch thị giá . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.6.1 Các khái niệm chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.6.2 Cơ hội có độ chênh lệch thị giá và nguyên lý AAO . . . . . 18 1.6.3 Nguyên lý đáp ứng và các khái niệm thị trường đầy đủ . . 19 1.6.4 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.6.5 Định giá bằng phương pháp độ chênh thị giá . . . . . . . 21 3
  4. 1.6.6 Xác suất rủi ro trung tính hay độ đo martingale . . . . . . 23 2 CÁC HỢP ĐỒNG VỀ TIỀN TỆ 25 2.1 Khái niệm về thị trường, cơ chế, lãi suất . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.1.1 Thị trường tiền tệ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.1.2 Cơ chế buôn bán ngoại tệ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.1.3 Khái niệm về lãi suất định trước và lãi suất giao ngay . . . 26 2.1.4 Khái niệm về đường hoa lợi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.1.5 Tính lãi suất định trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2 Sự trao đổi ngoại tệ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2.1 Các hợp đồng ký kết trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2.2 Mô hình tiền tệ Black-Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2.3 Quan điểm của các nhà đầu tư đồng đô la . . . . . . . . . 30 2.2.4 Ba bước của quá trình đáp ứng (trao đổi ngoại tệ) . . . . . 30 2.2.5 Những chứng khoán có thể buôn bán được . . . . . . . . . 31 2.2.6 Giá thị trường tổng quát của rủi ro . . . . . . . . . . . . . 33 2.3 Hợp đồng ký kết trước về tiền tệ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.3.1 Hợp đồng ký kết trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.3.2 Các điều kiện của hợp đồng ký kết trước . . . . . . . . . . 34 2.3.3 Mối liên hệ giữa giá định trước và giá hiện tại . . . . . . . 34 2.3.4 Tính giá định trước trao đổi ngoại tệ . . . . . . . . . . . . 35 2.4 Các quyền chọn ngoại tệ, công thức Garman-Kohlhagen . . . . . . 36 2.4.1 Đặt vấn đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.4.2 Ta sử dụng các ký hiệu sau . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.4.3 Ta sử dụng các giả thiết sau . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.4.4 Thiết lập các phương trình giá quyền chọn . . . . . . . . . 38 2.4.5 Các điều kiện biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.4.6 Công thức Garman-Kohlhagen . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.5 Quyền chọn mua bán tiền tệ cặp đôi . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.5.1 Lý do phải có sự phối hợp giữa hợp đồng quyền chọn bán và hợp đồng quyền chọn mua . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 4
  5. 2.5.2 Tình huống . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.5.3 Phân tích tình huống . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.5.4 Công thức cặp đôi mua bán . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.5.5 Công thức Black-Scholes cho quyền chọn bán châu Âu . . 42 2.6 Quyền chọn mua châu Âu nhị phân (hay số hóa) . . . . . . . . . . 43 2.7 Tỷ giá hối đoái . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.7.1 Tỷ giá hối đoái đảm bảo (GER: Guarauteed Exchange Rates) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.7.2 Định giá hợp đồng ký kết trước về tỷ giá hối đoái đảm bảo viết trên một cổ phiếu (GER Forward on a Stock) . . 46 2.8 Mô hình lãi suất ngoại tệ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3 CÁC HỢP ĐỒNG CHUYỂN ĐỔI GIÁ (QUANTO) TRONG THỊ TRƯỜNG TIỀN TỆ 53 3.1 Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.2 Mô hình hợp đồng chuyển đổi giá (quanto) . . . . . . . . . . . . . 54 3.3 Các sản phẩm tài chính buôn bán được . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.4 Hợp đồng ký kết trước Quanto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.5 Hợp đồng nhị phân (số hóa) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.6 Bảo hộ trái phiếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.6.1 Tình huống và biện pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.6.2 Bảo hộ giá bằng các “ Bảo đảm lãi suất bị chặn” . . . . . . 59 3.6.3 Bảo hộ giá bằng biện pháp “ Mua bán cổ phần cặp đôi” . 60 3.6.4 Bảo hộ giá bằng hợp đồng quyền chọn . . . . . . . . . . . . 60 3.6.5 Bảo hộ tương quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.6.6 Định nghĩa và lựa chọn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.6.7 Vấn đề bảo hộ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Tài liệu tham khảo 71 5
  6. Chương 1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU Trong chương này chúng tôi nêu ra một số khái niệm cơ bản, cần thiết để nghiên cứu các thị trường tiền tệ như: hợp đồng quyền chọn, hợp đồng ký kết trước, hợp đồng giao sau và lý thuyết về độ lệch chênh thị giá. 1.1 Thị trường tài chính Hầu như ai cũng nghe nói tới các trung tâm giao dịch chứng khoán New York, London và Tokyo. Các báo cáo về hoạt động buôn bán tại các thị trường này thường xuất hiện trên trang nhất của các tờ báo hàng ngày và trên các bản tin thời sự buổi tối tại các quốc gia có nền kinh tế thị trường. Có rất nhiều thị trường tài chính trước nữa. Mỗi thị trường đều có một đặc trưng xác định bởi loại hàng hóa tài chính được mang ra trao đổi. Các thị trường tài chính quan trọng nhất là các thị trường cổ phiếu (stock market), các thị trường trái phiếu (bond market), các thị trường tiền tệ (currency market), các thị trường hợp đồng sau và hợp đồng quyền chọn (future and option market). Hàng hóa mua bán có thể là một tài sản cơ sở (basic equity) như: một cổ phiếu, một trái phiếu, một đơn vị tiền tệ. Tài sản cơ sở cũng được gọi là tài sản 6
  7. nguyên khởi (Primitve equity) hay tài sản nền tảng (underlyring equity) còn lại các loại hàng hóa khác gọi là phái sinh tài chính (financial derivative) hay tài sản phụ thuộc (contigent asset; contigent claim) tức là hàng hóa mà giá trị của nó rút ra được từ giá trị của các tài sản cơ sở. Phái sinh tài chính là đối tượng nghiên cứu chính của Toán học tài chính. 1.2 Cổ phiếu và các phái sinh tài chính Một công ty cần có tiền có thể bán các cổ phiếu của họ cho các nhà đầu tư. Những người này sở hữu cổ phần hoặc những chứng từ tài sản và có thể nhận được cổ tức hoặc không, phục thuộc vào công ty đó làm ăn có lãi hay không và có quyết định chia lãi cho cổ đông hay không. Giá của cổ phiếu công ty là gì? Giá trị đó phản ánh cách nhìn và dự đoán của nhà đầu tư về các chi trả cổ tức, về khoản kiếm được trong tương lai và nguồn vốn mà công ty đó sẽ kiểm soát. Việc kiểm soát những điều không chắc chắn ấy được giải quyết trong từng ngày giao dịch bởi người mua và người bán các cổ phiếu trong các thị trường chứng khoán. Cho một chứng khoán, tức là một loại cổ phiếu hoặc trái phiếu. Khi đó một phái sinh chứng khoán là một hợp đồng đặc biệt mà giá của nó vào một ngày nào đó trong tương lại phụ thuộc hoàn toàn vào giá trị trương lai của chứng khoán đó. 1.3 Các hợp đồng quyền chọn mua 1.3.1 Định nghĩa Người ta có thể mua "một cơ hội mua một cổ phần chứng khoán trong tương lai với một giá đảm bảo trước". Cái quyền cho phép có thể mua như vậy trong tương lai được gọi là Quyền Chọn Mua. 7
  8. 1.3.2 Các điều kiện của hợp đồng quyền chọn mua ∙ Đến ngày đáo hạn, người giữ hợp đồng (người mua) có thể trả cho người viết hợp đồng (người bán) số tiền bằng giá thực thi của hợp đồng. ∙ Nếu người viết hợp đồng nhận số tiền giá thực thi do người giữ trả, thì người viết phải giao một cổ phần chứng khoán cho người giữ vào ngày đáo hạn. 1.3.3 Lời hay lỗ vào lúc đáo hạn Gần như lúc nào cũng vậy, hợp đồng sẽ được đặt sao cho người viết trả cho người giữ khoản chênh lệch giữa giá cổ phiếu và giá thực thi giá cổ phiếu và giá thực thi. Điều đó cho phép ta mô tả khoản chi trả có thể theo giá ST của cổ phiếu và giá thực thi X vào ngày đáo hạn. Ta có thể nói: Số tiền chi trả = max {ST − X, 0} + = (ST − X) 1.3.4 Ví dụ Một hợp đồng quyền chọn mua 100 cổ phần X sẽ cho người mua hợp đồng này cái quyền mua 100 cổ phiếu với giá 100 đôla/1cổ phần bất cứ lúc nào trong 3 tháng tới. Người mua phải trả phí mua quyền chọn là 2 đô la/1cổ phần. Nếu giá chứng khoán tăng 120 đô la/1cổ phần trong 3 tháng người mua hợp đồng có thể thực hiện hợp đồng là mua 100 cổ phần với giá 100 đô la/1cổ phần( người bán hợp đồng quyền chọn trước đây phải bán 100 cổ phần với giá là 100 đô la/1cổ phần) sau đó đem bán ra thị trường với giá 120 đôla/cổ phần. Như vậy người mua sẽ kiếm được một khoản lợi nhuận (sau khi đã trả phí mua quyền chọn) là. (120x100) – (100x100) – (100x2) = 1800 đô la. Ngược lại nếu giá chứng khoán X trên thị trường sụt giá dưới 100 đô la và đứng yên trong đó 3 tháng thì người mua sẽ không thực hiện được hợp đồng(vì 8
  9. không có lãi mà lại bị lỗ) thì người mua phải mất 200 đô la phí mua quyền chọn. Người giữ hợp đồng quyền chọn mua có một quyền chọn đầu tư nếu người này không muốn có một cổ phần thì người đó sẽ tránh không trả khoản giá thực thi của hợp đồng điều này xảy ra nếu giá cổ phiếu vào ngày đáo hạn thấp hơn giá thực thi. Nếu người giữ hợp đồng thấy giá cổ phiếu vào ngày đáo hạn cao hơn giá thực thi thì người đó sẽ trả giá thực thi của hợp đồng và có được một cổ phần có giá trị (quyền chọn được thực thi). 1.4 Các hợp đồng Quyền Chọn Bán 1.4.1 Định nghĩa Người ta có thể "mua một cơ hội được phép bán một cổ phần chứng khoán trong tương lai với một giá đảm bảo", ngay cả khi mà người ta không sở hữu bất kỳ một cổ phiếu nào cả. Đó là nội dung các hợp đồng Quyền Chọn Bán hay gọi tắt là Quyền Chọn Bán. 1.4.2 Các điều kiện của hợp đồng Quyền Chọn Bán ∙ Đến ngày đáo hạn, người giữ hợp đồng này có thể đưa cho người viết hợp đồng một cổ phần chứng khoán, hoặc tương đương, một số tiền theo giá thị trường lúc ấy của một cổ phần chứng khoán. ∙ Nếu người viết hợp đồng nhận cổ phần chứng khoán hoặc số tiền tương đương do người giữ hợp đồng giao cho thì anh ta phải trả chi phí thực thi cho người giữ hợp đồng vào ngày đáo hạn của hợp đồng. 1.4.3 Lời hay lỗ vào lúc đáo hạn Thông thường thì với hợp đồng Quyền Chọn Bán này thì hoặc là hợp đồng không được thực thi, hoặc là người viết hợp đồng sẽ trả cho người giữ hợp đồng một khoản chênh lệch giữa giá thực thi và giá chứng khoán vào lúc đáo hạn. 9
  10. Ký hiệu giá chứng khoán lúc đáo hạn là ST còn giá thực thi là X thì ta có thể nói rằng thu hoạch của người giữ quyền chọn bán này là: Thu hoạch quyền chọn bán = max {X − ST ; 0} + = (X − ST ) quyền chọn bán có hạn chế là chỉ được thực thi vào lúc đáo hạn. 1.5 Định giá Quyền chọn, mô hình Black–Scholes 1.5.1 Giới thiệu mô hình và kết quả Năm 1973, trong một tạp chí về kinh tế chính trị, hai nhà kinh tế kiêm toán học Mỹ là Fisher Black và Myron Scholes đã công bố một bài báo quan trọng về định giá Quyền Chọn. Từ đó ra đời Mô hình Blacks – Scholes để định giá tài sản không rủi ro trong một thị trường với thời gian liên tục. Ngay lập tức, mô hình đó cùng với công thức Blacks – Scholes nổi tiếng rút ra từ mô hình đó đã có một tác động có tính chất cách mạng đến các thị trường chứng khoán Mỹ lúc đó. Người ta thấy rõ sự đơn giản mà rất hiệu quả của mô hình này để định giá chứng khoán và định giá hợp đồng Quyền Chọn có kể đến các yếu tố ngẫu nhiên tác động lên thị trường. Năm 1996, Scholes đã nhận được giải thưởng Nobel về kinh tế học nhờ các công trình về tài chính với sự cộng tác của R.C. Merton, một chuyên gia lão luyện về Tài chính tại Viện Công nghệ Massachusetts Gọi S = St là giá cổ phiếu tại thời điểm t. Vì giá cổ phiếu chịu nhiều tác động ngẫu nhiên của thị trường, nên ta coi St là một quá trình ngẫu nhiên với thời gian liên tục St = S(t, !). 1.5.2 Mô hình Blacks – Scholes Mô hình Blacks – Scholes được mô tả bởi phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính như sau: dSt = ¾¹Stdt + ¾StdBt (1.1) 10
  11. trong đó ¹, ¾ là những hằng số, còn Bt là chuyển động Brown lời giải của phương trình này là một quá trình ngẫu nhiên St = S(t, !) hơn nữa lời giải này là một chuyển động Brown hình học · µ ¶ ¸ ¾2 S = S . exp ¾B + ¹ − t (1.2) t 0 t 2 Giả sử có một thị trường: ∙ Hoạt động liên tục ∙ Có lãi suất không đổi ∙ Không chia lợi tức cho cổ đông trước khi đáo hạn ∙ Không có phí giao dịch ∙ Không trao đổi chứng khoán Và ký hiệu: ∙ St: là giá cổ phiếu tại thời điểm t (là một quá trình ngẫu nhiên liên tục vì chịu nhiều tác động ngẫu nhiên của thị trường). ∙ dSt: là lượng giá cổ phiếu thay đổi trong khoảng thời gian [t; t + dt]. dS ∙ ¹: là hằng số (biểu thị độ thay đổi tương đối về giá t tỷ lệ với độ dài thời St gian dt) ∙ ¾: là hằng số và được gọi là độ biến động của giá cổ phiếu St (vì ¾ càng lớn thì tác động ngẫu nhiên càng lớn). ∙ Bt: là chuyển động Brown (quá trình Wiener) S0 là giá cổ phiếu được quan sát tại thời điểm t = 0. Nhận xét: Trong chuyển động Brown hình học (1.2) thì ¹ và ¾ đã biết, vì vậy ta xác định được St, nhưng trong thực tế thì ¹ và ¾ thường là chưa biết mà người ta phải xác định nó bằng phương pháp thống kê, ước lượng, quan sát như sau. 11
  12. Giả sử ta ghi nhận được một số liệu về giá cổ phiếu trong một khoảng thời gian [0,T ]. Ta chia [0,T ] thành n khoảng bằng nhau, có độ dài Δti = ti − ti−1 với i = 0, 1, , n. Giả sử ta biết giá chứng khoán tại điểm cuối ti của mỗi khoảng nhỏ [ti−1, ti]. Như vậy ta có n + 1 quan sát S1,S2, , Sn+1. Đặt Ui = ln(Si + 1) − ln(Si) với i = 1, 2, , n. Kết hợp với (1.2) ta được µ ¶ ¾2 U = ¾ (B − B ) + ¹ − Δ (1.3) i ti+1 ti 2 t Trong đó (Bti+1 − Bti ) là một biến ngẫu nhiên chuẩn có kì vọng 0 và phương sai Δt, hơn nữa, các biến ngẫu nhiên (Bti+1 − Bti ) là các biến ngẫu nhiên độc lập với i = 0, 1, , n. Theo công thức thống kê thì trung bình mẫu U và phương sai mẫu 2 S của dãy số liệu U1,U2, , Un được tính bởi công thức: ⎧  1 Pn ⎨U = Ui n i=1 Pn ¡ ¢  2 1 2 ⎩S = Ui − U n − 1 i=1 Đây là những ước lượng trung bình và phương sai lý thuyết của biến ngẫu nhiên U0. Nếu căn cứ vào (1.3) thì phương trình phương sai của U là: µ ¶ ¾2 U = ¹ − Δ (1.4) 2 t 2 2 S = ¾ Δt (1.5) Giải hệ phương trình (1.4) và (1.5) ta có: ⎧  U + 1 S2 ⎨¹ = 2 Δt  S ⎩¾ = Δt 1.5.3 Công thức Black – Scholes về giá của hợp đồng quyền chọn mua −r(T −t) V = StN(d1) − X.e N(d2) (1.6) 12
  13. Trong đó (1.6) là công thức Black – Scholes để xác định giá V của một quyền chọn mua kiểu châu Âu tại thời điểm hiện tại t, trên cơ sở giá cổ phiếu St tuân theo mô hình Black – Scholes . Trong đó X là giá thực thi của quyền chọn mua kiểu châu Âu (tại thời điểm T ); T là thời điểm đáo hạn; r là lãi suất không rủi ro r = ¹; St là giá cổ phiếu tại thời điểm t ∈ [0,T ]; N ký hiệu cho hàm phân phối N(0, 1) Z x 2 1 − u N(x) = e 2 du (1.7) 2¼ −∞ d1, d2 là hai giá trị được xác định bởi: · µ ¶ ¸ 2 1 St ¾ d1 = √ ln + r + (T − t) ¾ T − t X 2 √ d2 = d1 − ¾ T − t Nhận xét: * Nếu chọn thời điểm hiện tại làm thời điểm gốc t = 0 thì công thức Black – Scholes trở thành −rT ) V = StN(d1) − X.e N(d2) với · µ ¶ ¸ 2 1 S0 ¾ d1 = √ ln + r + T ¾ T − t X 2 √ d2 = d1 − ¾ T − t Z x 2 1 − u N(x) = e 2 du 2¼ −∞ * Nếu kí hiệu thời điểm đáo hạn là T ; thời điểm ban đầu là t thì chứng khoán ban đầu sẽ là St, còn khoảng thời gian từ lúc ban đầu đến lúc đáo hạn sẽ là T − t, lúc này công thức Black – Scholes sẽ viết là : −r(T −t) V = StN(d1) − X.e N(d2) Đây là công thức Black – Scholes với : · µ ¶ ¸ 2 St ¾ 1 d1 = ln + r + (T − t) √ X 2 ¾ T − t √ d2 = d1 − ¾ T − t với X là giá thực thi của Quyền Chọn Mua 13
  14. 1.6 Lý thuyết về độ chênh lệch thị giá 1.6.1 Các khái niệm chung 1.6.1.1 Phương án đầu tư (portfolio) Một phương án đầu tư là một tổ hợp của một số hữu hạn các chứng khoán với các trọng số nào đấy. Giả sử có n chứng khoán với giá tại thời điểm t là: S1(t), , Sn(t). Một phương án đầu tư là một cách chọn ra ®1(t) chứng khoán S1, , ®n(t) chứng khoán Sn tại mỗi thời điểm t để đầu tư. Vậy giá trị của phương án ấy tại thời điểm t, ký hiệu bởi V ®(t) được xác định bởi. Xn ® V (t) = ®1(t)S1(t) + + ®n(t)Sn(t) = ®i(t)Si(t) (1.8) i=1 Vì các chứng khoán S1(t), , Sn(t) là các quá trình ngẫu nhiên nên giá của phương án đầu tư cũng là một quá trình ngẫu nhiên. Các ®i(t) ở đây là các hàm số tất định của t. Một phương án đầu tư có thể ký hiệu là (®, S) hay Á = (®, S). 1.6.1.2 Phương án mua và bán Một phương án đầu tư (®, S) được gọi là phương án bán đối với chứng khoán Si (i = 1, , n) tại thời điểm t nếu ®i(t) > 0 và được gọi là phương án mua đối với chứng khoán ấy nếu ®i(t) < 0. Giá của chứng khoán Si tại thời điểm t được ký hiệu là Si(t) 1.6.1.3 Thị trường không có độ chênh lệch thị giá Ta nói rằng thị trường ℳ = (S, Φ) là một thị trường không có cơ hội chênh lệch thị giá, nếu không tồn tại một phương án đầu tư tự tài trợ nào trong Φ mà có độ chênh lệch thị giá. Giả thiết "không có độ chênh lệch thị giá" gọi là nguyên lý AAO (Absence of Arbitrage Opportunity) 14
  15. 1.6.1.4 Cân đối và tự tài trợ (a) Tại một thời điểm t, phương án đầu tư có thể được cân đối lại tức là điều chỉnh lại việc mua và bán chứng khoán Si (i = 1, n). Điều đó cũng có nghĩa là thay đổi các trọng số của chúng từ ®1(t), , ®n(t) sang ¯1(t), , ¯n(t). (b) Nếu sau sự cân đối lại đó mà giá của phương án đầu tư không thay đổi, tức là: ¯1(t)S1(t) + + ¯n(t)Sn(t) = ®1(t)S1(t) + + ®n(t)Sn(t) thì ta gọi sự cân đối đó là cân đối tự tài trợ. Nhận xét: Một phương án đầu tư (®, S) là một phương án tự tài trợ nếu n ® P và chỉ nếu dV (t) = ®i(t)dSi(t) i=1 1.6.1.5 Độ chênh thị giá Một phương án đầu tư tự tài trợ Á ∈ Φ được gọi là một cơ hội chênh lệch thị giá nếu quá trình Vt(Á) của phương án đầu tư thỏa mãn các điều kiện. (i) P {V0(Á) = 0} = 1 (ii) P {VT (Á) ≥ 0} = 1, T là thời điểm đáo hạn của hợp đồng. (iii) P {VT (Á) > 0} > 0 Điều kiện (i) nói lên rằng hầu chắc chắn tại thời điểm bán đi vốn đầu tư là bằng không, điều kiện (ii) có nghĩa là hầu chắc chắn đến lúc kết thúc hợp đồng, phương án đầu tư có lợi nhuận ≥ 0; điều kiện (iii) nói rằng có khả năng kiếm lời thực sự tại thời điểm kết thúc hợp đồng. Cả ba điều kiện có nghĩa là phương án Á là một phương án tay không mà kiếm được lợi nhuận. 1.6.2 Cơ hội có độ chênh lệch thị giá và nguyên lý AAO 1.6.2.1 Cơ hội có độ chênh lệch thị giá Xét một mô hình thị trường ℳ gồm các chứng khoán S và một họ các phương án đầu tư tự tài trợ Φ = {Á = (®, S)} 15
  16. Ta ký hiệu ℳ = (S, Φ) Các giá chứng khoán St trong S được xem là các quá trình ngẫu nhiên xem xét trong một không gian xác suất được lọc (Ω, ℱ, (ℱt),P ) với (ℱt) là một họ tăng các ¾−trường con của ℱ và thỏa mãn các điều kiện thông thường (tức là một họ tăng theo t, liên tục phải và chứa mọi tập ℱ-đo được và P -bỏ qua được, đồng thời ℱ = {Ω,Á} (theo định nghĩa). Họ (ℱt) chính là luồng thông tin về thị trường, nó ghi nhận mọi biến cố xảy ra trên thị trường. 1.6.2.2 Tài sản phái sinh kiểu Châu Âu Gọi X là biến ngẫu nhiên bất kỳ ℱ−đo được. Một hợp đồng tài chính chỉ thực thi tại thời điểm đáo hạn T với giá trị là XT được gọi là một tài sản phái sinh kiểu Châu Âu và được ký hiệu là X. Tài sản phái sinh Châu Âu cũng được gọi là một quyền tài chính Châu Âu. Nếu không nói gì thêm từ nay ta gọi tắt một phái sinh hay một quyền. 1.6.3 Nguyên lý đáp ứng và các khái niệm thị trường đầy đủ 1.6.3.1 Định nghĩa chiến lược đáp ứng Chiến lược đáp ứng đối với một phái sinh có giá trị đáo hạn XT tại thời điểm đáo hạn T là một phương án đầu tư tự tài trợ sao cho VT (Á) = XT tức là sao cho giá trị lúc đáo hạn của phương án đầu tư ấy bằng đúng với giá trị tự đáo hạn XT đã xác định trước và đã ghi trong hợp đồng. Quá trình Vt(Á) của phương án đấy được gọi là quá trình đáp ứng. Ký hiệu ΦX là lớp tất cả các phương án đầu tư Á đáp ứng cho phái sinh X. 1.6.3.2 Định nghĩa phái sinh đạt được Một tài sản phái sinh X được gọi là đạt được trong thị trường ℳ nếu nó có ít nhất một phương án đáp ứng cho nó. 16
  17. Tức là Φ =∕ ∅ 1.6.3.3 Định nghĩa thị trường đầy đủ Một thị trường ℳ được gọi là đầy đủ nếu mọi tài sản phái sinh X đều đạt được trong ℳ, hay nói một cách tương đương, nếu với mọi biến ngẫu nhiên X đo được đối với ℱT thì tồn tại ít nhất một phương án đầu tư Á ∈ Φ sao cho VT (Á) = XT Nói chung tính đầy đủ là một đòi hỏi khá cao trong thị trường. Với đòi hỏi này thì mọi tài sản phái sinh kiểu Châu Âu đều có thể định giá bằng phương pháp độ chênh lệch thị giá và quá trình giá có thể xây dựng tương tự như phương án tự tài trợ. 1.6.4 Ví dụ Xét một hợp đồng cho phép người giữ hợp đồng có quyền mua 1 số cổ phiếu tại thời điểm T với giá thị trường S(T ) còn giá của hợp đồng này tại thời điểm t = 0 là C(0) ∙ Nếu C(0) > S(0) ta có thể bán hợp đồng với giá C(0) và mua cổ phiếu với giá S(0). Hiệu C(0) − S(0) có thể đem đầu tư vào một ngân hàng không rủi ro với lãi suất r. Vào thời điểm T , ta tung cổ phiếu ra và thu được lợi nhuận là (C(0) − S(0)).erT ∙ Nếu C(0) < S(0) ta mua hợp đồng với giá C(0) và bán cổ phiếu với giá S(0). Hiệu S(0) − C(0) đem đầu tư vào ngân hàng không rủi ro. Tại thời điểm T lợi nhuận là (S(0) − C(0)).erT ∙ Nếu C(0) = S(0) thì không có lợi nhuận do sự chênh lệch thị giá. ¹t+¾B(t) Nếu S(t) là một chuyển động Brown hình học S(t) = S0.e (¹+ 1 ¾2).T thì E.S(t) = S(0).e 2 17
  18. 1.6.5 Định giá bằng phương pháp độ chênh thị giá 1.6.5.1 Quan hệ giữa nguyên lý AAO và nguyên lý đáp ứng Giả thiết rằng X là một phái sinh thực thi tại thời điểm đáo hạn T . Định nghĩa: Ta nói rằng phái sinh X được đáp ứng một cách duy nhất trong thị trường ℳ nếu tồn tại một quá trình đáp ứng duy nhất đối với X. tức là nếu có hệ thức: Vt(Á) = Vt() ∀t ≤ T với hai phương án đầu tư bất kỳ Á và thuộc về ΦX . Định lý sau đây nói lên sự tương quan giữa nguyên lý không có độ chênh thị giá (AAO) và nguyên lý đáp ứng. Định lý: Giả sử ℳ là một thị trường không có độ chênh thị giá. Khi đó mọi tài sản phái sinh đạt được X đều được đáp ứng duy nhất trong thị trường ℳ. 1.6.5.2 Ý tưởng chính của việc định giá bằng phương pháp độ chênh thị giá Gọi là định giá bằng phương pháp độ chênh thị giá nhưng thực chất là dựa vào nguyên lý AAO và nguyên lý đáp ứng để tính ra giá của một tài sản phái sinh tại một thời điểm t trước lúc đáo hạn T , đặc biệt là tính ra được giá ban đầu V0 của phương án cần đầu tư để đạt được giá trị đáo hạn X đặt ra trước của hợp đồng. Công cụ để thực hiện phương pháp này là một độ đo xác suất mới mà ta sẽ gọi là xác suất rủi ro trung tính hay độ đo martingale. Vì thế phương pháp này cũng được gọi là phương pháp rủi ro trung tính. Giả sử Vt là giá của một phương án đầu tư tại thời điểm t nhằm thực hiện một hợp đồng phái sinh có giá trị đáo hạn là X đó là một quá trình ngẫu nhiên xét trên một không gian được lọc (Ω, ℱ, (ℱt) , 0 ≤ t ≤ T,P ), trong đó (ℱt) là luồng thông tin về thị trường với ℱ0 = {Ω, ∅} và P là xác suất ban đầu. Nói chung dưới độ đo ban đầu P thì (Vt) không phải là một martingale đối với ℱt. Người ta đi tìm một độ đo xác suất Q mới và một hệ số tất định k(t) sao cho: 18
  19. (a) Q tương đương với độ đo xác suất P (b) Dưới độ đo Q thì quá trình Vet = k(t).Vt là một martingale đối với luồng thông tin thị trường ℱt, tức là EQ(Vet∣ℱs) = Ves với mọi s ≤ t Đặc biệt nếu s = 0 và t = T thì hệ thức trên cho ta: EQ(Vet∣ℱ0 = Ve0 nhưng vì ℱ0 = {Ω, ∅} nên EQ(.∣ℱ0) = EQ (.), tức là kỳ vọng có điều kiện ℱ0 cũng như không có điều kiện. Vậy ta có: EQ(VeT ) = Ve0 hay EQ(k(T )VT ) = k(0)V0 Vì k(t) là một hàm tất định nên ta rút ra k(T ) V = .E (V ) 0 k(0) Q T Vì giả thiết có nguyên lý AAO nên tồn tại một phương án đáp ứng Á với giá Vt = Vt(Á) sao cho VT = XT . Cuối cùng ta có k(T ) V = E (X ) 0 k(0) Q T Hệ thức này cho ta biết cần đầu tư vốn ban đầu bằng V0 như trên để đạt được giá trị của hợp đồng bằng XT như mong muốn. Ngoài ra, ta cũng biết được giá của hợp đồng phái sinh tại một thời điểm t bất kỳ k(T ) V = E (X ) t k(t) Q T 1.6.6 Xác suất rủi ro trung tính hay độ đo martingale Xét một tài sản phái sinh kiểu châu Âu X có giá trị đáo hạn là XT , được viết trên tài sản cơ sở S S = (St, 0 ≤≤ T ) 19
  20. có thời gian đáo hạn là T . Giả thiết rằng S là một chiều (ví dụ như là một cổ phiếu), các giá của S đều là một quá trình ngẫu nhiên trên một không gian xác suất được lọc (Ω, ℱ, (ℱt),P ) trong đó ℱt là bộ lọc mang thông tin về thị trường. 1 Giả sử hệ số chiết khấu là k(t) = trong đó ¯(t) cũng là một quá trình ¯(t) ngẫu nhiên xác định trên không gian xác suất được lọc nói trên. Thông thường ta hay chọn ¯(t) = er(T −t), do đó hệ số chiết khấu là e−r(T −t); nếu lãi suất không có rủi ro thì r là tất định và hệ số chiết khấu là tất định. 1.6.6.1 Định nghĩa Một độ đo xác suất Q trên (Ω, ℱ) sẽ được gọi là xác suất rủi ro trung tính nếu: (i) Q tương đương với P (ii) Hầu chắc chắn có · ¸ S S E t ∣ℱ = s với mọi 0 ≤ s ≤ t ≤ T Q ¯(t) s ¯(s) 1.6.6.2 Chú ý ∙ Tính chất (ii) là một tính chất martingale của quá trình giá chiết khấu. Do đó xác suất Q được gọi là độ đo martingale. ∙ Giả sử Q là một độ đo martingale. Gọi Vt là quá trình giá của một chiến lược đầu tư tự tài trợ xây dựng trên tài sản cơ sở S. Người ta đã chứng minh được rằng khi đó quá trình giá chiếu khấu V Ve = t t ¯(t) cũng là một martingale đối với (Q, ℱt) ∙ Người ta đã chứng minh được kết quả quan trọng được gọi là định lý cơ bản để định giá tài sản: Một thị trường là không có độ chênh thị giá (AAO) nếu và chỉ nếu tồn tại một xác suất rủi ro trung tính Q (hay độ đo martingale Q) 20
  21. Chương 2 CÁC HỢP ĐỒNG VỀ TIỀN TỆ Trong chương này chúng tôi trình bày các loại hợp đồng quan trọng trong thị trường tiền tệ là hợp đồng ký kết trước, hợp đồng quyền chọn ngoại tệ, quyền chọn mua bán tiền tệ cặp đôi sau khi giới thiệu các cơ chế buôn bán tiền tệ và lãi suất định trước. 2.1 Khái niệm về thị trường, cơ chế, lãi suất 2.1.1 Thị trường tiền tệ Thị trường tiền tệ hay thị trường buôn bán ngoại tệ là nơi diễn ra các giao dịch, trao đổi, mua bán một số mặt hàng nhất định. Thị trường tiền tệ là thị trường lớn nhất trong các thị trường tài chính. Hiện nay các trung tâm buôn bán ngoại tệ hàng đầu thế giới phải kể đến như: trung tâm buôn bán ngoại tệ Luân Đôn, New York, Tokyo, Thị trường tiền tệ nước ngoài hay thị trường tiền gửi là nơi diễn ra các hoạt động cho vay, và vay bằng ngoại tệ với những thời hạn xác định kèm theo một khoản tiền lời thể hiện qua lãi suất (giá của tiền). Các mức lãi suất này xác định chi phí hay mức thu nhập có liên quan đến việc sẽ sử dụng tiền trong một thời 21
  22. gian nhất định. Thị trường tiền tệ trong nước là nơi giao dịch các nguồn vốn bằng đồng bản tệ và hoạt động theo các quy định của quản lý thị trường trong nước. Khi có một giao dịch được thực hiện bằng bất cứ đồng tiền nào vượt ra ngoài quy định quản lý thị trường trong nước đối với đồng tiền này khi đó xuất hiện đồng tiền nước ngoài. 2.1.2 Cơ chế buôn bán ngoại tệ Người ta dùng 2 công thức định giá sau đây trong giao dịch trao đổi ngoại tệ đó là công ước Mỹ và công ước Châu Âu. a. Công ước Mỹ: Sự trao đổi ngoại tệ thể hiện theo công thức Số đơn vị tiền trong nước = 1 đơn vị ngoại tệ b. Công ước Châu Âu: Sự trao đổi ngoại tệ thể hiện theo công thức Số đơn vị ngoại tệ = 1 đơn vị nội tệ 2.1.3 Khái niệm về lãi suất định trước và lãi suất giao ngay * Lãi suất định trước: Giả sử thời điểm hiện tại t = 0, ta định trước lãi suất tại thời điểm t > 0 trong thời điểm hiện tại t = 0 được gọi là lãi suất định trước. * Lãi suất giao ngay: (còn được gọi là lãi suất tại chỗ) là lãi suất được tính cho một công cụ tài chính hay lãi suất thanh toán trong giao dịch tài chính. Lãi suất giao ngay phản ánh lãi suất thị trường trong khoảng 2 ngày từ thời điểm buôn bán. 2.1.4 Khái niệm về đường hoa lợi Hoa lợi (yeild), kí hiệu là Y (T ) , chỉ lãi suất tính theo năm mà ta phải trả hôm nay cho một trái phiếu đáo hạn trong vòng T năm nữa. Đó là lãi suất trung bình hàng năm cho thời kì [0,T ]. Với những trái phiếu không phải trả lãi trước 22
  23. ngày đáo hạn thì hoa lợi được tính theo tỉ lệ giữa giá hiện tại và giá lúc đáo hạn của trái phiếu. Nếu kí hiệu tỉ lệ đó là P (0,T ) thì P (0,T ) = e−T.Y (T ) nếu đặt T = n là số năm đến lúc đáo hạn thì ta có thể viết lại công thức trên dưới dạng gần đúng sau: P (0, n) = [1 + Y (n)]˘n đường hoa lợi biểu thị lãi suất hiện tại hoặc chi phí về tiền vay do thị trường xác lập nên. Người môi giới hoặc người buôn bán trái phiếu muốn mua hoặc bán với giá đó cộng thêm với một chút chi phí bao tiêu (spread). Suốt cả ngày họ chỉ lo điều chỉnh giá lên hoặc xuống, đáp ứng với những điều kiện kinh tế thay đổi. Giá cả đó một phần phụ thuộc vào viêc cung và cầu về tiền tệ hàng ngày, và cũng phụ thuộc vào dự đoán của người buôn bán về triển vọng tương lai của các trái phiếu. Nếu người đó đánh giá đúng thị trường thì hãng của anh ta sẽ có lãi nhiều, nếu đánh giá nhầm thì sẽ bị thua lỗ nặng. 2.1.5 Tính lãi suất định trước Ta ký hiệu: P (0,T ) là tỷ lệ giữ giá trị hiện tại (t = 0) và giá trị lúc đáo hạn t = T của một trái phiếu. Y (T ) là đường hoa lợi, P (0,T ) = e−T.Y (T ) f(0, t) là lãi suất định trước. 1 R t Ta có Y (t) = f(0, s)ds t 0 P (t, T ) là giá của trái phiếu 0 tại thời điểm đáo hạn T và định trước tại thời điểm t. f(t, s) là lãi suất tại thời điểm s và được tính từ thời điểm t, t < s R −T.Y (T ) − T f(0,s)ds Ta có P (0,T ) = e = e 0 d ln P Do đó f(0,T ) = (0,T ) dt R − T f(t,s)ds Tổng quát P (t, T ) = e t 23
  24. thì ∂ ln P f(t, T ) = − (t, T ) (2.1) ∂t Ta tính lãi suất định trước theo công thức f(0, t) = Y (t) + t.Y ′(t) hoặc d ln P f(0, t) = − (0, t) dt Chú ý: Khi thực hành tính lãi suất định trước thông thường ta chỉ biết một số giá trị rời rạc của Y (t) và P (0, t) tại một số điểm rời rạc t1, t2, , tn cho nên ta không thể tính ngay được đạo hàm mà phải sử dụng phương pháp nội suy tuyến tính để được các đường gấp khúc tại t1, t2, , tn sau đó làm trơn các đường ấy để có hàm trơn Y (t). 2.2 Sự trao đổi ngoại tệ Trong thị trường trao đổi ngoại tệ, cũng giống như thị trường cổ phiếu, việc nắm giữ tài sản cơ bản, tiền tệ là việc mạo hiểm. Giá trị bằng đô la của một bảng Anh biến đổi liên tục cũng giống như cổ phiếu của nước Mỹ. Nó dẫn tới yêu cầu phái sinh tài chính; khoản tiền thanh toán dựa trên giá trị trong tương lai của một đơn vị tiền tệ này theo một đơn vị tiền tệ khác. 2.2.1 Các hợp đồng ký kết trước Ta hãy xét một giao dịch định trước. Một nhà đầu tư đô la muốn chấp thuận giá trị về mặt đô la của một bảng Anh tại một thời điểm T trong tương lai. Cũng giống với cổ phiếu, chiến lược tái tạo để đảm bảo phái sinh tài chính định trước là cố định. Bây giờ chúng ta mua bảng Anh và bán đồng đô la. Nhưng tiền mặt trong cả hai đơn vị tiền tệ đều thu được lãi suất. Và cũng như trong mô hình Black-Scholes đơn giản, việc nắm giữ tiền mặt của chúng ta không còn là tiền mặt mà là trái phiếu. Chúng ta sẽ thực hiện cụ thể: giả sử lãi suất của đồng đô la là hằng số r, lãi suất đồng bảng Anh là u và hiện tại C0 đô la mua được 1 bảng Anh. Xét chiến luợc tái tạo cố định sau. Tại thời điểm t, chúng ta: ∘ Sở hữu e−uT đơn vị trái phiếu đồng bảng Anh. 24
  25. −uT ∘ Sở hữu ngắn hạn C0.e đơn vị trái phiếu đồng đô la. Tại thời điểm t = 0, phương án đầu tư có giá trị không và tại thời điểm T việc nắm giữ đồng bảng Anh sẽ là một bảng Anh như yêu cầu, và việc nắm giữ (r−u)T đồng đô la ngắn hạn sẽ là C0.e giá định trước mà ta mong muốn. So sánh rT với giá cổ phiếu định trước S0.e . Chúng ta phải thận trọng khi mở rộng mô hình đơn giản cho trao đổi ngoại tệ. 2.2.2 Mô hình tiền tệ Black-Scholes Giả sử Bt là trái phiếu đồng đô la, Dt là trái phiếu bằng đồng bảng Anh và Ct đô la = 1 bảng Anh. Khi đó mô hình là rt Trái phiếu đô la Bt = e ut Trái phiếu bảng Anh Dt = e (2.2) Tỷ suất trao đổi Ct = C0. exp(¾.Wt + ¹.t) Với Wt là P −chuyển động Brown, r, u, ¾, ¹ là các hằng số. 2.2.3 Quan điểm của các nhà đầu tư đồng đô la Tài chính cơ sở chỉ ra rằng có 2 hình thức buôn bán được dành cho nhà đầu tư đồng đô la. Một hình thức không phức tạp trái phiếu đô la buôn bán được dễ dàng bằng đô la cũng giống như trái phiếu trong tài khoản cơ bản của Black-Scholes. Hình thức còn lại thì không đơn giản. Chúng ta thường coi tỷ suất trao đổi ngoại tệ Ct là có thể kinh doanh được nhưng không phải vậy. Quá trình Ct biểu diễn giá trị bằng đô la của 1 bảng Anh, nhưng tiền bảng Anh không phải là một đối tượng mua bán được trong thị trường của chúng ta. 2.2.4 Ba bước của quá trình đáp ứng (trao đổi ngoại tệ) 1. Tìm 1 độ đo Q sao cho trái phiếu đồng bảng Anh được chiết khấu bởi trái −1 −1 phiếu đô la Zt = Bt .S(t) = Bt .Ct.Dt là một martingale. 25
  26. ¡ ¢ −1 2. Thiết lập quá trình Et = EQ BT .X ∣ ℱt 3. Tìm 1 quá trình khả đoán Át thỏa mãn: dEt = Át.dZt Bước 1: Chiết khấu đô la có giá trị theo trái phiếu bảng Anh sẽ là Zt = C0. exp (¾.Wt + (¹ + u − r).t) (2.3) Chúng ta có thể biến nó thành một martingale theo một độ đo Q mới chỉ khi 1 We = w + ¾−1(¹ + u − r + ¾2).t là một Q−chuyển động Brown, điều này có thể t t 2 làm được do định lý Girsanov. Khi đó dưới độ đo Q. ³ 1 ´ Z = C . exp ¾.We − ¾2t t 0 t 2 ³ ³ 1 ´ ´ vì vậy C = C exp ¾We + r − u − ¾2 t t 0 t 2 Bước 2: Cho trước Q định nghĩa quá trình Et là một quá trình kỳ vọng có −1 điều kiện EQ(BT X ∣ ℱt) là một Q−martingale như đã lưu ý ở trên. Bước 3: Định lý biểu diễn martingle tạo nên một quá trình ℱ−khả đoán, Át nối Et và Zt sao cho Z t Et = E0 + ÁdZs 0 chúng ta cần một chiến lược đáp ứng (Át, t) chi tiết với việc nắm giữ 2 tài sản buôn bán được bằng đồng đô la St và Bt, vì vậy ta thử. ∙ Nắm giữ Át đơn vị trái phiếu bảng Anh. ∙ Nắm giữ t = Et − ÁtZt đơn vị trái phiếu đô la Giá trị về mặt đô la của phương án đầu tư đáp ứng tại thời điểm t là Vt = ÁtSt + tBt = BtEt phương án đầu tư này là tự tài trợ nếu sự thay đổi giá trị của nó chỉ phụ thuộc vào sự thay đổi về giá của tài sản tức là: dVt = ÁtdSt + tdBt Vì VT = BT ET chúng ta có một chiến lược tự tài trợ (Át, t) mà đáp ứng độ chênh lệch thị giá của bất kỳ. Vậy giá Vt của phương án đầu tư tại thời điểm t là: ¡ ¢ −1 Vt = BtEQ BT X ∣ ℱt (2.4) ở đây Q là độ đo mà theo đó tài sản được chiết khấu Zt là một martingale. 26
  27. 2.2.5 Những chứng khoán có thể buôn bán được 2.2.5.1 Tài sản buôn bán được Giả sử ta đưa ra Bt đơn vị tiền tệ cơ bản (nuneraire) và một chứng khoán St, một quá trình Vt biểu diễn một tài sản có thể mua bán được nếu tồn tại một −1 độ đo xác suất martingale Q sao cho giá trị chiết khấu Bt Vt của nó thực sự là một Q−martingale. 2.2.5.2 Những chứng khoán buôn bán được và giá thị trường của rủi ro Giá thị trường của rủi ro được giới thiệu một cách tốt nhất thông qua việc sửa đổi một chút của mô hình Black-Scholes đơn giản. Mô hình này có giả thiết cổ phiếu St là St = S0 exp (¾Wt + ¹t) tức là St thỏa mãn phương trình vi phân ngẫu nhiên. ³ ³ 1´ ´ dS = S ¾dW + ¹ + dt (2.5) t t t 2 Để thuận lợi ta định nghĩa các quá trình giá bởi các phương trình vi phân ngẫu nhiên, điển hình là phương trình sau đây: dSt = St (¾dWt + ¹dt) ³ ³ 1 ´ ´ mà nghiệm là S = S exp ¾W + ¹ − ¾2 t t 0 t 2 1 2 Giả sử chúng ta có một cặp chứng khoán có thể buôn bán được St và St , cả 2 đều cùng xét trong một thị trường; thỏa mãn phương trình vi phân ngẫu nhiên: i i dSt = St (¾idWt + ¹idt) i = 1, 2 1 với cùng một chuyển động Brown Wt Chúng ta muốn giá chiết khấu của St và 2 St là những martingale đối với cùng một độ đo Q. Ở đây: Bt = exp(rt) µ ¶ ¹i − r Và Wet = Wt + t phải là cùng một Q−chuyển động Brown i = 1, 2. Điều ¾i đó chỉ có thể xảy ra nếu: ¹ − r ¹ − r i = 2 ¾1 ¾2 27
  28. ¹ − r Ý nghĩa của đại lượng ° = là: Với ¹ là tốc độ tăng trưởng của giá cổ phiếu ¾ S, r là tốc độ tăng trưởng của giá trái phiếu B và ¾ là khối lượng rủi ro thì ° là tỷ suất của lợi nhuận gia tăng tính trên một đơn vị đo sự rủi ro. Người ta gọi đó là giá thị trường của rủi ro. 2.2.6 Giá thị trường tổng quát của rủi ro Trên thực tế, chúng ta có thể khái quát hóa các mô hình. Giờ chúng ta quan sát quá trình giá ngẫu nhiên tổng quát St cho bởi phương trình vi phân ngẫu nhiên sau đây: dSt = St (¾tdWt + ¹tdt) (2.6) ở đây ¾t, ¹t là những quá trình ngẫu nhiên khả đoán. Sau đó ta định nghĩa ¹t − r °t = ¾t đưa ra một giá °t phụ thuộc vào thời gian và trạng thái của rủi ro. Mặc dù vậy, những điều giải thích ở trên vẫn đúng. Tất cả các chứng khoán buôn bán được có cùng giá thị trường của rủi ro tức thời. 2.3 Hợp đồng ký kết trước về tiền tệ 2.3.1 Hợp đồng ký kết trước Hợp đồng ký kết trước là một bản thỏa thuận giữa 2 đối tác A (người mua) và B (người bán) để mua bán một loại hàng hóa sản phẩm tài chính nào đó (dầu mỏ, cà phê, lúa gạo, chỉ số chứng khoán ) vào một thời điểm ấn định trước trong tương lai với một khoản tiền định trước. Không có một đồng tiền nào được trao tay vào lúc thỏa thuận. 2.3.2 Các điều kiện của hợp đồng ký kết trước (i) Đến thời điểm đáo hạn T , bên A phải giao cho bên B một khối lượng sản phẩm tài chính (cổ phiếu, ngoại tệ, ) hoặc một khối hàng hóa nào đó (dầu 28
  29. mỏ, cà phê, lúa gạo, ) có giá thị trường X tại thời điểm T . (ii) Đến thời điểm T , bên B phải giao cho bên A một khoản tiền mặt F (0,T ), khoản tiền này đã được thỏa thuận từ lúc ký hợp đồng. (iii) Không có một chi phí giao dịch nào trước thời điểm T . (iv) Đến thời điểm T , cả hai bên bắt buộc phải thực thi các quy ước đó theo một số điều khoản cụ thể. 2.3.3 Mối liên hệ giữa giá định trước và giá hiện tại Vì hợp đồng ký kết trước được thực thi sau một khoảng thời gian nhất định và không có chi phí giao dịch nên giá của hợp đồng tại thời điểm ký kết t = 0 là bằng không. P0 = 0 Nhưng giá hợp đồng theo quan điểm của bên B sẽ là: h³ R T ´i − rsds E X − F (0,T ).e 0 = P0 = 0 (2.7) trong đó rs là lãi suất. Ký hiệu P (0,T ) là giá hôm nay (t = 0) của trái phiếu và thời điểm đáo hạn T thì h R T i − rsds EQ X.e 0 − F (0,T ).P (0,T ) = 0 với Q là xác suất rủi ro trung tính. h R i 1 − T r ds Do đó F (0,T ) = .E S .e 0 s dưới xác suất rủi ro trung tính Q P (0,T ) Q T đối với tài sản S, quá trình ST thỏa mãn hệ thức h R T i − rsds S0 = EQ ST .e 0 (2.8) trong đó giá thị trường X của tài sản S tại thời điểm T là ST , tức là X = ST . Một hợp đồng ký kết trước viết trên một tài sản S là một hợp đồng ký kết trước mà giá X bằng ST . 29
  30. Giá định trước của hợp đồng cho bởi hệ thức S F (0,T ) = 0 (2.9) P (0,T ) đây là công thức liên hệ giữa giá trị tại chỗ và giá định trước. 2.3.4 Tính giá định trước trao đổi ngoại tệ Giả sử có một hợp đồng ký kết trước. Một công ty muốn đổi đồng Việt Nam sang đồng đô la Mỹ. Việc thanh toán sẽ tiền hành vào một ngày nào đó trong tương lai, thường thì phía đối tác của công ty đó là ngân hàng. Câu hỏi được đặt ra là tính giá như thế nào? Thực ra giá cả được xác định bởi các lãi suất trong 2 quốc gia có hợp đồng tiền tệ đó cộng với tỷ giá hối đoái. Giả quyết vấn đề Giả sử có một ngân hàng làm ăn với một công ty X nào đó, ngân hàng sẽ xuất ra một đồng Việt Nam cho công ty X. Về phần công ty sẽ xuất ra một đồng đô la Mỹ cho ngân hàng vào lúc đó. Giả sử S0 đô la = 1 đồng Việt Nam. −R .¿ Ở thời điểm t = 0, ngân hàng vay S0.e F đô la. Số tiền này được chuyển thành e−RF ¿ đồng Việt Nam theo sơ đồ sau Đô la Đồng Việt Nam −R ¿ t = 0 S0.e F e−RF ¿ −R ¿ R ¿ t = ¿S0.e F .e D 1 Tức số tiền e−RF ¿ đồng Việt Nam được đầu tư với lãi suất Việt Nam. Đến thời điểm t = ¿ thì số tiền là 1 đồng Việt Nam đem giao cho công ty X. Muốn hòa vốn thì ngân hàng phải thu được −R ¿ R .T Tiền thu = S0.e F .e D đô la tại thời điểm T . Công thức trên là công thức lãi suất cặp đôi của Keynes. Tổng quát hóa: M đơn vị ngoại tệ sẽ được đổi thành. ′ (RD−RF )¿ M = M.S0.e đơn vị nội tệ (2.10) 30
  31. trong đó RD là lãi suất đồng nội tệ trong nước, RF là lãi suất đồng ngoại tệ ở nước có đồng ngoại tệ ấy, ¿ là ngày thanh toán, S0 đơn vị nội tệ = 1 đơn vị tiền ngoại tệ. 2.4 Các quyền chọn ngoại tệ, công thức Garman- Kohlhagen 2.4.1 Đặt vấn đề Khi nhà đầu tư muốn mua một quyền chọn viết trên một ngoại tệ (chẳng hạn quyền chọn bán, quyền chọn mua, ) với thời điểm đáo hạn T thì người đó phải phán đoán được xu thế, chiều hướng, diễn biến của nó trong thời gian tới. Vì vậy việc định giá quyền chọn là một việc làm nghiêm túc và phải cẩn trọng, mọi sai lầm sẽ phải trả giá. Trong mục này chúng ta sẽ tìm cách định giá một quyền chọn viết trên một ngoại tệ và sẽ đi đến một công thức định giá quyền chọn, đó là công thức Garman-Kohlhagen. 2.4.2 Ta sử dụng các ký hiệu sau S0: Là giá tại chỗ của đồng ngoại tệ (1 đồng ngoại tệ = bao nhiêu đồng nội tệ). F : Là giá ký kết trước. K: Là giá thực thi của quyền chọn (bao nhiêu đồng ngoại tệ = 1 đồng nội tệ) T : Là thời điểm đáo hạn của quyền chọn. C(T,X): Là giá của quyền chọn mua đổi ngoai tệ (theo giá này thì bao nhiêu đồng nội tệ = 1 đồng ngoại tệ). RD: Là lãi suất không rủi ro trong nước (chẳng hạn lãi suất ngân hàng trung ương) 31
  32. RF : Là lãi suất không rủi ro ở nước ngoài (chẳng hạn lãi suất ngân hàng trung ương ở nơi có đồng ngoại tệ ấy). ¾: Là độ biến động của giá tiền giao ngay. ¹: Là độ dịch chuyển của giá tiền giao ngay. ®: Là lợi nhuận kỳ vọng của số tiền bảo chứng. ±: Là độ lệch tiêu chuẩn của số tiền bảo chứng. 2.4.3 Ta sử dụng các giả thiết sau Giả thiết 1: Giá tiền giao ngay S tuân theo mô hình dS = ¹Sdt + ¾SdB B là chuyển động Brown tiêu chuẩn. Giả thiết 2: Giá của quyền chọn C chỉ phụ thuộc vào S và T C = C(S, T ) Giả thiết 3: Các lãi suất RD,RF là các hằng số. Giả thiết 4: Giá của thị trường rủi ro là không đổi. 2.4.4 Thiết lập các phương trình giá quyền chọn Gọi i là số tiền bảo chứng ® − R i D = ¸ ±i ¹ + R − R ® − R Như vậy F D = ¸ và C D = ¸ ¾ ±C Với ±C là độ biến động của C. Khai triển hàm C theo chuỗi Taylor ta có: ∂C ∂C 1 ∂2C dC = − dT + dS + (dS)2 + (2.11) ∂T ∂S 2 ∂S2 32
  33. theo giả thiết 1 ta có dS = ¹.S.dt + ¾.S.dB Áp dụng công tức Itô ta thấy dS2 ∼= ¾2S2dt Suy ra µ ¶ ∂C ∂C 1 ∂2C ∂C dC = − dt + ¹S − + ¾2S2 dt + ¾.S. dB (2.12) ∂T ∂S 2 ∂S2 ∂S Mặt khác ta có thể viết dC = ®C.C.dt + ±C.C.dB Cân bằng hệ số của dt và dB trong biểu thức (2.12) ta có: ∂C ∂C 1 ∂2C ® .C = − + ¹.S − + ¾2.S2. C ∂T ∂S 2 ∂S2 ∂C ± .C = ¾.S. C ∂S Theo kết quả trên ta có: ® − R ® .C − R C C D = ¸ hay ¸ = C D (2.13) ±C ±C.C Thay (2.11), (2.12 ) vào (2.13) ta có ∂C ∂C 1 2 2 ∂2C − + ¹.S. + ¾ S 2 − RDC (¹ + R ) − R ∂T ∂S 2 ∂S = ¸ = F D ∂C ¾ ¾S. ∂S Khử ¾ và sắp xếp lại công thức trên ta có ∂C ∂C 1 ∂2C − + (R .S − R .S) + ¾2.S2. = R .C ∂T D F ∂S 2 ∂S2 D đây là phương trình đạo hàm riêng với giá quyền chọn C = C(S, T ), đây chính là phương trình Black-Scholes đối với quyền chọn viết trên chứng khoán không trả cổ tức. 2.4.5 Các điều kiện biên + 1. C(S, 0) = (S0 − K) 2. C(0,T ) = 0 C(S, T ) 3. lim = 1 S→∞ S 33
  34. 2.4.6 Công thức Garman-Kohlhagen −RF .T −RD.T C(S, T ) = e .S.N(d1) − e .K.N(d2) (2.14) Z x 2 1 − u trong đó N(x) = √ e 2 du 2¼ ³ −∞ ´ S ¾2 ln K + RD − RF + 2 T d1 = √ ³ ¾ T ´ S ¾2 ln K + RD − RF − 2 T d2 = √ ¾ T Nếu dùng công thức lãi suất cặp đôi F = S.e(RD−RF ).T thì ta sẽ tìm được −RD.T C(S, T ) = [F.N(d1) − K.N(d2)] .e (2.15) F ¾2T ln K + 2 trong đó d1 = √ ¾ T F ¾2T ln K − 2 d2 = √ ¾ T công thức (2.14) (2.15) đều gọi là công thức Garman-Kohlhagen. 2.5 Quyền chọn mua bán tiền tệ cặp đôi 2.5.1 Lý do phải có sự phối hợp giữa hợp đồng quyền chọn bán và hợp đồng quyền chọn mua Thông thường các biến cố có trên thị trường tiền tệ và trong các công ty thường đặt nhà đầu tư vào tình thế lo lắng, họ cho rằng giá của một loại chứng khoán sắp thay đổi mạnh nhưng họ không biết nó thay đổi theo xu hướng tăng hay giảm. Trong khi các nhà đầu tư chờ cho tình hình rõ ràng hơn thì ngay lập tức các nhà đầu tư có sự hiểu biết về rủi ro sẽ sử dụng sách lược mua/bán đồng thời một số lượng tương đương hợp đồng quyền chọn bán và hợp đồng quyền chọn mua có cùng giá điểm và cùng thời điểm đáo hạn. Việc làm này sẽ tạo điều kiện cho người mua kiếm được lợi nhuận từ sự thay đổi giá chính yếu ở cả hai chiều trong khi giới hạn rủi ro tổng số phí mua quyền 34
  35. chọn đã trả. Ngược lại sách lược này cho lợi nhuận phí mua quyền chọn đáng kể cho người sử dụng kỹ thuật này. Có quan điểm trái ngược là chứng khoán sẽ thay đổi rất ít nếu không nói là không thay đổi gì cả. 2.5.2 Tình huống Giá của một quyền chọn mua châu Âu có liên hệ với giá của một quyền chọn bán châu Âu. Giả sử cần bán một quyền chọn mua có bảo kê (quyền chọn mua có bảo đảm bằng những tài sản có cơ sở). Nói cách khác, bạn quyết định mua một cổ phiếu với giá S và bán một quyền chọn mua với giá C. Lo ngại rằng giá cổ phiếu có thể bị sụt giảm, bạn mua một quyền chọn bán với giá P cùng một thời hạn giá thực thi như quyền chọn mua. 2.5.3 Phân tích tình huống Giả sử ngày hôm nay S + D − C, gọi giá thực thi chung của quyền chọn bán và quyền mua là X. Khi đó giá của vị thế đáo hạn sẽ như thế nào? ∙ Nếu S ≥ X thì giá đó là X Bạn đem giao cổ phiếu cho người mua Quyền Mua, còn Quyền Bán không có giá trị gì. ∙ Nếu S < X thì giá đó vẫn bằng X Bạn giao cổ phiếu cho người bán Quyền Bán, còn Quyền Mua của bạn không có giá trị gì. 2.5.4 Công thức cặp đôi mua bán Như vậy dù xảy ra tính huống nào thì giá của vị thế của bạn là như nhau bằng X. Vì bạn ở vào vị thế tất định nên ta suy ra (S + P − C) .er(T −t) = X trong đó r là lãi suất không rủi ro 35
  36. Do đó (C − P ) = S − X.e−r(T −t) Đây là công thức cặp đôi mua-bán. 2.5.5 Công thức Black-Scholes cho quyền chọn bán châu Âu Ta sử dụng công thức cặp đôi mua-bán để tìm giá của quyền Bán Châu Âu dựa trên một cổ phiếu cùng với các tham số như trên. Hệ thức cặp đôi có thể viết lại P = C − S + e−r(T −t)X Tính C bằng công thức Black-Scholes thu được −r(T −t) −r(T −t) P = S.N(d1) − e .X.N(d2) − S + e ⎧  ⎨N(d1) + N(−d1) = 1 Do ⎩ N(d2) + N(−d2) = 1 −r(T −t) Ta có P = −S.N(−d1) + e .X.N(−d2) −r(T −t) Với d1 = StN(d1) − e .X.N(d2) √ d2 = d1.¾. T − t N là hàm phân phối chuẩn của N(0, 1) Z x 2 − u N(x) = e 2 du −∞ Đây là công thức Black-Scholes đối với quyền chọn bán. 2.6 Quyền chọn mua châu Âu nhị phân (hay số hóa) Quyền chọn mua nhị phân (hay số hóa) được sử dụng rộng rãi trong thực hành. Ở đây nếu giá cổ phiếu ST tại thời điểm đáo hạn vượt quá giá thực thi X thì thu hoạch cuối cùng CT lấy giá trị là 1, ngược lại CT = 0 36
  37. Ta có CT = IST ≥X I là ký hiệu của hàm chỉ tiêu. Theo mô hình Black-Scholes thì giá của quyền chọn mua này tại một thời điểm t bất kỳ thuộc [0,T ] sẽ là · ¯ ¸ ¯ Vb = e−r(T −t).I ¯ ℱ t ST ≥X ¯ t −r(T −t) = e .Q. [ST ≥ X∣ℱt] Trong đó Q là độ đo Martingale, ℱt là ¾−trường sinh bởi (Ss, s ≤ t ≤ T ) Khi đó ST ≥ X nếu và chỉ nếu · ¸ 1 X ¾2 W Q(T ) − W Q(t) ≥ ln − (r − )(T − t) ¾ St 2 trong đó W Q là chuyển động Brown dưới xác suất rủi ro trung tính Q. Ta ký hiệu vế phải của bất đẳng thức trên là Xb Vì W Q(T ) − W Q(t) có phân phối chuẩn, kỳ vọng 0, phương sai (T − t) nên cuối cùng ta có µ ¶ Z ∞ 2 −r(T −t) 1 x Vbt = e p exp − dx Xb 2¼(T − t) 2(T − t) ³ ´ ⎛ 2 ⎞ St ¾ ln X + r − 2 (T − t) −r(T −t) hay Vbt = e .N ⎝ √ ⎠ ¾ T − t 2.7 Tỷ giá hối đoái Thị trường hối đoái là một trong những thị trường tài chính quan trọng để việc mua|bán, trao đổi ngoại tệ trên thị trường này được thực hiện thì phải có một tỉ giá. Thị trường hối đoái được hình thành và hoạt động từ rất lâu nó thật sự cần thiết cho sự phát triển kinh tế cũng như sự tăng trưởng trong tương lai của một nền kinh tế theo cơ chế thị trường. Ngày nay xu hướng toàn cầu hóa, khu vực hóa với những đặc trưng tự do hóa thương mại và tự do hóa tài chính càng rộng khắp và mạnh mẽ đã và đang chi phối khuynh hướng, cấu trúc vận động của thị trường tài chính từng quốc gia. 37
  38. Vậy thị trường hối đoái hay thị trường ngoại hối là gì? Thị trường hối đoái là nơi đồng tiền một nước mua hay bán bằng một đồng tiền nước khác. Việc mua bán trên được thực hiện phải có trao đổi giữa đồng ngoại tệ và đồng bản tệ. Việc hình thành giá đó sẽ tạo nên một tỉ giá. Tỷ giá này được xác định do nhu cầu trên thị trường ngoại hối mà cơ sở để xác định tình trạng cung cầu tùy thuộc cơ bản vào vị thế cán cân thanh toán của một quốc gia thâm hụt hay thặng dư. Tuy nhiên tỉ giá được sử dụng hàng ngày trong giao dịch trên thị trường ngoại hối là giá của một đồng tiền được biểu thị qua đồng tiền khác mà không đề cập đến tương quan sức mua hàng hóa dịch vụ giữa chúng. Ở Việt Nam, tỉ giá hối đoái là giá trị của một đơn vị tiền tệ nước ngoài tính bằng đơn vị tiền Việt Nam 1 ngoại tệ = x nội tệ (VNĐ) Khi mua hoặc bán ngoại tệ hay nội tệ thì xuất hiện dịch vụ hối đoái trên thị trường hối đoái. Giá cả trên thị trường hối đoái cũng giống như ở các thị trường khác phụ thuộc vào giao dịch mua và bán. Để kiếm lời trên thị trường này thì các nhà giao dịch thường đưa ra 2 mức giá đó là một mức giá mua và một mức giá bán sau: Tỷ giá mua: Là tỷ giá ngân hàng mua ngoại hối vào đây cũng là tỷ giá bán của khách hàng. Tỷ giá bán: Là tỷ giá ngân hàng bán ngoại hối ra đây cũng là tỉ giá mua của khách hàng. Trong thực tế tỷ giá bán luôn lớn hơn tỷ giá mua, phần chênh lệch là lợi nhuận mà ngân hàng thu được. 2.7.1 Tỷ giá hối đoái đảm bảo (GER: Guarauteed Ex- change Rates) 2.7.1.1 Đặt tình huống Một nhà đầu tư muốn mua một chứng khoán nước ngoài hoặc một chỉ số chứng khoán của nước ngoài lúc đó nhà đầu tư này đứng trước 2 rủi ro sau. 38
  39. Thứ nhất: Cổ phiếu (hoặc chỉ số cổ phiếu) có thể bị rớt giá. Thứ hai: Cổ phiếu (hoặc chỉ số cổ phiếu) được giá nhưng lại gặp khó khăn lúc đổi tiền. 2.7.1.2 Hướng giải quyết Giả sử nhà đầu tư mua một cổ phiếu S vào thời điểm T với giá định trước K (S và K sẽ được tính theo ngoại tệ) và giả sử giá giao ngay tại thời điểm T là như sau: 1 đồng ngoại tệ = XT đồng nội tệ Vào ngày thanh toán dưới những điều kiện chuẩn mực thì nhà đầu tư sẽ nhận số tiền là (ST − K)XT đồng nội tệ, 2 bên thỏa thuận với nhau về một tỉ suất hối t đoái ấn định trước là X độc lập với XT . Nếu việc mua bán thuận lợi thì đến thời điểm T nhà đầu tư sẽ nhận được t số tiền là (ST − K)X đồng nội tệ. Còn nhà môi giới thì muốn chọn K đủ lớn để bảo vệ cho họ nhanh chóng thoát khỏi bị thua lỗ và đảm bảo cho kiếm được chút lời đền bù cho sự rủi ro đó. Có một câu hỏi đặt ra là làm thế nào để định giá hợp đồng ký kết trước này. 2.7.2 Định giá hợp đồng ký kết trước về tỷ giá hối đoái đảm bảo viết trên một cổ phiếu (GER Forward on a Stock) * Tình huống: Trở về trường hợp cổ phiếu được tính theo giá ngoại tệ. Có một sự khác biệt về cổ phiếu và trái phiếu. Đối với trái phiếu, ta biết khoản tiền được trả vào lúc đáo hạn còn cổ phiếu thì ta không thể biết được giá trị của nó trước lúc đáo hạn. Ta muốn định giá một hợp đồng GER loại một hợp đồng ký kết trước trên một cổ phiếu nước ngoài. Giả sử cổ phiếu đó tính bằng đồng EURO (E) và đồng nội tệ Việt Nam (VNĐ) 39
  40. * Xử lý tình huống: Đặt Xt là số tiền VNĐ để mua 1 E vào thời điểm t. Ta chọn mô hình cho X là: dX = rX .X.dt + ¾X .X.dB và mô hình của giá cổ phiếu là dS = rS.S.ds + ¾S.S.dB. Ở đây rS không biết nhưng ta có thể tìm được giá trị của nó qua độ dịch chuyển khác. rS biểu thị một liên hệ quan trọng để ước lượng một hợp đồng trước GER viết trên S(T ). * Các ký hiệu: S(T ): Giá cổ phiếu tính theo E tại thời điểm t. rD: Lãi suất rủi ro của tiền Việt Nam (VNĐ). rF : Lãi suất không rủi ro của tiền EURO (E). T : Thời điểm giao cổ phiếu. K: Giá giao cổ phiếu tính theo tiền E. ¾xs: Tương quan giữa giá cổ phiếu (tính theo E). * Dự kiến chiến lược Ta xác định giá trị trung bình K của cổ phiếu tại thời điểm đáo hạn t = T . Hợp đồng GER khi ấy đòi hỏi bên bán phải trả hoặc nhận về số tiền chênh lệch là (ST − K) VNĐ vào thời điểm T . Khoản tiền (ST − K) này bây giờ phải đổi sang tiền E với tỷ giá hối đoái là XR. XR này sẽ được ấn định bởi hai bên đối tác vào thời điểm t = 0. Nhưng XR không cần có bất kỳ liên hệ nào với các lãi suất tại chỗ hiện tại và tương lai. Trong tình huống này hợp đồng GER được thực thi theo một cung cách hơi lạ. Nó giống như một vụ đánh cược mà XR đóng vai trò của phe đánh cược. a) Trở lại việc định giá quyền chọn theo Black-Scholes Nhắc lại mô hình cổ phiếu theo Black-Scholes dS = ¹.S.dt + ¾.S.dB 40
  41. mà lời giải của phương trình này là một quá trình ngẫu nhiên mà ta gọi là một chuyển động Brown hình học ½µ ¶ ¾ ¾2 S(t) = S . exp ¹ − t + ¾.B 0 2 t 2 − ¾ t Với số hạng e 2 xuất hiện trong biểu thức trên là dùng để cân bằng với sự dịch chuyển. 2 − ¾ t ¾B Biểu thức e 2 .e t không có tính dịch chuyển. Mọi sự dịch chuyển bây giờ chứa trong số hạng e¹t √ Vì t cố định ta thay Bt bởi t.Z. Với Z là một biến ngẫu nhiên chuẩn N(0, 1) ta viết S(t) và X(t) dưới dạng. ¾2 t √ r .t − S t.¾ .Z S(T ) = S0.e S .e 2 .e S ¾2 t √ r .t − X t.¾ .Z′ S(X) = X0.e X .e 2 .e X do đó ta có thể khống chế dễ dàng độ dịch chuyển. Các số hạng Z, Z′ là hai biến ngẫu nhiên chuẩn N(0, 1) có thể có tương quan với nhau. b) Tốc độ tăng trưởng của giá cổ phiếu tính theo VNĐ Hai yếu tố đóng góp vào tốc độ tăng trưởng hay độ dịch chuyển của giá cổ phiếu tính theo VNĐ là độ biến động của đồng EURO và tỷ giá hối đoái. Ta sử dụng một mô hình mà độ dịch chuyển của mọi tài sản là rD được xác định bởi rD = rF + rX bởi vì trước tiên ta đầu tư trực tiếp bằng đồng EURO vào một tài sản khác, sau khi thu được tiền đầu tư ấy ở một ngân hàng châu Âu và tiến hành thanh toán đổi thành tiền Việt Nam. Như vậy 2 yếu tố ảnh hưởng đến sự tăng trưởng hay độ dịch chuyển của giá cổ phiếu (tính theo VNĐ) là tỷ giá hối đoái và độ biến động của đồng EURO. c) Giá trị trung bình của cổ phiếu và trò chơi công bằng Do S(t) và X(t) là các biến ngẫu nhiên không độc lập nên để tìm được độ dịch chuyển của cổ phiếu thì ta tìm E [S(t).X(t)]rồi đồng nhất với độ dịch chuyển. Dùng công thức 2 √ ¾S t rS t − t.¾S .Z S(T ) = S0e .e 2 .e 41
  42. ta có h √ i 2 2 t ′ (rS +rX )t −(¾ +¾ ) t(¾S .Z+¾X .Z ) E(SX) = S0.X0.e .e x X 2 .E e ′ nhưng đại lượng ngẫu nhiên ¾S.Z+¾X .Z có phân phối xác suất chuẩn với phương 2 2 ¾Z sai ¾S + 2.¾sx + ¾X . Ta dùng một luật số đối với e như trước h i √ ′ t(¾S .Z+¾X .Z ) (rS +rX +¾sx)T E e = e .S0.X0 Khi đó độ dịch chuyển của cổ phiếu tính theo đồng Việt Nam là rS + rX + ¾sx theo công thức rD = rF + rX thì độ dịch chuyển của mọi tài sản đều là rD. Ta cân bằng độ dịch chuyển cổ phiếu nói trên với vế phải của công thức trên ta có rF + rX = rS + rX + rsx Do đó rF = rS + ¾sx r .T (r −¾ )T Vậy E[S(T )] = S0.e S = S0.e F sx (r −¾ )T Đặt K = E[S(T )].S0.e F sx Vì giá trung bình của cổ phiếu tính theo VNĐ, tại thời điểm T và theo một tỷ giá hối đoái đã thỏa thuận là (rF −¾sx)T E[XR.S(T )] = XR.S0.e nên E[XRS(T ) − XR.K] = 0 Vậy hợp đồng này là một trò chơi công bằng theo nghĩa giá trị trung bình. Ở thời điểm thanh toán T , người giữ hợp đồng phải trả KXR đồng Việt Nam cho người bán hợp đồng và nhận về S(T )XR đồng Việt Nam. Thực tế, người bán sẽ trả cho người nhận hoặc người giữ hợp đồng ký kết trước một khoản tiền là [S(T ) − K].XR đồng Việt Nam Người mua hợp đồng ký kết trước về tỷ giá hối đoái đảm bảo viết trên chứng khoán này (hoặc chỉ số chứng khoán) được bảo hiểm về mọi rủi ro, về lãi suất tiền tệ. 42
  43. d) Định giá quyền chọn bán GER và quyền chọn mua GER Việc định giá quyền chọn mua và quyền chọn bán GER viết trên cổ phiếu nước ngoài ta có thể làm tương tự đối với cổ phiếu trong nước. Để định giá một quyền chọn mua châu Âu dựa trên cổ phiếu không trả cổ tức ta phải tìm giá trị trung bình của max[S(T ) − K; 0] − XR Khi đó giá của quyền chọn sẽ là −RD.T E [max[S(T ) − K; 0]] .XR.e Ta được công thức tính giá là h i (rF −¾)T −RD.T C = S(T ).e .N(d1) − K.N(d2) .XR.e · µ 2 ¶ ¸ 1 S(0) ¾S trong đó d1 = √ ln + rF − ¾sx + T ¾ T K 2 · µ 2 ¶ ¸ 1 S(0) ¾S d2 = √ ln + rF − ¾sx − T ¾ T K 2 2.8 Mô hình lãi suất ngoại tệ Trong phần này chúng ta sẽ đi nghiên cứu thị trường lãi suất theo ngoại tệ. Ta sẽ tưởng tượng người đầu tư đô la hoạt động trong cả thị trường lãi suất tiền đô la và tiền bảng Anh. Các đại lượng nghiên cứu là P (t, T ): Giá thị trường của trái phiếu 0 tính theo đồng đô la. L(t, T ): Là lãi suất định trước của đồng đô la vay trước tại thời điểm T . ∂ (được tính theo công thức − log P (t, T )) ∂T ¾(t, T ): Là độ biến động của L(t, T ). ®(t, T ): Là độ lệch của L(t, T ) R t r dS rt: Là lãi suất ngắn hạn của đồng đô la (bằng e 0 S ) 43
  44. Q(t, T ): Là giá của trái phiếu lãi suất 0 tính theo đồng bảng Anh. g(t, T ): Là lãi suất định trước của đồng bảng Anh vay tại thời điểm T (bằng ∂ − log Q(t, T )). ∂T ¿(t, T ): Là độ biến động của g(t, T ). ¯(t, T ): Là độ dịch chuyển của g(t, T ) ¹(t, T ): Là lãi suất ngắn hạn tính theo đồng bảng Anh. R t usds Dt: Là trái phiếu tiền mặt theo bảng Anh (bằng e 0 ). ½t: Là độ biến động log của tỷ giá hối đoái. dCt ¸t: Là hệ số dịch chuyển của tỷ giá hối đoái (độ dịch chuyển của ) Ct Ta sẽ làm việc với 1 mô hình của n nhân tố điều khiển với các chuyển động 1 2 n Brown độc lập Wt ,Wt , , Wt ở đây các độ biến động ¾, ¿, ½ là vectơ n chiều ¾i(t, T ); ¿i(t, T ); ½i(t) i = 1, 2, , , n Ta có 2 thị trường lãi suất khác nhau (một thị trường tính theo đô la và một thị trường tính theo bảng Anh) cộng vào đó là 1 thị trường chung liên kết chúng với nhau. Các mô hình đa nhân tố, cách tiếp cận của mô hình đa nhân tố là cần thiết phản ánh các mức độ biến đổi về tương quan giữa các chứng khoán khác nhau trong 3 thị trường đó. Các vi phân của 3 quá trình đó là: n P i dtL(t, T ) = ¾i(t, T )dWt + ®(t, T )dt i=1 n P i dtg(t, T ) = ¿i(t, T )dWt + ¯(t, T )dt i=1µ ¶ n P i dCt = Ct ½i(t)dWt + ¸tdt i=1 ngoài trái phiếu tiền mặt đô la Bt thì các chứng khoán buôn bán được bằng đô la trong thị trường đó gồm các trái phiếu đô la cụ thể là giá tính theo đô la trái 44
  45. phiếu của đồng bảng Anh. Và giá tính theo đô la của trái phiếu tiền mặt theo đồng bảng Anh. Cố định T và ký hiệu giá trị đã chiết khấu tính theo đô la của 3 chứng khoán đó là X, Y, Z như sau: −1 Xt = Bt .P (t, T ) −1 Yt = Bt .Ct.Q(t, T ) −1 Zt = Bt .Ct.Dt 45
  46. Chương 3 CÁC HỢP ĐỒNG CHUYỂN ĐỔI GIÁ (QUANTO) TRONG THỊ TRƯỜNG TIỀN TỆ Trong chương này chúng tôi nghiên cứu lại một loại hợp đồng đặc biệt trong thị trường tiền tệ đó là loại hợp đồng quyền chọn tính theo 2 loại tiền khác nhau cùng với tỷ giá hối đoái của hai loại tiền đó. Hợp đồng này có tên là hợp đồng chuyển đổi giá hay hợp đồng Quanto. 3.1 Mở đầu Hợp đồng chuyển đổi giá là một loại hợp đồng tiền tệ đặc biệt, có tên quốc tế là Quanto. Là loại hợp đồng tài chính trong một quốc gia nhưng lại được định giá bằng một đồng tiền không phải của quốc gia đó. Giả sử chúng ta có một mô hình đơn giản 2 nhân tố. Hai quá trình ngẫu nhiên ở đây là giá cổ phiếu và tỷ lệ hối đoái chi phối bởi 2 chuyển động Brown độc lập là W1(t) và W2(t) 46
  47. Giả sử ½ là một số thỏa mãn −1 < ½ < 1. Khi đó quá trình p 2 W (t) = ½.W1(t) + 1 − ½ .W2(t) cũng là một chuyển động Brown, ½ là hệ số tương quan giữa W (t) và W1(t). Vì vậy cho phép ta xây dựng 2 chuyển động Brown là W, W1 có tương quan với nhau xuất phát từ 2 chuyển động Brown độc lập. 3.2 Mô hình hợp đồng chuyển đổi giá (quanto) Ta giả sử tồn tại các hằng số sau ∙ Các hệ số dịch chuyển ¹ và À ∙ Các độ biến động dương ¾1 và ¾2 ∙ Hệ số tương quan ½ thỏa mãn −1 < ½ < 1 Khi đó mô hình tương quan như sau: Giá cổ phiếu St tính theo đồng bảng Anh và giá của một đồng bảng Anh tính theo đô la là Ct là các quá trình ngẫu nhiên xác định như sau: St = S0. exp (¾1W1(t) + ¹t) ³ p ´ 2 Ct = C0. exp ¾2W (t) + 1 − ½ .W2(t) Có một trái phiếu tiền mặt tính theo đô la là Bt = exp(rt) và một trái phiếu tiền mặt tính theo bảng Anh là Dt = exp(ut) với r, u là hai lãi suất cố định dương. Nếu chúng ta viết mô hình trên dưới dạng vectơ thì biến ngẫu nhiên (log St, log Ct) có phân bố đồng thời là một phân bố chuẩn với vectơ kỳ vọng là (log S0 + ¹t; log C0 + Àt) và ma trận covarian là: 47
  48. ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞T ⎛ ⎞ 2 ¾1 0 t 0 ¾1 0 ¾2 ½¾1¾2 ⎝ p ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ p ⎠ = ⎝ ⎠ 2 2 2 ½¾2 ¾2 1 − ½ 0 t ½¾2 ¾2 1 − ½ ½¾1¾2 ¾2 nghĩa là ta đảm bảo một độ biến động cố định ¾1 cho St và một độ biến động ¾2 cho Ct và hệ số tương quan giữa 2 độ biến động ấy là ½. 3.3 Các sản phẩm tài chính buôn bán được Có 3 loại tài sản tài chính buôn bán được: Loại 1: Giá trị tính theo đô la của một trái phiếu tiền mặt bảng Anh Ct.Dt Loại 2: Giá trị tính theo đô la của một cổ phiếu có mệnh giá ghi theo bảng Anh Ct.St Loại 3: Một đơn vị tiền tệ cơ bản tính theo đô la, ở đây một trái phiếu tiền mặt có mệnh giá ghi theo đơn vị tiền tệ cơ bản mà tính theo đô la là Bt. Giá trị đã chiết khấu theo đơn vị tiền tệ cơ bản của 2 tài sản ban đầu là: −1 −1 Yt = Bt .Ct.Dt và Zt = Bt .Ct.St Áp dụng công thức Itô nhiều chiều ta có phương trình vi phân ngẫu nhiên ³ p ³ 1 ´ ´ dY = Y ½¾ dW (t) + 1 − ½2¾ dW (t) + À + ¾2 + u − r dt (3.1) t t 2 1 2 2 2 2 h p ³ 1 1 ´ i dZ = Z (¾ + ½¾ )dW (t) + 1 − ½2¾ dW (t) + ¹ + À + ¾2 + ½¾ ¾ + ¾2 − r dt t t 1 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 (3.2) Ta tìm một phép biến đổi độ đo để làm Yt,Zt trở thành martingale. Chọn °(t) = (°1(t); °2(t)) sao cho ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ p −1 1 ° (t) ½¾ 1 − ½2¾ À + ¾2 + u − r ⎝ 1 ⎠ ⎝ 2 2⎠ ⎝ 2 2 ⎠ = p 1 1 (3.3) ° (t) ¾ + ½¾ 1 − ½2¾ ¹ + À + ¾2 + ½¾ ¾ + ¾2 − r 2 1 2 2 2 1 1 2 2 2 Tức là 1 2 ¹ + 2 ¾1 + ½¾1¾2 − u °1 = ¾1 1 2 (3.4) À + 2 ¾2 + u − r − ½¾1¾2 °2 = p 2 ¾2 1 − ½ Khi đó độ đo Q có thể viết St,Ct dưới dạng h ³ 1 ´ i S = S exp ¾ We (t) + x − ½¾ ¾ + ¾2 t (3.5) t 0 1 1 1 2 2 1 48
  49. h p ³ 1 ´ i C = C exp ½¾ We (t) + ¾ 1 − ½2We (t) + r − u − ¾2 t (3.6) t 0 2 1 2 2 2 2 trong đó We1, We2 là các chuyển động Brown. Z t Wei(t) = Wi(t) + °i(s)ds i = 1, 2 (3.7) 0 3.4 Hợp đồng ký kết trước Quanto Để định giá của một hợp đồng ký kết trước ta sẽ biểu diễn lại giá của cổ phiếu tại thời điểm T ³ √ 1 ´ S = exp (−½¾ ¾ T ) F. exp ¾ T .Z − ¾2.T (3.8) T 1 2 1 2 1 uT ở đây F là giá trị định trước ST cổ phiếu tính theo tiền nội tệ, F = S0.e ,Z là một biến ngẫu nhiên chuẩn N(0, 1) dưới độ đo Q. Khi đó giá của hợp đồng ký kết trước tính theo đô la tại t = 0 là −rT −rT V0 = e .EQ (ST − K) = e (exp(−½¾1¾2T )F − K) (3.9) Để cho giá trị này bằng 0. Đặt K = F. exp(−½¾1¾2T ) (3.10) trường hợp đó không giống với giá hợp đồng ký kết trước F tính theo bảng Anh. Vì ¾1 > 0, ¾2 > 0 nên giá của hợp đồng ký kết trước Quanto lớn hơn giá hợp đồng ký kết trước thông thường khi và chỉ khi tương quan giữa giá cổ phiếu và tỷ giá hối đoái là âm. Giả sử giá của hợp đồng ký kết trước Quanto và giá của hợp đồng ký kết trước thông thường là như nhau F . Ta có thể xây dựng một phương án đầu tư tại thời điểm t = 0 bằng cách. ∙ Mua vào C0. exp[(r − x)T ] đơn vị hợp đồng ký kết trước Quanto có giá định trước F . ∙ Bán ra một đơn vị hợp đồng ký kết trước bằng bảng Anh bình thường có giá thực thi F . 49
  50. Nếu giả sử giá định trước Quanto là F thì phương án đầu tư này sẽ như thế nào. Tại thời điểm T , chiến lược đáp ứng tĩnh sẽ tạo ra số tiền (đô la) là C0 exp [(r − u) T ] .(ST −F )−CT (ST −F ) = [C0. exp ((r − u)T ) − G](ST −F ) (3.11) Với C0 exp [(r − u) T ] là tỉ giá hối đoái định trước đối với CT Nếu giá cổ phiếu kết thúc cao hơn giá định trước của nó và tỉ giá hối đoái thấp hơn giá định trước của nó thì giá trị của phương án đầu tư này sẽ là dương. Nếu giá cổ phiếu kết thúc thấp hơn F và tỉ giá hối đoái lại cao hơn giá định trước của nó thì giá trị của phương án đầu tư vẫn dương. Với ½ k) có giá trị tính theo đô la là V0 = e .Q(ST > k) hoặc nếu ta viết FQ = F. exp(−½¾1¾2T ) là giá định trước Quanto thì ! FQ 1 2 −rT ln k − 2 ¾2T V0 = e .Φ √ ¾1. T Ta sẽ ngạc nhiên về số hạng exp(−½¾1¾2T ) và chắc chắn rằng ST > k là độc lập với quyền chọn được chi phối bởi đồng bảng Anh hay đồng đô la. Thực ra chính là các chiến lược đáp ứng chứ không phải kỳ vọng theo P đã định nên giá quyền chọn. 3.6 Bảo hộ trái phiếu 3.6.1 Tình huống và biện pháp Bảo hộ giá thực chất là một loại hình bảo hiểm, là một phương tiện để giảm thiểu tối đa những rủi ro tài chính.Người ta bảo hộ giá cho cổ phiếu, trái phiếu, lãi suất, hàng hoá và các hợp đồng có kì hạn.Bảo hộ giá cũng có nghĩa là hạn chế rủi ro. 50
  51. Giả sử một trái phiếu sẽ được thu hồi tại thời điểm đáo hạn t = T với giá là Q đồng ngoại tệ. Để bảo hộ giá bạn tham gia vào một hợp đồng kí kết trước đáo hạn tại T , theo đó bạn phải trả cho phía đối tác một số tiền là Q đồng ngoại tệ và nhận về mình số tiền là: (R −R ) D = S0e D F .Q đồng nội tệ trong đó S0 đơn vị tiền nội tệ = 1 đơn vị tiền ngoại tệ ( giá tại chỗ tại thời điểm t = 0) RD là lãi suất không rủi ro trong nước RF là lãi suất không rủi ro ở nước ngoài Ta thấy phương pháp này có vẻ đơn giản nhưng thực ra trong thực hành quá trình bảo hộ giá diễn ra phức tạp hơn nhiều. Thay vì tham gia vào một hợp đồng kí kết trước trong khoảng thời gian là [0,T ], bạn có thể muốn sử dụng nhiều khoảng thời gian nhỏ hơn. 3.6.2 Bảo hộ giá bằng các “ Bảo đảm lãi suất bị chặn” Bảo đảm lãi suất bị chặn: Là một thoả hiệp tín dụng hai chiều bảo vệ cả cho người cho vay và đi vay tránh được biến động lãi suất thị trường. Thoả hiệp này bao gồm mức thấp nhất và mức cao nhất Thoả hiệp này đảm bảo cho: Đối với người cho vay, lãi suất không xuống thấp hơn mức sàn. Đối với người vay, lãi suất không cao hơn mức trần, dù cho lãi suất của thị trường có tăng nhanh đi nữa. Bảo hộ giá bằng một thoả hiệp “ lãi suất bị chặn”: Để bảo hộ giá một cổ phiếu theo cách này thì người mua phải mua vào một hợp đồng Quyền chọn bán theo giá hiện hành và bán đi một hợp đồng Quyền chọn mua không có lời.Đặc biệt là số tiền thu được do bán Quyền mua sẽ đủ trang trải cho việc mua Quyền bán, không phải đòi hỏi thêm tiền của nhà đầu tư nữa.Nếu chứng khoán bị rớt giá, nhà đầu tư sẽ được bảo vệ, nếu chứng khoán tăng giá thì nhà đầu tư thực thi Quyền bán do đó vẫn có lời. 51
  52. 3.6.3 Bảo hộ giá bằng biện pháp “ Mua bán cổ phần cặp đôi” Giả sử hai công ty A và B là hai công ty chuyên sản xuất đồ may mặc trong đó A là công ty may siêu lợi nhuận còn B là công ty may có rủi ro.Tên của công ty đã phản ánh tính chất của các công ty đó.Người ta mua vào 100 cổ phiếu của công ty A và bán đi một số cổ phiếu của công ty B với một số tiền bằng với số tiền đã mua cổ phiếu của công ty A. Nếu nền kinh tế tăng trưởng thì cả hai loại cổ phiếu này đều có giá nhưng A tăng mạnh hơn B. Nếu nền kinh tế suy giảm, cả hai chứng khoán đều bị sụt giá, nhưng B giảm nhanh hơn A. Tình huống cũng như vậy xảy ra khi xảy ra sự đột biến ngoại lai hoặc nội tại tác động lên vị trí sản xuất hàng may mặc của hai công ty này trên thị trường. Như vậy dù tương lai thế nào thì công ty A vượt trội công ty B. Thoạt nhìn, người ta thấy cung cách này có vẻ là đúng, do đó người ta không thể bị mất tiền. Điều đó đúng, nhưng nếu thị trường phát triển khả quan thì người ta có thể làm tốt hơn nữa nếu chỉ mua cổ phiếu của công ty A mà không mua cổ phiếu của công ty B.Vậy người ta bỏ qua lợi nhuận do B mang lại để bảo vệ mình khỏi khả năng thua lỗ. 3.6.4 Bảo hộ giá bằng hợp đồng quyền chọn Trường hợp mua chứng khoán và bán hợp đồng Quyền Chọn Mua Người ta bán hợp đồng Quyền Chọn Mua có bảo kê nhằm giảm rủi ro khi giá chứng khoán cơ sở giảm bằng cách bù lại bằng phí mua quyền chọn mà người bán nhận được khi bán hợp đồng quyền chọn mua và trong trường hợp hợp đồng mua được thực hiện, người bán sẽ lấy chứng khoán đang có trong tay để giao. Trường hợp mua chứng khoán và mua hợp đồng Quyền Chọn Bán Nếu nhà đầu tư có chứng khoán, ông ta có thể bảo hộ rủi ro giá chứng khoán bằng cách mua những hợp đồng bán theo giá đã mua chứng khoán. Vì thế chứng khoán có trong tay sẽ được bảo hộ khi giá chứng khoán giảm, lúc đó họ sẽ thực 52
  53. hiện hợp đồng bán để bù đắp lại. Trường hợp bán khống chứng khoán và mua hợp đồng Quyền Chọn Mua Đây là hình thức bảo đảm để bảo hộ vị thế bán khống chứng khoán. Tức là nhà đầu tư mua hợp đồng mua để giới hạn rủi ro về sự chênh lệch giữa giá điểm của hợp đồng quyền chọn mua và giá chứng khoán mà anh ta đã vay mượn. Việc mua quyền chọn sẽ giảm toàn bộ tiềm năng lợi nhuận của việc bán khống vì phải trả phí mua quyền chọn. Trường hợp bán khống chứng khoán và bán hợp đồng Quyền Chọn Bán Nhà đầu tư bán hợp đồng bán để bảo vệ một phần vị thế bán khống của mình. Nếu giá chứng khoán tăng, nhà đầu tư sẽ dùng số phí mua quyền chọn đã nhận được (do bán hợp đồng bán) để bù đắp lại một phần thua lỗ 3.6.5 Bảo hộ tương quan Diễn biến của một số chứng khoán trên thị trường thì có tương quan tương đối với nhau, và đối với một số chứng khoán khác thì các diễn biễn có thể tương quan âm với nhau. Người ta tận dụng thông tin này để xây dựng các phương án đầu tư sao cho làm giảm áp lực của thị trường lên việc đầu tư đến một mức độ mong muốn. 3.6.6 Định nghĩa và lựa chọn (a) Một ngoại tệ được gọi là loại tiền cao giá nếu lãi suất của nó thấp hơn lãi suất của đồng tiền nội tệ. (b) Một ngoại tệ được gọi là loại tiền thấp giá nếu lãi suất của nó cao hơn lãi suất của đồng tiền nội tệ. Trong hai biện pháp bảo hộ: một là bảo hộ bằng hợp đồng kí kết trước dài hạn, và một là một loạt các bảo hộ ngắn hạn liên tiếp thì người ta thường ưa thích biện pháp nào? 53
  54. Ta có bảng kết luận sau đây: Tiền cao giá Tiền thấp giá Chênh lệch ít Dài hạn tốt hơn Ngắn hạn tốt hơn Chênh lệch nhiều Ngắn hạn tốt hơn Dài hạn tốt hơn Để kiểm tra bảng đó, chẳng hạn ta lấy yếu tố ở góc trên bên trái. Nếu chênh lệch ít thì số hạng RD − RF < 0 nhưng về trị số tuyệt đối thì số hạng đó còn nhỏ hơn giá trị mà bạn sẽ phải trả cho mỗi lần chuyển từ bảo hộ ngắn hạn này sang bảo hộ ngắn hạn khác. 3.6.7 Vấn đề bảo hộ Đối với các hợp đồng về Quyền Chọn tiền tệ, nên bảo hộ hay không nên bảo hộ? và nếu bảo hộ thì mức độ như thế nào thì ngày nay vẫn còn nhiều tranh cãi về vấn đề này. Nhưng dường như người ta đã nhất trí rằng đối với các nhà đầu tư có thu nhập cố định, thì phải tiến hành bảo hộ giá. Các tác giả Fisher Black và Andre’ Perold và Evan Schulman đã từng khảo cứu về vấn đề này. Với các tài sản cơ sở và các chỉ số chứng khoán thì tình hình kém rõ ràng hơn. 54
  55. PHỤ LỤC Phần phụ lục này dành để nêu một số khái niệm cơ bản về xác suất để thuận lợi cho việc theo dõi luận văn. 1. Khái niệm về không gian xác suất Cho (Ω, ℱ,P ) là một không gian xác suất, tức một bộ ba gồm ∙ Ω là một tập hợp cơ sở bất kỳ nào đó mà mỗi phần tử ! ∈ Ω đại diện cho một yếu tố ngẫu nhiên. Mỗi một tập con của Ω gồm một yếu tố ngẫu nhiên nào đó. ∙ ℱ là một họ nào đó các tập con của Ω, chứa Ω và đóng đối với phép hợp đếm được và phép lấy phần bù hay ℱ là một ¾ trường các tập con của Ω, mỗi tập hợp A ∈ ℱ sẽ được gọi là một biến cố ngẫu nhiên. ∙ P là một độ đo xác suất xác định trên không gian đo (Ω, ℱ) 2. Không gian xác suất được lọc ∗ Cho (Ω, ℱ,P ) là một không gian xác suất. Một họ các ¾− trường con ℱt ⊂ ℱ được gọi là bộ lọc, thỏa mãn các điều kiện thông thường nếu. (i) Đó là một họ tăng tức là ℱs ⊂ ℱt nếu s 0 55
  56. (iii) Mọi tập P −bỏ qua được A ∈ ℱ đều được chứa trong ℱ0 (do đó nằm trong mọi ℱ ) ∗ Một không gian xác suất (Ω, ℱ,P ) trên đó ta gắn thêm một bộ lọc (ℱ)t được gọi là một không gian xác suất được lọc và ký hiệu là (Ω, ℱ, (ℱt),P ) 3. Kỳ vọng có điều kiện 3.1. Kỳ vọng có điều kiện lấy đối với một ¾−trường Khi đó, một biến ngẫu nhiên X∗ sẽ được gọi là kỳ vọng có điều kiện của X đối với ¾− trường G, nếu: ∙ X∗ là biến ngẫu nhiên đo được đối với G ∙ Với mọi tập A ∈ G thì ta có Z Z X∗dP = XdP A A Biến ngẫu nhiên X∗ này sẽ được ký hiệu là E(X∣G). Ta chú ý rằng kỳ vọng có điều kiện E(X∣G) là một biến ngẫu nhiên. (b) Nếu ta chọn ¾−trường G là ¾−trường sinh ra bởi một biến ngẫu nhiên Y nào đó, thì khi đó kỳ vọng có điều kiện của X lấy đối với ¾(Y ) cũng được ký hiệu là E(X∣Y ). 3.2. Các tính chất của kỳ vọng có điều kiện (1) Nếu G là ¾−trường tầm thường {Á, Ω} thì E(X∣G) = EX (2) Nếu X và Y là 2 biến ngẫu nhiên thì E(X + Y ∣G) = E(X∣G) + E(Y ∣G) (3) Nếu X là đo được đối với G thì E(XY ∣G) = XE(Y ∣G) 56
  57. (4) Nếu G1 ⊂ G2 thì E (E(X∣G2)∣G1) = E(X∣G1) Nói riêng E (E(X∣G)) = EX (5) Nếu X độc lập đối với G thì E(X∣G) = EX (6) Nếu G và ℋ là hai ¾−trường con của ℱ và độc lập với nhau và X là biến ngẫu nhiên độc lập đối với G thì E(X∣¾(G, ℋ)) = E(X∣ℋ) trong đó ¾(G, ℋ) là ¾−trường nhỏ nhất chứa cả G lẫn ℋ (7) Bất đẳng thức Jensen đối với kỳ vọng có điều kiện. Nếu g(x) là một hàm lồi trên tập I ⊂ ℝ và nếu X là một biến ngẫu nhiên lấy giá trị trên I thì g(E(X∣G)) ≤ E(g(X)∣G) (8) Sự hội tụ đơn điệu đối với kỳ vọng có điều kiện. Nếu 0 ≤ Xn và Xn ↑ X với E∣X∣ < ∞ thì E(Xn∣G) ↑ E(X∣G) (9) Bổ đề Fatou đối với kỳ vọng có điều kiện Nếu 0 ≤ X thì n ³ ´ E lim inf Xn∣G ≤ lim inf E(Xn∣G) n n (10) Sự hội tụ chặt đối với kỳ vọng có điều kiện Nếu lim Xn = X hầu chắc chắn và Xn ≤ Y với EY < ∞ thì n→∞ lim E(Xn∣G) = E(X∣G) n→∞ 57
  58. (11) Cho X và Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập và Á(x, y) là một hàm hai biến sao cho E∣Á(X, Y )∣ < ∞. Khi đó E (Á(X, Y )∣Y ) = E(Á(X, Y )) 4. Martingale 4.1. Định nghĩa Cho một quá trình ngẫu nhiên X = (Xt, t ≥ 0) thích nghi với bộ lọc (ℱt) và khả tích: E∣Xt∣ < ∞ với mọi t ≥ 0, giả sử s, t là hai giá trị dương, s ≤ t Khi đó ∙ Nếu E(Xt∣ℱs) ≤ Xs thì Xt được gọi là martingale trên. ∙ Nếu E(Xt∣ℱs) ≥ Xs thì Xt được gọi là martingale dưới. ∙ Nếu E(Xt∣ℱs) = Xs thì Xt là martingale đối với bộ lọc ℱ. Khi không nói bộ lọc nào thì ta hiểu (ℱt) là bộ lọc tự nhiên của (Xt) 4.2. Ứng dụng của lý thuyết martingale trong toán học tài chính Trong toán học tài chính, giá của các tài sản tài chính cơ bản (như giá cổ phiếu St, giá trái phiếu Bt) cũng như giá các tài sản phái sinh (như giá Quyền Chọn Vt ) đều được xem là các quá trình ngẫu nhiên. Nói chung, chúng không phải là những Martingale đối với một trừơng thông tin (Ft) đang xét. Giả sử Xt là giá của một tài sản tại thời điểm t mà ta cần xác định. Nói chung Xt không phải là là một martingale. Nếu bằng một cách nào đó ta biến đổi được Xt thành một quá trình Zt = Á(Xt) là một martingale và giả sử ta biết giá trị đáo hạn ZT . Khi đó vì E(ZT ∣ℱt) = Zt (t < T ) Nên ta có thể tính được giá Xt tại thời điểm t < T bởi −1 Xt = Á [E(ZT ∣ℱt)] (t < T ) Có 2 cách để thực hiện sự biến đổi nói trên 58
  59. (a) Áp dụng phân tích Doob – Meyer: Giả sử Xt là một martingale dưới. Ta có phân tích Xt = martingale Mt + quá trình tăng At Nếu tìm được cụ thể quá trình tăng At thì ta biến đổi được Xt thành một martingale cụ thể . Nếu (Xt) là một martingale trên thì (−Xt) là một martingale dưới do đó ta cũng có kết quả tương tự (b) Thực hiện một phép biến đổi độ đo xác suất: Khi ta nói Xt nói chung không phải là martingale, ấy là xét với độ đo xác suất ban đầu P đã cho. Bây giờ giả sử ta tìm được một độ đo xác suất mới Pe là tương đương với độ đo P và một phép biến đổi quá trình Xt thành một quá trình sao cho dưới xác suất Pe mới này thì XeT trở thành một martingale. Giả sử bằng một cách nào đó ta biết giá trị đáo hạn Xt tức là biết XeT . Theo tính chất martingale của Xet ta có: e e EPe(XT )∣ℱt) = Xt ∀t 0 là lãi suất không rủi ro còn T là thời điểm đáo hạn. e e 0 Vì EPe(XT ∣ℱt) = Xt = e .Xt nên cuối cùng ta có công thức định giá tài sản X tại thời điểm t < T −r(T −t) Xt = e .EPe(XT ) 59
  60. Xác suất Pe ở đây sẽ gọi là xác suất rủi ro trung tính hay còn gọi là độ đo martingale và ký hiệu là Q. ∙ Người ta chứng minh được rằng: Sự tồn tại của một độ đo martingale Q như vậy thì tương đương với sự kiện thị trường đang xét là không có độ chênh lệch thị giá có nghĩa là tương đương với nguyên lý AAO. 5. Định lý Girsanov Định lý Girsanov cung cấp cho ta một phương tiện để thực hiện một phép biến đổi độ đo xác suất, từ một độ đo P sang một độ đo Q mới tương đương với P sao cho dưới độ đo mới này thì một quá trình nào đó sẽ trở thành một martingale. Trong toán học tài chính, điều đó cho phép ta tìm ra được xác suất rủi ro trung tính Q (còn gọi là độ đo martingale) làm biến đổi quá trình giá tài sản Xt thành một quá trình Xe và là một martingale theo xác suất Q. Vì Q là martingale rồi, Xet được tính dễ dàng hơn, từ đó suy ra X. Cho (Ω, A, ℱt,P ) với 0 ≤ t ≤ T là một không gian xác suất được lọc trong đó ℱt là bộ lọc tự nhiên cảm sinh bởi quá trình chuyển động Brown tiêu chuẩn (ℬt)0≤t≤T . Khi đó định lý Girsanov được phát biểu như sau. Định lý Girsanov: Giả sử (µt)0≤t≤T là một quá trình tương thích sao cho RT 2 µsds < ∞ P − hầu chắc chắn và sao cho quá trình (Lt)0≤t≤T được xác định bởi: 0 ⎛ ⎞ Zt 1 L = exp ⎝− µ dB − µ2ds⎠ t s s 2 s 0 (L) là một ℱt−martingale. Khi đó với độ đo xác suất P có mật độ LT đối với P quá trình (Wt)0≤t≤T được xác định bởi Zt Wt = Bt + µsds 0 là một chuyển động Brown tiêu chuẩn. 60
  61. Tài liệu tham khảo [1] Martin Baxter and Andrew Rennie (1996) Financial Calculus: An Introduction to Derivative Pricing Cambridge Press, England [2] Espen Gaader Haug (1998) Hướng dẫn các công thức định giá quyền chọn (tiếng Anh), NXB Mc Graw- Hill, New York, Hoa Kỳ. [3] Nguyễn Văn Hữu (2007) Các phương pháp toán học trong tài chính, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội. [4] Nguyễn Văn Tiến Ích (2004) Thị trường chứng khoán, NXB Thống Kê, Hà Nội. [5] Trần Hùng Thao (2000) Tích phân ngẫu nhiên và phương trình vi phân ngẫu nhiên, NXB Khoa Học và Kỹ Thuật, Hà Nội [6] Trần Hùng Thao (2004) Nhập môn Toán học tài chính, NXB Khoa Học và Kỹ Thuật, Hà Nội. [7] Lê Văn Tư (2003) Tỷ giá hối đoái, NXB Thống Kê, Hà Nội. 61