Luận văn Khảo sát hiệu quả của tấm phẳng điều khiển dòng chảy qua tiết diện cầu bằng phương pháp số (Phần 1)

Nội dung text: Luận văn Khảo sát hiệu quả của tấm phẳng điều khiển dòng chảy qua tiết diện cầu bằng phương pháp số (Phần 1)

1. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH LUẬN VĂN THẠC SĨ HÀN NGỌC TRUNG KHẢO SÁT HIỆU QUẢ CỦA TẤM PHẲNG ĐIỀU KHIỂN DÒNG CHẢY QUA TIẾT DIỆN CẦU BẰNG PHƯƠNG PHÁP SỐ NGÀNH: CÔNG NGHỆ CHẾ TẠO MÁY - 605204 S K C0 0 3 5 9 1 Tp. Hồ Chí Minh, tháng 10/2012
2. BỘ GIÁO GIỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH LUẬN VĂN THẠC SĨ HÀN NGỌC TRUNG KHẢO SÁT HIỆU QUẢ CỦA TẤM PHẲNG ĐIỀU KHIỂN DÒNG CHẢY QUA TIẾT DIỆN CẦU BẰNG PHƯƠNG PHÁP SỐ NGÀNH: CÔNG NGHỆ CHẾ TẠO MÁY - 605204 Tp. Hồ Chí Minh, tháng 10 năm 2012
3. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH LUẬN VĂN THẠC SĨ HÀN NGỌC TRUNG KHẢO SÁT HIỆU QUẢ CỦA TẤM PHẲNG ĐIỀU KHIỂN DÒNG CHẢY QUA TIẾT DIỆN CẦU BẰNG PHƯƠNG PHÁP SỐ NGÀNH: CÔNG NGHỆ CHẾ TẠO MÁY Hướng dẫn khoa học: TS PHAN ĐỨC HUYNH Tp. Hồ Chí Minh, tháng 10/2012
4. LÝ LỊCH KHOA HỌC I. LÝ LỊCH SƠ LƢỢC: Họ & tên: HÀN NGỌC TRUNG Giới tính: Nam Ngày, tháng, năm sinh: 27/10/1986 Nơi sinh: Bắc Ninh Quê quán: Bắc Ninh Dân tộc: Kinh Chỗ ở riêng hoặc địa chỉ liên lạc: 1096/1 - Kha Vạn Cân - Linh Chiểu - Quận Thủ Đức - TPHCM. Điện thoại cơ quan: Điện thoại: 0988.527.630 Fax: E-mail: trung.ductin@gmail.com II. QUÁ TRÌNH ĐÀO TẠO: 1. Đại học: Hệ đào tạo: Đại học chính quy Thời gian đào tạo từ 09/2004 đến 09/2009 Nơi học (trƣờng, thành phố): ĐHSP KỸ THUẬT TPHCM Ngành học: CƠ KHÍ CHẾ TẠO MÁY III. QUÁ TRÌNH CÔNG TÁC CHUYÊN MÔN KỂ TỪ KHI TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC: Thời gian Nơi công tác Công việc đảm nhiệm 09/2010 ĐHSP Kỹ Thuật TP.HCM Học viên cao học i
5. LỜI CAM ĐOAN Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi. Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chƣa từng đƣợc ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác Tp. Hồ Chí Minh, ngày 20 tháng 10 năm 2012 (Ký tên và ghi rõ họ tên) ii
6. CẢM TẠ Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa Xây Dựng và Cơ Học Ứng Dụng và khoa Cơ Khí Chế Tạo Máy trƣờng Đại học Sƣ Phạm Kỹ Thuật TP.Hồ Chí Minh đã tận tình giúp đỡ, hƣớng dẫn và tạo điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành luận văn tốt nghiệp. Đặc biệt, tôi xin chân thành cảm ơn thầy TS. Phan Đức Huynh, dù rất bận rộn với công việc giảng dạy nhƣng thầy vẫn luôn dành thời gian quan tâm, hƣớng dẫn, chỉ bảo tận tình cho tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn. Tôi cũng chân thành cám ơn thầy ThS. Nguyễn Hoàng Sơn đã nhiệt tình giúp đỡ tôi trong suốt quá trình nghiên cứu. iii
7. TÓM TẮT Dầm chính cầu dây văng dễ bị dao động do gió, nhƣ xoáy hoặc rung xoắn. Đặc biệt hiện nay các cầu dây văng đƣợc thiết kế ngày càng dài hơn và nhẹ hơn thì mức độ ảnh hƣởng càng trở nên nghiêm trọng. Tấm phẳng đã đƣợc sử dụng rộng rãi nhƣ các thiết bị giảm xóc khí động học. Việc lắp đặt tấm phẳng lên dầm chính của cầu dây văng, nhằm mục đính ngăn chặn sự kích thích xoáy và rung xoắn. Trong nghiên cứu này, tác giả sử dụng phƣơng pháp biên nhúng để khảo sát hiệu quả của tấm phẳng điều khiển dòng chảy qua tiết diện cầu. Kết quả cho thấy tấm phẳng có tác dụng ổn định khí động học rất tốt tới cầu dây văng. iv
8. ABSTRACT The study of the aerodynamic stability of long-span suspension bridge is very important in design state. One of control methods is to change the flow over the bridge deck, so that the aerodynamic forces will be changed. This study investigates the effectiveness of control surface attached to bridge deck by using the immersed boundary method. The results show that the values of the aerodynamic forces are reduced after controlling the control surfaces. v
9. MỤC LỤC TRANG TỰA QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LÝ LỊCH CÁ NHÂN i LỜI CAM ĐOAN ii CẢM TẠ iii TÓM TẮT iv ABSTRACT v MỤC LỤC vi KÝ HIỆU KHOA HỌC viii DANH SÁCH CÁC BẢNG ix DANH SÁCH CÁC HÌNH x Chƣơng 1. TỔNG QUAN 1 1.1 GIỚI THIỆU CHUNG 1 1.2 LỊCH SỬ NGHIÊN CỨU TRONG VÀ NGOÀI NƢỚC 2 1.3 PHƢƠNG PHÁP BIÊN NHÚNG IBM 4 1.4 NHIỆM VỤ CỦA LUẬN VĂN 5 Chƣơng 2. TỔNG QUAN VỀ PHƢƠNG PHÁP BIÊN NHÚNG 6 Chƣơng 3. PHƢƠNG PHÁP BIÊN NHÚNG CHO BIÊN CỨNG 8 3.1 PHƢƠNG TRÌNH ĐỘNG LƢỢNG 8 3.2 PHƢƠNG PHÁP SỐ 9 3.2.1 Rời rạc không gian và thời gian 9 3.2.2 Giải vật thể 10 3.2.3 Giải hệ phƣơng trình Navier-stokes 11 3.2.3.1 Sử lý phi tuyến độ nhớt 11 3.2.3.2 Hiệu chỉnh áp suất 12 3.2.3.3 Lƣới so le 13 vi
10. 3.2.3.3.1 Đạo hàm xấp xỉ 14 3.2.3.3.2 Điều kiện biên 16 3.2.3.3.3 Phƣơng trình poisson 18 3.3 BIÊN CỨNG 19 Chƣơng 4. CẤU TRÚC HÀM DIRAC DELTA 21 Chƣơng 5. KẾT QUẢ TÍNH TOÁN 26 5.1 SỐ LIỆU TÍNH TOÁN VÀ LẬP TRÌNH 26 5.2 KẾT QUẢ TÍNH TOÁN VÀ NHẬN XÉT 28 Chƣơng 6. KẾT LUẬN VÀ HƢỚNG PHÁT TRIỂN 42 6.1 KẾT LUẬN 42 6.2 HƢỚNG PHÁT TRIỂN 43 TÀI LIỆU THAM KHẢO 44 THE 2012 INTERNATIONAL CONFERENCE ON GREEN TECHNOLOGY AND SUSTAINABLE DEVELOPMENT 45 NUMERICALLY STUDY EFFECTIVENESS OF CONTROL SURFACE ON AERODYNAMIC OF BRIDGE DECK BY USING IMMERSED BOUNDARY METHOD 46 INVESTIGATING THE FLOW OVER BRIDGE DECK CONTROLLED BY CONTROL SURFACES BY USING IMMERSED BOUNDAY METHOD 51 vii
11. KÝ HIỆU KHOA HỌC X s,t X s,t ,Y s,t X ,Y k k là hàm vecto đƣợc cho bởi tọa độ của các điểm trên biên Γ(nhƣ là một hàm của độ dài cung s và thời gian t). k=0,1,2, ,m-1 F Fx s,t , Fy s,t là lực biên (boundary force density) U s,t U s,t ,V s,t Uk ,Vk là vận tốc của điểm lƣới Lagrangian f f x x,t , f y x,t là lực vật thể đƣợc tích hợp vào phƣơng trình Navier-Stokes x x, y là tọa độ theo lƣới Eulerian u x,t u x,t ,v x,t là vận tốc của lƣu chất ( theo 2 chiều x, y) p x,t là áp suất của lƣu chất. là khối lƣợng riêng của lƣu chất  là độ nhớt u* là vận tốc trung gian (trƣờng vận tốc) ∇p là gradient áp suất.  2  2 x 2 y 2 là toán tử Laplace   grap  , x y δ δ (.) xem nhƣ là một ký hiệu và đƣợc dùng : (  .) thay vì div =∇.= + δx δy (với grap,div là các hàm đƣợc sử dụng trong toán tử laplace) Lb là chiều dài của đƣờng cong khép kín Γ 훿 퐱 − 퐗 푠, 푡 = 훿 − 훿 y − Y là hàm Dirac Delta. viii
12. DANH SÁCH CÁC BẢNG Bảng 5.1: Các hệ số tính toán 27 Bảng 5.2: Kí hiệu các hệ số trong biểu đồ 27 Bảng 5.3: Kết quả hệ số cản CD 37 Bảng 5.4: Kết quả hệ số nâng CL 38 Bảng 5.5: Kết quả hệ số moment CM 40 ix
13. DANH SÁCH CÁC HÌNH Hình 1.1: Kích thƣớc tiết diện cầu 2 Hình 1.2: Kích thƣớc và vị trí tấm phẳng lắp đặt lên tiết diện cầu 3 Hình 1.3: Ảnh chụp luồng khói thổi qua tiết diện cầu không có tấm phẳng 3 Hình 1.4: Ảnh chụp luồng khói thổi qua tiết diện cầu có lắp đặt tấm phẳng 3 Hình 2.1: Biểu diễn lƣới chứa vật thể biên nhúng 6 Hình 3.1: a) Biểu đồ lƣu chất – hệ thống biên nhúng b) Rời rạc Eulerian (chấm sáng) và lƣới Lagrangian (chấm đen) 10 Hình 3.2: Lƣới so le 13 Hình 4.1: Rời rạc hàm Dirac delta 25 Hình 5.1: Kích thƣớc tính toán tiết diện cầu không có tấm phẳng 26 Hình 5.2: Kích thƣớc tính toán tiết diện cầu lắp đặt tấm phẳng với góc θ=300 26 Hình 5.3: Dòng chảy qua tiết diện cầu tại góc tới α là 00 28 Hình 5.4: Dòng chảy qua tiết diện cầu tại thời gian t = 6.6s 31 Hình 5.5: Áp suất cho cầu không có tấm phẳng với góc tới α = 00 33 Hình 5.6: Áp suất cho cầu lắp đặt tấm phẳng θ=300 với góc tới α = 00 33 Hình 5.7: Biểu đồ quan hệ giữa hệ số cản và góc tới α 37 Hình 5.8: Biểu đồ giữa hệ số nâng và góc tới α 39 Hình 5.9: Biểu đồ quan hệ giữa hệ số moment và góc tới α 40 x
14. Chƣơng 1 TỔNG QUAN 1.1 GIỚI THIỆU CHUNG Dầm chính cầu dây văng dễ bị dao động do gió, như xoáy hoặc rung xoắn. Đặc biệt hiện nay các cầu dây văng được thiết kế ngày càng dài hơn và nhẹ hơn thì mức độ ảnh hưởng càng trở nên nghiêm trọng. Tấm phẳng đã được sử dụng rộng rãi như các thiết bị giảm xóc khí động học. Việc lắp đặt tấm phẳng lên dầm chính của cầu dây văng, nhằm mục đính ngăn chặn sự kích thích xoáy và rung xoắn. Đã có nhiều thí nghiệm được thực hiện, nhưng vẫn còn một số tồn tại chưa giải quyết được. Mức độ hiệu quả của tấm phẳng, vị trí lắp đặt tấm phẳng cho hiệu quả tốt nhất, và những hình ảnh giải thích cho sự hiệu quả đó. Việc thử nghiệm thường tốn rất nhiều thời gian, tiền bạc nhưng lại cho kết quả chưa thực sự chính xác. Thí nghiệm phụ thuộc quá nhiều vào điều kiện thí nghiệm, cũng như những tác động không chính xác từ phía con người. Trước sự phát triển vượt bậc của máy tính điện tử cũng như ngành tin học, việc ứng dụng các phương pháp số dưới sự hỗ trợ của máy tính để giải quyết các bài toán cơ học trở nên phổ biến và cần thiết bởi những tính năng vượt trội của nó (giải quyết nhanh và cho kết quả chính xác). Vì vậy nhiều phương pháp tính số đã và đang phát triển mạnh mẽ và trở thành một công cụ hữu hiệu không thể thiếu được khi giải quyết các bài toán khoa học – kỹ thuật (phương pháp sai phân hữu hạn, phương pháp phần tử hữu hạn, phương pháp phần tử biên, các phương pháp không lưới, thể tích hữu hạn ). Trong lĩnh vực tính toán động lực học lưu chất (Computational Fluid Dynamics-CFD) hay tương tác giữa lưu chất và kết cấu (Fluid-Structure Interaction- FSI) đã có sự tiến bộ đáng kể về phương pháp tính toán chính xác và hiệu quả đối với những hình dạng phức tạp bất kỳ hay biên di chuyển. Phương pháp biên nhúng (Immersed Boundary Methods - IBMs) gần đây đã được đưa ra để áp dụng đối với những dạng hình học phức tạp hay biên di chuyển trong khi yêu cầu tính toán ít hơn 1
15. so với các phương pháp khác mà vẫn đảm bảo được sự chính xác. Những ưu điểm chính của IBMs là tạo lưới dễ hơn và không cần chia lưới lại khi vật thể thay đổi hay biên di chuyển. IBMs lần đầu tiên được giới thiệu bởi Peskin (1972). Ứng dụng của IBMs là tập trung chủ yếu vào dòng chảy với sự di chuyển của các biên và mô phỏng dòng chảy xung quanh những vật thể có dạng hình học phức tạp. Trong nghiên cứu này tác giả sử dụng phương pháp số là phương pháp biên nhúng (IBM) để khảo sát hiệu quả của tấm phẳng, điều khiển dòng chảy qua tiết diện cầu. Tính toán và lập trình với sự hỗ trợ của phần mềm matlab. 1.2 LỊCH SỬ NGHIÊN CỨU TRONG VÀ NGOÀI NƢỚC Ảnh hưởng của tấm phẳng đến sự ổn định khí động học của cầu dây văng được thí nghiệm bởi 3 nhà khoa học người Nhật: Shinichi MIYACHI, Masahiro YONEDA và Katsuya EDAMOTO. Mặt cắt ngang của mô hình cầu sử dụng để thí nghiệm trong hầm gió được thể hiện trong hình 1.1 Hình 1.1: Kích thước tiết diện cầu Chiều rộng của tấm phẳng lắp đặt ở mặt bên của mô hình là b = 20 mm. Thí nghiệm được thực hiện bằng cách thay đổi góc θ như trong hình 1.2 với góc θ = 300 và góc θ = 450. 2
16. Hình 1.2: Kích thước và vị trí tấm phẳng lắp đặt lên tiết diện cầu Thí nghiệm mô phỏng dùng một luồng khói được thổi liên tục với tốc độ gió là u = 5 m/s. Kết quả thử nghiệm trên hai mô hình cầu không có tấm phẳng hình 1.3 và cầu có lắp đặt tấm phẳng hình 1.4 với góc thổi là α = + 30. Hình 1.3: Ảnh chụp luồng khói thổi qua tiết diện cầu không có tấm phẳng Hình 1.4: Ảnh chụp luồng khói thổi qua tiết diện cầu có lắp đặt tấm phẳng Sau khi tiến hành thí nghiệm với hai loại trên, ba nhà khoa học người nhật đã đưa ra một số kết luận chính như sau. 3
17. 1. Tấm phẳng có hiệu quả cải thiện sự ổn định khí động lực chống lại sự kích thích xoáy của cầu. 2. Tấm phẳng được lắp đặt với góc θ = 300 có tác dụng tốt cho ổn định khí động học chống lại rung xoắn. 3. Hiệu quả của tấm phẳng chống rung xoắn có thể được đánh giá bởi giá trị dCM/ dα trong các thí nghiệm khí động lực. Thí nghiệm trên đã chứng minh được tấm phẳng có hiệu quả tốt chống lại rung xoắn. Mức độ ổn định khí động học được đánh giá bởi giá trị độ dốc của hệ số moment dCM/ dα càng lớn thì ổn định khí động học càng cao. 1.3 PHƢƠNG PHÁP BIÊN NHÚNG IBM Việc tính toán cho các bài toán thực tế hiện nay đã có rất nhiều phương pháp được sử dụng và nói chung các phương pháp này đều phải sử dụng đến việc chia lưới. Tuy nhiên, đối với những bài toán mà hình dạng vật thể phức tạp thì việc chia lưới theo những cách thông thường sẽ tạo nên một sự khó khăn và một chí phí lớn cho quá trình tính toán. Theo đó cần phải tìm ra một phương pháp mà việc chia lưới là đơn giản hơn để phân tích một cách có hiệu quả cho việc tính toán, và hiện nay nhiều nước và nhiều nhà khoa học trên thế giới đang nghiên cứu một phương pháp mà việc chia lưới rất là đơn giản bằng cách chia lưới trực tiếp trên các ô vuông của lưới Cartesian. Phương pháp đó có tên là “Phương pháp nhúng biên ” (Immersed Boundary Method). Phương pháp Immersed Boundary (IB) lần đầu tiên được sử dụng và phát triển bởi Peskin (1972) để nghiên cứu lưu lượng máu quanh van tim. Đặc trưng phân biệt của phương pháp này là toàn bộ việc mô phỏng được tiến hành trực tiếp trên lưới Cartesian, mà không phụ thuộc vào hình dạng của vật thể. Từ khi Peskin giới thiệu phương pháp này, thì nhiều phương thức tiếp cận về phương pháp này được đưa ra nghiên cứu và phát triển không ngừng. Có khá nhiều phương thức khác nhau sử phương pháp lưới Cartesian, mà phát triển ban đầu là việc mô phỏng dòng chảy 4
18. không nhớt trên lưới Cartesian khi được nhúng vào một vật thể có hình dạng phức tạp (Berger & Aftosmis 1998, Clarkeet 1986, Zeeuw & Powell 1991). Các phương pháp này sau đó đã được mở rộng để mô phỏng dòng chảy nhớt tỉnh (Udaykumar 1996, Ye 1999). Về sau các ứng dụng của phương pháp này liên quan đến các bài toán chất lỏng tương tác chất lỏng hoặc chất lỏng tương tác với khí đã được phát triển bởi Andersone(1998) và Scardovelli & Zaleski (1999). Đối với phương pháp IB thì các công trình nghiên cứu trong nước vẫn chưa lớn mạnh và còn mang tính khởi đầu. IBM đã được pháp triển từ 1972 nên đã và đang có rất nhiều công trình nghiên cứu và bài báo về chúng. Trong nghiên cứu này tác giả dựa trực tiếp vào các bài báo khoa học quốc tế và một số tài liệu đã có về IBM để tìm hiểu và phát triển. Sau khi nghiên cứu lý thuyết, tác giả sử dụng sự trợ giúp của phần mềm Matlab để tính toán và lập trình. 1.4 NHIỆM VỤ CỦA LUẬN VĂN Các nội dung nghiên cứu chính trong luận văn: - Vận dụng phương pháp biên nhúng để tính toán, mô phỏng động học tương tác giữa lưu chất và tiết diện cầu. Sử dụng ngôn ngữ lập trình Matlab tính toán và lập trình. - Tính lực nâng, lực cản, moment, áp suất, và mô phỏng dòng chảy qua tiết diện cầu. - Xác định mức độ hiệu quả ổn định khí động học của tấm phẳng đối với tiết diện cầu. - Xác định vị trí lắp đặt tấm phẳng cho hiệu quả ổn định khí động học tốt nhất. - Cuối cùng, tác giả sẽ đưa ra các kết luận về kết quả thực hiện. Nêu lên các vấn đề đã giải quyết được, các vấn đề còn tồn đọng chưa được giải quyết và đề xuất hướng phát triển của đề tài. 5
19. Chƣơng 2: TỔNG QUAN VỀ PHƢƠNG PHÁP BIÊN NHÚNG IMMERSED BOUNDARY METHOD (IBM) 2.1 PHƢƠNG PHÁP BIÊN NHÚNG Phương pháp biên nhúng là phương pháp trong tính toán động lực học chất lỏng. Mô hình và mô phỏng hệ thống trong đó các cấu trúc đàn hồi (hoặc màng) tương tác với dòng chảy chất lỏng. Xử lý biên đàn hồi thay đổi dòng chảy của chất lỏng và đồng thời chất lỏng di chuyển làm biên đàn hồi biến dạng cấu trúc và dòng chảy chất lỏng, gây ra một số vấn đề thách thức đối với mô phỏng số. Phương pháp biên nhúng được thể hiện trong hệ lưới Euler kết hợp với các cấu trúc trong hệ lưới Largange. Hình 2.1: Biểu diễn lưới chứa vật thể biên nhúng Phương pháp biên nhúng là xây dựng một bài toán và phương pháp giải quyết các vấn đề động lực học lưu chất. Trong phương pháp này, các phương trình động lực học chất lỏng được sử dụng, để mô tả không chỉ chất lỏng mà còn phần tử đàn hồi nhúng mà nó tương tác. Các phương trình chất lỏng được giải quyết trên một mạng lưới cố định Euler và các lực đàn hồi được tính toán từ một đại diện Larange của vật thể đàn hồi nhúng. Vật thể di chuyển tự do thông qua các hệ thống lưới. Hai thành phần Euler/Largange được liên kết bởi một hàm Dirac delta. Chức năng của hàm này được sử dụng để áp dụng các lực đàn hồi chất lỏng và nội suy vận tốc chất lỏng ở các điểm đại diện của vật thể đàn hồi. 6
20. Phương pháp IMB kết hợp cả công thức toán học và một chương trình số. Việc xây dựng toán học sử dụng một hỗn hợp của các biến Euler và Largange, có liên quan bởi các phương trình tương tác. Trong đó các chức năng của hàm Dirac Delta đóng một vai trò nổi bật. Lợi thế lớn của phương pháp này khi so sánh với các phương pháp số khác là để mô phỏng một vật thể nhúng cố định hoặc di chuyển, với bất kỳ hình dạng hình học, sử dụng một mạng lưới Cartesian cố định (Euler lưới). Ưu điểm của phương pháp IBM: Sử dụng phương pháp chia lưới giống như phương pháp sai phân hữu hạn là chia lưới trên toàn miền. Chia lưới trên toàn miền có lợi hơn các phương pháp khác là có thể chia lưới cho các vật có cấu trúc phức tạp. Tạo lưới dễ hơn và không cần chia lưới lại khi vật thể thay đổi hay biên di chuyển. 7
21. Chƣơng 3 PHƢƠNG PHÁP BIÊN NHÚNG CHO BIÊN CỨNG 3.1 PHƢƠNG TRÌNH ĐỘNG LƢỢNG Công thức toán được kết hợp giữa biến Euler và biến Lagrange. Biến Euler được xác định trên hệ tọa độ Đềcác cố định. Biến Lagrange được xác định trên một đường cong. Đường cong này di chuyển tự do qua hệ tọa độ Đềcác cố định. Các phương trình tương tác của chương trình số phụ thuộc hàm xấp xỉ Dirac Delta. Chúng ta xét mô hình chất lỏng không nén được trong miền  hai chiều có chứa một biên nhúng là một đường cong khép kín  (Hình 3.1a). Hình dạng của biên nhúng được cho bởi tham số: X s,t , 0 s Lb , X 0,t X Lb ,t . Trong đó Lb là chiều dài của đường cong  , và X s,t là hàm vector chỉ vị trí các điểm nút trên đường cong với chiều dài s và thời gian t. Biên nhúng được cho bởi một lực đơn. Lực này được kết hợp lại thành lực vật thể f trong hệ phương trình Navier-Stokes. Khi đó hệ phương trình Navier-Stokes được giải để xác định vận tốc dòng chảy của miền lưu chất  . Khi đó biên nhúng tương tác với dòng lưu chất, vận tốc của nó phải phù hợp với điều kiện biên không trượt. Phương trình động lượng của hệ thống được xác định như sau: ∂u ρ + ρ(u.∇)u +∇p = μΔu +f (3.1) ∂t u 0 (3.2) Với x x, y và X X,Y , u x,t u x,t ,v x,t là vận tốc lưu chất và p x,t là áp suất của miền lưu chất. Các hệ số và  là khối lượng riêng và độ nhớt của lưu chất. Lực vật thể tác dụng lên miền lưu chất là f x,t f x x,t , f y x,t hay f x,t F s,t  x X s,t ds (3.3)  8
22. S K L 0 0 2 1 5 4