›
›

Giáo trình Xử lý tín hiệu số

doc 171 trang phuongnguyen 7320
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Xử lý tín hiệu số", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docgiao_trinh_xu_ly_tin_hieu_so.doc

Nội dung text: Giáo trình Xử lý tín hiệu số

  1. Giáo trình Xử lý tín hiệu số 1
  2. MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU 4 CHƯƠNG I 5 TÍN HIỆU RỜI RẠC VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC 5 1.1. MỞ ĐẦU 5 1.2. TÍN HIỆU RỜI RẠC 5 1.2.2. Phân loại tín hiệu: 5 1.2.3. Tín hiệu rời rạc - dãy 6 1.3. HỆ THỐNG RỜI RẠC 10 1.3.1. Khái niệm. 10 1.4. HỆ THỐNG BẤT BIẾN THEO THỜI GIAN (LTI: Linear Time-14 1.4.1. Khái niệm 14 1.4.2. Tổng chập (CONVOLUTION SUM) 14 1.4.3. Các hệ thống LTI đặc biệt. 18 1.5.PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH HỆ SỐ HẰNG 20 1.5.1. Khái niệm 20 1.5.2. Nghiệm của LCCDE 21 1.5.3. Hệ thống rời rạc đệ qui và không đệ quy 24 1.6 TƯƠNG QUAN CỦA CÁC TÍN HIỆU RỜI RẠC 26 1.6.1. Tương quan chéo 27 1.6.2. Tự tương quan 27 1.6.3. Một số tính chất của tương quan chéo và tự tương quan: 28 1.7. XỬ LÝ SỐ TÍN HIỆU TƯƠNG TỰ 29 1.7.1. Các hệ thống xử lý tín hiệu: 29 1.7.2. Hệ thống xử lý số tín hiệu tương tự: 29 BÀI TẬP CHƯƠNG 1 35 CHƯƠNG II 38 BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC TRONG MIỀN Z 38 2.1 MỞ ĐẦU: 38 2.2 CÁC KHÁI NIỆM VỀ BIẾN ĐỔI Z 38 2.2.1. Biến đổi Z ( THE Z - TRANSFORM) 38 2.2.2. Miền hội tụ (ROC: Region of Convergence) 39 2.2.3. Biến đổi Z ngược 44 2.3 CÁC TÍNH CHẤT CỦA BIẾN ĐỔI Z 46 2.4.1. Phương pháp tra bảng: 53 2.4.2. Phương pháp triển khai thành các phân thức tối giản. 53 2.4.3. Phương pháp triển khai thành chuỗi luỹ thừa 55 MỘT PHÍA 55 2
  3. 2.5.1. Biến đổi Z một phía 55 2.5.2. Giải phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng: 55 2.6 PHÂN TÍCH HỆ THỐNG LTI TRONG MIỀN Z 55 2.6.1. Hàm truyền đạt của hệ thống LTI 55 2.6.2. Đáp ứng của hệ thống cực-zero nghỉ 55 2.6.3. Đáp ứng của hệ thống cực-zero với điều kiện đầu khác 0. 55 2.6.4. Đáp ứng quá độ (TRANSIENT RESPONSE) và đáp ứng xác lập (STEADY - STATE RESPONSE) 55 2.6.5. Hệ thống ổn định và nhân quả. 55 2.7 THỰC HIỆN CÁC HỆ THỐNG RỜI RẠC 55 2.7.1. Mở đầu: 55 2.7.2. Hệ thống IIR (đệ quy) 55 2.7.3. Hệ thống FIR (không đệ quy) 55 BÀI TẬP CHƯƠNG 2 55 CHƯƠNG III 55 PHÂN TÍCH TẦN SỐ CỦA TÍN HIỆU 55 3.1 MỞ ĐẦU 55 3.2 TẦN SỐ CỦA TÍN HIỆU RỜI RẠC 55 3.2.1. Tín hiệu tương tự tuần hoàn theo thời gian 55 3.2.2. Tín hiệu rời rạc tuần hoàn hình sin 55 3.2.3 Mối liên hệ của tần số F của tín hiệu tương tự xa(t) và tần số f của tín hiệu rời rạc x(n) được lấy mẫu từ xa(t) 55 3.2.4. Các tín hiệu hàm mũ phức có quan hệ hài 55 3.3 PHÂN TÍCH TẦN SỐ CỦA TÍN HIỆU LIÊN TỤC 55 3.3.1. Phân tích tần số của một tín hiệu liên tục tuần hoàn theo thời gian – chuỗi fourier 55 3.3.2. Phổ mật độ công suất của tín hiệu tuần hoàn 55 3.3.3. Phân tích tần số của tín hiệu liên tục không tuần hoàn – biến đổi fourier 55 3.3.4. Phổ mật độ năng lượng của tín hiệu không tuần hoàn 55 3.4 PHẤN TÍCH TẦN SỐ CỦA TÍN HIỆU RỜI RẠC 55 3.4.1. Chuỗi fourier của tín hiệu rời rạc tuần hoàn 55 3.4.2. Phổ mật độ công suất của tín hiệu rời rạc tuần hoàn 55 Phổ mật độ công suất – Phổ biên độ – Phổ pha: 55 3.4.3. Phân tích tần số của tín hiệu rời rạc không tuần hoàn – biến đổi fourier 55 3.4.4. Phổ mật độ năng lượng của tín hiệu không tuần hoàn 55 3.4.5. Các tính chất của biến đổi fourier của tín hiệu rời rạc theo thời gian 55 3.5 LẤY MẪU TÍN HIỆU TRONG MIỀN THỜI GIAN VÀ MIỀN TẦN SỐ 55 3.5.1. Lấy mẫu trong miền thời gian và khôi phục tín hiệu tương tự.55 3.5.2. Lấy mẫu trong miền tần số và khôi phục tín hiệu rời rạc theo thời gian 55 3.6 BIẾN ĐỔI FOURIER RỜI RẠC (DFT DISCRETE FOURIER TRANFORM) 55 3.6.1. Khái niệm 55 3.6.2. Quan hệ giữa DFT và các biến đổi khác 55 3
  4. BÀI TẬP CHƯƠNG 3 55 CHƯƠNG IV 55 BIỂU DIỄN, PHÂN TÍCH HỆ THỐNG RỜI RẠC TRONG MIỀN TẦN SỐ 55 4.1 CÁC ĐẶC TÍNH CỦA HỆ THỐNG LTI TRONG MIỀN TẦN SỐ55 4.1.1. Đáp ứng tần số của hệ thống LTI 55 4.1.2. Đáp ứng quá độ và đáp ứng xác lập với tín hiệu hình sin 55 4.1.3. Đáp ứng xác lập với tín hiệu vào tuần hoàn 55 4.2. PHÂN TÍCH HỆ THỐNG LTI TRONG MIỀN TẦN SỐ 55 4.2.1. Quan hệ vào-ra trong miền tần số 55 4.2.2. Tính hàm đáp ứng tần số. 55 4.3. HỆ THỐNG LTI VÀ MẠCH LỌC SỐ 55 4.3.1. Lọc chọn tần lý tưởng 55 4.3.2. Tính không khả thi của bộ lọc lý tưởng 55 4.3.3. Mạch lọc thực tế 55 BÀI TẬP CHƯƠNG 4 55 TÀI LIỆU THAM KHẢO 55 PHỤ LỤC 55 MỘT SỐ CHƯƠNG TRÌNH MẪU DÙNG NGÔN NGỮ MATLAB TRONG XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ 55 4
  5. LỜI NÓI ĐẦU Xử lý tín hiệu số (Digital Signal Processing - DSP) hay tổng quát hơn, xử lý tín hiệu rời rạc theo thời gian (Discrete-Time Signal Processing - DSP) là một môn cơ sở không thể thiếu được cho nhiều ngành khoa học, kỹ thuật như: điện, điện tử, tự động hóa, điều khiển, viễn thông, tin học, vật lý, Tín hiệu liên tục theo thời gian (tín hiệu tương tự) cũng được xử lý một cách hiệu quả theo qui trình: biến đổi tín hiệu tương tự thành tín hiệu số (biến đổi A/D), xử lý tín hiệu số (lọc, biến đổi, tách lấy thông tin, nén, lưu trữ, truyền, ) và sau đó, nếu cần, phục hồi lại thành tín hiệu tương tự (biến đổi D/A) để phục vụ cho các mục đích cụ thể. Các hệ thống xử lý tín hiệu số, hệ thống rời rạc, có thể là phần cứng hay phần mềm hay kết hợp cả hai. Xứ lý tín hiệu số có nội dung khá rộng dựa trên một cơ sở toán học tương đối phức tạp. Nó có nhiều ứng dụng đa dạng, trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Nhưng các ứng dụng trong từng lĩnh vực lại mang tính chuyên sâu. Có thể nói, xử lý tín hiệu số ngày nay đã trở thành một ngành khoa học chứ không phải là một môn học. Vì vậy, chương trình giảng dạy bậc đại học chỉ có thể bao gồm các phần cơ bản nhất, sao cho có thể làm nền tảng cho các nghiên cứu ứng dụng sau này. Vấn đề là phải chọn lựa nội dung và cấu trúc chương trình cho thích hợp. Nhằm mục đích xây dựng giáo trình học tập cho sinh viên chuyên ngành Điện tử - Viễn thông tại khoa Công nghệ thông tin môn học Xử lý tín hiệu số I, II, cũng như làm tài liệu tham khảo cho sinh viên chuyên ngành Công nghệ thông tin môn học Xử lý tín hiệu số, giáo trình được biên soạn với nội dung khá chi tiết và có nhiều ví dụ minh họa. Nội dung chủ yếu của giáo trình Xử lý tín hiệu số I bao gồm các kiến thức cơ bản về xử lý tín hiệu, các phương pháp biến đối Z, Fourier, DFT, FFT trong xử lý tín hiệu, phân tích tín hiệu và hệ thống trên các miền tương ứng. Nội dung chủ yếu của giáo trình Xử lý tín hiệu số II bao gồm các kiến thức về phân tích và tổng hợp bộ lọc số, các kiến thức nâng cao như bộ lọc đa vận tốc, xử lý thích nghi, xử lý thời gian – tần số wavelet, các bộ xử lý tín hiệu số và một số ứng dụng của xử lý số tín hiệu. Do hạn chế về thời gian và sự phức tạp về mặt toán học của môn học, các kiến thức lý thuyết trong giáo trình chủ yếu sưu tầm, chọn lọc từ các tài liệu tham khảo, nhưng có bổ sung cho phù hợp với yêu cầu đào tạo, đặc biệt phần phụ lục các chương trình ví dụ xử lý số tín hiệu trên MATLAB, các chương trình xử lý tín hiệu số trên DSP TMS320 đã được tác giả xây dựng khá chi tiết và đầy đủ. Những thiếu sót cần phải điều chỉnh và bổ sung sẽ được sửa chữa trong lần tái bản sau. Xin đón nhận sự đóng góp ý kiến của quí thầy cô và các em sinh viên. Xin chân thành cảm ơn các thầy cô và các bạn đã giúp đỡ chúng tôi hoàn thành giáo trình. Nhóm tác giả: Ths. Đỗ Huy Khôi Ths. Phùng Trung Nghĩa Bộ môn ĐTVT- Khoa CNTT - Đại học Thái Nguyên CHƯƠNG I 5
  6. CHƯƠNG I TÍN HIỆU RỜI RẠC VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC 1.1. MỞ ĐẦU Sự phát triển của công nghệ vi điện tử và máy tính cùng với sự phát triển của thuật toán tính toán nhanh đã làm phát triển mạnh mẽ các ứng dụng của XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ (Digital Signal Proccessing). Hiện nay, xử lý tín hiệu số đã trở thành một trong những ứng dụng cơ bản cho kỹ thuật mạch tích hợp hiện đại với các chip có thể lập trình ở tốc độ cao. Xử lý tín hiệu số được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau như: - Xử lý tín hiệu âm thanh, tiếng nói: nhận dạng tiếng nói, người nói; tổng hợp tiếng nói / biến văn bản thành tiếng nói; kỹ thuật âm thanh số ; - Xử lý ảnh: thu nhận và khôi phục ảnh; làm nổi đường biên; lọc nhiễu; nhận dạng; thị giác máy; hoạt hình; các kỹ xảo về hình ảnh; bản đồ; - Viễn thông: xử lý tín hiệu thoại và tín hiệu hình ảnh, video; truyền dữ liệu; khử xuyên kênh; điều chế, mã hóa tín hiệu; - Thiết bị đo lường và điều khiển: phân tích phổ; đo lường địa chấn; điều khiển vị trí và tốc độ; điều khiển tự động; - Quân sự: truyền thông bảo mật; xử lý tín hiệu rada, sonar; dẫn đường tên lửa; - Y học: não đồ; điện tim; chụp X quang; chụp CT(Computed Tomography Scans); nội soi; Có thể nói, xử lý tín hiệu số là nền tảng cho mọi lĩnh vực và chưa có sự biểu hiện bão hòa trong sự phát triển của nó. Việc xử lý tín hiệu rời rạc được thực hiện bởi các hệ thống rời rạc. Trong chương 1 này, chúng ta nghiên cứu về các vấn đề biểu diễn, phân tích, nhận dạng, thiết kế và thực hiện hệ thống rời rạc. 1.2. TÍN HIỆU RỜI RẠC 1.2.1. Định nghĩa tín hiệu: Tín hiệu là một đại lượng vật lý chứa thông tin (information). Về mặt toán học, tín hiệu được biểu diễn bằng một hàm của một hay nhiều biến độc lập. Tín hiệu là một dạng vật chất có một đại lượng vật lý được biến đổi theo qui luật của tin tức. Về phương diện toán học, các tín hiệu được biểu diễn như những hàm số của một hay nhiều biến độc lập. Chẳng hạn, tín hiệu tiếng nói được biểu thị như một hàm số của thời gian còn tín hiệu hình ảnh thì lại được biểu diễn như một hàm số độ sáng của hai biến số không gian. Mỗi loại tín hiệu khác nhau có các tham số đặc trưng riêng, tuy nhiên tất cả các loại tín hiệu đều có các tham số cơ bản là độ lớn (giá trị), năng lượng và công suất, chính các tham số đó nói lên bản chất vật chất của tín hiệu. Tín hiệu được biểu diễn dưới dạng hàm của biên thời gian x(t), hoặc hàm của biến tần số X(f) hay X( ). Trong giáo trình này, chúng ta qui ước (không vì thế mà làm mất tính tổng quát) tín hiệu là một hàm của một biến độc lập và biến này là thời gian. Giá trị của hàm tương ứng với một giá trị của biến được gọi là biên độ (amplitude) của tín hiệu. Ta thấy rằng, thuật ngữ biên độ ở đây không phải là giá trị cực đại mà tín hiệu có thể đạt được. 1.2.2. Phân loại tín hiệu: 6
  7. Tín hiệu được phân loại dựa vào nhiều cơ sở khác nhau và tương ứng có các cách phân loại khác nhau. Ở đây, ta dựa vào sự liên tục hay rời rạc của thời gian và biên độ để phân loại. Có 4 loại tín hiệu như sau: - Tín hiệu tương tự (Analog signal): thời gian liên tục và biên độ cũng liên tục. - Tín hiệu rời rạc (Discrete signal): thời gian rời rạc và biên độ liên tục. Ta có thể thu được một tín hiệu rời rạc bằng cách lấy mẫu một tín hiệu liên tục. Vì vậy tín hiệu rời rạc còn được gọi là tín hiệu lấy mẫu (sampled signal). - Tín hiệu lượng tử hóa (Quantified signal): thời gian liên tục và biên độ rời rạc. Đây là tín hiệu tương tự có biên độ đã được rời rạc hóa. - Tín hiệu số (Digital signal): thời gian rời rạc và biên độ cũng rời rạc. Đây là tín hiệu rời rạc có biên độ được lượng tử hóa. Các loại tín hiệu trên được minh họa trong hình 1.1. Hình 1.1 Minh hoạ các loại tín hiệu 1.2.3. Tín hiệu rời rạc - dãy 1.2.3.1. Cách biểu diễn: Một tín hiệu rời rạc có thể được biểu diễn bằng một dãy các giá trị (thực hoặc phức). Phần tử thứ n của dãy (n là một số nguyên) được ký hiệu là x(n) và một dãy được ký hiệu như sau: x = {x(n)} với - ∞ 0 được xếp lần lượt về phía phải và ngược lại. 7
  8. Nếu x = x(t) là một tín hiệu liên tục theo thời gian t và tín hiệu này được lấy mẫu cách đều nhau một khoảng thời gian là Ts, biên độ của mẫu thứ n là x(nTs). Ta thấy, x(n) là cách viết đơn giản hóa của x(nTs), ngầm hiểu rằng ta đã chuẩn hoá trục thời gian theo TS. Ts gọi là chu kỳ lấy mẫu (Sampling period). Fs = 1/Ts được gọi là tần số lấy mẫu (Sampling frequency). Ví dụ: Một tín hiệu tương tự x(t) = cos(t) được lấy mẫu với chu kỳ lấy mẫu là Ts = (/8. Tín hiệu rời rạc tương ứng là x(nTs) = cos(nTs) được biểu diễn bằng đồ thị hình 1.2.a. Nếu ta chuẩn hóa trục thòi gian theo Ts thì tín hiệu rời rạc x = {x(n)} được biểu diễn như đồ thị hình 1.2.b. Ghi chú: - Từ đây về sau, trục thời gian sẽ được chuẩn hóa theo Ts, khi cần trở về thời gian thực, ta thay biến n bằng nTs. - Tín hiệu rời rạc chỉ có giá trị xác định ở các thời điểm nguyên n. chúng có giá trị bằng 0. - Để đơn giản, sau này, thay vì ký hiệu đầy đủ, ta chỉ cần viết x(n) và hiểu đây là dãy x = {x(n)}. Hình 1.2 Tín hiệu rời rạc 1.2.3.2. Các tín hiệu rời rạc cơ bản 1/. Tín hiệu xung đơn vị (Unit inpulse sequence): Đây là một dãy cơ bản nhất, ký hiệu làĠ, được định nghĩa như sau: 1, n 0 (1.2)  (n) 0, n 0 (1.3) (n) ,0, ,0,1,0 ,0,  Dãy  (n) được biểu diễn bằng đồ thị như hình 1.3 (a) 2/. Tín hiệu hằng ( Constant sequence): tín hiệu này có giá trị bằng nhau với tất cả các giá trị chủa n. Ta có: 8
  9. x(n)=A, với n (1.4) x(n) , A, A., A, A , A (1.5) Dãy hằng được biểu diễn bằng đồ thị như hình 1.3.(b) 3/. Tín hiêu nhẫy bậc đơn vị (Unit step sequence) Dãy này thường được ký hiệu là u(n) và được định nghĩa như sau: 1, n 0 u(n) (1.5) 0, n 0 Dãy u(n) được biểu diễn bằng đồ thị hình 1.3 (c). Mối quan hệ giữa tín hiệu nhãy bậc đơn vị với tín hiệu xung đơn vị: n u(n)  (k)  (n) u(n) u(n 1) (1.6) k với u(n-1) là tín hiệu u(n) được dịch phải một mẫu. Hình 1.3 Các dãy cơ bản a) Dãy xung đơn vị b) Dãy hằng c) Dãy nhảy bậc đơn vị d) Dãy hàm mũ 9 e) Dãy tuần hoàn có chu kỳ N=8 f) Dãy hình sin có chu kỳ N=5
  10. 4/. Tín hiệu hàm mũ (Exponential sequence) x(n) = A n (1.7) Nếu A và α là số thực thì đây là dãy thực. Với một dãy thực, nếu 0 0 thì dãy có các giá trị dương và giảm khi n tăng, hình 1.3(d). Nếu –1 0 (1.11) - Dịch trái: Gọi z là dãy kết quả trong phép dịch trái n0 mẫu dãy x ta có: z(n) = x(n+n0), với n0 > 0 (1.12) Phép dịch phải còn gọi là phép làm trễ (delay). Phép làm trễ một mẫu thường được ký hiệu bằng chữ D hoặc Z-1 . Các phép dịch trái và dịch phải được minh họa trong các hình 1.4. Hình 1.4: (a) Dãy x(n) (b) Phép dịch phải 4 mẫu tr ên tín hiệu x(n) (c) Phép dịch trái 5 mẫu trên tín hiệu x(n) 10
  11. Nhận xét: Ta thấy, một tín hiệu x(n) bất kỳ có thể biểu diễn bởi tín hiệu xung đơn vị như sau: x(n)  x(k) (n k) (1.13) k Cách biểu diễn này sẽ dẫn đến một kết quả quan trọng trong phần sau. Ghi chú: Các phép tính thực hiện trên các tín hiệu rời rạc chỉ có ý nghĩa khi tần số lấy mẫu của các tín hiệu này bằng nhau. 1.3. HỆ THỐNG RỜI RẠC 1.3.1. Khái niệm. 1.3.1.1. Hệ thống thời gian rời rạc (gọi tắt là hệ thống rời rạc): Hệ thống thời gian rời rạc là một toán tử (operator) hay là một toán thuật (algorithm) mà nó tác động lên một tín hiệu vào (dãy vào là rời rạc) để cung cấp một tín hiệu ra (dãy ra là rời rạc) theo một qui luật hay một thủ tục (procedure) tính toán nào đó. Định nghĩa theo toán học, đó là một phép biến đổi hay một toán tử (operator) mà nó biến một dãy vào x(n) thành dãy ra y(n). Ký hiệu: y(n) = T{x(n)} (1.14) Tín hiệu vào được gọi là tác động hay kích thích (excitation), tín hiệu ra được gọi là đáp ứng (response). Biểu thức biểu diễn mối quan hệ giữa kích thích và dáp ứng được gọi là quan hệ vào ra của hệ thống. Quan hệ vào ra của một hệ thống rời rạc còn được biểu diễn như hình 1.5. Hình 1.5. Ký hiệu một hệ thống rời rạc Ví dụ 1.1: Hệ thống làm trễ lý tưởng được định nghĩa bởi phương trình: y(n) = x(n – nd) , với - < n < (1.15) nd là một số nguyên dương không đổi gọi là độ trễ của hệ thống. Ví dụ 1.2: Hệ thống trung bình động (Moving average system) được định nghĩa bởi phương trình: 1 M y(n)  x(n k) M 1 M 2 1 k M (1.16) 1 y(n) x(n M 1 ) x(n M 1 1) x(n) x(n 1) x(n M 2 ) M 1 M 2 1 với M1 và M2 là các số nguyên dương. Hệ thống này tính mẫu thứ n của dãy ra là trung bình của (M1 + M2 + 1) mẫu của dãy vào xung qu /Anh mẫu thứ n, từ mẫu thứ n-M2 đến mẫu thứ n+M1 . 1.3.1.2. Đáp ứng xung (impulse response) của một hệ thống rời rạc 11
  12. Đáp ứng xung h(n) của một hệ thống rời rạc là đáp ứng của hệ thống khi kích thích là tín hiệu xung đơn vị ((n), ta có: h(n) T  (n) hay  (n) T  h(n) (1.17) Trong các phần sau, ta sẽ thấy, trong các điều kiện xác định đáp ứng xung của một hệ thống có thể mô tả một cách đầy đủ hệ thống đó. Ví dụ 1.3: Đáp ứng xung của hệ thống trung bình động là: 1 M 2 1 , M 1 n M 2 y(n)  (n k) M 1 M 2 1 (1.1.8) M M 1  1 2 k M1 0, n 1.3.1.3. Biểu diễn hệ thống bằng sơ đồ khối Để có thể biểu diễn một hệ thống bằng sơ đồ khối, ta cần định nghĩa các phần tử cơ bản. Một hệ thống phức tạp sẽ là sự liên kết của các phần tử cơ bản này. 1/. Phần tử nhân dãy với dãy (signal multiplier), tương ứng với phép nhân hai dãy, có sơ đồ khối như sau: 2/. Phần tử nhân một dãy với một hằng số (Constant multiplier), tương ứng với phép nhân một hệ số với một dãy, có sơ đồ khối như sau: 3/. Phần tử cộng (Adder), tương ứng với phép cộng hai dãy, có sơ đồ khối như sau: 4/. Phần tử làm trễ một mẫu (Unit Delay Element): tương ứng với phép làm trễ một mẫu, có sơ đồ khối như sau: Trong các phần sau, ta sẽ thành lập một hệ thống phức tạp bằng sự liên kết các phần tử cơ bản này. 1.3.2. Phân loại hệ thống rời rạc Các hệ thống rời rạc được phân loại dựa vào các thuộc tính của nó, cụ thể là các thuộc tính của toán tử biểu diễn hệ thống (T). 1/. Hệ thống không nhớ (Memoryless systems): Hệ thống không nhớ còn được gọi là hệ thống tĩnh (Static systems) là một hệ thống mà đáp ứng y(n) ở mỗi thời điểm n chỉ phụ thuộc vào giá trị của tác động x(n) ở cùng thời điểm n đó. 12
  13. Một hệ thống không thỏa mãn định nghĩa trên được gọi là hệ thống có nhớ hay hệ thống động (Dynamic systems). Ví dụ 1.4: - Hệ thống được mô tả bởi quan hệ vào ra như sau: y(n) = [x(n)]2 , với mọi giá trị của n, là một hệ thống không nhớ. - Hệ thống làm trễ trong ví dụ 1.1, nói chung là một hệ thống có nhớ khi nd>0. - Hệ thống trung bình động trong ví dụ 1.2 là hệ thống có nhớ, trừ khi M1=M2=0. 2/. Hệ thống tuyến tính (Linear systems) Một hệ thống được gọi là tuyến tính nếu nó thỏa mãn nguyên lý chồng chất (Principle of superposition). Gọi y1(n) và y2(n) lần lượt là đáp ứng của hệ thống tương ứng với các tác động x1(n) và x2(n), hệ thống là tuyến tính nếu và chỉ nếu: T{ax1(n)+bx2(n)}=aT{ax1(n)}+bT{bx2(n)}=ay1(n)+by2(n) (1.19) với a, b là 2 hằng số bất kỳ và với mọi n. Ta thấy, đối với một hệ thống tuyến tính, thì đáp ứng của một tổng các tác động bằng tổng đáp ứng của hệ ứng với từng tác động riêng lẻ. Một hệ thống không thỏa mãn định nghĩa trên được gọi là hệ thống phi tuyến (Nonliear systems). Ví dụ 1.5: Ta có thể chứng minh được hệ thống tích lũy (accumulator) được định nghĩa bởi quan hệ: n y(n)  x(k) (1.20) k là một hệ thống tuyến tính. Hệ thống này được gọi là hệ thống tích lũy vì mẫu thứ n của đáp ứng bằng tổng tích lũy tất cã các giá trị của tín hiệu vào trước đó đến thời điểm thứ n. n n Chứng minh: Đặt y1 (n)  x(k) và y2 (n)  x(k) thì k k n y(n) T ax1 (n) bx2 (n)  ax1 (k) bx2 (k) k n n n n  ax1 (k)  bx1 (k) a  x1 (k) b  x2 (k) ay1 (n) by2 (n) k k k k với a và b là các hằng số bất kỳ. Vậy hệ thống này là một hệ thống tuyến tính. 3/. Hệ thống bất biến theo thời gian (Time-Invariant systems) Một hệ thống là bất biến theo thời gian nếu và chỉ nếu tín hiệu vào bị dịch n d mẫu thì đáp ứng cũng dịch nd mẫu, ta có: Nếu y(n) =T{x(n)} và x1(n) = x(n-nd) thì y1(n) = T{x1(n)} = {x(n-nd)} = y(n - nd) (1.21) Ta có thể kiểm chứng rằng các hệ thống trong các ví dụ trước đều là hệ thống bất biến theo thời gian. Ví dụ 1.6: Hệ thống nén (compressor) được định nghĩa bởi quan hệ: y(n) = x(M.n) (1.22) 13
  14. với -∞ < n < ∞ và M là một số nguyên dương. Hệ thống này được gọi là hệ thống nén bởi vì nó loại bỏ (M-1) mẫu trong M mẫu (nó sinh ra một dãy mới bằng cách lấy một mẫu trong M mẫu). Ta sẽ chứng minh rằng hệ thống này không phải là một hệ thống bất biến. Chứng minh: Gọi y1(n) là đáp ứng của tác động x1(n), với x1(n) = x(n – nd), thì: y1(n) = x1(Mn) = x(Mn – nd) Nhưng: y(n-nd) = x[M(n-nd)] ( y1(n)) Ta thấy x1(n) bằng x(n) được dịch nd mẫu, nhưng y1(n) không bằng với y(n) trong cùng phép dịch đó. Vậy hệ thống này không là hệ thống bất biến, trừ khi M = 1. 4/. Hệ thống nhân quả (Causal systems) Một hệ thống là nhân quả nếu với mỗi giá trị n 0 của n, đáp ứng tại thời điểm n=n 0 chỉ phụ thuộc vào các giá trị của kích thích ở các thời điểm n ≤ n0. Ta thấy, đáp ứng của hệ chỉ phụ thuộc vào tác động ở quá khứ và hiện tại mà không phụ thuộc vào tác động ở tương lai. Ta có; y(n) = T{x(n)} = F{x(n),x(n-1),x(n-2),. . .} với F là một hàm nào đó. Hệ thống trong ví dụ 1.1 là nhân quả khi nd 0 và không nhân quả khi nd < 0. Ví dụ 1.7: Hệ thống sai phân tới (Forward difference systems) được định nghĩa bởi quan hệ: y(n) = x(n+1)- x(n) (1.23) Rõ ràng y(n) phụ thuộc vào x(n+1), vì vậy hệ thống này không có tính nhân quả. Ngược lại, hệ thống sai phân lùi (Backward difference systems) được định nghĩa bởi quan hệ: y(n) = x(n) – x(n-1) (1.24) là một hệ thống nhân quả. 5/. Hệ thống ổn định (Stable systems) Một hệ thống ổn định còn được gọi là hệ thống BIBO (Bounded-Input Bounded- Output) nếu và chỉ nếu với mỗi tín hiệu vào bị giới hạn sẽ cung cấp dãy ra giới hạn. Một dãy vào x(n) bị giới hạn nếu tồn tại một số dương hữu hạn Bx sao cho: |x(n)| ≤ Bx < +∞ , với mọi n (1.25) Một hệ thống ổn định đòi hỏi rằng, ứng với mỗi dãy vào hữu hạn, tồn tại một số dương By hữu hạn sao cho: |y(n)| ≤ By < +∞ , với mọi n (1.26) Các hệ thống trong các ví dụ 1.1; 1.2; 1.3 và 1.6 là các hệ thống ổn định. Hệ thống tích lũy trong ví dụ 1.5 là hệ thống không ổn định. Ghi chú: Các thuộc tính để phân loại hệ thống ở trên là các thuộc tính của hệ thống chứ không phải là các thuộc tính của tín hiệu vào. Các thuộc tính này phải thỏa mãn vời mọi tín hiệu vào. 14
  15. 1.4. HỆ THỐNG TUYẾN TÍNH BẤT BIẾN THEO THỜI GIAN (LTI: Linear Time- Invariant System) 1.4.1. Khái niệm Hệ thống tuyến tính bất biến theo thời gian là hệ thống thỏa mãn đồng thời hai tính chất tuyến tính và bất biến. Gọi T là một hệ thống LTI, sử dụng cách biểu diễn ở pt(1.13) và pt(1.14), ta có thể viết:  y(n)=T{x(n)}=T  x(k) (n k) (1.27) k  với k là số nguyên. Áïp dụng tính chất tuyến tính, pt(1.27) có thể được viết lại: y(n)  x(k)T{ (n k)} (1.28) K Đáp ứng xung của hệ thống là: h(n) = T{((n)}, vì hệ thống có tính bất biến, nên: h(n - k) = T{(n - k)} (1.29) Thay pt(1.29) vào pt(1.28) ta có: y(n)  x(k)h(n k) (1.30) k Từ pt(1.30), ta thấy một hệ thống LTI hoàn toàn có thể được đặc tả bởi đáp ứng xung của nó và ta có thể dùng pt(1.30) để tính đáp ứng của hệ thống ứng với một kích thích bất kỳ. Hệ thống LTI rất thuận lợi trong cách biểu diễn cũng như tính toán, đây là một hệ thống có nhiều ứng dụng quan trọng trong xử lý tín hiệu. 1.4.2. Tổng chập (CONVOLUTION SUM) 1.4.2.1. Định nghĩa: Tổng chập của hai dãy x1(n) và x 2(n) bất kỳ, ký hiệu: * , được định nghĩa bởi biểu thức sau: y(n) x1 (n) * x2 (n)  x1 (n)x2 (n k) (1.31) k Pt(1.30) được viết lại: y(n) = x(n)*h(n) (1.32) Vậy, đáp ứng của một hệ thống bằng tổng chập tín hiệu vào với đáp ứng xung của nó. 1.4.2.2. Phương pháp tính tổng chập bằng đồ thị Tổng chập của hai dãy bất kỳ có thể được tính một cách nhanh chóng với sự trợ giúp của các chương trình trên máy vi tính. Ở đây, phương pháp tính tổng chập bằng đồ thị được trình bày với mục đích minh họa. Trước tiên, để dễ dàng tìm dãy x 2(n-k), ta có thể viết lại: x2 (n-k) = x2 [-(k - n)] (1.33) Từ pt(1.33), ta thấy, nếu n>0, để có x 2(n-k) ta dịch x2(-k) sang phải n mẫu, ngược lại, nếu n<0 ta dịch x2(-k) sang trái |n| mẫu. Từ nhận xét này, Ta có thể đề ra một qui trình tính tổng chập của hai dãy , với từng giá trị của n, bằng đồ thị như sau: Bước 1: Chọn giá trị của n. 15
  16. Bước 2: Lấy đối xứng x2(k) qua gốc tọa độ ta được x2(-k). Bước 3: Dịch x 2(-k) sang trái |n| mẫu nếu n 0, ta được dãy x2(n-k). Bước 4:Thực hiện các phép nhân x1(k).x2(n-k), với - 0 và |a|<1. Giải: Từ phương trình ta có: y(n) x(n) * h(n)  x(k)h(n k) , ta sẽ tính y(n) bằng phương k pháp đồ thị. @ Với n < 0: Hình 1.5(a). trình bày hai dãy x(k) và h(n-k) torng trường hợp n < 0 (với N = 4 và n = -3). Ta thấy trong trường hợp này, các thành phần khác 0 của x(k) và h(n-k) không trùng nhau, vì vậy: y(n) = 0, với mọi n < 0. (1.35) @ Với 0 ≤ n < N-1: Hình 1.5(b). trình bày hai dãy x(k) và h(n-k), trong trường này, ta thấy: n x(k).h(n-k) = ak nên:y(n)  a K (1.36) k 0 Ta thấy, y(n) chính là tổng (n+1) số hạng của một chuỗi hình học có công bội là a, áp dụng công thức tính tổng hữu hạn của chuỗi hình học, đó là: M q N q M 1 (1.37)  q K , M N k N 1 q 1 a n 1 (1.38) y(n) 1 a 16
  17. Hình 1.5 : Các dãy xuất hiện trong quá trình tổng chập. (a);(b);(c)Các dãy x(k) và h(n- k) như là một hàm của k với các giá trị khác nhau cảu n (chỉ các mẫu khác 0 mới được trình bày ); (d) Tổng chập y(n) = x(n) * h(n). - Với (N-1) < n: Hình 1.5(b). trình bày hai dãy x(k) và h(n-k), tương tự như trên ta có: x(k).h(n-k) = ak n y(n)  a k , n N 1 k n N 1 (1.39) n N 1 n 1 N a a n N 1 1 a y(n) a 1 a 1 a Tổng hợp các kết quả từ các phương trình trên ta được: 0, n 0 1 a n 1 y(n) ,0 n N 1 1 a (1.40) N n N 1 1 a a , N 1, n 1 a Ví dụ này tính tổng chập trong trường hợp đơn giản. Các trường hợp phức tạp hơn, tổng chập cũng có thể tính bằng phương pháp đồ thị, nhưng với điều kiện là 2 dãy phải có một số hữu hạn các mẫu khác 0. 1.4.2.3. Các tính chất của tổng chập 17
  18. Vì tất cả các hệ thống LTI đều có thể biểu diễn bằng tổng chập, nên các tính chất của tổng chập cũng chính là các tính chất của hệ thống LTI. a) Tính giao hoán (Commutative): cho 2 dãy x(n) và h(n) bất kỳ, ta có: y(n) = x(n)*h(n) = h(n)*x(n) (1.41) Chứng minh: Thay biến m=n-k vào pt (1.33), ta được: y(n)  x(k)h(n k)  x(n m)h(m) (1.42) k m hay : y(n)  x(n m)h(m) h(n) * x(n) (1.43) m b) Tính phối hợp (Associative): Cho 3 dãy x(n), h1 (n) và h2(n), ta có: y(n) = [x(n)*h1(n)]*h2 (n) = x(n)*[h1(n)*h2(n)] (1.44) Tính chất này có thể chứng minh một cách dễ dàng bằng cách dựa vào biểu thức định nghĩa của tổng chập. Hệ quả 1: Xét hai hệ thống LTI có đáp ứng xung lần lược là h1(n) và h2(n) mắc liên tiếp (cascade), nghĩa là đáp ứng của hệ thống thứ 1 trở thành kích thích của hệ thống thứ 2 (hình 1.6(a)). Áp dụng tính chất phối hợp ta được: y(n) = x(n)*h(n) = [x(n)*h1(n)]*h2(n) = x(n)*[h1(n)*h2(n)] hay h(n) = h1(n)*h2(n) = h2(n)*h1(n) ( tính giao hoán) (1.45) Từ pt(1.45) ta có được các hệ thống tương đương như các hình 1.6 b, c. x(n) h1(n) h2(n) y(n) (a) x(n) h2(n) h1(n) y(n) (b) x(n) h1(n)*h2(n) y(n) (c) Hình 1.6 – Hai hệ thống mắc nối tiếp và các sơ đồ tương đương c) Tính chất phân bố với phép cộng (Distributes over addition): tính chất này được biểu diễn bởi biểu thức sau: y(n) = x(n)*[h1(n) + h2(n)] = x(n)*h1(n) + x(n)*h2(n) (1.46) và cũng này có thể chứng minh một cách dễ dàng bằng cách dựa vào biểu thức định nghĩa của tổng chập. 18
  19. Hệ quả 2: xét hai hệ thống LTI có đáp ứng xung lần lượt là h 1(n) và h2(n) mắc song song (parallel), (hình 1.7(a)). áp dụng tính chất phân bố ta được đáp ứng xung của hệ thống tương đương là: h(n) = h1(n) + h2(n) (1.47) sơ đồ khối của mạch tương đương được trình bày trong hình 1.7(b). Hình 1.7. Hai hệ thống mắc song song và sơ đồ tương đương 1.4.3. Các hệ thống LTI đặc biệt. 1.4.3.1. Hệ thống LTI ổn định: Định lý: Một hệ thống LTI có tính ổn định nếu và chỉ nếu : s  h(k) (1.48) k với h(n) là đáp ứng xung của hệ thống. Chứng minh: - Điều kiện đủ: xét một tín hiệu vào hữu hạn, nghĩa là: x(n) bx , với bx là một số dương. thì y(n)  h(k)x(n k)  h(k) x(n k) k k hay : y(n) Bx  h(k) k Vậy |y(n)| hữu hạn khi điều kiện ở pt(1.48) thỏa mãn, hay pt(1.48) là điều kiện đủ để hệ thống ổn định. - Điều kiện cần: Để chứng minh điều kiện cần ta dùng phương pháp phản chứng. Trước tiên ta giả sử rằng hệ thống có tính ổn định, nếu ta tìm được một tín hiệu vào nào đó thỏa mãn điều kiện hữu hạn và nếu tổng s phân kỳ (s ) thì hệ thống sẽ không ổn định, mâu thuẩn với giả thiết. Thật vậy, ta xét một dãy vào được nghĩa như sau: h* ( n) / h( n),(h n) 0 x(n) 0, h( n) 0 ở đây, h*(n) là liên hợp phức của h(n), rõ ràng |x(n)| bị giới hạn bởi 1, tuy nhiên, nếu s , ta xét đáp ứng tại n = 0: 2 h(k) y(0)  h(k)x( k)   h(k) S k k h(k) k 19
  20. Ta thấy, kết quả này mâu thuẩn với giả thuyết ban đầu (hệ thống ổn định). Vậy, s phải hữu hạn. 1.4.3.2. Hệ thống LTI nhân quả Định lý: Một hệ thống LTI có tính nhân quả nếu và chỉ nếu đáp ứng xung h(n) của nó thỏa mãn điều kiện: h(n) = 0 , với mọi n n, suy ra hệ thống không có tính nhân quả. Vì vậy, điều kiện cần và đủ để hệ thống có tính nhân quả là: h(n)=0 khi n <0. Ví dụ 1.9: Hệ thống tích luỹ được định nghĩa bởi : n n y(n)  x(k) , có đáp ứng xung là h(n)  (k) u(n) (1.51) k k Từ pt(1.51) ta thấy h(n) của hệ hệ thống này không thỏa điều kiện pt(1.48) nên không ổn định và h(n) thỏa điều kiện pt(1.49) nên nó là một hệ thống nhân quả. 1.4.3.3. Hệ thống FIR (Finite-duration Impulse Response) và hệ thống IIR (Infinite-duration Impulse Response) Hệ thống FIR (Hệ thống với đáp ứng xung có chiều dài hữu hạn) là một hệ thống mà đáp ứng xung của nó tồn tại một số hữu hạn các mẫu khác 0. Ta thấy, hệ thống FIR luôn luôn ổn định nếu tất cả các mẫu trong đáp ứng xung của nó có độ lớn hữu hạn. Ngược lại, một hệ thống mà đáp ứng xung của nó có vô hạn số mẫu khác 0 được gọi là hệ thống IIR (Hệ thống với đáp ứng xung có chiều dài vô hạn). Một hệ thống IIR có thể là hệ thống ổn định hoặc không ổn định. Ví dụ1.10: Xét một hệ thống có đáp ứng xung là h(n) = an u(n), ta có: n S  h(n)  a (1.52) n n 0 Nếu |a| < 1, thì S hội tụ và S = 1/(1-|a|) vì vậy hệ thống có tính ổn định. Nếu |a| ≥ 1, thì S và hệ thống không ổn định. 1.4.3.4. Hệ thống đảo (Inverse systems) 20
  21. Định nghĩa: Một hệ thống LTI có đáp ứng xung là h(n), hệ thống đảo của nó , nếu tồn tại, có đáp ứng xung là hi(n) được định nghĩa bởi quan hệ: h(n)*hi(n) = hi(n)*h(n) = (n) (1.53) Ví dụ 1.11: Xét một hệ thống gồm hai hệ thống con mắc nối tiếp như hình 1.8: Đáp ứng xung của hệ thống tương đương là: h(n) = u(n)*[(n) - (n - 1)] = u(n) - u(n - 1) = (n) (1.54) Kết quả đáp ứng xung của hệ thống tương đương là xung đơn vị, nghĩa là đáp ứng của hệ thống luôn bằng với tác động, vì x(n)*(n) = x(n), nên hệ thống vi phân lùi là hệ thống đảo của hệ thống tích lũy và ngược lại, do tính giao hoán của tổng chập, hệ thống tích lũy là hệ thống đảo của hệ thống vi phân lùi. Hai hệ thống đảo của nhau mắc nối tiếp, có đáp ứng xung tương đương là (n), nên được gọi là hệ thống đồng dạng (Identity systems). 1.5.PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH HỆ SỐ HẰNG (LCCDE: Linear Constant-Coefficient Difference Equations) 1.5.1. Khái niệm: N M Một hệ thống bất kỳ khi mô tả toán học đều có thể viết:  ak (n)y(n k) br (n)x(n r) k 0 r 0 Phương trình mô tả trên gọi là phương trình sai phân. Khi ak và br là các hăng số thì có khái niệm phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng. Một hệ thống LTI mà quan hệ giữa tác động x(n) và đáp ứng y(n) của nó thỏa mãn phương trình sai phân truyến tính hệ số hằng bậc N dưới dạng: N M  ak y(n k) br x(n r) (1.55) k 0 r 0 được gọi là hệ thống có phương trình sai phân truyến tính hệ số hằng (LCCDE). Trong đó, các hệ số ak và br là các thông số đặc trưng cho hệ thống. Hệ thống LTI có LCCDE là một lớp con quan trọng của hệ thống LTI trong xử lý tín hiệu số. Ta có thể so sánh nó với mạch R_L_C trong lý thuyết mạch tương tự (được đặc trưng bằng phân trình vi tích phân tuyến tính hệ số hằng). Ví dụ 1.12: Xét hệ thống tích lũy, như ta biết, đây là một hệ thống LTI, vì vậy có thể biểu diễn bởi một LCCDE. Thậy vậy, ta xem lại hình 1.8, trong đó y(n) là đáp ứng của hệ thống tích lũy ứng với tín hiệu vào x(n), và y(n) đóng vai trò tín hiệu vào của hệ thống vi phân lùi. Vì hệ thống vi phân lùi là hệ thống đảo của hệ thống tích lũy nên: y(n) - y(n-1) = x(n) (1.56) Pt(1.56) chính là LCCDE của một hệ thống tích lũy, với N=1, a0 =1, a1=-1, M=0 và b0 =1. 21
  22. Ta viết lại: y(n) = y(n-1) + x(n) (1.57) Từ pt(1.57), ta thấy, với mỗi giá trị của n, phải cộng thêm vào x(n) một tổng được tích lũy trước đó y(n-1). Hệ thống tích lũy được biểu diễn bằng sơ đồ khối hình 1.9 và pt(1.57) là một cách biểu diễn đệ qui của hệ thống. Hình 1.19- Sơ đồ khối hệ thống tích luỹ 1.5.2. Nghiệm của LCCDE Phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng là một dạng quan hệ vào ra mô tả hệ thống LTI. Trong phần này, ta sẽ tìm biểu thức tường minh của đáp ứng y(n) bằng phương pháp trực tiếp. Còn một phương pháp khác để tìm nghiệm của phương trình này là dựa trên biến đổi z sẽ được trình bày trong chương sau, ta gọi là phương pháp gián tiếp. Tương tự như phương trình vi tích phân tuyến tính hệ số hằng của hệ thống liên tục theo thời gian. Trước tiên, ta tìm nghiệm của phương trình sai phân thuần nhất (homogeneous diference equation), đó là pt (1.55) với vế phải bằng 0. Đây chính là đáp ứng của hệ thống với tín hiệu vào x(n) = 0. Sau đó, ta tìm một nghiệm riêng (particular solution) của pt(1.55) với x(n)(0. Cuối cùng, nghiệm tổng quát (total solution) của LCCDE (1.55) là tổng nghiệm của phương trình sai phân thuần nhất với nghiệm riêng của nó. Thủ tục tìm nghiệm như sau: 1.5.2.1 Tìm nghiệm của phương trình sai phân thuần nhất (Đáp ứng của hệ thống khi tính hiệu vào bằng 0) N Phương trình sai phân thuần nhất có dạng:  ak y(n k) 0 (1.58) k 0 (Bằng cách chia 2 vế cho a0 để có dạng (1.58) với a0 = 1) Ta đã biết rằng, nghiệm của phương trình vi phân thường có dạng hàm mũ, vì vậy, ta giả sử nghiệm của phương trình sai phân thuần nhất có dạng: n yh(n) =  (1.59) Chỉ số h được dùng để chỉ rằng đó là nghiệm của phương trình thuần nhất. Thay vào pt(1.58) ta thu được một phương trình đa thức: n –N N N-1 N-2 hay: ( + a1 + a2 + + aN-1 + aN) = 0 (1.60) Đa thức trong dấu ngoặc đơn được gọi là đa thức đặc tính (characteristic polynomial) của hệ thống. Nói chung, đa thức này có N nghiệm, ký hiệu là  1,  2, ,N, có giá trị thực hoặc phức. Nếu các hệ số a 1, a2, , aN có giá trị thực, thường gặp trong thực tế, các nghiệm phức nếu có sẽ là các cặp liên hợp phức. Trong N nghiệm cũng có thể có một số nghiệm kép (mutiple-order roots). 22
  23. Giả sử rằng, tất cả các nghiệm là phân biệt, không có nghiệm kép, thì nghiệm tổng quát của phương trình sai phân thuần nhất là : n n n yh(n) = C1 1 + C2 2 + + CN N (1.61) Ở đây, C1 , C2 , ,CN là các hằng số tuỳ định. Các hằng số này được xác định dựa vào các điều kiện đầu của hệ thống. Ví dụ 1.13: Xác định đáp ứng với tín hiệu vào x(n) = 0 của một hệ thống được mô tả bởi LCCDE bậc 2 như sau: y(n) - 3y(n-1) - 4y(n-2) = 0 (1.62) Giải: Ta biết nghiệm của pt(1.62) có dạng: yh(n) = (n, thay vào pt(1.62), ta thu được: n - 3n-1 - 4n-2 = 0 hay  n -2 (2 - 3 - 4) = 0 và phương trình đặc tính là: (2 - 3 - 4) = 0 Ta có 2 nghiệm  1 = -1 và 2 = 4, nghiệm của phương trình thuần nhất có dạng tổng quát là: n n n n yh(n) = C1 1 + C2 2 = C1(-1) + C2(4) (1.63) Đáp của hệ thống với tín hiệu vào bằng 0 có thể thu được bằng cách tính giá trị các hằng số C1 và C2 dựa vào các điều kiện đầu. Các điều kiện đầu được cho thường là giá trị của đáp ứng ở các thời điểm n=-1; n = -2; ; n = -N. Ở đây, ta có N=2, và các điều kiện đầu được cho là y(- 1) và y(-2). Từ pt(1.62) ta thu được: y(0) = 3y(-1) + 4y(-2) y(1) = 3y(0) - 4y(-1) = 13y(-1) + 12y(-2) Mặt khác, từ pt(1.63) ta có: y(0) = C1 + C2 y(1) = -C1 + 4C2 Suy ra: C1 + C2 = 3y(-1) + 4y(-2) -C1 + 4C2 = 13y(-1) + 12y(-2) Giải hệ 2 phương trình trên ta được: C1 = (-1/5)y(-1) + (4/5)y(-2) C2 = (16/5)y(-1) + (16/5)y(-2) Vậy đáp ứng của hệ thống khi tín hiệu vào bằng 0 là: n n yh(n) = [(-1/5)y(-1) + (4/5)y(-2)](-1) + [(16/5)y(-1) + (16/5)y(-2)](4) (1.64) Giả sử, y(-2)=0 và y(-1)=5, thì C1=-1 và C2 =16. Ta được: yh(n) = (-1)n+1 + B(4)n+2 , với n 0 Chú ý rằng, trong trường hợp phương trình đặc tính có nghiệm kép, pt(1.61) phải được sửa lại, chẳng hạn, nếu (1 là nghiệm kép bậc m, thì pt(1.61) trở thành: n n 2 n m-1 n n n yh(n) = C1 1 + C2n 1 + C3n  1+ + Cmn  1 + + Cm+1 m+1 + + CN N (1.65) 23
  24. 1.5.2.2. Nghiệm riêng của phương trình sai phân Tương tự như cách tìm nghiệm của phương trình thuần nhất, để tìm nghiệm riêng của phương trình sai phân khi tín hiệu vào x(n) 0, ta đoán rằng nghiệm của phương trình có một dạng nào đó, và thế vào LCCDE đã cho để tìm một nghiệm riêng, ký hiệu y p(n). Ta thấy cách làm này có vẽ mò mẫm!. Nếu tín hiệu vào x(n) được cho bắt đầu từ thời điểm n 0 (nghĩa là x(n)=0 khi n<0), thì dạng của nghiệm riêng thường được chọn là: yp (n) = Kx(n) (1.66) với K là một hằng số mà ta sẽ tính. Ví dụ 1.14: Tìm đáp y(n), với n ≥ 0, của hệ thống được mô tả bởi LCCDE bậc hai như sau: y(n) - 3y(n-1) - 4y(n-2) = x(n) + 2x(n-1) (1.67) tín hiệu vào là: x(n) = 4nu(n). Hãy xác định nghiệm riêng của pt(1.67). Giải: Trong ví dụ 1.13, ta đã xác định nghiệm của phương trình sai phân thuần nhất cho hệ thống này, đó là pt(1.63), ta viết lại: n n yh (n) = C1(-1) + C2(4) (1.68) n Nghiệm riêng của pt(1.63) được giả thiết có dạng hàm mũ: y p(n) = K(4) u(n) . Tuy nhiên chúng ta thấy dạng nghiệm này đã được chứa trong nghiệm thuần nhất (1.68). Vì vậy, nghiệm riêng này là thừa (thế vào pt(1.67) ta không xác định được K). Ta chọn một dạng nghiệm riêng khác độc lập tuyến tính với các số hạng chứa trong nghiệm thuần nhất. Trong trường hợp này, ta xử lý giống như trường hợp có nghiệm kép trong phương trình n đặc tính. Nghĩa là ta phải giả thiết nghiệm riêng có dạng: yp(n) = Kn(4) u(n). Thế vào pt(1.67): Kn(4)nu(n) - 3K(n-1)(4)n-1u(n-1) - 4 K(n-2)(4)n-2u(n-2) = (4)nu(n) + 2(4)n-1u(n-1)Để xác định K, ta ước lượng phương trình này với mọi n ≥ 2, nghĩa là với những giá trị của n sao cho hàm nhãy bậc đơn vị trong phương trình trên không bị triệt tiêu. Để đơn giản về mặt toán học, ta chọn n = 2 và tính được K = 6/5. Vậy: n yp(n) = (6/5)n(4) u(n) (1.69) 1.5.2.3. Nghiệm tổng quát của phương trình sai phân: Tính chất tuyến tính của LCCDE cho phép ta cộng nghiệm thuần nhất và nghiệm riêng để thu được nghiệm tổng quát. Ta có nghiệm tổng quát là: y(n) = yh (n) + yp (n) (1.70) Vì nghiệm thuần nhất yh (n) chứa một tập các hằng số bất định {Ci}, nên nghiệm tổng quát cũng chứa các hằng số bất định này, để xác định các hằng số này, ta phải có một tập các điều kiện đầu tương ứng của hệ thống. Ví dụ 1.15: Tìm đáp ứng y(n), với n 0, của hệ thống được mô tả bởi LCCDE bậc hai trong ví dụ 1.14 với điều kiện đầu là y(-1) = y(-2) = 0. Giải: Trong ví dụ 1.13 ta đã tìm được nghiệm thuần nhất, trong ví dụ 1.14 ta đã tìm được nghiệm riêng. Vậy nghiệm tổng quát của pt(1.67) là: 24
  25. n y(n) = yh(n) + yP(n) = C1(-1)n + C2(4)n + (6/5)n(4) , với n≥0 (1.71) với các điều kiện đầu là các giá trị y(-1) = y(-2) = 0, tương tự như trong ví dụ 1.13, ta tính y(0) và y(1) từ các pt(1.67) và (1.71) và thành lập được hệ phân trình: C1 + C2 = 1 -C1 + 4C2 + 24/5 = 9 suy ra: C1 = -1/25 và C2 = 26/25. Cuối cùng ta thu được đáp ứng y(n) của hệ thống với các điều kiện đầu bằng 0, với tín hiệu vào là x(n) = (4)nu(n) có dạng: 1 26 6 y(n) ( 1) n (4) n n(4) n (1.72) 25 25 5 1.5.3. Hệ thống rời rạc đệ qui (RECURSIVE) và không đệ quy (NONRECURSIVE) 1.5.3.1. Hệ thống rời rạc đệ qui : Một hệ thống rời rạc đệ qui là hệ thống mà đáp ứng y(n) ở mỗi thời điểm n phụ thuộc vào một số bất kỳ các giá trị y(n-1); y(n-2); ở các thời điểm trước đó. Ta thấy, một hệ thống đệ qui có thể được mô tả bằng một LCCDE có bậc N 1. Để tìm nghiệm của LCCDE, ngoài phương pháp trực tiếp đã trình bày ở phần trên và phương pháp gián tiếp dùng biến đổi z sẽ trình bày trong chương sau, ta còn có thể xác định y(n) bằng phương pháp đệ qui, nghĩa là tính đáp ứng y(n) của hệ thống không chỉ dựa vào tín hiệu vào mà còn dựa vào các giá trị của đáp ứng ở các thời điểm đã tính được trước đó. Giả sử các điều kiện đầu đã cho là y(-1), y(-2), , y(-N), ta sẽ dùng phương pháp đệ qui để tính y(n) với n 0 và với n < -N. - Tính y(n) với n 0: N M Phương trình 1.55 được viết lại : a0 y(n)  ak y(n k) br x(n k) k 1 r 0 N a M b Hay y(n)  k y(n k)  r x(n k) (1.73) k 1 a0 r 0 a0 Ta thấy pt(1.73) biểu diễn y(n) theo tín hiệu vào và các giá trị của đáp ứng ở các thời điểm trước đó. Các mẫu y(n) được tính với n tăng dần, thủ tục này được gọi là phép đệ qui tiến. Ví dụ 1.16: Xét một hệ thống được mô tả bởi LCCDE có dạng: y(n) - ay(n-1) = x(n) (1.74) và tín hiệu vào là x(n) = K((n), với a và K là các hằng số. Điều kiện đầu là y(-1) = c, c cũng là một hằng số. Ta tính y(n) với n ≥ 0, bắt đầu với n = 0: y(0) = a.c + K y(1) = a.y(0) + 0 = a.(a.c + K) = a2c + a.K y(2) = a.(a2c + a.K) = a3c + a2 K y(3) = a.( a3c + a2 K) = a4c + a3 K 25
  26. : : : : Từ các kết quả trên ta có thể tổng quát hóa thành công thức tính y(n) y(n) = an+1c + an K, với n 0 (1.75) - Tính y(n) với n < 0 Trong trường hợp này Pt(1.55) được viết lại N 1 M a N y(n N)  ak y(n k) br x(n k) ,hay k 0 r 0 N 1 a M b y(n N)  k y(n k)  r x(n k) (1.76) k 0 a N r 0 a N Các giá trị của đáp ứng y(n) với -N n -1 đã được cho bởi các điều kiện đầu, và ta tính được lần lượt các giá trị y(-N -1), y(-N -2), y(-N - 3), bằng cách thay lần lượt các giá trị n = -1, -2, -3, vào pt(1.76). Các mẫu y(n) được tính với n giảm dần, thủ tục này được gọi là phép đệ qui lùi. Ví du 1.17: Xét một hệ thống được mô tả bởi LCCDE (1.74) với cùng điều kiện đầu trong ví dụ 1.16 . Để xác định giá trị của đáp ứng với n < 0, ta viết lại phương trình (1.74) như sau: y(n-1) = a-1 [y(n) - x(n)] (1.77) áp dụng điều kiện đầu y(-1) = c, ta có thể tính y(n) với n <-1 một cách lần lượt như sau : y(-2) = a-1[y(-1) - x(-1)] = a-1 c y(-3) = a-1 a-1 c = a-2 c y(-4) = a-1 a-2 c = a-3 c : : : : Từ các kết quả trên ta tổng quát hóa thành công thức tính y(n) với n < 0 như sau: y(n) = an+1 c , với n < 0 (1.78) Từ kết quả của 2 ví dụ 1.16 và 1.17, ta tổng kết thành công thức tính đáp ứng y(n) với mọi n của hệ thống được mô tả bởi phương trình sai phân (1.74), tín hiệu vào là x(n) = Kδ(n), với a và K là các hằng số, và điều kiện đầu là y(-1) = c, như sau: y(n) = an+1 c + an Ku(n), với mọi n (1.79) Nhận xét: (1) Ta đã thực hiện thủ tục đệ qui để tính đáp ứng theo chiều dương và chiều âm của trục thời gian, bắt đầu với n = -1. Rõ ràng đây là một thủ tục không nhân quả. (2) Khi K=0, tín hiệu vào luôn có giá trị bằng 0, nhưng đáp ứng có giá trị là y(n)=a n+1 c. Nhưng một hệ thống tuyến tính đòi hỏi rằng, nếu giá trị của tín hiệu vào bằng 0, thì giá trị của đáp ứng cũng bằng 0 (tính chất này được chứng minh như một bài tập). Vì vây, hệ thống này không tuyến tính. 26
  27. (3) Nếu ta dịch tín hiệu vào n0 mẫu, tín hiệu vào lúc này là x1(n) = K(n-n 0), ta tính lại đáp ứng theo thủ tục như trên, kết quả là: n 1 n n0 y1 (n) a c a Ku(n n0 ) , với mọi n (1.80) Ta thấy y1(n) ≠y(n-n0), vậy hệ thống không bất biến theo thời gian. Theo phân tích trên, hệ thống không phải là hệ thống LTI mà chúng ta mong đợi, ngoài ra nó cũng không có tính nhân quả. Sở dĩ như vậy là vì trong các điều kiện đầu đã cho không bao hàm các tính chất này. Trong chương 2, ta sẽ trình bày cách tìm nghiệm của LCCDE bằng cách dùng biến đổi z, ta sẽ ngầm kết hợp các điều kiện cho tính chất tuyến tính và bất biến, và chúng ta sẽ thấy, ngay cả khi các điều kiện bảo đảm tính chất tuyến tính và bất biến được đưa vào, nghiệm của phương trình sai phân cũng sẽ không duy nhất. Đặc biệt, cả hai hệ thống LTI nhân quả và không nhân quả có thể cùng được mô tả bởi một phương trình sai phân. Nếu một hệ thống được mô tả bởi một LCCDE và thỏa mãn điều kiện đầu để hệ thống có các tính chất tuyến tính, bất biến và nhân quả thì nghiệm sẽ được xác định duy nhất. Điều kiện này thường được gọi là điều kiện nghỉ (initial-rest conditions) và nội dung của nó như sau: " Nếu tín hiệu vào x(n) = 0 khi n 0 thì đáp ứng phải bằng 0 với n ≤ 0". Ta xét lại ví dụ 1.14 và 1.15, nhưng với điều kiện nghỉ, nghĩa là y(n) = 0 với n < 0, tương ứng với x(n) = K(n) = 0 khi n < 0. Ta sẽ thấy hệ thống là một hệ thống LTI nhân quả. 1.5.3.2. Hệ thống rời rạc không đệ qui: Một hệ thống mà đáp ứng y(n) chỉ phụ thuộc vào kích thích ở thời điểm hiện hành và ở các thời quá khứ là một hệ thống không đệ qui. Ta thấy một hệ thống không đệ qui được biểu diễn bởi một LCCDE có bậc N = 0, đó M là:y(n) br x(n k) (1.81) r 0 (Hệ số a0 đã được đưa vào các hệ số br , bằng cách chia 2 vế cho a0 ). Đáp ứng xung của hệ thống là: M bn ,0 n M h(n) br (n k) (1.82) r 0 0, n# Ta thấy đây là một hệ thống LTI có đáp ứng xung dài hữu hạn (FIR) và nhân quả. 1.6 TƯƠNG QUAN CỦA CÁC TÍN HIỆU RỜI RẠC Tương quan của hai tín hiệu là một thuật toán đo lường mức độ giống nhau giữa hai tín hiệu đó. Nó được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khoa học kỹ thuật như: radar, sonar, thông tin số,. . . Ví dụ như trong lĩnh vực radar, radar phát ra rín hiệu để tìm mục tiêu là x(n), tín hiệu này sau khi đập vào mục tiêu (như máy bay chẳng hạn) sẽ phản xạ trở lại . Radar thu lại tín hiệu phản xạ nhưng bị trễ một thời gian là D = n 0Ts (Ts là chu kỳ lấy mẫu), tín hiệu thu được sẽ bị suy giảm với hệ số suy giảm là a , tức là radar đã thu lại được tín hiệu ax(n-n 0). Ngoài tín hiệu phản xạ này còn có nhiểu cộng (n). Vậy tín hiệu mà radar thu được khi có mục tiêu là: y(n) = ax(n-n0) + (n) 27
  28. Còn nếu không có mục tiêu trong không gian hoặc radar không phát hiện được mục tiêu thì radar chỉ thu được nhiểu cộng, khi đó: y(n) = (n) So sánh hai tín hiệu x(n) và y(n) ta sẽ phát hiện được có mục tiêu hay không, và xác định được thời gian trễ D = n 0Ts, từ đó ta xác định được khoảng cách từ mục tiêu đến radar. 1.6.1. Tương quan chéo (CROSSCORRELATION) Xét 2 dãy x(n) và y(n), giả sử rằng ít nhất một trong hai dãy có năng lượng hữu hạn, khi đó tương quan chéo của x(n) và y(n) được định nghĩa như sau: rxy (n)  x(k)y(n k), n 0, 1, 2 (1.83) k Ví dụ 1.18: Hãy xác định tương quan chéo rxy(n) của 2 dãy sau: x(n) = { , 0, 0, 2, -1, 3, 7, 1, 2, -3, 0, 0, } y(n) = { , 0, 0, 1, -1, 2, -2, 4, 1, -2, 5, 0, 0, } Giải: Theo định nghĩa ta tính rxy với từng giá trị n: Với n=0, ta có: rxy (n)  x(k)y(k) k v 0(k) = x(k)y(k) = { , 0, 0, 2, 1, 6, -14, 4, 2, 6, 0, 0, } Sau đó lấy tổng tất cả các mẫu của v0(k), ta được: rxy(0) = 7 Với n > 0, ta dịch y(k) sang phải n mẫu, tính tích v n(k) = x(k)y(k-n) và sau đó cộng tất cả các mẫu của vn(k), ta thu được: rxy(1) = 13 rxy(2) = -18 rxy(3) = 16 rxy(4) = -7 rxy(5) = 5 rxy(6) = -3 và rxy(n) = 0, với n ≥ 7 Với n < 0, ta dịch y(k) sang trái n mẫu, tính tích v n(k) = x(k)y(k-n) và sau đó cộng tất cả các mẫu của vn(k), ta thu được: rxy(-1) = 0 rxy(-2) = 33 rxy(-3) = 14 rxy(-4) = 36 rxy(-5) = 19 rxy(-6) = -9 rxy(-7) = 10 và rxy(n) = 0, với n≤-8 Kết quả tương quan chéo của hai dãy x(n) và y(n) là: rxy(n) = { , 0, 0, 10, -9, 19, 36, -14, 33, 0, 7, 13, -18, 16, -7, 5, -3, 0, 0, } 1.6.2. Tự tương quan (AUTOCORRELATION) Trong định nghĩa tương quan chéo, nếu x(n) = y(n) thì ta sẽ có tự tương quan. Vậy tự tương quan của dãy x(n) được định nghĩa như sau: 28
  29. Hình 1.10 – Minh hoạ cách tính tự tương quan rxx (n)  x(k)x(k n) (1.84) k Ví dụ 1.19: Tính tự tương quan của dãy x(n) = u(n) – u(n – 4). Giải: Cách tính tự tương quan bằng đồ thị được trình bày trong hình 1.10 Ta thấy, tự tương quan của một dãy luôn luôn có giá trị cực đại tại n = 0, bởi vì một dãy bao giờ cũng giống chính nó. 1.6.3. Một số tính chất của tương quan chéo và tự tương quan: Xét 2 dãy có năng lượng hữu hạn x(n) và y(n), nghĩa là: 2 2 E x  x (n) và E y  y (n) (1.85) n n Ta dễ dàng chứng minh được các tính chất sau đây (Phần chứng minh xem như bài tập): (1) Ex = rxx(0) và Ey = ryy(0) (2) rxy(n) = ryx(-n) 29
  30. (3) rxx(n) = rxx(-n) (rxx là một hàm chẳn) (4)rxy (n) rxx (0)ryy (0) E x E y suy ra rxx (n) rxx (0) E (5) Nếu y(n) = cx(n-n0), c là một hằng số bất kỳ và n0 là số nguyên, thì Rxy(n) = crxx (n-n0) và ryy(0) = c2rxx(0) và –crxx(0) rxy(n) crxx(0) 1.7. XỬ LÝ SỐ TÍN HIỆU TƯƠNG TỰ 1.7.1. Các hệ thống xử lý tín hiệu: Chúng ta có thể phân loại các hệ thống theo chính tín hiệu cần xử lý. Theo đó, ta có các loại hệ thống xử lý như các sơ đồ sau đây: Hình 1.11- Các hệ thống xử lý tín hiệu Chú ý rằng, vì tín hiệu số là một trường hợp riêng của tín hiệu rời rạc, nên hệ thống rời rạc cũng có thể xử lý tín hiệu số. 1.7.2. Hệ thống xử lý số tín hiệu tương tự: Xử lý số tín hiệu tương tự là xử lý tín hiệu tương tự bằng hệ thống số. Để thực hiện việc này, ta cần phải biến đổi tín hiệu tương tự thành tín hiệu số và sau khi xử lý dãy kết quả có thể được phục hồi trở thành tín hiệu tương tự. Ví dụ như trường hợp xử lý tín hiệu thoại. Trong nhiều trường hợp, mục tiêu của việc xử lý là trích lấy các tham số của tín hiệu hay các thông tin cần thiết từ tín hiệu. Khi đó, không cần chuyển đổi tín hiệu trở về dạng tương tự. Ví dụ : Xử lý tính hiệu radar hoặc sonar. Hệ thống xử lý số tín hiệu tương tự được trình bày trong hình 1.12. Hình 1.12 - Hệ thống xử lý số tín hiệu tương tự 1.7.2.1. Biến đổi A/D (Analog-to-Digital Conversion) Biến đổi A/D là biến đổi tín hiệu tương tự thành tín hiệu số. Biến đổi A/D có sơ đồ khối như sau: 30
  31. Hình 1.13 – Các thành phần của bộ biến đổi A/D Lấy mẫu và giải mẫu (Sampling and hold) Lấy mẫu là quá trình biến đổi liên tục(tương tự) sang tín hiệu rời rạc. Có nhiều cách để lấy mẫu một tín hiệu liên tục. Trong đó, thông dụng nhất là cách lấy mẫu tuần hoàn (periodic sampling), còn gọi là lấy mẫu đều (uniform sampling). Đó là cách lấy những mẫu biên độü tín hiệu liên tục tại những thời điểm rời rạc cách đều nhau một khoảng thời gian TS, mà ta gọi là chu kỳ lấy mẫu. Nếu xa(t) là tín hiệu tương tự ở ngõ vào bộ lấy mẫu thì tín hiệu rời rạc ở ngã ra của bộ lấy mẫu là xa(nTS) (Gọi tắt là tín hiệu lấy mẫu), n là số nguyên. Mô hình vật lý của bộ lấy mẫu được minh họa trong hình 1.14. giữ mẫu Tín hiệu Tín Tín hiệu liên tương tự hiệu tục dạng bậc rời rạc thang Có tần số Fs=1/Ts Hình 1.14. Mô hình vật lý của bộ lấy mẫu Trong đó, bộ phận lấy mẫu được mô tả như là một bộ khóa được điều khiển đóng mở bởi tín hiệu xung đồng hồ Ck có tần số là FS= 1/TS. Để xử lý bằng kỹ thuật số hoặc bằng máy tính, thông thường tín hiệu rời rạc cần phải được lượng tử hóa để có thể biểu diễn biên độ của các mẫu bằng một tập hữu hạn các mã nhị phân. Tuy nhiên, việc lượng tử hóa và mã hóa không thể thực hiện tức thời. Thông thường, tiến trình lượng tử hóa và mã hóa một mẫu được thực hiện trong khoảng thời gian TS. Vì vậy, giá trị của của một mẫu phải được duy trì trong thời gian TS. Đây là chức năng của bộ giữa mẫu. Bộ giữa mẫu tiêu biểu là Zero-order-hold. Bộ lấy mẫu và giữ mẫu kiểu zero-order-hlod này tương đương với một bộ điều chế dãy xung chữ nhật theo sau bởi một bộ lọc tuyến tính, mà tín hiệu ở ngã ra của nó (Gọi tắt là tín hiệu giữ mẫu) có dạng bậc thang hình 1.15. 31
  32. Hình 1.15 – Tín hiệu liên tục, tín hiệu lấy mẫu, tín hiệu giữ mẫu và 8 mức lượng tử, , là khoảng cách giữa 2 mức Lượng tử hóa và mã hóa (Quantizer and Coder) Đây là bộ biến đổi tín hiệu rời rạc sang tín hiệu số có biên độ được biểu diễn bằng các mã nhị phân. Giá trị mỗi mẫu của tín hiệu lấy mẫu được gán bởi một giá trị được lựa chọn từ một tập hữu hạn các gía trị. Trong tiến trình mã hóa, mỗi giá trị rời rạc được gán bởi một mã nhị phân m bit, tương ứng có 2m mức lượng tử. Nếu biên độ của tín hiệu lấy mẫu được chuẩn hóa trong khoảng -X0 x(n) X0thì bước lượng tử hóa (khoảng cách giữa hai mức lượng tử kề nhau) sẽ là: m m - 1 = 2X0/2 = X0/2 (1.86) Ví dụ1.19: Với X0 = 1volt và m =3 bit, ta có 8 mức lượng tử và: = 1/4 = 0,25 volt Các mức lượng tử có thể được mã hóa theo hai loại mã nhị phân: Two’s -complement code và Offset binary code như sau: Two’s Giá trị của các -complement Offset binary code mức lượng tử code 0.75 011 111 0.50 010 110 0,25 001 101 0 000 100 -0,25 111 011 -0,50 110 010 -0,75 101 001 -1 100 000 Độ sai biệt giữa những mẫu x(n) của tín hiệu rời rạc chưa được lượng tử hóa và tín hiệu lượng tử hóa xq(n) gọi là sai số lượng tử (quantization eror). Số bít mã hóa càng lớn thì số mức lượng tử càng nhiều, sai số lượng tử càng nhỏ. 1.7.2.2. Biến đổi D/A (Digital to Analog Conversion) 32
  33. Trong nhiều ứng dụng thực tế, tín hiệu số sau khi được xử lý cần phải được phục hồi lại thành tín hiệu tương tự. Để hồi làm việc này, ta cần có bộ biến đổi số sang tương tự (D/A converter). Nguyên tắc chung của biến đổi D/A là nối các điểm rời rạc bằng một phương pháp nội suy (Interpolation) nào đó. Hình 1.16 trình bày một kiểu biến đổi D/A đơn giản, kiểu xấp xỉ bậc thang (staircase approximation), còn được gọi là zero-order hold. Hình 1.16 - Biến đổi A/D kiểu zero-oder - hold Có nhiều kiểu biến đổi D/A khác, như: nội suy tuyến tính (linear interpolation), nội suy bậc hai (quadratic interpolation), Với một tín hiệu có băng tần hữu hạn, lý thuyết lấy mẫu sẽ xác định một hình thức nội suy tối ưu. 1.7.2.3. Hiện tượng hư danh (Aliasing) Để minh họa, ta xét 2 tín hiệu tương tự hình sin lần lượt có tần số là F 1 = 10 Hz và F2 = 50 Hz như sau: x1(t) = cos2π(10)t và x2(t) = cos2π (50)t (1.87) Hai tín hiệu này cùng được lấy mẫu với tần số F S =40 Hz. Các tín hiệu rời rạc tương ứng là: x1(n) = cos2 (10)(n/40) = cos( /2)n x2(n) = cos2 (50)(n/40) = cos(5 /2)n (1.88) Tuy nhiên, vì cos(5π/2)n = cos(2πn + πn/2) = cosπn/2, nên x1(n) = x2(n). Vậy, hai tín hiệu rời rạc hình sin được lấy mẫu từ hai tín hiệu liên tục đã cho là không thể phân biệt được. Điều này có nghĩa là, khi phục hồi tín hiệu tương tự từ tín hiệu rời rạc cos(π/2)n, ta không thể biết tín hiệu tương tự được khôi phục là x1(t) hay x2(t). Vì x2(t) cho một kết quả lấy mẫu đúng như của x1(t) ở tần số lấy mẫu FS = 40 samples/second (sự trùng mẫu), ta nói thành phần tần số F2=50Hz là một hư danh (alias) của thành phần tần số F1=10Hz ở tần số lấy mẫu 40 samples/second. Thật ra, không chỉ có thành phần F 2 là hư danh của F 1 mà các thành phần tần số F k = (F1 + 40k) cũng là hư danh của F1 , với k là một số nguyên. Thật vậy, ta xét tín hiệu tương tự có tần số Fk là: x2(t) = cos2 Fkt = cos2 (F1+40k) t (1.89) Tín hiệu lấy mẫu của nó với cùng tốc độ FS = 40Hz là: xk(n) = cos2 (F1+ 40k)(n/40) = cos(2 kn + n/2)= cos n/2 = x1(n) Một ví dụ về hiện tượng hư danh được minh họa trong hình 1.17. Trong đó, 2 tín hiệu tương tự hình sin có tần số lần lượt là F 1 = 1/8Hz và Fk = -7/8 Hz có các mẫu đồng dạng 33
  34. khi được lấy mẫu ở tần số F S = 1Hz. Từ pt(1.89), ta thấy, với k = -1 thì F1 = F k + FS = (- 7/8 + 1) Hz = 1/8Hz. Hình 1.17 – minh hoạ aliasing 1.7.2.4. Định lý lấy mẫu: Cho một tín hiệu tương tự bất kỳ, vấn đề là chọn chu kỳ lấy mẫu TS hay tần số lấy mẫu FS như thế nào cho hợp lý? Xu hướng chung là chọn tần số lấy mẫu thấp, bởi vì tần số lấy mẫu cao sẽ làm tăng số mẫu, từ đó lượng phép tính trong quá trình xử lý tín hiệu sẽ tăng lên, kéo dài thời gian xử lý, đồng thời lượng bộ nhớ cần thiết cũng tăng theo. Tuy nhiên, nếu tần số lấy mẫu quá thấp sẽ xãy ra hiện tượng biệt d /Anh, không thể khôi phục lại tín hiệu tương tự một cách chính xác. Chúng ta sẽ trở lại vấn đề này trong chương 3, khi phân tích tín hiệu trong miền tần số, từ đó chứng minh định lý lấy mẫu, mà ta sẽ phát biểu sau đây. Tín hiệu liên tục trong thực tế có độ dài hữu hạn (tồn tại trong một khoảng thời gian hữu hạn) là tổ hợp tuyến tính của nhiều thành phần hình sin. Ta xét các tín hiệu có băng tần hữu hạn, nghĩa là tần số cao nhất trong băng tần có thể xác định. Ví dụ: tín hiệu thoại có các thành phần tần số từ vài trăm Hz đến 3KHz, tín hiệu hình có tần số cao nhất là 6MHz. Nếu ta biết thành phần tần số cao nhất Fmax, ta có thể chọn tần số lấy mẫu thích hợp. Định lấy lấy mẫu được phát biểu như sau: Định lý : Nếu tần số cao nhất chứa trong một tín hiệu tương tự x a(t) là Fmax thì tín hiệu chỉ có thể được khôi phục một cách chính xác từ các mẫu của nó nếu tần số lấy mẫu FS ≥ 2Fmax,. Để cho gọn, ta đặt Fmax = B. Định lý trên cũng chỉ ra rằng x a(t) có thể được khôi phục từ các mẫu xa(nTS) bằng cách dùng hàm nội suy: sin 2 Bt g(t) (1.90) 2 Bt và xa(t) được xác định bởi biểu thức : n n xa (t)  xa ( )g t (1.91) n Fs Fs ở đây xa(n/FS) = xa(nTS) = x(n) là các mẫu của xa(t). Nếu tần số lấy mẫu FS=2Fmax=2B, thì công thức khôi phục (1.91) trở thành: n sin 2 B(t n / 2B) xa (t)  xa (1.92) n 2B 2 B(t n / 2B) 34
  35. Hình 1.18 – Minh hoạ phép nội suy theo pt (1.92) của định lý lấy mẫu Tần số lấy mẫu FS =2B = 2Fmax được gọi là tần số Nyquist. Hình 1.18 minh họa một cách biến đổi A/D lý tưởng dùng hàm nội suy (1.90). Trong sơ đồ hình 1.12, mạch lọc trước có tác dụng chống hiện tượng hư danh. Đây là một mạch lọc thông thấp có chức năng lọc bỏ các thành phần tần số cao hơn FS/2, trong trường hợp phổ tần của tín hiệu vượt quá khả năng của bộ lấy mẫu (khi đó ta phải chấp nhận kết quả gần đúng của tín hiệu ra). Ngay cả khi thành phần tần số cao nhất của tín hiệu nhỏ hơn FS/2, nhiểu ở tần số cao cũng gây ra hiện tượng hư danh và cần phải lọc bỏ. Mạch lọc sau sơ đồ trong hình 1.12 cũng là một mạch lọc thông thấp. Nó có chức năng làm trơn (smoothing) để sửa dạng tín hiệu tương tự thu được ở ngã ra chính xác hơn. 35
  36. BÀI TẬP CHƯƠNG 1 1.1. Xét một hệ thống tuyến tính bất kỳ với kích thích là x(n) và đáp ứng là y(n). Hãy chứng minh rằng, nếu x(n) = 0 với một giá trị n nào đó thì y(n) = 0. 1.2. Hãy xác định các hệ thống được cho có các tính chất sau đây hay không: ổn định; nhân quả; tuyến tính; bất biến theo thời gian; không nhớ. 1.3. Hệ thống L được biết là có tính chất tuyến tính và có đáp ứng y 1(n), y2(n), y3(n) tương ứng với các tín hiệu vào x1(n), x2(n),x3(n) như sau: a) Tìm đáp ứng xung h(n) của hệ thống. b) L có bất biến theo thời gian hay không? 1.4. Cho các cặp dãy x(n) và h(n). Hãy tìm đáp ứng y(n) trong từng trường hợp sau: 1.5. Đáp ứng xung của một hệ thống LTI có giá trị bằng 0 ngoài khoảng N 0 ≤ n ≤ N1. Tính hiệu vào x(n) có giá trị bằng 0 ngoài khoảng N 2≤ n N3. Kết quả là tín hiệu ra y(n) bằng 0 ngoài khoảng N4 ≤n ≤ N5. Hãy xác định N4 và N5 theo N0, N1, N2 và N3. 1.6. Tính và vẽ đồ thị đáp ứng xung của hệ thống có quan hệ vào ra như sau: 1.7. Xác định đáp ứng bước (kích thích là u(n)) của hệ thống có đáp xung h(n) = anu(n). 1.8. Cho một hệ thống LTI có đáp ứng xung như sau: 36
  37. Hãy dùng đồ thị để xác định đáp ứng của hệ thống đối với tín hiệu vào là x(n)=u(n) - u(n-4). 1.9. Xét một hệ thống LTI có đáp ứng xung là h(n). Nếu dãy vào tuần hoàn với chu kỳ N. Hãy chứng tỏ rằng tín hiệu ra y(n) cũng là một dãy tuần hoàn với chu kỳ N. 1.10. Xét một hệ thống có kích thích và đáp ứng thỏa mãn LCCDE: y(n)=n.y(n-1) + x(n) Được biết hệ thống có tính nhân quả và thỏa mãn điều kiện nghỉ. a) Xác định đáp ứng xung của hệ thống. b) Hệ thống có tuyến tính hay không? Chứng minh. c) Hệ thống có bất biến theo thời gian hay không? 1.11. Xét tín hiệu tương tự: xa(t)=3.cos(100.π.t) a) Xác định tần số lấy mẫu nhỏ nhất để tránh hiện tượng biệt d /Anh. b) Giả sử tín hiệu được lấy mẫu ở tần số F S=200 Hz (sample/second). Xác định tín hiệu rời rạc thu được sau khi lấy mẫu? c) Gỉa sử tín hiệu được lấy mẫu ở tần số F S=75 Hz. Xác định tín hiệu rời rạc thu được sau khi lấy mẫu? d) Xác định tần số F<F S/2 (FS = 75Hz) của tín hiệu sin mà kết quả lấy mẫu đồng dạng với kết quả thu được ở câu c). 1.12. Xét tín hiệu tương tự xa(t)=3.cos(50.π.t)+ 10.sin(300. .t)- cos(100. .t). Xác định tần số Nyquist của tín hiệu này. 1.13. Cho các dãy sau đây: x(n) = u(n) - u(n-5) y(n) = (1/2)nu(n) - (1/2)nu(n-4) s(n) = (-1/2)nu(n) - (-1/2)nu(n-4) Hãy tính tương quan chéo cho từng cặp dãy và tính tụ tương quan của các dãy này. Nhận xét. 1.14. Cho các hệ thống con có đáp ứng xung h 1(n), h2(n) và h3(n) được liên kết như sau : 37
  38. Cho biết h2(n) = u(n) – u(n – 3); h3(n) = (n) + 4(n-1) - (n-2). Tính đáp ứng xung h(n) của hệ thống tương đương . 1.15. Lập lưu đồ thuật toán và viết chương trình (Pascal, Matlab, ) tính tổng chập của hai dãy có độ dài hữu hạn. 1.16. Lập lưu đồ thuật toán và viết chương trình tính đáp ứng của một hệ thống đệ qui. 1.17. Lập lưu đồ thuật toán và viết chương trình tính đáp ứng của hệ thống không đệ qui. 1.18. Lập lưu đồ thuật toán và viết chương trình tính tương quan chéo của hai dãy có độ dài hữu hạn. 1.19. Lập lưu đồ thuật toán và viết chương trình tính tự tương quan của hai dãy có độ dài hữu hạn. 38
  39. CHƯƠNG II BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC TRONG MIỀN Z 2.1 MỞ ĐẦU: Chương 1 đã trình bày cách tính đáp ứng của một hệ thống trực tiếp từ đáp ứng xung của nó, bằng cách tính tổng chập của kích thích với đáp ứng xung. Cách tính tổng chập trực tiếp dựa vào công thức định nghĩa như đã làm tốn rất nhiều thời gian và công sức. Hơn nữa , trong thực tế số mẫu khác không của kích thích và đáp ứng xung là rất nhiều nên ta không thể ‘tính bằng tay’. Tuy nhiên, phương pháp tính tổng chập bằng đồ thị như đã trình bày cho ta một thuật toán của chương trình tính tổng chập bằng máy tính. Việc giải phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng bằng phương pháp đệ qui cũng chỉ có ý nghĩa khi sử dụng máy tính. Kỹ thuật biến đổi là một công cụ hữu hiệu để phân tích hệ thống LTI. Biến đổi Z đối với tín hiệu rời rạc có vai trò tương tự như biến đổi Laplace đối với tín hiệu liên tục, và chúng có quan hệ giống nhau với biến đổi Fourier. Tổng chập của hai dãy trong miền thời gian sẽ biến thành tích của hai biến đổi Z tương ứng trong miền biến phức z. Tính chất này sẽ làm đơn giản hóa việc tính đáp ứng của hệ thống với các tín hiệu vào khác nhau. Phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng cũng được giải một cách dễ dàng hơn khi dùng công cụ biến đổi Z. Như ta sẽ thấy trong các chương sau, biến đổi Fourier giữa vai trò chìa khóa trong trong việc biểu diễn và phân tích các hệ thống rời rạc. Tuy nhiên, trong một số trường hợp cần phải sử dụng dạng tổng quát hóa của biến đổi Fourier, đó là biến đổi Z. 2.2 CÁC KHÁI NIỆM VỀ BIẾN ĐỔI Z. 2.2.1. Biến đổi Z ( THE Z - TRANSFORM): Biến đổi z của một dãy x(n) được định nghĩa như là chuỗi lũy thừa: X (Z)  x(n)Z n (2.1) n , với z là một biến phức. Ta có thể coi biến đổi Z như là một toán tử (operator) mà nó biến một dãy thành một hàm, ký hiệu Z |.|, ta viết lại: ZT [x(n) ] = X(z) (2.2) hay: x(n) Z > X(z) (2.3) Biến đổi Z được định nghĩa bởi pt (2.1) được gọi là biến đổi Z hai phía (bilateral Z- transform) do biến n chạy từ -∞ đến ∞. Biến đổi Z một phía (unilateral Z-transform) được định nghĩa như sau: n X (z)  x(n)Z n (2.4) n 0 trong trường hợp này biến n chạy từ 0 đến ∞. Ta thấy biến đổi Z hai phía và một phía chỉ bằng nhau khi x(n) = 0 với mọi n ≤ 0 (x(n) là dãy nhân quả). Trong tài liệu này, khi nói đến biến đổi Z mà không xác định rõ là một phía hay hai phía, thì ta ngầm hiểu rằng đó là biến đổi Z hai phía. 39
  40. Nếu biểu diễn Z theo tọa độ cực z = r.ejω, pt (2.1) trở thành: n X (z)  x(n)(re j ) n (2.5) n Đặc biệt, nếu r =1 ( nghĩa là |z| = 1), thì biến đổi Z trở thành biến đổi Fourier: n X (z)  x(n)(e j ) n (2.6) n Ta sẽ đề cập đến ở chương sau. Vì biến đổi Z là hàm của một biến phức, nên nó thường được biểu diễn trên mặt phẳng phức của biến z (hình 2.1). Ta thấy, biến đổi Z lấy trên vòng tròn đơn vị chính là biến đổi Fourier. Hình 2.1 – Vòng tròn đơn vị trên mặt phảng phức z 2.2.2. Miền hội tụ (ROC: Region of Convergence) Pt (2.1) là một chuỗi lũy thừa, gọi là chuỗi Laurent, do đó không phải lúc nào biến đổi Z cũng hội tụ với mọi tín hiệu hay với mọi giá trị của z, vì vậy phải xét đến miền hội tụ của nó. 1/. Định nghĩa: Với một dãy x(n) xác định, tập hợp các giá trị của z sao choĠ hội tụ được gọi là miền hội tụ (ROC) của X(z). Định nghĩa trên hàm ý rằng: |X(z)| < ∞, với mọi z trong ROC. Điều kiện đủ để biến đổi Z hội tụ là:  x(n) z n (2.7) n Nếu một giá trị z = z1 nào đó ở trong ROC, thì vòng tròn có bán kính là |z|=|z1| cũng nằm trong ROC. Điều này cho thấy rằng ROC là một miền hình vành khăn bao quanh gốc tọa độ (Hình 2.2). 40
  41. Hình 2.2 - Miền hội tụ ROC là hình vành khăn trong mặt phẳng z. 2/. Cực và zeros : Một loại biến đổi Z thông dụng và quan trọng đó là biến đổi Z mà X(z) của nó có dạng là một hàm hữu tỉ với mọi z trong ROC, nghĩa là: X(z) = P(z)/Q(z) (2.8) Trong đó, P(z) và Q(z) là các đa thức biến z hay z-1. Các giá trị của z sao cho X(z) = 0 được gọi là các zeros của X(z), và các giá trị của z sao cho X(z) = ∞được gọi là các cực (poles) của X(z). Các cực là các nghiệm xác định của đa thức mẫu số Q(z) và thêm vào các giá trị z = 0 hay z = ∞. Đồ thị cực-zero là đồ thị trên mặt phẳng phức, ta vẽ các điểm cực, ký hiệu x , và các điểm zero, ký hiệu o. Ví dụ 2.1: Xét dãy x(n) = ((n). Thay vào pt (2.1), ta có: X (z)  (n)z n z 0 1 (2.9) n Miền hội tụ của X(z) trong trường hợp này là toàn bộ mặt phẳng z. Ví dụ 2.2: Xét dãy x(n) = anu(n), a là một hằng số thực hoặc phức. Thay vào pt (2.1), ta có: n X (z)  a nu(n)z n  az 1 (2.10) n n 0 n Để X(z) hội tụ thì:  az 1 (2.11) n 0 Ta thấy, ROC là miền mà z có giá trị sao cho |az-1| |a|, và trong ROC, X(z) hội tụ đến: 1 z X (z) az n , với z a (2.11)  1 n 0 1 az 1 az ( Áp dụng công thức tính tổng vô hạn của chuỗi hình học). Với a = 1, x(n) là dãy nhãy bậc đơn vị, có biến đổi Z là: 41
  42. 1 z X (z) , với z 1 (2.12) 1 z 1 1 z Hình 2.3 Miền hội tụ của biến đổi Z Hình 2.3 trình bày miền hội tụ của biến đổi Z trong ví dụ 2.2 với các vị trí của cực và zeros. Nếu |a| > 1, ROC không chứa vòng tròn đơn vị, điều này hàm ý rằng, với giá trị này của |a|, biến đổi Fourier của một dãy lũy thừa anu(n) là không hội tụ. Ví dụ 2.3: Xét dãy x(n) = -anu(-n-1), thì: X (z)  a nu( n 1)z n  a n z n n n (2.14) X (z)  a n z n 1  (a 1 z) n n 1 n 0 Nếu |a-1 z| < 1, hay |z| < |a|, thì tổng (2.14) hội tụ, và: 1 1 z X (z) 1 (2.15) 1 a 1 z 1 az 1 z a Đồ thị cực-zero và miền hội tụ của biến đổi Z trong ví dụ 2.2 được trình bày trong hình 2.4. Nhận xét: Hai dãy trong ví dụ 2.2 và 2.3 hoàn toàn khác nhau nhưng biểu thức X(z) và đồ thị cực-zero là như nhau. Như vậy khi nói đến biến đổi Z thì cần xác định cả biểu thức lẫn ROC. Hình 2.4 Đồ thị cực zeros và miền hội tụ của biến đổi Z trong ví dụ 2.3. 42
  43. Ví dụ 2.4: Xét trường hợp tín hiệu là tổng của hai hàm mũ thực: x(n) = (1/2)nu(n) - (-3)nu(-n-1) (2.16) Biến đổi Z sẽ là: n  1 n n X (z)  u(n) ( 3) u( n 1)z n 2  n 1 1 n X (z)  z n  3 z n (2.17) n 0 2 n n n 1 X (z)  z 1 1 ( 3) 1 z (2.18) n 0 2 n 0 Để X(z) hội tụ, hai tổng trong pt (2.18) phải hội tụ, điều kiện là: |(1/2)z-1 | 1/2 và |z| <3 . Vì vậy, ROC là miền 1/2 < |z| < 3. Đồ thị cực-zero và ROC được trình bày trong hình 2.5. Và: 5 2z(z ) 1 1 4 X (z) 1 (2.19) 1 1 1 3z 1 1 z (z )(z 3) 2 2 Hình 2.5 Nhận xét: Từ các ví dụ trên ta thấy rằng: với các dãy lũy thừa dài vô hạn, biến đổi Z của nó có thể được biểu diễn bằng tỉ số của các đa thức biến z hay z -1. Cách biểu diễn này đặc biệt thuận lợi. Ví dụ 2.5 :Xét tín hiệu : 43
  44. a n ,0 n N 1 x(n) 0, n# có biến đổi Z là: N 1 N 1 1 N N N n 1 (az ) 1 z a X (z) a n z n az 1 (2.20)   1 N 1 n 0 n 0 1 az z z a N 1 n ROC được xác định bởi tập hợp các giá trị của z sao cho:  az 1 n 0 Vì chỉ có một số hữu hạn các số hạn khác 0, nên tổng trong bất phương trình (2.21) sẽ hữu hạn khi |az-1| hữu hạn, điều này đòi hỏi rằng |a| là hữu hạn và z ≠ 0. Vì vậy, ROC bao gồm toàn bộ mặt phẳng z, ngoại trừ gốc tọa độ (z = 0). Hình 2.6 là đồ thị cực-zero và ROC của ví dụ 2.4, với N =16 và a là một số thực và 0<a<1. N nghiệm của đa thức tử số của X(z) là: j(2(k/N) zk = ae với k = 0, 1, 2,. . ., N-1. (2.22) Hình 2.6 - Cực và zeros trong ví dụ 2.4 Zero ở k = 0 bị triệt tiêu bởi cực ở z = a, vì vậy, không có cực nào khác ngoài gốc tọa độ và còn lại (N-1) zero tương ứng với k = 1, 2,. . ., N-1. 3/. Tính chất của ROC: Giả sử rằng x(n) có biên độ hữu hạn, ngoại trừ tại n = ±∞ và biểu thức của biến đổi Z có dạng hữu tỉ. Từ khảo sát thực tế, ta có thể tổng kết được các tính chất của ROC như sau: (1) ROC không chứa các điểm cực, vì tại đó X(z) không hội tụ. (2) Nếu x(n) có độ dài hữu hạn, thì ROC là toàn bộ mặt phẳng z, ngoại trừ các điểm z=0 hoặc z= ∞ (Ví dụ 2.5). (3) Nếu x(n) là dãy bên phải (right-sided sequence), nghĩa là x(n) = 0 với mọi n < N1 < ∞, thì ROC là miền bên ngoài của vòng tròn đi qua điểm cực hữu hạn ngoài cùng (Ví dụ 2.2). 44
  45. (4) Nếu x(n) là dãy bên trái (left-sided sequence), nghĩa là x(n)=0 với mọi n>N 2>-∞, thì ROC là miền bên trong của vòng tròn đi qua điểm cực trong cùng khác 0 (Ví dụ 2.3) (5) Nếu x(n) là dãy hai bên (two-sided sequence) và có chiều dài vô hạn về phía phải cũng như về phía trái thì ROC có dạng hình vành khăn, các vòng tròn giới hạn trong và ngoài đi qua hai điểm cực trong các điểm cực của X(z) (Ví dụ 2.4) (6) ROC phải là một miền không bị chia cắt. Hình 2.7 minh họa các tính chất của ROC, cùng các vị trí của các cực (z 1=2/3, z2=- 3/2, z3=2) và zeros (z1=0, z2=-1/2) có thể đúng với 4 biến đổi z . Hình 2.7. T ính chất của ROC 2.2.3. Biến đổi Z ngược . (The inverse Z -transform) 2 2.3.1. Định nghĩa: Nếu X(z) là biến đổi Z của x(n), thì x(n) là biến đổi Z ngược của X(z), ta có cặp biến đổi Z: Biến đổi Z ngược còn được định nghĩa là một thủ tục để biến đổi từ miền z sang miền thời gian. Về mặt toán học, biến đổi Z ngược là một toán tử mà nó biến một hàm X(z) thành dãy x(n). Chú ý rằng, ta chỉ có thể xác định biến đổi Z ngược của X(z) khi miền hội tụ của X(z) được xác định. Công thức để tính dãy x(n) từ X(z) được thành lập dựa vào định lý tích phân Cauchy. 1. Định lý tích phân Cauchy, được phát biểu bởi công thức sau: 1 k 1, k 1 Z dZ (2.23) 2 j C 0, k#1 với C là đường cong kín có chiều ngược chiều kim đồng hồ và bao qu /Anh gốc tọa độ. 2.Thiết lập công thức tính biến đổi z ngược Từ công thức định nghĩa của biến đổi z: 45
  46. Nhân hai vế của công thức trên cho z k-1 và lấy tích phân trên đường cong kín C bao qu /Anh gốc tọa độ, ngược chiều kim đồng hồ và nằm trong miền hội tụ của X(z), ta được: 1 1 X (z)z k 1dz  x(n)z n k 1dz (2.24) 2 j C 2 j C Vì tổng trong vế phải hội tụ, nên ta có thể hoán đổi vị trí của dấu tích phân và dấu tổng : 1 1 X (z)z k 1dz  x(n) z n k 1dz (2.25) 2 j C n 2 j C 1 Áp dụng định lý Cauchy, pt(2.25) trở thành: X (z)z k 1dz x(k) (2.26) 2 j C Đổi biến k thành biến n, ta được công thức biến đổi z ngược mong muốn. 1 x(n) X (z)z n 1dz (2.27) 2 j C Tích phân đường trong pt(2.27) được tính bằng định lý giá trị thặng dư của Cauchy (Cauchy’s residue theorem) như sau: 1 x(n) X (z)z n 1dz  (giá trị thặng dư của X(z)z n-1 tất cả các cực của nó trong 2 j C C. (2.28) Giá trị thặng dư (residue) tại một điểm cực d , bậc s của X(z)zn-1 , ký hiệu là Re s j , là 0 d0 j 1 j 1 d n 1 j :Re s lim X (z)z (z d 0 )  (2.29) d0 (s 1)! dz s 1 Đối với các điểm cực đơn, pt(2.29) trở thành: Re s j X (z)z n 1 (z d ) (2.30) d0 lim 0 s d0 Hình 2.8 Vòng tròn tích phân C Ví du 2.6: 1 X (z) , với z a , tìm dãy x(n) tương ứng. 1 az 1 Giải: 46
  47. Đường cong kín C nằm trong ROC của X(z) nên có bán kính lớn hơn |a|. - Với n ≥ 0, C bao quanh một cực duy nhất tại z = a, ta có: Re s1 X (z)z n 1 (z a) z n a n a lim lim s a s a kết quả là: x(n) = an - Với n < 0 , có cực kép bậc n tại z = 0. - Khi n = -1, có 2 cực trong C là z = a và z = 0 Re s1 X (z)z n 1 (z a) z 1 a 1 a lim lim s a s a 1 Re s1 X (z)z n 1 (z 0) a 1 0 lim lim s 0 s a (z a) Kết quả là x(-1) = a-1 - a-1 = 0 - Khi n = -2, có 1 cực đơn z = a và một cực kép bậc 2 tại z = 0 trong C. Re s1 X (z)z n 1 (z a) z 2 a 2 a lim lim s a s a 1 Re s1 X (z)z n 1 (z 0) 2 a 2 0 lim lim 2 s 0 s a (z a) Kết quả là x(-2) = 0 Tính tiếp tục với n = -3, -4, -5, ta thấy x(n) = 0, với mọi n < 0. Vậy, kết quả cuối cùng là: x(n) = anu(n). 2.3 CÁC TÍNH CHẤT CỦA BIẾN ĐỔI Z Giả sử ta có các cặp biến đổi Z như sau: Các ký hiệu ROC = Rx có nghĩa là rL < |z| < rH ROC = Rx1 có nghĩa là rL1 < |z| < rH1 ROC = Rx2 có nghĩa là rL2 < |z| < rH2 trong đó rL , rH , rL1 , rH 1, rL2 , rH 2 là các số thực dương, tương tự cho Ry. Biến đổi Z có các tính chất như sau: 1. Tuyến tính (Linearity): 47
  48. trong đó a và b là các hằng số bất kỳ. Tính chất này được chứng minh trực tiếp từ định nghĩa của biến đổi z (xem như một bài tập). Miền hội tụ Ry của a X1(z) + b X2(z) nhỏ nhất là phần giao nhau giữa R x1 và Rx2. Nếu tổ hợp tuyến tính a X 1(z) + b X2(z) phát sinh các điểm zeros khử đi một số điểm cực thì miền hội tụ Ry được mở rộng ra (Ta sẽ trở lại sự khử cực trong phần sau). Ví d Ví dụ 2.Xác định biến đổi Z của tín hiệu: (a) x(n) = (cosw0n)u(n) (b) x(n) = (sinw0n)u(n) Giải: (a) Tín hiệu x(n) có thể được biểu diễn bởi các hàm mũ phức theo công thức Euler: Ta thấy, x(n) là tổ hợp tuyến tính của 2 tín hiệu e jnu(n) và e jnu(n) , tính biến đổi Z của hai dãy này, ta có: 1 e j0nu(n)  , ROC : z 1 1 e j0 z 1 1 e j0nu(n)  , ROC : z 1 1 e j0 z 1 Áp dụng tính chất tuyến tính, ta được: 1 1 1 1 X (z) với ROC: z 1 2 1 e j0 z 1 2 1 e j0 z 1 Cuối cùng ta có: (b) Tương tự , tín hiệu x(n) có thể được biểu diễn bởi các hàm mũ phức theo công thức Euler: Áp dụng tính chất tuyến tính, ta được: Sau một số thao tác đại số được kết quả: 2 . Dịch thời gian (Time shifting) 48
  49. (2.34) ROC của z-k X(z) là Rx trừ ra z = 0 nếu k > 0 hoặc trừ ra z = ∞ nếu k < 0. Chứng minh: Đặt y(n)=x(n-k), ta có: Y (z)  x(n k)z n , đổi biến m=n-k, ta được: n Y (z)  x(m)z (m k ) z k  x(m)z m z k X (z) n m Nhận xét: Dịch phải k mẫu tức là làm trễ tín hiệu k mẫu sẽ tương ứng với nhân cho z -k trong phép biến đổi z. Với k = 1, ta ký hiệu toán tử z -1 tương ứng với phép làm trễ một mẫu, đây là ký hiệu đã được dùng để biểu diễn phần tử làm trễ một mẫu. Tính chất tuyến tính và tính chất dịch thời gian làm cho biến đổi z trở thành cực kỳ hữu dụng trong việc phân tích hệ thống LTI. 3/. Thay đổi thang đo trong miền z (Scaling in the z domain). với a là hằng số thực hoặc phức bất kỳ. ROC của X(z/a) là |a|.Rx = |a|.rL < |z| < |a|.rH. Chúng minh: Từ định nghĩa của biến đổi Z ta có: -1 Vì ROC của X(z) là Rx = rL < |z| < rH nên ROC của X(a-1z) là rL < | a z| < rH hay |a|rL < |z| < |a|rH. Ví dụ 2.8: Xác định biến đổi Z của các tín hiệu: n (a) x(n) = a (cos0 n )u(n) n (b) x(n) = a (sin0 n )u(n) Giải: (a) Từ kết quả (2.32) trong ví dụ 2.7 kết hợp với tính chất (2.35) ta thu được kết quả một cách đễ dàng: 4/. Đảo thời gian (Time Reversal) 49
  50. với k là số nguyên. 1 1 ROC của X(z-1) là z Rx rL Chứng minh: từ định nghĩa biến đổi z ta có: Z x( n)  x( n)z n  x(m)(z 1 ) m n m Trong biểu thức trên ta đã đổi biến m = -n. -1 ROC của X(z-1) là : rL < |z | < rH hay 1/rH < |z| < 1/rL Ví du 2.9: Xác định biến đổi Z của tín hiệu x(n) = u(-n) Giải: Ở ví dụ 2.2 ta đã biết : Áp dụng pt (2.38) ta được : 5/. Vi phân trong miền z (Differentiation in the z-domain) Với Ry = Rx (Ngoại trừ trường hợp thêm vào hay loại bỏ các điểm cực tại z = 0 hay z=∞. Chứng minh: Bằng cách lấy đạo hàm 2 vế của biểu thức định nghĩa biến đổi Z, ta có: Ví dụ 2.10: Xác định biến đổi Z của tín hiệu x(n) = nanu(n) . Giải: n Đặt x1(n) = a u(n), ta được x(n) = nx1(n) . Từ ví dụ 2.2 ta đã biết: 1 x (n) a nu(n)  ; với ROC: z a 1 1 az 1 Áp dụng (2.39): 1 n dX 1 (z) az x(n) na u(n)  X (z) z , với Rx=Rx1, nghĩa là z . a dz (1 az 1 ) 2 50
  51. Nếu a = 1, ta có biến đổi Z của dãy hàm đốc đơn vị (unit ramp signal). z 1 x(n) nu(n)  X (z) , với Rx = z 1 (2.40) (1 z 1 ) 2 6/. Tích Chập (Convolution) với ROC Rx của X(z) nhỏ nhất là miền giao nhau của ROCx1 và ROCx2 Nếu có các zeros được sinh ra khử đi một số điểm cực thì miền hội tụ Rx được mở rộng ra. Chứng minh: Theo định nghĩa, tổng chập của 2 dãy x1(n) và x2(n) là: Biến đổi z của x(n) là: Hoán đổi vị trí của 2 tổng và áp dụng tính chất dịch thời gian ta thu được : Ví dụ 2.11: Tính tổng chập x(n) của 2 dãy : và x2(n) = u(n) – u(n – 6) Giải: Từ định nghĩa ta tín được biến đổi Z của x1(n) và x2(n) như sau: -1 -2 X1(z) = 1 – 2z + z -1 -2 -3 -4 -5 X2(z) = 1 + z + z + z + z + z Theo tính chất (2.41), ta nhân X1(z) với X2(z) và suy ra x(n) = x1(n)*x2(n): -1 -6 -7 X1(z). X2(z) = 1 - z - z + z Suy ra: Tính chất được áp dụng để tính tổng chập một cách có hiệu quả. 7/. Tương quan (Correlation) 51
  52. Chứng minh: Ta nhắc lại định nghĩa của tương quan giữa 2 dãy x1(n) và x2(n), đó là: Áp dụng tính chất đảo thời gian và chập ta có: ROC của Rxx(z) nhỏ nhất là phần giao của miền hội tụ của X1(z) và X2(z-1). Giống như trường hợp tính tổng chập, tương quan giữa hai tín hiệu có thể tính một cách dễ dàng hơn bằng cách áp dụng tính chất (2.42), sau đó tìm biến đổi Z ngược để thu được kết quả. 8/ Tích cuả hai dãy (Multiplication of two Sequences) Ở đây C là đường cong kín bao qu /Anh gốc tọa độ và nằm trong miền hội tụ của X1(v) and X2(1/v). Chứng minh: Đặt: x3(n) = x=(n).x2(n), biến đổi Z của x3(n) là: thay thế biến đổi Z ngược của x1(n): đó là kết quả mong muốn. Để thu được ROC của X3(z), ta chú ý rằng, nếu X1(v) hội tụ trong miền r 1L<|v|<r1H và X2(z) hội tụ trong miền r 2L<|z|<r2H, thì ROC của X 2(z/v) là: r2L<|z/v|<r2H, và miền hội tụ của X3(z) sẽ nhỏ nhất là: 52
  53. R1L.r2L 0 và X(z) x(0). Tất cả các tính chất đã được trình bày ở trên sẽ được tổng kết trong bảng 2.1 để thuận tiện khi tham khảo. Đến đây, ta đã tìm được hầu hết các cặp biến đổi Z cơ bản. Các cặp biến đổi Z này được tổng kết trong bảng 2.2. Bảng 2.1: Các tính chất của biến đổi Z Hµm gèc Hµm ¶nh MiÒn héi tô x(n) X (z) Rx z Rx y(n) Y (z) Ry z Ry a.x(n) b.y(n) a.X (z) b.Y (z) Max Rx , Ry z min Rx , Ry k x(n k) z X (z) Rx z Rx n 1 a x(n) X (a z) a Rx z a Rx 1 1 x( n) X (z 1) z Rx Rx dX (z) n.x(n) z. R z R dz x x x(n) y(n) X (z).Y (z) Max Rx , Ry z min Rx , Ry 1 z x(n).y(n) X ( ).Y (v).v 1.dv R , R z R , R Ñ Max x y min x y j2 C v x (n) X (z ) Rx z Rx r (m) 1 xy Rxy (z) X (z).Y (z ) Max Rx , Ry z min Rx , Ry Bảng 2.2: Các cặp biến đổi z cơ bản Tín hiệu x(n) Biến đổi z, X(z) ROC 53
  54. (n) 1 Tất cả mặt phẳng z u(n) 1 |z| > 1 1 Z 1 nu(n) z 1 |z| > 1 (1 Z 1 ) 2 anu(n) 1 |z| > |a| 1 az 1 nanu(n) az 1 |z| > |a| (1 aZ 1 ) 2 -anu(-n -1) 1 |z| 1 1 2 1 2z cos0 z 1 (sin0n)u(n) 1 z sin0 |z| > 1 1 2 1 2z sin0 z n 1 (a cos0n)u(n) 1 az cos0 |z| > |a| 1 2 2 1 2az cos0 a z n 1 (a sin0n)u(n) 1 az sin0 |z| > |a| 1 2 2 1 2az sin0 a z 2.4 CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM BIẾN ĐỔI Z NGƯỢC Phương pháp dựa trên định lý tích phân Cauchy để tìm biểu thức của biến đổi z ngược đã định trình bày trong phần định nghĩa biến đổi z ngược. Phương pháp này có vẻ kinh điển, nhưng khá phức tạp. Bây giờ, ta sẽ trình bày một số phương pháp khác, đơn giản hơn, để tìm biến đổi z ngược từ một biểu thức X(z) kết hợp với một ROC xác định. 2.4.1. Phương pháp tra bảng: Đây là phương pháp đơn giản và nhanh chóng nhất, để tìm biến đổi z ngược ta chỉ cần dựa vào bảng các cặp biến đổi z có sẳn (bảng 2.2). Ví dụ 2.12: 1 Tìm biến đổi z ngược của X(z) ,với z 1 1 2 1 z 1 2 Ta tra bảng, tìm được cặp biến đổi: 1 a nun , z a 1 az 1 áp dụng công thức biến đổi này với a = ½ , ta được x(n) = (1/2)n u(n). 2.4.2. Phương pháp triển khai thành các phân thức tối giản. (PARTIAL FRACTION EXPANSION) 54
  55. Trường hợp X(z) không có sẳn một cách tường minh trong bảng các cặp biến đổi z. Ta có thể biến đổi biểu thức X(z) thành tổng của các số hạng đơn giản có thể tra bản. Đây là trường hợp X(z) có dạng hữu tỉ, nghĩa là X(z) = P(z)/Q(z), với P(z) và Q(z) là các đa thức theo biến z hay z-1, bởi vì trong trường hợp này ta có thể khai triển X(z) thành các phân thức hữu tỉ đơn giản. Giả sử rằng X(z) được biểu diễn bằng tỉ số của 2 đa thức của z-1, như sau: M k 1 2 M bk z b0 b1 z b2 z bM z k 0 X (z) 1 2 N N (2.46) a0 a1 z a2 z a N z k  ak z k 0 Biến đổi z có dạng này thường gặp khi nghiên cứu hệ thống tuyến tính bất biến pt (2.46) có thể viết lại: M b z k z N b z M b z M 1 b z M 2 b  k X (z) 0 1 2 M k 0 M N N 1 M 2 N (2.47) z a0 z a1 z a2 z a N k  ak z k 0 Pt (2.47) chỉ ra rằng, sẽ có M zeros và N cực ở các vị trí khác 0 trên mặt phẳng phức. Thêm vào, cũng sẽ có M-N cực ở z = 0 nếu M > N hay có N-M zeros ở z=0 nếu N > M. Nói khác đi, biến đổi z có dạng pt(2.46) luôn luôn có số cực và zero bằng nhau trong mặt phẳng z hữu hạn, và không có cực và zero ở z = ∞. Pt (2.46) còn có thể biểu diễn ở dạng: M 1 b0  (1 ck z ) X (z) k 1 N (2.48) 1 a  (1 d k z ) 0 k 1 Ở đây, ck là các zeros khác 0 và dk là các cực khác 0 của X(z). - Trường hợp M N, X(z) là hàm hữu tỉ thật sư và có N cực khác 0 phân biệt (không có cực kép): Khi đó X(z) có thể viết lại: 55
  56. N Ak X(z)= 1 (2.50) k 1 1 d k z với Ak là các hệ số mà ta cần phải tính. Để tính các hệ số A k, ta nhân hai vế phương -1 trình (2.49) với (1 –dk z ) và cho z = dk , ta tính được các hệ số Ak : A (1 d x 1 ) X (z) z d k k z k Ví dụ 2.13: Giả sử x(n) có biến đổi z là: 1 2z 1 z 2 1 2z 1 z 2 X (z) (2.52) 3 1 1 2 1 1 z z 1 z 1 1 z 1 2 2 2 với ROC là |z| > 1. Tìm x(n). Giải: Từ ROC của X(z), ta thấy x(n) là một dãy bên phải. Vì M = N và tất cả các cực đều là bậc nhất. Ta có thể biểu diễn X(z) dưới dạng: Hệ số b0 được tìm bởi phép chia đa thức tử số cho đa thức mẫu số: 1 3 z 2 z 1 1 2 2 2 z 2 2z 1 1 z 2 3z 1 2 5z 1 -1 1 5z 1 X(z) được viết lại: X (z) 2 1 a z 1 1 z 1 2 1 5z 1 Đặt X (z) , ta sẽ khai triển X ht(z) thành tổng của 2 phân thức đơn ht 1 1 z 1 1 z 1 2 giản, các hệ số A1 và A2 được tính bằng cách áp dụng pt(2.51), như sau: 1 5z 1 A1 1 9 (1 z 1 ) z 2 1 5z 1 A 8 2 1 z 1 (1 z 1 ) 2 9 8 X(z) trở thành : X (z) 2 1 1 1 (1 z ) (1 z ) 2 56
  57. Tra bảng ta được: 2 2(n) n 9 1 u(n) 1 (1 z 1 ) 2 2 8 u(n) (1 z 1 ) Áp dụng tính chất tuyến tính, ta được: x(n) = 2*(n) – 9 (1/2)nu(n) + 8 u(n) - Trường hợp M > N, X(z) là hàm hữu tỉ thật sư và có N cực khác 0, trong đó có cực képï: Pt(2.47) có thể được viết lại: X(z) b z N 1 b z N 2 b z N 3 b z N M 1 0 1 2 M z a z N a z N 1 a z N 2 a 0 1 2 N (2.53) Sau đó khai triển X(z)/z thành tổng các phân thức hữu tỉ đơn giản. Giả sử, X(z) có cực kép bậc s tại dj. Pt(2.53) sẽ được triển khai dưới dạng: X (z) N A s C k m   m (2.54) z k lk j z d k m l (z d j ) Từ pt(2.54), ta viết lại X(z) đưới dạng: N A s C k m X(z)=  1  m (2.55) k lk j 1 d k z m l (z d j ) Các hệ số A k được tính như trên, ta có thể tìm công thức tổng quát để tính các hệ số Cm , tuy nhiên công thức này khá phức tạp. Trong thực tế, để thực hiện một hệ thống lớn, người ta thường liên kết nhiều hệ thống bậc 2. Vì vậy, để đơn giản, ta chỉ cần khảo sát trường hợp nghiệm kép bậc 2 như trong ví dụ 2.14. Sau khi tìm được các hệ số A k và Cm, ta áp dụng phương pháp tra bảng kết hợp với các tính chất tuyến tính và tính chất vi phân trong miền z để tìm biến đổi z ngược. Ví dụ 2.14: Hãy xác định dãy nhân quả x(n) có biến đổi z là: 1 X(z)=2 Với ROC: z 1 1 z 1 1 z 1 Giải: Ta thấy X(z) có một nghiệm kép bậc 2 tại z = 1, ta viết lại X(z) dưới dạng: 57
  58. X (z) z 2 A C C 1 2 z z 1 z 1 2 z 1 z 1 (z 1) 2 Các hệ số A và C2 có thể tính được một cách dễ dàng như sau: X (z) 1 A = (z 1) z z 1 4 X (z) 1 C (z 1) 2 2 z z 1 2 Để tính C1, ta viết lại: X (z) A (z 1) 2 (z 1) 2 (z 1)C C z z 1 1 2 Và lấy đạo hàm 2 vế của phương trình và cho z=1, ta được: d 2 X (z) 3 C1 (z 1) dz z z 1 4 Thay các hệ số đã tính được và biểu thức của X(z)/z: X (z) 1 3 1 z 4(z 1) 4(z 1) 2(z 1) 2 Cuối cùng X(z) được khai triển thành các phân thức hữu tỉ đơn giản, như sau: 1 1 3 1 1 z 1 X (z) 4 1 z 1 4 1 z 1 2 (1 z 1 ) 2 Áp dụng phương pháp tra bảng kết hợp với các tính chất tuyến tính, vi phân trong miền z, với x(n) là một dãy nhân quả, ta thu được: x(n) = ¼ (-1)nu(n) + ¾ u(n) + ½ n u(n) = [¼ (-1)n + ¾ + n/2]u(n) 2.4.3. Phương pháp triển khai thành chuỗi luỹ thừa (POWER SERRIES EXPANSION) Từ định nghĩa của biến đổi z, ta thấy X(z) là môt chuỗi lũy thừa, trong đó x(n) chính là hệ số của z-n . Ta viết lại: X(z)  x(n)z n x( 2)z 2 x( 1)z1 x(0) x(1)z 1 x(2)z 2 (2.56) n Vậy, nếu ta có thể đưa X(z) về dạng này, ta sẽ xác định được giá trị của x(n) tương ứng với giá trị của n. 1/. Khai triển một tích số: Ví dụ 2.15: Hãy xác định dãy x(n) mà biến dổi z của nó là: 1 X(z) z 2 (1 z 1 )(1 z 1 )(1 z 1 ) 2 Ta thấy X(z) cũng có dạng hàm hữu tỉ, nhưng chỉ có một cực là z = 0, Ta có thể khai triển thành một chuỗi lũy thừa như sau: 58
  59. 1 1 X(z) z 2 z 1 z 1 2 2 1 1 Vậy x(n) là: x(n)= ,0,0,1, , 1, ,0,0, 2 2 2/. Khai triển Taylor Phương pháp này thường được áp dụng khi X(z) có dạng logarit, sin, hyperbolic, hàm mũ. Ta nhắc lại công thúc Taylor của một hàm f(x) tại điểm x = x0, như sau: f  (x ) f (n) (x ) f (n 1) (c) f (x) f (x ) 0 (x x ) 0 (x x ) n (x x ) n 1 (2.57) 0 1! 0 n! 0 (n 1)! 0 trong đó, c nằm giữa x và x0. Nếu trong công thức (2.54), ta cho x0 = 0, ta được: f  (x ) f (n) (x ) f (n 1) (c) f (x) f (x ) 0 (x) 0 (x) n (x) n 1 (2.58) 0 1! n! (n 1)! trong đó, c nằm giữa 0 và x, công thức (2.58) được gọi là công thức Mac Laurin. Ví dụ 2.16: Hãy xác định dãy x(n) có biến đổi z là: X(z) = ln(1 + az-1), với ROC là |z| > |a|. Gỉải: Khai triển Taylor của X(z) theo z-1 , với n n →∞, ta có: ( 1) n 1 a x z x X (z)  n 1 n Vậy: n ( 1) n 1 a n n>0 x(n) = 0 n 0 3/. Khai triển bằng phép chia: Phương pháp này thường được thực hiện khi X(z) có dạng hữu tỉ: X(z) = P(z)/Q(z). Ta có thể thực hiện phép chia đa thức P(z) cho Q(z) để có được một chuỗi lũy thừa, từ đó, nhận được từng mẫu của dãy x(n). Ví dụ 2.17: Hãy xác định biến đổi Z ngược của: 1 X(z) = 1 1.5z 1 0.5z 2 khi: (a) ROC là |z| > 1 (b) ROC là |z| < 0.5 Giải: 59
  60. (a) Từ ROC của X(z) ta thấy x(n) là một dãy bên phải. Vì vậy , ta sẽ tìm một khai triển chuỗi lũy thừa với số mũ âm. Bằng cách chia tử cho mẫu xếp theo số mũ âm dần, ta được: So sánh với pt(2.56), ta được: (b) Từ ROC của X(z), ta thấy x(n) là một dãy bên trái. Vì vậy, ta phải thực hiện phép chia sao cho thu được khai triển lũy thừa dương của z. Muốn vậy, ta xếp các đa thức tử số và mẫu số theo thứ tự sao cho lũy thừa của z-1 giảm dần (tức số mũ ít âm dần cho đến 0). Ta thực hiện phép chia như sau: Ta thu được: 2.5 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH HỆ SỐ HẰNG DÙNG BIẾN ĐỔI Z MỘT PHÍA 2.5.1. Biến đổi Z một phía (UNILATERAL Z-TRANSFORM) . Định nghĩa: Biến đổi z một phía của tín hiệu x(n) đã được định nghĩa ở pt(2.4), ta nhắc lại: 60
  61. Nó khác với biến đổi z hai phía ở chỗ chỉ tính các giá trị x(n) với n ( 0, giới hạn dưới của tổng là 0. Ta thấy, nếu x(n) là một tín hiệu nhân quả (nghĩa là x(n) = 0 với mọi n r H (rH là một số thực dương), với biến đổi z một phía có dạng hữu tỉ thì rH là modul của cực xa gốc tọa độ nhất. Vì vậy, khi sử dụng biến đổi z một phía, người ta thường không đề cập đến ROC . Ví dụ 2.18: Xét tín hiệu x(n) =δ(n) n n Biến đổi Z hai phía: X (z)  xnz  (n)z 1 n n 0 Biến đổi Z một phía: X (z)  xnz n  (n)z n 1 n 0 n 0 Ta thấy, vì x(n) = 0 với mọi n 0 vµ ®iÓm z = nÕu k < 0 Chøng minh : Theo biÓu thøc biÕn ®æi Z thuËn [2.1-1] cã : Y (z)  x(n k).z n z k  x(n k).z (n k ) z k X (n) n n TÝnh chÊt trÔ th­êng ®­îc sö dông ®Ó t×m biÕn ®æi Z cña c¸c d·y trÔ . Ví dω 2.20: Đáp ứng xung của một hệ thống LTI nghỉ là h(n) = a nu(n), với |a| < 1. Hãy xác định đáp ứng của hệ thống với tín hiệu vào là tín hiệu nhảy bậc đơn vị khi n . Giải: Đáp ứng của hệ thống là: 61
  62. y(n) = h(n)*x(n) với : x(n) = u(n). Rõ ràng, nếu ta kích thích một hệ thống nhân quả với một tín hiệu vào nhân quả thì tín hiệu ra cũng nhân quả. Vì x(n), h(n) và y(n) đều là các dãy nhân quả, nên biến đổi Z một phía và biến đổi Z hai phía là đồng nhất. Áp dụng tính chất chập ta được: 1 1 z 2 Y (z) ROC: z a 1 az 1 1 z 1 z 1 z a z 2 Suy ra: (z-1)Y(z)= (z a) Vì |a| < 1 nên ROC của (z-1)Y(z) chứa vòng tròn đơn vị. Áp dụng định lý giá trị cuối, ta được: 2 z 1 lim y(n) lim 1 a n z a z 1 2.5.2. Giải phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng: Một công dụng quan trọng của biến đổi z một phía là phân tích hệ thống được mô tả bởi phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng không có điều kiện nghỉ. Vì kích thích được đưa vào ở một thời gian xác định, ta coi như n = 0, nên tín hiệu vào cũng như tín hiệu ra chỉ được khảo sát ở các thời điểm n ≥ 0, điều này không có nghĩa là các tính hiệu ra bằng 0 ở các thời điểm n < 0. Ta thấy, biến đổi z một phía là một công cụ thích hợp trong trường hợp này. Ta xét ví dụ sau đây: Ví dụ 2.21: Xác định đáp ứng nhảy bậc đơn vị của hệ thống được mô tả bởi phương trình sai phân sau: y(n) = ay(n-1) + x(n) , với –1 < a < 1 với điều kiện đầu là: y(-1) = 1. Giải: Lấy biến đổi Z một phía hai vế của phương trình sai phân ta được: Y+(z) = a[z-1Y+(z) + y(-1)] + X+(z) Với x(n) = u(n) ta có X+(z) = 1/(1-z-1). Thay thế y(-1) và X+(z) vào phương trình trên và sắp xếp lại ta được: a 1 Y (z) 1 az 1 1 az 1 1 z 1 Tìm biến đổi Z ngược bằng phương pháp khai triển thành các phân thức hữu tỉ đơn giản, ta được: 2.6 PHÂN TÍCH HỆ THỐNG LTI TRONG MIỀN Z 2.6.1. Hàm truyền đạt của hệ thống LTI 2.6.1.1. Hàm truyền đạt (hàm hệ thống) Từ chương I, ta đã thấy rằng một hệ thống LTI hoàn toàn có thể đặc trưng trong miền thời gian bởi đáp ứng xung h[n] của nó, với tín hiệu vào x[n], đáp ứng của hệ thống được tính bởi tổng chập: y[n] = x(n) * h(n) (2.64) 62
  63. Chúng ta cũng thấy được các khó khăn khi xác định đáp ứng của hệ thống trực tiếp bằng tổng chập. Gọi X(z) và H(z) lần lượt là biến đổi z của x(n) và h(n), áp dụng tính chất chập của biến đổi Z, ta được biến đổi Z của y(n) như sau: Y(z) = X(z).H(z) (2.65) với một miền hội tụ thích hợp. Vậy, thông qua phép biến đổi Z, tổng chập của hai dãy đã biến thành phép nhân đơn giản. Sau khi có được Y(z), ta dùng phép biến đổi Z ngược để tính đáp ứng y(n). Cách làm này rõ ràng là dễ dàng hơn cách tính trực tiếp từ tổng chập. Y (z) Pt(2.65) có thể được viết lại: H(z)= (2.66) X (z) H(z) được gọi là hàm hệ thống (System function) hay hàm truyền đạt (Transfer function). Vì H(z) và h(n) là một cặp duy nhất, nên một hệ thống LTI bất kỳ hoàn toàn có thể được đặc tả bởi hàm hệ thống của nó. 2.6.1.2. Hàm truyền đạt của một hệ thống được đặc trưng bởi LCCDE Xét một hệ thống LTI mà quan hệ vào ra của nó thỏa mãn phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng (LCCDE) như sau: N M  aK y(n K) bK y(n K) (2.67) K 0 K 0 Chúng ta cũng đã biết rằng, từ phương trình sai phân (2.67) ta có thể tìm được y(n) theo phương pháp đệ qui. Nếu điều kiện ban đầu nghỉ được thỏa mãn, hệ thống sẽ là tuyến tính, bất biến và nhân quả. Áp dụng biến đổi Z cho cả hai vế của pt(2.67) và để ý đến tính chất tuyến tính, dịch thời gian của biến đổi Z, ta N M a z K Y (z) b z K X (z) Thu được :  K  K K 0 K 0 N M K K Hay:  aK z Y (z)  bK z X (z) (2.68) K 0 K 0 Suy ra hàm truyền đạt của hệ thống có dạng: M b z K Y (z)  K H (z) K 0 N (2.69) X (z) K  aK z K 0 Từ các điều kiện đầu của LCCDE, nếu ta xác định được ROC của H(z) thì H(z) đặc tả duy nhất một hệ thống. 63
  64. Một cách biểu diễn khác: M (1 c z 1 ) b  K H (z) 0 k 1 N (2.70) a0 1  (1 d K z ) k 1 -1 Mỗi thừa số (1-c kz ) trong tử số góp vào một zero ở z=c k. Tương tự, mỗi thừa số (1- -1 dkz ) trong mẫu số đóng góp vào một cực ở z=dk. Có một mối quan hệ rõ ràng giữa phương trình sai phân và biểu thức đại số của hàm truyền đạt tương ứng. Như ta thấy, trong đa thức tử số của pt(2.69) có cùng các hệ số với vế phải của pt(2.67) và đa thức mẫu số của pt(2.69) có cùng các hệ số với vế trái của phương trình (2.67). Như vậy, biết hàm truyền đạt ta có thể suy ra phương trình sai phân và ngược lại. Ví dụ 2.22: Giả sử rằng hàm truyền đạt của hệ thống LTI là: 2 1 z 1 3 H (z) với ROC: z (2.71) 1 3 4 1 z 1 1 z 1 2 4 Từ ROC của H(z), ta thấy đây là một hệ thống nhân quả. Để tìm phương trình sai phân biểu diễn hệ thống, ta đưa H(z) về dạng của pt(2.69): 1 2z 1 z 2 Y (z) H (z) 1 3 X (z) 1 z 1 z 2 4 8 1 3 Suy ra: 1 z 1 z 2 Y (z) 1 2z 1 z 2 X (z) 4 8 và phương trình sai phân là: 1 3 y(n) y(n 1) y(n 2) x(n) 2x(n 1) x(n 2) (2.72) 4 8 Vì đây là hệ thống LTI nhân quả nên pt(2.72) thỏa điều kiện đầu nghỉ. Ví dụ 2.23: Hãy xác định hàm truyền đạt H(z) của hệ thống mô tả bởi LCCDE: 1 y(n) y(n 1) 2x(n) 2 Nếu điều kiện đầu chưa xác định, LCCDE hoặc H(z) đã cho có thể mô tả bao nhiêu hệ thống khác nhau? Trong mỗi trường hợp hãy tính đáp ứng xung tương ứng (xem như bài tập). 2.6.1.3. Sự kết nối của các hệ thống LTI Có hai loại kết nối cơ bản: kết nối liên tiếp (cascade) và kết nối song song. Ở chương I ta đã định nghĩa các phần tử cơ bản của một hệ thống rời rạc như: cộng, nhân, nhân với hệ số, trễ một mẫu và cũng đã xác định đáp ứng xung của hệ thống tương đương của hai hệ 64
  65. thống mắc liên tiếp hoặc mắc song song. Ở đây, ta sẽ mô tả hệ thống tương đương bằng hàm truyền đạt. Cho hai hệ thống có đáp ứng xung là h1(n) và h2(n), hàm truyền đạt tương ứng là H1(z) và H2(z) với các miền hội tụ xác định. - Mắc liên tiếp (Cascade): hệ thống tương đương: Mắc song song (parallel) Hệ thống tương đương: Từ 2 kết nối cơ bản trên ta có thể cấu trúc 1 hệ thống phức tạp. Ngược lại ta có thể phân chia 1 hệ thống lớn, phức tạp thành nhiều hệ thống nhỏ hơn kết nối nhau để tiện thiết kế. Ví dụ 2.24: Hãy xác định hàm truyền đạt của hệ thống tương đương của hệ thống được kết nối bởi các hệ thống con như sau: Hàm truyền đạt của hệ thống tương đương là:H(z) = H4(z)+H1(z)[H2(z)+H3(z)] 65
  66. 2.6.2. Đáp ứng của hệ thống cực-zero nghỉ Xét một hệ thống cực- zero có thể được mô tả bởi LCCDE và hàm truyền đạt của nó là: B(z) H (z) (2.73) A(z) Giả sử tín hiệu vào x(n) có biến đổi Z là X(z) có dạng hữu tỉ: N(z) X (z) (2.74) Q(z) (Hầu hết các tín hiệu trong thực tế mà ta quan tâm thường có dạng hữu tỉ). Nếu hệ thống ta xét là một hệ thống nghỉ, các điều kiện đầu của phương trình sai phân bằng 0, nghĩa là, y(-1) = y(-2) = =y(-N) = 0. Biến đổi Z của tín hiệu ra là: B(z).N(z) Y (z) H (z)X (z) (2.75) A(z).Q(z) Để tránh trường hợp cực kép, ta giả sử rằng H(z) chỉ có các cực đơn p 1,p2, ,pN và tín hiệu vào cũng chỉ có cực đơn q 1,q2, ,qL , sao cho thoả điều kiện p k ( qm với tất cả k = 1,2, ,N và m=1,2, ,L . Để tránh sự khử cực, ta giả sử các zero của B(z) và N(z) cũng không trùng với các cực {p k} và {qm}. Như vậy, các cực và zero không khử nhau. Khi đó Y(z) sẽ được khai triển thành các phân thức hữu tỉ đơn giản: N A L Q Y (z) K K  1  1 (2.76) K 1 1 pK z K 1 1 qK z Thực hiện biến đổi Z ngược, ta được tín hiệu ra có dạng (chú ý điều kiện nghỉ): N L n n y(n)  AK pK u(n) QK (qK ) u(n) (2.77) K 1 K 1 Ta thấy y(n) có thể chia làm 2 phần: - Phần thứ nhất là hàm của các cực pK của hệ thống được gọi là đáp ứng tự nhiên (natural response) của hệ thống. Sự ảnh hưởng của tín hiệu vào lên phần này thông qua các thừa số {Ak}. - Phần thứ hai là hàm của các cực {qK} của tín hiệu vào, được gọi là đáp ứng ép (forced response) của hệ thống. Ảnh hưởng của hệ thống lên phần đáp ứng này thông qua các thừa số {Qk}. Chú ý: - Các thừa số {Ak} và {Qk} là hàm của cả hai tập cực {p k} và {qk} (xem lại cách tính các thừa số này). - Đáp ứng tự nhiên của hệ thống khác với đáp ứng của hệ thống khi kích thích bằng 0. Thật vậy, nếu tín hiệu vào x(n) = 0 thì X(z) = 0, suy ra Y(z) = 0 và kết quả đáp ứng của hệ thống là y(n) = 0. - Đáp ứng tự nhiên của một hệ thống cũng phụ thuộc vào kích thích. Điều này thể hiện ở chỗ các thừa số {Ak} là hàm của cả hai tập cực {pK} và {qK}. 66