›
›

Giáo trình Thuỷ khí kỹ thuật ứng dụng - Huỳnh Văn Hoàng

pdf 96 trang phuongnguyen 2350
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Thuỷ khí kỹ thuật ứng dụng - Huỳnh Văn Hoàng", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfgiao_trinh_thuy_khi_ky_thuat_ung_dung_huynh_van_hoang.pdf

Nội dung text: Giáo trình Thuỷ khí kỹ thuật ứng dụng - Huỳnh Văn Hoàng

  1. Thuỷ khí kỹ thuật ứng dụng Huỳnh Văn Hoàng Lời tựa Giáo trình "Thuỷ khí kỹ thuật ứng dụng" được biên soạn theo đề cương giảng dạy cho sinh viên các ngành kỹ thuật của trường đại học Bách khoa Đà Nẵng nhằm mục đích giúp cho sinh viên có tài liệu tham khảo trong học tập cũng như trong tính toán thiết kế các hệ thống thuỷ - khí. Tài liệu được biên soạn không thể tránh khỏi sai sót trên mọi phương diện. Rất mong độc giả vui lòng góp ý kiến xây dựng để tài liệu được hoàn chỉnh. Xin chân thành cảm ơn. Đà nẵng 8 - 2005 Tác giả
  2. Thuỷ khí kỹ thuật ứng dụng Huỳnh Văn Hoàng Chương 1 Mở đầu $1 - Mục đích, đối tượng và phương pháp nghiên cứu Thuỷ khi kỹ thụât ứng dụng nghiên cứu các qui luật cân bằng và chuyển động của dòng chất lỏng, nghiên cứu lưc tác dụng của chất lỏng lên vật ngập trong chất lỏng tĩnh hay chuyển động và nghiên cứu ứng dụng các kết quả trên vào sản xuất và đời sống. Đối tượng nghiên cứu là chất lỏng còn gọi là chất nước. Các kết quả nhiên cứu được áp dụng cho chất khí. kim loại nóng chảy và hỗn hợp thuỷ lực, được gọi chung là chất lỏng Nui-tơn. Các bài toán của chất lỏng ở trạng thái tĩnh được trình bày trong phần tĩnh học chất lỏng, các bài toán chuyển đông của chất lỏng được giới thiệu trong phần động lực học chất lỏng. Trong quá trình nghiên cứu thuỷ khí ứng dụng phải kết hợp chặt chẽ giữa nghiên cứu lý thuyết và thực nghiệm. Việc nghiên cứu lý thuyết bắt đầu từ quan sát hiện tượng và mô tả bằng mô hình cơ học, vật lý và toán học. Khi nghiên cứu một vấn đề, chúng ta phải vận dụng các nguyên lý cơ bản của cơ học và vật lý, ngoài ra phải kết hợp chặt chẽ kiến thức toán học, cơ lý thuyết, vật lý và nhiệt động kỹ thuật . Đôi khi phải kiểm tra kết quả nghiên cứu lý thuyết bằng thực nghiệm trên mô hình. Việc nghiên cứu bằng thực nghiệm đóng vai trò hết sức quan trọng vì nó bổ sung cho lý thuyết.Trong một số lĩnh vực nó là phương pháp chủ yếu làm cơ sở cho lý thuyết, ví dụ như nghiên cứu dòng rối, . Để đơn giản cho việc nghiên cứu lý thuyết người ta thường bắt đầu từ chất lỏng lý tưởng, sau đó mở rộng ra cho chất lỏng thực. Nghĩa là phải xét đến ảnh hưởng của tính nhớt, tính nén, của chất lỏng. Trong nghiên cứu lý thuyết người ta tách khỏi chất lỏng một phân tố lỏng có hình dạng tuỳ ý và có các tính chất cơ - lý như toàn bộ chất lỏng. Cần lưu ý rằng mỗi phân tố lỏng dù nhỏ đến đâu cũng có kích thước lớn hơn rất nhiều so với kích thước phân tử và nó chứa một khối lượng rất lớn phân tử. Môi trường chất lỏng được coi là gồm vô số những phân tố lỏng phân bố liên tục. Với khái niệm phân tố lỏng cho phép chúng mở rộng môi trường chất lỏng như trường vật lý để có thể ứng dụng các qui luật động học và động lực học của cơ học để nghiên cứu chuyển động của chất lỏng. Vì thế những đại lương đặc trưng động học và động lực học của chất lỏng có thể biểu diễn bằng các hàm liên tục đối với toạ độ không gian và thời gian, đồng thời những hàm số đó là những hàm khả tích, khả vi. Các phương pháp đươc sử dụng trong nghiên cứu trong thủy khí kỹ thuật : - Phương pháp thể tích hữu hạn, trong đó sử dụng định luật giá trị trung bình của tích phân và các biểu thức liên hệ giữa tích phân mặt và tích phân khối. - Phương pháp tương tự thuỷ khí-điện từ, trong đó môi trường vận tốc được thay bằng thế hiệu của môi trừơng. - Phương pháp phân tích thứ nguyên dự trên cơ sở đồng nhất của hệ phương trình vi phân đạo hàm riêng.
  3. Thuỷ khí kỹ thuật ứng dụng Huỳnh Văn Hoàng - Phương pháp thống kê thuỷ động thường được dùng để khảo sát chuyển động trung bình của dòng rối. $2 - Lịch sử phát triển Những năm trước công nguyên (tr.CN) Arixtốt (384-322 tr.CN) nhà triết học Hy lạp đã mô tả và giải thích các hiện tượng chuyển động của nước và không khí. Gần 100 năm sau Asimét (287 -212 tr.CN) nhà vật lý bác học Hy lạp đã tìm ra định lụât đẩy lên của chất lỏng và nó trở thành cơ sở cho ngành đóng tàu thuyền. Năm 1506 LêônadaVanxi (1452-1519) dựa kết quả của Asimét đã nghiên cứu tác dụng tương hỗ giữa vật chuyển động và môi trường chất lỏng. Ông đã phát hiện ra lực nâng và đã thiết kế máy bay kiểu cánh dơi. Xtêvin (1548-1620) đã đưa ra "nguyên lý thuỷ tĩnh". Năm 1612 Galilê (1564- 1642) đã phát hiện lực cản môi trường chất lỏng lên vật chuyển động và nó tỷ lệ với vận tốc. Năm 1643 Tôrixeli (1608-1647) tìm ra công thức tính vận tốc chất lỏng chảy ra khỏi lỗ vòi. Năm 1650 Pascan (1623 - 1662) nghiên cứu sự truyền áp suất và chuyển động khả dĩ của chất lỏng. Dựa trên cơ sở đó các máy ép thuỷ lực, bộ tăng áp đã ra đời. Huyghen (1629-1695) đã chứng minh lực cản chất lỏng lên các vật chuyển động tỷ lệ với bình phương vận tốc. Trong "Những nguyên lý cơ bản của chất lỏng" Nuitơn (1642-1727) đã tách cơ học chất lỏng ra khỏi lĩnh vưc cơ học vật rắn với giả thuyết nhớt của chất lỏng thực. Mãi đến thế kỷ 18 - thời kỳ phục hưng các công trình nghiên cứu của Ơle (1707-1783), Bernoulli (1718-1813), đã hoàn chỉnh cơ sở động lực học chất lỏng lý tưởng. Đăc biệt phương trình "tuốc bin - bơm" của Ơle là cơ sở cho việc thiết kế các máy thuỷ - khí cánh dẫn. Phương trình Bernoulli đã đươc sử dụng rộng rãi đẻ giải các bài toán kỹ thuật. Cuối thế kỷ 18 đầu thế kỷ 19 các công trình nghiên cứu hướng vào các bài toán dòng hai chiều, chuyển động xoáy, lý thuyết dòng tia, . Lagrăng (1736-1813) đã giải các bài toán phẳng không xoáy bằng hàm biến phức. Hemhôn (1847-1894) đã chứng minh các định lý cơ bản của chuyển động xoáy trong chất lỏng. Nó trở thành cơ sở cho việc thiết kế cánh dẫn theo lý thuyết dòng xoáy và việc ngiên cứu chuyển động của gió bão trong khi quyển. Cuối thế kỷ 19 do yêu cầu phát triển kỹ thuật các công trình nghiên cứu hướng vào giải quyết các bài toán về chất lỏng thực. Tên tuổi các nhà bác học, kỹ sư gắn liền với các công trình, Ví dụ như : ống Venturi (1746-1822) dùng để đo lưu lượng. Công thức tính tổn thất năng lượng mang tên hai nhà bác học Đăcxi (1803-1858) và Vâyxbác (1866-1871). Số Râynôn (1842-1912) để phân biệt hai trạng thái dòng chảy. Phương trình Naviê (1785-1836) và Stốc (1819-1903) là phương trình chuyển động chất lỏng thực có xét tới vận tốc biến dạng. Phương trình vi phân lớp biên của Pơrăn đã đặt cơ sở lý thuyết cho các bài toán tính lực cản của chất lỏng thực lên vật chuyển động, Tuy nhiên do tính chất phức tạp của chất lỏng thực nên bên cạnh các công trình nghiên cứu lý thuyết có các công trình nghiên cứu thực nghiệm. Các kết quả thực nghiệm đã góp phần khẳn định sự đúng đắn các kết quả nghiên cứu lý thuyết. Các bài toán chảy tầng trong khe hep của Cuét đã được sử dụng trong bài toán bôi trơn thuỷ động. Đến năm 1883 các thực nghiệm của Pêtơrốp đã khẳn định sự đúng đắn của lý thuyết bôi trơn thuỷ động. Đến năm 1886 Jukốpxki và học trò của ông là Traplưgin đã bổ sung và hoàn chỉnh lý thuyết bôi trơn này. Do yêu cầu thiết kế tuốc bin hơi nước, tuốc bin khí và kỹ thuật hàng không viêc nghiên cứu động lực học chất khí đã được quan tâm tới. Năm 1890 Jukốpxki đã tổng quát hoá bài toán chảy bao vật có điểm rời và xác
  4. Thuỷ khí kỹ thuật ứng dụng Huỳnh Văn Hoàng định công thức tính lực nâng trong chảy bao prôfin cánh dẫn. Trong thời gian này nhà bác học người Đức là Kuty cũng đã công bố kết quả tượng tự. Dòng vượt âm được hai anh em người Áo là Mắc nghiên cứu. Jukôpxki nghiên cứu chế tạo ra ống khí động và thành lập phương trình chuyển động của đạn đạo phản lực có khối lượng biến thiên. Việc nghiên cứu chuyển động của chất lỏng thực mà đặc biệt làm sáng tỏ nguyên nhân xuất hiện dòng rối và các tính chất của nó đang là vấn đè nan giải. Áp dụng phương pháp thống kê thuỷ lực và giá trị trung bìmh theo thời gian của các thông số dòng rối chúng ta đã có những kết quả gần đúng về các bài toán dòng rối. Trong thời đại cơ giới hoá và tự động hoá các ngành kỹ thuật việc ứng dụmg các thành tựu nghiên cứu chất lỏng vào các lĩnh vực đó trở thành nhu cầu. Ở các trường đại học, các ngành kỹ thuật môn học thuỷ khí kỹ thuật ứng dụng đã được đưa vào giảng dạy một cách có hệ thống trong chương trình đào tạo. $3 - Những tính chất vật lý cơ bản cuả chất lỏng 3.1- Cấu tạo phân tử Các chất được cấu tạo từ phân tử. Đó là những phần tử nhỏ bé nhất. Giữa chúng có lực tương tác tác dụng. Giữa các phân tử có khoảng cách. Nếu khoảng cách này nhỏ hơn 3.10-10 m thì các phân tử đẩy nhau, còn nếu nó lớn hơn 3.10-10 m thì chúng hút nhau. Nhưng nếu khoảng cách đó lớn hơn 15.10-10 m thì lực tương tác giữa các phân tử rất nhỏ, các phân tử được coi là không tương tác nhau nữa. Các phân tử chuyêen động không ngừng. Theo thuyết động năng thì vân tốc của chúng phụ thuộc vào nhiệt độ của vật thể. Tuỳ theo sự so sánh giữa lực liên kết và động năng của phân tử do chuyển động nhiệt vật chất được phân ra ba loại chất rắn, chất lỏng và chất khí. Các phân tử chất lỏng chuyển động quanh vị trí cân bằng, đồng thời các vị trí cân bằng này lại di chuyển, nên chất lỏng có hình dạng theo vật chứa và không thể chống lại sự biến dạng về hình dáng. Do còn bị ảnh hưởng đáng kể lực tương tác giữa các phân tử nên chất nước không chịu nén, không chịu cắt và chịu kéo. Tuỳ theo nhiệt độ và áp suất của môi trườngng chất lỏng có tính chất như chất rắn hay chất khí. Đói với chất khí lực liên kết giữa các phân tử nhỏ hơn động năng chuyển động do nhiệt. Các phân tử chuyển động hỗn loạn, tự do. Vì thế chất khí không có thể tích và hình dáng nhất định. Các phân tử khí có khả năng điền đầy thể tích mà nó có mặt. Khi có sự thay đổi áp suất, nhiệt độ thì thể tích chất khí thay đổi lớn. Tuy nhiên trong điều kiện áp suất nhiệt độ khí trời và vận tốc dòng khí nhỏ thì vẫn có thể coi chất khí là chất lỏng không nén được. Nghĩa là có thể áp dụng các qui luật của chất lỏng cho chất khí. Chất lỏng và chất khí được coi là đồng tính đẵng hướng. 3.2 - Lực tác dụng lên chất lỏng Tất cả các lực tác dụng lên chất lỏng đều có thể phân ra làm hai loại là lực khối và lực mặt. Lực khối tỷ lệ với thể tích chất lỏng (còn gọi là lực thể tích). Lực khối gồm có trọng lượng, lực quán tính, . Nó được biểu diễn bằng biểu thức :
  5. Thuỷ khí kỹ thuật ứng dụng Huỳnh Văn Hoàng F = R.ρ.dV R ∫ (V ) Trong đó V là thể tích hữu hạn của chất lỏng chịu tác dụng bởi lực khối, ρ là khối lượng riêng của chất lỏng, R là gia tốc khối (hay lực khối đơn vị). Nếu chất lỏng chỉ chịu tác dụng bởi trọng lực thì gia tốc khối là gia tốc trọng trường. Nếu chất lỏng chuyển động với gia tốc thì gia tốc lực khối gồm gia tốc trọng trường và gia tốc quán tính của chuyển động. Lực mặt tỷ lệ với diện tích bề mặt chất lỏng. Lực mặt gồm các lực nhu lực áp, lực ma sát, Lực mặt được tính theo công thức: F = p.dS p ∫ (S ) Trong đó p là lực mặt tính trên một đơn vị dịên tích. Nếu Fp thẳng góc với mặt chất lỏng thì p là áp suất. Nếu Fp tác dụng theo phưong tiếp tuyến với mặt S thì p là ứng suất tiếp. Bảng 3.1 Đơn vị Pa (N/m2) bar at (KG/cm2) atm torr (mm Hg) Pa 1 10 1,01972.10-5 0,98692.10-5 7,5006.10-3 bar 105 1 1,01972 0,98692 7,5006.102 at 0.98066.105 0,98066 1 0.96784 7,3556.102 atm 1.01325.105 1,01325 1.03332 1 7.60.102 torr 1.3332.102 1,3332.10-3 1,3995.10-3 1,31579.10-3 1 Áp suất là lực trên một đơn vị diện tích. Nếu chất lỏng cân bằng gọi là áo suất thuỷ tĩnh còn chất lỏng chuyển động thì gọi là áp suất thuỷ động. Áp suất tại một điểm được tính theo : dF p = lim dS→0 dS Đơn vị của áp suất là Patxcan,kí hiệu là Pa - tương đương với N/m-2 . Các đơn vị đo lường khác với quan hệ tương đương đựơc trình bày trong bảng 3-1. 3.3 Khối lượng riêng Khối lượng riêng là khối lựơng của một đơn vị thể tích chất lỏng, ký hiệu là ρ, đơn vị là kg/m3. Công thức tính là :
  6. Thuỷ khí kỹ thuật ứng dụng Huỳnh Văn Hoàng m dm ρ = hay ρ = (3.1) V dV Trong đó m là khối lựong (tính theo kg) chứa trong thể tích V (tính theo m3). Khối lượng riêng thay đổi khi nhiệt độ và áp suất thay đổi. Nếu nhiệt độ tăng thì khối lượng riêng giảm. Đối với chất lỏng sự thay đổi này không đáng kể .Ví dụ khối lượng riêng của nước thay đổi theo nhiêt độ được trình bày ở bảng 3.2. Khi nhiệt độ tăng đến 4oC thì khối lượng riêng tăng (do tính chất co thể tích của nước) và khi nhiệt độ tiếp tục tăng thì khối lượng riệng giảm giảm. Tuy nhiên sự thay đổi này không đáng kể. Trong kỹ thuật người ta thương lấy khối lượng riêng của nứơc là 1000 kg/m3. Bảng 3.2 t (O C) 0 4 10 30 60 80 100 ρ(kg/m3) 999,9 1000 999,7 995,7 983,3 971,8 958,4 Đối với chất khí sự thay đổi khối lượng theo nhiệt độ và áp suất được biểu diễn bằng phương trình trạng thái. Trong bảng 3.3 là sự thay đổi khối lượng riêng của không khí theo nhiệt độ và áp suất. Bảng 3.3 t (oC) -3 27 100 p (Pa) 105 106 105 106 107 106 ρ (kg/m3) 1.33 13,3 1,127 11,27 112,7 0,916 Khối lựong riêng của một số chất lỏng thường gặp : nước biển : 1030 kg/m3, thủy ngân : 13546 kg/m3, grixerin : 1260 kg/m3 , dầu : 800 kg/m3. Trứơc đây chúng ta hay dùng khái niệm " trọng lượng riêng". Chất lỏng có khối lượng m trong thể tích V thì nó chịu sức hút trái đất với gia tốc trọng trường g và trọng lượng của nó là G = m.g và trọng lượng riêng (trọng lựơng của một đơn vị thể tích chất lỏng) là : G γ = = ρ.g (N/m3 ) (3.2) V Vì giá trị của g thay đổi theo vĩ độ địa lý và độ cao vị trí tính toán so với mực nước biển nên γ có giá trị thay đổi. Trong tính toán kỹ thuật chúng ta thường lấy giá trị g = 9,81 m/s2. Trong kỹ thuật còn dùng khái niệm tỷ trọng (ký hiệu δ). Đó là tỷ số giữa trọng lượng riêng của chất lỏng và và trọng lượng riêng của nước ở 4oC
  7. Thuỷ khí kỹ thuật ứng dụng Huỳnh Văn Hoàng γ δ = (3.3) γ o H 2O,4 C Đối với chất khí chúng ta còn dùng thể tích riêng ký hiệu là v, đơn vị m3 / kg và tính theo công thức : 1 v = (3.4) ρ 3.4 - Tính nén và tính dãn nơ Khả năng thay đổi thể tích của chất lỏng khi có sự thay đổi áp suất gọi là tính nén, còn do sự thay đổi nhiệt độ gọi là tính dãn nở của chất lỏng. 3.4.1 Tính nén 2 Tính nén được đặc trưng bởi hệ số nén βp (m /N). Đó là sự thay đổi thể tích tương đối của chất lỏng khi áp suất thay đổi một đơn vị : ∆V 1 dV 1 β p = − ⋅ hay β p = − ⋅ (3.5) Vo ∆p V dp Trong đó : ∆V = V-Vo là sự thay đổi thể tích , Vo là thể tích ban đầu của chất lỏng. ∆p = p - po là sự thay đổi áp suất. Vì sự thay đổi thể tích và sự thay đổi áp suất ngược nhau nên trước biểu thức có dấu" -". Từ (3.5) suy ra : ρ o V = V0 (1 − β p ∆p) hay ρ = (3.6) 1 − β p .∆p Trong đó ρ , ρo là khối lựơng riêng của chất lỏng ứng với áp suất p và po. Đại lượng nghịch đảo của hệ số nén là mô đun đàn hồi của chất lỏng, ký hiệu là E, đơn vị là N/m2 : 1 E = (3.7) β p Nếu áp suất chất lỏng không làm giảm đi quá một nửa so với thể tích ban đầu của chất lỏng thì E không thay đổi và nó có ý nghĩa như mô đun đàn hồi của chất rắn. Tính nén của chất lỏng phụ thuộc vào áp suất và nhiệt độ. Nhưng sự thay đổi này không đáng kể. Ví dụ như nước :
  8. Thuỷ khí kỹ thuật ứng dụng Huỳnh Văn Hoàng 5 o 9 2 Khi p = 10 Pa và t =0 C thì Enước = 2,01.10 N/m . o 9 2 Nếu nhiệt độ tăng lên 20 C thì Enước = 2,20.10 N/m . Điều này cũng giải thích được khả năng hấp thụ chất khí và khả năng hoà tan muối trong nước khi nhiệt độ tăng. Nếu áp suất tăng lên từ 105 đến 400.105 Pa còn nhiệt độ không thay đổi thì khối lượng riêng của nước tăng lên khoảng 2%. Vì vậy nên chất lỏng được coi như không nén được. Tuy nhiên 5 o 9 2 11 2 trong cùng một điều kiện p=10 Pa, t=10 C thì Enước = 2.10 N/m còn Ethép = 2.10 N/m , nghĩa là môđun đàn hồi của thép lớn gấp 100 lần so với nước. Vậy tính không nén được của chất lỏng chỉ để so sánh với chất khí. Trong kỹ thuật thường có thể bỏ qua tính nén của chất lỏng. Nhưng nếu có sự thay đổi áp suất lớn, đột ngột và đặc biệt đối với những thể tích chất lỏng lớn chuyển động thì không thể bỏ qua tính nén được, ví dụ như trong va đập thuỷ lực . Trong quá trình nén chất lỏng thì khối lượng của nó không thay đổi nên chúng ta có thể viết m =ρ.V = const. Lấy đạo hàm biểu thức này ta có : ρ dV + V dρ = 0 hay : dV dρ = − V ρ Kết hợp với công thức (3.7) tính môđun đàn hồi của chất lỏng : E dp = ρ dρ Đơn vị của biểu thức là bình phương của đơn vị vận tốc. Nên chúng ta có thể viết : dp E a = = (3.8) dρ ρ Theo Vật lý thì a gọi là vận tốc truyền âm trong chất lỏng và cũng là vận tốc truyền sóng áp suất ; trong nước a = 1414,2m/s ; trong chất lỏng không nén được a → ∞. Đối với chất khí quá trình nén khí xảy ra rất nhanh chúng ta có thể coi là quá trình đoạn nhiệt và vận tốc truyền âm được tính theo công thức : p a = k.r.T = k (3.9) ρ
  9. Thuỷ khí kỹ thuật ứng dụng Huỳnh Văn Hoàng Trong đó k là chỉ số đoạn nhiệt, r là hằng số chất khí. Nếu cho M trọng lượng phân tử chất khí thì : RT a = k (3.10) M Trong đó R = 8314 J.kmol/oK là hằng số tổng quát của chất khí. Vận tốc truyền âm trong không khí với T= 288oK ; M=28,96 Kmol và k=1,4 thì a= 341 m/s. 3.4.2 Tính dãn nở. Khi nhiệt dộ thay đổi thì thể tích các chất đều thay đổi. Sự thay đổi này được biểu diễn một cách tổng quát bằng hàm số mũ theo nhiệt độ : 2 V = Vo (1 + β1 ∆t + β2∆t + ) (3.11) Trong đó Vo là thể tích chất khí ở nhịêt độ ban đầu. Đối với chất lỏng chỉ cần sử dụng mối quan hệ bậc nhất : V = Vo ( 1 + βt ∆t ) (3.12) βt là hệ số dãn nở của chất lỏng. Đó là sư tăng thể tích tương đối khi nhiệt độ của chất lỏng tăng lên 1oC. Đơn vị của hệ số dản nở là đô-1. Từ (3.12) suy ra : ∆V 1 dV β t = ⋅ hay β t = (3.13) Vo ∆t Vo dt Tính dãn nở của chất lỏng phụ thuộc vào nhiệt độ và áp suất. Ví dụ nước : o o 5 -1 khi nhiệt độ t=4 C dến 10 C và áp suất p=10 Pa thì βt = 0,000014 độ , o o 5 -1 khi t= 10 C đến 20 C (tăng 10 lần , p=10 Pa ) thì βt = 0,000150 độ 7 -1 Nếu áp suất tăng lên đến 10 Pa thì βt = 0,00043độ (tăng gấp 3 lần). Nếu nhiệt độ thay đổi từ từ, độ chênh lệch nhiệt độ không đáng kể thì chúng ta cũng có thể bỏ qua sự dãn nở thể tích của chất lỏng. Nhưng khi sự thay đổi nhiệt độ lớn thì phải xét đến sự thay đổi thể tích chất lỏng. Ví dụ trong hệ thống sưởi ấm thì sự thay đổi thể tích do nhiệt độ làm cho nước chuyển động.Từ công thức trên chúng ta có thể suy ra công thức tính khối lượng riêng của chất lỏng ở nhiệt độ t : ρ ρ = o (3.14) 1 + β t .∆t
  10. Thuỷ khí kỹ thuật ứng dụng Huỳnh Văn Hoàng Riêng đối với chất khí hệ số bành trướng thể tích được tính theo công thức : 1 dp βV = ⋅ (3.15) po dt -1 Đối với chất khí lý tưởng thì βt=βV=1/273,15 độ . 3.5- Tính nhớt Năm 1686 Nuitơn khảo sát chuyển động ổn định lớp chất lỏng trên bề mặt tấm phẳng theo phương x (hình 3-1). Trên bề mặt tấm phẳng các phần tử chất lỏng có vận tốc bằng không. Ở khoảng cách y tính từ bề mặt tấm phẳng vận tốc là v, lớp chất lỏng y+dy có vận tốc v+dv. Như vậy vân tốc chất lỏng dọc theo phương y có giá trị khác nhau. Nghĩa là giữa các lớp chất lỏng có lực tương tác hay nói cách khác giữa các lớp chất lỏng có lực ma sát làm thay đổi vận tốc chuyển động của các lớp chất lỏng. Theo Nuitơn ứng suất tiếp của lực ma sát tỷ lệ thuận với građiên vận tốc và phụ thuộc vào chất lỏng : dv τ = µ (3.15) dy Trong dó µ hệ số tỷ lệ phụ thuộc vào loại chất lỏng, gọi là độ nhớt động lực học của chất lỏng, đơn vị là [µ ] = Pa.s hay N.s /m2. Ngoài ra hệ số nhớt động lực học còn đo bằng đơn vị Poazơ (ký hiệu P). dyn.s 1 N.s 1P = = cm 2 10 m 2 Đơn vị nhỏ hơn centipoazơ (cP ) : P=100 cP y dy v+dv y v x Hình 3 - 1 Ngoài hệ số nhớt động lực học trong kỹ thuật hay dùng hệ số nhớt động học (ký hiệu là ν ) .
  11. Thuỷ khí kỹ thuật ứng dụng Huỳnh Văn Hoàng µ ν = (3.16) ρ Độ nhớt động học của chất lỏng được đo [ν ]: m2/s ; Stốc (ký hiệu là St) : 1St = 1 cm2/s. Đơn vị nhỏ hơn là centiStốc (cSt) : 1cSt = 1mm2/s ; 1St = 100 cSt Thường độ nhớt dầu bôi trơn được ghi kèm theo mác dầu ví dụ dầu AK15 là dầu bôi trơn o dùng cho ôtô máy kéo có độ nhớt ν50=15 cSt ở nhiệt độ 50 C Ngoài ra một số nước có đơn vị đo độ nhớt riêng ,ví dụ như : Nga dùng độ Engle (o E), Anh dùng giây Ređút ("R), Pháp dùng độ Bacbê (o B), Mỹ dùng giây Sêbôn ("S) giữa các đơn vị này có công thức chuyển đổi : 0,0631 ν =0,0731⋅o E− (St) oE 1,72 ν=0,00260⋅''R− (St) ''R 1,80 ν =0,00220⋅''S− (St) ''S 48,5 ν= (St) oB Cũng cần lưu ý rằng khi so sánh dộ nhớt của hai chất lỏng phải dùng cùng một khái niệm là hệ số nhớt động học hay hệ số nhớt dộng lực học và cùng ở nhiệt độ. Ví dụ so sánh nước và không khí : o -5 Khi nhiệt độ 20 C hệ số nhớt động lực học của không khí µkk = 18.10 Poazơ -2 hệ số nhớt động lực học của nưóc µnước = 1.10 Poazơ (lớn hơn 57 lần so với không khí ) -2 Nhưng hệ số nhớt động học của không khí νkk = 15.10 Stốc (lớn hơn 15 -2 lần so với nước; hệ số nhớt động học của nước νnước = 1.10 Stốc ) Độ nhớt của chất lỏng phụ thuộc vào nhiệt độ và áp suất môi trường làm việc. Khi nhiệt độ tăng độ nhớt của chất lỏng giảm, còn của chất khí thì lại tăng (Hình 3-2). Tùy theo phậm vi nhiệt độ làm việc cần chọn dầu bôi trơn cho phù hợp. Trong công nghiệp thường lấy độ nhớt động học ở 50oC làm chuẩn. Ảnh hưởng của áp suất đến độ nhớt không đáng kể. Nếu p<200.105 Pa thì không cần xét tới sự thay đổi của độ nhớt khi áp suất thay đổi. Sự thay đổi này được mô tả bằng phương trình sau : νp =ν(1+k.p)
  12. Thuỷ khí kỹ thuật ứng dụng Huỳnh Văn Hoàng ν độ nhớt khi áp suất bằng áp suất khí trời k hệ số phụ thuộc loại dầu : dầu nhẹ k=0,002 ; dầu nặng k=0,003 (thường dùng trong truyền động thuỷ lực) p áp suất tính bằng at Hệ số nhớt động học (ν) của một số chất lỏng : nước : 1,01.10-6 m2/s ; (ở 20oC) ; xăng = 0,83.10-6 m2/s ; (ở 20oC) ; thuỷ ngân = 0,116.10-6 m2/s (ở 18o C) ; dầu máy = 60.10 -6 m2/s ; (ở 18oC) ; không khí = 14,9.10 -6 m2/s (ở 30oC); ν (St) chất lỏng chất khí t (oC) Hình 3 - 2 3.6 - Sức căng bề mặt của chất lỏng Tính chất này của chất lỏng thể hiện rõ ở những bề mặt giửa chất lỏng này với chất lỏng khác (giữa nước với thành rắn, ) mà giữa chúng không thực hiện phản ứng hoá học. Ở các mặt tiếp xúc này chất lỏng tạo ra một màng mỏng bao quanh bề mặt chất lỏng. Nguyên nhân xuất hiện sức căng bề mặt là lực hút giữa các phân tử. Các phân tử lỏng ở trong chất lỏng chiu tác dụng mọi phía như nhau. Còn ở các phân tử trên bề mặt tiếp xúc hoặc ở lớp ngoài có bề dày nhỏ hơn 10-9 m thì các lực tác dụng lên chúng không bằng nhau. Các phân tử này chịu tác dụng một lực tổng hơp hướng vào trong chất lỏng và tạo nên một màng mỏng trên bề mặt tiếp xúc gọi là sức căng bề mặt (hình 3-3a). Hệ số sức căng bê mặt (ký hiệu C) là lực tác dụng lên một đơn vị độ dài bề mặt thẳng góc với độ dài và nằm trong bề mặt của chất lỏng (hình 3-3b) : F l θ F θ Fc Fc Fr F F Fr
  13. Thuỷ khí kỹ thuật ứng dụng Huỳnh Văn Hoàng a/ b/ Hình 3 - 3 dF c = (3.17) dl Trong đó F là lực tác dụng, l là chiều dài bề mặt tiếp xúc của chất lỏng. Hệ số sức căng bề mặt chất lỏng (hoặc gọi là hệ số mao dẫn ) đo bằng N /m. Trong bảng 3.3 là hệ số sức căng bề mặt của một vài chất lỏng ở 20o C Bảng 3.3 chất lỏng nước dầu thuỷ ngân cồn C(dyn/cm) 72,5 27 460 22,5 Khi nhiệt độ tăng hệ số sức căng bề mặt chất lỏng giảm theo qui luật tuyến tính. Ví dụ hệ số sức căng bề mặt của nước thay đổi theo nhiệt độ t=100oC thì c=55 dyn/cm ; t=200oC thì c=27,5 dyn/cm. d h d h Hình 3 - 4 Dựa vào tính chất sức căng bề mặt của chất lỏng để khảo sát các vấn đề sau: - Sức bề mặt giữa các lớp chất lỏng với nhau. - Hiện tượng dính ướt. - Hiện tượng mao dẫn : Khi chất lỏng ở trong ống có đường kính nhỏ (gọi là ống mao dẫn) nếu lực dính ướt (Fr) lớn hơn lực kéo các phần tử lỏng (Fc) thì chất lỏng dâng lên trong ống cao hơn mực nước bên ngoài. Độ cao này gọi là độ cao mao dẫn (chất lỏng là nước). Còn nếu như Fc>Fr thì chất lỏng trong ống tụt xuống so với mực chất lỏng bên ngoài. Hiện tượng này gọi là hạ mao dẫn (chất lỏng là thuỷ ngân) (hình-3.4). Độ cao mao dẫn được tính từ điều kiện cân bằng giữa trọng lượng cột chất lỏng và lực π căng bề mặt: π.d.c = d 2 h.ρ.g 4
  14. Thuỷ khí kỹ thuật ứng dụng Huỳnh Văn Hoàng 4c Suy ra: h = ρ.g.d Công thức này thường dùng để tính hệ số sức căng bề mặt. Để tránh hiện tượng mao dẫn trong các dụng cụ đo bằng chất lỏng (đo áp suất, nhiệt độ ) phải chọn đường kính ống đo lớn hơn 10 mm. 3.7 - Sự sôi của chất nước Sự sôi của chất nước là quá trình bay hơi chất lỏng được xảy ra không những từ mặt thoáng mà còn xảy ra bên trong chất lỏng, các bọt khí được tạo thành trong toàn bộ chất nước và vỡ ra. Lúc đó áp suất bay hơi bão hoà trong bọt khí pbh> po . Nhiệt độ ứng với pbh gọi là nhiệt độ sôi. Nhiệt độ sôi của chất nước ở áp suất po là không đổi. Nhiệt lượng cung cấp tiếp cho chất nước đang sôi dùng để sinh công tách các phân tử ra khỏi pha lỏng và chuyển chúng sang pha hơi. 3.8 - Sự hấp thụ khí của chất lỏng Sự hấp thụ khí trong chất nước được biểu thị bằng độ hoà tan chất khí trong chất lỏng, ký hiệu là α* : V α* = k (3.18) V Trong đó Vk là thể tích chất khí được hấp thụ trong V thể tích chất lỏng. o Thể tích chất khí ở nhiệt độ t (Vk ) được tính theo thể tích khí ở nhiệt độ t = 0 C (Vok ) : VK = VOK ( 1 + βt .t ) Hệ số hấp thụ khí của chất lỏng ở nhiệt độ t = 0o C ; T=273oK là : V V α * 273 273 V α = ok = k = = α* = k (3.19) V V (1 + β t .t) 1 + β t .t T T V Hệ số hấp thụ khí của nước trong điều kiện 0oC và áp suất khí quyển là : Oxy : 0,0489 ; Nitơ : 0,0231 ; OxýtCácbonít : 1,7130 ; Amôniắc : 1300 .
  15. Thuỷ khí kỹ thuật ứng dụng Huỳnh Văn Hoàng Hệ số hấp thụ khí giảm khi nhiệt độ tăng nhưng lúc đầu thì giảm nhanh sau đó chậm hơn. Chẳn hạn như oxy và nitơ ở 40oC thì hệ số hấp thụ trong nước giảm đi một nửa. Khối lượng chất khí được hấp thụ vào chất nước được tính từ phương trình trạng thái : p.V α *.p P.V = m.r.T suy ra m = k = V (3.20) K r.T 273.r Nghĩa là ở nhiệt độ xác định khối lượng chất khí được hấp thụ vào chất lỏng tỷ lệ với áp suất trên mặt thoáng chất nước. Bây giờ chúng ta xét trường hợp hấp thụ hỗn hợp chất khí vào chất lỏng. Trong trường hợp này áp suất riêng phần của từng chất khí là : m .r .T m .r .T p = 1 1 1 ; p = 2 2 2 1 V 2 V hh hh p m .r suy ra 1 = 1 1 p2 m2 .r2 Trong đó m1 , m2 là khối lượng chất khí trong hỗn hợp. Vhh là thể tích hỗn hợp của chất khí, T1=T2. Bởi vì mỗi chất khí có khả năng điền đầy thể tích không gian trên mặt thoáng chất nước và nếu tách hỗn hợp khí ra thành những thể tích riêng rẽ thì mỗi chất khí sẽ chiếm thể tích : m .r .T V .p V = 1 1 suy ra m .r = 1 ; 1 p 1 1 T m .r .T V .p V = 2 2 suy ra m .r = 2 2 p 2 2 T Trong đó p = p1+p2 (theo định luật Đantôn ). T là nhiệt độ hỗn hợp. Từ các phương trình trên chúng ta suy ra : p V ϕ = 1 = 1 (3.21) p2 V2 Nghĩa là tỷ số áp suất riêng phần của hỗn hợp chát khí bằng thể tích riêng phần của chúng. Khi hỗn hợp này được hấp thụ vào chất lỏng thì tỷ lệ hỗn hợp sẽ phụ thuộc vào hệ số hấp thụ α của mỗi chất nghĩa là :
  16. Thuỷ khí kỹ thuật ứng dụng Huỳnh Văn Hoàng V p .α α ϕ* = 1h = 1 1 = 1 ϕ (3.22) V2h p2 .α 2 α 2 Ví dụ :Trong không khí có 21% Oxy và 79% Nitơ. V 0,21 Tỷ lệ hỗn hợp này là : ϕ = 0 = = 0,265. Vn 0,79 0,21.0,0489 Khi dược hấp thụ trong nước ở 0o C thì tỷ lệ này là : ϕ* = = 0,563 . 0,79.0,0231 Như vậy lượng ôxy được hấp thụ trong nước gấp hai lân trong không khí. Khi chất lỏng giải phóng chất khí hấp thụ được do sự thay đổi áp suất (giảm) hoặc nhiệt độ (tăng) làm ảnh hưởng đến tính toán thuỷ lực và gây ra sự gián đoạn chuyển động của chất lỏng. 3.9 - Sự trao đổi nhiệt và khối lượng Hiện tương này được xảy ra ở trong môi trường chất lỏng ở trạng thái tĩnh lẫn chuyển động. Nhiệt được truyền qua chất lỏng tuân theo định luật Furiê. Sự khuyếch tán khối lượmg tuân theo dịnh luật Fích. Hệ số dẫn nhiệt và hệ số khuyếch tán phụ thuộc vào nhiệt độ [1]. 3.10 - Các đại lượng trạng thái của chất khí 3.10.1 - Phương trình trạng thái của chất khí Các thông số trạng thái của chất khí lý tưởng có liên quan chặt chẽ với nhau trong phương trình trạng thái Clapeyrôn (1884) : p p.v = r.T hay = r.T (3.23) ρ Phương trình trạng thái viết cho m kg khối lượng chất khí : p V = m r T (3.24) m cho n=m/M mol chất khí : pV = R.T (3.25) n Trong đó M là trọng lượng phân tử của chất khí , r hằng số chất khí (với không khí r=287 J/kg/0K) R là hằng số tổng quát của chất khí, ρ là khối lượng riêng của chất khí , p là áp suất của chất khí. Phương trình trạng thái chỉ được sử dụng khi chất khí ở trạng thái cân bằng.
  17. Thuỷ khí kỹ thuật ứng dụng Huỳnh Văn Hoàng 3.10.2 - Nội măng, công thể tích chất khí Theo nguyên lý thứ nhất của nhiệt động học chất khí thì nhiệt truyền cho hệ trong một quá trình có giá trị bằng biến thiên nội năng của hệ và công thể tích do hệ sinh ra trong quá trình : dq = du + da (3.26) Trong đó q là nhiệt truyền cho hệ (J/kg) ; u là nội năng của chất khí (J/kg) ; a là công thể tích của chất khí (J/kg). Nội năng đựơc xác định theo thuyết động lực học phân tử., du = cv.dT. Nội năng là hàm trạng thái đơn vị nên nó có vi phân toàn phần bởi vì độ biến thiên của nó không phụ thuộc vào quá trình . Công thể tích được sinh ra khi chất khí bị tác dụng bởi áp suất p làm thay đổi thể tích chất khí dv là da = p dv ; (ở đây v là thể tích riêng ). Độ lớn của công phụ thuộc vào quá trình làm thay đổi trạng thái chất khí, nên công không phải là hàm của quá trình. 3.11 Chất lỏng lý tưởng Vịêc nghiên cứu chất lỏng được bắt đầu tứ chất lỏng lý tưởng, trên cơ sở đó chúng ta mở rộng cho chất lỏng thực. Chất lỏng lý tưởng có những tính chất sau : - Không có tính nhớt - Di động tuyệt đối - Hoàn toàn không chống được lực kéo và lực cắt Chất lỏng ở trạng thái tĩnh hoàn toàn tuân theo các qui luật cân bằng của chất lỏng lý tưởng. Ví dụ 1: Nước ở nhiệt dộ 20oC chảy qua ống có tiết diện thay đổi. Người ta lắp một áp kế thủy ngân như hình 3-5 để đo độ chênh áp suất ở hai tiết diện. Hãy tính độ chênh lệch áp suất ? Cho 3 o -4 -1 biết ρo=13600 kh/m ở 0 C. Hệ số dãn nở của thủy ngân βt=1,815.10 độ và h1=350 mm ; 3 h2=150 mm và ρn=1000 kg/m . p1 p2 o nước 20 C h1 h2 Thuỷ ngân
  18. Thuỷ khí kỹ thuật ứng dụng Huỳnh Văn Hoàng Hình 3-5 Khối lượng riêng của thủy ngân ở 20oC là 1 13600 3 ρ tn = ρ o = −4 = 13515 kg / m 1+ β t .∆t 1+1,815.10 .20 Từ điều kiện cân bằng hai nhánh áp kế chữ U ta có p1 + ρ n g(h1 − h2 ) = p2 + ρg(h1 − h2 ) Suy ra : ∆p = p − p = g(h − h )(ρ − ρ ) 1 2 1 2 tn = 9,81(0,350 − 0,150)(13515 −1000) = 24554,43 Pa Ví dụ 2 : Tính lượng nước cần thiết mà bơm phải cung cấp để thử thủy lực đường ống. Đường kính ống d=350 mm ; ống dài l=50 m ; áp suất thử p=5.106 Pa (áp suất dư) ; mô đun đàn 9 hồi của nước En=2.10 Pa. Từ công thức tính hệ số nén ta tính được lượng nước cần phải cung cấp để thử áp lực πd 2 π 0,32 l.p 50.5.106 V.∆p 4 4 −3 3 ‘ ∆V = = = 9 = 8,83.10 m En En 2.10
  19. Thuỷ khí kỹ thuật ứng dụng Huỳnh Văn Hoàng Chương 2 Tĩnh học chất lỏng 2.1- Khái niệm cơ bản 1. Trong chương này chúng ta nghiên cứu điều kiện cân bằng của chất lỏng ở trạng thái tĩnh, qui luật phân bố áp suất và tính lực chất lỏng tác dụng lên vật tiếp xúc hay ngập trong chất lỏng. Trong tĩnh học chất lỏng chúng ta có thể coi chất lỏng như chất lỏng lý tưởng vì ảnh hưởng tính nhớt không thể hiện. 2. Cần phân bịêt trạng thái tĩnh tuyệt đối và tĩnh tương đối. Nếu chất lỏng không chuyển động so với hệ toạ độ gắn với quả đất thì chất lỏng ở trạng thái tĩnh tuyệt đối (ví dụ như nước trong ao hồ ). Trong tường hợp này lực khối chỉ là trọng lực. Nếu chất lỏng chuyển động so với hệ toạ độ tuyệt đối nhưng giữa chúng không có chuyển động tương đối, nghĩa là chất lỏng chuyển động liền một khối thì gọi đó là tĩnh tương đối (xe chở nước chuyển động có gia tốc ). Lực khối gồm trọng lực và lực quán tính. Hệ tọa độ nghiên cứu các bài toán này được gắn vào bình chứa chất lỏng. 3. Áp suất tĩnh của chất lỏng Ứng suất trong chất lỏng tĩnh khi có ngoại lực tác dụng vào gọi là áp suất thủy tĩnh. Áp suất thủy tĩnh có các tính chất : -Áp suất tĩnh tác dụng thẳng góc và hướng vào mặt tiếp xúc (hình 4.1a). Tính chất này được suy ra từ định nghĩa áp suất: vì chất lỏng ở trạng thái cân bằng nên không có thành phần ứng suất tiếp tuyến chống lại sự trượt của các phần tử lỏng với nhau và chất lỏng chỉ chịu lực nén. z p0 C ∇ p py dz γ px p dx α O dy β A B x pz y a/ b/ Hình 4 - 1 - Áp suất tĩnh tại một điểm theo mọi phương có giá trị như nhau.
  20. Thuỷ khí kỹ thuật ứng dụng Huỳnh Văn Hoàng Trong chất lỏng đứng yên ta trích một phân tố lỏng hình dạng tứ diện OABC vô cùng bé, có các cạnh dx, dy, dz (hình 4.1b). Phân tố lỏng ở trạng thái cân bằng bởi các lực khối và lực mặt. Trên mặt ABC có áp suất p tác dụng. Phương của áp suất này tạo với các trục của tọa độ các góc α, β, γ. Vì các mặt vô cùng bé nên có thể coi áp suất tại mọi điểm trên một mặt đều bằng nhau. Trên mặt OBC có áp suất px trên mặt OAC có py trên mặt OAB có pz . Các các phân tố diện tích này có liên quan với nhau : dSx = dS cosα ; dSy = dS cosβ ; dSz = dS cos γ lực mặt tác dụng lên phân tố lỏng là : dFp = p dS ; dFx = px dSx ; dFy = py dSy ; dFz = pz dSz và dFpx = p.dS cosα = pdS x ; dFpy = p.dS cos β = pdS y ; dFpz = p.dS cosγ = pdS z lực khối tác dụng lên phân tố lỏng theo các trục toạ độ : 1 1 1 dF = R ρ.dx.dy.dz ; dF = R ρ.dx.dy.dz ; dF = R ρ.dx.dy.dz RX x 6 RY Y 6 RZ z 6 trong đó R(RX , RY , RZ ) là gia tốc khối. Chất lỏng ở trạng thái cân bằng nghĩa là tổng các lực tác dụng lên phân tố sẽ bằng không. Chiếu lên trục ox : dFx - dFpx + dFRx = 0 1 1 1 hay : p dy.dz − p dy.dz + R ρ.dx.dy.dz = 0 x 2 2 X 6 Khi dx,dy,dz → 0 (tại một điểm) ta thấy dx.dy.dz là tích vô cùng bé bậc ba có thể bỏ qua được so với tích dy.dz là tích vô cùng bé bậc hai vì thế chúng ta có thể viết p = px. Chứng minh tương tự cho hình chiếu các lực lên các trục còn lại ta có : p = py ; p = pz. Cuối cùng ta có : px = py = pz = p (4.1) Vậy áp suất tĩnh của chất lỏng có tính chất như một đại lượng vô hướng nó không phụ thuộc vào vị trí của mặt tác dụng. Nó là hàm của tọa độ không gian p = p (x,y,z) . -Áp suất do ngoại lực gây ra được truyền trong chất lỏng theo mọi phương như nhau (định luật Patxcan).
  21. Thuỷ khí kỹ thuật ứng dụng Huỳnh Văn Hoàng F2 S2 l2 S1 p F1 l1 Hình 4 - 2 Xét hệ thống thủy lực trên hình 4.2 gồm một bình chứa chất lỏng và hai píttông. Khi lực F1 tác dụng lên pítông 1 tao ra trong chất lỏng áp suất p1 = F1/S1 (S1 là diện tích của pítông 1).Pítông 1 chuyển động một đoạn đường là l1 , nghĩa là pítông 1 thực hiện một công là A1 = F1 l1 = p1.S1.l1 Theo định luật bảo toàn năng lượng thì công A1 được trao cho pítông 2 làm pítông 2 chuyển động một đoạn đường là l2. Công của pítông 2 nhận được là A2 =F2.l2 = p2.S2.l2 Từ điều kiện : A1 = A2 ta có : p1.S1 l1 = p2.S2 l2 hay : p1V1 = p2 V2 Sự dịch chuyển pítông 1, 2 thoả mãn điều kiện bảo toàn thể tích chất lỏng : V1 = V2 = V .Từ đó ta có : p1 = p2 = p . Đó là nguyên lý làm việc của máy ép thuỷ lực, kích thuỷ lực, hay bộ tăng áp suất. Lực ép tính theo công thức : S2 F2 = F1 (4.2) S1 2.2 - Phương trình Ơle thuỷ tĩnh Năm 1775 Ơle đã thiết lập mối quan hệ giữa ngoại lực và nội lực chất lỏng ở trạng thái tĩnh. Xét sự cân bằng của một phân tố chất lỏng khối hộp chữ nhật có các cạnh là dx,dy,dz (hình 5.1). Các lực tác dụng lên phân tố này gồm lực khối và lực mặt. Lực khối được tính theo công thức : dFRx = Rx.ρ.dx dy dz ; dFRy = Ry.ρ dx dy dz ; dFRz = Rz ρ dx dy dz
  22. Thuỷ khí kỹ thuật ứng dụng Huỳnh Văn Hoàng dx Áp suất tại trọng tâm phân tố lỏng là p , áp suất ở điểm M cách T một đoạn + theo phương x 2 là ∂p ⎛ dx ⎞ dx ∂p ⎛ dx ⎞ p + ⎜+ ⎟ . Ap suất tại N một đoạn − : p + ⎜− ⎟ ∂x ⎝ 2 ⎠ 2 ∂x ⎝ 2 ⎠ R(Rx ,Ry ,Rz) dz ∂p ⎛ dx ⎞ ∂p ⎛ dx ⎞ p + ⎜− ⎟ dx p + ⎜+ ⎟ ∂x ⎝ 2 ⎠ ∂x ⎝ 2 ⎠ z dy y x Hình 5 - 1 Lực áp tác dụng lên các mặt thẳng góc với phương x là : ⎛ ∂p dx ⎞ ⎛ ∂p dx ⎞ ∂p dFpx = ⎜ p − ⋅ ⎟.dy.dz − ⎜ p + ⋅ ⎟dy.dz = − dx.xy.dz ⎝ ∂x 2 ⎠ ⎝ ∂x 2 ⎠ ∂x Suy luận tương tự lực áp theo các phương y,z : ∂p ∂p dF = − dy.dx.dz ; dF = − dz.dy.dx py ∂y pz ∂z Điều kiện cân bằng của phân tố lỏng theo trục ox là : ∂p dF − dF = 0 hay R ρ.dx.dy.dz − dx.dy.dz = 0 Rx px x ∂x Tính cho một đơn vị khối lượng chất lỏng và hứng minh tương tự cho các trục oy, oz : 1 ∂p 1 ∂p 1 ∂p R = ⋅ ; R = ⋅ ; R = ⋅ (5.1) x ρ ∂x y ρ ∂y z ρ ∂z Viết phương trình này dưới dạng véctơ :
  23. Thuỷ khí kỹ thuật ứng dụng Huỳnh Văn Hoàng ρ.R − gradp = 0 (5.2) Phương trình (5.1) hoặc (5.2) là phương trình vi phân cân bằng cho chất lỏng ở trạng thái tĩnh ; chất lỏng ở trang thái cân bằng khi lực khối bằng lực áp. 2.3 - Ứng dụng phương trình Ơle thuỷ tĩnh. Chúng ta biến đổi phương trình (5.1) về dạng ứng dụng như sau. Nhân lần lượt phương trình thứ nhất với dx, phương trình thứ hai với dy, phương trình thứ ba với dz rồi cọng lại với nhau: ⎛ ∂p ∂p ∂p ⎞ ρ()Rx .dx + Ry .dy + Rz .dz = ⎜ dx + dy + dz⎟ (6.1) ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ Vế phải của phương trình (6.1) là vi phân toàn phần của áp suất (dp ) thì vế trái cũng phải là vi phân toàn phần của một hàm U (x,y,z) nào đó mà chúng ta gọi là hàm số lực thế. Nghĩa là (ở đây chúng ta không viết dấu âm trước biểu thức đạo hàm và cũng có thể gọi là hàm thế gia tốc) : ∂U ∂U ∂U R = ;R = ; R = (6.2) x ∂x y ∂y z ∂z ⎛ ∂U ∂U ∂U ⎞ dU = ⎜ dx + dy + dz⎟ ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ ∂R ∂R ∂R ∂R ∂R ∂R và x = y ; x = z ; y = z (6.3) ∂y ∂x ∂z ∂x ∂z ∂y Vậy chất lỏng ở trạng thái cân bằng khi lực khối có thế : dp=ρ.dU (6.4) Nghĩa là áp suất tại mỗi điểm trong chất lỏng có giá trị duy nhất và không phụ thuộc vào hình dáng quãng đường đi đến diểm đó. Phương trình (6.1) được viết thành : dp = ρ ( Rx dx + Ry dy + Rz dz ) (6.5) Vế phải của phương trình (6.5) là công toàn phần của phân tố lỏng dịch chuyển dọc theo đường chéo của phân tố lỏng . Vậy (6.5) được viết thành : dp = ρ.R.d s = ρ.R.ds cosα
  24. Thuỷ khí kỹ thuật ứng dụng Huỳnh Văn Hoàng Trong đó α là góc tạo bởi hai véctơ lực khối và véctơ quãng đường dịch chuyển. Phương trình (6.5) được dùng để giải các bài toán trong tĩnh học chất lỏng. 6.1 - Mặt đẵng áp Trên mặt đẵng áp áp suất tại mọi điểm có giá trị như nhau , nghĩa là p = const hay dp = 0 . Nếu ρ = const thì từ (6.5) : R ds cos α = 0 suy ra α = 90o, nghĩa là mặt đẵng áp thẳng góc với véctơ gia tốc lực khối . - Kết hợp với (6.4) thì mặt đẵng áp cũng là mặt đẵng thế. - Đối với chất khí (ρ = const) mặt đẵng áp cũng là mặt đẵng nhiệt . 6.2 - Áp suất trong tĩnh tuyệt đối 6.2.1 Công thức tính áp suất. Trong tĩnh tuyệt đối vì lực khối chỉ có trọng lực nên Rx = Ry = 0, Rz = -g. Thay các giá trị này vào phương trình (6.5) : dp = - ρ g dz Tích phân phương trình này ta có: p = - ρ g z + k (a) z ∇ p0 h p M z0 z 0 x Hình 6-1 Trong đó k là hằng số tích phân được xác định từ điều kiện biên : Ở tại z = zo thì p = po ( áp suất trên mặt thoáng) k = - po + ρ g zo . Thay k vào phương trình (a) :
  25. Thuỷ khí kỹ thuật ứng dụng Huỳnh Văn Hoàng p = pO + ρ g (zO - z) hay p= pO + ρ g h (6.6) Trong đó h = zo - z là độ sâu của điểm kể từ mặt thoáng . Chú ý : 1)Từ phương trình (a) suy ra : p z + = const (6.7) ρg p Trong đó z là độ cao hình học kể từ mặt chuẩn (z = 0), là cột áp tĩnh của chất lỏng. ρg Vậy trong chất lỏng cân bằng tổng độ cao hình học và độ cao cột áp là một hằng số. Trong chất lỏng muốn tăng thế năng người ta có thể đưa chất lỏng lên cao hoặc nén chất lỏng trong thể tích kín với áp suất lớn. 2) Các loại áp suất : Áp suất được tính theo công thức (6.6) thì gọi là áp suất tuyệt đối, ký hiệu là pt Áp suất tuyệt đối có thể nhỏ hơn hoặc lớn hơn áp suất khí trời. Nếu mặt thoáng chất lỏng tiếp xúc với khí trời thì po = pa (pa là áp suất khí trời). Ngoài giá trị tuyệt đối dùng làm gốc để đo áp suất người ta thường lấy áp suất khí trời làm gốc để đo các loại áp suất. p pt pd pa pck pa pa pt t Hình 6.2 Các loại áp suất thủy tĩnh 2 5 2 pa Người ta qui ước áp suất khí rời pa = 1at = 98100 N/m (≈ 10 N/m ) , ≈ 10m cột nước γ + Nếu pt>pa thì chúng ta có áp suất dư, ký hiệu là pd : pd = pt - pa = ρ.g.hd (6.8) + Nếu pt<pa thì chúng ta có áp suất chân không, ký hiệu pck :
  26. Thuỷ khí kỹ thuật ứng dụng Huỳnh Văn Hoàng pck = pa - pt = ρ.ghck (6.9) Giá trị pckmax ≈ 10 m cột nứơc. Trên hình 6.2 là biểu diễn các loại áp suất. 3) Biểu diên phân bố áp suất trên bề mặt vật tiếp xúc Từ phương trình (6.6) ta thấy áp suất tĩnh là hàm số bậc 0nhất của độ sâu .Trên hình 6.3 là sự phân bố áp suất dư trên các mặt khác nhau (cần chú ý rằng biểu đồ phân bố áp suất trên mặt cong được vẽ từng điểm chứ không thể vẽ như đường thẳng ). po po h ρgh H po ρ.g.H h h h Hình 6.3 Biểu đồ phân bố áp suất 4) - Đo áp suất Ngoài các dụng cụ đo áp suất bằng kim loại, người ta còn dùng các dụng cụ đo áp suất bằng chất lỏng theo phương trình cơ bản của chất lỏng như ống đo áp (còn gọi là ống Pitô). Ống do áp là ống trong suốt đường kính từ 10 mm trở lên (để tránh hiện tượng mao dẫn). Muốn đo áp suất dư hay chân không chúng ta dùng ống đo áp hở một đầu một đầu thông với khí trời đầu kia nối với điểm cần đo. Chất lỏng dâng lên hA hay tụt xuống hB trong ống là độ cao cột áp cần đo (hình 6.3). Muốn đo áp suất tuyệt đối chúng ta dùng ống đo áp kín một đầu, trước khi đo phải rút hết không khí ra, còn đầu hở thì nối vào nơi cần đo áp suất. Cột chầt lỏng dâng lên trong ống hc chỉ cột áp tuyệt đối (ví dụ như phong vũ biểu). Ống đo áp kiểu chữ U, trong đoạn cong có chứa môi chất khác với chất lỏng cần đo thường dùng để đo độ chênh áp giữa hai điểm (hình 6.4). Ngoài ra người ta còn đùng áp kế thuỷ ngân kiểu bình để đo áp suất dư, áp suất chân không. Môi chất có thể là thuỷ ngân, nước, rượu tuỳ theo độ lớn của áp suất cần đo. po = 0 po
  27. Thuỷ khí kỹ thuật ứng dụng Huỳnh Văn Hoàng po hC B hA hB C A pCt = ρ.g.hC pAd = ρ.g.hA pBck = ρ.g.hB Hình 6 - 3 Cách đo áp suất dư, chân không, tuyệt đối ρ pA pB ∆h ρl ∆p = g.∆h.(ρl - ρ) Hình 6 - 4 Đo chênh áp 6.3 - Bình thông nhau Trong bình thông nhau có hai chất lỏng khác nhau (ρ1>ρ2). Khi chất lỏng trong bình ở trạng thái cân bằng nghĩa là áp suất ở hai nhánh của hai bình phải bằng nhau: pa + ρ1.g.h1 = pa + ρ2.g.h2 Suy ra : h ρ 1 = 2 (6.11) h2 ρ1 Vậy chiều cao của cột chất lỏng tỷ lệ nghịch với khối lượng riêng. Nếu ρ1 = ρ2 thì h 1 = h2. Nghĩa là mặt thoáng chất lỏng đồng chất trong hai nhánh của bình thông nhau ở cùng một độ cao. 6.4 - Sự cân bằng của chất khí, sức hút tự nhiên Áp suất của chất khí cũng được tính từ phương trình (6.5), trong đó khối lượng riêng được tính từ phương trình trạng thái. Áp suất chất khí trong tĩnh tuyệt đối được tính theo :
  28. Thuỷ khí kỹ thuật ứng dụng Huỳnh Văn Hoàng dp g = − dz p r.T Để tích phân được phương trình này cần phải biết được quy luật thay đổi nhiệt độ theo độ cao hình học. Người ta thường sử dụng quan hệ tuyến tính giữa T và z [ 2] : T = TO ± α.z (6.12) Trong đo To là nhiệt độ không khí trên mặt đất, α là građien nhiệt độ, đó là sự thay đổi nhiệt độ không khí trên 1m độ cao. Dấu "+" cho trường hợp nhiệt độ tăng, dấu “-“ cho nhịêt độ giảm. Hệ số α được xác định theo các yếu tố khí tượng. Nếu chiều cao nhỏ hơn 1000m thì α = 0,0065 oK/m ,đối với hầm lò thì α = 0,006oK/m đến 0,01oK/m. Thay (6.14) vào (6.13) và tích phân theo điều kiện từ po đến p ứng với độ cao từ 0 đến H : p dp g H dz = − ⋅ ∫∫p r T −α.z po 0 p g T +α.H ln = − ln o po r.α To Thay r = 284 J/(kg OK) ; g = 9,81 m/s2 vào phương trình trên suy ra : p ln p H = 29,27()T − T o (6.13) o T ln To Áp suất không khí ở độ cao H là : H ⎛ T ⎞ 29,27()T −To ⎜ ⎟ p = po ⎜ ⎟ (6.14) ⎝ To ⎠ Trong hầm lò có sự khác nhau về khối lượng riêng nên xuất hiện sức hút tự nhiên : ∆p = p1 - p2 Trong đó p1 , p2 được tính theo công thức (6.14). 6.5 - Áp suất chất lỏng trong tĩnh tương đối 6.5.1 - Bình chứa chất lỏng chuyển động tịnh tiến có gia tốc không đổi
  29. Thuỷ khí kỹ thuật ứng dụng Huỳnh Văn Hoàng Để xác định qui lụât phân bố áp suất chúng ta chọn hệ toạ độ không quán tính (hệ toạ độ được gắn vào bình chứa chất lỏng) ( hình 6.5a). Thành phần gia tốc khối theo các trụ toạ độ: Rx = 0 ; Ry = - a cos α ; Rz = - (g + a sin α ) Thay các giá trị này vào (6.5) và sau khi tích phân ta có: p = k - ρ a y cos α - ρ a z sin α - ρ g z Hằng số tích phân k được xác định từ điều kiện biên. Nếu x = y = z = 0 thì p = po, suy ra k = po. p = po - ρ a y cos α - ρ a z sin α - ρ g z (6.16) z z L a h Hình 6.5 Tĩnh tương đối Mặt đẵng áp khi dp=0. Sau tích phân chúng ta có phương trình mặt đăng áp là :
  30. Thuỷ khí kỹ thuật ứng dụng Huỳnh Văn Hoàng y a coc α + z a sin α + g z = C (6.17) Đây là phương trình của những mặt phẳng song song và thẳng góc với vectơ gia tốc khối R. Góc nghiêng của mặt đẵng áp so với mặt nằm ngang (x,y). a cosα tgϕ = − (6.18) g + a sinα Cường độ gia tốc khối là : R = a 2 + g 2 + 2a.g sinα (6.19) Nếu bình chuyển động theo phương nằm ngang thì : α = 0 ; tg ϕ = - (a/g ) Khi bình tăng tốc (a>0) thì chất lỏng dồn về sau, khi bình chuyển động chậm dần (a<0) thì chất lỏng dồn về phía trước. Nếu bình chuyển động xuống thì α = 90o , tg = 0, R = - g + a. Bình rơi tự do thì a = g, R=0, tg ϕ → ∞ , mặt đẵng áp không có hình dạng nhất định. Nếu bình chuyển động lên α = -90o thì tgϕ=0 , R = -(a + g). 6.5.2 - Bình quay đều (ω=const) Chuyển động quay của bình được truyền vào chất lỏng. Phân tố lỏng ở tại r sẽ có vận tốc chuyển động u = r.ω. Lực chất lỏng tác dụng lên phân tố lỏng gồm có trọng lực và và lực ly tâm. Trên hình 6.5b ta có : 2 2 Rx = x ω; Ry = ω y ; Rz = - g Thay vào (5.6) và tích phân lên : 1 p = ρ(x 2 + y 2 )ω 2 − ρ g.z + k 2 Hằng số tích phân k được xác định từ điều kiện biên. Khi x = y = z = 0 thì p = po nên k = po. Thay x2 + y2 = r2 chúng ta có phương trình tính áp suất trong bình quay là : 1 p = p + ρ r 2 .ω 2 − ρ.g.z (6.20) o 2 ω 2 .r 2 Mặt đẵng áp (dp=0) : z = + C (6.21) 2g Đây là phương trình của những mặt parabônlôit. Khi C=0 chúng ta có phương trình mặt thoáng. Từ phương trình trên ta thấy : nếu ω càng lớn thì đỉnh parabôn càng tụt xuống, thậm chí xuống dưới đáy bình. Trong bơm li tâm có vòng quay lớn thì lực ly tâm lớn hơn trọng lực nên
  31. Thuỷ khí kỹ thuật ứng dụng Huỳnh Văn Hoàng chúng ta có thể bỏ qua thành phần trọng lực. Mặt đẵng áp trong trường hợp này là mặt trụ đối xứng với trục quay. Áp suất được tính theo công thức sau: 1 p = p + ρ.ω 2 ()r 2 − r 2 (6.22) o 2 o Nghĩa là trong trường hợp này áp suất trong chất lỏng không phụ thuộc vào vị trí của trục quay (hình 6.5c) . Các kết quả nghiên cứu các bài toán tĩnh tương đối được ứng dụng nhiều trong kỹ thuật như các dụng cụ đo vận tốc, đúc ly tâm, bộ nhạy cảm thủy lực . $7 - Áp lực thủy tĩnh tác dụng lên vật 7.1 - Áp lực thủy tĩnh lên mặt phẳng (hình 7 - 1) Mặt phẳng được đặt nghiêng so với mặt thoáng một góc α và tiếp xúc với chất lỏng về một phía. Hệ toạ độ được chọn có gốc nằm trên mặt thoáng , trục z nằm dọc theo tấm phẳng hướng xuống dưới, trục x nằm trên mặt tấm phẳng. Lực chất lỏng tác dụng lên phân diện tích dS của tấm phẳng ở độ sâu h là: dF = p.dS = (po + ρ g h ) dS mà h = z sin α nên dF = po dS + ρ g sin α z dz Tích phân phương trình này theo dịên tích S ta có : F = p S + ρg sinα z.dS o ∫ (S ) Biểu thức tích phân chính là mômen tĩnh hình học của mặt S đối với trục x :MT= zT.S trong đó zT là toạ độ trọng tâm hình học T của tấm phẳng. Vậy: F = po S + ρ.g sin α zT S = po S + ρ g hT S = (po+ρ.g.hT).S hay F=pT.S và pT= po+ρ.g.hT Nếu áp suất trên mặt thoáng là áp suất khí trời và phía sau tấm phẳng là áp suất khí trời. Lực của áp suất khí trời lên tấm phẳng ở hai phía như nhau. Cho nên áp lực chất lỏng tác dung lên tấm phẳng trong trường hợp này là : F = g.ρ hT S (7.1)
  32. Thuỷ khí kỹ thuật ứng dụng Huỳnh Văn Hoàng p O α ∇ z hY h p x hD zT F T zD D xT T xD D z Hình 7 - 1 Áp lực thủy tĩnh lên tấm phẳng Từ công thức này chúng ta thấy rằng :áp lực của chất lỏng tác dụng lên tấm phẳng chính bằng tích áp suất của chất lỏng tại trọng tâm hình học nhân với diện tích tấm phẳng. Nếu tấm phẩng đặt nằm ngang song song với mặt thoáng ở độ sâu H (như đáy bình) thì hT=H. Theo phương trình (7. 1) : F = g ρ.H S = G ; (7.2) G là trọng lượng khối lỏng chứa trên đáy S ở độ sâu H. Theo kết luận này thì dù hình dạng bình chứa như thế nào đi nữa nếu diện tích mặt đáy giống nhau và ở độ sâu như nhau thì lực tác dụng của chất lỏng lên đáy như nhau. Nó không phụ thuộc vào trọng lượng thực của chất lỏng chứa trong bình (hình 7 - 2). Đây chính là nghịch lý tĩnh học chất lỏng. Ứng dụng nghịch lý này người ta chế ra các dụng cụ chứa chất lỏg theo nhu cầu sử dụng ví dụ để tăng độ ổn định các bình chứa háo chất đặc biệt bao gời cũng có đáy lớn. Để xác định điểm đặt lực (ký hiệu là Đ) chúng ta xét điều kiện cân bằng mômen lực tổng hợp và mômen của các lực phân đối với các trụ toạ độ. Đối với trụ ox ta có : F.z = z.dF hay z p S = p zdS + g.ρ.sinα z 2 .dS D ∫ D T o ∫ ∫ (s) (S ) (S ) Trong đó tích phân : ” J = z 2 .dS x ∫ (S ) là mômen quán tính hình học của mặt S đối với trục ox . Có thể tính Jx theo trục ox đi qua trọng tâm hình họcT của mặt S : 2 J x = J Tx + zT .S
  33. Thuỷ khí kỹ thuật ứng dụng Huỳnh Văn Hoàng po po po H p S S S Hình 7 - 2 Áp lực thủy tĩnh lên đáy bình Từ đó suy ra 2 po J x po zT S + J Tx zD = zT + ρ.g.sinα = zT ρ.g.sinα pT pT .S pT ( po + gρ sinα.zT ).S Nếu po=pa tác dụng lên hai phía tấm phẳng thì : J Tx z D = zT + (7.3) M T Từ phương trình cân bằng mô men so với trục oz ta có tọa độ điểm dặt lực xD : J F.x = F.x = x.dF hay x = xz (7.4) D D ∫ D (S ) M T Jxz là mômen quán tính ly tâm của tấm phẳng S đối với trục x,y. Nếu tấm phẳng đối xứng so với trục z (như hình tròn, hình chữ nhật ) thì Jxz= 0. 7.2 - Áp lực thủy tĩnh lên mặt cong Nếu măt cong có hình dạng không gian bất kỳ thì tổng hợp các lực phân tố là tổng hợp hệ lực không gian sẽ cho ta một lực và một ngẫu lực. Tuy nhiên trong kỹ thụât mặt cong thường là những mặt cong đơn : như mặt trụ, mặt cầu Tổng hợp các lực phân tố sẽ cho chúng ta một lực. Lực này được phân tích thành ba thành phần theo các trục toạ độ là Fx , Fy , Fz : 2 2 2 F = Fx + Fy + Fz (7.5) F F F các góc hướng: cosα = x ; cos β = y ; cosγ = z (7.6) F F F o x
  34. Thuỷ khí kỹ thuật ứng dụng Huỳnh Văn Hoàng mặt thoáng Sz dSz s y h dSx p Sx dS S Hình 7 - 3 Áp lực thủy tĩnh lên mặt cong Muốn xác định được lực F ta phải xác định các lực thành phần. Chúng ta tính lực chất lỏng tác dụng lên mặt cong mà phía kia của mặt cong là không khí. Để thụân tiện cho việc tính toán chúng ta chọn hệ toạ độ như hình vẽ ; trục z theo phương thẳng đứng và mặt oxy trùng với mặt thoáng . Xét lực chất lỏng tác dụng lên diện tích dS ở độ sâu h trong chất lỏng (hình 7 - 3). Vì diện tích dS nhỏ nên áp suất trên đó được coi là giống nhau và được tính theo công thức : p =ρ g h. Áp lực tác dụng lên phân tố lỏng : dF = p dS. Các thành phần lực theo các trục toạ độ là : dFx = dF cosα = ρ g h dS cosα=ρ g h dSx dFy = dF cosβ = ρ g h dS cosβ =ρ g h dSy dFz = dF cosγ = ρ g h dS cosγ = ρ g h dSz trong đó dSx , dSy , dSz là hình chiếu dS lên các mặt phẳng của hệ toạ độ. Để tính các lực Fx , Fy , Fz chúng ta thực hiện tích phân theo các mặt hình chiếu của S lên các mặt phẳng toạ độ tương ứng . F = dF = p .S ; F = dF = p .S (7.7) x ∫ x Tx x y ∫ y Ty y (Sx) (Sy) Chúng ta thấy rằng các lực Fx , Fy tác dụng lên mặt phẳng Sx ,S y được tính như trươg hợp áp lực lên thành phẳng đã nêu. Trong đó pTx , pTy là áp suất tại trọng tâm các mặt Sx ,Sy . Còn lực Fz : F = dF = g.ρ h.dS = G (7.8) z ∫ z ∫ z Sz (Sz) Nghĩa là lực Fz chính bằng trọng lượng của khối lỏng thẳng đứng có môt đáy là nặt cong và một đáy là hình chiếu mặt cong lên mặt thoáng. Hướng của lực Fz đi lên nếu mặt cong bị chất lỏng đẩy lên, ngược lai thì lực Fz hướng xuống. Điểm đặt lực được xác dịnh theo các cosin định hướng
  35. Thuỷ khí kỹ thuật ứng dụng Huỳnh Văn Hoàng (7.6). Nếu mặt cong là mặt tru, hay mặt cầu thì lực F đi qua trục tâm mặt trụ hay tâm mặt cầu. Cần lưu ý rằng việc chọn hệ tọa độ hợp lý sẽ giúp cho tính toán đơn giản. 7.3 - Áp lực thủy tĩnh tác dụng lên vật ngập 7.3.1 - Định luật Asimét Một vật ngập trong chất lỏng sẽ bị đẩy lên theo phương thẳng đứng với một lực bằng trọng lượng khối lỏng do vật đó chiếm chỗ . (Chúng ta hãy tự chứng minh định luật này theo phương pháp tính lực lên mặt cong). 7.3.2 - Điều kiện vật nổi Gọi trọng lượng của vật là G,lực đẩy asimét là Fs .Các trường hợp có thể xảy ra như sau : Nếu Fs>G thì vật nổi một phần lên chất lỏng để có Fs* = G . Nếu Fs=G thì vật lơ lửng trong chất lỏng. Nếu Fs<G thì vật chìm xuống đáy. 7.3.3 - Điều kiện ổn định của vật lơ lửng trong chất lỏng Khi vật lơ lửng bị lệch khỏi vị trí cân bằng , nếu trọng tâm của vật cao hơn tâm đẩy thì mômen của ngẫu lực sẽ làm vật lệch khỏi vị trí cân bằng. Nếu tâm đẩy cao hơn trọng tâm vật thì mômen làm cho vật trở về vị trí cân bằng ban đầu (hình 7.4). Nếu T trùng với Đ thì vật lơ lửng trong chất lỏng theo vị trí đặt ban đầu của nó . Fas G D T T D G Fas Hình 7 - 4 Vật lơ lửng 7.3.4 - Điều kiện ổn định của vật ngập không hoàn toàn Trước hết chúng ta định nghĩa một số yếu tố liên quan (hình 7 - 5) : -Mớn nước : là giao tuyến giữa vật nổi và mặt nước.
  36. Thuỷ khí kỹ thuật ứng dụng Huỳnh Văn Hoàng -Mặt nổi : là mặt phẳng mà chu vi của nó là đường mớn nước. -Trục nổi : là đường thẳng góc với mặt nổi và đi qua trọng tâm của vật. -Trục nghiêng (hay trục lắc) : là truc đối xứng của mặt nổi (vật nổi lắc nghiêng quanh trục này). trục nổi mặt nổi T mớm nước trục nghiêng Hình 7 - 5 Vật nổi Các định nghĩa này ứng với lúc vật ở trạng thái cân bằng. Khi vật nổi bị nghiêng đi thì tâm đảy Đ cũng thay đổi đến vị trí Đ'. Giao điểm trục nổi với phương của lực đẩy mới gọi là tâm định khuynh M (hình 7 - 6). M ρM hM e T Fas D D’ Hình 7 - 6 Ổn dịnh vật nổi Khi góc nghiêng của trục nổi và đường thẳng đứng nhỏ hơn 15o thì có thể xem như tâm đẩy di chuyển trên cung tròn tâm là M và bán kính là MĐ (gọi là bán kính định khuynh, ký hiệu ρM). Khi vật bị nghiêng có thể xảy ra các trường hợp sau : - Nếu M cao hơn T thì ngẫu lực G va Fs sẽ có xu hướng làm cho vật trở về trạng thái cân bằng ban đầu.
  37. Thuỷ khí kỹ thuật ứng dụng Huỳnh Văn Hoàng - Nếu M thấp hơn T thì ngẫu lực có xu hướng làm cho vật nghiêng thêm. - Nếu M trùng với T thì thì không còn ngẫu lực nữa, mà hợp lực trịêt tiêu. Ơ mọi vị trí vật đều cân bằng, nghĩa là sau khi nghiêng vật nổi gữinguyên trạng thái mà không quay về vị trí ban đầu. Trường hợp này gọi là cân bằng phiếm định. Bán kính tâm định khuynh được xác định theo công thức : J ρ = (7.9) M V trong đó : J là mômen quán tính của mặt nổi đối với trục nghiêng. V là thể tích ngập nước của vật. Để tăng độ ổn định của tàu thuyề có thể tăng độ cao định khuynh hm bằng cách hạ trọng tâm T (xếp hàng nặng xuống đáy) hoặc nâng cao M bằng cách tăng J như lắp thêm phao mạn thuyền Trong kỹ thuật đóng tàu thường chọn hm = 0,3 ÷1,5 m tuỳ theo hình dạng, kích thước và công dụng của từng loại. Khi vật nổi dao động thì nó dao động giống như con lắc toán học có chiều dài l : J.g l = Gm l Chu kỳ dao động : T = π g g Gia tốc dao động : ε = sinϕ l 1.Tính áp suất tại đáy bể sâu 4 m , nước trong bể có khối lượng riêng 1000 kg/m3, áp suất tuyệt đối trên mặt thoáng là 1 at. 2 . Tính áp suất tuyệ đối và áp suất tại dáy nồi hơi sâu 1.2 m, áp suất trên mặt thoáng 196200 Pa, khối lượng riêng của nước 1000 kg/m3 , áp suất không khí là 735 mm thuỷ ngân. 3. Áp suất tại cửa vào của bơm ly tâm đo bằng áp kế chân không là 0,7 at. Xác định áp suất tuyệ đối tại đó. Biết rằng áp suất không khí là 735 mm thuỷ ngân. 4. Một bể chứa nước có áp suất tuyệt đối tại M là 147000 N/m2. tính chiều cao cột áp tại đó theo m cột dầu. Cho biết áp suất không khí 1at , khối lượng riêng của nước 1000 kg/m3 khối lượng riêng của dầu 800 kg/m3. 5. Đúc một bánh xe bâừng thep đường kính D=1850 mm , cao h=30 mm . Khuôn quay 120 vòng/phút . h
  38. Thuỷ khí kỹ thuật ứng dụng Huỳnh Văn Hoàng Cho biết khối lượng riêng của nước thép 7800 kg/m3 . Xác định áp suất tại A D điểm A (ở xa trục nhất ) 6.Người ta gắn vào bình M một áp kế p’=0 thuỷ ngân và một ống đo áp. Điều p’=0 chỉnh vị trí áp kế thuỷ ngân sao cho điểm A ngang với mặt thoáng chất z1 lỏng trong bình. Áp suất trên mặt thoáng của áp kế thuỷ ngân và ống z2 p0 đo áp đều bằng không. Xác định áp suất trên mặt thoáng bình M và chiều cao z1 của ống đo áp. Cho biết z2 = 0,05 m , khối lượng riêng của thuỷ ngân là 13600 kg/m3 và nước là 1000 kg/m3 7. Một xe chở nước hở sau khi khởi động được 3 phút thì vận tốc đạt đến 30 km/giờ v với gia tốc đều không đổi. Chiều dài xe 10 m, rộng 3 m , cao 2 m , mực nước A trong xe 2 m Tìm phương trình mặt thoáng. Áp suất tại điểm A . dài 10 m Mực nước dâng lên là bao nhiêu? 8. Tính lực tác dụng và điểm đặt lực lên cánh cửa cống hình chữ nhật có chiều dài là h=3 m , chiều rộng là b=2 m. Mực nước bể thượng lưu là H1=6 m ; hạ lưu là H1 H2 3 H2=5 m. Khối lượng riêng của nước là 1000 kg/m . h 9. Tính áp lựcc của nước tác dụng lên cửa A O cống hình trụ tròn AB bán kính R=4 m, dài 10 m ngăn nước ở độ cao H-2 m. H R Khói lượng riêng của nước là 1000 kg/m3. B
  39. Thuỷ khí kỹ thuật ứng dụng Huỳnh Văn Hoàng 10.Trên một thành nghiêng của một bể α chứa dầu mỏ loại trung ( có khối lượng b riêng 900 kg/m3 ) ta dùng một nắp hình H bán cầu đậy kín một lỗ tròn đường kính 1,2 m. Độ sâu tâm bán cầu H=4 m . a Thành bể nghiêng một góc α=60o . Tính lực kéo lên các bu lông a,b . 11. Nối hai ống đo áp vào một bình kín chứa nước.Ống đo áp bên trái có áp suất p’o trên mặt thoáng po’ =0,8 at. chiều cao nước dâng lên trong ống này là h=3 m. Hỏi áp suất trên mặt thoáng của bình. Tính h chiều cao nước dâng lên trong ống đo áp po x=? hở bên phải. Áp suất chân không trên mặt thoáng ống đo áp bên trái là bao nhiêu ?. 12- Người ta lắp áp kế như hình vẽ để đo áp suất . Hỏi lắp áp kế như vậy đo được áp suất tại điểm nào giá trị đo được là bao nhiêu at ?. Cho biết cao độ tại các vị trí như sau : ∇1 = 2,3 m ; ∇2 = 1,2 m ;∇3 = 2,5 m ; ∇4 = 1,4 m ; ∇5 = 3,0 m ; trọng lượng riêng của nước 9810 N/m3 ; thuỷ ngân 13600 N/m3 - không khí po ∇5 ∇3 nước ∇1 ∇4 ∇2 thuỷ ngân 13. Hỏi chênh lệch áp suất của hai bình A,B ? . nước Biết các giá trị x=1 m , y=2 m , z=1 m. Khối lượng riêng của nước 1000 kg/m3 ,
  40. Thuỷ khí kỹ thuật ứng dụng Huỳnh Văn Hoàng thuỷ ngân 13600 kg/m3 A x B y z thuỷ ngân 14.Tính lực và điểm đặt lực lên hình trụ tròn ngăn đôi một bể chứa nước. Trụ dài 10 m., đường kính trụ 4 m, mực nước các H1 bể H1= 4 m , H2 = 2 m , khối lượng riêng H2 của nươc 1000 kg/m3 15.Tính lực của nước và điểm đặt lực tác dụng lên nắp hình tròn (xem hình vẽ). Cho biết H=4 m ; 3 đườn kính nắp tròn d=2 m ; khối lượng riện của nước 1000 kg/m ; mô men quán tính của hình 4 tròn JTx =π.d /64 H d 16.Xác định tổn thất dọc đường đường ống dẫn nước dài 20 m ; đường kính 200 mm ; lưu lượng chảy qua ống 100 lít/s ; độ nhớt động học của nước 0,013 cm2 /s . - Nếu giảm lưu lượng đi một nửa thì tổn thất giảm đi bao nhiêu lần. 17-Một tấm phẳng nặng G=8,75 N có diện tích S=64 cm2 trượt trên một lớp chất lỏng nghiêng có chiều dày b=0,5 mm. Xác định độ nhớt của v chất lỏng khi tấm phẳng chuyển động đều với vận tốc v = 0,05 m/s . Góc nghiêng tấm phẳng so G α với mặt phẳng nằm ngang α=12o . Trọng lượng riêng của chất lỏng 8820 N/m3 . 18.Tính lực tác dụng lên nửa nắp cầu bán kính R=1 m ∇ kín một bình chứa nước. Mép trên của nắp dặt sâu H dưới mặt nước H=1m . (khối lượng riêng của nước là ρ=1000 kg/m3 ). R
  41. Thuỷ khí kỹ thuật ứng dụng Huỳnh Văn Hoàng 19- Tính lực tác dụng lên nửa trên nắp A H cầu (mặt AB) bán kính R=1 m kín một bình chứa nước. Mép trên của nắp dặt R sâu dưới mặt nước H=1m (khối B lượng riêng của nước là ρ=1000 kg/m3 ). 20. Một máy thí nghiệm gồm 3 ống thẳng đứng đường kính ống bằng nhau quay được quanh trục Oz của ống giữa . A Ba ống đều chứa nước và không quay thì mức nước như hình vẽ. Cho máy quay h= 40 cm 116 vg/phút ; bỏ qua độ nghiêng của mặt nước trong ống . Hỏi : O B 1.Nếu ống giữa bị nút kín tại A trước d= 40 cm khi quay thì áp suất dư tại A, O,B là bao nhiêu? 2.Hỏi như trên , nhưng lần này A hở. n 21.Người ta dùng một hình trụ tròn đường kính trong 100 mm chứa chất nước và quay quanh trục thẳng đứng của nó để làm máy đo vận tốc ∇ quay.Hỏi :1).Khi chất lỏng giữa bình hạ thấp H xuống 200 mm (so với lúc tĩnh) thì số vòng quay trong một phút là bao nhiêu? 2).Nếu cho bình quay 800 vg/phút mà D không muốn cạn đáy bị cạn thì chiều cao n tối thiểu của bình là bao nhiêu? chất lỏng 22-Tính lực thuỷ tĩnh tác dụng lên đáy bình hình trụ kín chứa đầy chất lỏng quay đều H với vòng quay 500 vòng/phút Cho biết đường kính bình D=2 m , chiều cao H=1,5 m, Khối lượng riêng của chất lỏng 1000 kg/m3 n D
  42. Thuỷ khí kỹ thuật ứng dụng Huỳnh Văn Hoàng Chương 3 Cơ sở động học và động lực học chất lỏng $8 - Khái niệm chung Trong chương này sẽ nghiên cứu các quy luật đặc trương của chuyển động chất lỏng và tác dụng lực giữa chất lỏng và vật tiếp xúc với nó. Việc nghiên cứu cũng bắt đầu từ chất lỏng lý tưởng. Có thể theo đường dòng nguyên tố hay theo phân tố lỏng, sau đó mở rộng ra cho chầt lỏng thực. Chất lỏng vẫn được coi là môi trường liên tục gồm vô số phân tố lỏng hay các dòng nguyên tố tạo nên. Các đại lượng đặc trưng cho chuyển động được biểu diễn bằng những hàm số liên tục của không gian và thời gian. 8.1 Phân loại chuyển động Nếu các đại lượng đặc trưng cho chuyến động của chất lỏng phụ thuộc vào không gian và thời gian thì chuyển động đó được gọi là chuyển động không dừng. v = v (x,y,z,t) ; p = p (x,y,z,t) ; ρ=ρ (x,y,z,t) , (8.1) Nếu chuyển động không phụ thuộc vào thời gian thì gọi là chuyển động dừng. Nghĩa là : ∂v ∂p ∂ρ = 0 ; = 0 ; = 0 (8.2) ∂t ∂t ∂t Trong kỹ thuật thường gặp các dòng chảy không dừng, nhưng nếu trong thời gian đủ lớn mà các thông số đặc trưng của chuyển động ít thay đổi thì có thể coi đó là dòng dừng trung bình theo thời gian và các đại lượng đặc trưng trung bình theo thời gian chuyển động loại này được xét như các thông số của bài toán chuyển động dừng. Nếu phần tử lỏng chuyển động và quanh trục tức thời đi qua chính nó gọi là chuyển động xoáy. Chuyển động này được mô tả bằng phương trình : rotv = 2ω (8.3) trong đó : v là vận tốc chuyển động của phân tố chất lỏng. ω là vận tốc chuyển động quay của phân tố chất lỏng. Nếu các phân tử chuyển động mà không quay quanh trục đi qua chính nó gọi là chuyển động không xoáy. Đặc trưng cho chuyển động này là dòng thế vận tốc. Phương trình chuyển động không xoáy :
  43. Thuỷ khí kỹ thuật ứng dụng Huỳnh Văn Hoàng rotv = 0 (8.4) Có hai phương pháp nghiên cứu chuyển động chất lỏng : - Phương pháp Lagrăng nghiên cứu chuyển động chất lỏng thông qua việc nghiên cuứ quỹ đạo của các phần tử chất lỏng. Từ hình dáng của quỹ đạo các phần tử chất lỏng chúng ta có thể xác định được các thông số khác. Chuyển động được mô tả bằng phương trình : r = r (x,y,z.t) (8.5) -Phương pháp Ơle nghiên cứu chuyển động của chất lỏng tại các vị trí xác định trong không gian. Trong phương pháp này chúng ta có ảnh của các đại lượng đặc trưng (vận tốc, ). Từ đó chúng ta xãc định được các thông số khác. Chuyển động được mô tả bằng phương trình : v = v (x,y,z,t ) (8.6) 8.2 đặc trưng cho chuyển động -Áp suất thuỷ động Trong chất lỏng lý tưởng nó tác dụng theo phương thẳng góc và hướng vào mặt tác dụng. Trong chất lỏng thực thì nó chỉ hướng vào mặt tác dụng và là tổng hợp của hai thành z phần ứng suất trong chất lỏng theo phương p pháp tuyến và tiếp tuyến. Cường độ của áp px suất thuỷ động theo phương pháp tuyến tại một điểm thì bằng giá trị trung bình số học py của ba thành phần áp suất pháp tuyến tác dụng lên ba mặt thẳng góc với nhau tại điển pz đó (hình 8 - 1). Hình 8 - 1 1 p = ()p + p + p (8.7) 3 x y z - Vận tốc. Vận tốc chất lỏng tại một điểm nhất định trong dòng chảy gọi là vận tốc điểm tức thời (ký hiệu là v). Đại lượng này thường thay đổi cả hướng lẫn cường độ theo thời gian nên việc xác định nó rất phức tạp. Trong thủy khí kỹ thuật chúng ta thường dùng vận tốc điểm trung bình theo thời gian , ký hiệu là v (trong phần tiếp theo chúng ta chỉ ký hiệu là v ) : 1 v = ∫ v.dt (8.8) T (T )
  44. Thuỷ khí kỹ thuật ứng dụng Huỳnh Văn Hoàng Đối với chuyển động dừng chất lỏng thực và dòng có kích thước hữu hạn chúng ta thường dùng vận tốc trung bình trên thiết diện ướt ký hiệu là vtb 1 v = v.dS (8.9) tb ∫ S (S ) Đối với dòng khí ngoài vận tốc, áp suất chúng ta phải xét đến các thông số trạng thái của nó. Sự thay đổi của các thông số này ở mỗi vị trí trong dòng chảy phụ thuộc vào các quá trình. 8.3 Các dạng chuyển động của phân tố lỏng Chuyển động phức tạp của phân tố lỏng được Hemhôn phân tích thành ba chuyển động đơn giản là chuyển động tịnh tiến, chuyển động quay và chuyển động biến dạng. Sau đây sẽ lần lượt giới thiệu các loại chuyển động đó va sự liên hệ giữa chúng . Xét vận tốc các điểm lân cận trong chất lỏng (hình 8.2). Gọi vo là vận tốc điểm A của phân tố lỏng. Tại điểm lân cận G vận tốc là v được biểu diễn bằng hàm điều hoà : ∂v ∂v ∂v v = v + x dx + x dy + x dz x oî ∂x ∂y ∂x ∂v ∂v ∂v v = v + y dx + y dy + y dz y oy ∂x ∂y ∂z ∂v ∂v ∂v v = v + z dx + z dy + z dz z oz ∂x ∂y ∂z vz v G vy voz vo vx vox A voy z ∂v y ∂v x ∂v x voy + dx v + dx + ∂y ∂x ox ∂x ∂y ∂v x vox + dx ∂v ∂v ∂x v + y dx + y ∂y oy ∂x ∂y x y Hình 8. - 2
  45. Thuỷ khí kỹ thuật ứng dụng Huỳnh Văn Hoàng Từ phương trình này chúng ta thấy rằng vận tốc điểm lân cận của một điểm được xác định bởi chín đạo hàm riêng của các thành phần vận tốc tại điểm đó. Trước hết chúng ta xét bài toán phẳng. Trong trường hợp này sư thay đổi vận tốc chỉ có 4 đạo hàm riêng được viết dưới dạng ma trận: ∂v x ∂v x ∂x ∂y A = ∂v y ∂v y ∂x ∂y ∂v 1- Nếu x ≠ 0 và các đạo hàm khác bằng không thì phân tố biến dang dài dọc theo trục x ∂x (hình 8.4a). Vận tốc biến dạng dài là : ∂v ε = x (8.12) xx ∂x ∂v 2- Nếu y ≠ 0 và các đạo hàm khác bằng không thì phân tố biến dạng trượt dọc theo truc ∂x y, đường chéo AC quay khi phân tố trượt (hình 8.4b). ∂v ∂v 3- Nếu y = x và các đạo hàm khác bằng không thì phân tố biến dạng nhưng đường ∂x ∂y chéo không quay (H 8.4c). Độ biến dạng mặt của phân tố này 1 ⎛ ∂v ∂v ⎞ ⎜ y x ⎟ (8.13) ε xy = ⎜ + ⎟ 2 ⎝ ∂x ∂y ⎠
  46. Thuỷ khí kỹ thuật ứng dụng Huỳnh Văn Hoàng Hình 8 - 4 ∂v ∂v 4- Nếu y = − x và các đạo hàm khác bằng không thì phân tố chỉ quay thuần túy (hình ∂x ∂y 8 - 4d). Vận tốc góc quay của phân tố là : 1 ⎛ ∂v y ∂v ⎞ ⎜ x ⎟ (8.14) ω z = ⎜ − ⎟ 2 ⎝ ∂x ∂y ⎠ Ma trận trên được viết dưới dạng : 1 ⎛ ∂vx ∂v y ⎞ 1 ⎛ ∂v x ∂v y ⎞ ∂vx ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 0 0 ⎜ + ⎟ 0 ⎜ − ⎟ ∂x 2 ⎝ ∂y ∂x ⎠ 2 ⎝ ∂y ∂x ⎠ A = + + ∂vx 1 ⎛ ∂v y ∂v ⎞ 1 ⎛ ∂v ∂v y ⎞ 0 ⎜ x ⎟ ⎜ x ⎟ ⎜ + ⎟ 0 − ⎜ − ⎟ 0 (8 15) ∂x 2 ⎝ ∂x ∂y ⎠ 2 ⎝ ∂y ∂x ⎠ ε 0 0 ε xy 0 ω = xx + + 0 ε yy ε yî 0 − ω 0 Ma trận thứ nhất là biến dạng dài, ma trận thứ hai là chuyển động trượt thuần túy, ma trận thứ ba là chuyển động quay. Trong bài toàn không gian, phân tố lỏng có hình dạng là khối lập phương thì biến dạng dài theo các trục là : ∂v ∂v ∂v ε = x ; ε = x ; ε = x (8.16) xx ∂x xx ∂x xx ∂x Biến dạng trượt thuần túy : 1 ⎛ ∂v ∂v y ⎞ 1 ⎛ ∂v y ∂v ⎞ 1 ⎛ ∂v ∂v ⎞ ε = ε = ⎜ x + ⎟ ; ε = ε = ⎜ + z ⎟ ; ε = ε = z + x xy yî ⎜ ⎟ yz zy ⎜ ⎟ zx xz ⎜ ⎟ 2 ⎝ ∂y ∂x ⎠ 2 ⎝ ∂z ∂y ⎠ 2 ⎝ ∂x ∂z ⎠ (8.17) Vận tốc quay của các mặt phẳng : 1 ⎛ ∂v y ∂v ⎞ 1 ⎛ ∂v ∂v y ⎞ 1 ⎛ ∂v ∂v ⎞ ω = ⎜ − x ⎟ ; ω = ⎜ z − ⎟ ; ω = x − z (8.18) z ⎜ ⎟ x ⎜ ⎟ y ⎜ ⎟ 2 ⎝ ∂x ∂y ⎠ 2 ⎝ ∂y ∂z ⎠ 2 ⎝ ∂z ∂x ⎠
  47. Thuỷ khí kỹ thuật ứng dụng Huỳnh Văn Hoàng Vận tốc quay của phân tố lỏng trong không gian được tính : 2 2 2 ω = ω x +ω y +ω z (8.19) Ở đây cần lưu ý rằng εxy , εyz , εzx không phải là hình chiếu của véctơ vận tốc biến dạng trượt không gian. Chúng phụ thuộc vào hình dạng của phân tố lỏng. Các phương trình (8.16), (8.17) biểu diễn mối quan hệ giữa các biến dạng với các thành phần vận tốc chuyển động tịnh tiến. Chuyển động quay của mỗi phân tố lỏng quanh trục tức thời đi qua no gọi là chuyển động xoáy. Thực nghiệm cho ta thấy rằng chuyển động xoáy có thể xảy ra cục bộ trong chất lỏng. Nếu ω = 0 và quỹ đạo chuyển động của các phân tố lỏng này là những đường cong khép kính thì phân tố lỏng đó chuyển động quay vòng ; nghĩa là chất lỏng quay quanh trục nằm ngoài phân tố lỏng với vận tốc góc là : Ω Từ (8.16) , (8.17) suy ra : ∂v ∂v z = ε +ω ; z = ε +ω ∂y zy ∂x zx y ∂v ∂v y = ε +ω ; y = ε +ω ∂x yî z ∂z yz x ∂v ∂v x = ε +ω ; x = ε +ω ∂y xy z ∂z xz y Thay (8.20) vào (8.10) : v x = v0x + ε xx dx + (ε xz .dz + ε xy .dy)+ (ω y .dz −ω z .dy) v y = v0 y + ε yy dy + ()ε yî .dx + ε yz .dz + ()ω z .dx −ω x .dz (8.21) v z = v0z + ε zzx dz + ()()ε zyz .dy + ε zx .dx + ω x .dy −ω y .dx Phương trình (8.21) chính là kết luận của Hemhôn : chuyển động của phân tố lỏng trong trường hợp tổng quát nó gồm các chuyển động sau: chuyển động tịnh tiến, chuyển động biến dạng (dài và trượt) và chuyển động quay. 8.3 - Khái niệm của dòng chất lỏng Trong nghiên cứu chuyển động của chất lỏng người ta thường tiến hành trên dòng nguyên tố, sau đó mở rộng cho toàn dòng. Các khái niệm cơ bản về dòng chuyển động chất lỏng là : 8.3.1- Đường dòng
  48. Thuỷ khí kỹ thuật ứng dụng Huỳnh Văn Hoàng Đường dòng là đường cong mà tiếp tuyến của nó tại mỗi điểm trên đường này trùng với véctơ vận tốc chuyển động của chất lỏng (hình 8 - 5a). nghhĩa là véctơ quãng đường trùng với véctơ vận tốc : dsxv = 0 hay viết dưới dạng định thức bậc 3 : i j k dx dx dx dx dy dz = 0hay = = (8.22) vx vx vx vx v y vz 8.3.2 Dòng nguyên tố Tập hợp các đường dòng tựa lên một vòng kín vô cùng nhỏ tạo nên một ống dòng. Dòng chất lỏng chảy đầy trong ống gọi là dòng nguyên tố (hình 8 - 5b). v1 dS k a) b) Hình 8 - 5 Về ý nghĩa vất lý của dòng nguyên tố, nó biểu diễn phương chuyển động của chất lỏng tại một thời điểm và thể hiện sự phân bố các véctơ vận tốc trong một khoảng khắc. Các tính chất của dòng nguyên tố: - Dòng nguyên tố của chuyển động không dừng có hình dạng thay đổi theo thời gian. - Chất lỏng trong dòng nguyên tố chỉ chuyển động dọc theo dòng nguyên tố không có hiện tượng chất lỏng chuyển động xiên qua dòng nguyên tố. - Trên tiết diện của dòng nguyên tố sự phân bố các thông số thuỷ động giống nhau. - Chỉ trong chuyển động dừng thì quỹ đạo và đường dòng trùng nhau. Đường dòng trong chuyển động phẳng được biểu diễn bởi hàm dòng ψ (x,y) mà : ∂ψ ∂ψ v = v = − (8.23) x ∂y y ∂x Thay (8.23) vào (8.22) :
  49. Thuỷ khí kỹ thuật ứng dụng Huỳnh Văn Hoàng dx dy ∂ψ ∂ψ = hay dx + dy = 0 ; dψ = 0 (8.24) ∂ψ ∂ψ ∂x ∂y − ∂y ∂x Nghĩa là dọc theo đường dòng giá trị của hàm số không thay đổi. Ý nghĩa vật lý của hàm dòng (8.23) là lưu lượng chất lỏng chảy giữa hai đường dòng chính bằng hiệu giá trị của hai đường dòng. y ψB B dy ds v vx ψA -dx A vy x Hình 8 - 6 Thật vậy lưu lượng chảy giữa tiết diện AB của hai đường dòng ψA , ψB là : ΨB ΨB ∂Ψ ∂Ψ ΨB Q = v .dy − v .dx = dy + dx = dΨ = Ψ − Ψ ∫ x y ∫ ∂y ∂x ∫ B A ΨA ΨA ΨA 8.4 Những khái niệm dòng thuỷ lực hữu hạn Dòng chảy bị giới hạn bởi các thành rắn là dòng hữu hạn, như dòng chảy trong ống tròn, trong kênh để có thể áp dụng các công thức chúng ta đưa ra các khái niệm như sau : - Tiết diện ướt (ký hiệu là S) là mặt cắt thẳng góc với tất cả các đường dòng. Nếu dòng đều thì tiết diện ướt trùng với tiết diện của dòng chảy (hình 8 - 7a). Nếu dòng không đều - dòng thay đổi dần thì nó là mặt cong không gian (hình 8 - 7b). S S
  50. Thuỷ khí kỹ thuật ứng dụng Huỳnh Văn Hoàng Hình 8 - 7 - Chu vi ướt (ký hiệu là ϑ ) : Đường giao tuyến giữa mặt cắt ướt và thành rắn của dòng chảy (hình 8 - 8). R R ϑ ϑ ϑ Hình 8 - 8 - Bán kính thủy lực (ký hiệu là Rh) là tỷ số giữa diện tích ướt và chu vi ướt: S R = (8.25) h ϑ Cần chú ý rằng bán kính thủy lực không phải là bán kính của ống tròn. Thật vậy : π.R 2 R d R = = = h 2.π.R 2 4 - Lưu lượng (ký hiệu là Q) là lượng chất lỏng chảy qua tiết diện ướt trong một đơn vị thời gian. Đối với dòng nguyên tố: dQ = v.dS (8.26) Cho toàn dòng : Q = ∫ v.dS (8.27) S Muốn tích phân (8.27) phải biết được quy luật phân bố vận tốc trên tiết diện ướt. Nếu chúng ta dùng khái niệm vận tốc trung bình trên tiết diện ướt thì lưu lượng: Q = vtb S (8.28)
  51. Thuỷ khí kỹ thuật ứng dụng Huỳnh Văn Hoàng 1 suy ra v = v.dS tb ∫ S (S ) 8.5 - Khái niệm về chuyển động xoáy: Chuyển động của phân tố lỏng thỏa mãn phương trình (8.3) thì gọi là chuyển động xoáy. Đường cong mà tiếp tuyến tại mổi điểm của nó trùng với véctơ vận tốc góc của phân tố lỏng ở tại điểm đó gọi là đường xoáy. Vậy đường xoáy cũng chính là trục xoáy tức thời của những phân tố lỏng nằm trên đó (hình 8 - 9a) phương trình đường xoáy là : i j k ω.xds = dx dy dz = 0 ω x ω y ω z hay dx dy dz = = (8.29) ω x ω y ω z trong đó ωx , ωy ,ωz là những thành phần véctơ vận tốc góc theo các trục toạ dộ. Chúng là hàm của không gian và thời gian . Tập hợp những đường xoáy tựa lên một đường cong khép kín vô cùng nhỏ trong môi trường chất lỏng tạo thành ống xoáy nguyên tố. Chất lỏng chuyển động trong ống xoáy gọi là sợi xoáy (H 8.9b). Sợi xoáy có kích thước nhỏ nên vận tốc góc trên tiết diện có giá trị như nhau. Để tính cường độ sợi xoáy chúng ta phải xác định xircula (còn gọi là lưu số vận tốc hay lượng xoáy ký hiệu là Γ). Đó là tích phân theo một đường cong khép kín của tích quãng đường tích phân và hình chiếu của véctơ vận tốc lên hướng của quãng đường đó : ₡ Γ = ∫ v.ds = ∫ v.ds.coxα (8.30) (k ) (k ) dS n ω1 ω dS ω ω
  52. Thuỷ khí kỹ thuật ứng dụng Huỳnh Văn Hoàng S ds v Hình 8 .- 9 Thay tích phân theo đường cong khép kín bằng tích phân mặt : Γ = ∫∫ 2.ω.dS (8.31) (S ) Công thức(8.31) là định lý Stốc. Nếu mặt S là hình tròn thì vận tốc chuyển động quay dọc theo đường tròn bán kính r sẽ không thay đổi và góc α = 0 . Lưu số vận tốc là : 1 2π Γ = 2.ω R 2 ∫ .dϕ = 2.ω.π.R 2 2 0 Γ=2.ω.S (8.32) Trong chuyển động xoáy không gian (hình 8 - .9d) thì : ₡ Γ = ∫ v.ds = 2∫∫ω.dS = 2∫∫ω.n.dS (8.33) (k ) (S ) (S ) Ở đây k là đường cong không gian khép kín giới hạn mặt S. Trong tích phân mặt thì dS = n.dS ; n là véctơ đơn vị của pháp tuyến với mặt S tại điểm xét. Trên hình 8 - 9b) nếu ở thời điểm xét trục của véctơ ω thẳng góc với n , nghĩa là khi tính lưu số vận tốc theo đường cong khép kín k sẽ nằm trên bề mặt của sợi xoáy thì giá trị của sẽ bằng không . ₡ Γ = ∫ v.ds = 2∫∫ω.dS = 2∫∫ω.dS.cosα (8.34) (k ) (S ) (S ) Nếu đường cong k bao gồm các đường cong k1,k',k2,k" trên(hình 8 - 9a) hay trên (hình 8 - 9b) thì lưu số vận tốc cũng bằng không. Ta có ₡Γ2,3 = Γ4,1 nên ₡Γ1,2 = - Γ3,4 : ngược hiều nhau nên chúng triệt tiêu. Nếu k1,k2 nằm trên các mặt tiết diện của sợi xoáy và các đường cong cùng chiều thì: ₡ Γ12 = Γ43 (8.35)
  53. Thuỷ khí kỹ thuật ứng dụng Huỳnh Văn Hoàng Nghĩa là lưu số vận tốc ở tất cả các tiết diện của sợi xoáy đều có giá trị như nhau. Kết hợp với (8.32) ta có : ₡ Γ=2.ω1.S1=2.ω2.S2= =2.ω.S M = ω.S (8.36) trong đó M gọi là mô men xoáy, S là tiết diện của sợi xoáy. Từ (8.36) suy ra mômen xoáy có giá trị không thay đổi dọc theo sợi xoáy. Các phương trình (8.34) , (8.35) , (8.36) là nội dung của các định lý Hemhôn về chuyển động xoáy của chất lỏng lý tưởng. Sợi xoáy luôn luôn gây ra vận tốc cảm ứng tại các điểm trong chất lỏng bao quanh nó. Nói cách khác các sợi xoáy lôi cuốn một môi trường chất lỏng quanh nó cùng chuyển động với vận tốc cảm ứng (hình 8 - 10). Γ Sợi xoáy có vécto xoáy rotv ; mômen của nó là M = . Phân tố dl của sợi xoáy có lưu 2 số vận tốc tương ứng là : Γ.dl = 2.ω.S dl gây ra xung quanh nó trên một mặt cầu S bán kính r vận tốc cảm ứng dv. Từ phương trình (8.31) ta co : ₡ Γ.dl = S dv = 4 .r2.dv Tại điểm M bán kính của nó tạo với sợi xoáy một góc ε . Từ phương trình trên ta có thành phần sin của phân tố sợi xoáy : Γ.dl Γ dv = sin ε = .dε 4.π.r 2 4.π.r ω dl a=r.sinε r ₡ S₡ dl.sinε=r.dε dε Hình 8 - 10 vì r.dε = dl.sinε ; mà r = a / sinε nên : Γ dv = .sin ε.dε 4.π.a
  54. Thuỷ khí kỹ thuật ứng dụng Huỳnh Văn Hoàng Tích phân phương trình trên với ε = 0 đến ε = π ta sẽ có vận tốc cảm ứng tại M do sợi xoáy dài vô cùng gây ra: Γ π Γ v = ∫ sin ε.dε = (8.37) 4.π.a 0 2.π.a Trong đó a là khoảng cách từ điểm xét đến sợi xoáy. Từ (8.37) ta cũng suy ra (8.32), trong đó v là vận tố chuyển động của phân tố lỏng dọc theo đường tròn bán kính a. Công thức (8.37) cũng là định lý Biôsava để tính vận tốc cảm ứng trong chuyển động xoáy. 8.5 - Chuyển động không xoáy của chất lỏng lý tưởng Điển hình loại chuyển động này là dòng thế vận tốc. Từ (8.4) suy ra : ∂v ∂v ∂v ∂v ∂v x ∂v x = y ; y = z ; z = x (8.38) ∂y ∂x ∂z ∂y ∂x ∂z Nếu tồn tại một hàm φ(x,y,z) mà ∂φ ∂φ ∂φ v = ;v = ; v = (8.39) x ∂x y ∂y z ∂z thì φ là nghiệm của (8.38). φ gọi là hàm thế vận tốc. Vi phân toàn phần của nó là : ∂φ ∂φ ∂φ dφ = dx + dy + dz (8.40) ∂x ∂y ∂z (8.40) là công của phân tố do một lực gây ra dịch chuyển phân tố này trên quãng đường ds. Đối với dòng thế phẳng thì hàm thế vận tốc là φ(x, y). So sánh (8.23) và (8.39) ta có: ∂φ ∂ψ ∂φ ∂ψ v = = ; v = = − (8.41) x ∂x ∂y y ∂y ∂x Đây chính là phương trình Côsi-Riêman. Từ phương trình này ta thấy đường dòng và đường thế vận tốc trong chuyển động thế phẳng trực giao với nhau (hình 7 - 11) dy dy ⋅ = −1 (8.42) dx φ dx ψ Bây giờ chúng ta chứng minh rằng dòng thế vận tốc là dòng không xoáy. Thay (8.39) vào (8.18 ). Ta có rot v = 0 . Thậy vậy :
  55. Thuỷ khí kỹ thuật ứng dụng Huỳnh Văn Hoàng ⎛ ∂v ∂v ⎞ ⎛ ∂ 2φ ∂ 2φ ⎞ 2ω = ⎜ y − x ⎟ = ⎜ − ⎟ = 0 z ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ∂x ∂y ⎠ ⎝ ∂x.∂y ∂y.∂x ⎠ 2 2 ⎛ ∂v ∂v y ⎞ ⎛ ∂ φ ∂ φ ⎞ 2ω = ⎜ z − ⎟ = ⎜ − ⎟ = 0 x ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ∂y ∂z ⎠ ⎝ ∂y.∂z ∂z.∂y ⎠ ⎛ ∂v ∂v ⎞ ⎛ ∂ 2φ ∂ 2φ ⎞ x z ⎜ ⎟ 2ω y = ⎜ − ⎟ = ⎜ − ⎟ = 0 ⎝ ∂z ∂x ⎠ ⎝ ∂z.∂x ∂x.∂z ⎠ Φ Ψ Hình 7 - 11 $9 - Các phưong trình cơ bản Các phương trình này chính là sự biểu diễn các định luật cơ bản của cơ học áp dụng cho chất lỏng. 9.1 - Phưong trình quá trình Định luật thứ nhất của nhiệt đông kỹ thuật cho chất khí lý tưởng trong quá trình thuận nghịch được biểu diễn bằng phương trình (cho 1kg chất khí) : ⎛ 1 ⎞ dp dq = T.ds = du + pdv = cv dT + p.d⎜ ⎟ = di − (9.1) ⎝ ρ ⎠ ρ trong đó s là entrôpi. Phưong trình trạng thái viết dưới dạng vi phân : dp dρ dT dT dp dρ = + hay = − (9.2) p ρ T T p ρ
  56. Thuỷ khí kỹ thuật ứng dụng Huỳnh Văn Hoàng Từ phương trình (9.1) suy ra : dT p ⎛ 1 ⎞ ds = cv + d⎜ ⎟ T T ⎝ ρ ⎠ dT Thay giá trị từ (9.2) phương trình trạng thái p=ρ.r.T và r = cv (k-1) ta có : T ⎡dp dρ ⎛ 1 ⎞⎤ ⎜ ⎟ ds = cv ⎢ − + (k −1).ρ.d⎜ ⎟⎥ (9.3) ⎣ p ρ ⎝ ρ ⎠⎦ hay: ds = cv [ d (ln p) - k d (ln ρ ) ] (9.4) ⎡ ⎛ p ⎞⎤ Tích phân (9.4) : ds = c .d ln⎜ ⎟ v ⎢ ⎜ k ⎟⎥ ⎣⎢ ⎝ ρ ⎠⎦⎥ ⎛ p p ⎞ s − s = c ⎜ln − ln 1 ⎟ (9.5) 1 v ⎜ k k ⎟ ⎝ ρ ρ1 ⎠ Suy ra : k s−s1 p ⎛ ρ ⎞ c = ⎜ ⎟ e (9.6) p1 ⎝ ρ1 ⎠ Phương trình (9.2) được viết thành : d (ln p) = d (ln T) + d (ln ρ) ;. thay vào (9.4) và tích phân : ⎛ 1 ⎞ ⎡ 1 ⎤ ⎜ T k −1 ⎟ ds = c v .[]d(ln T) + d(ln ρ - k.d(lnρ) = cv .(k −1)d ⎢ ln T − ln ρ⎥ = r.d⎜ln ⎟ ⎣k −1 ⎦ ⎜ ρ ⎟ ⎝ ⎠ Tích phân : ⎛ 1 1 ⎞ k −1 k −1 ⎜ T T1 ⎟ s − s1 = r⎜ln − ln ⎟ (9.7) ⎜ ρ ρ1 ⎟ ⎝ ⎠ 1 s−s1 ρ T k −1 − hay : = .e r (9.8) ρ1 T1
  57. Thuỷ khí kỹ thuật ứng dụng Huỳnh Văn Hoàng Trong các phương trình trên chỉ số 1 chỉ trạng thái ban đầu. Trong hệ cô lập hữu hạn bất kỳ quá trình nào xảy ra đều theo chiều tăng entrôpi. Ví dụ p :trong quá trình đoạn nhiệt lý tưởng = const . Thay vào phương trình (9.7) ta có : ρ k ⎡ T2 ρ1 ⎤ ⎡ T2 ρ1 ⎤ ⎡ T2 p1 ⎤ s2 − s1 = cv (k −1)⎢ln + ln ⎥ = cv (k −1)⎢ln . ⎥ = cv (k −1)⎢ln . ⎥ ⎣ T1 ρ 2 ⎦ ⎣ T1 ρ 2 ⎦ ⎣ T1 p2 ⎦ Nếu hệ cô lập không trao đổi nhiệt với bên ngoài thì (T2=T1) : ⎡ p1 ⎤ s2 − s1 = r⎢ln. ⎥ ⎣ p2 ⎦ Vì có tổn thất nên p2 s1, nghĩa là entrôpi luôn luôn tăng trong quá trình thuận nghịch. 9.2 - Phương trình liên tục Trong không gian bảo lưu (ở đó không có điểm nguồm , điểm hút và ở đo không thực hiện các phản ứng hoá học tiêu hao hay cung cấp chất lỏng) chúng ta khảo sát chuyển động của chất lỏng chảy qua khối hộp có các cạnh cố định dx,dy,dz trong hệ toạ độ oxyz (hình 9 - 1). Sau thời gian dt khối lượng chất lỏng chảy vào khối hộp này là m1 và chảy ra là m2 , khối lượng chất lỏng còn lại trong khối hộp này là : ∆m = m1- m2 . Tính theo phưong x , khối lượng chảy vào m1x = ρ.vx dy dz dt ; chảy ra : ⎡ ∂(ρv x ) ⎤ m2x = ⎢ρ.v x + dx⎥dy.dz.dt ⎣ ∂x ⎦ ∂(ρ ⋅v ) ρ ⋅v ρ ⋅v + x ⋅dx x x ∂x Hình 9 - 1
  58. Thuỷ khí kỹ thuật ứng dụng Huỳnh Văn Hoàng ∂(ρ.v ) và dm = m − m = − x dx.dy.dz.dt x 2x 1x ∂x Tương tự đối với trục y,trục z : ∂(ρ.v y ) ∂(ρ.v ) dm = − dx.dy.dz.dt ; dm = − z dx.dy.dz.dt y ∂y z ∂z Khối lượng chất lỏng còn lại trong khối hộp là : dm = dmx + dmy + dmz ⎡∂()ρv x ∂(ρv y ) ∂()ρv z ⎤ dm = −⎢ + + ⎥dx.dy.dz.dt ⎣ ∂x ∂y ∂z ⎦ Sự thay đổi thể tích chất lỏng trong khối hộp là do sự thay đổi khối lượng riêng của chất lỏng theo thời gian bởi vì các cạnh của khối hộp cố định (theo định luật bảo toàn khối lượng). Khối lượng chất lỏng trong hộp : m=ρ.V=ρ.dx.dy.dz Sau thời gian dt sẽ có sự thay đổi : ∂(ρV ) ∂ρ dm = dt = dx.dy.dz.dt ∂t ∂t Sau khi đơn giản các số hạng giống nhau chúng ta có phương trình liên tục: ∂ρ ∂()ρv ∂(ρv y ) ∂(ρv ) + x + + z = 0 ∂t ∂x ∂y ∂z (9.9) ∂ρ + div()ρv = 0 ∂t ∂ρ Nếu chất lỏng chuyển động dừng ( = 0 ) thì : ∂t ∂()ρv ∂(ρv y ) ∂()ρv x + + z = 0 ∂x ∂y ∂z (9.11) div()ρv = 0 Nếu chất lỏng không nén được (ρ = const) và chuyển động ổn định :
  59. Thuỷ khí kỹ thuật ứng dụng Huỳnh Văn Hoàng ∂v ∂v ∂v x + y + z = 0 ∂x ∂y ∂z (9.12) divv = 0 Phương trìng liên tục viết trong hệ toạ độ trụ (r, ,z) : ∂ρ ∂()ρ.v ∂()ρ.v ∂(ρ.v ) + r + r + r = 0 (9.13) ∂t ∂r ∂r ∂r trong đó : dz dr dε v = ; v = ; v = z dt r dt ε r.dt Phương trình liên tục cho dòng nguyên tố chuyển động không dừng chât lỏng nén được : ∂()ρ.S ∂()ρ.v.S + = 0 (9.14) ∂t ∂l - Nếu chuyển động dừng : ∂()ρ.v.S = 0 hay ρ.v.S = const (9.15) ∂l - Nếu chuyển động dừng và chât lỏng không nén được ∂().v.S = 0 hay ρv.S = const (9.16) ∂l Nếu chất lỏng là chất lỏng thực thì vận tốc trong dòng một chiều hữu hạn sẽ là vận tốc trung bình trên tiết diện ướt. 9.3 - Phương trình Ơle thuỷ động Trong chất lỏng lý tưởng chuyển động chúng ta trích một phân tố lỏng có dạng khối hộp với các cạnh là dx , dy , dz (hình 9 - 2).Các lực tác dụng lên phân tố lỏng chuyển động gồm có lực áp, lực khối và lực quán tính. a R ∂p p dz p + dx ∂x A
  60. Thuỷ khí kỹ thuật ứng dụng Huỳnh Văn Hoàng dx dy Hình 9 – 2 Áp suất tác dụng lên các măt khối hộp tại điểm A là : px = py = pz = p ; ở các mặt đối diện áp suất thay đổi một đại lượng bằng : ∂p ∂p ∂p p + dx ;p + dy ; p + dz ∂x ∂y ∂z Thành phần lực áp theo các trục toạ độ là : ⎛ ∂p ⎞ dFpx = p.dy.dz − ⎜ p + dx⎟dy.dz ⎝ ∂x ⎠ ⎛ ∂p ⎞ dFpy = p.dz.dx − ⎜ p + dy⎟dz.dx ⎝ ∂y ⎠ ⎛ ∂p ⎞ dFpz = p.dx.dy − ⎜ p + dz⎟dx.dy ⎝ ∂z ⎠ Các thành phần lực khối của gia tốc khối R là : dFRx = Rx .ρ.dx.dy.dz ; dFRy = R y .ρ.dx.dy.dz ; dFRz = Rz .ρ.dx.dy.dz Lực quán tính : dFax = a x .ρ.dx.dy.dz ; dFay = a y .ρ.dx.dy.dz ; dFRa = a z .ρ.dx.dy.dz Phân tố lỏng cân bằng theo nguyên lý Đalămbe . Phương trình cân bằng phân tố lỏng viết theo các trục toạ độ là: ⎛ ∂p ⎞ p.dy.dz − ⎜ p + dx⎟dy.dz + Rx .ρ.dx.dy.dz − a x .ρ.dx.dy.dz = 0 ⎝ ∂x ⎠ ⎛ ∂p ⎞ p.dz.dx − ⎜ p + dy⎟dz.dx + R y .ρ.dx.dy.dz − a y .ρ.dx.dy.dz = 0 ⎝ ∂y ⎠ ⎛ ∂p ⎞ p.dx.dy − ⎜ p + dz ⎟dx.dy + Rz .ρ.dx.dy.dz − a z .ρ.dx.dy.dz = 0 ⎝ ∂z ⎠ hay :
  61. Thuỷ khí kỹ thuật ứng dụng Huỳnh Văn Hoàng 1 ∂p − + R . = a . ρ ∂x x x 1 ∂p − + R = a . ρ ∂y y y 1 ∂p − + R . = a ρ ∂x z z Các gia tốc ax , ay , az được tính như sau : dv ∂v dx ∂v dy ∂v dz ∂v dt ∂v ∂v ∂v ∂v a = x = x + x + x + x = x + v x + v x + v x x dt ∂x dt ∂y dt ∂z dt ∂t dt ∂t x ∂x y ∂y z ∂z dv y ∂v y dx ∂v y dy ∂v y dz ∂v y dt ∂v y ∂v y ∂v y ∂v y a = = + + + = + v + v + v y dt ∂x dt ∂y dt ∂z dt ∂t dt ∂t x ∂x y ∂y z ∂z dv ∂v dx ∂v dy ∂v dz ∂v dt ∂v ∂v ∂v ∂v a = z = z + z + z + z = z + v z + v z + v z z dt ∂x dt ∂y dt ∂z dt ∂t dt ∂t x ∂x y ∂y z ∂z Cuối cùng chúng ta có phương trình vi phân chuyển động của chất lỏng lý tưởng do Ơle chứng minh năm 1775: ∂v ∂v ∂v ∂v 1 ∂p x + v x + v x + v x = R − ∂t x ∂x y ∂y z ∂z x ρ ∂x ∂v y ∂v y ∂v y ∂v y 1 ∂p + v + v + v = R − (9.16) ∂t x ∂x y ∂y z ∂z y ρ ∂y ∂v ∂v ∂v ∂v 1 ∂p z + v z + v z + v z = R − ∂t x ∂x y ∂y z ∂z z ρ ∂z hay viết dưới dạng véctơ: ∂v 1 + vgradv = R − grapp (9.17) ∂t ρ Nếu chuyển động dừng thì ta có phương trình : ∂v 1 + vgradv = R − grapp (9.18) ∂t ρ Nếu chất lỏng chuyển động đều thì chúng ta có phương trình Ơle thủy tĩnh. Trong trường hợp này áp suất cũng phân bố theo theo qui luật thuỷ tĩnh . Phương trình (9.16) có thể áp dụng cho bài toán chuyển động tương đối. Chỉ cần lưu ý rằng gia tốc khối lúc này gồm có gia tốc khối có thế , gia tốc quán tính của chuyển động theo, gia tốc Côriôlít . (9.18) sẽ là :
  62. Thuỷ khí kỹ thuật ứng dụng Huỳnh Văn Hoàng 1 vgradv = R + a + a − grapp (9.19) w cor ρ Phương trình Ơle thủy động viết trong hệ toạ độ trụ : ∂v ∂v v ∂v ∂v 1 ∂p r + v r + ε r + v r = R − ∂t r ∂r r ∂ε z ∂z r ρ ∂r ∂v ∂v v ∂v ∂v v .v 1 ∂p ε + v ε + ε ε + v ε + r ε = R − (9.20) ∂t r ∂r r ∂ε z ∂z r ε ρ r.∂ε ∂v ∂v v ∂v ∂v 1 ∂p z + v z + ε z + v z = R − ∂t r ∂r r ∂ε z ∂z r ρ ∂z trong đó Rz , Rε , Rr là hình chiếu của gia tốc khối lên các trục toạ độ. Gia tốc hướng kính gồm có dv v 2 gia tốc quán tính của chuyển động r và gia tốc quán tính ly tâm − ε : dt r dv v 2 a = r − r dt r Gia tốc theo phương thẳng góc với bán kính gồm gia tốc chuyển động theo và gia tốc Côriôlít : dv d 2ε dr dε 1 d(r.ε ) v .v dv a = ε = r + 2. . = . = r ε + ε ε dt dt 2 dt dt r dt r dt dr dε ở đây vận tốc hướng tâm v = vận tốc vòng v = r . r dt ε dt 9.4 - Phương trình Naviê - Stốc Trong chuyển động của chất lỏng thực xuất hiện ứng xuất tiếp giữa các chất lỏng. Đối với dòng một chiều chảy tầng ứng suất tiếp được tính theo công thức Niutơn. Trong dòng không gian vận tốc phân tố theo các phương khác nhau sẽ có giá trị khác nhau, nên ứng suất tiếp tương đương sẽ được tính :
  63. Thuỷ khí kỹ thuật ứng dụng Huỳnh Văn Hoàng ⎛ ∂v ∂v ⎞ τ = τ = µ⎜ y + x ⎟ xy yî ⎜ ⎟ ⎝ ∂x ∂y ⎠ ⎛ ∂v ∂v ⎞ τ = τ = µ⎜ z + y ⎟ (9.21) yz zy ⎜ ⎟ ⎝ ∂y ∂z ⎠ ⎛ ∂v ∂v ⎞ τ = τ = µ⎜ y + x ⎟ xy yî ⎜ ⎟ ⎝ ∂x ∂y ⎠ Do xuất hiện ứng xuất tiếp nên trong chất lỏng thực áp suất thủy động chỉ hướng vào mặt tác dụng nhưng không thẳng góc với nó. Thành phần pháp tuyến của áp suất thủy động được tính theo công thức (8.5). Trong đó áp suất thành phần theo ba phương thẳng góc với nhau là px , py , pz được tính theo công thức : px = p + σx ; py = p + σy ; pz = p + σz (9.22) trong đó σx , σy , σz là thành phần bổ sung , p là "áp suất thủy động quy ước". Xét phân tố lỏng có cạnh là dx , dy , ds và chiều cao là dz ở trạng thái cân bằng (hình 9.3). vη η p y vy v dy τ τyx α dx α vx τxy x vξ ξ Hình 9 - 3 Vì phân tố rất nhỏ, lực khối là tích bậc ba của đại lượng vô cùng nhỏ nên chúng ta có thể bỏ qua. Lực mặt tác dụng lên phân tố được tính theo các ứng suất từ (9.21 và 9.22). Chúng ta vẽ thêm hệ tọa độ (ξ , η) .Trong đó trục song song với cạnh ds trục η thẳng góc với ds. Phương trình cân bằng lực theo phương ξ (hình 9 - 3) : τ.ds dz = τxy (dx dz cos α - dy dz sin α) + py dy dz sin α - px dy dz cos α
  64. Thuỷ khí kỹ thuật ứng dụng Huỳnh Văn Hoàng Từ (hình 9.3a) ta có dx = ds.cos α , dy = ds.sin α thì phương trình trên được viết thành : 2 2 τ = τxy (cos α - sin α ) + ( py - px ).sin α cosα (9.23) τxy được tính theo (9.21) và τ cũng được tính theo građient vận tốc : ⎛ ∂v ∂v ⎞ ⎜ ξ η ⎟ τ = µ⎜ + ⎟ (9.24) ⎝ ∂η ∂ξ ⎠ ∂vξ ∂vη Để tính τ theo vy ,vy ta cần xác định ; theo x , y , vx ,vy . Trước hết ta xác định dvξ . ∂η ∂ξ ∂v ∂v ∂v ∂v dv = ξ dξ + ξ dη = ξ dx + ξ dy (9.25) ξ ∂ξ ∂η ∂x ∂y từ (hình 9-3b) ta có quan hệ giữa các vận tốc : vξ = vx cosα + vy sin α ; v = vx sinα - vy cosα và quan hệ các tọa độ : x = ξ .cosα + η.sinα ; y = η cosα - ξ .sin α (9.26) Tính dx , dy từ (9.26) rồi thay vào (9.25) và thực hiện phép biến đổi đơn giản ta có ⎛ ∂v ∂v ⎞ ⎛ ∂v ∂v ⎞ dv = ⎜ ξ cosα + ξ sinα ⎟dξ + ⎜ ξ sinα + ξ cosα ⎟dη ξ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ∂x ∂y ⎠ ⎝ ∂x ∂y ⎠ So sánh phương trình này với (9.25) ta có : ∂v ∂v ∂v ξ = ξ sinα + ξ cosα ∂η ∂x ∂y ∂v ∂v lấy đạo hàm ξ ;ξ từ phương trình tính vận tốc v : ∂x ∂y
  65. Thuỷ khí kỹ thuật ứng dụng Huỳnh Văn Hoàng ∂v ⎛ ∂v ∂v ⎞ ⎛ ∂v ∂v ⎞ ξ ⎜ x y ⎟ ⎜ x y ⎟ = ⎜ cosα − sinα ⎟sinα + ⎜ cosα − sinα ⎟ cosα ∂η ⎝ ∂x ∂x ⎠ ⎝ ∂y ∂y ⎠ (9.27) ⎛ ∂v ∂v ⎞ ⎛ ∂v ∂v ⎞ ⎜ x 2 y 2 ⎟ ⎜ x y ⎟ ⎜ cos α − sin α ⎟ + ⎜ − ⎟sinα.cosα ⎝ ∂y ∂x ⎠ ⎝ ∂x ∂y ⎠ ∂vη Thực hiện theo trình tự trên để tính . Đạo hàm toàn phần dvη : ∂ξ ∂v ∂v ∂v ∂v dv = η dξ + η dη = η dx + η dy (9.28) η ∂ξ ∂η ∂x ∂y Tính dx, dy từ (9.26) rồi thay vào (9.28) và thực hiện biến đổi.Ta có : ∂v ∂v dv = η (cosα.dξ + sinα.dη) + η (cosα.dη − sinα.dξ ) η ∂x ∂η (9.29) ⎛ ∂v ∂v ⎞ ⎛ ∂v ∂v ⎞ ⎜ η η ⎟ ⎜ η η ⎟ = ⎜ cosα − sinα ⎟dξ + ⎜ sinα + cosα ⎟dη ⎝ ∂x ∂y ⎠ ⎝ ∂x ∂y ⎠ So sánh (9.28) và (9.29) ta có : ∂v ∂v ∂v η = η cosα − η sinα ∂ξ ∂x ∂y ∂v ∂v Lấy đạo hàm η ;η từ phương trình vận tốc v và thế vào phương trình trên : ∂x ∂y ∂v ∂v ∂v ⎛ ∂v ∂v ⎞ η y 2 x 2 ⎜ x y ⎟ = ( cos α − sin α) − ⎜ − ⎟ sinα.cosα (9.30) ∂ξ ∂x ∂y ⎝ ∂x ∂y ⎠ Thay (9.27), (9.30) vào (9.24) : ⎡∂v ∂v ⎛ ∂v ∂v ⎞ ⎤ y 2 2 x 2 2 ⎜ x y ⎟ τ = µ⎢ ()cos α − sin α + ()cos α − sin α + 2⎜ − ⎟ sinα.cosα⎥ ⎣⎢ ∂x ∂y ⎝ ∂x ∂y ⎠ ⎦⎥ Kết hợp với (9.21) ta có :
  66. Thuỷ khí kỹ thuật ứng dụng Huỳnh Văn Hoàng ⎛ ∂v ∂v ⎞ τ = τ cos 2 α − sin 2 α + 2µ⎜ x − y ⎟ sinα.cosα (9.31) xy ()⎜ ⎟ ⎝ ∂x ∂y ⎠ Thay (9.31) vào (9.23) sau khi đơn giản và chứng minh tương tự cho các hê toạ độ khác . Ta có : ⎛ ∂v ∂v ⎞ p − p = 2µ⎜ x − y ⎟ y x ⎜ ⎟ ⎝ ∂x ∂y ⎠ ⎛ ∂v ∂v ⎞ p − p = 2µ⎜ y − z ⎟ (9.32) z y ⎜ ⎟ ⎝ ∂y ∂z ⎠ ⎛ ∂v z ∂v x ⎞ p x − p z = 2µ⎜ − ⎟ ⎝ ∂z ∂x ⎠ Từ (9.32) suy ra áp suất thủy động quy ước (8.7) . Từ đó suy ra công thức tính các áp suất theo các trục toạ độ : 2 ∂v p = p + µ.divv − 2µ. x x 3 ∂x 2 ∂v y p = p + µ.divv − 2µ. (9.34) y 3 ∂y 2 ∂v p = p + µ.divv − 2µ. z z 3 ∂z Từ (9.34) ta có các giá trị bổ sung của áp suất thuỷ động theo phương pháp tuyến trong chất lỏng thực. Trong chất lỏng thực ta trích một phân tố lỏng có dạng khối hộp với các cạnh dx,dy,dz và được đặt trong hệ tọa độ Oxyz (H 9.4). Phân tố lỏng này chịu tác dụng bởi lực khối lực áp suất theo phương pháp tuyến, lực ma sát là lực quán tính chuyển động. Các lực này được tính lần lượt như sau . Thành phần của lực khối : dFRx = Rx .ρ. dx. dy. dz ; dFRy = Ry .ρ. dx. dy .dz ; dFRz = Rz ρ. dx. dy .dz Thành phần của lực quán tính : dFax = −a x .ρ.dx.dy.dz ; dFay = −a y .ρ.dx.dy.dz ; dFRa = −a z .ρ.dx.dy.dz Lực áp :
  67. Thuỷ khí kỹ thuật ứng dụng Huỳnh Văn Hoàng ⎛ ∂p x ⎞ ∂p x dFpx = p x .dy.dz − ⎜ p x + dx⎟dy.dz = − dx.dy.dz ⎝ ∂x ⎠ ∂x ⎛ ∂p ⎞ ∂p dF = p .dz.dx − ⎜ p + y dy⎟dz.dx = − y dy.dx.dz py y ⎜ y ⎟ ⎝ ∂y ⎠ ∂y ⎛ ∂p z ⎞ ∂p x dFpz = p z .dx.dy − ⎜ p z + dz⎟dx.dy = − dz.dx.dy ⎝ ∂z ⎠ ∂z Lực ma sát : ⎛ ∂τ yî ⎞ ⎛ ∂τ ⎞ dF = −τ .dx.dz + ⎜τ + dy⎟.dx.dz −τ .dy.dx + τ + zî dz .dy.dx τx yî ⎜ yî ⎟ zî ⎜ zî ⎟ ⎝ ∂y ⎠ ⎝ ∂z ⎠ ⎛ ∂τ ∂τ ⎞ ⎜ yî zî ⎟ = ⎜ + ⎟dx.dy.dz ⎝ ∂y ∂z ⎠ ⎛ ∂τ ∂τ ⎞ dF = ⎜ xy + zy ⎟dx.dy.dz τy ⎜ ⎟ ⎝ ∂x ∂z ⎠ ⎛ ∂τ ∂τ ⎞ dF = ⎜ yz + yz ⎟dx.dy.dz τz ⎜ ⎟ ⎝ ∂x ∂y ⎠ Hình 9.4 Phương trình cân bằng chuyển động của phần tử này theo trục ox :
  68. Thuỷ khí kỹ thuật ứng dụng Huỳnh Văn Hoàng dFRx + dFpx + dFτx + dFax = 0 hay : ∂p ⎛ ∂τ ∂τ ⎞ R .ρ.dx.dy.dz − x dx.dy.dz + ⎜ yî + zî ⎟dx.dy.dz − a .ρ.dx.dy.dz = 0 x ⎜ ⎟ x ∂x ⎝ ∂y ∂z ⎠ ∂p ∂τ ∂τ ∂v ∂v ∂v ∂v Lấy đạo hàm x ;yî ; zî từ (9.21) và a = x + v x + v x + v x thế vào ∂x ∂y ∂z x ∂t x ∂x y ∂y z ∂z phương trình trên . Ta có : ∂v ∂v ∂v ∂v 1 ∂p 1 ∂ ⎛ ∂ 2 v ∂ 2 v ∂ 2 v ⎞ x + v x + v x + v x = R − + ν divv +ν ⎜ x + x + x ⎟ (9.35.) x y z x ( ) ⎜ 2 2 2 ⎟ ∂t ∂x ∂y ∂z ρ ∂x 3 ∂x ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ Chứng minh tương tự cho các trục y,z : ∂v ∂v ∂v ∂v ⎛ ∂ 2 v ∂ 2 v ∂ 2 v ⎞ y y y y 1 ∂p 1 ∂ ⎜ y y y ⎟ + v x + v y + v z = R y − + ν (divv)+ν + + ∂t ∂x ∂y ∂z ρ ∂y 3 ∂y ⎜ ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 ⎟ ⎝ ⎠ (9.35) ∂v ∂v ∂v ∂v 1 ∂p 1 ∂ ⎛ ∂ 2 v ∂ 2 v ∂ 2 v ⎞ z + v z + v z + v z = R − + ν divv +ν ⎜ z + z + z ⎟ x y z z ()⎜ 2 2 2 ⎟ ∂t ∂x ∂y ∂z ρ ∂z 3 ∂z ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ hay viết dưới dạng véctơ : ∂v 1 1 + vgradv = R + a + a − grapp + ν.grad(divv) +ν.∆v (9.36) ∂t w cor ρ 3 Hệ phương trình (9.35) hoặc (9.36) là phương trình vi phân chuyển động của chất lỏng ∂v thực. Nếu ν = 0 phương trình (9.35) sẽ thành (9.16). Nếu chuyển động dừng = 0 thì dù ν≠0 ∂t thì trong mặt cắt ướt của dòng chảy áp suất thủy động sẽ phân bố theo quy luật thủy tĩnh. Trong dòng chảy biến đổi chậm ống có độ cong không đáng kể thì kết luận này vẫn đúng. Do tính chất phi tuyến của hệ phương trình (9.36) đến nay chúng ta chưa có được một cách giải tổng quát. Trong kỹ thuật người ta áp dụng phương trình này để giải một số bài toán có điều kiện biên đơn giản, hoặc bằng một số giả thuyết nhất định để giảm bớt một số số hạng của phương trình mà không ảnh hưởng đến kết quả tính toán. Để có hệ phương trình xác định người ta kết hợp thêm phương trình liên tục, phương trình trạng thái, phương trình chuyển hoá của các quát trình. Các ẩn số của hệ phương trình này là vx , vy , vz+ , p, ρ . Chúng là những đại lượng phụ thuộc vào không gian và thời gian. Nếu chất lỏng không nén được và chuyển động dừng thì ta có hệ phương trình:
  69. Thuỷ khí kỹ thuật ứng dụng Huỳnh Văn Hoàng ∂v ∂v ∂v 1 ∂p ⎛ ∂ 2 v ∂ 2 v ∂ 2 v ⎞ v x + v x + v x = R − +ν ⎜ x + x + x ⎟ x y z x ⎜ 2 2 2 ⎟ ∂x ∂y ∂z ρ ∂x ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ 2 2 2 ∂v y ∂v y ∂v y 1 ∂p ⎛ ∂ v y ∂ v y ∂ v y ⎞ v + v + v = R − +ν ⎜ + + ⎟ (9.37) x y z y ⎜ 2 2 2 ⎟ ∂x ∂y ∂z ρ ∂y ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ ∂v ∂v ∂v 1 ∂p ⎛ ∂ 2 v ∂ 2 v ∂ 2 v ⎞ v z + v z + v z = R − +ν ⎜ z + z + z ⎟ x y z z ⎜ 2 2 2 ⎟ ∂x ∂y ∂z ρ ∂z ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ 9.5. Phương trình Hemhôn Để nghiên cứu chuyển động xoáy Hemhôn biết thực hiện các biến đổi phương trình chuyển động, đưa các đại lượng đặc trưng chuyển động xoáy vào phương trình . Từ rotv = 2.ω và (8.18) ta có : ∂v ∂v ∂v ∂v x = 2.ω + z ; x = −2.ω + y (9.39) ∂z y ∂x ∂y z ∂z ∂U Thay (9.39) và R = vào phương trình thứ nhất của (9.37) cho chất lỏng không nén dược x ∂x (ρ = const; divv = 0) : 2 2 2 ∂v ∂v ∂v y ∂v ∂U 1 ∂p ⎛ ∂ v ∂ v ∂ v ⎞ x + v x + v + v z − 2.ω .v + 2.ω .v = − +ν ⎜ x + x + x ⎟ (9.40) x y z z y y z ⎜ 2 2 2 ⎟ ∂t ∂x ∂x ∂x ∂x ρ ∂x ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ 2 ∂v ∂v y ∂v ∂ ⎛ v ⎞ x z ⎜ ⎟ Ta có : v x + v y + v z = ⎜ ⎟ ∂x ∂x ∂x ∂x ⎝ 2 ⎠ ∂F ∂ ⎛ v 2 p ⎞ Ký hiệu : = ⎜ + −U ⎟ ∂x ∂x ⎝ 2 ρ ⎠ Phương trình (9.40) được viết lại : ∂v ∂F ⎛ ∂ 2 v ∂ 2 v ∂ 2 v ⎞ x − 2.ω .v + 2.ω .v = − +ν ⎜ x + x + x ⎟ (9.41a) z y y z ⎜ 2 2 2 ⎟ ∂t ∂x ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ Biến đổi tương tự cho phương trình thứ hai (9.37) : 2 2 2 ∂v y ∂F ⎛ ∂ v y ∂ v y ∂ v y ⎞ − 2.ω .v + 2.ω .v = − +ν ⎜ + + ⎟ (9.41b) x z z x ⎜ 2 2 2 ⎟ ∂t ∂y ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠
  70. Thuỷ khí kỹ thuật ứng dụng Huỳnh Văn Hoàng Lấy đạo hàm phương trình (9.41a) theo y và phương trình (9.41b) theo x, rồi lấy phương trinh hai trù cho phương trình thứ nhất. Ta có : ∂ ⎛ ∂v y ∂v ⎞ ∂ω ∂ω ⎛ ∂ω ∂ω y ⎞ ⎛ ∂v ∂v y ⎞ ⎜ − x ⎟ + 2.v z + 2.v z − 2.v ⎜ x + ⎟ + 2.ω ⎜ x + ⎟ ⎜ ⎟ x y z ⎜ ⎟ z ⎜ ⎟ ∂t ⎝ ∂x ∂y ⎠ ∂x ∂y ⎝ ∂x ∂y ⎠ ⎝ ∂x ∂y ⎠ 2 2 2 ⎛ ∂v ∂v ⎞ ⎡ ∂ ⎛ ∂v y ∂v ⎞ ∂ ⎛ ∂v y ∂v ⎞ ∂ ⎛ ∂v y ∂v ⎞⎤ − 2.⎜(ω z +ω z ⎟ =ν ⎜ − x ⎟ + ⎜ − x ⎟ + ⎜ − x ⎟ ⎜ x x ⎟ ⎢ 2 ⎜ ⎟ 2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎥ ⎝ ∂x ∂y ⎠ ⎣⎢∂x ⎝ ∂x ∂y ⎠ ∂y ⎝ ∂x ∂y ⎠ ∂z ⎝ ∂x ∂y ⎠⎦⎥ ∂ω ∂v Cộng và trừ phương trình trên với : ± 2.v z ± 2.ω z : z ∂z z ∂z ∂ω ∂ω ∂ω ∂ω ⎛ ∂ω ∂ω ∂ω ⎞ ⎛ ∂v ∂v ∂v ⎞ z + v z + v z + v z − v ⎜ x + y + z ⎟ +ω ⎜ x + y + z ⎟ x y y z ⎜ ⎟ z ⎜ ⎟ ∂t ∂x ∂y ∂z ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ ⎛ ∂v ∂v ∂v ⎞ ⎛ ∂ 2ω ∂ 2ω ∂ 2ω ⎞ − ⎜ω z +ω z +ω z ⎟ =ν ⎜ z + z + z ⎟ ⎜ x x z ⎟ ⎜ 2 2 ⎟ ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ Vì : ∂ω ∂ω ∂ω ∂ω dω z + v z + v z + v z = z ∂t x ∂x y ∂y y ∂z dt ∂ω ∂ω y ∂ω ⎛ 1 ⎞ x + + z = div⎜ rotv⎟ = 0 ∂x ∂y ∂z ⎝ 2 ⎠ ∂v ∂v ∂v x + y + z = divv = 0 ∂x ∂y ∂z nên phương trình (9.42) là : dω ∂v ∂v ∂v ⎛ ∂ 2ω ∂ 2ω ∂ 2ω ⎞ z = ω z +ω z +ω z +ν ⎜ z + z + z ⎟ (9.43a) x x z ⎜ 2 2 2 ⎟ dt ∂x ∂y ∂z ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ Chứng minh tương tự cho các trục quay y , x : dω ∂v ∂v ∂v ⎛ ∂ 2ω ∂ 2ω ∂ 2ω ⎞ y = ω y +ω y +ω z +ν ⎜ y + y + y ⎟ (9.43b) x x z ⎜ 2 2 2 ⎟ dt ∂x ∂y ∂z ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ dω ∂v ∂v ∂v ⎛ ∂ 2ω ∂ 2ω ∂ 2ω ⎞ x = ω x +ω x +ω x +ν ⎜ z + x + x ⎟ (9.43c) x x z ⎜ 2 2 2 ⎟ dt ∂x ∂y ∂z ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ Viết phương trình này theo véctơ :
  71. Thuỷ khí kỹ thuật ứng dụng Huỳnh Văn Hoàng dω = ω gradv +ν.∆ω (9.44) dt Từ phương trình Hemhôn chúng ta thấy rằng: đối với chất lỏng lý tưởng (ν=0) , nếu xuất hiện chuyển động xoáy thì nó sẽ không tự mất đi. Nếu dòng chuyển động không xoáy thì vẫn xuất hiện chuyển động xoáy cục bộ và nó cũng không mất đi và không lan truyền trong chất lỏng , nó chỉ gồm những phần tử nhất định . Đối với chất lỏng thực khi có chuyển động xoáy thì cường độ xoáy bị giảm do ma sát. Các xoáy chỉ bắt đầu và kế thúc ở trên bề mặt phân cách giữa chất lỏng và môi trường, hoặc các xoáy tạo thành nhựng vòng xoáy khép kín. Hình dạng sợi xoáy có thay đổi thì nó cũng chỉ gồm những phần tử lỏng đã tham gia chuyển động xoáy. 9.6 Phương trình Bernoulli Việc giải hệ phương trình vi phân chuyển động của chất lỏng lý tưởng rất phức tạp. Trong kỹ thuật để giải các bài toán chuyển động của dòng chảy có kích thước hữu hạn chất lỏng chuyển động dọc theo chiều dòng chảy. Bernoulli đã tích phân từ phương trình Ơle dọc theo chiều dòng chảy và được một phương trình gọi là phương trình năng lượng. Chúng ta sẽ chứng minh phương trình đó như sau. 8.6.1 Phương trình Bernoulli cho dòng nguyên tố chất lỏng lý tưởng Chúng ta nhận thấy trong phương trình (9.16) các đại lượng đều biểu diễn lực đơn vị tác dụng lên một đơn vị khối lượng chất lỏng đang chuyển động. Nếu chúng ta nhân với quãng đường dịch chuyển thì sẽ thu được công đơn vị. Trước hết chúng ta thực hiện theo phương x , nhân phương trình thứ nhất của (9.16) với dx: ∂v y ⎛ ∂v y ∂v y ∂v y ⎞ 1 ∂p dx + ⎜v + v + v ⎟dx = R .dx − .dx ⎜ x y z ⎟ y ∂t ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ ρ ∂y Biểu thức trong ngoặc đơn là năng lượng chuyển động của chất lỏng. Nó gồm năng lượng chuyển động tịnh tiến và năng lượng chuyển động quay. Để tách riêng chúng ra chúng ta cộng và trừ vào ∂v ∂v phương trình này với biểu thức : ± v y dx ± v z dx y ∂x z ∂x
  72. Thuỷ khí kỹ thuật ứng dụng Huỳnh Văn Hoàng ∂v ⎛ ∂v ∂v ∂v ⎞ ⎛ ∂v ∂v ⎞ ⎛ ∂v ∂v ⎞ y dx + ⎜v y + v y + v z ⎟dx + v ⎜v y − v y ⎟dx + v ⎜ y − z ⎟dx ∂t ⎜ x ∂x y ∂x z ∂x ⎟ y ⎜ y ∂y y ∂x ⎟ z ⎜ ∂z ∂x ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (9.45) 1 ∂p = R .dx − .dx y ρ ∂y Biểu thức trong ngoặc đơn thứ nhất chính là năng lượng chuyển động tịnh tiến của phân tố lỏng dọc theo trục x, biểu thức trong ngoặc đơn thứ hai là 2ωz và biểu thức trong ngoặc đơn thứ ba là 2.ωy . Gia tốc khối R được phân tích thành hai thành phần ; gia tốc khối có thế R* và gia tốc Côriôlít Rc . Các thành phần của chúng theo các trục tọa độ: ∂U ∂U ∂U R = ;R = ; R = tx ∂x ty ∂y tz ∂z Rcx = 2 (vy Ω0 - vz Ωy) ; Rcy = 2 (vz Ωx - vx Ωz) ; Rxz = 2 (vx Ωy - vy Ωx) Trong đó Ω là vận tốc góc của chuyển động quay vòng. Thay tất cả các giá trị này vào phương trình (9.45) và thực hiện một số biến đổi nhỏ ta có : ∂v ∂ ⎛ v 2 ⎞ 1 ∂p ∂U x ⎜ ⎟ dx + ⎜ ⎟dx + dx − dx + 2.()()v y .ω z − v zω y dx + 2. v y .Ω z − v z Ω y dx = 0 (9.46a) ∂t ∂x ⎝ 2 ⎠ ρ ∂x ∂x Tương tự như thế ta có thể viết phương trình năng lượng đơn vị theo các trục tọa độ y,z. 2 ∂v y ∂ ⎛ v ⎞ 1 ∂p ∂U ⎜ ⎟ dy + ⎜ ⎟dy + dy − dy + 2.()()v zω x − v xω z dy + 2. v x Ω z − v z Ω x dy = 0 (9.46b) ∂t ∂y ⎝ 2 ⎠ ρ ∂y ∂y ∂v ∂ ⎛ v 2 ⎞ 1 ∂p ∂U z ⎜ ⎟ dz + ⎜ ⎟dz + dz − dz + 2.()()v x .ω y − v yω x dz + 2. v x .Ω y − v y Ω x dz = 0 (9.46c) ∂t ∂z ⎝ 2 ⎠ ρ ∂z ∂z Năng lượng toàn bộ của phân tố lỏng chuyển động là tổng các năng lượng theo các trục toạ độ. Sau khi cộng (9.46a) , (9.46b) , (9.46c) và thực hiện biến đổi đơn giản ta có : ∂v ⎛ v 2 ⎞ dp ⎜ ⎟ dl + d⎜ ⎟ + − dU + 2.[()v y .dz − v z .dy .()()ω x + Ω z + v z .dx − v x .dz .()ω y + Ω y + ∂t ⎝ 2 ⎠ ρ (9.47) + ()v x .dy − v y .dx .()ω z + Ω z ] = 0
  73. Thuỷ khí kỹ thuật ứng dụng Huỳnh Văn Hoàng ∂v ⎛ v 2 ⎞ dp dl + d⎜ ⎟ + − dU + ∂t ⎝ 2 ⎠ ρ (9.48) ⎪⎧v x []()()ω z + Ω z dy − ω z + Ω z dz + v y []()()ω x + Ω x dz − ω z + Ω z dx +⎪⎫ + 2⎨ ⎬. = 0 ⎩⎪+ v x []()ω y + Ω y dx − ()ω x + Ω x dy ⎭⎪ Để nghiên cứu chuyển động của các dòng chất lỏng chúng ta thực hiện tích phân (9.47) hoặc (9.48) theo các điều kiện cụ thể. a. Tích phân dọc theo đường dòng Từ (8.18) ta có : vx dy - vy dx = 0 ; vy dz - vz dy = 0 ; vz dx - vx dz = 0 . Thay các biểu thức này vào (9.47) : ∂v ⎛ v 2 ⎞ dp dl + d⎜ ⎟ + − dU = 0 (9.49) ∂t ⎝ 2 ⎠ ρ Tích phân (9.49) dọc theo đường dòng: ∂v ⎛ v 2 ⎞ dp ∫ dl + ∫ d⎜ ⎟ + ∫∫+ dU = const (9.50) ∂t ⎝ 2 ⎠ ρ hay : ∂v v 2 dp dl + + −U = const (9.51) ∫ ∂t 2 ∫ ρ Đối với chất lỏng không nén được (ρ = const) ∂v v 2 p dl + + −U = const ∫ ∂t 2 ρ Nếu lực khối có thế chỉ là trọng lực (Rz= - g) ; U= - g.z ∂v v 2 p dl + + + gz = const (9.52) ∫ ∂t 2 ρ Phương trình (9-52) viết cho hai điểm trên đường dòng : 2 ∂v v 2 − v 2 p − p dl + 2 1 + 2 1 + g z − z = 0 (9.53) ∫ ()2 1 1 ∂t 2 ρ trong đó :
  74. Thuỷ khí kỹ thuật ứng dụng Huỳnh Văn Hoàng 2 ∂v gh = dl (9.54) qt ∫ 1 ∂t gọi là năng lượng quán tính đơn vị của dòng chất lỏng nhanh dần đều hay chậm dần đều. Nó chính là năng lượng đơn vị bị tiêu hao để khắc phục lực quán tính trên chiều dài của dòng chảy. v 2 − v 2 2 1 Sự thay đổi động năng giữa hai điểm hoặc còn gọi là năng lượng để làm 2 1kg chất lỏng thay đổi vận tốc từ v1 sang v2 - gọi là động năng đơn vị. p − p 2 1 Sự thay đổi áp năng, chính là năng lượng chuyển 1kg chất lỏng từ áp suất ρ p1 sang áp suất p2 - gọi là áp năng đơn vị. g(z2-z1) Năng lượng để chuyển 1kg chất lỏng từ điểm có thế năng g.z1 của ngoại lực sang điểm có thế năng g.z2 - gọi là vị năng đơn vị. b. Tích phân theo quãng đường bất kỳ Điều kiện để có thể tích phân được là ω= - Ω . Đây cũng chính là điều kiện để tồn tại dòng thế vận tốc. Như vậy các thành phần của vận tốc được tính theo công thức (8.39) ta có : ∂v ∂ ⎛ ∂φ ⎞ ∂ ⎛ ∂φ ⎞ ∂v y ∂ ⎛ ∂φ ⎞ ∂v ∂ ⎛ ∂φ ⎞ x = ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ;= ⎜ ⎟ ; z = ⎜ ⎟ ∂t ∂t ⎝ ∂x ⎠ ∂x ⎝ ∂t ⎠ ∂t ∂y ⎝ ∂t ⎠ ∂t ∂z ⎝ ∂t ⎠ ∂v ∂ ⎛ ∂φ ⎞ ∂ ⎛ ∂φ ⎞ ∂ ⎛ ∂φ ⎞ ⎛ ∂φ ⎞ dl = ⎜ ⎟dx + ⎜ ⎟dy + ⎜ ⎟dz = d⎜ ⎟ ∂t ∂x ⎝ ∂t ⎠ ∂y ⎝ ∂t ⎠ ∂z ⎝ ∂t ⎠ ⎝ ∂t ⎠ và thay vào phương trình (9.47) : ⎛ ∂φ ⎞ ⎛ v 2 ⎞ dp d⎜ ⎟ + d⎜ ⎟ + − dU = 0 (9.55) ⎝ ∂t ⎠ ⎝ 2 ⎠ ρ Tích phân (9.55) ta có : ∂φ v 2 dp + + −U = C(t) (9.56) ∂t 2 ∫ ρ nếu ρ = const :