Giáo trình Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng - Chương 2: Ôn lại xác suất và thống kê

62 trang phuongnguyen 2400

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng - Chương 2: Ôn lại xác suất và thống kê", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

giao_trinh_nhap_mon_kinh_te_luong_voi_cac_ung_dung_chuong_2.pdf

Nội dung text: Giáo trình Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng - Chương 2: Ôn lại xác suất và thống kê

Chöông trình Giaûng daïy Kinh teá Fulbright Phöông phaùp phaân tích Nhaäp moân kinh teá löôïng vôùi caùc öùng duïng Nieân khoùa 2003-2004 Baøi ñoïc Chöông 2: OÂn laïi xaùc suaát vaø thoáng keâ CHÖÔNG 2 OÂn Laïi Xaùc Suaát vaø Thoáng Keâ Trong chöông naøy, chuùng ta toùm taét caùc khaùi nieäm cuûa xaùc suaát vaø thoáng keâ ñöôïc söû duïng trong kinh teá löôïng. Bôûi vì moät soá kieán thöùc tröôùc ñaây cuûa xaùc suaát vaø thoáng keâ cô baûn ñöôïc giaû söû trong saùch naøy, vieäc oân laïi naøy ñöôïc thieát keá ñeå phuïc vuï chæ nhö laø moät söï höôùng daãn laïi caùc chuû ñeà ñöôïc söû duïng trong caùc chöông sau naøy. Ñieàu ñoù khoâng coù nghóa laø moät söï nghieân cöùu chaët cheõ vaø troïn veïn veà chuû ñeà naøy. Vì lyù do naøy, chuùng ta trình baøy raát ít caùc chöùng minh. Ñeå thay theá, chuùng ta ñònh nghóa caùc khaùi nieäm quan troïng döôùi tieâu ñeà “Ñònh nghóa” vaø toùm taét caùc keát quaû höõu duïng döôùi tieâu ñeà “Caùc tính chaát.” Muoán coù söï thaûo luaän chi tieát cuûa caùc chuû ñeà, baïn neân tham khaûo caùc cuoán saùch tuyeät haûo ñöôïc lieät keâ trong muïc luïc saùch tham khaûo ôû cuoái chöông. Caùc phaàn ñöôïc ñaùnh daáu hoa thò (*) coù tính chaát cao caáp hôn vaø coù theå boû qua maø khoâng maát ñi yù nghóa chính cuûa noäi dung chuû ñeà: Chöông naøy oân laïi taát caû chuû ñeà coù lieân quan trong xaùc suaát vaø thoáng keâ. Neáu ñaõ coù luùc do baïn ñaõ hoïc chuû ñeà naøy roài, baïn neân löôùt nhanh qua chöông naøy ñeå gôïi nhôù laïi. Tuy nhieân, neáu baïn vöøa môùi hoaøn thaønh moät khoùa hoïc veà caùc taøi lieäu naøy, chuùng toâi ñeà nghò baïn ñoïc Phaàn 2.1 ñeán 2.5 (ñaëc bieät chuù troïng veà ñoàng phöông sai vaø söï töông quan ñöôïc thaûo luaän trong Phaàn 2.3) vaø tieáp ñeán ñi vaøo tröïc tieáp Chöông 3 hôn laø ñoïc phaàn coøn laïi cuûa chöông naøy. Baïn coù theå quay laïi ñeå oân nhöõng phaàn coù lieân quan cuûa chöông naøy khi caàn. Caùc phaàn trong Chöông 2 song song vôùi caùc phaàn trong Chöông 3, vaø söï tham khaûo cheùo naøy ñöôïc chæ ñònh nhaèm giuùp cho moät söï hoaùn ñoåi suoân seû giöõa caùc phaàn coù theå thöïc hieän ñöôïc. Ñieàu naøy cho pheùp baïn hieåu lyù thuyeát kinh teá löôïng cô baûn toát hôn vaø ñaùnh giaù ñuùng söï höõu ích cuûa xaùc suaát vaø thoáng keâ moät caùch deã daøng hôn. } 2.1 Caùc Bieán Ngaãu Nhieân vaø caùc Phaân Phoái Xaùc Suaát Moät caùch ñieån hình, moät nhaø nghieân cöùu thöïc hieän moät thí nghieäm coù theå ñôn giaûn nhö tung ñoàng xu hay quay caëp suùc saéc hoaëc coù theå phöùc taïp nhö laøm moät khaûo saùt caùc taùc nhaân kinh teá hay thöïc hieän moät chöông trình ñieàu trò y hoïc thöïc nghieäm. Döïa treân keát quaû cuûa thí nghieäm, moät nhaø phaân tích coù theå ño ñöôïc caùc giaù trò cuûa caùc bieán quan taâm maø chuùng moâ taû ñaëc ñieåm cuûa keát quaû. Caùc bieán nhö vaäy ñöôïc bieát ñeán nhö bieán ngaãu nhieân vaø thöôøng kyù hieäu laø X. Caùc ví duï bao goàm nhieät ñoä taïi moät thôøi ñieåm naøo ñoù, soá cuoäc goïi ñeán qua moät toång ñaøi ñieän thoaïi trong moät khoaûng 5 phuùt, thu nhaäp cuûa moät hoä gia ñình, toàn kho cuûa moät coâng ty, vaø giaù baùn cuûa moät caên nhaø cuõng nhö caùc ñaëc ñieåm cuûa noù, nhö dieän tích sinh hoaït hay kích thöôùc loâ ñaát. Moät bieán ngaãu nhieân laø rôøi raïc neáu Ramu Ramanathan 1 Thuïc Ñoan/Haøo Thi
Chöông trình Giaûng daïy Kinh teá Fulbright Phöông phaùp phaân tích Nhaäp moân kinh teá löôïng vôùi caùc öùng duïng Nieân khoùa 2003-2004 Baøi ñoïc Chöông 2: OÂn laïi xaùc suaát vaø thoáng keâ noù chæ mang caùc giaù trò löïa choïn. Soá ñeøn ñieän töû TV theo loâ 20 vaø soá maët ngöûa trong 10 laàn tung moät ñoàng xu laø caùc ví duï cuûa caùc bieán ngaãu nhieân rôøi raïc. Moät bieán ngaãu nhieân laø lieân tuïc neáu noù coù theå mang baát kyø giaù trò naøo trong moät khoaûng soá thöïc. Khi ñöôïc ño löôøng chính xaùc, chieàu cao cuûa moät ngöôøi, nhieät ñoä taïi moät luùc rieâng bieät naøo ñoù, vaø löôïng naêng löôïng tieâu thuï trong moät giôø laø caùc ví duï cuûa caùc bieán ngaãu nhieân lieân tuïc. Quy öôùc söû duïng trong saùch naøy laø kyù hieäu moät bieán ngaãu nhieân baèng maãu töï hoa (nhö X hay Y) vaø caùc keát quaû cuï theå cuûa noù bôûi maãu töï thöôøng (nhö x hay y). Ñeå giöõ cho söï trình baøy ñöôïc ñôn giaûn, ta minh hoïa caùc khaùi nieäm khaùc nhau söû duïng haàu heát caùc bieán ngaãu nhieân rôøi raïc. Caùc meänh ñeà deã daøng môû roäng tôùi tröôøng hôïp cuûa bieán ngaãu nhieân lieân tuïc. Lieân keát vôùi moãi bieán ngaãu nhieân laø moät phaân phoái xaùc suaát [kyù hieäu bôûi haøm f(x)] noù xaùc ñònh xaùc suaát maø bieán ngaãu nhieân seõ mang caùc giaù trò trong caùc khoaûng xaùc ñònh cuï theå. Ñònh nghóa chính thöùc cuûa moät bieán ngaãu nhieân khoâng ñöôïc trình baøy ôû ñaây nhöng coù theå tìm thaáy trong moïi cuoán saùch lieät keâ trong muïc luïc saùch tham khaûo. Trong cuoán saùch naøy ta chæ thaûo luaän nhöõng phaân phoái coù söû duïng tröïc tieáp trong kinh teá löôïng. Ramanathan (1993) coù nhieàu ví duï cuûa caû caùc phaân phoái lieân tuïc vaø rôøi raïc khoâng ñöôïc trình baøy ôû ñaây. } VÍ DUÏ 2.1 Nhö laø moät minh hoïa, Cuïc Thueá Noäi Boä Myõ coù thoâng tin veà toång thu nhaäp coù hieäu chænh töø taát caû tieàn thu thueá thu nhaäp caù nhaân (keå caû tính traû chung) cho toaøn nöôùc Myõ. Giaû söû ta thieát laäp caùc khoaûng thu nhaäp 1 – 10.000, 10.000 – 20.000, 20.000 – 30.000, v.v vaø tính toaùn tyû leä tieàn thu thueá thuoäc vaøo moãi nhoùm thu nhaäp. Ñieàu naøy taïo ra moät phaân phoái taàn suaát. Tyû leä tieàn thu thuoäc vaøo nhoùm thu nhaäp 40.000 – 50.000 coù theå ñöôïc xem laø xaùc suaát maø moät khoaûn thu thueá ñöôïc ruùt ngaãu nhieân seõ coù thu nhaäp thuoäc vaøo khoaûng ñoù. Trong Hình 2.1 tyû leä cuûa tieàn thu thueá ñöôïc veõ ñoà thò döïa vaøo caùc trung ñieåm cuûa caùc khoaûng döôùi daïng bieåu ñoà thanh (ñöôïc bieát laø bieåu ñoà taàn suaát) trong ñoù dieän tích cuûa caùc hình chöõ nhaät baèng vôùi caùc tyû leä töông öùng. Neáu kích thöôùc maãu laø ñuû lôùn vaø caùc khoaûng ñuû nhoû, ta coù theå laøm gaàn ñuùng caùc taàn suaát vôùi moät ñöôøng cong trôn (nhö trình baøy trong bieåu ñoà), ñoù laø phaân phoái xaùc suaát cuûa thu nhaäp. } VÍ DUÏ 2.2 Ñieåm trung bình (GPA) cuûa moät sinh vieân thay ñoåi töø 0 ñeán 4. Baûng 2.1 coù moät ví duï cuûa phaân phoái xaùc suaát cuûa GPA. Hình 2.2 laø moät söï trình baøy baèng hình veõ cuûa phaân phoái xaùc suaát. Xaùc suaát maø moät sinh vieân ñöôïc choïn ngaãu nhieân coù GPA ôû giöõa 2 vaø 2,5 laø 0,244. Söï dieãn giaûi cuûa caùc con soá khaùc laø töông töï. } Baûng 2.1 Phaân Phoái Xaùc Suaát Cuûa Ñieåm Trung Bình (GPA) Ramu Ramanathan 2 Thuïc Ñoan/Haøo Thi
Chöông trình Giaûng daïy Kinh teá Fulbright Phöông phaùp phaân tích Nhaäp moân kinh teá löôïng vôùi caùc öùng duïng Nieân khoùa 2003-2004 Baøi ñoïc Chöông 2: OÂn laïi xaùc suaát vaø thoáng keâ Khoaûng 0 – 0,5 0,5 – 1,0 1,0 – 1,5 1,5 – 2,0 2,0 – 2,5 2,5 – 3,0 3,0 – 3,5 3,5 – 4,0 x 0,25 0,75 1,25 1,75 2,25 2,75 3,25 3,75 f(x) 0 0,002 0,010 0,049 0,244 0,342 0,255 0,098 } Hình 2.1 Bieåu Ñoà Taàn Suaát Ñoái Vôùi Thu Nhaäp Haøng Naêm Tyû leä tieàn thu thueá Thu nhaäp theo ngaøn 5 15 25 35 45 55 ñoâ la } Hình 2.2 Phaân Phoái Xaùc Suaát Cuûa Ñieåm Trung Bình (GPA) f(x) 0,342 0,300 0,200 0,100 X 0,25 0,75 1,25 1,75 f(x) 2,25 2,75 3,25 3,75 } Hình 2.3 Ñoà Thò Maät Ñoä Chuaån RamuChuaån Ramanathan Hoùa 3 Thuïc Ñoan/Haøo Thi
Chöông trình Giaûng daïy Kinh teá Fulbright Phöông phaùp phaân tích Nhaäp moân kinh teá löôïng vôùi caùc öùng duïng Nieân khoùa 2003-2004 Baøi ñoïc Chöông 2: OÂn laïi xaùc suaát vaø thoáng keâ Ngöôøi söû duïng chöông trình GRELT neân thöû Phaàn Maùy Tính Thöïc Haønh trong Phuï luïc C. Nhöõng ngöôøi khaùc ñöôïc khuyeán khích duøng chöông trình hoài qui cuûa chính hoï ñeå thu ñöôïc phaân phoái taàn suaát cho DATA2-1 vaø DATA2-2 (xem Phuï luïc D). Phaân Phoái Chuaån Phaân phoái lieân tuïc ñöôïc duøng roäng raõi nhaát laø phaân phoái chuaån (coøn ñöôïc bieát laø phaân phoái Gaussian). Daïng ñôn giaûn nhaát cuûa noù, ñöôïc bieát ñeán laø phaân phoái chuaån chuaån hoùa (hoaëc chuaån chuaån hoùa), haøm maät ñoä xaùc suaát (PDF) cuûa phaân phoái naøy laø 1 f(x) = exp(−x 2 / 2) – ∞ < x < ∞ 2π trong ñoù exp laø haøm muõ. Maät ñoä chuaån f(x) laø ñoái xöùng xung quanh toïa ñoâï goác vaø coù hình chuoâng (xem Hình 2.3). P(a ≤ X ≤ b) ñöôïc xaùc ñònh bôûi vuøng toâ maøu giöõa a vaø b. } VÍ DUÏ 2.3 Baûng Phuï luïc A.1 coù dieän tích döôùi ñöôøng cong chuaån chuaån hoùa giöõa 0 vaø ñieåm baát kyø z. Nhö vaäy, laáy ví duï, dieän tích töø 0 ñeán 1,72 laø 0,4573. Bôûi vì ñöôøng cong chuaån laø ñoái xöùng xung quanh toïa ñoä goác, dieän tích töø 0 ñeán –1,72 cuõng baèng 0,4573. Dieän tích töø 0,65 ñeán 1,44 coù ñöôïc laø ñoä cheânh leäch cuûa caùc dieän tích tính töø 0 vaø do ñoù baèng 0,4251 – 0,2422 = 0,1829. Duøng kyõ thuaät naøy vaø tính chaát ñoái xöùng, deã daøng xaùc minh raèng P(– 0,65 ≤ X ≤ 1,44) = 0,2422 + 0,4251 = 0,6673 vaø P(–1,44 ≤ X ≤ –0,65) = 0,1829. Ñeå tính Ramu Ramanathan 4 Thuïc Ñoan/Haøo Thi
Chöông trình Giaûng daïy Kinh teá Fulbright Phöông phaùp phaân tích Nhaäp moân kinh teá löôïng vôùi caùc öùng duïng Nieân khoùa 2003-2004 Baøi ñoïc Chöông 2: OÂn laïi xaùc suaát vaø thoáng keâ P(X > 1,12), ta duøng söï quan heä P(X > 1,12) = P(X> 0) – P(0 15) vôùi p = 0,25. Baûng Phuï Luïc A.6 coù xaùc suaát tích luõy caän treân mong muoán laø 0,0544. Thöû laøm Baøi taäp 2.1 ñeán 2.5 vaø nghieân cöùu caùc ñaùp aùn cho Baøi taäp 2.4 trong Phuï luïc B. Ramu Ramanathan 5 Thuïc Ñoan/Haøo Thi
Chöông trình Giaûng daïy Kinh teá Fulbright Phöông phaùp phaân tích Nhaäp moân kinh teá löôïng vôùi caùc öùng duïng Nieân khoùa 2003-2004 Baøi ñoïc Chöông 2: OÂn laïi xaùc suaát vaø thoáng keâ } 2.2 Kyø Voïng, Trung Bình vaø Phöông Sai Toaùn Hoïc Xeùt thí nghieäm nhò thöùc ñaõ moâ taû tröôùc ñaây trong ñoù moät ñoàng xu ñöôïc tung ba laàn. Giaû söû ta ñöôïc traû 3$ neáu keát quaû laø ba maët ngöûa, 2$ neáu coù hai maët ngöûa, 1$ neáu chæ coù moät ngöûa, vaø khoâng coù gì heát neáu caû ba laàn tung ñeàu cho keát quaû maët saáp. Veà maët trung bình, moãi thí nghieäm tung ba laàn, ta kyø voïng thaéng bao nhieâu? Töø Baûng 2.2 ta löu yù raèng trong 8 laàn thí nghieäm ta coù theå kyø voïng, veà maët trung bình, coù moät laàn coù ba maët ñeàu ngöûa (daãn ñeán ñöôïc traû 3$), ba laàn coù hai maët ngöûa (toång tieàn ñöôïc traû laø 6$, tính 2$ cho moãi laàn), vaø ba laàn vôùi moät maët ngöûa (toång tieàn ñöôïc traû laø 3$). Vaäy ta coù theå kyø voïng toång tieàn ñöôïc traû laø 12$ (3+6+3) trong 8 laàn thöû, thaønh ra tieàn ñöôïc traû trung bình laø 1,5 $ cho moãi laàn thöû. Trung Bình Cuûa Moät Phaân Phoái Giaù trò trung bình ñöôïc tính trong phaàn tröôùc ñöôïc goïi laø trung bình cuûa phaân phoái (cuõng ñöôïc bieát ñeán nhö kyø voïng toaùn hoïc cuûa X vaø giaù trò kyø voïng cuûa X). Noù cuõng ñöôïc bieát ñeán nhö momen baäc nhaát xung quanh giaù trò goác, hay momen ñònh taâm baäc nhaát, vaø laø moät ñaïi löôïng cuûa ñònh vò. Noù ñöôïc kyù hieäu bôûi E(X) hay µ. E(X) laø moät trung bình coù troïng soá cuûa X, vôùi troïng soá laø caùc xaùc suaát töông öùng. Trong tröôøng hôïp toång quaùt, giaû söû moät bieán ngaãu nhieân rôøi raïc coù theå coù caùc giaù trò x1, x2, . . ., xn. P(X = xi) = f(xi) laø haøm xaùc suaát cuûa bieán ñoù. Neáu tieàn ñöôïc traû cho keát quaû X = xi laø xi ñoâ-la, tieàn ñöôïc traû trung bình seõ laø x1f(x1) + x2f(x2) + . . . + xnf(xn) = ∑[xif(xi)], trong ñoù ∑ kyù hieäu cho pheùp laáy toång caùc soá haïng, vôùi i = 1 ñeán n. (Xem Phuï luïc 2.A.1 veà pheùp toång.) Vaäy ta coù ñònh nghóa sau ñaây. ÑÒNH NGHÓA 2.1 (Trung Bình Cuûa Moät Phaân Phoái) Vôùi moät bieán ngaãu nhieân rôøi raïc, trung bình cuûa phaân phoái (µ) ñöôïc ñònh nghóa laø i=n µ = E(X) = ∑[x i f(x i )] (2.1) i=1 Bôûi vì E(X) laø troïng soá theo xaùc suaát, noù coù theå khaùc vôùi trung bình soá hoïc, x= (∑xi)/n. Khoâng coù lyù do vì sao keát quaû ñöôïc moâ taû ôû treân ñöôïc giôùi haïn baèng x. Noù coù theå laø 2 2 baát kyø haøm naøo cuûa x. Giaû söû keát quaû laø x . Keát quaû trung bình seõ laø ∑[xi f(xi)]. Ñieàu naøy ñöôïc goïi laø momen baäc hai cuûa phaân phoái cuûa X xung quanh giaù trò goác. Khaùi nieäm cuûa kyø voïng toaùn hoïc coù theå môû roäng cho baát kyø haøm soá naøo cuûa x. Vaäy, ta coù söï dieãn taû sau ñaây cho giaù trò kyø voïng cuûa moät haøm toång quaùt g(X): E[g(X)] = ∑[g(xi)f(xi)] (2.2) } VÍ DUÏ 2.5 Ramu Ramanathan 6 Thuïc Ñoan/Haøo Thi
Chöông trình Giaûng daïy Kinh teá Fulbright Phöông phaùp phaân tích Nhaäp moân kinh teá löôïng vôùi caùc öùng duïng Nieân khoùa 2003-2004 Baøi ñoïc Chöông 2: OÂn laïi xaùc suaát vaø thoáng keâ Ñieåm Kieåm Tra Khaû Naêng Hoïc Thuaät Veà Töø Vöïng (VSAT) ñoái vôùi moät sinh vieân noäp ñôn xin vaøo ñaïi hoïc coù giaù trò traûi töø 0 ñeán 700. Baûng 2.3 coù moät ví duï cuûa phaân phoái xaùc suaát cuûa ñieåm VSAT cho moät toång theå lôùn caùc sinh vieân ñaïi hoïc. Trung bình cuûa phaân phoái naøy ñöôïc tính laø 100 × 0 + 225 × 0,003 + + 675 × 0,063 = 506,25. } Baûng 2.3 Phaân Phoái Xaùc Suaát Cuûa Ñieåm VSAT Khoaûng x f(x) 0 – 200 100 0 200 – 250 225 0,003 250 – 300 275 0,021 300 – 350 325 0,033 350 – 400 375 0,061 400 – 450 425 0,131 450 – 500 475 0,201 500 – 550 525 0,234 550 – 600 575 0,169 600 – 650 625 0,084 650 – 700 675 0,063 } Baøi Taäp Thöïc Haønh 2.1 Giaû söû coù 10.000 veù soá 1$ ñöôïc baùn vaø coù ba giaûi thöôûng ñöôïc ñöa ra: giaûi nhaát 5.000$, giaûi nhì 2.000$, vaø giaûi ba 500$. Kyø voïng thaéng giaûi laø bao nhieâu? } Baøi Taäp Thöïc Haønh 2.2 Moät thôï baùnh mì coù haøm xaùc suaát nhö sau cho nhu caàu baùnh mì (tính theo taù hay 12 ñôn vò moãi ngaøy). Toàn kho trung bình neân laø bao nhieâu? x 0 1 2 3 4 5 6 hay lôùn hôn f(x) 0,05 0,10 0,25 0,30 0,20 0,10 0 Chuùng ta vieát moät soá keát quaû lieân quan ñeán giaù trò kyø voïng maø khoâng coù chöùng minh. Nhöõng keát quaû naøy ñöôïc kieán nghò neân ñöôïc nghieân cöùu kyõ löôõng bôûi vì chuùng seõ ñöôïc söû duïng thöôøng xuyeân trong caùc chöông sau. (Haõy thöû chöùng minh chuùng.) Tính chaát 2.1 a. E(X – µ) = E(X) – µ = 0. b. Neáu c laø haèng soá hay laø bieán khoâng ngaãu nhieân, E(c) = c. c. Neáu c laø haèng soá hay laø bieán khoâng ngaãu nhieân, E[cg(X)] = cE[g(x)]. Ramu Ramanathan 7 Thuïc Ñoan/Haøo Thi
Chöông trình Giaûng daïy Kinh teá Fulbright Phöông phaùp phaân tích Nhaäp moân kinh teá löôïng vôùi caùc öùng duïng Nieân khoùa 2003-2004 Baøi ñoïc Chöông 2: OÂn laïi xaùc suaát vaø thoáng keâ d. E[u(X) + v(X)] = E[u(X)] + E[v(X)]. Dieãn taû baèng töø ngöõ, giaù trò kyø voïng cuûa ñoä leäch so vôùi trung bình laø 0. Giaù trò kyø voïng cuûa moät haèng soá hay moät bieán khoâng ngaãu nhieân chính baèng noù. Giaù trò kyø voïng cuûa moät haèng soá nhaân vôùi moät bieán ngaãu nhieân baèng haèng soá nhaân vôùi giaù trò kyø voïng. Giaù trò kyø voïng cuûa toång caùc haøm soá cuûa X laø toång caùc kyø voïng. Ñaùp aùn cho Baøi taäp 2.6 trong Phuï luïc B coù chöùng minh veà Tính chaát 2.1 cho tröôøng hôïp rôøi raïc. Phöông Sai vaø Ñoä Leäch Chuaån cuûa Moät Bieán Ngaãu Nhieân Ñaët µ = E(X) laø trung bình cuûa phaân phoái cuûa X. Moät tröôøng hôïp ñaëc bieät cuûa haøm g(X), maø kyø voïng cuûa noù ñöôïc ñònh nghóa trong Phöông trình (2.2), ñöôïc quan taâm ñaùng keå. Cho g(X) = (X – µ)2. X – µ laø moät ñaïi löôïng ñeå xem X leäch bao nhieâu so vôùi trung bình µ. Bình phöông ñaïi löôïng naøy seõ phoùng roäng caùc ñoä leäch vaø xöû lyù caùc ñoä leäch döông vaø aâm nhö nhau. Trung bình coù troïng soá xaùc suaát cuûa caùc ñoä leäch bình phöông naøy (hay, cuï theå hôn, kyø voïng cuûa chuùng) laø moät ño löôøng cuûa söï phaân taùn cuûa caùc giaù trò X xung quanh giaù trò trung bình µ. Noù ñöôïc goïi laø phöông sai cuûa phaân phoái (hay momen ñònh taâm baäc hai) vaø ñöôïc kyù hieäu bôûi σ2 hay Var(X). Noù laø moät ño löôøng cuûa söï phaân taùn cuûa X xung quanh µ. Moät caùch chính thöùc, ta coù ñònh nghóa sau. ÑÒNH NGHÓA 2.2 (Phöông Sai vaø Ñoä Leäch Chuaån) Phöông sai cuûa X ñöôïc ñònh nghóa laø 2 2 2 σ = Var(X) = E[(X – µ) ] = ∑(xi – µ) f(xi) (2.3) Caên baäc hai (σ) cuûa bieåu thöùc naøy ñöôïc goïi laø ñoä leäch chuaån (s.d.). Tính chaát 2.2 lieät keâ vaøi tính chaát cuûa phöông sai ñuùng cho caû phaân phoái lieân tuïc vaø rôøi raïc. Tính chaát 2.2 a. σ2 = E[(X – µ)2] = E[X2 – 2µX + µ2] = E(X2) – 2µE(X) + µ2 = E(X2) – µ2. b. Theo ñoù neáu c laø moät haèng soá hay khoâng ngaãu nhieân, Var(c) = 0. c. Neáu a vaø b laø caùc haèng soá hay khoâng ngaãu nhieân, Var(a + bX) = b2σ2. } VÍ DUÏ 2.6 Haøm xaùc suaát cuûa moät bieán ngaãu nhieân rôøi raïc ñöôïc cho nhö sau: Ramu Ramanathan 8 Thuïc Ñoan/Haøo Thi
Chöông trình Giaûng daïy Kinh teá Fulbright Phöông phaùp phaân tích Nhaäp moân kinh teá löôïng vôùi caùc öùng duïng Nieân khoùa 2003-2004 Baøi ñoïc Chöông 2: OÂn laïi xaùc suaát vaø thoáng keâ x 0 1 2 3 f(x) 0,1 0,3 0,4 0,2 Haõy tính trung bình, phöông sai, vaø ñoä leäch chuaån. µ = E(X) = ∑xif(xi) = (0 × 0,1) + (1 × 0,3) + (2 × 0,4) + (3 × 0,2) = 0 + 0,3 + 0,8 + 0,6 = 1,7 2 2 E(X ) = ∑xi f(xi) = (0 × 0,1) + (1 × 0,3) + (4 × 0,4) + (9 × 0,2) = 0 + 0,3 + 1,6 + 1,8 = 3,7 Var(X) = E(X2) – µ2 = 3,7 – (1,7)2 = 0,81 σ = Var(X) = 0,9 } BAØI TAÄP THÖÏC HAØNH 2.3 Haõy tính trung bình, phöông sai, vaø ñoä leäch chuaån cho caùc phaân phoái trong caùc Baûng 2.1 vaø 2.3. } BAØI TAÄP THÖÏC HAØNH 2.4 Haõy chöùng toû raèng neáu bieán ngaãu nhieân X coù trung bình µ vaø ñoä leäch chuaån σ, bieán ngaãu nhieân bieán ñoåi Z = (X – µ)/σ (thöôøng tham chieáu nhö laø giaù trò z) coù trung bình 0 vaø phöông sai laø 1. Phaân Phoái Chuaån Toång Quaùt Phaân phoái chuaån ñöôïc trình baøy trong Phaàn 2.1 coù trung bình 0 vaø phöông sai ñôn vò. Moät phaân phoái chuaån toång quaùt, vôùi trung bình µ vaø phöông sai σ2, thöôøng ñöôïc vieát laø N(µ, σ2), coù haøm maät ñoä nhö sau: 1  (x − µ)2  f(x) = exp− 2  – ∞ < x < ∞ (2.4) σ 2π  2σ  trong ñoù exp kyù hieäu cuûa haøm muõ. Neáu X laø phaân phoái chuaån, noù ñöôïc vieát laø X ∼ N(µ, σ2). Ba phaân phoái xaùc suaát chuaån ñöôïc trình baøy trong Hình 2.4. Vaøi tính chaát cuûa phaân phoái chuaån ñöôïc lieät keâ trong Tính chaát 2.3. Ramu Ramanathan 9 Thuïc Ñoan/Haøo Thi
Chöông trình Giaûng daïy Kinh teá Fulbright Phöông phaùp phaân tích Nhaäp moân kinh teá löôïng vôùi caùc öùng duïng Nieân khoùa 2003-2004 Baøi ñoïc Chöông 2: OÂn laïi xaùc suaát vaø thoáng keâ Tính chaát 2.3 Phaân phoái chuaån, vôùi trung bình µ vaø phöông sai σ2 [ñöôïc vieát laø N(µ, σ2)], coù caùc tính chaát sau: a. Ñoái xöùng xung quanh giaù trò trung bình µ vaø coù daïng hình chuoâng. b. Dieän tích döôùi ñöôøng cong chuaån giöõa µ – σ vaø µ + σ – nghóa laø trong khoaûng 1 ñoä leäch chuaån tính töø trung bình – hôi lôùn hôn 2/3(0,6826). 95,44 phaàn traêm dieän tích naèm trong khoaûng 2 ñoä leäch chuaån tính töø giaù trò trung bình – nghóa laø, giöõa µ – 2σ vaø µ + 2σ. 99,73 phaàn traêm dieän tích naèm trong khoaûng 3 ñoä leäch chuaån tính töø giaù trò trung bình. Vaäy, gaàn nhö toaøn boä phaân phoái naèm giöõa µ – 3σ vaø µ + 3σ. } Hình 2.4 Ba Phaân Phoái Chuaån f(x) σ = 10 (3) σ = 15 (2) (1) σ = 20 X 10 20 30 c. Neáu X coù phaân phoái chuaån, vôùi trung bình µ vaø ñoä leäch chuaån σ, thì bieán ngaãu nhieân “chuaån hoùa” Z = (X – µ)/σ coù phaân phoái chuaån chuaån hoùa N(0,1). Bôûi tính chaát naøy, dieän tích giöõa hai ñieåm a vaø b trong N(µ, σ2) seõ baèng vôùi dieän tích giöõa caùc ñieåm muùt chuaån hoùa (a – µ)/σ vaø (b – µ)/σ trong N(0, 1). Baûng A.1 coù caùc dieän tích theo chuaån hoùa giöõa trung bình 0 vaø caùc giaù trò khaùc nhau cuûa Z. d. Neáu X ñöôïc phaân phoái theo N(µ, σ2), thì Y = a + bX, trong ñoù a vaø b laø haèng soá coá ñònh, ñöôïc phaân phoái theo N(a + bµ, b2σ2). } VÍ DUÏ 2.7 Ramu Ramanathan 10 Thuïc Ñoan/Haøo Thi
Chöông trình Giaûng daïy Kinh teá Fulbright Phöông phaùp phaân tích Nhaäp moân kinh teá löôïng vôùi caùc öùng duïng Nieân khoùa 2003-2004 Baøi ñoïc Chöông 2: OÂn laïi xaùc suaát vaø thoáng keâ Moät nhaø saûn xuaát loáp xe ñaõ nhaän thaáy raèng tuoåi thoï cuûa moät loaïi loáp naøo ñoù laø moät bieán ngaãu nhieân chuaån vôùi trung bình laø 30.000 daëm vaø ñoä leäch chuaån laø 2.000 daëm. Coâng ty mong muoán ñaûm baûo loáp xe ñoù cho N daëm vôùi vieäc traû laïi toaøn boä tieàn neáu loáp xe khoâng duøng ñöôïc ñeán giôùi haïn ñoù. Giaû söû coâng ty muoán ñaûm baûo raèng xaùc suaát maø moät loáp xe bò traû laïi khoâng quaù 0,10 (nghóa laø khoâng quaù 10 phaàn traêm soá loáp xe seõ ñöôïc baùn). Giaù trò N coâng ty neân choïn laø bao nhieâu? Cho X laø tuoåi thoï cuûa loáp xe. Vaäy X ñöôïc phaân phoái theo N(30.000, 2.0002). Ta  X -µ N − µ  X -µ muoán P(X ≤ N) ≤ 0,10. P(X ≤ N) = P ≤  ≤ 0,10. Cho Z = laø chuaån  σ σ  σ  N − µ  chuaån hoùa. Vaäy P Z ≤ z =  ≤ 0,10. Töø Hình 2.5 ta thaáy raèng ñeå thu ñöôïc dieän tích  σ  cuûa 0,10 phía beân traùi cuûa z, ta caàn tìm ñieåm d (= – z) sao cho dieän tích giöõa 0 vaø d laø 0,40 (do tính chaát ñoái xöùng). Töø Baûng A.1 cuûa phuï luïc, ta löu yù raèng P(0 ≤ Z ≤ d = 1,282) N -µ = 0,40, nghóa laø neáu ≤ – 1,282, thì baát ñaúng thöùc treân seõ thoûa maõn. Vaäy, N ≤ µ – σ 1,282σ = 30.000 – (1,282)2.000; nghóa laø N ≤ 27.436 daëm. } Hình 2.5 Ñoà Thò Maät Ñoä Chuaån Chuaån Hoùa f(Z) 40% 40% 10% 10% Z z = – 1,8280 d = 1,828 Heä Soá Bieán Thieân Ramu Ramanathan 11 Thuïc Ñoan/Haøo Thi
Chöông trình Giaûng daïy Kinh teá Fulbright Phöông phaùp phaân tích Nhaäp moân kinh teá löôïng vôùi caùc öùng duïng Nieân khoùa 2003-2004 Baøi ñoïc Chöông 2: OÂn laïi xaùc suaát vaø thoáng keâ Heä soá bieán thieân ñöôïc ñònh nghóa laø tyû soá σ/µ, trong ñoù töû soá laø ñoä leäch chuaån vaø maãu soá laø trò trung bình. Ñoù laø moät ñaïi löôïng cuûa söï phaân taùn cuûa phaân phoái töông ñoái so vôùi trò trung bình cuûa phaân phoái. Chuùng ta seõ gaëp phaûi khaùi nieäm naøy laàn nöõa trong Chöông 14 khi thöïc hieän moät döï aùn thöïc nghieäm. Ñeå coù thaûo luaän cuûa caùc ño löôøng khaùc ñaëc tröng cho moät phaân phoái, xem Ramanathan (1993, Phaàn 3.5). Phaàn Maùy Tính Thöïc Haønh 2.2 (xem Baûng Phuï luïc D.1) minh hoïa caùc khaùi nieäm naøy cho ngöôøi söû duïng GRELT, duøng döõ lieäu maãu veà ñieåm trung bình cuûa 427 sinh vieân. } 2.3 Caùc Xaùc Suaát Keát Hôïp, Ñoàng Phöông Sai, vaø Töông Quan Caùc haøm xaùc suaát ñöôïc xaùc ñònh vôùi moät caëp bieán ngaãu nhieân naøo ñoù (ví duï nhö bieán PRICE vaø SQFT hay bieán tieâu duøng vaø thu nhaäp) ñöôïc goïi laø phaân phoái xaùc suaát keát hôïp hay phaân phoái hai bieán. Ñeå vieäc trình baøy ñôn giaûn hôn, phaàn thaûo luaän chæ taäp trung vaøo caùc bieán ngaãu nhieân rôøi raïc. Söï khaùi quaùt hoaù ñoái vôùi tröôøng hôïp bieán lieân tuïc coù theå deã daøng suy ra. Goïi X vaø Y laø hai bieán ngaãu nhieân rôøi raïc, x vaø y laø caùc giaù trò töông öùng maø hai bieán treân coù theå ñaït ñöôïc. Xaùc suaát maø X = x vaø Y = y ñöôïc goïi laø haøm xaùc suaát keát hôïp ñoái vôùi X vaø Y vaø ñöôïc bieåu thò thoâng qua haøm fXY(x, y). Vì theá ta coù haøm fXY(x, y) = P(X = x, Y = y), coù nghóa laø P(X = x vaø Y = y). Vì haøm xaùc suaát thöôøng ñöôïc bieåu thò baèng f() neân chuùng ta duøng kyù hieäu XY ñaët ôû beân döôùi ñeå quy ñònh hai bieán ngaãu nhieân keát hôïp ñang quan saùt laø X vaø Y. } VÍ DUÏ 2.8 Haõy xem xeùt cuoäc thí nghieäm thaûy moät caëp suùc saéc. Coù theå coù 36 tröôøng hôïp xaûy ra, ñöôïc bieåu thò theo (1, 1), (1, 2), , (6, 6), trong ñoù chöõ soá ñaàu tieân laø keát quaû cuûa suùc saéc thöù nhaát vaø soá haïng thöù hai bieåu thò keát quaû cuûa suùc saéc thöù hai. Moãi keát quaû ñeàu coù khaû naêng xaûy ra nhö nhau, vaø vì vaäy xaùc suaát xaûy ra cuûa moãi keát quaû cuï theå laø 1/36. Baây giôø, ñaët bieán ngaãu nhieân X = soá laàn xuaát hieän cuûa soá 3 ôû keát quaû thu ñöôïc. Do ñoù, neâu keát quaû laø (1, 5) thì X = 0; neáu laø (3, 6) thì X = 1; vaø X = 2 khi vaø chæ khi keát quaû laø (3, 3). Giaù trò X chæ chæ coù theå laø 0, 1, vaø 2. Keá tieáp, chuùng ta ñònh nghóa bieán ngaãu nhieân Y = soá laàn xuaát hieän cuûa soá 5 xuaát hieän nôi keát quaû cuï theå, giaù trò cuûa Y cuõng chæ coù theå laø 0, 1, vaø 2. Keát quaû (1, 3) seõ töông öùng vôùi X = 1 vaø Y = 0. Deã daøng kieåm chöùng caùc giaù trò xaùc suaát keát hôïp cho trong baûng 2.4. Ví duï, bieán coá keát hôïp (X = 1, Y = 1) coù theå xaûy ra chæ khi coù keát quaû laø (3, 5) hoaëc (5, 3), moãi tröôøng hôïp ñeàu coù xaùc suaát laø 1/36. Vì theá, f(1, 1) = P(X = 1, Y = 1) = 1/36. Caùc giaù trò xaùc suaát khaùc cuõng ñöôïc tính toaùn töông töï (haõy kieåm chöùng caùc keát luaän naøy nhö laø baøi taäp thöïc haønh). Ramu Ramanathan 12 Thuïc Ñoan/Haøo Thi
Chöông trình Giaûng daïy Kinh teá Fulbright Phöông phaùp phaân tích Nhaäp moân kinh teá löôïng vôùi caùc öùng duïng Nieân khoùa 2003-2004 Baøi ñoïc Chöông 2: OÂn laïi xaùc suaát vaø thoáng keâ Söï Ñoäc Laäp Thoáng Keâ Caùc bieán ngaãu nhieân rôøi raïc ñöôïc goïi laø söï ñoäc laäp thoáng keâ neáu P(X = x vaø Y = y) = P(X = x) . P(Y = y). Vì vaäy trong tröôøng hôïp naøy, xaùc suaát keát hôïp laø tích cuûa caùc xaùc suaát rieâng leû. Ñoái vôùi tröôøng hôïp bieán coù daïng lieân tuïc, chuùng ta seõ coù fXY(x, y) = fX(x). fY(y). Xaùc Suaát Coù Ñieàu Kieän Ñeå bieát theâm veà xaùc suaát cuûa nhöõng bieán coá xaûy ra keát hôïp cuûa hai bieán ngaãu nhieân X vaø Y, chuùng ta cuõng caàn neân bieát veà xaùc suaát xaûy ra cuûa bieán ngaãu nhieân cuï theå (Y) naøo ñoù cho tröôùc söï kieän ñaõ xaûy ra cuûa moät bieán (X) ngaãu nhieân khaùc. Ví duï, chuùng ta coù theå muoán bieát xaùc suaát ñeå giaù mua moät caên nhaø laø 200.000 ñoâ la, neáu cho tröôùc dieän tích sinh hoaït phaûi laø 1.500 thöôùc vuoâng Anh. Yeâu caàu naøy seõ daãn chuùng ta ñeán khaùi nieäm xaùc suaát coù ñieàu kieän, ñöôïc ñònh nghóa trong tröôøng hôïp bieán ngaãu nhieân daïng rôøi raïc nhö sau: P(X = x,Y = y) P(Y = y  X = x) = vôùi P(X = x) ≠ 0 P(X = x) Kyù hieäu “” coù nghóa laø cho tröôùc. Haøm maät ñoä xaùc suaát coù ñieàu kieän (cho caû khi bieán ngaãu nhieân laø rôøi raïc vaø lieân tuïc) ñöôïc ñònh nghóa nhö sau: fXY (x,y) fYX(x, y) = vôùi moïi giaù trò cuûa x sao cho fX(x) > 0 fX (x) Trong ñoù fXY(x, y) laø haøm maät ñoä xaùc suaát keát hôïp cuûa X vaø Y vaø fX(x) laø haøm maät ñoä xaùc suaát cuûa rieâng bieán X, thöôøng ñöôïc ñeà caäp ñeán nhö laø haøm maät ñoä caän bieân cuûa bieán X. Löu yù raèng xaùc suaát coù ñieàu kieän phuï thuoäc vaøo caû giaù trò x vaø y. Khi caû hai bieán ngaãu nhieân naøy phuï thuoäc thoáng keâ laãn nhau thì phaân phoái xaùc suaát coù ñieàu kieän trôû thaønh caùc phaân phoái caän bieân töông öùng. Ñeå hieåu ñöôïc ñieàu naøy, haõy löu yù raèng söï ñoäc laäp thoáng keâ ngaàm ñònh fXY(x, y) = fX(x) . fY(y). Ruùt ra töø keát luaän naøy, chuùng ta coù: fYX (yx) = fXY(x, y)/fX(x) = fY(y) vaø fXY (xy) = fXY(x, y)/fY(y) = fX(x) } Baûng 2.4 Phaân phoái xaùc suaát keát hôïp ñoái vôùi soá laàn xuaát hieän caùc con soá 3 (X) vaø soá 5 (Y) khi moät caëp suùc saéc ñöôïc thaûy. Ramu Ramanathan 13 Thuïc Ñoan/Haøo Thi
Chöông trình Giaûng daïy Kinh teá Fulbright Phöông phaùp phaân tích Nhaäp moân kinh teá löôïng vôùi caùc öùng duïng Nieân khoùa 2003-2004 Baøi ñoïc Chöông 2: OÂn laïi xaùc suaát vaø thoáng keâ X 0 1 2 Y 0 16/36 8/36 1/36 1 8/36 2/36 0 2 1/36 0 0 } VÍ DUÏ 2.9 Baûng 2.4 trình baøy caùc giaù trò xaùc suaát keát hôïp cuûa soá laàn xuaát hieän cuûa soá 3 (X) vaø soá 5 (Y) khi moät caëp suùc saéc ñöôïc thaûy. Chuùng ta haõy tính keát quaû thöù nhaát cuûa maät ñoä caän bieân cuûa bieán X vaø Y. Vì X = 0 coù theå xaûy ra khi Y = 0 hoaëc 1 hoaëc 2, P(X = 0) coù theå tính toaùn ñöôïc baèng P(X = 0, Y = 0) + P(X = 0, Y = 1) + P(X = 0, Y = 2) = 16/36 + 8/36 + 1/36 = 25/36. Tính toaùn töông töï, chuùng ta coù P(X = 1) = 10/36 vaø P(X = 2) = 1/36. Löu yù raèng toång cuûa ba giaù trò xaùc suaát treân laø baèng 1, vì ñieàu naøy laø hieån nhieân. Phaân phoái caän bieân cuûa Y cuõng ñöôïc xaùc ñònh theo trình töï tính toaùn töông töï. Baûng 2.5 trình baøy caùc giaù trò caän bieân cuûa X vaø Y ôû caùc haøng vaø coät ngoaøi cuøng töông öùng. Löu yù raèng caùc giaù trò naøy xuaát hieän vôùi caùc quy luaät gioáng nhau. } Baûng 2.5 Phaân Phoái Caän Bieân Ñoái Vôùi Soá Laàn Xuaát Hieän Caùc Con Soá 3 (X) Vaø Soá 5 (Y) Khi Moät Caëp Suùc Saéc Ñöôïc Thaûy. X 0 1 2 fY(y) Y 0 16/36 8/36 1/36 25/36 1 8/36 2/36 0 10/36 2 1/36 0 0 1/36 fX(x) 25/36 10/36 1/36 1 } Baûng 2.6 Phaân Phoái Coù Ñieàu Kieän Ñoái Vôùi Soá Laàn Xuaát Hieän Caùc Con Soá 5 (Y) Cho Tröôùc Soá Laàn Xuaát Hieän Cuûa Caùc Soá 3 (X) Khi Moät Caëp Suùc Saéc Ñöôïc Thaûy. X 0 1 2 Y 0 0,64 0,32 0,04 1 0,80 0,20 0,00 2 1,00 0,00 0,00 Xaùc suaát coù ñieàu kieän ñeå Y = 0 vôùi X = 0 cho tröôùc ñöôïc tính toaùn nhö sau: P(Y = 0X = 0) = P(X = 0, Y = 0)/ P(X = 0) = 16/36 ÷ 25/36 = 0,64 Ramu Ramanathan 14 Thuïc Ñoan/Haøo Thi
Chöông trình Giaûng daïy Kinh teá Fulbright Phöông phaùp phaân tích Nhaäp moân kinh teá löôïng vôùi caùc öùng duïng Nieân khoùa 2003-2004 Baøi ñoïc Chöông 2: OÂn laïi xaùc suaát vaø thoáng keâ Tieán haønh töông töï, chuùng ta seõ coù ñöôïc caùc giaù trò phaân phoái coù ñieàu kieän cuûa bieán Y vôùi X cho tröôùc trình baøy trong baûng 2.6. Giaù Trò Kyø Voïng Toaùn Hoïc Trong Tröôøng Hôïp Hai Bieán Khaùi nieäm kyø voïng toaùn hoïc coù theå môû roäng deã daøng sang tröôøng hôïp caùc bieán ngaãu nhieân goàm hai bieán. Cho tröôùc haøm g(X, Y) vaø haøm xaùc suaát keát hôïp f(x, y), giaù trò kyø voïng cuûa g(X, Y) ñöôïc xaùc ñònh baèng caùch nhaân g(x, y) vôùi f(x, y) vaø coäng toång caùc giaù trò coù theå coù cuûa x vaø y. Chuùng ta coù caùc ñònh nghóa sau ñaây. ÑÒNH NGHÓA 2.3 (GIAÙ TRÒ KYØ VOÏNG) Giaù trò kyø voïng cuûa g(X, Y) ñöôïc xaùc ñònh nhö sau: E[g(X, Y)] = ∑∑g(x,y)f(x,y) xy Trong ñoù pheùp tính toång hai laàn bieåu dieãn pheùp tính toång treân taát caû caùc giaù trò coù theå coù cuûa x vaø y. (Vì vaäy giaù trò kyø voïng seõ baèng toång coù troïng soá vôùi giaù trò xaùc suaát keát hôïp ñöôïc duøng laøm troïng soá). Goïi µx laø giaù trò kyø voïng cuûa bieán ngaãu nhieân X, vaø µy laø giaù trò kyø voïng cuûa bieán ngaãu nhieân Y. Phöông sai cuûa chuùng ñöôïc xaùc ñònh töông töï nhö tröôøng hôïp ñôn bieán: 2 2 2 2 σ x = E[(X − µ x ) ] vaø σ y = E[(Y − µ y ) ] (2.5) } BAØI TAÄP THÖÏC HAØNH 2.5 Töø caùc giaù trò xaùc suaát keát hôïp cho trong baûng 2.4, haõy tính trò trung bình µx = E(X), µy = 2 2 E(Y), vaø phöông sai σ x , σ y . Haõy kieåm chöùng raèng bieán X vaø Y laø khoâng ñoäc laäp thoáng keâ vôùi nhau. Giaù Trò Kyø Voïng Coù Ñieàu Kieän vaø Phöông Sai Coù Ñieàu Kieän Giaù trò kyø voïng cuûa Y vôùi X cho tröôùc ñöôïc goïi laø giaù trò kyø voïng cuûa Y vôùi X cho tröôùc. Moät caùch cuï theå hôn, ñoái vôùi moät caëp bieán ngaãu nhieân rôøi raïc, thì E(YX =x) = ∑ y fYX(x,y). Hay noùi caùch khaùc, ñoù laø giaù trò trung bình cuûa Y söû duïng giaù trò maät ñoä Y=y coù ñieàu kieän cuûa ∑ y fYX(x,y) nhö moät troïng soá. Giaù trò kyø voïng cuûa Y vôùi X cho tröôùc Y=y Ramu Ramanathan 15 Thuïc Ñoan/Haøo Thi
Chöông trình Giaûng daïy Kinh teá Fulbright Phöông phaùp phaân tích Nhaäp moân kinh teá löôïng vôùi caùc öùng duïng Nieân khoùa 2003-2004 Baøi ñoïc Chöông 2: OÂn laïi xaùc suaát vaø thoáng keâ coøn ñöôïc goïi laø giaù trò hoài quy cuûa Y theo X. Töø baûng 2.6, chuùng ta coù theå thaáy raèng E(YX = 0) = (0,64 × 0) + (0,32 × 1) + (0,04 × 2) = 0,32 + 0,08 = 0,4; E(YX = 1) = 0,2; vaø E(YX = 2) = 0. Trong moâ hình hoài quy ñôn giaûn ñöôïc trình baøy trong ví duï 1.1, chuùng ta coù PRICE = α + β SQFT + u. Neáu E(uSQFT) = 0 thì E(PRICESQFT) = α + β SQFT. Vì vaäy, phaàn xaùc ñònh cuûa moâ hình laø giaù trò kyø voïng coù ñieàu kieän cuûa bieán PRICE vôùi SQFT cho tröôùc, khi E(uSQFT) = 0. Khaùi nieäm giaù trò kyø voïng coù ñieàu kieän ñaõ trình ôû treân coù theå môû roäng deã daøng ñeå tính toaùn phöông sai coù ñieàu kieän, ñöôïc xaùc ñònh nhö sau. Goïi µ*(X) laø giaù trò kyø voïng coù ñieàu kieän cuûa Y cho tröôùc X, ñöôïc kyù hieäu laø E(YX). Phöông sai coù ñieàu kieän cuûa Y 2 vôùi X cho tröôùc ñöôïc ñònh nghóa nhö sau Var(YX) = EYX [(Y – µ* ) | X ]. Noùi caùch khaùc, coá ñònh giaù trò cuûa bieán X vaø tính toaùn giaù trò trung bình coù ñieàu kieän cuûa Y vôùi X cho tröôùc, vaø sau ñoù tính toaùn phöông sai xung quanh giaù trò trung bình naøy vôùi troïng soá laø maät ñoä coù ñieàu kieän fYX(x,y). Moät soá tính chaát cuûa giaù trò kyø voïng coù ñieàu kieän söû duïng trong moân hoïc kinh teá löôïng ñöôïc toùm taét sau ñaây. Ñeå hieåu roõ theâm veà phaàn chöùng minh, xin tham khaûo taùc giaû Ramanathan (1993, phaàn 5.2). Tính chaát 2.4 Ñoái vôùi moïi haøm u(x) thì ta luoân coù E[u(x)X] = u(x). Tính chaát naøy ngaàm ñònh raèng khi tieán ñeán giaù trò kyø voïng coù ñieàu kieän cho tröôùc X thì haøm u(X) tieán ñeán giaù trò haèng soá. Do ñoù, moät tröôøng hôïp ñaëc bieät ñöôïc suy ra laø neáu c laø haèng soá thì E(cX) = c. Tính chaát 2.5 E([a(x) + b(X)Y]X) = a(X) + b(X) E(YX) Tính chaát 2.6 EXY(Y) = EX [EYX (YX)]. Tính chaát naøy coù nghóa laø giaù trò kyø voïng khoâng ñieàu kieän cuûa Y, söû duïng maät ñoä chung giöõa X vaø Y, coù theå tính toaùn ñöôïc baèng caùch tính tröôùc tieân giaù trò kyø voïng coù ñieàu kieän cuûa Y vôùi X cho tröôùc (laø bieåu thöùc trong daáu ngoaëc vuoâng), sau ñoù tính giaù trò kyø voïng cuûa chuùng theo X. Tính chaát naøy ñöôïc goïi laø luaät cuûa caùc giaù trò kyø voïng laëp (law of iterated expectations). Tính chaát 2.7 Var(Y) = EX[Var(YX)] + VarX[E(YX)]. Noùi caùch khaùc, giaù trò phöông sai cuûa Y söû duïng haøm maät ñoä keát hôïp fXY(x, y) tính toaùn ñöôïc seõ töông ñöông vôùi giaù trò kyø voïng cuûa phöông sai coù ñieàu kieän cuûa bieán Y coäng vôùi phöông sai cuûa giaù trò kyø voïng coù ñieàu kieän cuûa bieán Y vôùi X cho tröôùc. Ñoàng phöông sai vaø töông quan Khi gaëp phaûi hai bieán ngaãu nhieân, moät trong nhöõng vaán ñeà thöôøng thu huùt söï quan taâm laø moái quan heä giöõa hai bieán naøy nhö theá naøo? Khaùi nieäm ñoàng phöông sai vaø töông quan laø hai caùch ñeå ño löôøng möùc ñoä quan heä “chaët” giöõa hai bieán ngaãu nhieân ñoù. Ramu Ramanathan 16 Thuïc Ñoan/Haøo Thi
Chöông trình Giaûng daïy Kinh teá Fulbright Phöông phaùp phaân tích Nhaäp moân kinh teá löôïng vôùi caùc öùng duïng Nieân khoùa 2003-2004 Baøi ñoïc Chöông 2: OÂn laïi xaùc suaát vaø thoáng keâ Haõy xem xeùt haøm g(X, Y) = (X – µX)(Y – µY). Giaù trò kyø voïng cuûa haøm soá naøy ñöôïc goïi laø ñoàng phöông sai giöõa X vaø Y vaø ñöôïc kyù hieäu laø σXY hay Cov(X, Y). ÑÒNH NGHÓA 2.4 (ÑOÀNG PHÖÔNG SAI) Giaù trò ñoàng phöông sai giöõa X vaø Y ñöôïc xaùc ñònh nhö sau σxy = Cov(X, Y) = E[(X – µx)(Y – µy)] = E[XY – Xµy – µxY + µxµy] (2.6) = E(XY) – µyE(X) – µxE(Y) + µxµy = E(XY) – µxµy Deã daøng suy ra töø keát luaän treân raèng Cov(X,X) = Var(X) Caùc ñònh nghóa veà phöông sai vaø ñoàng phöông sai ñeàu ñuùng trong caû hai tröôøng hôïp phaân phoái coù daïng rôøi raïc vaø lieân tuïc. Vì phöông sai chæ laø moät ñaïi löôïng ño löôøng möùc ñoä phaân taùn cuûa bieán ngaãu nhieân xung quanh giaù trò trung bình, neân ñoàng phöông sai giöõa hai bieán ngaãu nhieân seõ laø ñaïi löôïng ño löôøng möùc ñoä lieân keát chung giöõa chuùng. Giaû söû raèng hai bieán ngaãu nhieân rôøi raïc X vaø Y quan heä ñoàng höôùng vôùi nhau, vaø do ñoù khi giaù trò Y taêng thì giaù trò X cuõng taêng theo nhö bieåu dieãn treân hình 2.6. Caùc voøng troøn nhoû bieåu thò caùc caëp giaù trò cuûa X vaø Y töông öùng vôùi caùc keát quaû khaû dó giôùi haïn. Ñöôøng gaïch chaám bieåu dieãn giaù trò trung bình µx vaø µy. Baèng caùch chuyeån truïc toaï ñoä ñeán ñöôøng gaïch chaám naøy vôùi goác toaï ñoä laø (µx, µy), chuùng ta coù theå thaáy raèng Xi – µx vaø Yi – µy laø ñoä daøi tính töø goác toaï ñoä môùi, ñoái vôùi moät keát quaû naøo ñoù ñöôïc kyù hieäu baèng haäu toá i . Töø hình veõ, coù theå chöùng minh raèng caùc ñieåm naèm trong phaàn tö thöù nhaát vaø thöù ba seõ laøm cho tích (Xi – µx)(Yi – µy) luoân coù giaù trò döông, vì töøng soá haïng trong bieåu thöùc seõ cuøng döông hoaëc cuøng aâm. Khi chuùng ta tính toaùn ñaïi löôïng ñoàng phöông sai laø toång coù troïng soá caùc tích bieåu thöùc treân, keát quaû cuoái cuøng coù khuynh höôùng nhaän giaù trò döông vì coù nhieàu soá haïng döông hôn caùc soá haïng aâm. Vì vaäy, giaù trò ñoàng phöông sai coù khuynh höôùng daáu döông. Trong tröôøng hôïp caû hai bieán X vaø Y di chuyeån theo höôùng ngöôïc laïi, giaù trò Cov(X, Y) seõ coù daáu aâm. Maëc duø ñaïi löôïng ñoàng phöông sai raát coù ích trong vieäc xaùc ñònh tính chaát cuûa moái lieân keát giöõa X vaø Y nhöng noù toàn taïi moät vaán ñeà khaù nghieâm troïng laø caùc giaù trò tính baèng soá raát nhaïy ñoái vôùi giaù trò ñôn vò duøng ñeå ño bieán X vaø Y. Neáu X laø moät loaïi bieán taøi chính tính baèng ñoâ-la hôn laø tính baèng ñôn vò ngaøn ñoâ-la, ñaïi löôïng ñoàng phöông sai seõ doác ñöùng do aûnh höôûng cuûa heä soá 1.000. Ñeå traùnh vaán ñeà naøy, ngöôøi ta seõ söû duïng ñaïi löôïng ñoàng phöông sai “ñöôïc chuaån hoùa”. Ñaïi löôïng naøy coøn ñöôïc goïi laø heä soá töông quan giöõa bieán X vaø Y vaø ñöôïc kyù hieäu laø ρxy. ÑÒNH NGHÓA 2.5 (HEÄ SOÁ TÖÔNG QUAN) Ramu Ramanathan 17 Thuïc Ñoan/Haøo Thi
Chöông trình Giaûng daïy Kinh teá Fulbright Phöông phaùp phaân tích Nhaäp moân kinh teá löôïng vôùi caùc öùng duïng Nieân khoùa 2003-2004 Baøi ñoïc Chöông 2: OÂn laïi xaùc suaát vaø thoáng keâ Heä soá töông quan giöõa bieán X vaø Y ñöôïc ñònh nghóa nhö sau: σ xy Cov(X,Y) ρxy = = 1/ 2 (2.7) σ x σ y [Var(X)Var(Y)] Neáu bieán X vaø Y coù quan heä döông thì heä soá töông quan seõ coù daáu döông. Neáu bieán X vaø y coù quan heä aâm thì chuùng seõ di chuyeån theo höôùng ngöôïc laïi. Trong tröôøng hôïp naøy, giaù trò ñoàng phöông sai vaø heä soá töông quan ñeàu coù daáu aâm. Heä soá töông quan hoaøn toaøn coù theå baèng zero. Trong tröôøng hôïp naøy, chuùng ta coù theå keát luaän raèng bieán x vaø y 2 khoâng coù töông quan. Ngöôøi ta coù theå vieát raèng ρ xy ≤ 1 hay töông ñöông vôùi ρxy ≤ 1. Giaù trò ρxyseõ baèng 1 khi vaø chæ khi coù moät moái quan heä tuyeán tính chính xaùc giöõa X vaø Y theo bieåu thöùc Y – µy = β( X – µx). Neáu ρxy = 1 thì quan heä giöõa X vaø Y ñöôïc goïi laø töông quan hoaøn haûo. Neâu löu yù raèng moái töông quan hoaøn haûo chæ xaûy ra khi giöõa X vaø Y coù moái quan heä tuyeán tính moät caùch chính xaùc. Ví duï, Y coù theå xuaát hieän trong bieåu thöùc daïng Y = X2, roõ raøng laø coù bieåu hieän moái quan heä nhöng heä soá töông quan giöõa X vaø Y seõ khoâng theå baèng 1. Vì vaäy, heä soá töông quan seõ ño löôøng phaïm vi cuûa moái lieân keát tuyeán tính giöõa hai bieán. Neáu bieán X vaø Y laø hai bieán ñoäc laäp thì fXY(x, y) = fX(x) . fY(y), coù nghóa laø xaùc suaát keát hôïp chính laø tích cuûa caùc xaùc suaát rieâng leû. Trong tröôøng hôïp naøy, neân löu yù töø ñònh nghóa cuûa σxy, chuùng ta coù σ xy = ∑∑(x − µ x )(y − µ y )fx (x)fy (y) xy Vì bieán x vaø y baây giôø coù theå taùch rôøi nhau neân chuùng ta coù    σ xy = ∑(x − µ x )fx (x)∑(y − µ y )fy (y)  x  y  = E(X − µ x )E(Y − µ y ) Nhöng do E(X – µx) = E(X) – µx = 0 (xin xem tính chaát 2.1a), neân σxy = 0 vaø ρxy = 0 neáu hai bieán ngaãu nhieân naøy laø ñoäc laäp. Hay noùi caùch khaùc, neáu bieán X vaø Y laø hai bieán ñoäc laäp thì chuùng seõ khoâng töông quan nhau. Keát luaän ngöôïc laïi coù theå khoâng coøn chính xaùc (nghóa laø moái töông quan zero seõ khoâng ngaàm ñònh tính chaát ñoäc laäp), vaø coù theå kieåm chöùng thoâng qua caùc ví duï sau. Ñaët fXY(x, y) töông töï nhö trong baûng 2.7. Ramu Ramanathan 18 Thuïc Ñoan/Haøo Thi
Chöông trình Giaûng daïy Kinh teá Fulbright Phöông phaùp phaân tích Nhaäp moân kinh teá löôïng vôùi caùc öùng duïng Nieân khoùa 2003-2004 Baøi ñoïc Chöông 2: OÂn laïi xaùc suaát vaø thoáng keâ Cov(X, Y) = E(XY) – E(X) E(Y) E(X) = (1 × 0,4) + (2 × 0,2) + (3 × 0,4) = 2 E(Y) = (6 × 0,4) + (8 × 0,2) + (10 × 0,4) = 8 E(XY) = (6 × 1 × 0,2) + (6 × 3 × 0,2) + (8 × 2 × 0,2) + (10 × 1 × 0,2) + (10 × 3 × 0,2) = 16 Vì vaäy, Cov(X, Y) = 0. Nhöng bieán X vaø Y laø khoâng ñoäc laäp vì P(X = 2, Y = 6) = 0, P(X = 2) = 0,2, vaø P(Y = 6) = 0,4. Do ñoù, xaùc suaát keát hôïp seõ khoâng theå baèng tích cuûa caùc xaùc suaát rieâng leû. } BAØI TAÄP THÖÏC HAØNH 2.6 Söû duïng caùc bieán X vaø Y vôùi xaùc suaát keát hôïp cho trong baûng 2.4, haõy tính giaù trò Cov(X, Y) vaø ρxy (löu yù raèng baïn ñaõ tính giaù trò trung bình vaø phöông sai trong baøi taäp 2.5) + } BAØI TAÄP THÖÏC HAØNH 2.7 Giaû söû bieán ngaãu nhieân X chæ coù theå nhaän caùc giaù trò 1, 2, 3, 4, vaø 5, moãi giaù trò öùng vôùi xaùc suaát baèng nhau vaø baèng 0,2. Cho Y = X2. Haõy tính heä soá töông quan giöõa X vaø Y vaø chöùng minh raèng heä soá naøy khoâng baèng 1, cho duø giöõa bieán X vaø Y coù moái quan heä chính xaùc. } Baûng 2.7 Ví Duï Cho Thaáy Ñoàng Phöông Sai Baèng Khoâng Khoâng Nhaát Thieát Phaûi Laø Ñoäc Laäp Y 6 8 10 FX(x) X 1 0,2 0 0,2 0,4 2 0 0,2 0 0,2 3 0,2 0 0,2 0,4 FY(y) 0,4 0,2 0,4 1 Tính chaát 2.8 lieät keâ moät soá tính chaát lieân quan ñeán hai bieán ngaãu nhieân. Tính chaát 2.8 a. Neáu a vaø b laø haèng soá thì Var(aX + bY) = a2Var(X) + b2Var(Y) + 2abCov(X,Y). Moät tröôøng hôïp ñaëc bieät cuûa tính chaát naøy laø Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X, Y). Töông töï, Var(X – Y) = Var(X) + Var(Y) – 2Cov(X, Y). b. Heä soá töông quan ρxy naèm trong khoaûng – 1 ñeán + 1. Ramu Ramanathan 19 Thuïc Ñoan/Haøo Thi
Chöông trình Giaûng daïy Kinh teá Fulbright Phöông phaùp phaân tích Nhaäp moân kinh teá löôïng vôùi caùc öùng duïng Nieân khoùa 2003-2004 Baøi ñoïc Chöông 2: OÂn laïi xaùc suaát vaø thoáng keâ c. Neáu X vaø Y laø hai bieán ñoäc laäp thì σxy = Cov(X, Y) = 0; coù nghóa laø, X vaø Y khoâng töông quan nhau. Trong tröôøng hôïp naøy, keát hôïp (a) vaø heä quaû ruùt ra töø tính chaát naøy, ta coù Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) vaø Var(X – Y) = Var(X) + Var(Y). d. Giaù trò ρxy seõ baèng 1 khi vaø chæ khi toàn taïi moái quan heä tuyeán tính chính xaùc giöõa X vaø Y theo bieåu thöùc Y – µy = β( X – µx). e. Giaù trò töông quan giöõa bieán X vaø chính noù baèng 1. f. Neáu U = a0 + a1X, V = b0 + b1Y, vaø a1b1 > 0 thì ρuv = ρxy; nghóa laø heä soá töông quan seõ thay ñoåi trong tröôøng hôïp ñôn vò ño ñöôïc ñieàu chænh theo tyû leä. Neáu a1b1 < 0 thì ρuv = – ρxy. Tuy nhieân, neáu U = a0 + a1X + a2Y, V = b0 + b1X + b2Y thì ρuv ≠ ρxy. Ñieàu naøy coù nghóa laø giaù trò töông quan khoâng thay ñoåi trong tröôøng hôïp coù söï bieán ñoåi tuyeán tính toång quaùt (ai vaø bi ñöôïc giaû thieát coù giaù trò khaùc zero). g. Neáu giaù trò a1, a2, b1 vaø b2 laø coá ñònh thì Cov(a1X + a2Y, b1X + b2Y) = a1b1Var(X) + (a1b2 + a2b1)Cov(X, Y) + a2b2Var(Y). Phaân Phoái Nhieàu Bieán * Trong phaàn naøy, caùc khaùi nieäm vöøa trình baøy ôû treân seõ ñöôïc môû roäng cho tröôøng hôïp coù nhieàu hôn hai bieán ngaãu nhieân. Goïi x1, x2, , xn töông öùng vôùi n soá bieán ngaãu nhieân. Vaø haøm maät ñoä xaùc suaát keát hôïp cuûa chuùng laø fX(x1, x2, , xn). Töông töï nhö tröôùc ñaây, chuùng laø ñoäc laäp neáu haøm maät ñoä xaùc suaát PDF chung laø tích cuûa moãi PDF rieâng leû. Vì vaäy, chuùng ta coù fX(x1, x2, , xn) = fX1(x1) . fX2(x2) . . . fXn(xn) Trong tröôøng hôïp ñaëc bieät khi moãi giaù trò x ñöôïc phaân phoái gioáng nhau vaø ñoäc laäp laãn nhau (ñöôïc kyù hieäu laø iid – independently and idetically distributed), chuùng ta coù fX(x1, x2, , xn) = fX (x1) . fX (x2) . . . fX (xn) Trong ñoù fX(x) laø haøm phaân phoái chung cuûa moãi giaù trò x. Moät soá keát quaû ñaùng quan taâm veà phaân phoái ña bieán ñöôïc trình baøy trong tính chaát 2.9. Tính chaát 2.9 a. Neáu a1, a2, , an laø haèng soá hoaëc khoâng ngaãu nhieân thì E[a1x1 + a2x2 + . . . + anxn] = a1E(x1) + a2E(x2) + . . . + anE(xn). Vì vaäy, giaù trò kyø voïng cuûa moät toå hôïp tuyeán tính caùc soá haïng baèng toå hôïp tuyeán tính cuûa moãi giaù trò kyø voïng rieâng leû. Trong kyù hieäu pheùp laáy toång, ta coù E[Σ(aixi)] = ΣE(aixi) = ΣaiE(xi). b. Neáu moãi xi ñeàu coù giaù trò trung bình baèng nhau thì E(xi) = µ, chuùng ta coù E(Σai xi) = µΣai. Ñaëc bieät, neáu taát caû heä soá ai ñeàu baèng nhau vaø baèng 1/n thì chuùng ta seõ coù Ramu Ramanathan 20 Thuïc Ñoan/Haøo Thi
Chöông trình Giaûng daïy Kinh teá Fulbright Phöông phaùp phaân tích Nhaäp moân kinh teá löôïng vôùi caùc öùng duïng Nieân khoùa 2003-2004 Baøi ñoïc Chöông 2: OÂn laïi xaùc suaát vaø thoáng keâ E(Σxi/n) = E( x ) = µ. Vì vaäy, giaù trò kyø voïng cuûa giaù trò trung bình cuûa caùc bieán ngaãu nhieân coù phaân phoái gioáng nhau seõ baèng giaù trò trung bình chung cuûa chuùng. 2 c. Var[Σ(aixi)] = Σi a i Var(xi) + ∑∑a ia j Cov(xi, xj), trong ñoù caùc heä soá ai ñöôïc giaû i≠ j thieát laø haèng soá hoaëc khoâng ngaãu nhieân. d. Neáu taát caû caùc bieán x1, x2, . . ., xn ñeàu ñoäc laäp thì moãi caëp töông quan (ρij) vaø ñoàng phöông sai seõ baèng zero hay Cov(xi, xj) = 0 = ρij vôùi moïi i ≠ j. e. Töø (c) vaø (d) ta coù theå ruùt ra keát luaän raèng khi bieán x ñoäc laäp thì Var[Σ(aixi)] = 2 Σa i Var(xi), vì soá haïng ñoàng phöông sai seõ khoâng toàn taïi nöõa. Do ñoù, phöông sai cuûa toång caùc bieán ngaãu nhieân ñoäc laäp seõ baèng toång caùc phöông sai. Ñaëc bieät, neáu taát 2 caû caùc giaù trò phöông sai ñeàu baèng nhau, nghóa laø Var(xi) = σ vôùi moãi i, thì 2 2 Var[Σ(aixi)] = σ Σa i . f. Neáu taát caû caùc x1, x2, . . ., xn ñeàu laø bieán ngaãu nhieân ñoäc laäp nghóa laø taäp bieán xi coù 2 phaân phoái chuaån vôùi giaù trò trung bình µi vaø phöông sai σ i hay ñöôïc theå hieän baèng 2 kyù hieäu xi ∼ N(µi, σ i ) thì toå hôïp tuyeán tính cuûa taäp bieán x cho tröôùc coù daïng a1 x1 + a2 x2 + . . . + an xn cuõng seõ coù daïng phaân phoái chuaån vôùi giaù trò trung bình laø a1 µ1 + 2 2 2 2 2 2 a2 µ2 + . . . + an µn vaø giaù trò phöông sai laø a1 σ1 + a 2σ2 + . . . + a n σ n . Trong kyù hieäu 2 2 pheùp laáy toång, chuùng ta coù theå vieát nhö sau U = Σ( ai xi) ∼ N[(Σai µi), (Σa i σ i )]. g. Neáu taát caû caùc x1, x2, . . ., xn ñeàu ñoäc laäp vaø coù phaân phoái gioáng nhau (iid) tuaân theo 2 phaân phoái chuaån N(µ, σ ) thì giaù trò trung bình cuûa chuùng laø x = (1/n)Σxi seõ coù daïng phaân phoái chuaån vôùi giaù trò trung bình baèng µ vaø phöông sai baèng σ2/n, nghóa laø x ∼ N(µ, σ2/n). Töông töï, chuùng ta coù z = n(x − µ) / σ ∼ N(0, 1). } 2.4 Laáy Maãu Ngaãu Nhieân vaø Caùc Phaân Phoái Laáy Maãu Moät kieåm ñònh baèng thoáng keâ coù theå phaùt sinh theâm ngoaøi nhu caàu giaûi quyeát moät baøi toaùn cuï theå naøo ñoù. Noù coù theå laø moät söï coá gaéng nhaèm giaûi thích moät caùch hôïp lyù haønh vi trong quaù khöù cuûa moät taùc nhaân naøo ñoù hay döï baùo caùc haønh vi trong töông lai cuûa chuùng. Trong vieäc ñònh daïng vaán ñeà, ñieàu quan troïng laø phaûi xaùc ñònh ñöôïc moät khoâng gian thoáng keâ hôïp lyù, hay toång theå maø bao goàm toång taát caû caùc phaàn töû coù lieân quan ñeán thoâng tin yeâu caàu. Thuaät ngöõ toång theå ñöôïc duøng theo moät nghóa toång quaùt vaø khoâng chæ giôùi haïn khi ñeà caäp ñeán caùc sinh vaät maø thoâi. Taát caû caùc haït gioáng trong thuøng löu tröõ, moïi coâng ty trong thaønh phoá, vaø taát caû caùc boàn söõa ñöôïc saûn xuaát bôûi traïi boø söõa cuõng ñöôïc goïi laø toång theå. Moät nhaø phaân tích seõ quan taâm nhieàu ñeán nhöõng keát luaän ruùt ra veà nhöõng tính chaát cuûa toång theå. Ñieàu hieån nhieân laø chi phí seõ raát cao neáu nghieân cöùu töøng phaàn töû cuûa taäp chính ñeå ñöa ra caùc keát luaän. Do ñoù maø nhaø phaân tích seõ choïn ra moät maãu goàm moät soá phaàn töû, tieán haønh quan saùt chuùng, vaø söû duïng nhöõng quan saùt naøy ñeå ruùt caùc keát luaän veà ñaëc ñieåm cuûa toång theå maø maãu phaàn töû laøm ñaïi dieän. Quaù trình naøy ñöôïc goïi laø laáy maãu. Ramu Ramanathan 21 Thuïc Ñoan/Haøo Thi
Chöông trình Giaûng daïy Kinh teá Fulbright Phöông phaùp phaân tích Nhaäp moân kinh teá löôïng vôùi caùc öùng duïng Nieân khoùa 2003-2004 Baøi ñoïc Chöông 2: OÂn laïi xaùc suaát vaø thoáng keâ Coù theå coù raát nhieàu caùch laáy maãu: laáy maãu ngaãu nhieân, laáy maãu phaùn ñoaùn, laáy maãu choïn loïc, laáy maãu coù hoaëc khoâng coù hoaøn traû phaàn töû trôû laïi toång theå, laáy maãu phaân taàng, v.v. Trong taøi lieäu naøy, chuùng toâi chæ ñeà caäp ñeán laáy maãu ngaãu nhieân, laø caùch laáy maãu thöôøng duøng nhaát. ÑÒNH NGHÓA 2.6 (Laáy maãu ngaãu nhieân) Moät maãu ngaãu nhieân ñôn giaûn cuûa n yeáu toá laø moät maãu coù tính chaát raèng moïi toå hôïp cuûa n yeáu toá ñeàu coù moät cô hoäi laø maãu ñöôïc choïn baèng nhau. Moät maãu ngaãu nhieân cuûa caùc quan saùt ñoái vôùi moät bieán ngaãu nhieân X laø moät taäp hôïp cuûa caùc bieán ngaãu nhieân ñoäc laäp, ñöôïc phaân phoái gioáng nhau (iid) X1, X2, . . . , Xn, moãi bieán coù cuøng phaân phoái xaùc suaát nhö phaân phoái cuûa X. Caùc Phaân Phoái Maãu Moät haøm cuûa caùc giaù trò quan saùt cuûa caùc bieán ngaãu nhieân khoâng chöùa baát kyø thoâng soá chöa bieát naøo ñöôïc goïi laø moät trò thoáng keâ maãu. Hai trò thoáng keâ maãu ñöôïc söû duïng moät _ caùch thöôøng xuyeân nhaát laø trung bình maãu (kyù hieäu laø x) vaø phöông sai maãu (kyù hieäu laø s2): _ 1 Trung bình maãu: x = (x + x + . . . + x )/n = x (2.8) 1 2 n n∑ I 1 _ 1 _ Phöông sai maãu: s2 = (x – x)2 + (x – x)2 (2.9) (n − 1) 1 (n − 1) 2 1 _ + . . . + (x – x)2 (n − 1) n 1 _ = x - x)2 (n − 1) ∑ ( i Lyù do phaûi chia cho n – 1 chöù khoâng phaûi laø n ñöôïc giaûi thích trong Phaàn 2.7. Caên baäc hai cuûa phöông sai maãu (s) ñöôïc goïi laø ñoä leäch chuaån maãu hay sai soá chuaån. Söï khaùc bieät giöõa moät trò thoáng keâ maãu vaø moät thoâng soá toång theå phaûi ñöôïc hieåu moät caùch roõ raøng. Giaû söû bieán ngaãu nhieân X coù giaù trò kyø voïng µ vaø phöông sai σ2. Ñaây laø nhöõng thoâng soá toång theå coù giaù trò coá ñònh vaø khoâng ngaãu nhieân. Tuy nhieân ngöôïc laïi trung bình _ maãu x vaø phöông sai maãu s2 laø caùc bieán ngaãu nhieân. Ñieàu naøy laø do nhöõng thöû nghieäm khaùc nhau cuûa moät thí nghieäm cho caùc giaù trò trung bình maãu vaø phöông sai khaùc nhau. Bôûi vì caùc trò thoáng keâ naøy laø caùc bieán ngaãu nhieân, noù coù yù nghóa khi noùi veà caùc phaân phoái cuûa chuùng. Neáu chuùng ta ruùt ra moät maãu ngaãu nhieân coù côõ maãu laø n vaø tính trung _ bình maãu x, chuùng ta thu ñöôïc moät giaù trò nhaát ñònh. Laëp laïi thí nghieäm naøy nhieàu laàn, moãi laàn ruùt ra moät maãu ngaãu nhieân coù cuøng côõ maãu n. Chuùng ta seõ coù ñöôïc nhieàu giaù trò cuûa trung bình maãu. Chuùng ta khi ñoù coù theå tính tyû soá nhöõng laàn maø caùc giaù trò trung bình Ramu Ramanathan 22 Thuïc Ñoan/Haøo Thi
Chöông trình Giaûng daïy Kinh teá Fulbright Phöông phaùp phaân tích Nhaäp moân kinh teá löôïng vôùi caùc öùng duïng Nieân khoùa 2003-2004 Baøi ñoïc Chöông 2: OÂn laïi xaùc suaát vaø thoáng keâ naøy rôi vaøo moät khoaûng xaùc ñònh. Tyû soá naøy cho chuùng ta xaùc suaát maø taïi ñoù trung bình maãu seõ naèm trong khoaûng xaùc ñònh ñoù (xem khaùi nieäm taàn suaát trong xaùc suaát ñaõ ñöôïc giôùi thieäu trong Phaàn 2.1 vaø trong Ví duï 2.1). Baèng caùch thay ñoåi khoaûng naøy, chuùng ta coù theå ñaït ñöôïc toaøn boä khoaûng xaùc suaát, töø ñoù phaùt ra moät phaân phoái xaùc suaát. Phaân phoái naøy ñöôïc goïi laø phaân phoái cuûa trung bình maãu. Vôùi moät caùch töông töï, chuùng ta coù theå tính phöông sai maãu cho moãi laàn laëp laïi thöû nghieäm ñoù vaø söû duïng caùc giaù trò khaùc nhau coù ñöôïc töø caùch naøy ñeå ñaït ñöôïc phaân phoái cuûa phöông sai maãu. Bôûi vì trung bình vaø phöông sai maãu naøy laø daønh cho moät maãu coù kích côõ xaùc ñònh laø n, chuùng ta seõ kyø voïng caùc phaân phoái maãu phuï thuoäc vaøo n cuõng nhö vaøo nhöõng thoâng soá cuûa phaân phoái toång theå maø maãu ñaõ ñöôïc ruùt ra töø ñoù. Laáy Maãu töø moät Phaân phoái Chuaån Caùc phaân phoái maãu cuûa trung bình vaø phöông sai maãu laø moái quan taâm ñaùng keå trong kinh teá löôïng vaø thoáng keâ, ñaëc bieät laø khi toång theå maø caùc quan saùt ñöôïc ruùt ra töø ñoù coù phaân phoái chuaån. Cho X laø moät bieán ngaãu nhieân coù phaân phoái chuaån vôùi trung bình µ vaø phöông sai σ2. Vì vaäy, X ∼ N(µ,σ2). Haõy ruùt ra moät maãu ngaãu nhieân coù côõ n töø toång theå, _ ño löôøng bieán ngaãu nhieân, vaø thu ñöôïc caùc quan saùt x1, x2, . . . , xn. Phaân phoái maãu cuûa x vaø s2? Chuùng ta löu yù raèng trung bình maãu laø moät söï keát hôïp tuyeán tính cuûa n bieán ngaãu nhieân. töø Tính chaát 2.9g, chuùng ta thaáy raèng söï keát hôïp tuyeán tính naøy cuõng coù moät phaân _ _ phoái chuaån. Cuï theå laø x cuõng coù trung bình µ vaø Var(x) = σ2 / n. Do ñoù chuùng ta coù tính chaát sau. Tính chaát 2.10 a. Neáu moät maãu ngaãu nhieân x1, x2, . . . , xn ñöôïc ruùt ra töø moät toång theå chuaån vôùi trung _ bình µ vaø phöông sai σ2, trung bình maãu x ñöôïc phaân phoái chuaån vôùi trung bình µ vaø _ phöông sai σ2/n. Vì vaäy, x ∼ N (µ,σ2/n). Chuùng ta chuù yù töø ñieåm naøy phaân phoái cuûa trung bình maãu coù moät söï phaân taùn nhoû hôn chung quanh trung bình, vaø côõ maãu caøng lôùn thì phöông sai caøng nhoû. _ _ b. Phaân phoái cuûa Z = (x − µ) / (σ / √n ) = √n (x − µ) / σ laø N (0,1). Caùc coâng thöùc cuûa phaân phoái cuûa phöông sai maãu ñöôïc xaùc ñònh trong Phöông trình (2.9) seõ ñöôïc baøn tieáp ôû Phaàn 2.7. Caùc phaân phoái Maãu Lôùn Khi côõ maãu lôùn, chuùng ta coù theå thu ñöôïc töø moät soá tính chaát khaù höõu ích trong thöïc teá. Hai trong soá naøy laø luaät soá lôùn vaø lyù thuyeát giôùi haïn trung taâm ñöôïc phaùt bieåu ôû Tính chaát 2.11. Ramu Ramanathan 23 Thuïc Ñoan/Haøo Thi
Chöông trình Giaûng daïy Kinh teá Fulbright Phöông phaùp phaân tích Nhaäp moân kinh teá löôïng vôùi caùc öùng duïng Nieân khoùa 2003-2004 Baøi ñoïc Chöông 2: OÂn laïi xaùc suaát vaø thoáng keâ Tính chaát 2.11 _ a. Luaät soá lôùn: Goïi Z laø trung bình cuûa moät maãu ngaãu nhieân caùc giaù trò Z1, Z2, . . . , _ Zn , ñöôïc phaân phoái moät caùch ñoäc laäp vaø gioáng nhau. Khi ñoù Z hoäi tu veà E(Z). Noùi ngaén goïn laø khi n taêng, trung bình maãu cuûa moät taäp hôïp caùc bieán ngaãu nhieân tieán tôùi _ _ giaù trò kyû voïng cuûa noù. Moät tröôøng hôïp ñaëc bieät cuûa söï gia taêng naøy xaûy ra khi Z = x _ _ , trung bình maãu. Bôûi vì E(x) = µ, trung bình cuûa toång theå, x hoäi tuï veà µ. Töông töï s2 _ 2 2 = [∑(xi – x) ] / (n –1) hoäi tuï veà σ khi n tieán tôùi voâ cöïc. b. Lyù thuyeát giôùi haïn trung taâm: Goïi x1, x2, . . . , xn laø maãu ngaãu nhieân cuûa caùc quan 2 saùt töø cuøng moät phaân phoái vaø goïi E(xi) = µ vaø Var(xi) = σ . Khi ñoù phaân phoái maãu _ cuûa bieán ngaãu nhieân Zn = √n (x − µ) / σ hoäi tuï veà phaân phoái chuaån chuaån hoùa N (0,1) khi n hoäi tuï veà voâ cöïc. Lyù thuyeát giôùi haïn trung taâm raát coù hieäu löïc bôûi vì noù vaãn ñuùng ngay caû khi phaân phoái xuaát phaùt cuûa caùc quan saùt laø khoâng chuaån. Ñieàu naøy coù nghóa laø neáu chuùng ta chaéc chaén raèng côõ maãu laø lôùn, thì chuùng ta coù theå söû duïng bieán ngaãu nhieân Zn ñöôïc xaùc ñònh ôû treân ñeå traû lôøi caùc caâu hoûi veà toång theå cuûa caùc quan saùt maø chuùng ta ruùt ra ñöôïc, vaø chuùng ta khoâng caàn bieát phaân phoái chính xaùc cuûa toång theå maø töø ñoù caùc quan saùt ñöôïc ruùt ra. } 2.5 Caùc thuû tuïc Öôùc löôïng Caùc Thoâng soá Cho ñeán ñaây chuùng ta ñaõ coù thaûo luaän caùc chuû ñeà cuï theå veà xaùc suaát vaø thoáng keâ ñeå töï chuaån bò cho hai muïc tieâu cô baûn cuûa baát kyø moät nghieân cöùu thöïc nghieäm naøo: vieäc öôùc löôïng caùc thoâng soá chöa bieát vaø vieäc kieåm ñònh caùc giaû thuyeát. Trong phaàn naøy chuùng ta seõ thaûo luaän vaán ñeà cuûa vieäc öôùc löôïng. Kieåm ñònh giaû thuyeát seõ ñöôïc ñeà caäp ôû Phaàn 2.8. Trong moät khaûo saùt thöïc nghieäm, nhaø phaân tích thöôøng vaãn bieát, hoaëc coù theå öôùc ñoaùn ñöôïc daïng toång quaùt cuûa caùc phaân phoái xaùc suaát cuûa caùc bieán ngaãu nhieân ñöôïc quan taâm. Tuy nhieân, caùc giaù trò cuï theå cuûa caùc thoâng soá toång theå cuûa caùc phaân phoái laø chöa bieát. Nhö ñaõ coù ñeà caäp tröôùc ñaây, moät ñieàu tra toaøn dieän veà toång theå laø vöôït ngoaøi phaïm vi caâu hoûi vì chi phí cho vieäc naøy quaù lôùn. Do ñoù, nhaø khaûo saùt chæ ñaït ñeán moät maãu quan saùt ñoái vôùi caùc bieán ñöôïc quan taâm vaø söû duïng chuùng ñeå ruùt ra nhöõng suy luaän veà phaân phoái xaùc suaát ñaèng sau ñoù. Nhö laø moät minh hoïa, giaû söû chuùng ta bieát raèng chieàu cao cuûa moät ngöôøi coù phaân phoái gaàn nhö chuaån nhöng chuùng ta khoâng bieát trò trung bình, µ, cuûa phaân phoái, hay phöông sai cuûa noù, σ2. Vaán ñeà cuûa vieäc öôùc löôïng ñôn giaûn chæ laø moät caùch löïa choïn moät maãu caùc ñoái töôïng, ño ñaïc chieàu cao töøng ngöôøi moät, vaø sau ñoù duøng caùc phöông phaùp ñònh löôïng ñeå thu ñöôïc caùc öôùc löôïng cuûa µ vaø σ2. Thuaät ngöõ öôùc löôïng ñöôïc duøng ñeå chæ coâng thöùc cho chuùng ta giaù trò baèng soá cuûa caùc thoâng soá ñöôïc quan taâm. Moãi giaù trò baèng soá chính laø moät giaù trò öôùc löôïng. Ramu Ramanathan 24 Thuïc Ñoan/Haøo Thi
Chöông trình Giaûng daïy Kinh teá Fulbright Phöông phaùp phaân tích Nhaäp moân kinh teá löôïng vôùi caùc öùng duïng Nieân khoùa 2003-2004 Baøi ñoïc Chöông 2: OÂn laïi xaùc suaát vaø thoáng keâ Trong phaàn naøy chuùng ta trình baøy hai thuû tuïc coù theå thay theá nhau ñeå öôùc löôïng caùc thoâng soá chöa bieát cuûa phaân phoái xaùc suaát maø caùc quan saùt x1, x2, . . . , xn ñöôïc ruùt ra töø ñoù. trong Phuï luïc, Phaàn 2.A.3, ta moâ taû theâm moät phöông phaùp naâng cao. trong phaàn thaûo luaän tieáp theo, chuùng ta seõ giaû söû raèng nhaø khaûo saùt bieát ñöôïc baûn chaát cuûa phaân phoái xaùc suaát nhöng chöa bieát caùc giaù trò cuûa caùc thoâng soá. Phöông phaùp Momen Phöông phaùp laâu ñôøi nhaát ñeå öôùc löôïng caùc thoâng soá laø phöông phaùp momen. Neáu moät phaân phoái coù k thoâng soá chöa bieát, thuû tuïc nhaèm tính toaùn heä soá caùc momen maãu k baäc nhaát cuûa phaân phoái vaø söû duïng chuùng nhö laø caùc öôùc löôïng cuûa caùc momen toång theå töông öùng. Trong Phaàn 2.2, chuùng toâi ñaõ coù löu yù raèng trung bình toång theå cuûa phaân phoái (µ) cuõng ñöôïc ñeà caäp ñeán nhö laø momen baäc nhaát cuûa phaân phoái xung quanh giaù trò goác. Ñoù laø giaù trò trung bình coù troïng soá cuûa taát caû caùc x coù theå coù, caùc troïng soá laø caùc xaùc _ suaát töông öùng. Trung bình maãu (x) laø trò trung bình soá hoïc cuûa caùc quan saùt maãu x1, x2, . _ . . , xn . Baèng phöông phaùp caùc momen, x ñöôïc tính nhö laø moät öôùc löôïng cuûa µ. Phöông sai cuûa moät bieán ngaãu nhieân laø σ2 = E [(X – µ)2] vaø ñöôïc bieát nhö laø momen baäc hai xung quanh giaù trò trung bình. Phöông sai maãu (s2), ñöôïc ñònh nghóa trong Phöông trình (2.9), ñöôïc söû duïng nhö laø moät öôùc löôïng cuûa phöông sai toång theå cuûa phaân phoái. Trong nhieàu tröôøng hôïp (ví duï nhö, phaân phoái chuaån), trung bình vaø phöông sai ñaëc tröng hoaøn toaøn cho moät phaân phoái, vaø do ñoù khoâng coù nhu caàu phaûi söû duïng caùc momen baäc cao hôn nhö laø giaù trò kyø voïng cuûa (X – µ)3. Chuùng ta seõ thaáy trong Phaàn 2.6 raèng trung bình maãu coù moät soá tính chaát mong muoán. Cuøng vôùi nguyeân lyù naøy coù theå ñöôïc aùp duïng ñeå öôùc löôïng heä soá cuûa söï töông quan giöõa hai bieán ngaãu nhieân X vaø Y (xem Ñònh nghóa 2.5). Goïi x1, x2, . . . , xn vaø y1, y2, . . . , yn laø caùc maãu quan saùt ngaãu nhieân ñoäc laäp (vôùi côõ maãu n) töông öùng vôùi X vaø Y. Phöông sai toång theå giöõa chuùng ñöôïc cho trong Ñònh nghóa 2.4 laø E [(X – µx) (Y – µy)], trong ñoù µx vaø µy laø caùc trung bình toång theå töông öùng cuûa X vaø Y. Moät trò öôùc löôïng cuûa thoâng soá naøy ñöôïc cho bôûi phöông sai maãu 1 _ _ Sxy = Cov(X, Y) = ∑ (xi – x) (yi – y) (2.10) n – 1 Neáu caùc caëp giaù trò cuûa xi vaø yi ñöôïc veõ ra ñoà thò, chuùng ta coù ñöôïc moät ñoà thò nhö Hình 2.7, trong ñoù X vaø Y coù töông quan thuaän vôùi nhau (nghóa laø, X vaø Y noùi chung laø cuøng dòch chuyeån theo cuøng moät höôùng). Chuùng ta ñaõ coù ñeà caäp raèng moät ñoà thò ñieåm nhö vaäy ñöôïc goïi laø bieåu ñoà phaân taùn. Hình 2.6 cuõng töông töï nhö vaäy ngoaïi tröø vieäc trung bình veõ nhöõng ñieåm ñeà caäp ñeán toång theå, trong khi ôû ñaây noù laïi ñeà caäp ñeán maãu. Ramu Ramanathan 25 Thuïc Ñoan/Haøo Thi
Chöông trình Giaûng daïy Kinh teá Fulbright Phöông phaùp phaân tích Nhaäp moân kinh teá löôïng vôùi caùc öùng duïng Nieân khoùa 2003-2004 Baøi ñoïc Chöông 2: OÂn laïi xaùc suaát vaø thoáng keâ _ _ Baèng caùch chuyeån ñoåi caùc truïc thaønh caùc ñöôøng neùt ñöùt xuaát phaùt töø ñieåm (x,y), chuùng ta _ _ _ _ coù theå thaáy raèng (xi – x) vaø (yi – y) laø nhöõng khoaûng caùch töø ñieåm trung bình (x,y). } Hình 2.7 Moät Bieåu ñoà Phaân taùn ñoái vôùi Töông quan Thuaän Y 1 2 _ y 4 3 _ X 0 x } Hình 2.8 Moät Bieåu ñoà Phaân taùn ñoái vôùi Moái quan heä xaáp xæ baäc hai Y 1 2 _ y 3 4 _ X 0 x Ramu Ramanathan 26 Thuïc Ñoan/Haøo Thi
Chöông trình Giaûng daïy Kinh teá Fulbright Phöông phaùp phaân tích Nhaäp moân kinh teá löôïng vôùi caùc öùng duïng Nieân khoùa 2003-2004 Baøi ñoïc Chöông 2: OÂn laïi xaùc suaát vaø thoáng keâ Neáu moái quan heä laø döông, chuùng ta seõ kyø voïng haàu heát caùc ñieåm ñeàu naèm trong _ _ caùc phaàn tö thöù nhaát vaø thöù ba maø trong ñoù tích soá (xi – x) (yi – y) seõ döông. Do caùc tích soá aâm cuûa caùc ñieåm trong phaàn tö thöù hai vaø thöù tö haàu nhö bò laán aùt bôûi caùc tích soá döông, chuùng ta seõ kyø voïng ñoàng phöông sai laø döông. Baèng lyù luaän töông töï, chuùng ta coù theå thaáy raèng neáu moái quan heä laø aâm, haàu heát caùc ñieåm seõ naèm trong phaàn tö thöù hai vaø thöù tö, taïo ra moät ñoàng phöông sai aâm. Ñieàu naøy cho thaáy raèng neáu X vaø Y coù töông quan thuaän, thì ñoàng phöông sai vaø do ñoù töông quan giöõa chuùng cuõng seõ thuaän. Moät moái quan heä aâm seõ cho moät heä soá töông quan aâm. Heä soá töông quan maãu ñöôïc cho bôûi _ _ sxy ∑ (xi – x) (yi – y) rxy = = _ _ (2.11) sxsy 2 1/2 2 1/2 [∑ (xi – x) ] [∑ (yi – y) ] trong ñoù sx vaø sy laø caùc ñoä leäch chuaån maãu (caên baäc hai cuûa caùc phöông sai) töông öùng cuûa X vaø Y. Trong Phaàn 2.3 chuùng ta ñaõ coù ñeà caäp ñeán vaán ñeà heä soá töông quan laø moät ñaïi löôïng ño löôøng moái quan heä tuyeán tính giöõa X vaø Y. Hình 2.8 laø moät bieåu ñoà phaân taùn cho ta thaáy tröôøng hôïp khi Y laø moät haøm xaáp xæ baäc hai cuûa X. chuùng toâi löu yù raèng caùc _ _ ñieåm ñöôïc phaân taùn trong caû boán phaàn tö cuûa bieåu ñoà, vaø do ñoù toång ∑ (xi – x) (yi – y) haàu nhö raát nhoû, cho moät giaù trò rxy nhoû. Vì vaäy, moät rxy nhoû khoâng coù nghóa laø X vaø Y khoâng coù quan heä chaët cheõ vôùi nhau, maø coù nghóa laø chuùng khoâng coù quan heä tuyeán tính chaët cheõ. Baøi taäp 2.24 minh hoïa khaùi nieäm söï töông quan ñöôïc aùp duïng cho ñöôøng cong Phillips. Ñoái vôùi nhöõng ngöôøi söû duïng GRETL, Phaàn Thöïc haønh treân Maùy tính 2.3 (xem Phuï luïc D, Baûng D.1) chöùng toû raèng vieäc tính toaùn caùc ñoàng phöông sai vaø töông quan giöõa ñieåm trung bình ôû ñaïi hoïc vaø ñieåm trung bình ôû trung hoïc theo döõ lieäu trong DATA 2-2, ñöôïc moâ taû trong Phuï luïc D. Haõy söû duïng chöông trình rieâng cuûa baïn vôùi DATA 2-2 ñeå xaùc minh laïi caùc keát quaû ñöôïc trình baøy ôû ñaây. } Baûng 2.8 Soá lieäu Keát quaû töø Maùy tính ñöôïc giaûi thích töøng phaàn minh hoïa cho caùc trò thoáng keâ toùm taét khaùc nhau. Caùc chuù giaûi ñöôïc qui ñònh ôû daïng rieâng khaùc vôùi daïng ñöôïc söû duïng cho caùc keát quaû maùy tính. x = colgpa = Grade point average in College y = hsgpa = Grade point average in High School Correlation between x and y = 0.406662 Summary Statistics, using the observations 1 – 427 Ramu Ramanathan 27 Thuïc Ñoan/Haøo Thi
Chöông trình Giaûng daïy Kinh teá Fulbright Phöông phaùp phaân tích Nhaäp moân kinh teá löôïng vôùi caùc öùng duïng Nieân khoùa 2003-2004 Baøi ñoïc Chöông 2: OÂn laïi xaùc suaát vaø thoáng keâ Variable MEAN MEDIAN MIN MAX x 2.7855 2.79 0.85 3.97 y 3.55785 3.59 2.29 4.5 Variable S.D. C.V. SKEW EXCSKURT x 0.54082 0.194155 -0.203647 -0.0517458 y 0.419577 0.11793 -0.401241 -0.220107 Min vaø Max laø nhöõng giaù trò nhoû nhaát vaø lôùn nhaát trong maãu. Median laø giaù trò cuûa x hoaëc y tính theo moãi beân cuûa giaù trò naøy seõ coù 50% caùc quan saùt. C.V. laø heä soá bieán thieân (MEAN/S.D.) ñaõ ñöôïc thaûo luaän trong Phaàn 2.2. SKEW laø moät ñaïi löôïng ño löôøng söï phaân phoái cuûa bieán sai leäch bao xa so vôùi ñieåm ñoái xöùng (trong baøi naøy goïi laø ñoä leäch skewness). Moät giaù trò baèng khoâng cho bieát ñieåm ñoái xöùng xung quanh giaù trò khoâng. Moät giaù trò döông cho bieát ñoä leäch veà beân phaûi vôùi moät nhaùnh daøi theo höôùng naøy. Moät giaù trò aâm cho bieát ñoä leäch ñoái xöùng skewness sang beân traùi vôùi moät nhaùnh daøi theo höôùng naøy. EXCKURT laø ñoä leäch kurtosis, nghóa laø, ñoä kurtosis –3. Kurtosis laø moät ñaïi löôïng ño löôøng ñoä roäng hình choùp cuûa moät phaân phoái. Phaân phoái chuaån coù kurtosis laø 3. Moät phaân phoái daøn traûi roäng seõ coù moät giaù trò kurtosis aâm, vaø moät phaân phoái heïp seõ coù moät giaù trò kurtosis döông. Ñoä leäch skewness vaø kurtosis khoâng ñöôïc thaûo luaän trong baøi vì chuùng khoâng ñöôïc söû duïng nhieàu trong kinh teá löôïng. Neáu muoán bieát theâm chi tieát veà caùc ñaïi löôïng naøy, haõy xem saùch cuûa Ramanathan (1993, Phaàn 3.5). Moät phieân baûn giaûi thích keát quaû ñöôïc trình baøy ôû Baûng 2.8. Baûng cuõng cung caáp theâm caùc ñaïi löôïng thoáng keâ toùm taét chöa ñöôïc thaûo luaän ôû phaàn treân. Phöông Phaùp Bình Phöông Toái Thieåu (hay Bình Phöông Toái Thieåu Thoâng Thöôøng) Trong kinh teá löôïng, phöông phaùp ñöôïc söû duïng phoå bieán nhaát ñeå öôùc löôïng caùc thoâng soá laø phöông phaùp bình phöông toái thieåu (cuõng coøn ñöôïc bieát ñeán döôùi teân bình phöông toái thieåu thoâng thöôøng hay OLS). Maëc duø noù ñöôïc söû duïng chuû yeáu ñeå öôùc löôïng caùc thoâng soá cuûa moät moâ hình hoài qui daïng PRICE = α + βSQFT + u ñaõ gaëp phaûi trong Chöông 1, phöông phaùp naøy coøn raát höõu ích trong tröôøng hôïp öôùc löôïng giaù trò trung bình cuûa moät bieán ñôn ngaãu nhieân X. Töøng quan saùt xi coù theå ñöôïc xem nhö moät giaù trò öôùc löôïng cuûa maãu trung bình µ vì E(xi) = µ. Sai soá trong giaù trò öôùc löôïng naøy laø ei = xi – µ (töùc laø, xi = µ + ei). Xem xeùt 2 toång bình phöông cuûa sai soá naøy trong toång theå maãu. Töùc laø, ñaët ESS (µ) = ∑ ei = ∑ (xi – µ)2. Phöông phaùp bình phöông toái thieåu choïn giaù trò öôùc löôïng µ maø toång bình phöông sai soá maãu laø nhoû nhaát. Vieäc bình phöông caùc sai soá giaûi quyeát ñöôïc hai vaán ñeà. Ñaàu tieân, noù loaïi boû daáu cuûa sai soá. Vì vaäy, nhöõng sai soá coù giaù trò döông vaø aâm ñöôïc xem xeùt nhö nhau. Thöù hai, vieäc bình phöông seõ loaïi boû nhöõng sai soá lôùn bôûi vì nhöõng sai soá nhö theá bò phoùng ñaïi leân nhieàu khi laáy bình phöông. Ramu Ramanathan 28 Thuïc Ñoan/Haøo Thi
Chöông trình Giaûng daïy Kinh teá Fulbright Phöông phaùp phaân tích Nhaäp moân kinh teá löôïng vôùi caùc öùng duïng Nieân khoùa 2003-2004 Baøi ñoïc Chöông 2: OÂn laïi xaùc suaát vaø thoáng keâ Ñeå coù ñöôïc µˆ , öôùc löôïng µ baèng caùch toái thieåu ESS, vieát ESS nhö sau: 2 2 ESS ( µˆ ) = ∑ (xi – µˆ ) = ∑ (xi – x + x – µˆ ) 2 2 = ∑ (xi – x ) + ∑ ( x – µˆ ) + 2∑ ( x – µˆ )(xi – x ) 2 2 = ∑ (xi – x ) + ∑ ( x – µˆ ) Bôûi vì x – µˆ trong soá haïng thöù ba laø moät haèng soá, neân noù coù theå ñöôïc loaïi ra (xem Phuï Luïc 2.A.1) vaø, theo Tính Chaát 2.A.4, soá haïng thöù ba baèng khoâng. Do trong soá haïng ñaàu khoâng coù µˆ , neân chuùng ta thaáy raèng ESS ñöôïc toái thieåu ñoái vôùi vieäc löïa choïn µˆ neáu vaø chæ neáu chuùng ta cho µˆ = x , ñieàu naøy noù coù theå laøm cho soá haïng thöù hai baèng khoâng. Do ñoù, giaù trò öôùc löôïng bình phöông toái thieåu cuûa µ laø giaù trò trung bình maãu x . Trong phaàn phuï luïc cuûa chöông, chuùng ta seõ thaûo luaän moät thuû tuïc khaùc, hieän ñaïi hôn: giaù trò öôùc löôïng thích hôïp cöïc ñaïi (MLE). Nhöõng ngöôøi ñoïc coù quan taâm neân ñoïc phaàn naøy. (Ñeå thaáy ñöôïc vieäc söû duïng nhöõng phöông phaùp dieãn taû trong phaàn naøy trong öôùc löôïng caùc hoài qui nhö theá naøo, xem tieáp Phaàn 3.1 vaø 3.2.) } 2.6 Caùc Tính Chaát Cuûa Öôùc Löôïng Trong phaàn tröôùc chuùng ta ñaõ thaûo luaän hai thuû tuïc öôùc löôïng maø noù choïn trung bình maãu laø öôùc löôïng cuûa µ. Trong ví duï chieàu cao cuûa ngöôøi trong Phaàn 2.5, moät öôùc löôïng thay theá ñoù laø laáy caùc chieàu cao cuûa nhöõng ngöôøi cao nhaát vaø nhöõng ngöôøi thaáp nhaát vaø laáy trung bình. Öôùc löôïng naøo toát hôn? Ñeå coù theå traû lôøi ñöôïc nhöõng caâu hoûi loaïi nhö theá naøy, chuùng ta caàn moät vaøi tieâu chí trong vieäc choïn löïa giöõa nhöõng öôùc löôïng khaùc nhau. Moät vaøi tieâu chuaån ñaõ ñöôïc thieát laäp ñeå ñaùnh giaù “söï thích hôïp” cuûa moät öôùc löôïng, nhöng trong nhöõng phaàn sau chuùng ta chæ thaûo luaän caùc khaùi nieäm ñöôïc söû duïng thöôøng xuyeân nhaát trong kinh teá löôïng. Moät vaøi khaùi nieäm trong ñoù aùp duïng ñöôïc cho nhöõng côõ maãu nhoû vaø nhöõng khaùi nieäm khaùc chæ thích hôïp ñoái vôùi nhöõng côõ maãu lôùn. Nhöõng Tính Chaát Cuûa Öôùc Löôïng Côõ Maãu Nhoû Kyù hieäu chuaån cho thoâng soá chöa bieát laø θ vaø kyù hieäu moät giaù trò öôùc löôïng laø θˆ . Neân ˆ nhaán maïnh raèng θ laø moät haøm soá cuûa nhöõng quan saùt x1, x2, , xn vaø noù khoâng phuï thuoäc vaøo baát kyø thoâng soá chöa bieát naøo. Do ñoù moät giaù trò öôùc löôïng nhö vaäy laø moät trò thoáng keâ maãu. Tuy nhieân, bôûi vì x laø nhöõng bieán ngaãu nhieân, neân θˆ cuõng ngaãu nhieân. KHOÂNG THIEÂN LEÄCH Bôûi vì θˆ laø moät bieán ngaãu nhieân, neân noù coù moät phaân phoái xaùc suaát vôùi giaù trò trung bình naøo ñoù, goïi laø E(θˆ ). Neáu giaù trò trung bình naøy töông ñöông Ramu Ramanathan 29 Thuïc Ñoan/Haøo Thi
Chöông trình Giaûng daïy Kinh teá Fulbright Phöông phaùp phaân tích Nhaäp moân kinh teá löôïng vôùi caùc öùng duïng Nieân khoùa 2003-2004 Baøi ñoïc Chöông 2: OÂn laïi xaùc suaát vaø thoáng keâ vôùi thoâng soá chöa bieát θ, chuùng ta noùi raèng giaù trò öôùc löôïng laø khoâng thieân leäch. Do vaäy, chuùng ta coù ñònh nghóa sau. ÑÒNH NGHÓA 2.7 (Khoâng Thieân Leäch) Moät öôùc löôïng θˆ ñöôïc goïi laø giaù trò öôùc löôïng khoâng thieân leäch cuûa θ neáu E(θˆ ) = θ. Neáu söï caân baèng naøy khoâng ñöôïc duy trì, thì öôùc löôïng ñöôïc goïi laø bò thieân leäch vaø ñoä thieân leäch laø E(θˆ ) - θ. Maëc duø vôùi moät cuoäc thöû nghieäm cho tröôùc θˆ coù theå khoâng baèng θ, neáu chuùng ta laëp laïi moät löôïng lôùn soá laàn thöû vaø tính toaùn θˆ töøng laàn moät, thì trò trung bình cuûa nhöõng giaù trò naøy seõ laø θ neáu giaù trò öôùc löôïng laø khoâng thieân leäch. Nhö ñaõ moâ taû trong Phaàn 2.4, neáu chuùng ta giöõ coá ñònh côõ maãu ôû n, thöïc hieän nhieàu laàn thí nghieäm naøy, tính toaùn θˆ cho töøng laàn, vaø hình thaønh moät phaân phoái taàn suaát, thì chuùng ta thu ñöôïc phaân phoái maãu cuûa θˆ . Tính khoâng thieân leäch ñoøi hoûi trò trung bình cuûa phaân phoái naøy laø giaù trò θ thöïc. HIEÄU QUAÛ Trong khi tính thieân leäch roõ raøng laø moät ñaëc tính mong muoán cuûa baát kyø öôùc löôïng naøo, chuùng ta cuõng caàn theâm tieâu chuaån bôûi vì coù theå xaây döïng moät soá luôïng khoâng giôùi haïn nhöõng öôùc löôïng khoâng thieân leäch. Trong ví duï ño löôøng chieàu cao, chuùng ta bieát raèng giaù trò trung bình maãu x khoâng thieân leäch bôûi vì E( x ) = µ. Nhöng giaù trò öôùc löôïng khaùc, vöøa ñöôïc ñöa ra tröôùc ñaây, tính ñoä cao trung bình cuûa nhöõng ngöôøi cao nhaát (goïi laø xmax) vaø cuûa nhöõng ngöôøi thaáp nhaát (goïi laø xmin) cuõng khoâng thieân leäch. ˆ 1 ˆ 1 ˆ Ñaët θ = 2 (xmax + xmin). Tieáp theo E(θ ) = 2 [E(xmax) + E(xmin)] = µ, vaø do vaäy θ cuõng khoâng thieân leäch. Thaät deã daøng chöùng minh raèng baát kyø giaù trò trung bình troïng soá naøo cuûa x laø moät öôùc löôïng khoâng thieân leäch cuûa µ, mieãn laø caùc troïng soá khoâng ngaãu nhieân vaø coù toång baèng 1. Do ñoù chuùng ta caàn theâm tieâu chí ñeå phaân bieät giöõa hai öôùc löôïng khoâng thieân leäch. Chuùng ta ñaõ bieát raèng phöông sai cuûa moät bieán ngaãu nhieân laø moät ñaïi löôïng ño löôøng söï phaân taùn cuûa noù xung quanh giaù trò trung bình. Veà maët trung bình, moät phöông sai nhoû hôn coù nghóa laø caùc giaù trò cuûa bieán ngaãu nhieân seõ gaàn vôùi giaù trò trung bình hôn nhöõng giaù trò cuûa bieán ngaãu nhieân khaùc vôùi cuøng giaù trò trung bình nhöng coù phöông sai cao hôn. Ñieàu naøy gôïi yù raèng chuùng ta coù theå söû duïng phöông sai cuûa hai öôùc löôïng khoâng thieân leäch nhö laø giaù trò trung bình cuûa vieäc choïn löïa giöõa hai giaù trò. Xeùt veà trung bình, giaù trò öôùc löôïng vôùi phöông sai nhoû hôn roõ raøng ñöôïc mong muoán hôn vì noù gaàn vôùi giaù trò trung bình thöïc θ. Ñoù chính laø khaùi nieäm hieäu quaû. ÑÒNH NGHÓA 2.8 (Hieäu Quaû) ˆ ˆ ˆ a. Ñaët θ1 vaø θ2 laø hai öôùc löôïng khoâng thieân leäch cuûa thoâng soá θ. Neáu Var (θ1 ) < Var ˆ ˆ ˆ (θ2 ), thì chuùng ta noùi raèng θ1 hieäu quaû hôn θ2 . Ramu Ramanathan 30 Thuïc Ñoan/Haøo Thi
Chöông trình Giaûng daïy Kinh teá Fulbright Phöông phaùp phaân tích Nhaäp moân kinh teá löôïng vôùi caùc öùng duïng Nieân khoùa 2003-2004 Baøi ñoïc Chöông 2: OÂn laïi xaùc suaát vaø thoáng keâ ˆ ˆ b. Tæ soá [Var (θ1 )]/[Var (θ2 )] ñöôïc goïi laø hieäu quaû töông ñoái. c. Giöõa taát caû nhöõng giaù trò öôùc löôïng khoâng thieân leäch cuûa θ, giaù trò vôùi phöông sai nhoû nhaát ñöôïc goïi laø öôùc löôïng khoâng thieân leäch coù phöông sai toái thieåu. ˆ Chuùng ta haõy öùng duïng ñònh nghóa naøy vaøo ví duï chieàu cao. Ñaët θ1 laø trung bình ˆ maãu vaø θ2 laø trung bình ñoä cao cuûa nhöõng ngöôøi cao nhaát vaø nhöõng ngöôøi thaáp nhaát. Töø ˆ 2 ˆ 2 ˆ Tính chaát 2.10a, Var (θ1 ) = σ /n vaø Var (θ2 ) = σ /2. Neáu côõ maãu lôùn hôn hai, θ1 coù ˆ ˆ phöông sai nhoû nhaát vaø doù ñoù roõ raøng seõ ñöôïc öa thích hôn. Do vaäy, θ1 hieäu quaû hôn θ2 . SAI SOÁ BÌNH PHÖÔNG TRUNG BÌNH Xem xeùt hai öôùc löôïng: Moät khoâng thieân leäch vaø giaù trò kia maëc duø thieân leäch nhöng laïi coù phöông sai nhoû hôn nhieàu, haøm yù noùi raèng, veà maët trung bình, noù coù theå gaàn vôùi giaù trò trung bình thöïc hôn laø giaù trò öôùc löôïng khoâng thieân leäch. Trong tröôøng hôïp naøy, chuùng ta coù theå saün saøng cho pheùp moät vaøi sai leäch ñeå coù theå coù ñöôïc lôïi veà phöông dieän phöông sai. Moät phöông phaùp cho pheùp vieäc ñaùnh ñoåi naøy giöõa söï khoâng thieân leäch vaø phöông sai laø sai soá bình phöông trung bình. ÑÒNH NGHÓA 2.9 (Sai Soá Bình Phöông Trung Bình) a. Sai soá bình phöông trung bình cuûa moät öôùc löôïng θˆ ñöôïc ñònh nghóa laø MSE (θ) = E[(θˆ - θ)2], ñoù laø giaù trò kyø voïng cuûa bình phöông ñoä leäch cuûa θˆ töø θ. ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ b. Neáu θ1 vaø θ2 laø hai öôùc löôïng thay theá cuûa θ vaø MSE (θ1 ) < MSE (θ2 ), thì θ1 ñöôïc ˆ goïi laø hieäu quaû bình phöông trung bình so vôùi θ2 . Neáu caû hai giaù trò ñeàu khoâng thieân ˆ leäch, thì θ1 seõ hieäu quaû hôn, nhö trong Ñònh Nghóa 2.8a. c. Giöõa taát caû caùc öôùc löôïng coù theå coù cuûa θ, giaù trò vôùi sai soá bình phöông trung bình nhoû nhaát ñöôïc goïi laø giaù trò öôùc löôïng sai soá bình phöông trung bình toái thieåu. Deã daøng chæ ra ñöôïc sai soá bình phöông trung bình töông ñöông vôùi toång phöông sai vaø bình phöông cuûa nhöõng ñoä thieân leäch. Do vaäy, neáu b(θ) = E(θˆ ) - θ laø ñoä thieân leäch trong öôùc löôïng θˆ , thì MSE = Var(θˆ ) + [b(θ)]2. Löu yù raèng b(θ) ñoäc laäp vôùi caùc giaù trò x vaø do ñoù noù coá ñònh vaø khoâng ngaãu nhieân. MSE = E[(θˆ - θ)2] = E[θˆ - E(θˆ ) + E(θˆ ) – θ]2 = E[θˆ - E(θˆ ) + b(θ)]2 = E[θˆ - E(θˆ )]2 + [b(θ)]2 + 2b(θ) E[θˆ - E(θˆ )] Soá haïng ñaàu tieân laø phöông sai cuûa θˆ vaø soá haïng thöù ba baèng khoâng bôûi vì E(θˆ ) khoâng ngaãu nhieân vaø do ñoù E[θˆ - E(θˆ )] = E(θˆ ) - E(θˆ ) = 0. Keát quaû mong muoán xuaát hieän ngay theo sau. Ramu Ramanathan 31 Thuïc Ñoan/Haøo Thi
Chöông trình Giaûng daïy Kinh teá Fulbright Phöông phaùp phaân tích Nhaäp moân kinh teá löôïng vôùi caùc öùng duïng Nieân khoùa 2003-2004 Baøi ñoïc Chöông 2: OÂn laïi xaùc suaát vaø thoáng keâ Khaùi nieäm sai soá bình phöông trung bình ñöôïc söû duïng thöôøng xuyeân hôn trong vieäc löïa choïn giöõa nhöõng döï baùo khaùc nhau cuûa moät bieán ngaãu nhieân (xem Chöông 11). Caùc döï baùo thöôøng bò thieân leäch – töùc laø, chuùng öôùc löôïng quaù möùc hoaëc laø öôùc löôïng döôùi möùc moät caùch coù heä thoáng bieán quan taâm – nhöng moät vaøi giaù trò döï baùo coù theå coù phöông sai nhoû hôn. Do ñoù sai soá bình phöông trung bình laø moät ñaïi löôïng höõu ích vì noù coù xeùt ñeán caû söï thieân leäch vaø phöông sai cuûa giaù trò döï baùo ñoù. Nhöõng Tính Chaát Cuûa Öôùc Löôïng Côõ Maãu Lôùn Taát caû nhöõng tính chaát thaûo luaän trong phaàn tröôùc thích hôïp ñoái vôùi nhöõng côõ maãu höõu haïn. Ñoâi khi moät öôùc löôïng coù theå khoâng mang moät hay nhieàu hôn nhöõng tính chaát mong muoán trong moät côõ maãu nhoû, nhöng khi côõ maãu trôû neân lôùn, nhieàu tính chaát mong muoán coù theå ñöôïc duy trì. Do ñoù, neân quan taâm nghieân cöùu ñeán nhöõng tính chaát cuûa caùc côõ maãu lôùn naøy, hoaëc tieäm caän. Trong nhöõng thaûo luaän sau ñaây, chuùng ta cho côõ maãu n taêng leân ˆ khoâng giôùi haïn. Bôûi vì moät öôùc löôïng seõ phuï thuoäc vaøo n, neân chuùng ta kyù hieäu noù laø θn . NHAÁT QUAÙN Tính chaát côõ maãu lôùn thöôøng ñöôïc söû duïng nhaát laø tính nhaát ˆ quaùn.Theo thuaät ngöõ tröïc giaùc, nhaát quaùn coù nghóa laø khi n taêng leân, giaù trò öôùc löôïng θn seõ tieán ñeán giaù trò θ thöïc. Hay noùi caùch khaùc, chuùng ta bieåu dieãn moät maãu ngaãu nhieân cuûa baát kyø côõ maãu naøo töø toång theå lôùn vaø tính θˆ . Tieáp theo chuùng ta veõ theâm moät quan saùt vaø tính toaùn laïi θˆ vôùi quan saùt theâm naøy. Chuùng ta laëp laïi quaù trình naøy nhieàu laàn, vaø nhaän ñöôïc moät chuoãi caùc öôùc löôïng cho θ. Neáu chuoãi naøy hoäi tuï veà θ khi n taêng leân voâ taän, thì θˆ laø moät giaù trò öôùc löôïng nhaát quaùn cuûa θ. Ñònh nghóa chính thöùc cuûa söï nhaát quaùn ñöôïc cho trong Ñònh Nghóa 2.10. ÑÒNH NGHÓA 2.10 (Söï Nhaát Quaùn) ˆ Moät öôùc löôïng θn ñöôïc goïi laø moät giaù trò öôùc löôïng nhaát quaùn cuûa θ neáu lim P(θ − ε ≤ n→∞ ˆ ˆ θn ≤ θ + ε) = 1, cho taát caû caùc ε > 0 . Tính chaát naøy ñöôïc bieåu dieãn nhö plim(θn ) = θ. Chuùng ta haõy nghieân cöùu ñònh nghóa naøy kyõ löôõng hôn. Xem xeùt khoaûng coá ñònh ˆ (töùc laø, khoâng ngaãu nhieân) (θ − ε , θ + ε), vôùi ε laø moät soá döông baát kyø. Bôûi vì θn laø moät öôùc löôïng phuï thuoäc vaøo moät maãu caùc quan saùt, neân noù laø moät bieán ngaãu nhieân. Do ñoù ˆ chuùng ta coù theå tính xaùc suaát maø θn naèm trong khoaûng xaùc ñònh ñoù. Neáu xaùc suaát naøy ˆ taêng leân 1 khi n taêng leân voâ taän ñoái vôùi baát kyø giaù trò ε > 0 naøo, thì chuùng ta noùi raèng θn laø moät öôùc löôïng nhaát quaùn cuûa θ. ˆ Ñieåm naøy ñöôïc minh hoïa trong Hình 2.9, noù bieåu dieãn phaân phoái maãu cuûa θn = x cho nhieàu giaù trò khaùc nhau cuûa côõ maãu n. Chuùng ta löu yù raèng phaân phoái naøy trôû neân Ramu Ramanathan 32 Thuïc Ñoan/Haøo Thi
Chöông trình Giaûng daïy Kinh teá Fulbright Phöông phaùp phaân tích Nhaäp moân kinh teá löôïng vôùi caùc öùng duïng Nieân khoùa 2003-2004 Baøi ñoïc Chöông 2: OÂn laïi xaùc suaát vaø thoáng keâ ˆ ngaøy caøng “bò neùn chaët” khi côõ maãu taêng leân. Noùi moät caùch khaùc, phöông sai cuûa θn tieán ˆ ñeán 0 khi côõ maãu taêng leân. Trong giôùi haïn, phaân phoái cuûa θn seõ trôû thaønh ñieåm ñôn θ. } Hình 2.9 Phaân Phoái Maãu Cuûa x Khi Côõ Maãu Taêng Leân, n3 > n2 > n1 f( x ) n3 n2 n1 x θ } Hình 2.10 Phaân Phoái Maãu Cuûa Moät Öôùc Löôïng Thieân Leäch, Nhöng Nhaát Quaùn, n3 > n2 > n1 f(θˆ ) n3 n2 n1 θ ˆ Caàn nhaán maïnh raèng, caùc khaùi nieäm khoâng thieân leäch vaø nhaát quaùn töông ñoái khaùc nhau veà quan ñieåm. Khoâng thieân leäch coù theå ñöôïc duy trì cho baát kyø côõ maãu naøo, nhöng söï nhaát quaùn thì hoaøn toaøn chæ aùp duïng ñöôïc ñoái vôùi khaùi nieäm côõ maãu lôùn. Hình 2.10 minh hoïa giaù trò öôùc löôïng thieân leäch nhöng nhaát quaùn. Söï thieân leäch coù bao haøm luoân söï nhaát quaùn hay khoâng? Hoaøn toaøn khoâng, nhö seõ chæ ra trong ví duï phaûn baùc ngay sau ñaây. Quan saùt ñaàu tieân, x1, laø moät giaù trò öôùc löôïng khoâng thieân leäch cuûa trò trung bình θ bôûi vì E(x1) = θ. Nhöng khi cho n →∞ thì seõ khoâng laøm cho x1 tieán ñeán θ vôùi baát kyø giaù trò trung bình naøo. Ramu Ramanathan 33 Thuïc Ñoan/Haøo Thi
Chöông trình Giaûng daïy Kinh teá Fulbright Phöông phaùp phaân tích Nhaäp moân kinh teá löôïng vôùi caùc öùng duïng Nieân khoùa 2003-2004 Baøi ñoïc Chöông 2: OÂn laïi xaùc suaát vaø thoáng keâ (Tieáp tuïc xem trong Phaàn 3.3 ñeå thaáy ñöôïc nhöõng khaùi nieäm naøy ñöôïc öùng duïng trong kinh teá löôïng nhö theá naøo) KHOÂNG THIEÂN LEÄCH TIEÄM CAÄN* Söï thieân leäch trong moät öôùc löôïng seõ khaùc nhau giöõa giaù trò kyø voïng cuûa noù vaø thoâng soá thöïc θ. Söï thieân leäch naøy coù theå phuï thuoäc vaøo côõ maãu, n. Neáu söï thieân leäch ñi ñeán khoâng khi n taêng leân voâ cöïc, chuùng ta noùi raèng giaù trò öôùc löôïng laø khoâng thieân leäch tieäm caän. ÑÒNH NGHÓA 2.11 (Khoâng Thieân Leäch Tieäm Caän)* ˆ ˆ Moät öôùc löôïng θn ñöôïc goïi laø khoâng thieân leäch tieäm caän neáu nhö lim E(θn ) = θ, hay noùi n→∞ ˆ caùch khaùc, neáu lim bn (θ ) = 0, vôùi bn(θ) = E(θn ) - θ. n→∞ HIEÄU QUAÛ TIEÄM CAÄN* Khoâng coù moät öôùc löôïng ñôn naøo coù theå hieäu quaû nhaát (töùc laø, coù phöông sai nhoû nhaát) cho taát caû caùc giaù trò θ. Moät vaøi giaù trò khaù toát cho moät soá giaù trò θ naøo ñoù vaø nhöõng giaù trò khaùc thì hieäu quaû hôn trong nhöõng khoaûng giaù trò khaùc cuûa θ. Ví duï, ñaëtθˆ = 1,25, khoâng caàn bieát giaù trò cuûa caùc quan saùt laø bao nhieâu. Neáu giaù trò θ thöïc ñuùng baèng hay gaàn baèng 1,25, thì ñaây laø öôùc löôïng töông ñoái toát; nhöng khi giaù trò thöïc naèm ngoaøi 1,25, thì öôùc löôïng naøy keùm. Tuy nhieân, khi gaëp phaûi nhöõng giaù trò öôùc löôïng nhaát quaùn, thì khoaûng giaù trò cuûa θ maø coù moät giaù trò öôùc löôïng hieäu quaû hôn moät giaù trò öôùc löôïng khaùc thu heïp laïi khi côõ maãu taêng leân. Trong giôùi haïn khi n → ∞, phaân phoái cuûa taát caû caùc giaù trò öôùc löôïng nhaát quaùn trôû veà giaù trò thöïc θ (löu yù laø phöông sai baèng khoâng). Do ñoù öu tieân thuoäc veà nhöõng giaù trò öôùc löôïng maø tieán ñeán giaù trò thöïc θ theo caùch nhanh nhaát coù theå (töùc laø, nhöõng giaù trò maø phöông sai cuûa chuùng hoäi tuï veà khoâng nhanh nhaát). Ñoù chính laø khaùi nieäm hieäu quaû tieäm caän ñöôïc ñònh nghóa moät caùch chính thöùc trong Ñònh Nghóa 2.12. Theo thuaät ngöõ tröïc giaùc, öôùc löôïng nhaát quaùn, aùp duïng cho côõ maãu lôùn, seõ hieäu quaû tieäm caän khi phöông sai cuûa noù nhoû hôn phöông sai cuûa baát kyø öôùc löôïng nhaát quaùn naøo khaùc. ÑÒNH NGHÓA 2.12 (Hieäu Quaû Tieäm Caän)* ˆ Moät öôùc löôïng nhaát quaùn θ1 ñöôïc goïi laø hieäu quaû tieäm caän neáu ñoái vôùi taát caû caùc öôùc ˆ löôïng nhaát quaùn khaùc θ2  Var(θˆ )  lim  1  < 1 cho taát caû caùc giaù trò θ n→∞ ˆ Var(θ2 ) } 2.7 Phaân Phoái Chi-Bình Phöông, Phaân Phoái-t vaø Phaân Phoái-F Ramu Ramanathan 34 Thuïc Ñoan/Haøo Thi
Chöông trình Giaûng daïy Kinh teá Fulbright Phöông phaùp phaân tích Nhaäp moân kinh teá löôïng vôùi caùc öùng duïng Nieân khoùa 2003-2004 Baøi ñoïc Chöông 2: OÂn laïi xaùc suaát vaø thoáng keâ Trong vieäc kieåm ñònh caùc giaû thuyeát cuûa nhöõng moâ hình kinh teá löôïng, coù boán phaân phoái ñöôïc söû duïng chuû yeáu. Ñoù laø phaân phoái chuaån, phaân phoái chi-bình phöông, phaân phoái-t cuûa Student, vaø phaân phoái-F cuûa Fisher. Chuùng ta ñaõ xem xeùt phaân phoái chuaån vaø nhöõng tính chaát cuûa noù. Trong phaàn naøy, chuùng ta seõ thaûo luaän ba phaân phoái coøn laïi. Phaân Phoái Chi-Bình Phöông Phaân phoái cuûa toång bình phöông cuûa n bieán ngaãu nhieân chuaån chuaån hoùa ñoäc laäp ñöôïc 2 2 goïi laø phaân phoái chi-bình phöông (χ ) vôùi n baäc töï do vaø ñöôïc vieát laø χn . Chính thöùc hôn, xem xeùt n bieán ngaãu nhieân Z1, Z2, , Zn, taát caû ñeàu tuaân theo phaân phoái ñoäc laäp vaø gioáng nhau (idd) nhö phaân phoái chuaån N(0,1). Ñònh nghóa moät bieán U môùi baèng toång bình phöông cuûa taát caû caùc giaù trò Z. Do vaäy, 2 2 2 2 U = Z1 + Z2 + + Zn = ∑ Zi 2 Phaân phoái cuûa bieán ngaãu nhieân U laø χn . Bôûi vì U khoâng aâm, neân phaân phoái chi- 2 bình phöông chæ ñöôïc xaùc ñònh trong khoaûng 0 ≤ u ≤ ∞. Haøm maät ñoä cuûa χn chæ phuï 2 thuoäc vaøo moät thoâng soá, goïi laø baäc töï do (thöôøng vieát taét laø d.f.). Trò trung bình cuûa χn coù theå ñöôïc xem laø n. Hình 2.11 bieåu dieãn ñoà thò caùc maät ñoä chi-bình phöông cho moät soá caùc giaù trò choïn loïc cuûa baäc töï do. Chuùng ta löu yù raèng khi n = 1, haøm maät ñoä giaûm hoaøn toaøn. Ñoái vôùi nhöõng baäc töï do cao hôn, noù seõ taêng nhanh ñeán ñieåm cöïc ñaïi nhöng heïp daàn sang beân phaûi vôùi moät “ñuoâi” daøi. Moät soá tính chaát cuûa χ2 ñöôïc toùm taét trong Tính Chaát 2.12. } Hình 2.11 Phaân Phoái Chi-Bình Phöông Vôùi Caùc Baäc Töï Do d.f. (n) 1, 5, vaø 10 f(χ2) n = 1 n = 5 n = 10 χ2 Ramu Ramanathan 35 Thuïc Ñoan/Haøo Thi
Chöông trình Giaûng daïy Kinh teá Fulbright Phöông phaùp phaân tích Nhaäp moân kinh teá löôïng vôùi caùc öùng duïng Nieân khoùa 2003-2004 Baøi ñoïc Chöông 2: OÂn laïi xaùc suaát vaø thoáng keâ Tính chaát 2.12 2 a. E( χn ) = n, töùc laø, giaù trò kyø voïng cuûa moät bieán ngaãu nhieân chi-bình phöông chính laø baäc töï do d.f cuûa noù 2 2 b. Phaân phoái chi-bình phöông coù tính chaát coäng theâm; goïi laø, neáu U ∼ χm vaø V ∼ χn vôùi 2 U vaø V ñoäc laäp, thì toång cuûa chuùng U + V ∼ χm+n . Do ñoù toång cuûa nhieàu bieán ngaãu nhieân chi-bình phöông ñoäc laäp thì cuõng laø chi-bình phöông vôùi baäc töï do d.f. töông ñöông vôùi toång cuûa d.f. c. Neáu x1, x2, , xn laø caùc bieán ñoäc laäp vaø ngaãu nhieân tuaân theo phaân phoái chuaån vôùi 2 2 2 trung bình µi vaø phöông sai σ i , thì toång bình phöông U = ∑(xi - µi) /σ i coù phaân phoái chi-bình phöông vôùi n baäc töï do d.f. Keát quaû naøy coù töø döõ kieän cho raèng Zi = (xi - µi)/σi coù phaân phoái chuaån chuaån hoùa vaø Z laø caùc bieán ñoäc laäp, do ñoù laøm cho toång 2 bình phöông cuûa chuùng baèng χn . Nhö trong moät tröôøng hôïp ñaëc bieät, neáu µi = µ vaø 2 2 2 2 2 σ i = σ – töùc laø, neáu caùc giaù trò Z laø iid – thì ∑(xi - µi) /σ ∼ χn . Baûng in trong bìa tröôùc cuûa quyeån saùch vaø Baûng A.3 cuûa Phuï Luïc A bieåu dieãn caùc giaù trò cuûa χ2 maø dieän tích phía beân phaûi töông öùng vôùi nhöõng xaùc suaát ñöôïc xaùc ñònh. Do ñoù, ví duï, ñoái vôùi baäc töï do d.f laø 15 dieän tích phía beân phaûi cuûa 24,9958 laø 0,05. Phaàn 2.8 veà kieåm ñònh caùc giaû thuyeát minh hoïa vieäc söû duïng phaân phoái chi-bình phöông naøy. Phaân Phoái-t Student 2 Phaân phoái cuûa tæ leä giöõa moät bieán chuaån vôùi caên baäc hai cuûa χn ñoäc laäp ñöôïc goïi laø 2 phaân phoái t Student vôùi n baäc töï do (vaø ñöôïc vieát laø tn). Giaû söû Z ∼ N(0,1) vaø U ∼ χn , vôùi Z vaø U ñoäc laäp. Ñònh nghóa bieán ngaãu nhieân t = Z/ U / n =(Z n )/ U . Phaân phoái cuûa t laø phaân phoái-t vôùi n baäc töï do. Baûng naèm ôû bìa sau cuûa cuoán saùch vaø Baûng A.2 bieåu dieãn caùc giaù trò cuûa t maø phaàn dieän tích trong caùc nhaùnh töông öùng vôùi nhöõng xaùc suaát xaùc ñònh. Moät vaøi tính chaát cuûa phaân phoái-t ñöôïc ñöa ra trong Tính Chaát 2.13. Tính Chaát 2.13 Phaân phoái-t vôùi n baäc töï do d.f. coù nhöõng tính chaát sau a. Phaân phoái-t laø ñoái xöùng qua goác toïa ñoä vaø coù hình daïng töông töï nhö trong phaân phoái chuaån b. Ñoái vôùi ni lôùn, phaân phoái-t tuaân theo moät caùch gaàn ñuùng vôùi phaân phoái N(0,1). Söï gaàn ñuùng laø töông ñoái toát ngay caû vôùi n = 30. Nhö trong moät ví duï, vôùi baäc töï do d.f. laø 15, dieän tích ôû nhaùnh beân phaûi taïi ñieåm 1,753 laø 0,05, töùc laø P(t > 1,753) = 0,05. Bôûi vì tính chaát ñoái xöùng naøy, P(t < 1,753 hoaëc t Ramu Ramanathan 36 Thuïc Ñoan/Haøo Thi
Chöông trình Giaûng daïy Kinh teá Fulbright Phöông phaùp phaân tích Nhaäp moân kinh teá löôïng vôùi caùc öùng duïng Nieân khoùa 2003-2004 Baøi ñoïc Chöông 2: OÂn laïi xaùc suaát vaø thoáng keâ > 1,753) = 0,10, töùc laø, dieän tích cuûa caû hai nhaùnh gaáp ñoâi dieän tích cuûa moät nhaùnh ñôn. Trong kieåm ñònh giaû thuyeát phaân phoái-t laø phaân phoái ñöôïc söû duïng roäng raõi nhaát. Phaân Phoái F Moät phaân phoái khaùc nöõa ñaùng quan taâm trong kinh teá löôïng laø Phaân phoái F cuûa Fisher. 2 2 Ñoù laø tæ leä giöõa hai chi-bình phöông ñoäc laäp. Ñaët U ∼ χm vaø V ∼ χn ñoäc laäp vôùi nhau. Thì phaân phoái cuûa F = (U/m) ÷(V/n) ñöôïc goïi laø phaân phoái-F vôùi m vaø n baäc töï do d.f., vaø ñöôïc vieát döôùi daïng F ∼ Fm,n. Soá ñaàu tieân laø baäc töï do cuûa töû soá vaø soá thöù hai laø baäc töï do cuûa maãu soá. Baûng A.4a, A.4b, vaø A.4c coù caùc giaù trò F cuûa moät vaøi keát hôïp giöõa m, n, vaø caùc xaùc suaát 0,01, 0,05, vaø 0,10. Baûng A.4a vaø A.4b cuõng laø baûng ñöôïc in laïi trong bìa sau cuûa quyeån saùch. Moät vaøi tính chaát cuûa phaân phoái-F ñöôïc ñöa ra trong Tính Chaát 2.14. Tính chaát 2.14 Phaân phoái-F vôùi m vaø n baäc töï do d.f. coù nhöõng tính chaát sau a. Phaân phoái-F coù hình daïng töông töï nhö trong phaân phoái chi-bình phöông b. Neáu bieán ngaãu nhieân t coù phaân phoái-t Student vôùi baäc töï do d.f. n thì t2 coù phaân phoái- 2 F vôùi baäc töï do d.f. laø 1 vaø n. Do vaäy, tn ∼ F1,n. Ví duï, töø Baûng A.4b, vôùi 3 baäc töï do d.f. cho töû soá (kyù hieäu laø m) vaø d.f. laø 15 cho maãu soá (kyù hieäu laø n), P(F > 3,29) = 0,05, vaø töø baûng A.4a, P(F > 5,42) = 0,10. Phaân Phoái Cuûa Phöông Sai Maãu Trong tröôøng hôïp moät maãu ngaãu nhieân töø moät phaân phoái chuaån, phaân phoái cuûa phöông sai maãu s2 ñònh nghóa trong Phöông Trình (2.9) ñaùng phaûi xem xeùt. Löu yù raèng (n – 1)s2 2 = ∑(xi – x ) laø toång bình phöông caùc ñoä leäch cuûa moät quan saùt cuï theå töø trung bình maãu. Chuùng ta bieát raèng xi – x coù phaân phoái chuaån bôûi vì ñoù laø moät keát hôïp tuyeán tính caùc giaù trò x, maø chuùng laø chuaån. Chuùng ta ñaõ thaáy trong phaàn tröôùc, chi-bình phöông ñöôïc ñònh nghóa laø toång bình phöông cuûa caùc bieán ngaãu nhieân chuaån chuaån hoùa. Trong Tính Chaát 2 2 2 2.12c, chuùng ta phaùt bieåu raèng ∑(xi - µi) /σ ñöôïc phaân phoái gioáng nhö χn . Chuùng ta coù 2 2 theå keát luaän töø phaùt bieåu naøy laø ∑(xi – x ) /σ cuõng tuaân theo phaân phoái chi-bình phöông hay khoâng? Caâu traû lôøi laø ñöôïc, nhöng vôùi moät thay ñoåi nhoû. Maëc duø toång bình phöông naøy cuõng coù phaân phoái chi-bình phöông, nhöng baäc töï do cuûa noù laø n – 1 chöù khoâng phaûi laø n. Baèng caùch thay theá µ baèng x , chuùng ta “maát baäc töï do”. Ñoù laø bôûi vì caùc ñoä leäch (xi - µi) khoâng ñoäc laäp, maëc duø caùc xi ñoäc laäp. Toång ñoä leäch ∑(xi – x ) luoân baèng khoâng, vaø do ñoù chuùng ta coù theå ñònh roõ chæ coù n – 1 ñoä leäch giöõa chuùng laø ñoäc laäp. Ñoä leäch thöù n phaûi ñöôïc coäng vaøo ñeå baèng khoâng. Do ñoù (n – 1)s2/σ2 coù phaân phoái chi-bình phöông vôùi baäc töï do d.f. n – 1. Tính chaát naøy vaø nhöõng tính chaát khaùc lieân quan ñöôïc toùm taét trong Tính Chaát 2.15. Ramu Ramanathan 37 Thuïc Ñoan/Haøo Thi
Chöông trình Giaûng daïy Kinh teá Fulbright Phöông phaùp phaân tích Nhaäp moân kinh teá löôïng vôùi caùc öùng duïng Nieân khoùa 2003-2004 Baøi ñoïc Chöông 2: OÂn laïi xaùc suaát vaø thoáng keâ Tính chaát 2.15 a. Neáu moät maãu ngaãu nhieân ñoäc laäp x1, x2, , xn ñöôïc laáy ra töø moät toång theå chuaån vôùi trò 2 2 1 2 trung bình µ vaø phöông sai σ , thì phöông sai maãu s = ∑(xi – x ) coù tính chaát n −1 2 2 2 2 2 maø (n – 1)s /σ = ∑(xi – x ) /σ ∼ χn−1 2 2 b. Bôûi vì trung bình cuûa moät χ laø baäc töï do d.f. cuûa chính noù – töùc laø, E( χm ) = m – 2 ()n −1 s  2 2 2 E  2  = n – 1. Noù daãn ñeán E(s ) = σ vaø do ñoù s laø moät giaù trò öôùc löôïng khoâng  σ  2 2 thieân leäch cuûa σ . Baây giôø chuùng ta tìm hieåu lyù do cuûa vieäc chia ∑(xi – x ) cho n – 1. Neáu chuùng ta söû duïng n, giaù trò kyø voïng seõ khoâng baèng σ2, daãn ñeán moät giaù trò thieân leäch. c. Töø Tính Chaát 2.10b chuùng ta bieát raèng Z = n ( x - µ)/σ ∼ N(0,1). Cuõng töø Tính Chaát 2 2 2 2.15a, U = (n – 1)s /σ ∼ χn−1 . Coù theå chæ ra raèng Z ñoäc laäp vôùi U. Chuùng ta ghi nhaän töø ñònh nghóa cuûa phaân phoái-t ñoù laø noù ñöôïc ruùt ra töø tæ leä giöõa moät giaù trò chuaån chuaån hoùa vaø caên baäc hai cuûa chi-bình phöông. Do vaäy, t = Z/ U /(n −1) . Thay Z vaø U trong phöông trình treân vaø ñôn giaûn hoùa caùc soá haïng, chuùng ta coù keát quaû t = n ( x - µ)/s ∼ tn-1. So saùnh keát quaû naøy vôùi Tính Chaát 2.10b, chuùng ta löu yù raèng neáu σ ñöôïc thay theá baèng s, thì seõ daãn ñeán keát quaû phaân phoái seõ khoâng coøn chuaån nöõa nhöng laø moät phaân phoái-t. } 2.8 Kieåm Ñònh Caùc Giaû Thuyeát Beân caïnh vieäc öôùc löôïng caùc thoâng soá chöa bieát, kieåm ñònh giaû thuyeát veà caùc thoâng soá naøy laø moät khía caïnh quan troïng nhaát cuûa ñieàu tra thöïc nghieäm. Ôû chöông 1, chuùng ta ñaõ lieät keâ moät loaït caùc giaû thuyeát ñaùng quan taâm. Thuû tuïc kieåm ñònh giaû thuyeát cuõng ñoøi hoûi caùc khaùi nieäm vaø phöông phaùp chính thoáng. Chöông naøy seõ duyeät laïi ngaén goïn nhöõng chuû ñeà naøy. Ba böôùc cô baûn trong baát kyø thuû tuïc kieåm ñònh giaû thuyeát naøo goàm: (1) hình thaønh hai giaû thuyeát ñoái laäp nhau, (2) tính trò thoáng keâ kieåm ñònh vaø xaùc ñònh phaân phoái maãu cuûa noù, vaø (3) ñöa ra quy taéc ra quyeát ñònh vaø choïn moät trong hai giaû thuyeát. } Baûng 2.9 Caùc Giaû Thuyeát Khoâng Vaø Giaû Thuyeát Ngöôïc Laïi (a) (b) (c) (d) H0 µ = µ0 µ = µ0 µ ≤ µ0 µ ≥ µ0 H1 µ = µ1 µ ≠ µ0 µ > µ0 µ < µ0 Ramu Ramanathan 38 Thuïc Ñoan/Haøo Thi
Chöông trình Giaûng daïy Kinh teá Fulbright Phöông phaùp phaân tích Nhaäp moân kinh teá löôïng vôùi caùc öùng duïng Nieân khoùa 2003-2004 Baøi ñoïc Chöông 2: OÂn laïi xaùc suaát vaø thoáng keâ Giaû Thuyeát Khoâng vaø Giaû Thuyeát Ngöôïc Laïi Böôùc ñaàu tieân laø hình thaønh hai giaû thuyeát ñoái laäp nhau: giaû thuyeát khoâng (kyù hieäu laø H0) vaø giaû thuyeát ngöôïc laïi (kyù hieäu H1). Baûng 2.9 trình baøy caùc ví duï veà giaû thuyeát khoâng vaø giaû thuyeát ngöôïc laïi veà trò trung bình cuûa taäp hôïp chính (µ) Kieåm Ñònh Thoáng Keâ Moät quy taéc ra quyeát ñònh choïn löïa moät trong caùc pheùp quy naïp “baùc boû giaû thuyeát khoâng” hoaëc “khoâng baùc boû giaû thuyeát khoâng” cho moïi keát quaû cuûa moät thí nghieäm ñöôïc goïi laø kieåm ñònh thoáng keâ. Thoâng thöôøng thuû tuïc bao goàm ñaàu tieân tính moät trò kieåm ñònh T(x1, x2, , xn) töø maãu caùc quan saùt. Böôùc keá tieáp laø xaùc ñònh phaân phoái maãu cuûa T theo giaû thuyeát khoâng. Böôùc cuoái cuøng laø ñeà ra moät quy taéc ra quyeát ñònh döïa treân giaù trò quan saùt ñöôïc cuûa T. Phaïm vi giaù trò cuûa T döïa treân ñoù thuû tuïc kieåm ñònh ñeà nghò baùc boû giaû thuyeát khoâng ñöôïc goïi laø vuøng tôùi haïn, vaø phaïm vi kieåm ñònh ñeà nghò khoâng baùc boû giaû thuyeát khoâng ñöôïc goïi laø vuøng chaáp nhaän, moät caùch chính xaùc hôn, goïi laø vuøng khoâng baùc boû. Sai Laàm Loaïi I vaø Loaïi II Ñoái vôùi baát kyø moät thuû tuïc kieåm ñònh naøo, coù theå xaûy ra ba keát quaû sau: (1) quyeát ñònh ñuùng ñöôïc thöïc hieän (nghóa laø, thuû tuïc chaáp nhaän giaû thuyeát ñuùng vaø baùc boû giaû thuyeát sai), (2) moät giaû thuyeát ñuùng bò baùc boû, (3) moät giaû thuyeát sai ñöôïc chaáp nhaän. Sai laàm baùc boû H0 khi noù ñuùng ñöôïc goïi laø sai laàm loaïi I. Sai laàm khoâng baùc boû H0 khi noù sai ñöôïc goïi laø sai laàm loaïi II. Töông öùng vôùi moãi loaïi sai laàm naøy laø moät giaù trò xaùc suaát. Chuùng ñöôïc goïi laø caùc xaùc suaát sai laàm loaïi I vaø loaïi II vaø ñöôïc kyù hieäu laø P(I) vaø P(II). Nhöõng khaùi nieäm naøy seõ deã hieåu hôn thoâng qua ví duï laáy töø heä thoáng luaät phaùp ñöôïc Kohler trình baøy (1985). Xem xeùt moät bò caùo trong phieân xöû hình söï. Giaû thuyeát khoâng laø bò caùo “voâ toäi” vaø giaû thuyeát ngöôïc laïi vaø bò caùo “coù toäi”. Giaû ñònh laø beân bò ñôn laø voâ toäi vaø beân nguyeân ñôn phaûi chöùng minh ñöôïc raèng beân bò ñôn laø coù toäi, nghóa laø, thuyeát phuïc ban boài thaåm baùc boû giaû thuyeát khoâng. Neáu ban boài thaåm tuyeân boá moät ngöôøi voâ toäi “khoâng coù toäi” hoaëc moät ngöôøi phaïm toäi “coù toäi”, moät quyeát ñònh ñuùng ñaõ ñöôïc thöïc hieän. Neáu moät ngöôøi voâ toäi bò tuyeân boá coù toäi, ta phaïm phaûi sai laàm loaïi I vì giaû thuyeát ñuùng ñaõ bò baùc boû. Sai laàm loaïi II xaûy ra khi moät ngöôøi coù toäi ñöôïc tuyeân boá traéng aùn. Ví duï thöù hai, giaû söû moät coâng ty döôïc phaåm tuyeân boá ñaõ tìm ñöôïc caùch chöõa trò cho moät caên beänh hieåm ngheøo. Giaû thuyeát khoâng seõ laø vieân thuoác khoâng hieäu quaû trong vieäc loaïi tröø caên beänh, vaø coâng ty döôïc phaåm phaûi chöùng minh laø thuoác coù hieäu quaû. Sai laàm loaïi moät seõ xaûy ra neáu moät vieân thuoác khoâng hieäu quaû (nghóa laø, giaû thuyeát H0 ñuùng) ñöôïc chaáp nhaän laø coù hieäu quaû (nghóa laø, H0 bò baùc boû). Sai laàm loaïi II xaûy ra khi moät loaïi thuoác thöïc söï coù hieäu quaû laïi bò baùc boû vì cho raèng khoâng coù hieäu quaû. Ramu Ramanathan 39 Thuïc Ñoan/Haøo Thi
Chöông trình Giaûng daïy Kinh teá Fulbright Phöông phaùp phaân tích Nhaäp moân kinh teá löôïng vôùi caùc öùng duïng Nieân khoùa 2003-2004 Baøi ñoïc Chöông 2: OÂn laïi xaùc suaát vaø thoáng keâ Moät caùch lyù töôûng, chuùng ta muoán giöõ cho caû P(I) vaø P(II) caøng nhoû caøng toát baát chaáp giaù trò cuûa thoâng soá khoâng bieát coù giaù trò laø bao nhieâu. Ruûi thay, noã löïc giaûm P(I) seõ töï ñoäng keùo theo söï gia taêng trò P(II). Chaúng haïn, trong ví duï veà phieân toøa hình söï, giaû söû chuùng ta khoâng muoán moät ngöôøi phaïm toäi naøo ñöôïc tuyeân boá traéng aùn. Caùc duy nhaát ñeå thöïc hieän ñöôïc ñieàu naøy laø tuyeân boá moïi ngöôøi coù toäi. Trong tröôøng hôïp naøy, P(II) = 0, nhöng P(I) = 1 vì chuùng ta cuõng keát aùn taát caû nhöõng ngöôøi voâ toäi. Töông töï nhö treân, caùch duy nhaát ñeå traùnh keát aùn moät ngöôøi voâ toäi laø tuyeân boá moïi ngöôøi voâ toäi. Trong tröôøng hôïp naøy, chuùng ta cuõng thaû töï do cho taát caû nhöõng keû phaïm toäi hay P(II) = 1 vaø P(I) = 0.1 Trong thöïc teá, söï ñaùnh ñoåi giöõa caùc sai laàm khoâng ñeán noãi cöïc ñoan nhö vaäy, tuy nhieân moät quy taéc ra quyeát ñònh cuï theå seõ toát hôn cho moät soá giaù trò cuûa thoâng soá vaø khoâng toát cho nhöõng giaù trò khaùc. Thuû tuïc kieåm ñònh giaû thuyeát coå ñieån laø choïn giaù trò cöïc ñaïi cho sai laàm loaïi I chaáp nhaän ñöôïc vôùi ngöôøi phaân tích vaø sau ñoù ñöa ra quy taéc quyeát ñònh sao cho sai laàm loaïi II laø thaáp nhaát. Trong ví duï veà phieân toøa hình söï, ñieàu naøy coù nghóa laø choïn quy taéc ra quyeát ñònh sao cho soá laàn ngöôøi voâ toäi bò keát toäi khoâng vöôït qua moät soá phaàn traêm soá laàn naøo ñoù (chaúng haïn, 1%) vaø cöïc tieåu xaùc suaát ngöôøi coù toäi ñöôïc thaû töï do. Trong ví duï veà coâng ty döôïc phaåm, chuùng ta choïn xaùc suaát chaáp nhaän moät loaïi thuoác khoâng hieäu quaû ôû möùc lôùn nhaát vaø cöïc tieåu xaùc suaát baùc boû moät loaïi thuoác hieäu quaû. Möùc YÙ nghóa vaø Naêng löïc Kieåm ñònh Xaùc suaát sai laàm loaïi I lôùn nhaát khi H0 ñuùng ñöôïc goïi laø möùc yù nghóa (coøn ñöôïc goïi laø kích thöôùc cuûa kieåm ñònh). Trong ví duï phieân toøa hình söï, ñoù chính laø xaùc suaát lôùn nhaát cuûa vieäc keát aùn moät ngöôøi voâ toäi. Xaùc suaát baùc boû moät giaû thuyeát khi noù sai laø 1 – P(II) vaø ñöôïc goïi laø naêng löïc cuûa kieåm ñònh. Trong ví duï cuûa chuùng ta, ñoù laø xaùc suaát keát aùn keû coù toäi. Thuû tuïc kieåm ñònh chuaån laø tìm ra moät quy taéc ra quyeát ñònh sao cho P(II) laø nhoû nhaát (hay, moät caùch töông ñöông, naêng löïc cuûa kieåm ñònh laø lôùn nhaát), vôùi raèng buoäc laø P(I) ≤ α, trong ñoù α laø moät haèng soá cho tröôùc (0 < α < 1). Moät thuû tuïc kieåm ñònh nhö vaäy ñöôïc goïi laø kieåm ñònh maïnh nhaát vôùi kích thöôùc α. Caùc möùc yù nghóa thöôøng duøng nhaát laø 0,01; 0,05; vaø 0,10. Baây giôø chuùng ta seõ trình baøy moät soá kieåm ñònh giaû thuyeát hay ñöôïc söû duïng trong caùc quyeát ñònh veà kinh doanh vaø kinh teá. Ôû ñaây chuùng ta chæ xem xeùt ñeán caùc bieán ngaãu nhieân tuaân theo phaân phoái chuaån. Ñoäc giaû neân tìm ñoïc caùc baøi tham khaûo ñöôïc ñeà caäp ôû cuoái chöông naøy ñeå bieát theâm chi tieát veà nhöõng kieåm ñònh naøy vaø caùc kieåm ñònh khaùc. 1 Caàn heát söùc löu yù raèng maëc duø trong ví duï naøy P(I) + P(II) = 1, noùi chung toång naøy khoâng nhaát thieát nhö vaäy Ramu Ramanathan 40 Thuïc Ñoan/Haøo Thi