Giáo trình Lý thuyết trường điện từ và siêu cao tần

Nội dung text: Giáo trình Lý thuyết trường điện từ và siêu cao tần

1. HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG LÝ THUYẾT TRƯỜNG ĐIỆN TỪ VÀ SIÊU CAO TẦN (Dùng cho sinh viên hệ đào tạo đại học từ xa) Lưu hành nội bộ HÀ NỘI - 2007
2. HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG LÝ THUYẾT TRƯỜNG ĐIỆN TỪ VÀ SIÊU CAO TẦN Biên soạn : THS. TÔN THẤT BẢO ĐẠT THS. DƯƠNG HIỂN THUẬN
3. CHƯƠNG 1: CÁC ĐỊNH LUẬT VÀ NGUYÊN LÝ CƠ BẢN CỦA TRƯỜNG ĐIỆN TỪ Ở môn học trường điện từ, chúng ta sẽ tìm hiểu phân bố của các đại lượng điện và từ, nguyên nhân tạo ra chúng và xác định các đại lượng khi đã biết một số đại luợng khác.Trong chương này, chúng ta sẽ tìm hiểu về các vấn đề cơ bản nhất của trường điện từ bao gồm các đại luơng của điện và từ, các định luật cơ bản nhất nêu lên mối liên hệ giữa các đại luợng đó với nhau. Trong chương này sẽ có nhiều khái niệm mới mà chúng ta cần nắm vững trước khi chuyển sang các chương kế tiếp. Các học viên cần chú ý đến cách dẫn ra các phương trình toán học từ các phát biểu. Để có thể đọc hiểu được, các học viên cần trang bị kiến thức toán: hàm nhiều biến, giải tích vectơ với các toán tử gradient, divergence, rotate đã học trong chương trình toán cao cấp. Nếu không nắm vững các phần toán học trên sẽ rất khó hiểu đuợc và theo kịp các phần chứng minh trong chương này. Cuối chương sẽ là phần tóm tắt các hệ thức trong chương và các bài tập. 1.1. Các đại lượng đặc trưng cơ bản cho trường điện từ 1.1.1. Vec tơ cường độ điện trường Một điện tích thử q đặt trong trường điện, chịu tác dụng của lực điện F . Tại mỗi điểm e của trường điện, tỉ số F /q là một đại lượng không đổi, đại lượng ấy được gọi là cường độ trường e điện tại điểm đó. Ký hiệu E F E = e (V/m) (1.1.1) q Với q đủ nhỏ để không ảnh hưởng đến trường điện ban đầu. 1.1.2. Vec tơ điện cảm Khi đặt điện môi vào trường điện, điện môi bị phân cực. Mức độ phân cực điện môi được đặc trưng bởi vec tơ phân cực điện P . Vec tơ phân cực điện P xác định trạng thái phân cực điện môi tại mỗi điểm. Vec tơ cảm ứng điện D được định nghĩa bởi hệ thức: 2 D = ε 0 E + P (C/m ) (1.1.2) 9 Với ε0 = 1/4π.9.10 (F/m) được gọi là hằng số điện. Đối với môi trường tuyến tính, đẳng hướng: P = ε 0 χ 0 .E (1.1.3) Thay (1.1.3) vào (1.1.2): D = ε (1+ χ )E 0 e D = ε ε E 0 r D = εE (1.1.4) Với εr = 1 + χe được gọi là độ thẩm tỉ đối của môi trường với chân không. ε = ε0. εr (F/m) Được gọi là độ thẩm điện của môi trường 3
4. 1.1.3. Vectơ cảm ứng từ Một điện tích thử q chuyển động với vận tốc v trong trường từ, chịu tác dụng lực Fm F = qvxB (1.1.5) m Vec tơ B được gọi là vec tơ cảm ứng từ. 1.1.4. Vec tơ cường độ từ trường Khi đặt từ môi vào trường từ, từ môi bị phân cực. Mức độ phân cực từ môi được đặc trưng bởi vec tơ phân cực từ M . Vec tơ phân cực từ môi xác định trạng thái phân cực từ tại mỗi điểm của từ môi. Vec tơ cường độ trường từ H đựơc định nghĩa bởi hệ thức: B H = − M (A/m) (1.1.6) μ0 -7 Với μ0 = 4π.10 H/m, được gọi là hằng số từ. Đối với môi trường tuyến tính, đẳng hướng: M = χ m .H (1.1.7) Thay (1.7) vào (1.6): B = μ (1+ χ )H 0 m B = μ μ H 0 r B = μH (1.1.8) Với μr = 1 + χm, được gọi là độ thẩm từ tỉ đối của môi trường với chân không. μ = μ0μr (H/m) là độ thẩm từ của môi trường. 1.2. Định luận Ohm và định luật bảo toàn điện tích 1.2.1. Định luật Ohm Dòng điện là dòng chuyển dời có hướng của các hạt mang điện dưới tác dụng của điện trường. Cường độ dòng điện I chảy qua một diện tích S đặt vuông góc với dòng chảy bằng lượng điện tích Q dịch chuyển qua mặt S trong một đơn vị thời gian. dQ I = (1.2.1) dt Để mô tả đầy đủ hơn sự chuyển động c1o hướng của các hạt mang điện, người ta đưa ra khái niệm mật độ dòng điện J : J = NeV = ρV = γE (A/m2) (1.2.2) Với: N là số lượng hạt mang điện, mỗi hạt có điện tích e. ρ là mật độ điện tích khối (đơn vị C/m3) và γ là độ dẫn điện của môi trường (đơn vị S/m). Biểu thức (1.2.2) được gọi là dạng vi phân của định luật Ohm. Xét một vùng dẫn có dạng khối lập phương, cạnh L, 2 mặt đối diện được nối với điện áp không đổi U. Cường độ dòng điện đi qua khối lập phương đó: I = ∫∫JdS = γEdS SS U I = ∫γEdS = γLU = (1.2.3) S R Với S = LxL là diện tích mặt bên. R = L/γS : điện trở của khối vật dẫn. 1.2.2. Định luật bảo toàn điện tích 4
5. Định luật bảo toàn điện tích được Faraday tìm ra bằng thực nghiệm, nó được xem là một tiên đề của lý thuyết trường điện từ: Tổng điện tích trong một hệ cô lập về điện không thay đổi. Như vậy, lượng điện tích ở trong một thể tích V bị giảm đi trong một đơn vị thời gian bằng lượng điện tích đi ra khỏi thể tích V trong một đơn vị thời gian và bằng cường độ dòng điện I đi xuyên qua mặt kín S bao quanh thể tích V đó. Gọi Q là điện tích của thể tích V. ρ là mật độ điện tích khối của V. Vậy: dQ I = − (1.2.4) dt Với Q = ∫ ρdV (1.2.5) V Thay (1.2.5) vào (1.2.4): d I = − ∫ ρdV dt V Áp dụng: I = ∫ JdS S ∂ρ Ta được: ∫ JdS = −∫ dV S V ∂t Áp dụng biểu thức định lý divergence cho vế trái, ta được: ∂ρ ∫ divJdV = − ∫ dV V V ∂t Biểu thức trên đúng với mọi thể tích V, vì vậy: ∂ρ divJ = − ∂t ∂ρ divJ + = 0 (1.2.6) ∂t Biểu thức (1.2.6) được gọi là dạng vi phân của định luật bảo toàn điện tích hay còn gọi là phương trình liên tục. 1.3. Các đặc trưng cơ bản của môi trường Đặc tính của môi trường vật chất được thể hiện qua các tham số điện và từ của nó: Độ thẩm điện ε (F/m) Độ thẩm điện tỉ đối εr (không thứ nguyên) Độ thẩm từ μ (H/m) Độ thẩm tử tỉ đối μr (không thứ nguyên) Độ dẫn điện γ (S/m) Các biểu thức (1.1.4), (1.1.8), và (1.2.2) được gọi là các phương trình liên hệ hay còn gọi là các phương trình chất. Dựa trên các tham số điện và từ, người ta chia vật chất (môi trường điện từ) ra thành các lọai sau: - Môi trường tuyến tính: các tham số ε, μ, và σ không phụ thuộc cường độ trừờng. Khi đó, các phương trình lien hệ là tuyến tính. 5
6. - Môi trường đồng nhất và đẳng hướng: các tham số điện và từ là hằng số. Trong môi trường này, các vectơ của cùng một phương trình liên hệ song song với nhau. - Nếu các tham số điện từ theo các hương khác nhau có các giá trị không đổi khác nhau thì được gọi là không đẳng hướng. - Môi trường có các đại lượng điện từ là các hàm của tọa độ được gọi là môi trường không đồng nhất. Trong tự nhiên, hầu hết các chất có độ thẩm điện tỉ đối lớn hơn 1 và là môi trường tuyến tính. - Môi trường có độ thẩm từ tỉ đối lớn hớn gọi là chất thuận từ, nhỏ hơn 1 gọi là chất nghịch từ. - Chất dẫn điện là chất có γ > 104 (S/m). - Chất bán dẫn là chất có 104 > γ > 10-10 (S/m) - Chất cách điện là chất có γ < 10-10 (S/m) - Môi trường là dẫn điện lý tưởng nếu γ = ∞, là cách điện lý tưởng nếu γ = 0. 1.4. Các phương trình Maxwell 1.4.1. Khái niệm về dòng điện dịch ∂ρ Đối với dòng điện không đổi, ta có = 0 . Từ phương trình liên tục, ta suy ra: ∂t divJ = 0 (1.4.1) Dựa theo định nghĩa của toán tử divergence, hệ thức (1.4.1) chứng tỏ các đường dòng dẫn không đổi khép kín hoặc đi ra xa vô cùng, không có điểm bắt đầu và điểm kết thúc. Đối với dòng điện biến đổi: ∂ρ divJ = − ≠ 0 (1.4.2) ∂t Hệ thức (1.4.2) chứng tỏ các đường của dòng dẫn biến đổi không khép kín, chúng bắt đầu và kết thúc tại những điểm ở đó có mật độ điện tích biến đổi theo thời gian, chẳng hạn tại các cốt tụ của tụ điện. Dòng điện biến đổi đi qua được mạch có tụ, dù không tồn tại dòng chuyển dịch có hướng của các hạt mang điện đi qua lớp điện môi của tụ. Maxwell đã đưa ra giả thiết có một quá trình xảy ra tương đương với sự có mặt của dòng điện giữa hai cốt tụ và đưa ra khái niệm dòng điện dịch. Dòng điện dịch khép kín dòng điện dẫn trong mạch. trường điện biến đổi tạo nên dòng điện dịch này. Dòng chuyển dời có hướng của các hạt mang điện được Maxwell gọi là dòng điện dẫn. Dòng điện bao gồm dòng điện dẫn và dòng điện dịch được gọi là dòng điện toàn phần. 1.4.2. Phương trình Maxwell thứ ba và thứ tư Phương trình Maxwell thứ tư được dẫn ra dựa theo định luật Gauss đối với trường điện. Định luật Gauss được phát biểu như sau: Thông lượng của vec tơ cảm ứng điện gởi qua một mặt kín S bất kỳ bằng tổng các điệnt ích tự do phân bố trong thể tích V được bao bởi mặt kín S ấy. Gọi: q là tổng điện tích của thể tích V D là vec tơ cảm ứng điện trên mặt kín S. ρ là mật độ điện tích khối bên trong thể tích V. Theo định luật Gauss: ∫ DdS = q S ∫ DdS = ∫ ρdV S V Áp dụng định lý Divergence đối với vế trái: 6
7. ∫ divDdV = ∫ ρdV V V Hệ thức này luôn đúng với mọi thể tích V. Vì vậy: divD = ρ (1.4.3) Nếu trong V không có điện tích thì divD = 0 , đường sức của vec tơ cảm ứng điện không có điểm bắt đầu và kết thúc trong thể tích V, hay nói cách khác V không phải là nguồn của vectơ cảm ứng điện. Nếu ρ > 0, thông lượng của vectơ cảm ứng điện qua S dương, chứng tỏ đường sức của vectơ cảm ứng điện đi ra khỏi V. Ngược lại, đường sức của vec tơ cảm ứng điện đi vào V. Từ biểu thức (1.4.3), ta có thể rút ra kết luận: nguồn của trường vec tơ cảm ứng điện là địên tích, đường sức của vec tơ cảm ứng điện bắt đầu ở điện tích dương và kết thúc ở điện tích âm. Biểu thức (1.4.3) chính là phương trình thứ tư của hệ phương trình Maxwell. Phương trình Maxwell thứ ba được dẫn ra từ định luật Gauss đối với trường từ: Thông lượng của vec tơ cảm ứng từ B qua mặt kín thì bằng không. Tương tự như cách dẫn phương trình Maxwell thứ tư, ta được: divB = 0 (1.4.4) Hệ thức (1.4.4) chính là phương trình thứ ba của hệ phương trình Maxwell. 1.4.3. Phương trình Maxwell thứ nhất Phương trình Maxwell thứ nhất được dẫn ra từ định luật lưu số Ampere-Maxwell, hay còn gọi là định luật dòng điện toàn phần. Định luật này thiết lập liên hệ giữa cường độ trường từ và dòng điện toàn phần tạo nên trường từ: Lưu số của vectơ cường độ trường từ H theo đường kín C tùy ý bằng tổ đại số cường độ các dòng điện chảy qua diện tích bao bởi đường kín C. Hdl = I (1.4.5) ∫ ∑ i C i Ii > 0 nếu chiều của dòng điện hợp với chiều của đường lậy tích phân theo quy tắc đinh ốc thuận. Trong trường hợp dòng I chảy qua điện tích S phân bố liên tục với mật độ dòng J , định luật lưu số Ampere – Maxwell có dạng: ∫ Hdl = ∫ JdS (1.4.6) C S Áp dụng định lý Stokes đối với vế trái, chuyển vế, ta được: ∫ (rotH − J )dS = 0 (1.4.7) S Vì vế trái luôn bằng không với mọi S, biểu thức dưới dấu tích phân phải bằng không, rút ra: rotH = J (1.4.8) Tiếp theo, ta lấy divergence cả hai vế của (1.4.8): divrotH = divJ Vế trái luôn bằng không với mọi vec tơ H (xem ở chương trình toán). Liên hệ với phương trình liên tục: ∂ρ divJ = − ∂t ∂ρ 0= − (1.4.9) ∂t 7
8. Hệ thức (1.4.9) chỉ đạt được khi dòng điện là dòng không đổi. Vậy hệ thức (1.4.5) và (1.4.8) chỉ đúng khi dòng điện là dòng không đổi. Bây giờ ta xét trường hợp dòng điện biến thiên. Khi đó: ∂ρ divJ = − ≠ 0 ∂t Thay (1.4.3) vào, ta được: ∂ divJ = − divD ∂t ∂D div(J + ) = 0 (1.4.10) ∂t ∂D Hệ thức (1.4.10) chứng tỏ đường dòng của vec tơ J = (J + ) khép kín. Vec tơ J tp ∂t tp chính là vec tơ mật độ dòng điện toàn phần đã đề cập ở mục 1.4.1. Dòng điện toàn phần là tổng của dòng điện dẫn có vec tơ mật độ dòng điện dẫn: J = γE (1.4.11) Và dòng điện dịch có vec tơ mật độ dòng điện dịch: ∂D J = (1.4.12) d ∂t Biểu thức toán học của định luật lưu số của Ampere (1.4.6) đã được Maxwell mở rộng như sau, khi có kể đến dòng điện dịch: ∂D Hdl = (J + )dS (1.4.13) ∫ ∫ ∂t C S ∂D rotH = J + (1.4.14) ∂t Hệ thức (1.4.14) chính là phương trình thứ nhất của hệ phương trình Maxwell. Hệ thức này chứng tỏ không chỉ dòng điện dẫn mà ngay cả điện trường biến thiên cũng có thể sinh ra trường từ. 1.4.4. Phương trình Maxwell thứ hai Phương trình thứ hai của hệ phương trình Maxwell được dẫn ra từ định luật cảm ứng điện từ Faraday. Định luật này thiết lập mối quan hệ giữa trường từ biến đổi trong không gian với trường điện phân bố trong không gian do trường từ gây ra: Sức điện động sinh ra trên một vòng dây có giá trị bằng và ngược dấu với tốc độ biến thiên của từ thông gởi qua diện tích giới hạn bởi vòng dây đó. d Edl = − BdS (1.4.15) ∫ dt ∫ C S Với S là mặt giới hạn bởi đường cong kín C. Yếu tố diện tích dS của mặt S có chiều hợp với chiều của lấy tích phân C theo quy tắc đinh ốc thuận. Áp dụng định lý Stokes với vế trái: ∫ Edl = ∫ rotEdS (1.4.16) C S Nếu mặt lấy tích phân S không phụ thu ộc thời gian: d ∂B ∫ BdS = ∫ dS (1.4.17) dt S S ∂t Thay (1.4.16) và (1.4.17) vào (1.4.15)m ta được: ∂B ∫ rotEdS = −∫ dS (1.4.18) S S ∂t 8
9. Hệ thức (1.4.18) luôn đúng với mọi S, vì vậy: ∂B rotE = − (1.4.19) ∂t Hệ thức (1.4.19) biểu diễn toán học của định luật Faraday, chính là phương trình thứ hai trong hệ phương trình Maxwell. Hệ thức này chứng tỏ trường từ biến thiên theo thời gian làm sinh ra trường điện xóay phân bố trong không gian. Đến đây, ta đã có đủ hệ phương trình Maxwell gồm 4 phương trình: ∂D rotH = J + ∂t ∂B rotE = − (1.4.20) ∂t divB = 0 divD = ρ Cần lưu ý rằng hệ phương trình Maxwell (1.4.20) cùng các phương trình liên hệ chỉ đúng với môi trường chất không chuyển động, các thông số của môi trường không phải là các hàm của thời gian, trong môi trường không có chất sắt từ, không có nam châm vĩnh cửu. 1.4.5. Hệ phương trình Maxwell với nguồn ngoài: Trong trường hợp xét trường được tạo ra bởi nguồn kích thích là nguồn độc lập với môi trường và không chịu ảnh hưởng của trường do nó tạo ra, hệ phương trình Maxwell phải có xét đến yếu tố mật độ dòng điện ngoài J . Hệ phương trình Maxwell trở thành: e ∂D rotH = J + J + e ∂t ∂B rotE = − (1.4.21) ∂t divB = ρ divD = 0 1.4.6. Nguyên lý đổi lẫn của hệ phương trình Maxwell Xét trường hợp với môi trường đồng nhất và đẳng hướng, bên trong không tồn tại dòng dẫn, mật độ địện tích tự do bằng không, không có nguồn ngoài. Hệ phương trình Maxwell trong trường hợp này có dạng gọn là: ∂E rotH = ε ∂t ∂H rotE = −μ (1.4.22) ∂t divH = 0 divE = 0 Xét thấy hệ phương trình (1.4.22) có dạng đối xứng. Các phương trình Maxwell vẫn giữ nguyên nếu ta thực hiện phép đổi lẫn: E ↔ H,ε ↔ −μ . (1.4.23) Tính chất này được gọi là nguyên lý đổi lẫn. Tương tự, trong trường hợp có nguồn ngoài, nguyên lý áp dụng sẽ là: 9
10. E ↔ H,ε ↔ −μ, J e ↔ J m , ρ ↔ ρ m (1.4.24) Với J m , ρ m là mật độ dòng từ và từ tích, hai đại lượng đưa vào mang tính hình thức, thực tế, chúng luông bằng không. Nguyên lý đổi lẫn của hệ phương trình Maxwell có ý nghĩa quan trọng trong việc nghiên cứu lý thuyết và trong khi giải các bài toán điện từ thực tiễn, nếu kết quả của nguồn điện (hay nguồn từ) là đã biết thì chúng ta có thể nhận ngay kết quả do nguồn từ (hoặc nguuồn điện) mà không phải tiến hành quá trình giải bài toán đó. 1.4.7. Hệ phương trình Maxwell đối với trường điều hòa Một trạng thái rất quan trọng của trường điện từ là trạng thái khi các đại lượng cơ bản của trường và nguồn biến thiên điều hòa theo thời gian với tần số góc ω. Bây giờ ta đi biểu diễn các đại lượng cơ bản của trường dưới dạng số phức và viết các phương trình Maxwell cho các biên độ phức của nó. Các đại lượng thực của trường ở một thời điểm bất kỳ được coi như là phần thực của các đại lượng phức tương ứng với chúng. i (ωt +ψ X ) i (ω t +ψ y ) i (ωt +ψ Z ) E = re {ix E xm e + i y E ym e + iz E zm e } (1.4.22) E = re {Ee iω t } Với H, J, ρ , cách biểu diễn tương tự. Từ cách biểu diễn phức các đại lượng của trường theo (1.4.22), chúng ta xây dựng được hệ phương trình Maxwell dạng vi phân cho các biên độ phức của trường như sau: rotH = J + iωD rotE = −iωB (1.4.23) divB = 0 divD = +ρ Các phương trình liên hệ dạng phức: D = εE B = μH (1.4.24) J = γ (E + Ee ) = γE + J e Với Ee là cường độ của nguồn ngoài tạo nên trường. Trong trường hợp không có nguồn ngoài: rotH = iωεE rotE = −iωμH (1.4.25) div(μH) = 0 div(εE) = 0 γ Với ε = ε − i được gọi là độ thẩm điện phức của môi trường. ω 1.5. Điều kiện bờ đối với các vec tơ của trường điện từ 10
11. Điều kiện bờ đối với các vectơ của trường điện từ là hệ thức giữa các thành phần của các vectơ trường điện từ ở hai bên, sát mặt giới hạn phân cách hai môi trường khác nhau. Điều kiện bờ có tầm quan trọng trong cả nghiên cứu lý thuyết lẫn tìm nghiệm các bài toán điện từ trong thực tiễn. Trong mục này, chúng ta sẽ đi tìm quan hệ của cùng các vectơ E, D, B, H ở hai bên của mặt phân cách hai môi trường khác nhau. Ta xét thành phần pháp tuyến trước: Điều kiện biên đối với thành phần pháp tuyến của một vectơ được dẫn ra từ phương trình dạng tích phân lấy theo mặt kín S, gồm mặt bên Sb và hai đáy ΔS1,ΔS2 đủ nhỏ để có thể coi vectơ trường không đổi trên mỗi đáy này (xem hình 1.5). Chọn vec tơ pháp tuyến n hướng từ môi trường (2) đến môi trường (1). Các vec tơ ở môi trường 1 và 2 lần lượt có chỉ số là 1 và 2. Lấy giới hạn cho mặt bên Sb ->0, ΔS1 -> ΔS0, ΔS2 -> ΔS0, thông lượng của vectơ trường gởi qua mặt bên Sb -> 0, sẽ nhận được quy luật biến đổi thành phần pháp tuyến vectơ của trường tại mặt biên Σ. Hình 1.5 Ta có: ∫ DdS = ∫ ρdV S V lim DdS = n(D1 − D2 ).ΔS0 (1.5.1) S →0 ∫ b S lim ∫ ρdV = điện tích phân bố mặt trên ΔS0 = σΔS0 (với σ là mật độ điện tích mặt trên Sb →0 V mặt Σ. Vậy: {n(D1 − D2 ) = σ }Σ (1.5.2) Hay: {}D1n − D2n = σ Σ Tương tự, ta được: {n(B1 − B2 ) = 0}Σ (1.5.3) ⎧ ∂σ ⎫ Và: ⎨n(J1 − J 2 ) = − ⎬ (1.5.4) ⎩ ∂t ⎭Σ Đối với thành phần tiếp tuyến: Cách xác định tương tự, với vòng dây dẫn chữ nhật nằm vể hai bên của mặt biên, hai cạnh song song với mặt biên, ta được điều kiện biên đối với thành phần tiếp tuyến như sau: {nx(E1 − E2 ) = 0}Σ (1.5.5) Hay: {}E1T − E2T = 0 Σ 11
12. {}H1T − H 2T = J S Σ (1.5.6) Với JS là mật độ dòng điện dẫn mặt trên mặt Σ. 1.6. Năng lượng của trường điện từ - Định lý Poynting Định lý Poynting thiết lập mối liên hệ giữa sự thay đổi năng lượng điện từ trong một thể tích V với dòng năng lượng điện từ chảy qua mặt kín S bao quanh thể tích này. Giả sử có một điện tích điểm dq chuyển động với một vận tốc v trong miền có thể tích V có trường điện từ, đặc trưng bởi các vectơ E, B . Điện tích điểm dq chịu tác dụng của lực điện và lực từ (Lorentz và Coulomb): F = dqE + dq.vxB (1.6.1) Khi dq dịch chuyển được một quãng đường dl , công của lực điện từ tác dụng lên dq sẽ là: dA = F.dl = dqE.dl + dq.vxB.dl dA = dq.E.dl dA = dq.E.v.dt (1.6.2) Công suất thực hiện bởi trường điện từ: dA = dq.E.v (1.6.3) dt Nếu điện tích dq phân bố liên tục với mật độ ρ thì dq = ρ.dV. Khi đó: dA = ρ.v.E.dV (1.6.4) dt Theo định luật Ohm: J = ρV (1.6.4) thành: dA = J.E.dV (1.6.5) dt Như vậy, nếu điện tích khối mật độ ρ chuyển động với vận tốc v tạo nên dòng điện dẫn mật độ dòng J thì công suất trường điện từ thực hiện d8ối với dòng này trong miền thể tích V bằng: P = J.E.dV (w) (1.6.6) j ∫ V Đó cũng chính là công suất tiêu tán trường do tỏa nhiệt trong thể tích V. Hàm dưới dấu tích phân là mật độ công suất tiêu tán: 3 p j = J.E (w/m ) (1.6.7) Tiếp theo, ta thay J từ phương trình thứ nhất Maxwell: ∂D J = rotH − ∂t Để ý hằng đẳng thức: div(ExH ) = HrotE − ErotH ∂B Và thay : rotE = − ∂t Hệ thức (1.6.7) trở thành: 12
13. ∂D ∂B − div(ExH ) = J.E + E + H (1.6.8) ∂t ∂t Vec tơ Poynting được định nghĩa: P = (ExH ) (w/m2) (1.6.9) Thay vào (1.6.8): ∂D ∂B − divP = J.E + E + H (1.6.10) ∂t ∂t Hệ thức (1.6.10) chính là định lý Poynting dạng vi phân đối với giá trị tức thời của các vec tơ trường điện từ. Tiếp theo, để có dạng tích phân, ta lấy tích phân hai vế theo thể tích V: ⎛ ∂D ∂B ⎞ ⎜ ⎟ − ∫ divPdV = ∫ JEdV + ∫ ⎜ E + H ⎟dV V V V ⎝ ∂t ∂t ⎠ Áp dụng định lý Divergence cho vế trái: ⎛ ∂D ∂B ⎞ ⎜ ⎟ − ∫ PdS = ∫ JEdV + ∫⎜ E + H ⎟dV (1.6.11) S V V ⎝ ∂t ∂t ⎠ Đây chính là dạng tích phân của định lý Poynting. Bây giờ ta xét ý nghĩa vật lý của định lý Poynting (1.6.11). Vì E đo bằng V/m, H đo bằng 2 A/m nên P đo bằng W/m . Vậy tích phân: − ∫ PdS (W) S Là công suất trường điện từ truyền qua mặt S vào trong thể tích V. Do đó vec tơ Poynting còn được gọi là vec tơ mật độ dòng công suất. Tích phân thứ nhất ở vế phải của (1.6.11) là công suất tiêu tán trường trong thể tích V, nên theo định luật bảo toàn và chuyển hóa năng lượng, phải là công suất ứng với sự thay đổi năng lượng điện từ tập trung trong thể tích V” dW ⎛ ∂D ∂B ⎞ ⎜ ⎟ = ∫⎜ E + H ⎟dV (W) (1.6.12) dt V ⎝ ∂t ∂t ⎠ W là năng lượng trường điện từ tập trung trong thể tích V. Gi ả thiết ở thời điểm t = 0, các vectơ của trường điện từ bằng không, ở thời điểm t có giá trị E, D, B, H , từ (1.6.12): t ⎛ ∂D ∂B ⎞ ⎜ ⎟ W = ∫∫⎜ E + H ⎟dV.dt (1.6.13) 0 V ⎝ ∂t ∂t ⎠ Dễ dàng chứng minh được: ∂D ∂ ⎛ 1 ⎞ ∂B ∂ ⎛ 1 ⎞ E = ⎜ ED⎟ và H = ⎜ HB⎟ (1.6.14) ∂t ∂t ⎝ 2 ⎠ ∂t ∂t ⎝ 2 ⎠ Thay vào (1.6.13): 1 1 W = ∫ EDdV + ∫ HBdV (J) 2 V 2 V Tích phân thứ nhất trong (1.6.14) chính là năng lượng trường điện, tích phân thứ hai là năng lượng trường từ. Mật độ năng lượng trường điện we và mật độ năng lượng trường từ lần lượt là: 1 1 w = ED và w = HB (J/m3) (1.6.15) e 2 m 2 Đối với trường điện từ biến thiên điều hòa, ta có vec tơ Poynting phức: 1 P = []ExH * (1.6.16) 2 13
14. Mật độ dòng công suất trung bình: Ptb = reP (1.6.17) Mật độ năng lượng trường điện trung bình: 1 w = ED* (1.6.18) eTB 4 Mật độ năng lượng trường từ trung bình: 1 w = BH * (1.6.19) mTB 4 Mật độ công suất tiêu tán trung bình: 1 p = EJ * (1.6.20) jTB 2 Định lý Poynting dạng phức: − PdS = p dV + i2ω (w − w )dV ∫ ∫ jTB ∫ eTB mTB S V V Phần thực của vế trái chính là tích phân thứ nhất của vế phải, cũng chính là công suất tác dụng đưa vào mạch điện. Phần ào của vế trái chính là tích phân thứ hai của vế phải, cũng chính là công suất phản kháng đưa vào mạch điện. 1.7. Định lý nghiệm duy nhất 1.7.1. Phát biểu định lý nghiệm duy nhất Hệ phương trình Maxwell có nghiệm duy nhất khi trường điện từ thỏa mãn hai điều kiện sau: 1. Biết các vectơ cường độ điện trường và từ trường tại thời điểm ban đầu t = 0 ở bất kỳ điểm nào tron vùng không gian khảo sát (đạy chính là điều kiện ban đầu) 2. Biết thành phần tiếp tuyến của vectơ cường độ điện trường hoặc thành phần tiếp tuyến của vectơ cường độ từ trường trên mặt giới hạn S bao miền không gian khảo sát trong khoảng thời gian 0 < t < ∞ (đây chính là điều kiện bờ). 1.7.2. Chứng minh định lý Nếu mặt S là giới hạn ngoài vùng không gian V, ta có bài toán trong. Nếu mặt S là giới hạn trong vùng không gia, ta có bài toán ngoài. Cách chứng minh hai bài toán trong và ngoài, sinh viên có thể tham khảo trong tài liệu tham khảo. 1.8. Nguyên lý tương hỗ 1.8.1. Bổ đề Lorentz Nguyên lý tương hỗ phản ảnh mối quan hệ tương hỗ giữa trường điện từ và các nguồn tạo ra nó tại hai điểm khác nhau trong không gian môi trường vật chất. N1o có vai trò rất quan trọng trong lý thuyết anten. Trước hết chúng ta xét một bổ đề quan trọng gọi là bổ đề Lorentz. Để cho đơn giản, chúng ta xét trường điện từ với nguồn biến thiên điều hòa theo thời gian với tần số góc ω. Giả sử tron môi trường đồng nhất và đẳng hướng có các tham số ε, μ, γ tại điểm (1) tồn tại các nguồn điện và từ với mật độ J e1 , J m1 tạo ra trường với cường độ E1 , H1 , tại điểm (2) tồn tại các nguồn điện và từ khác với mật độ J e2 , J m2 tạo ra trường có cường độ E2 , H 2 . Các nguồn và trường của chúng đếu có cùng tần số góc là ω. Các phương trình Amxwell viết cho biên độ phức của trường và nguồn ở hai điểm (1) và (2) đều có dạng: rotH1 = γE1 + iωεE1 + J e1 (1) rotE1 = −iωμH1 − J m1 (2) rotH 2 = γE2 + iωεE2 + J e2 (3) 14
15. rotE2 = −iωμH 2 − J m2 (4) Tiến hành phép tính như sau: - Nhân vô hướng 2 vế của (2) với H 2 và hai vế của (3) với E1 , sau đó trừ vế theo vế. Áp dụng hằng đẳng thức vectơ, ta được: div[E1 xH 2 ]= −iωεE1E2 − iωμH1H 2 − γE1E2 − J e2 E1 − J m1H 2 (5) - Nhân vô hướng 2 vế của (4) với H1 và 2 vế của (1) với E2 , làm tương tự như bước đầu tiên, ta được: div[E2 xH1 ]= −iωεE1E2 − iωμH1H 2 − γE1E2 − J e1E2 − J m2 H1 (6) - Trừ (5) cho (6) vế theo vế: div[E1 xH 2 ]− div[E2 xH1 ]= J e1E2 − J e2 E1 − (J m1H 2 − J m2 H1 ) (1.8.1) Hệ thức (1.8.1) được gọi là bổ đề Lorentz dạng vi phân. Lấy tích phân 2 vế theo thể tích V bao cả hai điểm (1) và (2) được giới hạn bởi mặt kín S rồi áp dụng định lý Gauss cho vế trái, ta nhận được dạng tích phân của bổ đề Lorentz như sau: E xH − E xH dS = J E − J E − J E − J E dV (1.8.2) ∫ {[ 1 2 ] [ 2 1 ]} ∫ {[ e1 2 e2 1 ] [ m1 2 m2 1 ]} S V Nếu mở rộng vùng V ra không gian vô hạn giới hạn bởi mặt cầu bán kính r -> ∞ , bổ đề Lorentz dạng tích phân cho vùng không gian rộng vô hạn là: J E − J E − J H − J H dV = 0 (1.8.3) ∫ {( e1 2 e2 1 ) ( m1 2 m2 1 )} V∞ 1.8.2. Nguyên lý tương hỗ Giả sử rằng trong một môi trường đồng nhất và đẳng hướng, nguồn điện và nguồn tứ (1) chỉ phân bố trong thể tích V1, còn nguồn điện và nguồn từ thứ hai chỉ phân bố trong thể tích V2. Hai thể tích này không có miền chung. Như vậy tích phân theo thể tích V∞ ở vế trái của (1.8.3) được phân ra làm 3 tí`ch phân: theo các vùng V1, V2, và vùng còn lại. Tích phân của các vùng còn lại bằng không vì không có nguồn tồn tại trong vùng này. Biểu thức (1.8.3) trở thành: (J E − J H )dV = (J E − J H )dV (1.8.4) ∫ e1 2 m1 2 ∫ e2 1 m2 1 V1 V2 Biểu thức (1.8.4) gọi là nguyên lý tương hổ của trường điện từ và nguồn của chúng ở hai vùng khác nhau. Bây giờ ta đi áp dụng nguyên lý tương hỗ cho các trường hợp khác nhau sau: 1. Với 2 lưỡng cực điện Nếu trong thể tích V1 đặt một lưỡng cực điện có mật độ dòng J e1 dài l1 tiết điện S1, trong thể tích V2 đặt một lưỡng cực thứ hai có mật độ dòng J e2 chiều dài l2, tiết diện S2. Các nguồn từ J m1 = J m2 = 0 . Ta ký hiệu điện trường trong lưỡng cực điện 1 do nguồn trong luỡng cực điện 2 tạo ra là E21 và điện trường trong lưỡng cực điện thứ hai do luỡng cực điện thứ nhất tạo ra là E12 . Khi đó nguyên lý tuơng hỗ viết cho hai luỡng cực điện 1 và 2 có dạng: J E dV = J E dV (1.8.5) ∫ e1 21 ∫ e2 12 V1 V2 Ta ký hiệu: I = J dS 1 ∫ e1 S1 15
16. I = J dS 2 ∫ e2 S1 e = E dl 21 ∫ 21 l1 e = E dl (1.8.6) 12 ∫ 12 l2 P1 = q 1 I 1 ; P 2 = q 2 I 2 I I q = 1 ;q = 2 1 iω 2 iω Ở đây, I1 , I 2 ,qq ,q2 là dòng điện và điệnt ích của lưỡng cực điện 1 và 2. P1 , P2 là các mômen điện của hai luỡng cực, e21 là sức điện động cảm ứng trong lưỡng cực 1 do lưỡng cực 2 tạo ra, e12 là sức điện động trong ưỡng cực 2 do lưỡng cực 1 tạo ra. Từ các biểu thức (1.8.5) và (1.8.6), ta có: I1e21 = I 2e12 (1.8.7) Và: P1E21 = P2 E12 (1.8.8) Nếu hai lưỡng cực điện 1 và 2 có kích thước giống nhau (S1 = S2, l1 = l2) và mật độ dòng điện trong chúng bằng nhau J e1 = J e2 thì từ (1.8.7) và (1.8.8) ta suy ra rằng; tác dụng của lưỡng cực điện 1 lên lưỡng cực điện 2 cũng bằng tác dụng của lưỡng cực điện 2 lên lưỡng cực điện 1. 2. Với hai lưỡng cực từ Nếu trong thể tích V1 chỉ có luỡng cực từ thứ nhất với mật độ dòng từ J m1 và trong thể tích V2 chỉ có lưỡng cực từ thứ hai với mật độ dòng từ J m1 , các nguồn điện bằng không thì từ (1.8.4) ta có biểu thức của nguyên lý tương hỗ cho hai lưỡng cực từ là: Pm1H 21 = Pm2 H12 (1.8.9) Với Pm1 , Pm2 là momen từ của lưỡng cực từ thứ nhất và thứ hai. H 21 là cường độ từ trường trong lưỡng cực 1 do lưỡng cực 2 tạo ra, H12 là cường độ trừơng từ trong lưỡng cực 2 do lưỡng cực 1 tạo ra. 3. Với một lưỡng cực điện và một lưỡng cực từ Nếu trong thể tích V1 chỉ có 1 lưỡng cực điện với mật độ dòng J e1 và trong thể tích V2 cũng chỉ có 1 lưỡng cực từ với mật độ dòng J m1 , ta nhận được nguyên lý tương hỗ cho 1 lưỡng cực điện và một lưỡng cực từ như sau: Pe1E21 = Pm2 H12 (1.8.10 1.9. Nguyên lý đồng dạng điện động Nguyên lý đồng dạng điện động xác định mối quan hệ giữa trường điện từ, các tham số điện và hình học của hệ điện từ và môi trường đối với 2 hệ điện từ đồng dạng điện động với nhau. 16
17. Trước tiên chúng ta chuyển các phưo97ng trình Maxwell dạng cơ bản có thứ nguyên về dạng không thứ nguyên. Đặt: H = α1a1; E = α 2 a2 J = α 3a3 ; J = α 4 a4 (1.9.1) l = α 5a5 ;t = α 6 a6 Trong đó: a1;a2 ;a3 ;a4 là các vectơ đơn vị không có thứ nguyên chỉ sự phụ thuộc của cường độ trường và nguồn vào tọa độ và thời gian; a5; a6 là các đơn vị vô hướng xác định tọa độ và thời gian trong toán tử vi phân, các hệ số tỉ lệ α có thứ nguyên tương ứng là: 2 α1(A/m), α2(V/m), α3(A/m ) 2 α4(V/m ), α5(m), α6(S) Thay (1.9.1) vào hai phương trình thứ nhất và thứ hai của hệ phương trình Maxwell rồi tiến hành các phép tính vi phân theo tọa độ và thời gian theo quy tắc của các hàm hợp, ta nhận được hệ phương trình mới dạng: ∂a2 rota1 = c1a2 + c2 + c3a3 ∂a6 (1.9.2) ∂a1 rota2 = −c4 a4 − c5 ∂a6 Ở đây, các hệ số mới c không có thứ nguyên có biểu thức sau: c1 = γα2α5/α1; c2 = εα2α5/α1α6; c3 = α3α5/α1; c4 = α4α5/α2; c5 = μα1α5/α2α6 (1.9.3) Hệ phương trình mới (1.9.2) là dạng không có thứ nguyên, nó mô tả các hệ điện từ khác nhau qua các hệ số c (1.9.3) khác nhau. Hai hệ điện từ có các hệ số c tương ứng bằng nhau gọi là hai hệ đồng dạng điện động với nhau. Biểu thức của nguyên lý đồng dạng điện động cho hai hệ điện từ sẽ là: c1 = c1’ ; c2 = c2’ ; c3 = c3’ ; c4 = c4’ ; c5 = c5’ (1.9.4) Ta xét một ví dụ minh họa cho việc áp dụng nguyên lý đồng dạng điện động: Cho một hệ điện từ thực làm vịêc trong môi trường điện môi lý tưởng và không có nguồn ngoài. Chúng ta cần xác định một hệ mẫu của nó cũng đặt trong môi trường trên sao cho trường điện từ trong hệ thực và hệ mẫu có giá trị như nhau. Chúng ta hãy tìm điều kiện cho hệ mẫu khi ng dạng điện động. Thao điều kiện đặt ra thì: áp dụng nguyên lý đồ γ = 0, J e = J m = 0 = ε’, μ = μ’, α1 = α1’, α2 = α2’ Nêu từ (1.9.3) và (1.9.4) suy ra: c1 = c1’ = 0, c3 = c3’ = 0, c4 = c4’ = 0 c2 = c2’ và c5 = c5’ Hay nhận được kết quả với các hệ số tỉ lệ: α6’/α6 = α5’/α5 (1.9.5) Biểu thức (1.9.5) cho ta mối quan hệ giữa các tham số của hệ thực và hệ mẫu như sau: nếu chọn hệ mẫu có kích thước lớn hơn hay nhỏ hơn kích thước của hệ thực bao nhiêu lần thì chu kỳ dao động của trường điện từ trong hệ mẫu cũng phải lớn hơn chu kỳ dao động của trường điện từ trong hệ thực bấy nhiêu lần. Kích thước và tần số làm việc của trường trong hai hệ mẫu và thực lại tỉ lệ với nhau. 17
18. Nguyên lý này rất có lợi trong việc nghiên cứu thực nghịêm các hệ điện từ như: tìm dạng các lọai anten, đo sự phản xạ và tán xạ sóng điện từ từ máy bay 1.10. Trường tĩnh điện 1.10.1. Các phương trình Maxwell của trường điện từ tĩnh Trường địên từ tĩnh là trường điện từ thỏa mãn hai điều kiện sau: 1. Các đại lượng điện và từ không thay đổi theo thời gian. Đạo hàm riêng các đại luơng này theo thời gian đều bằng không. 2. Không có sự chuyển động của các hạt mang điện, nghĩa là mật độ dòng điện luôn bằng không. Áp dụng vào hệ phương trình Maxwell (1.4.20) và điều kiện biên của trường điện từ, ta được: ⎪⎧rotH = 0 ⎪⎧rotE = 0 ⎨ (1.10.1) ⎨ (1.10.2) ⎩⎪divB = 0 ⎩⎪divD = ρ ⎪⎧{n(B1 − B2 ) = 0}Σ ⎪⎧{n(D1 − D2 ) = σ}Σ ⎨ (1.10.3) ⎨ (1.10.4) ⎩⎪{nx(H1 − H 2 ) = 0}Σ ⎩⎪{nx(E1 − E2 ) = 0}Σ B = μH D = εE Phương trình và điều kiện biên của trường điện từ tĩnh được tách thành hai nhóm độc lâp, mỗi nhóm chỉ chứa các đại lượng liên quan đến trường từ hoặc trường điện. Trong tài liệu này chỉ khảo sát trường điện tĩnh. Đó là trường điện không thay đổi theo thời gian của các điện tích đứng yên. 1.10.2. Thế vô hướng của trường điện từ tĩnh Công của lực điện tĩnh khi di chuyển một điện tích dq theo một đượng cong kín C như sau: A = ∫ dqE.dl = dq∫ rotE.dl = 0 C S với S là mặt được bao bởi C. Vì vậy ngừời ta nói rằng trường điện tĩnh có tính chất thế. Công của lực tĩnh điện chỉ phụ thuộc vị trí điểm đầu và điểm cuối, không phụ thuộc vào đường đi. Đại lượng đặc trưng cho vị trí đó được gọi là điện thế ϕ, đơn vị la Volt. Điện thế ϕ được định nghĩa: E = −gradϕ (V/m) (1.10.5) Đây chính là nghiệm của phương trình thứ nhất rotE = 0 vì rotgradϕ = 0 Dấu trừ ở (1.10.5) chỉ là quy ước: chiều của vec tơ cương độ điện trường là chiều giảm của ϕ. Theo định gnhĩa của toán tử gradient: dϕ = gradϕ.dl Vì vậy: dϕ = −E.dl ϕ = −∫ E.dl + C (V) (1.10.6) Điện thế là một đại lương không đơn trị. Giá trị của nó phụ thuộc vào việc xác định gốc điện thế, là điểm mà điện thế được xem là bằng không. Trong thực tế, người ta thường chọn thế điện bằng không là điện thế của trái đất. Một đại lương khác quan trọng hơn điện thế, đó là hiệu điện thế. Hiệu điện thế giữa hai điểm P và Q được xác định như sau: Q ϕ(P) −ϕ(Q) = ∫ E.dl (1.10.7) P 18
19. 1.10.3. Phương trình Poisson – Laplace Ta bắt đầu bằng phương trình: divD = ρ Thay: D = εE; E = −gradϕ Ta được: div(ε.gradϕ) = -ρ Nếu miền khảo sát là đồng nhất, độ thẩm điện là hằng số: div.gradϕ = -ρ/ε Hay: Δϕ = - ρ/ε (1.10.8) Với Δ là toán tử Laplace. Phương trình (1.10.8) là phương trình Poisson. Phương trình này thể hiện quan hệ giữa điện thế của trường tĩnh điện với phân bố điện tích tạo nên trừong tĩnh điện đó. Nếu trong miền khảo sát không có điện tích, phương trình (1.10.8) trở thành: Δϕ = 0 (1.10.9) Phương trình (1.10.9) được gọi là phương trình Laplace. 1.10.4. Năng lượng của trường tĩnh điện, điện dung Giả sử một hệ gồm N vật dẫn lần lượt mang điện tích: q1, q2, q3 qN. Điện thế tại vị trí của mỗi điện tích điểm lần lượt là ϕ1, ϕ2 ϕN. Năng lượng của trừờng tĩnh điện được tính như sau: 1 N We = ∑ϕ k .qk (1.10.10) 2 k −1 Điện dung bộ phân riêng của vật dẫn k: N Ckk = ∑ Akm (1.10.11) m=1 Điện dung bộ phân tương hỗ giữa vật dẫn k và vật dẫn m: Ckm = - Akm N Với: qk = ∑ Akm .ϕm m=1 1.11. Từ trường của dòng điện không đổi Trạng thái riêng thứ hai của trường điện từ là trường do dòng điện không đổi tạo ra. Đây là trạng thái dừng của trường điện từ.trường điện từ dừng là trường điện từ có các đại lương điện từ không đổi theo thời gian. Hệ phương trình Maxwell trở thành như sau: ⎪⎧rotH = J ⎪⎧rotE = 0 ⎨ (1.11.1) ⎨ (1.11.2) ⎩⎪divB = 0 ⎩⎪divD = ρ B = μH D = εE Các phương trình (1.11.2) có dạng giống như các phương trình của trường điện tĩnh, do vây trường điện dừng cũng tương tự như trường điện tĩnh và là một trường thế. Điều khác nhau là trường điện dừng tồn tại trong vật dẫn mang điện trong khi trường điện tĩnh bên trong vậtt dẫn cân bằng điện thì bằng không. Phương trình (1.11.2) chỉ ra rằng từ trường của trường từ dừng có dạng xoắn. Có thể biểu diễn: 1 H = rotA (1.11.3) μ M Với AM được gọi là thế vectơ. Hàm thế vectơ AM hòan toàn xác định khi ta biết div và rot của nó. Vì vậy ngoài biểu thức (1.11.3), ta đặt thêm điều kiện phụ sau: 19
20. divAM = 0 (1.11.4) Đặt biểu thức (1.11.3) vào phương trình thứ nhất của (1.11.2), áp dụng hằng đẳng thức sau: rot rot AM = grad div AM -Δ AM Kết hợp với điều kiện (1.11.4), ta nhận được: Δ A = −μJ (1.11.5) M Đây là phương trình Poisson cho AM . Tóm tắt chương 1 Chương thứ nhất tập trung vào các vấn đề tổng quát của trường điện từ: - Các đại lượng cơ bản của trường điện từ. - Các định luật cơ bản của trường điện từ. Chương này cũng đi vào thiết lập các phương trình toán học từ các phát biểu của các định luật. Hệ phương trình Maxwell được thành lập từ các phương trình toán học này. - Điều kiện bờ: là điều kiện để tìm nghiệm của các phương trình Maxwell sau này. - Một số nguyên lý của trường điện từ: nguyên lý tương hỗ, nguyên lý đồng dạng điện động. - Định lý Poynting về năng lương của trường điện từ. - Từ các kiến thức đã trình bày, tìm hiểu hai trường hợp đặc biệt của trường điện từ: trường điện tĩnh và trường điện từ dừng của dòng điện không đổi. - Chương này cũng đã trình bày các phương trình Maxwell của trường điện từ biến thiên điều hòa. Các phương trình quan trọng trong chương này như sau: • Định luật bảo toàn điện tích ∂ρ divJ + = 0 ∂t • Hệ phương trình Maxwell ∂D rotH = J + ∂t ∂B rotE = − ∂t divB = 0 divD = ρ • Các phươ ng trình liên hệ (môi trường đẳng hướng, tuyến tính) D = ε ε E = εE; D = ε E + P 0 r 0 ; B = μ0 μr H = μH; B = μ0 (H + M ); J = γE • Các điều kiện biên {n(D1 − D2 ) = σ }Σ {n(B1 − B2 ) = 0}Σ ⎧ ∂σ ⎫ ⎨n(J1 − J 2 ) = − ⎬ {nx(E1 − E2 ) = 0}Σ ⎩ ∂t ⎭Σ {nx(H − H ) = J } 1 2 S Σ • Vectơ Poynting: P = (ExH ) • Định lý Poynting 20
21. ⎛ ∂D ∂B ⎞ ⎜ ⎟ − ∫ PdS = ∫ JEdV + ∫⎜ E + H ⎟dV S V V ⎝ ∂t ∂t ⎠ Bài tập chương 1 1. Điện tích thử q chuyển động trong miền có trường điện từ với vận tốc V = ix + iy (m/s). Tìm cường độ trường điện E nếu biết trường từ có B = ix − 2iz và lực của trường điện từ tác dụng lên điện tích thử bằng không. 2. Một quả cầu vật chất bán kính a có độ thẩm điện ε đặt trong không khí. Một điện lượng Q phân bố đều trong thể tích quả cầu. Hãy tìm cường độ điện trường E ở trong và ngoài quả cầu. 3. Tìm cường độ điện trường E của một sợi dây thẳng dài vô hạn đặt trong không khí tích điện với mật độ điện tích dài λ1 (C/m). 4. Tính cường độ điện trường E của một lưỡng cực điện đặt trong không khí. Lưỡng cực có chiều dài l và điện tích ở hai đầu của nó là điện tích điểm có giá trị q và –q. 5. Tính cường độ trường E và thế ϕ của hai sợi dây mảnh thẳng dài vô hạn đặt song song trong không khí, cách nhau một khoảng d. Mỗi sợi chỉ tích điện với mật độ điện tích dài λ1 và -λ2 (C/m). 6. Tìm cường độ từ trường H trên đường thẳng vuông góc đi qua tâm của vòng dây dẫn mảnh bán kính R đặt trong không khí. Dòng điện không đổi chảy trong vòng dây có cường độ là I. 7. Tính cường độ từ trường H ở ngoài, giữa và trong một ống dây dẫn hình trụ tròn dài vô hạn đặt trong không khí. Biết rằng ống dây dẫn có bán kính trong là R1 và bán kính ngoài R2 có dòng điện không đổi I chạy qua. 8. Tính cương độ từ trường H trên trục của ống dây dài l bán kính a cuốn N vòng dây dẫn, có dòng điện không đổi chạy qua. 9. Có một tụ điện phẳng, điện môi không khí, tạo thành từ hai bản tròn bán kính r = 2cm và khoảng cách giữa chúng d = 0,2 cm. Tụ điện này là một phần của mạch giao động. Trên hai bản tụ có một điện áp điều hòa dạng U = Um sinωt 6 Um = 500V, ω = 217.10 rad/s Nếu bỏ qua hiệu ứng mép, hãy tìm dòng điện dịch toàn phần chảy qua 2 bản tụ và cương độ từ trường H tại không gian giữa hai bản tụ cách tâm một khoảng r’ = 1 cm. 10. Tìm biểu thức của điện năng tích trữ trong một tụ điện phẳng không khí có hiệu thế điện U và điện dung C. 11. Tìm giá trị trung bình của điện năng chứa trong một tụ điện kép phẳng gồm 3 bản với diện tích mỗi bản S = 4cm2, khoảng cách giữa các bản d = 0,1 cm. Điện môi giữa các bản tụ là 3 không khí, điện trường biến đổi trong tụ dạng hình sin với biên độ Em = 3.10 V/m. 21
22. 12. Chứng minh rằng trên giới hạn phân chia giữa hai môi trường điện môi, đường sức điện trường bị khúc xạ theo hệ thức: tgβ1/tgβ2 = ε1/ε2 Ở đây, β1 và β2 là góc tạo bởi vectơ cường độ điện trường với pháp tuyến của mặt giới hạn trong các môi trường điện môi 1 và 2, ε1 và ε2 là độ thẩm điện tuyệt đối của hai môi trường trên. 13. Điện môi có đậ thẩm điện ε = 80ε0, độ dẫn điện γ = 1 S/m. Xác định tần số của dòng điện điều hòa mà ở đó biên độ dòng điện dẫn bằng biên độ dòng điện dịch. 14. Hai môi trường phân cách bởi mặt phẳng có phương trình x + y =1 trong hệ tọa độ Descartes. Miền 1 chứa gốc tọa độ có độ thẩm điện ε = 4ε , miền 2 có ε = 8ε Cường độ 1 0 2 0. trường điện trong miền 1 tại mặt phân cách là E1 = 2iy + 3iz . Tìm cường độ trường điện tron miền 1 tại mặt phân cách. Giả sử trên mặt phân cách không có điện tích tự do. 15. Cáp đồng trục có bán kính lõi bằng a, bán kính vỏ bằng b, trong không gian giữa lõi và vỏ có trường điện xuyên trục Er = E0/r và trường từ phương vị Hφ = H0/r. Với E0, H0 là hằng số. Tính công suất truyền dọc cáp. 16. Chứng minh rằng tổng cường độ các dòng điện dẫn và dòng điện dịch qua mặt kín bất kỳ thì bằng không. 17. Tại thời điểm t = 0, một phần vật dẫn mang điện tích với mật độ ρ0. Chứng minh rằng mật độ điện tích bên trong vật dẫn giảm rất nhanh về không. 18. Xác định cường độ trường điện, thế điện trong chân không bên trên mặt dẫn phẳng rất rộng, mặt trên mang điện tích mặt phân bố đều với mật độ σ. 19. Trong hệ tọa độ Descartes, cường độ trường điện có dạng: E = yzix + zxiy + xyiz . Tìm hiệu điện thế giữa hai điểm A(0; 22,7; 99) và B(1; 1; 1). 20. Xác định thế điện và cường độ điện trường tại một điểm trên trục của một đĩa tròn phẳng bán kính a tích điện đều với mật độ σ. Môi trừờng xung quanh là không khí. 22
23. CHƯƠNG 2: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM NGHIỆM HỆ PHƯƠNG TRÌNH MAXWELL Để tìm các vectơ cường độ của trường điện từ trong các bài toán điện từ nói chung, chúng ta phải giải các phương trình Maxwell tức là tích phân chúng. Chương này trình bày các phương pháp tích phân các phương trình Maxwell trên cơ sở chuyển chúng về dạng phương trình sóng cho các vectơ cương độ điện trường, cho các thế điện động và cho các vactơ Hertz. Áp dụng các phương pháp phổ biến trong vật lý toán, chúng ta tìm được nghiệm của các phương trình sóng trên và dẫn ra biểu thứccho các vectơ cương độ trường. Trường điện từ bức xạ của lưỡng cực điện, lưỡng cực từ, nguyên tố điện tích mặt được dẫn ra trong chương này theo các phương pháp trên như những vì dụ minh họa. 2.1. Phương trình sóng cho các vectơ cường độ điện trường Hệ phương trình Maxwell trong môi trường đồng nhất và đẳng hướng có cả nguồn điện và từ có dạng: ∂E rotH = γE + J + ε e ∂t ∂H rotE = −J − μ (2.1.1) m ∂t divE = ρ /ε divH = ρ / μ m Hai phương trình thứ nhất và thứ hai bao gồm cả các vectơ E và H cùng các nguồn của chúng. Chúng ta hãy chuyển về dạng chỉ có một vectơ E hoặc H theo các nguồn của chúng. Lấy rot cho cả hai vế, để ý rằng: rot rot AM = grad div AM -Δ AM Ta được: ∂ graddivH − ΔH = γrotE + rotJ + ε rotE e ∂t ∂ graddivE − ΔE = −rotJ − μ rotH m ∂t Thay div E và div H bằng / và / theo phương trình thứ ba và thứ tư. Thay rot E ρ ε ρm μ và rot H bởi vế phải của nó trong các phương trình thứ nhất và thứ hai rồi chuyển vế, ta nhận được các biểu thức dạng: ∂ 2 H ∂H gradρ ∂J ΔH − εμ − μγ = −rotJ + m + ε m + γJ ∂t 2 ∂t e μ ∂t m ∂ 2 E ∂E gradρ ∂J ΔE − εμ − μγ = −rotJ + + μ e (2.1.2) ∂t 2 ∂t m ε ∂t Các phương trình (2.1.2) có dạng đạo hàm riêng bậc hai. Vế trái chỉ chức một vectơ, vế phải chứa các vectơ nguồn. các phương trình này được gọi là phương trình sóng không thuần nhất. Thường người ta chỉ giải các phương trình trong trường hợp không có nguồn và trong môi trường điện môi lý tưởng. Khi đó, hai phương trình (2.1.2) trở thành các phương trình sóng thuần nhất như sau: 23
24. ∂ 2 H ΔH − εμ 2 = 0 ∂t ∂ 2 E ΔE − εμ = 0 (2.1.3) ∂t 2 Khi tồn tại nguồn ngoài, người ta chuyển các phương trình Maxwell về các phương trình sóng cho các thế điện động và các vectơ Hertz. 2.2. Phương trình sóng cho thế điện động Các phương trình trong hệ phương trình Maxwell là phương trình tuyến tính. Trường do hai nguồn kích thích độc lập bằng tổng của hai trường do mỗi nguồn (nguồn kia bằng không) tạo ra. Mặt khác, hầu hết các nguồn điện và từ trong thực tế là các nguồn độc lâp. Ta tách hệ phương trình Maxwell thành hai hệ, một hệ mô tả trường điện từ do nguồn điện tạo ra, một hệ mô tả trường điện từ do nguồn từ tạo ra. Trường điện từ tổng hợp do cả hai nguồn tạo ra sẽ là chồng chất trường của mỗi nguồn tạo ra. 2.2.1. Đối với nguồn điện Xét trường trong điện môi lý tưởng γ = 0, hệ phương trình Maxwell (2.1.1) viết cho nguồn điện (cho nguồn từ bằng không) có dạng: ∂E rotH = J + ε e ∂t ∂H rotE = −μ (2.2.1) ∂t divE = ρ /ε divH = 0 Người ta đưa vào một khái niệm mới, gọi là hàm thế vectơ điện Ae : 1 H = rotA (2.2.2) μ e Đây chính là nghiệm của phương trình thứ tư vì: 1 divH = divrotA = 0 μ e Thay (2.2.2) vào phương trình thứ hai, ta được; ∂A rot(E + e ) = 0 ∂t Gọi ϕe là thế điện vô hướng, với: ∂A E + e = −gradϕ ∂t e (2.2.3) ∂A E = − e − gradϕ ∂t e Ae và ϕ được gọi chung là các thế điện động của nguồn điện. Các vectơ của trường được biểu diễn qua các thế điện động theo các biểu thức (2.2.2) và (2.2.3) Thay (2.2.2) và (2.2.3) vào phương trình thứ nhất, ta được: ∂ 2 A ∂ϕ ΔA − εμ e − grad(divA + εμ e ) = −μJ e ∂t 2 e ∂t e 24
25. Các thế điện động là các hàm chọn tùy ý nên để cho phương trình có dạng đơn giản, người ta đưa vào điều kiện phụ gọi là điều kiện phụ Lorentz như sau; ∂ϕ divA + εμ e = 0 (2.2.4) e ∂t Phương trình trở thành: ∂ 2 A ΔA − εμ e = −μJ (2.2.5) e ∂t 2 e Nếu thay (2.2.3) vào phương trình thứ 3 của (2.2.1), cũng áp dụng điều kiện phụ Lorentz, ta được phương trình cho thế vô tuyến điện: ∂ 2ϕ Δϕ − εμ e = −ρ /ε (2.2.6) e ∂t 2 Các phương trình (2.2.5) và (2.2.6) được gọi là các phương trình D’Alembert hay còn gọi là các phương trình sóng không thuần nhất. Ta nhận xét thấy khi đưa vào các thế điện động, các phương trình sóng đơn giản hơn so với ở (2.1.2). Các thế điện động được sử dụng như là các đại lượng trung gian. Các vectơ cường độ điện trường và từ trường có thể xác định qua các thế điện động một cách đơn giản. 2.2.2. Đối với nguồn từ Hệ phương trình Maxwell (2.1.1) đối với nguồn từ (cho nguồn điện bằng không) trong điện môi lý tưởng có dạng: ∂E rotH = ε ∂t ∂H rotE = −J − μ (2.2.7) m ∂t divE = 0 divH = ρ m / μ Vì dạng của (2.2.7) và (2.2.1) tương tự nhau nên ta có thể áp dụng nguyên lý đổi lẫn đã tìm hiểu ở chương 1 cho các biểu thức (2.2.2), (2.2.3) và các phương trình sóng (2.2.5), (2.2.6) được các kết quả sau: 1 E = rotAm ε ∂Am H = − − gradϕ m (2.2.8) ∂t ∂ 2 A ΔA − εμ m = −μJ m ∂t 2 m ∂ 2ϕ Δϕ − εμ m = −ρ /ε (2.2.9) m ∂t 2 m ∂ϕ divA + εμ m = 0 (2.2.10) m ∂t Am và ϕm là các thế điện động vectơ và vô hướng của trường điện từ đối với nguồn từ. Như vậy, nếu trong môi trường điện môi lý tưởng tồn tại cả nguồn điện và nguồn từ thì trường điện từ tổng hợp bằng chồng chất trường của nguồn điện và nguồn từ. Kết hợp (2.2.2), (2.2.3), và (2.2.8), ta được; 25
26. ∂A 1 E = − e − rotA − gradϕ ∂t ε m e (2.2.11) 1 ∂A H = rotA − m − gradϕ μ e ∂t m 2.2.3. Đối với trường điều hòa Đối với trường điều hò, ta cũng có thể dẫn ra các phương trình sóng bằng cách tương tự. Kết quả như sau: 1 E = −iωA − rotA − gradϕ e ε m e (2.2.12) 1 H = rotA − iωA − gradϕ μ e m m Với: i ϕ = divA e ωεμ e (2.2.13) i ϕ = divA m ωεμ m Đối với trường điện từ điều hòa, chỉ cần tìm nghiệm đối với các thế vectơ là đủ để tìm các biểu thức cho cường độ trường. 2.3. Phương trình sóng cho vectơ Hertz Hertz đã chỉ ra rằng có thể tích phân các phương trình Maxwell khi chuyển chúng về phương trình sóng chỉ một hàm vectơ, vectơ đó được gọi là vectơ Hertz. Các vectơ cường độ trường điện từ được biểu diễn qua vectơ Hertz bằng các phép vi phân cơ bản. Tiếp theo chúng ta sẽ xét các phương trình sóng cho các vectơ Hertz điện và vectơ Hertz từ ứng với trường hợp nguồn điện và nguồn từ. 2.3.1. Vectơ Hertz điện Vectơ Hertz điện được ký hiệu Γ và được định nghĩa như sau: e ∂Γ A = εμ e (2.3.1) e ∂t Thay (2.3.1) vào (2.2.2), ta được: ∂ H = ε rotΓe (2.3.2) ∂t Thay Ae vào điều kiện phụ Lorentz, ta được: ∂ (divΓ + ϕ ) = 0 ∂t e e Suy ra: ϕe = −divΓe (2.3.3) Đặt (2.3.10, (2.3.30 vào biểu thức (2.2.3), ta được; ∂ 2Γ E = graddivΓ − εμ e (2.3.4) e ∂t 2 Như vậy, các vec tơ trường điện từ được biểu điễn chỉ qua một vec tơ Hertz bởi biểu thức (2.3.2) và (2.3.4). Kế tiếp ta đi tìm phương trình cho vectơ Hertz. Thay (2.3.10 vào phương trình (2.2.5) rồi tích phân hai vế theo thời gian từ 0 đến t, ta được: ∂ 2Γ 1 t ΔΓ − εμ e = − J dt (2.3.5) e 2 ∫ e ∂t ε 0 Đặt: 26
27. t P = J dt (2.3.6) e ∫ e 0 Gọi là vectơ phân cực của nguồn điện, ta có được phương trình D’Alembert cho vectơ Hertz điện như sau: ∂ 2Γ P ΔΓ − εμ e = − e (2.3.7) e ∂t 2 ε Từ (2.3.7), ta nhận thấy vectơ phân cực là nguồn tạo ra vectơ Hertz điện nên ta còn gọi Γe là thế vectơ phân cực điện. 2.3.2. Vectơ Hertz từ Vectơ Hertz từ được ký hiệu là Γm . Áp dụng nguyên lý đổi lẫn của hệ phương trình Maxwell cho các thế điện động cùng các vectơ cường độ trường cho các biểu thức từ (2.3.1) đến (2.3.7), ta được: ∂Γ A = εμ m m ∂t ϕ m = −divΓm (2.3.8) ∂ E = −μ rotΓ ∂t m ∂ 2Γ H = graddivΓ − εμ m (2.3.9) m ∂t 2 Phương trình D’Alembert cho vectơ Hertz từ có dạng: ∂ 2Γ M ΔΓ − εμ m = − (2.3.10) m ∂t 2 μ Với: t M = J dt (2.3.11) ∫ m 0 là vectơ từ hóa của nguồn từ, do đó ngừơi ta còn gọi Γm là thế vectơ từ hóa. 2.3.3. Trường lọai điện và lọai từ Trong trường hợp vectơ Hertz điện và vectơ Hertz từ chỉ có một thành phần tọc độ thì trong hệ tọa độ Descartes, ta chọn vectơ Hertz dọc theo phương truyền của trường điện từ là trục z như sau: Γe = Γeiz ;Γm = Γmiz (2.3.12) Từ các biểu thức (2.3.2), (2.3.5), và (2.3.9) ta thấy; - Trường của nguồn điện (ứng với vectơ Hertz điện chỉ có một thành phần) có từ trường dọc theo phương truyền z bằng không, các thành phần khác nói chung khác không. Trường điện từ lọai này gọi là trường lọai điện dọc hay từ ngang và ký hiệu là E hay TM. - Trường của nguồn từ (ứng với vectơ Hertz từ chỉ có một thành phần) có điện trường dọc theo phương truyền bằng không, còn các thành phần khác nói chung khác không. Trường điện từ lọai này được gọi là trường lọai từ dọc hay điện ngang và ký hiệu là H hay TE. Như vậy trong trường hợp tổng quát, trường điện từ có thể coi như tổng hợp của hai lạoi trường: lọai điện và lọai từ. 2.4. Tìm nghiệm phương trình sóng Ở các mục trước của chương này, chúng ta đã tìm hiểu cách đưa các phương trình Maxwell của các đại lượng điện từ về các phương trình sóng của các thế điện động và vectơ 27
28. Hertz. Vấn đề tiếp theo là giải các phương trình sóng này. Ta thấy các phương trình sóng có dạng giống nhau, bởi vậy, ta đi giải phương trình cho một đại luợng đại diện nào đó như sau: ∂ 2ψ Δψ − εμ = −g (2.4.1) ∂t 2 Người ta đã chứng minh được nghiệm của phương trình trên như sau; r g(r',t − ) 1 ψ (r,t) = ∫ v dV (2.4.2) 4π V r Từ biểu thức (2.4.20, thatấy rằng trường tại thời điểm t tại điểm quan sát được xác định không phải bởi giá trị của nguồn tại thời điểm t mà được xác định ở thời điểm sớm hơn t một khoảng r/v. r/v chính là khoảng thời gian để trường truyền từ nguồn đến điểm quan sát cách một khoảng r với tốc độ v. Như vậy trường ở điểm quan sát chậm pha so với nguồn một khoảng thời gian là r/v. Nghiệm (2.4.2) còn được gọi là thế chậm của trường điện từ. Như vậy, chúng ta có được nghiệm của các phương trình sóng cho các thế vectơ và v6 hướng như sau; r J (r',t − ) μ e A (r,t) = v dV (2.4.3) e ∫ 4π V r r J (r',t − ) ε m A (r,t) = v dV (2.4.4) m ∫ 4π V r Nếu trường là điều hòa theo thời gian thì: 1 g(r',t)e −ikr ψ(r,t) = ∫ dV (2.4.5) 4π V r μ J (r',t)e−ikr A (r,t) = e dV (2.4.6) e ∫ 4π V r ε J (r',t)e −ikr A (r,t) = m dV (2.4.7) m ∫ 4π V r Với k = 2π/λ Ở các mục tiếp theo, chúng ta sẽ áp dụng phương pháp thế chậm trên để tìm trường bức xạ của lưỡng cực điện và lưỡng cực từ như là các ví dụ. 2.5. Trương điện từ của lưỡng cực điện Lưỡng cực điện là nguyên tố bức xạ sóng điện từ, là thành phần cơ bản tạo ra anten. 2.5.1. Khái niệm Lưỡng cực điện là một đọan dây dẫn ngắn, mảnh, bên trong có dòng điện biến đổi do nguồn nuôi ngoài cung cấp. Ta giả thiết như sau: - Lưỡng cực điện được đặt tron điện môi lý tưởng: γ = 0, ε = const, μ = const - Chiều dài l của lưỡng cực rất ngắn so với bước sóng λ của trường điện từ do nó phát ra: l << λ - Dòng điện trong lưỡng cực biến đổi điều hòa với tần số ω - Khoảng cách từ điểm tính trường đến lưỡng cực r rất lớn so với chiều dài của nó: l << r 2.5.2. Trường điện từ của lưỡng cực 28
29. Chọn hệ tỏa độ cầu có gốc O nằm giữa lưỡng cực, trục của lưỡng cực nằm hướng theo trục Oz. Dòng điện nu6i lưỡng cực hướng dọc trục Oz và điều hòa theo thời gian: iωt iωt I = Ie iz = JSe iz (2.5.1) Với J là mật độ dòng điện, S là tiết diện của lưỡng cực điện. Với các giả thiết ở 2.5.1, dòng điện trong lưỡng cực điện có biên độ và pha bằng nhau tại mọi điểm dọc theo lưỡng cực. Vì dòng nguồn nuôi trong lưỡng cực điện hướng theo trục z , nên tại điểm khảo sát trường M chỉ có một thành phần hứơng theo trục z. Áp dụng (2.4.6) để tính biên độ phức của thế chậm cho lưỡng cực điện. Chú ý do r >> l nên có thể xem khoảng cách từ M đến bất kỳ điểm nào trên lưỡng cực đều như nhau. μ Je −ikr μ Ie −ikr μIl A = A i = i dV = i dl = i e−ikr (2.5.2) e e z z ∫ z ∫ z 4π V r 4π l r 4πr Trong hệ tọa độ cầu, ta có; iz = cosθ.ir − sinθ.iθ Biểu thức (2.5.2) trở thành: μ.I.l.e −ikr A = (cosθ.i − sinθ.i ) (2.5.3) e 4πr r r Cường độ trường từ của lưỡng cực theo biểu thức (2.2.2): I.l ⎡e −ikr ⎤ H = rot⎢ (cosθ.ir − sinθ.iθ )⎥ 4π ⎣ r ⎦ I.l ⎛ 1 ⎞ e −ikr H = ⎜ + ik ⎟sinθ iφ (2.5.4) 4π ⎝ r ⎠ r Áp dụng phương trình Maxwell rotH = iωεE , ta tính được biên độ phức của cường độ điện trường như sau: −ikr 1 I.l e ⎧ ⎛ 1 ik ⎞ ⎛ 1 2 ik ⎞ ⎫ E = rotH = x⎨2⎜ 2 + ⎟cosθ.ir + ⎜ 2 − k + ⎟sinθ.iθ ⎬ (2.5.5) iωε 4π.iωε r ⎩ ⎝ r r ⎠ ⎝ r r ⎠ ⎭ Ta nhận xét thấy vectơ cường độ trường có biên độ tỉ lệ nghịch với r, có mặt đồng pha là mặt cầu bán kính r. Vậy trường bức xạ của lưỡng cực điện có tính chất sóng cầu. vận tốc dịch chuyển mặt đồng pha của sóng được gọi là vận tốc pha vp : φ = ωt – kr = const dφ = ωdt – kdr = 0 vp = dr/dt = ω/k Từ, (2.5.4) và (2.5.5), ta tính giá trị tức thời của vectơ cường độ trường như sau: ⎡ I.l.k ⎧ 1 ⎫ H φ = sinθ ⎨ cos(ωt − kr) − sin(ωt − kr)⎬ ⎢ 4 ⎢ πr ⎩kr ⎭ ⎢ I.l.k 2 ⎧ 1 1 ⎫ ⎢Er = cosθ ⎨ 2 2 sin(ωt − kr) + cos(ωt − kr)⎬ ⎢ 2πωεr ⎩k r kr ⎭ (2.5.6) ⎢ I.l.k 2 ⎧⎛ 1 ⎞ 1 ⎫ ⎢Eθ = sinθ ⎨⎜ 2 2 −1⎟sin(ωt − kr) + cos(ωt − kr)⎬ ⎢ 4πωεr ⎩⎝ k r ⎠ kr ⎭ ⎢ ⎣Eφ = H r = Hθ = 0 Tiếp theo ta xét tính chất của trường bức xạ của lưỡng cực điện ở các vùng không gian khác nhau: 2.5.3. Trường ở vùng gần Một điểm đựoc xem là nằm trong vùng gần nếu khoảng cách từ điểm quan sát đến lưỡng cực nhỏ hơn bước sóng rất nhiều r > l. 29
30. Do r > λ. Khi đó kr >> 1. Ta nhận đựơc biểu thức các thành phần của trường lưỡng cực điện ở vùng xa như sau: I.l.k I.l H = − sinθ sin(ωt − kr) = − sinθ sin(ωt − kr) φ 4πr 2λr (2.5.8) I.l.k 2 I.l μ E = − sinθ sin(ωt − kr) = − sinθ sin(ωt − kr) θ 4πωεr 2λr ε Ta nhận thấy: - Trường ở vùng xa của lưỡng cực chỉ gồm hai thành phần Hφ và Eθ đồng pha, vuông góc với nhau và vuông góc với phương truyền r, vectơ Poynting là thực, năng lượng trường điện từ của lưỡng cực được bức xạ vào không gian. Vùng xa vì vậy được gọi là vùng bức xạ. - Biên độ cường độ trường tỉ lệ với tần số ω (tỉ lệ nghịch với bước sóng), nếu có cùng giá trị của dòng điện I và ở cùng khoảng cách, khi tần số càng cao thì cường độ trường càng lớn. - Các biên độ cường độ trường đếu tỉ lệ với sinθ nên trường bức xạ của lưỡng cực điện có tính dịnh hướng trong không gian. Nó cực đại tại mặt phẳng có θ = 900 và bằng không theo phương của lưỡng cực θ = 00. Tính định hướng của các trường bức xạ sẽ được khảo sát trong môn học anten. 2.5.5. Công suất bức xạ, trở kháng bức xạ Trong mục này ta tìm hiều hai khái niệm mới là công suất bức xạ và trở kháng bức xạ, là hai tham số rất quan trọng trong lý thuyết và kỹ thuật anten. Công suất bức xạ được tính bởi tích phân theo toàn mặt kín bao quanh lưỡng cực ở vùng xa của vectơ Poynting trung bình. Thường, ngu ời ta lấy mắt kín là mặt cầu cho đơn giản. P = P dS (2.5.9) bx ∫ tb S Vectơ Poynting của trường bức xạ của lưỡng cực điện như sau: I 2l 2 k 3 P = sin 2 θ.i (2.5.10) tb 32π 2 r 2ωε r Yếu tố vi phân diện tích trên mặt cầu: dS = r2sinθdθdφ Công suất bức xạ trung bình: I 2l 2 k 3 2π π I 2l 2 k 2 μ I 2 P = dφ sin 3 θdθ = = R (2.5.11) tb 2 ∫ ∫ bx 32π ωε 0 0 12π ε 2 Với: 30
31. 2 l 2 k 2 μ 2 μ ⎛ 1 ⎞ Rbx = = π ⎜ ⎟ (2.5.12) 6π ε 3 ε ⎝ λ ⎠ Rbx là điện trở bức xạ của lưỡng cực điện. Đặt: μ z = c ε Và gọi là trở sóng của môi trường. 2.6. Trường điện từ của lưỡng cực từ 2.6.1. Lưỡng cực từ Lưỡng cực từ được xem là một đọan dây dẫn ngắn, mảnh, bên trong có dòng từ biến đổi do nguồn nuôi ngoài cung cấp chạy qua. Lưỡng cực từ là mô hình lý tưởng để tính toán các bài toán của nguồn bức xạ từ. Ta có thể áp dụng phương pháp tính các thếc chậm để tìm các vectơ cương độ trường do lưỡng cực từ gây ra. Tuy nhiên, ta có một phương pháp khác, đó là áp dụng nguyên lý đổi lẫn đối với biểu thức mô tả trường của lưỡng cực điện. Ta được biên độ phức của trường của lưỡng cực từ như sau: I ml ⎛ 1 ⎞ −ikr Em = − sinθ⎜ + ik ⎟e iφ 4πr ⎝ r ⎠ (2.6.1) −ikr I ml e ⎧ ⎛ 1 ik ⎞ ⎛ 1 2 ik ⎞ ⎫ H m = ⎨2⎜ 2 + ⎟cosθ.ir + ⎜ 2 − k + ⎟sinθ.iθ ⎬ 4πiωμ r ⎩ ⎝ r r ⎠ ⎝ r r ⎠ ⎭ Như vậy, trường bức xạ của lưỡng cực từ cũng là sóng cầu, các vectơ cường độ trường tỉ lệ với bán kính r, tỉ lệ với tần số ω và có tính định hướng trong không gian, vai trò của điện trường và từ trường thay thế cho nhau. 2.6.2. Trường điện từ của vòng dây Trong thực tế, người ta tạo ra nguyên tố bức xạ ra trường điện từ tương đương như trường của lưỡng cực từ bằng cách cho dòng điện biến đổi IM chạy qua một vòng dây dẫn nhỏ mảnh. Sau đây ta sẽ áp dụng phương pháp thế chậm để tìm trường bức xạ của nguyên tố anten khung này. Giả sử rằng mặt phẳng của vòng dây nằm trùng với mặt phẳng vĩ tuyến của tọa độ cầu. Vòngd ây có kích thước rất nhỏ so với bước sóng của trường do nó phát ra. Dòng điện biến thiên điều hòa: Ieiωt . Có thể xem biên độ và pha của dòng điện như nhau dọc theo đường dây. Thế chậm tìm được: μ J A = e −ikr'dV (2.6.2) e 4π ∫ r' V R’ là khoảng cách từ điểm tính trường đến vi phân vòng dây dl Ta có: dV = Sdl, JdV = JSdl = Idl Thay vào (2.6.2), ta được: μI e −ikr' A = dl (2.6.3) e ∫ 4π l r' Vì dòng điện chỉ có một phương φ nên thế chậm của nó cũng chỉ có một thành phần theo φ. Xét hai vi phân vòng dây dl đặt đối xứng qua mặt phẳng P đi qua điểm tính trường Q và vuông góc với mặt phẳng vòng dây (gọi là mặt phẳng kinh tuyến). Mỗi một yếu tố vi phân đối xứng nhau qua mặt phẳng P được phân tích thành hai yếu tố vi phân khác: dl '' hướng song song với mặt phẳng P và dl ' hướng vuông góc với mặt phẳng này. Khi để ý đến chiều dòng điện chạy 31
32. trong vòng dây, ta thấy rằng: thế vectơ của các yếu tố vi phân dl '' tạo ra ở điểm Q có cùng giá trị nhưng ngược nhau nên triệt tiêu, còn thế vectơ do các yếu tố dl ' tạo ra có cùng giá trị và cùng hướng nên tăng gấp đôi. Do đó, tích phân (2.6.3) chỉ cần lấy theo các yếu tố dl ' và chỉ cần lấy một nửa vòng dây và kết quả nhân đôi. Dl’ = dlcosφ=Rcosφdφ R là bán kính của vòng dây. Biểu thức (2.6.3) trở thành: μIR π e −ikr' cosφ A = i dφ (2.6.4) e φ ∫ 2π 0 r' Ta có các hệ thức gần đúng sau: 2R r'≈ r 2 − 2rRsinθ cosφ = r 1− sinθ cosφ ≈ r − Rsinθ cosφ r Nên: 1 1 1 1 = = r' r − Rsinθ cosφ r R 1− sinθ cosφ r 1 R 1 R ≈ (1+ sinθ cosφ) = + r r r r 2 sinθ cosφ Và: e −ikr' ≈ e −ik (r−R sinθ cosφ ) = e −ikr eikR sinθ cosφ = e −ikr {}cos(kRsinθ cosφ) + isin(kRsinθ cosφ) Khi: λ >>R thì kR<< 1 nên có thể xem: cos(kRsinθcosφ) ≈ 1 sin(kRsinθcosφ) ≈ kRsinθcosφ Như vậy ta có: e −ikr' ≈ e−ikr (1+ ikRsinθ cosφ) Ta tính được tích phân (2.6.4) như sau: π e −ikr' cosφ π e −ikr 1 ∫ dφ = sinθ ( + ik) 0 r' 2 4π r Thế chậm của vòng dây tại Q là: μIe −ikr 1 A = sinθ ( + ik)R 2i (2.6.5) e 4r r φ Cường độ từ trường của vòng dây: 2 −ikr IR e ⎧ ⎛ 1 ik ⎞ ⎛ 1 2 ik ⎞ ⎫ H = ⎨2⎜ 2 + ⎟cosθ.ir + ⎜ 2 − k + ⎟sinθ.i ⎬ (2.6.6) 4 r ⎩ ⎝ r r ⎠ ⎝ r r ⎠ θ ⎭ Cường độ điện trường: 1 IR 2 k 2e −ikr 1 E = rotH = sinθ ( + ik)i (2.6.7) iωε 4iωεr r φ So sánh với lưỡng cực từ, ta thấy rằng cường độ trường do vòng dây và lưỡng cực từ có tính chất tương tự nhau. Cường độ trường của vòng dây và lưỡng cực từ sẽ hòan toàn giống nhau nếu: I l m = μIπR 2 (2.6.8) iω Nếu gọi: I l P = q l = m (2.6.9) m m iω 32
33. Là mmomen của lưỡng cực từ và: 2 PmV = μIS.iS = μIπR iS (2.6.10) Là momen từ của vòng dây dẫn có dòng điện I và diện tích S, thì điều kiện để cho hai trường bức xạ của lưỡng cực từ và của vòng dây tương đương nhau là: Pm = PmV (2.6.11) Các thành phần của trường bức xạ của vòng dây ở vùng xa là: ⎡ IR 2 k 2 ⎢Hθ = − sinθ cos(ωt − kr) 4r ⎢ (2.6.12) ⎢ IR 2 k 2 μ ⎢Eφ = sinθ cos(ωt − kr) ⎣ 4r ε Công suất bức xạ và trở bức xạ; 2 I m Pbxv = Rbxv 2 (2.6.13) 8 S R = π 3 ( ) 2 z bxv 3 λ2 c Tóm tắt chương 2: Các phương trình trong hệ phương trình Maxwell nói lên mối quan hệ giữa các đại lượng của một trường điện từ, và quan trọng hơn là mối quan hệ giữa các đại lượng của trường với các nguồn bức xạ nên trường ấy. Việc giải hệ phương trình Maxwell chính là đi tìm phân bố của một trường bức xạ trong không gian khi đã biết các yếu tố kích thích tạo nên trường ấy. Có nhiều phương pháp giải khác nhau. Trong chương này trình bày phương pháp giải qua các đại lượng trung gian. Thay vì giải trực tiếp, người ta giải tìm ra các đại lương trung gian, gọi chung là các đại lượng thế chậm. Các đại lượng của trường bức xạ sẽ tìm đựơc từ các thế chậm này. Mặc dù có vẻ phực tạp hơn, nhưng thực chất việc giải tìm thế chậm và tính các đại lượng trường từ thế chấm đơn giản hơn nếu xét về mặt toán học. Chương này cũng trình bày cách sử dụng phương pháp trên đểm tìm phân bố trường của lưỡng cực điện và lưỡng cực từ, hai nguyên tố anten quan trọng trong chương trình môn học anten sau này. Mục 2.3 trình bày đại lượng trung gian thế điện động. Mục 2.4 trình bày đại luợng trung gian khác là thế vectơ Hertz. Ta có thể chọn giải bằng hai lọai vectơ trung gian khác nhau này. Mục 2.5 Trình bày cách giải tìm nghịệm là các thế chậm trung gian này. Bài tập 1. Chứng mình rằng nếu các thế điện động vectơ Ae , vô hướng ϕe thỏa mãn phương trình sóng thuần nhất thì các vectơ cường độ trường E và H cũng thỏa mãn phương trình sóng này. 2. Chứng minh rằng bằng cách đổi biến mới dạng: ξ = t – r/v và η = t + r/v với v2 = 1/εμ Chúng ta chuyển được phương trình sóng thuần nhất dạng: ∂ 2ψ ∂ 2ψ − εμ = 0 ∂r 2 ∂t 2 Về dạng mới: ∂ 2ψ = 0 ∂ξ∂η Ở đây, ψ là hàm của hai biến r và t. 33
34. 3. Một lưỡng cực điện dài l = 0,1m đặt trong không khí, được nuôi bởi dòng điện hình sin có biên độ Im = 1A và tần số f = 1MHz. Hãy xác định biên độ cường độ điện trường, từ trường tại khoảng cách r = 1km theo các phương θ = 300 và 900. Tính giá trị của vectơ Poynting trung bình của lưỡng cực. 4. Một lưỡng cực điện dài l = 0,2m, được nuôi bởi dòng điện hình sin có biên độ Im = 2A đặt trong không khí. Tại khoảng cách r = 5km theo phương θ = 900, xác định được mật độ công suất -6 2 trung bình của lưỡng cực Ptb = 5.10 W/m . Hãy tính biên độ cường độ điện trường và từ trường tại khoảng cách đó ở hướng trên và tần số phát f của lưỡng cực. 5. Tại khoảng cách r = 10km trong không khí theo phương θ = 300, máy đo biên độ cường độ -3 điện trường chỉ Em = 3.10 V/m. Hãy tính công suất bức xạ của lưỡng cực điện phát. 6. Có hai lưỡng cực điện đặt song song nhau trong không khí, cách nhau 1 khoảng d. Mỗi một lưỡng cực tạo ra điện trường ở khoảng cách r = 1km theo hướng cực đại có biên độ Em = 0,001 V/m một cách riêng rẽ nhau. Hãy xác định biên độ điện trường Em của hai lưỡng cực cũng ở khoảng cách này nhưng theo hai hướng là: theo trục x nối hai lưỡng cực và theo trục y. Biết rằng dòng trong hai lưỡng cực đồng pha, bước sóng của chúng bằng 2m, khoảng cách d có các giá trị 1,2m và 2,5m. 7. Trong một khung dây dẫn tròn đường kính 2R = 20cm có dòng điện biến đổi chảy với biên độ Im = 1A, bước sóng do khung phát ra bằng 20m. Hãy tính cường độ từ trường của khung ở khoảng cách r = 1km theo hướng bức xạ cực đại. 34
35. CHƯƠNG 3: SÓNG ĐIỆN TỪ PHẲNG Như đã biết ở các chương trước, điện trường biến thiên sẽ làm sinh ra từ trường, từ trường biến thiên sẽ làm phát sinh điện trường. Quá trình này cứ như vậy tiếp diễn làm cho trường điện từ lan truyền ra xa trong không gian. Trường điện từ lan truyền d i dạng sóng nên đựơc gọi là sóng điện từ.Sóng điện từ được chia thành các loại sau đây: sóng phẳng, sóng trụ và sóng cầu là các loại sóng có mặt đồng pha lần lượt là mặt phẳng, mặt trụ và mặt cầu. Trong thực tế, các sóng đều là sóng trụ hoặc sóng cầu. Khi xét đến sóng điện từ ở vùng xa với nguồn phát, có thể xem gần đúng sóng là sóng phẳng.Việc nghiên cứu sóng phẳng có ý nghĩa quan trọng trong thực tế vì các lý do sau: Nghiên cứu sóng phẳng sễ dàng hơn về mặt toán học. Nhưng các kết quả nghiên cứu định tính của sóng phẳng có thể đặc trưng cho các sóng khác. Trong một số trường hợp, các kết quả định lượng của sóng phẳng có thể áp dụng cho sóng trụ và cầu. Ở xa nguồn bức xạ, có thể xem sóng điện từ là sóng phẳng. Trong chương này ta sẽ xét các tính chất của sóng điện từ phẳng truyền trong các môi trường đồng nhất, đẳng hướng, sự phản xạ và khúc xạ của sóng phẳng tại các mặt phân chia môi trường khác nhau, các dạng phân cực khác nhau của sóng phẳng và các hiệu ứng xảy ra trong môi trường khi truyền sóng phẳng. 3.1. Nghiệm phương trình sóng đối với sóng phẳng Trong chương này, ta giả sử rằng sóng điện từ điều hòa với tần số ω. 3.1.1. Sóng phẳng đồng nhất Mặt đồng pha của sóng phẳng là mặt phẳng. Nếu trong mặt phẳng đồng pha này, các biên độ của cường độ trường H và E có gí trị không đổi ở mọi điểm thì sóng phẳng đó được gọi là đồng nhất. Như vậy, sóng phẳng đồng nhất có mặt đồng biên và đồng pha trùng nhau và là mặt phẳng. Các phương trình Maxwell của sóng phẳng điều hòa trong môi trường đồng nhất và đẳng hướng với các biên độ phức của cường độ trường viết trong hệ tọa độ Descartes có dạng: ∂H ∂H zm − ym = iωε E (1) ∂y ∂z p xm ∂H ∂H xm − zm = iωε E (2) ∂z ∂x p ym ∂H ∂H ym − xm = iωε E (3) ∂x ∂y p zm ∂E ∂E zm − ym = −iωμH (4) ∂y ∂z xm ∂E ∂E xm − zm = −iωμH (5) ∂z ∂x ym ∂E ∂E ym − xm = −iωμH (6) ∂x ∂y zm Chọn hệ tọa độ Descartes có trục z trùng với phương truyền của sóng phẳng, mặt đồng pha và đồng biên là mặt phẳng song song với xOy và có phương trình là z = 1. Như vậy, các vec tơ cường độ trường E và H của sóng phẳng đồng nhất có giá trị như nhau ở mọi điểm của mặt P, không phụ thuộc vào tọa độ x và y, chúng chỉ là hàm của z và thời gian t. Đạo hàm theo x và y vì vậy sẽ bằng không: ∂E ∂E ∂H ∂H = = = = 0 (3.1.1) ∂x ∂y ∂x ∂y 35
36. Từ điều kiện (3.1.1) và các phương trình (3) và (6) suy ra được: Ezm = H zm = 0 (3.1.2) Ta thấy rằng sóng phẳng đồng nhất trong môi trường đồng nhất và đẳng hướng không có các thành phần dọc theo phương truyền sóng của vectơ cuờng độ điện trường và cường độ từ trường. Các vectơ cường độ trường của sóng nằm trong mặt phẳng vuông góc với phương truyền sóng. Sóng phẳng đồng nhất như vậy còn được gọi là sóng điện từ ngang, hay là sóng TEM. 3.1.2. Nghiệm phương trình sóng Trong phần này, ta sẽ đi xác định biểu thức cho các vectơ cường độ trường của sóng phẳng TEM. Từ các phương trình (1), (2), (4), và (5), ta nhận được các phương trình sóng thuần nhất sau: ∂ 2 E xm + k 2 E = 0 (7) ∂z 2 p xm ∂ 2 E ym + k 2 E = 0 (8) ∂z 2 p ym ∂ 2 H xm + k 2 H = 0 (9) ∂z 2 p xm ∂ 2 H ym + k 2 H = 0 (10) ∂z 2 p ym γ Với k = ω ε μ = ω ε (1− i )μ (3.1.3) p p ωε Gọi là số sóng phức. Các phương trình từ (7) đến (10) giống nhau nên ta chỉ cần tìm nghiệm một phương trình và suy ra nghiệm các phương trình còn lại. Phương trình (7) có nghiệm dạng sau: −ik p z ik p z Exm = Exmt e + Exmpxe (3.1.4) Số hạng thứ nhất ở vế phải suy giảm khi z tăng, biểu thị sóng phẳng truyền theo phương z > 0 gọi là sóng tới. Số hạng thứ hai giảm khi z giảm biểu thị sóng phẳng theo chiều ngược lại với sóng tới gọi là sóng phản xạ. Exmt , Exmpx là các biên độ phức của sóng tới và sóng phản xạ. Tương tự, nghiệm của các phương trình (8), (9), và (10): −ik p z ik p z E ym = E ymt e + E ympxe −ik p z ik p z H xm = H xmt e + H xmpxe −ik p z ik p z H ym = H ymt e + H ympxe (3.1.5) Tổng hợp lại, các vectơ cường độ trường của sóng phẳng có thể viết như sau: −ik p z ik p z −ik p z ik p z E = (E xmt e + E xmpx e )ix + (E ymt e + E ympx e )iy −ik p z ik p z −ik p z ik p z H = (H xmt e + H xmpxe )ix + (H ymt e + H ympxe )iy (3.1.6) Quay hệ tọa độ quanh trục z sao cho trục x chỉ hướng của vectơ E và trục y chỉ hướng của vectơ H, ta có: E = Emix = Exmix (3.1.7) H = H miy = H ymiy Như vậy: ∂H 1 ymt μ Emt = Exmt = − = H ymt = z p H mt (3.1.8) iωε p ∂z ε p 36
37. ∂H 1 ympx μ Empx = Exmpx = − = H ympx = z p H mpx (3.1.9) iωε p ∂z ε p Zp được gọi là trở sóng phức của môi trường. Đến đây, ta có thể viết các biểu thức các vectơ cường độ trường sóng TEM gọn hơn: −ik p z ik p z H m = H mt e + H mpx e (3.1.10) −ik p z ik p z Em = ([H mt xiz ]e −[H mpx xiz ]e )z p Vectơ cường độ trường phức của sóng phẳng là: i(ωt−k p z) i(ωt+k p z) H m = H mt e + H mpxe (3.1.11) i(ωt−k p z) i(ωt+k p z) Em = ([H mt xiz ]e −[H mpx xiz ]e )z p Tương tự, ta có thể tìm được biểu thức của sóng phẳng truyền theo phương bất kỳ nào đó. Biểu thức cho từ trường của sóng thuận có dạng: i(ωt−k pl) H t = H mt e (3.1.12) Vectơ H mt nằm trong mặt phẳng vuông góc với phương l. Cường độ điện trường của sóng thuận sẽ là: i(ωt−k p z) Et = z p [H mt × il ]e (3.1.13) Các số sóng phức kp và trở sóng phức zp là các đại lượng phức nên có thể biểu diễn như sau: k p = β − iα (3.1.14) iψ z p = z p e Ở đây, α được gọi là hệ số tiêu hao của môi trường, β gọi là hệ số pha của sóng, ψ là argument của trở sóng phức. 1 1 α = ω εμ − + 1+ tg 2δ (3.1.15) 2 2 e 1 1 α = ω εμ + 1+ tg 2δ (3.1.16) 2 2 e zc z p = (3.1.17) 4 2 1+ tg δ e α −1+ 1+ tg 2δ ψ = arctg = arctg e (3.1.18) β 2 1+ 1+ tg δ e Vận tốc pha của sóng là vận tốc dịch chuyển mặt đồng pha của nó. Mặt đồng pha của sóng phẳng thuận có dạng: φ = ωt - βz = const (3.1.19) Do đó: dφ = ωdt - βdz = 0 Nên vận tốc pha vph: dz ω 1 1 v v ph = = = × = (3.1.20) dt β εμ 1 1 1 1 + 1+ tg 2δ + 1+ tg 2δ 2 2 e 2 2 e Ở đây v là vận tốc truyền sóng phẳng trong môi trường rộng vô hạn. Vectơ Poynting trung bình của sóng phẳng theo hướng thuận: 37
38. 2 E 1 1 * 1 2 1 mt Ptb = reP = re[Emt × H mt ] = z p H mt iz = (3.1.21) 2 2 2 2 z p 3.2. Sóng phẳng đồng nhất trong các môi trường đồng nhất và đẳng hướng 3.2.1. Trong môi trường điện môi lý tưởng Nghiên cứu các tính chất của sóng điện từ phẳng đồng nhất truyền dọc theo trục z > 0 trong môi trường điện môi lý tưởng đồng nhất và đẳng hướng rộng vô hạn. Vì điện môi lý tưởng có độ dẫn điện γ = 0 nên các tham số điện của nó là các số thực. Từ các bểu thức (3.1.16) đến (3.1.21), ta có: ⎫ ⎪ ⎪ α = 0,ψ = 0 ⎪ ⎪ β = k = ω εμ ⎪ ⎪ (3.2.1) z p = zc = μ / ε ⎬ ⎪ 1 v = = v ⎪ ph εμ ⎪ ⎪ 2 E ⎪ 1 2 1 m Ptb = zc H m = ⎪ 2 2 zc ⎭⎪ Các vectơ cường độ trường của song phẳng thuận trong điện môi lý tưởng bây giờ có dạng: −iβz H m = H mt e (3.2.2) −iβz Em = zc [H mt × z0 ]e Hay: i(ωt−βz) H = H mt e (3.2.3) i(ωt−βz) E = zc [H mt × z0 ]e Ta nhận xét tính chất của sóng phẳng trong điện môi lý tưởng như sau: - Các vectơ E và H luôn vuông góc với nhau và vuông góc với phương truyền song. Từ trường và điện trường luôn đồng pha và có biên độ không đổi dọc theo phương truyền song. - Vận tốc pha của sóng phẳng bằng vận tốc truyền sóng trong cùng môi trường. - Nếu môi trường không tổn hao năng lượng, không tán sắc sóng điện từ. trở sóng là một số thực. 3.2.2. Trong môi trường dẫn điện Trong môi trường dẫn điện có độ dẫn điện γ ≠ 0 thì trở sóng là đại lượng phức, hệ số tiêu hao α ≠ 0 nên sóng điện từ bị tiêu hao năng lượng, biên độ của các vectơ cường độ trường suy giảm theo hàm mũ dạng e-αz dọc theo phương truyền sóng z. Điện trường và từ trường lệch pha nhau một góc ψ bằng argument của trở sóng phức. Vận tốc pha là hàm số của tần số. Sóng phẳng trong môi trường dẫn điện bị tán sắc. Biểu thức của vectơ cường độ trường có dạng: i(ωt −βz)e −αa H = H mte (3.2.4) i(ωt −βz+ψ )e −αz E = zc[H mt × z0 ]e Nếu môi trường dẫn điện có độ dẫn điện rất lớn thì: 38
39. ωμγ ⎫ α ≈ β ≈ ⎪ 2 ⎪ μω ⎪ z ≈ ⎪ p γ ⎪ ⎬ (3.2.5) 2ω ⎪ v ≈ ph μγ ⎪ ⎪ π ⎪ ϕ ≈ 4 ⎭⎪ 3.3. Hiệu ứng bề mặt Vật dẫn điện là vật có độ dẫn điện σ rất lớn. Từ (3.2.5), ta suy ra, khi tần số càng lớn thì hệ số α rất lớn. Như vậy, biện độ trường điện và trường từ suy giảm rất nhanh khi truyền vào bên trong vật dận. Điều này có nghĩa là sóng điện từ chỉ tồn tại ở một lớp rất mỏng trên bề mặt của vật dẫn. Không chỉ có sóng điện từ, khi cho dòng điện cao tần chạy trong vật dẫn điện tốt, người ta cũng chứng minh được dòng điện này chỉ tồn tại ở một lớp mỏng trên bề mặt vật dẫn. Hiện tượng này được gọi là hiệu ứng bề mặt (skin effect). Để đặc trưng cho hiệu ứng bề mặt, người ta đưa ra khái niệm độ thấm sâu của trường hay chính là độ dày của lớp bề mặt mà trường tồn tại δ. Đó chính là khoảng cách tính từ bề mặt vật dẫn đi sâu vào bên trong, tại đó cường độ trường giảm đi e = 2,7183 lần so với giá trị ngay trên bề mặt. 3.4. Sự phân cực của sóng phẳng Sóng điện từ ở một thời điểm nào đó hướng của các vector cường độ trường E và H được xác định thì gọi là sóng bị phân cực. Nếu hướng của các vector cường độ E và H của sóng thay đổi một cách ngẫu nhiên thì sóng gọi là không bị phân cực. Mặt phẳng chứa vector cường độ điện trường và phương truyền sóng gọi là mặt phẳng phân cực. Sóng điện từ phẳng có nhiều dạng phân cực như: phân cực ellipse, phân cực tròn và phân cực thẳng. Các dạng phân cực trên có nhiều ứng dụng trong kỹ thuật. 3.4.1. Phân cực ellipse Giả sử ta nhìn từ nguồn phát sóng theo hướng truyền sóng, nếu đầu cuối của vector cường độ điện trường của sóng vạch nên hình ellipse trong không gian thì gọi là sóng phân cực ellipse. Chúng ta có thể phân tích sóng phân cực ellipse thành hai thành phần sóng có cùng tần số, cùng phương truyền và các vector cường độ trường vuông góc với nhau trong không gian. Giả sử ta có hai sóng phẳng như sau: E1 = x0Emx cos(ωt − βz) E2 = y0Emy cos(ωt − βz + ϕ) Ở đây Emx, Emy là các biên độ của các sóng thành phần, ϕ là góc lệch pha ban đầu của hai sóng. Vector cường độ điện trường của sóng tổng hợp sẽ thực hiện theo quy tắc tổng hợp 2 vector, chúng ta hãy tìm phương trình cho đầu cuối của vector cường độ trường của sóng tổng hợp. Ta lần lượt bình phương hai vế của các biểu thức trên và biến đổi đôi chút sẽ nhận được biểu thức sau: 2 2 ⎛ E ⎞ ⎛ E ⎞ E E ⎜ 1 ⎟ + ⎜ 2 ⎟ − 2cosϕ 1 2 = sin 2 ϕ (3.4.1) ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ Emx ⎠ ⎝ Emy ⎠ Emx Emy Từ hình học giải tích, ta nhận thấy biểu thức (3.4.1) là phương trình mô tả đường cong ellipse trong mặt phẳng tọa độ E1, E2. Ellipse này có trục lớn làm một góc ψ với trục tọa độ x. 39
40. Do vậy trong quá trình truyền sóng theo trục z đầu cuối của vector điện trường của sóng tổng hợp sẽ vạch ra một đường xoắn trong không gian. Giá trị của ψ có thể tính theo biểu thức sau: 2 2Emx Emy tg ψ = 2 2 cosϕ (3.4.2) E mx − E my với Emx > Emy 3.4.2. Phân cực tròn Trong trường hợp thành phần điện trường của hai sóng thành phần có biên độ bằng nhau: Emx = Emy = Em và lệnh pha nhau góc ϕ = ±π/2 thì ta có: sin2ϕ = 1, cosϕ = 0 Nên phương trình (3.4.1) trở thành: 2 2 2 E1 + E2 = Em (3.4.3) Đây là phương trình đường tròn trong mặt phẳng tọa độ E1, E2. Trong trường hợp này, đầu cuối của vector điện trường vẽ nên đường xoắn tròn trong không gian. Sóng được gọi là phân cực tròn. nếu nhìn theo chiều truyền sóng, vector điện trường quay theo chiều kim đồng hồ thì ta có sóng phân cực tròn quay phải, trường hợp vector điện trường quay ngược chiều kim đồng hồ ta gọi là sóng phân cực tròn quay trái. Chiều quay của vector cường độ điện trường phụ thuộc vào dấu của góc lệch pha π/2. 3.4.3. Phân cực thẳng Sóng có vector cường độ trường E luôn hướng song song theo một đường thẳng trong quá trình truyền sóng gọi là sóng phân cực thẳng hay phân cực tuyến tính. Trong trường hợp này góc lệch pha của 2 song thành phần có giá trị: ϕ = 0, ±π, ±2π, Nên sinϕ = 0, cosϕ = ±1 và phương trình (3.4.1) trở về dạng: 2 ⎛ E E ⎞ ⎜ 1 ± 2 ⎟ = 0 ⎜ ⎟ ⎝ Emx Emy ⎠ Emy Suy ra: E2 = ± E1 (3.4.4) Emx Đây là phương trình đường thẳng đi qua gốc tọa độ, nghiêng một góc so với trục x là ψ’ được xác định bởi biểu thức : E tgψ '= my (3.4.5) Emx Đối với phân cực thẳng tùy theo hướng của vector cường độ điện trường, người ta còn phân làm hai trường hợp là phân cực ngang và phân cực đứng. 3.5. Sự phản xạ và khúc xạ sóng điện từ Hiện tượng sóng điện từ thay đổi đột ngột phương truyền tại chỗ phân cách hai môi trường có tham số khác nhau gọi là sự phản xạ và khúc xạ của sóng điện từ. Sự phản xạ và khúc xạ sóng được ứng dụng nhiều trong kỹ thuật. Trong mục này chúng ta nghiên cứu quy luật của sóng phản xạ và khúc xạ tại mặt phân cách rộng vô hạn của hai môi trường có tham số điện khác nhau. Để cho đơn giản, ta chỉ xét đối với trường hợp sóng phẳng tới phân cực thẳng ngang và đứng, các trường hợp phân cực khác của sóng phẳng là tộ hợp của hai dạng sóng phân cực thẳng ngang và đứng như đã xét trong mục 3.4. 3.5.1. Sóng tới phân cực ngang Sóng phân cực thẳng được gọi là phân cực ngang nếu vector cường độ điện trường của sóng tới vuông góc với mặt phẳng tới. Mặt phẳng tới là mặt phẳng chứa phương truyền sóng và pháp tuyến của mặt phân cách hai môi trường.Trong trường hợp này, vector cường độ điện trường 40
41. của sóng tới sẽ song song với mặt phân cách hai môi trường. Để tìm quy luật của sóng phản xạ và khúc xạ, ta chọn hệ tọa độ Descartes có mặt xOy trùng với mặt phẳng giới hạn phân cách hai môi trường, trục z trùng với pháp tuyến của mặt giới hạn, hai môi trường điện môi có các tham số điện ε1, μ1, ε2, μ2 tương ứng. Vì sóng tới là sóng phẳng truyền theo phương zt lập với pháp tuyến một góc ϕt nên ta có thể quay hệ tọa độ xung quanh trục z một góc nào đó để trục x của nó chỉ phương của vector cường độ điện trường của sóng tới. Tại mặt phân cách sẽ có sóng phản xạ lại môi trường 1 với góc phản xạ ϕpx truyền theo hứơng zpx, còn sóng khúc xạ tại mặt phân cách với góc ψ và đi vào môi trường thứ hai theo phương zkx. Điện trường của sóng tới, sóng phản xạ và khúc xạ chỉ có thành phần thoe trục x, còn từ trường của các sóng trên có hia thành phần theo trục y và trục z. Áp dụng biểu thức (3.1.4), (3.1.5) cho cường độ trường của các sóng, ta được: - Sóng tới: −ik1zt ⎫ E1 = x0E1mxe ⎪ ⎬ (3.5.1) −ik1zt H1 = (y0H1my + z0H1mz )e ⎭⎪ - Sóng phản xạ: −ik1z px ⎫ E'1 = x0E'1mx e ⎪ ⎬ (3.5.2) −ik1z px H '1 = (−y0H '1my +z0H '1mz )e ⎭⎪ - Sóng khúc xạ: −ik2zkx ⎫ E2 = x0E2mxe ⎪ ⎬ (3.5.3) −ik2z px H 2 = (−y0H 2my + z0 H 2mz )e ⎭⎪ Ở đây, k1 = ω ε1μ1 ,k2 = ω ε 2μ2 là số sóng của môi trường 1 và 2 tương ứng, các tọa độ phương truyền sóng zt, zpx, zkx được biểu diễn qua tọa độ x, y, z như sau: zt = −ysinϕt + z cosϕt ⎫ ⎪ z px = −ysinϕ px − z cosϕ px ⎬ (3.5.4) ⎪ zkx = −ysinψ + z cosψ ⎭ Vì hai môi trường 1 và 2 đều là điện môi nên áp dụng điều kiện bờ cho các vector cường độ trường của các sóng tại mặt phẳng giới hạn phân cách xOy (z = 0) ta có: E1τ = E1mx + E'1mx = E2τ = E2mx ⎪⎫ (3.5.5) ⎬ H1τ = H1my − H '1my = H 2τ = H 2my ⎭⎪ Đặt các biểu thức (3.5.1), (3.5.2), (3.5.3), (3.5.4) vào trong (3.5.5) và cho z = 0, ta nhận được các hệ thức: ik y sinϕ E eik1 y sinϕt + E' e 1 px = E eik2 y sinψ 1mx 1mx 2mx ik y sinϕ ik1 y sinϕt 1 px ik2 y sinψ H1mye − H '1my e = H 2mye Hai hệ thức trên luôn thỏa mãn với mọi giá trị của y nên chúng tương đương với hai hệ thức sau: E + E ' = E 1mx 1mx 2mx (3.5.6) ' H1my − H1my = H 2my ik y sinϕ eik1 y sinϕt = e 1 px = eik2 y sinψ (3.5.7) Từ (3.5.7), ta suy ra: ϕt = ϕpx (3.5.8) k1sinϕt = k2sinψ (3.5.9) Biểu thức (3.5.8) mô tả định luật phản xạ sóng điện từ tại mặt giới hạn. Biểu thức (3.5.9) cho ta định luật khúc xạ của sóng. Nếu gọi: 41
42. n1 = ε1 ,n2 = ε 2 (3.5.10) là chiết suất của môi trường thứ nhất và thứ hai, đồng thời coi độ thẩm từ tuyệt đối của chúng bằng nhau: μ1 = μ0, μ2 = μ0, thì định luật khúc xạ của sóng phẳng có dạng giống như trong quang học: n1sinϕt = n2sinψ (3.5.11) Để mô tả mối quan hệ giữa các biên độ phức của sóng tới, sóng phản xạ, sóng khúc xạ, người ta đưa ra khái niệm hệ số phản xạ và hệ số khúc xạ. Hệ số phản xạ là tỉ số giữa biên độ phức của sóng phản xạ và biên độ phức của sóng tới tính cho điện trường, ký hiệu là R. hệ số khúc xạ là tỉ số giữa biên độ phức của sóng khúc xạ trên biên độ phức của sóng tới, cũng tính cho điện trường và ký hiệu là T. Đối với sóng phân cực ngang, ta có: E ' E R = 1m ,T = 2m (3.5.12) ng ng E1m E1m ⎧E = E , E ' = E ' ⎪ 1m 1mx 1mx 1mx ⎪ ⎨E2m = E2mx , H1my = H1m cosψ (3.5.13) ⎪ ' ' ⎩⎪H1my = H1m cosϕt , H 2my = H 2m cosψ ⎧H1m = E1m / zc1 ⎪ ' ' Và ⎨H1m = E1m / zc1 (3.5.14) ⎪ ⎩H 2m = E2m / zc2 μ1 μ2 Ở đây zc1 = , zc2 = là trở sóng của môi trưosờng 1 và 2 tương ứng. Thay các giá ε1 ε 2 trị của biên độ phức của sóng tới, sóng phản xạ, sóng khúc xạ trong biểu thức (3.5.13), (3.5.14) vào hệ thức (3.5.6) và sau đó chia hai vế của chúng cho E1m ta có: 1 + Rng = Tng (3.5.15) cosϕ1 cosψ (1− Rng ) = Tng zc1 zc2 Từ hai biểu thức trên, ta tính được biểu thức cho hệ số phản xạ và khúc xạ như sau: zc2 cosϕt − zc1 cosψ ⎫ Rng = ⎪ zc2 cosϕt + zc1 cosψ ⎪ ⎬ (3.5.16) 2zc2 cosϕt ⎪ Tng = zc2 cosϕt + zc1 cosψ ⎭⎪ Góc khúc xạ ψ có thể tính qua góc tới ϕt qua định luật khúc xạ (3.5.9) là; 2 ⎛ k ⎞ ε ⎜ 1 ⎟ 1 2 cosψ = 1− ⎜ sinϕt ⎟ ≈ 1− sin ϕt (3.5.17) ⎝ k2 ⎠ ε 2 Biểu thức 93.5.16) được gọi là công thức Fresnel. Nếu hai môi trường là điện môi có độ từ thẩm tuyệt đối bằng nhau μ1 = μ2 = μ0 thì công thức Fresnel (3.5.16) có dạng khác là: 42
43. ⎫ ε1 2 ε1 cosϕt − ε 2 1− sin ϕt ⎪ ε R = 2 ⎪ ng ⎪ ε1 2 ε1 cosϕt + ε 2 1− sin ϕt ⎪ ε 2 ⎬ (3.5.18) ⎪ 2 ε cosϕ T = 1 t ⎪ ng ⎪ ε1 2 ε1 cosϕt + ε 2 1− sin ϕt ⎪ ε 2 ⎭ 3.5.2. Sóng tới phân cực đứng Sóng phân cực thẳng gọi là phân cực đứng nếu vector cường độ điện trường của sóng tới nằm trong mặt phẳng tới. Trường hợp này vector cường độ từ trường của sóng tới sẽ song song với mặt phân cách hai môi trường. Ta cũng chọn hệ tọa độ Descartes có trục z trùng với pháp tuyến mặt phân cách 2 môi trường khác nhau, mặt xOy trùng với mặt phẳng rộng vô hạn phân cách 2 môi trường và trục x chỉ phương của vector cường độ từ trường của sóng tới. Các vector cường độ trường của sóng tới, sóng phản xạ, khúc xạ, phương zt, zpx, zkx và các góc ϕt, ϕpx, ψ được vẽ trên hình 3.10. Ta thấy các vector ta thấy các vector từ trường của sóng tới, sóng phản xạ và sóng khúc xạ chỉ có một thành phần theo trục x, còn vector cường độ điện trường của ba sóng trên có hai thành phần theo trục y và z. Ta lập lại các bước tiến hành tương tự như ở mục 3.5.1 áp dụng điều kiện biên choc ác thành phần tiếp tuyến của điện trường và từ trường tại mặt giới hạn phân cách hai môi trường xOy cho hình 3.10 sẽ nhận được các biểu thức của định luật phản xạ và khúc xạ như các biểu thức (3.5.8), (3.5.9) nhưng hệ số phản xạ và khúc xạ có dạng khác trước là; zc1 cosϕt − zc2 cosψ ⎫ Rd = ⎪ zc1 cosϕt + zc2 cosψ ⎪ ⎬ (3.5.19) 2zc2 cosϕt ⎪ Td = zc1 cosϕt + zc2 cosψ ⎭⎪ mối quan hệ giữa Td và Rd có dạng: 1 + Rd = Td(zc1/zc2) (3.5.20) Nếu hai môi trường điện môi có độ từ thẩm tuyệt đối bằng nhau: μ1 = μ2 = μ0 thì biểu thức Fresnel (3.5.19) có dạng khác là: ⎫ ε1 2 ε 2 cosϕt − ε1 1− sin ϕt ⎪ ε R = 2 ⎪ d ⎪ ε1 2 ε 2 cosϕt + ε1 1− sin ϕt ⎪ ε 2 ⎬ (3.5.21) ⎪ 2 ε cosϕ T = 1 t ⎪ d ⎪ ε1 2 ε 2 cosϕt + ε1 1− sin ϕt ⎪ ε 2 ⎭ 3.5.3. Sóng tới vuông góc với mặt giới hạn Khi sóng tới vuông góc với mặt giới hạn phân chia hai môi trường, tức góc tới ϕt = 0, theo định luật khúc xạ, ta có cosψ = 1 và do đó góc khúc xạ ψ = 0. Lúc này các hệ số khúc xạ và phản xạ (3.5.16), (3.5.19) nhận dạng đơn giản là: zc2 − zc1 2zc2 ⎫ Rng = ;Tng = ⎪ zc2 + zc1 zc2 + zc1 ⎪ ⎬ (3.5.22) zc1 − zc2 2zc2 ⎪ Rd = ;Td = zc1 + zc2 zc1 + zc2 ⎭⎪ 43
44. 3.5.4. Sự phản xạ toàn phần Nếu như môi trường 1 có chiết suất lớn hơn môi trường 2: n1 > n2 thì từ (3.5.11), ta có: sinψ = (n1/n2)sinϕt nghĩa là sẽ nhận được góc khúc xạ ψ lớn hơn góc tới ϕt. Khi đó ta sẽ nhận được một góc tới giới hạn 0 ϕ0 thì sóng khúc xạ không đi vào môi trường 2 mà quay lại môi trường thứ nhất (ứng với ψ > π/2). Hiện tượng trên gọi là phản xạ toàn phần. Góc ϕ0 gọi là góc giới hạn được xác định bởi biểu thức: ϕ0 = arc sin (n2/n1) 3.5.5. Sự khúc xạ toàn phần Ngược với hiện tượng phản xạ toàn phần là sự khúc xạ toàn phần, nghĩa là sóng tới truyền không phản xạ vào môi trường thứ hai. Trong trường hợp khúc xạ toàn phần thì hệ số phản xạ bằng không. Góc tới ứng với hiện tượng khúc xạ toàn phần gọi là góc Bruster và ký hiệu là ϕb. Ta có biểu thức để xác định giá trị của góc Bruster đối với hai trường hợp phân cực ngang và đứng của sóng tới suy từ (3.5.16) và (3.5.19) là: ε R = 0 → z cosϕ − z 1− 1 sin 2 ϕ = 0 ng c2 b c1 ε b 2 ε1 2 Rd = 0 → zc1 cosϕb − zc2 1− sin ϕb = 0 ε 2 Ta nhận thấy hai phương trình trên không thể đồng thời có cùng nghiệm được, nghĩa là chỉ có một trong hai trường hợp xảy ra hiện tượng khúc xạ toàn phần. thực tế chỉ ra rằng chỉ có sóng phân cực đứng mới có hiện tượng khúc xạ toàn phần. Và góc Bruster được xác định như sau: ε 2 tgϕb = (3.5.24) ε1 Chú ý: các kết quả chúng ta đã nhận được đối với sóng phản xạ và khúc xạ tại giới hạn phân chia hai môi trường là điện môi cũng áp dụng được cho các môi trường bất kỳ có độ dẫn điện khác không. Lúc đó trong các công thức Fresnel và (3.5.19), ta chỉ cần thay ε → εp, zc → zp cho môi trường có σ ≠ 0. 3.6. Điều kiện bờ gần đúng Leontovic Chúng ta xét trường hợp của sóng phẳng khúc xạ tại mặt giới hạn phân cách hai môi trường từ điện môi vào môi trường có độ dẫn điện lớn. Gỉa sử môi trường 1 là điện môi, môi trường 2 là dẫn điện có σ2 khá lớn. Khi đó ta có các điều kiện sau: ⎫ k1 << k p2 ⎪ ⎬ (3.6.1) hay :ε1 << ε 2tgδe2 ⎭⎪ Từ định luật khúc xạ (3.5.9), ta suy ra: ε1 sinψ ≈ sinϕt (3.6.2) ε 2tgδe2 Từ biểu thức (3.6.2) ta có kết luận như sau; với mọi góc tới ϕt, khi thỏa mãn điều kiện (3.6.1) góc khúc xạ ψ ≈ 0 , tức là sóng khúc xạ truyền vào môi trường có độ dẫn lớn theo phương pháp tuyến với mặt giới hạn phân cách hai môi trường không phụ thuộc vào giá trị của góc tới ϕt. Nếu chọn trục z của hệ tọa độ Descartes trùng với phương của pháp tuyến mặt giới hạn phân cách, thì các vector cường độ trường của sóng khúc xạ trong môi trường 2 có dạng: 44
45. H 2 = τ 0H 2τ E2 = [τ 0 × z0 ]z p2H 2τ Với τ 0 là vector đơn vị tiếp tuyến với mặt giới hạn phân chia hai môi trường. H2τ, E2τ là các thành phần tiếp tuyến của vector cường độ trường của sóng khúc xạ ở sát mặt giới hạn. Theo điều kiện bờ tổng quát tại mặt giới hạn, ta có: E1τ = E2τ H1τ = H2τ Vì vậy ta suy ra được quan hệ; E1τ = zp2H1τ (3.6.3) Biểu thức (3.6.3) mô tả mối quan hệ giữa các thành phần tiếp tuyến của vector cường độ trường của sóng tới trong môi trường điện môi qua tham số điện của môi trường thứ hai có độ dẫn điện khá lớn. Nó được gọi là điều kiện bờ gần đúng Leontovic. Điều kiện trên cũng được ứng dụng để tính tiêu hao của sóng điện từ khi truyền dọc bề mặt các kim loại dẫn điện tốt. 3.7. Sóng phẳng trong môi trường không đẳng hướng 3.7.1. Sóng phẳng trong môi trường không đẳng hướng Ở các phần trước, chúng ta đã tìm hiểu sóng điện từ phẳng trong các môi trường đẳng hướng. Trong các môi trường này, các tham số điện từ như ε, μ, σ là các hằng số và các vector của trường điện từ E song song với D , B song song với H qua các phương trình chất. Trong tự nhiên, ngoài các môi trường đẳng hướng còn tồn tại những môi trường mà theo các hướng khác nhau các tham số điện từ của chúng có các giá trị khác nhau. Những môi trường như vậy được gọi là môi trường không đẳng hướng. Độ từ thẩm và điện thẩm của môi trường không đẳng hướng gồm một số các giá trị khác nhau tạo thành một bảng gọi là tenxơ độ từ thẩm μ và ε . Chúng có dạng sau: ⎛ μxxμxy μxz ⎞ ⎛ε xxε xyε xz ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ μ = ⎜ μ yxμ yy μ yz ⎟,ε = ⎜ε yxε yyε yz ⎟ (3.7.1) ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ μzxμzy μzz ⎠ ⎝ε zxε zyε zz ⎠ Các phương trình chất trong môi trường không đẳng hướng sẽ là: D = εE, B = μH (3.7.2) Triển khai (3.7.2) cho các thành phần theo các trục tọa độ của hệ tọa độ Descartes được: Dx = εxxEx + εxyEy + εxzEz Dy = εyxEx + εyyEy + εyzEz Dz = εzxEx + εzyEy + εzzEz (3.7.3) Bx = μxxHx + μxyHy + μxzHz By = μyxHx + μyyHy + μyzHz Bz = μzxHx + μzyHy + μzzHz Từ (3.7.3), ta thấy trong môi trường không đẳng hướng các vector của trường E không song song với D , B không song song với H . Trong thực tế chỉ tồn tại các môi trường mà độ từ thẩm và điện thẩm đều là các tenxơ, chỉ có các môi trường không đẳng hướng loại như sau: - Môi trường có ε và σ là các hằng số mà độ từ thẩm và điện thẩm là tenxơ μ được gọi là môi trường không đẳng hướng từ quay. Ferit bị từ hóa bởi từ trường không đổi là môi trường từ quay đối với sóng điện từ. Nó được ứng dụng trong kỹ thuật siêu cao tần làm các thiết bị điều khiển sự truyền sóng. - Môi trường có ε và σ là các hằng số, còn độ điện thẩm là tenxơε được gọi là môi trường không đẳng hướng điện quay. Chất khí bị ion hóa (còn gọi là plazma) dưới tác dụng của từ trường không đổi cũng biểu hiện tính không đẳng hướng của môi trường điện quay đối với sóng điện từ. Tầng ion hóa của khí quyển trái đất cũng là plazma dưới tác dụng của từ trường trái đất cũng là 45
46. môi trường điện quay. Khi truyềnsóng vô tuyến trong tầng ion hóa cần xét đến tính chất không đẳng hướng của nó. Điều này được nghiên cứu kỹ trong các tài liệu về truyền sóng vô tuyến. 3.7.2. Tenxơ độ từ thẩm và điện thẩm Ferit là hợp chất của oxit sắt 3 và một số oxit kim loại khác như Mangan, Magie, Nicken Nó là chất vừa có tính của chất điện môi, vừa có tính của chất điện môi, vừa là chất sắt từ. Ferit không bị từ hóa có tính chất như một môi trường đẳng hướng bình thường đối với sự truyền sóng điện từ. Nếu ferit được đặt trong từ trường không đổi, dưới tác dụng của từ trường này, các momen từ nguyên tử trong ferit được định hướng lại theo từ trường này. Kết quả trong ferit xuất hiện từ trường phụ cùng với từ trường ban đầu và ferit được gọi là đã bị từ hóa bởi từ trường không đổi đó. Dưới đây chỉ nêu kết quả tìm tenxơ độ từ thẩm và điện thẩm: ⎛μ − ia 0 ⎞ ⎜ x ⎟ μ = ⎜ ia μx 0 ⎟ (3.7.4) ⎜ ⎟ ⎝ 0 0 μ0 ⎠ với: ω ω ⎫ μ = μ = μ = μ (1− M 0 ) x xx y 0 ω 2 − ω ⎪ M ⎪ μxy = −μ yx = −ia ⎪ ⎪ ωω ⎬ (3.7.5) a = μ 0 0 ω 2 − ω 2 ⎪ M ⎪ e e ⎪ ωM = μ0H0 ,ω0 = M ⎪ m0 m0 ⎭ Ở đây, e là điện tích của điện tử, m0 là khối lượng của nó, M là giá trị của vector từ hóa của ferit, ω là tần số của sóng điện từ, ωM là tần số cộng hưởng từ quay, μ0 là độ từ thẩm tuyệt đối của chân không. ⎛ε −ib 0 ⎞ ⎜ x ⎟ ε = ⎜ ib ε x 0 ⎟ (3.7.6) ⎜ ⎟ ⎝ 0 0 ε z ⎠ ω 2 ⎫ ε = ε = ε = ε (1− 0 ) x xx yy 0 ω 2 − ω ⎪ M ⎪ ε xy = −ε yx = −ib ⎪ ⎪ ω ω 2 ⎬ (3.7.7) b = ε M 0 0 ω(ω 2 − ω 2 ) ⎪ M ⎪ 2 2 Ne e ⎪ ω0 = ,ωM = μ0 H0 ⎪ ε 0m0 m0 ⎭ N là số điện tử trong một đơn vị thể tích ε0 là độ điện thẩm tuyệt đối của chân không. 3.8. Nguyên lý Hughen – Kirchoff Nguyên lý Hughen – Kirchoff cho phép ta tìm được nghiệm của phương trình sóng thuần nhất đối với một hàm vô hướng nào đó hoặc một thành phần vuông góc bất kỳ của vector cường độ trường. Sau đây ta đi tìm biểu thức của nguyên lý này. Chúng ta bắt đầu bằng việc tìm nghiệm của phương trình sóng thuần nhất cho hàm vô hướng sau: ∇2ψ - k2ψ = 0 (3.8.1) 46
47. tại một điểm P bất kỳ trong vùng V được giới hạn bởi mặt kín S khi biết giá trị của hàm này và đạo hàm theo pháp tuyến của nó trên mặt S đó. Hàm ψ được giả thiết là lien tục cùng với đạo hàm bậc nhất và bậc hai của nó ở trong V và trên S. Ta áp dụng định lý Green: ∂φ ∂ψ ∫∫(ψ∇2φ −φ∇2ψ )dV = (ψ −φ )dS (3.8.2) VS∂n ∂n Ở đây hàm φ là tùy ý lien tục cùng với đạo hàm riêng cho đến cấp hai trong V và trên S. Ta chọn hàm φ dạng; φ = e-ikr/r (3.8.3) Ở đây r là khoảng cách từ điểm tính trường P đến một điểm bất kỳ trong vùng V. Hàm φ chọn dạng (3.8.3) thỏa mãn điều kiện của định lý Green trừ điểm P, vì tại đây φ tiến đến vô cực khi r tiến đến 0. Để áp dụng biểu thức (3.8.2), ta bao điểm P bằng mặt cầu nhỏ S0 có bán kính R0. Khi ấy, miền V sẽ được giới hạn bởi hai mặt kín là S và S0. Vì hàm φ cũng thỏa mãn phương trình sóng (3.8.1) nên tích phân theo thể tích ở vế trái của (3.8.2) bằng không và suy ra: ∂φ ∂ψ ∂φ ∂ψ (ψ −φ )dS = − (ψ −φ )dS (3.8.4) ∫∫∂n ∂n ∂n ∂n SS0 Các đạo hàm theo pháp tuyến lấy theo pháp tuyến hướng ra ngoài vùng V. Do đó trên mặt cầu S0 ta có: ∂φ ∂ϕ ∂ψ ∂ψ = − ; = − (3.8.5) ∂n ∂r ∂n ∂r ∂φ ∂ ⎛ e−ikr ⎞ ⎛ 1 ⎞ e−ikr Nên: = − ⎜ ⎟ = ⎜ik + ⎟ ∂n ∂r ⎝ r ⎠ ⎝ r ⎠ r Ta tính tích phân trên mặt cầu S0 khi áp dụng định lý trung bình được: ∂φ ∂ψ 1 e−ikR0 e−ikR0 ∂ψ I = (ψ −φ )dS = (ik + ) ψ 4πR2 + ( ) .4πR2 (3.8.6) 0 ∫ ∂n ∂n R R tb 0 R ∂r tb 0 S0 0 0 0 Ở đây, ψtb và (∂ψ/∂r)tb là các giá trị trung bình của hàm ψ và đạo hàm riêng của nó trên mặt cầu S0. Chúng là các giá trị hữu hạn. Do đó nếu ta xét trường hợp giới hạn cho mặt cầu S0 thu nhỏ về thành một điểm thì được kết quả: ψtb → ψ(P) I0 = 4πψ(P) khi R0 → 0 Từ (3.8.4) ta được: 1 ∂ e−ikr e−ikr ∂ψ ψ (P) = − ∫(ψ ( ) − )dS (3.8.5) 4π S ∂n r r ∂n Biểu thức (3.8.5) chính là biều thức của nguyên lý Hughen – Kirchoff. Từ biểu thức này, ta tìm được đạo hàm ψ qua ở điểm bất kỳ trong thể tích V qua tích phân mặt S của giá trị của giá trị của hàm này và đạo hàm theo pháp tuyến của nó. Nếu các giá trị của hàm ψ và đạo hàm ∂ψ/∂n trên mặt S được coi là phân bố của các nguồn nguyên tố thì giá trị của hàm ψ ở một điểm bất kỳ trong thể tích V là chồng chất của các sóng cầu nguyên tố bức xạ ở trên mặt S giới hạn thể tích V. 3.9. Nguyên lý dòng tương đương Giả sử có các nguồn q1, q2, qn đặt trong vùng V giới hạn bởi mặt kín S. Chúng ta cần tìm trường ở điểm P bất kỳ trong không gian V’ ngoài mặt S. Theo nguyên lý Hughen – Kirchoff ta có thể tính trường tại P trong V’ của các nguồn đã cho qua các nguồn bức xạ nguyên tố phân bố trên mặt S tạo ra. Các nguồn nguyên tố phân bố trên mặt S được gọi là các nguồn dòng tương đương (dòng điện mặt và dòng từ mặt). Trường do các nguồn dòng tương đương ở điềm P bất kỳ trong V’ trùng với trường do các nguồn đã cho trong vùng V tạo ra cũng tại điểm P. Còn trường do nguồn dòng tương đương tạo ra trong vùng V bằng không. Do đó ta có điều kiện biên cho trường của nguồn dòng tương đương là: các thành phần tiếp tuyến của điện trường và từ trường sát bên trong mặt S bằng không: 47
48. E’τtr|s = H’τtr|s = 0 (3.9.1) Theo định lý nghiệm duy nhất, muốn để trường của nguồn đã cho và trường của nguồn dòng tương đương tạo ra ở điểm P trong vùng V’ trùng với nhau phải có điều kiện là: các thành phần tiếp tuyến của cường độ điện trường và từ trường của hai trường này trên mặt S ở phía bên ngoài phải bằng nhau và chúng khác 0 E’τng|s = Eτng|s ≠ 0 H’τng|s = Hτng|s ≠ 0 (3.9.2) Từ các biểu thức (3.9.1) và (3.9.2) ta thấy các thành phần tiếp tuyến của cường độ trường của nguồn dòng tương đương biến đổi nhảy vọt từ không sang khác không khi qua mặt giới hạn S. Theo điều kiện biên tổng quát, sự biến đổi nhảy vọt của các thành phần tiếp tuyến E’τ, H’τ của trường trên mặt giới hạn S tương đương với sự tồn tại của dòng điện mặt IS và dòng từ mặt ISM chảy trên mặt S. Các dòng mặt này lien quan đến các vector cường độ trường trên mặt S bởi các hệ thức sau: ' IS = [n0 × H ng ]S (3.9.3) ' ISM = −[n0 × Eng ]S Ở đây, n0 là vector đơn vị pháp tuyến ngoài của mặt giới hạn S. Áp dụng phương pháp thế điện động chúng ta tìm được biểu thức cho các thế chậm vector ’ điện và từ do các nguồn dòng tương đương IS và ISM trên S tạo ra tại điểm P trong V ta được: ⎧ μ I e−ikr μ e−ikr A' = S dS = [n × H ' ] dS ⎪ e ∫ ∫ 0 ng ⎪ 4π r 4π r S S (3.9.4) ⎨ ⎪ ε I e−ikr ε e−ikr A' = SM dS = − [n × E ' ] dS ⎪ M ∫ ∫ 0 ng ⎩ 4π S r 4π S r Trong công thức trên, các tham số điện từ như ε, μ và số sóng k phải tính trong môi trường ở vùng không gian ngoài V’. Các biểu thức (3.9.3) và (3.9.4) là biểu thức của nguyên lý dòng tương đương của trường điện từ. Tóm tắt chương 3 Chương này tập trung vào việc tìm hiểu sóng điện từ phẳng, là loại sóng phổ biến nhất trong thực tế. Sinh viên cần nắm vững các khái niệm mới liên quan đến sóng điện từ phẳng như: sóng điện từ phẳng, sóng phẳng đồng nhất, sự phân cực, các loại phân cực khác nhau, hiệu ứng bề mặt. Một phần không kém quan trọng là tìm hiểu sóng phẳng trong các môi trường khác nhau. Sinh viên cần nắm vững các đặc tính của sóng phẳng khi được truyền trong các môi trường khác nhau. Các mục 3.7, 3.8, và 3.9 khá phức tạp, sinh viên có thể tham khảo them trong các sách khác nếu có quan tâm. Một số công thức và phương trình cần nhớ: • Các phương trình sóng: ∂H ∂H zm − ym = iωε E ∂y ∂z p xm ∂H ∂H xm − zm = iωε E ∂z ∂x p ym ∂H ∂H ym − xm = iωε E ∂x ∂y p zm 48
49. ∂E ∂E zm − ym = −iωμH ∂y ∂z xm ∂E ∂E xm − zm = −iωμH ∂z ∂x ym ∂E ∂E ym − xm = −iωμH ∂x ∂y zm • Nghiệm phương trình sóng: i(ωt−k p z) i(ωt+k p z) H m = H mt e + H mpxe i(ωt−k p z) i(ωt+k p z) Em = ([H mt xiz ]e −[H mpx xiz ]e )z p • Các số sóng phức kp và trở sóng phức zp: k p = β − iα iψ z p = z p e 1 1 α = ω εμ − + 1+ tg 2δ 2 2 e 1 1 α = ω εμ + 1+ tg 2δ 2 2 e zc z p = 4 2 1+ tg δ e α −1+ 1+ tg 2δ ψ = arctg = arctg e β 2 1+ 1+ tg δ e φ = ωt - βz = const • Vận tốc pha vph: dz ω 1 1 v v ph = = = × = dt β εμ 1 1 1 1 + 1+ tg 2δ + 1+ tg 2δ 2 2 e 2 2 e • Vectơ Poynting trung bình của sóng phẳng theo hướng thuận: 2 E 1 1 * 1 2 1 mt Ptb = reP = re[Emt × H mt ] = z p H mt iz = 2 2 2 2 z p Bài tập chương 3 1. Sóng phẳng TEM truyền trong môi trường điện môi đồng nhất, đẳng hướng, rộng vô hạn có tham số điện từ là: -3 ε = 4ε0, μ = μ0, σ = 0, biên độ cường độ điện trường của sóng Em = 10 V/m với tần số f = 106 Hz. Lập biểu thức giá trị tức thời của cường độ từ trường của sóng và tính giá trị mật độ công suất trung bình của sóng. 7 2. Trong nửa không gian z > 0 là môi trường dẫn điện với σ = 5,7.10 S/m, μ = μ0 được truyền một sóng điện phẳng theo phương trục z với tần số f = 105 Hz. Hãy xác định vận tốc pha, bước sóng, trở sóng và độ thấm sâu của trường trong môi trường trên. Biên độ cường độ trường sẽ giảm đi bao nhiêu lần so với ở trên bề mặt của nó ở độ sâu d = 1mm. 3. Tìm độ sâu thâm nhập của trường va điện trở mặt riêng của các môi trường sau: 49
50. -14 a. Êbônit có: σ = 5. 10 S/m, μ = μ0 -14 b. Đất khô có: σ = 10 S/m, μ = μ0 -14 c. Đồng có: σ = 5,7. 10 S/m, μ = μ0 ở các tần số của trường: f = 105Hz và 108Hz 4. Sóng điện từ phẳng tới truyền vuông góc với mặt giới hạn phân chia hai môi trường có các tham số điện sau: ε1 = ε0, μ1 = μ0, σ1 = 0 ε2 = 5,5ε0, μ2 = μ0, σ2 = 0 5. Sóng phẳng truyền từ không khí vào môi trường pôliêtilen có ε = 2,3ε0, μ = μ0, σ = 0 0 dưới góc tới ϕt = 45 . Hãy tìm góc khúc xạ và hệ số khúc xạ đối với trường hợp phân cực đứng và ngang của sóng tới. 50
51. CHƯƠNG 4: SÓNG ĐIỆN TỪ TRONG CÁC HỆ ĐỊNH HƯỚNG Ở chương này, chúng ta sẽ tìm hiểu về các đường truyền sóng điện từ siêu cao tần. Đây chính là các thiết bị để giới hạn đường truyền lan của các giao động, không cho lan tỏa ra không gian. Các thiết bị này còn gọi là các hệ định hướng bởi sự định hướng đường truyền sóng điện từ của chúng. Các hệ định hướng phổ biến được sử dụng là: đường dây song hành, mạch giải, cáp đồng trục, các ống dẫn sóng. Chúng ta sẽ tìm hiểu tổng quát và lần lượt từng hệ định hướng. Trong mỗi hệ định hướng, chúng ta sẽ tìm hiểu công dụng của chúng đối với từng loại sóng TM(E), TE(H), và TEM. 4.1. Khái niệm về sóng điện từ định hướng và các hệ định hướng Chúng ta gọi đường truyền là các thiết bị hay hệ để giới hạn đường truyền lan các dao động điện từ hay các dòng năng lượng điện từ theo hướng đã cho. Đường truyền dung để truyền dẫn năng lượng siêu cao tần hay sóng siêu cao gọi là đường truyền năng lượng siêu cao tần (đường truyền siêu cao). Đường truyền siêu cao được gọi là đường truyền đồng nhất nếu như dọc theo hướng truyền sóng tiết diện ngang không thay đổi và môi trường chứa trong nó là đồng nhất. Trong kỹ thuật siêu cao tần, đường truyền đồng nhất được sử dụng là chủ yếu. Người ta có thể phân loại đường truyền đồng nhất ra các loại sau: đường truyền hở và đường truyền kín. Trong đường truyền hở, tại tiết diện ngang không có vòng kim loại bao bọc vùng truyền năng lượng siêu cao tần. Đường truyền hở có nhiều dạng khác nhau như: đường dây đôi, mạch dải, đường truyền sóng mặt Đối với đường truyền kín, trong nó phải có ít nhất một mặt vật dẫn kim loại bao bọc hoàn toàn vùng truyền năng lượng siêu cao tần. Đường truyền kín là các ống kim loại rỗng có tiết diện khác nhau, bên trong có thể nhét đầy các chất điện môi đồng nhất khác nhau hoặc không khí hay chân không. Chúng được gọi là ống dẫn sóng. Có nhiều loại ống dẫn sóng được dung trong kỹ thuật siêu cao tần như: ống dẫn sóng đồng trục, ống dẫn sóng chữ nhật, ống dẫn sóng trụ tròn Ở dải sóng mét, người ta ứng dụng đường dây đôi (song hành) và cáp đồng trục hay ống dẫn sóng đồng trục để truyền dẫn năng lượng siêu cao. Đường dây đôi có cấu trúc đơn giản và cho kích thước ngang khá gọn, dễ điều chỉnh phối hợp. Nhưng ở dải sóng decimet, ống dẫn sóng đồng trục hay cáp đồng trục được dung phổ biến để truyền dẫn năng lượng siêu cao. Đường dây đôi không được sử dụng rộng rãi trong dải sóng này vì tổn hao do bức xạ và hiệu ứng bề mặt. Trong dải sóng centimet, đường truyền siêu cao phổ biến là các ống dẫn sóng chữ nhật và trụ tròn vì nó cho tiêu hao nhỏ, kích thước phù hợp, ống dẫn sóng đồng trục hay cáp đồng trục ít được dung vì tổn hao do hiệu ứng bề mặt ở lõi trong và tổn hao trong điện môi rất lớn. Nó chỉ dung ở khoảng cách ngắn và công suất nhỏ. Trong dải milimet, các ống dẫn sóng chữ nhật và tròn không được dùng phổ biến do kích thước nhỏ, khó chế tạo và tiêu hao lớn. Ở dải sóng này, đường truyền siêu cao phổ biến là mạch dải, đường truyền sóng mặt như: ống dẫn sóng điện môi, dây dẫn đơn có phủ chất điện môi. Trong chương này, chúng ta sẽ tìm hiểu trường điện từ tồn tại và lan truyền trong các dạng đường truyền siêu cao phổ biến như: ống dẫn sóng chữ nhật, ống dẫn sóng trụ tròn, ống dẫn sóng hoặc cáp đồng trục, ống dẫn sóng điện môi, đường dây đôi, mạch giải Chúng ta cũng tiến hành xét điều kiện truyền lan các dạng trường TEM, TE, TM trong chúng và nghiên cứu các đại lượng đặc trưng cho trường và cho đường truyền để từ đó áp dụng chúng có hiệu quả nhất khi truyền dẫn năng lượng siêu cao. 4.2. Tìm nghiệm phương trình sóng trong hệ định hướng tổng quát Với đường truyền đồng nhất có cấu trúc tương đối đơn giản, ta có thể áp dụng phương pháp lý thuyết trường điện từ để tìm phân bố trường điện từ truyền lan trong đó. Tức là ta có thể 51