Giáo trình Hình học hoạ hình

100 trang phuongnguyen 2250

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Hình học hoạ hình", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

giao_trinh_hinh_hoc_hoa_hinh.pdf

Nội dung text: Giáo trình Hình học hoạ hình

ÂAÛI HOÜC ÂAÌ NÀÔNG TRÆÅÌNG ÂAÛI HOÜC BAÏCH KHOA DÆÅNG THOÜ HÇNH HOÜC HOÜA HÇNH ÂAÛI HOÜC ÂAÌ NÀÔNG — 2004 1
LÅÌI NOÏI ÂÁÖU Giaïo trçnh hçnh hoüc hoüa hçnh naìy soaûn theo chæång trçnh caíi caïch cuía Bäü Giaïo Duûc Vaì Âaìo Taûo . Giaïo trçnh nhàòm phuûc vuû sinh viãn caïc hãû âaìo taûo cuía caïc ngaình kyî thuáût trong caïc nàm hoüc cå baín . Saïch coï choün loüc caïc vê duû minh hoüa vaì viãút tæång âäúi tyí myí nhàòm phuûc vuû cho sinh viãn tæû âoüc coï thãø hiãøu dãù daìng. Keìm theo cuäún baìi giaíng sinh viãn coï thãm saïch baìi táûp âënh kyì âãø phuûc vuû viãûc nàõm laûi lyï thuyãút vaì måí räüng tæ duy. Do âoï mäùi sinh viãn cáön phaíi thæûc hiãûn âáöy âuí caïc baìi táûp âaî cho trong cuäún baìi táûp vaì laìm thàngó vaìo saïch . Trong quïa trçnh soaûn thaío chuïng täi chàõc chàõn khäng traïnh khoíi thiãúu soït vãö caïc màût . Ráút mong baûn âoüc, caïc âäöng nghiãûp âoïng goïp yï . Âaì nàông , thaïng 10 nàm 2004 Taïc giaí 2
Pháön I : NHÆÎNG KHAÏI NIÃÛM TÄØNG QUAÏT Chæång mäüt: MÅÍ ÂÁÖU 1.1-MUÛC ÂÊCH VAÌ YÃU CÁÖU: -Muûc âêch:Baín veî laì vàn kiãûn kyî thuáût cå baín âãø chè âaûo saín xuáút .Baín veî âæåüc xáy dæûng nhåì nhæîng phæång phaïp biãøu diãùn vaì caïc hãû thäng qui æåïc. Nghiãn cæïu caïc phæång phaïp biãøu diãùn laìm cå såí lyï luáûn cho viãûc xáy dæûng caïc baín veî laì nguäön gäúc lëch sæí vaì laì mäüt trong nhæîng näüi dung cuía Hçnh hoüc hoüa hçnh. Âãø biãøu diãùn caïc âäúi tæåüng cuû thãø nhæ mäüt bäü pháûn maïy moïc,mäüt cäng trçnh xáy dæûng,træåc hãút phaíi biãút caïch biãøu diãùn caïc khäng gian hçnh hoüc chæïa nhæîng âäúi tæång cuû thãø áúy. Noïi roî hån , Hçnh hoüc hoüa hçnh laì mäüt män hoüc nghiãn cæïu caïch biãøu diãùn caïc khäng gian bàòng nhæîng yãúu täú hçnh hoüc cuía mäüt khäng gian coï chiãöu tháúp hån ,phäø biãún nháút laì màût phàóng, räöi duìng caïc hçnh biãøu diãùn áúy âãø nghiãn cæïu caïc khäng gian ban âáöu. Hçnh hoüc hoüa hçnh nhåì baío âaîm âæåüc tênh træûc quan vaì chênh xaïc nãn âaî âæåüc duìng nhiãöu trong thæûc tãú âãø xáy dæûng caïc baín veî kyî thuáût vaì noï laì mäüt trong nhæîng män hoüc cå såí cuía chæång trçnh âaìo taûo kyî sæ. -Yãu cáöu cuía hçnh biãøu diãùn: Muäún âaût âæåüc muûc âêch trãn , caïc hçnh biãøu diãùn phaíi âaût âæåüc caïc yãu cáöu sau; + Âån giaín, roî raìng, chênh xaïc. + Thoía manî tênh tæång âæång hçnh hoüc hay tênh phaín chuyãøn cuía baín veî. * Âãø hoüc täút män hçnh hoüc hoüa hçnh, ngæåìi hoüc cáön nàõm væîng caïc kiãún thæïc cuía hçnh hoüc så cáúp nháút laì hçnh hoüc khäng gian. S 1.2-CAÏC PHEÏP CHIÃÚU: 1.2.1-Pheïp chiãúu xuyãn tám: A Mäüt pheïp chiãúu xuyãn tám âæåüc xaïc âënh båíi mäüt âiãøm S goüi laì tám chiãúu vaì mäüt A' phàóng P goüi laì màût phàóng hçnh chiãúu.Pheïp P chiãúu âæåüc thæûc hiãûn båíi hai bæåïc.(H-1.1) -Näúi âæåìng thàóng SA. Hçnh-1.1 3
-Tçm giao âiãøm AÏ = SA x P AÏ : goüi laì hçnh chiãúu xuyãn tám cuía A tæì tám S lãn màût phàóng hçnh chiãúu P. Tênh cháút 1: Hçnh chiãúu cuía mäüt âæåìng thàóng khäng qua tám chiãúu laì mäüt âæåìng thàóng.(H-1.2) Tênh cháút 2: Hçnh chiãúu cuía cuía hai âæåìng thàóng song song laì hai âæåìng thàóng âäöng qui(âiãøm âäöìng qui laì hçnh chiãúu âiãøm vä táûn cuía hai âæåìng thàóng song song).(H-1.3) 1.2.2-Pheïp chiãúu song song: Mäüt pheïp chiãúu song song âæåüc xaïc âënh båíi mäüt hæåïng s vaì mäüt màût phàóng hçnh chiãúu P, khäng song song våïi s. (H-1.4) S S d a b A d' b' A' A≡A' I a' P P B≡B' Hçnh -1.2 Hçnh-1.3 Thæûc hiãûn pheïp chiãúu gäöm hai bæåïc: - Qua A keí t song song s. - Tçm giao âiãøm AÏ = t x P . A AÏ : goüi laì hçnh chiãúu song song cuaí A theo hæåïng s lãn màût phàóng hçnh chiãúu P. s Tênh cháút 1:Pheïp chiãúu song song baío täön tênh cháút song song cuía hai âæåìng thàóng. (H-1.5) A' Tênh cháút 2:Pheïp chiãúu song song baío täön tyí säú âån cuía ba âiãøm thàóng haìng. (H-1.6) P Hçnh -1.4 4
AB // CD ⇒ A'B' // C'D' (ABC) = (A'B'C') s s B B C A D A C A' B' A' B' C' D' C' P P Hçnh-1.5 Hçnh-1.6 1.2.3- Pheïp chiãúu vuäng goïc: Pheïp chiãúu vuäng goïc laì træåìng håüp âàûc biãût cuía pheïp chiãúu song song khi hæåïng chiãúu s vuäng goïc våïi màût phàóng hçnh chiãúu P. (H- 1.7) Tênh cháút : Âiãöu kiãûn cáön vaì âuí mäüt goïc vuäng chiãúu thaình mäüt goïc vuäng laì mäüt trong hai caûnh goïc vuäng song song våïi màût phàóng hçnh chiãúu vaì caûnh kia khäng vuäng goïc våïi màût phàóng hçnh chiãúu. (H-1.8) A a b A' a' P P b' Hçnh-1.7 Hçnh-1.8 5
Chæång hai: ÂIÃØM 2.1- ÂÄÖ THÆÏC CUÍA MÄÜT ÂIÃØM: 2.1.1-Hãû thäúng caïc màût phàóng hçnh chiãúu: Trong khäng gian, choün hai màût phàóng vuäng goïc nhau. P1 nàòm ngang vaì P2 thàóng âæïng nhæ hçnh veî. (H-2.1) P1 : goüi laì màût phàóng hçnh chiãúu bàòng. P2 : goüi laì màût phàóng hçnh chiãúu âæïng. Hai màût phàóng P1, P2 chia x khäng gian ra laìm bäún pháön tæ theo P1 2 1 thæï tæû nhæ hçnh veî. 3 4 P2 Hçnh-2.1 2.1.2- Biãøu diãùn âiãøm -Âäü cao -Âäü xa : Chiãúu vuäng goïc âiãøm A láön læåüc lãn P1 vaì P2 räöi gáûp P1 âãún truìng våïi P2 theo chiãöu nhæ hçnh veî .Sau âoï âàût P2 truìng våïi màût phàóng baín veî ta seî coï mäüt hãû caïc hçnh chiãúu cuía âiãøm A , thæåìng âæåüc goüi laì âäö thæïc cuïa A.(H-2.2) A2 A2 A AX x A P1 X x A1 A 1 P2 P2 Hçnh-2.2a Hçnh-2.2b 6
Ta coï mäüt säú âënh nghéa nhæ sau: - A1: Hçnh chiãúu bàòng cuía âiãøm A . - A2: Hçnh chiãúu âæïng cuía âiãøm A . - x = P1 x P2 : Truûc chiãúu . - Âæåìng näúi hai âiãøm A1,A2 : Âæåìng doïng - A1Ax : Âäü xa ( eïloignement) ,âæåüc qui æåïc laì dæång khi A1 nàòm phêa dæåïi truûc x. - A2Ax : Âäü cao (cote) ,âæåüc qui æåïc laì dæång khi A2 nàòm phêa trãn truûc x. 2.1.3- Âäö thæïc cuía mäüt âiãøm trong bäún pháön tæ khäng gian. Caïc màût phàóng phán giaïc. Theo qui æåïc åí 2.1.2, vë trê cuía mäüt âiãøm trong bäún pháön tæ tæång æïng våïi âäü xa, âäü cao nhæ sau: Pháön tæ Âäü cao Âäü xa 1 + + 2 + - 3 - - 4 - + Ngæåìi ta goüi: -Màût phàóng phán giaïc 1 laì màût phàóng phán giaïc âi qua pháön tæ thæï 1 vaì thæï 3. -Màût phàóng phán giaïc 2 laì màût phàóng phán giaïc âi qua pháön tæ thæï 2 vaì thæï 4. Hçnh veî dæåïi âáy cho vê duû minh hoüa âäö thæïc cuía mäüt säú âiãøm cuía khäng gian. (H-2.3) (A∈ptæ 1) (B∈phtæ 2) (C∈phtæ 3) (D∈phtæ 4) (E∈pgiaïc 1) (F∈pgiaïc 2) B A 2 F1=F2 2 C2 E2 B1 x D2 E A1 C1 1 D1 Hçnh - 2.3 7
2.2-HÃÛ BA MÀÛT PHÀÓNG HÇNH CHIÃÚU: Sæí duûng thãm mäüt màût phàóng hçnh chiãúu thæï ba, kyï hiãûu laì P3 vuäng goïc våïi caí hai màût phàóng hçnh chiãúu P1 vaì P2 noïi trãn, ta coï hãû ba màût phàóng hçnh chiãúu vuäng goïc.(H-2.4) Chiãúu vuäng goïc mäüt âiãøm A láön læåüt lãn P1,P2,P3,räöi gáûp P1,P3 theo chiãöu nhæ hçnh veî âãún truìng våïi P2 ,ta coï âäö thæïc tæång æïng cuía noï.(H-2.5) z z A Z A2 Az A3 A2 A A3 AX Ay' y' A x O P1 X AY A x 1 y Ay P3 P2 A1 y Hçnh-2.4 Hçnh-2.5 A3: laì hçnh chiãúu caûnh cuía âiãøm A. AA3=AxO : laì âäü xa caûnh cuía A , våïi qui æåïc laì dæång khi A1,A2 åí bãn traïi truûc z. 8
Chæång 3: ÂÆÅÌNG THÀÓNG 3.1-ÂÄÖ THÆÏC CUÍA ÂÆÅÌNG THÀÓNG: Mäüt âæåìng thàóng âæåüc biãøu diãùn båíi hai âiãøm hay båíi hai hçnh chiãúu cuía noï. (H-3.1) (H-3.2) d2 B2 A2 x x A1 B1 d1 Hçnh-3.1 Hçnh-3.2 3.2-CAÏC ÂÆÅÌNG THÀÓNG ÂÀÛC BIÃÛT. 3.2.1-Âæåìng bàòng : Laì âæåìng thàóng song song våïi màût phàóng hçnh chiãúu bàòng P1. Âäö thæïc âæåüc veî trãn hçnh-3.3. Nháûn xeït: -Hçnh chiãúu âæïng cuía âæåìng bàòng thç song song truûc x. -Hçnh chiãúu bàòng cuía mäüt âoaûn thàóng thuäüc âæåìng bàòng thç bàòng chênh noï. 3.2.2-Âæåìng màût : Laì âæåìng thàóng song song våïi màût phàóng hçnh chiãúu âæïng P2. Âäö thæïc âæåüc veî trãn hçnh-3.4. Nháûn xeït: -Hçnh chiãuú bàòïng cuía âæåìng màût thç song song truûc x . -Hçnh chiãúu âæïng cuía mäüt âoaûn thàóng thuäüc âæåìng màût thç bàòng chênh noï. 3.2.3-Âæåìng caûnh : Laì âæåìng thàóng song song våïi màût phàóng hçnh chiãúu caûnh P3. Âäö thæïc âæåüc veî trãn hçnh-3.5. Nháûn xeït: -Hçnh chiãúu bàòng vaì hçnh chiãúu âæïng cuía âæåìng caûnh thç truìng nhau vaì vuäng goïc våïi truûc x. -Hçnh chiãúu bàòng cuía mäüt âoaûn thàóng thuäüc âæåìng bàòng thç bàòng chênh noï. * Âãø thoía maîn tênh phaín chuyãøn cuía âäö thæïc ,mäüt âæåìng caûnh phaíi âæåüc biãøu diãùn båíi hai âiãøm thuäüc noï. 9
z E2 E3 D2 f 2 p A2 h2 B2 C2 2 F3 p3 F2 y' x x O x F 1 A C f D p 1 h 1 1 1 1 1 Ay B1 E1 y Hçnh-3.3 Hçnh-3.4 Hçnh-3.5 3.2.4-Âæåìng thàóng chiãúu bàòng: Laì âæåìng thàóng vuäng goïc våïi màt phàóng hçnh chiãúu bàòng P1. Âäö thæïc âæåüc veî trãn hçnh -3.6. Nháûn xeït: -Hçnh chiãúu bàòng cuía âæåìng thàóng chiãúu bàòng suy biãún thaình mäüt âiãøm. -Hçnh chiãúu âæïng cuía âæåìng thàóng chiãúu bàòng laì âæåìng thàóng vuäng goïc våïi truûc x. * Âæåìng thàóng chiãúu bàòng væìa laì âæåìng màût væìa laì dæåìng caûnh, nãn coï moüi tênh cháút cuía hai loaûi âæåìng noïi trãn. 3.2.5-Âæåìng thàóng chiãúu âæïng: Laì âæåìng thàóng vuäng goïc våïi màt phàóng hçnh chiãúu âæïng P2. Âäö thæïc âæåüc veî trãn hçnh -3.7. Nháûn xeït: -Hçnh chiãúu âæïng cuía âæåìng thàóng chiãúu âæïng suy biãún thaình mäüt âiãøm. -Hçnh chiãúu bàòng cuía âæåìng thàóng chiãúu âæïng laì âæåìng thàóng vuäng goïc våïi truûc x. * Âæåìng thàóng chiãúu âæïng væìa laì âæåìng bàòng væìa laì dæåìng caûnh, nãn coï moüi tênh cháút cuía hai loaûi âæåìng noïi trãn. 3.2.6-Âæåìng thàóng chiãúu caûnh: Laì âæåìng thàóng vuäng goïc våïi màût phàóng hçnh chiãúu caûnh P3. Âäö thæïc âæåüc veî trãn hçnh -3.8. Nháûn xeït: -Hçnh chiãúu bàòng vaì hçnh chiãúu âæïng cuía âæåìng thàóng chiãúu caûnh song song våïi truûc x ; -Hçnh chiãúu caûnh cuía âæåìng thàóng chiãúu caûnh suy biãún thaình mäüt âiãøm. * Âæåìng thàóng chiãúu caûnh væìa laì âæåìng bàòng væìa laì âæåìng màût, nãn coï moüi tênh cháút cuía hai loaûi âæåìng noïi trãn. 10
A2 C1≡D1≡e1 E ≡F ≡g E2 g2 3 3 3 d2 F2 B2 x x O x C1 e1 g1 D1 E1 A1≡B1≡d1 F1 Hçnh-3.6 Hçnh-3.7 Hçnh-3.8 3.3-ÂIÃÖU KIÃÛN LIÃN THUÄÜC CUÍA ÂIÃØM VAÌ ÂÆÅÌNG THÀÓNG: Âiãöu kiãûn 1: Âiãöu kiãûn cáön vaì âuí âãø mäüt âiãøm thuäüc mäüt âæåìng thàóng thæåìng laì caïc hçnh chiãúu cuìng tãn thuäüc nhau. (H-3.10) Âiãöu kiãûn 2: Âiãöu kiãûn cáön vaì âuí âãø mäüt âiãøm C thuäüc mäüt âæåìng caûnh AB laì tyí säú âån cuía ba âiãøm A,B,C trãn hai hçnh chiãúu bàòng nhau .(H-3.11) z B2 B3 d2 A C3 2 C2 A3 A2 O y' x x A1 A 1 C1 d1 B 1 y Hçnh-3.10 Hçnh-3.11 3.4-VÃÚT ÂÆÅÌNG THÀÓNG: 3.4.1-Vãút bàòng: Vãút bàòng âæåìng thàóng laì giao âiãøm cuía âæåìng thàóng våïi màût phàóng hçnh chiãúu bàòng P1. (H-3.12) Nháûn xeït:- Hçnh chiãúu âæïng cuaí vãút bàòng thuäüc truûc x. - Hçnh chiãúu bàòng cuaí vãút bàòng truìng våïi chênh noï. 3.4.1-Vãút âæïng: Vãút âæïng âæåìng thàóng laì giao âiãøm cuía âæåìng thàóng våïi màût phàóng hçnh chiãúu âæïng P2. (H-3.12) Nháûn xeït:- Hçnh chiãúu bàòng cuaí vãút âæïng thuäüc truûc x. - Hçnh chiãúu âæïng cuaí vãút âæïng truìng våïi chênh noï. 11
Hçnh veî -3.12 a,b biãøu diãùn vãút bàòng M vaì vãút âæïng N. N N ≡ N 2 2 d 2 A2 d2 M 2 x d N1 P1 N1 M2 d d1 1 x A M ≡ M 1 1 P2 M1 Hçnh-3.12a Hçnh-3.12b 3.5- ÂÆÅÌNG THÀÓNG CÀÕT NHAU: Âiãöu kiãûn 1: Âiãöu kiãûn cáön vaì âuí âãø hai âæåìng thàóng thæåìng càõt nhau laì caïc hçnh chiãúu cuìng tãn cuía chuïng càõt nhau trãn mäüt âæåìng doïng. (H-3.13) Âiãöu kiãûn 2: Âiãöu kiãûn cáön vaì âuí âãø mäüt âæåìng thàóng thæåìng vaì mäüt âæåìng caûnh càõt nhau laì caïc hçnh chiãúu cuìng tãn cuía chuïng càõt nhau taûi caïc âiãøm thoía maîn âäö thæïc mäüt âiãøm thuäüc âæåìng caûnh. (H-3.14) I2 A2 a2 d2 I2 b2 B2 x A1 b1 d a 1 I1 1 B I1 1 Hçnh-3.13 Hçnh-3.14 3.6- ÂÆÅÌNG THÀÓNG SONG SONG: Âiãöu kiãûn 1: Âiãöu kiãûn cáön vaì âuí âãø hai âæåìng thàóng thæåìng song song laì caïc hçnh chiãúu cuìng tãn song song nhau. (H-3.15) Âiãöu kiãûn 2: Âiãöu kiãûn cáön vaì âuí âãø hai âæåìng thàóng caûnh song song laì coï hai âæåìng thàóng tæûa trãn chuïng càõt nhau hoàût song song. (H-3.16) 12
A C a2 2 2 b I 2 2 B 2 D2 x x A1 C1 a1 b1 I1 B1 D 1 Hçnh-3.15 Hçnh-3.16 3.7- ÂÆÅÌNG THÀÓNG CÀÕT NHAU: *Hai âæåìng thàóng khäng thoía maîn âiãöu kiãûn càõt nhau vaì song song thç cheïo nhau. (H-3.18) 3.8-HÇNH CHIÃÚU GOÏC VUÄNG: Âiãöu kiãûn cáön vaì âuí âãø mäüt goïc vuäng chiãúu thaình mäüt goïc vuäng laì mäüt caûnh goïc vuäng song song våïi màût phàóng hçnh chiãúu vaì caûnh kia khäng vuäng goïc våïi màût phàóng hçnh chiãúu. (Duìng âënh lyï ba âæåìng vuäng goïc âãø chæïng minh mãûnh âãö trãn). Trãn hçnh-3.17, goïc vuäng aOb coï caûnh a song song våïi P1 nãn hçnh chiãúu bàòng a1O1b1 laì goïc vuäng. Mãûnh âãö cuîng âuïng cho hai âæåìng thàóng cheïo nhau vaì vuäng goïc nhau. (H-3.18) b2 a 2 a2 I 2 b2 x x a1 b1 I1 a1 b1 Hçnh-3.17 Hçnh-3.18 13
Chæång 4: MÀÛT PHÀÓNG 4.1- ÂÄÖ THÆÏC CUÍA MÄÜT MÀÛT PHÀÓNG: Giäúng nhæ trong hçnh hoüc khäng gian, mäüt màût phàóng coï thãø âæåüc biãøu diãùn båíi ba âiãøm khäng thàóng haìng, båíi mäüt âiãøm vaì mäüt âæåìng thàóng khäng thuäüc nhau,båíi hai âæåìng thàóng càõt nhau hay song song nhæ caïc âäö thæïc âæåüc cho dæåïi âáy: (H-4.1) (A,B,C) (D,d) (axb) (a//b) I2 B2 d2 a2 C2 a2 b2 A D b2 2 x x a1 b1 B1 d1 a1 D1 b C1 1 A1 I1 Hçnh-4.1 4.2-VÃÚT MÀÛT PHÀÓNG : 4.2.1-Vãút bàòng: Vãút bàòng màût phàóng laì giao tuyãún cuía màût phàóng våïi màût phàóng hçnh chiãúu bàòng P1. Vãút bàòng cuía mäüt màût phàóng α thæåìng âæåüc kyï hiãûu laì mα. (H-4.2) Nháûn xeït: -Hçnh chiãúu âæïng cuaí vãút bàòng truìng våïi truûc chiãúu m2α ≡ x . - Hçnh chiãúu bàòng cuaí vãút bàòng truìng våïi chênh noï m1α ≡ mα . 4.2.2-Vãút âæïng: Vãút âæïng màût phàóng laì giao tuyãún cuía màût phàóng våïi màût phàóng hçnh chiãúu âæïng P2. (H-4.2) Nháûn xeït:- Hçnh chiãúu bàòng cuaí vãút âæïng truìng våïi truûc chiãúu n1α ≡ x . - Hçnh chiãúu âæïng cuaí vãút âæïng truìng våïi chênh noï n2α ≡ nα . *Læu yï: -Âæåìng thàóng thuäüc màût phàóng thç vãút cuía âæåìng thàóng thuäüc caïc vãút tæång æïng cuía màût phàóng. 14
-Hai vãút cuaí màût phàóng phaíi giao nhau trãn truûc x hoàûc song song våïi truûc x (do vë trê tæång âäúi cuía 3 màût phàóng trong khäng gian) Hçnh veî 4.2 a,b biãøu diãùn vãút bàòng mα vaì vãút âæïng nα cuía màût phàóng α. n2α ≡ nα n2α ≡ nα α A n1α ≡ m2α ≡ x n1α ≡ m2α x P1 x m ≡ m 1α α P2 m1α ≡ mα Hçnh-4.2a Hçnh-4.2b 4.3-CAÏC VË TRÊ ÂÀÛC BIÃÛT CUÍA MÀÛT PHÀÓNG: 4.3.1-Màût phàóng chiãúu bàòng: Laì màût phàóng vuäng goïc våïi màût phàóng hçnh chiãúu bàòng P1. Nháûn xeït: -Hçnh chiãúu bàòng cuía màût phàóng chiãúu bàòng suy biãún thaình mäüt âæåìng thàóng. Hçnh-4.3: Hçnh chiãúu bàòng cuía moüi âiãøm thuäüc màût phàóng chiãúu bàngò α âãöu thuäüc âæåìng thàóng α1. Dãù daìng tháúy ràòng vãút bàòng α laì mα ≡ α1 vaì vãút âæïng nα ⊥ x. 4.3.2-Màût phàóng chiãúu âæïng: Laì màût phàóng vuäng goïc våïi màût phàóng hçnh chiãúu âæïng P2. Nháûn xeït: Hçnh chiãúu âæïng cuía màût phàóng chiãúu âæïng suy biãún thaình mäüt âæåìng thàóng. Hçnh-4.4: Hçnh chiãúu âæïng cuía moüi âiãøm thuäüc màût phàóng chiãúu âæïng β âãöu thuäüc âæåìng thàóng β2. Dãù daìng tháúy ràòng vãút bàòng α laì nβ ≡ β2 vaì vãút bàòng mβ ⊥ x. 15
3.3.3-Màût phàóng chiãúu caûnh: Laì màût phàóng vuäng goïc våïi màût phàóng hçnh chiãúu caûnh P3. Nháûn xeït: -Vãút bàòng vaì vãút âæïng cuía màût phàóng chiãúu caûnh thç song song truûc x. -Hçnh chiãúu caûnh cuía màût phàóng chiãúu caûnh suy biãún thaình mäüt âæåìng thàóng. Hçnh-4.5: Hçnh chiãúu caûnh cuía màût phàóng chiãúu caûnh γ laì âæåìng thàóng caûnh γ3. Vãút âæïng nγ vaì vãút bàòng mγ cuìng song song våïi truûc x. n β x B2 nα F2 nγ A2 E2 C2 β2 γ3 D2 O y' x x x α1 E1 A1 B 1 D 1 mγ C mα F y 1 mβ 1 Hçnh-4.3 Hçnh-4.4 Hçnh-4.5 4.3.4-Màût phàóng bàòng: Laì màût phàóng song song våïi màût phàóng hçnh chiãúu bàòng P1. Nháûn xeït:-Hçnh chiãúu âæïng cuía màût phàóng bàòng suy biãún thaình mäüt âæåìng thàóng song song våïi truûc x . -Hçnh chiãúu bàòng cuía mäüt miãúng phàóng thuäüc màût phàóng bàòng thç bàòng chênh noï. Hçnh-4.6: Màût phàóng bàòng α âæåüc biãøu diãùn bàòng tam giaïc ABC. α2 // x ; A1B1C1 = ABC 4.3.5-Màût phàóng màût: Laì màût phàóng song song våïi màût phàóng hçnh chiãúu âæïng P2. Nháûn xeït:-Hçnh chiãúu bàòng cuía màût phàóng màût suy biãún thaình mäüt âæåìng thàóng song song våïi truûc x . -Hçnh chiãúu âæïng cuía mäüt miãúng phàóng thuäüc màût phàóng màût thç bàòng chênh noï. 16
Hçnh-4.7: Màût phàóng màût β âæåüc biãøu diãùn bàòng tam giaïc DEF. β1 // x ; D2E2F2 = DEF 4.3.5-Màût phàóng caûnh : Laì màût phàóng song song våïi màût phàóng hçnh chiãúu caûnh P3. Nháûn xeït: - Hçnh chiãúu âæïng vaì hçnh chiãúu bàòng cuía màût phàóng caûnh suy biãún thaình mäüt âæåìng thàóng vuäng goïc våïi truûc x . -Hçnh chiãúu caûnh cuía mäüt miãúng phàóng thuäüc màût phàóng caûnh thç bàòng chênh noï. Hçnh-4.8 : Màût phàóng caûnh γ âæåüc biãøu diãùn bàòng tam giaïc IJK. γ1 ≡ γ2 ⊥ x ; I3J3K3 = IJK z I2 I3 E2 A2 B2 C D2 γ2 2 J2 α2 F2 J3 K2 K3 y' x O x x β1 K1 B1 J γ1 D 1 A A 1 E1 F1 y 1 C1 I1 y Hçnh-4.6 Hçnh-4.7 Hçnh-4.8 4.3.6-Màût phàóng vuäng goïc våïi màût phàóng phán giaïc 1 vaì 2 : Hçnh-4.9 biãøu diãùn âäö thæïc cuía mäüt màût phàóng α (mα,nα), chæïa âæåìng caûnh AB vuäng goïc våïi màût phàóng phán giaïc 1 .Do âoï α vuäng goïc våïi màût phàóng phán giaïc 1. Nháûn xeït: Màût phàóng vuäng goïc våïi màût phàóng phán giaïc 1 coï hai vãút âäúi xæïng nhau qua truûc x. Hçnh-4.10 biãøu diãùn âäö thæïc cuía mäüt màût phàóng β (mβ,nβ), chæïa âæåìng caûnh CD vuäng goïc våïi màût phàóng phán giaïc 2 .Do âoï β vuäng goïc våïi màût phàóng phán giaïc 2. Nháûn xeït: Màût phàóng vuäng goïc våïi màût phàóng phán giaïc 2 coï hai vãút truìng nhau qua truûc x. 17
n nα β B2 C2≡D1 A2≡B1 x x D ≡C 2 1 A1 mβ mα Hçnh-4.9 Hçnh-4.10 4.4-BAÌI TOAÏN CÅ BAÍN CUÍA MÀÛT PHÀÓNG: Âãø biãøu diãùn mäüt âæåìng thàóng hoàûc mäüt âiãøm thuäüc mäüt màût phàóng , ta dæûa vaìo hai mãûnh âãö dæåïi âáy: 1. Mäüt âæåìng thàóng thuäüc mäüt màût phàóng nãúu noï coï hai âiãøm thuäüc màût phàóng . 2. Mäüt âiãøm thuäüc mäüt màût phàóng nãúu noï thuäüc mäüt âæåìng thàóng cuía màût phàóng . Caïc baìi toaïn vãö biãøu diãùn âiãøm vaì âæåìng thàóng trãn màût phàóng coï mäúi liãn quan häù tråü nhau maì chuí yãúu laì sæû liãn thuäüc cuaí âiãøm vaì âæåìng thàóng. Vê duû 1: Cho màût phàóng xaïc âënh båíi hai âæåìng thàóng a,b . Haîy veî mäüt âæåìng thàóng báút kyì cuía noï. Hçnh-4.11 : Ta láúy hai âiãøm báút kyì , A∈a vaì B∈b. A vaì B thuäüc màût phàóng (a,b) (theo 1) vaì chênh chuïng xaïc âënh xaïc âënh âæåìng thàóng g thuäüc màût phàóng. (theo 2) Vê duû 2: Cho màût phàóng xaïc âënh båíi hai âæåìng thàóng c,d. Haîy veî âiãøm K thuäüc màût phàóng âoï, biãút K2. Hçnh-4.12 : Ta veî âæåìng thàóng g báút kyì trãn màût phàóng âaî cho vaì thuäüc K ( theo 2): Hçnh chiãúu g2 thuäüc K2. Tæì âoï veî âæåüc g1 nhæ vê duû 1 vaì suy ra K1∈ g1. 18
I 2 c 2 a2 b2 A2 C2 d2 g2 K2 D2 B2 g2 x x B c1 A1 g1 1 a d1 1 b1 C1 K1 D1 g1 I1 Hçnh-4.11 Hçnh-4.12 4.5-CAÏC ÂÆÅÌNG THÀÓNG ÂÀÛC BIÃÛT CUÍA MÀÛT PHÀÓNG: 4.5.1-Âæåìng bàòng : Laì âæåìng thàóng thuäüc màût phàóng âäöng thåìi song song våïi màût phàóng hçnh chiãúu bàòng P1. Hçnh-4.13a,b biãøu diãùn mäüt âæåìng bàòng h cuía màût phàóng (a,b) vaì màût phàóng α . Ta veî h2 song song x , suy ra h1 nhåì baìi toaïn cå baín âæåìng thàóng thuäüc màût phàóng. I nα 2 B A2 2 h2 N 2 h2 a2 b2 N x 1 x a1 h1 b1 A1 h1 B 1 I1 mα Hçnh-4.13a Hçnh-4.13b 4.5.2-Âæåìng màût : Laì âæåìng thàóng thuäüc màût phàóng âäöng thåìi song song våïi màût phàóng hçnh chiãúu âæïng P2. 19
Hçnh-4.14a,b biãøu diãùn mäüt âæåìng màût f cuía màût phàóng (c,d) vaì màût phàóng β. Ta veî f1 song song x ,suy ra f2 nhåì baìi toaïn cå baín âæåìng thàóng thuäüc màût phàóng. n I2 β C2 f2 D2 f c2 2 d 2 M2 x x c1 f1 d1 M1 f C 1 1 D1 I1 mβ Hçnh-4.14a Hçnh-4.14b 4.5.3-Âæåìng däúc nháút âäúi våïi màût phàóng hçnh chiãúu bàòng : Laì âæåìng thàóng thuäüc màût phàóng vaì coï goïc låïn nháút so våïi goïc cuía caïc âæåìng thàóng khaïc thuäüc màût phàóng âäúi våïi màût phàóng hçnh chiãúu bàòng. Âæåìng däúc nháút náöy vuäng goïc våïi âæåìng bàòng cuía màût phàóng nãn goïc vuäng cuía chuïng âæåüc baío täön åí hçnh chiãúu bàòng. Hçnh-4.15a,b biãøu diãùn âæåìng däúc nháút d cuía màût phàóng (a,b) vaì màût phàóng α (mα,nα). nα N B 2 A2 2 h2 a2 d2 d2 b2 x M2 N1 x d1 B1 b1 h1 a1 A1 M1 d1 mα Hçnh-4.15a Hçnh-4.15b 20
4.5.4-Âæåìng däúc nháút âäúi våïi màût phàóng hçnh chiãúu âæïng : Laì âæåìng thàóng thuäüc màût phàóng vaì coï goïc låïn nháút so våïi goïc cuía caïc âæåìng thàóng khaïc thuäüc màût phàóng âäúi våïi màût phàóng hçnh chiãúu âæïng. Âæåìng däúc nháút náöy vuäng goïc våïi âæåìng màût cuía màût phàóng nãn goïc vuäng cuía chuïng âæåüc baío täön åí hçnh chiãúu âæïng. Hçnh-4.16a,b biãøu diãùn âæåìng däúc nháút d' cuía màût phàóng (c,d) vaì màût phàóng β (mβ,nβ). N 2 C2 c f d'2 2 2 D2 nβ d'2 d2 M2 x x N1 d'1 mβ f1 C d c1 1 d' D1 1 1 M1 Hçnh-4.16a Hçnh-4.16b *Chuï yï : Mäüt âæåìng däúc nháút hoaìn toaìn xaïc âënh âæåüc mäüt màût phàóng. 4.6- MÀÛT PHÀÓNG SONG SONG: Trong hçnh hoüc khäng gian ta coï âënh lyï sau: Âënh lyï: Âiãöu kiãûn cáön vaì âuí âãø hai màût phàóng song song nhau laì trong màût phàóng náöy coï hai âæåìng thàóng giao nhau tæång æïng song song våïi hai âæåìng thàóng giao nhau trong màût phàóng kia. Tæì âoï ta coï thãø biãøu diãùn hai màût phàóng song song nhau. Hçnh-4.17a biãøu diãùn hai màût phàóng song song (a,b) vaì (c,d), vç coï c//a vaì d//b. Hçnh-4.17b trçnh baìy baìi toaïn : Qua âiãøm A veî màût phàóng β song song våïi màût phàóng α âaî cho. Dãù daìng tháúy caïc vãút mα//mα vaì nβ//nα, âäöng thåìi mβ phaíi âi qua vãút bàòng cuía âæåìng màût f cuía màût phàóng β. 21
nβ nα A2 a2 b2 c2 A 2 f2 d2 x M2 x M a1 1 A1 f1 c1 b d1 1 A 1 mα mβ Hçnh-4.17a Hçnh-4.17b 4.7- ÂÆÅÌNG THÀÓNG VAÌ MÀÛT PHÀÓNG SONG SONG: -Trong hçnh hoüc khäng gian ta coï âënh lyï sau: Âënh lyï: Âiãöu kiãûn cáön vaì âuí âãø mäüt âæåìng thàóng song song våïi mäüt màût phàóng laì âæåìng thàóng âoï song song våïi mäüt âæåìng thàóng cuía màût phàóng. Vê duû: Qua âiãøm A veî âæåìng thàóng d song song våïi màût phàóng I2 A (a,b), âaî biãút d2. (H-4.18) a2 2 b2 d2 Giaíi: Trong màût phàóng (a,b) c2 veî mäüt âæåìng thàóng c sao cho c2 x song song d2. Aïp duûng baìi toïan cå baín âæåìng thàóng c thuäüc màût phàóng c1 (a,b) , coï c Tæì âoï veî d∈ A vaì d1 1. 1 1 a 1 b1 song song c1. A I1 1 Hçnh-4.18 22
PháönII: CAÏC PHÆÅNG PHAÏP CÅ BAÍN Chæång nàm GIAO CUÍA CAÏC KHÄNG GIAN CON 5.1-GIAO CUÍA HAI ÂÆÅÌNG THÀÓNG Xem muûc 3.5, chæång 3, pháön I. 5.2-GIAO CUÍA HAI MÀÛT PHÀÓNG 5.2.1-Giao cuía mäüt màût phàóng vaì mäüt màût phàóng chiãúu: Nãúu mäüt trong hai màût phàóng laì màût phàóng chiãúu thç mäüt hçnh chiãúu cuía giao tuyãún truìng våïi hçnh chiãúu suy biãún cuía màût phàóng chiãúu. Âãø xaïc âënh hçnh chiãúu thæï hai cuía giao tuyãún, aïp duûng baìi toaïn âæåìng thàóng thuäüc màût phàóng coìn laûi. Vê duû: Veî giao tuyãún cuía màût phàóng chiãúu âæïng α vaì màût phàóng (a,b). (H-1.1) Giaíi: Goüi g laì giao tuyãún cuía hai I2 α2≡g2 màût phàóng α vaì (a,b). Vç α vuäng goïc P B2 2 A2 nãn hçnh chiãúu âæïng cuía noï laì âæåìng a2 b2 thàóng α2. Do âoï biãút g2 ≡ α2. Âæåìng thàóng g cuîng laì âæåìng thàóng x a1 g cuía màût phàóng (a,b), hçnh chiãúu âæïng g2 1 b1 A1 âaî biãút ,nãn dãù daìng suy ra g1 theo baìi B toaïn cå baín 1 trãn màût phàóng (a,b). 1 I1 Hçnh-5.1 5.2.2-Giao cuía hai màût phàóng báút kyì: g Trong træåìng håüp täøng quaït ,âãø tçm α β I ϕ giao tuyãún g cuía hai màût phàóng α vaì β ta m n phaíi xaïc âënh hai âiãøm chung naìo âoï cuía giao tuyãún bàòng phæång phaïp phuû tråü.Näüi dung cuía phæång phaïp náöy gäöm ba bæåïc J ϕ' m' n' nhæ sau: (H-5.2) -Duìng màût phàóng phuû tråü ϕ laì màût phàóng chiãúu càõt caí hai màût phàóng α vaì β . Hçnh-5.2 23
-Veî caïc giao tuyãún phuû tråü m = ϕ x α vaì n = ϕ x β. -Veî giao âiãøm I cuía caïc giao tuyãún phuû tråü m vaì n. Dãù daìng tháúy ràòng I laì mäüt âiãøm thuäüc giao tuyãún g cuía caïc màût phàóng α vaì β cáön tçm. Tæång tæû , duìng mäüt màût phàóng phuû tråü thæï hai ϕ’ ta seî tçm thãm mäüt âiãøm J naìo âoï thuäüc giao tuyãún g. I vaì J xaïc âënh giao tuyãún g cuía α vaì β. Vê duû : Veî giao tuyãún g cuía màût phàóng (a,b) vaì màût phàóng (c,d). (H-5.3) Giaíi: -Duìng màût phàóng phuû tråü laì màût phàóng chiãúu âæïng ϕ .Hçnh chiãuú âæïng cuía ϕ laì âæåìng thàóng ϕ2. -Veî caïc giao tuyãún phuû tråü ( aïp duûng træåìng håüp âàûc biãût åí trãn). - m = ϕ x (a,b) ; m2 ≡ ϕ2 , suy ra m1 - n = ϕ x (c,d) ; n2 ≡ ϕ2 , suy ra n1 -Veî giao âiãøm cuía hai giao tuyãún phuû tråü : I = m x n ; I1 = m1 x n1 , suy ra I2. Tæång tæû ta duìng màût phàóng phuû tråü thæï hai ϕ’. Âãø thuáûn låüi ta coï thãø duìng ϕ’ song song ϕ vç luïc âoï caïc giao tuyãún phuû tråü måïi seî tæång æïng song song våïi m vaì n. Ta âæåüc âiãøm thæï hai J cuía giao tuyãún. I vaì J xaïc âënh giao tuyãún g cáön tçm. b2 a2 g2 D2 C2 ϕ2≡m2≡n2 I2 A2 ≡m' ≡n' J ϕ'2 2 2 d B2 2 2 c2 x c1 d m'1 n'1 1 m1 b1 a J 1 1 n1 A1 g1 B1 D1 I1 C 1 Hçnh-5.3 24
Nãúu hai màût phàóng α vaì β J2 âãöu biãøu diãùn bàòng vãút thç viãûc veî nα nβ giao tuyãún cuía chuïng ráút âån giaín g2 I J .Giao âiãøm cuía hai càûp vãút truìng tãn x 2 1 g mα , mβ vaì nα , nβ cho ta hai âiãøm I, 1 m J cuía giao tuyãún g cáön tçm. (H-5.4) α mβ I1 Hçnh-5.4 5.3-GIAO CUÍA ÂÆÅÌNG THÀÓNG VAÌ MÀÛT PHÀÓNG 5.3.1-Giao cuía mäüt âæåìng thàóng vaì mäüt màût phàóng chiãúu: Træåìng håüp náöy mäüt hçnh chiãúu cuía giao âiãøm xem nhæ âaî biãút, noï chênh laì giao giæîa hçnh chiãúu suy biãún cuía màût phàóng chiãúu vaì hçnh chiãúu cuìng tãn cuía âæåìng thàóng. Âãø tçm hçnh chiãúu coìn laûi, aïp duûng baìi toaïn âiãøm thuäüc âæåìng thàóng. Vê duû: Veî giao âiãøm A cuía âæåìng thàóng d våïi màût phàóng chiãúu âæïng α.(H-5.5) Giaíi: Vç α vuäng goïc P2 nãn biãút A2 = d2 x α2, dãù daìng suy ra A1 ∈ d1. 5.3.2-Giao cuía mäüt âæåìng thàóng chiãúu vaì mäüt màût phàóng: Træåìng håüp náöy mäüt hçnh chiãúu cuía giao âiãøm cuîng xem nhæ âaî biãút, noï truìng våïi hçnh chiãúu suy biãún cuía âæåìng thàóng chiãúu. Âãø tçm hçnh chiãúu coìn laûi, aïp duûng baìi toaïn âiãøm thuäüc màût phàóng. Vê duû: Veî giao âiãøm I cuía âæåìng thàóng chiãúu bàòng d vaì màût phàóng (a,b). (H-5.6) Giaíi: Vç d vuäng goïc P1 nãn biãút I1 ≡ d1. Aïp duûng baìi toaïn âiãøm thuäüc màût phàóng (a,b) veî âæåüc I2. α 2 c I2 2 B2 A2 a2 I2 d b2 2 x x a1 I1≡d1 b1 A 1 B d 1 c I1 1 1 Hçnh-5.5 Hçnh-5.6 25
5.3.3-Giao cuía mäüt âæåìng thàóng vaì mäüt màût phàóng báút kyì - Qui æåïc tháúy khuáút trãn hçnh chiãúu : Træåìng håüp caí âæåìng thàóng vaì màût phàóng âãöu cho åí vë trê báút kyì, ta sæí duûng phæång phaïp màût phàóng phuû tråü âãø âi tçm giao âiãøm gäöm ba bæåïc nhæ sau: (H-5.7) ϕ -Duìng màût phàóng phuû tråü ϕ laì d màût phàóng chiãúu vaì chæïa âæåìng thàóng g d. IA' -Veî giao tuyãún phuû tråü g cuía ϕ α vaì α. -Veî giao âiãøm I cuía giao tuyãún phuû g vaì âæåìng thàóng d. Hçnh-5.7 Vê duû: Veî giao âiãøm I cuía âæåìng thàóng d vaì màût phàóng A B C. (H-5.8) B2 B2 ϕ2≡g2 J2 I2 I2 L2≡M2 A2 A2 C C d2 2 2 K2 M1 A A1 1 C C1 g1 1 J1≡K1 I1 I1 L1 d1 B 1 B1 Hçnh-5.8 Hçnh-5.9 Giaíi: -Choün màût phàóng chiãúu âæïng ϕ thuäüc âæåìng thàóng d laìm màût phuû tråü: Vç ϕ vuäng goïc P2 nãn ϕ2 ≡ d2. 26
-Veî giao tuyãún g cuía ϕ vaì màût phàóng A B C theo træåìng håüp biãút mäüt giao tuyãún : g2 ≡ ϕ2. -Veî giao âiãøm I cuía g vaì d: Láúy I1 = g1 x d1 , suy ra I2. Qui æåïc vãö tháúy khuáút trãn hçnh chiãúu: Sau khi veî giao âiãøm cuía âæåìng thàóng vaì màût phàóng ( cuîng nhæ giao caïc yãúu täú khaïc), âãø gáy áún tæåüng näøi , ta qui æåïc vãö tháúy khuáút nhæ sau: Màõt ngæåìi quan saït âàût åí phêa træåïc vaì phêa trãn caïc hçnh âæåüc quan saït, nhçn theo hæåïng chiãúu cuía tæìng màût phàóng hçnh chiãúu. Do âoï : -Hai âiãøm cuìng tia chiãúu bàòng , âiãøm naìo cao hån seî âæåüc tháúy trãn hçnh chiãúu bàòng. -Hai âiãøm cuìng tia chiãúu âæïng , âiãøm naìo xa hån seî âæåüc tháúy trãn hçnh chiãúu âæïòng. Màût phàóng âæåüc xem nhæ khäng trong suäút. Aïp duûng qui æåïc tháúy khuáút :Trãn hçnh-5.9, J cao hån K nãn J1 tháúy . L xa hån M nãn L2 tháúy .Pháön âæåìng thàóng bë che khuáút âæåüc veî bàòng neït âæït. 5.4-GIAO CUÍA BA MÀÛT PHÀÓNG : Cho ba màût phàóng α , β , γ. Giao tuyãún cuía hai màût phàóng α vaì β laì mäüt âæåìng thàóng d ; âæåìng thàóng náöy càõt màût phàóng thæï ba γ taûi mäüt âiãøm O goüi laì âiãøm chung cuía ba màût phàóng. Nhæîng giao tuyãún cuía ba màût phàóng ,tæìng âäi mäüt seî âi qua âiãøm O. Viãûc xeït tháúy khuáút seî tuán theo hai dáúu hiãûu nhæ sau: -Tháúy khuáút cuía mäüt giao tuyãún cuía hai màût phàóng naìo âoï phaíi âæåüc so saïnh thãm våïi màût phàóng thæï ba. -Tháúy khuáút cuía mäüt âæåìng thàngó thuäüc mäüt màût phàóng naìo âoï phaíi âæåüc so saïnh våïi hai màût phàóng coìn laûi. b' ÆÏNG DUÛNG: Qua âiãøm 2 L2 M veî mäüt âæåìng thàóng càõt caí b M2 2 N 2 a ≡ϕ ≡g hai âæåìng thàóng âaî cho a,b. 2 2 2 Giaíi : Âæåìng thàóng âaî x cho xaïc âënh båíi giao tuyãún b1 M1 cuía hai màût phàóng (M,a) vaì a1 L1 (M,b). (H-5.10) Âãø tçm âiãøm N1 thæï hai thuäüc giao tuyãún , ta coï b'1 thãø tçm giao âiãøm cuía âæåìng Hçnh-5.10 thàóng a våïi màût phàóng (M,b). 27
Trãn hçnh veî màût phàóng (M,b) âaî chuyãøn thaình (b,b') ,sæí duûng màût phàóng phuû tråü chiãúu âæïng ϕ ≡ a ta dãù daìng tçm âæåüc tçm âiãøm N. Âæåìng thàóng cáön dæûng xaïc âënh båíi hai âiãøm M,N seî càõt b taûi mäüt âiãøm L 28
Chæång saïu : CAÏC BAÌI TOAÏN VÃÖ LÆÅÜNG 6.1-KHOAÍNG CAÏCH GIÆÎA HAI ÂIÃØM Giaí sæí coï âoaûn thàóng AB âæåüc biãøu diãùn bàòng caïc hçnh chiãúu bàòng A1B1 . Xaïc âënh âäü daìi cuía AB theo caïc hçnh chiãúu áúy.(H-6.1) Veî AC // A1B1. Ta coï AC= A1B1 ; BC bàòng hiãûu âäü cao cuía A vaì B ; AB laì caûnh huyãön cuía tam giaïc vuäng ABC våïi caïc caûnh goïc vuäng nhæ trãn. Goïc cuía AB vaì AC laì goïc cuía AB våïi A1B1, tæïc laì goïc cuía AB våïi P1. Váûy trãn âäö thæïc , muäún veî âäü låïn cuía AB vaì goïc α cuía AB våïi P1, ta veî nhæ hçnh hoüc phàóng mäüt tam giaïc vuäng våïi mäüt caûnh goïc vuäng bàòng A1B1, vaì caûnh kia bàòng hiãûu âäü cao cuía AB. Caûnh huyãön cuía tam giaïc væìa veî laì âäü låïn cuía AB. Goïc nhoün æïng våïi A1B1 laì goïc cuía AB âäúi våïi P1. Phæång phaïp trãn coìn goüi laì phæång phaïp tam giaïc. (H-5.2) Våïi phæång phaïp tam giaïc ta dãù daìng xaïc âënh hai yãúu täú khi biãút hai yãúu täú coìn laûi. Tæång tæû, ta cuîng coï mäüt tam giaïc vuäng trãn hçnh chiãúu âæïng vaì coï thãø veî âæåüc âäü låïn AB laì caûnh huyãön cuía mäüt tam giaïc vuäng coï caûnh goïc vuäng laì hçnh chiãúu âæïng A2B2 ,caûnh kia bàòng hiãûu âäü xa cuía AB. Våïi tam giaïc náöy ta coï goïc nghiãng β cuía AB våïi P2. B2 B Hiãûu âäü cao A,B A2 (∆cao A,B) A α C x P1 x A1 A1 B1 B1 α P2 A B =AB 1 0 α = (AB/P ) (∆cao A,B) 1 Hçnh-6.1 B 0 Hçnh-6.2 Vê duû: Xaïc âënh âäü daìi cuía âoaûn thàóng caûnh AB. (H-6.3) 29
Hiãûu âäü xa cuía AB laì A1B1 . Caûnh huyãön B2 cuía mäüt tam giaïc vuäng maì mäüt caûnh laì A2B2 ,caûnh thæï hai laì A2A0 daìi bàòng A1B1 A0 cho ta âäü daìi cuía AB.( Dé nhiãn coï thãø xaïc A2 âënh âäü daìi cuía AB bàòng caïch veî tam giaïc x vuäng B1A1A00 trãn hçnh chiãúu bàòng, åí âáúy B1A00 = A2B2.) A1 *Biãút caïch xaïc âënh âäü daìi cuía mäüt âoaûn thàóng ta coï thãø xaïc âënh diãûn têch cuía mäüt tam giaïc, mäüt âa giaïc vaì do âoï cuía mäüt A00 B1 hçnh phàóng noïi chung. Hçnh-6.3 6.2-ÂÆÅÌNG THÀÓNG VUÄNG GOÏC VÅÏI MÀÛT PHÀÓNG: a Dæûa vaìo âënh lyï vãö hçnh chiãúu b2 2 I2 goïc vuäng vaì âënh lyï vãö âæåìng thàóng d2 vuäng goïc màût phàóng trong hçnh h2 chiãúu vuäng goïc, ta coï âënh lyï trãn âäö thæïc : f2 x Âiãöu kiãûn cáön vaì âuí âãø mäüt âæåìng d thàóng vuäng goïc våïi mäüt màût phàóng 1 f1 laì hçnh chiãúu bàòng âæåìng thàóng h1 vuäng goïc våïi hçnh chiãúu bàòng âæåìng bàòng màût phàóng vaì hçnh chiãúu âæïng b1 I1 a1 âæångì thàóng vuäng goïc våïi hçnh Hçnh-6.4 chiãúu âæïng âæåìng màût cuía màût phàóng. Tháût váûy, nãuï âæåìng thàóng d vuäng goïc våïi màût phàóng α thç d vuäng goïc våïi táút caí caïc âæåìng thàóng cuía màût phàóng α trong âoï coï âæåìng bàòng h vaì âæåìng màût f cuía noï. Theo âiãöu kiãûn vãö hçnh chiãúu goïc vuäng thaình goïc vuäng : d1 ⊥ h1 vaì d2 ⊥ f2. Ngæåüc laûi nãúu d1 ⊥ h1 vaì d2 ⊥ f2 thç d ⊥ h vaì d ⊥ f laì hai âæåìng thàóng càõt nhau nãn d ⊥ α. Trãn hçnh-6.4 : Âæåìng thàóng d vuäng goïc våïi màût phàóng α. 6.3-KHOAÍNG CAÏCH TÆÌ MÄÜT ÂIÃØM ÂÃÚN MÄÜT ÂÆÅÌNG THÀÓNG: 30
Giaí sæí cáön xaïc âënh khoaíng caïch tæì âiãøm A âãún âæåìng thàóng d, ta coï caïc phæång aïn nhæ sau: -Qua A veî mäüt màût phàóng α (h,f) vuäng goïc våïi âæåìng thàóng d. (H-6.5) Sæí duûng âiãöu kiãûn vuäng goïc åí 6.2, ta coï h1 ⊥ d1 vaì f2 ⊥ d2. Tçm giao âiãøm I cuía màût phàóng α våïi âæåìng thàóng d nhåì phæång phaïp màût phàóng phuû tråü âaî âæåüc khaío saït. Cuäúi cuìng duìng phæång phaïp tam giaïc xaïc âënh âäü låïn tháût cuía âoaûn thàóng AI. -Cuîng coï thãø sæí duûng caïc phæång phaïp biãún âäøi hçnh chiãúu âãø âæa màût phàóng (A,d ) tråí thaình song song hay truìng våïi caïc màût phàóng hçnh chiãúu. Trãn hçnh 2.16 âaî sæí duûng pheïp quay quanh âæåìng bàòng âãø tçm khoaíng caïch tæì A âãún d. d2≡ϕ2≡g2 h A2 2 A ∆cao A,I I 2 f2 x I d1 A1 α f1 ∆cao A,I I1 A0 f 1 A I =AI 0 1 Hçnh-6.5 Hçnh-6.6 6.4-KHOAÍNG CAÏCH TÆÌ MÄÜT ÂIÃØM ÂÃÚN MÄÜT MÀÛT PHÀÓNG: Phæång phaïp täøng quatï âãø tçm khoaíng caïch tæì mäüt âiiãøm âãún mäüt màût phàóng laì: Qua âiãøm veî mäüt âæåìng thàóng vuäng goïc våïi màût phàòng ; Tçm giao âiãøm cuía âæåìng thàóng væìa veî våïi màût phàóng ; Duìng phæång phaïp tam giaïc xaïc âënh âäü låïn tháût cuía âoaûn vuäng goïc.(H-6.6) -Træåìng håüp màût phàóng laì màût phàóng chiãúu thç âoaûn vuäng goïc seî laì âoüan thàóng song song våïi màût phàóng hçnh chiãúu, nãn âäü låïn tháût thãø hiãûn ngay 31
trãn hçnh chiãúu. Trãn hçnh 6.7, Màût phàóng âaî cho laì chiãúu âæïng vaì khoaíng caïch cáön tçm thãø hiãûn ngay trãn hçnh chiãúu âæïng. -Hçnh 6.8, thãø hiãûn caïc bæåïc tçm khoaíng caïch tæì âiãøm A âãún màût phàóng biãøu diãùn bàòng vãút α(mα,nα) : -Qua A veî d vuäng goïc α : d1 ⊥ mα ; d2 ⊥ nα -Sæí duûng màût phàóng phuû tråü ϕ laì chiãúu âæïng, chæïa d: ϕ2 ≡ d2≡ g2 , suy ra g1 vaì ì tçm âæåüc I1 = d1 x g1, âæa lãn hçnh chiãúu âæïng coï d2. -Sæí duûng phæång phaïp tam giaïc , coï khoaíng caïch cánö tçm AI = A1I0. A2 A2 nα α2 d2 I I 2 2 ϕ2≡g2 x I1 g1 A I 1 1 d1 A2I2=AI mα A1 I0 Hçnh-6.7 Hçnh-6.8 Thæåìng ngæåìi ta coï thãø sæí duûng caïc pheïp biãún âäøi hçnh chiãúu âãø âæa baìi toaïn vãö træåìng håüp âàûc biãût. Âæa màût phàóng vãö vë trê màût phàóng chiãúu.(xem chæång 7) 32
Chæång baíy : CAÏC PHEÏP BIÃÚN ÂÄØI HÇNH CHIÃÚU CÅ BAÍN Khi tçm âäü låïn cuía mäüt âoaûn âæåìng bàòng ta tháúy ngay âäü låïn cuía noï åí hçnh chiãúu bàòng. Khi veî giao âiãøm cuía mäüt âæåìng thàóng vaì mäüt màût phàóng chiãúu, ta biãút mäüt hçnh chiãúu cuía noï vaì veî hçnh chiãúu thæï hai khaï dãù daìng. Såí dé âæåüc nhæ thãú vç caïc yãúu täú âaî cho åí vë trê âàûc biãût, phuì håüp våïi yãu cáöu baìi toaïn. Trong hçnh hoüc hoüa hçnh ,ngæåìi ta sæí duûng caïc pheïp biãún âäøi hçnh chiãúu âãø biãún nhæîng hçnh chiãúu âaî cho thaình nhæîng hçnh chiãúu måïi , giuïp ta giaíi quyãút baìi toaïn dãù daìng hån. Muäún cho mäüt hçnh Φ coï vë trê báút kyì tråí thaình coï vë trê âàûc biãût ta coï thãø laìm theo hai caïch sau: -Giæî nguyãn hçnh Φ , thay hãû thäúng màût phàóng hçnh chiãúu cuî bàòng mäüt hãû thäúng màût phàóng hçnh chiãúu måïi sao cho âäúi våïi hãû thäúng màût phàóng hçnh chiãúu náöy hçnh Φ coï vë trê âàûc biãût. -Giæî nguyãn hãû thäúng màût phàóng hçnh chiãúu, thay âäøi vë trê cuía Φ sao cho åí vë trê måïi hçnh Φ coï vë trê âàûc biãût âäúi våïi hãû thäúng màût phàóng hçnh chiãúu. 7.1-PHÆÅNG PHAÏP THAY ÂÄØI MÀÛT PHÀÓNG HÇNH CHIÃÚU 7.1.1-Thay âäøi màût phàóng hçnh chiãïu âæïng: Thay âäøi màût phàóng hçnh chiãúu âæïng P2 laì duìng màût phàóng P’2 vuäng goïc våïi màût phàóng hçnh chiãúu bàòng P1, laìm màût phàóng hçnh chiãúu âæïng måïi.(H-7.1) A 2 A'2 A2 A P'2 AX x A'2 A Ax' P1 X x' A1 x A1 P'2 P1 x' P2 Hçnh-7.1a Hçnh-7.1b 33
Nháûn xeït: Xeït mäüt âiãøm A våïi caïc hçnh chiãúu A1,A2,A’2: (H-7.1b) -Hçnh chiãúu bàòng A1 khäng thay âäøi. -Âäü cao cuía A trong hãû thäúng måïi vaì cuî bàòng nhau AxA2 = Ax’A’2. Qui æoïc: Trãn hçnh -7.1b , åí truûc x’ ghi chæî P1 vãö phêa âäü xa dæång, chæî P’2 vãö phêa coï âäü cao dæång cuía âiãøm A. Vê duû 1: Thay âäøi màût phàóng hçnh chiãúu âæïng måïi sao cho âæåìng thàóng AB tråí thaình âæåìng màût trong hãû thäúng måïi. ( H-7.2) Giaíi: Nãúu AB laì âæåìng màût thç hçnh chiãúu bàòng A1B1 phaíi song song våïi truûc hçnh chiãúu måïi x’. Váûy ta duìng màût phàóng hçnh chiãúu âæïng måïi P’2 sao cho A1B1 // x’. Âäü cao cuía A vaì B khäng thay âäøi nãn ta dãù daìng veî âæåüc A’2 vaì B’2. Coï thãø duìng phæång phaïp væìa veî âãø tçm âäü låïn cuía AB vç dãù tháúy A’2B’2 = AB. B B2 2 A 2 h2 I2 A2 x C2 x B1 P1 x' x' A1 C A1 P'2 1 h1 C' 2 I1 A'2≡I'2 d1 B A' B' 1 2 2 B'2 Hçnh-7.2 Hçnh-7.3 Vê duû 2: Thay âäøi màût phàóng hçnh chiãúu âæïng sao cho màût phàóng ABC tråí thaình màût phàóng chiãúu âæïng trong hãû thäúng màût phàóng hçnh chiãúu måïi. (H-7.3) Giaíi: Màût phàóng hçnh chiãúu âæïng måïi P’2 phaíi vuäng goïc âäöng thåìi våïi caí hai màût phàóng P1 vaì ABC nãn noï phaíi vuäng goïc våïi âæåìng bàòng cuía ABC. Váûy ta veî mäüt âæåìng bàòng cuía màût phàóng ABC, chàóng haûn AD. Muäún AD tråí thaình vuäng goïc våïi P’2 ( âæåìng thàóng chiãúu âæïng ) thç A1D1 phaíi vuäng goïc våïi truûc x’. 34
Hçnh chiãúu âæïng måïi cuía AD laì A’2 ≡ D’2 vaì hçnh chiãúu âæïng måïi cuía màût phàóng ABC laì âæåìng thàóng B’2A’2C’2. Coï thãø duìng baìi toaïn trãn âãø tçm goïc cuía mäüt màût phàóng âäúi våïi màût phàóng hçnh chiãúu bàòng hoàûc veî giao âiãøm cuía âæåìng thàóng vaì màût phàóng . 7.1.2-Thay âäøi màût phàóng hçnh chiãïu bàòng: Thay âäøi màût phàóng hçnh chiãúu bàòng P1 laì duìng màût phàóng P’1 vuäng goïc våïi màût phàóng hçnh chiãúu bàòng P2, laìm màût phàóng hçnh chiãúu bàòng måïi.(H-7.4) Nháûn xeït: Xeït mäüt âiãøm A våïi caïc hçnh chiãúu A1,A2,A’1: (H-7.4b) -Hçnh chiãúu âæïng A2 khäng thay âäøi. -Âäü xa cuía A trong hãû thäúng måïi vaì cuî bàòng nhau AxA1 = Ax’A’1. x' P1 x' A'1 P2 A 2 A'x A P'1 2 A'1 A A P1 X AX x A x 1 P2 A1 Hçnh-7.4a Hçnh-7.4b Qui æåïc: Trãn hçnh -7.4b , åí truûc x’ ghi chæî P2 vãö phêa âäü cao dæång, chæî P’1 vãö phêa coï âäü xa dæång cuía âiãøm A. Vê duû 3: Thay âäøi màût phàóng hçnh chiãúu bàòng âãø cho âæåìng màût AB tråí thaình âæåìng thàóng chiãúu bàòng trong hãû thäúng måïi.(H-7.5) Giaíi : Nãúu AB âaî tråí thaình mäüt âæåìng thàóng vuäng goïc våïi màût phàóng hçnh chiãúu bàòng måïi P’1 thç A2B2 vuäng goïc våïi x’. Váûy ta thay P1 thaình P’1 sao cho A2B2 ⊥ x’ räöi suy ra A’1 ≡ B’1. Tæì vê duû náöy cuîng nhæ vê duû 2 (H-7.4) åí trãn,ta coï thãø chuyãøn mäüt âæåìng màût thaình âæåìng thàóng chiãúu bàòng vaì âæåìng bàòng thaình âæåìng thàóng chiãúu âæïng båíi mäüt láön thay màût phàóng hçnh chiãúu. 35
F' 1 C' ≡D' P'1 x' 1 1 f' P2 D2 1 F2 f D'1 2 E'1 C2 P'1 E P2 2 x' D2 x x E1 C1 f1 D1 D 1 F1 Hçnh-7.5 Hçnh-7.6 Vê duû 4: Cho màût phàóng chiãúu âæïng ABC. Thay âäøi màût phàóng hçnh chiãúu bàòng âãø màût phàóng ABC tråí thaình màût phàóng bàòng trong hãû thäúng måïi. (H-7.6) Giaíi : Muäún cho màût phàóng ABC song song våïi màût phàóng hçnh chiãúu bàòng måïi P’1 thç truûc hçnh chiãúu måïi x’ phaíi song song våïi A2B2C2. Tæì âoï veî âæåüc A’1B’1C’1 vaì dãù tháúy : A’1B’1C’1 = ABC 7.1.3-Thay âäøi liãn tiãúp hai màût phàóng hçnh chiãúu: Khi cáön thiãút ta thay âäøi liãn tiãúp hai màût phàóng hçnh chiãúu âãø coï mäüt hãû hai màût phàóng hçnh chiãúu måïi. Vç váûy váún âãö chè laì thæûc hiãûn liãn tiãúp caïc pheïp thay âäøi màût phàóng hçnh chiãúu âæïng vaì màût phàóng hçnh chiãúu bàòng âaî trçnh baìy åí trãn. Chàóng haûn, ta thay P2, âæåüc hãû thäúng P1-P’2; Tiãúp âo ïláúy P1-P’2 laìm gäúc, thay P1 âãø coï mäüt hãû thäúng hoaìn toaìn måïi P’1-P’2. Hçnh 7-7 trçnh baìy caïch veî caïc hçnh chiãúu cuía mäüt âiãøm A khi thay âäøi caïc màût phàóng hçnh chiãúu theo trçnh tæû trãn. Chuï yï : Khi veî A’1, láúy âäü xa Ax’’A’1 = Ax’ A1 chæï khäng phaíi AxA1. Vê duû :Tçm khoaíng caïch tæì âiãøm A âãún âæåìng thàóng BC. (H-7.8) Giaíi : Goüi AH laì khoaíng caïch tæì A âãún BC . Muäún coï âæåüc âäü låïn cuía AH trãn hçnh chiãúu, ta biãún âäøi hçnh chiãúu sao cho BC vuäng goïc våïi màût phàóng hçnh chiãúu. Luïc âoï AH song song våïi màût phàóng hçnh chiãúu væìa noïi vaì dãù daìng veî âæåüc hçnh chiãúu måïi cuía AH. 36
A B2 2 H 2 C2 A2 x'' x AX P2 x P'1 A'2 B1 A1 A'1 H1 C 1 A1 x'' P'2 P'2 P'1 A'2 A' P1 P1 1 x' x' P'2 C' H'2 B' 2 2 B'1≡C'1 Hçnh-7.7 Hçnh-7.8 Váûy ta coï caïc bæåïc giaíi nhæ sau: -Thay âäøi P2 thaình P’2 âãø âæa BC // P’2. -Thay âäøi P1 thaình P’1 âãø âæa BC ⊥ P’1. (Caïch veî nhæ caïc vê duû åí trãn) Trãn hçnh chiãúu bàòng måïi , ta coï A’1H’1 = AH. Âãø veî caïc hçnh chiãúu cuî cuía H, ta veî A’2H’2 ⊥ B’2C’2 vç goïc vuäng âènh H coï caûnh BC // P’2 ; hoàûc hiãøu caïch khaïc, trong hãû thäúng måïi AH laì âæåìng bàòng ( hçnh chiãúu bàòng thãø hiãûn âäü låïn tháût âoaûn thàóng) nãn veî A’2H’2 // x’’. Tæì H’2, suy ra H1 räöi H2. 7.2-PHEÏP QUAY QUANH ÂÆÅÌNG THÀÓNG CHIÃÚU BÀÒNG: Pheïp quay quanh âæåìng thàóng chiãúu bàòng t laì mäüt pheïp dåìi hçnh, trong âoï : -Mäùi âiãøm A æïng våïi mäüt âiãøm A’ trong mäüt màût phàóng vuäng goïc våïi t. (H-7.9) -Khoaíng caïch tæì A vaì A’ âãún t bàòng nhau : OA = OA’. -Goïc (OA,OA’) = α coï hæåïng cho træåïc Ta goüi t laì truûc quay vaì OA laì baïn kênh quay. Nháûn xeït : -Hçnh chiãúu âæïng caïc âæåìng thàóng näúi caïc âiãøm tæång æïng song song våïi truûc hçnh chiãúu x. -Hçnh chiãúu bàòng cuía goïc (OA,OA’) bàòng chênh noï. 37
*Dãù tháúy trãn hçnh chiãúu bàòng ,pheïp quay quanh âæåìng thàóng chiãúu bàòng thãø hiãûn nhæ pheïp quay quanh mäüt âiãøm trong hçnh hoüc phàóng. t2 A2 O2 A' 2 t2≡O2 α x B B' 2 2 x t1≡O1 t 1 α A1 B' A' B1 O1 1 1 Hçnh-7.9 Hçnh-7.10 7.3-PHEÏP QUAY QUANH ÂÆÅÌNG THÀÓNG CHIÃÚU ÂÆÏNG: Ta coï âënh nghéa vaì tênh cháút cuía pheïp quay quanh âæåìng thàóng chiãúu âæïng tæång tæû nhæ muûc 7.2 .Hçnh -7.10 thãø hiãûn âiãøm B quay quanh truûc t vuäng goïc P2 âãún vë trê måïi M' goïc quay α. 7.4-PHEÏP QUAY QUANH ÂÆÅÌNG BÀÒNG: Âáy laì pheïp quay quanh truûc vaì truûc xoay laì mäüt âæåìng bàòng. Ta xeït mäüt âiãøm M quay quanh âæåìng bàòng h âãún vë trê M' cuìng âäü cao våïi h (H-7.11). +M1M'1 vuäng goïc våïi h1 vç màût phàóng caïc baïn kênh quay OM.OM' vuäng goïc våïi h. +O1M1 = OM vç OM âaî song song våïi P1. Tæì âoï muäún veî âiãøm M'1 ta tiãún haình nhæ sau: -Veî âäü låïn cuía baïn kênh quay OM. Trãn hçnh veî ta duìng phæång phaïp tam giaïc O1M0 = OM. -Âàût trãn âæåìng thàóng O1M1 ( ⊥ h1) âoaûn O1M'1 = O1M0 ( ta coï M'1 hoàûc M''1 ). Vê duû æïng duûng: Tçm âäü låïn cuía tam giaïc ABC bàòng pheïp quay quanh âæåìng bàòng. ( H-7.12) Giaíi: Veî mäüt âæåìng bàòng cuía tam giaïc ABC, chàóng haûn AD. Quay âiãøm B hoàûc C quanh AD âãún cuìng âäü cao våïi AD. Vë trê måïi cuía C laì C'. Tæì âoï suy ra vë trê måïi B' cuía B. Chuï yï ràòng âiãøm D nàòm trãn truûc quay nãn khäng thay 38
âäøi vë trê, B1B'1 vuäng goïc våïi h1 . Trãn hçnh-7.12 A'1B'1C'1 = ABC vç ABC âaî song song våïi P1. M B2 2 h2 O2 D2 h2 A2 M' B' C2 1 1 h1 M 1 A'1≡A1 O2 C1 D1 M'' h 1 1 d1 B1 C'1 Hçnh-7.11 Hçnh-7.12 7.5-PHEÏP QUAY QUANH ÂÆÅÌNG MÀÛT: Tæång tæû nhæ muûc 7.4 ta quay màût phàóng âãún song song våïi P2 våïi truûc quay laì âæåìng màût cuía màût phàóng. 7.6-PHEÏP GÁÛP MÀÛT PHÀÓNG QUANH CAÏC VÃÚT : 7.6.1-Pheïp gáûp màût phàóng quanh vãút bàòng: Pheïp gáûp màût phàóng quanh vãút bàòng laì pheïp quay màût phàóng quanh vãút bàòng cuía noï âæa noï âãún truìng våïi màût phàóng hçnh chiãúu bàòng. Ta xeït mäüt âiãøm N gáûp quanh vãút bàòng mα âãún vë trê N’ thuäüc màût phàóng P1 hay coï âäü cao bàòng khäng: (H-7.13) nα nα B2 A2 N2 N≡N2 C2 K2 Xα N1 A1 Xα N M2 1 B 1 A1 A' C1 1 K1 M1 N' 1 C'1 N≡N' A'1 m 1 m α α B'1 n'α n'α Hçnh-7.13 Hçnh-7.14 39
-N1N’1 vuäng goïc våïi mα vç màût phàóng caïc baïn kênh quay ON, ON’ vuäng goïc våïi mα. -Sau khi gáûp âoaûn XαN’ bàòng thæûc nãn âàût XαN’ = XαN. -XαN’ laì vë trê gáûp cuía vãút âæïng n’α. Trãn hçnh 7.13 coï veî vë trê gáûp cuía âiãøm A thuäüc màût phàóng bàòng caïch gàõn A vaìo âæåìng thàóng MN cuía màût phàóng. Vê duû: Veî trong màût phàóng α (mα,nα) mäüt tam giaïc âãöu ABC. Caûnh AB cuía tam giaïc âaî cho. (H-7.14) Giaíi: Âãø xaïc âënh âènh C ta gáûp màût phàóng α chàóng haûn vaìo màût phàóng P1. Viãûc gáûp âæåüc thæûc hiãûn bàòng caïch quay mäüt âiãøm N thuäüc vãút âæïng cuía α nhæ væìa trçnh baìy åí hçnh 7.13. Vãút âæïng nα cuía màût phàóng gáûp thaình n’1α ≡ XαN’. Hçnh gáûp cuía AB laì A’1B’1, veî âæåüc bàòng caïch gàõn noï lãn âæåìng thàóng IK.Vç I ∈ nα Nãn I’ thuäüc n’α ; K ∈ mα nãn K ≡ K’ . Våïi A’1B’1 laìm caûnh, veî tam giaïc âãöu A’1B’1C’1. A’1B’1C’1 chênh laì hçnh gáûp cuía tam giaïc ABC cáön veî. Sau âoï theo C’1 xaïc âënh C1 vaì C2. 7.6.2-Pheïp gáûp màût phàóng quanh vãút âæïng: Hoaìn toaìn tæång tæû nhæ pheïp gáûp màût phàóng quanh vãút bàòng. 40
PháönIII: ÂÆÅÌNG VAÌ MÀÛT- CAÏC BAÌI TOAÏN VÃÖ GIAO Chæång taïm: BIÃØU DIÃÙN ÂÆÅÌNG VAÌ MÀÛT 8.1-CAÏC HÇNH PHÀÓNG CÄØ ÂIÃØN: 8.1.1-Tam giaïc : Âãø biãøu diãùn âäö thæïc cuía mäüt tam giaïc báút kyì, ta cho âäö thæïc cuía ba âiãøm báút kyì laì ba âènh cuía tam giaïc. Âãø biãøu diãùn âäö thæïc cuía mäüt tam giaïc âaî âæåüc xaïc âënh kêch thæåïc , hçnh daûng thuäüc mäüt màût phàóng naìo âoï, ta sæí duûng pheïp gáûp quanh màût phàóng âæa màût phàóng âaî cho vãö truìng våïi màût phàóng hçnh chiãúu. Trãn hçnh-7.14, muûc 7.6.1 , âaî trçnh baìy viãûc sæí duûng pheïp gáûp quanh vãút bàòng âãø dæûng mäüt tam giaïc âãöu , caûnh a thuäüc màût phàóng α (mα, nα). 8.1.2-Hçnh bçnh haình, hçnh thoi : Do pheïp chiãúu vuäng goïc baío täön tênh song song vaì tyí säú âån cuía ba âiãøm thàóng haìng, nãn ta coï caïc hçnh chiãúu cuía mäüt hçnh haình laì caïc hçnh bçnh haình. Trãn hçnh-8.1, biãøu diãùn mäüt hçnh bçnh haình ABCD. Træåìng håüp hai âæåìng cheïo cuía hçnh bçnh haình thoía maîn vuäng goïc trong khäng gian, thç hçnh bçnh haình tråí thaình hçnh thoi. Hçnh-8.2, biãøu diãùn mäüt hçnh thoi coï âæåìng cheïo AC laì âæåìng bàòng. B2 C2 B2 C2 A2 D2 A2 D2 x x D A 1 A 1 1 D1 C1 B1 B C 1 1 Hçnh-8.1 Hçnh-8.2 41
8.1.2-Hçnh chæî nháût, hçnh vuäng: Âãø biãøu diãùn mäüt hçnh chæî nháût ,ta nãn choün mäüt trong hai càûp caûnh song song våïi màût phàóng hçnh chiãúu . Khi âoï goïc vuäng trãn hçnh chiãúu tæång æïng âæåüc baío täön. Hçnh-8.3, biãøu diãùn mäüt hçnh chæî nháût coï càûp caûnh laì âæåìng bàòng. Trong træåìng håüp cáön biãøu diãùn mäüt hçnh chæî nháût coï kêch thæåïc cho træåïc hay mäüt hçnh vuäng coï caûnh cho træåïc , phæång aïn täút nháút laì sæí duûng pheïp gáûp âæa màût phàóng âaî cho vãö truìng våïi màût phàóng hçnh chiãúu. Hçnh-8.4, biãøu diãùn mäüt hçnh vuäng ABCD. n α C2 B2 A2 B2 N2 A2 D 2 C2 h2 D2 Xα N 1 A1 x B1 D1 B1 N'1 D' 1 C1 A 1 h1 C1 C'1 A'1 h' m 1 α D1 n'α B' 1 Hçnh-8.3 Hçnh-8.4 8.2-ÂÆÅÌNG CONG: 8.2.1-Khaïi niãûm: Âæåìng cong hçnh hoüc coï thãø xem nhæ laì qué têch cuía mäüt âiãøm chuyãøn âäüng theo mäüt qui luáût naìo âoï. Nhæîng âæåìng cong phàóng hay gàûp laì nhæîng âæåìng báûc 2 nhæ âæåìng troìn , elip , parabol , hyperbol. Coï thãø noïi elip , parabol , hyperbol laì nhæîng âæåìng cong báûc 2 láön læåüt khäng coï âiãøm vä táûn, coï mäüt âiãøm vä táûn, coï hai âiãøm vä táûn. Âæåìng troìn âæåüc xem nhæ elip âàûc biãût coï hai truûc bàòng nhau. 8.2.1-Hçnh chiãúu cuía mäüt âæåìng cong: Caïc tênh cháút: 1/ Hçnh chiãúu xuyãn tám hay song song cuía tiãúp tuyãún cuía âæåìng cong taûi mäüt âiãøm noïi chung laì tiãúp tuyãún cuía hçnh chiãúu âæåìng cong taûi hçnh chiãúu âiãøm âoï. 42
(H-8.5) 2/ Hçnh chiãúu cuía âæåìng cong âaûi säú báûc n ,noïi (c) chung laì mäüt âæåìng cong âaûi säú báûc n. 3/Hçnh chiãúu vuäng goïc cuía âæåìng cong âaûi säú t báûc n lãn màût phàóng âäúi xæïng cuía noï laì mäüt âæåìng cong phàóng âaûi säú coï báûc n/2. (c') *Chuï yï ràòng hçnh chiãúu cuía elip, t' parabol, hyperbol láön læåüt laì elip, parabol, P hyperbol. Hçnh-8.5 Khi veî chuïng ta cáön quan tám âãún caïc truûc âäúi xæïng hoàûc hçnh chiãúu truûc âäúi xæïng cuía chuïng. Hçnh chiãúu song song cuía càûp âæåìng kênh liãn håüp cuía elip laì càûp âæåìng kênh liãn håüp cuía noï. Riãng âæåìng troìn ta phaíi khaío saït thãm dæåïi âáy. 8.2.2 Âæåìng troìn: Hçnh chiãúu vuäng goïc cuía âæåìng troìn noïi chung laì mätü elip. Våïi truûc daìi laì hçnh chiãúu cuía âæåìng kênh âæåìng troìn song song våïi màût phàóng hçnh chiãúu tæång æïng. Do âoï truûc daìi cuía elip bàòng âæåìng kênh cuía âæåìng troìn âæåüc chiãúu. Càûp âæåìng kênh liãn håüp cuía âæåìng troìn laì càûp âæåìng kênh vuäng goïc nhau. Vê duû: Haîy veî hçnh chiãúu cuía A ≡B ≡O âæåìng troìn tám O, baïn kênh R thuäüc màût 2 2 2 D2 α phàóng α vuäng goïc P2. 2 Giaíi: Hçnh chiãúu âæïng cuía âæåìng C2 troìn tám O , baïn kênh R laì âoaûn thàóng x A1 C2D2 = 2R vaì C2D2 ∈ α2. Coï thãø xem âáy laì mäüt elip våïi truûc daìi C2D2 vaì truûc ngàõn bàòng 0. C1 D1 Hçnh chiãúu bàòng âæåìng troìn laì O1 elip, tám O1, truûc daìi A1B1 = 2R , hçnh chiãúu cuía âæåìng kênh AB song song màût phàóng hçnh chiãúu bàòng P1. Truûc ngàõn laì Hçnh-8.6 B1 C1D1 vuäng goïc A1B1. Vê duû: Haîy veî hçnh chiãúu cuía âæåìng troìn tám O, baïn kênh R thuäüc màût phàóng α (h,f). Giaíi: Trãn hçnh-8.7 veî hçnh chiãúu âæïng vaì hçnh chiãúu bàòng cuía mäüt 43
f Âæåìng troìn nàòm trong màût phàóng α 2 (h,f). Tám O vaì baïn kênh r laì nhæîng v2 O2 yãúu täú âaî cho. Hçnh chiãúu bàòng vaì hçnh chiãúu âæïng cuía âæåìng troìn âæåüc biãøu h2 diãùn laì caïc elip.Elip hçnh chiãúu bàòng coï truûc daìi song song våïi h vaì bàòng 2 r. Elip hçnh chiãúu âæïng coï truûc daìi song f song f vaì bàòng 2 r . Âãø xaïc âënh caïc 1 truûc ngàõn cuía caïc ellip âoï ta gáûp màût M1 v1 phàóng âãún truìng P1. Hçnh chiãúu bàòng O1 cuía âæåìng troìn sau khi gáûp laì âæåìng v’1 M' vaì dæûa vaìo âæåìng troìn náöy ta suy ra 1 truûc ngàõn cuía caïc ellip hçnh chiãúu. h1 O'1 Trãn hçnh veî cuîng chè roî caïch veî hçnh f'2 chiãúu bàòng mäüt âiãøm M báút kyì cuía v'1 âæåìng troìn. Hçnh-8.7 8.3-CAÏC ÂA DIÃÛN TRONG KHÄNG GIAN: 8.3.1-Caïc khaïi niãûm vaì qui tàõc biãøu diãùn: Âa diãûn laì mäüt màût kên taûo thaình båíi caïc âa giaïc phàóng gàõn liãön våïi nhau båíi caïc caûnh (H-8.8). Caïc âa giaïc taûo thaình âa diãûn goüi laì caïc màût cuía âa diãûn. Caïc caûnh vaì caïc âènh cuía âa giaïc goüi laì caïc caûnh vaì caïc âènh cuía âa diãûn. Nhiãöu khi ngæåìi ta cuîng goüi váût thãø giåïi haûn båíi cacï màût cuía âa diãûn laì âa diãûn. Âãø traïnh nháöm láùn ta thäúng nháút âa diãûn laì mäüt màût. Nhæ váûy caïc màût hçnh thaïp, hçnh làng truû Hçnh-8.8 , .laì caïc âa diãûn âàûc biãût. Âãø biãøu diãùn mäüt âa diãûn ta chè cáön biãøu diãùn caïc caûnh hoàûc caïc âènh cuía âa diãûn âoï. Chuï yï caïc caûnh nàòm bãn trong caïc âæåìng bao trãn hai hçnh chiãúu phaíi âæåüc xeït tháúy khuáút. 8.3.2-Biãøu diãùn tæï diãûn : Hçnh-8.9 biãøu diãùn mäüt tæï diãûn SABC. Trãn hçnh chiãúu âæïng âæåìng gáùy khuïc kên S2A2B2C2 laì âæåìng bao quanh hçnh chiãúu âæïng, trãn hçnh chiãúu bàòng âæåìng gáùy khuïc kên S1B1A1C1 laì âæåìng bao quanh hçnh chiãúu bàòng . 44
Caïc caûnh S1A1, B1C1 åí hçnh M2≡M'2 S2 A2 chiãúu bàòng vaì S2B2,A2C2 åí hçnh chiãúu âæïng âæåüc xeït tháúy khuáút nhåì caïc âiãøm cuìng tia chiãúu âæïng vaì cuìng tia chiãúu B bàòng nhæ âaî biãút. 2 Giaí sæí biãút M2 cuía âiãøm M C2 thuäüc tæï diãûn, haîy veî M1. Dãù tháúy coï hai âiãøm M maì caïc hçnh chiãúu âæïng S1 cuía chuïng truìng nhau , mäüt màût thuäüc M' SAB, mäüt màût thuäüc SAC. Aïp duûng B1 1 baìi toaïn cå baín thuäüc caïc màût phàóng M trãn, ta veî âæåìng SM chàóng haûn. ÅÍ 1 C1 hçnh chiãúu bàòng tháúy roî hai âiãøm M1 A1 Hçnh-8.9 vaì M’1. 8.3.3-Biãøu diãùn màût thaïp : Biãøu diãùn mäüt màût thaïp khi biãút màût phàóng âaïy, chiãöu cao vaì caïc chán. Hçnh-1.8 cho vê duû vãö viãûc biãøu diãùn mäüt màût thaïp maì màût âaïy xaïc âënh båíi hçnh vuäng coï tám laì O vaì mäüt caûnh nàòm trãn âæåìng bàòng h. Âãø xáy dæûng hçnh vuäng ta S2 coï thãø sæí duûng caïc pheïp biãún âäøi âaî B2 biãút , nhæ pheïp gáûp âaî noïi åí caïc C2 pháön trãn. ÅÍ âáy seî sæí duûng O2 phæång phaïp thay âäøi màût phàóng h2 hçnh chiãúu âæïng âæa màût phàóng âaïy α'1 A2 D2 tråí thaình chiãúu âæïng khi choün truûc x’ vuäng goïc våïi hçnh chiãúu bàòng S'1 B âæåìng bàòng h1.Caïch dæûng caïc caûnh 1 cuía hçnh vuäng, âènh cuía màût thaïp vaì viãûc xaïc âënh caïc hçnh chiãúu ban A1 O1 âáöu cuía caïc âiãøm S,A,B,C,D âæåüc C1 chè roî trãn hçnh-8.10. Hçnh veî cuîng x' trçnh baìy mäüt âiãøm M thuäüc màût S D1 h thaïp. 1 1 8.3.4-Biãøu diãùn màût làng truû : Hçnh-8.10 45
n Hoaìn toaìn tæång tæû nhæ âäúi F2 våïi màût thaïp. Hçnh-8.11 trçnh baìy M caïch dæûng mäüt màût làng truû biãút 2 E 2 D2 âaïy ABC thuäüc màût phàóng P1 vaì x mäüt caûnh CD , âäöng thåìi làng truû A2 B2 C2 náöy coï màût âaïy thæï hai DEF vuäng M C1 goïc våïi caïc caûnh. Phæång phaïp sæí A1 1 D1 duûng âån giaín laì âæa caïc caûnh cuía E làng truû thaình âæåìng màût nhåì pheïp 1 B1 M' thay âäøi màût phàóng hçnh chiãúu 1 âæïng måïi. Hçnh veî cuîng chè roî caïc F1 hçnh chiãúu cuía mäüt âiãøm M thuäüc x' làng truû âaî cho. D'2 F'2 α'2 E'2 8.4-BIÃØU DIÃÙN MÀÛT CONG: Hçnh-8.11 8.4.1-Caïc khaïi niãûm vaì qui tàõc biãøu diãùn: Ta coï thãø xem màût cong laì qué têch cuía mäüt âæåìng chuyãøn âäüng theo mäüt qui luáût hçnh hoüc nháút âënh. Âæåìng chuyãøn âäüng goüi laì âæåìng sinh . Âæåìng sinh coï thãø laì âæåìng thàngó hoàûc âæåìng cong vaì coï thãø biãún daûng trong quaï trçnh hçnh thaình màût. Nãúu âæåìng sinh laì âæåìng thàóng thç màût taûo thaình goüi laì màût keî. Coï loaûi màût keí khai triãùn âæåüc vaì màût keî khäng khai triãøn âæåüc. Nhæîng màût hçnh hoüc thæåìng gàûp laì: Màût noïn ,màût truû , màût cáöu, elipsoit, hypebolit, paraboloit , màût xuyãún , màût xoàõn Biãøu diãùn mäüt màût laì biãøu diãùn mäüt säú thaình pháön cuía màût âuí xaïc âënh màût âoï. Âãø dãù hçnh dung ta thæåìng biãøu diãùn màût bàòng âæåìng bao hçnh chiãúu vaì âæåìng chuyãøn tiãúp cuía màût trãn hçnh chiãúu. 8.4.1-Màût noïn: Màût noïn laì màût taûo thaình båíi âæåìng thàóng chuyãøn âäüng âi qua mäüt âiãøm cäú âënh goüi laì âènh cuía màût noïn vaì tæûa trãn mäüt âæåìng cong goüi laì âæåìng chuáøn cuía noïn. 46
Hçnh 8.12 biãøu diãùn mäüt pháön cuía màût noïn báûc 2 giåïi haûn tæì âènh S âãún âæåìng chuáøn báûc 2 (c). Cuîng coï thãø xem (c) laì hçnh phàóng laìm thaình âaïy noïn. Pháön tháúy khuáút nhæ hçnh veî. Trãn hçnh chiãúu âæïng m2, n2 laì caïc âæåìng sinh bao. ÅÍ hçnh chiãúu bàòng ta khäng veî m1, n1 vç chuïng laì âæåìng sinh bçnh thæåìng. Âæåìng bao cuía hçnh chiãúu bàòng laì p1 vaì q1, hçnh chiãúu cuía p, q khaïc m, n. Trong taìi liãûu náyö chè nghiãn cæïu noïn báûc 2 , cho nãn khi noïi màût noïn ta hiãøu laì noïn báûc 2. Giaí sæí biãút M2 cuía âiãøm M thuäüc noïn, haîy veî âiãøm M1. Dãù tháúy coï hai âiãøm M maì M2≡M'2 . Ta veî caïc âæåìng sinh SM vaì SM' tæïc laì S2M2 ≡ S2M'2. ÅÍ hçnh chiãúu tháúy roî hai nghiãûm M1 vaì M'1 .Theo hçnh âaî cho M1 khuáút vç S1A1 khuáút vaì M'1 tháúy vç S1B1 tháúy; M2 tháúy vç S2A2 tháúy vaì M'2 khuáút vç S2B2 khuáút. Hçnh-8.13 biãøu diãùn màût noïn troìn xoay, truûc vuäng goïc våïi P1. Træåìng håüp naìy noïn laì noïn laì noïn troìn xoay, váûy âãø veî mäüt âiãøm thuäüc noïn ta coï thãø gàõn âiãím âoï vaìo mäüt âæåìng sinh hoàûc âæåìng báûc 2 thuäüc màût phàóng song song våïi màût phàóng cuía âæåìng chuáøn âi qua âiãøm âoï. S2 S2 M2≡M'2 M2≡M'2 (c2) (c2) x x M1 (c1) M1 S1 M'1 (c1) M'1 S1 Hçnh-8.12 Hçnh-8.13 8.4.2-Màût truû: Màût truû laì màût keî khai triãøn âæåüc. Coï thãø xem màût truû laì màût noïn våïi âènh åí vä táûn. Hçnh-8.14 biãøu diãùn mäüt màût truû báûc 2 bàòng caïc âæåìng sinh bao cuía caïc 47
hçnh chiãúu vaì âæåìng chuáùn (c) laì âæåìng báûc 2 maì hçnh chiãúu bàòng laì âæåìng troìn , hçnh chiãúu âæïng laì âoaûn thàóng .Giaí sæí biãút hçnh chiãúu âæïng M2 cuía âiãøm M thuäüc màût truû, haîy veî M1 . Tæång tæû nhæ trãn màût noïn ta veî qua M âæåìng sinh hoàûc âæåìng báûc 2, (c') thuäüc màût phàóng song song våïi màût phàóng cuía (c) .Sau khi xaïc âënh tám I cuía (c') , veî (c'1) tám I1 tiãúp xuïc våïi caïc âæåìng bao våïi hçnh chiãúu bàòng cuía màût truû. M2≡M'2 M ≡M' 2 2 (a ) I2 2 O2 (b ) 2 O 2 (c ) x 2 M1 I1 M1 (c'1) O M'1 1 (a1) O1 (b1) M'1 (c ) 1 Hçnh-8.14 8.4.3-Màût cáöu: Hçnh-8.15 Màût cáöu laì màût báûc 2 vaì laì màût troìn xoay . Hçnh-8.15 biãøu diãùn màût cáöu tám O baïn kênh R. Caïc hçnh chiãúu cuía màût cáöu laì caïc âæåìng troìn tám O1, O2 baïn kênh R; âæåìng troìn (a2) laì hçnh chiãúu âæïng cuía âæåìng troìn låïn (a) thuäüc màût phàóng song song våïi P2 ,âæåìng troìn (b1) laì hçnh chiãúu âæïng cuía âæåìng troìn xêch âaûo (b). Nhæîng âiãøm thuäüc næía trãn cuía màût cáöu âæåüc tháúy åí hçnh chiãúu bàòng. Nhæîng âiãøm thuäüc næía træåïc cuía màût cáöu âæåüc tháút åí hçnh chiãúu âæïng. Giaí sæí biãút M2 cuía âiãøm M thuäüc màût cáöu , haîy veî M1. Qua M, ta veî âæåìng troìn thuäüc màût phàóng song song våïi P1 ( hoàûc våïi P2) âãø veî hçnh chiãúu cuía noï laì âæåìng thàóng hoàûc âæåìng troìn åí hçnh chiãúu coìn laûi. 8.4.4-Màût xuyãún: Màût xuyãún laì màût troìn xoay báûc 4 ,taûo thaình båíi mäüt âæåìng troìn quay quanh mäüt truûc thuäüc màût phàóng cuía âæåìng troìn nhæng khäng qua tám. 48
Nãúu truûc khäng càõt âæåìng troìn ta coï xuyãún håí, nãúu truûc càõt âæåìng troìn ta coï xuyãún kên. Màût xuyãún thæåìng biãøu diãùn åí vë trê âàûc biãût, truûc troìn xoay thæåìng choün vuäng goïc våïi màût phàóng hçnh chiãúu, luïc âoï caïc âæåìng bao hçnh chiãúu veî âæåüc dãù daìng. Hçnh-8.16 , biãøu diãùn mäüt e2 M'''2 màût xuyãún våïi truûc t laì âæåìng thàóng a2 chiãúu âæïng. Hçnh chiãúu âæïng: a2 vaì M''2 g2 d2 b2 laì hçnh chiãúu cuía caïc âæåìng troìn b2 vé tuyãún sinh ra do âiãøm thuäüc c2 c'2 âæìång troìn sinh (c), caïch xa truûc t nháút. Hai vé tuyãún a vaì b thuäüc màût phàóng âäúi xæïng cuía màût xuyãún M'2 vuäng goïc våïi truûc t. Hçnh chiãúu M2 bàòng: c1 vaì c'1 laì hçnh chiãúu cuía âæåìng troìn sinh (c) åí vë trê thuäüc màût phaíng qua truûc t vaì song song våïi P1, d1 laì hçnh chiãúu cuía âæåìng d'1 troìn vé tuyãún coï âæåìng bàòng trung c'1 bçnh coüng caïc âæåìng kênh cuía a vaì b a ≡b , d truìng våïi hçnh chiãúu âæïng cuía 1 1 2 c 1 e ≡g âæåìng troìn qué têch tám cuía M1 1 1 (c).Nhæîng âiãøm thuäüc næía trãn vaì d1 giåïi haûn tæì hai âæåìng troìn d âæåüc Hçnh-8.16 tháúy åí hçnh chiãúu bàòng. Nhæîng âiãøm thuäüc næía træåïc cuía xuyãún giåïi haûn båíi hai âæåìng troìn a vaì b âæåüc tháúy åí hçnh chiãúu âæïng. Giaí sæí, biãút hçnh chiãúu bàòng M1 cuía âiãøm M thuäüc màût xuyãún, haîy veî âiãøm M2. Qua M ta veî hai âæåìng troìn vé tuyãún e vaì g (e1≡g1) . Trãn hçnh chiãúu âæïng ta tháúy roî bäún nghiãûm: M2, M'2, M''2, M'''2. 49
Chæång chên: MÀÛT PHÀÓNG TIÃÚP XUÏC MÀÛT CONG 9.1-KHAÏI NIÃÛM : Tiãúp tuyãún taûi mäüt âiãøm cuía mäüt âæåìng cong thuäüc màût cong cuîng goüi laì tiãúp tuyãún cuía màût cong taûi âiãøm âoï . Nãúu taûi mäüt âiãøm cuía màût cong coï vä säú tiãúp tuyãún cuîng thuäüc mäüt màût phàóng thç màût phàóng naìy goüi laì màût phàông tiãúp xuïc cuía màût cong taûi âiãøm âoï .Màût phàóng tiãúp xuïc thæåìng âæåüc duìng âãø veî tiãúp tuyãún cuía giao hai màût , veî âæåìng bao cuía boïng trãn hai màût 9.2- MÀÛT PHÀÓNG TIÃÚP XUÏC VÅÏI MÀÛT KEÍ : Nãúu mäüt màût phàóng tiãúp xuïc våïi mäüt màût keí taûi mäüt âiãøm thç noï thuäüc caïc âæåìng sinh thàóng cuía màût keí qua âiãøm âoï .Nãúu màût phàóng tiãúp xuïc våïi màût keí doüc theo mäüt âæåìng sinh thç màût keí naìy khai triãøn âæåüc , nhæ màût noïn ,màût truû Sau âáy , ta xeït vaìi vê duû : S2 9.2.1- Màût phàóng tiãúp xuïc våïi màût noïn : Vê duû 1 : Qua âiãøm M cuía màût noïn ,haîy t2 M veî màût phàóng tiãúp xuïc våïi noïn (H-9.1). 2 N2 Giaíi : Màût phàóng tiãúp xuïc phaíi veî âæåüc (c2) xaïc âënh båíi âæåìng sinh tiãúp xuïc SM vaì mäüt tiãúp tuyãún cuía màût noïn taûi mäüt âiãøm (c1) S1 naìo âoï thuäüc SM .Váûy taûi chán N cuía âæåìng sinh SM trãn âæåìng chuáøn (c) ,ta t M veî tiãúp tuyãún t cuía (c) ,tiãúp tuyãún t thuäüc 1 1 màût phàóng cuía âæåìng chuáøn (c), theo N1 muûc 9.1,t cuîng laì tiãúp tuyãún cuía màût noïn . Hçnh-9.1 Vê duû 2: Qua âiãøm A ngoaìi màût noïn S. Haîy veî màût phàóng tiãúp xuïc våïi noïn (Hçnh -9.2) . Giaíi :Màût phàóng tiãúp xuïc phaíi veî thuäüc âæåìng thàóng SA vaì tiãúp xuïc doüc theo âæåìng sinh d cuía màût noïn . Màût phàóng naìy càõt màût phàóng cuía âæåìng chuáøn theo tiãúp tuyãún t cuía (c) .Váûy ta veî giao âiãøm M' cuía SA våïi màût phàóng dæåìng chuáøn , räöi tæì M veî tiãúp tuyãún våïi (c); SA vaì t xaïc âënh màût phàóng cáön veî .Baìi toaïn coï hai nghiãûm hçnh . 9.2.2-Màût phàóng tiãúp xuïc våïi màût truû : 50
Vê duû : Haîy veî mäüt màût phàóng màût S2 phàóng song song våïi âæåìng thàóng g vaì tiãúp xuïc våïi màût truû .(Hçnh- 9.3) Giaíi :Màût phàóng phaíi veî ,thuäüc âæåìng A2 sinh tiãúp xuïc cuía truû vaì thuäüc mäüt t2≡t'2 âæåìng thàóng song song våïi g. Váûy N2 (c2) M2 phæång cuía màût phàóng tiãúp xuïc âaî biãút. S1 Qua mäüt âiãøm K tuìy yï ,ta veî hai âæåìng (c1) t'1 thàóng a vaì b láön læåüt song song våïi g vaì âæåìng sinh cuía truû.Màût phàóng (a,b) càõt màût phàóng cuía âæåìng (c)theo giao A1 tuyãún m, song song våïi tiãúp tuyãún t våïi (c) cáön veî. (t laì giao cuía màût phàóng t1 M N 1 tiãúp xuïc våïi màût phàóng âæåìng chuáøn 1 truû ). Hçnh-9.2 Do âoï ,sau khi veî m, ta veî tiãúp tuyãún t cuía (c) song song våïi m vaì tæì tiãúp âiãøm, veî âæåìng sinh tiãúp xuïc d cuía truû .Màût phàóng cáön dæûng laì (t,d). Noïi chung baìi toaïn coï hai nghiãûm hçnh. d2 g2 K2 a 2 m2 b2 (c2) t2≡t'2 T2 T1 b1 K1 d1 m1 t'1 a1 t1 g 1 (c1) Hçnh-9.3 9.3-MÀÛT PHÀÓNG TIÃÚP XUÏC MÀÛT TROÌN XOAY : Nãúu màût phàóng tiãúp xuïc våïi màût troìn xoay taûi mäüt âiãøm thç noï vuäng goïc våïi 51
màût phàóng kinh tuyãún âi qua âiãøm âoï . Nhæîng màût phàóng tiãúp xuïc màût troìn xoay vaì càõt truûc xoay taûi âiãøm A thç tiãúp xuïc våïi màût noïn troìn xoay âènh A, cuìng truûc våïi màût troìn xoay . Màût noïn naìy tiãúp xuïc våïi màût troìn xoay theo vé tuyãún v, quyî têch caïc tiãúp âiãøm cuía caïc màût phàóng tiãúp xuïc noïi trãn våïi màût troìn xoay. Nhæîng phaïp tuyãún (vuäng goïc våïi màût phàóng tiãúp xuïc taûi mäüt âiãøm cuía màût ) cuía màût troìn xoay coï chán nàòm trãn mäüt vé tuyãún thç âäöng quy trãn truûc cuía màût troìn xoay .(Hçnh-9.4) A Màût phàóng tiãúp xuïc Phaïp tuyãún Tuyãún tiãúp t n M Vé tuyãún tiãúp xuïc Màût phàóng kinh tuyãnú Hçnh-9.4 9.3.1-Màût phàóng tiãúp xuïc våïi cáöu : Màût phàóng tiãúp xuïc våïi cáöu thç vuäng goïc våïi baïn kênh cáöu taûi âiãøm âoï . Vê duû : Qua âiãøm M cuía màût cáöu tám O , haîy veî màût phàóng tiãúp xuïc våïi cáöu (H- 9.5). Giaíi : Màût phàóng tiãúp xuïc våïi màût cáöu vuäng goïc våïi baïn kênh OM . Do âoï màût phàóng tiãúp xuïc âæåüc veî båíi âæåìng bàòng h vaì âæåìng màût f qua M âãöu vuäng goïc våïi OM .(AÏp duûng âënh lyï vãö âæåìng thàóng vuäng goïc våïi màût phàóng ). Cuîng coï thãø hiãøu caïch khaïc : Qua M veî hai âæåìng troìn cuía cáöu láön læåüt thuäüc caïc màût phàóng song song våïi P1 vaì P2 , veî caïc tiãúp tuyãún h vaì f våïi caïc âæåìng troìn trãn taûi M . 9.3.2-Màût phàóng tiãúp xuïc våïi màût xuyãún : Vê duû : Qua âiãøm A cuía màût xuyãún ,haîy veî màût phàóng tiãúp xuïc våïi màût xuyãún (H-9.6) . Giaíi : Màût phàóng tiãúp xuïc coï thãø âæåüc veî bàòng t vaì u láön læåüt laì caïc tiãúp tuyãún cuía 4 vé tuyãún vaì kinh tuyãún qua âiãøm A cuía màût xuyãún . Nhæ trãn hçnh-9.4 muûc 9.3), u laì âæåìng sinh cuía màût noïn tiãúp xuïc våïi màût xuyãún theo vé tuyãún qua 52
A . Do âoï ta veî âæåìng sinh bao u' cuía màût noïn âoï , âæåüc âènh noïn S vaì taûo ra âæåìng sinh u cáön tçm . M 2 h 2 u' 2 u2 (a2) O2 f2 (b2) A'2 A t2 2 c 1 x t1 A1 O1 u1 (a1) h (b ) 1 1 M f1 1 A' 1 Hçnh-9.5 Hçnh-9.6 9.4- VAÌI VÊ DUÛ ÆÏNG DUÛNG : Vê duû 1 : Qua âæåìng thàóng d , haîy veî màût phàóng nghiãng våïi màût phàóng P1 mäüt goïc ϕ (H-9.7) . S2 Giaíi : Màût phàóng phaíi dæûng laì màût phàóng tiãúp xuïc våïi mäüt màût noïn troìn xoay truûc thàóng âæïng, âènh S thuäüc âæåìng thàóng d vaì goïc cuía âæåìng sinh d2 våïi màût phàóng P1 laì ϕ . Láúy âiãøm S tuìy yï thuäüc d , veî màût noïn troìn xoay âènh t ≡t' ϕ 2 2 x S , hçnh chiãúu âæïng âæåìng sinh bao t nghiãng våïi âæåìng nàòm ngang goïc ϕ. 1 (c1) Tæì giao âiãøm M cuía d vaì P1, veî tiãúp d1 tuyãún d cuía âæåìng troìn âaïy (c). Màût phàóng cáön dæûng laì (d,t). S1 Biãûn luáûn : Goüi α laì goïc nghiãng cuía d våïi P1 . - α < ϕ : 2 nghiãûm , α = ϕ : 1 nghiãûm , t'1 Hçnh -9.7 53
α > ϕ : vä nghiãûm . Vê duû 2: Haîy veî âæåìng bao hçnh chiãúu bàòng cuía màût noïn troìn xoay , biãút S hçnh chiãúu âæïng cuía màût noïn vaì truûc laì âæåìng màût . 2 Giaíi : Âæåìng bao hçnh chiãúu bàòng cuía màût noïn laì hçnh chiãúu cuía nhæîng màût phàóng tiãúp xuïc våïi màût noïn vaì (b2) T2≡T'2 vuäng goïc våïi P1 . Chuïng cuîng tiãúp O xuïc våïi màût cáöu naìo âoï näüi tiãúp våïi 2 màût noïn . Baìi toaïn chuyãøn thaình : veî (a2) màût phàóng thàóng âæïng qua mäüt âiãøm x cho træåïc vaì tiãúp xuïc våïi màût cáöu .Váûy T'1 ta veî mäüt màût cáöu tám O tuìy yï thuäüc truûc t cuía noïn vaì tiãúp xuïc våïi noïn .Dãù O1 (a1) daìng veî âæåüc hai màût phàóng chiãúu S1 bàòng thuäüc âènh S vaì tiãúp xuïc våïi màût (b1) cáöu .Trãn hçnh-9.8 , caïc hçnh chiãúu T1 bàòng cuía hai màût phàóng trãn cuîng laì Hçnh -9.8 hai tiãúp tuyãún cuía âæåìng troìn xêch âaûo âi qua S1 . Nháûn xeït : hai âiãøm T1 vaì T1' væìa thuäüc âæåìng bao hçnh chiãúu bàòng cuía noïn , væìa thuäüc âæåìng bao hçnh chiãúu bàòng cuía cáöu . Do âoï , chuïng laì hçnh chiãúu cuía caïc giao âiãøm cuía âæåìng troìn xêch âaûo cuía màût cáöu vaì âæåìng troìn tiãúp xuïc m cuía màût cáöu vaì màût noïn .Nháûn xeït trãn cuîng âuïng våïi màût troìn báút kyì coï truûc laì âæåìng màût .Do âoï ta coï thãø veî âæåìng bao hçnh chiãúu bàòng cuía màût troìn xoay báút kyì , bàòng caïch veî nhiãöu màût cáöu näüi tiãúp màût troìn xoay âoï . Mäùi màût cáöu cho ta càûp âiãøm T1 , T1' tæång tæû nhæ trãn . Táûp håüp caïc càûp âiãøm T1 , T1' cho ta âæåìng cáön veî . Cuîng coï thãø hiãøu âæåìng bao hçnh chiãúu bàòng cuía mäüt màût truû chiãúu bàòng tiãúp xuïc våïi màût troìn xoay væìa noïi . Vê duû 3 : Haîy veî âæåìng bao hçnh chiãúu bàòng cuía màût troìn xoay , biãút hçnh chiãúu âæïng vaì truûc laì âæåìng màût . Giaíi : Theo nháûn xeït trãn , ta veî nhiãöu màût cáöu näüi tiãúp màût troìn xoay .Caïc càûp âiãøm T1 , T1' , cho ta âæåìng bao cuía hçnh chiãúu bàòng a1 cáön veî (H-9.9) .Trãn hçnh chiãúu âæïng , âæåìng näúi liãön caïc âiãøm T2 , T2' laì hçnh chiãúu âæïng a2 cuía âæåìng tiãúp xuïc giæîa màût truû chiãúu bàòng vaì màût troìn xoay . 54
Vê duû 4 : Cho màût truû xaïc âënh båíi âæåìng chuáøn c , phæång âæåìng sinh s cuía màût truû vaì màût phàóng P . Haîy veî âiãøm gáön nháút vaì xa nháút (âäúi våïi P2) cuía giao T'2 tuyãún cuía màût truû vaì màût phàóng .(H-9.10) Giaíi : Goüi caïc âiãøm væìa tçm laì M vaì T 2 a2 N .Taûi M vaì N tiãúp tuyãún cuía giao tuyãún phaíi laì nhæîng âæåìng màût cuía màût phàóng P âäöng thåìi thuäüc màût phàóng tiãúp xuïc våïi màût truû . Váûy ta phaíi veî màût phàóng tiãúp xuïc våïi màût truû vaì song song våïi âæåìng a1 màût cuía P . Caïch laìm nhæ vê duû hçnh-9.3 . T1 Sau khi veî âæåüc caïc âæåìng sinh tiãúp xuïc , T'1 ta tçm caïc giao âiãøm cuía chuïng våïi màût phàóng P laì caïc âiãøm M , N cáön tçm .(sinh viãn veî näút âiãøm M trãn hçnh-9.10, pháön T'1 a1 neït måì ) . T1 Hçnh-9.9 nα s2 d 2 K2 N2 (c2) t g2 2 (c ) 1 g 1 K1 t1 s1 N1 d1 mα Hçnh-9.10 55
Chæång 10 : GIAO TUYÃÚN CUÍA MÀÛT PHÀÓNG VAÌ MÄÜT MÀÛT I0.1-KHAÏI NIÃÛM: Giao tuyãún cuía màût phàóng våïi mäüt màût laì táûp håüp caïc âiãøm chung cuía màût phàóng vaì màût âoï . Giao tuyãún cuía màût phàóng våïi mäüt âa diãûn thæåìng laì mäüt âa giaïc maì caïc âènh laì giao âiãøm caïc caûnh âa diãûn våïi màût phàóng .Giao tuyãún cuía màût phàóng våïi mäüt màût báûc n thæåìng laì mäüt âæåìng báûc n .Våïi màût noïn báûc 2 , giao tuyãún laì : + Elip, nãúu màût phàóng càõt táút caí caïc âæåìng sinh cuía màût noïn . Elip suy biãún thaình mäüt âiãøm nãúu màût phàóng âoï âi qua âènh noïn . +Hyperbol , nãúu màût phàóng song song våïi hai âæåìng sinh cuía noïn . Hai âæåìng sinh nayì chênh laì hai phæång tiãûm cáûn cuía Hyperbol . Hyperbol naìy suy biãún thaình hai âæåìng thàóng nãúu màût phàóng âi qua âènh noïn . +Parabol ,nãúu màût phàóng song song våïi mäüt âæåìng sinh cuía noïn . Âæåìng sinh naìy cho phæång truûc cuía Parabol . Parabol suy biãún thaình âæåìng sinh nãúu màût phàóng âoï âi qua âènh noïn , màût phàóng tråí thaình màût phàóng tiãúp xuïc våïi noïn , coï thãø hiãøu âæåìng sinh tiãúp xuïc chênh laì giao tuyãún cuía màût phàóng våïi noïn . Tæì âoï ta coï thãø âoaïn nháûn daûng giao tuyãún cuía màût phàóng våïi noïn báûc 2 coï âæåìng chuáøn laì elip hay âæåìng troìn bàòng caïch nhæ sau : - Ta veî mäüt màût phàóng âi qua âènh noïn vaì song song våïi màût phàóng âaî cho , nãúu màût phàóng væìa veî khäng càõt , càõt taûi mäüt âiãøm , càõt taûi hai âiãøm thç giao tuyãún láön læåüt laì : Elip , Parabol ,Hyperbol . Våïi màût truû báûc 2, âæåìng chuáøn laì elip hoàûc âæåìng troìn ,giao tuyãún laì : +Elip, nãúu màût phàóng càõt táút caí caïc âæåìng sinh cuía truû . +Hai âæåìng sinh nãúu màût phàóng càõt màût truû vaì song song våïi phæång cuía truû . +Mäüt âæåìng sinh nãúu màût phàóng tiãúp xuïc våïi truû . Coï thãø hiãøu âæåìng sinh trãn laì âæåìng sinh keïp cuía giao tuyãún suy biãún . 10.2-TRÆÅÌNG HÅÜP BIÃÚT MÄÜT HÇNH CHIÃÚU CUÍA GIAO TUYÃÚN : 10.2.1-Nãúu màût âaî cho laì màût làng truû hoàûc màût truû chiãúu (âæåìng sinh laì âæåìng thàngó chiãúu ) , màût phàóng laì báút kyì thç mäüt hçnh chiãúu cuía giao tuyãún 56
truìng våïi hçnh chiãúu suy biãún cuía làng truû hoàûc truû . Veî hçnh chiãúu thæï hai cuía giao tuyãún bàòng caïch aïp duûng baìi toaïn vãö âiãøm , âæåìng thàóng thuäüc màût phàóng . Vê duû 1 : Haîy veî giao tuyãún màût phàóng α vaì màût c2 a b2 làng truû chiãúu bàòng abc . 2 C Giaíi : Giao tuyãún laì 2 tam giaïc ABC maì A1 ≡ a1 ,B1 ≡ b1,C1 ≡ c1 . Nhåì baìi toaïn cå baín âiãøm , âæåìng nα A 2 B2 thàóng thuäüc màût phàóng , x dãù daìng veî âæåüc A2B2C2 . Pháön tháúy khuáút thãø hiãûn mα A1≡a1 C1≡c1 nhæ hçnh veî (H-10.1) . B1≡b1 Hçnh-10.1 Vê duû 2 : Haîy veî giao tuyãún màût phàóng α vaì màût truû troìn xoay ,Truûc T vuäng goïc våïi P1 (H-10.2) . Giaíi : Nhçn hçnh chiãúu t2 A bàòng ,Ta biãút giao tuyãún laì mäüt 2 elêp maì hçnh chiãúu bàòng cuía noï T2 e1 truìng våïi hçnh chiãúu bàòng e C D 2 cuía màût truû .Do tênh âäúi xæïng 2 2 ,dãù tháúy ràòng truûc daìi AB cuía nα T'2 elêp thuäüc giao màût phàóng P vaì B2 f2 truûc ngàõn CD bàòng âæåìng kênh x màût truû . A C 1 mα 1 e Vç truûc T vuäng goïc våïi P1 1 f1 t nãnmàût phàóng âäúi xæïng Q laì 1 T' T màût phàóng chiãúu bàòng . 1 1 Vç Q ⊥ T nãn Q1 ⊥ mp ,do âoï B1 AB laì âæåìng däúc nháút cuía P âäúi våïi P1 vaì CD laì âæåìng Hçnh-10.2 57
bàòng cuía P . Trãn hçnh chiãúu bàòng : A1B1 ⊥ C1D1 .Hçnh chiãúu âæïng cuía elip laì e2 nháûn A2B2 vaì C2D2 laìm càûp âæåìng kênh liãn håüp . AB laì âæåìng däúc nháút âäúi våïi P1 nãn A laì âiãøm cao nháút , B laì âiãøm tháúp nháút cuía elip .T2 , T2' laì hai tiãúp âiãøm cuía e2 våïi âæåìng sinh bao màût truû vaì cuîng laì giåïi haûn tháúy khuáút cuía e2 .Âæåìng màût f xaïc âënh T2 , T2' . 10.2.2-Nãúu màût phàóng âaî cho laì màût phàóng chiãúu ,màût kia laì báút kyì thç mäüt hçnh chiãúu cuía giao tuyãún thuäüc hçnh chiãúu suy biãún cuía màût phàóng . AÏp duûng baìi toaïn vãö âiãøm thuäüc màût veî hçnh chiãúu thæï hai cuía giao tuyãún . Vê duû 1 : Haîy veî giao tuyãún màût phàóng chiãúu âæïng P vaì màût thaïp SABC . Giaíi : Nhåì hçnh chiãúu âæïng ta tháúy roî giao tuyãún laì tam giaïc DEF maì D2E2F2 thuäüc α2 .Dãù daìng veî âæåüc D1E1F1 , tháúy khuáút cuía giao tuyãún âæåüc thãø hiãûn trãn hçnh veî (H-10.3) . Vê duû 2 : Haîy veî giao tuyãún cuía màût phàóng chiãúu âæïng α vaì màût noïn troìn xoay , truûc thàóng âæïng (H-10.4) . S2 S 2 α 2 α B2 D2 E 2 C2≡D2≡O2 F A2 2 B2 A2 x (c2) C2 C1 C 1 F 1 A S1 B 1 1 S D1 1 A1 (c1) D1 E1 B1 Hçnh-10.3 Hçnh-10.4 Giaíi : Vç màût phàóng α coï hçnh chiãúu âæïng suy biãún thaình âæåìng thàóng α2 nãn ta biãút α càõt táút caí caïc âæåìng sinh cuía màût noïn S .Giao tuyãún laì elip maì hçnh chiãúu âæïng laì A2B2 thuäüc α2 .AB laì truûc daìi cuía elip , truûc ngàõn CD coï 58
hçnh chiãúu âæïng C2 ≡D2 ≡ O2 hçnh chiãúu tám O cuía elip .ÅÍ hçnh chiãúu bàòng A1B1 ⊥ C1D1 (vç CD ⊥ P2) nãn chuïng laì hai truûc cuía elip hçnh chiãúu bàòng cuía giao tuyãún .Ta veî C1D1 nhåì âæåìng troìn thuäüc màût phàóng nàòm ngang vaì qua CD . *Chuï yï : Ngæåìi ta âaî chæïng minh ràòng : Hçnh chiãúu cuía elip thuäüc màût noïn troìn xoay lãn màût phàóng vuäng goïc våïi truûc cuía noïn luän luän laì elip . Hçnh chiãúu cuía âènh noïn laì mäüt tiãu âiãøm cuía elip væìa noïi . Vê duû 3: Haîy veî giao tuyãún cuía màût phàóng α chiãúu âæïng vaì màût cáöu tám O A (H-10.5). 2 (a2) Giaíi : Giao tuyãún laì âæåìng troìn tám I , hçnh chiãúu âæïng cuía noï C2≡D2≡I2 laì A2B2 ∈ α2 (vç α ⊥ P2) , vaì âæåìng (b2) kênh cuía noï bàòng A B . Hçnh 2 2 O2 chiãúu bàòng âæåìng troìn giao tuyãún B2 laì elip maì truûc daìi laì C1D1 , hçnh chiãúu âæïng cuía âæåìng kênh CD α2 vuäng goïc våïi P2 (tæïc song song x våïi P ) , C D = A B vaì truûc ngàõn 1 1 1 2 2 C T 1 laì A1B1 . Nhçn hçnh chiãúu âæïng ta 1 tháúy α càõt âæåìng troìn xêch âaûo åí hai âiãøm T , T' (T2 ≡ T'2) nãn åí I (a ) B 1 O1 1 hçnh chiãúu bàòng T1 vaì T'1 laì hai 1 tiãúp âiãøm cuía elip vaì âæåìng bao màût cáöu laì hai giåïi haûn tháúy khuáút (b ) 1 D cuía elip 1 T' 1 10.3-TRÆÅÌNG HÅÜP TÄØNG QUAÏT : Hçnh-10.5 Giaí sæí cáön tçm giao tuyãún cuía màût phàóng vaì màût Φ.Ta coï caïc bæåïc giaíi nhæ sau: a)Duìng màût phàóng phuû tråü ϕ càõt màût phàóng P vaì Φ , sao cho giao tuyãún dãù veî caïc hçnh chiãúu cuía chuïng laì âæåìng thàóng vaì âæåìng troìn . b)Veî caïc giao tuyãún phuû tråü m vaì n væìa noïi . c)Veî caïc giao âiãøm A,B cuía m vaì n A,B thuäüc giao tuyãún cáön tçm cuía P vaì Φ . Âãø veî täút giao tuyãún ,cáön phaíi nháûn xeït daûng giao tuyãún ,âãø yï caïc truûc âäúi 59
xæïng, caïc âiãøm âàûc biãût nhæ caïc âiãøm gáön nháút , xa nháút , cao nháút , tháúp nháút hoàûc caïc âiãøm taûi âoï coï hæåïng tiãúp tuyãún nháút âënh Ngoaìi ra coï thãø duìng biãún âäøi hçnh chiãúu mäüt caïch linh hoaût âãø veî baìi toaïn giao tuyãún . Vê duû 1: Haîy veî giao tuyãún cuía màût phàóng (p,q) vaì màût làng truû (abc) . Giaíi : Ta tçm giao tuyãún cuía caïc caûnh a,b,c våïi màût phàóng (p,q) . giao tuyãún laì tam giaïc ABC tçm âæåüc nhåì caïc màût phàóng phuû tråü R , R' , R'' (H-10.6) . a2 b2 B2 p 2 q2 A2 c g'' 2 2 C2 g'2 g 2 C1 ϕ≡g c1 1 a1 ϕ'≡g'1 A1 ϕ''≡g''1 p b1 B1 1 q1 Hçnh-10.6 Vê duû 2: Haîy veî giao tuyãún cuía màût phàngó α(h,f) våïi màût noïn troìn xoay truûc thàóng âæïng (H-10.7) . Giaíi : Nãúu qua âènh noïn ta veî màût phàóng song song våïi màût phàóng (h,f) thç dãù tháúy màût phàóng væìa veî khäng càõt âaïy noïn (c) .Qua S veî f ' // f ,giao tuyãún m cuía màût phàóng α våïi màût phàóng âaïy noïn seî song song våïi h vç màût phàóng âaïy noïn laì màût phàóng bàòng .Váûy tæì giao tuyãún M cuía f ' vaì màût phàóng âaïy noïn ,ta veî m // h , khäng càõt âæåìng troìn âaïy (c) nãn giao tuyãún phaíi laì elip .Cuîng coï thãø âoaïn nháûn daûng giao tuyãún bàòng caïch veî màût phàóng âäúi xæïng chung cuía màût phàóng (h,f) vaì màût noïn .Nãúu caïc âiãmø tçm âæåüc cuía giao tuyãún nhåì màût phàóng âäúi xæïng chung åí vãö mäüt phêa cuía màût noïn so våïi âènh noïn thç giao tuyãún laì elip .Âãø veî caïc âiãøm cuía giao tuyãún ta duìng caïc màût phàóng phuû tråü laì caïc màût phàóng chiãúu bàòng thuäüc truûc noïn âãø càõt noïn theo caïc âæåìng troìn maì hçnh chiãúu bàòng 60
cuía chuïng cuîng laì caïc âæåìng troìn .Dé nhiãn caïc màût phàóng phuû tråü trãn càõt màût phàóng (h,f) theo caïc âæåìng thàóng cuû thãø nhæ sau: +Màût phàóng âäúi xæïng Q cho hai âiãøm A,B cuía truûc daìi elip .A laì âiãøm cao nháút, B laì âiãøm tháúp nháút . +Màût phàóng ϕ âi qua âiãøm giæîa O cuía AB cho hai âiãøm CD truûc ngàõn elêp . +Màût phàóng ϕ' cho hai âiãøm T,T' maì caïc hçnh chiãúu âæïng T2,T2' laì caïc tiãúp âiãøm cuía hçnh chiãúu giao tuyãún våê caïc âæåìng sinh bao hçnh chiãúu âæïng cuía màût noïn vaì laì caïc âiãøm giåïi haûn tháúy khuáút cuía hçnh chiãúu âæïng giao tuyãún. Váûy hçnh chiãúu bàòng cuía giao tuyãún laì elip nháûn A1B1laìm truûc daìi ,C1D1 laìm truûc ngàõn .CD // P1 nãn goïc vuäng cuía AB vaì CD âæåüc baío täön åí hçnh chiãúu bàòng .Hçnh chiãúu âæïng cuía giao tuyãún laì elip nháûn A2B2 vaì C2D2 laìm càûp âæåìng kênh liãn håüp .Caïc tiãúp tuyãún cuía elip taûi A2B2 laì nhæîng âæåìng nàòm ngang . S2 A2 O T'2 ϕ2 C2 2 f2 T 2 D2 B2 h2 f1 Q1 h1 A1 C1 S1 ϕ'1 O1 D1 B 1 Hçnh-10.7 Vê duû 3 : Haîy veî giao tuyãún cuía màût phàóng α(m,n) våïi màût truû xiãn . Giaíi : a) Nãúu duìng caïc màût phàóng phuû tråü âãø veî giao tuyãún thç ta coï thãø choün nhæ sau : 61
+Màût phàóng chiãúu bàòng song song våïi phæång cuía truû . +Màût phàóng chiãúu âæïng song song våïi phæång cuía truû . +Màût phàóng bàòng song song våïi màût phàóng âaïy truû . b)Nãúu duìng biãún âäøi hçnh chiãúu thç coï thãø thay màût phàóng hçnh chiãúu âæïng âãø màût phàóng P tråí thaình màût phàóng chiãúu âæïng (H-10.8) , hçnh chiãúu âæïng måïi cuía màût truû coï thãø biãøu diãùn bàòng hçnh chiãúu âæïng måïi cuía âaïy vaì truûc xiãn cuía màût truû räöi suy ra caïc âæåìng sinh bao cuía màût truû . Trong hãû thäúng måïi , hçnh chiãúu âæïng cuía giao tuyãún âæåüc biãút :A'2B'2 thuäüc P'2 giao tuyãún laì elip .Tæì âoï ta âæa kãút quaí vãö caïc hçnh chiãúu cuî . Cáön chuï yï caïc âiãøm âàûc biãût cuía giao tuyãún nhæ caïc âiãøm thuäüc caïc âæåìng sinh bao hçnh chiãúu màût truû, âiãøm cao nháút , tháúp nháút laì A,B .Hçnh-10.8 chè ra caïch veî caïc âiãøm cao nháút ,tháúp nháút A,B caïc tiãúp âiãøm S1,T2 cuía giao tuyãún . A2 T2 nα≡mα B2 S1 B 1 T1 A 1 α'2 B'2 S' 2 T'2 A' Hçnh-10.8 2 Vê duû 4: Haîy veî giao tuyãún cuía màût phàóng P(m,n) våïi màût elipxoit troìn xoay , truûc thàóng âæïng (H-10.9) . 62
Giaíi : Giao tuyãún nãúu coï laì elip .Ta coï thãø duìng caïc màût phàóng phuû tråü laì caïc màût phàóng bàòng âãø caïc giao tuyãún trãn màût elipxoit laì caïc âæåìng troìn coï hçnh chiãúu bàòng nguyãn hçnh vaì caïc màût phàóng kinh tuyãún . -Màût phàóng âäúi xæïng chung Q càõt elipxoit theo elip kinh tuyãún bàòng elip hçnh bao cuía hçnh chiãúu âæïng elipxoit .Âãø veî chênh xaïc , ta xoay màût phàóng âäúi xæïng quanh truûc t âãún song song våïi P2 .Luïc báúy giåì , hçnh chiãúu âæïng cuía elip giao tuyãún phuû tråü seî truìng våïi âæåìng bao hçnh chiãúu âæïng elipxoit . Giao tuyãún phuû tråü g-,giao tuyãún cuía màût phàóng seî âãún vë trê måïi g'-Taûi vë trê måïi naìy , ta tçm âæåüc caïc âiãøm cuía giao tuyãún cáön veî laì A',B' .Tæì âoï xoay ngæåüc laûi ta âæåüc A, B . AB chênh laì truûc daìi cuía elip , giao tuyãún cuía P vaì elipxoit ,A laì âiãøm cao nháút ,B laì âiãøm tháúp nháút . -Màût phàóng bàòng ϕ qua t2 g2 giæîa âiãøm O cuía AB cho ta g' hai âiãøm C,D truûc ngàõn cuía 2 A elip giao tuyãún . 2 A'2 -Màût phàóng kinh tuyãún T2 ϕ'2 β song song våïi P2 cho caïc C2 O2 ϕ2 tiãúp âiãøm T2,T2' cuía hçnh n D2 chiãúu âæïng giao tuyãún vaì α hçnh bao elipxoit . T'2 -Màût phàóng bàòng ϕ' B'2 B2 qua âæåìng troìn xêch âaûo cuía elipxoit cho caïc tiãúp âiãøm U ,U ' cuía hçnh chiãúu U1 1 1 C 1 A bàòng giao tuyãún våïi hçnh mα 1 bao cuía elipxoit . Hçnh O1 chiãúu bàòng giao tuyãún laì β1 U'1 elip, våïi truûc daìi C1D1 , B1 truûc ngàõn A1B1 . Hçnh D1 chiãúu âæïng giao tuyãún laì Q1≡g1 elip våïi càûp âæåìng kênh liãn håüp A2B2 vaì C2D2 . Hçnh-10.9 63
Chæång 11 GIAO ÂIÃØM CUÍA ÂÆÅÌNG THÀÓNG VAÌ MÀÛT 11.1-KHAÏI NIÃÛM : Giao âiãøm cuía âæåìng thàóng vaì mäüt màût naìo âoï laì táûp håüp caïc âiãøm chung cuía chuïng . Säú giao âiãøm täúi âa cuía âæåìng thàóng våïi mäüt âa diãûn läöi laì 2 . Säú giao âiãøm täúi âa cuía âæåìng thàóng våïi mäüt màût âaûi säú báûc n laì n . Vê duû : Säú giao âiãøm cuía âæåìng thàóng våïi mäüt màût noïn báûc hai thæåìng laì 2 . Säú giao âiãøm täúi âa cuía âæåìng thàóng våïi mäüt màût xuyãún laì 4 . 11.2-TRÆÅÌNG HÅÜP BIÃÚT MÄÜT HÇNH CHIÃÚU CUÍA GIAO TUYÃÚN : 11.2.1- Nãúu màût cho laì làng truû chiãúu hoàûc truû chiãúu , c2 âæåìng thàóng laì báút kyì thç b2 a2 mäüt hçnh chiãúu caïc giao âiãøm laì giao cuía hçnh chiãúu suy biãún cuía màût vaì hçnh N2 chiãúu tæång æïng cuía âæåìng M2 thàóng .Duìng baìi toaïn vãö d2 âiãøm thuäüc âæåìng thàóng , veî hçnh chiãúu thæï hai caïc giao âiãøm . x Vê duû 1: Veî giao âiãøm a1 c1 cuía âæåìng thàóng d våïi màût d1 N làng truû abc thàóng âæïng (H- M1 1 11.1). Giaíi : Dãù tháúy hçnh b1 chiãúu bàòngcuía giao âiãøm laì Hçnh-11.1 M1,N1 vaì suy ra M2, N2 . 11.2.1-Nãúu âæåìng thàóng laì âæåìng thàóng chiãúu , màût laì báút kyì thç mäüt hçnh chiãúu caïc giao âiãøm truìng våïi hçnh chiãúu suy biãún cuía âæåìng thàóng . AÏp duûng baìi toaïn vãö âiãøm thuäüc màût ta veî hçnh chiãúu thæï hai cuía giao âiãøm . Vê duû 2: Haîy veî giao âiãøm cuía âæåìng thàóng chiãúu âæïng d våïi màût noïn S (H-11.2) . 64
Giaíi : Hçnh chiãúu âæïng caïc giao âiãøm laì M2 ≡ N2 ≡ d2 .Caïc âæåìng sinh SM vaì SN cho ta hçnh chiãúu bàòng M1 vaì N1 cuía caïc giao âiãøm M vaì N . Âoaûn M1N1 khuáút . S2 d ≡M2≡N 2 2 (c ) 2 x d (c1) 1 M1 N1 Hçnh-11.2 S1 11.3-TRÆÅÌNG HÅÜP TÄØNG QUAÏT : Giaí sæí tçm giao âiãøm cuía âæåìng thàóng d våïi màût Φ báút kyì . Ta coï caïc bæåïc giaíi nhæ sau :(H-11.3) a) Duìng màût phàóng phuû tråü ϕ thuäüc âæåìng thàóng d vaì càõt Φ sao cho giao tuyãún phuû tråü veî âæåüc bàòng thæåïc vaì ϕ compa (màût phàóng ϕ coï thãø khäng laì màût d phàóng chiãúu ) . b) Veî giao tuyãún phuû tråü g . K g c) Veî giao âiãøm cuía âæåìng thàóng d Φ vaì giao tuyãún phuû tråü g .Âoï laì giao âiãøm cáön tçm . Ngoaìi ra, ta coï thãø duìng biãún âäøi hçnh chiãúu hoàûc phäúi håüp phæång phaïp màût phàóng phuû tråü våïi biãún âäøi hçnh Hçnh-11.3 chiãúu. 65
Vê duû 1 : Haîy veî giao âiãøm cuía âæåìng thàóng d vaì màût noïn âènh S, màût phàóng âaïy noïn laì màût phàóng chiãúu âæïng α .(H-11.4) Giaíi : Duìng màût phàóng phuû tråü ϕ thuäüc âæåìng thàóng d vaì thuäüc âènh noïn S âãø giao tuyãún phuû tråü laì caïc âæåìng sinh .Âãø veî caïc âæåìng sinh phuû tråü , ta phaíi biãút caïc chán cuía chuïng E,F .Caïc âiãøm naìy thuäüc màût phàóng phuû tråü (S,d) væìa thuäüc âæåìng chuáøn c nãn chuïng thuäüc giao tuyãún cuía hai màût phàóng (S, d) vaì α cuía âæåìng chuáøn (c). Váûy láúy âiãøm K báút kyì cuía d , veî caïc giao âiãøm A, B cuía SK vaì d våiï P . Giao tuyãún AB càõt taûi chán E, F vaì ta coï caïc âæåìng sinh phuû tråü SE vaì SF .Veî caïc giao âiãøm M ,N cuía SE vaì SF våïi d . -ÅÍ hçnh chiãúu bàòng : M1 tháúy , N1 khuáút. S2 -ÅÍ hçnh chiãúu âæïng : M2 khuáút , N2 tháúy . N 2 K2 d B2 2 M2 (c ) 2 A2 S d 1 1 M B 1 1 N1 E1 K1 F 1 A1 (c1) Hçnh-11.4 Vê duû 2 : Veî giao âiãøm cuía âæåìng thàóng vaì màût truû xiãn våïi màût phàóng âaïy laì màût phàóng chiãúu âæïng α (H -11.5) . Giaíi : Caïch giaíi tæång tæû nhæ træåìng håüp cuía màût noïn : + Duìng màût phàóng phuû tråü ϕ thuäüc âæåìng thàóng vaì âæåìng thàóng d' song song 66
våïi phæång truû âãø giao tuyãún phuû tråü laì caïc âæåìng sinh . + Veî caïc âæåìng sinh phuû tråü bàòng caïch veî giao tuyãún cuía hai màût phàóng (d,d') vaì α, ta coï caïc chán âæåìng sinh laì E , F räöi caïc âæåìng sinh phuû tråü EM , FN . + Veî caïc giao âiãøm M, N cuía EM ,FN cuía EM ,FN vaì d .ÅÍ hçnh chiãúu bàòng :M1 tháúy , N1 khuáút . ÅÍ hçnh chiãúu âæïng : M2 khuáút , N2 tháúy . K2 d2 M2 d' 2 N2 α2 A2 (c2) B2 d'1 K 1 A1 t' E1 1 M1 F N1 1 (c1) d 1 B 1 Hçnh-11.5 Vê duû 3 : Haîy veî giao âiãøm cuía âæåìng thàóng d vaì màût cáöu (H-11.6) . Giaíi : Vç âæåìng thàóng åí vë trê báút kyì , nãn duì màût phàóng phuû tråü nhæ thãú naìo , hçnh chiãúu cuía âæåìng troìn phuû tråü laì elip . Cho nãn ta duìng màût phàóng phuû tråü laì màût phàóng chiãúu bàòng (hoàûc chiãúu âæïng) , tiãúp âoï duìng biãún âäøi hçnh chiãúu âæïng (hoàûc hçnh chiãúu bàòng) âãø hçnh chiãúu âæïng måïi (hoàûc hçnh chiãúu bàòng måïi) cuía âæåìng troìn phuû tråü laì âæåìng troìn . Trãn hçnh chiãúu måïi naìy , ta veî âæåüc caïc giao âiãøm cuía âæåìng thàóng vaì màût cáöu räöi doïng vãö caïc hçnh chiãúu cuî . Tám I cuía âæåìng troìn phuû tråü g coï cuìng âäü cao våïi tám O cuía màût cáöu . Chuï thêch : Coï thãø duìng màût phàóng phuû tråü qua tám cáöu O . Âæåìng troìn phuû tråü seî bàòng âæåìng troìn låïn cuía màût cáöu .Nãúu xoay quanh âæåìng bàòng qua tám O cuía màût phàóng phuû tråü , âæåìng troìn phuû tråü seî truìng våïi dæåìng troìn xich âaûo cuía màût cáöu . 67
d 2 (a2) N2 O2 (b2) M 2 x (b1) d1≡ϕ1 (a1) O1 N1 I1 x' g1 M1 M' 2 d' 2 I'2 N'2 g'2 Hçnh-11.6 68
Chæång 12 GIAO HAI MÀÛT 12.1- KHAÏI NIÃÛM : Giao cuía hai màût laì táûp håüp nhæîng âiãøm chung cuía hai màût .Ngæåìi ta chia baìi toaïn giao tuyãún ra laìm ba daûng. -Giao cuía hai màût âa diãûn thæåìng laì mäüt hay nhiãöu âæåìng gáúp khuïc kên trong khäng gian , noï laì táûp håüp cuía nhiãöu âoaûn thàóng laì giao tuyãún giæîa caïc màût cuía hai âa diãûn .Caïc âènh chênh laì giao âiãøm giæîa caïc caûnh cuía âa diãûn náöy våïi caïc màût cuía âa diãûn kia. -Giao cuía mäüt âa diãûn vaì mäüt màût cong báûc n laì mäüt hoàûc nhiãöu âæåìng gáúp khuïc kên trong khäng gian , noï laì táûp håüp caïc cung phàóng báûc n.Caïc âènh chênh laì giao âiãøm giæîa caïc caûnh cuía âa diãûn våïi màût cong. -Giao cuía mäüt màût cong báûc m vaì mäüt màût cong báûc n laì mäüt âæåìng cong ghãönh báûc m x n . Nãúu táút caí âæåìng sinh thuäüc mäüt hoü cuía mäüt màût âãöu giao våïi màût kia thç giao gäöm nhiãöu thaình pháön riãng biãût , ngæåìi ta coìn goüi laì hai màût giao nhau hoaìn toaìn. Nãúu chè coï mäüt âæåìng sinh thuäüc mäüt hoü cuía mäüt màût giao våïi màût kia thç giao chè laì mäüt âæåìng, ngæåìi ta coìn goüi laì hai màût giao nhau khäng hoaìn toaìn . Våïi quy æåïc hai màût âæåüc âoïng kên , giao cuía hai màût cuîng âæåüc âoïng kên . Giao cuía hai màût ráút âa daûng . Sau âáy ta chè xeït mäüt säú træåìng håüp chung vaì træåìng håüp âàûc biãût . 12.2-TRÆÅÌNG HÅÜP BIÃÚT MÄÜT HÇNH CHIÃÚU CUÍA GIAO : Nãúu mäüt màût laì làng truû chiãúu hoàûc truû chiãúu thç mäüt hçnh chiãúu cuía giao thuäüc hçnh chiãúu suy biãún cuía làng truû hoàûc truû chiãúu . AÏp duûng baìi toaïn vãö âiãøm thuäüc màût thæï hai ta veî âæåüc hçnh chiãúu thæï hai cuía giao . Cáön phaíi nháûn xeït vãö daûng cuía giao , xaïc âënh nhæîng âiãøm âàûc træng cuía giao nhæ caïc âiãøm gaîy , caïc âiãøm thuäüc âæåìng bao cuía màût, caïc âiãøm cao nháút , tháúp nháút ,gáön nháút ,xa nháút , caïc ranh giåïi tháúy khuáút vaì caïc âiãøm keïp Vê duû 1: Haîy veî giao cuía làng truû chiãúu bàòng abc vaì làng truû chiãúu xiãn def. (Hçnh-12.1) Giaií : Hçnh chiãúu bàòng cuía làng truû abc suy biãún thaình tam giaïc a1b1c1 .Do âoï hçnh chiãúu bàòng cuía giao hai làng truû laì 116121 (≡ 51)4131 thuäüc a1b1c1 ,âáy laì 69
hai màût giao nhau khäng hoaìn toaìn .Dãù tháúy ràòng caïc caûnh cuía làng truû naìy giao våïi làng truû kia taûi hai âiãøm , caïc âiãøm naìy laì caïc âiãøm gaîy cuía giao. Âãø veî hçnh chiãúu âæïng cuía giao ta aïp duûng baìi toaïn cå baín trãn tæìng màût de, ef vaì fd cuía làng truû xiãn . Ta coï caïc âiãøm 12,32 trãn d2 ; 62,42 trãn e2 ; 22,52 trãn b2 . Roî raìng 1 6 , 3 4 thuäüc màût de , 6 5 4 thuäüc màût ef vaì 1 2 3 thuäüc màût fd . Hçnh chiãúu âæïng cuía giao laì âæåìng gaîy khuïc kên 12223242526212 . Tháúy khuáút cuía giao : Âoaûn naìo thuäüc pháön tháúy cuía caí hai màût seî âæåüc tháúy , coìn laûi laì khuáút , váûy 122232 vaì 425262 tháúy , 1262 vaì 3242 khuáút . Âãø näúi caïc âiãøm gaîy cuía giao ,ta coï thãø aïp duûng phæång phaïp sau : Veî så âäö khai triãøn cuía hai màût .Nãn càõt doüc theo caûnh khäng coï giao âiãøm cuía giao (H-12.2) .Ghi caïc vë trê cuía caïc âiãøm gaîy âaî tçm âæåüc vaìo så âäö khai triãøn . Näúi hai âiãøm cuìng ä ,ta âæåüc âæåìng kheïp kên cuía giao, coï thãø duìng så âäö trãn âãø xeït tháúy khuáút cuía giao . a b c2 2 2 4 e2 6 2 2 52 f2 a b c a 22 d2 3 2 f 2 12 1 3 d e c 6 1 4 a 5 1 f d1 3 11 1 e 1 Hçnh-12.2 61 41 b1≡21≡51 f1 Hçnh-12.1 70
Vê duû 2 : Veî giao cuía màût truû chiãúu bàòng vaì màût tæï diãûn SABC (ABC laì tam giaïc âãöu) . Giaíi :Vç màût truû vuäng goïc våïi màût phàóng hçnh chiãúu bàòng nãn ta tháúy roî hçnh chiãúu bàòng cuía giao truìng våïi hçnh chiãúu bàòng suy biãún cuía màût truû . Hai màût giao nhau hoaìn toaìn . Giao gäöm hai pháön : âæåìng troìn t thuäüc màût ABC vaì ba cung elip näúi liãn nhau thuäüc caïc màût SAB, SBC, SCA laì 1351 . Hai hçnh chiãúu cuía âæåìng troìn t âaî biãút . Âãø veî caïc cung elip ta aïp duûng baìi toaïn cå baín trãn màût SAB räöi suy ra caïc cung kia nhåì tênh âäúi xæïng cuía SABC vaì màût truû. Âiãøm 1 thuäüc SA , suy ra caïc âiãøm 3, 5 cuìng âäü cao . Âiãøm 2 tháúp nháút cuaí cung 123, suy ra caïc âiãøm 4, 6 cuìng âäü cao . Âiãøm T cho T2 laì tiãúp âiãøm cuía cung 122232 vaì âæåìng sinh biãn cuía màût truû, suy ra T'2 cuìng âäü cao. Trãn hçnh chiãúu âæïng âoaûn T2223242T'2 tháúy, pháön coìn laûi khuáút . S 2 12 3 52 2 T2 T'2 2 6 2 2 42 A B C 2 2 2 A C 1 6 1 1 1 5 1 1 S1 T1 T'1 21 41 3 1 Hçnh-12.3 B1 71
Vê duû 3 : Haîy veî giao cuía màût truû troìn xoay chiãúu âæïng vaì màût noïn troìn xoay âènh S .(H-12.4) S2 Giaíi : Vç màût truû vuäng goïc våïi màût phàóng hçnh chiãúu âæïng 12 nãn hçnh chiãúu âæïng cuía giao thuäüc hçnh chiãúu suy biãún cuía màût truû : cung 1222(≡ 62) 32(≡52) 22≡62 t2 42. Hai màût giao nhau khäng hoaìn toaìn, giao laì âæåìng báûc 4 32≡52 4 trong âoï :1laì âiãøm cao nháút, 2 2 vaì 6 laì hai âiãøm thuäüc âæåìng x (c ) sinh biãn màût truû, 3 vaì 5 laì hai 2 âiãøm tháúp nháút, 4 laì âiãøm tåïi 31 haûn bãn phaíi . Nhåì caïc âæåìng troìn vé 21 tuyãún,ta veî âæåüc hçnh chiãúu bàòng caïc âiãøm 2, 6, 3, 5. S1 41 Âæåìng sinh biãn bãn phaíi 41 hçnh chiãúu âæïng cho caïc âiãøm 1, 4 .Hçnh chiãúu bàòng cuía giao laì 61 (c1) 51 âæåìng báûc 4 nháûn S141 laìm truûc âäúi xæïng .2161 laì hai tiãúp âiãøm cuía âæåìng báûc 4 våïi âæåìng sinh. Hçnh-12.4 12.3-TRÆÅÌNG HÅÜP ÂÀÛC BIÃÛT VÃÖ GIAO HAI MÀÛT BÁÛC 2 : Thäng thæåìng hai màût báûc 2 giao nhau theo âæåìng báûc 4. Træåìng håüp âàûc biãût âæåìng báûc 4 âoï coï thãø suy biãún thaình : - Hai âæåìng báûc 2 . - Mäüt âæåìng báûc 3 vaì mäüt âæåìng thàóng . - Bäún âæåìng thàóng . Âënh lyï 1: Nãúu hai màût báûc 2 âaî giao theo mäüt âæåìng báûc 2, thç chuïng coìn giao theo mäüt âæåìng báûc 2 næîa . 72
Vê duû : Veî giao tuyãún cuía màût noïn vaì màût truû coï chung âæåìng troìn c (chè veî hçnh chiãúu âæïng). S2 Giaíi : Theo âënh lyï 1,màût noïn vaì màût truû âaî giao nhau theo âæåìng troìn c nãn chuïng coìn giao nhau theo mäüt âæåìng báûc 2 næîa. Âoï laì elip, vç âæåìng báûc 2 thuäüc x màût truû, hai màût coï màût phàóng âäúi (c2) xæïng chung song song P2 nãn hçnh chiãúu âæïng cuía elip laì âoaûn thàóng .Trãn hçnh chiãúu âæïng, giao S1 caïc âæåìng biãn hai màût cho ta hçnh chiãúu âæïng e cuía elip âoï 2 (c ) (H-12.5). 1 Hçnh-12.5 Âënh lyï 2: Nãúu hai màût báûc 2 coï hai âiãøm tiãúp xuïc vaì caïc màût phàóng tiãúp xuïc chung cuía chuïng taûi hai âiãøm âoï khäng truìng nhau thç chuïng giao nhau theo hai âæåìng báûc 2 âi qua hai âiãøm tiãúp xuïc âoï . Vê duû 1 : Haîy veî giao cuía màût truû troìn xoay thàóng âæïng vaì màût truû xiãn (H- 12.6). Giaíi : Nhçn hçnh chiãúu bàòng, ta tháúy hai màût truû coï hai tiãúp âiãøm A, B vaì caïc màût phàóng tiãúp xuïc chung taûi A, B khäng truìng nhau. Theo âënh lyï 2, giao cuía hai màût laì hai elip âi qua A, B. Do tênh âäúi xæïng cuía hai màût, hçnh chiãúu âæïng hai elip laì hai âoaûn thàóng . Vê duû 2 : Cho màût elipxoit coï màût phàóng âäúi xæïng chung song song P2. Haîy veî hæåïng caïc màût phàóng càõt elipxoit theo elip coï hçnh chiãúu bàòng laì âæåìng troìn . Giaíi : Theo âënh lyï 2 vaì vê duû 1 væìa trçnh baìy, cho mäüt màût truû troìn xoay thàóng âæïng tiãúp xuïc våïi màût elipxoit taûi hai âáöu muït A, B cuía mäüt truûc cuía noï (H-12.7). Hai màût giao nhau theo hai elip e, e' maì hçnh chiãúu bàòng cuía chuïng truìng våïi hçnh chiãúu bàòng cuía màût truû troìn xoay, tæïc laì âæ8åìng troìn . Màût phàóng R cuía e vaì màût phàóng Q cuía e' laì hai hæåïng caïc màût càõt cuía elipxoit coï hçnh chiãúu bàòng laì âæåìng troìn. Nãúu ta càõt màût elipxoit bàòng caïc màût phàóng song song våïi R hoàûc song song våïi Q thç giao tuyãún laì caïc elip âäöng 73
daûng nhau vaì hçnh chiãúu bàòng cuía chung laì caïc âæåìng troìn tiãúp xuïc våïi âæåìng bao hçnh chiãúu bàòng cuía elipxoit. Hæåïng màût càõt nhæ thãú âäúi våïi màût báûc 2 noïi chung coìn goüi laì hæåïng màût càõt Monge. R2 e2 e 2 A ≡B A ≡B 2 2 2 2 e'2 e'2 Q2 A A1 1 e1≡e'1 e1≡e'1 B1 B1 Hçnh-12.6 Hçnh-12.7 Vê duû 3: Cho màût noïn báûc 2 , âæåìng chuáøn laì elip. Veî hæåïng caïc màût phàóng càõt màût noïn theo âæåìng troìn . S2 S3 R3 A B 2 2 c3 c' O2 3 O3 Q 3 S1 Hçnh-12.8 Giaíi : Âæåìng báûc 2 trãn màût cáöu chè laì âæåìng troìn , nãn ta duìng màût cáöu tám O 74
thuäüc truûc cuía màût noïn vaì tiãúp xuïc våïi màût noïn taûi hai âiãøm A, B nhæ trãn hçnh- 12.8. Màût noïn S vaì màût cáöu O thoía maîn âënh lyï 2 nãn chuïng giao nhau theo hai âæåìng báûc hai âi qua hai tiãúp âiãøm A, B. Hai âæåìng báûc 2 naìy laì hai âæåìng troìn maì hçnh chiãúu caûnh laì hai âoaûn thàóng c3 vaì c'3 âi qua A3≡B3 .Màût phàóng R cuía c vaì màût phàóng Q cuía c' laì hæåïng caïc màût phàóng càõt màût noïn S theo caïc âæåìng troìn. Chuï yï : Hæåïng màût càõt Monge vaì hæåïng màût càõt troìn âæåüc æïng duûng nhiãöu trong caïc baìi toaïn dæûng hçnh cuîng nhæ caïc baìi toaïn veî giao caïc màût báûc 2 . Âënh lyï 3: Nãúu hai màût báûc 2 cuìng näüi tiãúp hay ngoaûi tiãúp våïi mäüt màût báûc 2 thæï ba thç chuïng giao nhau theo hai âæåìng báûc 2 âi qua hai giao âiãøm cuía hai âæåìng báûc 2 tiãúp xuïc cuía chuïng . Vê duû : Haîy veî giao cuía màût noïn vaì màût truû cuìng ngoaûi tiãúp mäüt màût cáöu . Hai truûc giao nhau vaì song song våïi P2 (chè veî hçnh chiãúu âæïng ).(Hçnh-12.9) S2 A2≡B2 c2 e'2 e2 t'2 c'2 t 2 Hçnh-12.9 Giaíi : Màût cáöu tám O näüi tiãúp màût noïn S theo âæåìng troìn c vaì näüi tiãúp màût truû theo c'. Hai âæåìng troìn tiãúp xuïc naìy càõt nhau taûi hai âiãøm A, B. Váûy màût noïn vaì màût truû giao nhau theo hai elip e vaì e' âi qua hai âiãøm A, B. Vç màût phàóng âäúi xæïng chung song song våïi P2 nãn hçnh chiãúu âæïng cuía hai elip laì hai âoaûn thàóng e2, e'2 âi qua hai âiãøm A2≡B2 . 75
TAÌI LIÃÛU THAM KHAÍO 1. C. ROUBAUDI. Traiteï de geïomeïtrie descriptive. “ Masson et Cie ” Paris -1976 2. M. DESMARQUEST. A.B.C de la geïomeïtrie descriptive.“ IPD Montreïal ” Montreïal-1992 3. NGUYÃÙN ÂÇNH ÂIÃÛN. Hçnh hoüc hoüa hçnh. “ NXB Giaïo duûc “ Haì Näüi-1997 4. DÆÅNG THOÜ. Baìi giaíng Hçnh hoüc hoüa hçnh. “ ÂHKTÂN “ Âaì Nàông-1997 5. NGUYÃÙN TÆ ÂÄNÜ. Baìi giaíng Hçnh hoüc hoüa hçnh. “ ÂHBKÂN “ Âaì Nàông-1978 76
MUÛC LUÛC Låìi noïi âáöu 01 Pháön I : NHÆÎNG KHAÏI NIÃÛM TÄØNG QUAÏT Chæång mäüt MÅÍ ÂÁÖU 1.1-Muûc âêch vaì yãu cáöu 03 1.2-Caïc pheïp chiãúu 03 Chæång hai ÂIÃØM 2.1-Âäö thæïc cuía âiãøm 06 2.2-Hãû ba màût phàóng hçnh chiãúu 08 Chæång ba ÂÆÅÌNG THÀÓNG 3.1-Âäö thæïc cuía mäüt âæåìng thàóng 09 3.2-Caïc âæåìng thàóng âàûc biãût 09 3.3-Âiãöu kiãûn liãn thuäüc cuía âiãøm vaì âæåìng thàóng 11 3.4-Vãút âæåìng thàóng 11 3.5-Âæåìng thàóng càõt nhau 12 3.6-Âæåìng thàóng song song 12 3.7-Âæåìng thàóng càõt nhau 13 3.8-hçnh chiãúu cuía mäüt goïc vuäng 13 Chæång bäún MÀÛT PHÀÓNG 4.1-Âäö thæïc cuía mäüt màût phàóng 14 4.2-Vãút màût phàóng 14 4.3-Caïc vë trê âàûc biãût cuía màût phàóng 15 4.4-Baìi toaïn cå baín cuía màût phàóng 18 4.5-Caïc âæåìng thàóng âàûc biãût cuía màût phàóng 19 4.6-Màût phàóng song song 21 4.7-Âæåìng thàóng vaì màût phàóng song song 22 Pháön II : CAÏC PHÆÅNG PHAÏP CÅ BAÍN Chæång nàm GIAO CUÍA CAÏC KHÄNG GIAN CON 5.1-Giao cuía hai âæåìng thàóng 23 5.2-Giao cuía hai màût phàóng 23 5.3-Giao cuía âæåìng thàóng vaì màût phàóng 25 5.4-Giao cuía ba màût phàóng 27 Chæång saïu CAÏC BAÌI TOAÏN VÃÖ LÆÅÜNG 6.1-Khoaíng caïch giæîa hai âiãøm 29 77
6.2-Âæåìng thàóng vuäng goïc våïi màût phàóng 30 6.3-Khoaíng caïch tæì mäüt âiãøm âãún mäüt âæåìng thàóng 30 6.4- Khoaíng caïch tæì mäüt âiãøm âãún mäüt màût phàóng 31 Chæång baíy CAÏC PHEÏP BIÃÚN ÂÄØI HÇNH CHIÃÚU CÅ BAÍN 7.1-Phæång phaïp thay âäøi màût phàóng hçnh chiãúu 33 7.2-Pheïp quay quanh âæåìng thàóng chiãúu bàòng 37 7.3-Pheïp quay quanh âæåìng thàóng chiãúu âæïng 38 7.4-Pheïp quay quanh âæåìng bàòng 38 7.5- Pheïp quay quanh âæåìng màût 39 7.6-Pheïp gáûp màût phàóng quanh vãút âæïng Pháön III : ÂÆÅÌNG VAÌ MÀÛT - CAÏC BAÌI TOAÏN VÃÖ VË TRÊ Chæång taïm BIÃØU DIÃÙN ÂÆÅÌNG VAÌ MÀÛT 8.1-Caïc hçnh phàóng cäø âiãøn 41 8.2-Âæåìng cong 42 8.3-Caïc âa diãûn trong khäng gian 44 8.4-Biãuø diãùn màût cong 46 Chæång chên MÀÛT PHÀÓNG TIÃÚP XUÏC MÀÛT CONG 9.1-Khaïi niãûm 50 9.2-Màût phàóng tiãúp xuïc màût keí 50 9.3- Màût phàóng tiãúp xuïc màût troìn xoay 51 9.4-Vaìi vê duû æïng duûng 53 Chæång mæåìi GIAO TUYÃÚN CUÍA MÀÛT PHÀÓNG VAÌ MÀÛT 10.1-Khaïi niãûm 56 10.2-Træåìng håüp biãút mäüt hçnh chiãúu cuía giao tuyãún 56 10.3-Træåìng håüp täøng quaït 59 Chæång mæåìi mäüt GIAO ÂIÃØM CUÍA ÂÆÅÌNG THÀÓNG VAÌ MÀÛT 11.1-Khaïi niãûm 64 11.2-Træåìng håüp biãút mäüt hçnh chiãúu cuía giao tuyãún 64 11.3- Træåìng håüp täøng quaït 65 Chæång mæåìi hai GIAO HAI MÀÛT 12.1-Khaïi niãûm 12.2-Træåìng håüp biãút mäüt hçnh chiãúu cuía giao 69 12.3-Træåìng håüp âàûc biãût vãö giao hai màût bácû hai 72 Taìi liãûu tham khaío 76 78
PHÁÖN III : Pháön hæåïng dáùn. 1-(H-1) Læu yï mäúi quan hãû giæîa ba hçnh chiãúu: *Hçnh chiãúu âæïng vaì hçnh chiãúu bàòng liãn quan âäü xa caûnh. *Hçnh chiãúu âæïng vaì hçnh chiãúu caûnh liãn quan âäü cao. *Hçnh chiãúu caûnh vaì hçnh chiãúu bàòng liãn quan âäü xa. 2-(H-2) Giäúng baìi 1. 3-(H-3) Âiãøm A thuäüc pháön tæ thæï nháút. (H-4) Âiãøm B thuäüc pháön tæ thæï hai. (H-5) Âiãøm C thuäüc pháön tæ thæï nháút. (H-6) Âiãøm D thuäüc màût phàóng hçnh chiãúu âæïng. (H-7) Âiãøm E thuäüc màût phàóng hçnh chiãúu bàòng. (H-8) Âiãøm F thuäüc màût phàóng phán giaïc 1. (H-9) Âiãøm G thuäüc màût phàóng phán giaïc 2. (H-10) Âiãøm H thuäüc truûc chiãúu x. 4-(H-11) A'2≡A2 , A'1 âäúi xæïng A1 qua truûc x. (H-12) B'1≡B1 , B'2 âäúi xæïng B2 qua truûc x. (H-13) C'1 âäúi xæïng C1 qua truûc x, C'2 âäúi xæïng C2 qua truûc x. 5-(H-14) A1 thuäüc truûc x ( âäü xa bàòng o). (H-15) B1 âäúi xæïng B2 qua truûc x (âäü cao bàòng âäü xa). (H-16) C2 thuäüc truûc x ( âäü cao bàòng o). (H-17) D1 truìng D2 (âäü cao ngæåüc âäü xa). 5-(H-18) B1 laì giao âiãøm cuía âæåìng doïng haû tæì B2 vaì âæåìng troìn tám O baïn kênh l. Baìi toaïn coï hai nghiãûm. 6-(H-19) Truûc x laì âæåìng thàóng âi qua trung âiãøm cuía âoaûn thàóng A2B1 vaì vuäng goïc våïi âæåìng doïng A2A1 . 7-(H-20) Tæû cho âån vë trãn caïc truûc, læu yï caïc âäü âo laì säú âaûi säú vaì læu yï mäúi quan hãû giæîa ba hçnh chiãúu: *Hçnh chiãúu âæïng vaì hçnh chiãúu bàòng liãn quan âäü xa caûnh. *Hçnh chiãúu âæïng vaì hçnh chiãúu caûnh liãn quan âäü cao. *Hçnh chiãúu caûnh vaì hçnh chiãúu bàòng liãn quan âäü xa. Âæåìng thàóng 1-(H-21) Hçnh chiãúu âæïng b2 (tênh cháút âæåìng bàòng) phaíi song song truûc x vaì âi qua A2, doïng tæì A2 seî coï A1 thuäüc b1. 2-(H-22) m2 xaïc âënh båíi hai âiãøm A2,B2, m1âi qua A1 âäöng thåìi song 1
song truûc x .Doïng tæì B2 seî coï B1 thuäüc m1. 3-(H-23) Doïng tæì N2 seî coï N1 thuäüc x, doïng tæì M1 seî coï M2 thuäüc x ,a2 xaïc âënh båíi M2N2, a1 xaïc âënh båíi M1N1 4-(H-24) a/ a2 xaïc âënh båíi A2D2,a1 xaïc âënh båíi B1C1,aïp duûng âiãøm thuäüc âæåìng thàóng tçm caïc hçnh chiãúu coìn laûi. b/- M2 =a2 giao truûc x, - N1 =a1 giao truûc x, -Veî âæåìng thàóng âäúi xæïng våïi âæåìng thàóng B1C1 qua truûc x , giao cuía âæåìng thàóng naìy våïi âæåìng thàóng A2B2 laì hçnh chiãúu âæïng P2 cuía âiãøm P. 5-(H-25) a/M1 thuäüc A1B1 sao cho tyí säú âån (A1B1C1)= (A2B2C2).b/N1 thuäüc x, duìng tyí säú âån nhæ cáu a tçm âæåüc N2. c/P2 thuäüc x dãù daìng suy ra P1. 6-(H-26) a/Dãù tháúy a vaì b cheïo nhau. b/a1≡ m1 x n1, b2≡ m2 x n2. 7-(H-27): càõt nhau , -(H-28): càõt nhau, -(H-29): song song, -(H-30): song song, -(H-31): song song, -(H-32): cheïo nhau. 8-(H-33) Kiãøm tra tyí säú âån trãn hai hçnh chiãúu : cheïo nhau. 9-(H-34) Xaïc âënh vë trê tæång âäúi cuía hai âæåìng thàóng AD vaì BC räöi suy ra vë trê tæång âäúi cuía AB vaì CD. 10-(H-35) a/Vãút bàòng M coï M2=m2 x truûc x, ⇒ M1∈ m1,vãút âæïng N coï N1=n1 x truûc x ⇒ N2∈ n2. b/ (H-36) Xem baìi 5 (H-25). 11-(H-37) Sæí duûng phæång phaïp tam giaïc âãø giaíi quyãút.Theo âãö âaî cho thç âaî biãút hçnh chiãúu bàòng A1B1 vaì ∆cao cuía A vaì B, nhæ váûy âaî biãút hai caûnh goïc vuäng. Caûnh huyãön laì âäü låïn tháût cáön tçm vaì goïc nghiãng α chênh laì goïc âäúi diãûn ∆cao. (H-38) Do âoaûn thàóng AB thuäüc m2 C2 âæåìng bàòng dãù tháúy A1B1=AB cáön tçm. B 12-(H-39) Choün mäüt âiãøm C báút kyì thuäüc 2 A ∆caoAC m, sæí duûng phæång phaïp tam giaïc suy ra 2 goïc nghiãng α, tæì âoïâuí âiãöu kiãûn âãø dæûng x B1 vaì suy ra B2 nhæ hçnh veî. m1 C1 13-(H-40) Âáy laì baìi toaïn dæûng tam giaïc B1 A1 ∆caoAC vuäng âaî biãút caûnh huyãön A0B0=30 vaì α 25 caûnh goïc vuäng A1B1. Khi âaî coï ∆caoAB seî B0 C0 dæûng âæåüc B2, læu yï baìi toaïn coï 2 nghiãûm. H-39 14-(H-41) Tæû choün mäüt âoaûn KH naìo âoï . Tçm quan hãû giæîa KH våïi caïc hçnh chiãúu cuía noï theo âáöu baìi (duìng phæång phaïp tam giaïc trãn caí hai hçnh chiãúu) .Læu yï biãûn luáûn nghiãûm. 2