›
›

Giải tích mạch điện

pdf 103 trang phuongnguyen 4770
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giải tích mạch điện", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfgiai_tich_mach_dien.pdf

Nội dung text: Giải tích mạch điện

  1. Giải tích mạch điện
  2. GIAÍI TÊCH MAÛNG GIAÍI TÊCH MAÛNG LÅÌI NOÏI ÂÁÖU Hãû thäúng âiãûn bao gäöm caïc kháu saín xuáút, truyãön taíi vaì phán phäúi âiãûn nàng. Kãút cáúu mäüt hãû thäúng âiãûn coï thãø ráút phæïc taûp, muäún nghiãn cæïu noï âoìi hoíi phaíi coï mäüt kiãún thæïc täøng håüp vaì coï nhæîng phæång phaïp tiïnh toaïn phuì håüp. Giaíi têch maûng laì mäüt män hoüc coìn coï tãn goüi “Caïc phæång phaïp tin hoüc æïng duûng trong tênh toaïn hãû thäúng âiãûn”. Trong âoï, âãö cáûp âãún nhæîng baìi toaïn maì táút caí sinh viãn ngaình hãû thäúng naìo cuîng cáön phaíi nàõm væîng. Vç váûy, âãø coï mäüt caïch nhçn cuû thãø vãö caïc baìi toaïn naìy, giaïo trçnh âi tæ ì kiãún thæïc cå såí âaî hoüc nghiãn cæïu lyï thuyãút caïc baìi toaïn cuîng nhæ viãûc æïng duûng chuïng thäng qua cäng cuû maïy vi tênh. Pháön cuäúi, bàòng ngän ngæî láûp trçnh Pascal, cäng viãûc mä phoíng caïc pháön muûc cuía baìi toaïn âaî âæåüc minh hoaû. Näüi dung giaïo trçnh gäöm 2 pháön chênh: I. Pháön lyï thuyãút gäöm coï 8 chæång. 1. Âaûi säú ma tráûn æïng duûng trong giaíi têch maûng. 2. Phæång phaïp säú duìng âãø giaíi caïc phæång trçnh vi phán trong giaíi têch maûng. 3. Mä hçnh hoïa hãû thäúng âiãûn. 4. Graph vaì caïc ma tráûn maûng âiãûn. 5. Thuáût toaïn duìng âãø tênh ma tráûn maûng. 6. Tênh toaïn traìo læu cäng suáút. 7. Tênh toaïn ngàõn maûch. 8. Xeït quaï trçnh quaï âäü cuía maïy phaït khi co ï sæû cäú trong maûng. II. Pháön láûp trçnh: gäöm coï bäún pháön muûc: 1. Xáy dæûng caïc ma tráûn cuía 1 maûng cuû thãø 2. Tênh toaïn ngàõn maûch. 3. Tênh toaïn traìo læu cäng suáút luïc bçnh thæåìng vaì khi sæû cäú. 4. Xeït quaï trçnh quaï âäü cuía caïc maïy phaït khi coï sæû cäú trong maûng âiãûn. GV: Lã Kim Huìng Trang 1
  3. GIAÍI TÊCH MAÛNG CHÆÅNG 1 ÂAÛI SÄÚ MA TRÁÛN ÆÏNG DUÛNG TRONG GIAÍI TÊCH MAÛNG Trong chæång naìy ta nhàõc laûi mäüt säú kiãún thæïc vãö âaûi säú ma tráûn thäng thæåìng âæåüc æïng duûng trong giaíi têch maûng. 1.1. ÂËNH NGHÉA VAÌ CAÏC KHAÏI NIÃÛM CÅ BAÍN: 1.1.1. Kê hiãûu ma tráûn: Ma tráûn chæî nháût A kêch thæåïc m x n laì 1 baíng gäöm m haìng vaì n cäüt coï daûng sau: a11 a12 a1n a a a A = 21 22 2n = []a i j am1 am2 amn Nãúu m = 1 vaì n >1 thç A goüi laì ma tráûn haìng hoàûc vectå haìng. Ngæåüc laûi n = 1 vaì m > 1 thç A goüi laì ma tráûn cäüt hoàûc vectå cäüt. 2 Vê duû: A = 1 vaì A = 2 3 1 3 1.1.2. Caïc daûng ma tráûn: Ma tráûn vuäng: Laì ma tráûn coï säú haìng bàòng säú cäüt (m = n). Vê duû: a11 a12 a13 A = a21 a22 a23 a31 a32 a33 Ma tráûn tam giaïc trãn: Laì ma tráûn vuäng maì caïc pháön tæí dæåïi âæåìng cheïo chênh aë j cuía ma tráûn bàòng 0 våïi i > j. a11 a12 a13 A = 0 a22 a23 0 0 a33 Ma tráûn tam giaïc dæåïi: Laì ma tráûn vuäng maì caïc pháön tæí trãn âæåìng cheïo chênh aëj cuía ma tráûn bàòng 0 våïi i < j. a11 0 0 A = a21 a22 0 a31 a32 a33 Ma tráûn âæåìng cheïo: Laì ma tráûn vuäng nãúu táút caí caïc pháön tæí trãn âæåìng cheïo chênh khaïc 0, coìn caïc pháön tæí khaïc ngoaìi âæåìng cheïo chênh cuía ma tráûn bàòng 0 (aëj = 0 våïi i ≠ j ). Trang 2
  4. GIAÍI TÊCH MAÛNG a11 0 0 A = 0 a22 0 0 0 a33 Ma tráûn âån vë: Laì ma tráûn vuäng maì táút caí caïc pháön tæí trãn âæåìng cheïo chênh cuía ma tráûn bàòng 1 coìn táút caí caïc pháön tæí khaïc bàòng 0 (aij = 1 våïi i = j vaì aëj = 0 våïi i ≠ j ). 1 0 0 U = 0 1 0 0 0 1 Ma tráûn khäng: Laì ma tráûn maì táút caí caïc pháön tæí cuía ma tráûn bàòng 0. Ma tráûn chuyãøn vë: Laì ma tráûn maì caïc pháön tæí aëj = aji (âäøi haìng thaình cäüt vaì ngæåüc laûi). a11 a12 T a11 a21 a31 A = a21 a22 vaì A = a12 a22 a32 a31 a32 T Cho ma tráûn A thç ma tráûn chuyãøn vë kê hiãûu laì At, A hoàûc A’ Ma tráûn âäúi xæïng: Laì ma tráûn vuäng coï caïc càûp pháön tæí âäúi xæïng qua âæåìng cheïo chênh bàòng nhau aëj = aji. Vê duû: 1 5 3 A = 5 2 6 3 6 4 Chuyãøn vë ma tráûn âäúi xæïng thç AT = A, nghéa laì ma tráûn khäng thay âäøi. Ma tráûn xiãn - phaín âäúi xæïng: Laì ma tráûn vuäng coï A = - AT. Caïc pháön tæí ngoaìi âæåìng cheïo chênh tæång æïng bàòng giaï trë âäúi cuía noï (aëj = - aji) vaì caïc pháön tæí trãn âæåìng cheïo chênh bàòng 0. Vê duû: 0 5 − 3 A = − 5 0 6 3 − 6 0 Ma tráûn træûc giao: Laì ma tráûn coï ma tráûn chuyãøn vë chênh laì nghëch âaío cuía noï. (AT .A = U = A .AT våïi A laì ma tráûn vuäng vaì caïc pháön tæí laì säú thæûc). Ma tráûn phæïc liãn håüp: Laì ma tráûn nãúu thãú pháön tæí a + jb båíi a - jb thç ma tráûn måïi A* laì ma tráûn phæïc liãn håüp. Cho ma tráûn A thç ma tráûn phæïc liãn håüp laì A* j3 5 − j3 5 A = vaì A∗ = 4 + j2 1+ j1 4 − j2 1− j1 -Nãúu táút caí caïc pháön tæí cuía A laì thæûc, thç A = A* -Nãúu táút caí caïc pháön tæí cuía A laì aío, thç A = - A*. Trang 3
  5. GIAÍI TÊCH MAÛNG Ma tráûn Hermitian (ma tráûn phæïc âäúi): Laì ma tráûn vuäng våïi caïc pháön tæí trãn âæåìng cheïo chênh laì säú thæûc coìn caïc càûp pháön tæí âäúi xæïng qua âæåìng cheïo chênh laì nhæîng säú phæïc liãn håüp, nghéa laì A = (A*)t. 4 2 − j3 A = 2 + j3 5 Ma tráûn xiãn - Hermitian (ma tráûn xiãn - phæïc âäúi): Laì ma tráûn vuäng våïi caïc pháön tæí trãn âæåìng cheïo chênh bàòng 0 hoàûc toaìn aío coìn caïc càûp pháön tæí âäúi xæïng qua âæåìng cheïo chênh laì nhæîng säú phæïc, tæïc A = - (A*)t. 0 2 − j3 A = − 2 − j3 0 Nãúu ma tráûn vuäng phæïc liãn håüp coï (A*) t. A = U = A. (A*)t thç ma tráûn A âæåüc goüi laì ma tráûn âån vë. Nãúu ma tráûn âån vë A våïi caïc pháön tæí laì säú thæûc âæåüc goüi laì ma tráûn træûc giao. Baíng 1.1: Caïc daûng ma tráûn. Kê hiãûu Daûng ma tráûn Kê hiãûu Daûng ma tráûn A = -A Khäng A = (A*)t Hermitian A = At Âäúi xæïng A = - (A*)t Xiãn- Hermitian A = - At Xiãn-âäúi xæïng At A = U Træûc giao A = A* Thæûc (A*)t A = U Âån vë A = - A* Hoaìn toaìn aío 1.2. CAÏC ÂËNH THÆÏC: 1.2.1. Âënh nghéa vaì caïc tênh cháút cuía âënh thæïc: Cho hãû 2 phæång trçnh tuyãún tênh a11x1 + a12x2 = k1 (1) (1.1) a21x1 + a22x2 = k2 (2) Ruït x2 tæì phæång trçnh (2) thãú vaìo phæång trçnh (1), giaíi âæåüc: a22k1 − a12k2 x1 = a11a22 − a12a21 Suy ra: a11k2 − a21k1 x2 = a11a22 − a12a21 Biãøu thæïc (a11a22 - a12a21) laì giaï trë âënh thæïc cuía ma tráûn hãû säú A. Trong âoï |A| laì âënh thæïc. a a | A | = 11 12 a21 a22 Giaíi phæång trçnh (1.1) bàòng phæång phaïp âënh thæïc ta coï: k1 a12 a11 k1 k 2 a22 a22 .k1 − a12 .k 2 a21 k 2 a11.k 2 − a21.k1 x1 = = vaì x2 = = A a11.a22 − a12 .a21 A a11.a22 − a12 .a21 • Tênh cháút cuía âënh thæïc: Trang 4
  6. GIAÍI TÊCH MAÛNG a. Giaï trë cuía âënh thæïc bàòng 0 nãúu: - Táút caí caïc pháön tæí cuía haìng hoàûc cäüt bàòng 0. - Caïc pháön tæí cuía 2 haìng (cäüt) tæång æïng bàòng nhau. - Mäüt haìng (cäüt) laì tæång æïng tè lãû cuía 1 hoàûc nhiãöu haìng (cäüt). b. Nãúu ta âäøi chäø 2 haìng cuía ma tráûn vuäng A cho nhau ta âæåüc ma tráûn vuäng B vaì coï det(B) = - det(A). c. Giaï trë cuía âënh thæïc khäng thay âäøi nãúu: - Táút caí caïc haìng vaì cäüt tæång æïng âäøi chäø cho nhau. - Cäüng thãm k vaìo 1 haìng (cäüt) thæï tæû tæång æïng våïi caïc pháön tæí cuía haìng (cäüt) âoï. d. Nãúu táút caí caïc pháön tæí cuía haìng (cäüt) nhán våïi thæìa säú k, thç giaï trë cuía âënh thæïc la ì âæåüc nhán båíi k. e. Têch cuía caïc âënh thæïc bàòng têch cuía tæìng âënh thæïc. | A.B.C| = |A| .|B| .|C|. f. Âënh thæïc täøng khaïc täøng caïc âënh thæïc. |A + B - C| = |A| + |B| -|C|. 1.2.2. Âënh thæïc con vaì caïc pháön phuû âaûi säú. Xeït âënh thæïc: a11 a12 a13 A = a21 a22 a23 a31 a32 a33 Choün trong âënh thæïc naìy k haìng, k cäüt báút kyì våïi 1 [ k [ n. Caïc pháön tæí nàòm phêa trãn kãø tæì giao cuía haìng vaì cäüt âaî choün taûo thaình mäüt âënh thæïc cáúp k, goüi laì âënh thæïc con cáúp k cuía A. Boí k haìng vaì k cäüt âaî choün, caïc pháön tæí coìn laûi taûo thaình 1 âënh thæïc con buì cuía âënh thæïc A. Pháön phuû âaûi säú æïng våïi pháön tæí aij cuía âënh thæïc A laì âënh thæïc con buì coï keìm theo dáúu (-1)i+j. 2+1 a12 a13 a12 a13 A21 = (−1) = − a32 a33 a32 a33 Mäúi liãn hãû giæîa caïc âënh thæïc vaì pháön phuû: - Täøng caïc têch cuía caïc pháön tæí theo haìng (cäüt) våïi pháön phuû tæång æïng bàòng âënh thæïc |A|. - Täøng caïc têch cuía caïc pháön tæí theo haìng (cäüt) våïi pháön phuû tæång æïng trong haìng (cäüt) khaïc bàòng 0. 1.3. CAÏC PHEÏP TÊNH MA TRÁÛN. 1.3.1. Caïc ma tráûn bàòng nhau: Hai ma tráûn A vaì B âæåüc goüi laì bàòng nhau nãúu táút caí caïc pháön tæí cuía ma tráûn A bàòng táút caí caïc pháön tæí cuía ma tráûn B (aij = bëj ∀ i, j; i, j = 1, 2, n). 1.3.2. Pheïp cäüng (træì) ma tráûn. Trang 5
  7. GIAÍI TÊCH MAÛNG Cäüng (træì) caïc ma tráûn phaïi coï cuìng kêch thæåïc m x n. Vê duû: Coï hai ma tráûn A[aij ]mn vaì B[bij ]mn thç täøng vaì hiãûu cuía hai ma tráûn naìy laì ma tráûn C[cij ]mn våïi cij = aij6 bij Måí räüng: R = A + B + C + + N våïi rij = aij 6 bij6 cij 6 6 nij . Pheïp cäüng (træì) ma tráûn coï tênh cháút giao hoaïn: A + B = B + A. Pheïp cäüng (træì) ma tráûn coï tênh cháút kãút håüp: A + (B + C) = (A + B) + C. 1.3.3. Têch vä hæåïng cuía ma tráûn: k.A = B. Trong âoï: bij = k .aij ∀ i & j . Tênh giao hoaïn: k.A = A.k Tênh phán phäúi: k (A + B) = k.A + k B = (A + B) k. (våïi A vaì B laì caïc ma tráûn coï cuìng kêch thæåïc, k laì 1 hàòng säú ). 1.3.4. Nhán caïc ma tráûn: Pheïp nhán hai ma tráûn A.B = C. Nãúu ma tráûn A coï kêch thæåïc m x q vaì ma tráûn B coï kêch thæåïc q x n thç ma tráûn têch C coï kêch thæåïc m x n. Caïc pháön tæí cij cuía ma tráûn C laì täøng caïc têch cuía caïc pháön tæí tæång æïng våïi i haìng cuía ma tráûn A vaì j cäüt cuía ma tráûn B laì: cij = ai1 .b1j + ai2 .b2j + + aiq .bqj Vê duû: a11 a12 a11.b11 + a12 .b21 a11.b12 + a12 .b22 b11 b12 A.B = a21 a22 x = a21.b11 + a22 .b21 a11.b12 + a12 .b22 b21 b22 a31 a32 a31.b11 + a32 .b21 a11.b12 + a12 .b22 Pheïp nhán ma tráûn khäng coï tênh cháút hoaïn vë: A.B ≠ B.A Pheïp nhán ma tráûn coï tênh cháút phán phäúi âäúi våïi pheïp cäüng: A (B + C) = A.B + A.C. Pheïp nhán ma tráûn coï tênh cháút kãút håüp: A (B.C) = (A.B) C = A.B.C. Têch 2 ma tráûn A.B = 0 khi A = 0 hoàûc B = 0. Têch C.A = C.B khi A = B. Nãúu C = A.B thç CT = BT.AT 1.3.5. Nghëch âaío ma tráûn: Cho hãû phæång trçnh: a11x1 + a12x2 + a13x3 = y1 a21x1 + a22x2 + a23x3 = y2 (1.2) a31x1 + a32x2 + a33x3 = y3 Viãút dæåïi daûng ma tráûn A.X = Y Nãúu nghiãûm cuía hãû trãn laì duy nháút thç täön taûi mäüt ma tráûn B laì nghëch âaío cuía ma tráûn A. Do âoï: X = B.Y (1.3) Nãúu âënh thæïc cuía ma tráûn A ≠ 0 thç coï thãø xaïc âënh xi nhæ sau: Trang 6
  8. GIAÍI TÊCH MAÛNG A A A x = 11 y + 21 y + 31 y 1 A 1 A 2 A 3 A A A x = 12 y + 22 y + 32 y 2 A 1 A 2 A 3 A A A x = 13 y + 23 y + 33 y 3 A 1 A 2 A 3 Trong âoï: A11, A12, A33 laì âënh thæïc con phuû cuía a11, a12, a13 vaì |A| laì âënh thæïc cuía ma tráûn A. Ta coï: A B = i j i, j = 1, 2, 3. i j A Nhán ma tráûn A våïi nghëch âaío cuía noï ta coï A.A-1 = A-1.A = U Ruït X tæì phæång trçnh (1.3) sau khi âaî nhán caí hai vãú cho A-1. A.X = Y A-1.A.X = A-1 .Y U.X = A-1.Y Suy ra: X = A-1 .Y Nãúu âënh thæïc cuía ma tráûn bàòng 0, thç ma tráûn nghëch âaío khäng xaïc âënh (ma tráûn suy biãún). Nãúu âënh thæïc khaïc 0 goüi laì ma tráûn khäng suy biãún vaì laì ma tráûn nghëch âaío duy nháút. Giaí sæí 2 ma tráûn A vaì B cuìng cáúp vaì laì khaí âaío luïc âoï: (A.B)-1 = B-1.A-1 Nãúu AT khaí âaío thç (AT)-1 cuîng khaí âaío: (At)-1 = (A-1)t 1.3.6. Ma tráûn phán chia: A1 A2 A = A3 A4 Täøng caïc ma tráûn âaî phán chia âæåüc biãøu diãùn båíi ma tráûn nhoí bàòng täøng caïc ma tráûn nhoí tæång æïng. A1 A2 B1 B2 A16B1 A26B3 6 = A3 A B3 B A36B3 A 6B 4 4 4 3 Pheïp nhán âæåüc biãøu diãùn nhæ sau: A1 A2 B1 B2 C1 C2 = A3 A4 B3 B4 C3 C4 Trong âoï: C1 = A1.B1 + A2.B3 C2 = A1.B2 + A2.B4 Trang 7
  9. GIAÍI TÊCH MAÛNG C3 = A3.B1 + A4.B3 C4 = A3.B2 + A4.B4 Taïch ma tráûn chuyãøn vë nhæ sau: T T A1 A2 A 1 A 2 A = AT = A A AT AT 3 4 3 4 Taïch ma tráûn nghëch âaío nhæ sau: A1 A2 B1 B2 A = A-1 = A A B B 3 4 3 4 Trong âoï: -1 -1 B1 = (A1 - A2.A4 .A3) -1 B2 = -B1.A2.A4 -1 B3 = -A4 .A3.B1 -1 -1 B4 = A4 - A4 .A3.B2 (våïi A1 vaì A4 phaíi laì caïc ma tráûn vuäng). 1.4. SÆÛ PHUÛ THUÄÜC TUYÃÚN TÊNH VAÌ HAÛNG CUÍA MA TRÁÛN: 1.4.1. Sæû phuû thuäüc tuyãún tênh: Säú cäüt cuía ma tráûn A(m x n) coï thãø viãút theo n vectå cäüt hoàûc m vectå haìng. {c1}{c1} {c1} {r1}{r1} {r1} Phæång trçnh vectå cäüt thuáön nháút. p1{c1} + p2{c2} + + pn{cn} = 0 (1.4) Khi táút caí Pk = 0 (k = 1, 2, , n). Tæång tæû vectå haìng laì khäng phuû thuäüc tuyãún tênh nãúu. qr = 0 (r = 1, 2, , n). q1{r1} + q2{r2} + + qn{rn} = 0 (1.5) Nãúu pk ≠ 0 thoía maîn phæång trçnh (1.4), thç vectå cäüt laì tuyãún tênh. Nãúu qr ≠ 0 thoía maîn phæång trçnh (1.5), thç vectå haìng laì tuyãún tênh. Nãúu vectå cäüt (haìng) cuía ma tráûn A laì tuyãún tênh, thç âënh thæïc cuía A = 0. 1.4.2. Haûng cuía ma tráûn: Haûng cuía ma tráûn laì cáúp cao nháút maì táút caí caïc âënh thæïc con khaïc 0. 0 [ r(A) [ min(m, n) våïi A laì ma tráûn kêch thæåïc m x n. 1.5. HÃÛ PHÆÅNG TRÇNH TUYÃÚN TÊNH: Hãû phæång trçnh tuyãún tênh cuía m phæång trçnh trong n hãû säú âæåüc viãút: a11x1 + a12x2 + + a1nxn = y1 a21x1 + a22x2 + + a2nxn = y2 (1.6) am1x1 + am2x2 + + amnxn = ym Trong âoï: Trang 8
  10. GIAÍI TÊCH MAÛNG ai j: Laì hãû säú thæûc hoàûc phæïc ; xj: Laì biãún säú ; yj: Laì hàòng säú cuía hãû. Hãû phæång trçnh âæåüc biãøu diãùn åí daûng ma tráûn nhæ sau: A. X = Y (1.7) Ma tráûn måí räüng: a11 a12 a1n y1 a a a y Aˆ = 21 22 2n 2 am1 am2 amn ym Nãúu yi = 0 thç hãû phæång trçnh goüi laì hãû thuáön nháút, nghéa laì: A.X = 0. Nãúu mäüt hoàûc nhiãöu pháön tæí cuía vectå yi ≠ 0 thç hãû goüi laì hãû khäng thuáön nháút. Âënh lyï: Âiãöu kiãûn cáön vaì âuí âãø hãû phæång trçnh tuyãún tênh coï nghiãûm laì haûng cuía ma tráûn hãû säú bàòng haûng cuía ma tráûn måí räüng. Hãû phæång trçnh tuyãún tênh vä nghiãûm khi vaì chè khi haûng cuía ma tráûn hãû säú nhoí hån haûng cuía ma tráûn måí räüng. Nãúu haûng cuía ma tráûn r(A) = r(Á) = r = n (säú áøn) cuía hãû phæång trçnh tuyãún tênh (1.6) thç hãû coï nghiãûm duy nháút (hãû xaïc âënh). Nãúu r(A) = r(Á) = r < n thç hãû phæång trçnh tuyãún tênh coï vä säú nghiãûm vaì caïc thaình pháön cuía nghiãûm phuû thuäüc (n - r) tham säú tuìy yï. Trang 9
  11. GIAÍI TÊCH MAÛNG CHÆÅNG 2 GIAÍI PHÆÅNG TRÇNH VI PHÁN BÀÒNG PHÆÅNG PHAÏP SÄÚ 2.1. GIÅÏI THIÃÛU. Nhiãöu hãû thäúng váût lyï phæïc taûp âæåüc biãøu diãùn båíi phæång trçnh vi phán noï khäng coï thãø giaíi chênh xaïc bàòng giaíi têch. Trong kyî thuáût, ngæåìi ta thæåìng sæí duûng caïc giaï trë thu âæåüc bàòng viãûc giaíi gáön âuïng cuía caïc hãû phæång trçnh vi phán båíi phæång phaïp säú hoïa. Theo caïch âoï, låìi giaíi cuía phæång trçnh vi phán âuïng laì mäüt giai âoaûn quan troüng trong giaíi têch säú. Trong træåìng håüp täøng quaït, thæï tæû cuía viãûc laìm têch phán säú laì quaï trçnh tæìng bæåïc chênh xaïc chuäøi giaï trë cho mäùi biãún phuû thuäüc tæång æïng våïi mäüt giaï trë cuía biãún âäüc láûp. Thæåìng thuí tuûc laì choün giaï trë cuía biãún âäüc láûp trong mäüt khoaíng cäú âënh. Âäü chênh xaïc cho låìi giaíi båíi têch phán säú phuû thuäüc caí hai phæång phaïp choün vaì kêch thæåïc cuía khoaíng giaï trë. Mäüt säú phæång phaïp thæåìng xuyãn duìng âæåüc trçnh baìy trong caïc muûc sau âáy. 2.2. GIAÍI PHÆÅNG TRÇNH VI PHÁN BÀÒNG PHÆÅNG PHAÏP SÄÚ. 2.2.1 Phæång phaïp Euler: Cho phæång trçnh vi phán báûc nháút. dy = f (x, y) (2.1) dx y y = g(x,c) Hçnh 2.1: Âäö thë cuía haìm säú tæì baìi giaíi phæång trçnh vi phán ∆y y0 ∆x x 0 x 0 Khi x laì biãún âäüc láûp vaì y laì biãún phuû thuäüc, nghiãûm phæång trçnh (2.1) seî coï daûng: y = g(x,c) (2.2) Våïi c laì hàòng säú âaî âæåüc xaïc âënh tæì lyï thuyãút trong âiãöu kiãûn ban âáöu. Âæåìng cong miãu taí phæång trçnh (2.2) âæåüc trçnh baìy trong hçnh (2.1). Tæì chäù tiãúp xuïc våïi âæåìng cong, âoaûn ngàõn coï thãø giaí sæí laì mäüt âoaûn thàóng. Theo caïch âoï, taûi mäùi âiãøm riãng biãût (x0,y0) trãn âæåìng cong, ta coï: dy ∆y ≈ ∆x dx 0 Trang 12
  12. GIAÍI TÊCH MAÛNG dy Våïi laì âäü däúc cuía âæåìng cong taûi âiãøm (x0,y0). Vç thãú, æïng våïi giaï trë ban dx 0 âáöu x0 vaì y0, giaï trë måïi cuía y coï thãø thu âæåüc tæì lyï thuyãút laì ∆x: dy y1 = y0 + ∆y hay y1 = y0 + h (âàût h = ∆x) dx 0 Khi ∆y laì säú gia cuía y tæång æïng våïi mäüt säú gia cuía x. Tæång tæû, giaï trë thæï hai cuía y coï thãø xaïc âënh nhæ sau. dy y2 = y1 + h dx 1 y y= g(x,c) y3 y2 Hçnh 2.2 : Âäö thë cuía låìi giaíi xáúp xè y1 cho phæång trçnh vi phán bàòng y 0 phæång phaïp Euler h h h 0 x x x x x 0 1 2 3 dy Khi = f (x1 , y1 ) dx 1 Quaï trçnh coï thãø tênh tiãúp tuûc, ta âæåüc: dy y3 = y2 + h dx 2 dy y4 = y3 + h dx 3 Baíng giaï trë x vaì y cung cáúp cho toaìn bäü baìi giaíi phæång trçnh (2.1). Minh hoüa phæång phaïp nhæ hçnh 2.2. 2.2.2. Phæång phaïp biãún âäøi Euler. Trong khi æïng duûng phæång phaïp Euler, giaï trë dy/dx cuía khoaíng giaí thiãút tênh toaïn bàõt âáöu væåüt ra ngoaìi khoaíng cho pheïp. Sæû thay thãú âoï coï thãø thu âæåüc bàòng caïch tênh toaïn giaï trë måïi cuía y cho x1 nhæ træåïc. x1 = x0 + h (0) dy y1 = y0 + h dx 0 Trang 13
  13. GIAÍI TÊCH MAÛNG (0) Duìng giaï trë måïi x1 vaì y1 thay vaìo phæång trçnh (2.1) âãø tênh toaïn gáön âuïng giaï trë cuía dy taûi cuäúi khoaíng. dx 1 (0) dy (0) = f (x1 , y1 ) dx 1 (0) (1) dy dy Sau âoï táûn duûng giaï trë y1 coï thãø tçm tháúy båíi duìng trung bçnh cuía vaì nhæ dx 0 dx 1 sau: ⎛ dy dy (0) ⎞ ⎜ + ⎟ (1) ⎜ dx 0 dx 1 ⎟ y1 = y0 + ⎜ ⎟h ⎜ 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (1) (2) Duìng x1 vaì y1 , giaï trë xáúp xè thæï ba y1 coï thãø thu âæåüc båíi quaï trçnh tæång tæû nhæ sau: ⎛ dy dy (1) ⎞ ⎜ + ⎟ (2) ⎜ dx 0 dx 1 ⎟ y1 = y0 + ⎜ ⎟h ⎜ 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Ta âæåüc: ⎛ dy dy (2) ⎞ ⎜ + ⎟ (3) ⎜ dx 0 dx 1 ⎟ y1 = y0 + ⎜ ⎟h ⎜ 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Quaï trçnh coï thãø tênh tiãúp tuûc cho âãún khi hai säú liãön nhau æåïc læåüng cho y laì ngang bàòng nàòm trong phaûm vi mong muäún. Quaï trçnh hoaìn toaìn làûp laûi thu âæåüc giaï trë y2. Kãút quaí thu âæåüc coï sæû chênh xaïc cao hån tæì sæû biãún âäøi cuía phæång phaïp Euler âæåüc minh hoüa trong hçnh 2.3. y = g(x,c) y dy (0) y2 dx 1 Hçnh 2.3 : Âäö thë cuía låìi giaíi xáúp xè cho phæång y (0) 1 ⎛ dy dy ⎞ trçnh vi phán bàòng ⎜ + ⎟ ⎜ dx 0 dx 1 ⎟ phæång phaïp biãún âäøi y0 ⎜ ⎟ dy ⎜ 2 ⎟ Euler. ⎜ ⎟ dx 0 ⎝ ⎠ h x 0 x0 x1 Phæång phaïp Euler coï thãø æïng duûng âãø giaíi hãû phæång trçnh vi phán cuìng luïc. Cho hai phæång trçnh: Trang 14
  14. GIAÍI TÊCH MAÛNG dy = f1 (x, y,z) dx dz = f (x, y,z) dx 2 Våïi giaï trë ban âáöu x0, y0 vaì z0 giaï trë måïi y1 seî laì: dz y1 = y0 + h dx 0 dy Våïi: = f1 (x0 , y0 ,z 0 ) dx 0 Tæång tæû. dz z1 = z0 + h dx 0 dz Våïi: = f 2 (x0 , y0 , z0 ) dx 0 Cho säú gia tiãúp theo, giaï trë x1 = x0 + h, y1 vaì z1 duìng âãø xaïc âënh y2 vaì z2. Trong phæång phaïp biãún âäøi Euler y1 vaì z1 duìng âãø xaïc âënh giaï trë âaûo haìm taûi x1 cho âaïnh giaï gáön (1) (1) âuïng cáúp hai y1 vaì z1 . 2.2.3. Phæång phaïp Picard våïi sæû xáúp xè liãn tuûc. Cå såí cuía phæång phaïp Picard laì giaíi chênh xaïc, båíi sæû thay thãú giaï trë y nhæ haìm cuía x trong phaûm vi giaï trë x âaî cho. y ⎟ g(x) Âáy laì biãøu thæïc æåïc læåüng båíi sæû thay thãú træûc tiãúp giaï trë cuía x âãø thu âæåüc giaï trë tæång æïng cuía y. Cho phæång trçnh vi phán (2.1). dy = f(x,y)dx Vaì têch phán giæîa khoaíng giåïi haûn cho x vaì y. y x 1 dy = 1 f (x, y)dx ∫∫y x 0 0 x1 Thç y1 − y0 = f (x, y)dx ∫ x 0 x1 Hay y1 = y0 + f (x, y)dx (2.3) ∫ x 0 Säú haûng têch phán trçnh baìy sæû thay âäøi trong kãút quaí cuía y våïi sæû thay âäøi cuía x tæì x0 âãún x1. Låìi giaíi coï thãø thu âæåüc båíi sæû âaïnh giaï têch phán bàòng phæång phaïp xáúp xè liãn tuûc. Ta coï thãø xem giaï trë cuía y nhæ haìm cuía x coï thãø âaî thu âæåüc båíi sæû thay thãú y dæåïi daûng têch phán våïi y0, cho giaï trë ban âáöu nhæ sau: x (1) 1 y1 = y0 + f (x, y0 )dx ∫ x 0 Thæûc hiãûn biãøu thæïc têch phán våïi giaï trë måïi cuía y báy giåì âæåüc thay thãú vaìo phæång trçnh (2.3) thu âæåüc láön xáúp xè thæï hai cho y nhæ sau: x (2) 1 (1) y1 = y0 + f (x, y1 ) dx ∫ x 0 Trang 15
  15. GIAÍI TÊCH MAÛNG Quaï trçnh naìy coï thãø làûp laûi trong thåìi gian cáön thiãút âãø thu âæåüc âäü chênh xaïc mong muäún Tháût váûy, æåïc læåüng têch phán luän luän phæïc taûp thãú nhæng phaíi giaí thiãút cho biãún cäú âënh. Khoï khàn vaì cáön thæûc hiãûn nhiãöu láön têch phán, nãn âáy laì màût haûn chãú sæû aïp duûng cuía phæång phaïp naìy. Phæång phaïp Picard coï thãø aïp duûng âãø giaíi âäöng thåìi nhiãöu phæång trçnh nhæ sau: dy = f (x, y, z) dx 1 dz = f (x, y, z) dx 2 Theo cäng thæïc, ta coï: x1 y1 = y0 + f1 (x, y0 , z0 ) dx ∫ x 0 x1 z1 = z0 + f 2 (x, y0 , z0 ) dx ∫ x 0 2.2.4. Phæång phaïp Runge- Kutta. Trong phæång phaïp Runge- Kutta sæû thay âäøi giaï trë cuía biãún phuû thuäüc laì tênh toaïn tæì caïc cäng thæïc âaî cho, biãøu diãùn trong âiãöu kiãûn æåïc læåüng âaûo haìm taûi nhæîng âiãøm âënh træåïc. Tæì mäùi giaï trë duy nháút chênh xaïc cuía y cho båíi cäng thæïc, phæång phaïp naìy khäng âoìi hoíi thay thãú làûp laûi nhæ phæång phaïp biãún âäøi Euler hay têch phán liãn tiãúp nhæ phæång phaïp cuía Picard. Cäng thæïc ruït goün gáön âuïng xuáút phaït båíi sæû thay thãú khai triãøn chuäøi Taylor. Runge- Kutta xáúp xè báûc hai coï thãø viãút trong cäng thæïc. y1 = y0 + a1k1 + a2k2 (2.4) Våïi k1 = f(x0,y0)h k2 = f(x0 + b1h, y0 + b2k1)h Caïc hãû säú a1, a2, b1 vaì b2 laì chênh xaïc. Âáöu tiãn khai triãøn f(x0+ b1h, y0+ b2k1) trong chuäøi Taylor taûi (x0,y0), ta âæåüc: ⎧ ∂f ∂f ⎫ k 2 = ⎨ f (x0 , y0 ) + b1 h + b2 k1 + ⎬ h ∂ ∂ ⎩ x 0 y 0 ⎭ Thay thãú hai âiãöu kiãûn k1 vaì k2 vaìo trong phæång trçnh (2.4), thu âæåüc: ∂f 2 ∂f 2 y1 = y0 + (a1 + a2 ) f (x0 , y0 )h + a2b1 h + a2b2 f (x0 , y0 ) h (2.5) ∂x 0 ∂y 0 Khai triãøn chuäøi Taylor cuía y taûi giaï trë (x0,y0) laì: dy d 2 y h 2 y = y + h + + (2.6) 1 0 dx 2 2 0 dx 0 dy d 2 y ∂f ∂f Tæì = f (x0 , y0 ) vaì 2 = + f (x0 , y0 ) dx 0 dx 0 ∂x 0 ∂y 0 Phæång trçnh (2.6) tråí thaình. Trang 16
  16. GIAÍI TÊCH MAÛNG ∂f h 2 ∂f h 2 y 1 = y 0 + f (x 0 , y 0 )h + + f (x 0 , y 0 ) (2.7) ∂x 0 2 ∂y 0 2 Cán bàòng caïc hãû säú cuía phæång trçnh (2.5) vaì (2.7), ta âæåüc: a1 + a2 =1; a2b1 = 1/2; a2b2 = 1/2. Choün giaï trë tuìy yï cho a1 a1 = 1/2 Thç a2 = 1/2; b1 = 1; b2 = 1. Thay thãú giaï trë naìy vaìo trong phæång trçnh (2.4), cäng thæïc gáön âuïng báûc hai Runge-Kutta laì: y = y + 1 k + 1 k 1 0 2 1 2 2 Våïi k1 = f(x0,y0)h k2 = f(x0+ h, y0 + k1)h Vç thãú. ∆y = 1 (k + k ) 2 1 2 AÏp duûng cuía phæång phaïp Runge-Kutta cho viãûc xáúp xè báûc hai âoìi hoíi sæû tênh toaïn cuía 3 k1 vaì k2. Sai säú trong láön xáúp xè laì báûc h båíi vç chuäøi âaî càõt sau âiãöu kiãûn báûc hai. Täíng quaït cäng thæïc xáúp xè báûc bäún Runge-Kutta laì: y1 = y 0 + a1 k1 + a 2 k 2 + a 3 k 3 + a 4 k 4 (2.8) Våïi k1 = f(x0,y0)h k2 = f(x0 + b1h, y0 + b2k1)h k3 = f(x0 + b3h, y0 + b4k2)h k4 = f(x0 + b5h, y0 + b6k3)h Tiãúp theo thuí tuûc giäúng nhæ duìng cho láön xáúp xè báûc hai, hãû säú trong phæång trçnh (2.8) thu âæåüc laì: a1 = 1/6; a2 = 2/6; a3 = 2/6; a4 = 1/6. Vaì b1 = 1/2; b2 = 1/2; b3 = 1/2; b4 = 1/2; b5 = 1; b6 = 1. Thay thãú caïc giaï trë vaìo trong phæång trçnh (2.8), phæång trçnh xáúp xè báûc bäún Runge-Kutta tråí thaình. y = y + 1 (k + 2k + 2k + k ) 1 0 6 1 2 3 4 Våïi k1 = f(x0,y0)h h k k = f (x + , y + 1 )h 2 0 2 0 2 h k k = f (x + , y + 2 )h 3 0 2 0 2 k4 = f (x0 + h, y0 + k3 )h Nhæ váûy, sæû tênh toaïn cuía ∆y theo cäng thæïc âoìi hoíi sæû tênh toaïn caïc giaï trë cuía k1, k2, k3 vaì k4 : ∆y = 1/6(k1+2k2+2k3+k4) Sai säú trong sæû xáúp xè laì báûc h5. Trang 17
  17. GIAÍI TÊCH MAÛNG Cäng thæïc xáúp xè báûc bäún Runge-Kutta cho pheïp giaíi âäöng thåìi nhiãöu phæång trçnh vi phán. dy = f (x, y, z) dx dz = g(x, y, z) dx Ta co:ï y1 = y0+1/6 (k1+2k2+2k3+k4) z1 = z0+1/6 (l1+2l2+2l3+l4) Våïi: k1= f(x0,y0,z0)h h k l k = f (x + , y + 1 z + 1 )h 2 0 2 0 2 0 2 h k l k = f (x + , y + 2 z + 2 )h 3 0 2 0 2 0 2 k4 = f(x0 + h, y0 + k3,z0 + l3)h l1 = g(x0,y0,z0)h h k l l = g(x + , y + 1 z + 1 )h 2 0 2 0 2 0 2 h k l l = g(x + , y + 2 z + 2 )h 3 0 2 0 2 0 2 l4 = g(x0 + h, y0 + k3,z0 + l3)h 2.2.5. Phæång phaïp dæû âoaïn sæía âäøi. Phæång phaïp dæûa trãn cå såí ngoaûi suy, hay têch phán væåüt træåïc, vaì làûp laûi nhiãöu láön viãûc giaíi phæång trçnh vi phán. dy = f (x, y) (2.9) dx Âæåüc goüi laì phæång phaïp dæû âoaïn sæía âäøi. Thuí tuûc cå baín trong phæång phaïp dæû dy âoaïn sæía âäøi laì xuáút phaït tæì âiãøm (xn,yn) âãún âiãøm (xn+1, yn+1). Thç thu âæåüc tæì dx n+1 phæång trçnh vi phán vaì sæía âäøi giaï trë yn+1 xáúp xè cäng thæïc chênh xaïc. Loaûi âån giaín cuía cäng thæïc dæû âoaïn phæång phaïp cuía Euler laì: yn+1 = yn + yn’h (2.10) ' dy Våïi: yn = dx n Cäng thæïc chênh xaïc khäng duìng trong phæång phaïp Euler. Màûc duì, trong phæång phaïp biãún âäøi Euler giaï trë gáön âuïng cuía yn+1 thu âæåüc tæì cäng thæïc dæû âoaïn (2.10) vaì giaï trë thay thãú trong phæång trçnh vi phán (2.9) chênh laì y’n+1. Thç giaï trë chênh xaïc cho yn+1 thu âæåüc tæì cäng thæïc biãún âäøi cuía phæång phaïp laì: h y = y + (y' + y' ) (2.11) n+1 n n+1 n 2 Giaï trë thay thãú trong phæång trçnh vi phán (2.9) thu âæåüc coï sæû âaïnh giaï chênh xaïc hån cho y’n+1, noï luän luän thay thãú trong phæång trçnh (2.11) laìm cho yn+1 chênh xaïc hån. Trang 18
  18. GIAÍI TÊCH MAÛNG Quaï trçnh tiãúp tuûc làûp laûi cho âãún khi hai giaï trë tênh toaïn liãn tiãúp cuía yn+1 tæì phæång trçnh (2.11) truìng våïi giaï trë mong muäún cháúp nháûn âæåüc. Phæång phaïp dæû âoaïn biãún âäøi kinh âiãøn cuía Milne. Dæû âoaïn cuía Milne vaì cäng thæïc biãún âäøi, theo äng laì: 4h y (0) = y + (2y' −y' +2y' ) n+1 n−3 3 n−2 n−1 n h Vaì y = y + (y' +4y' + y' ) n+1 n−1 3 n−1 n n+1 (0) Våïi: y'n+1 = f (xn+1 , yn+1 ) Bàõt âáöu cuía sæû tênh toaïn âoìi hoíi biãút bäún giaï trë cuía y. Coï thãø âaî tênh toaïn båíi Runge- Kutta hay mäüt säú phæång phaïp säú træåïc khi sæí duûng cäng thæïc dæû âoaïn sæía âäøi cuía Milne. Sai säú trong phæång phaïp laì báûc h5. Trong træåìng håüp täøng quaït, phæång phaïp mong muäún choün h âuí nhoí nãn chè vaìi láön làûp laì âoìi hoíi thu âæåüc yn+1 hoaìn toaìn chênh xaïc nhæ mong muäún. Phæång phaïp coï thãø måí räüng cho pheïp giaíi mäüt säú phæång trçnh vi phán âäöng thåìi. Phæång phaïp dæû âoaïn sæía âäøi laì aïp duûng âäüc láûp âäúi våïi mäùi phæång trçnh vi phán nhæ mäüt phæång trçnh vi phán âån giaín. Vç váûy, thay thãú giaï trë cho táút caí caïc biãún phuû thuäüc vaìo trong mäùi phæång trçnh vi phán laì âoìi hoíi sæû âaïnh giaï âaûo haìm taûi (xn+1, yn+1). 2.3. GIAÍI PHÆÅNG TRÇNH VI PHÁN BÁÛC CAO. Trong kyî thuáût træåïc âáy mä taí cho viãûc giaíi phæång trçnh vi phán báûc nháút cuîng coï thãø aïp duûng cho viãûc giaíi phæång trçnh vi phán báûc cao bàòng sæû âæa vaìo cuía biãún phuû. Vê duû, cho phæång trçnh vi phán báûc hai. d 2 y dy a + b + cy = 0 dx 2 dx dy Våïi âiãöu kiãûn ban âáöu x0, y0, vaì thç phæång trçnh coï thãø âæåüc viãút laûi nhæ hai dx 0 phæång trçnh vi phán báûc nháút. dy = y' dx d 2 y dy' by'+cy = = − dx 2 dx a Mäüt trong nhæîng phæång phaïp mä taí træåïc âáy coï thãø laì viãûc laìm âi tçm låìi giaíi cho hai phæång trçnh vi phán báûc nháút âäöng thåìi. Theo caïch tæång tæû, mäüt vaìi phæång trçnh hay hãû phæång trçnh báûc cao coï thãø quy vãö hãû phæång trçnh vi phán báûc nháút. 2.4. VÊ DUÛ VÃÖ GIAÍI PHÆÅNG TRÇNH VI PHÁN BÀÒNG PHÆÅNG PHAÏP SÄ.Ú Giaíi phæång trçnh vi phán seî minh hoüa bàòng sæû tênh toaïn doìng âiãûn cho maûch RL näúi tiãúp. Trang 19
  19. GIAÍI TÊCH MAÛNG t = 0 R i(t) Hçnh 2.4: Sæû biãøu diãùn cuía maûch e(t) L âiãûn RL Cho maûch âiãûn RL trong hçnh 2.4 sæïc âiãûn âäüng hiãûu duûng khi âoïng khoïa laì: e(t) = 5t 0 [ t [ 0,2 e(t) = 1 t > 0,2 Âiãûn tråí cho theo âån vë ohms laì. R = 1+3i2 Vaì âiãûn caím theo âån vë henrys laì. L = 1 Tçm doìng âiãûn trong maûch âiãûn theo caïc phæång phaïp sau: a. Euler’s b. Biãún âäøi Euler. c. Xáúp xè báûc bäún Runge-Kutta d. Milne’s e. Picard’s Baìi giaíi: Phæång trçnh vi phán cuía maûch âiãûn laì. di L + Ri = e(t) dt Thay thãú cho R vaì L ta coï: di + (1+ 3i 2 )i = e(t) dt Âiãöu kiãûn ban âáöu taûi t = 0 thç e0 = 0 vaì i0 = 0. Khoaíng choün cho biãún âäüc láûp laì: ∆t = 0,025. a. Phæång trçnh theo phæång phaïp Euler laì. di ∆in = ∆t dt n in+1 = in +∆in di 2 Våïi = en − (1+ 3in )in dt n dy Thay thãú giaï trë ban âáöu vaìo trong phæång trçnh vi phán, = 0 vaì ∆i0. Vç thãú, dt 0 di 2 doìng âiãûn i1 = 0. Taûi t1 = 0,025; e1 = 0,125 vaì = 0,125 −{1+ 3(0) }0 = 0,125 dt 1 ∆i1 = (0,125)0,025 = 0,00313 Thç i2 = 0 + 0,00313 = 0,00313 Láûp baíng kã kãút quaí låìi giaíi âæa vaìo trong baíng 2.1 Trang 20
  20. GIAÍI TÊCH MAÛNG Baíng 2.1: Giaíi bàòng phæång phaïp Euler Thåìi gian Sæïc âiãûn âäüng Doìng n t e di di 2 n n in = in−1 + ∆t = en − (1 + 3in )in dt n−1 dt n 0 0,000 0,000 0,00000 0,00000 1 0,025 0,125 0,00000 0,12500 2 0,050 0,250 0,00313 0,24687 3 0,075 0,250 0,00930 0,36570 4 0,100 0,375 0,01844 0,48154 5 0,125 0,500 0,03048 0,59444 6 0,150 0.625 0,4534 0,70438 7 0,175 0,750 0,06295 0,81130 8 0,200 0,875 0,08323 0,91504 9 0,225 1,000 0,10611 0,89031 10 0,250 1,000 0,12837 0,86528 11 0,275 1,000 0,15000 0,83988 12 0,300 1,000 0,17100 b. Phæång trçnh cuía phæång phaïp biãún âäøi Euler laì. (0) di ∆in = ∆t dt n (0) (0) in+1 = in + ∆in ⎛ di di (0) ⎞ ⎜ + ⎟ (1) ⎜ dt n dt n+1 ⎟ ∆in = ⎜ ⎟∆t ⎜ 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (1) (1) in+1 = in + ∆in (0) di (0) 2 (0) Våïi = en+1 −{1+ 3(in+1) }in+1 dt n+1 di Thay thãú giaï trë ban âáöu e0 = 0 vaì i0 = 0 vaìo trong phæång trçnh vi phán = 0 dx 0 (0) (0) Do âoï: ∆i0 = 0; i1 = 0 . (0) Thay thãú vaìo trong phæång trçnh vi phán i1 = 0 vaì e1 = 0,125 di (0) = 0,125 −{1+ 3(0)2}0 = 0,125 dt 1 0,125 + 0 Vaì ∆i(1) = ( )0,025 = 0,00156 0 2 Nãn (1) i1 = 0 + 0,00156 = 0,00156 Trang 21
  21. GIAÍI TÊCH MAÛNG (1) Trong låìi giaíi vê duû cho phæång phaïp, khäng thæûc hiãûn làûp laûi in+1 = in+1 . Baìi giaíi thu âæåüc bàòng phæång phaïp biãún âäøi Euler âæåüc âæa vaìo trong baíng 2.2. Baíng 2.2: Baìi giaíi bàòng phæång phaïp biãún âäøi Euler. Thåìi Sæïc Doìng di (0) di (0) (0) (1) n Gian âiãûn âiãûn in ∆i en+1 i dt dt n n n+1 n+1 ∆in tn âäüng en 0 0,000 0,000 0,00000 0,00000 0,00000 0,125 0,00000 0,12500 0,00156 1 0,025 0,125 0,00156 0,12344 0,00309 0,250 0,00465 0,24535 0,00461 2 0,050 0,250 0,00617 0,34383 0,00610 0,375 0,01227 0,36272 0,00758 3 0,075 0,375 0,01375 0,36124 0,00903 0,500 0,02278 0,47718 0,01048 4 0.100 0,500 0,02423 0,47573 0,01189 0,625 0,03612 0,58874 0,01331 5 0.125 0,625 0,03754 0,58730 0,01468 0,750 0,05222 0,69735 0,01606 6 0.150 0,750 0,05360 0,69594 0,01740 0,875 0,07100 0,80293 0,01874 7 0,175 0,875 0,07234 0,80152 0,02004 1,000 0,09238 0,90525 0,02133 8 0,200 1,000 0,09367 0,90386 0,02260 1,000 0,11627 0,87901 0,02229 9 0,225 1,000 0,11596 0,87936 0,02198 1,000 0,13794 0,85419 0,02167 10 0,250 1,000 0,13763 0,85455 0,02136 1,000 0,15899 0,82895 0,02104 11 0,275 1,000 0,15867 0,82935 0,02073 1,000 0,17940 0,80328 0,02041 12 0,300 1,000 0,17908 c. Phæång trçnh duìng phæång phaïp Runge-Kutta âãø giaíi. di = e(t) − (1+ 3i2 )i dt Ta coï: 2 k1 = {e(tn ) − (1+ 3in )in}∆t ⎧ ⎡ 2 ⎤ ⎫ ⎪ ∆t ⎛ k1 ⎞ ⎛ k1 ⎞⎪ k 2 = ⎨e(t n + ) − ⎢1 + 3⎜in + ⎟ ⎥.⎜in + ⎟⎬∆t 2 2 2 ⎩⎪ ⎣⎢ ⎝ ⎠ ⎦⎥ ⎝ ⎠⎭⎪ ⎧ ⎡ 2 ⎤ ⎫ ⎪ ∆t ⎛ k 2 ⎞ ⎛ k 2 ⎞⎪ k 3 = ⎨e(t n + ) − ⎢1+ 3⎜in + ⎟ ⎥ .⎜in + ⎟⎬∆t 2 2 2 ⎩⎪ ⎣⎢ ⎝ ⎠ ⎦⎥ ⎝ ⎠⎭⎪ 2 k 4 = {e(t n + ∆t) − [1+ 3(in + k 3 ) ].(in + k 3 )}∆t ∆i = 1 (k + 2k + 2k + k ) n 6 1 2 3 4 in+1 = in + ∆in Våïi: e(tn) = en ∆t e + e e(t + ) = n n+1 n 2 2 e(tn + ∆t) = en+1 Thay thãú giaï trë ban âáöu tçm âæåüc k1: k1 = 0. Trang 22
  22. GIAÍI TÊCH MAÛNG Tçm âæåüc k2: ⎧0 + 0,125 2 ⎫ k 2 = ⎨ − []1 + 3(0) 0⎬0,025 = 0,00156 ⎩ 2 ⎭ Tçm âæåüc k3: 2 ⎪⎧0 + 0,125 ⎡ ⎛ 0,00156 ⎞ ⎤ 0,00156⎪⎫ k3 = ⎨ − ⎢1+ 3⎜ ⎟ ⎥ ⎬0,025 = 0,00154 ⎩⎪ 2 ⎣⎢ ⎝ 2 ⎠ ⎦⎥ 2 ⎭⎪ Tçm âæåüc k4: 2 k 4 = {0 + 0,125 − [1 + 3(0,00154) ]0,00154}0,025 = 0,00309 Thç ∆i = 1 (0 + 0,00312 + 0,00308 + 0,00309) = 0,00155 0 6 Vaì i1 = i0 + ∆i0 = 0+ 0,00155 = 0,00155 Baìi giaíi thu âæåüc bàòng phæång phaïp Runge-Kutta âæåüc âæa vaìo trong baíng 2.3. d. Cäng thæïc dæû âoaïn sæía âäøi cuía phæång phaïp Milne laì. 4∆t i(0) = i + (2i' −i' +2i' ) n+1 n−3 3 n−2 n−1 n ∆t i = i + (i' +4i' +i' ) n+1 n−1 3 n−1 n n+1 Våïi di i'n = dt n Vaì di 2 = en − (1+ 3in )in dt n Caïc giaï trë ban âáöu âoìi hoíi phaíi thu âæåüc tæì låìi giaíi cuía phæång phaïp Runge-Kutta. Våïi i0 = 0; i1 = 0,00155; i2 = 0,00615; i3 = 0,01372. Thay thãú vaìo phæång trçnh vi phán, ta coï: i’0 = 0; i’1 = 0,12345; i’2 = 0,23485; i’3 = 0,36127. Bàõt âáöu taûi t4 = 0,100 vaì thay thãú vaìo trong cäng thæïc dæû âoaïn, æåïc læåüng âáöu tiãn cho i4 laì: i(0) = 0 + 4 (0,025) 2(0,12345) − 0,24385 + 2(0,36127) = 0,02418 4 3 [] Thay thãú e4 = 0,500 vaì i4 = 0,02418 vaìo trong phæång trçnh vi phán, ta âæåüc: 2 i’4 = 0,500 [ 1 + 3(0,02418) ]0,02418 = 0,47578 Dæû âoaïn vaì giaï trë chênh xaïc, chè khaïc nhau mäüt säú haìng tháûp phán vç váûy khäng âoìi hoíi làûp laûi nhiãöu láön. Kãút quaí sau tæìng bæåïc âæåüc ghi vaìo baíng 2.4. Taûi t9 giaï trë dæû âoaïn cuía doìng âiãûn laì 0,11742 nhæng trong khi giaï trë chênh xaïc laì 0,11639. Viãûc thæûc hiãûn làûp laûi båíi sæû thay thãú giaï trë chênh xaïc trong phæång trçnh vi phán âaî thu âæåüc i’9 = 0,87888. Cæï láön læåüt duìng trong cäng thæïc sæía âäøi âãø thu âæåüc æåïc læåüng thæï hai cho i9 = 0,11640, træåïc khi kiãøm tra giaï trë chênh xaïc. Thæûc hiãûn làûp laûi trong táút caí caïc bæåïc âãø âaím baío yãu cáöu chênh xaïc. Trang 23
  23. GIA Trang Baíng 2.3: Giaíi bàòng phæång phaïp Runge-Kutta n Thåìi Sæïc Doìng en+ en+1 k1 k2 gian âiãûn âiãûn k1 in + k2 in + k3 en+1 in + k3 k4 ∆in tn âäüng in 2 2 2 en 0 0,000 0,000 0,00000 0,00000 0,0625 0,00000 0,00156 0,00078 0,00154 0,125 0,00154 0,00309 0,00155 1 0,025 0,125 0,00155 0,00309 0,1875 0,00310 0,00461 0,00386 0,00459 0,250 0,00614 0,00610 0,00460 2 0,050 0,250 0,00615 0,00610 0,3125 0,00920 0,00758 0,00994 0,00756 0,375 0,01371 0,00903 0,00757 3 0,075 0,375 0,01372 0,00903 0,4375 0,01824 0,01048 0,01896 0,01046 0,500 0,02418 0,01189 0,01047 4 0,100 0,500 0,02419 0,01189 0,5625 0,03014 0,01331 0,03084 0,01329 0,625 0,03748 0,01468 0,01330 5 0,125 0,625 0,03749 0,01468 0,6875 0,04483 0,01606 0,04552 0,01604 0,750 0,05353 0,01740 0,01605 6 0.150 0,750 0,05354 0,01740 0,8125 0,06224 0,01874 0,06291 0,01872 0,875 0,07226 0,02004 0,01873 7 0,175 0,875 0,07227 0,02004 0,9375 0,08229 0,02134 0,08294 0,02132 1,000 0,09359 0,02260 0,02133 8 0,200 1,000 0,09360 0,02260 1,0000 0,10490 0,02229 0,10475 0,02230 1,000 0,11590 0,02199 0,02230 9 0,225 1,000 0,11590 0,02199 1,0000 0,12690 0,02167 0,12674 0,02168 1,000 0,13758 0,02137 0,02168 10 0,250 1,000 0,13758 0,02137 1,0000 0,14827 0,02105 0,14811 0,02105 1,000 0,15863 0,02073 0,02105 11 0,275 1,000 0,15863 0,02073 1,0000 0,16900 0,02041 0,16884 0,02042 1,000 0,17905 0,02009 0,02041 12 ÍI TÊCHMA ÛNG 24
  24. GIAÍI TÊCH MAÛNG Baíng 2.4: Baìi giaíi bàòng phæång phaïp cuía Milne. Thåìi gian Sæïc âiãûn Doìng âiãûn Doìng âiãûn N tn âäüng en (dæû âoaïn) in i’n (sæía âäøi) in 4 0,100 0,500 0,02418 0,47578 0,02419 5 0,125 0,625 0,03748 0,58736 0,03748 6 0,150 0,750 0,05353 0,69601 0,05353 7 0,175 0,875 0,07226 0,80161 0,07226 8 0,200 1,000 0,09359 0,90395 0,09358 9 0,225 1,000 0,11742 0,87772 0,11639 0,87888 0,11640+ 10 0,250 1,000 0,13543 0,85712 0,13755 0,85464 0,13753+ 11 0,275 1,000 0,16021 0,82745 0,15911 0,82881 0,15912+ 12 0,300 1,000 0,17894 0,80387 0,17898 0,80382 0,17898+ + : giaï trë sæía âäøi thæï hai thu âæåüc båíi voìng làûp d. Phæång trçnh duìng phæång phaïp Picard haìm tæång âæång khåíi âáöu cho i, cáûn i0 = 0 laì: t 3 i = i0 + []e(t) − i − 3i dt ∫0 Thay thãú e(t) = 5t vaì giaï trë ban âáöu i0 = 0 2 t 5t i (1) = 5 t dt = ∫0 2 Thay i(1) cho i trong phæång trçnh têch phán, thu âæåüc: 2 6 2 3 7 t ⎛ 5t 375t ⎞ 5t 5t 375t i (2) = ⎜5t − − ⎟ dt = − − ∫0 ⎜ ⎟ ⎝ 2 8 ⎠ 2 6 56 Quaï trçnh tiãúp tuûc, ta âæåüc: 2 3 6 7 8 t ⎛ 5t 5t 375t 375t 125t ⎞ i (3) = ⎜5t − + − + − + ⎟ dt ∫0 ⎜ ⎟ ⎝ 2 6 8 7 8 ⎠ 5t 2 5t 3 5t 4 375t 7 = − + − + 2 6 24 56 2 3 4 6 7 t ⎛ 5t 5t 5t 375t 375t ⎞ i (4) = ⎜5t − + − − + + ⎟ dt ∫0 ⎜ ⎟ ⎝ 2 6 24 8 7 ⎠ 5t 2 5t 3 5t 4 t 5 375t 7 = − + − − + 2 6 24 24 56 Giåïi haûn chuäøi sau säú haûn báûc bäún laì: 5t 2 5t 3 5t 4 i = − + 2 6 24 Nãúu haìm duìng xáúp xè i chênh xaïc bäún säú tháûp phán våïi säú haûn xáúp xè âáöu tiãn khäng chuï yï âãún sai säú låïn thç . Trang 25
  25. GIAÍI TÊCH MAÛNG 5log t [ log0,00120 log t [ 9,415836 - 10 t [ 0,2605 Giaï trë giåïi haûn laì haìm xáúp xè håüp lyï. Vç váûy, trong vê duû naìy haìm coï thãø duìng chè âãø thu âæåüc y cho trong khoaíng 0 [ t [ 0,2; Båíi vç cho t > 0,2 thç e(t) = 1. Cho nãn, haìm xáúp xè khaïc phaíi chênh xaïc cho trong khoaíng 0,2 [ t[ 0,3 nhæ sau: t i = 0,09367 + ()1− i − 3i 3 dt ∫0,2 t i (1) = 0,09367 + {}1 − 0,09367 − 3()0,09367 3 dt = 0,09367 + 0,90386(t - 0,2) ∫ 0,2 t i (2) = 0,09367 + {}1 − 0,09367 − 0,90386()t − 0,2 − 3[]0,09367 + 0,90386(t − 0,2) 3 dt ∫ 0,2 t = 0,09367 + 0,90386 {}1 −1,07897(t − 0,2) − 0,76189()t − 0,2 2 − 2,45089(t − 0,2) 3 dt ∫ 0,2 = 0,09367 + 0,90386 x ⎧ (t − 0,2) 2 (t − 0,2)3 (t − 0,2) 4 ⎫ x ⎨( t − 0,2) −1,07897 − 0,76189 − 2,45089 ⎬ dt ⎩ 2 3 4 ⎭ Cuäúi cuìng, ta coï: i(3) = 0,09367 + 0,90386(t - 0,2) - 0,48762(t - 0,2)2 - - 0,05420(t - 0,2)3 - 0,30611(t - 0,2)4 + 0,86646(t - 0,2)5 Chuäùi giåïi haûn, haìm xáúp xè laì: i = 0,09367 + 0,90386(t - 0,2) - - 0,48762(t - 0,2)2 - 0,05420(t - 0,2)3 - 0,30611(t - 0,2)4 Cho i hiãûu chènh trong bäún säú tháûp phán, ta coï: 0,86646(t - 0,2)5 [ 0,00005 (t - 0,2) [ 0,14198 Haìm håüp lyï cho trong khoaíng 0,2 [ t [0,342 Giaï trë thu âæåüc bàòng phæång phaïp Picard âæåüc âæa vaìo trong baíng 2.5. 2.5. SO SAÏNH CAÏC PHÆÅNG PHAÏP. Trong baìi giaíi cuía phæång trçnh vi phán haìm quan hãû giæîa biãún phuû thuäüc y vaì biãún âäüc láûp x cáön tçm âãø thoía maîn phæång trçnh vi phán. Baìi giaíi trong giaíi têch laì ráút khoï vaì coï mäüt säú váún âãö khäng thãø tçm âæåüc. Phæång phaïp säú duìng âãø tçm låìi giaíi bàòng caïch biãøu diãùn y nhæ mäüt säú haìm cuía biãún âäüc láûp x tæì mäùi giaï trë xáúp xè cuía y coï thãø thu âæåüc bàòng sæû thay thãú hoaìn toaìn hay biãøu diãùn tæång âæång quan hãû giæîa caïc giaï trë liãn tiãúp cuía y xaïc âënh cho viãûc choün giaï trë cuía x. Phæång phaïp Picard laì phæång phaïp säú kiãøu âáöu tiãn. Phæång phaïp Euler, Runge-Kutta, vaì Milne laì vê duû cho kiãøu thæï hai. Khoï khàn chuí yãúu phaït sinh tæì phæång phapï xáúp xè y bàòng haìm säú, nhæ phæång phaïp Picard, tçm tháúy trong láön làûp laûi sæû têch phán hiãûn taûi phaíi thæûc hiãûn âãø thu âæåüc haìm thoía maîn. Vç váûy phæång phaïp naìy laì khäng thæûc tãú trong háöu hãút caïc træåìng håüp vaì êt âæåüc duìng. Trang 26
  26. GIAÍI TÊCH MAÛNG Baíng 2.5: Giaíi bàòng phæång phaïp Picard. n Thåìi gian tn Sæïc âiãûn âäüng en Doìng âiãûn in 0 0 0 0 1 0,025 0,125 0,00155 2 0,050 0,250 0,00615 3 0,075 0,375 0,01372 4 0,100 0,500 0,02419 5 0,125 0,625 0,03749 6 0,150 0,750 0,05354 7 0,175 0,875 0,07229 8 0,200 1,000 0,09367 9 0,225 1,000 0,11596 10 0,250 1,000 0,13764 11 0,275 1,000 0,15868 12 0,300 1,000 0,17910 Caïc phæång phaïp theo kiãøu thæï hai âoìi hoíi pheïp tênh säú hoüc âån giaín âo âoï thêch håüp cho viãûc giaíi bàòng maïy tênh säú cuía caïc phæång trçnh vi phán. Trong træåìng håüp täøng quaït, âån giaín quan hãû âoìi hoíi duìng trong mäüt khoaíng nhoí cho caïc biãún âäüc láûp nhæng ngæåüc laûi nhiãöu phæång phaïp phæïc taûp coï thãø duìng trong khoaíng tæång âäúi låïn täún nhiãöu cäng sæïc trong viãûc chênh xaïc hoïa låìi giaíi. Phæång phaïp Euler laì âån giaín nháút, nhæng træì khi khoaíng tênh ráút nhoí thç duìng noï cuîng khäng âuïng våïi thæûc tãú. Phæång phaïp biãún âäøi Euler cuîng sæí duûng âån giaín vaì coï thãm thuáûn låüi kiãøm tra hãû thäúng väún coï trong quaï trçnh thu âæåüc âãø caíi thiãûn sæû æåcï læåüng cho y. Phæång phaïp coï sæû chênh xaïc giåïi haûn, vç váûy âoìi hoíi duìng khoaíng giaï trë nhoí cho biãún âäüc láûp. Phæång phaïp Runge-Kutta âoìi hoíi säú ráút låïn cuía pheïp tênh säú hoüc, nhæng kãút quaí cuîng khäng chênh xaïc. Phæång phaïp dæû âoaïn sæía âäøi cuía Milne laì êt khoï khàn hån phæång phaïp Runge- Kutta vaì so saïnh âæåüc âäü chênh xaïc cuía báûc h5. Vç váûy, phæång phaïp cuía Milne âoìi hoíi coï bäún giaï trë ban âáöu cho biãún phuû thuäüc phaíi thu âæåüc bàòng mäüt säú phæång phaïp khaïc, háöu nhæ phæång phaïp biãún âäøi Euler hay phæång phaïp Runge-Kutta, laì nhæ nhau. Trong sæû æïng duûng maïy tênh cho phæång phaïp säú. Chæång trçnh âoìi hoíi bàõt âáöu låìi giaíi nhæ phæång phaïp cuía Milne. Låìi giaíi tiãúp tuûc duìng cäng thæïc khaïc cho dæû âoaïn vaì sau âoï sæía chæîa giaï trë cuía y cung cáúp quaï trçnh hãû thäúng cho kiãøm tra täút bàòng sæía chæîa æåïc læåüng ban âáöu. Nãúu sæû khaïc nhau giæîa dæû âoaïn vaì giaï trë chênh xaïc laì âaïng kãø, khoaíng tênh coï thãø âæåüc ruït goün laûi. Khaí nàng trong phæång phaïp cuía Milne khäng coï hiãûu læûc trong phæång phaïp Runge-Kutta. Baìi táûp: 2.1. Giaíi phæång trçnh vi phán. Trang 27
  27. GIAÍI TÊCH MAÛNG dy = x2 − y dx Cho 0 [ t [ 0,3; våïi khoaíng phæång trçnh 0,05 vaì giaï trë ban âáöu x0 = 0 vaì y0 = 1, bàòng caïc phæång phaïp säú sau âáy. a. Euler b. Biãún âäøi Euler. c. Picard d. Xáúp xè báûc bäún Runge-Kutta e. Milne duìng giaï trë bàõt âáöu thu âæåüc phæång phaïp Runge-Kutta 2.2. Giaíi bàòng phæång phaïp biãún âäøi Euler hãû phæång trçnh vi phán. dx = 2y dt dy x = − dt 2 Cho 0 [ t [ 1,0; Våïi khoaíng phæång trçnh 0,2 vaì giaï trë ban âáöu i0 = 0,x0 = 0 vaì y0 = 1 2.3. Giaíi bàòng xáúp xè báûc bäún Runge-Kutta phæång trçnh vi phán báûc hai. y’’ = y + xy’ Cho 0 [ x [ 0,4; Våïi khoaíng phæång trçnh 0,1 vaì giaï trë ban âáöux0 = 0,y0 = 1, vaì y’0 = 0 Trang 28
  28. GIAÍI TÊCH MAÛNG CHÆÅNG 3 MÄ HÇNH HOÏA CAÏC PHÁÖN TÆÍ TRONG HÃÛ THÄÚNG ÂIÃÛN 3.1. GIÅÏI THIÃÛU: Trong hãû thäúng âiãûn gäöm coï caïc thaình pháön cå baín sau: a. Maûng læåïi truyãön taíi gäöm: - Âæåìng dáy truyãön taíi. - Biãún aïp. - Caïc bäü tuû âiãûn ténh, khaïng âiãûn. b. Phuû taíi. c. Maïy phaït âäöng bäü vaì caïc bäü pháûn liãn håüp: Hãû thäúng kêch tæì, âiãöu khiãøn Caïc váún âãö cáön xem xeït åí âáy laì: Ngàõn maûch, traìo læu cäng suáút, äøn âënh quaï âäü. Maûng læåïi truyãön taíi âæåüc giaí thiãút laì åí traûng thaïi äøn âënh vç thåìi hàòng cuía noï nhoí hån nhiãöu so våïi maïy phaït âäöng bäü. 3.2. MÄ HÇNH ÂÆÅÌNG DÁY TRUYÃÖN TAÍI. 3.2.1. Âæåìng dáy daìi âäöng nháút. Âæåìng dáy daìi âäöng nháút laì âæåìng dáy coï âiãûn tråí, âiãûn khaïng, dung khaïng, âiãûn dáùn roì phán bäú âãöu doüc theo chiãöu daìi âæåìng dáy, coï thãø tênh theo tæìng pha vaì theo âån vë daìi. Trong thæûc tãú âiãûn dáùn roì ráút nhoí coï thãø boí qua. Chuïng ta chè quan tám âãún quan hãû giæîa âiãûn aïp vaì doìng âiãûn giæîa hai âáöu âæåìng dáy, mäüt âáöu cáúp vaì mäüt âáöu nháûn. Khoaíng caïch tênh tæì âáöu cáúp âãún âáöu nháûn. Âãø tênh toaïn vaì xem xeït mäúi quan hãû giæîa âiãûn aïp vaì doìng âiãûn trãn tæìng âiãøm cuía âæåìng dáy ta coï mä hçnh toaïn hoüc nhæ sau: (xem hçnh 3.1). Taûi toüa âäü x láúy vi phán dx trãn mäùi pha so våiï trung tênh vaì khaío saït phán täú dx. I I + dI I S R + + Hçnh 3.1 : Quan hãû âiãûn aïp vaì doìng âiãûn åí phán täú daìi VS V + dV V VR - - cuía âæåìng dáy truyãön taíi x =1 dx x = 0 Âáöu cáúp Âáöu nháûn Våïi phán täú dx naìy ta coï thãø viãút: dV = I .z .dx dV Hay = I.z (3.1) dx Vaì dI = V. y . dx Våïi z: Täøng tråí näúi tiãúp cuía mäùi pha trãn mäùi âån vë daìi y: Täøng dáùn reî nhaïnh cuía mäùi pha trãn mäùi âån vë daìi Trang 29
  29. GIAÍI TÊCH MAÛNG dI Hay =V.y (3.2) dx Láúy vi phán báûc 2 cuía (3.1) vaì (3.2) theo x ta coï: d 2V dI = z. (3.3) dx 2 dx d 2 I dV = y. (3.4) dx 2 dx Thãú (3.1) vaì (3.2) vaìo (3.3) vaì (3.4) ta coï: d 2V = z.y.V (3.5) dx 2 d 2 I = z.y.I (3.6) dx2 Giaíi (3.5) ta coï daûng nghiãûm nhæ sau: V = A1 exp( zy.x) + A2 exp(− zy.x) (3.7) Thay (3.7) vaìo âaûo haìm báûc nháút (3.1) ta coï doìng âiãûn 1 1 I = A exp( zy.x) − A exp(− zy.x) (3.8) z 1 z 2 y y A1 vaì A2 âæåüc xaïc âënh tæì âiãöu kiãûn biãn: V = VR vaì I = IR åí x = 0; Thay vaìo (3.7) vaì (3.8) cán bàòng ta âæåüc: z V + .I R y R A = (3.9) 1 2 z V − .I R y R A = (3.10) 2 2 Âàût Z = z : Goüi laì täøng tråí âæåìng dáy c y γ = z.y : Goüi laì hàòng säú truyãön soïng Váûy (3.9) vaì (3.10) âæåüc viãút goün nhæ sau: V + I .Z V − I .Z V (x) = R R c exp(γ .x) + R R c exp(−γ .x) (3.11) 2 2 V V R + I R − I Z R Z R I(x) = c exp(γ .x) − c exp(−γ .x) (3.12) 2 2 Cäng thæïc (3.11) vaì (3.12) duìng âãø xaïc âënh âiãûn aïp vaì doìng âiãûn taûi báút cæï âiãøm naìo cuía âæåìng dáy theo toüa âäü x. Ta viãút (3.11) laûi nhæ sau: V (x) =V . 1 .[]exp (γ . x) + exp ( − γ . x) + I .Z . 1 [ exp (γ . x) − exp (−γ . x)] R 2 R C 2 (3.13) =V .ch (γ . x) + I .Z .sh (γ . x) R R C Trang 30
  30. GIAÍI TÊCH MAÛNG Tæång tæû (3.12) VR I(x) = I R ch (γ . x) + .sh (γ . x) (3.14) ZC Khi x = 1 ta coï âiãûn aïp vaì doìng âiãûn åí âáöu cáúp: VS = VR .ch (γ .x) + I R .ZC .sh (γ .x) (3.15) VR I S = .sh (γ .x) + I R .ch (γ .x) (3.16) ZC 3.2.2. Så âäö tæång âæång âæåìng dáy daìi (l > 240): Sæí duûng cäng thæïc (3.15) vaì (3.16) âãø láûp så âäö tæång âæång cuía âæåìng dáy daìi nhæ hçnh 3.2 (goüi laì så âäö hçnh π). IS Zπ IR + + Hçnh 3.2 : Så âäö π cuía âæåìng dáy V V truyãön taíi S Yπ1 Yπ2 R - - Tæì så âäö hçnh 3.2 ta coï: VS =VR + Zπ . I R + VR .Yπ 2 .Zπ = (1 + Yπ 2 .Zπ )VR + Zπ .I R (3.17) I S = (I R +VR .Yπ 2 ) +VSYπ1 (3.18) Thay VS åí (3.17) vaìo (3.18) vaì âån giaín hoïa ta âæåüc: I S = [](Yπ1 + Yπ 2 ) + Zπ .Yπ1.Yπ 2 .YR + (1+ Zπ .Yπ1 )I R (3.19) Âäöng nháút (3.17) vaì (3.19) tæång æïng våïi (3.15) vaì (3.16) ta coï: Zπ = ZC sh (γ .l) (3.20) Yπ1 = Yπ2 = Yπ (3.21) (1+Zπ.Yπ) = ch (γ .l) (3.22) ch (γ .l) −1 1 ⎛ γ .l ⎞ Váûy: Yπ = = .th ⎜ ⎟ (3.23) ZC .sh (γ .l) ZC ⎝ 2 ⎠ Viãút goün (3.20) vaì (3.23) laûi ta coï: sh (γ .l) z .l .sh (γ .l) Z = Z .y.l = (3.24) π C γ .l γ .l y. l th (γ . l ) th (γ . l ) 2 2 y.l 2 Yπ = . = . (3.25) ZC γ . l 2 γ . l 2 2 Sæí duûng så âäö hçnh (3.3) vaì khai triãøn sh vaì ch ta coï thãø tênh Yπ vaì Zπ âãún âäü chênh xaïc cáön thiãút. Thäng thæåìng trong så âäö näúi tiãúp chè cáön láúy 2 hay 3 pháön tæí laì âaût yãu cáöu chênh xaïc: x 3 x 5 Sh (x) = x + + + + 3! 5! x 2 x 4 Ch (x) =1 + + + + (3.26) 2! 4! Trang 31
  31. GIAÍI TÊCH MAÛNG x 3 2 17 Th (x) = x − + x 5 − x 7 + 3 15 315 sh(γ .l) z.l. γ .l Is IR + + y.( l ) th(γ . l ) th(γ . l ) VS 2 2 y.l 2 VR . . Z γ . l 2 γ .( l ) c 2 2 - - Hçnh 3.3 : Så âäö π cuía maûng tuyãön taíi Nãúu chè láúy hai säú haìng âáöu. ⎡ (γ .l) 2 ⎤ Zπ ≈ z.l .⎢1+ ⎥ ⎣ 6 ⎦ 2 2 γ .l ⎡ 1 ⎛ γ .l ⎞ ⎤ γ .l ⎡ ⎛ γ .l ⎞ ⎤ Yπ ≈ ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ = ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ (3.27) 2 ⎣⎢ 3 ⎝ 2 ⎠ ⎦⎥ 2 ⎣⎢ ⎝ 2 ⎠ ⎦⎥ 3.2.3. Så âäö tæång âæång cuía âæåìng dáy trung bçnh: Gäöm caïc âæåìng dáy coï γ.l << 1 goüi laì âæåìng dáy trung bçnh (240km) Zπ = z.l = Z (täøng caïc täøng tråí näúi tiãúp) y.l Y Y = = (næía cuía täøng dáùn reî) π 2 2 I ZT1 ZT1 I IS Z IR S R + + + + V V VS YT VR S Y/2 Y/2 R - - - - Hçnh 3.4 : Så âäö âäúi xæïng π cuía Hçnh 3.5 : Så âäö âäúi xæïng T cuía âæåìng dáy truyãön taíi âæåìng dáy truyãön taíi Så âäö thu âæåüc theo giaí thiãút goüi laì så âäö âäúi xæïng π (hçnh 3.4) vaì coìn coï mäüt så âäö thãø hiãûn khaïc næía goüi laì så âäö âäúi xæïng T (hçnh 3.5) Tênh toaïn tæång tæû nhæ så âäö π ta coï (så âäö T) th (γ . l ) z.l 2 ZT1 = ZT 2 = ZT = . 2 γ . l 2 sh (γ .l) Vaì Y = y.l T γ .l Våïi så âäö âäúi xæïng T (yl << 1) coï thãø ruït goün nhæ hçnh 3.6 Hai så âäö tæång xæïng naìy coï âäü chênh xaïc nhæ nhau nhæng thäng thæåìng hay duìng så âäö π vç khäng phaíi tênh thãm næîa. Trang 32
  32. GIAÍI TÊCH MAÛNG Trong træåìng håüp âæåìng dáy khaï ngàõn (l [ 80km) coï thãø boí qua täøng dáùn maûch reî åí caí hai så âäö π vaì T vaì thu goün chè coìn mäüt täøng dáùn näúi tiãúp Z (hçnh 3.7) IS Z/2 Z/2 IR Z IS IR + + + + V Y V V V S R S R - - - - Hçnh 3.7 : Så âäö tæång âæång cuía âæåìng Hçnh 3.6 : Så âäö âäúi xæïng T dáy tuyãön taíi ngàõn 3.2.4. Thäng säú A, B, C, D: Caïc thäng säú A, B, C, D âæåüc sæí duûng âãø thiãút láûp caïc phæång trçnh quan hãû giæîa âiãûn aïp vaì doìng âiãûn åí âáöu cung cáúp vaì âáöu nháûn cuía âæåìng dáy truyãön taíi. Baíng 3.1 : Tham säú A, B, C, D cho tæìng loaûi så âäö Loaûi âæåìng dáy A B C D Y.Z Z .sh(γ.l) = Z(1+ sh(γ.l) ch (γ .l) = A -Âæåìng dáy daìi ch (γ .l) =1 + C = Y (1+ 2 2 2 âäöng nháút Y .Z Y .Z ZC 2 2 + + Y .Z 6 240 Y .Z Y 2 .Z 2 + + + + 24 6 120 -Âæåìng dáy trung bçnh Y .Z .Så âäö âäúi xæïng 1 + Y .Z Y A 2 Z (1 + ) T 4 Y .Z .Så âäö âäúi xæïng Y .Z Y (1 + ) A 1 + Z 4 π 2 -Âæåìng dáy ngàõn 1 Z 0 A Vê duû: Âàóng thæïc 3.15 vaì 3.16 âæåüc viãút laûi nhæ sau: VS = A.VR + B.IR IS = C.VR + D.IR Baíng 3.1 cho giaï trë A, B, C, D cuía tæìng loaûi âæåìng dáy truyãön taíi. Âæåìng dáy daìi, âæåìng dáy trung bçnh vaì âæåìng dáy ngàõn, caïc thäng säú naìy coï âàûc tênh quan troüng laì: A.D - B.C = 1 (3.28) Âiãöu naìy âaî âæåüc chæïng minh. 3.2.5. Caïc daûng täøng tråí vaì täøng dáùn: Xeït caïc âæåìng dáy truyãön taíi theo caïc tham säú A, B, C, D caïc phæång trçnh âæåüc viãút dæåïi daûng ma tráûn: ⎡VS ⎤ ⎡A B⎤ ⎡VR ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ × ⎢ ⎥ (3.29) ⎣I S ⎦ ⎣C D⎦ ⎣I R ⎦ Trang 33
  33. GIAÍI TÊCH MAÛNG Phæång trçnh 3.29 âæåüc viãút laûi theo biãún IS vaì IR sæí duûng kãút quaí: A.D - B.C = 1 Nhæ sau: ⎡VS ⎤ ⎡Z SS Z SR ⎤ ⎡I S ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ × ⎢ ⎥ (3.30) ⎣VR ⎦ ⎣Z RS Z RR ⎦ ⎣I R ⎦ Våïi ZSS = A/C; ZSR = -1/C; ZRS = 1/C; ZRR = -D/C Cäng thæïc (3.30) âæåüc viãút dæåïi daûng kê hiãûu: V = Z.I (3.31) Thãm mäüt caïch biãøu diãùn IS, IR theo biãún VS, VR nhæ sau: ⎡I S ⎤ ⎡YSS YSR ⎤ ⎡VS ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ × ⎢ ⎥ (3.32) ⎣I R ⎦ ⎣YRS YRR ⎦ ⎣VR ⎦ Hay I = Y. V Våïi: YSS = D/B; YSR = -1/B; YRS = 1/B; YRR = -A/B ÅÍ âáy ma tráûn Z laì ma tráûn täøng tråí maûch håí, ma tráûn Y laì ma tráûn täøng dáùn ngàõn maûch vaì âaím baío Z = Y-1 cuía maûng hai cæía. ÅÍ chæång sau seî tênh måí räüng cho maûng n cæía. 3.2.6. Caïc thäng säú Z vaì Y duìng cho caïc giåïi thiãûu khaïc: Tæì baíng 3.1 caïc âàóng thæïc 3.30 vaì 3.31 thäng säú Z vaì Y âæåüc tênh nhæ sau (duìng cho så âäö π) Y .Z Y = D = (1 + ) / Z = 1 + Y SS B 2 2 2 Y = − 1 = − 1 ;Y = 1 (3.33) SR B 2 RS 2 Y .Z Y = − A = −(1 + ) / Z = −( 1 + Y ) RR B 2 2 2 Caïc tham säú naìy coï thãø tênh træûc tiãúp tæì så âäö hçnh 3.4 viãút ra caïc phæång trçnh nuït vaì loaûi doìng nhaïnh giæîa. 3.3. MAÏY BIÃÚN AÏP: 3.3.1. Maïy biãún aïp 2 cuäün dáy: Så âäö tæång âæång cuía maïy biãún aïp (MBA) nhæ hçnh 3.8. Caïc tham säú âæåüc quy vãö phêa så cáúp (phêa 1). 2 2 ⎛ N ⎞ ⎛ N ⎞ ⎜ 1 ⎟ R ⎜ 1 ⎟ X ⎜ N ⎟ 2 ⎜ ⎟ 2 R1 X1 ⎝ 2 ⎠ ⎝ N 2 ⎠ I1 + + I2 V1 Rm Xm V2 - - Hçnh 3.8 : Så âäö tæång âæång cuía maïy biãún aïp Trang 34
  34. GIAÍI TÊCH MAÛNG Trong MBA læûc, nhaïnh tæì hoïa coï doìng khaï nhoí coï thãø læåüt âi vaì så âäö tæång âæång âæåüc ruït goün nhæ hçnh 3.9 2 2 ⎛ ⎞ ⎛ N1 ⎞ N1 R + ⎜ ⎟ R X 1 + ⎜ ⎟ X 2 1 ⎜ N ⎟ 2 ⎜ N ⎟ I ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ I 1 2 + + V1 V2 - - R X I2 I1 + + V1 V2 - - Hçnh 3.9 : Så âäö tæång âæång âån giaín hoïa cuía MBA 3.3.2. Maïy biãún aïp tæì ngáùu: Maïy biãún aïp tæì ngáùu (MBATN) gäöm coï mäüt cuäün dáy chung coï säú voìng N1 vaì mäüt cuäün dáy näúi tiãúp coï säú voìng N2, så âäö 1 pha vaì 3 pha åí dæåïi. Âáöu cæûc a-n âaûi diãûn cho phêa âiãûn aïp tháúp vaì âáöu cæûc a’-n’ âaûi diãûn cho phêa âiãûn aïp cao. Tè lãû voìng toaìn bäü laì: Va' N = 1+ 2 = 1+ a = N Va N1 Ia’ (a’) (a’) (a) N2 N2 IN1 (a) V ’ (c’) a (b) N1 Va N1 IN2 (n) (n) (b’) (c) Hçnh 3.10 : MBA tæì ngáùu 3 pha Hçnh 3.11 : Så âäö 1 pha cuía MBATN Så âäö tæång âæång cuía MBATN âæåüc mä phoíng nhæ hçnh 3.12, trong âoï Zex laì täøng tråí âo âæåüc åí phêa haû khi phêa cap aïp ngàõn maûch. Hai täøng tråí ngàõn maûch næîa âæåüc tênh laì: - ZeH: Täøng tråí âo âæåüc åí phêa cao aïp khi säú voìng N1 bë ngàõn maûch näúi tàõt cæûc a-n. Vaì dãù daìng chæïng minh tæì hçnh 3.12 (pheïp quy âäøi) 2 ZeH = Zex N (3.34) - ZeL: Täøng tråí âo âæåüc phêa haû aïp khi säú voìng N2 bë ngàõn maûch näúi tàõt cæûc a-a’ hçnh 3.13. Trang 35
  35. GIAÍI TÊCH MAÛNG Ia Zex Ia’ 1:N Ia a a’ 1:N a’ + + a + I1 Zex Ia’ + V V Va Va’ a a’ - - - - n n’ n n’ Hçnh 3.13 : Så âäö tæång âæång khi Hçnh 3.12 : Så âäö tæång âæång cuía MBATN näúi a-a’ cuía MBATN Tæì så âäö hçnh 3.13 ta coï: Va = Va’ V (N −1) I = (V − a' ) / Z =V / Z (3.35) 1 a N ex a N ex Âäúi våïi maïy biãún aïp lyï tæåíng säú ampe voìng bàòng zero cho nãn chuïng ta coï: I1 = Ia’ N Hay Ia’ = I1/N Våïi: Ia + Ia’ = I1 Vç váûy: N −1 I = I . a 1 N Täøng tråí : 2 Va Va N ⎛ N ⎞ Z eL = = = ⎜ ⎟ Z ex I a I1 (N −1) ⎝ N −1⎠ Do âoï: 2 ⎛ N −1⎞ Zex = ⎜ ⎟ ZeL (3.36) ⎝ N ⎠ Sæí duûng (3.34) ta coï: 2 2 ZeH = (N-1) Z eL = a ZeL * Nhæåüc âiãøm cuía MBATN: - Hai phêa cao vaì haû aïp khäng taïch nhau vãö âiãûn nãn keïm an toaìn - Täøng tråí näúi tiãúp tháúp hån MBA 2 cuäün dáy gáy ra doìng ngàõn maûch låïn * Æu âiãøm cuía MBATN: - Cäng suáút âån vë låïn hån MBA 2 cuäün dáy nãn taíi âæåüc nhiãöu hån - Âäü låüi caìng låïn khi tè säú voìng laì 2:1 hoàûc tháúp hån Vê duû minh hoüa: Cho mäüt MBA 2 cuäün dáy coï thäng säú âënh mæïc laì 22KVA, 220/110V, f = 50Hz. Cuäün A laì 220V coï Z = 0,22 + j0,4 (Ω) cuäün B laì 110V coï täøng tråí laì Z = 0,05 + j0,09 (Ω). MBA âáúu theo daûng tæì ngáùu cung cáúp cho taíi 110V våïi nguäön 330V. Tênh Zex, ZeL, ZeH doìng phuû taíi laì 30A. Tçm mæïc âiãöu tiãút âiãûn aïp. Giaíi: Trang 36
  36. GIAÍI TÊCH MAÛNG Cuäün B laì cuäün chung coï N1 voìng, cuäün A laì cuäün näúi tiãúp coï N2 voìng. Váûy N2 /N1 = 2 = a vaì N = a+1 = 3, do ZA = 0,24 + j0,4 (Ω), ZB = 0,05 + j0,09 (Ω) Nãn: 2 ZeH = ZA + a ZB = 0,44+ j0,76 (Ω) 2 ZeL = ZB + ZA/a = 0,11+j0,19 (Ω) 2 Z eH ⎛ N −1⎞ Z ex = = Z eL ⎜ ⎟ = 0,049 + j0,08(Ω) N 2 ⎝ N ⎠ I . R.cosθ + I . X .sinθ Mæïc âiãöu chènh âiãûn aïp = .100% V 30 0,44.0,9 + 0,76.0,437 = . .100% = 2,21% 3 330 3.3.3. Maïy biãún aïp coï bäü âiãöu aïp: Do phuû taíi luän thay âäøi theo thåìi gian dáùn âãún âiãûn aïp cuía hãû thäúng âiãûn cuîng thay âäøi theo. Âãø giæî cho âiãûn aïp trãn caïc dáy dáùn nàòm trong giåïi haûn cho pheïp ngæåìi ta âiãöu chènh âiãûn aïp mäüt hoàûc hai phêa cuía MBA bàòng caïch âàût bäü phán aïp vaìo MBA noïi chung laì âàût phêa cao aïp âãø âiãöu chènh mãöm hån. Khi tè säú voìng N bàòng tè säú âiãûn aïp âënh mæïc ta noïi âoï laì tè lãû âäöng nháút. Khi chuïng khäng bàòng ta noïi tè lãû laì khäng âäöng nháút. Bäü âiãöu aïp coï hai loaûi: -Bäü âiãöu aïp dæåïi taíi -Bäü âiãöu aïp khäng taíi Bäü âiãöu aïp dæåïi taíi coï thãø âiãöu chènh tæû âäüng hoàûc bàòng tay, khi âiãöu chènh bàòng tay phaíi dæûa vaìo kinh nghiãûm vaì tênh toaïn traìo læu cäng suáút træåïc âoï. Tè säú âáöu phán aïp coï thãø laì säú thæûc hay säú phæïc trong træåìng håüp laì säú phæïc âiãûn aïp åí hai phêa khaïc nhau vãö âäü låïn vaì goïc pha. MBA naìy goüi laì MBA chuyãøn pha. 3.3.4. Maïy biãún aïp coï tè säú voìng khäng âäöng nháút: Chuïng ta xeït træåìng håüp tè säú voìng khäng âäöng nháút laì säú thæûc cáön xeït hai váún âãö sau: - Giaï trë tæång âäúi cuía täøng tråí näúi tiãúp cuía MBA âàût näúi tiãúp trong maïy biãún aïp lyï tæåíng cho pheïp coï sæû khaïc nhau trong âiãûn ap,ï tè lãû khäng âäöng nháút âæåüc mä taí trãn så âäö bàòng chæî a vaì giaí thiãút ràòng a nàòm xung quanh 1 (a ≠ 1) - Giaí thiãút täøng tråí näúi tiãúp cuía MBA khäng âäøi khi âáöu phán aïp thay âäøi vë trê. MBA khäng âäöng nháút âæåüc mä taí theo hai caïch nhæ hçnh 3.14, täøng dáùn näúi tiãúp 2 trong hai caïch coï quan hãû laì Y1’ = Y1/a . a:1 Y 1 p q (1) Hçnh 3.14 : Hai caïch giåïi thiãûu maïy biãún aïp khäng ’ a:1 Y 1 âäöng nháút p q (2) Trang 37
  37. GIAÍI TÊCH MAÛNG Våïi tè lãû biãún aïp bçnh thæåìng laì a:1 phêa a goüi laì phêa âiãöu aïp. Vç váûy trong så âäö 1 täøng dáùn näúi tiãúp âæåüc näúi âãún phêa 1 coìn så âäö 2 thç âæåüc näúi âãún phêa a. a:1 Y 1 p q a Hçnh 3.15 : Så âäö tæång âæång cuía MBA khäng âäöng nháút Xeït hçnh 3.15 cuía MBA khäng âäöng nháút åí âáy täøng tråí näúi tiãúp âæåüc näúi âãún phêa âån vë cuía bäü âiãöu aïp. Maûng hai cæía tæång âæång cuía noï laì: ÅÍ nuït p: 2 I pq = (V p − aVq )Y1 / a V Y V Y (3.37) = p 1 − q 1 a 2 a ÅÍ nuït q: V I ' = (V − p )Y pq q a 1 (3.38) V .Y =V .Y − p 1 q 1 a Y1 Y1/a Ipq I’pq Ipq I’pq p q p q + + + + (1− a) (a −1) V Y Y Vp Y2 Y3 Vq p 1 2 1 2 Vq - a a 0 - - 0 0 - 0 (a) (b) Ipq aY’1 I’pq p q + + V (1-a)Y’1 a(a-1)Y’1 V p q - - 0 0 (c) Hçnh 3.16 : Så âäö tæång âæång cuía MBA khäng âäöng nháút ÅÍ så âäö hçnh 3.16a ta coï: Ipq = VpY2 + (Vp-Vq)Y1 (3.39) I’pq = VqY3 + (Vq-Vp)Y1 (3.40) Âäöng nháút (3.39) vaì (3.40) våïi (3.37) vaì (3.38) ta âæåüc: 2 Y1 + Y2 = Y1/a Y1 =Y1/a Y1 + Y3 = Y1 Trang 38
  38. GIAÍI TÊCH MAÛNG Y Y Y Y Giaíi ra ta âæåüc: Y = 1 ; Y = 1 − 1 ; Y = Y − 1 1 a 2 a 2 a 3 1 a Så âäö laì hçnh 3.16b. Chuï yï táút caí täøng dáùn trong så âäö tæång âæång laì haìm cuía tè säú voìng a. Vaì dáúu liãn håüp giæîa Y2 vaì Y 3 luän ngæåüc. Vê duû: Nãúu Y1 laì âiãûn khaïng a > 1; Y2 laì âiãûn khaïng; Y3 laì âiãûn dung; nãúu a < 1; Y2 laì dung khaïng vaì Y3 laì âiãûn khaïng. Så âäö hçnh 3.16c laì så âäö tæång âæång theo Y’1 khi a → 1 thç täøng tråí maûch reî → ∞ vaì täøng dáùn näúi tiãúp tiãún âãún Y1. 3.3.5. Maïy biãún aïp chuyãøn pha: Trong hãû thäúng âiãûn liãn kãút coï maûch voìng hay âæåìng dáy song song, cäng suáút tháût truyãön trãn âæåìng dáy âæåüc âiãöu khiãøn bàòng maïy biãún aïp chuyãøn pha, MBA coï tè säú voìng laì säú phæïc thç âäü låïn vaì goïc pha âiãûn aïp phuû thuäüc vaìo vë trê cuía bäü âiãöu aïp. Khi cuäün så cáúp vaì cuäün thæï cáúp âæåüc quáún trãn cuìng mäüt loîi thç chuïng coï cuìng pha vaì tè lãû phán aïp laì thæûc. Tuy nhiãn trong maïy biãún aïp tæì ngáùu chuyãøn pha cuäün så cáúp vaì cuäün thæï cáúp âæåüc bäú trê tuìy theo âäü lãûch pha âãø khi thay âäøi âáöu phán aïp thç goïc pha cuîng thay âäøi theo. Så âäö minh hoüa åí hçnh 3.17a, så âäö âån giaín hoïa chè coï mäüt pha cuía MBATN chuyãøn pha laì âáöy âuí âãø cho goün gaìng, dãù tháúy cuäün dáy thæï 2 cuía pha a bë laìm lãûch âiãûn aïp âi 900 so våïi pha a. ÅÍ så âäö vectå hçnh 3.17b khi âáöu phán aïp chaûy tæì R → A thç âiãûn aïp thay âäøi tæì zero âãún aa’ kãút quaí laì âiãûn aïp thæï cáúp thay âäøi tæì oa âãún oa’. a A a’ R a’ a A R b b’ A c c R b c’ (b) (a) Hçnh 3.17 : Maïy biãún aïp tæì ngáùu chuyãøn pha gäöm caí ba pha b. Så âäö âáúu dáy c. Så âäö vectå Nhæ hçnh 3.17 ta tháúy ràòng âiãûn aïp åí cuäün näúi tiãúp cao hån bçnh thæåìng cho pheïp cäng suáút låïn hån chaûy trãn âæåìng dáy nghéa laì: Thay vç làõp maïy biãún aïp thæåìng ta làõp maïy biãún aïp chuyãøn pha seî cho pheïp náng cao âiãûn aïp cáúp vaì âæåìng dáy mang taíi nhiãöu hån. 3.3.6. Maïy biãún aïp ba cuäün dáy. Maïy biãún aïp ba cuäün dáy sæí duûng trong nhæîng træåìng håüp cáön cung cáúp cho phuû taíi åí hai cáúp âiãûn aïp tæì mäüt cuäün dáy cung cáúp. Hai cuäün dáy naìy goüi laì cuäün thæï hai vaì cuäün thæï ba (hçnh 3.18). Cuäün thæï 3 ngoaìi muûc âêch trãn coìn coï muûc âêch khaïc, chàóng haûn âæåüc näúi vaìo tuû âãø chàûn soïng báûc 3. Trãn så âäö ta kyï hiãûu 11’ laì cuäün så cáúp (P), 22’ laì cuäün thæï 2 (S), 33’ laì cuäün thæï 3 (T). Trang 39
  39. GIAÍI TÊCH MAÛNG P S c d Hçnh 3.18 : Maïy biãún aïp ba cuäün dáy c’ d’ e T e’ Caïc tham säú âo âæåüc tæì thê nghiãûm laì: ZPS: Laì täøng tråí cuäün så cáúp khi ngàõn maûch cuäün 2 vaì håí maûch cuäün 3 ZPT: Laì täøng tråí cuäün så cáúp khi ngàõn maûch cuäün 3 vaì håí maûch cuäün 2 ’ Z ST: Laì täøng tråí cuäün thæï cáúp khi cuäün så cáúp håí maûch vaì cuäün 3 ngàõn maûch 2 ⎛ N ⎞ ’ ⎜ P ⎟ Z ST’ quy âäøi vãö phêa så cáúp laì: Z ST = ⎜ ⎟ .Z'ST ⎝ N S ⎠ Så âäö tæång âæång cuía MBA ba cuäün dáy hçnh 3.19 ZPS, ZPT, ZST, quy âäøi vãö phêa så cáúp. Theo caïch âo ngàõn maûch ta coï: ZPS = ZP + ZS (3.41) ZPT = ZP + ZT (3.42) ZST = ZS + ZT (3.43) Træì (3.42) âi (3.43) ta coï: ZPT - ZST = ZP - ZS (3.44) Tæì (3.41) vaì (3.44) ta coï: ZP =1/2 (ZPS + ZPT -ZST) (3.45) ZS =1/2 (ZPS + ZST -ZPT) (3.46) ZT =1/2 (ZST + ZPT - ZPS) (3.47) Z Z p S e ZT e’ Hçnh 3.19 : Så âäö tæång âæång cuía MBA ba cuäün dáy Boí qua täøng tråí maûch reî nãn nuït âáút q taïch råìi âáöu cæûc 1 näúi våïi nguäön cung cáúp, âáöu cæûc 2 vaì 3 näúi âãún taíi, nãúu cuäün 3 duìng âãø chàûn soïng haìi thç thaí näøi. 3.3.7. Phuû taíi: Trang 40
  40. GIAÍI TÊCH MAÛNG Chuïng ta nghiãn cæïu vãö phuû taíi liãn quan âãún traìo læu cäng suáút vaì äøn âënh. Âiãöu quan troüng laì phaíi biãút sæû thay âäøi cuía cäng suáút taïc duûng vaì cäng suáút phaín khaïng theo âiãûn aïp. ÅÍ caïc nuït âiãøn hçnh caïc loaûi taíi gäöm coï: - Âäüng cå khäng âäöng bäü 50÷70 % - Nhiãût vaì aïnh saïng 20÷30 % - Âäüng cå âäöng bäü 5÷10 % Âãø tênh chênh xaïc ngæåìi ta duìng âàûc tênh P-V vaì Q-V cuía tæìng loaûi taíi nhæng xæí lyï phán têch ráút phæïc taûp. Vç váûy ngæåìi ta âæa ra ba caïch giåïi thiãûu chênh vãö taíi duìng cho muûc âêch phán têch. - Giåïi thiãûu theo cäng suáút khäng âäøi: Caí læåüng MVA vaì MVAR âãöu bàòng hàòng säú thæåìng duìng âã ø nghiãn cæïu traìo læu cäng suáút. - Giåïi thiãûu theo doìng âiãûn khäng âäøi: Doìng âiãûn taíi I trong træåìng håüp naìy âæåüc tênh P − jQ I = |V | ∠(θ − Φ) V ÅÍ âoï V = |V|∠θ vaì φ = tan-1 (Q/P) laì goïc hãû säú cäng suáút, âäü låïn cuía I âæåüc giæî khäng âäøi. - Giåïi thiãûu theo täøng tråí khäng âäøi: Âáy laì caïch giåïi thiãûu thæåìng xuyãn khi nghiãn cæïu äøn âënh nãúu læåüng MVA vaì MVAR âaî biãút vaì khäng âäøi thç täøng tråí taíi tênh nhæ sau: V |V |2 Z = = I P − jQ Vaì täøng dáùn: 1 P − jQ Y = = Z |V |2 3.4. KÃÚT LUÁÛN: Trong chæång naìy ta xem xeït caïc pháön tæí cuía hãû thäúng âiãûn nhæ âæåìng dáy truyãön taíi, biãún aïp, phuû taíi. Mä hçnh hoïa chuïng trong hãû thäúng âiãûn våïi traûng thaïi äøn âënh âuí âãø nghiãn cæïu caïc traûng thaïi cå baín cuía hãû thäúng: Ngàõn maûch, phán bäú doìng chaíy cäng suáút, vaì äøn âënh quaï âäü. Trang 41
  41. GIAÍI TÊCH MAÛNG CHÆÅNG 4 CAÏC MA TRÁÛN MAÛNG VAÌ PHAÛM VI ÆÏNG DUÛNG 4.1. GIÅÏI THIÃÛU: Sæû trçnh baìy roî raìng chênh xaïc phuì håüp våïi mä hçnh toaïn hoüc laì bæåïc âáöu tiãn trong giaíi têch maûng âiãûn. Mä hçnh phaíi diãùn taí âæåüc âàûc âiãøm cuía caïc thaình pháön maûng âiãûn riãng biãût nhæ mäúi liãn hãû chi phäúi giæîa caïc thaình pháön trong maûng. Phæång trçnh ma tráûn maûng cung cáúp cho mä hçnh toaïn hoüc nhæîng thuáûn låüi trong viãûc giaíi bàòng maïy tênh säú. Caïc thaình pháön cuía ma tráûn maûng phuû thuäüc vaìo viãûc choün caïc biãún mäüt caïch âäüc láûp, coï thãø laì doìng hoàûc aïp. Vç leî âoï, caïc thaình pháön cuía ma tráûn maûng seî laì täøng tråí hay täøng dáùn. Âàûc âiãøm riãng cuía caïc thaình pháön maûng âiãûn coï thãø âæåüc trçnh baìy thuáûn låüi trong hçnh thæïc hãû thäúng ma tráûn gäúc. Ma tráûn diãùn taí âæåüc âàûc âiãøm tæång æïng cuía mäùi thaình pháön, khäng cung cáúp nhiãöu thäng tin liãn quan âãún kãút näúi maûng âiãûn. Noï laì cáön thiãút, vç váûy biãún âäøi hãû thäúng ma tráûn gäúc thaình ma tráûn maûng laì diãùn taí âæåüc caïc âàûc tênh quan hãû trong læåïi âiãûn. Hçnh thæïc cuía ma tráûn maûng âæåüc duìng trong phæång trçnh âàûc tênh phuû thuäüc vaìo cáúu truïc laìm chuáøn laì nuït hay voìng. Trong cáúu truïc nuït laìm chuáøn biãún âæåüc choün laì nuït aïp vaì nuït doìng. Trong cáúu truïc voìng laìm chuáøn biãún âæåüc choün laì voìng âiãûn aïp vaì voìng doìng âiãûn. Sæû taûo nãn ma tráûn maûng thêch håüp laì pháön viãûc tênh toaïn cuía chæång trçnh maïy tênh säú cho viãûc giaíi baìi toaïn hãû thäúng âiãûn. 4.2. GRAPHS. Âãø diãùn taí cáúu truïc hçnh hoüc cuía maûng âiãûn ta coï thãø thay thãú caïc thaình pháön cuía maûng âiãûn bàòng caïc âoaûn âæåìng thàóng âån khäng kãø âàûc âiãøm cuía caïc thaình pháön. Âæåìng thàóng phán âoaûn âæåüc goüi laì nhaïnh vaì pháön cuäúi cuía chuïng âæåüc goüi laì nuït. Nuït vaì nhaïnh näúi liãön våïi nhau nãúu nuït laì pháön cuäúi cuía mäùi nhaïnh. Nuït coï thãø âæåüc näúi våïi mäüt hay nhiãöu nhaïnh. Graph cho tháúy quan hãû hçnh hoüc näúi liãön giæîa caïc nhaïnh cuía maûng âiãûn. Táûp håüp con cuía caïc graph laì caïc nhaïnh. Graph âæåüc goüi laì liãn thäng nãúu vaì chè nãúu coï âæåìng näúi giæîa mäùi càûp âiãøm våïi nhau. Mäùi nhaïnh cuía graph liãn thäng âæåüc áún âënh hæåïng thç noï seî âënh theo mäüt hæåïng nháút âënh. Sæû biãøu diãùn cuía hãû thäúng âiãûn vaì hæåïng tæång æïng cuía graph trçnh baìy trong hçnh 4.1. Cáy laì mäüt graph liãn thäng chæïa táút caí caïc nuït cuía graph nhæng khäng taûo thaình mäüt voìng kên. Caïc thaình pháön cuía cáy âæåüc goüi laì nhaïnh cáy noï laì táûp håüp con caïc nhaïnh cuía graph liãn thäng âaî choün træåïc. Säú nhaïnh cáy b qui âënh cho mäùi cáy laì: b = n - 1 (4.1) Våïi: n laì säú nuït cuía graph Trang 42
  42. GIAÍI TÊCH MAÛNG G G G (a) Hçnh 4.1 : Mä taí hãû thäúng âiãûn. 2 (a) Så âäö mäüt pha. 1 4 (b) Så âäö thæï tæû thuáûn. (c) Graph âënh hæåïng. 3 0 (b) 7 1 2 4 6 5 3 4 2 3 (c) 1 0 Nhaïnh cuía graph liãn thäng khäng chæïa trong cáy âæåüc goüi laì nhaïnh buì cáy, táûp håüp caïc nhaïnh naìy khäng nháút thiãút phaíi liãn thäng våïi nhau âæåüc goüi laì buì cáy. Buì cáy laì pháön buì cuía cáy. Säú nhaïnh buì cáy l cuía graph liãn thäng coï e nhaïnh laì: l = e - b Tæì phæång trçnh (4.1) ta coï l = e - n + 1 (4.2) Cáy vaì buì cáy tæång æïng cuía graph cho trong hçnh 4.1c âæåüc trçnh baìy trong hçnh 4.2 7 1 2 4 645 3 e = 7 2 n = 5 Nhaïnh cáy 1 3 b = 4 Nhaïnh buì cáy l = 3 0 Hçnh 4.2 : Cáy vaì buì cáy cuía graph liãn thäng âënh hæåïng Nãúu nhaïnh buì cáy âæåüc cäüng thãm vaìo cáy thç kãút quaí graph bao gäöm mäüt âæåìng kên âæåüc goüi laì voìng. Mäùi nhaïnh buì cáy âæåüc cäüng thãm vaìo seî taûo thaình mäüt hay nhiãöu voìng. Voìng chè gäöm coï mäüt nhaïnh buì cáy âäüc láûp thç goüi laì voìng cå baín. Båíi váûy, säú Trang 43
  43. GIAÍI TÊCH MAÛNG voìng cå baín âuïng bàòng säú nhaïnh buì cáy cho trong phæång trçnh (4.2). Sæû âënh hæåïng cuía voìng cå baín âæåüc choün giäúng nhæ chiãöu cuía nhaïnh buì cáy. Voìng cå baín cuía graph cho trong hçnh 4.2 âæåüc trçnh baìy trong hçnh 4.3. 7 1 2 3 4 6 5 4 F E G 2 1 3 0 Hçnh 4.3 : Voìng cå baín âënh hæåïng theo graph liãn thäng Vãút càõt laì táûp håüp cuía caïc nhaïnh, nãúu boí âi hoàûc chia graph liãn thäng thaình hai graph con liãn thäng. Nhoïm vãút càõt coï thãø choün âäüc láûp duy nháút nãúu mäùi vãút càõt chè bao gäöm mäüt nhaïnh cáy. Vãút càõt âäüc láûp nhæ váûy goüi laì vãút càõt cå baín. Säú vãút càõt cå baín âuïng bàòng säú nhaïnh cáy. Sæû âënh hæåïng cuía vãút càõt cå baín âæåüc choün giäúng nhæ hæåïng cuía nhaïnh cáy. Vãút càõt cå baín cuía graph cho trong hçnh 4.2 âæåüc trçnh baìy trong hçnh 4.4 7 2 D 6 5 3 4 4 1 B 2 A C 1 3 0 Hçnh 4.4 : Vãút càõt cå baín âënh hæåïng theo graph liãn thäng 4.3. MA TRÁÛN THÃM VAÌO. 4.3.1. Ma tráûn thãm vaìo nhaïnh - nuït Á. Sæû liãn hãû giæîa nhaïnh vaì nuït trong graph liãn thäng trçnh baìy båíi ma tráûn thãm vaìo nhaïnh nuït. Caïc thaình pháön cuía ma tráûn âæåüc trçnh baìy nhæ sau: aëj = 1 : Nãúu nhaïnh thæï i vaì nuït thæï j coï chiãöu hæåïng tæì nhaïnh i vaìo nuït j aëj = -1: Nãúu nhaïnh thæï i vaì nuït thæï j coï chiãöu hæåïng tæì nhaïnh i ra khoíi nuït j aëj = 0 : Nãúu nhaïnh thæï i vaì nuït thæï j khäng coï mäúi liãn hãû våïi nhau. Kêch thæåïc cuía ma tráûn laì e x n, våïi e laì säú nhaïnh vaì n laì säú nuït cuía graph. Ma tráûn thãm vaìo nhaïnh nuït cho trong graph hçnh 4.2 trçnh baìy nhæ trãn. Våïi: Trang 44
  44. GIAÍI TÊCH MAÛNG 4 ∑ ai j = 0 i =1, 2, e j=0 n 0 1 2 3 4 e 1 1 -1 2 1 -1 3 1 -1 Â = 4 -1 1 5 1 -1 6 1 -1 7 1 -1 Caïc cäüt cuía ma tráûn Á laì phuû thuäüc tuyãún tênh. Vç váûy haûng cuía Á < n. 4.3.2. Ma tráûn thãm vaìo nuït A. Caïc nuït cuía graph liãn thäng coï thãø choün laìm nuït qui chiãúu. Nuït qui chiãúu coï thãø thay âäøi, noï âæåüc xem nhæ mäüt nuït trong graph coï thãø cán nhàõc khi áún âënh cuû thãø mäüt nuït naìo âoï laìm nuït qui chiãúu. Ma tráûn thu âæåüc tæì ma tráûn Á boí âi cäüt tæång æïng våïi nuït choün laìm nuït qui chiãúu laì ma tráûn nhaïnh - nuït A, noï seî âæåüc goüi laì ma tráûn nuït. Kêch thæåïc cuía ma tráûn laì e x (n-1) vaì haûng laì n-1 = b. Våïi: b laì säú nhaïnh cáy cuía graph. Choün nuït 0 laìm nuït qui chiãúu thãø hiãûn trãn graph trong hçnh 4.2. nuït e 1 2 3 4 1 -1 2 -1 3 -1 A = 4 -1 1 1 -1 5 6 1 -1 7 1 -1 Ma tráûn A laì hçnh chæî nháût vaì laì duy nháút. Nãúu haìng cuía A sàõp xãúp theo mäüt cáy riãng biãût thç ma tráûn trãn coï thãø phán chia thaình caïc ma tráûn con Ab coï kêch thæåïc b x (n-1) vaì At coï kêch thæåïc laì l x (n-1). Säú haìng cuía ma tráûn Ab tæång æïng våïi säú nhaïnh cáy vaì säú haìng cuía ma tráûn At tæång æïng våïi säú nhaïnh buì cáy. Ma tráûn phán chia cuía graph trãn hçnh 4.2 âæåüc trçnh baìy nhæ sau: Trang 45
  45. GIAÍI TÊCH MAÛNG nutï nutï Caïc nutï e 1 2 3 4 e 1 -1 2 -1 ï nh cáy Ab -1 ha 3 N A = -1 1 = 4 1 -1 5 ì cáy 6 1 -1 At ï nh bu 7 1 -1 ha N Ab laì ma tráûn vuäng khäng duy nháút våïi haûng (n -1). 4.3.3. Ma tráûn hæåïng âæåìng - nhaïnh cáy K: Hæåïng cuía caïc nhaïnh cáy âãún caïc âæåìng trong 1 cáy âæåüc trçnh baìy bàòng ma tráûn hæåïng âæåìng - nhaïnh cáy. Våïi 1 âæåìng âæåüc âënh hæåïng tæì 1 nuït qui chiãúu. Caïc pháön tæí cuía ma tráûn naìy laì: kij = 1: Nãúu nhaïnh cáy i nàòm trong âæåìng tæì nuït j âãún nuït qui chiãúu vaì âæåüc âënh hæåïng cuìng hæåïng. kij = -1: Nãúu nhaïnh cáy i nàòm trong âæåìng tæì nuït j âãún nuït qui chiãúu nhæng âæåüc âënh hæåïng ngæåüc hæåïng. kij = 0: Nãúu nhaïnh cáy i khäng nàòm trong âæåìng tæì nuït j âãún nuït qui chiãúu. Våïi nuït 0 laì nuït qui chiãúu ma tráûn hæåïng âæåìng - nhaïnh cáy liãn kãút våïi cáy âæåüc trçnh baìy åí hçnh 4.2 coï daûng dæåïi âáy. âæåìng Nhaïnh cáy 1 2 3 4 1 -1 2 -1 K = 3 -1 -1 -1 4 Âáy laì ma tráûn vuäng khäng duy nháút våïi cáúp laì (n-1). Ma tráûn hæåïng - âæåìng nhaïnh cáy liãn hãû nhaïnh cáy våïi caïc âæåìng nhaïnh cáy näúi âãún nuït qui chiãúu vaì ma tráûn Ab liãn kãút caïc nhaïnh cáy våïi caïc nuït. Vç váûy coï tè lãû tæång æïng 1:1 giæîa caïc âæåìng vaì caïc nuït. t Ab.K = 1 (4.3) t -1 Do âoï: K = Ab (4.4) 4.3.4. Ma tráûn vãút càõt cå baín B. Liãn hãû giæîa nhaïnh våïi vãút càõt cå baín cuía graph liãn thäng âæåüc thãø hiãûn trong ma tráûn vãút càõt cå baín B. Caïc thaình pháön cuía ma tráûn laì. Trang 46
  46. GIAÍI TÊCH MAÛNG bëj = 1 : Nãúu nhaïnh thæï i vaì hæåïng cuìng chiãöu våïi vãút càõt cå baín thæï j bëj = -1 : Nãúu nhaïnh thæï i vaì hæåïng ngæåüc chiãöu våïi vãút càõt cå baín thæï j bëj = 0 : Nãúu nhaïnh thæï i khäng liãn quan våïi vãút càõt thæï j Ma tráûn vãút càõt cå baín coï kêch thæåïc laì e x b cuía graph cho trãn hçnh 4.4 laì: b Vãút càõt cå baín e A B C D 1 1 2 1 3 1 B = 4 1 -1 1 5 1 6 1 1 7 11 Ma tráûn B coï thãø phán chia thaình caïc ma tráûn con Ub vaì Bt. Säú haìng cuía ma tráûn Ub tæång æïng våïi säú nhaïnh cáy vaì säú haìng cuía ma tráûn Bt tæång æïng våïi säú nhaïnh buì cáy. Ma tráûn phán chia âæåüc biãøu diãùn nhæ sau: Vãút càõt cå baín b b Vãút càõt cå baín e A B C D e 1 1 2 1 ï nh cáy Ub ha 3 1 N B = 4 1 = 5 -1 1 1 ì cáy 6 -1 1 Bt ï nh bu 11 7 ha N Ma tráûn âån vë Ub cho ta tháúy quan hãû tæång æïng cuía mäüt nhaïnh cáy våïi mäüt vãút càõt cå baín Ma tráûn con Bt coï thãø thu âæåüc tæì ma tráûn nuït A. Liãn hãû giæîa nhaïnh buì cáy våïi nuït cho tháúy båíi ma tráûn con At vaì giæîa nhaïnh cáy våïi nuït laì ma tráûn con Ab. Tæì âáy Trang 47
  47. GIAÍI TÊCH MAÛNG tæång æïng quan hãû cuía mäüt nhaïnh cáy våïi mäüt vãút càõt cå baín, Bt.Ab cho tháúy quan hãû giæîa caïc nhaïnh buì cáy våïi caïc nuït nhæ sau: Bt.Ab = At Vç váûy -1 Bt = At .Ab Theo phæång trçnh (4.4) ta coï -1 t Ab = K Vç váûy ta coï t Bt = At .K (4.5) 4.3.5. Ma tráûn vãút càõt tàng thãm Bˆ . Vãút càõt giaí thiãút âæåüc goüi laì vãút càõt raìng buäüc coï thãø âæa vaìo sau tæìng bæåïc âãø säú vãút càõt âuïng bàòng säú nhaïnh. Mäùi vãút càõt raìng buäüc chè gäöm mäüt nhaïnh buì cáy cuía graph liãn thäng. Vãút càõt raìng buäüc cuía graph cho trãn hçnh 4.4 âæåüc trçnh baìy trong hçnh 4.5. 7 G F E 2 D 4 1 6 5 3 4 B 2 A C Vãút càõt cå baín 1 3 Vãút càõt raìng buäüc 0 Hçnh 4.5 : Vãút càõt cå baín vaì raìng buäüc âënh hæåïng theo graph liãn thäng Ma tráûn vãút càõt tàng thãm coï hçnh thæïc biãøu diãùn nhæ ma tráûn vãút càõt cå baín cäüng thãm säú cäüt cuía vãút càõt raìng buäüc. Vãút càõt raìng buäüc âæåüc âënh hæåïng phuû thuäüc vaìo hæåïng cuía nhaïnh buì cáy. Ma tráûn vãút càõt tàng thãm cuía graph trçnh baìy trãn hçnh 4.5 laì ma tráûn Bˆ nhæ sau: Vãút càõt cå baínVãút càõt giaí taûo e e A B C D EFG 1 1 2 1 3 1 Bˆ = 4 1 5 -11 1 1 6 -1 1 1 7 -1 1 1 Trang 48
  48. GIAÍI TÊCH MAÛNG Bˆ : Laì ma tráûn vuäng coï kêch thæåïc e x e vaì khäng duy nháút. Ma tráûn Bˆ coï thãø phán chia nhæ sau: Vãút càõt cå baínVãút càõt giaí taûo Vãút càõt cå Vãút càõt giaí e e baín taûo e A B C D EFG e 1 1 2 1 U 0 ï nh cáy b 3 1 Nha B ˆ = 4 1 = 5 -1 1 1 1 ì cáy B Ut 6 -1 1 1 ï nh bu t 7 -1 1 1 Nha 4.3.6. Ma tráûn thãm vaìo voìng cå baín C. Taïc âäüng cuía nhaïnh cáy våïi voìng cå baín cuía graph liãn thäng thãø hiãûn båíi ma tráûn voìng cå baín. Thaình pháön cuía ma tráûn laì: cëj = 1 : Nãúu nhaïnh cáy thæï i vaì hæåïng cuìng chiãöu våïi voìng cå baín thæï j cëj = -1: Nãúu nhaïnh cáy thæï i vaì hæåïng ngæåüc chiãöu våïi voìng cå baín thæï j cëj = 0 : Nãúu nhaïnh cáy thæï i khäng liãn quan våïi voìng cå baín thæï j Ma tráûn voìng cå baín coï kêch thæåïc e x l theo graph cho trãn hçnh 4.3 nhæ sau: Voìng cå baín l e E F G 1 1 -1 2 1 3 -1 C = -1 4 5 1 1 6 7 1 Ma tráûn C coï thãø phán chia thaình caïc ma tráûn con Cb vaì Ut. Säú haìng cuía ma tráûn Cb tæång æïng våïi säú nhaïnh cáy vaì säú haìng cuía ma tráûn Ut tæång æïng våïi säú nhaïnh buì cáy. Ma tráûn phán chia nhæ sau: Trang 49
  49. GIAÍI TÊCH MAÛNG Voìng cå baín l l Voìng cå baín e E F G e 1 1 2 1 -1 ï nh cáy C b 3 -1 Nha C = 4 -1 = 5 1 ì cáy 6 1 Ut ï nh bu 7 1 ha N Ma tráûn âån vë Ut cho tháúy mäüt nhaïnh buì cáy tæång æïng våïi mäüt voìng cå baín. 4.3.6. Ma tráûn säú voìng tàng thãm Cˆ . Säú voìng cå baín trong graph liãn thäng bàòng säú nhaïnh buì cáy. Âãø coï täøng säú voìng bàòng säú nhaïnh, thãm vaìo (e-l) voìng, tæång æïng våïi b nhaïnh cáy, goüi laì voìng håí. Voìng håí âæåüc veî bãn caïc nuït näúi båíi nhaïnh cáy. Voìng håí cuía graph cho trãn hçnh 4.3 âæåüc trçnh baìy trong hçnh 4.6. Hæåïng cuía voìng håí âæåüc xaïc âënh theo nhæ hæåïng cuía nhaïnh cáy. 7 2 3 D 1 6 5 4 4 F E G A 2 C 1 3 B Voìng cå baín Voìng håí 0 Hçnh 4.6 : Voìng cå baín vaì voìng håí âënh hæåïng theo graph liãn thäng Ma tráûn voìng tàng thãm coï hçnh thæïc nàòm bãn caûnh ma tráûn voìng cå baín, caïc cäüt cuía noï biãøu diãùn mäúi quan hãû giæîa caïc nhaïnh våïi voìng håí. Ma tráûn cuía graph trçnh baìy trong hçnh 4.6 âæåüc biãøu diãùn dæåïi âáy. Cˆ : Laì ma tráûn vuäng, kêch thæåïc e x e vaì khäng duy nháút. Trang 50
  50. GIAÍI TÊCH MAÛNG Voìng håí Voìng cå baín e A B C D EFG e 1 1 1 2 1 1 -1 1 3 1 -1 -1 Cˆ = 4 1 -1 5 1 6 1 7 1 Ma tráûn Cˆ coï thãø phán chia nhæ sau: Voìng håí Voìng cå baín e e Voìng cå baín e A B C D EFG e Voìng håí 1 1 1 2 1 1 -1 1 Ub Cb ï nh cáy 3 1 -1 -1 Nha Cˆ = 4 1 -1 = 5 1 ì cáy 0 Ut 6 1 ï nh bu 7 1 Nha 4.4. MAÛNG ÂIÃÛN GÄÚC. Thaình pháön cuía maûng âiãûn laì täøng tråí vaì täøng dáùn âæåüc trçnh baìy trong hçnh 4.7. Âàûc tênh cuía caïc thaình pháön coï thãø biãøu diãùn trong mäùi cäng thæïc. Biãún vaì tham säú laì: vpq: Laì hiãûu âiãûn thãú cuía nhaïnh p-q epq: Laì nguäön aïp màõc näúi tiãúp våïi nhaïnh p-q ipq: Laì doìng âiãûn chaûy trong nhaïnh p-q jpq: Laì nguäön doìng màõc song song våïi nhaïnh p-q zpq: Laì täøng tråí riãng cuía nhaïnh p-q ypq: Laì täøng dáùn riãng cuía nhaïnh p-q Mäùi mäüt nhaïnh coï hai biãún vpq vaì ipq. Trong traûng thaïi äøn âënh caïc biãún vaì tham säú cuía nhaïnh zpq vaì ypq laì mäüt säú thæûc âäúi våïi doìng âiãûn mäüt chiãöu vaì laì mäüt säú phæïc âäúi våïi doìng âiãûn xoay chiãöu. Trang 51
  51. GIAÍI TÊCH MAÛNG CHÆÅNG 5 CAÏC THUÁÛT TOAÏN DUÌNG CHO VIÃÛC THAÌNH LÁÛP NHÆÎNG MA TRÁÛN MAÛNG 5.1. GIÅÏI THIÃÛU. Nhæîng phæång phaïp trçnh baìy trong caïc muûc trãn âoìi hoíi mäüt sæû chuyãøn âäøi vaì âaío ngæåüc nhæîng ma tráûn âãø coï âæåüc nhæîng ma tráûn maûng. Mäüt phæång phaïp thay thãú dæûa trãn mäüt thuáût toaïn coï thãø âæåüc duìng âãø thaình láûp træûc tiãúp ma tráûn täøng tråí nuït tæì nhæîng thäng säú hãû thäúng vaì säú nuït âaî âæåüc maî hoaï. Nguyãn tàõc cuía thuáût toaïn laì thaình láûp ma tráûn täøng tråí nuït theo tæìng bæåïc, mä phoíng cáúu truïc cuía maûng bàòng caïch thãm vaìo tæìng nhaïnh mäüt. Mäüt ma tráûn âæåüc thaình láûp cho maûng riãng âæåüc biãøu thë sau khi mäùi pháön tæí âæåüc näúi våïi maûng. Ngoaìi ra, mäüt thuáût toaïn âæåüc biãøu thë âãø chuyãøn hoïa ma tráûn täøng dáùn voìng tæì ma tráûn täøng tråí nuït âaî âënh. Caïc phæång trçnh maûng: INuït = YNuït .ENuït ENuït = ZNuït .INuït t YNuït = A .y. A -1 ZNuït = (YNuït) 5.2. XAÏC ÂËNH MA TRÁÛN YNUÏT BÀÒNG PHÆÅNG PHAÏP TRÆÛC TIÃÚP. Goüi Ei, Ej, Ek laì âiãûn aïp taûi caïc nuït khi båm mäüt doìng vaìo nuït i. Ei yij Ii Ej i j y y yiik iij jji yik Yii ykki Ek yii k Hçnh 5.1 : Så âäö mä taí maûng âiãûn taûi 1 nuït Ij = 0; ∀ j ≠ i I i = ∑(yiij .Ei ) + ∑(Ei − E j )yij j≠i j≠i = ∑ (yiij .Ei ) + ∑ yij Ei − ∑ yij E j j≠i ji≠≠i j = Ei (∑∑yiij + yij ) + ∑ E j ( − yij ) ji≠≠i j j≠i = Ei (yii + ∑ yij ).∑ E j ( − yij ) j≠i j≠i Trang 67
  52. GIAÍI TÊCH MAÛNG Ta coï: Yii = ∑∑yiij + yij = yii + ∑ yij Yij = −yij Do âoï: I i = Yii .Ei + ∑Yij E j = ∑Yij E j j≠i Váûy : YNuït laì ma tráûn coï caïc thaình pháön trãn âæåìng cheïo chênh laì Yii thaình pháön ngoaìi âæåìng cheïo laì Yij. Chuï yï: Nãúu coï tæång häø thç chuïng ta phaíi tênh thãm caïc thaình pháön tæång häù. Yii = ∑∑yiij + yij + ∑ yij, rs = yii + ∑ yij + ∑ yij, rs Yij = −(yij, ij + ∑ yij,rs ) 5.3. THUÁÛT TOAÏN ÂÃØ THAÌNH LÁÛP MA TRÁÛN TÄØNG TRÅÍ NUÏT: 5.3.1. Phæång trçnh biãøu diãùn cuía mäüt maûng riãng. Giaí thiãút ràòng ma tráûn täøng tråí nuït ZNuït âæåüc biãút tæì mäüt maûng riãng m nuït vaì mäüt nuït qui chiãúu 0. Phæång trçnh biãøu diãùn cuía maûng naìy cho trong hçnh (5.2) laì: 1 I1 2 I 2 E Maûng 1 riãng E2 I m Hçnh 5.2 : Sæû biãøu diãùn cuía mäüt m maûng riãng Em Hãû qui chiãúu 0 ρ ρ E Nuït = Z Nuït .I Nuït ρ Trong âoï: ENuït = m x 1 vectå cuía caïc âiãûn aïp nuït âæåüc âo âäúi våïi nuït qui chiãúu. ρ I Nuït = m x 1 vectå cuía caïc doìng âiãûn âæåüc båm vaìo nuït khi mäüt nhaïnh p - q âæåüc thãm vaìo maûng riãng, noï coï thãø laì mäüt nhaïnh cáy hoàûc mäüt nhaïnh buì cáy nhæ cho åí hçnh (5.3) (a) Sæû thãm vaìo cuía mäüt nhaïnh cáy (b) Sæû thãm vaìo cuía mäüt nhaïnh buì cáy - Nãúu p - q laì mäüt nhaïnh cáy, mäüt nuït måïi q âæåüc thãm vaìo maûng riãng vaì taûo thaình ma tráûn täøng tråí nuït kêch thæåïc laì (m + 1) x (m + 1). Caïc vectå âiãûn aïp måïi vaì doìng âiãûn måïi coï kêch thæåïc laì (m + 1) x 1. Âãø xaïc âënh ma tráûn täøng tråí nuït måïi yãu cáöu chè tênh caïc pháön tæí trong haìng vaì cäüt måïi. Trang 68
  53. GIAÍI TÊCH MAÛNG - Nãúu p - q laì mäüt nhaïnh buì cáy, khäng coï nuït måïi âæåüc thãm vaìo maûng riãng. Trong træåìng håüp naìy, kêch thæåïc cuía caïc ma tráûn trong phæång trçnh biãøu diãùn âæåüc giæî nguyãn, nhæng táút caí caïc pháön tæí cuía ma tráûn täøng tråí nuït phaíi âæåüc tênh laûi âãø bao haìm aính hæåíng cuía nhaïnh buì cáy âæåüc thãm vaìo. (a) 1 (b) 1 2 2 Μ q Μ p p Maûng Maûng Nhaïnh p-q âiãûn m Nhaïnh p-q âiãûn Μ q Μ Μ m 0 0 Hãû qui chiãúu Hãû qui chiãúu Hçnh 5.3 : Sæû biãøu diãùn cuía mäüt maûng riãng våïi mäüt nhaïnh âæåüc thãm vaìo 5.3.2. Sæû thãm vaìo cuía mäüt nhaïnh cáy. Giaí sæí ma tráûn ZNuït ban âáöu coï kêch thæåïc m x m, sau khi thãm 1 nhaïnh cáy kêch thæåïc m → m +1. Giaí sæí ta thãm vaìo 1 nuït q ta coï phæång trçnh biãøu diãùn cuía maûng riãng våïi mäüt nhaïnh cáy p - q âæåüc thãm vaìo laì nhæ (5.1). Âiãöu âoï coï nghéa laì maûng täön taûi caïc nhaïnh bë âäüng caí hai phêa. 1 Nhaïnh p-q 2 p vpq q Μ Maûng Μ i Hçnh 5.4 : Doìng âiãûn âæåüc båm âiãûn E p vaìo vaì sæû tênh toaïn caïc âiãûn aïp Μ Eq Ii = 1 nuït cuía Zqi Μ 0 Hãû qui chiãúu Do âoï: Zqi = Ziq, våïi i = 1, 2, , m vaì coï liãn quan âãún caïc nuït cuía maûng riãng, nhæng khäng kãø âãún nuït måïi q. Nhaïnh cáy p - q thãm vaìo âæåüc xem laì coï häù caím våïi mäüt hoàûc nhiãöu nhaïnh cuía maûng âiãûn. Trang 69
  54. GIAÍI TÊCH MAÛNG ⎡ E1 ⎤ ⎡Z11 * * Z1m Z1q ⎤ ⎡ I1 ⎤ ⎢E ⎥ ⎢Z * * Z Z ⎥ ⎢ I ⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎢ 21 2m 2q ⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎢ * ⎥ ⎢ * * * * * ⎥ ⎢ * ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ (5.1) ⎢E p ⎥ ⎢Z p1 * * Z pm Z pq ⎥ ⎢I p ⎥ ⎢E ⎥ ⎢Z * * Z Z ⎥ ⎢I ⎥ ⎢ m ⎥ ⎢ m1 mm mq ⎥ ⎢ m ⎥ ⎣⎢Eq ⎦⎥ ⎣⎢Z q1 * * Z qm Z qq ⎦⎥ ⎣⎢ I q ⎦⎥ Caïc pháön tæí Zqi coï thãø âæåüc xaïc âënh bàòng caïch båm vaìo mäüt doìng âiãûn taûi nuït i vaì tênh âiãûn aïp taûi nuït q våïi âiãøm qui chiãúu nhæ trçnh baìy åí hçnh (5.4). Giaí sæí ta båm doìng I = 1A vaìo nuït i (Ij = 0 ∀ j ≠ i) vç táút caí caïc doìng âiãûn taûi caïc nuït khaïc bàòng 0, tæì phæång trçnh (5.1) suy ra: Eq = Zqi .Ii = Zqi Tæång tæû nhæ trãn ta båm vaìo caïc nuït coìn laûi E1 = Z1i .Ii E2 = Z2i .Ii Ep = Zpi .Ii (5.2) Em = Zmi .Ii Eq = Zqi .Ii Cho Ii = 1 trong phæång trçnh (5.2), Zqi coï thãø thu âæåüc træûc tiãúp bàòng caïch tênh Eq Caïc âiãûn aïp nuït liãn kãút våïi nhaïnh thãm vaìo vaì âiãûn aïp qua nhaïnh âæåüc thãø hiãûn båíi: Eq = Ep - vpq (5.3) Caïc doìng âiãûn trong caïc nhaïnh cuía maûng trong hçnh (5.4) âæåüc diãùn taí trong caïc säú haûng cuía caïc täøng dáùn ban âáöu vaì caïc âiãûn aïp qua caïc nhaïnh laì: ipq ypq,pq ypq,rs vpq = (5.4) irs yrs,pq yrs,rs V rs Trong phæång trçnh (5.4), pq laì mäüt chè säú cäú âënh vaì liãn quan våïi nhaïnh thãm vaìo, vaì rs laì chè säú biãún âäøi, liãn quan âãún caïc nhaïnh khaïc. Trong âoï: - ipq vaì vpq: Laì doìng âiãûn vaì âiãûn aïp chaûy qua tæång æïng våïi nhaïnh thãm vaìo. - irs vaì vrs: Laì caïc vectå doìng âiãûn vaì âiãûn aïp trong caïc nhaïnh cuía maûng riãng. - ypq,pq: Laì täøng dáùn riãng cuía nhaïnh thãm vaìo. - ypq,rs : Laì vectå cuía caïc täøng dáùn tæång häø giæîa nhaïnh thãm vaìo p - q vaì caïc nhaïnh r - s cuía maûng riãng. - yrs,pq : Laì vectå chuyãøn vë cuía ypq,rs - [yrs,rs]: Laì ma tráûn täøng dáùn ban âáöu cuía maûng riãng. Doìng âiãûn chaûy trong nhaïnh cáy thãm vaìo cho trong hçnh 5.4 laì: Trang 70
  55. GIAÍI TÊCH MAÛNG ipq = 0 (5.5) Tuy nhiãn, vpq khäng bàòng 0 vç nhaïnh cáy thãm vaìo häù caím våïi mäüt hoàûc nhiãöu nhaïnh cuía maûng riãng. Ngoaìi ra: ρ ρ ρ vrs = Er − Es (5.6) Trong âoï: Er vaì Es laì caïc suáút âiãûn âäüng taûi caïc nuït trong maûng riãng. Tæì phæång trçnh (5.5) ta coï: ρ ρ i pq = y pq, pq .v pq + ∑ y pq,rs .vrs = 0 Do âoï: 1 ρ ρ v pq = − ∑ y pq,rs .vrs y pq, pq ρ Thãú v rs tæì phæång trçnh (5.6) ta coï: 1 ρ ρ ρ v pq = − ∑ y pq,rs (Er − Es ) (5.7) y pq, pq Thãú vpq vaìo trong phæång trçnh (5.3) tæì (5.7) ta coï: 1 ρ ρ ρ Eq = E p + ∑ y pq,rs (Er − Es ) y pq, pq ρ ρ Cuäúi cuìng, thãú Ep, Eq, Er vaì Es tæì phæång trçnh (5.2) våïi Ii = 1, ta coï: 1 ρ ρ ρ Z qi = Z pi + ∑ y pq,rs (Z ri − Z rs ) i = 1, 2, m i ≠ j (5.8) y pq, pq Pháön tæí Zqq coï thãø âæåüc tênh bàòng caïch båm mäüt doìng âiãûn taûi nuït q vaì tênh âiãûn aïp taûi nuït âoï. Giaí sæí ta båm doìng I = 1A vaìo nuït q (Ij = 0 ∀ j ≠ q) vç táút caí caïc doìng âiãûn taûi caïc nuït khaïc bàòng 0, tæì phæång trçnh (5.1) ta suy ra. Eq = Zqq .Iq = Zqq Tæång tæû nhæ trãn ta båm vaìo caïc nuït coìn laûi E1 = Z1q.Iq Μ Ep = Zpq.Iq (5.9) Μ Em = Zmq.Iq Trong phæång trçnh (5.9), Zqq coï thãø thu âæåüc træûc tiãúp bàòng caïch tênh Eq. Tæång tæû ta coï âiãûn aïp giæîa 2 nuït p vaì q laì: Eq = Ep - vpq Âiãûn aïp taûi caïc nuït p vaì q âæåüc liãn kãút våïi nhau båíi phæång trçnh (5.3) vaì doìng âiãûn chaûy qua nhaïnh thãm vaìo laì: ipq = -Iq = -1 (5.10) Caïc âiãûn aïp qua caïc nhaïnh cuía maûng riãng âæåüc cho båíi phæång trçnh (5.6) vaì caïc doìng âiãûn chaûy qua caïc nhaïnh âoï cho båíi phæång trçnh (5.4) vaì (5.10) ta coï: ρ ρ i pq = y pq, pq .v pq + ∑ y pq,rs .vrs = −1 Do âoï: Trang 71
  56. GIAÍI TÊCH MAÛNG ρ ρ −1− ∑ y pq,rs .vrs v pq = y pq, pq ρ Thãú v rs tæì phæång trçnh (5.6) ta coï: ρ ρ ρ −1− ∑ y pq,rs .(Er − Es ) v pq = (5.11) y pq, pq Thãú v vaìo trong phæång trçnh (5.11) tæì (5.3) ta coï: pq ρ ρ ρ 1+ ∑ y pq,rs .(Er − Es ) Eq = E p + y pq, pq ρ ρ Cuäúi cuìng, thãú Ep, Eq, Er vaì Es tæì phæång trçnh (5.9) våïi Iq = 1, ta coï: ρ ρ ρ 1+ ∑ y pq,rs (Z rq − Z sq ) Z qq= Z pq + (5.12) y pq, pq Nãúu khäng coï häù caím giæîa nhaïnh cáy thãm vaìo vaì caïc nhaïnh khaïc cuía maûng riãng, thç caïc pháön tæí cuía ypq,rs bàòng 0. Vaì ta coï: 1 Z pq, pq = y pq, pq Tæì phæång trçnh (5.8), ta suy ra ràòng: Zqi = Zpi , i = 1, 2, m i ≠ j Vaì tæì phæång trçnh (5.12), ta coï: Zqq = Zpq + Zpq,pq Hån næîa, nãúu nhæ khäng coï häù caím vaì p laì nuït qui chiãúu Zpi = 0, i = 1, 2, m i ≠ q Nãn: Zqi = 0, i = 1, 2, m i ≠ q Tæång tæû: Zpq = 0 Vaì vç váûy: Zqq = Zpq,pq 5.3.3. Sæû thãm vaìo cuía mäüt nhaïnh buì cáy. Nãúu nhaïnh p - q thãm vaìo laì mäüt nhaïnh buì cáy, phæång phaïp âãø tênh caïc pháön tæí cuía ma tráûn täøng tråí nuït laì màõc näúi tiãúp våïi nhaïnh thãm vaìo mäüt suáút âiãûn âäüng el nhæ cho trong hçnh 5.5. Viãûc naìy taûo thaình mäüt nuït giaí l maì nuït âoï seî âæåüc loaûi træì ra sau âoï. Suáút âiãûn âäüng el âæåüc choün nhæ thãú naìo maì doìng âiãûn chaûy qua nhaïnh buì cáy thãm vaìo bàòng 0. l p e l q ipq =0 E Ypq,pq Eq p Giaí sæí ma tráûn ZNuït ban âáöu coï kêch thæåïc m x m, khi ta thãm nhaïnh buì cáy vaì taûo nuït giaí l thç ma tráûn ZNuït coï kêch thæåïc laì (m+1) x (m+1). Trang 72
  57. GIAÍI TÊCH MAÛNG 1 2 Μ i Μ p I = 1 Maûng âiãûn i ipq l E p Hçnh 5.5 : Doìng âiãûn båm vaìo, vpq E el l suáút âiãûn âäüng trong maûch näúi E tiãúp våïi nhaïnh buì cáy thãm vaìo Μ q q vaì caïc âiãûn aïp nuït cho viãûc tênh 0 Hãû qui chiãúu toaïn cuía Zli Phæång trçnh âàût træng cho maûng riãng våïi nhaïnh p-l thãm vaìo vaì maûch näúi tiãúp sæïc âiãûn âäüng el laì . ⎡ E1 ⎤ ⎡ Z11 * * Z1m Z1l ⎤ ⎡ I1 ⎤ ⎢E ⎥ ⎢Z * * * Z ⎥ ⎢ I ⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎢ 12 2l ⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎢ * ⎥ = ⎢ * * * * * ⎥ ⎢ * ⎥ (5.13) ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢Em ⎥ ⎢Z m1 * * Z mm Z ml ⎥ ⎢I m ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ el ⎦ ⎣ Z l1 * * Z lm Z ll ⎦ ⎣ I l ⎦ Vç: el = El - Eq Pháön tæí Zli coï thãø âæåüc xaïc âënh bàòng caïch båm vaìo mäüt doìng âiãûn taûi nuït i vaì tênh âiãûn aïp taûi nuït l thuäüc vãö nuït q. Vç táút caí caïc doìng âiãûn taûi caïc nuït khaïc bàòng 0, tæì phæång trçnh (5.13) ta suy ra: Ek = Zki .Ii = Zki Tæång tæû nhæ trãn ta båm vaìo caïc nuït coìn laûi E1 = Z1i .Ii Μ Ep = Zpi .Ii Μ el = Zli.Ii , i =1, 2, m (5.14) Cho Ii = 1 trong phæång trçnh (5.14), Zli coï thãø thu âæåüc træûc tiãúp bàòng caïch tênh el. Suáút âiãûn âäüng trong maûch näúi tiãúp laì: el = Ep - Eq - vpl (5.15) Vç doìng âiãûn chaûy qua nhaïnh buì cáy thãm vaìo laì: ipq= 0 Nhaïnh p - l coï thãø âæåüc lyï giaíi nhæ mäüt nhaïnh cáy. Doìng âiãûn trong nhaïnh naìy, æïng våïi caïc säú haûn cuía täøng dáùn ban âáöu vaì âiãûn aïp qua caïc nhaïnh laì: ρ ρ i pq = i pl = y pq, pl .v pl + ∑ y pq,rs .vrs = 0 Trang 73
  58. GIAÍI TÊCH MAÛNG Våïi: ypq,pq: Laì täøng dáùn riãng cuía nhaïnh p - q ypq,rs: Laì täøng dáùn tæång häø cuía nhaïnh p - q våïi nhaïnh r - s ipl = ipq = 0 Vç váûy: 1 ρ ρ v pl = − ∑ y pl,rs .vrs y pl, pl ρ ρ Do âoï: y pl,rs = y pq,rs vaì y pl, pl = y pq, pq Nãn ta coï: 1 ρ ρ v pl = − ∑ y pq,rs .vrs (5.16) y pq, pq Thãú láön læåüt phæång trçnh (5.16), (5.6) vaì (5.14) våïi Ii = 1 vaìo phæång trçnh (5.15) ta coï: 1 ρ ρ ρ Zli = Z pi − Z qi + ∑ y pl,rs (Z ri − Z si ) i = 1, 2, m,i ≠ l (5.17) y pl, pl Pháön tæí Zll coï thãø âæåüc tênh bàòng caïch båm vaìo mäüt doìng âiãûn taûi nuït l våïi nuït q laì âiãøm nuït qui chiãúu vaì tênh âiãûn aïp taûi nuït thæï l thuäüc vãö nuït q. Giaí sæí ta båm doìng I = 1A vaìo nuït l (Ij = 0 ∀ i ≠ l), vç táút caí caïc doìng âiãûn taûi caïc nuït khaïc bàòng 0. Tæì phæång trçnh 5.13) ta suy ra: Ek = ZklIl = Zkl k = 1, 2, m Tæång tæû nhæ trãn ta båm vaìo caïc nuït coìn laûi. E1 = Z1l.Il Μ Ep = Zpl.Il (5.18) Μ el = Zll.Il = Zll Tæång tæû ta coï âiãûn aïp giæîa 2 nuït p vaì l laì: el = Ep - Eq - vpl Cho Il = 1 åí phæång trçnh (5.18), Zll coï thãø thu âæåüc træûc tiãúp bàòng caïch tênh el. Doìng âiãûn trong nhaïnh p - l laì: ipl = -Il = -1 Doìng âiãûn naìy trong caïc säú haûng cuía caïc täøng dáùn ban âáöu vaì caïc âiãûn aïp qua caïc nhaïnh laì: ρ ρ i pq = i pl = y pq, pl .v pl + ∑ y pq,rs .vrs = −1 Våïi: ypq,pq: Laì täøng dáùn riãng cuía nhaïnh p - q ypq,rs: Laì täøng dáùn tæång häø cuía nhaïnh p - q våïi nhaïnh r - s Tæång tæû, vç: ρ ρ y pl,rs = y pq,rs vaì y pl, pl = y pq, pq ρ ρ 1+ ∑ y pl,rs .vrs Nãn: v pl = − (5.19) y pl, pl Thãú láön læåüt phæång trçnh (5.19), (5.6) vaì (5.18) vaìo phæång trçnh (5.15) våïi Il = 1 ta coï: Trang 74
  59. GIAÍI TÊCH MAÛNG ρ ρ ρ 1+ ∑ y pq,rs (Z rl − Z sl ) Zll = Z pl − Z ql + (5.20) y pq, pq Nãúu nhaïnh thãm vaìo khäng häù caím våïi caïc nhaïnh khaïc cuía maûng riãng, thç caïc pháön tæí ypq,rs = 0 1 Vaì: Z pq, pq = y pq, pq Tæì phæång trçnh (5.17) ta suy ra: Zli = Zpi - Zqi, i = 1, 2, m i ≠ l Vaì tæì phæång trçnh (5.20): Zll = Zpl - Zql + Zpq,pq Hån næîa, nãúu sæû thãm vaìo âoï maì khäng häù caím vaì p laì nuït qui chiãúu thç: Zpi = 0, i = 1, 2, m i ≠ l Vaì: Zli = -Zqi, i = 1, 2, m i ≠ l Vaì tæång tæû:: Zpl = 0 Vç váûy: Zll = - Zql + Zpq,pq Caïc pháön tæí trong haìng vaì cäüt thæï l cuía ma tráûn täøng tråí nuït våïi maûng riãng thãm vaìo âæåüc tçm tháúy tæì caïc phæång trçnh (5.17) vaì (5.20). Viãûc coìn laûi cuía tênh toaïn âoìi hoíi ma tráûn täøng tråí nuït bao haìm aính hæåíng cuía nhaïnh buì cáy thãm vaìo. Âiãöu naìy coï thãø hoaìn thaình bàòng caïch biãún âäøi caïc pháön tæí Zij, trong âoï i, j = 1, 2, m, vaì loaûi træì haìng vaì cäüt l tæång æïng våïi nuït giaí. Nuït giaí âæåüc loaûi træì bàòng caïch ngàõn maûch nguäön suáút âiãûn âäüng maûch näúi tiãúp el. Tæì phæång trçnh (5.13) ta coï: ρ ρ ρ ENuït = Z Nuït .I Nuït + Zil .I l (5.21) ρ ρ Vaì: el = Zlj .I Nuït + Zll .I l = 0 i, j = 1, 2, m (5.22) Giaíi I tæì phæång trçnh (5.22) vaì thãú vaìo (5.21): l ρ ρ ρ Zil .Zlj ρ ENuït = (Z Nuït − ).I Nuït Zll Âáy laì phæång trçnh biãøu diãùn cuía maûng riãng bao haìm nhaïnh buì cáy. Tæì âoï suy ra yãu cáöu cuía ma tráûn täøng tråí nuït laì: ρ ρ Zil .Zlj ZNuït (âæåüc biãún âäøi) = ZNuït (træåïc luïc loaûi træì) - Zll Våïi : Báút kyì pháön tæí cuía Z (âæåüc biãún âäøi) laì: Nuït ρ ρ Zil .Zlj Zij (âæåüc biãún âäøi) = Zij (træåïc luïc loaûi træì) - Zll Trang 75
  60. GIAÍI TÊCH MAÛNG BEGIN Vaìo säú liãûu Nuït qui chiãúu k := 1 Thãm nhaïnh cáy Dæûa vaìo baíng säú liãûu nháûp täøng tråí ban âáöu Z Tênh Z’Nuït Thãm S Nhaïnh buì cáy  Dæûa vaìo baíng säú liãûu nháûp laûi täøng tråí ban âáöu Z Tênh Z’’ Nuït  Thãm nhaïnh cáy S S k = e  Hçnh thaình ma tráûn ZNuït END LÆU ÂÄÖ THAÌNH LÁÛP MA TRÁÛN TÄØNG TRÅÍ NUÏT Trang 76
  61. GIAÍI TÊCH MAÛNG CHÆÅNG 6 TRAÌO LÆU CÄNG SUÁÚT 6.1. GIÅÏI THIÃÛU: Nhiãûm vuû cuía giaíi têch maûng laì tênh toaïn caïc thäng säú chãú âäü laìm viãûc, chuí yãúu laì doìng vaì aïp taûi moüi nuït cuía maûng âiãûn. Viãûc xaïc âënh caïc thäng säú chãú âäü maûng âiãûn ráút coï yï nghéa khi thiãút kãú, váûn haình vaì âiãöu khiãøn hãû thäúng âiãûn. Mäüt säú låïn caïc thuáût toaïn âæåüc âãö xuáút trong 20 nàm tråí laûi âáy. Trong chæång naìy ta giåïi thiãûu caïc phæång phaïp âoï trãn caïc khêa caûnh nhæ: Dãù chæång trçnh hoïa, täúc âäü giaíi, âäü chênh xaïc Viãûc tênh toaïn doìng cäng suáút phaíi âæåüc tiãún haình tæìng bæåïc vaì hiãûu chènh dáön. Bãn caûnh muûc âêch xaïc âënh traûng thaïi tènh thç viãûc tênh toaïn dongì cäng suáút coìn laì mäüt pháön cuía caïc chæång trçnh vãö täúi æu vaì äøn âënh. Træåïc khi coï sæû xuáút hiãûn cuía maïy tênh säú, viãûc tênh toaïn doìng cäng suáút âæåüc tiãún haình bàòng thiãút bë phán têch maûng. Tæì nàm 1956, khi xuáút hiãûn maïy tênh säú âáöu tiãn thç phæång phaïp tênh doìng cäng suáút æïng duûng maïy tênh säú âæåüc âãö xuáút vaì dáön dáön âæåüc thay thãú caïc thiãút bë phán têch maûng. Ngaìy nay caïc thiãút bë phán têch maûng khäng coìn âæåüc duìng næîa. 6.2. THIÃÚT LÁÛP CÄNG THÆÏC GIAÍI TÊCH. Giaí sæí maûng truyãön taíi laì maûng 3 pha âäúi xæïng vaì âæåüc biãøu diãùn bàòng maûng näúi tiãúp dæång nhæ trãn hçnh 6.1a. Caïc pháön tæí cuía maûng âæåüc liãn kãút våïi nhau nãn ma tráûn täøng dáùn nuït YNuït coï thãø xaïc âënh tæì så âäö. Theo så âäö 6.1a ta coï: INuït = YNuït .VNuït (6.1) 1 P Ip p + . V Sp p . - 0 (a) (b) Hçnh 6.1 : Så âäö âa cäøng cuía âæåìng dáy truyãön taíi YNuït laì mäüt ma tráûn thæa vaì âäúi xæïng. Taûi caïc cäøng cuía maûng coï caïc nguäön cäng suáút hay âiãûn aïp. Chênh caïc nguäön naìy taûi caïc cäøng laìm cho aïp vaì doìng liãn hãû phi tuyãún våïi nhau theo (6.1) chuïng ta coï thãø xaïc âënh âæåüc cäng suáút taïc duûng vaì phaín khaïng båm vaìo maûng (quy æåïc cäng suáút dæång khi coï chiãöu båm vaìo maûng) dæåïi daûng haìm phi tuyãún cuía Vp vaì Ip. Ta coï thãø hçnh dung nguäön cäng suáút båm vaìo maûng näúi ngang qua cäøng taûi âáöu dæång cuía nguäön båm nhæ hçnh 6.1b. Phán loaûi caïc nuït: Trang 77
  62. GIAÍI TÊCH MAÛNG - Nuït P -Q laì nuït maì cäng suáút taïc duûng P vaì cäng suáút phaín khaïng Q laì cäú âënh, nhæ nuït P åí 6.1 chàóng haûn SP SP SP SP SP SP V p I p = S p + jQ p = (PGP − PLP ) + j(QGP − QLP ) (6.2) Våïi Vp = ep +jfp Chè säú GP vaì LP æïng våïi cäng suáút nguäön phaït vaì cäng suáút tiãu thuû åí P. S cho biãút cäng suáút cäú âënh (hay aïp âàût). - Nuït P -V tæång tæû laì nuït coï cäng suáút taïc duûng P cäú âënh vaì âäü låïn âiãûn aïp âæåüc giæî khäng âäøi bàòng caïch phaït cäng suáút phaín khaïng. Våïi nuït naìy ta coï: * SP SP SP Re[V p I p ] = Pp = PGP − PLP (6.3) 2 2 SP V p = (e p + f p ) = V p (6.4) - Nuït V-θ (nuït hãû thäúng) roî raìng åí nuït naìy âiãûn aïp vaì goïc pha laì khäng âäøi. Viãûc âæa ra khaïi niãûm nuït hãû thäúng laì cáön thiãút vç täøn tháút I2R trong hãû thäúng laì khäng xaïc âënh træåïc âæåüc nãn khäng thãø cäú âënh cäng suáút taïc duûng åí táút caí caïc nuït. Nhçn chung nuït hãû thäúng coï nguäön cäng suáút låïn nháút. Do âoï ngæåìi ta âæa ra nuït âiãöu khiãøn âiãûn aïp noïi chung laì noï coï cäng suáút phaït låïn nháút. ÅÍ nuït naìy cäng suáút taïc duûng PS (s kyï hiãûu nuït hãû thäúng) laì khäng cäú âënh vaì âæåüc tênh toaïn cuäúi cuìng. Vç chuïng ta cuîng cáön mäüt pha laìm chuáøn trong hãû thäúng, goïc pha cuía nuït hãû thäúng âæåüc choün laìm chuáøn thæåìng åí mæïc zero radian. Âiãûn aïp phæïc V cäú âënh coìn Ps vaì Qs âæåüc xaïc âënh sau khi giaíi xong traìo læu cäng suáút åí caïc nuït. 6.3. CAÏC PHÆÅNG PHAÏP GIAÍI QUYÃÚT TRAÌO LÆU CÄNG SUÁÚT: Theo lyï thuyãút thç coï hai phæång phaïp täön taûi âoï laì phæång phaïp sæí duûng ma tráûn YNuït vaì phæång phaïp sæí duûng ma tráûn ZNuït. Vãö baín cháút caí hai phæång phaïp âãöu sæí duûng caïc voìng làûp. Xeït vãö lëch sæí phæång phaïp thç phæång phaïp YNuït âæa ra træåïc vç ma tráûn YNuït dãù tênh vaì láûp trçnh, tháûm chê ngaìy nay noï váùn sæí duûng våïi hãû thäúng khäng låïn làõm, phæång phaïp naìy goüi laì phæång phaïp Gauss -Seidel. Âäöng thåìi phæång phaïp Newton cuîng âæåüc âæa ra phæång phaïp naìy coï æu âiãøm hån vãö màût häüi tuû. Sau khi caïch loaûi træì tráût tæû täúi æu vaì kyî thuáût láûp trçnh ma tráûn vevtå thæa laìm cho täúc âäü tênh toaïn vaì säú læåüng læu træî êt hån, thç phæång phaïp Newton tråí nãn ráút phäø biãún. Ngaìy nay våïi hãû thäúng låïn tåïi 200 nuït hay hån næîa thç phæång phaïp naìy luän âæåüc duìng. Phæång phaïp duìng ma tráûn ZNuït våïi caïc voìng làûp Gauss - Seidel cuîng coï tênh häüi tuû nhæ phæång phaïp Newton nhæng ma tráûn ZNuït laì ma tráûn âáöy âuí nãn cáön bäü nhåï hån âãø cáút giæî chuïng, âoï laì haûn chãú chênh cuía phæång phaïp naìy Trong chæång naìy chuïng ta chè giåïi thiãûu nguyãn lyï cuía caïc phæång phaïp, coìn caïc phæång phaïp âàûc biãût nhæ: Sæí lyï ma tráûn thæa, sàõp xãúp täúi æu pheïp khæí, læåüc âäö, khäng âæåüc âãö cáûp âãún. 6.4. ÂÄÜ LÃÛCH VAÌ TIÃU CHUÁØN HÄÜI TUÛ. Pheïp giaíi traìo læu cäng suáút âæåüc coi laì chênh xaïc khi thoía maîn âiãöu kiãûn tæì (6.2) âãún (6.4) maì chuí yãúu laì phaíi âaím baío chênh xaïc (6.4), hai tiãu chuáøn häüi tuû phäø biãún laì: Trang 78
  63. GIAÍI TÊCH MAÛNG - Mæïc âäü cäng suáút tênh toaïn åí nuït naìo âoï theo Vp vaì Ip åí bãn traïi âàóng thæïc (6.2) âãún (6.4) phuì håüp tæång æïng våïi giaï trë cho sàôn åí bãn phaíi. Sæû sai khaïc naìy goüi laì âäü lãûch cäng suáút nuït. - Âäü lãûch âiãûn aïp nuït giæîa 2 voìng làûp kãú tiãúp nhau. Sau âáy ta xeït tæìng tiãu chuáøn cuû thãø: + Tiãu chuáøn âäü lãûch cäng suáút nuït: Tæì (6.1) vaì (6.2) ta coï n SP * SP SP * * ∆S p = S p −V p I p = Pp + jQ p −V p ∑Y pqVq (6.5) q=1 Taïch pháön thæûc vaì pháön aío cuía (6.5) ta âæåüc âäü lãûch cäng suáút taïc duûng vaì âäü lãûch cäng suáút phaín khaïng thêch håüp cho caí (6.2) vaì (6.3). Biãøu diãùn trong toüa âäü vuäng goïc nhæ sau: Ta sæí duûng kyï hiãûu sau: V p = e p + jf p = V p ∠θ p Y = G + jB pq pq pq θ pq = θ p −θ q Våïi tæìng nuït P -V hay P - Q Daûng toüa âäü vuäng goïc: n SP ∆PP = PP − Re[(e p + jf p )∑ (G pq − jB pq )(eq − jf q )] (6.6a) q=1 Daûng toüa âäü cæûc: n SP ⎡ ⎤ ∆Pp = Pp − |V p | ⎢∑(G pq cosθ pq + B pq sinθ pq ) |Vq |⎥ (6.6b) ⎣ q=1 ⎦ Våïi tæìng nuït P - Q Daûng toüa âäü vuäng goïc: n SP ∆Q p = Q p − Im[(e p + jf p )∑(G pq − jB pq )(eq − jf q )] (6.7a) q=1 Daûng toüa âäü cæûc: n SP ⎡ ⎤ ∆Q p = Q p − |V p | ⎢∑(G pq sinθ pq − B pq cosθ pq ) |Vq |⎥ (6.7b) ⎣ q=1 ⎦ Tiãu chuáøn häüi tuû chung nháút âæåüc duìng trong thæûc tãú laì: ∆Pp ≤ Cp cho táút caí nuït P -V vaì P -Q ∆Qp ≤ Cq cho táút caí nuït P -Q Giaï trë Cp vaì Cq âæåüc choün tæì 0,01 - 10 MVA hay MVAR tuìy theo træåìng håüp. + Tiãu chuáøn âäü lãûch âiãûn aïp: Goüi säú bæåïc làûp laì k, âäü lãûch âiãûn aïp giæîa hai voìng làûp k vaì k +1 laì: ()k +1 ()k ∆V p = V −V cho táút caí caïc nuït P - Q Tiãu chuáøn häüi tuû laì: ∆Vp ≤ Cv cho táút caí caïc nuït P - Q Giaï trë Cv tæì 0,01 âãún 0,0001 Trang 79
  64. GIAÍI TÊCH MAÛNG 6.5. PHÆÅNG PHAÏP GAUSS - SEIDEL SÆÍ DUÛNG MA TRÁÛN YNUÏT: Âãø dãù hiãøu phæång phaïp naìy ta giaí thiãút táút caí caïc nuït laì nuït P-Q træì nuït hãû thäúng V - θ. Vç âiãûn aïp cuía nuït hãû thäúng hoaìn toaìn âaî biãút nãn khäng coï voìng làûp naìo tênh cho nuït naìy. Ta choün nuït hãû thäúng laì nuït cán bàòng. Do âoï Vq (q ≠ s) coi laì aïp cuía nuït q so våïi nuït s (kê hiãûu nuït s laì nuït hãû thäúng). Våïi táút caí caïc nuït, træì nuït thæï s laì nuït hãû thäúng ta ruït ra âæåüc tæì (6.1) vaì (6.2): S * n I = P = Y V p = 1,2 n ≠ P * ∑ pq q ; p s (6.8) VP q=1 Taïch Ypq, Vp trong ∑ ra räöi chuyãøn vãú ta âæåüc: ⎛ ⎞ 1 ⎜ S * n ⎟ V = P − Y V p = 1,2 n ≠ p ⎜ * ∑ pq q ⎟ ; p s (6.9) Y pp ⎜VP q=1 ⎟ ⎝ q≠ p ⎠ Caïc voìng làûp cuía phæång trçnh Gauss - Seidel âæåüc thaình láûp nhæ sau: 1 ⎡P − jQ ⎤ V (k +1) = ⎢ 1 1 − Y V (k ) − Y V (k ) − Y V − Y V (k ) ⎥ 1 Y (k )∗ 12 2 13 3 1s s 1n n 11 ⎣⎢ V1 ⎦⎥ ⎡ ⎤ (k +1) 1 P2 − jQ2 (k ) (k ) V = ⎢ ∗ − Y V − Y V − Y V ⎥ 2 Y (k ) 21 1 2s s 2n n 22 ⎣⎢ V2 ⎦⎥ 1 ⎡P − jQ ⎤ V (k +1) = ⎢ P P − Y V (k +1) − Y V (k ) − Y V (k ) − Y V − Y V (k ) ⎥ p Y (k )∗ P1 1 PP −1 P −1 PP +1 P +1 ps s pn n pp ⎣⎢ VP ⎦⎥ ⎡ ⎤ (k +1) 1 Pn − jQn (k +1) (k +1) V = ⎢ ∗ −Y V −Y V −Y V ⎥ (6.10) n Y (k ) n1 1 ns s nn−1 n−1 nn ⎣⎢ Vn ⎦⎥ Hay viãút dæåïi daûng täøng quaït laì: p−1 n ⎡⎛ ⎞ S p ⎤ 1 V (k +1) = ⎢⎜− Y V (k +1) − Y V (k ) ⎟ + ⎥. p ⎜ ∑∑pq q pq q ⎟ (k )* Y ⎣⎢⎝ q==1 q p ⎠ V p ⎦⎥ pq Ma tráûn YNuït laì ma tráûn thu âæåüc khi ta xoïa âi haìng s vaì cäüt s åí ma tráûn YNuït. Vaì VNuït, INuït cuîng coï âæåüc bàòng caïch xoïa âi pháön tæí s. Ta viãút laûi ma tráûn YNuït bàòng caïch gäöm caïc pháön tæí âæåìng cheïo, ma tráûn gäöm caïc pháön tæí tam giaïc dæåïi âæåìng cheïo, ma tráûn gäöm caïc pháön tæí tam giaïc trãn âæåìng cheïo. YNuït = D - L - W (6.11) Våïi: ⎡X ⎤ ⎡O ⎤ ⎡O ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ O⎥ ⎢ X ⎥ ⎢ O⎥ D = ⎢ X ⎥ W = ⎢ O ⎥ L = ⎢ O ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢O ⎥ ⎢O ⎥ ⎢X ⎥ ⎣⎢ X ⎦⎥ ⎣⎢ O⎦⎥ ⎣⎢ O⎦⎥ Váûy caïc voìng làûp âæåüc viãút goün laûi nhæ sau: (k +1) −1 (k +1) (k ) (k ) Vnuït = D [L.Vnuït + W.Vnuït + YNuït (Vnuït .VS )] Trang 80
  65. GIAÍI TÊCH MAÛNG ⎡P1 − jQ1 ⎤ ⎢ (k )* −Y1SVs ⎥ ⎢ V1 ⎥ ⎢ ⎥ (k ) Pp − jQ p Våïi : YNuït (VNuït ,VS ) = ⎢ (k )* −Y psVs ⎥ (6.12) ⎢ V p ⎥ ⎢P − jQ ⎥ ⎢ n n ⎥ (k )* −YnsVs ⎣⎢ Vn ⎦⎥ BEGIN Xaïc âënh säú liãûu vaìo Ypq,Yqp, p = 1, 2, , n Choün trë säú âiãûn aïp ban (0) âáöu Vp , p = 1, 2, n k : = 1 (k+1) Tênh Vp theo (6.10) P = 1, 2, n Xaïc âënh âäü thay âäøi cæûc âaûi cuía âiãûn aïp (k+1) (k+1) (k) Max|∆Vp | = |Vp - Vp | p = 1, 2, n Kiãøm tra k : =1 (k+1) |∆Vp | max < Cv (k+1) Vp = Vp + V0 pp = = 1, 1,2, ,n 2, , n TênhTênh doìngì cäng suásuáút,út, âiã âiãnûn a aïp ïp In kãút quaí END Hçnh 6.2 : Så âäö khäúi phæång phaïp Gauss _ Seidel Trang 81
  66. GIAÍI TÊCH MAÛNG Kiãøm tra häüi tuû nhæ sau: (k +1) (k ) Max |V p −V p | < CV (6.13) (0) Thäng thæåìng taûi bæåïc âáöu tiãn ta láúy trë säú ban âáöu Vp bàòng âiãûn aïp âënh mæïc cuía maûng âiãûn vaì chè gäöm pháön thæûc. Nhæ váûy thuáût toaïn làûp Gauss - Seidel âäúi våïi (6.10) âæåüc mä taí nhæ hçnh 6.2. + Xaïc âënh Ypq,Yqp, våïi p = 1 n; q = 1 n (0) (0) + Choün giaï trë ban âáöu taûi caïc nuït: Vp (p = 1 n). Thæåìng láúy Vp = Uâm. + Tênh giaï trë åí bæåïc 1 theo (6.10). Quaï trçnh tênh theo voìng troìn, nghéa laì giaï trë âiãûn aïp taûi nuït p åí bæåïc k+1 âæåüc tênh qua giaï trë âiãûn aïp taûi bæåïc k+1 cuía táút caí caïc nuït coìn laûi p - 1, p - 2, , 1 vaì âiãûn aïp taûi bæåïc k cuía caïc nuït p + 1, p + 2, n. + Tênh làûp våïi k tàng dáön (k+1) + Kiãøm tra âiãöu kiãûn dæìng. Max|∆Vp | < Cv. Nãúu sai thç tråí vãö bæåïc 3, nãúu âuïng thç tiãúp tuûc tênh toaïn caïc âaûi læåüng khaïc nhæ cäng suáút trãn âæåìng dáy, âiãûn aïp, vaì dæìng. Lyï thuyãút chæïng minh ràòng phæång phaïp Gauss - Seidel häüi tuû khi modul trë riãng låïn nháút cuía YNuït nhoí hån 1. Æu âiãøm chênh cuía phæång phaïp Gauss - Seidel laì âån giaín, dãù láûp trçnh, täún bäü nhåï (do ma tráûn YNuït dãù thaình láûp) vaì khäúi læåüng tênh toaïn taûi mäùi bæåïc làûp cuîng êt. Nhæåüc âiãøm cuía phæång phaïp laì täúc âäü häüi tuû cháûm, do âoï cáön coï phæång phaïp náng cao täúc âäü häüi tuû. Âiãöu naìy âæåüc xeït âãún trong pháön sau. 6.5.1. Tênh toaïn nuït P-V: ÅÍ nuït P-V sæû tênh toaïn coï khaïc vç cäng suáút phaín khaïng Q chæa biãút nhæng âäü sp låïn âiãûn aïp âæåüc giæî åí V p . Màût khaïc thiãút bë chè phaït giåïi haûn cäng suáút phaín khaïng min max sp cal trong khoaíng tæì Q p âãún Q p åí nuït P-V cäng suáút Q p âæåüc thay bàòng Q p . cal * Våïi: Q p = Im(V p .I p ) n * * = Im(V p ∑Y pqVq ) q=1 ⎡ n ⎤ = Im⎢(e p + jf p )∑(G pq − jB pq )(eq − jf q )⎥ (6.14) ⎣ q=1 ⎦ n n 2 2 = −e p B pp − f p B pq − ∑e p (eq B pq + f q B pq ) +∑ f p (eq B pq − f q B pq ) q=1 q=1 q≠ p q≠ p cal Phêa bãn phaíi (6.14) laì giaï trë måïi nháút cuía âiãûn aïp tênh toaïn vaì tênh âæåüc Q p (k +1) thay vaìo (6.10) ta tênh âæåüc giaï trë måïi cuía âiãûn aïp V p . Vç âiãûn aïp åí nuït naìy coï âäü sp (k +1) låïn khäng âäøi |Vp| nãn pháön thæûc vaì aío cuía V p phaíi âæåüc âiãöu chènh âãø thoía maîn âiãöu kiãûn naìy trong khi giæî goïc pha nhæ sau: (k +1) (k +1) −1 f P δ p = tan (k +1) (6.15) eP Trang 82