Điều khiển con lắc ngược xe

Nội dung text: Điều khiển con lắc ngược xe

1. ĐIỀU KHIỂN CON LẮC NGƯỢC XE PGS.TS Dương Hoài Nghĩa Nguyễn Văn Tường Đại Học Bách Khoa Tp.HCM Đại Học Sư Phạm Kỹ Thuật Tp.HCM dhnghia@hcmut.edu.vn nguyenvantuong@cuc.edu.vn +84-01258354279 Abstract – The cart-pole inverted pendulum system is a đã được tiến hành khá sớm, xuất phát từ nhu cầu thiết kế các nonlinear system, its used in University Laboratory School in hệ thống điều khiển cân bằng tên lửa trong giai đoạn đầu the world, aimed to give students to research and test control phóng. Trên phương diện nghiên cứu các kĩ thuật điều khiển algorithms of classical control theory to modern control theory. thực tế, con lắc ngược đại diện cho lớp các đối tượng phi In this paper the authors tests input – output linearization tuyến phức tạp. Nhiều giải thuật đã được áp dụng thành công control method with SIMO system for the cart - pole inverted cho hệ con lắc ngược như: SIRMs dựa trên logic mờ, điều pendulum combined with state feedback control by LQR controllers (Linear Quadratic Regulator) to bring the system to khiển PID, đặt cực, thích nghi, Nhưng vấn đề cân bằng của equilibrium position x = 0, θ = 0. hệ thống còn giới hạn nên học viên chọn đề tài điều khiển hệ Mathematical model of the inverted pendulum car is con lắc ngược xe bằng phương pháp tuyến tính hoá vào ra kết based on the dynamical equations and Laplace transform, hợp luật điều khiển tối ưu toàn phương LQR(Linear simulation on Matlab & Simulink software. This model is used Quadratic Regulator). to simulate the balance of cart-pole inverted pendulum by input- Với yêu cầu điều khiển cân bằng đạt chất lượng tốt. output linearization method with law of optimal LQR controllers (Linear Quadratic Regulator). Bài báo không có tham vọng đề xuất một cách điều khiển The results of simulations and experiments on real hoàn toàn mới mà chỉ giải quyết ở mức độ hiện thực hoá model shows that the feedback linearization control method of phương pháp điều khiển hồi tiếp tuyến tính hoá vào ra trên combining optimal LQR controllers to helped inverted đối tượng thực là hệ con lắc ngược xe . pendulum system on a stable balance cart in working relatively II. MÔ HÌNH HOÁ HỆ CON LẮC NGƯỢC good position. Keyword – Inverted pendulum; Nonlinear unstable systems; Con lắc có thể quay tròn xung quanh trọng tâm xe với góc 0 Swing-up control; Partial-state'feedback. 360 . Vì vậy có thể chia tín hiệu điều khiển thành 2 vùng điều khiển như sau: điều khiển swing-up và điều khiển cân bằng. I. GIỚI THIỆU CHUNG Ban đầu thì con lắc nằm đứng, ta tiến hành điều khiển Swing- Ngày nay, sự phát triển khoa học kĩ thuật và các phương pháp up để đưa con lắc lên vị trí lân cận cân bằng. Tại vị trí này, điều khiển hiện đại, điều khiển thông minh ra đời. Sự phát con lắc ngược không ổn định, con lắc luôn ngã xuống. Để triển này được ứng dụng để giải quyết các bài toán ổn định hệ con lắc không bị ngã, ta tiếp tục điều khiển cân bằng. Ở đây, thống phi tuyến với chất lượng tốt nhất có thể. Các phương ta xét hệ con lắc ngược có con lắc là 1 thanh đồng chất với pháp ngày càng phát triển và ứng dụng rộng rãi trong khoa khối lượng trải đều trên cả chiều dài thanh. học kỹ thuật và đời sống. Nhằm tăng cường điều khiển ổn định của hệ thống phi tuyến. Điều khiển các hệ phi tuyến là một trong các vấn đề được nhiều nhà nghiên cứu quan tâm điều khiển từ nhiều năm trở lại đây. Hằng năm có hàng chục cuốn sách và hàng trăm bài báo viết về các phương pháp thiết kế và phân tích điều khiển các hệ phi tuyến. Lý do chính của sự phát triển này là các hệ thống trong thực tế hầu hết là hệ phi tuyến, cùng với sự phát triển của phương tiện tính toán và yêu cầu điều khiển trong thực tế ngày càng đòi hỏi cao. Con lắc ngược là hệ thống một vào – nhiều ra, nó có độ bất ổn định cao và là cơ sở để tạo ra các hệ thống tự cân bằng như: xe hai bánh tự cân bằng, tháp vô tuyến, giàn khoan, công trình biển Đây là đối tượng thường được các nhà nghiên cứu lựa chọn để kiểm chứng thuật toán điều khiển của mình, từ những thuật toán điều khiển cổ điển đến những thuật toán điều khiển hiện đại, điều khiển thông minh. Hình 1: Hệ toạ độ của con lắc ngược xe Các nghiên cứu về điều khiển hệ thống con lắc ngược
2. Mô hình thực nghiệm: di LmmbRi K (2.5) dt Phần cơ: d JTC   (với  K i ) mmfmdt 1 mt Ki T C   tfm 1 (2.6) Từ tài liệu [6] ta xây dựng được phương trình động lực học như sau: ke    1 Mfmff() qq V (,) qqq G () q 0 Hình 2: Mô hình con lắc thực nghiệm (2.7) mM k mCcos (1) Khung đỡ mô hình (e) Dây đai 31 Mqf () mCcos J mC 2 con lắc (f) Động cơ DC 111 (2) Board điều khiển Ở đây: kmC 2 sin 21 Vmf (3) Xe con lắc 00 (4) Thanh con lắc 0 Theo phương trình Euler-Lagrange, ta có: G f mgC1 sin L d q L Q và L TV (2.1) dt q III. XÂY DỰNG LUẬT ĐIỀU KHIỂN L = hàm Lagrange. Từ mô hình toán học của hệ thống: Ta đặt các biến trạng thái như sau: T = động năng. V = thế năng. x x 1 Q = tổng ngoại lực. x xxx xx  Đặt x ; F 2122 q Q  0 x3  TT T pole cart (2.2) Tổng động năng của hệ thống: xxxx   4344 1122 Động năng con lắc: TmvJ  T T pole 2211 x xxxx xx   (3.1) (2.3) 1234 1 Động năng xe: TMv 2 Suy ra hệ phương trình trạng thái xe con lắc ngược có dạng cart 2 2 x fx() gxu () (3.2) Phương trình trạng thái hệ thống với ngõ vào là lực F tác động lên chiếc xe: Ở đây x: vị trí xe; ݔሶ: vận tốc xe; θ: góc con lắc; ߠሶ: vận tốc góc con lắc; ()mMxmC   cossin mC   2  F 11 (2.4) Xét điều khiển cân bằng theo lý thuyết tuyến tính hoá vào ra. 2  mC1111 xcos ( J mC ) mC g sin 0 Cho đối tượng điều khiển: G: x fx() gxu () Tín hiệu điều khiển F là lực tác dụng lên xe. Tác giả sẽ yhx () quy đổi sang điện áp cấp cho động cơ. x, f(x), g(x) là các vector n x 1 h(x) là 1 hàm vô hướng của vector x Ta có thể chia phương trình động học của động cơ thành 2 phần: “phần điện” và “phần cơ” Phần điện: Xác định luật điều khiển ux () () xv và Ngõ vào sức điện động cung cấp cho động cơ phép biến đổi trạng thái  Tx()sao cho hệ thống mới G’ di tuyến tính eL RiE (với E = K  ) mmbdt b b
3. zAzBv và góc lệch của con lắc (tức không phụ thuộc x2 và x4). Vì x2 G ' và x là đạo hàm của x và x nên nếu ta cho x và x tiến dần yCz 4 1 3 1 3 về 0 thì x2 và x4 cũng dần về 0. Do đó hệ phương trình trạng Đạo hàm Lie theo phương f(x) của hàm vô hướng h(x) thái trên sẽ tương đương hệ phương trình trạng thái sau đây: là một vô hướng, kí hiệu Lfh(x), được thể hiện như sau: Ta có hdx h h  h  h h yxfxgxufxgxu ( () ()) () () L hx() f () x xdt x x  x  x f x Đạo hàm Lie bậc n được xác định một cách đệ quy L hx() Lhxu (). fg (3.7) như sau: Tương tự với các biểu thức còn lại (())Lhx(1)n Ta tiếp tục đặt Lhx()n () f fx ()và L0 hx() hx () f f  x 1 y  Mặt khác ta có:  y 2  3 y (())Lhxg LLhxfg() f () x  y x 4 Khi đó hệ phương trình trạng thái ban đầu sẽ tiếp tục tương Định nghĩa: hệ thống G có bậc tương đối là p nếu và chỉ nếu đương: hai điều kiện sau được thoả mãn  2(2)p 12 Lhxfg() Lhxu ().  LhxLLhxLLhxggfgfgf() () () LLhx () 0 2 LL(1)p hx() 0  Lhx() LLhxu ().  gf 23fgf (3.3)  32 (3.8) Do đó luật điều khiển tuyến tính hoá được xác định bởi 34 Lhxfgf() LLhxu ().  phương trình  Lhx43() LLhxu (). 4 fgf uLLhxvLhx ((1)pp ( )) 1 [ () ( )] (3.4) gf f Ở đây học viên mong muốn Định nghĩa tín hiệu sai lệch e(t)= r(t) - y(t) LhxLLhxLLhx() () 2 () 0 ggfgf Muốn tín hiệu ra bám sát tín hiệu đặt r(t) ta phải xác định luật mục đích đưa hệ về dạng: điều khiển v(t) sao cho phương trình vi phân sau có phương  trình đặc trưng Hurwitz: 12 (p) (p-1) (p-2) e +a e +a e + .+a e=0  1 2 p-1 23 ()p Mà e(t) = r(t) - y(t) và yv  (3.9) 34 (p) (p-1) (p-2) 43 Suy ra: v = r +a1e +a2e + +ap-1e (3.5)  4 Lhxfgf() LLhxu (). Ta có luật điều khiển như sau: Với uLLhxr (())[(1)pppp 1() aeae (1) (2) ()] aeLhx (1) p gf12 p 1 f (3.6) Theo định nghĩa trên ta thấy v tìm được cũng chính là 0100 0 nhờ phương pháp đặt cực vì việc chọn các hệ số a1, a2, ,an 0010 0 A B ; tương ứng với việc chọn cực sao cho đa thức là Hurwitz. Do 0001 ; 0 đó, tác giả có thể mở rộng việc tìm v thông qua một giải thuật khác như LQR, cùng chung vấn đề tìm K sao cho hệ ổn định. 0000 1 Bỡi vậy trong giới hạn bài báo này, học viên sử dụng phương Để hệ thống được tuyến tính hoá thì pháp điều khiển LQR sau khi đã tuyến tính hoá hệ thống vì K tìm được bởi LQR cũng như K tìm được bởi đặt cực là làm hệ v  4 ổn định, hệ thống thỏa Hurwitz. 43 Do vậy cần điều khiển hệ thống xe con lắc ngược về v Lhx() LLhxu (). fgf vị trí cân bằng (x = 0 và  = 0). Nên các biến ta cần quan 1 tâm là x và x . Vì hệ thống xe con lắc ngược là hệ có một uvLhx 4 () 1 3 LLhx3 () f ngõ vào và nhiều ngõ ra. Mặt khác phương pháp tuyến tính gf hoá chỉ áp dụng cho hệ có số ngõ vào bằng số ngõ ra. Do đó, ta cần ngõ ra là một hàm tổ hợp các biến ngõ ra. Nên chọn Tác giả chọn dạng như (theo tài liệu tham khảo [7]): ngõ ra y = h(x) là một hàm chỉ theo x1 và x3 tức theo vị trí xe
4. 1sin x Một hệ thống rời rạc bậc n được xem là điều khiển hx()  x ln 3 11 2 được khi và chỉ khi ma trận cos x3 (3.10) 21n SBABABABctddddd [ , , d d ] có rank là n. Ở đây λ1, λ2 : là các thông số tuyến tính hoá của hệ thống Chọn tín hiệu ra y=h(x) sao cho hệ thống có bậc tương đối bằng 4 tức là Đối với hệ thống xe con lắc ngược sau khi ta đã tuyến LhxLLhxLLhx() ()2 () 0 tính hoá thì : ggfgf 3 và LLhx() 0 0000 gf Tìm v theo phương pháp LQR với biểu thức như sau 0000 ; Sct vK  K K K 0.0001 0.0002 0.0003 0.0004 11 22 33 44 (3.11) 0.01 0.01 0.01 0.01 Chọn K để phương trình được Hurwitz rank()2 S . (3.12) ct Trong đó, K=[K1 K2 K3 K4] được xác định bằng phương pháp 0100 0 IV. MÔ PHỎNG VÀ KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM 0010 0 LQR với A ; B và ma trận Q, R Để chứng minh bộ điều khiển đã thiết kế là ổn định và 0001 0 khả thi để tiến hành xây dựng phần cứng hệ thống con lắc ngược, trong phần này ta sẽ tiến hành mô phỏng hệ thống trên 0000 1 phần mềm mô phỏng Matlab của công ty MathWorks phiên là tùy chọn lựa theo thử sai. bản 2013b. Đây là phần mềm cho phép người dùng mô phỏng Lúc này hệ điều khiển được thiết kế ở chế độ làm việc tính toán, thực nghiệm các mô hình trong thực tế cũng như kỹ tốt nhất là hệ luôn ở trạng thái tối ưu theo một tiêu chuẩn chất thuật. Trong quá trình mô phỏng, các thông số vật lý được lượng nào đó (đạt được giá trị cực trị). Trạng thái tối ưu đạt chọn đúng với mô hình thật. Thực hiện mô phỏng mô hình được hay không còn phụ thuộc vào yêu cầu chất lượng đặt ra, như sau: vào sự hiểu biết về đối tượng và các tác động lên đối tượng, phụ thuộc điều kiện làm việc của hệ điều khiển. Xét hệ thống có tác động bên ngoài (u≠0):  A Bv Sơ đồ điều khiển: Hình 3: Sơ đồ điều khiển LQR Hình 4: Sơ đồ khối mô phỏng hệ con lắc ngược xe . Vì hệ con lắc ngược là hệ phi tuyến liên tục nên ta phải rời rạc hoá hệ thống và thiết kế bộ rời rạc hoá. Xác định Theo tài liệu tham khảo [7] ma trận K rời rạc hoá với thời gian lấy mẫu 0.01s 1sin x3 Hệ thống của ta sau khi rời rạc hoá với thời gian lấy hx() 11 x 2 ln cos x3 mẫu là 0.01s thì ta có: Sau khi tuyến tính hoá, để hệ thống nhanh ổn định cân 0 bằng thì chúng ta phải điều khiển các thông số tính tuyến hoá 1 0.01 0.0001 0 0 λ1, λ2 (bằng cách thay đổi giá trị λ1, λ2) và các thông số điều 0 1 0.01 0.0001 (3.8) A Bd khiển (Ma trận Q và R). Tuy nhiên khi thay đổi các thông số d 00 1 0.01 0.0001 ta cần cố định ba thông số chuẩn và chỉ thay đổi một thông 00 0 1 0.01 số, nếu thay đổi cùng lúc các thông số thì việc thay đổi không Bây giờ ta xét tính điều khiển được của hệ thống: thể đánh giá được.
5. 105 0 0 0 Kết quả thực nghiệm: Thông số chuẩn λ1=3; λ2=1; R=0,1; 01000 0 Q 1) Theo thông số chuẩn : 001000 00010 Hình 5: Kết quả mô phỏng thông số chuẩn Khi thay đổi thông số tuyến tính λ1 Hình 7: Kết quả mô phỏng thông số chuẩn 2) Khi thay đổi thông số tuyến tính hoá Hình 6: Kết quả mô phỏng khi tăng λ1 Theo kết quả mô phỏng ta thấy khi thay đổi các thông số sẽ làm cho hệ không ổn định xe và góc con lắc dao động quanh vị trí cân bằng. Hình 8: Kết quả mô phỏng khi tăng λ1
6. Vậy khi thay đổi thông số tuyến tính hoá thì làm cho TÀI LIỆU THAM KHẢO hệ thống mất ổn định trong thời gian ngắn. [1] Dương Hoài Nghĩa(2011): Điều khiển hệ thống đa biến. Do vậy việc cho thông số cho động cơ, thông số tuyến tính NXB Đại học quốc gia Tp.HCM, 200 trang. hoá đều ảnh hưởng đến cân bằng của hệ thống phi tuyến. [2] Nguyễn Doãn Phước (2006): Lý thuyết điều khiển phi V. KẾT LUẬN tuyến. NXB Khoa học kỹ thuật, 311 trang. [3] Nguyễn Doãn Phước (2012): Phân tích và điều khiển hệ Trong bài báo, tác giả đã nghiên cứu và trình bày một phi tuyến. NXB Khoa học kỹ thuật (xuất bản lần thứ cách tổng thể về nguyên lý hoạt động của Hệ con lắc ngược 5). xe. Trình bày mô hình toán học hệ thống, cách thành lập luật điều khiển tuyến tính hoá vào ra kết hợp điều khiển LQR. [4] Lê Thi Thu Hà, Lý thuyết điều khiển phi tuyến và áp Làm cho hệ thống không ổn định và phi tuyến trở nên cân dụng cho hệ tryền động qua bánh răng, Lun, Chuyên bằng ổn định. Cần phải lựa chọn các thông số tuyến tính hoá, đề nghiên cứu sinh, 2012. thông số điều khiển và các tác động sai số cả hệ thống cũng [5] Astolfi, A. and Marconi, Analysis and Design of ảnh hưởng đến cân bằng của hệ con lắc ngược xe. Nonlinear Control Systems,Springe Verlag, Editor 2008. [6] Cesar Aguilar, Dr. RnHirschorn. Approximate Feedback Linearization and Sliding Mode Control for the Single Inverted Pendulum,2002. [7] Jie-Ren Hong, Ming-Tzu Ho. Banlance Control of a Car-pole Inverted Pendulum System, Luận văn thạc sĩ, Đại học quốc gia Đài Loan [8] Nguyễn Văn Đông Hải, Trần Vi Đô, Đỗ Đức Trí, Nguyễn Minh Tâm. Ứng dụng giải thuật điều khiển tuyến tính hoá hồi tiếp cân bằng cho hệ xe lắc ngược, Tạp chí Giáo dục kĩ thuật, số 23, PP 58-62,2014 Tp. Hồ Chí Minh, ngày 24 tháng 11 năm 2015 Tp. Hồ Chí Minh, ngày 24 tháng 11 năm 2015 Xác nhận giảng viên hướng dẫn Người thực hiện (Ký & ghi rõ họ và tên) (Ký & ghi rõ họ và tên) PGS.TS. Dương Hoài Nghĩa Nguyễn Văn Tường
7. BÀI BÁO KHOA HỌC THỰC HIỆN CÔNG BỐ THEO QUY CHẾ ĐÀO TẠO THẠC SỸ Bài báo khoa học của học viên có xác nhận và đề xuất cho đăng của Giảng viên hướng dẫn Bản tiếng Việt ©, TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT TP. HỒ CHÍ MINH và TÁC GIẢ Bản quyền tác phẩm đã được bảo hộ bởi Luật xuất bản và Luật Sở hữu trí tuệ Việt Nam. Nghiêm cấm mọi hình thức xuất bản, sao chụp, phát tán nội dung khi chưa có sự đồng ý của tác giả và Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP. Hồ Chí Minh. ĐỂ CÓ BÀI BÁO KHOA HỌC TỐT, CẦN CHUNG TAY BẢO VỆ TÁC QUYỀN! Thực hiện theo MTCL & KHTHMTCL Năm học 2016-2017 của Thư viện Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Tp. Hồ Chí Minh.