Đề tài Module chia được tên miền Dedekind (Phần 1)

Nội dung text: Đề tài Module chia được tên miền Dedekind (Phần 1)

1. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI KH&CN CẤP TRƯỜNG MODULE CHIA ĐƯỢC TÊN MIỀN DEDEKIND S K C 0 0 0 2 8 1 MÃ SỐ: T2011 - 108 S K C 0 0 3 2 8 3 THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH, 2011
2. TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI KH&CN CẤP TRƯỜNG MODULE CHIA ĐƯỢC TRÊN MIỀN DEDEKIND Mã số: T2011 – 108 Chủ nhiệm đề tài: VÕ THỊ VÂN ANH TP. HCM, 11/2011 1
3. MỤC LỤC MỤC LỤC 2 THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU 3 MỞ ĐẦU 5 Chương 1: MIỀN DEDEKIND 7 Chương 2: MODULE CHIA ĐƯỢC TRÊN MIỀN DEDEKIND 20 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO 49 2
4. TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Độc lập - Tự do - Hạnh phúc KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN Tp. HCM, ngày 25 tháng 11 năm 2011 THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU 1. Thông tin chung: - Tên đề tài: MODULE CHIA ĐƯỢC TRÊN MIỀN DEDEKIND. - Mã số: T2011 – 108 - Chủ nhiệm: Võ Thị Vân Anh - Cơ quan chủ trì: Đại học Sư phạm Kỹ thuật Thành phố Hồ Chí Minh - Thời gian thực hiện: từ tháng 11/2010 đến tháng 11/2011. 2. Mục tiêu: Nghiên cứu các tính chất đặc trưng của module chia được trên miền Dedekind. Nghiên cứu cấu trúc của module chia được trên miền Dedekind. 3. Tính mới và sáng tạo: Đề tài nghiên cứu về cấu trúc của module chia được trên miền Dedekind dựa vào tính chất của vành địa phương hóa của miền Dedekind. Ngoài ra, đề tài còn so sánh mối quan hệ giữa module chia được và module nội xạ trên miền Dedekind với mối quan hệ giữa module chia được và nội xạ trên miền nguyên, miền các ideal chính. 4. Kết quả nghiên cứu: Đưa ra các tính chất cơ bản của module chia được trên miền Dedekind. Mô tả cấu trúc của module chia được trên miền Dedekind. So sánh mối quan hệ giữa module chia được và module nội xạ trên miền Dedekind với mối quan hệ giữa module chia được và nội xạ trên miền nguyên, miền các ideal chính. 3
5. 5. Sản phẩm: Tài liệu tham khảo chuyên ngành 6. Hiệu quả, phương thức chuyển giao kết quả nghiên cứu và khả năng áp dụng: Kết quả nghiên cứu là tài liệu tham khảo tốt cho các sinh viên đại học ngành Toán và các học viên sau đại học chuyên ngành Đại số. Trưởng Đơn vị Chủ nhiệm đề tài (ký, họ và tên, đóng dấu) (ký, họ và tên) 4
6. MỞ ĐẦU 1. Tổng quan tình hình nghiên cứu thuộc lĩnh vực đề tài ở trong và ngoài nước 1.1. Trong nước Luận văn thạc sĩ “Cấu trúc một số lớp module trên vành chính” của Dương Thị Phong Lan (xem [1]) đã nghiên cứu tính chất cơ bản của module chia được trên miền ideal chính và mô tả cấu trúc của lớp module này trên miền ideal chính. 1.2. Ngoài nước Irving Kaplansky đã phát biểu định lý cho phép mô tả cấu trúc của module chia được trên miền Dedekind trong bài báo “Modules Over Dedekind Rings and Valuation Rings” (xem [6]). Tuy nhiên, I. Kaplansky không chứng minh định lý này. Trong cuốn sách “An introduction to rings and modules with K-theory in view” (xem [4]), A. Jon Berrick, M. E. Keating đã nghiên cứu về module hữu hạn sinh trên miền Dedekind và mô tả cấu trúc của module P-nguyên sơ hữu hạn sinh trên miền Dedekind. Tuy nhiên, hai tác giả này vẫn chưa đưa ra kết quả cho trường hợp tổng quát module P-nguyên sơ. 2. Tính cấp thiết của đề tài Các miền Dedekind có thể xem là một mở rộng gần gũi nhất của miền các ideal chính, vì nó còn bảo lưu được nhiều tính chất rất “giống” miền các ideal chính. Chẳng hạn, trong một miền Dedekind mỗi phần tử đều phân tích được duy nhất thành tích các ideal tối đại, mỗi ideal của miền Dedekind đều là ideal hữu hạn sinh. Tuy nhiên, nó có rất nhiều tính chất khác lạ so với miền ideal chính; chẳng hạn: ideal của miền Dedekind nói chung không là ideal chính, module con của một module cyclic trên miền Dedekind có thể không là module cyclic, module con của module tự do trên miền Dedekind có thể không là module tự do Các kết quả nghiên cứu về module trên miền Dedekind là không nhiều, đồng thời các chứng minh trên nó với những kỹ thuật tương đối khác lạ so với trên miền ideal chính. Chính vì vậy, chúng tôi chọn nghiên cứu đề tài “Module chia được trên miền Dedekind”. 5
7. 3. Mục tiêu Nghiên cứu các tính chất đặc trưng của module chia được trên miền Dedekind. Nghiên cứu cấu trúc của module chia được trên miền Dedekind. 4. Cách tiếp cận Địa phương hóa miền Dedekind. 5. Phương pháp nghiên cứu, đối tượng và phạm vi nghiên cứu 5.1. Phương pháp nghiên cứu: thu thập tài liệu, nghiên cứu tài liệu. 5.2. Đối tượng nghiên cứu: Module chia được 5.3. Phạm vi nghiên cứu: Miền Dedekind 6. Nội dung nghiên cứu Nghiên cứu tính chất của module chia được, mối liên hệ giữa module chia được và module nội xạ trên miền Dedekind. Mô tả cấu trúc của một module chia được trên miền Dedekind. 6
8. Chương 1: MIỀN DEDEKIND 1.1. Phần tử nguyên 1.1.1. Định nghĩa. Cho A và B là những miền nguyên và A  B. Phần tử b B được gọi là phần tử nguyên trên A nếu tồn tại đa thức đơn khởi nhận b làm nghiệm. f x A x , deg f 1 Nói cách khác, b nguyên trên khi và chỉ khi tồn tại sao A a0, a1, , an 1 A cho n n 1 b an 1b  a1 b a0 0. 1.1.2. Định nghĩa. Cho A và B là những miền nguyên, A  B. Nếu mọi phần tử b B nguyên trên A thì ta nói B nguyên trên A. 1.1.3. Mệnh đề. Cho tháp các miền nguyên A  B. Nếu B là A-module hữu hạn sinh thì B nguyên trên A. 1.1.4. Hệ quả. Cho A và B là những miền nguyên, A  B. Giả sử b B . Khi đó, các mệnh đề sau là tương đương i) b nguyên trên A, ii) là -module hữu hạn sinh, A b A iii) nguyên trên . A b A 1.1.5. Hệ quả. Cho và là những miền nguyên, Giả sử A B A  B. b1, , bn B. Khi đó, các mệnh đề sau là tương đương i) nguyên trên , b1, , bn A ii) A b , , b là A-module hữu hạn sinh, 1 n iii) A b , , b là nguyên trên A. 1 n 7
9. 1.1.6. Hệ quả. Cho tháp các miền nguyên . Nếu nguyên trên A  B. b1, b2 B A thì cũng nguyên trên . Nói cách khác, tập hợp các phần tử b1 b2, b1 b2,. b1 b 2 A của B nguyên trên A, AB b B b nguyên trên A, là một vành con của B chứa A. 1.1.7. Hệ quả. Cho tháp các miền nguyên A  B  C. Nếu B nguyên trên A và C nguyên trên B thì C là nguyên trên A. 1.2. Bao đóng nguyên 1.2.1. Định nghĩa. Cho A và B là những miền nguyên và A  B. B A b B b nguyên trên A được gọi là bao đóng nguyên của A trong B. B được gọi là nguyên trên A nếu AB B. B A được gọi là đóng nguyên trong B nếu A A. 1.2.2. Nhận xét. A  AB  B. 1.2.3. Định nghĩa. Cho A là một miền nguyên, QA là trường các thương của A. Bao đóng nguyên của A trong QA được gọi là bao đóng nguyên của A. QA Miền nguyên A được gọi là đóng nguyên nếu A A. 1.3. Vành Noether Trong phần này, ta giả sử R là vành giao hoán. 1.3.1. Định nghĩa. Cho là dãy vô hạn các ideal trong vành In n 1, 2,  R. Dãy I được gọi là một dây chuyền tăng nếu n n . I1  I2    In   8