Đề tài Các phương pháp số giải phương trình vi phân ngẫu nhiên (Phần 1)

Nội dung text: Đề tài Các phương pháp số giải phương trình vi phân ngẫu nhiên (Phần 1)

1. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ NGHIÊN CỨU CẤP TRƯỜNG CÁC PHƯƠNG PHÁP SỐ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN S K C 0 0 3 0 0 1 MÃ SỐ: T2010 - 47 ChỦ NHIỆM ĐỀ TÀI: Th.S. HOÀNG THỊ MINH THẢO S K C 0 0 3 0 0 1 THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH, THÁNG 11 NĂM 2010
2. B GIÁO D C VÀ ÀO T O TR NG I H C S PH M K THU T THÀNH PH H CHÍ MINH KHOA KHOA H C C Ơ B N BÁO CÁO T NG K T TÀI KHOA H C VÀ CÔNG NGH C P TR NG CÁC PH Ơ NG PHÁP S GI I PH Ơ NG TRÌNH VI PHÂN NG U NHIÊN Mã s : T2010-47 Ch nhi m tài: ThS.Hoàng Th Minh Th o TP.HCM, tháng 11 n m 2010
3. TR NG I H C S PH M K THU T THÀNH PH H CHÍ MINH KHOA KHOA H C C Ơ B N BÁO CÁO T NG K T TÀI KHOA H C VÀ CÔNG NGH C P TR NG CÁC PH Ơ NG PHÁP S GI I PH Ơ NG TRÌNH VI PHÂN NG U NHIÊN Mã s : T2010-47 Ch nhi m tài: ThS.Hoàng Th Minh Th o Thành viên tài: ThS.Hoàng Th Minh Th o TP.HCM, tháng 11 n m 2010
4. 1 Mc l c Trang Mc l c 1 Bng kí hi u 2 Thông tin k t qu nghiên c u 3 M u 5 Ch ươ ng 1. LÝ THUY T XÁC SU T VÀ QUÁ TRÌNH NG U NHIÊN 7 §1.1. Không gian xác su t và bi n ng u nhiên 7 §1.2. Quá trình ng u nhiên 10 Ch ươ ng 2. TÍCH PHÂN NG U NHIÊN VÀ PH NG TRÌNH VI PHÂN NG U NHIÊN 14 §2.1. Tích phân Wiener 14 §2.2. Tích phân Ito 17 §2.3. Quá trình Ito 21 §2.4. Ph ươ ng trình vi phân ng u nhiên (Ito) 24 Ch ươ ng 3. KHAI TRI N ITO-TAYLOR 25 §3.1. Khai tri n Taylor t t nh 25 §3.2 Khai tri n Ito-Taylor c a quá trình Ito 27 Ch ươ ng 4. PH NG PHÁP S GI I PH NG TRÌNH VI PHÂN NG U NHIÊN 29 §4.1. M t s khái ni m 29 §4.2. Các ph ươ ng pháp s tìm x p x Taylor 31 4.2.1 Ph ươ ng pháp Euler-Maruyama 31 4.2.2 Ph ươ ng pháp Milstein 32 4.2.3 Ph ươ ng pháp Taylor m nh b c 1.5 34 §4.3. Sai s tuy t i 38 Kt lu n và ki n ngh 42 Tài li u tham kh o 43
5. 2 Bng kí hi u ∅ tp h p r ng Rd không gian Euclide d-chi u R≡ R 1 không gian Euclide 1-chi u, t p s th c A⊆ B tp A ch a trong t p B A\ B ph n bù c a t p B trong t p A a∈ A a là ph n t c a t p A ph n h i các t p Ai U Ai i ph n giao các t p Ai I Ai i tng các s h ng ai ∑ ai i tích các th a s a ∏ ai i i ! phép toán giai th a b ∫ f() x dx tích phân Riemann a L2 ([0, T ] ) không gian các hàm s bình ph ươ ng kh tích trên [a , b ] L2 (Ω) không gian các bi n ng u nhiên bình ph ươ ng kh tích I A hàm ch tiêu c a t p A h.c.c hu ch c ch n l. i . m gi i h n theo ngh a bình ph ươ ng trung bình
6. 3 H SPKT TP HCM n v : Khoa KHCB THÔNG TIN K T QU NGHIÊN C U 1. Thông tin chung: - Tên tài: CÁC PH NG PHÁP S GI I PH NG TRÌNH VI PHÂN NG U NHIÊN - Mã s : T2010 - 47 - Ch nhi m: ThS. Hoàng Th Minh Th o - C ơ quan ch trì: i h c S ư ph m K thu t Thành ph H Chí Minh - Th i gian th c hi n: t tháng 12 n m 2009 n tháng 12 n m 2010 2. M c tiêu: Nghiên c u các ph ươ ng pháp s gi i ph ươ ng trình vi phân ng u nhiên nh ư ph ươ ng pháp Euler, ph ươ ng pháp Milstein, ph ươ ng pháp Taylor m nh b c 1.5. Áp d ng các ph ươ ng pháp này gi i ph ươ ng trình vi phân ng u nhiên v i ph n mm Matlab. 3. Tính m i và sáng t o: Minh h a s khác nhau v b c h i t m nh c a các ph ươ ng pháp ưc nghiên c u và tính phù h p gi a b c h i t m nh v i s bi n thiên sai s tuy t i theo b ưc th i gian trong t ng ph ươ ng pháp. 4. K t qu nghiên c u: Phươ ng pháp Euler, ph ươ ng pháp Milstein, ph ươ ng pháp Taylor m nh b c 1.5 và ví d minh h a vi c áp d ng các phươ ng pháp này gi i ph ươ ng trình vi phân ng u nhiên. 5. S n ph m: Báo cáo tài nghiên c u khoa h c “CÁC PH NG PHÁP S GI I PH NG TRÌNH VI PHÂN NG U NHIÊN”. 6. Hi u qu , ph ư ng th c chuy n giao k t qu nghiên c u và kh n ng áp dng: Sn ph m có th dùng làm tài li u tham kh o thích h p cho sinh viên tr ưng i h c S ư ph m K thu t TP.HCM. Ngày 01 tháng 12 nm 2010 Tr ưng n v Ch nhi m tài (ký, h và tên, óng d u) (ký, h và tên) TS.Võ Thanh Tân Hoàng Th Minh Th o
7. 4 INFORMATION ON RESEARCH RESULTS 1. General information: Project title: Numerical methods for stochastic differential equation Code number: T2010 - 47 Coordinator: Hoang Thi Minh Thao, M.S. Implementing institution: Ho Chi Minh City University of Technical Education Duration: from December 2009 to December 2010 2. Objective(s): Researching numerical methods for stochastic differential equation such as Euler method, Milstein method, order 1.5 strong Taylor method. Applying these methods to solve stochastic differential equation with Matlab. 3. Creativeness and innovativeness: Illustrating the difference of strong convergence order of researched methods and the correspondence between the strong convergence order and the dependence of the absolute error on the step size. 4. Research results: Euler method, Milstein method, order 1.5 strong Taylor method and the examples of applying these methods to solve stochastic differential equation. 5. Products: Report of scientific research “NUMERICAL METHODS FOR STOCHASTIC DIFFERENTIAL EQUATION” 6. Effects, transfer alternatives of reserach results and applicability: Report of scientific research “NUMERICAL METHODS FOR STOCHASTIC DIFFERENTIAL EQUATION” can be used as suitable reference for students of Ho Chi Minh City University of Technical Education.
8. 5 M u 1. Tng quan tình hình nghiên c u thu c l nh v c tài trong và ngoài n ưc Gi i tích ng u nhiên nói chung và ph ươ ng pháp s gi i ph ươ ng trình vi phân ng u nhiên nói riêng ã và ang là l nh v c ưc các nhà nghiên c u xác su t th ng kê kh p các qu c gia trên th gi i quan tâm, nh ưng áng ti c r ng Vi t Nam n nay v n ch ưa có nhi u nghiên c u v l nh v c này. n nay, m t ph n trng y u c a v n gi i g n úng ph ươ ng trình vi phân ng u nhiên ã ưc gi i quy t và k t qu chính là các ph ươ ng pháp s cho phép x p x nghi m c a ph ươ ng trình vi phân ng u nhiên. 2. Tính c p thi t c a tài Ph ươ ng trình vi phân ng u nhiên có ngu n g c phát sinh t mô hình toán c a các h th ng v t lý có nhi u b n ch t và tính không n nh. Ti p ó, các mô hình toán có liên quan n ph ươ ng trình vi phân ng u nhiên t ươ ng t nh ư th tr nên ph dng trong nhi u l nh v c khoa h c ng d ng nh ư sinh h c, d ch t h c, c ơ h c, kinh t h c và tài chính, v.v Tuy nhiên, h u h t các ph ươ ng trình vi phân ng u nhiên phát sinh t th c t nghiên c u c a các ngành khoa h c ng d ng l i không th ưc gi i m t cách chính xác. Do ó, vi c xây d ng ph ươ ng pháp x p x nghi m c a ph ươ ng trình vi phân ng u nhiên m t cách hi u qu v i s tr giúp c a máy in toán là r t c n thi t. 3. Mc tiêu nghiên c u c a tài Nghiên c u khai tri n Ito-Taylor c a quá trình Ito và các ph ươ ng pháp s cho ph ươ ng trình vi phân ng u nhiên nh ư phươ ng pháp Euler-Maruyama, ph ươ ng pháp Milstein, ph ươ ng pháp Taylor m nh b c 1.5. Th c hi n các ph ươ ng pháp này gi i ph ươ ng trình vi phân ng u nhiên v i ph n m m Matlab. 4. Cách ti p c n Nghiên c u c ơ s lý thuy t, các b ưc xây d ng khai tri n Ito-Taylor, ph ươ ng pháp Euler-Maruyama, ph ươ ng pháp Milstein, ph ươ ng pháp Taylor m nh b c 1.5 qua các công trình khoa h c ã ưc công b trên th gi i.
9. 6 5. Ph ư ng pháp nghiên c u, i t ưng và ph m vi nghiên c u, n i dung nghiên c u - Ph ươ ng pháp nghiên c u: thu th p và tng h p tài li u v các ph ươ ng pháp s ưc nghiên c u, áp d ng t ng ph ươ ng pháp s ưc nghiên c u gi i gn úng ph ươ ng trình vi phân ng u nhiên c th , t ó th m nh b c h i t ca ph ươ ng pháp qua m i liên h gi a sai s tuy t i v i b ưc th i gian. - i t ưng và ph m vi nghiên c u: trong tài khoa h c này, chúng tôi nghiên c u các b ưc xây d ng khai tri n Ito-Taylor (còn g i là khai tri n Taylor ng u nhiên) c a quá trình ng u nhiên Ito và mt s ph ươ ng pháp s ưc xây d ng trên c ơ s khai tri n Ito-Taylor nh ư ph ươ ng pháp Euler, ph ươ ng pháp Milstein, ph ươ ng pháp Taylor m nh b c 1.5, các ph ươ ng pháp s này cho phép tìm x p x Taylor c a quá trình ng u nhiên Ito th a mãn ph ươ ng trình vi phân ng u nhiên Ito. - Ni dung nghiên c u: tài g m 4 ch ươ ng có n i dung t ng quan nh ư sau: Ch ươ ng 1 trình bày m t s khái ni m c ơ b n trong lý thuy t xác su t và quá trình ng u nhiên s ưc c p n nhi u l n trong n i dung các ch ươ ng ti p theo c a tài. Ch ươ ng 2 trình bày m t s ki n th c quan tr ng v tích phân ng u nhiên và ph ươ ng trình vi phân ng u nhiên làm c ơ s cho vi c nghiên c u các ph ươ ng pháp s bao g m tích phân Wiener, tích phân Ito, quá trình Ito, ph ươ ng trình vi phân ng u nhiên (Ito) và nghi m c a nó. Ch ươ ng 3 xây d ng khai tri n Ito-Taylor c a quá trình Ito. Khai tri n Ito- Taylor ưc ví nh ư chi c chìa khóa m cánh c a d n t i các ph ươ ng pháp s xp x nghi m c a ph ươ ng trình vi phân ng u nhiên. Ch ươ ng 4 trình bày các ph ươ ng pháp s cho phép tìm x p x r i r c th i gian ca quá trình ng u nhiên Ito th a mãn ph ươ ng trình vi phân ng u nhiên (Ito). Các ph ươ ng pháp s này ưc xây d ng trên c ơ s gi n lưc khai tri n Ito-Taylor c a quá trình ng u nhiên Ito, ch gi l i mt s l ưng thích h p nh ng s h ng u trong khai tri n. Xp x cho b i các ph ươ ng pháp s này ưc g i là x p x Taylor c a quá trình Ito.
10. 7 Chư ng 1. LÝ THUY T XÁC SU T VÀ QUÁ TRÌNH NG U NHIÊN §1.1. KHÔNG GIAN XÁC SU T VÀ BI N NG U NHIÊN Cho t p h p Ω ≠ ∅ , t P (Ω) là t p h p t t c các t p con c a Ω. nh ngh a 1.1.1 Lp A⊂ P ( Ω ) c g i là m t σ-i s n u: i) Ω∈ A (1.1.1) c ii) A∈A ⇒ A =Ω( \ A ) ∈ A (1.1.2) ∞ A A iii) An ∈() n = 1,2, ⇒ U A n ∈ (1.1.3) n=1 nh ngh a 1.1.2 Cho A là m t σ-i s các t p con c a Ω, hàm t p P xác nh trên A c g i là o xác su t σ-cng tính trên A nu: i) P( A) ≥ 0, ∀ A ∈ A (1.1.4) ii) P(Ω) = 1 (1.1.5) ∞ A A iii) An∈() n =1,2, , AA ij ∩=∅≠ , ijA , U n ∈ n=1 ∞  ∞ ⇒ PU An  = ∑ P () A n (1.1.6) n=1  n=1 nh ngh a 1.1.3 (H tiên Kolmogorov) Ta g i b ba ( Ω,A,P) là không gian xác su t, v i a) Ω là t p h p b t k (khác ∅), c g i là không gian các bi n c s ơ c p; b) A là σ-i s các t p con c a Ω; c) P là o xác su t σ-cng tính trên A (g i t t là xác su t trên A). nh ngh a 1.1.4 Bi n ng u nhiên X xác nh trên không gian xác su t (Ω,A,P) là ánh x X : Ω → R sao cho: ωa X () ω XB−1 ( ) ={ω ∈Ω X( ω ) ∈ B } ∈ A , ∀B ∈ B (B là σ-i s Borel trên R) (1.1.7)
11. 8 nh ngh a 1.1.5 Hàm phân ph i xác su t c a bi n ng u nhiên X xác nh trên không gian xác su t (Ω,A,P) là hàm s FxX () =P({ω ∈Ω X() ω 0 , khi ó k v ng c a X v i iu ki n A là 1 E() X/ A= ∫ Xd P (1.1.11) P()A A nh ngh a 1.1.8 Cho không gian xác su t ( Ω,A,P) và F là m t σ-i s con c a A. a) K v ng có iu ki n c a bi n ng u nhiên X ≥ 0 i v i F là bi n ng u nhiên suy r ng không âm E( X F ) :Ω →[ 0, ∞ ] sao cho: i) E( X F ) là F-o c; ii) ∀A ∈ F,∫ Xd P= ∫ E( X F ) d P (1.1.12) A A b) Gi s X là bi n ng u nhiên b t k sao cho hu ch c ch n ta có +  −   minEXF  , EX F   < ∞ , khi ó k v ng có iu ki n c a X i v i F     c xác nh b i EX( F) = EX( + F) − EX( − F ) (1.1.13) S h i t c a dãy bi n ng u nhiên Cho bi n ng u nhiên X và dãy các bi n ng u nhiên ( X n ) cùng xác nh trên không gian xác su t c nh ( Ω,A,P).
12. 9 nh ngh a 1.1.9 (Hi t h u ch c ch n) Dãy bi n ng u nhiên ( X n ) c g i là hi t h.c.c n bi n ng u nhiên X khi Pω∈Ω :limXn ()() ω − X ω == 0 1 (1.1.14) ({ n→∞ }) nh ngh a 1.1.10 (H i t bình ph ư ng trung bình) Dãy bi n ng u nhiên ( X n ) c g i là h i t bình ph ơ ng trung bình n bi n ng u nhiên X khi 2 limE Xn − X = 0 (1.1.15) n→∞ ( ) nh ngh a 1.1.11 (H i t theo xác su t) Dãy bi n ng u nhiên ( X n ) c g i là hi t theo xác su t n bi n ng u nhiên X khi limPω∈Ω :()Xn ωωε − X () ≥= 0, ∀> ε 0 (1.1.16) n→∞ ({ }) S h i t ca dãy hàm phân ph i nh ngh a 1.1.12 Dãy hàm phân ph i F xác nh trên R c g i là h i t ( X n ) cn b n n hàm phân ph i FX khi Fx→ Fx, ∀ xCF ∈ (1.1.17) Xn ( ) X( ) ( X ) (trong ó C( F X ) là t p h p các im liên t c c a hàm FX ) nh ngh a 1.1.13 Dãy hàm phân ph i F c g i là h i t yu n hàm phân ( X n ) d ph i FX (trong R ) khi fxdF() x→ fxdFx () , ∀ fC ∈ Rd (1.1.18) ∫Xn ( ) ∫ X( ) b ( ) Rd R d d d (Cb (R ) là t p h p các hàm s liên t c b ch n trong R ) nh lý gi i h n trung tâm Gi s ( X n ) là dãy các bi n ng u nhiên c l p cùng phân ph i và có ph ơ ng 2 sai h u h n. t m= EX1,σ = VarX 1 , khi ó v i m i a, b ∈R ta có : n b 1  1 − 1 x2 lim P a≤∑ Xmb −≤=  edx2 (1.1.19) n→∞ ( k ) ∫ σn k =1  2 π a
13. 10 §1.2. QUÁ TRÌNH NG U NHIÊN nh ngh a 1.2.1 Xét t p h p vô h n T ⊂ R , mt quá trình ng u nhiên là m t h các bi n ng u nhiên X xác nh trên không gian xác su t A { t }t∈ T ( Ω, ,P). Chú ý : Có th xem m t quá trình ng u nhiên nh ư m t hàm hai bi n X: T x Ω → R mà v i m i t c nh thu c T ta có m t bi n ng u nhiên X( t ,ω) , và v i m i ω c nh thu c Ω ta có m t hàm X( t ,ω) mà th c a nó theo t ưc g i là m t qu o (hay m t ưng m u) ca X t . nh ngh a 1.2.2 Quá trình ng u nhiên X c g i là quá trình Gauss khi { t }t∈ T phân ph i c a vector ng u nhiên X, , X là Gauss v i m i t p con h u h n ( t1 t n ) I={ t1, , tn} ⊂ T . c bi t, n u m( t) = EXt = const và Rts( ,) = cov( XXt , s ) = Rts( − ) v i m i t, s∈ T thì {X t }t∈ T c g i là quá trình Gauss d ng. nh ngh a 1.2.3 Quá trình ng u nhiên X T R là quá trình s gia c l p { t }t∈ T ( ⊂ ) khi các s gia c a nó trên các kho ng th i gian r i nhau là các bi n ng u nhiên c lp, t c là v i m i phân ho ch h u h n tt0<<< 1 ttTkn( k ∈ , = 0,1, , n ) các s gia XX,− X , , X − X là các bi n ng u nhiên c l p. tt010 t tn t n − 1 nh ngh a 1.2.4 Quá trình ng u nhiên W là quá trình Wiener khi : { t }t∈[0, ∞ ) i) W0 = 0( hcc ;) (1.2.1) W là quá trình s gia c l p; ii) { t }t∈[0, ∞ ) iii) Bi n ng u nhiên WWt− s , 0 ≤ st ≤ có phân ph i chu n v i k v ng 0 và ph ơ ng sai (t− s ) ; H u h t các qu o c a W là hàm liên t c. iv) { t }t∈[0, ∞ ) nh ngh a 1.2.5 (t ươ ng ươ ng v i nh ngh a 1.2.4 ) Quá trình ng u nhiên W c g i là quá trình Wiener v i tham s ph ng sai 2 khi W là { t }t∈[0, ∞ ) ơ σ { t }t∈[0, ∞ ) 2 quá trình Gauss th a mãn EW( t ) =0 và RtsEWW( ,) =( t s ) =σ min,,,( ts) ∀≥ ts 0 .
14. 11 nh ngh a 1.2.6 Quá trình Wiener tiêu chu n là quá trình Wiener v i tham s ph ơ ng sai σ 2 =1. c im qu o c a quá trình Wiener : Xét Wt là m t qu o (t ươ ng ng v i mt ω c nh thu c Ω) c a quá trình Wiener, ta có : i) Wt liên t c h.c.c; ii) Wt không ơ n iu trên bt k on [,a b ]⊂ [0, ∞ ) nào; iii) Wt không kh vi t i b t k im nào. Chú ý : Quá trình Wiener có o hàm suy r ng là nhi u tr ng - th ưng ưc ký • hi u b i W t - là quá trình Gauss d ng có hàm t ươ ng quan Rts( , ) =δ ( ts − ) , trong 0 ,∀ t ≠ 0 +∞ ó δ là hàm Dirac (tc là δ th a mãn δ(t )= và ∫ δ ( t ) dt = 1 ). +∞ , t = 0 −∞ nh ngh a 1.2.7 Xét không gian xác su t ( Ω,A,P) và t p h p T ⊂ R A A a) H các σ-i s t ⊂(t ∈ T ) c g i là b l c n u nó th a mãn các iu ki n sau: A A • s⊆ t , ∀≤s tst ; , ∈ T (h không gi m) (1.2.2) A A • t= I u (h liên t c ph i) (1.2.3) u> t A A • Nu A∈ và P(A )= 0 thì A∈ 0 (1.2.4) b) Quá trình ng u nhiên X c g i là tơ ng thích v i h A n u { t }t∈ T { t }t∈ T H A không gi m. • { t }t∈ T A • X t là t -o c, ∀t ∈ T . c) Cho quá trình ng u nhiên X tơ ng thích v i b l c A và th a { t }t∈ T { t }t∈ T mãn các iu ki n sau: • EXt < ∞, ∀ tT ∈ (1.2.5) • EXA = XP-h.c.c, ∀≤∈ ststT ; , (1.2.6) ( t)s s A Khi ó, {Xt, t , t∈ T } là martingale.