Các thuật toán xén điểm, đoạn thẳng

Nội dung text: Các thuật toán xén điểm, đoạn thẳng

1. ÑOÀ HOÏA MAÙY TÍNH CCaaùùcc tthhuuaaätät ttooaaùnùn xxeeùnùn ññiieeåmåm,, ññooaaïnïn tthhaaúnúngg Daããn nhaäpä · Thao taùc loaïi boû caùc phaàn hình aûnh naèm ngoaøi moät vuøng cho tröôùc ñöôïc goïi laø xeùn hình. · Vuøng ñöôïc duøng ñeå xeùn hình goïi laø cöûa soå xeùn (clip window). · Cho cöûa soå hình chöõ nhaät coù toïa ñoä cuûa caùc ñieåm döôùi beân traùi vaø ñieåm treân beân phaûi laàn löôït laø (xmin , ymin ) vaø (xmax , ymax ). · Moät ñieåm P(x, y) ñöôïc coi laø naèm beân trong cöûa soå ìxmin £ x £ xmax neáu thoûa heä baát phöông trình : í . îymin £ y £ ymax · Baây giôø, ta seõ xeùt baøi toaùn xeùn ñoaïn thaúng ñöôïc cho bôûi hai ñieåm P1 (x1 , y1 ) vaø P2 (x2 , y2 )vaøo cöûa soå hình chöõ nhaät treân. P7 P4 P2 P2 P6 P8 P P P' 1 Window 1 Window 6 P3 P'5 (a) P5 (b) Döông Anh Ñöùc, Leâ Ñình Duy Caùc thuaät toaùn xeùn hình 1/11
2. ÑOÀ HOÏA MAÙY TÍNH Vaáán ñeà à toáái öu hoùùa toáác ñoää · YÙ töôûng chung : ¨ Ñoái vôùi caùc ñoaïn thaúng ñaëc bieät nhö naèm hoaøn toaøn trong hoaëc hoaøn toaøn beân ngoaøi cöûa soå (ví duï nhö ñoaïn P1P2 vaø P3P4 trong hình treân) : khoâng caàn phaûi tìm giao ñieåm. ¨ Ñoái vôùi caùc ñoaïn thaúng coù khaû naêng caét cöûa soå : caàn phaûi ñöa ra caùch tìm giao ñieåm nhanh. · Nhaän xeùt ¨ Caùc ñoaïn thaúng maø coù caû hai ñieåm naèm hoaøn toaøn trong cöûa soå thì caû ñoaïn thaúng naèm trong cöûa soå, ñaây cuõng chính laø keát quaû sau khi xeùn (ví duï nhö ñoaïn thaúng P1P2), maët khaùc ñoái vôùi caùc ñoaïn thaúng maø coù hai ñieåm naèm veà cuøng moät phía cuûa cöûa soå thì luoân naèm ngoaøi cöûa soå vaø seõ bò maát sau khi xeùn (ví duï nhö ñoaïn thaúng P3P4). ¨ Vôùi caùc ñoaïn thaúng coù khaû naêng caét cöûa soå (ví duï nhö ñoaïn thaúng P5P6 vaø P7P8) ñeå vieäc tìm giao ñieåm nhanh caàn ruùt goïn vieäc tìm giao ñieåm vôùi nhöõng bieân cöûa soå khoâng caàn thieát ñeå xaùc ñònh phaàn giao neáu coù cuûa ñoaïn thaúng vaø cöûa soå. · Ngöôøi ta thöôøng söû duïng phöông trình tham soá cuûa ñoaïn thaúng trong vieäc tìm giao ñieåm giöõa ñoaïn thaúng vôùi cöûa soå. x = x1 + t(x2 - x1 ) = x1 + tDx, Dx = x2 - x1 y = y1 + t(y2 - y1 ) = y1 + tDy, Dy = y2 - y1 , 0 £ t £ 1 · Neáu giao ñieåm öùng vôùi giaù trò t naèm ngoaøi ñoaïn [0,1] thì giao ñieåm ñoù seõ khoâng thuoäc veà cöûa soå. Döông Anh Ñöùc, Leâ Ñình Duy Caùc thuaät toaùn xeùn hình 2/11
3. ÑOÀ HOÏA MAÙY TÍNH Thuaäät toaùùn Cohen - Sutherland · Keùo daøi caùc bieân cuûa cöûa soå, ta chia maët phaúng thaønh chín vuøng goàm cöûa soå vaø taùm vuøng xung quanh noù. 0101 0100 0110 4 3 2 1 TOP LEFT LEFT RIGHT 0001 0000 0010 RIGHT Window TOP BOTTOM BOTTOM 1001 1000 1010 · Khaùi nieäm maõ vuøng (area code) ¨ Moät con soá 4 bit nhò phaân goïi laø maõ vuøng seõ ñöôïc gaùn cho moãi vuøng ñeå moâ taû vò trí töông ñoái cuûa vuøng ñoù so vôùi cöûa soå. ¨ Baèng caùch ñaùnh soá töø 1 ñeán 4 theo thöù töï töø phaûi qua traùi, caùc bit cuûa maõ vuøng ñöôïc duøng theo quy öôùc sau ñeå chæ moät trong boán vò trí töông ñoái cuûa vuøng so vôùi cöûa soå bao goàm : traùi, phaûi, treân, döôùi. Ví duï : Bit 1 : traùi (LEFT) Bit 2 : phaûi (RIGHT) Bit 3 : treân (TOP) Bit 4 : döôùi (BOTTOM) ¨ Giaù trò 1 töông öùng vôùi vò trí bit naøo trong maõ vuøng seõ chæ ra raèng ñieåm ñoù ôû vò trí öông öùng, ngöôïc laïi bit ñoù seõ ñöôïc ñaët baèng 0. ¨ Caùc giaù trò bit trong maõ vuøng ñöôïc tính baèng caùch xaùc ñònh toïa ñoä cuûa ñieåm (x, y) thuoäc vuøng ñoù vôùi caùc bieân cuûa cöûa soå. Bit 1 ñöôïc ñaët laø 1 neáu x < xmin , caùc bit khaùc ñöôïc tính töông töï. Döông Anh Ñöùc, Leâ Ñình Duy Caùc thuaät toaùn xeùn hình 3/11
4. ÑOÀ HOÏA MAÙY TÍNH Thuaäät toaùùn · Gaùn maõ vuøng töông öùng cho caùc ñieåm ñaàu cuoái P1 , P2 cuûa ñoaïn thaúng caàn xeùn laàn löôït laø c1 , c2 . Ta coù nhaän xeùt : ¨ Caùc ñoaïn thaúng naèm hoaøn toaøn beân trong cöûa soå seõ coù c1 = c2 = 0000 , öùng vôùi caùc ñoaïn naøy, keát quaû sau khi xeùn laø chính noù. ¨ Neáu toàn taïi k Î1, 4 , sao cho vôùi bit thöù k cuûa c1 , c2 ñeàu coù giaù trò 1, luùc naøy ñoaïn thaúng seõ naèm veà cuøng phía öùng vôùi bit k so vôùi cöûa soå, do ñoù naèm hoaøn toaøn ngoaøi cöûa soå. Ñoaïn naøy seõ bò loaïi boû sau khi xeùn. Ñeå xaùc ñònh tính chaát naøy, ñôn giaûn chæ caàn thöïc hieän pheùp toaùn logic AND treân c1 , c2 . Neáu keát quaû khaùc 0000, ñoaïn thaúng seõ naèm hoaøn toaøn ngoaøi cöûa soå. ¨ Neáu c1 , c2 khoâng thuoäc veà hai tröôøng hôïp treân, ñoaïn thaúng coù theå hoaëc khoâng caét ngang cöûa soå, chaéc chaén seõ toàn taïi moät ñieåm naèm ngoaøi cöûa soå, khoâng maát tính toång quaùt giaû söû ñieåm ñoù laø P1 . Baèng caùch xeùt maõ vuøng cuûa P1 laø c1 ta coù theå xaùc ñònh ñöôïc caùc bieân maø ñoaïn thaúng coù theå caét ñeå töø ñoù choïn moät bieân vaø tieán haønh tìm giao ñieåm P1 'cuûa ñoaïn thaúng vôùi bieân ñoù. Luùc naøy, ñoaïn thaúng ban ñaàu ñöôïc xeùn thaønh P1 P1 ' . Sau ñoù chuùng ta laïi laëp laïi thao taùc ñaõ xeùt cho ñoaïn thaúng môùi P1 P1 ' cho tôùi khi xaùc ñònh ñöôïc phaàn naèm trong hoaëc loaïi boû toaøn boä ñoaïn thaúng. ¨ Caùc ñieåm giao vôùi caùc bieân cöûa soå cuûa ñoaïn thaúng coù theå ñöôïc tính töø phöông trình tham soá. Ví duï : tung ñoä y cuûa ñieåm giao ñoaïn thaúng vôùi bieân ñöùng cuûa cöûa soå coù theå tính töø coâng thöùc y = y1 + m(x - x1 ), trong ñoù x coù theå laø xmin hay xmax . Döông Anh Ñöùc, Leâ Ñình Duy Caùc thuaät toaùn xeùn hình 4/11
5. ÑOÀ HOÏA MAÙY TÍNH Löu ñoà thuaät toaùn Cohen - Sutherland Begin EnCode(P1,c1); EnCode(P2,c2) (c1!=0000) || (c2!=0000) No Yes (c1&c2 == 0000) No Yes Xaùc ñònh giao ñieåm cuûa ñoaïn thaúng vôùi bieân cuûa cöûa soå baèng caùch xeùt maõ vuøng cuûa ñieåm naèm ngoaøi cöûa soå End // Ñoaïn CT tính maõ vuøng void EnCode(POINT p, CODE &c, RECT rWin) { c = 0; if(p.x rWin.Right) c |= RIGHT; if(p.y > rWin.Top) c |= TOP; if(p.y < rWin.Bottom) c |= BOTTOM; } Döông Anh Ñöùc, Leâ Ñình Duy Caùc thuaät toaùn xeùn hình 5/11
6. ÑOÀ HOÏA MAÙY TÍNH Thuaäät toaùùn Liang - Barsky · Thuaät toaùn Liang-Barsky ñöôïc phaùt trieån döïa vaøo vieäc phaân tích daïng tham soá cuûa phöông trình ñoaïn thaúng. x = x1 + t(x2 - x1 ) = x1 + tDx, Dx = x2 - x1 y = y1 + t(y2 - y1 ) = y1 + tDy, Dy = y2 - y1 , 0 £ t £ 1 · ÖÙng vôùi moãi giaù trò t, ta seõ coù moät ñieåm P töông öùng thuoäc ñöôøng thaúng. ¨ Caùc ñieåm öùng vôùi t ³ 1 seõ thuoäc veà tia P2x. ¨ Caùc ñieåm öùng vôùi t £ 0 seõ thuoäc veà tia P2x’. ¨ Caùc ñieåm öùng vôùi 0 £ t £ 1 seõ thuoäc veà ñoaïn thaúng P1 P2 . x P (x , y ) 2 2 2 t>1 t=1 P1(x1, y1) t=0 t<0 x' · Taäp hôïp caùc ñieåm thuoäc veà phaàn giao cuûa ñoaïn thaúng vaø cöûa soå öùng vôùi caùc giaù trò t thoûa heä baát phöông ìxmin £ x1 + tDx £ xmax ï íymin £ y1 + tDy £ ymax trình : ï î0 £ t £ 1 Döông Anh Ñöùc, Leâ Ñình Duy Caùc thuaät toaùn xeùn hình 6/11
7. ÑOÀ HOÏA MAÙY TÍNH p1 = -Dx, q1 = x1 - xmin p2 = Dx, q2 = xmax - x1 · Ñaët p3 = -Dy, q3 = y1 - ymin p4 = Dy, q4 = ymax - y1 · Luùc naøy ta vieát heä phöông trình treân döôùi daïng : ìpk t £ qk , k = 1,2,3,4 í î0 £ t £ 1 · Nhö vaäy vieäc tìm ñoaïn giao thöïc chaát laø tìm nghieäm cuûa heä baát phöông trình naøy. Coù hai khaû naêng xaûy ra ñoù laø : ¨ Heä baát phöông trình voâ nghieäm, nghóa laø ñöôøng thaúng khoâng coù phaàn giao vôùi cöûa soå neân seõ bò loaïi boû. ¨ Heä baát phöông trình coù nghieäm, luùc naøy taäp nghieäm seõ laø caùc giaù trò t thoûa t Î [t1 , t2 ] Í [0,1]. · Ta xeùt caùc tröôøng hôïp : ¨ Neáu $ k Î {1,2,3,4} : (pk = 0) Ù (qk 0 , ta coù t £ qk / pk . Döông Anh Ñöùc, Leâ Ñình Duy Caùc thuaät toaùn xeùn hình 7/11
8. ÑOÀ HOÏA MAÙY TÍNH · Vaäy nghieäm cuûa heä baát phöông trình laø [t1 ,t2 ] vôùi : ì ì qk ü ït1 = max(í , pk 0ý U {1}) ï î pk þ ït £ t ï 1 2 îï · Neáu heä treân coù nghieäm thì ñoaïn giao Q1Q2 seõ laø Q1 (x1 + t1 Dx, y1 + t1 Dy), Q2 (x1 + t2 Dx, y1 + t2 Dy) . · Neáu xeùt thuaät toaùn naøy ôû khía caïnh hình hoïc ta coù : ¨ Tröôøng hôïp $ k Î {1,2,3,4} : (pk = 0) Ù (qk 0 , ñöôøng thaúng seõ coù höôùng ñi töø beân trong cöûa soå ñi ra. Do ñoù hai ñaàu muùt cuûa ñoaïn giao seõ öùng vôùi caùc giaù trò t1 , t2 ñöôïc tính nhö sau : Giaù trò t1 chính laø giaù trò lôùn nhaát cuûa caùc rk = qk / pk maø pk 0 (ñöôøng thaúng ñi töø trong cöûa soå ñi ra) vaø 1. Döông Anh Ñöùc, Leâ Ñình Duy Caùc thuaät toaùn xeùn hình 8/11
9. ÑOÀ HOÏA MAÙY TÍNH TThhuuaaätät ttooaaùnùn xxeeùnùn ññaa ggiiaaùùcc SSuutthheerrllaanndd HHooddggeemmaanndd Daããn nhaäpä · Chuùng ta coù theå hieäu chænh caùc thuaät toaùn xeùn ñoaïn thaúng ñeå xeùn ña giaùc baèng caùch xem ña giaùc nhö laø moät taäp caùc ñoaïn thaúng lieân tieáp noái vôùi nhau. Tuy nhieân, keát quaû sau khi xeùn nhieàu khi laïi laø taäp caùc ñoaïn thaúng rôøi nhau. · Ñieàu chuùng ta mong muoán ôû ñaây ñoù laø keát quaû sau khi xeùn phaûi laø moät caùc ña giaùc ñeå sau naøy coù theå chuyeån thaønh caùc vuøng toâ. (a) (b) (c) Döông Anh Ñöùc, Leâ Ñình Duy Caùc thuaät toaùn xeùn hình 9/11
10. ÑOÀ HOÏA MAÙY TÍNH Thuaäät toaùùn Sutherland - Hodgeman · Thuaät toaùn naøy seõ tieán haønh xeùn ña giaùc laàn löôït vôùi caùc bieân cöûa soå. Ñaàu tieân, ña giaùc seõ ñöôïc xeùn doïc theo bieân traùi cuûa cöûa soå, keát quaû sau böôùc naøy seõ ñöôïc duøng ñeå xeùn tieáp bieân phaûi, roài cöù töông töï nhö vaäy cho caùc bieân treân, döôùi. Sau khi xeùn heát vôùi boán bieân cuûa cöûa soå, ta ñöôïc keát quaû cuoái cuøng. · Vôùi moãi laàn xeùn ña giaùc doïc theo moät bieân naøo ñoù cuûa cöûa soå, neáu goïi Vi ,Vi+1 laø hai ñænh keà caïnh Vi Vi+1 , ta coù 4 tröôøng hôïp coù theå xaûy ra khi xeùt töøng caëp ñænh cuûa ña giaùc ban ñaàu vôùi bieân cuûa cöûa soå nhö sau: ¨ Neáu Vi naèm ngoaøi, Vi+1 naèm trong, ta löu giao ñieåm I cuûa ViVi+1 vôùi bieân cuûa cöûa soå vaø Vi+1 . ¨ Neáu caû Vi , Vi+1 ñeàu naèm trong, ta seõ löu caû Vi , Vi+1 . ¨ Neáu Vi naèm trong, Vi+1 naèm ngoaøi, ta seõ löu Vi vaø I. ¨ Neáu caû Vi , Vi+1 ñeàu naèm ngoaøi, ta khoâng löu gì caû. Vi I Vi+1 Vi Vi+1 Vi Vi+1 I Vi+1 Vi (i) (ii) (iii) (iv) Döông Anh Ñöùc, Leâ Ñình Duy Caùc thuaät toaùn xeùn hình 10/11
11. ÑOÀ HOÏA MAÙY TÍNH Caøi ñaët haøm xeùn ña giaùc theo moät caïnh cuûa cöûa soå void ClipEdge(POINT *pIn, int N, POINT *pOut, int &Cnt, int Edge, RECT rWin) { int FlagPrevPt = FALSE; Cnt = 0; POINT pPrev; pPrev = pIn[0]; if(Inside(pPrev, Edge, rWin)) // Save point { pOut[Cnt] = pPrev; Cnt++; FlagPrevPt = TRUE; } for(int i=1; i<N; i++) { if(FlagPrevPt) // Diem bat dau nam trong { if(Inside(pIn[i], Edge, rWin)) // Save point P { pOut[Cnt] = pIn[i]; Cnt++; } else // Save I { FlagPrevPt = FALSE; pOut[Cnt] = Intersect(pPrev, pIn[i], Edge, rWin); Cnt++; } } else // Diem bat dau canh nam ngoai { if(Inside(pIn[i], Edge, rWin)) // Save point I, P { FlagPrevPt = TRUE; pOut[Cnt] = Intersect(pPrev, pIn[i], Edge, rWin); Cnt++; pOut[Cnt] = pIn[i]; Cnt++; } } pPrev = pIn[i]; } // Neu Diem cuoi va dau giao voi bien cua cua so Save point I if(!(Inside(pIn[N], Edge, rWin) == Inside(pPrev, Edge, rWin))) { pOut[Cnt] = Intersect(pPrev, pIn[N], Edge, rWin); Cnt++; } pOut[Cnt] = pOut[0]; }// ClipEdge Döông Anh Ñöùc, Leâ Ñình Duy Caùc thuaät toaùn xeùn hình 11/11