Báo cáo Phương pháp chiếu cải biên giải bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu mạnh (Phần 1)

Nội dung text: Báo cáo Phương pháp chiếu cải biên giải bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu mạnh (Phần 1)

1. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH BÁO CÁO TỔNG KẾT ÐỀ TÀI KH&CN CẤP TRƯỜNG TRỌNG ÐIỂM PHƯƠNG PHÁP CHIẾU CẢI BIÊN GIẢI BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN GIẢ ĐƠN ĐIỆU MẠNH Mã số: T2013-37TĐ Chủ nhiệm đề tài: ThS Phan Tự Vượng SKC004307 Tp. Hồ Chí Minh, tháng 12/2013
2. Phương pháp chiếu cải biên giải bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu mạnh. Phạm Duy Khánh-Phan Tự Vượng, Đề tài KHCN cấp Trường trọng điểm-2013 DANH SÁCH THÀNH VIÊN THAM GIA NGHIÊN CỨU VÀ ĐƠN VỊ PHỐI HỢP CHÍNH THÀNH VIÊN: 1) ThS Phan Tự Vượng-ĐH SPKT Tp HCM 2) ThS Phạm Duy Khánh-ĐHSP Tp HCM 1
3. Phương pháp chiếu cải biên giải bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu mạnh. Phạm Duy Khánh-Phan Tự Vượng, Đề tài KHCN cấp Trường trọng điểm-2013 Mục lục Danh mục bảng biểu Trang 3 Danh mục các chữ viết tắt Trang 4 Thông tin kết quả nghiên cứu bằng tiếng Việt và tiếng Anh Trang 5 Mở đầu Trang 8 Chương 1 Trang 11 Chương 2 Trang 14 Kết luận và kiến nghị Trang 18 Tài liệu tham khảo Trang 19 Phụ lục Trang 21 Bản sao thuyết minh đề tài đã được phê duyệt Trang 33 2
4. Phương pháp chiếu cải biên giải bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu mạnh. Phạm Duy Khánh-Phan Tự Vượng, Đề tài KHCN cấp Trường trọng điểm-2013 Danh mục bảng biểu 3
5. Phương pháp chiếu cải biên giải bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu mạnh. Phạm Duy Khánh-Phan Tự Vượng, Đề tài KHCN cấp Trường trọng điểm-2013 Danh mục các chữ viết tắt 1) VI K, F : Bài toán bất đẳng thức biến phân đối với ánh xạ F và có tập chấp nhận được là K. 2) SolVI K, F : Tập nghiệm của bài toán VI K, F . 4
6. Phương pháp chiếu cải biên giải bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu mạnh. Phạm Duy Khánh-Phan Tự Vượng, Đề tài KHCN cấp Trường trọng điểm-2013 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA THUẬT VIỆT NAM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Độc lập - Tự do - Hạnh phúc KHOA KHCB Tp. HCM, Ngày 30 tháng 11 năm 2013 THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU 1. Thông tin chung: - Tên đề tài: Phương pháp chiếu cải biên giải bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu mạnh. - Mã số: T2013-37TĐ - Chủ nhiệm: Phan Tự Vượng - Cơ quan chủ trì: Đại học Sư phạm Kỹ thuật Tp Hồ Chí Minh - Thời gian thực hiện: Từ 1/2013 đến 12/2013 2. Mục tiêu: Nghiên cứu sự hội tụ và tốc độ hội tụ của phương pháp chiếu cải biên giải bài toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu mạnh trong không gian Hilbert thực. 3. Tính mới và sáng tạo: Các kết quả thu được trong đề tài là hoàn toàn mới và đã được chấp nhận đăng ở tạp chí Quốc tế ISI rất uy tín trong chuyên ngành Lý thuyết tối ưu. 5
7. Phương pháp chiếu cải biên giải bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu mạnh. Phạm Duy Khánh-Phan Tự Vượng, Đề tài KHCN cấp Trường trọng điểm-2013 4. Kết quả nghiên cứu: Chứng minh sự hội tụ và đánh giá tốc độ hội tụ của phương pháp chiếu cải biên giải bài toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu mạnh trong không gian Hilbert thực. 5. Sản phẩm: Bài báo quốc tế đăng trên tạp chí ISI: Pham Duy Khanh, Phan Tu Vuong: Modified projection method for strongly pseudomonotone variational inequalities, J Glob Optim DOI 10.1007/s10898-013- 0042-5 6. Hiệu quả, phương thức chuyển giao kết quả nghiên cứu và khả năng áp dụng: Các kết quả trình bày trong đề tài có thể sử dụng làm tài liệu tham khảo trong nghiên cứu cơ bản cho nghiên cứu sinh và học viên cao học. Trưởng Đơn vị Chủ nhiệm đề tài (ký, họ và tên) (ký, họ và tên) PGS. TS. Đỗ Quang Bình Phan Tự Vượng 6
8. Phương pháp chiếu cải biên giải bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu mạnh. Phạm Duy Khánh-Phan Tự Vượng, Đề tài KHCN cấp Trường trọng điểm-2013 INFORMATION ON RESEARCH RESULTS 1. General information: Project title: Modified projection method for strongly pseudomonotone variational inequalities Code number: Coordinator: Phan Tu Vuong Implementing institution: University of Technical Education Ho Chi Minh City Duration: from January 2013 to December 2013. 2. Objective(s): We studied the convergence and convergence rate of a modified projection method for strongly pseudomonotone variational inequalities in a real Hilbert space. 3. Creativeness and innovativeness: The results obtained in this project is new and have been published in a very good International Optimization journal. 4. Research results: A modified projection method for strongly pseudomonotone variational inequalities is considered. Strong convergence and error estimates for the sequences generated by this method are studied. 5. Products: ISI paper: Pham Duy Khanh, Phan Tu Vuong: Modified projection method for strongly pseudomonotone variational inequalities, J Glob Optim DOI 10.1007/s10898-013- 0042-5 6. Effects, transfer alternatives of reserach results and applicability: The results established in this project are references for PhD and Master students in the field of mathematics. 7
9. Phương pháp chiếu cải biên giải bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu mạnh. Phạm Duy Khánh-Phan Tự Vượng, Đề tài KHCN cấp Trường trọng điểm-2013 MỞ ĐẦU 1. TỔNG QUAN TÌNH HÌNH NGHIÊN CỨU THUỘC LĨNH VỰC CỦA ĐỀ TÀI Ở TRONG VÀ NGOÀI NƯỚC Ngoài nước: Bất đẳng thức biến phân là mô hình toán học hữu ích giúp thống nhất một số khái niệm quan trọng trong toán học ứng dụng như: các hệ phương trình phi tuyến, các điều kiện cần cho các bài toán tối ưu, các bài toán bù, các bài toán điểm bất động [3, 7]. Có nhiều phương pháp khác nhau được đề xuất để giải bài toán bất đẳng thức biến phân. Trong các phương pháp đó, phương pháp chiếu được sử dụng nhiều vì tính đơn giản của nó trong áp dụng. Các phương pháp chiếu như phương pháp chiếu cơ bản, phương pháp gradient kéo dài, phương pháp siêu phẳng chiếu được xây dựng để giải những lớp bất đẳng thức biến phân tương ứng như bất đẳng thức biến phân đơn điệu mạnh, đơn điệu, giả đơn điệu [3, 7]. Thời gian gần đây, lớp bài toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu mạnh được nhiều nhà toán học quan tâm (xem [1, 2, 9, 11-13]). Chú ý rằng bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu mạnh là một lớp bất đẳng thức biến phân rộng hơn thực sự bất đẳng thức biến phân đơn điệu mạnh [7, 8]. Trong nước: Trong [7] tác giả đề xuất một phương pháp gradient kéo dài mới giải bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu mạnh. Phương pháp gradient kéo dài mới chính là phương pháp chiếu hai bước với bước lặp tạo thành một dãy hội tụ về không và có tổng vô hạn. Sự hội tụ và tốc độ hội tụ của dãy lặp sinh bởi gradient kéo dài mới được thiết lập. Hơn nữa, một lớp các bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu mạnh trong không gian vô hạn chiều được đưa ra. 8
10. Phương pháp chiếu cải biên giải bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu mạnh. Phạm Duy Khánh-Phan Tự Vượng, Đề tài KHCN cấp Trường trọng điểm-2013 2. TÍNH CẤP THIẾT CỦA ĐỀ TÀI Phương pháp chiếu cơ bản giải tốt lớp các bất đẳng thức biến phân đơn điệu mạnh trong không gian Hilbert thực. Dãy lặp sinh bởi phương pháp chiếu cơ bản hội tụ tuyến tính về nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu mạnh. Ta đã biết, lớp các bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu mạnh là lớp rộng hơn thực sự lớp các bất đẳng thức biến phân đơn điệu mạnh. Một câu hỏi tự nhiên được đặt ra là "Phương pháp chiếu cơ bản có giải tốt lớp bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu mạnh hay không?". Do đó việc nghiên cứu phương pháp chiếu cơ bản để giải lớp bài toán này là cần thiết. 3. MỤC TIÊU ĐỀ TÀI Nghiên cứu sự hội tụ và tốc độ hội tụ của phương pháp chiếu cải biên giải bài toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu mạnh trong không gian Hilbert thực. 4. CÁCH TIẾP CẬN, PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 4.1. Cách tiếp cận Nghiên cứu lý thuyết thông qua các tài liệu chuyên ngành (sách, bài báo khoa học), các seminar học thuật. 4.2. Phương pháp nghiên cứu Các công cụ đã có trong lý thuyết tối ưu, cân bằng và thuật toán sẽ được sử dụng trong các nghiên cứu của đề tài. 5. ĐỐI TƯỢNG, PHẠM VI NGHIÊN CỨU 5.1. Đối tượng nghiên cứu Bài toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu mạnh trong không gian Hilbert thực và phương pháp chiếu cải biên. 9
11. Phương pháp chiếu cải biên giải bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu mạnh. Phạm Duy Khánh-Phan Tự Vượng, Đề tài KHCN cấp Trường trọng điểm-2013 5.2. Phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu khả năng áp dụng của phương pháp chiếu cải biên vào giải bài toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu mạnh trong không gian Hilbert thực. 6. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU Phương pháp chiếu cổ điển giải rất tốt bài toán bất đẳng thức đơn điệu mạnh và liên tục Lipschitz. Vậy phương pháp này có thể áp dụng cho bài boán bất đẳng thức giả đơn điệu mạnh hay không? Việc trả lời cầu hỏi trên giúp xây dựng thuật toán hiệu quả giải lớp bài toán các bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu mạnh trong không gian Hilbert thực (rộng hơn thực sự lớp các bất đẳng thức biến phân đơn điệu mạnh). 10
12. Phương pháp chiếu cải biên giải bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu mạnh. Phạm Duy Khánh-Phan Tự Vượng, Đề tài KHCN cấp Trường trọng điểm-2013 Chương 1: PHƯƠNG PHÁP CHIẾU CẢI BIÊN 1.1. Phép chiếu mêtric: Cho K là tập lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert thực H . Khi đó với mỗi vectơ u H , tồn tại duy nhất một vecto thuộc K , ký hiệu là PK () u sao cho u PK u u v  v K . Ánh xạ PK (.) gọi là phép chiếu mêtric lên tập K. 1.2. Bài toán bất đẳng thức biến phân: Cho ánh xạ FKH: . Bài toán tìm u* K sao cho F( u ), u u 0  u K gọi bất đẳng thức biến phân đối, ký hiệu VI(KF , ). Tập nghiệm của bài toán này ký hiệu là SolVI( K , F ). 1.3. Các tính chất đơn điệu và tính chất liên tục Lipschitz: Ánh xạ FKH: gọi là: i) đơn điệu mạnh nếu tồn tại  0 sao cho FuFvuv( ) ( ),  uv 2  uvK , ; ii) giả đơn điệu mạnh trên K nếu tồn tại  0 sao cho Fuvu( ), 0 Fvvu ( ),  vu 2  uvK , ; iii) liên tục Lipschitz trên K nếu tồn tại L 0 sao cho F()(),. u F v L u v  u v K 11
13. Phương pháp chiếu cải biên giải bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu mạnh. Phạm Duy Khánh-Phan Tự Vượng, Đề tài KHCN cấp Trường trọng điểm-2013 Nhận xét 1: . Nếu FKH: đơn điệu mạnh thì bài toán VI(KF , ) có duy nhất nghiệm. . Nếu FKH: đơn điệu mạnh thì nó cũng giả đơn điệu mạnh. Điều ngược lại không đúng trong trường hợp tổng quát. Định lý 1.1: Cho FKH: là đơn điệu mạnh với hằng số  và Lipschitz với hằng số L. Giả sử {}u k là dãy lặp cho bởi công thức 0 u K (1) k 1 k k u PK ()() u  Fu k 2 k * trong đó  0,2 . Khi đó, {}u hội tụ về nghiệm duy nhất u của bài toán L VI(KF , ). Hơn nữa, tồn tại  (0,1) sao cho uk 1 u *  u k u * ,.  k Thuật toán 1 (Phương pháp chiếu cải biên) 0 Dữ liệu đầu vào: u K và k  (0, ) Bước 0: Cho k=0 k k k Bước 1: Nếu u PK( u  k F ( u k )) thì dừng thuật toán, u là nghiệm. k 1 k Bước 2: Tính u PK( u  k F ( u k )) , thay k=k+1 và quay lại Bước 1. Mệnh đề 1.1: Cho K là tập lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert H. Cho F là ánh xạ từ K vào H giả đơn điệu mạnh với hệ số  và liên tục Lipschitz với hệ số L. Cho uk  là dãy xây dựng từ thuật toán 1. Khi đó nếu u* là nghiệm duy nhất của bài toán VI(K,F) thì 12
14. Phương pháp chiếu cải biên giải bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu mạnh. Phạm Duy Khánh-Phan Tự Vượng, Đề tài KHCN cấp Trường trọng điểm-2013 2 2 1  2   L2 uk 1 u * u k u * . (2) k k Chứng minh: Xem phụ lục, Mệnh đề 3.1 13
15. Phương pháp chiếu cải biên giải bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu mạnh. Phạm Duy Khánh-Phan Tự Vượng, Đề tài KHCN cấp Trường trọng điểm-2013 Chương 2 SỰ HỘI TỤ CỦA PHƯƠNG PHÁP 2.1 Trường hợp biết các hệ số đơn điệu mạnh và Lipschitz: Định lý 2.1: Cho K là tập lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert H. Cho F là ánh xạ từ K vào H giả đơn điệu mạnh với hệ số  và liên tục Lipschitz với hệ số L. Giả sử tồn tại a, b sao cho: 0 a k b L  k (3) Cho uk  là dãy xây dựng từ thuật toán 1. Khi đó nếu u* là nghiệm duy nhất của bài toán VI(K,F) thì uk  hội tụ tuyến tính về u* . Hơn nữa ta có các đánh giá sau:  k 1  k 1 uk 1 u * u 1 u 0 và uk 1 u * u k 1 u k  k (4) 1  1  1 Trong đó  0,1 . 1 a (2 bL2 ) Chứng minh: Xem phụ lục, Định lý 4.1 Nhận xét 2: Khi a b  , thuật toán 1 trở thành phương pháp chiếu cổ điển, khi đó 1  . Khi đó hệ số  nhỏ nhất có thể đạt được là 1  (2  L2 ) * 1 *   khi   2 . L2  2 L 14
16. Phương pháp chiếu cải biên giải bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu mạnh. Phạm Duy Khánh-Phan Tự Vượng, Đề tài KHCN cấp Trường trọng điểm-2013 Nhận xét 3: Xem  là hàm số theo hai biến a và b, trong đó (a,b) thuộc miền xác định như sau: 2 2  a, b : 0 a b  L2  1 Đặt b=ta với t 1, cố định, ta có  a,, b  a ta . Dễ 1 a (2 taL2 ) 1  thấy hàm số này đạt giá trị nhỏ nhất là khi a 2 .  2 tL 1 tL2  1 L Mặt khác vì min :1 t  , nên ta có 2L 2  2 1 tL2  2  L min  (a , b ) : 0 a b 2  L  L2  2 * L  Khi đó giá trị nhỏ nhất của  là  khi a b 2 . L2  2 L Hệ quả 2.1 Với các giả thiết như trong định lý 2.1, nếu ánh xạ F là đơn điệu mạnh và liên tục Lipschitz trên K thì dãy uk  xây dựng bởi thuật toán 1 hội tụ tuyến tính về u* là nghiệm duy nhất của VI(K,F) và các đánh giá sai số ở (4) vẫn đúng. Ví dụ 1 (Xem [8, 9]) Cho H l 2 là không gian Hilbert thực xác định như sau: 2  H u u1, u 2 , , ui :  u i  i 1  Tích vô hướng và chuẩn trên H xác định bởi: 15
17. Phương pháp chiếu cải biên giải bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu mạnh. Phạm Duy Khánh-Phan Tự Vượng, Đề tài KHCN cấp Trường trọng điểm-2013 u, v  ui v i và u u, u i 1 Với mọi u u1, u 2 , , ui , v v 1 , v 2 , , v i H .  Cho ,  thỏa điều kiện 0  . Đặt: 2 K u H:, u  F  u  u u Khi đó dễ thấy Sol K , F  0, hơn nữa F là giả đơn điệu mạnh với hệ số   0 và liên tục Lipschitz với hệ số L 2  (xem [8, 9]). 0 2 2  Chọn u bất kỳ thuộc K và k  0,2 0, 2 . Khi đó theo L 2  định lý 2.1, dãy uk  xây dựng bởi thuật toán 1 hội tụ tuyến tính về 0 là nghiệm duy nhất của VI K ,F  . 2.2 Trường hợp không biết các hệ số điệu mạnh và Lipschitz: Định lý 2.2: Cho K là tập lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert H. Cho F là ánh xạ từ K vào H giả đơn điệu mạnh với hệ số  và liên tục Lipschitz với hệ số L. Giả sử k  là dãy số dương thỏa điều kiện: k , lim  k 0 (5) k 0 k Cho uk  là dãy xây dựng từ thuật toán 1. Khi đó nếu u* là nghiệm duy nhất của bài toán VI(K,F) thì uk  hội tụ mạnh về u* . Hơn nữa, tồn tại chỉ số 2 k0 sao cho với mọi k k0 thì k(2   k L ) 0 và 1 uk 1 u * uk0 u * k 2  1 i (2   i L ) i k0 16
18. Phương pháp chiếu cải biên giải bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu mạnh. Phạm Duy Khánh-Phan Tự Vượng, Đề tài KHCN cấp Trường trọng điểm-2013 Chứng minh: Xem phụ lục, Định lý 5.1 Ví dụ 2 (Xem [8, 9]) Xét HKF,,  như trong ví dụ 1. Chọn 1  k k k 1 Khi đó điều kiện (5) thỏa mãn. Theo định lý 2.2, dãy uk  xây dựng bởi thuật toán 1 hội tụ mạnh về 0 là nghiệm duy nhất của VI K ,F  . 17
19. Phương pháp chiếu cải biên giải bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu mạnh. Phạm Duy Khánh-Phan Tự Vượng, Đề tài KHCN cấp Trường trọng điểm-2013 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Trong đề tài này chúng tôi đã nghiên cứu một phương pháp chiếu cải biên để giải bài toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu mạnh trong không gian Hilbert thực. Sự hội tụ và tốc độ hội tụ của phương pháp đã được chứng minh. Các kết quả trình bày trong đề tài có thể sử dụng làm tài liệu tham khảo trong nghiên cứu cơ bản cho nghiên cứu sinh và học viên cao học. Trong các mệnh đề và định lý, chúng tôi cần sử dụng giả thiết có nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu mạnh và liên tục Lipschitz. Trong trường hợp nếu ánh xạ F đơn điệu mạnh và liên tục Lipschitz trên K thì bài toán VI(K,F) luôn có nghiệm duy nhất. Chúng tôi hy vọng kết quả này vẫn còn đúng cho trương hợp giả đơn điệu mạnh. Trong đề tài sắp tới chúng tôi dự định nghiên cứu vấn đề này, đồng thời nghiên cứu chặn sai số và tính ổn định cho bài toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu mạnh và liên tục Lipschitz trong không gian Hilbert thực. 18
20. Phương pháp chiếu cải biên giải bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu mạnh. Phạm Duy Khánh-Phan Tự Vượng, Đề tài KHCN cấp Trường trọng điểm-2013 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. El Farouq, N.: Pseudomonotone variational inequalities: convergence of the auxiliary problem method. J. Optim. Theory Appl. 111, 305–326 (2001) 2. El Farouq, N.: Convergent algorithm based on progressive regularization for solving pseudomonotone variational inequalities. J. Optim. Theory Appl. 120, 455– 485 (2004) 3. Facchinei, F., Pang, J.-S.: Finite-Dimensional Variational Inequalities and Complementarity Problems, vols. I and II. Springer, New York (2003) 4. Huy, N.Q., Yen, N.D.: Minimax variational inequalities. Acta Math. Vietnam. 36, 265–281 (2011) 5. Iusem, A.N., Svaiter, B.F.: A variant of Korpelevich’s method for variational inequalities with a new strategy. Optimization 42, 309–321 (1997) 6. Karamardian, S., Schaible, S.: Seven kinds of monotone maps. J. Optim. Theory Appl. 66, 37–46 (1990) 7. Kinderlehrer, D., Stampacchia, G.: An Introduction to Variational Inequalities and Their Applications. Academic Press, New York (1980) 8. Khanh, P.D.: A new extragradient method for strongly pseudomonotone variational inequalities (submitted) 19
21. Phương pháp chiếu cải biên giải bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu mạnh. Phạm Duy Khánh-Phan Tự Vượng, Đề tài KHCN cấp Trường trọng điểm-2013 9. Khanh, P.D., Vuong, P. T. : Modified projection method for strongly pseudomonotone variational inequalities, J Glob Optim DOI 10.1007/s10898-013- 0042-5 10. Korpelevich, G.M.: The extragradient method for finding saddle points and other problems. Ekonom. i Mat. Metody 12, 747–756 (1976). In Russian, English translation in Matekon 13, 35–49 (1977) 11. Verma, R.U.: Variational inequalities involving strongly pseudomonotone hemicontinuous mappings in nonreflexive Banach spaces. Appl. Math. Lett. 11, 41– 43 (1998). 12. Verma, R.U.: Generalized strongly pseudomonotone nonlinear variational inequalities and general proximal point methods. Math. Sci. Res. J. 6, 417–427 (2002) 13. Verma, R.U.: General system of strongly pseudomonotone nonlinear variational inequalities based on projection systems. J. Inequal. Pure Appl. Math. 8, Article 6, 9 (2007) 20