Báo cáo Nghiên cứu phương pháp ðẳng hình học dựa trên trích bezier của nurbs (Phần 1)

Nội dung text: Báo cáo Nghiên cứu phương pháp ðẳng hình học dựa trên trích bezier của nurbs (Phần 1)

1. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH CÔNG TRÌNH NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP TRƯỜNG NGHIÊN CỨU PHƯƠNG PHÁP ÐẲNG HÌNH HỌC DỰA TRÊN TRÍCH BEZIER CỦA NURBS S K C 0 0 3 9 5 9 MÃ SỐ: T2014-89 S KC 0 0 5 5 3 1 Tp. Hồ Chí Minh, 2014
2. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI KH&CN CẤP TRƯỜNG NGHIÊN CỨU PHƯƠNG PHÁP ĐẲNG HÌNH HỌC DỰA TRÊN TRÍCH BEZIER CỦA NURBS Mã số: T2014-89 Chủ nhiệm đề tài: Thạc sĩ ĐỖ VĂN HIẾN TP. HCM, 11/ 2014
3. MỤC LỤC Trang Chƣơng 01: TỔNG QUAN 01 1.1. Lý do chọn đề tài 01 1.2. Tình hình nghiên cứu trong và ngoài nước 02 1.3. Nhiệm vụ và giới hạn của đề tài 03 1.4. Phương pháp nghiên cứu 03 1.5. Ý nghĩa thực tiễn của đề tài 03 Chƣơng 02: PHƢƠNG PHÁP ĐẲNG HÌNH HỌC 05 2.1 Giới thiệu 05 2.2 B-Spline 06 2.2.1 Véctơ nút (Knot vectơ) 06 2.2.2 Hàm cơ sở 07 2.2.3 Điểm điều khiển 08 2.2.4 Xây dựng đường cong B-Spline 08 2.3 NURBS 10 2.3.1 Điểm điều khiển 11 2.3.2 Hàm cơ sở 13 2.3.3 Xây dựng đường cong Nurbs 15 2.3.4 Xây dựng mặt cong Nurbs 16 2.4 Patch và Elements 16 2.5 Các phương pháp làm mịn 2.5.1 Làm mịn bằng cách tăng điểm nút 17 2.5.2 Làm mịn bằng cách tăng bậc 18 Chƣơng 03: VÍ DỤ SỐ 19 3.1 Giới thiệu 19 3.2 Các bài toán hai chiều 19 3.2.1. Bài toán Cook 19 3.2.2. Bài toán ống dày chịu áp suất 25 3.3 Kết luận 28 Chƣơng 04: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 29
4. 4.1 Kết luận 29 4.2 Kiến nghị 29 TÀI LIỆU THAM KHẢO 30
5. Abtract: Isogeometric analysis (IA) represents a recently developed technology in computational mechanics that offers the possibility of integrating methods for analysis and Computer Aided Design (CAD) into a single, unied process. We present an introduction to IA applied to the Finite Element method (FEM) and related computer implementation aspects. Isogeometric analysis was introduced by Hughes et al. (2005) as a generalization of standard finite element analysis. In isogeometric analysis the solution space for dependent variables is represented in terms of the same functions which represent the geometry. The geometric representation is typically smooth, whereas the solution space for standard finite element analysis is continuous but not smooth Adopting the isogeometric concept has shown computational advantages over standard finite element analysis in terms of accuracy in many application areas, including solid and structural mechanics. The purpose of this research is to study and demonstrate how isogeometric finite element analysis based on NURBS can be implemented into a standard finite element code for 2D elasticity problems: Cook’s problem and Circular beam. The study should emphasize theory and computational formulation of isogeometric analysis as well as demonstrate how isogeometric analysis compares to standard finite element analysis when solving problems in solid and structural mechanics.
6. Chương 01: MỞ ĐẦU 1.1. Tổng quan tình hình nghiên cứu - Tình hình nghiên cứu trên thế giới CAE (Computer Aided Engineering) và CAD (Computer Aided Design) được xây dựng và phát triển độc lập nhau, do vậy chúng không thật sự tương thích nhau trong việc mô tả hình học. Điều này dẫn đến một số lượng lớn công việc trùng lắp, đầu tiên mô hình CAD, sau đó lại mô hình lại trong FEM (Finite Element Method). Phương pháp đẳng hình học (IA – IsoGeomettric Analysis) ra đời trong việc kết nối giữa CAD và FEM, cho phép mô hình CAD được sử dụng trong mô hình FEM. IA được giới thiệu lần đầu tiên bởi Giáo sư Hughes [7]. Mô hình IA này xây dựng cho phép phân tích dùng chung cơ sở với mô hình hóa hình học. Điều này trái ngược với phương pháp phần tử hữu hạn truyền thống. NURBS được sử dụng trong các phần mềm CAD cho phép mô hình hóa hình học một cách chính xác và những hàm này được sử dụng là hàm cơ sở trong phân tích tính toán. IA được nghiên cứu rộng rãi và ứng dụng vào nhiều lĩnh vực khác nhau: phân tích cấu trúc [7], nhiệt [7], tương tác rắn – lỏng[7], Gần đây phương pháp T – Splines được phát triển làm mịn ở phạm vi địa phương và ít điểm điều khiển hơn. IA được phát triển mở rộng hơn để kết nối với FEM và Bezier Etraction được đề xuất [14], - Tình hình nghiên cứu trong nƣớc Trong nước nhóm nghiên cứu do PGS. TS Nguyễn Xuân Hùng tại Đại học Việt Đứcđã nghiên cứu IA và có rất nhiều bài báo xuất bản[15,16,17]. 1.2. Nhiệm vụ và giới hạn của đề tài Nhiệm vụ - Nghiên cứu phương pháp đẳng hình học dựa trên trích bezier - Xây dựng thuật toán - Viết code Giới hạn - Áp dụng cho một số bài toán đàn hồi 2 chiều tuyến tính: + Bài toán Cook 1
7. + Ống trụ tròn chịu áp suất bên trong. 1.3. Phƣơng pháp nghiên cứu: - Phương pháp nghiên cứu ứng dụng. - Phương pháp nghiên cứu thu thập tài liệu. 1.4. Ý nghĩa thực tiễn của đề tài - Nghiên cứu IA trong tính toán thiết kế kết cấu 2
8. Chương 02: PHƢƠNG PHÁP ĐẲNG HÌNH HỌC 2.1 Giới thiệu Thiết kế kỹ thuật ngày càng phức tạp(Hình 2.1). Nhà thiết kế có nhiệm vụ tạo ra các tập tin CAD (Computer Aid Design) có định dạng thích hợp. Tất cả các tập tin này là tham số đầu vào cho các chương trình phân tích FEA. Nhiệm vụ này tốn khá nhiều chi phí khoản 80% thời gian của quá trình phân tích theo nghiên cứu của Michael Hardwick và Robert Clay phòng SandiaNational Laboratories [7](Hình 2.2). Chúng ta cũng cần chú ý rằng phân tích phần tử hữu hạn cũng chỉ là phân tích hình học xấp xĩ, kết quả sẽ tạo ra sai số nếu số lượng phần tử chưa đủ xấp xĩ hình học chính xác (Hình 2.3). Hình 2.1: Thiết kế kỹ thuật ngày càng phức tạp Đó là lý do cho chúng ta đã đến lúc thay đổi kỹ thuật thiết kế và phân tích. Các nghiên cứu ban đầu đã chứng minh sự thành công của phương pháp đẳng hình học – Hình học chính xác. Phương pháp này đầu tiên được giới thiệu bởi Giáo sư Thomas Hughes năm 2005. Phân tích kỹ thuật này có thể là đòn bẩy cơ bản trong phân tích đẳng hình học. 3
9. Hình 2.2 Ước lượng thời gian trong phân tích và tạo mô hình bằng FEM (a) (b) Hình 2.3 Mô hình biên phân tích FEM (a) và IA (b) 2.2 B-Splines[7,8] 2.1.1 Vectơ Knot Vectơ nút (Knot) được viết dưới dạng: 4
10.  1,2 , ,i , ,n p 1 (01) Độ dài của véctơ nút: n p 1 Với m=n+p+1: số nút véctơ (Chiều dài của véctơ nút) n=(m-p-1): số điểm điều khiển p: bậc của đường cong Vectơ nút có thể tuần hoàn (uniform), hoặc không tuần hoàn (non-uniform) Ví dụ: [0 0,25 0,4 0,75 1] véctơ nút không tuần hoàn [0 0 0 1 1 1] véctơ nút không tuần hoàn, mở [0 0,5 1 1,5 2] véctơ nút tuần hoàn [-2 -1 0 1 2] véctơ nút tuần hoàn Vectơ nút gọi là “mở” (open) khi giá trị đầu và giá trị cuối lặp nhau (p+1) lần. Vectơ nút“mở” làm dạng hàm cơ sở trong việc phát triển phương pháp đẳng hình học. Véctơ nút có các ràng buộc sau: - Có thứ tự không giảm i i 1 - Có giá trị giống nhau không xuất hiện nhiều hơn k (=p+1) lần, các nút này gọi là nút bội. - Hàm cơ sở của Nurbs, B-Spline phụ thuộc vào véctơ nút. 2.1.2 Hàm cơ sở[7,8] Khi một véctơ nút được chọn, các hàm cơ sở được định nghĩa dựa trên giải thuật Cox-de Boor. - Với p=0 1 i  i 1 (02) Ni,0 ( ) 0 5
11. Hình 2.4 Hàm dạng Nurbs ứng với bậc p=0 - Với p=1, 2, (03)  i i p 1 i Ni,p () Ni,p 1() Ni 1,p 1() i p i i p 1 i 1 (a) (b) Hình 2.5 Hàm dạng Nurbs ứng với bậc p=1, 2 Điều này có nghĩa là hàm cơ sở ở dạng tham số trái với dạng tham số trong phương pháp phần tử hữu hạn (dùng đa thức Lagarange làm hàm nội suy ). 6
12. Hình 2.5a: Tính chất bao lồi của đường cong B-Spline Các hàm cơ sở B-spline có các tính chất sau: - Tính chất bao lồi: đường cong nằm trong đa giác điểm điều khiển. - Giống như hàm dạng của FEM, các hàm dạng B-spline chuẩn hóa n  Ni,p () 1 i 1 - Giống như hàm dạng của FEM, các hàm dạng B-spline độc lập tuyến tính n ai Ni,p () 0 ai 0, 1, 2, , n i 1 - Không giống hàm dạng FEM, các hàm dạng B-spline luôn dương N i, p ( ) 0 - Không giống hàm dạng FEM, hàm dạng của B-Spline có (p-1) đạo hàm liên tục nếu véctơ nút không tuần hoàn. Đối với véctơ nút không tuần hoàn, hàm cơ sở của p mi bậc p có C qua các nút i . Trong đó mi là số nút bội của giá trị nút i Đạo hàm của hàm cơ sở cần thiết cho việc xây dựng ma trận đạo hàm của hàm dạng B trong việc xây dựng ma trận độ cứng k. Đạo hàm của hàm dạng thứ i của hàm cơ sở bậc p xây dựng dựa trên véctơ nút [I] được xác định như sau: 7
13. (04) Ví dụ: Hàm cơ sở bậc 2 (p=2) và đạo hàm của hàm cơ sở bậc 2 được xây dựng từ véctơ nút [I]={0, 0, 0, 1, 2, 3, 4, 4, 5, 5,5}. Hàm dạng Hình 2.6 Hàm dạng B-Spline ứng với p=2 Đạo hàm của hàm cơ sở Hình 2.7 Đường cong B-Spline ứng với p=4 ứng với  0,0,0,0,0,1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5 2.1.3 Điểm điều khiển[7,8] Để có thể sử dụng hàm cơ sở trong việc xây dựng đường cong Bspline, chúng ta cần thêm n điểm điều khiển. Điểm điều khiển được biểu diễn dưới dạng 3 Pa  8
14. Với a 0, 1, 2, , ncp ; ncp là số điểm điều khiển phải bằng số hàm cơ sở. Ví dụ: 2.1.4 Xây dựng đƣờng cong B-Splines[7,8] Đường cong B-Splines được xây dựng bằng cách kết hợp tuyến tính giữa hàm cơ sở và điểm điều khiển. n (05) C()  Ni,p ()Pi i 1 Hình 2.7a : Điểm và lưới điểm điều khiển Hình 2.7b : Đường cong B-Spline 9
15. Hình 2.8 Đường cong B-Spline, điểm điều khiển, hàm dạng và hàm dạng (a) (b) Hình 2.8 Đường cong B-Spline, điểm điều khiển, hàm dạng và hàm dạng (a): Ứng với véc tơ nút  0,0,0,1,2,3,4,5,5,5 (b): Ứng với véc tơ nút  0,0,0,1,2,3,4,4,5,5,5 Đạo hàm đường cong B-Spline có dạng 10
16. n ' ' C ()  N i,p ()Pi i 1 Hình 2.9 Mặt cong B-Spline, điểm điều khiển 2.3 Nurbs[7,8] 2.1.1 Điểm điều khiển Điểm điều khiển sử dụng cho NURBS, ngoài tọa độ các điểm sử dụng cho đường cong B-spline, còn có thêm một thành phần gọi là trọng số wi của các điểm điều khiển. Pi [xi yi zi wi ] Tọa độ điểm điều khiển của B-spline thay đổivà trở thành tọa độ đồng nhất. w Pi [wi xi wi yi wi zi wi ] Tọa độ điểm điều khiển NURBS w Pi Pi [xi yi zi 1] wi Và hàm trọng số được xác định như sau n W()  Ni,p ()wi (06) i 1 2.1.2 Hàm cơ sở 11
17. Hàm cơ sở NURBS được định nghĩa như sau: N ()w N ( )w R ( ) i,p i i,p i i,p W () n (07)  Ni,p ( )wi i 1 Các tính chất của hàm cơ sở NURBS: n - Chuẩn hóa  Ni,p () 1 i 1 - Hàm cơ sở NURBS kề thừa từ hàm cơ sở của B-Spline, do vậy cũng có các tính chất như: liên tục qua các nút, hỗ trợ trong miền và luôn dương. - Hàm cơ sở NURBS có dạng hàm hữu tỉ, không phải là đa thức. - Nếu trọng số tại các điểm đều bằng nhau, thì hàm cơ sở là đa thức. Do vậy B-Spline là một trường hợp đặc biệt của NURBS 2.1.3 Xây dựng đƣờng cong Nurbs Cách xây dựng đường cong NURBS cũng tương tự như cách xây dựng đường cong B-Spline. Tuy nhiên, hàm cơ sở NURBS được sử dụng n C() Ri,p ()Pi (08) i 1 2.1.4 Xây dựng mặt cong NURBS và khối NURBS - Mặt cong NURBS (trong không gian 2 chiều) n m p,q C(,)  Ri, j (,)Pi, j (09) i 1 j 1 Với hàm cơ sở p,q Ni,p ()M j,q ()wi, j Ri, j (,) n n  Ni ,p ()M j,q ()wi , j i 1 j 1 (10) - Khối NURBS(trong không gian 3 chiều) n m l p,q,l C(,, )  Ri, j,k (,, )Pi, j,k (11) i 1 j 1 k 1 Với hàm cơ sở 12
18. p,q,l Ni,p ()M j,q Lk,r ()wi, j,k Ri, j,k (,, ) n n l (12) N ()M ()L ( )w  i ,p j,q k ,r i , j,k i 1 j 1 k 1 Ví dụ đường cong NURBS với các điểm điều khiển: Hình 2.10 Đường cong Nurbs và điểm điều khiển trong mặt phẳng XY 2.4 Patch và Element (phần tử) [7,8] - Số phần tử là số khoảng nút. Ví dụ: Véctơ nút [0 0 0 0,5 1 1 1] có 2 phần tử. - Trong hầu hết các trường hợp thực tế, cần thiết phải mô tả miền thành nhiều patch. Ví dụ, nếu khác nhau về vật liệu hay mô hình vật lý khác nhau trong miền, hay gặp khó khăn trong mô hình hóa như lỗ, góc, 13
19. Hình 2.12 Khối Solid và phân chia khối thành các Patch 2.4 Các phƣơng pháp làm mịn: 2.4.1 Làm mịn bằng cách tăng điểm nút(knot insert) Ban đầu chúng ta có đường cong Nurbs bậc 2 (p =2), có một phần tử được tạo ra từ tập véc tơ nút như sau: 0,0,0,1,1,1 Chúng ta tiến hành thêm nút véc tơ vào tập véc tơ nút, số điểm điều khiển, hàm dạng và số phần tử lần lượt thay đổi như sau: (a) ban đầu (b) sau khi chèn véc tơ nút Hình 2.13: Đường cong Nurbs và lưới điểm điều khiển ứng Số phần tử trước và sau khi thay đổi véc tơ nút 14
20. (a) ban đầu một phần tử (b) sau khi chèn véc tơ nút, có 2 phần tử Hình 2.15: Số phần tử trên đường cong Sự thay đổi hàm cơ sở (a) ban đầu có 3 hàm cơ sở (b) sau khi chèn, có 4 hàm cơ sở Hình 2.16: Hàm cơ sở trước và sau khi chèn nút vào tập véc tơ nút 2.4.2 Làm mịn bằng cách tăng bậc(k – refinement) Làm mịn lưới IGA bằng cách tăng bậc của đường cong Nurbs được minh họa bằng các hình sau: (a) ban đầu bậc đường cong p = 2 (b) sau khi tăng bậc p = 3 Hình 2.17: Đường cong Nurbs và lưới điểm điều khiển ứng 15
21. (a) ban đầu một phần tử (b) sau khi tăng bậc, có 1 phần tử Hình 2.18: Số phần tử trên đường cong Sự thay đổi hàm cơ sở (a) ban đầu có 3 hàm cơ sở (b) sau khi chèn, có 4 hàm cơ sở Hình 2.16: Hàm cơ sở trước và sau khi tăng bậc 2.4.3 Lưu đồ tính toán NURBS trong phân tích đẳng hình học 16
22. S K L 0 0 2 1 5 4