Báo cáo Khai triển phẳng trực tiếp các mặt 3D (Phần 1)

Nội dung text: Báo cáo Khai triển phẳng trực tiếp các mặt 3D (Phần 1)

1. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH CÔNG TRÌNH NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP TRƯỜNG KHAI TRIỂN PHẲNG TRỰC TIẾP CÁC MẶT 3D S K C 0 0 3 9 5 9 MÃ SỐ: T2013-110 S KC 0 0 5 3 8 5 Tp. Hồ Chí Minh, 2013
2. TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA CƠ KHÍ CHẾ TẠO MÁY BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI KH&CN CẤP TRƯỜNG KHAI TRIỂN PHẲNG TRỰC TIẾP CÁC MẶT 3D Mã số: T2013-110 Chủ nhiệm đề tài:Th.s Nguyễn Đức Tôn Thành viên đề tài: TP. HCM, Tháng 12 / Năm 2013
3. DANH SÁCH NHỮNG THÀNH VIÊN THAM GIA NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI VÀ ĐƠN VỊ PHỐI HỢP CHÍNH 1- Chủ trì đề tài: Nguyễn Đức Tôn 2- Đơn vị phối hợp chính:
4. MỤC LỤC Thông tin kết quả nghiên cứu Mở đầu 1 Chương 1: Các bài toán về lượng và các phép biến đổi 4 Chương 2: Khai triển các mặt bằng phương pháp hình chiếu 12 Chương 3: Giải bài toán khai triển trên máy tính 22 Chương 4: Giải bài toán trên mô hình 3D 25 Kết luận và kiến nghị 48 Tài liệu tham khảo 49 Thuyết minh đề tài 50
5. TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Độc lập - Tự do - Hạnh phúc Khoa Cơ khí chế tạo máy Tp. HCM, Ngày 27 tháng 11 năm 2013 THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU 1. Thông tin chung: - Tên đề tài: KHAI TRIỂN PHẲNG TRỰC TIẾP CÁC MẶT 3D - Mã số: T2013-110 - Chủ nhiệm: Nguyễn Đức Tôn - Cơ quan chủ trì: Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP.HCM - Thời gian thực hiện: tháng 03/2013 đến tháng 12/2013 2. Mục tiêu: Nghiên cứu việc sử dụng trực tiếp các mô hình 3D để giải bài toán vẽ khai triển: - Xây dựng mô hình 3D của bài toán khai triển các mặt. - Giải bài toán khai triển dựa trên mô hình 3D. 1. Tính mới và sáng tạo: - Sử dụng mô hình 3D giúp cho việc giải bài toán khai triển trở nên trực quan, đơn giản và hiệu quả hơn phương pháp 2D truyền thống. - Mô hình 3D cho phép khai triển các mặt hình học phức tạp 2. Kết quả nghiên cứu: - Sử dụng mô hình 3D đem lại hiệu quả trong việc giải bài toán khai triển các mặt, từ đơn giản đến phức tạp. 3. Sản phẩm: - Tập thuyết minh kèm đĩa CD chứa nội dung và kết quả nghiên cứu. 6. Hiệu quả, phương thức chuyển giao kết quả nghiên cứu và khả năng áp dụng: - Kết quả nghiên cứu hoàn toàn có thể đưa vào nội dung giảng dạy môn Vẽ khai triển. - Hoàn toàn có thể ứng dụng trong thực tế sản xuất. Trưởng Đơn vị Chủ nhiệm đề tài (ký, họ và tên) (ký, họ và tên)
6. INFORMATION ON RESEARCH RESULTS 1. General information: Project title: Direct Development of 3D Surfaces Code number: T2013-110 Coordinator: NGUYEN DUC TON Implementing institution: University of Technical Education Ho Chi Minh City Duration: From March 2013 to December 2013 2. Objective(s): The study of how to use directly the 3D model to answer developmental surfaces questions: - Building the 3D model of the development of surfaces. - Solving developmental problems bases on 3D models. 3. Creativeness and innovativeness: - Using the 3D model to solve developmental problems directly, simply and more effectively than the 2D model. - The 3D model allows of expanding complicated geometric surfaces. 4. Research results: - Using the 3D model efficiently helps answer simple developmental questions and complicated ones as well. 5. Products: - Description notes and a CD of contents and research results. 6. Effects, transfer alternatives of research results and applicability: - Research results are applied to the Development of Surfaces subject. - Can be used in actual production.
7. MỞ ĐẦU Tổng quan tình hình nghiên cứu thuộc lĩnh vực đề tài ở trong và ngoài nước Trong các ngành cơ khí, công trình xây dựng, đóng tàu, ô tô có nhiều thiết bị, chi tiết được chế tạo từ kim loại tấm. Để chế tạo các chi tiết thiết bị đó, trước hết phải vẽ hình khai triển các bề mặt từng bộ phận của chi tiết, thiết bị trên bề mặt phẳng của tấm kim loại. Sau đó cắt, uốn, gò, lắp ghép rồi gấp mép, hoặc hàn, tán để tạo thành các bộ phận của thiết bị. Bản vẽ hình khai triển của vật thể là bản vẽ hình thật các bề mặt của vật thể trải trên mặt phẳng. Trong thực tế, thường dùng các công thức tính toán, kiến thức hình học (chủ yếu là hình học họa hình), kết hợp với các ứng dụng đồ họa CAD để dựng hình khai triển của các bề mặt bằng máy tính. Việc giải các bài toán vẽ khai triển thường được thực hiện trên máy tính chủ yếu ở dạng mô hình 2D; quá trình dựng hình, tính toán khá phức tạp và có một số hạn chế. Một số phần mềm vẽ khai triển tuy cho phép biểu diễn, và xử lý bài toán ở dạng 3D, nhưng vẫn có những hạn chế, giới hạn về khả năng giải. Tính cấp thiết Chi tiết được chế tạo từ dạng tấm gặp nhiều trong sản xuất: cơ khí, công nghiệp đóng vỏ tàu, ô tô Vì vậy bài toán khai triển có rất nhiều ứng dụng quan trọng trong thực tế. Ở nước ta, tài liệu học tập, sách tham khảo về vẽ khai triển rất hiếm hoi. Tài liệu chính thức giảng dạy về môn học này hầu như chỉ có một quyển ‘Khai triển hình gò’ của tác giả Trần Văn Giản do nhà xuất bản Giáo dục phát hành. Phương pháp biểu diễn và quá trình giải bài toán khai triển thường dựa trên các hình chiếu vuông góc của bản vẽ kỹ thuật. Đối với những mặt có dạng hình học phức tạp, phương pháp này có nhiều hạn chế trong dựng hình và tính toán. Đề tài ‘Khai triển phẳng trực tiếp các mặt 3D’ nhằm tìm hiểu cách biểu diễn các đối tượng của bài toán vẽ khai triển ở dạng mô hình 3D. Việc xử lý, tính toán, dựng hình khai triển sẽ được thực hiện trực tiếp trên mô hình 3D. 1
8. Nghiên cứu áp dụng phương pháp 3D sẽ giúp việc giải bài toán vẽ khai triển trở nên đơn giản và hiệu quả. Phạm vi đối tượng của bài toán khai triển cũng được mở rộng: từ những mặt đơn giản cho đến phức tạp. Mục tiêu Đề tài ‘Khai triển phẳng trực tiếp các mặt 3D’ nhằm giải quyết các vấn đề: - Thay thế các mô hình 2D bằng mô hình 3D của bài toán khai triển . Việc sử dụng mô hình 3D trong quá trình dựng hình khai triển sẽ giảm thiểu độ phức tạp so với phương pháp dựng hình và tính toán ở dạng mô hình 2D. - Tăng tính đơn giản, hiệu quả trong quá trình giải bài toán khai triển. - Mở rộng phạm vi các bài toán khai triển có thể giải quyết. Cách tiếp cận - Tìm hiểu bài toán vẽ khai triển và phương pháp giải. - Tìm hiểu khả năng xây dựng mô hình 3D của các ứng dụng CAD. - Các khả năng tính toán xử lý 3D của các ứng dụng CAD. Phương pháp nghiên cứu - Tìm hiểu các dạng bài toán vẽ khai triển thường gặp. - Nghiên cứu khả năng biểu diễn mô hình 3D của bài toán khai triển. - Giải bài toán vẽ khai triển từ mô hình 3D. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu của đề tài ‘Khai triển phẳng trực tiếp các mặt 3D’ là các bài toán vẽ khai triển, bao gồm biểu diễn và giải bài toán thông qua mô hình 3D của bài toán. Nội dung nghiên cứu. Đề tài ‘Khai triển phẳng trực tiếp các mặt 3D’ bao gồm các bước thực hiện các nội dung sau đây: - Tìm hiểu việc biểu diễn bài toán vẽ khai triển ở dạng mô hình 3D. - Tìm hiểu cách thức xác định hình khai triển từ mô hình 3D của bài toán. 2
9. - Đánh giá tính hiệu quả của việc giải bài toán vẽ khai triển trên mô hình 3D so với 2D. 3
10. Chương 1: Các bài toán về lượng và các phép biến đổi. 1. Những bài toán về lượng: Để giải những bài toán về lượng (xác định diện tích của một hình phẳng, độ lớn của một góc, khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng ) cần giải 2 vấn đề cơ bản: xác định độ dài của một đoạn thẳng và vẽ đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. 1.1. Xác định độ dài đoạn thẳng. Giả sử có đoạn thẳng AB được biểu diễn bởi các hình chiếu A1B1 và A2B2. Xác định độ dài của AB theo các hình chiếu ấy. AB là cạnh huyền của tam giác vuông ABH vuông ở H, có cạnh AH song song với mặt phẳng hình chiếu Pi và bằng AiBi và cạnh HB có độ dài bằng hiệu độ cao / hiệu độ xa (tùy theo Pi là P1 / P2) của hai điểm A và B. (H1.1) Do đó việc xác định độ dài của AB đưa về việc vẽ cạnh huyền của những tam giác vuông nói trên. Những tam giác vuông ấy hoàn toàn có thể vẽ được theo các hình chiếu của đoạn thẳng AB. (H1.2) H1.1 H1.2 1.2. Vẽ đường thẳng vuông góc: Cơ sở để giải bài toán vẽ đường thẳng vuông góc với mặt phẳng là định lý về hình chiếu thẳng góc của một góc vuông. Tóm tắt định lý: Một góc có hai trong ba điều kiện sau đây thì phải có điều kiện thứ ba: - Góc vuông - Một cạnh song song với mặt phẳng hình chiếu - Hình chiếu là góc vuông H1.2.1a & b minh họa định lý, góc vuông có một cạnh là đường bằng/đường mặt có hình chiếu là góc vuông. Ví dụ: Qua điểm A vẽ một mặt phẳng vuông góc với đường thẳng d. (H1.2.2a) 4
11. Ví dụ: Qua điểm A vẽ một đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng xác định bởi hai đường thẳng cắt nhau tại điểm O. (H1.2.2b) H1.2.1a H1.2.1b H1.2.2a H1.2.2b 2. Các phép biến đổi hình chiếu: Các phép biến đổi hình chiếu biến các hình đã cho có vị trí bất kỳ trở thành có vị trí đặc biệt đối với các mặt phẳng hình chiếu. 5
12. Muốn cho một hình ø có vị trí bất kỳ trở thành có vị trí đặc biệt ta có thể làm theo hai cách sau đây: - Giữ nguyên hình ø, thay hệ thống mặt phẳng hình chiếu cũ bằng một hệ thống mặt phẳng hình chiếu mới sao cho đối với hệ thống mặt phẳng hình chiếu này hình ø có vị trí đặc biệt: phép thay mặt phẳng hình chiếu. - Giữ nguyên hệ thống mặt phẳng hình chiếu thay đổi vị trí của ø sao cho ở vị trí mới hình ø’ có vị trí đặc biệt đối với hệ thống mặt phẳng hình chiếu: phép dời hình. 2.1. Phép thay mặt phẳng hình chiếu. 2.1.1. Phép thay mặt phẳng hình chiếu đứng. Giả sử ta có hệ thống mặt phẳng hình chiếu P1, P2. Thay mặt phẳng hình chiếu đứng P1 tức là lấy một mặt phẳng P’1 vuông góc với P2 làm mặt phẳng hình chiếu đứng mới và lấy hướng chiếu vuông góc với P’1 làm hướng chiếu đứng mới (H2.1.1). Do đó: Hình chiếu bằng A2 của A không thay đổi. Độ cao của điểm A trong hệ thống hình chiếu mới bằng độ cao của điểm A trong hệ thống hình chiếu cũ, tức là: A’1Ax’ = A1Ax = AA2 Việc thay mặt phẳng hình chiếu đứng được tiến hành trực tiếp trên đồ thức như sau: Vẽ trục hình chiếu mới x’ có vị trí tùy theo yêu cầu của từng bài toán cụ thể. Vẽ hình chiếu đứng mới A’1 của A. Ở đấy A’1A2  x' và A’1Ax’ = A1Ax. H2.1.1 2.1.2. Phép thay mặt phẳng hình chiếu bằng. Nhận xét và thực hiện tương tự như trong phép thay mặt phẳng hình chiếu đứng: Hình chiếu đứng A1 của A không thay đổi. 6
13. Độ xa của điểm A trong hệ thống hình chiếu mới bằng độ xa của điểm A trong hệ thống hình chiếu cũ, tức là: A’2Ax’ = A2Ax = AA1 H2.1.2 2.2. Phép dời hình. Định nghĩa: Phép dời hình là một phép biến đổi sao cho khoảng cách của hai điểm bất kỳ A, B bằng khoảng cách của hai điểm tương ứng A’, B’. Từ tính bất biến của khoảng cách của hai điểm bất kỳ, ta có thể suy ra các tính chất sau đây của phép dời hình: Tính chất 1: Phép dời hình là phép biến đổi 1-1. Tính chất 2: Phép dời hình bảo toàn tính liên thuộc của điểm và đường thẳng. Ngoài ra phép dời hình bảo toàn góc giữa 2 đường thẳng. Phép dời hình song song với mặt phẳng hình chiếu bằng. Định nghĩa: Phép dời hình song song với mặt phẳng hình chiếu bằng là phép dời hình mà các đường thẳng nối các cặp điểm tương ứng đều song song với mặt phẳng hình chiếu bằng. Phép dời hình song song với mặt phẳng hình chiếu bằng có những tính chất sau: Tính chất 1: Hình chiếu đứng của những đường thẳng nối các cặp điểm tương ứng AA’, BB’, đều song song với trục x: A1A’1 // B1B’1 // x. Tính chất 2:Nếu ø và ø’ là hai hình tương ứng trong phép dời hình thì hình chiếu bằng ø2 của ø bằng hình chiếu bằng ø’2 của hình ø’2. 7
14. H2.2.1 Phép dời hình song song với mặt phẳng hình chiếu đứng có định nghĩa và tính chất tương tự như phép dời hình song song với mặt phẳng hình chiếu bằng. 2.3. Phép quay Quay một điểm M quanh đường thẳng d một góc có hướng là thực hiện phép biến đổi sao cho: - Ảnh M’ của M cùng với M nằm trong một mặt phẳng P vuông góc với d. - Khoảng cách của M và M’ đến d bằng nhau: OM = OM’. (O là giao điểm của P với d). Góc MOM ' Đường thẳng d gọi là trục quay. Khoảng cách OM từ M đến MOM ' d gọi là bán kính quay của điểm M. Quay một hình  quanh đường thẳng d một góc là quay mọi điểm của  quanh d theo cùng một góc . Phép quay quanh đường thẳng d là phép biến đổi 1-1. Nó bảo tồn khoảng cách của hai điểm bất kỳ A, B. Trong phép quay này đường thẳng biến thành đường thẳng, mặt phẳng biến thành mặt phẳng. Để quay một mặt phẳng quanh đường đồng mức (đường bằng, đường mặt) của nó ta chỉ cần quay một điểm của mặt phẳng ấy. Ví dụ: Quay mặt phẳng quanh đường bằng của nó. (H2.3) Giả sử có mặt phẳng xác định bởi điểm A và đường bằng b không thuộc nhau.Hãy quay mặt phẳng (A, b) quanh đường bằng b để mặt phẳng (A, b) trở thành mặt phẳng bằng. Muốn vậy ta chỉ cần quay điểm A quanh b và vấn đề là: xác định ảnh A’ của A khi (A, b) trở thành mặt phẳng bằng. 8
15. Điểm A’ và điểm A nằm trong mặt phẳng quay vuông góc với trục quay b. Vì b là đường bằng nên mặt phẳng quay là mặt phẳng chiếu bằng. Do đó đường thẳng nối các hình chiếu bằng A2 và A’2 của A và A’ phải vuông góc với b2. Gọi O2 = b2 A2A’2. O2 chính là hình chiếu bằng của điểm O (O là giao điểm của b với mặt phẳng quay qua A, A’). OA’ = OA. Đồng thời vì mặt phẳng (A, b) là mặt phẳng bằng nên O2A’2 có độ dài bằng OA. Trên hình vẽ độ dài của OA là O2A* - cạnh huyền của một tam giác vuông mà một cạnh góc vuông là O2A2 và cạnh kia là A2A* bằng hiệu độ cao của A với b. Dĩ nhiên có hai vị trí của A’2 ứng với hai chiều quay của mặt phẳng. H2.3 3. Một vài trường hợp đặc biệt về giao của hai mặt bậc hai. 3.1. Các mặt tròn xoay cùng trục cắt nhau theo các đường tròn. (H3.1) H3.1 3.2. Hai mặt bậc hai đã cắt nhau theo một đường bậc hai thì chúng còn cắt nhau theo một đường bậc hai nữa. 9
16. Ví dụ: Vẽ hình chiếu đứng của giao mặt nón với mặt trụ có chung đáy là một vòng tròn và chung mặt phẳng đối xứng là mặt phẳng mặt. (H3.2) H3.2 3.3. Hai mặt bậc hai lưỡng tiếp cắt nhau theo hai đường cong bậc hai đi qua hai điểm tiếp xúc. Ví dụ: Cho mặt nón có đường chuẩn là đường ellipse. Hãy vẽ hướng của các mặt phẳng cắt nón theo các đường tròn (hướng tiết diện tròn). (H3.3) H3.3 10
17. 3.4. Hai mặt bậc hai cùng ngoại tiếp (hay cùng nội tiếp) mặt bậc hai thứ ba cắt nhau theo hai đường cong bậc hai đi qua giao điểm của hai đường tiếp xúc. Ví dụ: Vẽ hình chiếu đứng của giao tuyến hai mặt nón cùng ngoại tiếp một mặt cầu. Mặt phẳng đối xứng chung của hai mặt nón là mặt phẳng mặt. (H3.4) H3.4 11
18. Chương 2: Khai triển các mặt bằng phương pháp hình chiếu. Những mặt có thể trải thành hình phẳng mà không bị co giãn gọi là những mặt khả triển. Mặt đa diện là mặt khả triển. Những mặt cong như mặt nón, mặt trụ, mặt có cạnh lùi là những mặt khả triển. Giữa hình khai triển của một mặt và mặt đó có một tương ứng sao cho chiều dài của một đoạn đường bất kỳ trên mặt thì bằng chiều dài của đoạn đường tương ứng trên hình khai triển. Ngoài những mặt cong như mặt nón, mặt trụ, mặt có cạnh lùi thì những mặt cong khác là những mặt không khai triển thành hình phẳng được. Đối với những mặt đó thì trong thực tế người ta thường dùng phương pháp khai triển gần đúng, tức là thay thế một mặt Ф không khả triển bằng một mặt Ф’ khả triển có hình dạng gần đúng mặt Ф và hình khai triển của mặt Ф’ gọi là hình khai triển gần đúng của Ф. Với qui ước đó, ta có thể nói đến hình khai triển của một mặt bất kỳ. Vấn đề khai triển của một mặt có ý nghĩa quan trọng trong thực tế nhất là trong việc chế tạo các mặt bằng những tấm kim loại. 1. Khai triển đa diện: Để khai triển một đa diện chúng ta chỉ cần trải các mặt bên của đa diện lên một mặt phẳng. Vấn đề qui về cách vẽ hình thật các mặt bên của đa diện. 1.1. Khai triển chóp. Ví dụ: Vẽ hình khai triển của tứ diện SABC. Trên hình khai triển đã vẽ điểm M0 tương ứng với điểm M thuộc mặt SBC. 12
19. 1.2. Khai triển lăng trụ. Ví dụ : Vẽ hình khai triển của lăng trụ có cạnh bên là đường mặt. 1.2.1. Phương pháp tiết diện thẳng góc. Cắt hình lăng trụ bằng một mặt phẳng vuông góc với các cạnh bên. 13
20. 1.2.2. Phương pháp chia tam giác. Chia các các mặt bên bằng những đường chéo thành những tam giác. 14
21. 1.2.3. Phương pháp quay các mặt bên của lăng trụ xung quanh các cạnh. (H1.2.3) Áp dụng phương pháp này khi cạnh bên của lăng trụ là đường đồng mức. Quay từng mặt bên của lăng trụ xung quanh các cạnh ấy. 2. Khai triển mặt nón, mặt trụ. 2.1. Khai triển mặt nón. (H2.1.1) 15
22. S K L 0 0 2 1 5 4