Báo cáo Đồng cấu chuyển đại số thứ 5 của singer (Phần 1)

Nội dung text: Báo cáo Đồng cấu chuyển đại số thứ 5 của singer (Phần 1)

1. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI KH&CN CẤP TRƯỜNG ĐỒNG CẤU CHUYỂN ĐẠI SỐ THỨ 5 CỦA SINGER S K C 0 0 0 2 8 1 MÃ SỐ: T2011- 109 S K C 0 0 3 3 3 8 THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH, 2011
2. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI KH&CN CẤP TRƯỜNG ĐỒNG CẤU CHUYỂN ĐẠI SỐ THỨ 5 CỦA SINGER Mó số: T2011- 109 Chủ nhiệm đề tài: NGUYỄN KHẮC TÍN TP. HCM, 2011
3. TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA XÂY DƯṆ G VÀ CƠ HOC̣ Ứ NG DUṆ G BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI KH&CN CẤP TRƯỜNG ĐỒNG CẤU CHUYỂN ĐẠI SỐ THỨ 5 CỦA SINGER Mó số: T2011- 109 Chủ nhiệm đề tài: NGUYỄN KHẮC TÍN TP. HCM, 2011
4. 1 Mục lục Lời nói đầu 2 Ch−ơng 1. một số kiến thức chuẩn bị 1.1. Đạisố 5 1.2. Đạisốtenxơ 6 1.3. Đạisốđốixứng 7 1.4. Đạisốngoài 8 1.5. ĐạisốSteenrod 9 1.6. Cấu trúc mô đun của đại số đa thức trên đại số Steenrod . . . . 9 1.7. Nhóm tuyến tính tổng quát trên tr−ờng F2 11 1.8. Tác động của nhóm tuyến tính tổng quát trên đại số đa thức 11 1.9. Cáchàmsốhọc 12 Ch−ơng 2. Đồng cấu chuyển đại số 2.1. Một số tính chất của đơn thức chấp nhận đ−ợc . . . . . . . . . . . . . 14 2.2. Toán tử bình ph−ơng của Kameko . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.3. Đồng cấu chuyển đại số thứ 5 của Singer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Kết luận 38 Tài liệu tham khảo 39
5. 2 Lời nói đầu Ký hiệu Pk := F2[x1,x2, ,xk] là đại số đa thức trên tr−ờng nguyên tố F2 có hai phần tử với k biến x1,x2, ,xk, mỗi biến có bậc 1. Đại số này là một môđun trên đại số Steenrod A. Tác động của A trên Pk đ−ợc xác định t−ờng minh bởi công thức  xj, nếu i =0,  i  2 Sq (xj)= xj , nếu i =1,   0, nếu i>1 và công thức Cartan n Sqn(fg)=X Sqi(f)Sqn−i(g), i=0 với f,g ∈ Pk (xem Steenrod-Epstein [13]). Một trong những bài toán quan trọng của Tôpô đại số hiện nay là xác định tập sinh cực tiểu của Pk đ−ợc xét nh− môđun trên đại số Steenrod A. Bài toán này đ−ợc gọi là bài toán hit đối với đại số Steenrod. Nếu xét F2 nh− một A-môđun tầm th−ờng thì bài toán hit t−ơng đ−ơng với việc xác định một cơ sở của không gian véc tơ F2⊗APk trên F2. Bài toán này đ−ợc nghiên cứu đầu tiên bởi Peterson [8], Singer [11], Wood [19], những ng−ời đã chỉ ra mối liên hệ của bài toán hit với một số bài toán cổ điển trong lý thuyết đồng biên của các đa tạp, lý thuyết biểu diễn modular của các nhóm tuyến tính, dãy phổ Adams đối với đồng luân ổn định của mặt cầu. Một trong những ứng dụng quan trọng của bài toán hit là sử dụng nó trong việc nghiên cứu đồng cấu chuyển đại số. Singer [11] định nghĩa đồng cấu A GLk trk : Tor k,n+k(F2, F2) −→ (F2⊗APk)n ,
6. 3 trong đó nhóm tuyến tính tổng quát GLk = GLk(F2) tác động trên F2⊗APk theo cách thông th−ờng. Singer [11] chứng tỏ rằng trk là đẳng cấu với k =1, 2 và tr5 không là đẳng cấu tại bậc 9. Boardman [1] chứng minh tr3 cũng là đẳng cấu. Gần đây, H−ng [4] chứng minh rằng với mỗi k > 4, trk không là đẳng cấu tại vô số bậc. Mặc dù không là đẳng cấu, đồng cấu chuyển đại số trk là một công cụ quan trọng trong việc nghiên cứu đồng A điều của đại số Steenrod, Tork,n+k(F2, F2). Trong bài nghiên cứu này, chúng tôi trình bày tổng quan một số kết quả về bài toán hit đối với đại số Steenrod A. Đồng thời, khảo sát đồng cấu chuyển đại số thứ 5 của Singer tại các bậc 16.2r − 5, với r là một số nguyên không âm. Kết quả đối ngẫu với kết quả này trong tr−ờng hợp r =0đã đ−ợc chứng minh trong Quynh` [9]. Nội dung chính của bài nghiên cứu này đ−ợc chia thành 2 ch−ơng. Ch−ơng 1. Một số kiến thức chuẩn bị. Trong ch−ơng này chúng tôi nhắc lại một số định nghĩa và các kết quả cần thiết về đại số; đại số tenxơ, đại số đối xứng, đại số ngoài, đại số đa thức, đại số Steenrod, cấu trúc môđun của đại số đa thức trên đại số Steenrod, nhóm tuyến tính tổng quát trên tr−ờng nguyên tố có hai phần tử và tác động của nó trên đại số đa thức. Các hàm số học. Ch−ơng 2. Đồng cấu chuyển đại số Trong ch−ơng này chúng tôi nhắc lại một số kết quả cần thiết về bài toán hit, các tính chất của đơn thức hit, đơn thức chấp nhận đ−ợc trên Pk. Tiếp theo, chúng tôi tổng quát kết quả trong Quynh` [9] rằng: Với mỗi 5,16.2r r ≥ 0, các phần tử khác không gr ∈ ExtA (F2, F2) không nằm trong ảnh của Tr5. Nội dung chi tiết của ch−ơng này là trình bày chi tiết một cách chứng minh khác của kết quả trong [9] và tổng quát kết quả trên.
7. 4 Mặc dù tác giả đã có rất nhiều cố gắng trong quá trình thực hiện đề tài nh−ng không tránh khỏi những sai lầm thiếu sót. Tác giả rất mong nhận đ−ợc sự góp ý quý báu của quý thầy, cô giáo và bạn đọc quan tâm. Nhân đây, tác giả xin đ−ợc bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến PGS. TS. Nguyễn Sum đã h−ớng dẫn và giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình nghiên cứu. Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn đến Ban Chủ nhiệm Khoa Khoa học cơ bản; Tr−ờng Đại học S− Phạm Kỹ Thuật TP. Hồ Chí Minh, đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình thực hiện đề tài. Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 11 năm 2011 Tác giả Nguyễn Khắc Tín
8. 5 Ch−ơng 1 Một số kiến thức chuẩn bị Trong ch−ơng này, chúng tôi trình bày tổng quan một số kiến thức cơ bản về đại số trên một tr−ờng, đại số Steenrod trên tr−ờng nguyên tố có hai phần tử, cấu trúc môđun của đại số đa thức trên đại số Steenrod, nhóm tuyến tính tổng quát trên tr−ờng nguyên tố có hai phần tử và tác động của nó trên đại số đa thức. 1.1 Đại số Định nghĩa 1.1.1. Một đại số trên tr−ờng K là tập hợp không rỗng A cùng với ba phép toán, gồm : (a) Phép cộng + : A ì A −→ A, (x, y) 7→ x + y, (b) Phép nhân . : A ì A −→ A, (x, y) 7→ xy,
9. 6 (c) Phép nhân với vô h−ớng trong K . : K ì A −→ A, (α, x) 7→ αx. thoả mãn những điều kiện sau đây: (i) A cùng với hai phép toán cộng và nhân lập thành một vành. (ii) A cùng với hai phép toán cộng và nhân với vô h−ớng lập thành một không gian véc tơ trên K. (iii) Hai cấu trúc vành và không gian véc tơ ở trên ràng buộc nhau bởi điều kiện α(xy)=(αx)y = x(αy), với mọi α ∈ K,x,y∈ A. Nói cách khác, A là một đại số trên K, nếu nó vừa là một vành vừa là không gian véc tơ, trong đó phép cộng của vành A trùng với phép cộng trong không gian véctơ A, còn phép nhân của vành A liên hệ với phép nhân với vô h−ớng trong không gian véc tơ A bởi công thức α(xy)=(αx)y = x(αy), với mọi α ∈ K,x,y ∈ A. 1.2 Đại số tenxơ Định nghĩa 1.2.1. Giả sử V là một không gian véc tơ trên tr−ờng K.Ta đặt T r(V )=V ⊗ V ⊗ ⊗ V , với quy −ớc T 0(V )=K. Nếu dim V = k và | {zr } {v1,v2, ,vk} là một cơ sở của V thì tập hợp {vi1 ⊗ ⊗ vir /1 ≤ i1, ,ir ≤ k} là một cơ sở của T r(V ). ∞ r Ta đặt T (V )=⊕r=0T (V ). Xét ánh xạ song tuyến tính T r(V ) ì T s(V ) −→ T r+s(V ) (u, v) 7−→ u ⊗ v