Báo cáo Chỉnh hóa phương trình Helmholtz có hiệu chỉnh (Phần 1)

Nội dung text: Báo cáo Chỉnh hóa phương trình Helmholtz có hiệu chỉnh (Phần 1)

1. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH BÁO CÁO TỔNG KẾT ÐỀ TÀI KH&CN CẤP TRƯỜNG TRỌNG ÐIỂM CHỈNH HÓA PHƯƠNG TRÌNH HELMHOL TZ CÓ HIỆU CHỈNH Mã số: T2013 - 159 Chủ nhiệm đề tài: THS NGUYỄN QUANG HUY SKC005723 Tp. Hồ Chí Minh, tháng 02/2014
2. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI KH&CN CẤP TRƯỜNG CHỈNH HÓA PHƯƠNG TRÌNH HELMHOLTZ CÓ HIỆU CHỈNH Mã số: T2013 - 159 Chủ nhiệm đề tài: ThS NGUYỄN QUANG HUY TP. HCM, 2/2014 0
3. Danh sách thành viên tham gia nghiên cứu và đơn vị phối hợp chính Thành viên : 1) ThS Nguyễn Quang Huy – ĐH Sư phạm Kỹ thuật TpHCM 1
4. MỤC LỤC Trang Danh mục bảng biểu 3 Danh mục các chữ viết tắt 4 Thông tin kết quả nghiên cứu bằng Tiếng Việt và Tiếng Anh 5 Mở đầu 7 Chương 0. Kiến thức chuẩn bị 10 Chương 1. Các kết quả chỉnh hóa 18 1.1. Giới thiệu bài toán 18 1.2. Biến đổi bài toán 18 1.3. Xây dựng các nghiệm chỉnh hóa của bài toán 19 1.4.Tính ổn định của các nghiệm chỉnh hóa 20 1.5. Đánh giá sai số giữa các nghiệm chỉnh hóa và nghiệm chính xác 23 Chương 2. Ví dụ số .29 Kết luận 35 Tài liệu tham khảo 36 2
5. Danh mục bảng biểu Bảng 2.1. Bảng đánh giá sai số và sai số giữa nghiệm chỉnh hóa u( f  )(0,.) và nghiệm chính xác uex( f ex )(0,.) . Bảng 2.2. Bảng đánh giá sai số và sai số giữa nghiệm chỉnh hóa v( f  )(0,.) và nghiệm chính xác uex( f ex )(0,.) . 3
6. Danh mục các chữ viết tắt 4
7. TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Độc lập - Tự do - Hạnh phúc Khoa Khoa học cơ bản Tp. HCM, ngày 17 tháng 02 năm 2014 THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU 1. Thông tin chung: - Tên đề tài: Chỉnh hóa phương trình Helmholtz có hiệu chỉnh - Mã số: T2013 - 159 - Chủ nhiệm: ThS. Nguyễn Quang Huy - Cơ quan chủ trì: Đại học Sư phạm Kỹ thuật Thành phố Hồ Chí Minh - Thời gian thực hiện: Từ tháng 1 năm 2013 đến tháng 2 năm 2014 2. Mục tiêu: - Khảo sát và chỉnh hóa nghiệm của một phương trình Helmholtz có hiệu chỉnh. Đưa ra đánh giá sai số và ví dụ minh họa. 3. Tính mới và sáng tạo: - Dạng sai số đánh giá giữa nghiệm chỉnh hóa và nghiệm chính xác là mới. 4. Kết quả nghiên cứu: - Xây dựng các nghiệm chỉnh hóa của bài toán. - Đánh giá tính ổn định của nghiệm chỉnh hóa. - Đánh giá sai số giữa các nghiệm chỉnh hóa và nghiệm chính xác. - Đưa ra ví dụ số minh họa cho phương pháp. 5. Sản phẩm: - Báo cáo tại hội thảo khoa học khoa, bản tóm tắt đăng trên trang web khoa. 6. Hiệu quả, phương thức chuyển giao kết quả nghiên cứu và khả năng áp dụng: - Làm tài liệu tham khảo cho sinh viên và học viên cao học ngành Toán. Trưởng đơn vị Chủ nhiệm đề tài (ký, họ và tên) (ký, họ và tên) 5
8. University of Technical Education HCM City Socialist Repulic of Vietnam Faculty of Foundation Sciences Independent – Freedom - Happiness HCMC, Feb 17th , 2014 INFORMATION ON RESEARCH RESULT 1. General information - Title of project: Regularization of a modified Helmholtz equation - Code number: T2013 – 159 - Chairman: Nguyen Quang Huy - Executive organization: University of Technical Education HCMC - Duration: From January 2013 to February 2013. 2. Objective We studied and regularized the solution of a modified Helmholtz equation. Besides, we gave the error estimates and numerical example. 3. Creativeness and innovativeness The error estimates is new. 4. Research results - Build the regularized solutions. - Consider the stability of the regularized solutions. - Estimate the errors of the regularized solutions and the exact solution. - Give the numerical example for the theory. 5. Products - Report at the science seminar of Faculty, post the abstract on the website of Faculty. 6. Effects, transfer alternatives of research results and applicability The results established in this project are references for PhD and Master students who major in mathematics. 6
9. MỞ ĐẦU I) Giới thiệu tổng quan Bài toán Cauchy cho phương trình Helmholtz có ý nghĩa trong nhiều ngành khoa học và kỹ thuật. Dạng bài toán này thường là không chỉnh và đã được nhiều nhà Toán học trong nước cũng như ngoài nước quan tâm nghiên cứu , đưa ra nhiều phương pháp chỉnh hóa cho bài toán. Trong [4], các tác giả N. H. Tuấn, P. H. Quân và Đ. Đ. Trọng đã chỉnh hóa bài toán u k2 u 0, (,) x y (0, )(0,1) u(0, y ) u ( , y ) 0, y (0,1) uy (,0) x f (), x (,) x y (0, )(0,1) u(,0) x g (), x x (0,) Trong [5], các tác giả P. H. Quân và P. T. Hiếu đã khảo sát bài toán u k2 u 0, ( x , y ) (0, 1) uy (,0) x (), x (,) x y (0,1) u( x ,0)  ( x ), x Trong [6], H. H. Qin và T. Wei đã sử dụng phương pháp Tikhonov cải biên và phương pháp “chặt cụt” để chỉnh hóa bài toán u k2 u 0, (,) x y (0, )(0,1) u(0,) y u (,) y 0, y (0,1) uy ( x ,0) 0, x (0, ) u(,0) x (), x x (0,) 7
10. Trong [7], các tác giả R. Shi, T. Wei, H. H. Qin đã chỉnh hóa bài toán Cauchy cho phương trình Helmholtz có hiệu chỉnh bằng cách thêm “đạo hàm bậc 4” vào phương trình chính u k2 u 0, ( x , y ) (0, 1) ux (0, y ) 0, y ( III ) u(0, y ) f ( y ), y Trong đề tài này, tôi sẽ chỉnh hóa bài toán (III) theo phương pháp và dạng sai số đánh giá khác so với [7]. Kết quả chỉnh hóa sẽ được trình bày trong chương 1. Hơn nữa, trong chương 2, tôi sẽ đưa ra ví dụ số minh họa cho phương pháp. II) Tính cấp thiết của đề tài Hiện nay, các bài toán ứng dụng xuất hiện nhiều trong các lĩnh vực vật lý, y học, khoa học công nghệ. Đặc biệt là những bài toán ngược có nhiều ý nghĩa trong Vật lý và được nhiều nhà Toán học quan tâm, nghiên cứu trong thời gian gần đây. Vì vậy, việc nghiên cứu dạng bài toán này là cần thiết. III) Mục tiêu đề tài Khảo sát và chỉnh hóa nghiệm của một phương trình Helmholtz có hiệu chỉnh . Đưa ra đánh giá sai số và ví dụ số minh họa. IV) Cách tiếp cận và phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu chính là phương pháp chỉnh hóa nhiễu giá trị biên. V) Đối tượng và phạm vi nghiên cứu a) Đối tượng nghiên cứu Một phương trình Helmholtz có hiệu chỉnh 8
11. b) Phạm vi nghiên cứu Chỉnh hóa nghiệm có đánh giá sai số. VI) Nội dung nghiên cứu: Chương 1: Xây dựng nghiệm chỉnh hóa của bài toán , khảo sát tính ổn định của các nghiệm chỉnh hóa và đánh giá sai số giữa các nghiệm chỉnh hóa và nghiệm chính xác . Chương 2: Đưa ra ví dụ số minh họa cho phương pháp. 9
12. CHƯƠNG 0 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 0.1 Các không gian Banach, Hilbert và tích phân Lebesgue 0.1.1 Không gian Banach Định nghĩa 0.1 Một không gian vectơ tuyến tính X trên gọi là một không gian định chuẩn nếu tồn tại một ánh xạ || || : X thỏa (i)||x || 0,  x X ;|| x ||0 x 0, (ii)||x |||  ||| x ||,   , x X , (iii)||x y || || x || || y ||,  x , y X . Định nghĩa 0.2 Dãy ()x trong X gọi là dãy Cauchy nếu  0, N sao cho n  ||xn x m ||  ,  n , m N . Dãy ()x trong X gọi là hội tụ về x X , kí hiệu là x x khi n , nếu n 0 n 0 lim ||xn x0 || 0. n Định nghĩa 0.3 Không gian định chuẩn X được gọi là Banach nếu mọi dãy Cauchy đều hội tụ. Mệnh đề 0.1 Trong một không gian định chuẩn X ,. a) Dãy hội tụ là dãy Cauchy. b) Dãy Cauchy có dãy con hội tụ thì hội tụ. 10
13. 0.1.2 Các định lý căn bản trong tích phân Lebesgue Định lý 0.1 (Hội tụ đơn điệu) k k Cho ()fn là một dãy các hàm khả tích trên , fn : . Nếu ()fn tăng hkn ( nghĩa là f()() x f x hầu khắp nơi ) và có M sao cho f M,.  n Khi đó tồn n n 1 n k tại hàm f khả tích sao cho fn f hkn và limfn f . n k k Định lý 0.2 (Hội tụ bị chặn) k Cho dãy ()fn các hàm khả tích fn : và cho hàm g khả tích. Nếu fn f hkn và fn g hkn, thì f khả tích và limfn f . n k k Các định lý hội tụ bị chặn và hội tụ đơn điệu vẫn đúng nếu thay k bằng tập hợp đo được . Hệ quả 0.1 Nếu f đo được trên k và g khả tích trên k sao cho f g hkn thì f khả tích trên k . 0.1.3 Không gian Lp (1 p ) Trong phần này ta kí hiệu  là một tập đo được trong k . Ta quy ước rằng hai hàm đo được f, g là bằng nhau nếu f g hkn. Định nghĩa 0.4 p Cho f đo được trên  , nếu |f | (1 p ) khả tích trên  ta định nghĩa 11
14. 1 p ||f || | f |p . p  p p Tập hợp tất cả các hàm f thỏa |f | khả tích trên  gọi là L () . Định nghĩa 0.5 Tập hợp tất cả các hàm bị chặn hkn trên  gọi là L () . Trên L () ta định nghĩa ||f || inf{ :  | f ( x ) | hkn }. Định lý 0.3 p p || .||p là chuẩn trong L( ) (1 p ) . Vậy L( ) (1 p ) là không gian định chuẩn. Mệnh đề 0.2 (Bất đẳng thức Holder) 1 1 Cho f, g đo được trên một tập đo được , 1, 1 p , q . Nếu p q p q f L(  ), g L (  ) thì 1 1 p q p q fg dx | f | | g |    hay ||fg ||1 || f ||||p g ||. q p q Nếu f L(  ), g L (  ) thì ||fg ||1 || f ||||p g || . Định lý 0.4 k p Với   đo được , 1 p , không gian L () là không gian Banach. 12
15. 0.1.4 Không gian Hilbert Định nghĩa 0.6 Cho E là một không gian vectơ trên , f là một ánh xạ từ EE vào . Ta nói f là một dạng Hermite dương trên E nếu và chỉ nếu f có các tính chất sau Với mọi x,,, x y y E và s (i)(f x x ,) y f (,) x y f (,), x y (ii)(,f x y y ) f (,) x y f (,), x y (iii)f ( sx ,) y sf (,) x y , (iv)f ( x , sy ) sf ( x , y ) , (v)f ( x , y ) f ( y , x ) , (vi)f ( x , x ) 0, (vii)f (,) x x 0 x 0. Định lý 0.5 Cho f là một dạng Hermite trên một không gian vectơ E , và x,. y E Ta có (i) Bất đẳng thức Schwartz |f ( x , y ) |2 f ( x , x ) f ( y , y ). (ii) Bất đẳng thức Minkowski 1 1 1 fxyxy(,)(,)(,). 2 fxx 2 fyy 2 Định nghĩa 0.7 1 2 Cho f là một dạng Hermite trên một không gian vectơ E . Đặt ||x || f ( x , x ) x E . (E , || .||) là một không gian định chuẩn. Nếu (E , || .||) đầy đủ, ta gọi nó là một không gian Hilbert và viết x, y thay cho f( x , y ). Trong các định nghĩa và định lý tiếp theo thì E là một không gian Hilbert. 13
16. Định nghĩa 0.8 Cho x, y E . Nếu x, y 0 ta nói rằng x trực giao với y và ký hiệu là x y . Cho {}ui i I là một họ vectơ trong E. Ta nói {}ui i I là một họ trực chuẩn nếu và chỉ nếu u,,,, u  j  i j I trong đó  j là số Kronecker. i j i i Định lý 0.6 Cho {}ui i I là một họ trực chuẩn tối đa trong một không gian Hilbert E và x là một vectơ trong E . Đặt xi x,,. u i  i I Lúc đó I( x ) { i I : xi 0} là một tập quá lắm đếm được và ()i x  xi u i , i I 2 2 (ii ) | xi | || x || . i I Định lý 0.7 1 Cho   k đo được, đặt f,()() g f x g x dx và ||f || | f ( x ) |2 2 .   Không gian L2 () là một không gian Hilbert. 0.2 Biến đổi Fourier Định nghĩa 0.9 Cho f L1() n , biến đổi Fourier của f , ký hiệu là f , định bởi 1 f()(), t f x e itx dx n 2 n n với tx  ti x i, t ( t1 , t 2 , t n ), x ( x 1 , x 2 , , x n ). i 1 14
17. Định nghĩa 0.10  Cho f L1() n , biến đổi Fourier ngược của f , ký hiệu là f , định bởi  1 f()(), x f ei x dx n 2 n n với tx  ti x i, t ( t1 , t 2 , t n ), x ( x 1 , x 2 , , x n ). i 1 Định lý 0.8 Cho f,() g L1 n thì a) f g fˆ gˆ , b) f fˆ , , (m ) 1 ()m m c) Nếu f, f , f ', , f L ( ) thì f()()() t it fˆ t . Định lý 0.9 (Plancherel - 1910) Biến đổi Fourier có thể xem như một toán tử tuyến tính FLL: 2 n 2 n thỏa f,()() g L1 n  L 2 n 1 a)()(), F f2n f 2 n F f LL()() L2 () n b) F ( f ), F ( g ) f , g , c) F F 1 ( f ) f F 1 F ( f ). 15
18. 0.3 Bài toán không chỉnh Định nghĩa 0.11 (Bài toán chỉnh) Cho XY, là các không gian định chuẩn, KXY: là một ánh xạ. Phương trình Kx y được gọi là chỉnh nếu thỏa các tính chất sau (i) Tính tồn tại nghiệm: Với mỗi y Y , có ít nhất một x X sao cho Kx y . (i) Tính duy nhất nghiệm: Với mỗi y Y , có nhiều nhất một x X sao cho Kx y . (iii) Tính phụ thuộc liên tục: Với mọi dãy ()xn  X thỏa Kxn Kx() n , kéo theo xn x() n . Bài toán không thỏa ít nhất một trong ba tính chất trên gọi là bài toán không chỉnh. Định nghĩa 0.12 (Sơ đồ chỉnh hóa) Một sơ đồ chỉnh hóa là một họ các toán tử tuyến tính liên tục, bị chặn RYX : , 0 sao cho limR Kx x ,  x X , tức là các toán tử RK hội tụ từng 0 điểm về ánh xạ đồng nhất.   Chọn x R y như là một xấp xỉ của nghiệm chính xác. Khi đó   ||x x |||| R y R y |||| R y x || ||R ||.|| y y |||| R Kx x ||  ||R || || R Kx x || . Trong vế phải của bất đẳng thức trên, số hạng thứ hai dần về 0 khi 0 do định nghĩa 2.13, còn số hạng thứ nhất trong trường hợp tổng quát không dần về 0. Cụ thể, ta có mệnh đề sau Mệnh đề 0.3 Cho R là một sơ đồ chỉnh hóa toán tử tuyến tính compact và dim X thì các toán tử R không bị chặn đều, tức là () sao cho ||R || khi j . Ta cần j j 16
19. chọn ()  phụ thuộc vào  để giữ cho tổng sai số ở mức nhỏ nhất có thể được. Cụ thể, ta có định nghĩa sau Định nghĩa 0.13 Một sơ đồ chỉnh hóa ()  được gọi là chấp nhận được nếu nó thỏa mãn a) (  ) 0 khi  0 ,   b) sup{||R ()  y x ||:|| Kx y ||}0  khi  0 , x X . 17
20. CHƯƠNG 1 KẾT QUẢ CHỈNH HÓA 1.1 Giới thiệu bài toán Ta xét bài toán Cauchy cho phương trình Helmholtz có hiệu chỉnh 2 uxyuxykuxyxx(,) yy (,) (,) 0, x [0,1], y (1.1.1) thỏa hai điều kiện sau u(0, y ) f ( y ), (1.1.2) ux (0, y ) 0. (1.1.3) Bài toán đặt ra là tìm u(,) x y thỏa phương trình (1.1.1) và điều kiện (1.1.2) – (1.1.3) trong đó k là một hằng số thực dương, f( y ) L1 ( )  L 2 ( ). 1.2 Biến đổi bài toán Biến đổi Fourier hai vế của phương trình (1.1.1) theo biến y, ta có 1 u( xy , ) u ( xy , ) kuxye2 ( , ) i y dy 0 , xx yy 2 1 1 1 uxye( , ) i y dy uxye ( , ) i  y dy kuxye2 ( , ) i  y dy 0 , xx yy 2 2 2 2 uˆ( x , ) 2 u ˆ ( x ,  ) k 2 u ˆ ( x ,  ) 0 , x2 2 uˆ( x , ) ( 2 k 2 ) u ˆ ( x ,  ) 0 . x2 Giải phương trình đặc trưng 2 (  2 k 2 ) 0 , ta được   2 k 2 . 18
21. Từ đó ta có 2 k 2 x  2 k 2 x uˆ(,)()() x C1  e C 1  e . (1.1.4) Từ (1.1.2) – (1.1.3) , ta có hệ uˆx (0, ) 0, (1.1.5) ˆ uˆ(0, ) f (  ) Từ (1.1.4) và (1.1.5) ta được fˆ() CC()().  (1.1.6) 1 2 2 Từ (1.1.4) và (1.1.6), ta có fˆ() 2 2 2 2 uˆ(,), x e k x e  k x (1.1.7) 2 Từ đó , ta tìm được nghiệm chính xác của bài toán (1.1.1) - (1.1.3) là 1fˆ ( ) 2 2 2 2 u(,), x y e k x e  k x ei y d (1.1.8) 2 2 Bài toán (1.1.1) - (1.1.3) là bài toán không chỉnh. sin Thật vậy, ta chọn fˆ () .  Ta nhận được sin 2 k 2 x  2 k 2 x uˆ(,) x e e .  Cho | | , ta có fˆ ( ) 0 trong khi uˆ(,) x  . Điều đó có nghĩa là nghiệm của bài toán không phụ thuộc liên tục theo dữ liệu. Do đó bài toán là không chỉnh. 1.3 Xây dựng nghiệm chỉnh hóa của bài toán Ta xây dựng hai nghiệm chỉnh hóa của bài toán (1.1.1) - (1.1.3) là 19