Báo cáo Bình phương steenrod và bài toán hit đối với đại số steenrod (Phần 1)

Nội dung text: Báo cáo Bình phương steenrod và bài toán hit đối với đại số steenrod (Phần 1)

1. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH CễNG TRèNH NGHIấN CỨU KHOA HỌC CẤP TRƯỜNG BèNH PHƯƠNG STEENROD VÀ BÀI TOÁN HIT éỐI VỚI éẠI SỐ STEENROD Mó số: T2013-38Té Chủ nhiệm dề tài: ThS. Nguyễn Khắc Tớn S KC0 0 4 2 9 3 Tp. Hồ Chớ Minh, thỏng 02/2014
2. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI KH&CN CẤP TRƯỜNG TRỌNG ĐIỂM BèNH PHƯƠNG STEENROD VÀ BÀI TOÁN HIT ĐỐI VỚI ĐẠI SỐ STEENROD Mó số: T2013-38TĐ Chủ nhiệm đề tài: ThS. Nguyễn Khắc Tớn TP. HCM, 02/2014
3. TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI KH&CN CẤP TRƯỜNG TRỌNG ĐIỂM BèNH PHƯƠNG STEENROD VÀ BÀI TOÁN HIT ĐỐI VỚI ĐẠI SỐ STEENROD Mó số: T2013-38TĐ Chủ nhiệm đề tài: ThS. Nguyễn Khắc Tớn TP. HCM, 02/2014
4. 1 Phần mở đầu 2 Ch−ơng 1. một số kiến thức chuẩn bị 1.1.Đạisốtenxơ 6 1.2.Đạisốđốixứng 7 1.3.Đạisốngoài 8 1.4.ĐạisốSteenrod 9 1.5. Cấu trúc mô đun của đại số đa thức trên đại số Steenrod . . . . . . . . 10 1.6. Nhóm tuyến tính tổng quát trên tr−ờng F2 11 Ch−ơng 2. Bài toán hit đối với đại số Steenrod 2.1.Cáchàmsốhọc 12 2.2. Một số tính chất của đơn thức chấp nhận đ−ợc . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.3. Toán tử bình ph−ơng của Kameko . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.4. Các đơn thức chấp nhận đ−ợc bậc 8 trong P5 23 2.5. Ư0ng dụng của bài toán hit đối với đồng cấu chuyển đại số . . . . . . 28 Kết luận và kiến nghị 31 Tài liệu tham khảo 32
5. 2 Phần mở đầu Tổng quan tình hình nghiên cứu trong và ngoài n−ớc Một trong những bài toán quan trọng của Tôpô đại số hiện nay là xác định tập sinh cực tiểu của Pk đ−ợc xét nh− môđun trên đại số Steenrod A. Bài toán này đ−ợc gọi là bài toán hit đối với đại số Steenrod. Nếu xét F2 nh− một A- môđun tầm th−ờng thì bài toán hit t−ơng đ−ơng với việc xác định một cơ sở của không gian véc tơ F2⊗APk trên F2. Bài toán này đ−ợc nghiên cứu đầu tiên bởi Peterson [8], Singer [10], Wood [20], những ng−ời đã chỉ ra mối liên hệ của bài toán hit với một số bài toán cổ điển trong lý thuyết đồng biên của các đa tạp, lý thuyết biểu diễn modular của các nhóm tuyến tính, dãy phổ Adams đối với đồng luân ổn định của mặt cầu. Trong đó Pk := F2[x1,x2, ,xk] là đại số đa thức trên tr−ờng nguyên tố F2 có hai phần tử với k biến x1,x2, ,xk, mỗi biến có bậc 1. Đại số này là một môđun trên đại số Steenrod A. Tác động của A trên Pk đ−ợc xác định t−ờng minh bởi công thức   xj, nếu i =0,   i  Sq (xj)= 2 xj , nếu i =1,    0, nếu i>1  và công thức Cartan n Sqn(fg)=X Sqi(f)Sqn−i(g), i=0 với f,g ∈ Pk (xem Steenrod-Epstein [12]). Trong [8], Peterson đã đ−a ra giả thuyết rằng, nh− một môđun trên đại số Steenrod A, đại số đa thức Pk đ−ợc sinh bởi các đơn thức bậc n thoả mãn α(n + k) 6 k, trong đó α(n) là số các hệ số 1 trong khai triển nhị phân của n và chứng minh điều đó với k 6 2.
6. 3 Giả thuyết này đã đ−ợc Wood [20] chứng minh một cách tổng quát. Đây là một công cụ cơ bản đối với bài toán xác định tập sinh cực tiểu của A-môđun Pk. Một công cụ quan trọng khác đ−ợc sử dụng để nghiên cứu bài toán hit là toán tử bình ph−ơng của Kameko 0 Sq∗ :(F2⊗APk)n −→ (F2⊗APk) n−k , f 2 với mọi n > k sao cho n − k là số chẵn. Kameko [6] chứng minh rằng nếu 0 à(n)=k thì Sq là một đẳng cấu của các F -không gian véc tơ, trong đó f∗ 2 à(n)=min{m ∈ Z : α(n + m) 6 m}. Từ kết quả này và kết quả Wood, bài toán hit đ−ợc quy về việc tính toán tại bậc n thoả à(n) 4, trk không là đẳng cấu tại vô
7. 4 số bậc. Mặc dù không là đẳng cấu, đồng cấu chuyển đại số trk là một công cụ A quan trọng trong việc nghiên cứu đồng điều của đại số Steenrod, Tork,n+k(F2, F2). Tính cấp thiết của đề tài Bài toán hit đối với đại số Steenrod là một trong những bài toán quan trọng của Tôpô đại số hiện nay và có nhiều ứng dụng trong lý thuyết đồng luân. Đây là một bài toán mang tính thời sự và đ−ợc sự nghiên cứu bởi nhiều tác giả trong và ngoài n−ớc. Mục tiêu của đề tài Trong bài viết này, chúng tôi trình bày tổng quan một số kết quả về bài toán hit đối với đại số Steenrod A. Chúng tôi xác định t−ờng minh bài toán hit trong tr−ờng hợp 5 biến tại bậc 8 và ứng dụng kết quả này để khảo sát tính đẳng cấu A GL5 của đồng cấu chuyển đại số tr5 : Tor 5,13(F2, F2) −→ (F2⊗APk)8 của Singer. Đối t−ợng và phạm vi nghiên cứu Đối t−ợng nghiên cứu: Đại số Steenrod và đại số đa thức năm biến. Nhóm tuyến tính tổng quát trên tr−ờng nguyên tố hai phần tử và các tác động của nó đối với đại số đa thức. Phạm vi nghiên cứu: Bài toán hit và đồng cấu chuyển đại số thứ năm của Singer. Cách tiếp cận và ph−ơng pháp nghiên cứu Cách tiếp cận: Kế thừa các kết quả tr−ớc về bài toán hit và đồng cấu chuyển đại số. Ph−ơng pháp nghiên cứu: Sử dụng các tiêu chuẩn của Wood và Singer để xác định hệ sinh cực tiểu của đại số đa thức đ−ợc xét nh− một mô đun trên đại số
8. 5 Steenrod. Nội dung nghiên cứu Nội dung chính của đề tài đ−ợc chia thành 2 ch−ơng. Ch−ơng 1. Một số kiến thức chuẩn bị. Trong ch−ơng này chúng tôi nhắc lại một số định nghĩa và các kết quả cần thiết về đại số tenxơ, đại số đối xứng, đại số ngoài, đại số đa thức, đại số Steenrod, cấu trúc môđun của đại số đa thức trên đại số Steenrod, nhóm tuyến tính tổng quát trên tr−ờng nguyên tố có hai phần tử. Ch−ơng 2. Bài toán hit đối với đại số Steenrod. Trong ch−ơng này chúng tôi nhắc lại một số kết quả cần thiết về bài toán hit, trình bày chi tiết một số kết quả trong [6], [15], [4] về các hàm số học, các tính chất của đơn thức hit, đơn thức chấp nhận đ−ợc trên Pk. Chúng tôi xác định t−ờng minh cơ sở chấp nhận đ−ợc của P5 tại bậc 8 và ứng dụng kết quả này cho việc khảo sát đồng cấu chuyển của Singer. Mặc dù tác giả đã có rất nhiều cố gắng trong quá trình thực hiện đề tài nh−ng không tránh khỏi những sai lầm thiếu sót. Tác giả rất mong nhận đ−ợc sự góp ý của quý thầy, cô giáo và bạn đọc quan tâm. Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 02 năm 2014 Tác giả
9. 6 Ch−ơng 1 Một số kiến thức chuẩn bị Trong ch−ơng này, chúng tôi trình bày tổng quan một số kiến thức cơ bản về đại số tenxơ, đại số đối xứng, đại số ngoài, đại số đa thức, đại số Steenrod trên tr−ờng nguyên tố có hai phần tử, cấu trúc môđun của đại số đa thức trên đại số Steenrod, nhóm tuyến tính tổng quát trên tr−ờng nguyên tố có hai phần tử. 1.1 Đại số tenxơ Định nghĩa 1.1.1. Giả sử V là một không gian véc tơ trên tr−ờng K.Ta r 0 đặt T (V )=V ⊗ V ⊗ ⊗ V , với quy −ớc T (V )=K. Nếu dimK V = k và | r{zln } {v1,v2, ,vk} là một cơ sở của V thì tập hợp {vi1 ⊗ ⊗ vir /1 6 i1, ,ir 6 k} là một cơ sở của T r(V ).
10. 7 ∞ r Ta đặt T (V )=⊕r=0T (V ). Xét ánh xạ song tuyến tính T r(V ) ì T s(V ) −→ T r+s(V ) (u, v) 7−→ u ⊗ v Theo tính chất của tích tenxơ, các ánh xạ song tuyến tính nói trên sẽ cảm sinh một phép nhân trên T (V ) T (V ) ì T (V ) −→ T (V ) Khi đó T (V ) là một đại số trên K và đ−ợc gọi là đại số tenxơ của V. Mệnh đề 1.1.2. Giả sử {v1,v2, ,vk} là một cơ sở của K-không gian véc tơ V . Khi đó tập hợp {vi1 ⊗ ⊗ vir | 1 6 i1, ,ir 6 k,0 6 r<∞} là một cơ sở của T (V ). 1.2 Đại số đối xứng Định nghĩa 1.2.1. Cho r ∈ N và V là một không gian véc tơ trên tr−ờng K.Ta r có không gian véc tơ T (V ) trên K. Ký hiệu Ar là không gian véc tơ con của T r(V ) sinh bởi tất cả các phần tử có dạng ⊗ ⊗ ⊗ − ⊗ ⊗ xi1 xi2 xir xiσ(1) xiσ(2) xiσ(r) , ∈ ∈ trong đó xi1 ,xi2 ,xir V , σ Pr (nhóm đối xứng trên r phần tử). Khi đó ∞ A = ⊕r=0Ar là một iđêan của T (V ). r r ∞ r 0 Đặt S (V )=T (V )/Ar và S(V )=⊕r=0S (V ), với quy −ớc là S (V )=K. Khi đó ta có đại số th−ơng ∞ r ∞ ∼ ∞ r ∞ r T (V )/A = ⊕r=0T (V )/⊕r=0Ar = ⊕r=0T (V )/Ar = ⊕r=0S (V )=S(V ),
11. 8 và S(V ) đ−ợc gọi là đại số đối xứng của V. Đặt xi1 xi2 xir = p(xi1 ⊗ xi2 ⊗ ⊗ xir ), trong đó p : T (V ) → S(V ) là phép chiếu tự nhiên. Ta có Mệnh đề 1.2.2. Giả sử {v1,v2, ,vk} là một cơ sở của K-không gian véc tơ V . t1 tk r Khi đó tập hợp {v1 vk | t1,t2, ,tk > 0} là một cơ sở của S (V ). Hơn nữa, ∼ ta có đẳng cấu S(V ) = K[x1,x2, ,xk], trong đó K[x1,x2, ,xk] là đại số đa thức trên K sinh bởi k phần tử x1,x2, ,xk. Trong đề tài này, chúng tôi xét tr−ờng K = F2 là tr−ờng nguyên tố có hai phần tử và phân bậc đại số đa thức F2[x1,x2, ,xk] bằng cách cho deg xi =1, với i =1, 2, ,k. 1.3 Đại số ngoài Định nghĩa 1.3.1. Giả sử V là một không gian véc tơ trên tr−ờng K. Gọi Br là không gian véctơ con của Tr(V ) sinh bởi tất cả các phần tử có dạng x1⊗x2⊗ ⊗xr, r r ∞ trong đó xi =6 xj, với i =6 j nào đó. Ta đặt Λ (V )=T (V )/Br và B = ⊕r=0Br. Dễ thấy B là một iđêan của T (V ). Khi đó ta có ∞ r ∞ ∼ ∞ r ∞ r ΛV = T (V )/B = ⊕r=0T (V )/⊕r=0Br = ⊕r=0T (V )/Br = ⊕r=0Λ (V ) là một đại số trên K, và đ−ợc gọi là đại số ngoài của V . Đặt x1 ∧ x2 ∧ xr = π(x1 ⊗ x2 ⊗ ⊗ xr), trong đó π : T (V ) → S(V ) là phép chiếu tự nhiên. Ta có
12. 9 Mệnh đề 1.3.2. Nếu r>k= dimK V thì Λ(V )=0. Nếu 1 6 r 6 k và {x1, ,xk} là một cơ sở của K-không gian véc tơ V thì tập hợp {xi1 ∧ xi2 ∧ ∧ xir | 1 6 i1 6 6 ir 6 k} là một cơ sở của Λr(V ). 1.4 Đại số Steenrod Trong phần này, chúng tôi trình bày cấu trúc đại số của đại số Steenrod mod-2. ý nghĩa hình học của đại số này đ−ợc trình bày chi tiết trong Steenrod- Epstein [12]. Ký hiệu A là đại số kết hợp, tự do trên tr−ờng F gồm 2 phần tử sinh bởi tập e 2 i hợp các ký hiệu Sq bậc i, với i là số nguyên không âm. Gọi B là ideal của A f e sinh bởi tập [a/2] a b b − 1 − j a+b−j j 0 {Sq Sq − X  Sq Sq | 0 <a<b}∪{Sq − 1}, f f a − 2j f f f j=0 n n trong đó k
    là hệ số nhị thức đ−ợc tính theo mod 2 và quy −ớc k
    =0nếu n<k. Đại số th−ơng A = A/B đ−ợc gọi là đại số Steenrod mod-2. Ký hiệu Sqi e i là lớp trong A có đại diện là Sq . f Khi đó trong đại số A có quan hệ [a/2] b − 1 − j SqaSqb = X  Sqa+b−jSqj, với 0 <a<bvà Sq0 =1. a − 2j j=0 Các quan hệ trên gọi là quan hệ Adem của đại số Steenrod A. Các ký hiệu Sqi gọi là toán tử Steenrod bậc i hay bình ph−ơng Steenrod bậc i.
13. 10 1.5 Cấu trúc môđun của đại số đa thức trên đại số Steenrod Nhắc lại rằng Pk := F2 [x1,x2, ,xk] là đại số đa thức trên tr−ờng F2 sinh bởi các biến x1,x2, ,xk, mỗi biến có bậc một. Đại số Steenrod A tác động trên Pk bởi công thức t−ờng minh   xj,i=0,   i  Sq (xj)= 2 xj ,i=1,    0,i>1.  và công thức Cartan n Sqn(fg)=X Sqi(f)Sqn−i(g), i=0 với f,g ∈ Pk. Với các tác động trên, đại số đa thức Pk là một môđun trên đại số Steenrod A. + i + Ký hiệu A là iđêan của A sinh bởi tất cả các Sq với i>0 và A Pk là tập i hợp tất cả các đa thức trong Pk đ−ợc biểu diễn d−ới dạng tổng X Sq fi, trong i>0 đó fi ∈ Pk và bằng 0 hầu hết trừ một số hữu hạn. + i Ký hiệu As là không gian véc tơ con của A sinh bởi tất cả các Sq với s + 0 <i<2 và As Pk là tập hợp tất cả các đa thức trong Pk đ−ợc biểu diễn d−ới i s dạng tổng X Sq fi, trong đó fi ∈ F2 với 0 <i<2 và s là một số nguyên 0<i<2s d−ơng cho tr−ớc. Nh− đã trình bày trong phần mở đầu, một trong những bài toán quan trọng của Tôpô đại số hiện nay là xác định tập sinh cực tiểu của đại số đa thức Pk đ−ợc xét nh− môđun trên đại số Steenrod A. Ta xét F2 là A-môđun với tác động
14. 11 Sq0(1) = 1,Sqi(1) = 0 với i>0, thì bài toán hit t−ơng đ−ơng với việc xác định một cơ sở của không gian véc tơ F2⊗APk trên F2. Ta ký hiệu (Pk)n là không gian véc tơ con của Pk gồm tất cả các đa thức thuần nhất bậc n và (F2⊗APk)n là không gian véc tơ con của F2⊗APk gồm tất cả các lớp biểu diễn bởi các đa thức thuần nhất bậc n. 1.6 Nhóm tuyến tính tổng quát trên tr−ờng F2 Cho V là một không gian véc tơ k chiều trên tr−ờng F2. Ký hiệu GL(V ) là tập hợp tất cả các tự đẳng cấu tuyến tính của V. Tập hợp GL(V ) cùng với phép toán hợp thành các ánh xạ lập thành một nhóm gọi là nhóm tuyến tính tổng quát trên tr−ờng F2. Phần tử đơn vị của GL(V ) là ánh xạ đồng nhất idV . Phần tử nghịch đảo của f ∈ GL(V ) là đẳng cấu ng−ợc f −1 ∈ GL(V ). Dễ thấy rằng Mệnh đề 1.6.1. GL(V ) là nhóm aben nếu và chỉ nếu dimF2 V =1. Giả sử đã chọn và cố định một cơ sở trên F2-không gian véc tơ V và ký hiệu GLk = GLk(F2) là nhóm gồm tất cả các ma trận vuông cấp k khả nghịch với các phần tử trong F2. Xét ánh xạ ϕ : GL(V ) −→ GLk đặt t−ơng ứng mỗi tự đẳng cấu tuyến tính f của V với một ma trận M(f) của nó đối với cơ sở đã chọn. Khi đó, ta có Mệnh đề 1.6.2. Đồng cấu ϕ là đẳng cấu nhóm. Do đó ta có thể đồng nhất nhóm GL(V ) với nhóm GLk.
15. 12 Ch−ơng 2 Bài toán hit đối với đại số Steenrod Trong ch−ơng này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và một số kết quả về bài toán hit đối với đại số Steenrod, một số kết quả về cơ sở chấp nhận đ−ợc đối với đại số đa thức, bao gồm các kết quả trong Kameko [6], Sum [15], Singer [10], Wood [20]. Toán tử bình ph−ơng của Kameko và xác định t−ờng minh cơ sở chấp nhận đ−ợc của đại số đa thức P5 tại bậc 8. Từ đó, nghiên cứu ứng dụng của nó đối với đồng cấu chuyển đại số của Singer. Tr−ớc tiên, chúng tôi trình bày các tính chất cơ bản của các hàm số học α(n), à(n) đ−ợc trình bày trong Kameko [6]. 2.1 Các hàm số học Định nghĩa 2.1.1. α(n)=số các hệ số 1 trong khai triển nhị phân của n. à(n)=min{m ∈ Z : α(n + m) 6 m}.
16. 13 Mệnh đề 2.1.2. α(n + m) 6 m nếu và chỉ nếu à(n) 6 m. Chứng minh. Giả sử α(n + m) 6 m. Khi đó m > min{k ∈ Z : α(n + k) 6 k} = à(n). Ng−ợc lại, giả sử à(n) 6 m.Tacó α(n + m)=α(n + à(n)+m − à(n)) 6 α(n + à(n)) + α(m − à(n)) 6 à(n)+m − à(n)=m. Mệnh đề đ−ợc chứng minh. Mệnh đề sau đây là hiển nhiên đ−ợc suy ra từ định nghĩa. Mệnh đề 2.1.3. Với mọi số tự nhiên n ta có α(2n)=α(2n +1)− 1. Mệnh đề 2.1.4. Với mọi số nguyên d−ơng n,sốn − à(n) là không âm và chẵn. Chứng minh. Ta có α(n + n)=α(n) 6 n. Từ định nghĩa của hàm à(n) ta suy ra à(n) 6 n. Hay n − à(n) là không âm. Giả sử n − à(n) là số lẻ. Suy ra n + à(n) − 1 là số chẵn. Do đó theo Mệnh đề 2.1.2 và Mệnh đề 2.1.3 ta có α(n + à(n) − 1) = α(n + à(n)) − 1 6 à(n) − 1. Điều này dẫn đến một sự mâu thuẫn. Vậy n − à(n) phải là số chẵn. n−k Mệnh đề 2.1.5. Giả sử à(n)=k. Khi đó à( 2 ) 6 k. Chứng minh. Vì à(n)=k nên theo Mệnh đề 2.1.4 ta có n + k là số chẵn. Khi đó n − k n + k α + k = α  = α(n + k) 6 k 2 2 n−k Từ Mệnh đề 2.1.2 ta suy ra à( 2 ) 6 k.
17. 14 2.2 Một số tính chất của đơn thức chấp nhận đ−ợc Trong phần này, chúng tôi trình bày các khái niệm và một số kết quả trong Kameko [6], Sum [15] về đơn thức chấp nhận đ−ợc. Ta ký hiệu Nk = {1, 2, ,k} XI = Xi1,i2, ,ir = Y xi,I= {i1,i2, ,ir}⊂Nk. i∈Nk\I Gọi αi(n) là hệ số thứ i trong khai triển nhị phân của n. Tức là 0 1 2 n = α0(n).2 + α1(n).2 + α2(n).2 + , a1 ak với αi(n) ∈{0, 1},i > 0. Giả sử x = x1 xk là một đơn thức trong Pk. Đặt { ∈ } Y 2i Ii(x)= j Nk : αi(aj)=0 . Khi đó ta có x = XIi(x). i>0 a1 a2 ak Định nghĩa 2.2.1. Cho x = x1 x2 xk là một đơn thức trên Pk. Định nghĩa hai dãy t−ơng ứng với đơn thức x ω(x)=(ω1(x),ω2(x), ,ωi(x), ), σ(x)=(a1,a2, ,ak), k trong đó ωi(x)=X αi−1(aj)=degXi−1(x),i=1, 2, j=1 Ta gọi ω(x) là ω-véc tơ t−ơng ứng với đơn thức x. Ký hiệu Pk(ω(x)) là không gian véc tơ con của Pk sinh bởi tất cả các đơn thức y sao cho deg y = deg x và ω(y) <ω(x).
18. 15 Ta đồng nhất một dãy hữu hạn (ξ1,ξ2, ,ξm) với (ξ1,ξ2, ,ξm, 0, 0, ). Xét quan hệ thứ tự từ điển 6 trên tập hợp dãy của các số nguyên không âm. Ta định nghĩa một quan hệ thứ tự sau trên tập các đơn thức trong Pk nh− sau. Định nghĩa 2.2.2. Cho x, y là các đơn thức trên Pk. Ta nói rằng x s. Chúng tôi nhắc lại một số tính chất cơ bản về tác động của các bình ph−ơng Steenrod trên đại số đa thức. Mệnh đề 2.2.4. Cho f là một đa thức thuần nhất trên Pk. Khi đó ta có (i) Nếu i>deg f thì Sqi(f)=0. Nếu i = deg f thì Sqi(f)=f 2. (ii) Nếu i không chia hết cho 2s thì Sqi(f 2s )=0, (iii) Nếu i = r.2s thì Sqi(f 2s )=(Sqr(f))2s. Định nghĩa 2.2.5. Một đơn thức x gọi là không chấp nhận đ−ợc nếu tồn tại các đơn thức y1,y2, ,yt sao cho yj <x,j=1, 2, ,t và x ≡ y1 + y2 + + yt.
19. 16 Một đơn thức x đ−ợc gọi là chấp nhận đ−ợc nếu nó không phải là đơn thức không chấp nhận đ−ợc. Nh− vậy, tập hợp tất cả các đơn thức chấp nhận đ−ợc trên Pk là một tập sinh cực tiểu của Pk nh− môđun trên đại số Steenrod A. Nhận xét rằng, nếu y là một đơn thức trong Pk(ω(x)) thì y s>0. Nếu y ≈ f thì xy ≈ xf . r Chứng minh. Giả sử y = f + g + X Sq (zr), trong đó g ∈ Pk(ω(y)) và zr ∈ Pk, r>0 với r>0. Theo Mệnh đề 2.2.4 ta có 2s 2s 2s r2s 2s xy = xf + xg + X xSq (zr ). r>0 2s 2s Từ ωi(x)=0, với i>svà g ∈ Pk(ω(y)),tacóxg ∈ Pk(ω(xy )). Sử dụng công thức Cartan và Mệnh đề 2.2.4 ta đ−ợc r2s 2s r2s 2s b2s r−b 2s xSq (zr )=Sq (xzr )+ X Sq (x)(Sq (zr)) . 0<b6r
20. 17 ω (x)=0 i>s x = X2i Vì i , với nên ta có Q06i 0, với 0 6 ` s>0. Nếu x ' f và y ' g thì xy2s ' fg2s . Chứng minh. Giả sử i h = x + f + X Sq (zi) ∈ Pk(ω(x)), 16i r>0, trong đó zi,uj ∈ Pk. Theo phép chứng minh của Mệnh đề 2.2.8 ta có 2s 2s j2s 2s 2s xy + xg + X Sq (xuj ) ∈ Pk(ω(xy )). 16j<2r
21. 18 2s 2s Từ ωi(x)=0, với i>svà h ∈ Pk(ω(x)), ta có hg ∈ Pk(ω(xy )). Sử dụng công thức Cartan và Mệnh đề 2.2.4 ta đ−ợc 2s 2s i 2s 2s 2s xg + fg + X Sq (zig )=hg ∈ Pk(ω(xy )). 16j r+ s, ta có ωi(xy )=ωi−s(y)=0. 2s 2s + 2s Từ đó suy ra xy − fg ∈Ar+sPk + Pk(ω(xy )). Định lý 2.2.10. Giả sử x, y, z là các đơn thức trên Pk sao cho ωi(x)=0, với i>r>0, ωs(z) =06 và ωi(z)=0, với i>s>0. Khi đó (i) Nếu z là đơn thức không chấp nhận đ−ợc thì xz2r cũng là đơn thức không chấp nhận đ−ợc. (ii) Nếu z là đơn thức không chấp nhận đ−ợc chặt thì xz2r y2r+s là đơn thức không chấp nhận đ−ợc. Chứng minh. Giả sử tồn tại các đơn thức y1,y2, ,yt sao cho yj rvà yj svà f ∈ Pk(ω(z)), ta có 2s 2s fy ∈ Pk(ω(zy )). Do đó sử dụng công thức Cartan và Mệnh đề 2.2.4 ta đ−ợc 2s 2s 2s 2s i 2s 2s 2s zy + y1y + y2y + + yty + X Sq (uiy )=fy ∈ Pk(ω(zy )). 0<i<2s