Bài giảng Xử lý tín hiệu số - Ngô Như Khoa

124 trang phuongnguyen 140

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Xử lý tín hiệu số - Ngô Như Khoa", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

bai_giang_xu_ly_tin_hieu_so_ngo_nhu_khoa.pdf

Nội dung text: Bài giảng Xử lý tín hiệu số - Ngô Như Khoa

Bài giảng xử lý tớn hiệu số
BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên Bμi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số Ch−ơng 1 Tín hiệu vμ hệ thống rời rạc I. Mở đầu Tín hiệu số lμ tín hiệu đ−ợc biểu diễn bằng một dãy số. Xử lý tín hiệu số bao hμm mọi phép xử lý các dãy số để có đ−ợc các thông tin cần thiết nh− phân tích, tổng hợp, mã hoá, đặc biệt lμ loại bỏ giao thoa tín hiệu, loại bỏ nhiễu, nhận đ−ợc phổ tín hiệu, biến đổi tín hiệu sang dạng mới phù hợp hơn. Nhìn chung, các hệ thống xử lý tín hiệu phức tạp đều dựa trên các phép xử lý cơ bản sau: 1. Tích chập. 2. T−ơng quan, bao gồm hai loại: tự t−ơng quan vμ t−ơng quan chéo. Hμm t−ơng quan chéo dùng để đo mức độ t−ơng tự nhau giữa hai tín hiệu. Nó đ−ợc dùng để phân tích phổ chéo, phát hiện tín hiệu trên một nền nhiễu nh− việc phát hiện tín hiệu phản hồi trong kỹ thuật rada, tìm mẫu t−ơng đồng nhau trong nhận dạng, đo độ trễ. 3. Lọc số: lμ một thao tác cơ bản, th−ờng đ−ợc sử dụng nhằm khử nhiễu, chọn băng thông. 4. Các phép biến đổi rời rạc: cho phép biểu diễn tín hiệu rời rạc trong không gian tần số hoặc chuyển đổi giữa thời gian vμ tần số. Phổ của tín hiệu có thể nhận đ−ợc bằng cách phân nhỏ nó thμnh các thμnh phần tần số. 5. Điều chế. Tín hiệu số th−ờng không đ−ợc truyền đi trên đ−ờng dμi hoặc l−u trữ với số l−ợng lớn. Tín hiệu th−ờng đ−ợc điều chế để lμm cho đặc tính tần số của nó phù hợp với các đặc tính của đ−ờng truyền hoặc của ph−ơng tiện l−u trữ nhằm lμm giảm tối thiểu méo, nhằm sử dụng băng tần một cách có hiệu quả hoặc nhằm đảm bảo tín hiệu có một số tính chất mong muốn. Xử lý tín hiệu số ngμy cμng đ−ợc sử dụng trong nhiều lĩnh vực mμ tr−ớc đây tín hiệu t−ơng tự đ−ợc dùng lμ chính; ngay cả trong những lĩnh vực rất khó hoặc không thể áp dụng với tín hiệu t−ơng tự. Xử lý tín hiệu số có những điểm −u việt sau: 1. Độ chính xác cao: độ chính xác phụ thuộc vμo số bits dùng để biểu diễn tín hiệu số. 2. Sao chép trung thực nhiều lần. 3. Tính bền vững: các hệ thống xử lý tín hiệu số không bị ảnh h−ởng bởi nhiệt độ hay thời gian nh− các hệ thống t−ơng tự. 4. Tính linh hoạt vμ mềm dẻo: chức năng xử lý của các hệ thống xử lý tín hiệu số hoμn toμn có thể can thiệp bằng phần mềm, do đó đảm bảo tính linh hoạt vμ mềm dẻo. I.1. Các định nghĩa a. Tín hiệu Tín hiệu lμ biểu diễn vật lý của thông tin. Ví dụ: - Các tín hiệu nhìn thấy lμ các sóng ánh sáng mang thông tin tới mắt ta. Ngô Nh− Khoa - Photocopyable 1
BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên Bμi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số - Các tín hiệu nghe thấy lμ các sự biến đổi của áp suất không khí truyền thông tin tới tai. b. Biểu diễn toán học của tín hiệu Về mặt toán học, tín hiệu đ−ợc biểu diễn bởi một hμm của một hoặc nhiều biến độc lập. Ví dụ: Tín hiệu của tai nghe Sa(t) lμ hμm một biến số (biến thời gian t), đ−ợc biểu diễn nh− sau: Sa(t) 0 t Hình 1.1. Tín hiệu tai nghe. c. Định nghĩa tín hiệu liên tục - Nếu biến độc lập của sự biểu diễn toán học của một tín hiệu lμ liên tục, thì tín hiệu đó đ−ợc gọi lμ liên tục. Dựa vμo biên độ, tín hiệu liên tục đ−ợc phân thμnh thμnh tín hiệu t−ơng tự vμ tín hiệu l−ợng tử hoá. +. Tín hiệu t−ơng tự: Nếu biên độ của tín hiệu liên tục lμ liên tục thì tín hiệu đó đ−ợc gọi lμ tín hiệu t−ơng tự. +. Tín hiệu l−ợng tử hoá: Nếu biên độ của tín hiệu liên tục lμ rời rạc thì tín hiệu đó đ−ợc gọi lμ tín hiệu l−ợng tử hoá. Ví dụ: Biểu diễn các tín hiệu t−ơng tự vμ tín hiệu l−ợng tử hoá nh− các hình 1.2a vμ 1.2b X (t) xa(t) d 99 69 39 9 0 0 t t (a) (b) Hình 1.2. tín hiệu t−ơng tự (a) vμ tín hiệu l−ợng tử hoá (b). Ngô Nh− Khoa - Photocopyable 2
BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên Bμi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số d. Định nghĩa tín hiệu rời rạc - Nếu tín hiệu đ−ợc biểu diễn bởi hμm của các biến rời rạc, thì tín hiệu đó đ−ợc gọi lμ tín hiệu rời rạc. Dựa vμo biên độ, tín hiệu rời rạc đ−ợc phân thμnh tín hiệu lấy mẫu vμ tín hiệu số. - Tín hiệu lấy mẫu Nếu biên độ của tín hiệu rời rạc lμ liên tục (không đ−ợc l−ợng tử hoá) thì đó đ−ợc gọi lμ tín hiệu lấy mẫu, tín hiệu nμy thu đ−ợc nhờ lấy mẫu từ tín hiệu t−ơng tự. - Tín hiệu số Nếu biên độ của tín hiệu rời rạc lμ rời rạc, thì tín hiệu đó đ−ợc gọi lμ tín hiệu số. xs(nTs) xd(nTs) 99 69 39 9 0 n 0 n (a) (b) Hình 1.3. tín hiệu lấy mẫu (a) vμ tín hiệu số (b). II. Tín hiệu rời rạc II.1. Biểu diễn tín hiệu rời rạc. a. Biểu diễn toán học Tín hiệu rời rạc đ−ợc biểu diễn bằng một dãy các giá trị thực hoặc phức, nếu nó đ−ợc hình thμnh bởi các giá trị thực, thì nó đ−ợc gọi lμ tín hiệu thực; còn nếu đ−ợc hình thμnh bởi các giá trị phức, thì đ−ợc gọi lμ tín hiệu phức. Ta đ−a vμo các ký hiệu nh− sau: xs(nTs): tín hiệu lấy mẫu; xd(nTs): tín hiệu số vμ x(nTs): lμ tín hiệu rời rạc nói chung. Để tiện cho cách biểu diễn tín hiệu rời rạc, chúng ta sẽ chuẩn hoá biến số độc lập nTs bởi chu kỳ lấy mẫu Ts (t−ơng ứng trong miền tần số, chuẩn hoá theo tần số lấy mẫu Fs) nh− sau: chuẩn hoá bởi T x(nT ) s x(n) s Cách biểu diễn toán học tín hiệu rời rạc x(n) cụ thể nh− sau: ⎧Math Equation N1 ≤ n ≤ N 2 x(n) = ⎨ (1.2.1) ⎩0 n N 2 b. Biểu diễn đồ thị Ví dụ: Biểu diễn toán của một tín hiệu rời rạc nh− sau: Ngô Nh− Khoa - Photocopyable 3
BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên Bμi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số ⎧ n ⎪1− 0 ≤ n ≤ 4 x(n) = ⎨ 4 ⎩⎪0 n 4 Biểu diễn đồ thị của tín hiệu rời rạc trên nh− hình 1.4. x(n) 1 0,5 -1 0 1 2 3 4 5 n Hình 1.4. Biểu diễn đồ thị tín hiệu rời rạc. II.2. Một số dãy cơ bản. a. Dãy xung đơn vị. Trong miền n, dãy xung đơn vị đ−ợc định nghĩa nh− sau: ⎧1 n = 0 δ (n) = ⎨ (1.2.2) ⎩0 n ≠ 0 b. Dãy nhẩy đơn vị. Trong miền n, dãy nhảy đơn vị đ−ợc định nghĩa nh− sau: ⎧1 n ≥ 0 u(n) = ⎨ (1.1.3) ⎩0 n N1 d. Dãy hμm mũ thực. Trong miền n, dãy hμm mũ thực đ−ợc định nghĩa nh− sau: ⎧a n 0 ≤ n e(n) = ⎨ (1.2.5) ⎩0 n < 0 Dãy nμy tăng hoặc giảm tuỳ thuộc vμo tham số a lớn hơn hay nhỏ hơn 1. nh− hình 1.5(a vμ b) Ngô Nh− Khoa - Photocopyable 4
BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên Bμi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số e(n) e(n) 1 1 0 n 0 n (a). a 1 Hình 1.5. Biểu diễn đồ thị dãy hμm mũ thực. e. Dãy sin. Trong miền n, dãy sin đ−ợc định nghĩa nh− sau: s(n) = sin(ω0n). (1.2.6) 2π Đồ thị của s(n) đ−ợc biểu diễn trên hình 1.6, với ω = 0 8 2π sin( n) 8 1 0 4 8 n -1 Hình 1.6. Biểu diễn đồ thị dãy sin. II.3. Các phép toán đối với tín hiệu rời rạc. a. Tổng của hai dãy. Định nghĩa: Tổng của hai dãy nhận đ−ợc bằng cách cộng từng đôi một các giá trị mẫu đối với cùng một trị số của biến độc lập. b. Tích của hai dãy. Tích của hai dãy nhận đ−ợc bằng cách nhân từng đôi một các giá trị mẫu đối với cùng một trị số của biến độc lập. y(n) x(n) + x(n) +y(n) c. Tích với hằng số. Tích của một dãy với một hằng số nhận đ−ợc bằng cách nhân tất cả các giá trị mẫu của một dãy với chính hằng số đó. y(n) x(n) x(n).y(n) Ngô Nh− Khoa - Photocopyable 5
BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên Bμi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số d. Trễ (phép dịch) Ta nói rằng dãy x2(n) lμ dãy lặp lại trễ của dãy x1(n) khác nếu ta có: x2(n) = x1(n-n0): với mọi n, n0 nguyên. Ví dụ trên hình 1.7 biểu diễn đồ thị hai dãy x1(n) vμ x2(n), với x2(n) = x1(n-1). x (n) 1 x2(n) 1 1 4 0 1 2 3 n 0 2 3 4 5 6 n Hình 1.7. Biểu diễn tín hiệu trễ. III. Các hệ thống tuyến tính bất biến Do tính khả hiện của hệ thống tuyến tính bất biến về cả lý thuyết vμ thực hμnh, nên trong giáo trình nμy, chúng ta chỉ hạn chế nghiên cứu các hệ tuyến tính bất biến. III.1. Các hệ thống tuyến tính a. Định nghĩa Một hệ thống tuyến tính đ−ợc đặc tr−ng bởi toán tử T (lμm nhiệm vụ biến đổi dãy vμo x(n) thμnh dãy ra y(n)) thoả mãn nguyên lý xếp chồng, tức lμ: T[ax1(n) + bx2(n)] = aTx1(n) + bTx2(n) = ay1(n) + by2(n) (1.3.1) trong đó: a, b lμ các hằng số, y1(n) lμ đáp ứng của kích thích x1(n) vμ y2(n) lμ đáp ứng của kích thích x2(n). b. Đáp ứng xung của hệ thống tuyến tính. Một dãy bất kỳ x(n) có thể đ−ợc biểu diễn bằng tổng: ∞ x(n) = ∑x(k)δ (n − k) k=−∞ Với hệ thống tuyến tính, ta có: ⎡ ∞ ⎤ ∞ y(n) = T[]x(n) = T⎢ ∑x(k)δ (n − k)⎥ = ∑x(k)T [δ (n − k) ] (1.3.2) ⎣k=−∞ ⎦ k=−∞ Nếu ký hiệu hk(n) lμ đáp ứng của hệ thống với kích thích δ(n-k), có nghĩa: hk(n) = T[δ(n-k)]. Vμo δ(n-k) Ra T T[δ(n-k)] = hk(n) Ngô Nh− Khoa - Photocopyable 6
BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên Bμi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số ∞ Cuối cùng ta có: y(n) = ∑x(k)h k (n) . Đáp ứng hk(n) đ−ợc gọi lμ đáp ứng xung của k=−∞ hệ thống tuyến tính. Nhận xét: - Các hệ thống tuyến tính đ−ợc đặc tr−ng hoμn toμn bởi đáp ứng xung của nó. - hk(n) lμ hμm của k vμ n, nh− vậy ở các giá trị k khác nhau sẽ cho ta các đáp ứng xung khác nhau, hệ thống tuyến tính nμy sẽ phụ thuộc vμo biến k, nếu k lμ biến thời gian, thì ta có hệ thống tuyến tính phụ thuộc thời gian. Sau đây chúng ta sẽ khảo sát hệ thống tuyến tính bất biến theo k. III.2. Các hệ thống tuyến tính bất biến. a. Định nghĩa. Nếu y(n) lμ đáp ứng của kích thích x(n), thì hệ thống tuyến tính gọi lμ tuyến tính bất biến (TTBB) khi y(n-k) lμ đáp ứng của kích thích x(n-k): (k nguyên). Ví dụ: Hệ thống y(n) = 2x(n) +3x(n-1) lμ hệ thống TTBB. b. Tích chập. Khi hệ thống lμ TTBB thì ta có quan hệ sau: T[δ(n)] = h(n) T[δ(n-k)] = h(n-k) = hk(n). ∞ ∞ vμ: y(n) = ∑x(k)h k (n) = ∑x(k)h(n − k) (1.3.3) k=−∞ k=−∞ Khi đó, hk(n) lμ đáp ứng xung của hệ thống tuyến tính. Còn h(n) lμ đáp ứng xung của hệ thống TTBB, không phụ thuộc vμo k, tức lμ nếu biến lμ thời gian thì tại mọi thời điểm khác nhau đáp ứng xung của hệ thống TTBB luôn lμ h(n). Nh− vậy, đáp ứng xung h(n) sẽ đặc tr−ng hoμn toμn cho một hệ thống TTBB. vμ ta có quan hệ: ∞ y(n) = ∑x(k)h(n − k) = x(k)*h(n) (1.3.4) k=−∞ Quan hệ (1.3.3) đ−ợc gọi lμ tích chập của x(n) vμ h(n). Chú ý: Tích chập nμy chỉ đúng với hệ thống TTBB, vì nó đ−ợc định nghĩa chỉ cho hệ thống nμy. ⎧ n ⎪1− 0 ≤ n ≤ 4 Ví dụ: Cho x(n) = rect5(n) vμ h(n) = ⎨ 4 ⎩⎪0 n 4 Tính tích chập x(n)*h(n). Giải: Từ công thức tích chập (1.3.3): ∞ y(n) = x(k)*h(n) = ∑x(k)h(n − k) k=−∞ ta thực hiện các b−ớc: - Đổi biến số n thμnh k x(k) = rect5(k) Ngô Nh− Khoa - Photocopyable 7
BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên Bμi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số ⎧ n − k ⎪1− 0 ≤ n − k ≤ 4 h(n − k) = ⎨ 4 ⎩⎪0 n − k 4 ⎧1 0 ≤ k ≤ 4 Vì x(k) = ⎨ ⎩0 k 4 Nên ta có: Tổng k chỉ cần tính từ 0 đến 4 vμ n chỉ xác định từ 0 đến 8. 4 - Với n = 0 ta có: y(0) = ∑x(k)h(−k) =1.1+1.0 +1.0 +1.0 +1.0 =1 k=0 4 - Với n = 1 ta có: y(1) = ∑x(k)h(1− k) =1.0,75 +1.1+1.0 +1.0 +1.0 =1,75 k=0 4 - Với n = 2 ta có: y(2) = ∑x(k)h(2 − k) =1.0,5 +1.0,75 +1.1+1.0 +1.0 = 2,25 k=0 4 - Với n = 3 ta có: y(3) = ∑x(k)h(3− k) =1.0,25 +1.0,5 +1.0,75 +1.1+1.0 = 2,5 k=0 4 - Với n = 4 ta có: y(4) = ∑x(k)h(4 − k) =1.0 +1.0,25 +1.0,5 +1.0,75 +1.1 = 2,5 k=0 4 - Với n = 5 ta có: y(5) = ∑x(k)h(5 − k) =1.0 +1.0 +1.0,25 +1.0,5 +1.0,75 =1,5 k=0 4 - Với n = 6 ta có: y(6) = ∑x(k)h(6 − k) =1.0 +1.0 +1.0 +1.0,25 +1.0,5 = 0,75 k=0 4 - Với n = 7 ta có: y(7) = ∑x(k)h(7 − k) =1.0 +1.0 +1.0 +1.0 +1.0,25 = 0,25 k=0 4 - Với n = 8 ta có: y(8) = ∑x(k)h(8 − k) =1.0 +1.0 +1.0 +1.0,25 +1.0 = 0 k=0 Cuối cùng, ta có y(n) đ−ợc biểu diễn bằng đồ thị sau: x(n) y(n) = x(n)*h(n) 1 0 1 n h(n) 2,5 1,5 1 0 1 n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 n Hình 1.8. Đồ thị đáp ứng ra của hệ thống TTBB Ngô Nh− Khoa - Photocopyable 8
BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên Bμi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số c. Các tính chất của tích chập - Tích chập có tính chất giao hoán. y(n) = x(n)*h(n) = h(n)*x(n). (1.3.5) +∞ Chứng minh: Từ biểu thức: y(n) = ∑x(n − k)h(k) . k=−∞ Thay biến: n - k = l ⇒ k = n - l; k : - ∞ -> l : +∞ vμ k : + ∞ -> l : -∞ −∞ +∞ ⇒ ∑x(n − l)h(l) = ∑h(l)x(n − l) ⇒ y(n) = h(n)*x(n). l=+∞ l=−∞ - Tích chập có tính kết hợp. y(n) = x(n)*[h1(n) * h2(n)] = [x(n)*h1(n)]*h2(n). (1.3.6) Quan hệ (1.3.6) cho thấy việc mắc nối tiếp hai hệ thống TTBB có đáp ứng xung h1(n) vμ h2(n) sẽ t−ơng đ−ơng với một hệ thống TTBB có đáp ứng xung lμ tích chập của h1(n) vμ h2(n). Chứng minh: ∞ x(n)*[][h1 (n)*h 2 (n) = ∑x(k) h1 (n − k)*h 2 (n − k) ] k=−∞ ∞ = ∑x(k)[]h 2 (n − k)*h1 (n − k) k=−∞ ∞ ⎡ ∞ ⎤ = ∑∑x(k)⎢ h 2 (l)h1[(n − k) − l]⎥ k=−∞ ⎣l=−∞ ⎦ ∞ ⎡ ∞ ⎤ = ∑∑⎢ x(k)h1[(n − l) − k]⎥h 2 (l) l=−∞⎣k=−∞ ⎦ = []x(n)*h1 (n) *h 2 (n) - Tích chập có tính phân phối. y(n) = x(n)*[h1(n) + h2(n)] = [x(n)*h1(n)] + [x(n)*h2(n)] (1.3.7) Quan hệ (1.3.7) cho thấy việc mắc song song hai hệ thống TTBB có đáp ứng xung h1(n) vμ h2(n) sẽ t−ơng đ−ơng với một hệ thống TTBB có đáp ứng xung lμ tổng của h1(n) vμ h2(n). Chứng minh: ∞ x(n)*[][h1 (n) + h 2 (n) = ∑x(k) h1 (n − k) + h 2 (n − k) ] k=−∞ ∞ ∞ = ∑x(k)h1 (n − k) + ∑x(k)h 2 (n − k) k=−∞ k=−∞ = [][]x(n)*h1 (n) + x(n)*h 2 (n) Ví dụ: Cho ba hệ thống tuyến tính bất biến h1(n), h2(n) vμ h3(n), theo sơ đồ sau (hình 1.9): h1(n) + h3(n) h2(n) Hình 1.9. Sơ đồ hệ thống TTBB Ngô Nh− Khoa - Photocopyable 9
BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên Bμi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số ⎧ n ⎪1− 0 ≤ n ≤ 2 1 Với: h1 (n) = ⎨ 2 h2(n) = δ (n −1) + u(n − 2) − u(n − 6) 2 ⎩⎪0 vμ h3(n) = rect11(n). Tính h(n) của hệ thống. Giải: Từ sơ đồ của hệ thống ta có đáp ứng xung của hệ thông xác định nh− sau: h(n) = [h1(n) + h2(n)]*h3(n). Biểu diễn các đáp ứng xung dạng đồ thị nh− sau (hình 1.10): h1(n) 1 0,5 0 1 2 n h2(n) 0 1 2 3 4 5 6 n h1(n)+h2(n) = rect6(n) 1 0 1 2 3 4 5 6 n h3(n)=rect11(n) 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n 6 h(n) 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 n Hình 1.10. Biểu diễn đáp ứng xung của hệ thống. Ngô Nh− Khoa - Photocopyable 10
BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên Bμi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số III.3. Hệ nhân quả. a. Định nghĩa Một hệ thống TTBB gọi lμ nhân quả nếu đáp ứng ra của nó ở một thời điểm bất kỳ chỉ phụ thuộc vμo kích thích của nó trong quá khứ hoặc hiện tại (độc lập ở các thời điểm t−ơng lai). b. Đáp ứng xung của hệ nhân quả. Định lý: Đáp ứng xung của hệ nhân quả phải bằng 0 (h(n) = 0) với mọi n < 0. Chứng minh: Giả sử ta có hai kích thích x1(n) vμ x2(n): x1(n) = x2(n) với n<n0. x1(n) ≠ x2(n) với n≥n0. Ta có đáp ứng ra của hệ thống TTBB: ∞ y1 (n) = ∑x1 (k)h(n − k) k=−∞ ∞ y2 (n) = ∑x 2 (k)h(n − k) k=−∞ Nếu hệ nμy lμ hệ nhân quả thì ta có: y1(n) = y2(n) với n < n0. Biến đổi tổng trên ta đ−ợc: n0 −1 ∞ y1 (n) = ∑x1 (k)h(n − k) + ∑x1 (k)h(n − k) k=−∞ k=n 0 n0 −1 ∞ y2 (n) = ∑x 2 (k)h(n − k) + ∑x 2 (k)h(n − k) k=−∞ k=n0 Với k < n0 ta có: ∞ ∞ y1 (n) − y2 (n) = ∑x1 (k)h(n − k) − ∑x 2 (k)h(n − k) k=n k=n 0 0 ∞ = ∑[]x1 (k) − x 2 (k) h(n − k) k=n0 Vì với k ≥ n0 ta có: x1(k) ≠ x2(k); mặt khác với n < n0 thì y1(n) = y2(n). Do đó, h(n-k) = h(m) = 0 với m = n - k < 0. - Đối với hệ TTBB vμ nhân quả, dạng chung của công thức tính tổng chập sẽ đơn giản thμnh: ∞ n ∞ y(n) = ∑x(k)h(n − k) = ∑x(k)h(n − k) = ∑x(n − k)h(k) (1.3.8) k=−∞ k=−∞ k=0 - Nếu đáp ứng xung có độ dμi hữu hạn N thì: N y(n) = ∑x(n − k)h(k) (1.3.9) k=0 III.4. Hệ thống tuyến tính bất biến ổn định. a. Định nghĩa: Một hệ thống đ−ợc gọi lμ ổn định, nếu vμ chỉ nếu với dãy đầu vμo hữu hạn, ta có dãy đầu ra hữu hạn. b. Định lý: Một hệ thống TTBB lμ ổn định khi vμ chỉ khi đáp ứng xung của nó thoả mãn điều kiện sau: Ngô Nh− Khoa - Photocopyable 11
BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên Bμi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số ∞ S = ∑ h(n) 0 vμ ng−ợc lại: x(0) = -1 nếu h(-n) 1. Do vậy hệ chỉ ổn định nếu ⏐a⏐<1. IV. Các ph−ơng trình sai phân tuyến tính hệ số hằng IV.1. Ph−ơng trình sai phân tuyến tính Về mặt toán học, kích thích vμo x(n) vμ đáp ứng ra y(n) của hầu hết các hệ thống tuyến tính thoả mãn một ph−ơng trình sai phân tuyến tính sau: N M ∑a k (n)y(n − k) = ∑br (n)x(n − r) (1.4.1) k=0 r=0 Trong đó N, M nguyên d−ơng, N lμ bậc của ph−ơng trình sai phân. Trong ph−ơng trình nμy, tập hợp các hệ số ak(n) vμ br(n) sẽ biểu diễn toμn bộ hμnh vi của hệ thống với một giá trị n cho tr−ớc. IV.2. Ph−ơng trình sai phân tuyến tính hệ số hằng Ngô Nh− Khoa - Photocopyable 12
BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên Bμi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số a. Dạng tổng quát Trong ch−ơng trình, đối t−ợng nghiên cứu lμ các hệ thống TTBB. Các hệ thống nμy có dãy vμo vμ ra của hệ thống liên hệ với nhau bởi một ph−ơng trình sai phân tuyến tính hệ số hằng bậc N nh− sau: N M ∑a k y(n − k) = ∑br x(n − r) (1.4.2) k=0 r=0 Khi đó, tập hợp các hệ số ak vμ br đặc tr−ng cho hệ thống TTBB. Từ (1.4.2), nếu a0 ≠ 0 thì ta có: M N y(n) = ∑b'r x(n − r) − ∑a'k y(n − k) r=0 k=1 (1.4.3) br a k b'r = ; a'k = a 0 a 0 Ví dụ: Xét ph−ơng trình sai phân bậc nhất: y(n) = ay(n-1) + x(n). Tìm đáp ứng xung của hệ thống với điều kiện đầu y(n) = 0 với n <0. Giải: Giả thiết kích thích lμ dãy xung đơn vị: x(n) = δ(n). khi đó đáp ứng ra chính lμ đáp ứng xung của hệ thống: y(n) = h(n). - Với điều kiện đầu: y(n) = 0 với n<0 ta có: h(n) = 0 với n < 0. (1) h(0) = ah(-1) + δ(0) = a.0 + 1 = 1. h(1) = ah(0) + δ(1) = a.1 + 0 = a. h(2) = ah(1) + δ(2) = a.a + 0 = a2. (2) h(3) = ah(2) + δ(3) = a.a2 + 0 = a3. h(n) = ah(n-1) + δ(n) = an. Kết hợp (1), (2) ta có: h(n) = an u(n). Đây lμ hệ thống nhân quả. b. Nghiệm tổng quát của ph−ơng trình sai phân tuyến tính (PTSPTT) hệ số hằng. Các b−ớc giải hệ PTSPTT hệ số hằng: 1. Tìm nghiệm tổng quát của ph−ơng trình thuần nhất Ph−ơng trình sai phân thuần nhất có dạng: N ∑a k y(n − k) = 0 (1.4.4) k=0 n Thông th−ờng, nghiệm của (1.4.4) có dạng mũ: y0(n) = α . Thay vμo (1.4.4) ta đ−ợc: N N -1 N - 2 a0α + a1α + a2α + aN-1α + aN = 0 (1.4.5) Ph−ơng trình nμy gọi lμ ph−ơng trình đặc tr−ng của hệ thống, đa thức ở vế trái gọi lμ đa thức đặc tr−ng bậc N. Ph−ơng trình đặc tr−ng sẽ có N nghiệm, các nghiệm có thể lμ thực hoặc phức. Nếu các nghiệm trùng nhau, ta có nghiệm bội. Nếu các hệ số ai của ph−ơng trình lμ thực thì các nghiệm phức sẽ lμ các cặp liên hợp. Gọi αi : i = [1, N] lμ các nghiệm đơn, ta sẽ có nghiệm tổng quát của ph−ơng trình sai phân thuần nhất d−ới dạng sau: Ngô Nh− Khoa - Photocopyable 13
BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên Bμi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số N n n n n y0 (n) = A1α1 + A 2α 2 + + A Nα N = ∑a kα k (1.4.6) k=1 trong đó: Ai lμ các hằng số đ−ợc xác định theo các điều kiện đầu. 2. Tìm nghiệm riêng của ph−ơng trình sai phân không thuần nhất. Nghiệm riêng yp(n) th−ờng đ−ợc chọn giống nh− dạng của x(n). 3. Tìm nghiệm tổng quát của ph−ơng trình sai phân. Nghiệm tổng quát của PTSPTT sẽ lμ tổng của nghiệm tổng quát của PTSPTT thuần nhất vμ nghiệm riêng của PTSPTT. y(n) = y0(n) + yp(n). (1.4.7) 4. Tìm các hệ số nhờ các điều kiện đầu. Ví dụ: Giải ph−ơng trình sai phân sau: y(n) + 2y(n-1) = x(n), với điều kiện đầu y(-1) = 0 vμ x(n) = n. Giải: - Tìm nghiệm tổng quát của ph−ơng trình thuần nhất: y(n) + 2y(n-1) = 0 (*), nghiệm tổng n (*) quát y0(n) có dạng: α . Thay vμo ta đ−ợc : αn + 2αn-1 = 0 ⇔ αn-1( α +2 ) = 0 ⇔ α = -2. Nh− vậy ph−ơng trình đặc tr−ng chỉ có một nghiệm đơn α1 = -2. n n ⇒ y0(n) = A1α1 = A1(-2) (a) - Tìm nghiệm riêng, dạng giống x(n) = n: yp(n) = Bn + C trong đó: B vμ C lμ các hằng số cần xác định. Thay vμo PTSPTT ta đ−ợc: Bn + C + 2B(n-1) + 2C = n ⇔ 3Bn + 3C - 2B = n. 1 2 Đồng nhất các hệ số ta đ−ợc: B = ; C = 3 9 n 2 ⇒ y (n) = + (b) p 3 9 - Tìm nghiệm tổng quát y(n): n 2 y(n) = y (n) + y (n) = A (−2)n + ( + ) (c) 0 p 1 3 9 - Xác định hệ số A1: Theo giả thiết, y(-1) = 0. Thay vμo (c) ta đ−ợc: −1 2 2 y(−1) = A (−2)−1 + ( + ) = 0 ⇔ A = − 1 3 9 1 9 1 2 Vậy nghiệm của PTSPTT lμ: y(n) = n + [1− (−2)n ] 3 9 IV.3. Đáp ứng xung hữu hạn vμ vô hạn Trong thực tế kỹ thuật, ng−ời ta th−ờng phân biệt hai tr−ờng hợp của đáp ứng xung: hệ có đáp ứng xung hữu hạn vμ hệ có đáp ứng xung vô hạn. Ta sẽ khảo sát các hệ trên ứng với các tr−ờng hợp PTSPTT hệ số hằng sau: N M Từ PTSPTT hệ số hằng của hệ: ∑a k y(n − k) = ∑br x(n − r) k=0 r=0 Ngô Nh− Khoa - Photocopyable 14
BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên Bμi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số M br +. Nếu N = 0, thì ph−ơng trình trở thμnh: y(n) = ∑ x(n − r) ; a0 ≠ 0. r=0 a 0 b M Đặt: h(n) = n ; Ta sẽ có: y(n) = ∑h(r)x(n − r) a 0 r=0 Đây chính lμ tích chập giữa h(n) vμ x(n) khi h(n) lμ nhân quả vμ có chiều dμi hữu hạn: L[h(n)] = M+1; h(n) chính lμ đáp ứng xung của hệ thống không đệ quy hay hệ thống có đáp ứng xung chiều dμi hữu hạn (FIR system). +. Nếu N ≠ 0, thì ph−ơng trình trở thμnh: M N y(n) = ∑b'r x(n − r) − ∑a'k y(n − k) r=0 k=1 ; a0 ≠ 0. br a k b'r = ; a'k = a 0 a 0 Trong quan hệ trên ta thấy rằng b’r vμ a’r lμ các hằng số, vậy hệ thống nμy có đáp ứng ra phụ thuộc vμo kích thích ở thời điểm hiện tại vμ quá khứ vμ vμo cả đáp ứng ra ở thời điểm quá khứ. Nếu giải ph−ơng trình trên với x(n) = δ(n) để xác định đáp ứng xung h(n) ta sẽ thấy đáp ứng xung của hệ thống nμy có chiều dμi vô hạn. Hệ thống nμy đ−ợc gọi lμ hệ thống đệ quy hay hệ có đáp ứng xung dμi vô hạn (IIR system). IV.4. Các phần tử thực hiện hệ thống TTBB. Nhờ có PTSPTT hệ số hằng, chúng ta có thể thực hiện trực tiếp các hệ thống số bằng các phần tử sau: a. Các phần tử thực hiện. Các phần tử trên đ−ợc biểu diễn nh− trong các hình sau: x(n) y(n) = x(n-1) D Phần tử trễ x(n) a y(n)= a.x(n) Phần tử nhân với hằng số x1(n) M y(n) = x (n) ∑ i x2(n) i=1 + Phần tử cộng xn(n) Hình 1.11. Các phần tử cơ bản. b. Ph−ơng trình sai phân của các hệ thống. M - Hệ thống không đệ quy: y(n) = b0 x(n) + ∑br x(n − r) r=1 M N - Hệ thống đệ quy: y(n) = b0 x(n) + ∑br x(n − r) + ∑(−a k )y(n − k) r=1 k=1 Ngô Nh− Khoa - Photocopyable 15
BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên Bμi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số N - Hệ thống đệ quy thuần tuý: y(n) = b0 x(n) + ∑(−a k )y(n − k) k=1 c. Thực hiện các hệ thống rời rạc Một hệ thống TTBB nhân quả vμ ổn định lμ hệ thống thực hiện đ−ợcc về mặt vật lý, cho dù lμ hệ thống đó lμ không đệ quy, đệ quy hay đệ quy thuần tuý. Dựa vμo ph−ơng trình sai phân hệ số hằng của từng hệ thống nμy, ta có thể xây dựng sơ đồ khối tổng quát của chúng nh− sau (hình 1.12): M - Hệ thống không đệ quy: y(n) = b0 x(n) + ∑ br x(n − r) 1r=1424 434 F1[]x(n−1), ,x(n−M) M N - Hệ thống đệ quy y(n) = b0 x(n) + ∑br x(n − r) + ∑(−a k )y(n − k) 1r=1424 434 1k=1424 434 F1[][]x(n−1), ,x(n−M) F2 y(n−1), ,y(n−N) N - Hệ thống đệ quy thuần tuý y(n) = b0 x(n) + ∑(−a k )y(n − k) 1k=1424 434 F2 []y(n−1), ,y(n−N) x(n) y(n) + b0 F[x(n-1), x(n-2), , x(n-M)] F[x(n), x(n-1), x(n-2), , x(n-M)] Hình 1.12a. Hệ thống không đệ quy y(n) x(n) + + b0 F [y(n-1), y(n-2), , y(n-N)] F1[x(n-1), x(n-2), , x(n-M)] 2 F[y(n-1), , y(n-N), x(n), x(n-1), x(n-2), , x(n-M)] Hình 1.12b. Hệ thống đệ quy Ví dụ: Cho ph−ơng trình sai phân tuyến tính hệ số hằng: y(n) = b0x(n) + b1x(n-1) + b2x(n-2) + b5x(n-5) Vẽ sơ đồ thực hiện hệ thống mô tả bởi ph−ơng trình nμy. Giải: Đây lμ hệ thống không đệ quy: N = 0, M = 5. Sơ đồ của hệ thống nh− sau: Ngô Nh− Khoa - Photocopyable 16
BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên Bμi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số D D D D D x(n) b 1 b2 b5 b0 + + y(n) V. t−ơng quan của các tín hiệu V.1. Mở đầu Trong việc xử lý tín hiệu, chúng ta luôn cần phải so sánh các tín hiệu với nhau, chẳng hạn nh− trong kỹ thuật rađa, rađa sẽ phát tín hiệu tìm mục tiêu lμ x(n), tín hiệu nμy nếu gặp mục tiêu sẽ phản xạ trở lại nh−ng bị trễ đi một thời gian D = n0Ts (Ts lμ chu kỳ lấy mẫu), độ suy giảm của tín hiệu với hệ số A, tức lμ tín hiệu nhận đ−ợc lμ A.x(n - n0). Ngoμi tín hiệu phản xạ nμy còn có các tín hiệu nhiễu cộng can thiệp γ(n). Vậy tín hiệu tổng cộng mμ rađa nhận đ−ợc sẽ lμ: y(n) = ax(n - n0) + γ(n). Nếu không có mục tiêu thì : y(n) = γ(n). So sánh hai tín hiệu x(n) vμ y(n) ta sẽ phát hiện đ−ợc có mục tiêu hay không, từ đó có thể xác định đ−ợc vị trí cũng nh− tính chất của mục tiêu. Một ph−ơng pháp so sánh th−ờng đ−ợc sử dụng nhất đó lμ t−ơng quan, sẽ trình bμy d−ới đây. V.2. T−ơng quan chéo vμ tự t−ơng quan a. T−ơng quan chéo Giả sử ta có hai dãy x(n) vμ y(n), tối thiểu một trong hai dãy có năng l−ợng hữu hạn. T−ơng quan chéo của x(n) vμ y(n) đ−ợc định nghĩa nh− sau: ∞ rxy (n) = ∑x(m)y(m − n) (1.5.1) m=−∞ b. Tự t−ơng quan Trong định nghĩa về t−ơng quan chéo, nếu x(n) = y(n) thì quan hệ trên trở thμnh tự t−ơng quan. Tự t−ơng quan đ−ợc định nghĩa nh− sau: ∞ rxx (n) = ∑x(m)x(m − n) (1.5.2) m=−∞ Ngô Nh− Khoa - Photocopyable 17
BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên Bμi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số ch−ơng 2 Phép biến đổi Z I. Mở đầu Trong ch−ơng 1, chúng ta đã khảo sát tín hiệu vμ hệ thống rời rác trong miền biến số độc lập tự nhiên. Đây lμ cách khảo sát trực tiếp, tuy nhiên trong nhiều tr−ờng hợp cách nμy gặp khó khăn vμ nói chung hiệu quả không cao. Ngoμi ph−ơng pháp nμy, chúng ta có thể dùng nhiều ph−ơng pháp khảo sát gián tiếp khác thông qua các kỹ thuật biến đổi. Các biến đổi nμy lμm nhiệm vụ chuyển miền biến số độc lập tự nhiên sang các miền khác vμ nh− vậy tín hiệu vμ hệ thống rời rạc sẽ đ−ợc biểu diễn trong các miền mới với các biến số mới. Mỗi cách biến đổi sẽ có những thuận lợi riêng của nó, tuỳ từng tr−ờng hợp cụ thể mμ ta ứng dụng chúng. Sau khi đã khảo sát xong tín hiệu vμ hệ thống rời rạc trong miền các biến số mới nμy, nếu cần thiết chúng ta lại có thể dùng các phép biến đổi ng−ợc để đ−a chúng về miền biến số độc lập tự nhiên. Các ph−ơng pháp khảo sát gián tiếp nói chung sẽ lμm đơn giản rất nhiều những khó khăn mμ ta gặp khi sử dụng phép khảo sát trực tiếp. Một trong các ph−ơng pháp khảo sát gián tiếp th−ờng đ−ợc sử dụng lμ phép biến đổi Z mμ ta sẽ nghiên cứu trong nội dung của ch−ơng nμy. Phép biến đổi Z đóng vai trò nh− phép biến đổi Laplace trong việc phân tích tín hiệu vμ hệ thống liên tục. Quan hệ giữa miền tự nhiên n vμ miền Z đ−ợc minh hoạ nh− hình 2.1 sau: ZT miền n miền Z IZT Hình 2.1. Quan hệ giữa miền n vμ miền Z II. Phép biến đổi Z (ZT - Z Transform) II.1. Định nghĩa phép biến đổi Z hai phía vμ một phía a. Biến đổi Z hai phía. Định nghĩa. Biến đổi Z hai phía của dãy x(n) đ−ợc định nghĩa nh− sau: ∞ X(Z) = ∑x(n)Z−n (2.2.1) n=−∞ Ký hiệu: ZT[x(n)] = X(Z), hay x(n) ⎯⎯→ZT X(Z) trong đó Z lμ biến số phức. Ngô Nh− Khoa - Photocopyable 18
BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên Bμi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số Nh− vậy biến đổi Z lμ biến đổi việc biểu diễn tín hiệu x(n) trong miền biến số độc lập tự nhiên thμnh việc biểu diễn tín hiệu X(Z) trong miền phức Z vμ X(Z) lμ một hμm phức. Biến đổi Z lμ một chuỗi luỹ thừa vô hạn, nó chỉ tồn tại với các giá trị của Z mμ tại đó chuỗi hội tụ. Ví dụ: Tìm biến đổi Z của các tín hiệu có chiều dμi hữu hạn sau: x1(n) = δ(n) x2(n) = 2δ(n+2) +δ(n) + 3δ(n-1) ∞ −n 0 Giải: X1 (Z) = ∑δ (n)Z =1.Z =1 n=−∞ ∞ −n 2 0 −1 X1 (Z) = ∑[]2δ (n + 2) +δ (n) + 3δ (n −1) Z = 2Z +1.Z + 3.Z n=−∞ Nhận xét: - X1(Z) tồn tại với mọi giá trị của Z, tức lμ trong toμn bộ mặt phẳng Z. Khi đó ta nói ZT[x1(n)] hội tụ trong toμn mặt phẳng Z. - X2(Z) tồn tại với mọi giá trị của Z, trừ Z = 0 vμ Z = ∞, tức lμ ZT[x2(n)] hội tụ trong toμn mặt phẳng Z, trừ gốc 0 vμ điểm vô cực ∞. b. Biến đổi Z một phía Định nghĩa. Biến đổi Z một phía của dãy x(n) đ−ợc định nghĩa nh− sau: ∞ X1 (Z) = ∑x(n)Z−n (2.2.2) n=0 Ký hiệu: ZT1[x(n)] = X1(Z) Chú ý: - Biến đổi Z một phía không biểu diễn đ−ợc tín hiệu x(n) đối với miền biến số độc lập âm. - Đối với tín hiệu nhân quả thì biến đổi Z một phía lμ duy nhất, vì tín hiệu nhân quả bằng không với n < 0. Ví dụ: Tìm biến đổi Z một phía của các tín hiệu có chiều dμi hữu hạn sau: x1(n) = δ(n) x2(n) = 2δ(n+2) +δ(n) + 3δ(n-1) Giải: ∞ 1 −n 0 X1 (Z) = ∑δ (n)Z =1.Z =1 tồn tại với mọi giá trị của Z n=0 ∞ 1 −n 0 −1 −1 X 2 (Z) = ∑[]2δ (n + 2) +δ (n) + 3δ (n −1) Z =1.Z + 3.Z =1+ 3Z tồn tại với mọi giá trị n=0 của Z, trừ Z = 0. c. Mặt phẳng Z Mặt phẳng phức Z đ−ợc tạo bởi trục tung ứng với trục ảo vμ trục hoμnh lμ trục thực nh− hình 2.2 Ngô Nh− Khoa - Photocopyable 19
BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên Bμi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số Im[Z] r ω 0 Re[Z] Hình 2.2. Mặt phẳng Z Biểu diễn Z trong các hệ toạ độ nh− sau: Z = Re[Z] + j.Im[Z] (2.2.3) hoặc trong toạ độ cực: Z = z.ej ω (2.2.4) Trong mặt phẳng Z cần nói đến vòng tròn đơn vị, lμ vòng tròn ứng với ⏐Z⏐=1. Đây lμ vòng tròn đặc biệt quan trọng trong việc đánh giá các đặc tính của hệ thống số dựa vμo các vị trí của điểm cực, điểm không đối với vòng tròn đơn vị; mμ ta sẽ khảo sát trong nội dung tiếp theo. II.2. Sự tồn tại của phép biến đổi Z a. Miền hội tụ của biến đổi Z Định nghĩa 1: ∞ Tập hợp các giá trị của Z mμ tại đó chuỗi X(Z) = ∑x(n)Z−n = ZT[]x(n) hội tụ đ−ợc n=−∞ gọi lμ miền hội tụ của biến đổi Z (hai phía). Định nghĩa 2: ∞ Tập hợp các giá trị của Z mμ tại đó chuỗi X1 (Z) = ∑x(n)Z−n = ZT1[]x(n) hội tụ n=0 đ−ợc gọi lμ miền hội tụ của biến đổi Z một phía. Ví dụ: Cho tín hiệu rời rạc sau: ⎧2n with : − ∞ ≤ n ≤ 2 x(n) = ⎨ ⎩0 other Xác định biến đổi Z hai phía, một phía vμ xác định miền hội tụ. Giải: Tín hiệu x(n) lμ không nhân quả, có chiều dμi vô hạn: L[x(n)]=[-∞, 2] = ∞ vμ đ−ợc biểu diễn trên hình 2.3a sau: x(n) Im[Z] r= 4 2 1 Re[Z] -2 0 2 n Miền hội (a) (b) Hình 2.3. Biểu diễn x(n) (a) vμ miền hội tụ của X(Z) (b). Ngô Nh− Khoa - Photocopyable 20
BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên Bμi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số - Xác định biến đổi Z hai phía. ∞ 2 −1 Ta có: X(Z) = ∑x(n)Z−n = ∑2n Z−n = 4Z−2 + 2Z−1 +1+ ∑2n Z−n n=−∞ n=−∞ n=−∞ ∞ −2 −1 −m m Đổi biến m = - n ta có: X(Z) = 4Z + 2Z +1+ ∑2 Z = X 2 (Z) + X1 (Z) m=1 ∞ 2−1 Z trong đó: −m m với ⏐Z⏐ Rx- . Vậy chuỗi X2(Z) sẽ hội tụ với ⏐Z⏐> Rx-, tức miền hội tụ sẽ lμ miền ngoμi vòng tròn tâm gốc toạ độ có bán kính Rx- (hình 2.4). - Xét chuỗi X1(Z), qua phép đổi biến m = - n: −1 0 ∞ −n −n m X1 (Z) = ∑x(n)Z = ∑x(n)Z − x(0) = ∑x(−m)Z − x(0) n=−∞ n=−∞ m=0 Nếu x(0) lμ hữu hạn, ta xét giới hạn: m 1/m 1/m lim⏐x(-m)Z ⏐ = lim⏐x(-m)⏐ ⏐Z⏐ m→ ∞ m→ ∞ Ngô Nh− Khoa - Photocopyable 21
BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên Bμi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số Đặt Rx+ = [lim⏐x(-m) ⏐1/m ]-1 m→ ∞ áp dụng tiêu chuẩn Cauchy cho chuỗi X1(Z) ta có: ⏐Z⏐< Rx+. Vậy chuỗi X1(Z) sẽ hội tụ với ⏐Z⏐< Rx+, tức miền hội tụ sẽ lμ miền trong vòng tròn tâm gốc toạ độ có bán kính Rx+ (hình 2.4). Cuối cùng, nếu Rx- < Rx+ thì miền hội tụ của biến đổi Z hai phía lμ một hình vμnh khăn có bán kính trong Rx- vμ bán kính ngoμi Rx+ (hình 2.4). Im(Z) Miền hội tụ Rx- Re[Z] Rx+ Hình 2.4. Miền hội tụ của biến đổi Z hai phía. Nhận xét: - Vì Rx- vμ Rx+ đ−ợc xác định từ x(n) vậy hai giới hạn nμy đặc tr−ng cho tín hiệu x(n). - Đối với tín hiệu nhân quả có chiều dμi vô hạn L[x(n)] =[0, ∞], miền hội tụ của biến đổi Z hai phía X[Z] nằm ngoμi vòng tròn bán kính Rx-. - Đối với tín hiệu phản nhân quả có chiều dμi vô hạn L[x(n)] =[-∞, 0], miền hội tụ của biến đổi Z hai phía X[Z] nằm trong vòng tròn bán kính Rx+. - Nếu nếu Rx- ≥ Rx+ thì X(Z) không tồn tại. ∞ - Chuỗi X(Z) = ∑x(n)Z−n có tên lμ chuỗi Laurent, nó lμ một hμm giải tích. Vì vậy n=−∞ trong miền hội tụ, biến đổi Z vμ tất cả các đạo hμm của nó lμ hμm liên tục của Z. Ví dụ: n ⎛ 3 ⎞ Cho chuỗi x(n) = ⎜ ⎟ với mọi giá trị của n. Tìm biến đổi Z vμ miền hội tụ. ⎝ 4 ⎠ Giải: n ∞ ⎛ 3 ⎞ ZT[]x(n) = X(Z) = ∑ ⎜ ⎟ Z−n n=−∞ ⎝ 4 ⎠ Ta có: n −1 n ∞ ⎛ 3 ⎞ −1 ⎛⎛ 3 ⎞ ⎞ X(Z) = Z−1 + ⎜ Z−1 ⎟ ∑⎜ ⎟ ∑ ⎜⎜ ⎟ ⎟ n=0 ⎝ 4 ⎠ n=−∞ ⎝⎝ 4 ⎠ ⎠ Gọi: Ngô Nh− Khoa - Photocopyable 22
BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên Bμi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số ∞ n ⎛ 3 −1 ⎞ 1 3 −1 +. X1 (Z) = ∑⎜ Z ⎟ = với Z . 4 3 −1 n −1 −m m Z −1 ⎛⎛ 3 ⎞ ⎞ ∞ ⎛⎛ 3 ⎞ ⎞ ∞ ⎛⎛ 3 ⎞ ⎞ 3 +. X (Z) = ⎜⎜ ⎟ Z−1 ⎟ = ⎜⎜ ⎟ Z−1 ⎟ = ⎜⎜ ⎟Z⎟ = 4 với : Z <1 2 ∑ ⎜ 4 ⎟ ∑⎜ 4 ⎟ ∑⎜ 4 ⎟ 3 4 n=−∞ ⎝⎝ ⎠ ⎠ m=1⎝⎝ ⎠ ⎠ m=1⎝⎝ ⎠ ⎠ 1− Z 4 4 Theo tiêu chuẩn Cauchy, xét với chuỗi X (Z) ta có: R = , hay miền hội tụ lμ 2 x+ 3 4 Z < . 3 Cuối cùng, ta có: 3 Z 1 3 4 X(Z) = X (Z) + X (Z) = + 4 , với < Z < lμ miền hội tụ. 1 2 3 3 1− Z−1 1− Z 4 3 4 4 II.3. Điểm cực vμ không Trong thực tế chúng ta th−ờng gặp các biến đổi Z cho d−ới dạng một th−ơng số của hai đa thức, nh− vậy X(Z) lμ hμm hữu tỷ của Z: N(Z) X(Z) = D(Z) Do đó tồn tại các giá trị (điểm) Z lμm cho X(Z) bằng 0 hoặc vô định; các điểm nμy cần đ−ợc kể đến trong các phép biến đổi, lμ các điểm không vμ điểm cực đ−ợc xét d−ới đây. a. Điểm không. Tại các điểm Z = Z0r ta có X(Z0r) = 0 thì các điểm đó gọi lμ các không của X(Z). b. Điểm cực. Tại các điểm Z = Zpk ta có X(Zpk) = ∞ thì các điểm đó gọi lμ các cực của X(Z). III. Phép Biến đổi Z ng−ợc. Thông th−ờng khi chúng ta có biến đổi Z: X(Z) của một dãy nμo đó, tức lμ chúng ta có biểu diễn của dãy x(n) trong miền Z, sau khi khảo sát gián tiếp dãy x(n) trong miền Z thì ta cần phải đ−a nó trở về miền biên số độc lập tự nhiên, tức lμ tìm x(n) hay từ biến đổi Z X(Z) của nó. Phép đổi Z ng−ợc sẽ cho phép thực hiện điều nμy. Phép biến đổi Z ng−ợc đ−ợc xây dựng trên cơ sở của định lý Cauchy, một định lý quan trọng trong lý thuyết biến số phức. III.1. Định lý Cauchy. Định lý Cauchy về tích phân trên đ−ờng cong kín trong mặt phẳng phức đ−ợc phát biểu nh− sau: 1 n−1 ⎧1, n = 0 I = ∫ Z dZ = ⎨ (2.3.1) 2πj c ⎩0, n ≠ 0 Ngô Nh− Khoa - Photocopyable 23
BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên Bμi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số trong đó c lμ đ−ờng cong khép kín bao quanh gốc toạ độ của mặt phẳng phức theo chiều d−ơng (ng−ợc chiều kim đồng hồ). III.2. Biến đổi Z ng−ợc Theo định nghĩa của biến đổi Z ta có: ∞ X(Z) = ∑x(m)Z−m m=−∞ Zn−1 - Nhân hai vế của quan hệ nμy với vμ lấy tích phân theo chiều dμi của một 2πj đ−ờng cong kín c bao quanh gốc toạ độ vμ nằm trong miền hội tụ của X(Z), ta có: 1 1 ∞ ∫ X(Z)Zn−1dZ = ∫ ∑x(m)Z−m+n−1dZ 2πj c 2πj c n=−∞ - Đổi thứ tự của tổng vμ tích phân ở vế phải trong quan hệ trên: 1 ∞ 1 ∫ X(Z)Zn−1dZ = ∑ x(m) ∫ Z−m+n−1dZ 2πj c m=−∞ 2πj c theo định lý Cauchy ta có: 1 −n+l−1 ⎧1, (−m + n) = 0 ⇔ m = n ∫ Z dZ = ⎨ 2πj c ⎩0, (−m + n) ≠ 0 ⇔ m ≠ n Vậy với m = n ta có: 1 x(n) = ∫ X(Z)Zn−1dZ (2.3.2) 2πj c biểu thức (2.3.2) chính lμ biểu thức của biến đổi Z ng−ợc. Để tính biến đổi Z ng−ợc chúng ta có ba ph−ơng pháp sau: - Tính trực tiếp tích phân dùng lý thuyết thặng d− (PP thặng d−). - Ph−ơng pháp khai triển thμnh chuỗi luỹ thừa theo Z hoặc Z-1. - Ph−ơng pháp khai triển thμnh tổng các phân thức tối giản. III.3. Ph−ơng pháp thặng d− Theo lý thuyết thặng d− của hμm biến phức thì tích phân trong biểu thức biến đổi Z ng−ợc có thể đ−ợc đánh giá bằng tổng các thặng d− sau: 1 n−1 n−1 x(n) = X(Z)Z dZ = Res[X(Z)Z Z=Z ] (2.3.3) ∫ ∑ pk 2πj c k n-1 trong đó: +. Zpk lμ các điểm cực của X(Z)Z trong đ−ờng cong kín c. n-1 +. Thặng d− tại điểm cực k: Zpk, bậc sk của X(Z)Z trong đ−ờng cong kín c lμ: sk −1 n−1 1 d n−1 sk Res[]X(Z)Z Z=Z = limZ→Z []X(Z)Z (Z − Zpk ) (2.3.4) pk pk sk −1 ()sk −1 ! dZ đối với các điểm cực đơn: ⎡ ⎤ Res X(Z)Zn−1 = lim []X(Z)Zn−1 (Z − Z ) (2.3.5) ⎢ Z=Zpk ⎥ Z→Zpk pk ⎣ ⎦ Ví dụ: 1 Cho: X(Z) = ; miền hội tụ RC[X(Z)] : ⏐Z⏐> 0,5. Tìm x(n). 1 1− Z−1 2 Ngô Nh− Khoa - Photocopyable 24
BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên Bμi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số n-1 Giải: - Xác định các điểm cực Zpk của X(Z)Z trong miền hội tụ ⏐Z⏐> 0,5: Zn Ta có: X(Z)Zn−1 = 1 Z − 2 n ⎛ 1 ⎞ Từ đây, với ⎜ ⎟ ta có Zp1= 0,5 lμ một cực đơn. ⎝ 2 ⎠ Để đơn giản, ta có thể chọn đ−ờng cong c lμ đ−ờng tròn bán kính R > 0,5. Nh− vậy ta có: n n n−1 ⎡ Z ⎤ ⎛ 1 ⎞ Res[]X(Z)Z Z=0,5 = limZ→0,5 ⎢ (Z − 0,5)⎥ = ⎜ ⎟ ⎣Z − 0,5 ⎦ ⎝ 2 ⎠ n n ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ Vậy x(n) = ⎜ ⎟ vơi ⎜ ⎟ . ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ Với n 0) ta sẽ có: ⎡ ⎤ −m−1 ⎢ 1 ⎥ x(−m) = Res[]X(Z)Z Z=Z = Res⎢ Z=Z ⎥ ∑ pk ∑ 1 pk k k ⎢Zm (Z − ) ⎥ ⎣ 2 ⎦ ở đây ta có một cực đơn tại Zp1= 0,5 vμ một cực bội bậc m tại Zp2 = 0. Tính các thặng d− tại các cực ta có: - Tại cực đơn n−1 ⎡ 1 ⎤ m Re s[]X(Z)Z Z=0,5 = limZ→0,5 ⎢ m (Z − 0,5)⎥ = 2 ⎣Z (Z − 0,5) ⎦ - Tại cực bội m−1 n−1 1 d ⎡ 1 m ⎤ Res[]X(Z)Z Z=Z = limZ→0 Z pk m−1 ⎢ m ⎥ ()m −1 ! dZ ⎣Z (Z − 0,5) ⎦ m−1 1 ⎡(−1) (m −1)!⎤ m = ⎢ m ⎥ = −2 ()m −1 ! ⎣ (−0,5) ⎦ Vậy với n 2 Z + 2 Giải: Ngô Nh− Khoa - Photocopyable 25
BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên Bμi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số RC[X(Z)] : ⏐Z⏐>2 hay miền ngoμi vòng tròn bán kính 2. Z 1 X(Z) = = Z + 2 1+ 2Z−1 Nhờ chia đa thức tử cho mẫu ta nhận đ−ợc X(Z) ở dạng chuỗi luỹ thừa nh− sau: ∞ X(Z) = ∑(−2)n Z−n n=0 Cuối cùng ta đ−ợc: x(n) = (-2)nu(n). III.5. Ph−ơng pháp khai triển thμnh phân thức tối giản. Đây lμ một trong các ph−ơng pháp thông dụng. Nguyên tắc của ph−ơng pháp nμy lμ nếu X(Z) có dạng tỷ số hai đa thức theo Z thì ta có thể khai triển X(Z) thμnh các phân thức hữu tỷ tối giản. Khi đó biến đổi Z ng−ợc của X(Z) sẽ lμ tổng các biến đổi Z ng−ợc của các phân thức tối giản Giả sử X(Z) có dạng: C(Z) X(Z) = D(Z) trong đó, C(Z) lμ đa thức bậc M, D(Z) lμ đa thức bậc N. - Nếu M ≥ N, tiến hμnh chia hai đa thức vμ kết quả có dạng: P(Z) X(Z) = S(Z) + (2.3.8) Q(Z) trong đó, S(Z) lμ đa thức bậc M-N có dạng: M−N M−N−1 1 S(Z) = BM−N Z + BM−N−1Z + + B1Z + B0 (2.3.9) - Nếu M < N thì S(Z) = 0. P(Z) - Khai triển th−ơng số thμnh các phân thức tối giản nh− sau: Q(Z) - Tr−ờng hợp X(Z) chỉ có N các cực đơn: P(Z) N A = ∑ k (2.3.10) Q(Z) k=1 Z − Zpk trong đó, Zpk lμ các cực đơn của X(Z) vμ Ak đ−ợc xác định theo biểu thức: P(Z) A = (Z − Z ) (2.3.11) k pk Q(Z) Z=Zpk - Tr−ờng hợp X(Z) có một cực bội bậc s vμ N-s cực đơn: P(Z) N−s A s c k j (2.3.12) = ∑ + ∑ j Q(Z) k=1 Z − Zpk j=1 ()Z − Zpl k≠l khi đó, cj đ−ợc xác định nh− sau: 1 ds− j ⎡ P(Z) ⎤ s (2.3.13) c j = s− j ⎢(Z − Zpk ) ⎥ (s − j)! dZ ⎣ Q(Z)⎦ Z=Zpl Cuối cùng, sau khi khai triển xong X(Z) ta sẽ tìm biến đổi Z ng−ợc của từng phân thức một rồi tổng hợp kết quả ta sẽ có đ−ợc x(n). Biến đổi ng−ợc (IZT) của các phân thức tối giản có thể tham khảo theo một số dạng nh− sau: Ngô Nh− Khoa - Photocopyable 26
BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên Bμi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số ⎡ Z ⎤ n +. IZT⎢ ⎥ = Zpk u(n) ⎣⎢Z − Zpk ⎦⎥ ⎡ 1 ⎤ n−1 +. IZT⎢ ⎥ = Zpk u(n −1) (2.3.14) ⎣⎢Z − Zpk ⎦⎥ ⎡ Z ⎤ n(n −1)(n − 2) (n − m +1) +. IZT⎢ ⎥ = Zn−m u(n) (2.3.15) m+1 m! pk ⎣⎢()Z − Zpk ⎦⎥ với ⏐Z⏐>⏐Zpk⏐. ⎡ Z ⎤ n(n −1)(n − 2) (n − m +1) +. IZT⎢ ⎥ = Zn−mu(−n −1) (2.3.16) m+1 m! pk ⎣⎢()Z − Zpk ⎦⎥ với ⏐Z⏐<⏐Zpk⏐. Ví dụ: Z + 2 Cho X(Z) = . Tìm x(n) bằng ph−ơng pháp khai triển tối giản. 2Z2 − 7Z + 3 Giải: Z + 2 X(Z) = 1 2(Z − )(Z − 3) 2 1 vậy X(Z) có hai điểm cực đơn lμ: Z = vμ Z = 3. p1 2 p2 Vậy ta có: 2 A X(Z) = ∑ k k=1 Z − Zpk trong đó: Z + 2 A1 = (Z − 0,5) = −0,5 2(Z − 0,5)(Z − 3) Z=0,5 Z + 2 A 2 = (Z − 3) =1 2(Z − 0,5)(Z − 3) Z=3 Vậy: − 0,5 1 X(Z) = + Z − 0,5 Z − 3 áp dụng biểu thức (2.3.14) ta có: x(n) = −0,5(0,5) n−1 u(n −1) + 3n−1 u(n −1) = 3n−1 u(n −1) − 0,5n u(n −1) IV. Tính chất của các biến đổi Z Các tính chất của biến đổi Z sẽ hỗ trợ nhiều trong vấn đề xử lý tín hiệu số. Ví dụ Tính chất tuyến tính d−ới đây sẽ cho ta cách tính biến đổi Z ng−ợc thông qua việc phân tích thμnh các hμm đơn giản. IV.1 Tính tuyến tính Ngô Nh− Khoa - Photocopyable 27
BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên Bμi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số Nếu ta có hai dãy x1(n), x2(n) vμ các biến đổi Z của nó nnhw sau: ∞ −n ZT[x1(n)] = X1(Z) = ∑x1 (n)Z . n=−∞ RC[X1(Z)]: Rx1- 0. n x2(n) = a u(n-1); a > 0. x(n) = anu(n) - anu(n-1); Xác định miền hội tụ của X1(Z), X2(Z) vμ X(Z). Giải: ∞ ∞ 1 −n −1 n ; ⏐Z⏐> a. X1 (Z) = ∑x1 (n)Z = ∑(aZ ) = −1 n=−∞ n=0 1− aZ ∞ ∞ aZ−1 X (Z) = x (n)Z−n = (aZ−1 )n = ; ⏐Z⏐> a. 2 ∑ 2 ∑ −1 n=−∞ n=1 1− aZ áp dụng tính chất tuyến tính ta có: 1 aZ−1 1− aZ−1 X(Z) = − = =1 1− aZ−1 1− aZ−1 1− aZ−1 Vậy miền hội tụ của X(Z) lμ toμn bộ mặt phẳng Z. IV.2 Tính dịch chuyển theo thời gian. Giả sử có một dãy x(n) vμ ZT[x(n)] = X(Z); RC[X(Z)] : Rx-<⏐Z⏐< Rx+. Nếu ta có dãy y(n) lμ tín hiệu x(n) dịch đi một đoạn n0 mẫu: y(n) = x(n-n0) ∞ ∞ −n −n Y(Z) = ∑ y(n)Z = ∑x(n − n 0 )Z = Thì: n=−∞ n=−∞ ∞ −n0 −(n−n0 ) −n0 = Z ∑x(n − n 0 )Z = Z X(Z) n=−∞ Ngô Nh− Khoa - Photocopyable 28
BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên Bμi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số Vậy: - Việc dịch đi n0 mẫu sang phải, tức lμ tạo ra tín hiệu trễ n0 mẫu sẽ t−ơng ứng với −n việc nhân với Z 0 trong phép biến đổi Z. -1 - Với n0 = 1, ta có toán tử Z t−ơng ứng với toán tử trễ đi một mẫu, lμ toán tử đ−ợc dùng rất rộng rãi trong việc biểu diễn các hệ thống xử lý tín hiệu số. −n - Miền hội tụ có thể bị thay đổi nếu việc nhân với Z 0 với X(Z) gây triệt tiêu đi hoặc đ−a thêm vμo một số điểm cực tại Z = 0 hoặc điểm không tại Z = ∞. IV.3 nhân với dãy hμm mũ an. Nhân dãy x(n) với dãy hμm mũ an ta có: y(n) = x(n)an. −n ∞ ∞ ⎛ Z ⎞ ⎛ Z ⎞ ⇒ ZT[y(n)] = Y(Z) = ∑a n x(n)Z−n = ∑ x(n)⎜ ⎟ = X⎜ ⎟ n=−∞ n=−∞ ⎝ a ⎠ ⎝ a ⎠ ⎛ Z ⎞ Vậy: ZT[anx(n)] = X⎜ ⎟ . Với X(Z) = ZT[x(n)]. ⎝ a ⎠ ⎡ ⎛ Z ⎞⎤ vμ: RC⎢X⎜ ⎟⎥ : a R x− Rx- vμ: lim Z X(Z) = A < ∞ thì: x(n0) = A vμ x(n) Z→∞ = 0 với n < n0. IV.6.Tích chập của hai dãy Giả sử x3(n) lμ tích chập của hai dãy x1(n) vμ x2(n): x3(n) = x1(n)*x2(n) thì trong miền Z ta có: X3(Z) = X1(Z).X2(Z). Chứng minh: Ngô Nh− Khoa - Photocopyable 29
BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên Bμi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số ∞ ∞ ∞ −n ⎡ ⎤ −n X3 (Z) = ∑[]x1 (n)*x 2 (n) Z = ∑∑⎢ x1 (k)x 2 (n − k)⎥Z n=−∞ n=−∞ ⎣k=−∞ ⎦ ∞ ∞ −n = ∑∑x1 (k) x 2 (n − k)Z k=−∞ n=−∞ đổi biến: m = n-k ⇒ n = m+k ∞ ∞ −k ⎡ −m ⎤ Ta có: X3 (Z) = ∑∑x1 (k)Z ⎢ x 2 (m)Z ⎥ = X1 (Z).X 2 (Z) k=−∞ ⎣m=−∞ ⎦ Miền hội tụ của tích chập hai dãy đ−ợc xác định: RC[X3(Z)] = RC[X1(Z)] ∩RC[X1(Z)] Chú ý: miền hội tụ của X3(Z) có thể rộng hơn giao của miền hội tụ X1(Z) vμ X2(Z) nếu có các điểm không của biến đổi Z nμy bù cho các điểm cực của biến đổi Z kia hoặc ng−ợc lại. Ví dụ: Cho hai dãy: x1(n) = n.u(n) vμ x2(n) = n.u(n). Tìm tích chập của hai dãy trên. Giải: - Tìm X3(Z): ∞ ∞ d ⎡ ∞ ⎤ d ⎡ 1 ⎤ X (Z) = x (n) Z−n = n.u(n)Z−n = −Z Z−n = −Z 1 ∑[]1 ∑ ⎢∑ ⎥ ⎢ −1 ⎥ n=−∞ n=−∞ dZ ⎣n=0 ⎦ dZ ⎣1− Z ⎦ d ⎡ Z ⎤ (Z −1) − Z Z = −Z = −Z = dZ ⎣⎢Z −1⎦⎥ ()Z −1 2 ()Z −1 2 ∞ ∞ ∞ −n −n −n Z X 2 (Z) = ∑[]x 2 (n) Z = ∑u(n)Z = ∑Z = n=−∞ n=−∞ n=0 Z −1 Z Z Z2 ⇒ X (Z) = X (Z).X (Z) = . = 3 1 2 ()Z −1 2 Z −1 ()Z −1 3 - Tìm x3(n) từ X3(Z) qua phép biến đổi Z ng−ợc. ⎡ Z2 ⎤ ⎡ Z2 ⎤ ⎡ Zn+1 ⎤ n−1 IZT⎢ 3 ⎥ = ∑Res⎢ 3 Z ⎥ = ∑Res⎢ 3 ⎥ ⎣(Z −1) ⎦ k ⎣(Z −1) ⎦ k ⎣(Z −1) ⎦ Z=Zpk Z=Zpk Các điểm cực ở đây lμ 1 điểm cực bội bậc 3: Zpk = 1. Vậy: ⎡ Zn+1 ⎤ 1 d 2 ⎡ Zn+1 ⎤ n(n +1) 3 Res⎢ 3 ⎥ = 2 ⎢ 3 (Z −1) ⎥ = ⎣(Z −1) ⎦ 2! dZ ⎣(Z −1) ⎦ 2 Z=Zpk Z=1 n(n +1) Cuối cùng ta có: x = (n) 3 2 IV.7.Tích của hai dãy Giả sử ta có x3(n) lμ tích của hai dãy x1(n) vμ x2(n) nh− sau: x3(n) = x1(n). x2(n) 1 Z Thì trong miền Z ta có quan hệ sau: X (Z) = X (v)X ( )v−1dv 3 ∫ 1 2 2πj c v Với miền hội tụ: RC[X1(Z)]: Rx1-< ⏐Z⏐<Rx1+ RC[X2(Z)]: Rx2-< ⏐Z⏐<Rx2+ RC[X3(Z)]: RC[X1(Z)] ∩ RC[X2(Z)] Chứng minh: Ngô Nh− Khoa - Photocopyable 30
BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên Bμi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số ∞ ∞ −n −n Ta có : X3 (Z) = ∑x 3 (n)Z = ∑x1 (n)x 2 (n)Z n=−∞ n=−∞ 1 Mặt khác: x (n) = X (v)vn−1dv 1 ∫ 1 2πj c −n ∞ 1 1 ∞ ⎛ Z ⎞ ⇒ X (Z) = x (n) X (v)vn−1dvZ−n = x (n) X (v) v−1dv 3 ∑ 2 ∫ 1 ∑ 2 ∫ 1 ⎜ ⎟ n=−∞ 2πj c 2πj n=−∞ c ⎝ v ⎠ −n 1 ⎡ ∞ ⎛ Z ⎞ ⎤ 1 ⎛ Z ⎞ = ⎢ x (n)⎜ ⎟ ⎥X (v)v−1dv = X (v)X ⎜ ⎟v−1dv 2πj ∫ ∑ 2 v 1 2πj ∫ 1 2 v c ⎣⎢n=−∞ ⎝ ⎠ ⎦⎥ c ⎝ ⎠ Chú ý: Đ−ờng cong kín c phải đ−ợc chọn trong miền giao của hai miền hội tụ của X1(Z) vμ X2(Z), hay chính lμ miền hội tụ của X3(Z). IV.8.T−ơng quan của hai tín hiệu Hμm t−ơng quan chéo của hai tín hiệu x(n) vμ y(n) đ−ợc định nghĩa bởi quan hệ ∞ sau: rxy (n) = ∑x(n)y(m − n) m=−∞ ⎛ 1 ⎞ Trong miền Z quan hệ t−ơng ứng lμ: R xy (Z) = X(Z)Y⎜ ⎟ ⎝ Z ⎠ Miền hội tụ đ−ợc xác định: RC[X(Z)]: Rx-< ⏐Z⏐<Rx+ ⎡ ⎛ 1 ⎞⎤ 1 1 RC⎢Y⎜ ⎟⎥ : < ⏐Z⏐< ⎣ ⎝ Z ⎠⎦ R y− R y+ ⎡ ⎛ 1 ⎞⎤ RC[Rxy(Z)]: RC[X(Z)] ∩ RC ⎢Y⎜ ⎟⎥ ⎣ ⎝ Z ⎠⎦ IV.9.Tổng kết các tính chất của biến đổi Z Miền n Miền Z Miền hội tụ 1 ∞ x(n) = X(Z)Zn−1dZ X(Z) = x(n)Z−n ∫ ∑ R < ⏐Z⏐<R 2πj c n=−∞ x- x+ 1 ∞ y(n) = Y(Z)Zn−1dZ Y(Z) = y(n)Z−n ∫ ∑ Ry-< ⏐Z⏐<Ry+ 2πj n=−∞ c aX(Z) + bY(Z) ax(n) + by(n) RC[X(Z)] ∩ RC[Y(Z)] −n0 x(n-n0) Z X(Z) Rx-< ⏐Z⏐<Rx+ -1 X(a Z) n a x(n) -1 lim X(Z) Rx-< ⏐a Z⏐<Rx+ Z→∞ x(0) (nếu x(n) lμ nhân quả) X(Z).Y(Z) 1 Z −1 ∫ X(v)Y( )v dv RC[X(Z)] ∩ RC[Y(Z)] x(n)*y(n) 2πj v c ⎛ 1 ⎞ RC[X(Z)] ∩ RC[Y(Z)] x(n).y(n) R xy (Z) = X(Z)Y⎜ ⎟ ⎝ Z ⎠ ∞ ⎡ ⎛ 1 ⎞⎤ RC[X(Z)] ∩ RC ⎢Y⎜ ⎟⎥ rxy (n) = ∑x(n)y(m − n) ⎣ ⎝ Z ⎠⎦ m=−∞ Ngô Nh− Khoa - Photocopyable 31
BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên Bμi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số IV.10. Một số biến đổi Z thông dụng Miền n Miền Z Miền hội tụ δ(n) 1 Toμn bộ mặt phẳng Z −n0 δ(n-n0) Z Toμn bộ mặt phẳng Z 1 u(n) 1− Z−1 ⏐Z⏐> 1 1 u(-n-1) Z−1 −1 ⏐Z⏐ 1 (1− Z−1 )2 anu(n) 1 ⏐Z⏐> a −1 1− aZ -anu(-n-1) 1 ⏐Z⏐ a 2 ()1− aZ−1 −1 n Z -na u(-n-1) ⏐Z⏐ 1 0 −1 −2 1− 2Z cosω0 + Z ⏐Z⏐> 1 1− Z−1 sin ω (sinω n).u(n) 0 0 −1 −2 1− 2Z cosω0 + Z V. Biểu diễn hệ thống rời rạc trong miền Z Trong miền n, một hệ thống tuyến tính bất biến đ−ợc đặc tr−ng bởi đáp ứng xung h(n) của nó hoặc đ−ợc đặc tr−ng bởi ph−ơng trình sai phân tuyến tính hệ số hằng. Nh−ng việc phân tích hệ thống nói chung gặp nhiều khó khăn nh− việc tính tích chập, giải ph−ơng trình sai phân, xét độ ổn định, . Để giải quyết những khó khăn trong miền biến số độc lập tự nhiên n, chúng ta chuyển cách biểu diễn hệ thống sang miền Z, sau đâu ta nghiên cứu khái niệm hμm truyền đạt của hệ thống. V.1. Hμm truyền đạt của hệ thống rời rạc a. Định nghĩa: Hμm truyền đạt của một hệ thống rời rạc chính lμ biến đổi Z của đáp ứng xung h(n) vμ đ−ợc ký hiệu lμ H(Z). H(Z) = ZT[h(n)] b. Mô tả qua ph−ơng trình sai phân hμm truyền đạt của hệ thống rời rạc. Quan hệ giữa đầu vμo vμ đầu ra của một hệ thống rời rạc tuyến tính bất biến vμ nhân quả đ−ợc cho bởi ph−ơng trình sai phân sau: N M ∑a k y(n − k) =∑br x(n − r) k=0 r=0 Ngô Nh− Khoa - Photocopyable 32
BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên Bμi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số Lấy biến đổi Z hai vế của ph−ơng trình ta có: ∞ N ∞ M ⎡ ⎤ −n ⎡ ⎤ −n ∑∑⎢ a k y(n − k)⎥Z = ∑∑⎢ br x(n − r)⎥Z n==−∞ ⎣k 0 ⎦ n==−∞ ⎣ r 0 ⎦ Sử dụng các tính chất tuyến tính vμ tính chất trễ của biến đổi Z ta có: N M ∑a k ZT[]y(n − k) = ∑br ZT []x(n − r) k=0 r=0 N M N M −k −r −k −r ∑a k Z Y(Z) = ∑br Z X(Z) ⇔ Y(Z)∑a k Z = X(Z)∑br Z k=0 r=0 k=0 r=0 M −r ∑br Z X(Z) r=0 ⇒ H(Z) = = N (2.5.1) Y(Z) −k ∑a k Z k=0 c. Biểu diễn hμm truyền đạt bằng các điểm cực vμ điểm không. Giống nh− tín hiệu rời rạc, hμm truyền đạt H(Z) của một hệ thống rời rạc có thể đ−ợc biểu diễn bằng các điểm cực vμ điểm không của nó nh− sau: M M −1 ∏()1− Z0r Z ∏()Z − Z0r r=1 N−M r=1 H(Z) = c N = cZ N (2.5.2) −1 ∏()1− Zpk Z ∏()Z − Zpk k=1 k=1 V.2. Phân tích hệ thống trong miền Z a. Các phần tử thực hiện - Phần tử trễ: Gọi x(n) lμ đầu vμo, y(n) lμ đầu ra; quan hệ giữa đầu vμo vμ đầu ra của phần tử trễ trong miền Z đ−ợc xác định nh− sau: Từ: y(n) = x(n-1) Lấy biến đổi Z ta có: Y(Z) = Z-1X(Z) Nh− vậy phép trễ trong miền biến độc lập tự nhiên n đ−ợc thay bằng phép nhân với Z-1 trong miền Z. - Phần tử cộng: Gọi xi(n) (i = 1 M) lμ các đầu vμo, y(n) lμ đầu ra; quan hệ giữa đầu vμo vμ đầu ra của phần tử cộng trong miền Z đ−ợc xác định nh− sau: M Từ: y(n) = ∑ x i (n) i=1 Lấy biến đổi Z ta có: M ∞ M −n Y(Z) = ∑∑x i (n)Z = ∑Xi (Z) in=1 =−∞ i=1 - Phần tử nhân với hằng số (phần tử khuếch đại) Gọi x(n) lμ đầu vμo, a lμ hằng số vμ y(n) lμ đầu ra; quan hệ giữa đầu vμo vμ đầu ra của phần tử nhân với hằng số trong miền Z đ−ợc xác định nh− sau: Từ: y(n) = ax(n) Lấy biến đổi Z ta có: Y(Z) = aX(Z) Ngô Nh− Khoa - Photocopyable 33
BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên Bμi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số Các phần tử trên đ−ợc biểu diễn nh− trong các hình sau: X(Z) Y(Z) = Z-1X(Z) -1 Z Phần tử trễ X1(Z) M Y(Z) = ∑Xi (Z) X2(Z) i=1 + Phần tử cộng Xn(Z) X(Z) a Y(Z)= a.X(Z) Phần tử nhân với hằng số Hình 2.5. Các phần tử cơ bản. b. Phân tích hệ thống rời rạc Việc phân tích hệ thống rời rạc dựa trên các nguyên tắc sau: - Phân tích hệ thống tổng quát thμnh các hệ thống (khối) nhỏ vμ đơn giản hơn. - Tìm quan hệ ghép nối giữa các khối (hệ thống) nμy. - Tìm hμm truyền đạt Hi(Z) của từng khối nhỏ. - Ghép các hμm truyền đạt trên theo các quan hệ đã xác định. Ví dụ: Cho hệ thống nh− hình vẽ, phân tích vμ tìm hμm truyền đạt của hệ thống. H2(Z) H3(Z) Y(Z) X(Z) + H1(Z) H4(Z) Giải: Các khối 2 vμ 3 nối tiếp nhau vμ ghép song song với khối 4, khối 1 ghép nối tiếp với hệ thống nμy. Do đó ta có: H(Z) = H1(Z)[ H2(Z) H3(Z) + H4(Z)] V.3. Giải ph−ơng trình sai phân tuyến tính hệ số hằng Vì các điều kiện đầu của các ph−ơng trình sai phân tuyến tính hệ số hằng lμ khác không, vì vậy ta chỉ dùng biến đổi Z một phía trong các ứng dụng nμy. Xét biến đổi Z của thμnh phần x(n - m) với m cố định vμ n ≥ 0. ∞ ZT[]x(n −1) = ∑x(n −1)Z−n n=0 = x(−1) + Z−1[]x(0) + x(1)Z−1 + x(2)Z−2 + = Z−1X(Z) + x(−1) Ngô Nh− Khoa - Photocopyable 34
BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên Bμi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số ZT[]x(n − 2) = Z−2X(Z) + Z−1x(−1) + x(−2) ZT[]x(n − 3) = Z−3X(Z) + Z−2 x(−1) + Z−1x(−2) + x(−3) ZT[]x(n − m) = Z−m X(Z) + Z−m+1x(−1) + + Z−1x(−m +1) + x(−m) m −m ⎡ r ⎤ = Z ⎢X(Z) + ∑x(−r)Z ⎥ ⎣ r=1 ⎦ Biểu thức trên sẽ đ−ợc áp dụng để giải các PTSPTT hệ số hằng. Ví dụ: Giải hệ ph−ơng trình sai phân sau: y(n) - 3y(n-1) + 2y(n-2) = x(n) với: x(n) = 3n - 2. y(-2) = - 4/9 ; y(-1) = - 1/3. Giải: Lấy biến đổi Z một phía của ph−ơng trình: ZT1[y(n)] - 3.ZT1[y(n-1)] + 2. ZT1[y(n-2)] = ZT1[3n-2] Z ⇔ Y(Z) − 3()Z−1Y(Z) + y(−1) + 2(Z−2Y(Z) + Z−1y(−1) + y(−2))= 3−2 Z − 3 Thay y(-1) = -1/3 vμ y(-2) = -4/9 vμo ph−ơng trình trên ta đ−ợc: ⎛ 1 4 ⎞ Z Y(Z) − 3Z−1Y(Z) +1+ 2⎜ Z−2Y(Z) − Z−1 − ⎟ = 3−2 ⎝ 3 9 ⎠ Z − 3 2 1 Z ⇔ Y(Z)()1− 3Z−1 + 2Z−2 − + = 3Z 9 9()Z − 3 (Z −1)(Z − 2) 6(Z − 3) − Z(Z − 3) + Z2 Z − 2 ⇔ Y(Z) = = Z2 9Z()Z − 3 Z()Z − 3 Z ⇔ Y(Z) = (Z −1)()Z − 3 Tìm biến đổi Z ng−ợc của Y(Z): Dùng ph−ơng pháp khai triển thμnh phân thức tối giản: Y(Z) A A = 1 + 2 Z Z −1 Z − 3 Với Ak đ−ợc tính theo công thức: P(Z) A = (Z − Z ) k pk Q(Z) Z=Zpk 1 1 1 1 ta có: A1 = (Z −1) = − vμ A 2 = (Z − 3) = (Z −1)()Z − 3 Z=1 2 (Z −1)()Z − 3 Z=3 2 Z Z Vậy: Y(Z) = − + Z −1 Z − 3 Cuối cùng, ta có đáp ứng ra y(n) h− sau: 1 1 1 y(n) = − 1n u(n) + 3n u(n) = (3n −1)u(n) 2 2 2 Ngô Nh− Khoa - Photocopyable 35
BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên Bμi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số V.4. Độ ổn định a. Sự ổn định của một hệ thống tuyến tính bất biến Khi không có tín hiệu đầu vμo của hệ thống số, nh−ng có thể ở đầu ra của hệ thống xuất hiện tín hiệu, đó lμ tr−ờng hợp hệ thống không ổn định. Tính ổn định của một hệ thống tuyên tính bất biến (không nhất thiết lμ nhân quả) phụ thuộc vμo đáp ứng xung: ∞ Điều kiện: ∑ h(n) < ∞ lμ điều kiện ổn định trong miền n. n=−∞ Chuyển điều kiện nμy sang miền Z, lúc đó hμm truyền đạt H(Z) sẽ đặc tr−ng hoμn toμn cho hệ thống. ∞ −n H(Z) = ∑h(n)Z Rh-<⏐Z⏐< Rh+ n=−∞ Để thoả mãn điều kiện ổn định trong miền n thì hμm truyền đạt H(Z) phải hội tụ với ⏐Z⏐=1, vì thế miền hội tụ của H(Z) nnhất thiết phải chứa vòng tròn đơn vị ⏐Z⏐=1. Từ đây ta có điều kiện ổn định của hệ thống TTBB nh− sau: Một hệ thống TTBB lμ ổn định nếu vμ chỉ nếu vòng tròn đơn vị nằm trong miền hội tụ của hμm truyền đạt của hệ thống. b. Sự ổn định của hệ thống TTBB nhân quả Trong thực tế, với các hệ thống nhân quả ta có: ∞ H(Z) = ∑h(n)Z−n n=0 Miền hội tụ của H(Z) lμ miền ngoμi của vòng tròn bán kính Rh -: Rh -<⏐Z⏐, trong đó: 1 n R h− = lim h(n) theo tiêu chuẩn Cauchy. n→∞ Vậy: - Một hệ thống TTBB lμ nhân quả nếu vμ chỉ nếu miền hội tụ của hμm truyền đạt của hệ thống nằm ngoμi vòng tròn có bán kính Rh-. - Một hệ thống TTBB nhân quả lμ ổn định nếu vμ chỉ nếu tất cả các điểm cực của hμm truyền đạt H(Z) nằm bên trong vòng tròn đơn vị. Ngô Nh− Khoa - Photocopyable 36
BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên Bμi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số Ch−ơng 2 Biểu diễn hệ thống vμ tín hiệu rời rạc trong miền tần số liên tục I. Mở đầu. Trong ch−ơng 1 đã trình bμy về việc biểu diễn tín hiệu của hệ thống rời rạc trong miền biến số độc lập tự nhiên (miền n); đây lμ ph−ơng pháp nghiên cứu trực tiếp. ở ch−ơng 2, thông qua biến đổi Z chúng ta đã nghiên cứu tín hiệu của hệ thống rời rạc trong miền Z vμ đây lμ một ph−ơng pháp nghiên cứu gián tiếp. Một trong những ph−ơng pháp nghiên cứu (biểu diễn) gián tiếp khác th−ờng đ−ợc sử dụng lμ biến đổi Fourier (FT) để chuyển việc biểu diễn tín hiệu vμ hệ thống rời rạc từ miền biến số độc lập tự nhiên n sang miền tần số liên tục ω. Sự liên hệ giữa các miền đ−ợc biểu diễn qua hình 3.1 sau: Z Miền Z IZ Miền n F IF Miền ω Hình 3.1. Sơ đồ liên hệ giữa các miền. II. Biến đổi Fourier của các tín hiệu rời rạc II.1. Định nghĩa biến đổi Fourier. a. Định nghĩa: Biến đổi Fourier của một tín hiệu rời rạc x(n) đ−ợc định nghĩa nh− sau: ∞ X(e jω ) = ∑x(n)e− jω (3.2.1) n=−∞ b. Các ph−ơng pháp thể hiện X(ej ω) - Thể hiện d−ới dạng phần thực vμ phần ảo. X(ej ω) = Re[X(ej ω)] + j.Im[X(ej ω)] (3.2.2) trong đó: Re[X(ej ω)] lμ phần thực của X(ej ω) Im[X(ej ω)] lμ phần ảo của X(ej ω) Ngô Nh− Khoa - Photocopyable 37
BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên Bμi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số - Thể hiện d−ới dạng modun vμ argument jω jω jarg[X(e jω )] X(e ) = X(e ) e trong đó: ⎥ X(ej ω)⎥ gọi lμ phổ biên độ của x(n). arg[X(ej ω)] gọi lμ phổ pha của x(n). Quan hệ giữa phổ biên độ, phổ pha với phần thực vμ phần ảo của X(ej ω) nh− sau: X(e jω ) = Re2 [][]X(e jω ) + Im2 X(e jω ) (3.2.3) jω Im⎡X(e )⎤ jω ⎣⎢ ⎦⎥ arg[]X(e ) = arctg (3.2.4) jω Re⎡X(e )⎤ ⎣⎢ ⎦⎥ Th−ờng dùng ký hiệu ϕ(ω) để chỉ argument: ϕ(ω) = arg[X(ej ω)] jω jω jϕ(ω) Cuối cùng ta có: X(e ) = X(e ) e (3.2.5) - Thể hiện d−ới dạng độ lớn vμ pha jω jω jθ (ω) Giả sử ta biểu diễn X(ej ω) ở dạng sau: X(e ) = A(e )e (3.2.6) khi đó: A(ej ω ) lμ thực vμ: ⎥ A(ej ω)⎥ =⎥ X(ej ω)⎥ (3.2.7) jω ⎪⎧2kπ : A(e ) ≥ 0; k = 0, ±1, ± 2, arg A(e jω ) = []⎨ jω (3.2.8) ⎩⎪()2k +1 π : A(e ) < 0 hay: ⎧ ⎡ jω ⎤⎫ jω ⎧ 1 jω ⎫ ⎪ 1 A(e ) ⎪ arg[]A(e ) = ⎨2k + []1− sgn[A(e )] ⎬π = ⎨2k + ⎢1− ⎥⎬π (3.2.9) ⎩ 2 ⎭ 2 ⎢ A(e jω ) ⎥ ⎩⎪ ⎣ ⎦⎭⎪ Còn θ(ω) sẽ đ−ợc thể hiện nh− sau: arg[X(ej ω)] = arg[A(ej ω)] + θ(ω) = ϕ(ω) ⇒ θ(ω) = ϕ(ω) - arg[A(ej ω)] (3.2.10) Ví dụ: ω − j jω Cho phổ X(ej ω) có dạng sau: X (e ) = e 2 sin3ω Tìm: a. Re[X(ej ω)] vμ Im[X(ej ω)] b. A(ej ω) vμ θ(ω). c. ⎥ X(ej ω)⎥ vμ ϕ(ω). d. Vẽ A(ej ω), θ(ω),⎥ X(ej ω)⎥ vμ ϕ(ω). Giải: a. Ta có: Ngô Nh− Khoa - Photocopyable 38
BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên Bμi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số ω − j ⎛ ω ω ⎞ X (e jω ) = e 2 sin 3ω = ⎜cos − j sin ⎟sin 3ω ⎝ 2 2 ⎠ ω ⇒ Re[]X (e jω ) = cos .sin 3ω 2 ω Im[]X (e jω ) = sin .sin 3ω 2 ω b. Từ biểu thức (3.2.6) ta có: A(ej ω) = sin3ω vμ θ (ω) = 2 c. ⎥ X(ej ω)⎥ = ⎥ sin3ω⎥ ω ⎪⎧ 1 ⎡ sin3ω ⎤⎪⎫ ϕ(ω) = − + ⎨2k + ⎢1− ⎥⎬π 2 ⎩⎪ 2 ⎣⎢ sin3ω ⎦⎥⎭⎪ d. Đồ thị của A(ej ω), θ(ω),⎥ X(ej ω)⎥ vμ ϕ(ω) đ−ợc biểu diễn trên các hình: A(ej ω) -π π ω θ(ω) π/2 -π π ω -π/2 ⏐X(ej ω)⏐ -π -2π/3 π/ 2π/3 π ω 3 ϕ(ω) π -π π ω Ngô Nh− Khoa - Photocopyable 39 -π
BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên Bμi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số Hình 3.2. Đồ thị của A(ej ω), θ(ω),⎥ X(ej ω)⎥ vμ ϕ(ω) II.2. Sự tồn tại của biến đổi Fourier. Biến đổi Fourier chỉ tồn tại nếu chuỗi trong (3.2.1) hội tụ. Ta có thể phát biểu điều kiện hội tụ của chuỗi nμy nh− sau: Chuỗi trong (3.2.1.1) hội tụ nếu vμ chỉ nếu x(n) thoả mãn điều kiện sau đây: ∞ ∑ x(n) < ∞ (3.2.11) n=−∞ Nếu điều kiện nμy đ−ợc thoả mãn thì chuỗi (3.2.1) sẽ hội tụ tuyệt đối về một hμm liên tục của ω. Nhận xét: Về mặt toán học chúng ta có quan hệ sau: ∞ ∞ 2 2 ⎡ ⎤ E x = ∑ x(n) ≤ ⎢ ∑ x(n) ⎥ n=−∞ ⎣n=−∞ ⎦ Nếu (3.2.11) thoả mãn thì: ∞ 2 ∞ ⎡ ⎤ 2 ⎢ ∑ x(n) ⎥ < ∞ ⇒ E x = ∑ x(n) < ∞ (3.2.12) ⎣n=−∞ ⎦ n=−∞ Vậy: nếu năng l−ợng Ex của tín hiệu x(n) lμ hữu hạn thì x(n) sẽ thoả mãn điều kiện (3.2.11) hay: Biến đổi Fourier của tín hiệu có năng l−ợng hữu hạn lμ luôn hội tụ. Ví dụ: Xét sự tồn tại của biến đổi Fourier vμ tính năng l−ợng Ex của các dãy x(n) sau: a. x1(n) = u(n). b. x2(n) = r(n). c. x3(n) = δ(n). d. x4(n) = rectN(n). Giải: ∞ ∞ ∞ a. ∑ x1 (n) = ∑ u(n) =∑ 1 = ∞ n=−∞ n=−∞ n=0 ∞ ∞ 2 2 E x1 = ∑ x1 (n) =∑ 1 = ∞ n=−∞ n=0 j ω Vậy X1(e ) không tồn tại. ∞ ∞ ∞ b. ∑ x 2 (n) = ∑ r(n) =∑ n = ∞ n=−∞ n=−∞ n=0 ∞ ∞ 2 2 E x2 = ∑ x 2 (n) =∑ n = ∞ n=−∞ n=0 j ω Vậy X2(e ) không tồn tại. ∞ ∞ c. ∑ x 3 (n) = ∑ δ (n) =1 n=−∞ n=−∞ ∞ ∞ 2 2 E x3 = ∑ x 3 (n) =∑ δ (n) = 1 n=−∞ n=0 Ngô Nh− Khoa - Photocopyable 40
BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên Bμi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số j ω Vậy X3(e ) tồn tại. ∞ ∞ N d. ∑ x 4 (n) = ∑ rect N (n) = ∑ 1 = N n=−∞ n=−∞ n=0 ∞ N 2 2 E x4 = ∑ x 4 (n) =∑ 1 = N n=−∞ n=0 j ω Vậy X4(e ) tồn tại. II.2. Biến đổi Fourier ng−ợc. Vì X(ej ω) lμ một hμm tuần hoμn của biến tần số ω có chu kỳ 2π vμ X(ej ω) tồn tại nếu thoả mãn điều kiện (3.2.11). Nên ta có thể khai triển hμm X(ej ω) thμnh chuỗi Fourier trong khoảng (-π, π) vμ có thể coi các hệ số của khai triển chuỗi Fourier nμy chính lμ x(n), tức lμ ta có thể tìm đ−ợc các giá trị của x(n) từ X(ej ω) xét trong khoảng (-π, π). Từ biểu thức (3.2.1); ∞ X(e jω ) = ∑ x(n)e−jω n=−∞ Nhân cả hai vế với ej ωm rồi lấy tích phân trong khoảng (-π, π) ta đ−ợc: π π ∞ ∞ π ∫ X(e jωn )e jωmdω = ∫ ∑ x(n)e jω(m−n)dω = ∑ x(n) ∫ e jω(m−n)dω −π −π n=−∞ n=−∞ −π Mặt khác ta có: π jω(m−n) ⎧2π : m = n ∫ e dω = ⎨ −π ⎩0 : m ≠ n ∞ π jω(m−n) ⎧2πx(m) : m = n ⇒ ∑ x(n) ∫ e dω = ⎨ n=−∞ −π ⎩0 : m ≠ n Cuối cùng ta có: 1 π x(m) = ∫ X(e jω )e jωmdω 2π −π 1 π Hay: x(n) = ∫ X(e jω )e jωn dω (3.2.13) 2π −π Đây chính lμ biểu thức biến đổi Fourier ng−ợc (IFT). Ví dụ: − jωn0 jω ⎪⎧e : ω ≤ ωc Cho: X(e ) = ⎨ ⎩⎪0 :ω ωc π Tìm x(n), vẽ X(ej ω) vμ x(n) với: ω = , n = 4 . c 2 0 Giải: 1 π 1 ωc x(n) = X(e jω )e jωndω = e jω(n−n0 )dω 2π ∫ 2π ∫ −π −ωc ωc 1 1 jω(n−n ) 1 sin[]ω (n − n ) = e 0 = c 0 2π j(n − n 0 ) π (n − n 0 ) −ωc Ngô Nh− Khoa - Photocopyable 41
BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên Bμi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số π Với: ω = , n = 4 ta có: c 2 0 ⎧ −j4ω π sin π (n − 4) jω ⎪e : ω ≤ 1 [ 2 ] X(e ) = ⎨ 2 vμ x(n) = π (n − 4) ⎩⎪0 Biểu diễn X(ej ω) vμ x(n) bằng đồ thị: Ta có: ⎧ π ⎧ π jω ⎪1 : ω ≤ jω ⎪− 4ω : ω ≤ X(e ) = ⎨ 2 vμ: arg[]X(e ) = ⎨ 2 ⎩⎪0 ⎩⎪0 ω ⏐X(ej )⏐ 1 -2π -3π/2 -π/2 π 2π ω arg[X(ej ω)] 10π 8π 6π 4π 2π π ω - - -10π x(n) 1/π 1/5π 1/9π 1/3π n -1/5π -1/9π -1/3π -1/5π Hình 3.3. Đồ thị của X(ej ω) vμ x(n). Ngô Nh− Khoa - Photocopyable 42
BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên Bμi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số III. các tính chất của Biến đổi Fourier III.1. Tính chất tuyến tính. j ω Giả sử có hai tín hiệu x1(n) vμ x2(n) với các biến đổi Fourier t−ơng ứng lμ: X1(e ) vμ jω X2(e ). Gọi dãy x(n) lμ tổ hợp tuyến tính của x1(n) vμ x2(n): x(n) = ax1(n) + bx2(n); với a, b lμ các hằng số. thì biến đổi Fourier của x(n) nh− sau: ∞ ∞ jω − jωn − jωn X(e ) = ∑x(n)e = ∑[]ax1 (n) + b.x 2 (n) e n=−∞ n=−∞ (3.3.1) ∞ ∞ − jωn − jωn jω jω = a ∑x1 (n)e + b ∑ x 2 (n)e = aX1 (e ) + bX 2 (e ) n=−∞ n=−∞ III.2. Tính chất trễ. Giả sử y(n) lμ tín hiệu trễ của x(n), tức lμ: y(n) = x(n- n0) Ta có: ∞ ∞ ∞ jω −jωn −jωn −jω(n−n0 ) −jωn0 Y(e ) = ∑ y(n)e = ∑ x(n − n 0 )e = ∑ x(n − n 0 )e e n=−∞ n=−∞ n−n =−∞ 0 (3.3.2) ∞ −jωn0 −jω(n−n0 ) −jωn0 jω = e ∑ x(n − n 0 )e = e X(e ) n−n0 =−∞ Biểu diễn d−ới dạng mô đun vμ argumen ta có: ⏐Y(ej ω)⏐=⏐ X(ej ω)⏐ j ω j ω arg[Y(e )] = - ωn0 + arg[X(e )] (3.3.3) Từ biểu thức (3.3.3) ta thấy rằng tín hiệu x(n) bị trễ đi n0 mẫu trong miền biến số độc lập, thì trong miền tần số phổ biên độ của nó không đổi, còn phổ pha của nó thì sẽ tăng thêm một l−ợng -ωn0. Ví dụ: Cho x(n) = rectN(n-n0). - Tìm X(ej ω) - Tìm phổ biên độ vμ phổ pha của x(n). Giải: áp dụng tính chất trễ ta có: N+n0 −1 N−1 1− e− jωN X(e jω ) e−jωn e−jωn0 e−jωn e−jωn0 = ∑ = ∑ = −jω n=n0 n=0 1− e N N N jω −jω −jω ωN 2 2 2 N−1 sin e − e e −jω(n0 + ) −jωn0 2 2 = e ω ω ω = e j −j −j ω e 2 − e 2 e 2 sin 2 Vậy ta có phổ biên độ vμ phổ pha của x(n) nh− sau: ωN sin X(e jω ) = 2 ω sin 2 Ngô Nh− Khoa - Photocopyable 43
BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên Bμi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số ⎡ ωN ⎤ sin N −1 ⎢ ⎥ arg[]X(e jω ) = ω(n + ) + arg 2 0 ⎢ ω ⎥ 2 ⎢ sin ⎥ ⎣ 2 ⎦ ⎡ ωN ⎤ ⎧ ⎡ ⎛ ωN ⎞⎤⎫ sin ⎪ ⎜ sin ⎟ ⎪ ⎢ 2 ⎥ ⎪ 1 ⎢ 2 ⎥⎪ trong đó: arg⎢ ⎥ = ⎨2k + ⎢1− sig⎜ ⎟⎥⎬π ω 2 ⎜ ω ⎟ ⎢ sin ⎥ ⎪ ⎢ ⎜ sin ⎟⎥⎪ ⎣ 2 ⎦ ⎩⎪ ⎣⎢ ⎝ 2 ⎠⎦⎥⎭⎪ III.3. Tính chất đối xứng. Trong tr−ờng hợp tổng quát, tín hiệu x(n) lμ tín hiệu phức vμ ta có thể viết: x(n) = Re[x(n)] + j .Im[x(n)] Vậy dãy liên hợp phức của x(n) lμ x*(n) có dạng: x*(n) = Re[x(n)] - j .Im[x(n)] Khi đó, quan hệ giữa các biến đổi Fourier t−ơng ứng nh− sau: ∞ FT[]x(n) = X(e jω ) = ∑ x(n)e−jωn n=−∞ * ∞ ⎧ ∞ * ⎫ * * −jωn ⎪⎡ * −jωn ⎤ ⎪ FT[]x (n) = ∑ x (n)e = ⎨⎢ ∑ x (n)e ⎥ ⎬ n=−∞ ⎪⎣n=−∞ ⎦ ⎪ ⎩ ⎭ ∞ * ⎡ jωn ⎤ −jωn * * −jωn = ⎢ ∑ x(n)e ⎥ = []X(e ) = X (e ) ⎣n=−∞ ⎦ Vậy: FT[x* (n)]= X* (e− jω ) (3.3.4) Với x(n) lμ thực, ta có quan hệ: X*(e-j ω) = X(ej ω) hay X*(ej ω) = X(e-j ω). (3.3.5) Quan hệ (3.3.5) cho thấy tính chất đối xứng Hermit của phổ của tín hiệu thực. Từ đây thấy rằng, đối với x(n) thực ta có: Re[X(ej ω)] = Re[X(e-j ω)] Im[X(ej ω)] = - Im[X(e-j ω)] (3.3.6) T−ơng tự, đối với modun vμ argument ta cũng có: ⏐X(ej ω)⏐=⏐ X(e-j ω)⏐ arg[X(ej ω)] =- arg[X(e-j ω)] (3.3.7) III.4. Tính chất biến số n đảo Giả sử ta có tín hiệu x(n) vμ biến đổi Fourier của nó lμ: ∞ jω −jωn jω arg[]X(e jω ) FT[]x(n) = X(e ) = ∑ x(n)e = X(e ) e n=−∞ Xét biến đổi Fourier của tín hiệu x(-n): ∞ FT[]x(−n) = ∑ x(−n)e−jωn n=−∞ ∞ đổi biến: m = - n ta có: FT[]x(−n) = ∑ x(m)e jωm = X(e−jω ) (3.3.8) m=−∞ Ngô Nh− Khoa - Photocopyable 44
BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên Bμi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số Nếu x(n) vμ x(-n) lμ thực thì từ tính đối xứng Hermit ta có: − jω jω FT[]x(−n) = X(e−jω ) = X* (e jω ) = X(e−jω ) e jarg[X(e )] = X(e jω ) e− jarg[]X(e ) III.4. Tích chập của hai tín hiệu j ω jω Xét hai dãy x1(n) vμ x2(n) có biến đổi Fourier t−ơng ứng lμ X1(e ) vμ X2(e ). Ta có tích chập của hai dãy lμ: x3(n) = x1(n)*x2(n) Biến đổi Fourier của x3(n) đ−ợc xác định nh− sau: ∞ ∞ ∞ −jωn ⎡ ⎤ −jωn FT[x3 (n)] = ∑[]x1(n)* x 2 (n) e = ∑∑⎢ [x1(k)x 2 (n − k) ]⎥e n=−∞ n=−∞⎣k=−∞ ⎦ ∞ ∞ −jωn = ∑ x1(k) ∑ x 2 (n − k)e k=−∞ n=−∞ áp dụng tính chất trễ ta có: ∞ ∞ jω −jωk jω jω −jωk jω jω X3 (e ) = ∑ x1(k)e X2 (e ) = X2 (e ) ∑ x1(k)e = X1(e )X2 (e ) k=−∞ k=−∞ Vậy: j ω j ω jω X3(e ) = X1(e ).X2(e ). Ví dụ: Cho hai tín hiệu: x1(n) = x2(n) = δ(n+2) + δ(n-2). Tính tích chập: x3(n) = x1(n)*x2(n) thông qua tính chất biến đổi Fourier. Giải: Ta có: ∞ ∞ jω jω −jωk −jωk X1(e ) = X2 (e ) = ∑ x1(k)e = ∑[]δ(k + 2) + δ(k − 2) e k=−∞ k=−∞ = e j2ω + e−j2ω = 2cos 2ω j ω j ω jω 2 Vậy X3(e ) = X1(e ).X2(e ) = 2cos2ω.2cos2ω = 4cos 2ω = (ej 2ω + e-j 2ω)2 = ej 4ω + 2 + e-j 4ω. áp dụng biến đổi Fourier ng−ợc ta có: x3(n) = δ(n+4) +2δ(n) + δ(n-4). III.5. Tích của hai dãy Nếu ta có: j ω j ω FT[x1(n)] = X1(e ) vμ FT[x2(n)] = X2(e ). thì: 1 π FT x (n).x (n) = FT x (n) = X (e jω ) = X (e j(ω−ω') )X (e jω' )dω' [][]1 2 3 3 ∫ 1 2 2π −π Chứng minh: ∞ ∞ ⎡ 1 π ⎤ X (e jω ) = x (n).x (n) e−jωn = x (n) X (e jω' )e jω'ndω' e−jωn 3 ∑[]1 2 ∑ 1 ⎢ ∫ 2 ⎥ n=−∞ n=−∞ 2π ⎣ −π ⎦ 1 π ∞ = x (n)e−j(ω−ω')n X (e jω' )dω' ∫ ∑ 1 2 2π −π n=−∞ Ngô Nh− Khoa - Photocopyable 45
BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên Bμi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số Vậy: 1 π X (e jω ) = X e j(ω−ω') X (e jω' )dω' 3 ∫ 1()2 2π −π jω jω = X1(e ) * X2 (e ) (3.3.9) jω jω = X2 (e ) * X1(e ) (3.3.10) Quan hệ (3.3.9 vμ 3.3.10) đ−ợc gọi lμ tích chập liên tục vμ tuần hoμn voí chu kỳ 2π. Nhận xét: Tích x3(n) = x1(n). x2(n) th−ờng đ−ợc dùng trong tr−ờng hợp nghiên cứu x1(n) có chiều dμi rất lớn, để hạn chế chiều dμi của x1(n) ta sẽ nhân nó với x2(n) có chiều dμi hữu hạn, nh− lμ ta dùng một cửa sổ chữ nhật x2(n) = rectN(n). Đây gọi lμ kỹ thuật cửa sổ, đ−ợc dùng để tổng hợp bộ lọc số FIR. III.6. Vi phân trong miền tần số Nếu: FT[x(n)] = X(ej ω) thì: dX(e jω ) FT[]nx(n) = j dω Chứng minh: ∞ dX(e jω ) d ⎡ ∞ ⎤ X(e jω ) = x(n)e−jωn ⇒ = x(n)e−jωn ∑ dω dω ⎢ ∑ ⎥ n=−∞ ⎣n=−∞ ⎦ ∞ d ∞ = ∑ x(n) e−jωn = −j ∑ nx(n)e−jωn = −j.FT[]nx(n) n=−∞ dω n=−∞ dX(e jω ) Vậy ta có: FT[]nx(n) = j dω III.7. Trễ tần số Nếu ta có: FT[x(n) ] = X(ej ω) thì: FT[e jω0n x(n)]= X(e j(ω−ω0 ) ) (3.3.11) Chứng minh: Theo định nghĩa của biến đổi Fourier ta có: ∞ ∞ FT[]e jω0n x(n) = ∑ x(n)e jω0ne−jωn = ∑ x(n)e−j(ω−ω0 )n = X(e j(ω−ω0 ) ) n=−∞ n=−∞ Nhận xét: Việc nhân dãy x(n) với e jω0n trong miền biến số n sẽ t−ơng đ−ơng với việc dịch j ω chuyển tần số của phổ X(e ) đi một l−ợng ω0. Ví dụ: j ω Cho x(n) vμ FT[x(n)] = X(e ). Tìm phổ của x(n)cosω0n = y(n) vμ minh hoạ phổ của x(n) vμ y(n) với ω0 = π/2. Giải: Ngô Nh− Khoa - Photocopyable 46
BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên Bμi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số e jω0n + e− jω0n Vì: cosω n = 0 2 Do đó: ∞ ∞ e jω0n + e− jω0n FT[]x(n)cosω n = x(n) cosω ne−jωn = x(n) e−jωn 0 ∑ 0 ∑ 2 n=−∞ n=−∞ 1 ∞ 1 1 = ∑ x(n)()e−j(ω−ω0 )n + e−j(ω+ω0 )n = X()e j(ω−ω0 ) + X()e j(ω+ω0 ) 2 n=−∞ 2 2 Minh hoạ phổ của x(n) vμ y(n) với ω0 = π/2. j ω X(e ) 1 -2π -π -π/2 π/2 π 2π ω j ω Y(e ) 1/2 ω j (ω + π/2 j (ω - π/2 X(e )/2 X(e )/2 III.8. Quan hệ parseval Nếu ta có: j ω FT[x1(n) ] = X1(e ) j ω FT[x2(n) ] = X2(e ) ∞ 1 π thì: x (n).x* (n) = X (e jω )X* (e jω )dω (3.3.12) ∑ 1 2 ∫ 1 2 n=−∞ 2π −π Chứng minh: * ∞ ∞ ⎡ 1 π ⎤ x (n).x* (n) = x (n) X (e jω )e jωndω ∑ 1 2 ∑ 1 ⎢ ∫ 2 ⎥ n=−∞ n=−∞ ⎣2π −π ⎦ ∞ 1 π = x (n) X* (e jω )e−jωndω ∑ 1 ∫ 2 n=−∞ 2π −π 1 π ⎡ ∞ ⎤ 1 π = X* (e jω ) x (n)e−jωn dω = X* (e jω )X (e jω )dω ∫ 2 ⎢ ∑ 1 ⎥ ∫ 2 1 2π −π ⎣n=−∞ ⎦ 2π −π * Trong tr−ờng hợp x1(n) = x2 (n) = x(n), quan hệ Parseval cho ta: ∞ π 2 1 2 ∑ x(n) = ∫ X(e jω ) dω (3.3.13) n=−∞ 2π −π Ngô Nh− Khoa - Photocopyable 47
BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên Bμi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số 2 X(e jω ) gọi lμ phổ mật độ năng l−ợng của x(n), nó thể hiện sự phân bố năng l−ợng j ω theo hμm của tần số; đ−ợc ký hiệu lμ Sxx(e ). 2 j ω jω Vậy: Sxx(e ) = X(e ) (3.3.14) ∞ 2 Mặt khác năng l−ợng của tín hiệu x(n) lμ Ex: E x = ∑ x(n) n=−∞ Nh− vậy quan hệ Parseval chính lμ quan hệ giữa năng l−ợng của tín hiệu vμ phổ mật độ năng l−ợng của tín hiệu đó. Trong tr−ờng hợp x(n) lμ thực thì ⏐X(ej ω)⏐ lμ đối xứng: ⏐X(ej ω)⏐=⏐X(e-j ω)⏐ j ω Vậy ta có thể nói rằng: nếu x(n) thực thì Sxx(e ) cũng lμ đối xứng: j ω -j ω Sxx(e ) = Sxx(e ) (3.3.15) III.9. Định lý t−ơng quan vμ định lý weiner khintchine Nếu ta có: j ω FT[x1(n) ] = X1(e ) j ω FT[x2(n) ] = X2(e ) thì: FT[r (n)]= R (e jω ) = X (e jω )X (e−jω ) (3.3.16) x1x2 x1x2 1 2 Chứng minh: ∞ ∞ ⎡ ∞ ⎤ FT[]r (n) = r (n)e−jωn = []x (m)x (m − n) e−jωn x1x2 ∑ x1x2 ∑∑⎢ 1 2 ⎥ n=−∞ n=−∞⎣m=−∞ ⎦ ∞ ∞ −jωn = ∑∑x1(m) x 2 (m − n)e mn=−∞ =−∞ đổi biến: m - n = k. ∞ ∞ ∞ ⎡ ∞ ⎤ FT[]r (n) = x (m) x ()k e−jω(m−k) = x (m) x ()k e jωk e−jωm x1x2 ∑∑1 2 ∑∑1 ⎢ 2 ⎥ mk=−∞ =−∞ mk=−∞ ⎣ =−∞ ⎦ ∞ −jωm −jω jω −jω = ∑ x1(m)e []X2 (e ) = X1(e )X2 (e ) m=−∞ Nhận xét: Nếu x2(n) lμ thực, ta có: R (e jω ) = X (e jω )X* (e jω ) x1x 2 1 2 Nếu x1(n) = x2(n) = x(n) ta có hμm tự t−ơng quan: jω jω − jω R xx (e ) = X(e )X(e ) Nếu hμm tự t−ơng quan x(n) lμ thực, ta có: jω jω * jω jω 2 jω R xx (e ) = X(e )X (e ) = X(e ) = Sxx (e ) Vậy: Biến đổi Fourier của hμm tự t−ơng quan sẽ bằng phổ mật độ năng l−ợng của tín hiệu. jω jω jω 2 R xx (e ) = Sxx (e ) = X(e ) (3.3.17) Ngô Nh− Khoa - Photocopyable 48
BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên Bμi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số Quan hệ (3.3.17) gọi lμ định lý Weiner - Khintchine. Định lý nμy có ý nghĩa rất quan trọng vμ nó chứng tỏ rằng dãy tự t−ơng quan vμ phổ mật độ năng l−ợng có chứa cùng một thông tin về tín hiệu. Tuy vậy, cả hai đều không chứa thông tin về pha, do vậy việc phục hồi tín hiệu từ hμm tự t−ơng quan hoặc phổ mật độ năng l−ợng không lμ duy nhất. Đối với biến đổi Fourier của hμm t−ơng quan chéo ta còn gọi R (e jω ) lμ phổ mật x1x2 jω độ năng l−ợng chéo của x1(n) vμ x2(n), ký hiệu lμ S (e ) x1x2 R (e jω ) ≡ S (e jω ) = X (e jω )X* (e jω ) (3.3.18) x1x2 x1x2 1 2 Ví dụ: Cho tín hiệu x(n) lμ thực. Tính giá trị của hμm tự t−ơng quan của x(n) tại n = 0 vμ nhận xét về kết quả. Giải: Theo định nghĩa hμm tự t−ơng quan ta có: ∞ rxx (n) = ∑ x(m)x(m − n) m=−∞ Tại n = 0: ∞ ∞ 2 rxx (0) = ∑ x(m)x(m) = ∑ x(m) = E x m=−∞ m=−∞ Theo công thức biến đổi Fourier ng−ợc ta có: 1 π r (n) = R (e jω )e jωndω xx ∫ xx 2π −π 1 π ⇒ r (0) = R (e jω )dω xx ∫ xx 2π −π Theo giả thiết x(n) lμ thực, nên: π 1 2 r (0) = X(e jω ) dω xx ∫ 2π −π Cuối cùng ta có: ∞ π 2 1 2 E = r (0) = x(m) = X(e jω ) dω x xx ∑ ∫ m=−∞ 2π −π Ngô Nh− Khoa - Photocopyable 49
BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên Bμi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số III.10. Tổng kết các tính chất của biến đổi Fourier với tín hiệu rời rạc Tính chất Miền biến số tự nhiên n Miền tần số liên tục ω π ∞ 1 jω jωn X(e jω ) = x(n)e−jωn FT vμ IFT x(n) = X(e )e dω ∑ ∫ n=−∞ 2π −π j ω j ω Tuyến tính ax1(n) + bx2(n) aX1(e ) + bX2(e ) − jωn jω Tính chất trễ x(n - n0) e 0 X(e ) Đối xứng x(n) thực X*(ej ω) = X(e -j ω) Re[X*(ej ω)] = Re[X(e -j ω)] Im[X*(ej ω)] = -Im[X(e -j ω)] X(e jω ) = X(e− jω ) arg[X*(ej ω)] = -arg[X(e -j ω)] Liên hợp phức x*(n) X*(ej ω) Biến số đảo x(-n) X(e -j ω) j ω j ω Tích chập x1(n)*x2(n) X1(e ). X2(e ) Tích số π 1 j(ω−ω') jω' X1 (e )X 2 (e )dω' x1(n).x2(n) ∫ 2π −π Vi phân trong miền dX(e jω ) j ω nx(n) dω Trễ tần số e jω0n x(n) X(e j(ω−ω0 ) ) Điều chế 1 1 X(e j(ω+ω0 ) ) + X(e j(ω−ω0 ) ) x(n) cosω0n 2 2 Quan hệ Farseval ∞ π * 1 x (n).x (n) * jω jω ∑ 1 2 X 2 (e )X1 (e )dω n=−∞ ∫ 2π −π ∞ 2 π x(n) 1 jω 2 ∑ X(e ) dω n=−∞ ∫ 2π −π T−ơng quan ∞ r (n) = x (m)x (m− n) j ω -j ω x1x2 ∑ 1 2 X (e ). X (e ) m=−∞ 1 2 rxx(n) jω jω jω 2 R xx (e ) = Sxx (e ) = X(e ) Ngô Nh− Khoa - Photocopyable 50
BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên Bμi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số IV. Định lý lấy mẫu Để có thể áp dụng các kỹ thuật xử lý tín hiệu số trong việc xử lý các tín hiệu t−ơng tự thì điều cơ bản đầu tiên lμ cần chuyển đổi các tín hiệu t−ơng tự thμnh dãy các số. Quá trình nμy đ−ợc thực hiện bằng cách lấy mẫu tín hiệu t−ơng tự theo chu kỳ. Nếu gọi tín hiệu t−ơng tự lμ xa(t), x(n) lμ tín hiệu rời rạc theo thời gian thu đ−ợc sau quá trình lấy mẫu, T lμ chu kỳ lấy mẫu thì: x(n) = xa(nT) với - ∞ < n < ∞ (3.4.1) Quan hệ (3.4.1) mô tả quá trình lấy mẫu trong miền thời gian. Để quá trình lấy mẫu không lμm mất mát thông tin của phổ tín hiệu (không gây ra hiện t−ợng trùng phổ ) thì tần số lấy mẫu Fs = 1/T phải có giá trị đủ lớn. Khi điều nμy đ−ợc đảm bảo thì tín hiệu t−ơng tự có thể đ−ợc khôi phục chính xác từ tín hiệu rời rạc theo thời gian. Nếu xa(n) lμ tín hiệu không tuần hoμn với năng l−ợng hữu hạn, thì phổ của nó có thể đ−ợc xác định bởi quan hệ của biến đổi Fourier : ∞ X (F) = x (t)e−j2πFtdt (3.4.2) a ∫ a −∞ Ng−ợc lại, tín hiệu xa(t) có thể đ−ợc khôi phục từ phổ của nó qua biến đổi Fourier ng−ợc: ∞ x (t) = X (F)e j2πFtdt (3.4.3) a ∫ a −∞ ở đây, việc sử dụng tất cả các thμnh phần tần số trong khoảng :- ∞ < F < ∞ lμ cần thiết để có thể khôi phục đ−ợc tín hiệu xa(t) nếu tín hiệu nμy có dải tần vô hạn. Phổ của tín hiệu rời rạc theo thời gian x(n) nhận đ−ợc bằng cách lấy mẫu của xa(t), đ−ợc biểu diễn qua phép biến đổi Fourier nh− sau: ∞ X(ω) = ∑ x(n)e−jωn (3.4.4) n=−∞ ∞ hoặc : X(f ) = ∑ x(n)e−j2πfn (3.4.5) n=−∞ Ng−ợc lại, dãy x(n) có thể đ−ợc khôi phục lại từ X(ω) hoặc từ X(f) qua biến đổi ng−ợc: 1 1 π 2 x(n) = ∫ X(ω)e jωndω = ∫ X(f )e j2πfndf (3.4.6) 2π −π − 1 2 Từ quan hệ giữa chu kỳ lấy mẫu T, các biến độc lập t vμ n: n t = nT = (3.4.7) Fs Thay vμo (3.4.2), ta suy ra quan hệ t−ơng ứng trong miền tần số của các biến tần số F vμ f giữa Xa(t) vμ X(f) vμ ng−ợc lại: ∞ j2πn F x(n) ≡ x (nT) = X (F)e Fs dF (3.4.8) a ∫ a −∞ Từ (3.4.6) vμ (3.4.8) ta có hệ thức quan hệ: Ngô Nh− Khoa - Photocopyable 51
BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên Bμi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số 1 ∞ 2 j2πn F X(f )e j2πfndf = X (F)e Fs dF (3.4.9) ∫ ∫ a − 1 −∞ 2 Khi quá trình lấy mẫu đ−ợc thực hiện tuần hoμn thì: F f = (3.4.10) Fs Khi đó, hệ thức (3.4.9) trở thμnh: Fs ∞ 1 2 F j2πn F j2πn F X( )e Fs dF = X (F)e Fs dF (3.4.11) ∫ ∫ a F F F s − s s −∞ 2 Biến đổi biểu thức thuộc vế phải của (3.4.11), ta có: 1 ∞ (k+ )Fs j2πn F ∞ 2 j2πn F X (F)e Fs dF = X (F)e Fs dF (3.4.12) ∫ a ∑ ∫ a −∞ k=−∞(k− 1 )F 2 s Thực hiện việc đổi biến trong (3.4.12) vμ sử dụng tính chất tuần hoμn của hμm mũ: (F−kF ) j2πn s j2πn F F F e s = e s sẽ cho ta: Xa(F) trong khoảng tần số (k-1/2)Fs đến (k+1/2)Fs sẽ hoμn toμn t−ơng ứng với Xa(F - kFs) trong khoảng -Fs/2 đến Fs/2. Từ đó, ta có: 1 Fs (k+ )Fs ∞ 2 j2πn F ∞ 2 j2πn F X (F)e Fs dF = X (F − kF )e Fs dF ∑ ∫ a ∑ ∫ a s k=−∞(k− 1 )F k=−∞−Fs 2 s 2 (3.4.13) Fs 2 ⎡ ∞ ⎤ j2πn F = X (F − kF ) e Fs dF ∫ ⎢ ∑ a s ⎥ −Fs ⎣k=−∞ ⎦ 2 So sánh (3.4.6) vμ (3.4.13) ta đ−ợc: ⎛ F ⎞ ∞ ⎜ ⎟ (3.4.14) X⎜ ⎟ = Fs ∑ Xa (F − kFs ) ⎝ Fs ⎠ k=−∞ ∞ hoặc: X(f ) = Fs ∑ Xa [](f − k)Fs (3.4.15) k=−∞ Các hệ thức (3.4.14) vμ (3.4.15) đ−a ra mối quan hệ giữa phổ X(F/Fs) hoặc X(f) của tín hiệu rời rạc theo thời gian vμ phổ Xa(F) của tín hiệu t−ơng tự. Thực chất, vế phải của hai biểu thức nμy lμ sự lặp lại có chu kỳ của phổ đã đ−ợc lấy tỷ lệ Xa(F) với chu kỳ Fs. Xét quan hệ (3.4.14) vμ (3.4.15) với các tần số lấy mẫu có giá trị khác nhau. Để thực hiện điều nμy, ta xét với ví dụ lμ một tín hiệu t−ơng tự với bề rộng phổ hữu hạn. Tín hiệu nμy đ−ợc mô tả trên hình (3.4a). Phổ của tín hiệu sẽ bằng không khi ⏐F⏐≥ B. • Nếu chọn tần số lấy mẫu Fs≥ 2B thì phổ X(F/Fs) của tín hiệu rời rạc sẽ có dạng nh− trên hình (3.4b). Nh− vậy, nếu tần số lấy mẫu Fs đ−ợc chọn sao cho Fs≥ 2B, với 2B lμ tần số Nyquist thì: ⎛ F ⎞ ⎜ ⎟ (3.4.16) X⎜ ⎟ = FsXa (F) ⎝ Fs ⎠ Ngô Nh− Khoa - Photocopyable 52
BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên Bμi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số trong tr−ờng hợp nμy hiện t−ợng trùng phổ sẽ không xảy ra vμ vì vậy, trong miền giới hạn của tần số cơ bản ⏐F⏐≤ Fs/2 hoặc ⏐f⏐≤ 1/2, phổ của tín hiệu rời rạc sẽ đồng nhất với phổ của tín hiệu t−ơng tự. ⎛ F ⎞ ⎜ ⎟ • Nếu chọn tần số lấy mẫu Fs s ⎩⎪ 2 Theo phép biến đổi Fourier thì: ⎛ ⎞ ∞ −j2πF n F Fs X⎜ ⎟ = ∑ x(n)e ⎝ Fs ⎠ n=−∞ vμ biến đổi ng−ợc Fourier sẽ cho ta xa(t) từ phổ của nó Xa(F): Ngô Nh− Khoa - Photocopyable 53
BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên Bμi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số Fs 2 x (t) = X F e j2πFtdF a ∫ a () F − s 2 Giả sử Fs= 2B, thay vμo các hệ thức trên, ta đ−ợc: Fs Fs 1 2 ⎡ ∞ − j2πF n ⎤ 1 ∞ 2 j2πF(t− n ) x (t) = x(n)e Fs e j2πFt dF = x x(n) e Fs dF a ∫ ⎢ ∑ ⎥ ∑ ∫ F F n=−∞ F n=−∞ F s − s ⎣ ⎦ s − s 2 2 ∞ sin(π / T)(t − nT) = ∑ x a (nT) (3.4.18) n=−∞ (π / T)(t − nT) Công thức (3.4.18) có chứa hμm: sin(π / T)t sin 2πBt g(t) = = (3.4.19) (π / T)t 2πBt đ−ợc dịch bởi các l−ợng nT, n = 0, ±1, ±2, ±3, vμ đ−ợc nhân với các mẫu t−ơng ứng xa(nT) của tín hiệu rời rạc. Công thức (3.4.19) đ−ợc gọi lμ công thức nội suy vμ đ−ợc dùng để khôi phục tín hiệu liên tục xa(t) từ các mẫu, còn hμm g(t) trong (3.4.19) đ−ợc gọi lμ hμm nội suy. Vì tại t = kT thì hμm nội suy g(t-kT) sẽ có giá trị bằng không, ngoại trừ k = n; Do đó giá trị của xa(t) tại các thời điểm t = kT sẽ chính lμ mẫu xa(kT). ở tất cả các thời điểm còn lại, giá trị của xa(t) sẽ bằng giá trị của hμm nội suy sau khi đã lấy tỷ lệ với xa(nT). Công thức (3.4.19) dùng để khôi phục tín hiệu liên tục xa(t) từ các mẫu, đ−ợc gọi lμ công thức nội suy lý t−ởng vμ lμ cơ sở của định lý lấy mẫu. ♦ Phát biểu định lý lấy mẫu Tín hiệu liên tục theo thời gian có bề rộng phổ hữu hạn với tần số cao nhất B(Hz) có thể đ−ợc khôi phục một cách duy nhất từ các mẫu, nếu quá trình lấy mẫu đ−ợc thực hiện với tốc độ Fs ≥ 2B trên 1 giây. Ngô Nh− Khoa - Photocopyable 54
BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên Bμi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số ch−ơng 4 phép biến đổi Fourier rời rạc Phép biến đổi Fourier của tín hiệu rời rạc, X(f), về mặt lý thuyết cho ta những công thức giải tích gọn vμ đẹp. Nó đ−ợc sử dụng rộng rãi khi nghiên cứu các tín hiệu viết đ−ợc d−ới dạng giải tích. Tuy nhiên nó có một số hạn chế khi áp dụng trong thực tế khi chạy ch−ơng trìng máy tính. Cụ thể lμ: 1. Độ dμi tín hiệu số( số mẫu tín hiệu đem phân tích) lμ vô cùng. Trong khi độ dμi tín hiệu trong thực tế bao giờ cũng lμ hữu hạn. 2. Biến độc lập f ( tần số) của X(f) lμ một biến liên tục, trong khi đó việc xử lý tín hiệu trên máy tính bao giờ cũng phải đ−ợc rời rạc hoá, số hoá. Do tầm quan trọng to lớn của phép biến đổi Fourier nên ng−ời ta đã tìm cách khắc phục các hạn chế trên bằng cách đ−a nó về dạng thích hợp. Đó lμ phép biến đổi Fourier rời rạc của tín hiệu có độ dμi hữu hạn vμ có trục tần số cũng đ−ợc rời rạc hoá, th−ờng đ−ợc gọi một cách ngắn gọn lμ phép biến đổi Fourier rời rạc, đ−ợc viết tắt trong tiếng Anh lμ DFT, lμ một thuật ngữ đ−ợc dùng phổ biến. Cần phân biệt với tên gọi “ phép biến đổi Fourier của tín hiệu rời rạc” mμ ta đã nghiên cứu ở ch−ơng 3. Ngoμi ý nghĩa về mặt lý thuyết, DFT còn đóng vai trò rất quan trọng trong thực tế xử lý tín hiệu số do tồn tại cách tính DFT rất hiệu quả, tốc độ nhanh FFT. I. Lấy mẫu trong miền tần số - biến đổi Fourier rời rạc Tr−ớc khi nghiên cứu DFT, ta hãy xét việc lấy mẫu của biến đổi Fourier đối với dãy tín hiệu rời rạc theo thời gian không tuần hoμn vμ từ đó có thể thiết lập đ−ợc quan hệ giữa biến đổi Fourier đã đ−ợc lấy mẫu với DFT. I.1. Lấy mẫu trong miền tần số vμ khôi phục tín hiệu rời rạc theo thời gian Xét biến đổi Fourier X(ej ω) hay X(ω) của một tín hiệu không tuần hoμn rời rạc theo ∞ thời gian x(n): X(ω) = ∑ x(n)e−jωn n=−∞ Giả sử tín hiệu X(ω) đ−ợc lấy mẫu tuần hoμn vμ khoảng cách lấy mẫu lμ δω. Vì X(ω) lμ tuần hoμn với chu kỳ 2π, do vậy chỉ cần xét đến các mẫu đ−ợc lấy trong miền tần số cơ bản: 0 ≤ ω ≤ 2π vμ số l−ợng mẫu đ−ợc lấy trong khoảng nμy lμ N, thì khoảng cách lấy mẫu lμ δω = 2π/N, (hình 4.1). X(ω) X(kδω ) Hình-π 4.1. Lấy mẫu tần kδω số củaπ biến đổi2π Fourier ω Xét giá trị của X(ω) tại ω = 2πk/N ta đ−ợc: Ngô Nh− Khoa - Photocopyable 55
BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên Bμi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số 2πkn 2π ∞ −j X( k) = ∑ x(n)e N , với k nguyên, k =[0 N-1] (4.1.1) N n=−∞ Nếu chia tổng (4.1.1) thμnh một số l−ợng vô hạn các tổng, trong đó mỗi tổng chứa N phần tử thì ta đ−ợc: 2πkn 2πkn 2π −1 −j N−1 −j X( k) = + x(n)e N + x(n)e N + N ∑ ∑ n=−N n=0 2πkn 2πkn 2N−1 −j ∞ lN+N−1 −j + ∑ x(n)e N + = ∑∑x(n)e N n=N l=−∞ n=lN Thực hiện việc đổi biến n = n - lN vμ đổi thứ tự lấy tổng ta đ−ợc: 2πkn N−1 ∞ −j 2π ⎡ ⎤ N X( k) = ∑∑⎢ x(n − lN)⎥e (4.1.2) N nl=0 ⎣ =−∞ ⎦ Chú ý trong biểu thức trên, đã sử dụng tính chất: 2πk(n−lN) 2πkn 2πkn −j −j −j e N = e N .e j2πkl = e N ∞ Ta thấy tín hiệu: x p (n) = ∑ x(n − lN) (4.1.3) l=−∞ nhận đ−ợc do sự xếp chồng của vô số tín hiệu x(n) đặt lệch nhau một chu kỳ N. Nh− vậy, xp(n) lμ tín hiệu tuần hoμn với chu kỳ cơ bản lμ N, nên có thể khai triển qua chuỗi Fourier nh− sau: 2πkn N−1 j N x p (n) = ∑ck e ,với n nguyên: [0 N-1] (4.1.4) k=0 2πkn N−1 −j 1 N với các hệ số: ck = ∑ x p (n)e ,với k nguyên: [0 N-1] N n=0 (4.1.5) Từ (4.1.2), (4.1.3) vμ (4.1.5) ta có: 1 2π c = X( k) (4.1.6) k N N 2πkn N−1 j 1 2π N ⇒ x p (n) = ∑X( k)e (4.1.7) N k=0 N Quan hệ (4.1.6) chính lμ công thức cho phép khôi phục lại tín hiệu tuần hoμn xp(n) từ các mẫu của phổ X(ω). Tuy nhiên quan hệ nμy không thể đảm bảo đ−ợc rằng x(n) hoặc X(ω) có thể khôi phục từ các mẫu hay không. Để đảm bảo điều nμy, cần phải khảo sát quan hệ giữa x(n) vμ xp(n). Vì xp(n) lμ tín hiệu nhận đ−ợc do sự xếp chồng của các tín hiệu x(n) đặt lệch nhau một chu kỳ N. Vì vậy x(n) có thể đ−ợc khôi phục từ xp(n) nếu không có sự “trùm thời gian” giữa các thμnh phần của xp(n). Điều nμy đòi hỏi x(n) phải có độ dμi hữu hạn L vμ phải nhỏ hơn chu kỳ N của xp(n). Hình 4.2 mô tả hai tr−ờng hợp của tín hiệu xp(n) ứng với các tr−ờng hợp N > L vμ N < L. Ngô Nh− Khoa - Photocopyable 56
BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên Bμi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số x(n) n L xp(n) N>L L N n xp(n) N< L -N 0 N L n Hình 4.2. Dãy không tuần hoμn x(n) vμ dãy mở rộng xp(n). Không lμm mất tính tổng quát, ta có thể xem x(n) lμ một dãy có độ dμi hữu hạn với các giá trị bằng không ngoμi khoảng [0 L-1]. Nh− vậy ta có: x(n) = xp(n), 0 ≤ n ≤ N-1 Cuối cùng, phổ của tín hiệu không tuần hoμn rời rạc theo thời gian có độ dμi hữu hạn L có thể khôi phục một cách chính xác từ các mẫu của nó tại các tần số ωk = 2kπ/N nếu N ≥ L: ⎧x p (n) 0 ≤ n ≤ N −1 x(n) = ⎨ (4.1.8) ⎩0 2πkn 1 N−1 2π −j ⇒ x(n) = ∑ X( k)e N , với: 0 ≤ n ≤ N-1 (4.1.9) N k=0 N vμ: 2πkn 2πk N−1 N−1 −j N−1 N−1 −j(ω − )n ⎡ 1 2π ⎤ −jωn 2π ⎡ 1 ⎤ X(ω) = ∑∑⎢ X( k)e N ⎥e = ∑ X( k)⎢ ∑ e N ⎥ (4.1.10) n=0 ⎣ N k=0 N ⎦ k=0 N ⎣ N k=0 ⎦ Tổng của các phần tử trong dấu ngoặc vuông của (4.1.10) biểu diễn công thức nội suy đ−ợc dịch bởi 2πk/N theo tần số. Đặt: ωN ωN ωN j −j −j ωN −jωN sin ω(N−1) 1 N−1 1 1− e 1 e 2 − e 2 e 2 −j −jωn 2 2 (4.1.11) p(ω) = ∑ e = −jω = ω ω ω = e N N 1− e N j −j −j ω k=0 e 2 − e 2 e 2 N sin 2 N−1 2π 2πk ⇒ X(ω) = ∑ X( k)p(ω − ) , N≥ L (4.1.12) k=0 N N 2π Nh− vậy X(ω) có thể đ−ợc xác định thông qua các mẫu X( k) của nó qua công N thức nội suy (4.1.11) vμ (4.1.12). Ngô Nh− Khoa - Photocopyable 57
BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên Bμi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số II. Biến đổi Fourier rời rạc đối với các tín hiệu tuần hoμn II.1. Các định nghĩa a. Định nghĩa biến đổi Fourier rời rạc. Biến đổi Fourier rời rạc của các dãy tuần hoμn xp(n) có chu kỳ N đ−ợc định nghĩa nh− sau: 2π N−1 −j kn N Xp (k) = ∑ x p (n)e (4.1.13) n=0 2π 2π 2π −j −j kn j kn N kn N −kn N Đặt: WN = e thì ta có: WN = e vμ WN = e (4.1.14) N−1 kn ⇒ Xp (k) = ∑ x p (n)WN (4.1.15) n=0 Đây chính lμ biểu thức của biến đổi Fourier rời rạc. Ví dụ: Cho dãy tuần hoμn xp(n) với chu kỳ N = 10, nh− sau: ⎧1 0 ≤ n ≤ 4 x p (n) = ⎨ ⎩0 5 ≤ n ≤ 9 Tìm Xp(k). Giải: Dạng của xp(n) đ−ợc biểu diễn nh− sau: xp(n) 1 -6 -5 4 5 10 n Hình 4.3. Đồ thị tín hiệu tuần hoμn chu kỳ N=10. áp dụng biểu thức (4.1.15) ta có: 2π π π π 2π − j k5 sin k π π sin k k 9 4 − j kn 1− e 10 − j k4 − j k4 X (k) x (n)W kn e 10 2 e 10 5e 10 2 2 p = ∑ p 10 = ∑ = 2π = = − j k π π π n=0 n=0 1− e 10 sin k sin k k 10 10 10 Đặt: π π sin k k A (k) = 5 2 2 p π π sin k k 10 10 π −j k4 10 jarg[]Xp (k) jϕ (k) ta có: Xp (k) = e Ap (k) = Xp (k) e = Xp (k) e ở đây: ϕ(k) = arg[Xp (k)] 2π π X (k) = A (k) ϕ(k) = − k + {1− Sgn[A (k)]} p p 5 2 p b. Định nghĩa biến đổi Fourier ng−ợc. Ngô Nh− Khoa - Photocopyable 58
BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên Bμi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số Biến đổi Fourier ng−ợc đ−ợc định nghĩa nh− sau: 2π N−1 j k 1 N x p (n) = ∑ Xp (k)e (4.1.16) N k=0 hoặc: N−1 1 −kn x p (n) = ∑ Xp (k)WN (4.1.17) N k=0 II.2. Các tính chất của Biến đổi Fourier rời rạc đối với các tín hiệu tuần hoμn có chu kỳ n a. Tính chất tuyến tính. DFT lμ một biến đổi tuyến tính, tức lμ nếu có hai dãy x1p(n) vμ x2p(n) lμ các dãy tuần hoμn có cùng chu kỳ N vμ x3p(n) lμ tổ hợp tuyến tính của hai dãy trên: x3p(n) = a.x1p(n) + b.x2p(n) thì ta có: DFT[x3p(n)] = X3p(k) = a.X1p(k) + b.X2p(k) (4.1.18) trong đó: DFT[x1p(n)] = X1p(k) vμ DFT[x2p(n)] = X2p(k) b. Tính chất trễ. Nếu xp(n) lμ dãy tuần hoμn có cùng chu kỳ N với DFT[xp(n)] = Xp(k), vμ dãy xp(n + n0) lμ dãy trễ của xp(n) cũng lμ dãy tuần hoμn chu kỳ N thì: −kn0 DFT[xp(n+n0)] = WN Xp (k) (4.1.19) c. Tính đối xứng Nếu xp(n) lμ dãy tuần hoμn có cùng chu kỳ N với DFT[xp(n)] = Xp(k) thì: DFT[x*p(n)] = X*p(-k) (4.1.20) Chứng minh: * N−1 ⎧ N−1 * ⎫ * * kn ⎪⎡ * kn ⎤ ⎪ DFT[]x p (n) = ∑ x p (n)WN = ⎨⎢∑ x p (n)WN ⎥ ⎬ n=0 ⎪⎣n=0 ⎦ ⎪ ⎩ ⎭ N−1 * ⎡ −kn ⎤ = ⎢∑ x p (n)WN ⎥ = Xp (−k) ⎣n=0 ⎦ T−ơng tự ta cũng có: DFT[x*p(-n)] = X*p(k) (4.1.21) Chứng minh: N−1 * * kn DFT[]x p (−n) = ∑x p (−n)WN n=0 đổi biến m = - n ta đ−ợc: −(N−1) * * −km DFT[]x p (−n) = ∑ x p (m)WN m=0 −km do tính tuần hoμn chu kỳ N của xp(n) vμ WN nên ta có: Ngô Nh− Khoa - Photocopyable 59
BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên Bμi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số N−1 * * ⎡ km ⎤ * DFT[]x p (−n) = ⎢∑ x p (m)WN ⎥ = X p (k) ⎣m=0 ⎦ Vμ: 1 DFT{}Re[]x (n) = [X (k) + X* (−k)] (4.1.22) p 2 p p 1 DFT{}Im[]x (n) = [X (k) − X* (−k)] (4.1.23) p 2j p p Chứng minh: xp(n) = Re[xp(n)] + j .Im[xp(n)] x*p(n) = Re[xp(n)] - j .Im[xp(n)] 1 ⇒ Re[]x (n) = []x (n) + x* (n) p 2 p p N−1 1 * kn 1 * ⇒ DFT{}Re[]x p (n) = ∑[x p (n) + x p (n)]WN = [Xp (k) + Xp (−k)] 2 n=0 2 vμ: 1 ⇒ Im[]x (n) = []x (n) − x* (n) p 2j p p N−1 1 * kn 1 * ⇒ DFT{}Im[]x p (n) = ∑[x p (n) − x p (n)]WN = [Xp (k) − Xp (−k)] 2j n=0 2j d. Tích chập tuần hoμn Công thức tích chập đ−ợc trình bμy trong ch−ơng 1: ∞ x3 (n) = x1(n) * x 2 (n) = ∑ x1(m)x 2 (n − m) m=−∞ đ−ợc gọi lμ tích chập tuyến tính. Đối với tích chập nμy các dãy lμ bất kỳ. Tuy nhiên ở tích chập tuần hoμn, chiều dμi các dãy tuần hoμn lμ vô cùng nh−ng có các chu kỳ lặp lại giống nhau, vì thế tổng chỉ lấy trong một chu kỳ. Vμ ta có định nghĩa tích chập tuần hoμn nh− sau: Tích chập tuần hoμn của hai dãy tuần hoμn x1p(n) vμ x2p(n) lμ có cùng chu kỳ N lμ dãy x3p(n) cũng tuần hoμn với chu kỳ N: N−1 x3p (n) = x1p (n)()* N x 2p (n) = ∑ x1p (m)x 2p (n − m) (4.1.24) m=0 Xét tích chập tuần hoμn trong miền k: X3p(k) = X1p(k). X2p(k) (4.1.25) Chứng minh: N−1 N−1 N−1 N−1 ⎡ ⎤ kn kn X3p (k) = ∑∑⎢ x1p (m)x 2p (n − m)⎥WN = ∑ x1p (m)∑ x 2p (n − m)WN n=0 ⎣m=0 ⎦ m=0 n=0 đổi biến: l = n - m, n = l + m vμ vì x2p(n) lμ dãy tuần hoμn có chu kỳ N, nên ta có: N−1 −m+N−1 N−1 N−1 k(l+m) km kl X3p (k) = ∑ x1p (m) ∑ x 2p (l)WN = ∑ x1p (m)WN ∑ x 2p (l)WN = X1p (k)X 2p (k) m=0 l=−m m=0 l=0 e.Tích của hai dãy Nếu ta coi tích của hai dãy tuần hoμn x1p(n) vμ x2p(n) có cùng chu kỳ N lμ dãy x3p(n) cũng tuần hoμn với chu kỳ N: Ngô Nh− Khoa - Photocopyable 60
BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên Bμi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số x3p(n) = x1p(n).x2p(n) thì ta có: 1 N−1 X3p (k) = X1p (n)()* N X2p (n) = ∑ X1p (m)X2p (k − m) (4.1.26) N m=0 Nh− vậy, tích đại số trong miền n thì t−ơng ứng với tích chập trong miền k. f. T−ơng quan tuần hoμn. Nếu ta có hai dãy tuần hoμn x1p(n) vμ x2p(n) với cùng chu kỳ N thì hμm t−ơng quan chéo của chúng sẽ đ−ợc tính toán trên một chu kỳ theo biểu thức sau: N−1 r (n) = x (m)x (m − n) (4.1.27) x1px2p ∑ 1p 2p m=0 Nh− vậy, hμm t−ơng quan chéo của hai dãy cũng lμ một dãy tuần hoμn với chu kỳ N. Xét trong miền k: R (k) = X (k).X (−k) (4.1.28) x1px2p p p III. Biến đổi Fourier rời rạc đối với các dãy không tuần hoμn có chiều dμi hữu hạn III.1. Các định nghĩa Nh− đã đề cập đến trong phần lấy mẫu trong miền tần số, một dãy x(n) không tuần hoμn vμ có chiều dμi hữu hạn N, ta ký hiệu lμ x(n)N sẽ nhận đ−ợc bằng cách trích ra một chu kỳ N của dãy tuần hoμn xp(n) có chu kỳ N: ⎧x p (n) 0 ≤ n ≤ N −1 x(n)N = ⎨ ⎩0 n N −1 Để nhận đ−ợc dãy x(n)N ta có thể sử dụng một dãy chữ nhật: ⎧1 0 ≤ n ≤ N −1 rect N (n) = ⎨ ⎩0 n N −1 vμ thực hiện tích: x(n)N = xp(n).rectN(n) Trong miền k, đối với dãy X(k) có thể đ−ợc xác định nh− sau: ⎧X p (k) 0 ≤ n ≤ N −1 X(k) = ⎨ ⎩0 n N −1 vμ: X(k) = Xp(k).rectN(k) Hơn nữa, biến đổi Fourier rời rạc đối với dãy tuần hoμn có chu kỳ N chỉ tính trong một chu kỳ rồi kết quả đó đ−ợc tuần hoμn hoá từ - ∞ đến +∞ với chu kỳ N để lμm định nghĩa cho biến đổi Fourier rời rạc đối với dãy có chiều dμi hữu hạn N nh−ng không đ−ợc thực hiện tuần hoμn hoá mμ chỉ lấy từ 0 đến N-1. Nh− vậy, biến đổi Fourier rời rạc (DFT) đối với các dãy không tuần hoμn có chiều dμi hữu hạn N đ−ợc định nghĩa nh− sau: a. Biến đổi Fourier thuận: N−1 ⎧ kn ⎪∑ x(n)WN 0 ≤ k ≤ N −1 X(k) = ⎨n=0 (4.3.1) ⎪ ⎩0 n N −1 b. Biến đổi Fourier ng−ợc: Ngô Nh− Khoa - Photocopyable 61
BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên Bμi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số N−1 ⎧ 1 −kn ⎪ ∑ X(k)WN 0 ≤ k ≤ N −1 x(n) = ⎨N k=0 (4.3.2) ⎪ ⎩0 k N −1 ở đây ta gọi X(k) lμ phổ rời rạc của tín hiệu x(n), nếu biểu diễn d−ới dạng modun vμ argument ta có: X(k) = X(k) e jϕ (k) ϕ(k) = arg[X(k)] (4.3.3) trong đó: ⏐X(k)⏐ gọi lμ phổ rời rạc biên độ vμ ϕ(k) gọi lμ phổ rời rạc pha. Ví dụ 1: Tìm DFT của dãy có chiều dμi hữu hạn x(n) sau: x(n) = δ(n) Giải: Tr−ớc hết ta chọn chiều dμi của dãy, giả sử lμ N. Vậy dãy x(n) có dạng: x(n) ⏐X(k)⏐ n 0 k -1 0 1 2 N-1 -1 1 2 N-1 (a) (b) Hình 4.4. a- Biểu diễn của dãy x(n), b- Biểu diễn của phổ rời rạc biên độ Khi đó X(k) đ−ợc tính nh− sau: N−1 kn ⎧1 0 ≤ k ≤ N −1 X(k) = ∑δ (n)WN = ⎨ n=0 ⎩0 k N −1 Vậy phổ biên độ rời rạc vμ phổ pha rời rạc lμ: ⎧1 0 ≤ k ≤ N −1 X(k) = ⎨ ⎩0 k N −1 ϕ(k) = 0. Dạng của ⏐X(k)⏐ đ−ợc biểu diễn trên hình 4.4b. Ví dụ 2: Tìm DFT của dãy có chiều dμi hữu hạn x(n) sau, với a < 1: ⎧a n 0 ≤ n ≤ N −1 x(n) = ⎨ ⎩0 Giải: Theo định nghĩa DFT ta có: N−1 ⎧ n kn N−1 k N ⎪ a WN 0 ≤ k ≤ N −1 k n 1− ()aW ∑ ⇒ N X(k) = ⎨n=0 X(k) = ∑ ()aWN = k ⎪ n=0 1− aWN ⎩0 2π 2π −j kn −j kN kn N kN N −j2πk Vì: WN = e ⇒ WN = e = e = 1 Ngô Nh− Khoa - Photocopyable 62
BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên Bμi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số 2π ⎛ j k ⎞ ()1− a N ⎜1− ae N ⎟ 1− a N 1− a N ⎜ ⎟ X(k) = = = ⎝ ⎠ k 2π 2π 2π 1− aW −j k ⎛ −j k ⎞⎛ j k ⎞ N 1− ae N ⎜ N ⎟⎜ N ⎟ ⎜1− ae ⎟⎜1− ae ⎟ ⇒ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎛ 2π 2π ⎞ ()1− a N ⎜1− a.cos k − ja.sin k⎟ N N = ⎝ ⎠ = X(k) e jϕ (ω) 2π 1+ a − 2a.cos k N Vậy: ⎛ 2π ⎞ ⎜1− 2a.cos k + a 2 ⎟ 2 2 N ⎝ N ⎠ X(k) = {}Re[]X(k) + {}Im[]X(k) = ()1− a 2π 1− 2a.cos k + a N ⎡ 2π ⎤ ⎡ 2π ⎤ − a.sin k a.sin k Re[]X(k) ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ϕ(ω) = arctg = arctg N = −arctg N ⎢ 2π ⎥ ⎢ 2π ⎥ Im[]X(k) ⎢1− a.cos k ⎥ ⎢1− a.cos k ⎥ ⎣ N ⎦ ⎣ N ⎦ III.2. Các tính chất của biến đổi Fourier rời rạc đối với các dãy chiều dμi hữu hạn Trong phần I, cho thấy DFT chính lμ tập hợp N mẫu {X( 2πk/N)} của biến đổi Fourier X(ω) của dãy {x(n)} với độ dμi hữu hạn L ≤ N. Việc lấy mẫu của X(ω) đ−ợc thực hiện tại N tần số cách đều nhau vμ thông qua N mẫu. Vμ ta đã có đ−ợc DFT, IDFT của dãy x(n). Trong phần nμy ta sẽ xét một số tính chất quan trọng của DFT. Ngoại trừ một số tính chất riêng, về cơ bản các tính chất nμy cũng giống các tính chất của biến đổi Fourier. Các tính chất của DFT có một vai trò rất quan trọng khi giải quyết các bμi toán trong thực tế. a. Tính chất tuyến tính DFT lμ một biến đổi tuyến tính, tức lμ nếu ta có hai dãy chiều dμi hữu hạn x1(n) vμ x2(n) vμ dãy x3(n) lμ tổ hợp tuyến tính của hai dãy nμy, thì: X3(k) = a.X1(k) + b.X2(k) (4.3.4) Chú ý: nếu chiều dμi của dãy x1(n) vμ x2(n) khác nhau thì ta phải chọn chiều dμi của dãy x3(n) nh− sau: L[x3(n)] = N3 = max[N1, N2] vμ tất cả các DFT[x1(n)], DFT[x2(n)] vμ DFT[x3(n)] đều phải tính trên N3 mẫu. b. Trễ vòng Tr−ớc hết ta xét hai ví dụ sau nhằm so sánh trễ tuyến tính vμ trễ tuần hoμn: Ví dụ 1. Cho dãy x(n) sau: ⎧ n ⎪1− 0 ≤ n ≤ 4 x(n) = ⎨ 4 . ⎩⎪0 Ngô Nh− Khoa - Photocopyable 63
BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên Bμi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số Tìm trễ tuyến tính x(n-2) vμ x(n+2) Giải: Ta giải bằng ph−ơng pháp đồ thị nh− hình sau: x(n+2) x(n) x(n-2) 1 1 1 0,5 n n n 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 5 6 -3 -2 -1 0 1 2 ⎧ n ⎪1− 0 ≤ n ≤ 4 Ví dụ 2. Cho dãy xp(n) tuần hoμn với chu kỳ N = 4 sau: x p (n) = ⎨ 4 ⎩⎪0 Tìm trễ tuần hoμn xp(n-2) vμ xp(n+2) sau đó lấy ra một chu kỳ của các dãy nμy. Giải: Ta giải bằng ph−ơng pháp đồ thị nh− hình sau: xp(n) 1 0 1 2 3 4 n x (n-2) p 1 0 1 2 3 4 n x(n-2)N 1 0 1 2 3 4 n xp(n+2) 1 0 1 2 3 4 n x(n+2)N 1 Ngô Nh− Khoa - Photocopyable 64 0 1 2 3 4 n
BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên Bμi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số ở đây ta dùng các ký hiệu: x(n ± n0): Trễ tuyến tính xp(n ± n0): Trễ tuần hoμn chu kỳ N x(n ± n0)N: Trễ vòng với chiều dμi N Qua hai ví dụ trên ta thấy: Nếu trích ra một chu kỳ (từ 0 đến N-1) của trễ tuần hoμn chu kỳ N thì ta sẽ đ−ợc trễ vòng x(n ± n0)N, so sánh với trễ tuyến tính x(n ± n0) thì ta thấy rằng nếu các mẫu của trễ tuyến tính v−ợt ra ngoμi khoảng [0, N-1] thì nó sẽ vòng vμo bên trong khoảng đó để sao cho dãy có chiều dμi hữu hạn x(n)N xác định trong khoảng [0, N-1] thì trễ vòng của nó x(n ± n0)N xác định trong khoảng [0, N-1] chứ không đ−ợc v−ợt ra ngoμi khoảng đó. Vậy trễ vòng t−ơng ứng với việc hoán vị vòng các mẫu của dãy x(n)N trong khoảng [0, N-1] vμ đ−ợc biểu diễn nh− sau: x(n) = x(n)N = xp(n).rectN(n) x(n ± n0)N = xp(n ± n0)rectN(n) (4.3.5) Bản chất của trễ vòng có thể đ−ợc minh hoạ nh− sau: x(n) ≡ x(n)4 1 -1 0 1 2 3 n x(n-2) 1 -1 0 n x(n-2)4=x’(n) 1 -1 0 n x(1) x’(1) x(2) 2 0 x(0) x’(2) 0 2 x’(0) 3 1 x(3) x’(3) Ngô Nh− Khoa - Photocopyable 65
BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên Bμi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số Để xác định trễ vòng trong miền k, do tính đối ngẫu nên trong miền k trễ vòng cũng có bản chất t−ơng tự nh− trong miền n, tức lμ: X(k) = Xp(k).rectN(k) X(k - n0)N = Xp(k - n0).rectN(k) (4.3.6) vμ: kn0 DFT[]x(n − n 0 )N = WN X(k) (4.3.7) trong đó: DFT[x(n)] = X(k) Chứng minh: kn0 Ta có: DFT[x p (n − n 0 )N ]= WN Xp (k) Nếu cả hai vế ta đều lấy ra một chu kỳ [0, N-1]: x(n - n0)N = xp(n - n0).rectN(n) X(k) = Xp(k ).rectN(k) kn0 Vậy ta có: DFT[]x(n − n 0 )N = WN X(k) c. Tính đối xứng Tính đối xứng của DFT có thể nhận đ−ợc bằng cách áp dụng ph−ơng pháp đã đ−ợc sử dụng đối với biến đổi Fourier. Trong tr−ờng hợp tổng quát, dãy x(n) có chiều dμi hữu hạn N vμ DFT của nó đều có giá trị phức. Khi đó, các dãy nμy có thể đ−ợc biểu diễn d−ới dạng: x(n) = Re[x(n)] +j .Im[x(n)] vμ X(k) = Re[X(k)] +j .Im[X(k)] X*(k) = X(-k) = Re[X(k)] -j .Im[X(k)] Từ các biến đổi Fourier thuận vμ nghịch (DFT, IDFT) ta có: N−1 ⎡ 2πkn 2πkn ⎤ Re[]X(k) = ∑ ⎢Re []x(n) cos + Im[]x(n) sin ⎥ (4.3.8) n=0 ⎣ N N ⎦ N−1 ⎡ 2πkn 2πkn ⎤ Im[]X(k) = −∑ ⎢Re []x(n) sin − Im[]x(n) cos ⎥ (4.3.9) n=0 ⎣ N N ⎦ vμ 1 N−1 ⎡ 2πkn 2πkn ⎤ Re[]x(n) = ∑ ⎢Re[]X(k) cos − Im[]X(k) sin ⎥ (4.3.10) N k=0 ⎣ N N ⎦ 1 N−1 ⎡ 2πkn 2πkn ⎤ Im[]x(n) = ∑ ⎢Re[]X(k) sin + Im[]X(k) cos ⎥ (4.3.11) N k=0 ⎣ N N ⎦ • Dãy có giá trị thực: Nếu x(n) lμ dãy thực thì ta có: X(N- k) = X*(k) = X(-k) (4.3.12) ⇒ ⏐X(N- k)⏐=⏐X(k)⏐ vμ arg[X(N-k)] = - arg[X(k)] vμ x(n) còn đ−ợc xác định theo (4.3.10), lμ một dạng khác của IDFT. • Tín hiệu chẵn vμ thực: Nếu x(n) lμ dãy chẵn vμ thực, thì ta có: x(n) = x(- n) = x(N-n) (4.3.13) Ngô Nh− Khoa - Photocopyable 66