Bài giảng Xử lý số tín hiệu - Chương 6: Các hàm truyền

Nội dung text: Bài giảng Xử lý số tín hiệu - Chương 6: Các hàm truyền

1. Xử lý số tín hiệu Chương 6: Các hàm truyền
2. 1. Các dạng mô tả tương đương của bộ lọc số Đáp ứng Phương trình Xử lý khối xung h(n) chập vào/ra Phương trình Hàm truyền Sơ đồ sai phân I/O H(z) cực/zero PP thiết kế bộ lọc Thực hiện Các tiêu sơ đồ khối Xử lý mẫu chuẩn Đáp ứng tần thiết kế số H(ω)
3. 2. Các hàm truyền −1 Ví dụ: xét hàm truyền sau: 5 + 2z H (z) = −1 ⚫ Từ H(z) suy ra được: 1− 0.8z 1. Đáp ứng xung h(n) 2. Phương trình sai phân I/O thỏa bởi h(n) 3. Phương trình chập I/O 4. Thực hiện sơ đồ khối 5. Sơ đồ cực/ zero 6. Đáp ứng tần số H(ω)
4. 2. Các hàm truyền ⚫ Các dạng tương đương toán học của hàm truyền có thể dẫn đến các phương trình sai phân I/O khác nhau và các sơ đồ khối khác nhau cùng thuật toán xử lý mẫu tương ứng 5 + 2z −1 Ví dụ: Với hàm truyền H (z) = 1− 0.8z −1 Có thể viết dưới dạng: a. Dạng 1 5+ 2z −1 7.5 H(z) = = −2.5+ 1− 0.8z −1 1− 0.8z −1 b. Dạng 2 5+ 2z −1 H(z) = = (5 + 2z −1)W (z) 1− 0.8z −1
5. 3. Đáp ứng hình sine A. Đáp ứng trạng thái ổn định - Tín hiệu vào: sine phức, tần số ω0, dài vô hạn x(n) = e j0n - Ngõ ra có thể xác định bằng 2 cách: (1) Chập trong miền thời gian + j0n y(n) = h(m)x(n − m) = H (0 )e − (2) Phương pháp miền tần số Phổ tín hiệu vào: X() = 2 ( - 0) + (các phiên bản)
6. 3. Đáp ứng hình sine Phổ tín hiệu ra: (phiên bản thứ nhất) Y() = H()X() = 2 H(0)( - 0) DTFT ngược: 1 y(n) = Y()e jnd = H( )e j0n 0 2 − Tổng quát: H() là số phức jarg H (0 ) H(0 )= H(0 )e j0n H j0n+ jargH (0 ) e ⎯⎯ →H(0 )e
7. 3. Đáp ứng hình sine ⚫ Tín hiệu vào gồm 2 tín hiệu sine tần số 1 và 2 kết hợp tuyến tính & bộ lọc tuyến tính: j1n j2n H j(1n+arg H (1 )) A1e + A2e ⎯⎯ → A1 H(1 )e j(2n+arg H (2 )) + A2 H(2 )e ⚫ Tín hiệu vào tổng quát: phân tích Fourier thành các thành phần sine rồi tính ngõ ra.
8. 3. Đáp ứng hình sine ⚫ Độ trễ pha (Phase Delay): arg H() d() = − = arg H() = −.d()  ⚫ Độ trễ nhóm (Group Delay): d d () = − arg H (ω) g d jn H j(n−d()) => e ⎯⎯ →H()e
9. 3. Đáp ứng hình sine ⚫ Bộ lọc có pha tuyến tính: d()=D (constant) ➔ pha arg H (  ) = −  D tuyến tính theo  ➔ Các thành phần tần số đều có độ trễ D như nhau: e jn ⎯⎯H →H()e j(n−D)
10. 3. Đáp ứng hình sine B. Đáp ứng quá độ ⚫ Tín hiệu vào: sine, bắt đầu tại t=0 1 x(n) = e j0nu(n) ⎯⎯Z → X (z) = 1− e j0 z −1 j với ROC: z e 0 =1 ⚫ Giả sử bộ lọc có hàm truyền H(z): N(z) H(z) = −1 −1 −1 (1− p1z )(1− p2 z ) (1− pM z )
11. 3. Đáp ứng hình sine ⚫ Ngõ ra: Y(z) = H(z).X(z) N(z) Y(z) = j0 −1 −1 −1 −1 (1− e z )(1− p1z )(1− p2 z ) (1− pM z ) ⚫ Giả sử bậc của N(z) nhỏ hơn M+1, khai triển phân số từng phần: H ( ) B B Y(z) = 0 + 1 ++ M j0 −1 −1 −1 1− e z 1− p1z 1− pM z với ROC: |z|>1
12. 3. Đáp ứng hình sine ⚫ Biến đổi ngược: j0n n n y(n) = H(0 )e + B1 p1 +BM pM , n 0 ⚫ Giả sử bộ lọc ổn định: p i 1 , i = 1 , M n n→ ➔ pi ⎯ ⎯⎯ →0 , i = 1, M n→ j0n y(n) ⎯ ⎯⎯ → H (0 )e
13. 3. Đáp ứng hình sine n n→ ⚫ Bộ lọc ổn định nghiêm ngặt, các hệ số pi ⎯ ⎯⎯ →0 ⚫ Cực có biên độ lớn nhất pI thì hệ số tương ứng sẽ tiến về 0 chậm nhất. ⚫ Ký hiệu: = max p i . i ⚫ Hằng số thời gian hiệu quả neff là thời gian tại đó neff =  với  là mức độ nhỏ mong muốn, ví dụ 1% 1 ln ln   n = = eff ln 1 ln
14. 3. Đáp ứng hình sine ⚫ Đáp ứng unit step: tín hiệu vào x(n) = u(n). j0n Trường hợp đặc biệt của e u ( n ) với 0 = 0 (z = 1) n n n y(n) = H(0)+ B1 p1 + B2 p2 + + BM pM , n 0 y(n)⎯ n⎯→⎯ →H(0) H(0) coi như đáp ứng DC của bộ lọc. Độ lợi DC: H (0) = H (z) z=1 =  h(n) n=0
15. 3. Đáp ứng hình sine ⚫ Đáp ứng unit step thay đổi: tín hiệu vào x(n) = (-1)nu(n). j0n Trường hợp đặc biệt của e u ( n ) với 0 = (z = -1) j n n n n y(n) = H( )e + B1 p1 + B2 p2 + + BM pM , n 0 y(n)⎯ n⎯→⎯ → H ( )(−1)n Độ lợi AC: n H ( ) = H (z) z=−1 = (−1) h(n) n=0
16. 3. Đáp ứng hình sine Ví dụ 1. Xác định đáp ứng quá độ đầy đủ của bộ lọc nhân quả với tín hiệu vào dạng sine phức, tần số 0, cho 5+ 2z −1 H(z) = 1− 0.8z −1 2. Xác định đáp ứng DC và AC của bộ lọc trên. Tính hằng số thời gian hiệu quả neff để đạt đến  = 1%
17. 3. Đáp ứng hình sine ⚫ Bộ lọc ổn định dự trữ (marginally stable): có cực nằm trên vòng tròn đơn vị. p = e j1 - Xét bộ lọc H(z) có cực trên vòng tròn đơn vị 1 . * − j1 Bộ lọc sẽ có cực liên hợp: p 1 = e - Giả sử các cực khác nằm trong vòng tròn đơn vị - Đáp ứng quá độ j0n j1n * − j1n n y(n) = H(0 )e + B1e + B1 e + B2 p2 + n→ j0n j1n * − j1n y(n) ⎯ ⎯⎯ → H(0 )e + B1e + B1 e
18. 3. Đáp ứng hình sine ⚫ Nếu thì tạo ra cộng hưởng và ngõ ra không 0 = 1 j1 j0 ổn định. Ví dụ: 0 = 1 e = e = p1 N(z) Y (z) = −1 2 −1 −1 (1− p1z ) (1− p2 z ) (1− pM z ) ' B1 B1 B2 = −1 + −1 2 + −1 + 1− p1z (1− p1z ) 1− p2 z 1 Z −1 n ⚫ Biết: ⎯ ⎯ →(n +1)a u(n) (1− az −1)2 j1n ' j1n n y(n) = B1e + B1(n +1)e + B2 p2 +
19. 4. Thiết kế cực – zero 1. Các bộ lọc bậc nhất Ví dụ: Thiết kế bộ lọc bậc 1 có hàm truyền dạng G(1+ bz −1) H(z) = 1− az −1 với 0< a,b <1 |H()| ej |H(0)| a 1 -b |H( )| 0 
20. 4. Thiết kế cực – zero G(1+ b) H ( = 0) = H (z =1) = 1− a G(1− b) H ( = ) = H (z = −1) = 1+ a H( ) (1−b)(1− a) = H(0) (1+ a)(1+ b) Cần 2 phương trình thiết kế để xác định a và b.
21. 4. Thiết kế cực – zero Ví dụ : thiết kế bộ lọc có H( )/H(0) = 1/21 và neff = 20 mẫu để đạt  = 1% a =  1/ neff = (0.01)1/ 20 = 0.8 (1−b)(1− 0.8) 1 = b = 0.4 (1+ b)(1+ 0.8) 21 −1 H(z) = G1+ 0.4z 1− 0.8z−1
22. 4. Thiết kế cực – zero 2. Các bộ cộng hưởng Thiết kế một bộ lọc cộng hưởng bậc hai đơn giản, đáp ứng có một đỉnh đơn hẹp tại tần số 0 |H()|2 1 1/2  0 0 /2
23. 4. Thiết kế cực – zero j0 - Để tạo 1 đỉnh tại  = 0, đặt 1 cực p = R .e , 0 < R < 1 và cực liên hợp p* = R.e− j0 G H(z) = j0 −1 − j0 −1 p (1− R.e z )(1− R.e z ) G = −1 −2 0 1 1+ a1z + a2 z - 0 p* 2 a1 = −2R cos0 , a2 = R
24. 4. Thiết kế cực – zero - Đáp ứng tần số: G H() = (1− R.e j0 e− j )(1− R.e− j0 e− j ) - Chuẩn hóa bộ lọc: H(0 ) =1 G H(0 ) = =1 (1− R.e j0 e− j0 )(1− R.e j0 e j0 ) 2 G = (1− R) 1− 2Rcos(20 ) + R
25. 4. Thiết kế cực – zero - Độ rộng 3-dB fullwidth: độ rộng tại ½ cực đại của đáp ứng biên độ bình phương 2 1 2 1 H () = H ( ) = 2 0 2 H() 1 - Tính theo dB: 20log10 =10log10 = −3dB H(0 ) 2 - Giải ra 2 nghiệm 1 và 2 =>  = 2 - 1
26. 4. Thiết kế cực – zero - Chứng minh được:  2 ( 1 − R ) khi p nằm gần đường tròn (xem sách) → dùng xác định giá trị R dựa trên băng thông  cho trước. Ví dụ: thiết kế bộ lọc cộng hưởng 2 cực, đỉnh f0 = 500Hz và độ rộng  = 32kHz, tốc độ lấy mẫu fs = 10kHz
27. 4. Thiết kế cực – zero - Phương pháp chung: đặt 1 cặp zero gần các cực theo j0 * − j0 cùng hướng các cực, tại a 1 = r .e và a1 = r.e với 0 r 1 - Hàm truyền: (1− r.e j0 z −1 )(1− r.e− j0 z −1 ) 1+ b z −1 + b z −2 H(z) = = 1 2 j0 −1 − j0 −1 −1 −2 (1− R.e z )(1− R.e z ) 1+ a1z + a2 z a = −2Rcos , a = R2 với 1 0 2 2 b1 = −2r cos0 , b2 = r
28. 4. Thiết kế cực – zero |H()|2 r R (cut) 0 0 