Bài giảng Xử lý số tín hiệu - Chương 5: Biến đổi Z

Nội dung text: Bài giảng Xử lý số tín hiệu - Chương 5: Biến đổi Z

1. Xử lý số tín hiệu Chương 5: Biến đổi Z
2. 1. Định nghĩa ⚫ Biến đổi Z của tín hiệu rời rạc thời gian x(n): + X (z) =  x(n)z −n n=− = + x(−2)z 2 + x(−1)z + x(0) + x(1)z −1 + x(2)z −2 + ⚫ Hàm truyền của bộ lọc có đáp ứng xung h(n) + H (z) = h(n)z −n n=−
3. 2. Các tính chất cơ bản a. Tính tuyến tính Z A1x1(n) + A2 x2 (n) ⎯⎯ → A1X1(z) + A2 X 2 (z) b. Tính trễ x(n)⎯⎯Z → X (z) x(n − D)⎯⎯Z →z−D X (z) c. Tính chập y(n) = h(n) x(n) Y(z) = X(z)H(z)
4. 2. Các tính chất cơ bản Ví dụ 1 Dùng u(n) − u(n −1) =  (n) và tính chất của biến đổi Z, xác định biến đổi Z của: a) x(n) = u(n) b) x(n) = -u(-n-1) Ví dụ 2 Dùng biến đổi Z tính tích chập của bộ lọc và tín hiệu ngõ vào sau: h = [1, 2, -1, 1] x = [1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 1]
5. 3. Miền hội tụ Miền hội tụ (Region of convergence – ROC) của X(z): ROC = z C X(z)  Ví dụ 1: x(n) = (0.5)nu(n) Biến đổi Z: + + X (z) = (0.5)n u(n)z −n = (0.5z −1)n z-plane n=− n=0 z Tổng hội tụ khi ROC 0.5z −1 1 z 0.5 ROC = z C z 0.5 1 (0.5)n u(n)⎯⎯Z → , z 0.5 1− 0.5z −1
6. 3. Miền hội tụ Ví dụ 2: x(n) = -(0.5)nu(-n -1) Biến đổi Z: −1 + X (z) = − (0.5)n z −n = −[(0.5)−1 z]m n=− m=1 ROC = z C z 0.5 z-plane z ⚫ Kết quả: 1 ROC − (0.5)n u(−n −1) ⎯⎯Z → , z 0.5 1− 0.5z −1
7. 3. Miền hội tụ n Z 1 ⚫ Tổng quát: a u(n) ⎯⎯ → , z a 1− az −1 1 − anu(−n −1) ⎯⎯Z → , z a 1− az −1 z-plane z-plane a a ROC cực cực ROC
8. 4. Tính nhân quả và ổn định ⚫ Tín hiệu nhân quả dạng: n n x(n) = A1 p1 u(n) + A2 p2u(n) + có biến đổi Z là: A1 A2 X (z) = −1 + −1 + 1− p1z 1− p2 z Với ROC: z max pi i p4 p 1 p2 p3 ROC
9. 4. Tính nhân quả và ổn định ⚫ Tín hiệu phản nhân quả dạng: n n x(n) = −A1 p1 u(−n −1) − A2 p2u(−n −1) − cũng có biến đổi Z là: A1 A2 X (z) = −1 + −1 + 1− p1z 1− p2 z Với ROC: z min pi i p4 p 1 p2 p3 ROC
10. 4. Tính nhân quả và ổn định Ví dụ Xác định biến đổi z và miền hội tụ của a. x(n) = (0.8)nu(n) + (1.25)nu(n) b. x(n) = (0.8)nu(n) - (1.25)nu(-n-1) c. x(n) = -(0.8)nu(-n-1) - (1.25)nu(-n-1) d. x(n) = - (0.8)nu(- n – 1) + (1.25)nu(n)
11. 4. Tính nhân quả và ổn định x(n) ổn định ROC có chứa vòng tròn đơn vị Các trường hợp: p4 p4 p4 p1 p p2 1 p2 p3 p3 p3 p1 ROC p2 ROC ROC vòng tròn đơn vị vòng tròn đơn vị vòng tròn đơn vị
12. 5. Phổ tần số + n ⚫ Biến đổi Z của x(n): X (z) =  x(n)z n=− + − j2 fnT ⚫ Biến đổi DTFT của x(n): X ( f ) =  x(n)e n=− 2 f ⚫ Đặt  = 2 fT = (Tần số số) fs + − jn ➔ X () =  x(n)e = X (z) j n=− z=e Đây chính là biến đổi Z trên vòng tròn đơn vị.
13. 5. Phổ tần số ⚫ Đáp ứng tần số của hệ thống h(n) với hàm truyền H(z): + H() = h(n)e− jn = H(z) j n=− z=e ⚫ X(f), H(f) tuần hoàn với chu kỳ fs ➔ X(ω), H(ω) tuần hoàn chu kỳ 2π (- π ≤ ω ≤ π) ⚫ DTFT ngược: 1 1 fS / 2 x(n) = X ()e jnd = X ( f )e j2 fn/ fS df 2 f − S − fS / 2
14. 6. Phổ tần số ejω Mặt phẳng Z ω = π ω = 0 0 Vòng tròn đơn vị Điều kiện tồn tại X(ω): ROC của X(z) chứa vòng tròn đơn vị ↔ x(n) ổn định
15. 6. Phổ tần số −1 1− z1z z − z1 ⚫ Xét X(z): X (z) = −1 = 1− p1z z − p1 ⚫ X(z) có 1 cực z = p1 và 1 zero z = z1 ⚫ Thay z = ejω, j j e − z e − z1 X () = 1 = X () = j j e − p1 e − z2
16. 6. Phổ tần số |z-p1| ejω |z-z | 1 |X(ω)| pole p 1 z1 ω1 zero φ1 1 0 0 φ1 ω1 ω
17. 7. Biến đổi Z ngược ⚫ Đưa X(z) về dạng A1 A2 X (z) = −1 + −1 + 1− p1z 1− p2 z Tùy theo ROC, suy ra x(n) 1 1 Ví dụ: X (z) = + 1− 0.8z −1 1−1.25z −1 ⚫ ROC={z,|z|<0.8} ➔ x(n) = -0.8nu(-n-1)-1.25nu(-n-1) ⚫ ROC={z, 0.8<|z|<1.25} ➔ x(n) = 0.8nu(n) – 1.25nu(-n-1) ⚫ ROC={z, 1.25 < |z|} ➔ x(n) = 0.8nu(n) + 1.25nu(n)
18. 7. Biến đổi Z ngược ⚫ Pp khai triển phân số từng phần: N(z) N(z) X (z) = = −1 −1 −1 D(z) (1− p1z )(1− p2 z ) (1− pM z ) ⚫ Khi bậc của N(z) nhỏ hơn M: A1 A2 AM X (z) = −1 + −1 + + −1 1− p1z 1− p2 z 1− pM z ⚫ Với A = (1− p z−1 )X (z) i i z= pi