Bài giảng Xử lý số tín hiệu - Chương 3: Các hệ thống thời gian rời rạc - Lê Tiến Thường

Nội dung text: Bài giảng Xử lý số tín hiệu - Chương 3: Các hệ thống thời gian rời rạc - Lê Tiến Thường

1. BABAØIØI GIAGIAÛNGÛNG XXÖÛÖÛ LYLYÙÙ SOSOÁÁ TTÍÍNN HIEHIEÄUÄU BieânBieân soasoaïïnn:: PGS.TSPGS.TS LEÂLEÂ TIETIEÁÁNN THTHÖÖÔÔØØNGNG Tp.HCM, 02-2005
2. CHUÔNGCHUÔNG 3:3: CACAÙÙCC HEHEÄÄ THOTHOÁNGÁNG THÔTHÔØIØI GIANGIAN RÔRÔØIØI RARAÏCÏC 3.1. Quytaécvaøora(Input/Output Rules). 3.2.3.2. TuyeTuyeáánn ttíínhnh vavaøø babaátát biebieánán 3.3.3.3. ÑÑaaùùpp öùöùngng xungxung 3.4.3.4. BoBoää loloïïcc FIRFIR vavaøø IIR.IIR. 3.5.3.5. TTíínhnh nhaânnhaân quaquaûû vavaøø ooånån ññònhònh
3. CHUÔNGCHUÔNG 3:3: CACAÙÙCC HEHEÄÄ THOTHOÁNGÁNG THÔTHÔØIØI GIANGIAN RÔRÔØIØI RARAÏCÏC Caùc heä thoáng thôøi gian rôøi raïc ñaëc bieät laø caùc heä thoáng tuyeán tính baát bieán theo thôøi gian (Linear Time Invariant systems) goïi taét laø LTI. Quan heä giöõa ngoõ ra vaø ngoõ vaøo theå hieän qua pheùp toaùn chaäp thôøi gian rôøi raïc (discrete- time convolution) ñaùp öùng xung cuûa heä thoáng vaø ngoõ vaøo. Caùc heä thoáng LTI coù theå ñöôïc phaân chia thaønh hai loaïi goïi laø FIR (Finite Impulse Response) vaø IIR (Infinite Impulse Response) tuøy thuoäc vaøo ñaùp öùng xung cuûa chuùng höõu haïn hay voâ haïn. Tuøy thuoäc vaøo öùng duïng cuõng nhö phaàn cöùng, hoaït ñoäng cuûa moät boä loïc soá FIRcoù theå toå chöùc thaønh daïng khoái (block) hoaëc daïng maãu-theo-maãu (sample- by-sample).
4. CHUÔNGCHUÔNG 3:3: CACAÙÙCC HEHEÄÄ THOTHOÁNGÁNG THÔTHÔØIØI GIANGIAN RÔRÔØIØI RARAÏCÏC 3.1. Quy taéc vaøo ra (Input/Output Rules). Trong phöông phaùùp bieáná ñoååi sample-to-sample quy taééc I/O ñöôïcï xem nhö phöông phaùùp xöû lyùù töùc thôøøi: H {}x0 , x1 , x2 ,", xn ," ⎯⎯→⎯ {}y0 , y1 , y2 ,", yn ," H H H nghóa laø,ø x 0 ⎯ ⎯→ y 0 , x 1 ⎯ ⎯→ y 1 , x 2 ⎯ ⎯→ y , v, v . Trong phöông phaùùp xöû lyùù töøng khoáiá , moäät chuoãi ñaààu vaøøo ñöôïïc xem nhö laøø moäät khoáiá , moäät vector tín hieääu ñöôïïc heää thoááng xöû lyùù cuøøng moäät luùcù ñeåå taïoï ra moäät khoáái ngoõ ra töông öùng: ⎡x0 ⎤ ⎡y0 ⎤ ⎢x ⎥ ⎢y ⎥ x = ⎢ 1 ⎥ ⎯⎯→H⎯ ⎢ 1 ⎥ = y ⎢x2 ⎥ ⎢y2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ # ⎦ ⎣ # ⎦
5. CHUÔNGCHUÔNG 3:3: CACAÙÙCC HEHEÄÄ THOTHOÁNGÁNG THÔTHÔØIØI GIANGIAN RÔRÔØIØI RARAÏCÏC 3.1. Quy taéc vaøo ra (Input/Output Rules). Nhö vaäy quy taéc I/O aùnh xaï moät vector ñaàu vaøo x thaønh moät vector ñaàu ra y theo moät aùnh xaï: y = H [ x ] (3.1.1) Moät soá ví duï veà heä thoáng thôøi gian rôøi raïc minh hoïa cho nhieàu quy taéc I/O: Ví duï 3.1.1: Ñôn giaûn chæ laø tyû leä ñaàu vaøo: H {}x0, x1, x2, x3, x4," ⎯⎯→⎯ {2x0,2x1,2x2,2x3,2x4,"} Ví duï 3.1.2: Ñaây laø trung bình coäng coù troïng soá cuûa lieân tieáp caùc maãu ñaàu vaøo. Taïi moãi thôøi ñieåm nhaân quaû, heä thoáng phaûi ghi nhôù caùc maãu tröôùc ñoù vaø ñeå söû duïng chuùng.
6. CHUÔNGCHUÔNG 3:3: CACAÙÙCC HEHEÄÄ THOTHOÁNGÁNG THÔTHÔØIØI GIANGIAN RÔRÔØIØI RARAÏCÏC 3.1. Quy taéc vaøo ra (Input/Output Rules). Ví duï 3.1.3: trong ví duï naøy, quy taéc I/O cho thaáy moät phöông phaùp xöû lyù ñöôïc hình thaønh töø pheùp bieán ñoåi tuyeân tính bieán ñoåi moät khoái thaønh moät khoái ngoõ ra coù ⎡y0 ⎤ ⎡2 0 0 0⎤ chieàu daøi laø 6: ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢y1 ⎥ ⎢3 2 0 0⎥⎡x0 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢y2 ⎥ ⎢4 3 2 0⎥ x1 y = ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥⎢ ⎥ = Hx ⎢y3 ⎥ ⎢0 4 3 2⎥⎢x2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ y4 0 0 4 3 ⎣x3 ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢y5 ⎦⎥ ⎣⎢0 0 0 4⎦⎥
7. CHUÔNGCHUÔNG 3:3: CACAÙÙCC HEHEÄÄ THOTHOÁNGÁNG THÔTHÔØIØI GIANGIAN RÔRÔØIØI RARAÏCÏC 3.2. Tuyeán tính vaø baát bieán Moät heä thoáng tuyeán tính coù tính chaát laø caùc tín hieäu ngoõ ra laø do keát hôïp tuyeán tính giöõa 2 hay nhieàu tín hieäu ñaàu vaøo coù theå nhaän ñöôïc baèng caùch keát hôïp tuyeán tính caùc tín hieäu ngoõ ra rieâng leû. Ñoù laø, neáu vaø vaø ngoõ ra töø caùc ñaàu vaøo vaø , thì ngoõ ra do keát hôïp tuyeán tính ngoõ vaøo x()n = ax1 (n)+ a2 x(n) (3.2.1) coù theå nhaän ñöôïc töø keát hôïp tuyeán tính cuûa ngoõ ra y()n = a1 y1 (n)+ a2 y2 (n) (3.2.2)
8. CHUÔNGCHUÔNG 3:3: CACAÙÙCC HEHEÄÄ THOTHOÁNGÁNG THÔTHÔØIØI GIANGIAN RÔRÔØIØI RARAÏCÏC 3.2. Tuyeán tính vaø baát bieán Hình 3.2.1 Kieåm tra tính tuyeán tính Moät heä thoáng baát bieán theo thôøi gian laø khoâng thay ñoåi theo thôøi gian. Coù nghóa laø neáu hoâm nay ngoõ vaøo ñöôïc caáp vaøo heä thoáng ñeå taïo ra ngoõ ra naøo ñoù thì ngaøy hoâm sau vôùi cuøng maãu töông töï khi ñöa vaøo heä thoáng cuõng taïo ra cuøng ngoõ ra nhö nngaøy hoâm tröôùc.
9. CHUÔNGCHUÔNG 3:3: CACAÙÙCC HEHEÄÄ THOTHOÁNGÁNG THÔTHÔØIØI GIANGIAN RÔRÔØIØI RARAÏCÏC 3.2. Tuyeán tính vaø baát bieán Caùc toaùn töû chôø hay treã cuûa tín hieäu theo thôøi gian treã D ñöôïc bieåu dieãn trong hình 3.2.2. Noù chính laø dòch phaûi cuûa toaøn boä sang D maãu. Hình 3.2.2 Treã D maãu Moät thôøi gian ñi tröôùc coù D aâm vaø töông öùng dòch traùi caùc maãu cuûa x(n) .
10. CHUÔNGCHUÔNG 3:3: CACAÙÙCC HEHEÄÄ THOTHOÁNGÁNG THÔTHÔØIØI GIANGIAN RÔRÔØIØI RARAÏCÏC 3.2. Tuyeán tính vaø baát bieán Hình 3.2.3 Kieåm tra tính baát bieán Moâ hình toaùn hoïc cuûa quaù trình baát bieán coù theå ñöôïc theå hieän theo hình 3.2.3. Sô ñoà treân cho thaáy ngoõ vaøo ñöôïc aùp duïng vaøo heä thoáng taïo ngoõ ra. Sô ñoà beân döôùi cho thaáy maãu töông töï treã ñi D ñôn vò thôøi gian, ñoù laø tín hieäu:
11. CHUÔNGCHUÔNG 3:3: CACAÙÙCC HEHEÄÄ THOTHOÁNGÁNG THÔTHÔØIØI GIANGIAN RÔRÔØIØI RARAÏCÏC 3.2. Tuyeán tính vaø baát bieán xD(n) = x(n-D) (3.23) sau ñoù ñöôïc caáp vaøo heä thoáng ñeå taïo ra yD(n). Ñeåå kieåmå tra heää thoááng caààn so saùùnh vôùùi sau khi laøøm treã thôøiø gian D. Nhö vaääy neááu yD(n) = y(n-D) (3.24) thì heä thoáng seõ baát bieán theo thôøi gian. Coù theå bieåu dieãn döôùi daïng: H {}x0 , x1 , x2 ," ⎯⎯→{y0 , y1 , y2 ,"} sau ñoù H {}0,0,",0, x0 , x1 , x2 ," ⎯⎯→ {0,0,",0, y0 , y1 , y2 ,"} D zeros D Zeros
12. CHUÔNGCHUÔNG 3:3: CACAÙÙCC HEHEÄÄ THOTHOÁNGÁNG THÔTHÔØIØI GIANGIAN RÔRÔØIØI RARAÏCÏC 3.3. Ñaùp öùng xung Heäthoángtuyeántínhbaátbieáncoùtheåñaëctröngbaèng chuoãi ñaùp öùng xung h(n), xaùc ñònh nhö laø ñaùp öùng cuûa heä thoáng ñoái vôùi xung ñôn vò,δ ( n ) nhö hình 3.3.1. Ñaùp öùng xung ñôn vò laø rôøi raïc thôøi gian cuûa haøm töông töï Diracδ (t) vaø ñöôïc xaùc ñònh nhö sau: ⎧1 neáu n = 0 δ ()n = ⎨ ⎩0 neáu n ≠ 0 Hình 3.3.1 Ñaùp öùng xung cuûa heä thoáng LTI
13. CHUÔNGCHUÔNG 3:3: CACAÙÙCC HEHEÄÄ THOTHOÁNGÁNG THÔTHÔØIØI GIANGIAN RÔRÔØIØI RARAÏCÏC 3.3. Ñaùp öùng xung Nhö vaäy: δ (n)⎯⎯→H h(n) H hay: {1,0,0,0,"}⎯⎯→{h0 ,h1 ,h2 ,h3 ,"} Thôøi gian baát bieán nguï yù laø neáu xung ñôn vò ñöôïc laø treã hay dòch ñi moät thôøi gian D thì töông öùng ñaùp öùng xung ñôn vò seõ dòch moät khoaûng töông töï, ñoù la h(n-D)ø. Nhö vaäy: δ (n − D)⎯⎯→H h(n − D) cho baá kyø thôøi gian treã aâm hay döông D. Hình 3.3.2c cho thaáy tính chaát naøy vôùi D = 0, 1, 2. Noùi caùch khaùc, tính tuyeán tính haøm yù baát kyø keát hôïp tuyeán tính cuûa caùc ñaàu vaøo cuõng töông töï nhö laø caùc ñaàu ra töông öùng.
14. CHUÔNGCHUÔNG 3:3: CACAÙÙCC HEHEÄÄ THOTHOÁNGÁNG THÔTHÔØIØI GIANGIAN RÔRÔØIØI RARAÏCÏC 3.3. Ñaùp öùng xung Ví duï töø hình 3.3.2 seõ taïo thaønh toång caùc ngoõ ra, ñoù laø: H δ()n +δ(n−1)+δ(n−2)()⎯⎯→ h n +h(n−1)+h(n−2) hay, thoâng thöôøng laø keát hôïp tuyeán tính coù troïng soá cuûa ba ñaàu vaøo: x(0)δ (n)+ x(1)δ (n −1)+ x(2)δ (n − 2) nhö ñaõ trình baøy trong hình 3.3.3. Thoâng thöôøng moät chuoãi baát kyø coù theå xem nhö laø keát hôïp tuyeán tính cuûa quaù trình dòch vaø gaùn troïng soá caùc xung ñôn vò: x()n =x ()0δ(n)+x(1)δ(n−1)()+x2δ(n−2)+x(3)δ(n−3)+"
15. CHUÔNGCHUÔNG 3:3: CACAÙÙCC HEHEÄÄ THOTHOÁNGÁNG THÔTHÔØIØI GIANGIAN RÔRÔØIØI RARAÏCÏC 3.3. Ñaùp öùng xung Hình 3.3.2 Laøm treã ñaùp öùng xung cuûa heä thoáng Trong ñoù moãi soá haïng trong veá phaûi chæ khaùc khoâng chæ taïi thôøi gian treã, ví duï taïi n = 0 chæ coù soá haïng thöù nhaát khaùc 0.
16. CHUÔNGCHUÔNG 3:3: CACAÙÙCC HEHEÄÄ THOTHOÁNGÁNG THÔTHÔØIØI GIANGIAN RÔRÔØIØI RARAÏCÏC 3.3. Ñaùp öùng xung Tuyeán tính vaø baát bieán nguï yù laø chuoãi ngoõ ra töông öùng seõ nhaän ñöôïc baèng caùch thay moãi xung ñôn vò ñöôïc laøm treã bôûi caùc ñaùp öùng xung ñöôïc laøm treã, ñoù laø: y()n = x ()()0 h n + x(1)h(n −1)| +x(2)h(n − 2)+ x(3)h(n − 3)+" (3.3.1) hay vieát ruùt goïn laïi laø: y(n) = ∑ x(m)h(n − m) (LTI) (3.3.2) m Ñaây laøø tích chaääp (covolution) cuûûa chuoãi ñaààu vaøoø x(n) vôùùi chuoãi boää loïcï . Nhö vaääy heää thoááng LTI laøø heää thoááng chaääp voøngø .
17. CHUÔNGCHUÔNG 3:3: CACAÙÙCC HEHEÄÄ THOTHOÁNGÁNG THÔTHÔØIØI GIANGIAN RÔRÔØIØI RARAÏCÏC 3.3. Ñaùp öùng xung Hình 3.3.3 Ñaùp öùng keát hôïp tuyeán tính caùc ñaàu vaøo Thoâng thöôøng, toång coù theå môû roäng theo caùc giaù trò aâm cuûa m, phuï thuoäc vaøo tín hieäu ñaàu vaøo. Vì noù ñöôïc chöùng minh duøng tính chaát LTI cuûa heä thhoáng, phöông trình (3.3.2) coù theå xem nhö laø daïng LTI. Thay ñoåi chæ soá cuûa toång, coù theå chöùng minh daïng ngöôïc laïi nhö sau:
18. CHUÔNGCHUÔNG 3:3: CACAÙÙCC HEHEÄÄ THOTHOÁNGÁNG THÔTHÔØIØI GIANGIAN RÔRÔØIØI RARAÏCÏC 3.3. Ñaùp öùng xung y(n) = ∑ h(m)x(n − m) (direct form) (3.3.3) m
19. CHUÔNGCHUÔNG 3:3: CACAÙÙCC HEHEÄÄ THOTHOÁNGÁNG THÔTHÔØIØI GIANGIAN RÔRÔØIØI RARAÏCÏC 3.4. Boä loïc FIR vaø IIR Caùc heä thoáng LTI rôøi raïc coù theå phaân loaïi thaønh heä thoáng FIR hay IRR, ñoù laø noù coù ñaùp öùng xung h(n) höõu haïn hay voâ haïn nhö minh hoïa trong hình 3.4.1 Hình 3.4.1 Ñaùp öùng xung cuûa boä loïc IIR vaø FIR MoätboäloïcFIR coùñaùpöùngxungh(n) coùgiaùtròtreân khoaûng thôøi gian höõu haïn 0 ≤ n ≤ M vaø baèng khoâng ôû caùc giaù trò khaùc: {h0 ,h1 ,h2 ,",hM ,0,0,0,"}
20. CHUÔNGCHUÔNG 3:3: CACAÙÙCC HEHEÄÄ THOTHOÁNGÁNG THÔTHÔØIØI GIANGIAN RÔRÔØIØI RARAÏCÏC 3.4. Boä loïc FIR vaø IIR M ñöôïc xem nhö laø baäc cuûa boä loïc. Chieàu daøi cuûa vector ñaùp öùng xung h = {h0, h1, h2, , hM} laø: LH = M + 1 Caùc heä soá cuûa ñaùp öùng xung {h0, h1, h2, , hM} ñöôïc goïi theo nhieàu caùch khaùc nhau heä soá loïc (filter coefficients), filter weights, hay filter taps. Trong daïng direct cuûa tích chaäp trong phöông trình (3.3.3), taát caû caùc thaønh phaàn khi m > M vaø m < 0 seõ trieät tieâu bôûi vì caùc giaù trò h(m) cuûa baèng khoâng vôùi nhöõng giaù trò m ñoù, chæ coù caùc giaù trò 0 ≤ m ≤ M laø toàn taïi. Vì theá, phöông trình (3.3.3) ñöôïc ñôn giaûn nhö sau: M y ()n = ∑ h (m )(x n − m ) (P/t boä loïc FIR) (3.4.1) m = 0
21. CHUÔNGCHUÔNG 3:3: CACAÙÙCC HEHEÄÄ THOTHOÁNGÁNG THÔTHÔØIØI GIANGIAN RÔRÔØIØI RARAÏCÏC 3.4. Boä loïc FIR vaø IIR hay khai trieån ra laø: y(n) = h0x(n) + h1x(n-1) + h2x(n-2) + + hMx(n-M) (3.4.2) Nhö vaäy, phöông trình I/O nhaän ñöôïc töø toång coù troïng soá cuûa caùc maãu ñaàu vaøo hieän taïi vaø M maãu tröôùc ñoù: x(n-1), x(n-3), x(n-3), , x(n-M) Ví duï 3.4.1: Boä loïc FIR baäc hai ñöôïc ñaëc tröng bôûi ba heä soáñaùpöùngxungh = [h0,h1, h2]vaø coù phöông trình I/O: y(n) = h0x(n) + h1x(n – 1) + h2x(n – 2) Nhö vaäy trong tröôøng hôïp ví duï 3.1.2, coù h = [2, 3, 4].
22. CHUÔNGCHUÔNG 3:3: CACAÙÙCC HEHEÄÄ THOTHOÁNGÁNG THÔTHÔØIØI GIANGIAN RÔRÔØIØI RARAÏCÏC 3.4. Boä loïc FIR vaø IIR Ví duï 3.4.2 Töông töï, boä loïc baäc ba FIR ñöôïc ñaëc tröng bôûi boán troïng soá h = [h0,h1, h2, h3]vaø coù phöông trình I/O: y(n) = h0x(n) + h1x(n-1) + h2x(n-2) + h3x(n-3) Ví duï 3.4.3 Xaùc ñònh ñaùp öùng xung h cuûa boä loïc FIR sau: (a) y(n) = 2x(n) + 3x(n-1) + 5x(n-2) + 2x(n-3) (b) y(n) = x(n) - 4x(n-4) Solution: So saùnh phöông trình I/O vôùi phöông trình (3.4.2), xaùc ñònh heä soá ñaùp öùng xung: (a) h = [2, 3, 5, 2] (b) h = [1, 0, 0, 0, -4]
23. CHUÔNGCHUÔNG 3:3: CACAÙÙCC HEHEÄÄ THOTHOÁNGÁNG THÔTHÔØIØI GIANGIAN RÔRÔØIØI RARAÏCÏC 3.4. Boä loïc FIR vaø IIR Hay, khi cho moät xung ñôn vò laøm ñaàu vaøo, x(n) = d(n), thì ngoõ ra laø chuoãi caùc ñaùp öùng xung, y(n) = h(n): (a) h(n) = 2d(n) + 3d(n – 1) + 5d(n – 2) + 2d(n – 3) (b) h(n) = d(n) – d(n – 4) caùc bieåu thöùc h(n) vaø h töông ñöông. Ngöôïc laïi, moät boä loïc IIR, coù khoaûng thôøi gian ñaùp öùng xung h(n) xaùc ñònh treân khoaûng thôøi gian voâ haïn 0 ≤ n < •. phöông trình (3.3.3) coù voâ soá caùc soá haïng: ∞ y()n = ∑ h (m )(x n − m ) (phöông trình boä loïc IIR) (3.4.3) m=0
24. CHUÔNGCHUÔNG 3:3: CACAÙÙCC HEHEÄÄ THOTHOÁNGÁNG THÔTHÔØIØI GIANGIAN RÔRÔØIØI RARAÏCÏC 3.4. Boä loïc FIR vaø IIR Phöông trình I/O khoâng coù khaû naêng tính toaùn bôûi vì khoâng theå tính toaùn moät soá löôïng voâ haïn caùc soá haïng. Vì theá phaûi giôùi haïn boä loïc IIR thaønh caùc lôùp phuï, trong ñoù moät soá voâ haïn caùc heä soá boä loïc {h0, h1, h2, } khoâng ñöôïc choïn moät caùch tuøy yù, maø caùc lôùp ñöôïc gheùp vôùi nhau qua caùc heä soá haèng tuyeán tính cuûa phöông trình vi sai. Ví duï 3.4.8: Xaùc ñònh daïng chaäp voøng vaø ñaùp öùng xung cuûa boä loïc IIR ñöôïc moâ taû bôûi phöông trình vi sai sau: y(n) = 0,25y(n –2) + x(n)
25. CHUÔNGCHUÔNG 3:3: CACAÙÙCC HEHEÄÄ THOTHOÁNGÁNG THÔTHÔØIØI GIANGIAN RÔRÔØIØI RARAÏCÏC 3.4. Boä loïc FIR vaø IIR Giaûi: Ñaùp öùng xung h(n) seõ thoûa phöông trình vi sai: h(n) = 0,25h(n –2) + d(n) vôùi h(–2) = h(–1) = 0. Moät vaøi laàn laëp seõ cho: h(0) = 0,25h(–2) + d(0) = 1 h(1) = 0,25h(–1) + d(1) = 0 h(2) = 0,25h(0) + d(2) = 0,25 = 0,52 h(3) = 0,25h(1) + d(3) = 0 h(4) = 0,25h(2) + d(4) = 0,252 = 0,54 Vaø thoâng thöôøng, vôùi n ≥0. Coùtheåvieáttöôngñöông:
26. CHUÔNGCHUÔNG 3:3: CACAÙÙCC HEHEÄÄ THOTHOÁNGÁNG THÔTHÔØIØI GIANGIAN RÔRÔØIØI RARAÏCÏC 3.4. Boä loïc FIR vaø IIR ⎧(0.5)n , neáu n = chaún h()n = ⎨ ⎩0, neáu n = leû Coù theå vieát töông ñöông: h ={1, 0, 0.52, 0, 0.54, 0,. . .} Vaø phöông trình (3.4.3) trôû thaønh: y(n) = x(n) + 0.52x(n – 2) + 0.252x(n – 4) Töø ñoù cho keát quaû laø phöông trình vi sai Ví duï 3.4.9: xaùc ñònh phöông trình vi sai I/O cuûa boä loïc IIR theo ñaùp öùng chu kyø nhaân quaû sau: h ={2, 3, 4, 5, 2, 3, 4, 5, 2, 3, 4, 5, . . .} trong ñoù laø chu kyø laëp laïi cuûa boán maãu:
27. CHUÔNGCHUÔNG 3:3: CACAÙÙCC HEHEÄÄ THOTHOÁNGÁNG THÔTHÔØIØI GIANGIAN RÔRÔØIØI RARAÏCÏC 3.4. Boä loïc FIR vaø IIR Giaûi: Neáu laøm treã ñaùp öùng moät chu kyø, ñoù laø boán maãu seõ coù: h(n – 4) ={0, 0, 0, 0, 2, 3, 4, 5, 2, 3, 4, 5, 2, 3, 4, 5, . . .} h(n) tröø ñi seõ coù: h(n) – h(n – 4) = {2, 3, 4, 5, 0, 0, 0, 0,. . .} vôùi taát caûc caùc maãu loùn hôn 4 seõ trieät tieâu. Caùc toaùn töû seõ ñöôïc minh hoïa nhö sau:
28. CHUÔNGCHUÔNG 3:3: CACAÙÙCC HEHEÄÄ THOTHOÁNGÁNG THÔTHÔØIØI GIANGIAN RÔRÔØIØI RARAÏCÏC 3.4. Boä loïc FIR vaø IIR Nhö vaäy, veá phaûi chæ khaùc khoâng khi n = 0, 1, 2, 3 vaø coù theå vieát laïi theo phöông trình vi sai nhö sau: h(n) – h(n – 4) = 2d(n) + 3d(n – 1) + 4d(n – 2) + 5d(n – 3) hay tính ra cho h(n): h(n) = h(n – 4) + 2d(n) + 3d(n – 1) + 4d(n – 2) + 5d(n – 3) Duøng phöông phaùp cuûa ví duï tröôùc, coù theå thaáy y(n) thoûa phöông trình vi phaân töông töï: yn = yn – 4 + 2xn + 3xn-1 + 4xn-2 + 5xn-3
29. CHUÔNGCHUÔNG 3:3: CACAÙÙCC HEHEÄÄ THOTHOÁNGÁNG THÔTHÔØIØI GIANGIAN RÔRÔØIØI RARAÏCÏC 3.4. Boä loïc FIR vaø IIR Ví duï naøy cho thaáy caùch taïo daïng soùng soá chu kyø. Ñoái vôùi daïng soùng ñöôïc phaùt ra duøng ñaùp öùng xung cuûa heä thoáng LTI, caàn phaûi xaùc ñònh phöông trình vi sai, vaø sau ñoù taùc ñoäng vaøo moät xung, vaø sau ñoù noù seõ phaùt ra caùc ñaùp öùng xung laø daïng soùng mong muoán. Thoâng thöôøngø boää loïïc IIR vôùùi ñaùùp öùng xung h(n) coùù daïïng: M L h()n = ∑ ai h ()n − i + ∑biδ ()n − i hay khai trieåån: i=1 i=0 hn = a1hn−1 + a2 hn−2 +"+ aM hn−M + b0δ n + b1δ n−1 +"+ bn−L Duøngø phöông phaùùp trong ví duïï 3.4.7 coùù theåå thaááy phöông trình voøngø chaääp ñöôïïc ruùùt ra nhö sau:
30. CHUÔNGCHUÔNG 3:3: CACAÙÙCC HEHEÄÄ THOTHOÁNGÁNG THÔTHÔØIØI GIANGIAN RÔRÔØIØI RARAÏCÏC 3.4. Boä loïc FIR vaø IIR M L y()n = ∑ai y ()n−i +∑bi x ()n−i i=1 i−0 hay vieát roõ raøng yn =a1yn−1+a2yn−2+"+aMyn−M+b0xn+b1xn−1+"+bLxn−L
31. CHUÔNGCHUÔNG 3:3: CACAÙÙCC HEHEÄÄ THOTHOÁNGÁNG THÔTHÔØIØI GIANGIAN RÔRÔØIØI RARAÏCÏC 3.5. Tính nhaân quaû vaø oån ñònh Gioáng nhö tính hieäu töông töï, tín hieäu soá cuõng ñöôïc phaân loaïi thaønh tính hieäu nhaân quaû, khoâng nhaân quaû vaø tính hieäu trung gian, gioáng nhö hình 3.5.1. Moätä tín hieäuä nhaân quaûû (causual) laøø tín hieäuä chæ toààn taïïi khi n ≥ 0 vaøø trieäät tieâu vôùùi caùùc giaùù trò n ≤ -1. Tín hieäuä nhaân quaûû laøø loaïiï tín hieääu phoåå bieáán nhaáát bôûûi vì ñoùù laøø tín hieääu thöôøøng phaùtù ra trong caùùc phoøøng thí nghieääm hoaëëc khi môûû maùùy phaùtù nguoànà tín hieääu. Moätä tín hieääu khoâng nhaân quaûû laøø tín hieääu chæ toànàn taïïi khi n ≤ -1 vaøø trieäät tieâu khi n ≥ 0. Tín hieääu trung gian laøø tín hieäuä toànà taïiï caûû trong hai mieààn thôøøi gian noùùi treân.
32. CHUÔNGCHUÔNG 3:3: CACAÙÙCC HEHEÄÄ THOTHOÁNGÁNG THÔTHÔØIØI GIANGIAN RÔRÔØIØI RARAÏCÏC 3.5. Tính nhaân quaû vaø oån ñònh Hình 3.5.1 Tín hieäu nhaân quaû, khoâng nhaân quaû vaø hai phía Caùc heä thoáng LTI cuõng coù theå phaân loaïi theo tính chaát nhaân quaû döïa vaøo ñaùp öùng xung h(n) nhaân quaû, khoâng nhaân quaû hay laø tín hieäu hai phía. Ñoái vôùi tín hieäu hai phía, treân toaøn daûi -• < n < + •, phuông trình chaäp voøng coùtheåvieátnhösau:
33. CHUÔNGCHUÔNG 3:3: CACAÙÙCC HEHEÄÄ THOTHOÁNGÁNG THÔTHÔØIØI GIANGIAN RÔRÔØIØI RARAÏCÏC 3.5. Tính nhaân quaû vaø oån ñònh ∞ y()n = ∑h (m )(x n − m ) m=−∞ Nhö vaäy caùc heä thoáng coù theå thöïc hieän trong thôøi gian thöïc, vaø coù theå vieát laïi nhö sau: yn ="+h−2xn+2 +h−1xn+1 +h0xn +h1xn−1 +h2xn−2 +" nhö vaäy vieäc tính ngoõ ra y(n) taïi thôøi ñieåm n caàn phaûi bieát caùc maãu töông lai x(n+1), x(n+2), , nhöng thöïc teá chöa xuaát hieän ñeå xöû lyù. BoäloïccheønvaølaømtrônFIR phuï thuoäc vaøo caùc boä loïc hai phía trong ñoù khoâng chæ coù phaàn khoâng nhaân quaû höõu haïn maø coøn coù khoaûng thôøi gian khoâng nhaân quaû höõu haïn –D ≤ n ≤ D
34. CHUÔNGCHUÔNG 3:3: CACAÙÙCC HEHEÄÄ THOTHOÁNGÁNG THÔTHÔØIØI GIANGIAN RÔRÔØIØI RARAÏCÏC 3.5. Tính nhaân quaû vaø oån ñònh Nhö caùc boä loïc trình baøy trog hình 3.5.2. Thoâng thöôøng phaàn nhaân quaû cuûa h(n) coù theå höõu haïn hay voâ haïn. Phuông trình I/O (3.5.1) thuoäc lôùp boä loïc naøy. Hình 3.5.2 Boä loïc khoâng nhaân quaû höõu haïn vaø daïng nhaân quaû cuûa noù.
35. CHUÔNGCHUÔNG 3:3: CACAÙÙCC HEHEÄÄ THOTHOÁNGÁNG THÔTHÔØIØI GIANGIAN RÔRÔØIØI RARAÏCÏC 3.5. Tính nhaân quaû vaø oån ñònh ∞ y()n = ∑ h (m )(x n − m ) (3.5.2) m=−D Moäät kyõ thuaätä chuaåån ñeåå giaûûi quyeáát boää loïïc naøøy laøø cho noùù nhaân quaûû baèngè caùùch laøøm treã thôøøi gian D, ñoùù laøø hD(n) = h(n – D) Nhö trình baøy trong hình 3.5.2, toaùn töû naøy dòch h(n) sang veá phaûi D ñôn vò laøm cho noù nhaân quaû. Phuông trình boä loïc I/O cho boä loïc nhaân quaû hD(n) seõ laøø: ∞ (3.5.3) y D ()n = ∑ h D (m )(x n − m ) m − 0
36. CHUÔNGCHUÔNG 3:3: CACAÙÙCC HEHEÄÄ THOTHOÁNGÁNG THÔTHÔØIØI GIANGIAN RÔRÔØIØI RARAÏCÏC 3.5. Tính nhaân quaû vaø oån ñònh Vaø coù theå thöïc hieän trong thôøi gian thöïc. Keát quaû coù theå ruùt ra yD(n) deã daøng baèng caùch laøm treã y(n) trong phöông trình (3.5.2) nhö sau: yD(n) = y(n – D) Ví duï 3.5.1: Xeùt boä loïc laøm trôn 5-tap cuûa ví duï 3.1.7 coù heä soá loïc h(n) = 1/5 trong -2 ≤ n ≤2. Phöông trình chaäp voøngI/O töôngöùngnhösau: 2 1 2 y()n = ∑ h (m )(x n − m )= ∑ x()n − m m=−2 5 m=−2 1 = []x()()()()()n+2 +x n+1 +x n +x n−1 +x n−2 5
37. CHUÔNGCHUÔNG 3:3: CACAÙÙCC HEHEÄÄ THOTHOÁNGÁNG THÔTHÔØIØI GIANGIAN RÔRÔØIØI RARAÏCÏC 3.5. Tính nhaân quaû vaø oån ñònh Noù ñöôïc goïi laø trung bình hay laøm trôn bôûi vì taïi moãi thôøi ñieåm n, giaù trò x(n) ñöôïc thay theá bôûi trung bình cuûa noù vôùi hai giaù trò tröôùc vaø sau noù. Vì theá noù laø baèng phaúng bôùt caùc thay ñoåi baát thöôøng töø maãu sang maãu. Noù coù phaàn khoâng nhaân quaû coù khoaûng thôøi gian D = 2 vaø coù theå laøm cho nhaân quaû baèng caùch laøm treã hai ñôn vò, keát quaû laø: 1 y ()n = y (n−2 )= []x()()()()()n + x n−1 + x n−2 + x n−3 + x n−4 2 5 Ngoaøi tính chaát nhaân quaû heä thoáng LTI coù theå phaân loaïi thaønh caùc tính chaát oån ñònh.
38. CHUÔNGCHUÔNG 3:3: CACAÙÙCC HEHEÄÄ THOTHOÁNGÁNG THÔTHÔØIØI GIANGIAN RÔRÔØIØI RARAÏCÏC 3.5. Tính nhaân quaû vaø oån ñònh Moät heä thoáng LTI oån ñònh laø moät heä thoáng maø toaøn boä ñaùp öùng xung h(n) tieán veà 0 khi n -> ±•, cho neân ngoõ ra y(n) cuûa heä thoáng seõ khoâng bao giôø phaân kyø, noù toàn taïi moät caän |y(n)| ≤ B neáu ñaàu vaøo bò giôùi haïn |x(n)| ≤ A. Ñoù laø heä thoáng oån ñònh neáu ñaàu vaøo coù giôùi haïn vaø taïo ra ñaàu ra cuõng coù giôùi haïn. Ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå heä thoáng LTI oån ñònh ñoù laø ñaùp öùng xung thoûa: ∞ ∑ h ()n < ∞ ñieàu kieän oån ñònh (3.5.4) n = −∞
39. CHUÔNGCHUÔNG 3:3: CACAÙÙCC HEHEÄÄ THOTHOÁNGÁNG THÔTHÔØIØI GIANGIAN RÔRÔØIØI RARAÏCÏC 3.5. Tính nhaân quaû vaø oån ñònh Ví duï 3.5.2: Xeùt boán maãu sau : a) h(n) = (0.5)nu(n) oån ñònh vaø nhaân quaû b) h(n) = –(0.5)nu(–n –1) khoâng oån ñònh vaø khoâng nhaân quaû c) h(n) = –(0.5)nu(– n – 1) khoâng oån ñònh vaø nhaân quaû d) h(n) = –(0.5)nu(–n –1) oån ñònh vaø khoâng nhaân quaû Coù hai tröôøng hôïp nhaân quaû, söï toàn taïi cuûa böôùc ñôn vò u(n) laø cho h(n) seõ khaùc khoâng chæ khi n ≥ 0, trong khi ñoù trong tröôøng hôïp phi nhaân quaû do coù u(– n – 1) laøm cho h(n) khaùc khoâng khi n ≤ – 1. Ví duï ñaàu tieân laø coù khuynh höôùng giaûm theo haøm muõ khi n –> •. D thöù hai phaân kyø khi n –> – •. Thaät vaäy do n aâm neán coù theá vieát n = -|n| vaø
40. CHUÔNGCHUÔNG 3:3: CACAÙÙCC HEHEÄÄ THOTHOÁNGÁNG THÔTHÔØIØI GIANGIAN RÔRÔØIØI RARAÏCÏC 3.5. Tính nhaân quaû vaø oån ñònh n −n n h()n =− (0.5 )u(−n−1) =−(0.5) u()−n−1 =−2 u(−n−1) nhö vaäy noù seõ taêng leân vôùi caùc giaù trò lôùn n aâm. Ví duï thöù ba taêng khi n –> • vaø ví duï thöù tö taêng khi n –> -•. Noù coù theå ruùt ra töø: n − n n h()n = −2 u(−n−1) = −2 u(−n−1) = −(0.5) u(−n−1)