›
›

Bài giảng Tín hiệu và Hệ thống - Lê Vũ Hà

pdf 108 trang phuongnguyen 120
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Tín hiệu và Hệ thống - Lê Vũ Hà", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfbai_giang_tin_hieu_va_he_thong_le_vu_ha.pdf

Nội dung text: Bài giảng Tín hiệu và Hệ thống - Lê Vũ Hà

  1. CHƯƠNG I TÍN HIỆU Lê Vũ Hà ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI Trường Đại học Công nghệ 2009 Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 1 / 27
  2. Các Loại Tín Hiệu và Tính Chất Tín hiệu là gì? Đại lượng vật lý thể hiện một quá trình thông tin về một hiện tượng. Có thể biểu diễn dưới dạng hàm theo thời gian liên tục hay rời rạc. Biểu diễn toán học: hàm của một hay nhiều biến độc lập Âm thanh: hàm của một biến thời gian t. Hình ảnh động: hàm của ba biến x, y, t. Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 2 / 27
  3. Các Loại Tín Hiệu và Tính Chất Tín hiệu liên tục và tín hiệu rời rạc Tín hiệu liên tục và rời rạc theo thời gian Tín hiệu theo thời gian liên tục (tín hiệu liên tục): Có thể thay đổi tại bất cứ thời điểm nào. Thường có bản chất tự nhiên. Tín hiệu theo thời gian rời rạc (tín hiệu rời rạc): Chỉ thay đổi tại những thời điểm nhất định. Có thể được tạo ra bằng cách lấy mẫu một tín hiệu liên tục tại những thời điểm nhất định. Thường liên quan tới các hệ thống nhân tạo. Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 3 / 27
  4. Các Loại Tín Hiệu và Tính Chất Tín hiệu liên tục và tín hiệu rời rạc Tín hiệu liên tục và rời rạc theo giá trị Tín hiệu có giá trị liên tục: giá trị của tín hiệu thay đổi một cách liên tục. Tín hiệu có giá trị rời rạc: giá trị của tín hiệu thay đổi không liên tục. Tín hiệu tương tự và tín hiệu số Tín hiệu tương tự: tín hiệu liên tục theo thời gian và có giá trị liên tục. Tín hiệu số: tín hiệu rời rạc theo thời gian và có giá trị được lượng tử hóa → có giá trị rời rạc. Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 4 / 27
  5. Các Loại Tín Hiệu và Tính Chất Tín hiệu tuần hoàn và tín hiệu không tuần hoàn Tín hiệu tuần hoàn: tín hiệu có giá trị lặp lại theo chu kỳ, nghĩa là ∃T > 0 : f (t + T ) = f (t). Chu kỳ cơ bản của một tín hiệu tuần hoàn: giá trị nhỏ nhất của T thỏa mãn điều kiện nói trên. Tín hiệu không tuần hoàn: giá trị của tín hiệu không được lặp lại một cách có chu kỳ. Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 5 / 27
  6. Các Loại Tín Hiệu và Tính Chất Nhân quả, phản nhân quả và phi nhân quả Tín hiệu nhân quả: giá trị của tín hiệu luôn bằng không trên phần âm của trục thời gian, nghĩa là ∀t 0 : f (t) = 0. Tín hiệu phi nhân quả: tín hiệu có các giá trị khác không trên cả phần âm và phần dương của trục thời gian. Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 6 / 27
  7. Các Loại Tín Hiệu và Tính Chất Tín hiệu chẵn và tín hiệu lẻ Tín hiệu chẵn: đồ thị biểu diễn tín hiệu có dạng đối xứng qua trục tung, nghĩa là f (t) = f (−t). Tín hiệu lẻ: đồ thị biểu diễn tín hiệu có dạng đối xứng qua tâm, nghĩa là f (t) = −f (−t). Bất cứ tín hiệu nào cũng đều có thể biểu diễn dưới dạng tổng hợp của một tín hiệu chẵn và một tín hiệu lẻ: f (t) = feven(t) + fodd (t) ở đó: 1 f (t) = [f (t) + f (−t)] even 2 1 f (t) = [f (t) − f (−t)] odd 2 Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 7 / 27
  8. Các Loại Tín Hiệu và Tính Chất Tín hiệu xác định và tín hiệu ngẫu nhiên Tín hiệu xác định: giá trị của tín hiệu tại bất cứ thời điểm nào đều có thể tính trước được bằng biểu thức toán học hay bảng giá trị. Tín hiệu ngẫu nhiên: không thể dự đoán chính xác giá trị của tín hiệu tại một thời điểm trong tương lai. Các tín hiệu có nguồn gốc tự nhiên thường là tín hiệu ngẫu nhiên. Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 8 / 27
  9. Các Loại Tín Hiệu và Tính Chất Tín hiệu đa kênh và tín hiệu đa chiều Tín hiệu đa kênh: thường được biểu diễn dưới dạng vector mà các thành phần là các tín hiệu đơn kênh: F(t) = [f1(t) f2(t) fN(t)] Tín hiệu đa chiều: thường được biểu diễn dưới dạng hàm của nhiều biến độc lập: f (x1, x2, , xN) Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 9 / 27
  10. Các Loại Tín Hiệu và Tính Chất Tín hiệu thuận và tín hiệu nghịch Tín hiệu thuận: giá trị của tín hiệu luôn bằng không kể từ một thời điểm trở về trước, nghĩa là ∀t t0 > −∞ : f (t) = 0. Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 10 / 27
  11. Các Loại Tín Hiệu và Tính Chất Tín hiệu có độ dài hữu hạn và tín hiệu có độ dài vô hạn Tín hiệu có độ dài hữu hạn: tất cả các giá trị khác không của tín hiệu đều năm trong một khoảng hữu hạn trên trục thời gian, ngoài khoảng đó giá trị của tín hiệu luôn bằng không, nghĩa là ∃ − ∞ < t1 < t2 < ∞ : f (t) = 0 nếu t ∈/ [t1, t2]. Tín hiệu có độ dài vô hạn: miền các giá trị khác không của tín hiệu trên trục thời gian là vô hạn. Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 11 / 27
  12. Năng Lượng và Công Suất Của Tín Hiệu Năng lượng tín hiệu Năng lượng của một tín hiệu liên tục f (t) được định nghĩa như sau: Z ∞ 2 Ef = |f (t)| dt −∞ Năng lượng của một tín hiệu rời rạc f (n) được định nghĩa như sau: ∞ X 2 Ef = |f (n)| n=−∞ Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 12 / 27
  13. Năng Lượng và Công Suất Của Tín Hiệu Norms của tín hiệu Lp-norm của một tín hiệu liên tục f (t) được định nghĩa như sau: Z ∞ 1/p p ||f (t)||p = |f (t)| dt −∞ Lp-norm của một tín hiệu rời rạc f (n) được định nghĩa như sau: " ∞ #1/p X p ||f (n)||p = |f (n)| n=−∞ Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 13 / 27
  14. Năng Lượng và Công Suất Của Tín Hiệu Norms của tín hiệu Năng lượng của một tín hiệu chính là bình phương của L2-norm của tín hiệu đó: 2 Ef = ||f ||2 Khi p → ∞: ||f (t)||∞ = ess sup |f (t)| ||f (n)||∞ = max{f (n)} n Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 14 / 27
  15. Năng Lượng và Công Suất Của Tín Hiệu Tín hiệu năng lượng Tín hiệu có năng lượng hữu hạn được gọi là tín hiệu năng lượng. Tín hiệu tuần hoàn không phải là tín hiệu năng lượng: năng lượng của tín hiệu tuần hoàn luôn luôn vô hạn. Tín hiệu xác định có độ dài hữu hạn là tín hiệu năng lượng. Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 15 / 27
  16. Năng Lượng và Công Suất Của Tín Hiệu Công suất của tín hiệu Công suất của một tín hiệu là năng lượng trung bình của tín hiệu trong một đơn vị thời gian. Công suất của một tín hiệu liên tục f (t) được tính như sau: Z T /2 1 2 Pf = lim |f (t)| dt T →∞ T −T /2 Công suất của một tín hiệu rời rạc f (n) được tính như sau: N 1 X 2 Pf = lim |f (n)| N→∞ 2N + 1 i=−N Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 16 / 27
  17. Năng Lượng và Công Suất Của Tín Hiệu Công suất của tín hiệu Công suất của một tín hiệu liên tục f (t) tuần hoàn với chu kỳ T bằng năng lượng trung bình của tín hiệu được tính trong một chu kỳ: Z T 1 2 Pf = |f (t)| dt T 0 Công suất của một tín hiệu rời rạc f (n) tuần hoàn với chu kỳ N cũng bằng năng lượng trung bình của tín hiệu được tính trong một chu kỳ: N 1 X P = |f (n)|2 f N i=0 Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 17 / 27
  18. Năng Lượng và Công Suất Của Tín Hiệu Tín hiệu công suất Tín hiệu có công suất hữu hạn được gọi là tín hiệu công suất. Một tín hiệu nếu là tín hiệu năng lượng thì không thể là tín hiệu công suất: công suất của tín hiệu năng lượng luôn bằng không. Một tín hiệu nếu là tín hiệu công suất thì không thể là tín hiệu năng lượng: năng lượng của tín hiệu công suất luôn vô hạn. Ví dụ: tín hiệu tuần hoàn. Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 18 / 27
  19. Biến Đổi Biến Thời Gian Của Tín Hiệu Dịch thời gian Trễ: dịch tín hiệu sang bên phải theo trục thời gian, nghĩa là f (t) → f (t − T ) với T > 0. Tiến: dịch tín hiệu sang bên trái theo trục thời gian, nghĩa là f (t) → f (t + T ) với T > 0. Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 19 / 27
  20. Biến Đổi Biến Thời Gian Của Tín Hiệu Nén/giãn thời gian Nhân biến thời gian với một hệ số tỷ lệ sẽ làm thay đổi bề rộng của tín hiệu. Nén tín hiệu theo trục thời gian: f (t) → f (at) với a > 1. Giãn tín hiệu theo trục thời gian: f (t) → f (at) với 0 < a < 1. Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 20 / 27
  21. Biến Đổi Biến Thời Gian Của Tín Hiệu Đảo chiều thời gian Trên đồ thị, phép đảo chiều thời gian chính là phép lật tín hiệu qua trục tung của đồ thị: f (t) → f (−t) Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 21 / 27
  22. Một Số Dạng Tín Hiệu Thường Dùng Tín hiệu xung đơn vị Tín hiệu xung đơn vị liên tục, ký hiệu δ(t), được định nghĩa bởi hàm delta Dirac như sau:   0 (t 6= 0) Z ∞ δ(t) = và δ(t)dt = 1  6= 0 (t = 0) −∞ Tín hiệu xung đơn vị rời rạc, ký hiệu δ(n), được định nghĩa như sau:   0 (n 6= 0) δ(n) =  1 (n = 0) Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 22 / 27
  23. Một Số Dạng Tín Hiệu Thường Dùng Tín hiệu nhảy bậc đơn vị và tín hiệu dốc Tín hiệu nhảy bậc đơn vị (liên tục), ký hiệu u(t), được định nghĩa như sau:   0 (t < 0) u(t) =  1 (t ≥ 0) Tín hiệu dốc (liên tục) được định nghĩa như sau:   0 (t < 0) r(t) = t/t0 (0 ≤ t ≤ t0)  1 (t ≥ t0) Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 23 / 27
  24. Một Số Dạng Tín Hiệu Thường Dùng Tín hiệu sin Một tín hiệu có dạng hàm sin giá trị thực thường được biểu diễn như sau: s(t) = A cos(ωt + φ) ở đó: A là biên độ, ω là tần số góc (rad/s) và φ là góc pha của tín hiệu. Chu kỳ của tín hiệu nói trên được tính bằng công thức T = 2π/ω. Một cách biểu diễn khác của tín hiệu sin là biểu diễn theo hàm của tần số f = 1/T (Hz) như sau: s(t) = A cos(2πft + φ) Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 24 / 27
  25. Một Số Dạng Tín Hiệu Thường Dùng Tín hiệu dạng hàm mũ thực Một tín hiệu có dạng hàm mũ giá trị thực thường được biểu diễn như sau: f (t) = Aeαt ở đó, A và α là các giá trị thực. Nếu α > 0, ta có một hàm tăng; còn nếu α < 0, ta sẽ có một hàm suy giảm theo thời gian. Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 25 / 27
  26. Một Số Dạng Tín Hiệu Thường Dùng Tín hiệu dạng hàm mũ phức Một tín hiệu có dạng hàm mũ phức thường được biểu diễn như sau: f (t) = Ae(σ+jω)t Áp dụng công thức Euler cho ejωt , tín hiệu nói trên sẽ biểu diễn được dưới dạng sau đây: f (t) = Aeσt [cos(ωt) + j sin(ωt)] Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 26 / 27
  27. Một Số Dạng Tín Hiệu Thường Dùng Tín hiệu dạng hàm mũ phức f (t) là một hàm có giá trị phức với phần thực và phần ảo được tính như sau (nếu A là giá trị thực): Re[f (t)] = Aeσt cos(ωt) Im[f (t)] = Aeσt sin(ωt)] f (t) còn được gọi là tín hiệu dạng sin phức với biên độ phức là Aeσt và tần số góc ω. Biên độ thực của f (t) là |A|eσt và góc pha là φ, ở đó: q Im(A) |A| = Re(A)2 + Im(A)2 và φ = arctan Re(A) Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 27 / 27
  28. CHƯƠNG II HỆ THỐNG Lê Vũ Hà ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI Trường Đại học Công nghệ 2009 Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 1 / 14
  29. Hệ Thống và Các Thuộc Tính của Hệ Thống Hệ thống là gì? Một hệ thống là một thực thể hoạt động khi có tín hiệu đầu vào (kích thích) và sinh ra tín hiệu đầu ra (đáp ứng). Nói cách khác, một hệ thống được đặc trưng bởi mối quan hệ giữa tín hiệu đầu vào và tín hiệu đầu ra: y(t) = T[x(t)], ở đó x(t) là tín hiệu vào, y(t) là tín hiệu ra, và T là phép biến đổi đặc trưng cho hệ thống. Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 2 / 14
  30. Hệ Thống và Các Thuộc Tính của Hệ Thống Mô hình toán học của hệ thống Mối quan hệ giữa tín hiệu ra và tín hiệu vào của hệ thống, nói cách khác là hành vi của hệ thống, có thể được biểu diễn bằng một mô hình toán học. Mô hình toán học cho phép xác định hệ thống: xác định tín hiệu ra khi biết tín hiệu vào. Mô hình toán học được sử dụng trong việc phân tích và thiết kế hệ thống. Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 3 / 14
  31. Hệ Thống và Các Thuộc Tính của Hệ Thống Các thuộc tính của hệ thống Tính tuyến tính Tính bất biến Tính nhân quả Tính ổn định Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 4 / 14
  32. Các Ví Dụ về Hệ Thống Hệ thống truyền thông tương tự Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 5 / 14
  33. Các Ví Dụ về Hệ Thống Hệ thống truyền thông số Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 6 / 14
  34. Các Ví Dụ về Hệ Thống Hệ thống điều khiển Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 7 / 14
  35. Các Loại Hệ Thống và Tính Chất Hệ thống liên tục và hệ thống rời rạc Các hệ thống có tín hiệu vào, tín hiệu ra và các tín hiệu sử dụng trong hệ thống đều là các tín hiệu theo thời gian liên tục được gọi là các hệ thống liên tục. Các hệ thống có tín hiệu vào và tín hiệu ra là các tín hiệu theo thời gian rời rạc được gọi là các hệ thống rời rạc. Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 8 / 14
  36. Các Loại Hệ Thống và Tính Chất Hệ thống tĩnh và hệ thống động Các hệ thống tĩnh, còn được gọi là hệ thống không bộ nhớ, là những hệ thống trong đó giá trị của tín hiệu ra chỉ phụ thuộc giá trị của tín hiệu vào ở cùng thời điểm. Các hệ thống động, còn được gọi là hệ thống có bộ nhớ, là những hệ thống trong đó giá trị của tín hiệu ra phụ thuộc cả vào giá trị trong quá khứ của tín hiệu vào. Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 9 / 14
  37. Các Loại Hệ Thống và Tính Chất Hệ thống đơn biến và hệ thống đa biến Hệ thống SISO (Single-input single-output): một biến vào và một biến ra. Hệ thống SIMO (Single-input multiple-output): một biến vào và nhiều biến ra. Hệ thống MISO (Multiple-input single-output): nhiều biến vào và một biến ra. Hệ thống MIMO (Multiple-input multiple-output): nhiều biến vào và nhiều biến ra. Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 10 / 14
  38. Các Loại Hệ Thống và Tính Chất Hệ thống tuyến tính và hệ thống phi tuyến Một hệ thống đặc trưng bởi một phép biến đổi T được gọi là hệ thống tuyến tính khi điều kiện sau đây luôn được thỏa mãn: T[αx1(t) + βx2(t)] = αT[x1(t)] + βT[x1(t)] Các hệ thống không thỏa mãn điều kiện tuyến tính nói trên được gọi là hệ thống phi tuyến. Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 11 / 14
  39. Các Loại Hệ Thống và Tính Chất Hệ thống bất biến và hệ thống biến đổi theo thời gian Một hệ thống được gọi là bất biến theo thời gian khi mối quan hệ giữa tín hiệu ra và tín hiệu vào không bị phụ thuộc vào thời điểm bắt đầu, nghĩa là: y(t) = T[x(t)] ⇒ ∀t0 : y(t − t0) = T[x(t − t0)] Các hệ thống không thỏa mãn điều kiện bất biến nói trên được gọi là hệ thống biến đổi theo thời gian. Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 12 / 14
  40. Các Loại Hệ Thống và Tính Chất Hệ thống nhân quả và hệ thống phi nhân quả Một hệ thống được gọi là nhân quả nếu tín hiệu ra của hệ thống chỉ có thể phụ thuộc các giá trị của tín hiệu vào hiện tại và trong quá khứ chứ không thể phụ thuộc vào các giá trị tương lai của tín hiệu vào. Một hệ thống phi nhân quả là hệ thống mà tín hiệu ra có thể phụ thuộc vào cả các giá trị tương lai của tín hiệu vào. Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 13 / 14
  41. Các Loại Hệ Thống và Tính Chất Hệ thống ổn định và hệ thống không ổn định Một hệ thống được gọi là ổn định nếu tín hiệu ra luôn có giới hạn hữu hạn khi tín hiệu vào có giới hạn hữu hạn, nghĩa là: |x(t)| < ∞ → |y(t)| = |T[x(t)]| < ∞ Một hệ thống không thỏa mãn điều kiện nói trên là hệ thống không ổn định. Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 14 / 14
  42. CHƯƠNG III PHÂN TÍCH HỆ THỐNG TRONG MIỀN THỜI GIAN Lê Vũ Hà ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI Trường Đại học Công nghệ 2009 Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 1 / 21
  43. Phương Trình Vi Phân của Hệ Thống Tuyến Tính Bất Biến Biểu diễn hệ thống bằng phương trình vi phân Mô hình phương trình vi phân là loại mô hình toán học được sử dụng phổ biến nhất để biểu diễn các hệ thống trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Đối với các hệ thống vật lý, phương trình vi phân biểu diễn hệ thống được thiết lập từ các phương trình của các định luật vật lý mà hoạt động của hệ thống tuân theo. Các hệ thống tuyến tính bất biến được biểu diễn bởi các phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng. Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 2 / 21
  44. Phương Trình Vi Phân của Hệ Thống Tuyến Tính Bất Biến Ví dụ: phương trình vi phân của mạch RC dV V V C ra + ra = vào dt R R Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 3 / 21
  45. Phương Trình Vi Phân của Hệ Thống Tuyến Tính Bất Biến Phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng Dạng tổng quát của các phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng biểu diễn các hệ thống tuyến tính bất biến: N M X d i y(t) X d j x(t) a = b i dti j dtj i=0 j=0 với x(t) là tín hiệu vào và y(t) là tín hiệu ra của hệ thống. Giải phương trình vi phân tuyến tính nói trên cho phép xác định tín hiệu ra y(t) theo tín hiệu vào x(t). Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 4 / 21
  46. Phương Trình Vi Phân của Hệ Thống Tuyến Tính Bất Biến Giải phương trình vi phân tuyến tính Nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng có dạng như sau: y(t) = y0(t) + ys(t) y0(t): đáp ứng khởi đầu, còn gọi là đáp ứng khi không có kích thích, là nghiệm của phương trình thuần nhất N X d i y(t) a = 0 (1) i dti i=0 ys(t): đáp ứng ở trạng thái không, là nghiệm đặc biệt của phương trình đối với tín hiệu vào x(t). Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 5 / 21
  47. Phương Trình Vi Phân của Hệ Thống Tuyến Tính Bất Biến Xác định đáp ứng khởi đầu y0(t) là đáp ứng của hệ thống đối với điều kiện của hệ thống tại thời điểm khởi đầu (t = 0), không xét tới tín hiệu vào x(t). Phương trình thuần nhất (1) có nghiệm dạng est với s là một biến phức, thay vào phương trình ta có: N X i st ai s e = 0 i=0 → s là nghiệm của phương trình đại số tuyến tính bậc N sau đây: N X i ai s = 0 (2) i=0 Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 6 / 21
  48. Phương Trình Vi Phân của Hệ Thống Tuyến Tính Bất Biến Xác định đáp ứng khởi đầu Phương trình (2) được gọi là phương trình đặc trưng của hệ thống. Gọi các nghiệm của phương trình (2) là {sk |k = 1 N}, nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất (1) sẽ có dạng như sau nếu các {sk } đều là nghiệm đơn: N X sk t y0(t) = ck e k=1 Giá trị của các hệ số {ck } được xác định từ các điều kiện khởi đầu. Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 7 / 21
  49. Phương Trình Vi Phân của Hệ Thống Tuyến Tính Bất Biến Xác định đáp ứng khởi đầu Trong trường hợp phương trình (2) có nghiệm bội, nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất (1) sẽ có dạng như sau: pk −1 ! X sk t X i y0(t) = ck e t k i=0 trong đó pk số lần bội của nghiệm sk . Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 8 / 21
  50. Phương Trình Vi Phân của Hệ Thống Tuyến Tính Bất Biến Xác định đáp ứng ở trạng thái không ys(t) là đáp ứng của hệ thống đối với tín hiệu vào x(t) khi các điều kiện khởi đầu đều bằng không. ys(t) còn được gọi là nghiệm đặc biệt của phương trình vi phân tuyến tính biểu diễn hệ thống. Để xác định ys(t), thông thường ta giả thiết ys(t) có dạng tương tự tín hiệu vào x(t) với một vài hệ số chưa biết, sau đó thay vào phương trình để xác định các hệ số. Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 9 / 21
  51. Phương Trình Vi Phân của Hệ Thống Tuyến Tính Bất Biến Xác định đáp ứng ở trạng thái không Chú ý khi giả thiết dạng của ys(t): ys(t) phải độc lập với tất cả các thành phần của y0(t). Ví dụ, nếu x(t) = eαt , ta có thể gặp một số trường hợp như sau: αt Nếu e không phải là một thành phần của y0(t), ta αt có thể giả thiết ys(t) có dạng ce . Nếu α là một nghiệm đơn của phương trình đặc αt trưng (2) → e là một thành phần của y0(t) → ys(t) phải có dạng cteαt . Nếu α là một nghiệm bội bậc p của phương trình đặc trưng (2) → eαt , teαt , ,t p−1eαt là các thành phần của p αt y0(t) → ys(t) phải có dạng ct e . Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 10 / 21
  52. Biểu Diễn Hệ Thống Bằng Đáp ứng Xung Định nghĩa tích chập của hai tín hiệu Tích chập của hai tín hiệu f (t) và g(t), ký hiệu f (t) ∗ g(t), được định nghĩa như sau: Z +∞ f (t) ∗ g(t) = f (τ)g(t − τ)dτ −∞ Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 11 / 21
  53. Biểu Diễn Hệ Thống Bằng Đáp ứng Xung Các tính chất của tích chập Tính giao hoán: f (t) ∗ g(t) = g(t) ∗ f (t) Tính kết hợp: [f (t) ∗ g(t)] ∗ h(t) = f (t) ∗ [g(t) ∗ h(t)] Tính phân phối: [f (t) + g(t)] ∗ h(t) = f (t) ∗ h(t) + g(t) ∗ h(t) Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 12 / 21
  54. Biểu Diễn Hệ Thống Bằng Đáp ứng Xung Các tính chất của tích chập Dịch thời gian: nếu x(t) = f (t) ∗ g(t), ta có x(t − t0) = f (t − t0) ∗ g(t) = f (t) ∗ g(t − t0) Nhân chập với tín hiệu xung đơn vị: f (t) ∗ δ(t) = f (t) Tính nhân quả: nếu f (t) và g(t) là các tín hiệu nhân quả thì f (t) ∗ g(t) cũng là tín hiệu nhân quả. Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 13 / 21
  55. Biểu Diễn Hệ Thống Bằng Đáp ứng Xung Đáp ứng xung của hệ thống tuyến tính bất biến Cho một hệ thống tuyến tính bất biến được biểu diễn bằng mối quan hệ y(t) = T[x(t)], ta có thể biến đổi biểu diễn đó như sau: Z ∞  y(t) = T[x(t) ∗ δ(t)] = T x(τ)δ(t − τ)dτ −∞ Z ∞ = x(τ)T[δ(t − τ)]dτ = x(t) ∗ h(t) −∞ ở đó, h(t) = T[δ(t)] được gọi là đáp ứng xung của hệ thống tuyến tính bất biến biểu diễn bởi T. Một hệ thống tuyến tính bất biến là xác định khi đáp ứng xung của hệ thống đó xác định. Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 14 / 21
  56. Biểu Diễn Hệ Thống Bằng Đáp ứng Xung Phân tích đáp ứng xung của hệ thống tuyến tính bất biến Hệ thống tĩnh (hệ thống không bộ nhớ): đáp ứng xung chỉ có giá trị khác không tại t = 0. Hệ thống nhân quả: đáp ứng xung là tín hiệu nhân quả. Hệ thống ổn định: khi và chỉ khi điều kiện sau đây đối với đáp ứng xung được thỏa mãn Z ∞ |h(t)|dt < ∞ −∞ Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 15 / 21
  57. Biểu Diễn Hệ Thống Bằng Đáp ứng Xung Đáp ứng xung của các hệ thống ghép nối Ghép nối tiếp hai hệ thống: Đáp ứng xung tổng hợp h(t) = h1(t) ∗ h2(t) Ghép song song hai hệ thống: Đáp ứng xung tổng hợp h(t) = h1(t) + h2(t) Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 16 / 21
  58. Mô Hình Biến Trạng Thái Biến trạng thái của hệ thống Trạng thái của một hệ thống được mô tả bằng một tập hợp các biến trạng thái. Mô hình biến trạng thái của một hệ thống tuyến tính bất biến là tập hợp các phương trình vi phân của các biến trạng thái, cho phép xác định trạng thái trong tương lai của hệ thống khi biết trạng thái hiện thời và tín hiệu vào → hệ thống hoàn toàn xác định khi trạng thái khởi đầu của hệ thống là xác định. Mô hình biến trạng thái rất thuận tiên để biểu diễn hệ thống đa biến. Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 17 / 21
  59. Mô Hình Biến Trạng Thái Phương trình trạng thái Gọi {u1(t), u2(t) } là các tín hiệu vào, {y1(t), y2(t) } là các biến ra, và {q1(t), q2(t) } là các biến trạng thái của một hệ thống tuyến tính bất biến. Phương trình trạng thái của hệ thống là các phương trình vi phân tuyến tính bậc nhất: dqi (t) X X = a q (t) + b u (t)(i = 1, 2, ) dt ij j ik k j k Các tín hiệu ra được xác định từ biến trạng thái và các tín hiệu vào như sau: X X yi (t) = cij qj (t) + dik uk (t)(i = 1, 2, ) j k Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 18 / 21
  60. Mô Hình Biến Trạng Thái Phương trình trạng thái Mô hình tráng thái của một hệ thống tuyến tính bất biến thường được biểu diễn dưới dạng ma trận như sau: dq(t) = Aq(t) + Bu(t) dt y(t) = Cq(t) + Du(t) ở đó, u(t), y(t) và q(t) là các vector cột với các phần tử lần lượt là các tín hiệu vào, tín hiệu ra và các biến trạng thái của hệ thống; A, B, C và D là các ma trận hệ số. Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 19 / 21
  61. Mô Hình Biến Trạng Thái Thiết lập phương trình trạng thái Thiết lập các phương trình trạng thái từ phương trình vi phân biểu diễn hệ thống tuyến tính bất biến sau đây: N M X d i y(t) X d j x(t) a = b i dti j dtj i=0 j=0 j j Đặt uj (t) = d x(t)/dt (j = 0 M) là các tín hiệu vào của hệ thống và viết lại phương trình trên dưới dạng: N M X d i y(t) X a = b u (t) i dti j j i=0 j=0 Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 20 / 21
  62. Mô Hình Biến Trạng Thái Thiết lập phương trình trạng thái Chọn các biến trạng thái như sau: dy(t) d N−1y(t) q (t) = y(t), q (t) = , , q (t) = 1 2 dt N dtN−1 Các phương trình trạng thái: dq (t) dq (t) 1 = q (t), 2 = q (t), dt 2 dt 3 dq (t) N−1 = q (t) dt N  N−1 M  dqN(t) 1 X X = − ai qi+1(t) + bj uj (t) dt aN 0 j=0 Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 21 / 21
  63. CHƯƠNG IV BIỂU DIỄN TÍN HIỆU BẰNG CHUỖI FOURIER Lê Vũ Hà ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI Trường Đại học Công nghệ 2009 Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 1 / 13
  64. Tín Hiệu Dạng Sin và Hệ Thống Tuyến Tính Bất Biến Đáp ứng của hệ thống tuyến tính bất biến với tín hiệu dạng sin Xem xét một hệ thống tuyến tính bất biến có đáp ứng xung h(t) và tín hiệu vào x(t) = ejωt . Đáp ứng của hệ thống được tính như sau: Z ∞ y(t) = h(t) ∗ x(t) = h(τ)ejω(t−τ)dτ −∞ Z ∞ = ejωt h(τ)e−jωτ dτ = H(ω)ejωt −∞ ở đó, H(ω) là đáp ứng tần số: Z ∞ H(ω) = h(τ)e−jωτ dτ −∞ đặc trưng cho đáp ứng của hệ thống với tần số ω của tín hiệu vào dạng sin. Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 2 / 13
  65. Tín Hiệu Dạng Sin và Hệ Thống Tuyến Tính Bất Biến Đáp ứng của hệ thống tuyến tính bất biến với tín hiệu dạng sin Tín hiệu ra có cùng tần số với tần số của tín hiệu vào dạng sin. Sự thay đổi về biên độ và pha của tín hiệu ra so với tín hiệu vào được đặc trưng bởi đáp ứng tần số H(ω) với hai thành phần sau đây: q |H(ω)| = Re[H(ω)]2 + Im[H(ω)]2 được gọi là đáp ứng biên độ, và Im[H(ω)] φ(ω) = arctan Re[H(ω)] được gọi là đáp ứng pha của hệ thống. Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 3 / 13
  66. Tín Hiệu Dạng Sin và Hệ Thống Tuyến Tính Bất Biến Đáp ứng của hệ thống tuyến tính bất biến với tín hiệu dạng sin Khi đó, ta có thể biểu diễn tín hiệu ra dưới dạng sau đây: y(t) = |H(ω)|ejφ(ω)ejωt = |H(ω)|ej[ωt+φ(ω)] nghĩa là, so với tín hiệu vào thì tín hiệu ra có biên độ lớn gấp |H(ω)| lần và lệch pha đi một góc là φ(ω). Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 4 / 13
  67. Biểu Diễn Chuỗi Fourier của Tín Hiệu Liên Tục Tuần Hoàn Biểu diễn chuỗi Fourier của tín hiệu tuần hoàn Một tín hiệu x(t) tuần hoàn với chu kỳ T có thể biểu diễn được một cách chính xác bởi chuỗi Fourier dưới đây: ∞ X jkω0t x(t) = ck e k=−∞ ở đó, ω0 = 2π/T là tần số cơ bản của tín hiệu x(t). Nói cách khác, mọi tín hiệu tuần hoàn đều có thể biểu diễn như một tổ hợp tuyến tính của các tín hiệu dạng sin phức có tần số là một số nguyên lần tần số cơ bản. Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 5 / 13
  68. Biểu Diễn Chuỗi Fourier của Tín Hiệu Liên Tục Tuần Hoàn Điều kiện hội tụ Điều kiện để sai số bình phương trung bình giữa x(t) và biểu diễn chuỗi Fourier của x(t) bằng không là x(t) phải là tín hiệu công suất, nghĩa là: 1 Z T |x(t)|2dt < ∞ T 0 Điều kiện hội tụ tại mọi điểm (điều kiện Dirichlet): x(t) bị chặn. Số điểm cực trị trong một chu kỳ của x(t) là hữu hạn. Số điểm không liên tục trong một chu kỳ của x(t) là hữu hạn. Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 6 / 13
  69. Biểu Diễn Chuỗi Fourier của Tín Hiệu Liên Tục Tuần Hoàn Biểu diễn đáp ứng của hệ thống tuyến tính bất biến Đáp ứng của một hệ thống tuyến tính bất biến có đáp ứng tần số là H(ω) với mỗi thành phần jkω t jkω t e 0 là H(kω0)e 0 → đáp ứng của hệ thống đó với tín hiệu vào x(t) sẽ biểu diễn được như sau: ∞ X jkω0t y(t) = ck H(kω0)e k=−∞ Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 7 / 13
  70. Biểu Diễn Chuỗi Fourier của Tín Hiệu Liên Tục Tuần Hoàn Tính trực giao của các thành phần {ejkω0t } Hai tín hiệu f (t) và g(t) tuần hoàn với cùng chu kỳ T được gọi là trực giao nếu điều kiện sau đây được thỏa mãn: Z T f (t)g∗(t)dt = 0 0 Hai tín hiệu ejkω0t và ejlω0t với tần số cơ bản ω0 = 2π/T trực giao nếu k 6= l: Z T ∀k 6= l : ejkω0t e−jlω0t dt = 0 0 Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 8 / 13
  71. Biểu Diễn Chuỗi Fourier của Tín Hiệu Liên Tục Tuần Hoàn Tính các hệ số của chuỗi Fourier Các hệ số của chuỗi Fourier của tín hiệu tuần hoàn x(t) được tính bằng cách sử dụng tính chất trực giao của các tín hiệu thành phần {ejkω0t } như sau: Z T Z T ∞ −jkω0t X jlω0t −jkω0t x(t)e dt = cl e e dt 0 0 l=−∞ ∞ Z T X jlω0t −jkω0t = cl e e dt l=−∞ 0 = ck T 1 Z T −jkω0t → ck = x(t)e dt T 0 Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 9 / 13
  72. Biểu Diễn Chuỗi Fourier của Tín Hiệu Liên Tục Tuần Hoàn Các tính chất của biểu diễn chuỗi Fourier Tính tuyến tính: ∞ ∞ X jkω0t X jkω0t x(t) = ck e và z(t) = dk e k=−∞ k=−∞ ∞ X jkω0t → αx(t) + βz(t) = (αck + βdk )e k=−∞ Dịch thời gian: ∞ X jkω0t x(t) = ck e k=−∞ ∞ X −jkω0t0  jkω0t → x(t − t0) = ck e e k=−∞ Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 10 / 13
  73. Biểu Diễn Chuỗi Fourier của Tín Hiệu Liên Tục Tuần Hoàn Các tính chất của biểu diễn chuỗi Fourier Đạo hàm: ∞ ∞ X dx(t) X x(t) = c ejkω0t → = (jkω c )ejkω0t k dt 0 k k=−∞ k=−∞ Tích phân: ∞ X jkω0t x(t) = ck e k=−∞ Z t ∞ X ck → x(τ)dτ = ejkω0t jkω0 −∞ k=−∞ Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 11 / 13
  74. Biểu Diễn Chuỗi Fourier của Tín Hiệu Liên Tục Tuần Hoàn Các tính chất của biểu diễn chuỗi Fourier Công thức Parseval: ∞ 1 Z T X |x(t)|2dt = |c |2 T k 0 k=−∞ 2 Giá trị |ck | có thể coi như đại diện cho công suất của tín hiệu thành phần ejkω0t trong tín hiệu 2 x(t) → hàm biểu diễn giá trị |ck | theo tần số ωk = kω0 (k ∈ Z) cho ta biết phân bố công suất của tín hiệu x(t) và được gọi là phổ mật độ công suất của x(t). Chú ý: phổ mật độ công suất của tín hiệu tuần hoàn là một hàm theo tần số rời rạc. Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 12 / 13
  75. Biểu Diễn Chuỗi Fourier của Tín Hiệu Liên Tục Tuần Hoàn Các tính chất của biểu diễn chuỗi Fourier Tính đối xứng: với tín hiệu tuần hoàn x(t) có biểu diễn chuỗi Fourier ∞ X jkω0t x(t) = ck e k=−∞ phổ mật độ công suất của x(t) là một hàm chẵn, 2 2 nghĩa là: ∀k : |ck | = |c−k | . Ngoài ra: ∗ Nếu x(t) là tín hiệu thực: ∀k : ck = c−k . Nếu x(t) là tín hiệu thực và chẵn: ∀k : ck = c−k . Nếu x(t) là tín hiệu thực và lẻ: ∀k : ck = −c−k . Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 13 / 13
  76. CHƯƠNG V BIẾN ĐỔI FOURIER CỦA TÍN HIỆU Lê Vũ Hà ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI Trường Đại học Công nghệ 2009 Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 1 / 12
  77. Biến Đổi Fourier của Tín Hiệu Không Tuần Hoàn Mở rộng biểu diễn chuỗi Fourier Xem xét một tín hiệu liên tục không tuần hoàn x(t), ta có thể coi x(t) như một tín hiệu tuần hoàn có chu kỳ T → ∞ (hay ω0 → 0), khi đó x(t) có thể biểu diễn được bằng chuỗi Fourier như sau: +∞ X jkω0t x(t) = lim ck e ω0→0 k=−∞ ở đó: 1 Z +T /2 −jkω0t ck = lim x(t)e dt ω0→0 T −T /2 Z +π/ω0 ω0 = lim x(t)e−jkω0t dt ω →0 0 2π −π/ω0 Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 2 / 12
  78. Biến Đổi Fourier của Tín Hiệu Không Tuần Hoàn Mở rộng biểu diễn chuỗi Fourier Vì ω0 → 0 nên ω = kω0 là một biến liên tục, ta có thể viết lại các biểu thức ở trang trước như sau: 1 Z +∞ x(t) = lim c(ω)ejωt dω ω0→0 ω0 −∞ Z +∞ c(ω) = lim ejωt dω ω0→0 −∞ ω0 ở đó, c(ω) là một hàm theo tần số liên tục và được xác định như sau: ω Z +π/ω0 c(ω) = lim 0 x(t)e−jωt dt ω →0 0 2π −π/ω0 Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 3 / 12
  79. Biến Đổi Fourier của Tín Hiệu Không Tuần Hoàn Biến đổi Fourier Đặt X(ω) = 2πc(ω)/ω0, chúng ta có được công thức của biến đổi Fourier của tín hiệu x(t): Z +∞ X(ω) = F[x(t)] = x(t)e−jωt dt −∞ và công thức của biến đổi Fourier nghịch: 1 Z +∞ x(t) = F −1[X(ω)] = X(ω)ejωt dω 2π −∞ Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 4 / 12
  80. Biến Đổi Fourier của Tín Hiệu Không Tuần Hoàn Biến đổi Fourier Cách biểu diễn khác của biến đổi Fourier của tín hiệu x(t), với biến tần số f thay cho tần số góc ω: Z +∞ X(f ) = x(t)e−j2πft dt −∞ và công thức của biến đổi Fourier nghịch tương ứng: Z +∞ x(t) = X(f )ej2πft df −∞ Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 5 / 12
  81. Biến Đổi Fourier của Tín Hiệu Không Tuần Hoàn Biến đổi Fourier Hàm X(ω) được gọi là phổ (Fourier) của tín hiệu x(t) theo tần số. Hàm biểu diễn |X(ω)| = pRe[X(ω)]2 + Im[X(ω)]2 được gọi là phổ biên độ của tín hiệu x(t) theo tần số. Hàm φ(ω) = arctan[Im[X(ω)]/Re[X(ω)]] được gọi là phổ pha của tín hiệu x(t) theo tần số. Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 6 / 12
  82. Biến Đổi Fourier của Tín Hiệu Không Tuần Hoàn Điều kiện hội tụ Điều kiện để các biến đổi Fourier thuận và nghịch của tín hiệu x(t) tồn tại là x(t) phải là tín hiệu năng lượng, nghĩa là: Z +∞ |x(t)|2dt < ∞ −∞ Điều kiện để tín hiệu khôi phục từ biến đổi Fourier của x(t) hội tụ về x(t) tại mọi điểm (ngoại trừ tại các điểm không liên tục) (điều kiện Dirichlet): R +∞ −∞ |x(t)|dt < ∞. Số điểm cực trị của x(t) là hữu hạn. Số điểm không liên tục của x(t) là hữu hạn. Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 7 / 12
  83. Biến Đổi Fourier của Tín Hiệu Không Tuần Hoàn Các tính chất của biến đổi Fourier Tính tuyến tính: F[αx1(t) + βx2(t)] = αX1(ω) + βX2(ω) Dịch thời gian: −jωt0 F[x(t − t0)] = X(ω)e Dịch tần số: F[x(t)ejγt ] = X(ω − γ) Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 8 / 12
  84. Biến Đổi Fourier của Tín Hiệu Không Tuần Hoàn Các tính chất của biến đổi Fourier Co giãn trục thời gian: 1 ω F[x(at)] = X |a| a Đạo hàm: dx(t) F = jωX(ω) dt Tích phân: Z t  X(ω) F x(τ)dτ = −∞ jω Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 9 / 12
  85. Biến Đổi Fourier của Tín Hiệu Không Tuần Hoàn Các tính chất của biến đổi Fourier Biến đổi Fourier của tích chập: F[f (t) ∗ g(t)] = F(ω)G(ω) Biến đổi Fourier của tích thường (điều chế): 1 F[f (t)g(t)] = F(ω) ∗ G(ω) 2π Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 10 / 12
  86. Biến Đổi Fourier của Tín Hiệu Không Tuần Hoàn Các tính chất của biến đổi Fourier Công thức Parseval: Z +∞ 1 Z +∞ |x(t)|2dt = |X(ω)|2dω −∞ 2π −∞ Giá trị |X(ω)|2 có thể coi như đại diện cho năng lượng của tín hiệu thành phần ejωt trong tín hiệu x(t) → hàm biểu diễn |X(ω)|2 theo tần số ω cho ta biết phân bố năng lượng của tín hiệu x(t) và được gọi là phổ mật độ năng lượng của x(t). Chú ý: phổ mật độ năng lượng của tín hiệu không tuần hoàn là một hàm theo tần số liên tục. Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 11 / 12
  87. Biến Đổi Fourier của Tín Hiệu Không Tuần Hoàn Các tính chất của biến đổi Fourier Tính đối xứng: Phổ mật độ năng lượng của x(t) là một hàm chẵn, nghĩa là: ∀ω : |X(ω)|2 = |X(−ω)|2. Nếu x(t) là tín hiệu thực: ∀ω : X(ω) = X ∗(−ω). Nếu x(t) là tín hiệu thực và chẵn: X(ω) cũng là hàm chẵn, nghĩa là ∀ω : X(ω) = X(−ω). Nếu x(t) là tín hiệu thực và lẻ: X(ω) cũng là hàm lẻ, nghĩa là ∀ω : X(ω) = −X(−ω). Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 12 / 12
  88. CHƯƠNG VI BIẾN ĐỔI LAPLACE VÀ ÁP DỤNG TRONG PHÂN TÍCH HỆ THỐNG Lê Vũ Hà ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI Trường Đại học Công nghệ 2009 Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 1 / 21
  89. Biến Đổi Laplace của Tín Hiệu Biến đổi Laplace Biến đổi Laplace của một tín hiệu x(t) được định nghĩa như sau: Z +∞ X(s) = x(t)e−st dt −∞ với s là một biến phức: s = σ + jω. Biến đổi Laplace nghịch: 1 Z σ+j∞ x(t) = X(s)est ds j2π σ−j∞ Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 2 / 21
  90. Biến Đổi Laplace của Tín Hiệu Miền hội tụ của biến đổi Laplace Miền hội tụ (ROC) của biến đổi Laplace là một vùng trong mặt phẳng s sao cho với các giá trị của s trong miền này thì biến đổi Laplace hội tụ. Ví dụ: Miền hội tụ của biến đổi Laplace của tín hiệu u(t) là nửa bên phải trục jω của mặt phẳng s. Miền hội tụ của biến đổi Laplace của tín hiệu x(t) = −u(−t) là nửa bên trái trục jω của mặt phẳng s. Hai tín hiệu khác nhau có thể có biến đổi Laplace giống nhau, nhưng khi đó miền hội tụ của chúng phải khác nhau. Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 3 / 21
  91. Biến Đổi Laplace của Tín Hiệu Miền hội tụ của biến đổi Laplace Miền hội tụ của biến đổi Laplace chỉ phụ thuộc vào phần thực của biến s. Miền hội tụ của biến đổi Laplace phải không chứa các trị cực. Nếu một tín hiệu có độ dài hữu hạn và tồn tại ít nhất một giá trị của s để biến đổi Laplace của tín hiệu đó hội tụ thì miền hội tụ của biến đổi Laplace khi đó là toàn bộ mặt phẳng s. Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 4 / 21
  92. Biến Đổi Laplace của Tín Hiệu Miền hội tụ của biến đổi Laplace Nếu một tín hiệu thuận có miền hội tụ của biến đổi Laplace chứa đường σ = σ0 thì miền hội tụ đó phải chứa toàn bộ phần bên phải σ0 trong mặt phẳng s. Nếu một tín hiệu nghịch có miền hội tụ của biến đổi Laplace chứa đường σ = σ0 thì miền hội tụ đó phải chứa toàn bộ phần bên trái σ0 trong mặt phẳng s. Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 5 / 21
  93. Biến Đổi Laplace của Tín Hiệu Các tính chất của biến đổi Laplace Tính tuyến tính: L[αx1(t) + βx2(t)] = αL[x1(t)] + βL[x2(t)] T với miền hội tụ chứa ROC[X1(s)] ROC[X2(s)]. Dịch thời gian: −st0 L[x(t − t0)] = e X(s) với miền hội tụ là ROC[X(s)]. Dịch trong miền s: s0t L[e x(t)] = X(s − s0) với miền hội tụ là ROC[X(s)] dịch đi một khoảng bằng s0. Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 6 / 21
  94. Biến Đổi Laplace của Tín Hiệu Các tính chất của biến đổi Laplace Co giãn trục thời gian: 1 s L[x(αt)] = X |a| a với miền hội tụ là ROC[X(s)] bị co giãn với hệ số α. Đạo hàm: dx(t) L = sX(s) dt với miền hội tụ chứa ROC[X(s)]. Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 7 / 21
  95. Biến Đổi Laplace của Tín Hiệu Các tính chất của biến đổi Laplace Tích phân: Z t  1 L x(τ)dτ = X(s) −∞ s với miền hội tụ chứa ROC[X(s)] T{σ > 0}. Biến đổi Laplace của tích chập: L[x1(t) ∗ x2(t)] = X1(s)X(s) T với miền hội tụ chứa ROC[X1(s)] ROC[X2(s)]. Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 8 / 21
  96. Biến Đổi Laplace của Tín Hiệu Các tính chất của biến đổi Laplace Định lý về giá trị khởi đầu: nếu x(t) là một tín hiệu nhân quả và liên tục tại t = 0, ta có x(0) = lim sX(s) s→∞ Định lý về giá trị cuối: nếu x(t) là một tín hiệu nhân quả và liên tục tại t = 0, ta có lim x(t) = lim sX(s) t→∞ s→0 Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 9 / 21
  97. Biến Đổi Laplace của Tín Hiệu Tính biến đổi Laplace nghịch Phương pháp khai triển phân thức tối giản Không giảm tổng quát, giả sử X(s) được biểu diễn dưới dạng phân thức N(s)/D(s), ở đó N(s) và D(s) là các đa thức với bậc của N(s) ≤ bậc của D(s). Giả sử {spk } là các trị cực của X(s): {spk } là các nghiệm của phương trình D(s) = 0. Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 10 / 21
  98. Biến Đổi Laplace của Tín Hiệu Tính biến đổi Laplace nghịch Phương pháp khai triển phân thức tối giản (tiếp) Nếu tất cả {spk } đều là các trị cực đơn, X(s) khai triển được thành tổng của các phân thức ở dạng tối giản: X Ak X(s) = s − sp k k ở đó, các hệ số {Ak } được tính như sau: A = (s − s )X(s)| = k pk s spk Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 11 / 21
  99. Biến Đổi Laplace của Tín Hiệu Tính biến đổi Laplace nghịch Phương pháp khai triển phân thức tối giản (tiếp) Trường hợp tổng quát (cực bội): đặt mk là bậc bội của trị cực spk , X(s) sẽ được khai triển như sau mk X X Ak ( ) = m X s s (s − sp ) k m=1 k ở đó, các hệ số {Akm } được tính như sau: mk −m mk 1 d (s − spk ) X(s) Akm = mk −m (mk − m)! ds = s spk Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 12 / 21
  100. Biến Đổi Laplace của Tín Hiệu Tính biến đổi Laplace nghịch Biến đổi Fourier nghịch của các phân thức tối giản  eαt u(t)(σ > α)  1   L−1 = − α s  −eαt u(−t)(σ α)  1   (n−1)! L−1 = n (s − α)  tn−1 αt  −(n−1)!e u(−t)(σ < α) Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 13 / 21
  101. Hàm Chuyển (Truyền) của Hệ thống Tuyến Tính Bất Biến Định nghĩa hàm chuyển Xem xét một hệ thống tuyến tính bất biến có đáp ứng xung h(t), nghĩa là: y(t) = h(t) ∗ x(t) Lấy biến đổi Laplace của cả hai vế của phương trình trên và áp dụng tính chất biến đổi Laplace của tích chập: Y (s) Y (s) = H(s)X(s) → H(s) = X(s) H(s) được gọi là hàm chuyển của hệ thống. Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 14 / 21
  102. Hàm Chuyển (Truyền) của Hệ thống Tuyến Tính Bất Biến Định nghĩa hàm chuyển Một hệ thống tuyến tính bất biến biểu diễn được bằng một phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng với dạng tổng quát như sau: N M X d i y(t) X d j x(t) a = b i dti j dtj i=0 j=0 Lấy biến đổi Laplace của cả hai vế của phương trình trên, ta thu được: N M X i X j ai s Y (s) = bj s X(s) i=0 j=0 Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 15 / 21
  103. Hàm Chuyển (Truyền) của Hệ thống Tuyến Tính Bất Biến Định nghĩa hàm chuyển Hàm chuyển của hệ thống khi đó được xác định như sau: PM j Y (s) bj s H(s) = = j=0 X(s) PN i i=0 ai s Hàm chuyển cho phép xác định hệ thống, dựa trên việc giải phương trình vi phân tuyến tính bằng biến đổi Laplace và biến đổi Laplace nghịch: y(t) = L−1[H(s)X(s)] Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 16 / 21
  104. Hàm Chuyển (Truyền) của Hệ thống Tuyến Tính Bất Biến Hàm chuyển của các hệ thống ghép nối Ghép nối tiếp hai hệ thống: Hàm chuyển tổng hợp H(s) = H1(s) ∗ H2(s) Ghép song song hai hệ thống: Hàm chuyển tổng hợp H(s) = H1(s) + H2(s) Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 17 / 21
  105. Hàm Chuyển (Truyền) của Hệ thống Tuyến Tính Bất Biến Hàm chuyển của các hệ thống ghép nối Hệ thống với phản hồi âm: Hàm chuyển tổng hợp H(s) = H1(s)/[1 + H1(s)H2(s)] Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 18 / 21
  106. Hàm Chuyển (Truyền) của Hệ thống Tuyến Tính Bất Biến Hàm chuyển của các hệ thống ghép nối Hệ thống với phản hồi dương: Hàm chuyển tổng hợp H(s) = H1(s)/[1 − H1(s)H2(s)] Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 19 / 21
  107. Biến Đổi Laplace Một Phía Định nghĩa biến đổi Laplace một phía Biến đổi Laplace một phía cho tín hiệu x(t) được định nghĩa như sau: Z ∞ X 1(s) = L1[x(t)] = x(t)e−st dt 0 Nếu x(t) là tín hiệu nhân quả: biến đổi Laplace một phía và hai phía của x(t) là như nhau. Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 20 / 21
  108. Biến Đổi Laplace Một Phía Các tính chất của biến đổi Laplace một phía Phần lớn các tính chất của biến đổi Laplace một phía giống với biến đổi hai phía. Khác biệt cơ bản là tính chất của đạo hàm: dx(t) L = sX(s) − X(0) dt d 2x(t) dX(s) L = 2 ( ) − ( ) − 2 s X s sX 0 dt ds s=0 Áp dụng: giải phương trình vi phân tuyến tính có điều kiện khởi đầu → áp dụng cho hệ thống tuyến tính bất biến nhân quả. Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 21 / 21