Bài giảng Tín hiệu và hệ thống - Chương 7: Đáp ứng tần số và mạch lọc tương tự

67 trang phuongnguyen 9960

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Tín hiệu và hệ thống - Chương 7: Đáp ứng tần số và mạch lọc tương tự", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

bai_giang_tin_hieu_va_he_thong_chuong_7_dap_ung_tan_so_va_ma.pdf

Nội dung text: Bài giảng Tín hiệu và hệ thống - Chương 7: Đáp ứng tần số và mạch lọc tương tự

CHƢƠNG 3: ĐÁP ỨNG TẦN SỐ VÀ MẠCH LỌC TƢƠNG TỰ Nội dung 7.1 Đáp ứng tần số của hệ LT- TT- BB (LTIC) 7.2 Giản đồ Bode 7.3 Thiết kế hệ thống điều khiển dùng đáp ứng tần số 7.4 Thiết kế mạch lọc dùng vị trí điểm cực và điểm zêrô của hàm H(s) 7.5 Mạch lọc Butterworth 7.6 Mạch lọc Chebyshev 7.7 Biến đổi tần số 7.8 Mạch lọc thỏa điều kiện truyền không méo 7.9 Tóm tắt Tài liệu tham khảo: B.P. Lathi, Signal Processing and Linear Systems, Berkeley-Cambridge Press, 1998 Lọc là lĩnh vực quan trọng trong xử lý tín hiệu. Chương 4 đã trình bày ý niệm lọc lý tưởng. Trong chương này, ta thảo luận về các đặc tính và cách thiết kế mạch lọc thực tế. Các đặc tính lọc của bộ lọc được đặc trưng bởi đáp ứng với sóng sin với các tần số từ 0 đến . Đặc tính này gọi là đáp ứng tần số của bộ lọc. Hảy bắt đầu với việc xác định đáp ứng tần số của hệ LT – TT – BB. Nhắc lại là với h(t) , ta dùng ý niệm H() cho biến đổi Fourier và H(s) cho biến đổi Laplace. Đồng thời, khi hệ thống là nhân quả và ổn định tiệm cận, tất cả các cực của đều nằm bên trái mặt phẳng phức. Do đó, vùng hội tụ của bao gồm trục j, và ta có được biến đổi Fourier bằng cách thay s = j vào biến đổi Laplace tương ứng. Do đó, H( j) và biểu diễn cùng đặc tính khi hệ thống ổn định tiệm cận. Trong chương này, ta sẽ tìm được lý do thuận tiện khi dùng ý niệm thay cho . 7.1 Đáp ứng tần số của hệ LT – TT – BB Phần này tìm đáp ứng của hệ thống với ngõ vào sin. Phần 2.4-3 cho thấy đáp ứng của hệ LT – TT – BB với ngõ vào là hàm mủ không dừng f (t) est là hàm mủ không dừng H(s)est . Như thế, cặp vào – ra của hệ thống là est H(s)est (7.1) Đặt s j vào hệ thức trên, ta có: e jt H(s)e jt (7.2a) e jt H( j)e jt (7.2b) Cộng hai hệ thức trên, có: 2cost H( j)e jt H( j)e jt 2Re[H( j)e jt ] (7.3)
Viết H( j) theo dạng cực H( j) H( j)e jH ( j) (7.4) Thì quan hệ (7.3) thành cost H( j) cost H( j)] Nói khác đi, đáp ứng y(t) của hệ thống với ngõ vào cost là y(t) H( j) cos[t H( j)] (7.5a) Tương tự, đáp ứng với tín hiệu cos(t ) là y(t) H( j) cos[t  H( j)] (7.5b) Kết quả này có được khi cho s j , chỉ đúng khi hệ thống ổn định tiệm cận do quan hệ (7.1) chỉ đúng khi các giá trị s nằm trong vùng hội tụ của H(s) . Trường hợp hệ thống không ổn định hay ở biên ổn định, vùng này không bao gồm trục ảo . Phương trình (7.5) cho thấy khi ngõ vào có tần số theo radian , thì đáp ứng cũng là sin với cùng tần số . Ngõ ra có biên độ dạng sin là H( j) nhân với biên độ ngõ vào, và có góc pha là góc pha tín hiệu vào dời đi góc H( j) (xem hình 7.1) Thí dụ, hệ thống có H( j10) 3 và H( j10) 300 , thì hệ thống đã khuếch đại sóng sin có tần số  10 theo tỉ lệ 3 và làm trễ góc pha đi 300 . Đáp ứng với tín hiệu vào 5cos(10t 500 ) là 3x5cos(10t 500 300 ) 15cos(10t 200 ) . Rõ ràng thì là độ lợi hệ thống, và đồ thị theo  là hàm của độ lợi hệ thống theo tần số . Hàm này còn gọi là đáp ứng biên độ. Tương tự, là đáp ứng pha và đồ thị của của theo  là cho thấy phương thức hệ thống thay đổi pha của tín hiệu vào. Hai đồ thị trên, là hàm theo , còn gọi là đáp ứng tần số của hệ thống. Ta thấy H( j)có chứa thông tin của H( j) và . Do đó, H( j) còn được gọi là đáp ứng tần số của hệ thống. Đáp ứng tần số cho thấy phương thức hệ thống đáp ứng với các sóng sin với nhiều tần số khác nhau. Như thế, đáp ứng tần số biểu diễn đặc tính lọc của hệ thống. ■ Thí dụ 7.1: Tìm đáp ứng tần số (đáp ứng biên độ và đáp ứng pha) của hệ thống có hàm truyền s 0,1 H(s) s 5 Đồng thời, tìm đáp ứng hệ thống y(t) khi ngõ vào là (a) cos 2t (b) cos (10t – 500). Trong trường hợp này j 0,1 H( j) j 5 Viết theo dạng cực  2 0.01   H( j) và H( j) tan 1 tan 1  2 25 0,1 5
Các đáp ứng biên độ và pha theo  được vẽ trong hình 7.1a. Các đồ thị này cung cấp đầy đủ thông tin và đáp ứng tần số của hệ thống với các ngõ vào sin. (a) Khi tín hiệu vào f (t) cos 2t, 2 và (2)2 0,01 H( j2) 0,372 (2)2 25 2 2 H( j2) tan 1 tan 1 87,10 21,80 65,30 0,1 5 Ta cũng tìm trực tiếp được đáp ứng tần số trong hình 7.1a tương ứng với  = 2. Kết quả này có nghĩa là khi ngõ vào sin có tần số  = 2, thì độ lợi biên độ của hệ thống là 0,372 và góc dịch pha là 65,30. Nói cách khác, biên độ ra là 0,372 lần biên độ vào, và góc pha của ngõ ra là dịch pha của tín hiệu vào với 65,30. Như thế, đáp ứng của hệ thống với ngõ vào cos 2t là y(t) 0,372cos(2t 65,30 ) Các ngõ ra và ngõ vào tương ứng được vẽ trong hình 7.1b.
(b) Khi tín hiệu vào là cos (10t – 500), thay vì tính các giá trị H( j) và H( j) như trong phần (a), ta đọc trực tiếp từ đồ thị của đáp ứng tần số vẽ trong hình 7.1a khi  = 10. Các giá trị này là: H( j10) 0,894 và H( j10) 260 Như vậy, khi tín hiệu sin với tần số  = 10, biên độ tín hiệu sin ngõ ra là 0,894 lần biên độ tín hiệu vào và góc pha tín hiệu ra dời so với góc pha tín hiệu vào là 260. Như vậy, đáp ứng ngõ ra với tín hiệu vào cos (10t – 500) là y(t) 0,894cos(10t 500 260 ) 0,894cos(10t 240 ) Trường hợp tín hiệu vào là sin (10t – 500), đáp ứng ra sẽ là 0,894sin (10t – 500+ 260 ) = 0,894sin (10t –240 ). ` Đáp ứng tần số trong hình 7.1a cho thấy hệ thống là mạch lọc có đặc tính thông cao, đáp ứng tốt với tín hiệu sin tần số cao ( lớn hơn 5) và triệt các tín hiệu tần số thấp hơn ( thấp hơn 5). ■  Thí dụ C7.1 dùng máy tính s 5 Vẽ đáp ứng tần số của hàm truyền H(s) s2 3s 2 num=[1 5]; den=[1 3 2]; w=.1:.01:100; axis([log10(.1)log10(100) -50 50]) [mag, phase, w]=bode(num, den, w); subplot(211), semilogx(w,20*log10(mag)) subplot(211),semilogx(w,phase)  ■ Thí dụ 7.2: Tìm và vẽ đáp ứng tần số (đáp ứng biên độ và đáp ứng pha) của (a) khâu trễ lý tưởng T giây (b) khâu vi phân lý tưởng (c) khâu tích phân lý tưởng (a) Khâu trễ lý tƣởng T giây. Hàm truyền khâu trễ lý tưởng là (phương trình 6-54) H(s) e sT H( j) e jT nên H( j) 1 H( j) T (7.6) Đáp ứng biên độ và đáp ứng pha vẽ trong hình 7.2a. Đáp ứng biên độ là hằng (đơn vị) với mọi tần số. Góc dịch pha tăng tuyến tính theo tần số với độ dốc – T . Kết quả này có thể được giải thích qua ghi nhận là nếu tín hiệu cost qua khâu trễ lý tưởng T giây, thì ngõ ra là cos(t – T). Biên độ ngõ ra giống với biên độ ngõ vào với mọi giá trị của . Do đó, biên độ đáp ứng ra (độ lợi) là đơn vị với mọi tần số. Hơn nữa, ngõ ra cos(t T) cos(t T) có độ dịch pha – T so với ngõ vào cost. Do đó, đáp ứng pha tỉ lệ tuyến tính với tần số , và độ dốc – T
(b) Khâu vi phân lý tƣởng: có hàm truyền (xem phương trình (6.55) H(s) s H( j) j e j / 2 , do đó H( j)  H( j) / 2 (7.7) Đáp ứng biên độ và đáp ứng pha vẽ trong hình 7.2b. Đáp ứng biên độ tăng tuyến tính theo tần số, và đáp ứng pha là hằng ( /2) với mọi tần số. Kết quả này được giải thích từ nhận xét là nếu tín hiệu cost qua bộ vi phân lý tưởng, thí ngõ ra là sint  cos t / 2 . Do đó, biên độ sóng ra là  lần biên độ tín hiệu vào, tức là biên độ đáp ứng (độ lợi) tăng tuyến tính theo tần số . Hơn nữa, sóng ra có dịch pha /2 so với sóng vào cost. Do đó, đáp ứng pha là hằng ( /2) với tần số. Bộ vi phân lý tưởng, có biên độ đáp ứng (độ lợi) tỉ lệ với tần số [ H( j)  ], nên các thành phần tần số cao được tăng cường (hình 7.2b). Mọi tín hiệu thực tế đều bị nhiễm nhiễu, là tín hiệu có bản chất có băng thông rộng, nên tín hiệu có các thành phần có tần số rất cao. Mạch vi phân có thể làm tăng phi tuyến biên độ nhiễu so với tín hiệu có ích, nên trong thực tế không dùng được bộ vi phân lý tưởng. (c) Bộ tích phân lý tƣởng: có hàm truyền là (phương trình (6.56)) 1 1 j 1 H(s) H( j) e j / 2 , do đó s j   1 H( j) H( j)  2 Đáp ứng biên độ và đáp ứng pha vẽ ở hình 7.2c. Đáp ứng biên độ tăng tỉ lệ nghịch với tần số, còn độ dịch pha là hằng (– /2) theo tần số. Kết quả này có thể giải thích với nhận xét là khi tín hiệu cost qua khâu tích phân 1 1 lý tưởng, ngõ ra là sint cos t . Do đó, đáp ứng biên độ tăng tỉ lệ nghịch   2 với , và đáp ứng pha là hằng số (– /2) theo tần số.
Do có độ lợi là 1/, bộ tích phân lý tưởng triệt các thành phần tần số cao nhưng lại tăng cường các thành phần tần số thấp có  < 1. Do đó, các tín hiệu nhiễu (nếu không chứa các thành phần tần số rất thấp) sẽ bị bộ tích phân loại bỏ. ■ Bài tập E 7.1 Tìm đáp ứng tần số của hệ LT – TT – BB đặc trưng bởi d 2 y dy df 3 2y(t) 5 f (t) dt 2 dt dt khi ngõ vào là sóng 20sin(3t 350 ) Đáp số 10,23sin(3t 61,910 ) .  7.1-1 Đáp ứng xác lập với ngõ vào là tín hiệu sin nhân quả Từ trước, ta chỉ mới bàn về đáp ứng của hệ thống LT – TT – BB với ngõ vào sin không dừng (bắt đầu từ t ). Trong thực tế, ta cần quan tâm đến các ngõ vào là sóng sin nhân quả (sóng sin bắt đầu từ t 0 ). Xét ngõ vào e jtu(t) , bắt đầu từ t 0 , thay vì . Trường hợp này F(s) 1/(s j). Hơn nữa, phương trình (6.51) cho H(s) P(s) / Q(s) trong đó Q(s) là đa thức đặc tính cho bởi Q(s) (s 1)(s 2 )(s n ) . Do đó P(s) Y(s) F(s)H(s) (s 1)(s 2 )(s n )(s j) Khai triển đa thức cho vế phải, gọi các hệ số tương ứng với n thừa số (s 1)(s 2 )(s n ) là k1 , k2 , . . ., kn . Hệ số tương ứng thừa số cuối (s j) là P(s) / Q(s) H( j). Do đó, s j n k H( j) Y(s)  i , i 1 s i s j n it jt Và y(t) kie u(t) H( j)e u(t) (7.9) i 1 = thành phần quá độ ytr (t) + thành phần xác lập yss (t) Đối với hệ ổn định tiệm cận, các thừa số chế độ eit giảm theo thời gian, do đó, gồm thành phần thường được gọi là thành phần quá độ. Thừa số cuối H( j)e jt tồn tại mãi mãi, còn được gọi là thành phần xác lập của đáp ứng, được cho bởi: jt yss (t) H( j)e u(t) Từ phương pháp tìm phương trình (7.5a), ta thấy khi hệ có ngõ vào sin nhân quả cost , đáp ứng xác lập được cho bởi: yss (t) H( j) cos[t H( j)]u(t) (7.10) Tóm lại, H( j) cos[t H( j)]u(t) là đáp ứng tổng với ngõ vào là sóng sin không dừng , và còn được gọi là đáp ứng xác lập với cùng ngõ vào tại t 0 .
7.2 Giản đồ Bode Giúp vẽ đáp ứng tần số dễ dàng hơn khi dùng tỉ lệ logarithm. Đồ thị đáp ứng biên độ và pha là hàm theo  theo trục logarithm được gọi là giản đồ Bode. Từ tính tiệm cận của đáp ứng biên độ và pha, ta vẽ được các giản đồ này dễ dàng hơn, hay cả với hàm truyền bậc cao. Xét hệ thống có hàm truyền K(s a1)(s a2 ) H(s) 2 (7.11a) s(s b1)(s b2s b3 ) 2 Trong đó thừa số bậc hai (s b2s b3 ) được giả sử là nghiệm phức liên hợp. Sắp xếp lại (7.11a) theo dạng: s s 1 1 Ka a a a H(s) 1 2 1 2 (7.11b) 2 b1b3 s s b2 s 1 s 1 b1 b3 b3 j j 1 1 Ka a a a H( j) 1 2 1 2 (7.11b) 2 b1b3 j b2 j ( j) j 1 1 b1 b3 b3 Phương trình cho thấy là H( j) là hàm phức theo . Đáp ứng biên độ H( j) và đáp ứng pha H( j) là: j j 1 1 Ka a a a H( j) 1 2 1 2 (7.12a) b b j b j ( j)2 1 3 j 1 1 2 b1 b3 b3 Và 2 j j j b2 j ( j) H( j)  1  1 j  1  1 (7.12b) a1 a2 b1 b3 b3 Phương trình (7.12b) cho thấy hàm pha gồm chỉ tổng của 3 dạng thừa số: (i) góc j pha của j, lệch pha 900 với mọi giá trị của . (ii) pha của thừa số bậc một 1 , và a (iii) pha của các thừa số bậc hai. 2 b2 j ( j) 1 b3 b3 Ta có thể vẽ đồ thị ba hàm pha cơ bản của  trong tầm từ 0 đến , rồi dùng các đồ thị, ta dựng được hàm pha của bất kỳ hàm truyền nào từ phép cộng các đáp ứng cơ bản. Chú ý là nếu thừa số nằm ở tử số, thì góc pha mang dấu cộng, còn khi nằm ở mẫu số thì
góc pha mang dấu trừ. Điều này cho phép vẽ dễ dàng hàm pha H( j) theo . Phép tính H( j) bao gồm các phép tính nhân và chia nhiều thừa số khác nhau. Khi chuyển việc vẽ sang vẽ log , ta chuyển được các phép nhân, chia thành các phép tính cộng và trừ. Có thể vẽ theo trục logarithm với đơn vị là decibel (dB), thí dụ giá trị log của biên độ là 20log10 H( j) (dB). Các đồ thị (log biên độ và pha) dựng theo phương pháp gọi là giản đồ Bode. Hàm truyền trong phương trình (7.12a) là biên độ theo log là: Ka a j j 20log H( j) 20log 1 2 20log1 20log1 20log j b1b3 a1 a2 j b j ( j)2 20log1 20log1 2 (7.13) b1 b3 b3 Thừa số 20log( Ka1a2 / b1b3 ) là hằng số. Ta thấy biên độ log là tổng của bốn dạng thừa số cơ bản là (i) hằng số, (ii) cực hay zêrô ở gốc ( 20log j ), (iii) cực hay zêrô bậc một 2 20log[1 j / a] , và (iv) cực hay zêrô ở dạng phức 20log[1 jb2 / b3 ( j) / b3 ] . Ta vẽ được bốn dạng cơ bản này theo  rồi dùng chúng để dựng đồ thị biên độ log của hàm truyền bất kỳ. Hảy thảo luận với từng thừa số: 1. Hằng số ka1a2 / b1b3 Biên độ log của thừa số này cũng là hằng số, . Góc pha trong trường hợp này là zêrô 2. Cực (hay zêrô) ở gốc Biên độ theo log Cực dạng này tăng theo thừa số 20log j , có thể viết thành 20log j 20log Hàm này được vẽ theo . Tuy nhiên, có thể đơn giản hơn khi dùng tỉ lệ log cho biến . Định nghĩa biến mới u theo u log (7.14) Vậy 20log 20u (7.15a) Hàm biên độ log 20u được vẽ theo u trong hình 7.3a. Đây là đường thẳng có độ dốc 20 và qua trục u tại u = 0. Tỉ lệ của  (u = log) cũng xuất hiện trong hình 7.3a. Đồ thị dạng semilog được dùng để vẽ, nên ta có thể vẽ trực tiếp  trên giấy semilog. Tỉ lệ 10 được gọi là decade và tỉ lệ 2 gọi là octave. Ta thấy là tỉ lệ 2 (octave) theo tỉ lệ  là bằng 0,3010 (là log10 2 ) theo tỉ lệ của u. Chú ý là khi u tăng đồng đều, tương đương với tăng đồng đều tỉ lệ . Do đó, một đơn vị theo trục u tương đương với một decade trong tỉ lệ . Tức là đồ thị biên độ có độ dốc 20dB / decade hay 20(0,3010) 6,02dB / octave (thường gọi là 6dB/octave). Tuy nhiên, đồ thị biên độ qua trục  tại  = 1, do u log10  0 khi  = 1.
Trường hợp zêrô tại gốc, thừa số biên độ - log là 20log. Đây là đường thẳng qua  1 và có độ dốc là 20dB/decade (hay 6dB/octave). Đường thẳng này là ảnh phản chiếu qua trục  của đồ thị cực qua gốc vẽ đường gián đoạn trong hình 7.3a. Pha Hàm pha tương ứng với cực tại gốc là j (xem phương trình 7.12b). Do đó: H( j) j 900 (7.15b) Pha là hằng số (- 900) với mọi , vẽ trong hình 7.3b. Khi zêrô ở gốc, góc pha là j 900 . Đây là ảnh phản chiếu của giản đồ pha khi có cực ở gốc và vẽ thành đườn gián đoạn trong hình 7.3b. 3. Cực (hay zêrô) bậc một Biên độ log j Biên độ log do có cực bậc một tại – a là 20log1 . Ta hảy tìm hiểu về tác a động tiệm cận của hàm này với các giá trị cực trị của  ( >a). (a) Khi <<a. j 20log1 20log1 0 (7.16) a Do đó, hàm biên độ log tiệm cận 0 khi <<a (hình 7.4a)
(b) Với >>a, ta có j  20log1 20log (7.17a) a a 20log 20log a (7.17b) 20u 20log a Đây là đường thẳng (khi vẽ theo u, là log của ) với độ dốc là 20dB / decade (hay 6dB / octave ). Khi  a , biên độ log là zêrô (phương trình 7.17b). Do đó, đường thẳng đi qua trục  tại  a , vẽ trong hình 7.4a. Chú ý là các đường tiệm cận trong (a) và (b) gặp nhau tại . Biên độ log chính xác của cực này là 1 j  2 2  2 20log1 20log 1 10log 1 (7.18) 2 2 a a a
Hàm log chính xác còn được vẽ trong hình 7.4a. Quan sát thấy đồ thị thực và đồ thị tiệm cận rất gần nhau. Sai số 3dB xuất hiện tại  a . Tần số này gọi là tần số góc hay tần số gãy. Sai số tại các điểm khác đều nhỏ hơn 3dB. Đồ thị sai số theo  vẽ trong hình 7.5a. Hình này cho thấy sai số tại một octave phía trên hay dưới tần số góc là 1dB là sai số tại hai octave là 0,3dB. Tìm đồ thị thực bằng cách cộng đồ thị sai số với đồ thị tiệm cận. Đáp ừng biên độ là zêrô tại – a (đường gián đoạn trong hình 7.4a) tương tự với trường hợp của cực tại – a với sự thay đổi dấu, và là ảnh phản chiếu (qua đường 0dB) của đồ thị biên độ của cực tại – a. Pha Pha của cực bậc một tại – a là j  H( j)  1 tan 1 a a Tiếp tục khảo sát đáp ứng tiệm cận của hàm. Khi  > a,  tan 1 900 a Đồ thị thực cùng tiệm cận được vẽ trong hình 7/4b. Trường hợp này, ta dùng ba đoạn đồ thị thẳng tiệm cận để có độ chính xác cao. Các tiệm cận là (i) góc pha 00 khi  a /10 , (ii) góc pha 900 khi  a /10 , và đường thẳng có độ dốc 450 / decade nối hai đoạn
thẳng (từ  = a/10 đến 10a) đi qua trục  tại  = a/10. Hình 7.4b cũng cho thấy là tiệm cận rất gần đường cong và sai số lớn nhất là 5,70 . Đồ thị sai số theo  vẽ trong hình 7.4b. Đồ thị thực có được từ cách cộng đồ thị tiệm cận và sai số. Hàm pha cho trường hợp cực tại – a được vẽ trong hình 7.4b. Trường hợp có zêrô tại – a (đường gián đoạn trong hình 7.4b) giống trường hợp cực tại – a, nhưng nghịch dấu, và do đó là ảnh phản chiếu (theo đường 00 ) của đồ thị pha trong trường hợp cực tại – a. 4. Cực (hay zêrô) bậc hai 2 Xét trường hợp cực bậc hai trong phương trình (7.11a). Mẫu số là s b2s b3 có 2 2 dạng chuẩn là s 2ns n , thì hàm biên độ log hệ bậc hai trong phương trình (7.13) viết thành: 2   20log1 2 j (7.19a) n n Và hàm pha 2    1 2 j (7.19b)   n n Biên độ log Cho bởi Biên độ log = (7.20) Khi  > n, biên độ log thành 2   Biên độ log 20log 40log (7.22a) n n 40log 40log n (7.22b) 40u 40log n (7.22c) Hai tiệm cận là (i) zêrô khi  n và (ii) khi  n . Tiệm cận thứ hai là đường thẳng có độ dốc là 40dB / decade (hay 6dB / octave ) được vẽ theo trục log. Bắt đầu từ  n (xem phương trình (7.22b). Các tiệm cận vẽ trong hình 7.6a. Biên độ log chính xác cho bởi (xem phương trình 7.20) 1 2 2 2  2  Biên độ log = 20log 1 4  (7.23) n n 2  Rõ ràng, biên độ log trong trường hợp này bao hàm tham số , với từng giá trị của , ta có các đồ thị khác nhau. Trường hợp có cực phức liên hợp,  < 1. Do đó, ta phải vẽ họ các đường cong có  thay đổi trong tầm từ 0 đến 1, và vẽ trong hình 7.6a. Sai số giữa
đáp ứng thực và các tiệm cận vẽ trong hình 7.7. Tìm đồ thị thực từ phép cộng sai số và đồ thị tiệm cận. Trường hợp các zêrô bậc hai (dạng phức liên hợp), đồ thị là ảnh phản chiếu (qua đường 0-dB) của đồ thị vẽ trong hình 7.6a. Chú ý hiện tượng cộng hưởng của các cực phức liên hợp. Hiện tượng này bé khi  > 0,707 và trở nên đáng kể khi  0.
Pha Hàm pha cho cực bậc hai, vẽ trong hình (7.19b) là  2 1 n H( j) tan 2 (7.24)  1 n
Khi  n H( j) 00 Khi  n H( j) 1800 Do đó, pha 1800 khi  . Trường hợp biên độ ta có họ các đồ thị với nhiều giá trị khác nhau của , vẽ trong hình 7.6b. Các đồ thị thích hợp cho pha trong trường hợp có 0 0 cực phức liên hợp là hàm bước có giá trị 0 khi  n và 180 khi  n . Đồ thị sai số trong trường hợp này vẽ trong hình 7.7 với các giá trị khác nhau của . Đáp ứng pha thực là trị tiệm cận cộng với sai số. Trường hợp có zêrô là phức liên hợp, đồ thị biên độ và pha là ảnh phản chiếu của trường hợp cực phức liên hợp. Xem hai thí dụ dưới đây về ứng dụng của các kỹ thuật vừa nêu. ■ Thí dụ 7.3: Vẽ giản đồ Bode cho hàm truyền 20s(s 100) H(s) (s 2)(s 10) Bước đầu, ta viết hàm truyền theo dạng chuẩn hóa 20x100 s(1 s /100) s(1 s /100) H(s) 100 (7.25) 2x10 (1 s / 2)(1 s /10) (1 s / 2)(1 s /10) Thừa số hằng số là 100 tức là 40 dB (20log100 = 40). Thừa số này là đường thẳng 40 dB (xem hình 7.8a), tức là ta dời trục ngang lên 40 dB Ngoài ra, còn có hai cực bậc một tại – 2 và – 10, một zêrô tại gốc, và một zêrô tại – 100. Bƣớc 1: Vẽ đồ thị tiệm cận cho từng thừa số (xem hình 7.8a): (i) Với giá trị zêrô tại gốc, vẽ đường thẳng với độ dốc 20dB/decade qua  1. (ii) Với cực tại – 2, vẽ đường thẳng độ dốc – 20dB/decade (khi  2), bắt đầu từ tần số góc  2. (iii) Với cực tại – 10, vẽ đường thẳng độ dốc – 20dB/decade, bắt đầu từ tần số góc  10 . (iv) Với zêrô tại – 100, vẽ đường thẳng độ dốc 20dB/decade, bắt đầu từ tần số góc  10 0. Bƣớc 2: Cộng tất cả các đồ thị tiệm cận lại (hình 7.8a): Bƣớc 3: Thực hiện các bước hiệu chỉnh sau: (hình 7.5a): (i) Hiệu chỉnh tại  1 là – 1dB. Hiệu chỉnh tại  1 do các tần số góc tại  10 và  100 là nhỏ (xem hình 7.5a) và có thể bỏ qua. Do đó, hiệu chỉnh tại là – 1 dB.
(ii) Hiệu chỉnh tại  2 do các tần số góc tại  2 là – 3 dB và do tần số góc tại  10 là – 0, 17dB. Do tần số góc tại  100 có thể bỏ qua (xem hình 7.5a). Do đó, hiệu chỉnh tại  2 là – 3,17 dB. (iii) Hiệu chỉnh tại  10 do các tần số góc tại  10 là – 3 dB và do tần số góc tại  2 là – 0, 17dB. Do tần số góc tại  100 là 0,004 dB và có thể bỏ qua. Do đó, hiệu chỉnh tại  10 là – 3,17 dB. (iv) Hiệu chỉnh tại  100 do các tần số góc tại  100 là 3 dB và do các tần số góc khác có thể bỏ qua. (v) Hiệu chỉnh tại  4 và  5 (do các tần số góc tại  2 và  10 ) đều là – 1, 75dB. Dùng các hiệu chỉnh này đồ thị biên độ được vẽ trong hình 7.8a Đồ thị pha Ta vẽ các tiệm cận tương ứng với mỗi trong 4 thừa số (i) Zêrô tại gốc tạo dời pha 900 (ii) Cực tại s 2 làm tiệm cận tăng 450 / decade , từ  0,2 tăng đến  20. Khi  0,2 , tiêm cận là 00 , và khi  20, giá trị tiêm cận là 900 . (iii) Cực tại s 10 có tiệm cận zêrô trong khoảng  1và độ dốc , từ  1 tăng đến  100 . Giá trị tiệm cận khi  100 là . (iv) Zêrô tại s 100 làm tiệm cận tăng 450 / decade , từ  10 tăng đến  1000 . Khi  10 , tiêm cận là , và khi  1000 , giá trị tiêm cận là 900 . Các tiệm cận được cộng lại, vẽ trong hình 7.8b. Hiệu chỉnh dùng hình 7.5b, và đồ thị chính xác vẽ ở hình 7.8b. ■ ■ Thí dụ 7.4: Vẽ đáp ứng biên độ và pha (giản đồ Bode) cho hàm truyền s 1 10(s 100) 100 H(s) 10 (7.26) s2 2s 100 s s2 1 50 100 Thừa số hằng là 10, tức là 20dB (20log10 = 20). Ta chỉ cần thêm đường thẳng 20 dB (xem hình 7.9a). Hơn nữa, ta có cực thực tại s 100 và cặp cực phức, viết thừa số bậc hai theo dạng chuẩn: 2 2 2 s 2s 100 s 2ns n Ta có: n 10;  0,1
Bƣớc 1. Vẽ tiệm cận 40dB / decade ( 12dB / octave ) bắt đầu từ  10 cho cặp cực phức liên hợp, và vẽ đường tiệm cận khác 20dB / decade , từ  100 cho zêrô (thực). Bƣớc 2. Cộng tất cả các tiệm cận tại Bƣớc 3: Hiệu chỉnh tại tần số góc , với 3dB. Bỏ qua hiệu chỉnh tại tần số góc  10 . Tiếp tục hiệu chỉnh tại  10 , do hiệu chỉnh tại là 13,90 dB (xem hình 7.7a với  = 0,1). Tìm hiệu chỉnh tại các điểm khác. Kết quả vẽ trong hình 7.9a. Đặc tính pha Tiệm cận tại cực phức liên hợp là hàm bước với bước nhảy 900 tại và tiệm cận khi s 100 là đường thẳng có độ dốc là 450 / decade , tại và  100 lần
lượt là 00 và 900 . Cộng hai tiệm cận cho ta đường răng cưa tại hình 7.9b. Áp dụng hiệu chỉnh từ hình 7.7b và hình 7,5b để có đồ thị chính xác. ■  Thí dụ dùng máy tính C7.2 Giải thí dụ 7.3 và 7.4 dùng m-file trong MATLAB. Có thể vẽ đáp ứng tần số theo nhiều cách khác nhau. Để vẽ giàn đồ Bode, tốt nhất nân dùng bode.m, như trong thí dụ minh họa sau. % Thí dụ C7.2 Num=[20 2000 0]; den=[1 12 20]; bode(num,den) % Thí dụ C7.4 Num=[0 10 1000]; den=[1 2 100]; bode(num,den)  Cực và zêrô bên phải mặt phẳng phức Từ trước đến giờ, ta chỉ mới giả sử là các cực và zêrô đều nằm bên trái mặt phẳng phức. Việc gì xảy ra khi có cực và zêrô nằm bên phải mặt phẳng phức? Nếu có cực bên phải mặt phẳng phức, tích phân trong phương trình (2.49) với s j không hội tụ, và H( j) không có nghĩa. Dù gì thì các hệ thống (không ổn định) này không dùng được trong các ứng dụng về xử lý tín hiệu. Do đó, ta chỉ khảo sát các zêrô năm bên phải mặt phẳng phức. Ta đã chứng minh được là hàm biên độ có zêrô là a năm bên phải mặt phẳng phức thì giống trường hợp zêrô bằng – a nằm bên trái mặt phẳng phức. Lý do là: 1 j j  2 2 1 1 1 2 a a a Do đó, đồ thị biên độ log giữ nguyên khi có các zêrô nằm bên phải hay bên trái mặt phẳng phức. Tuy nhiên, góc pha của zêrô nằm bên phải mặt phẳng phức là:   ( j a)  (a j) tan 1 tan 1 a a Còn pha của cực s a nên trái mặt phẳng phức là tan 1( / a) . 2 2 Các zêrô liên hợp nằm bên phải mặt phẳng phức là thừa số s 2ns n tăng, 2 2 tương tự thừa số s 2ns n với sự thay đổi dấu của . Do đó, theo các phương trình (7.23) và (7.24) thì biên độ là giống nhau, nhưng góc pha đối dấu nhau giữa hai thừa số.
7.2-1 Tìm hàm truyền từ đáp ứng tần số Trong các phần trước, ta có trước hàm truyến hệ thống, từ đó phát triển các kỹ thuật để xác định đáp ứng của hệ thống với ngõ vào sin. Ta cũng có thể làm ngược các bước để xác định hàm truyền của hệ thống khi biết được đáp ứng hệ thống với ngõ vào sin. Bài toán này rất hữu ích trong thực tế. Nếu ta có hệ thống trong dạng hộp đen với các ngõ vào và ngõ ra, ta có thể xác định được hàm truyền thông qua đo lường thực nghiệm tại các ngõ vào và ngõ ra. Đáp ứng tần số với ngõ vào sin là một trong những khả năng hấp dẫn do từ bản chất đơn giản của phép đo. Chỉ cần đưa tín hiệu sin vào và quan sát ngõ ra, ta tìm được độ lợi biên độ H( j) và dời pha tại ngõ ra H( j) (theo ngõ vào sin), với nhiều giá trị của  trong tần từ 0 đến . Thông tin này giúp vẽ đáp ứng tần số theo log (giản đồ Bode). Từ các đồ thị này, ta xác định được các tiệm cận thích hợp dùng đ85c
tính là độ dốc của các tiệm cận đều là bội số của 20dB / decade khi hàm truyền ở dạng hữu tỷ. Từ các tiệm cần này, tìm được các tần số góc xác định các cực và zêrô của hàm truyền. 7.3 Thiết kế hệ thống điều khiển dùng đáp ứng tần số Hình 7.10a vẽ hệ thống vòng hở dạng cơ bản, có hàm truyền vòng hở là KG(s)H(s) thì hàm truyền vòng kín là (xem phương trình 6.69): KG(s) T(s) 1 KG(s)H(s) Phương pháp thiếy kế hệ thống điều khiển trong miền thời gian đã được thảo luận trong phần 6.7 chỉ hoạt động được khi biết được hàm truyền của đối tượng điều khiển và có dạng hữu tỷ. Mô tả vào-ra của hệ thống thực tế thường chưa biết và thường không có dạng hữu tỷ. Hệ thống có chứa khâu trễ lý tưởng (khâu chết) là thí dụ của hệ không hữu tỷ. Trong các trường hợp này, ta có thể xác định đáp ứng tần số của hệ vòng hở theo kinh nghiệm và dùng dữ liệu để thiết kế hệ vòng kín. Phần này thảo luận về phương pháp thiết kế hệ thống phản hồi từ mô tả của đáp ứng tần số. Tuy nhiên, phương pháp thiết kế dùng đáp ứng tần số thì cũng không thích hợp như phương pháp thiết kế trong miền thời gian theo quan điểm về các đặc tính sai số quá độ và xác lập. Do đó, phương pháp thiết kế dùng đáp ứng tần số trong phần 6.7 và phương pháp đáp ứng tần số cần được xem là các phương pháp hỗ trợ và bổ sung cho nhau, chứ không cạnh tranh nhau. Thông tin về đáp ứng tần số có thể giới thiệu trong nhiều dạng mà giản đồ Bode là một. Còn dạng thông tin khác như đồ thị Nyquist còn gọi là đồ thị dạng cực hay đồ thị Nichols còn được biết là phương pháp biên độ log theo đồ thị góc. Phần này chỉ thảo luận về kỹ thuật dùng giản đồ Bode và Nyquist. Hình 7.10b vẽ đồ thị Bode cho hàm truyền hệ vòng hở K / s(s 2)(s 4) khi K 24 . Thông tin này còn được vẽ theo dạng cực trong đồ thị Nyquist trong hình 7.10c. Thí dụ, tại  1, H( j) 2,6 và H( j) 130,60 . Ta vẽ một điểm cách trục ngang 2,6 đơn vị với góc là – 130,60. Điểm này là điểm nhận dạng khi (xem hình 7.10c). Ta vẽ các điểm với nhiều tần số từ  = 0 đến rồi vẽ đường cong mịn qua chúng để có đồ thị Nyquist. Thông tin còn được biểu diễn thành dạng Cartesian trong đồ thị Nichols. Thí dụ, tại , biên độ log là 20log2,6 = 8,3 dB, và pha tại là – 130,60 . Ta vẽ một điểm tại tọa độ x = 8,3, y = – 130,60 và gán điển nhận dạng cho – 130,60 . Thực hiện với nhiều giá trị của  từ  = 0 đến , rồi nối đường cong giữa các điểm này để có đồ thị Nichols. Dùng giản đồ Bode hay Nyquist (hay Nichols) vẽ hàm truyền vòng hở, ta nghiên cứu được tính ổn định của hệ vòng kín tương ứng. 7.3-1 Ổn định tƣơng đối: biên độ lợi và biên pha. Trong hệ thống ở hình 7.10a, phương trình đặc tính là 1 KG(s)H(s) 0 và nghiệm đặc tính là KG(s)H(s) 1. Hệ thống không ổn định khi quỉ đạo nghiệm xuyên qua bên phải mặt phẳng phức. Giao điểm xuất hiện trên trục ảo với s j (xem hình 6.43). DO đó, hệ thống ở biên ổn định: KG( j)H( j) 1 1e j
Như thế, tại biên ổn định thì biên độ và góc pha của độ lợi vòng hở KG( j)H( j) là KG( j)H( j) 1 và G( j)H( j) Do đó, tại biên ổn định, hàm truyền vòng hở có độ lợi đơn vị và pha là . Để hiểu được ý nghĩa của các điều kiện này, ta xét hệ thống trong hình 7.10a, có hàm truyền vòng hở K / s(s 2)(s 4) . Giản đồ Bode của hàm truyền này (khi K =24) vẽ trong hình 7.10b. Quĩ đạo nghiệm của hệ thống vẽ trong hình 6.43. Quĩ đạo xuyên qua bên phải mặt phẳng phức khi K > 48. Khi K <48, hệ thống ổn định. Xét trường hợp K = 24. Hình 7.10b vẽ 0 giản đồ Bode khi K =24. Gọi  p là tần số mà đồ thị pha xuyên qua 180 (tần số đảo pha: the phase crossover frequency). Quan sát thấy tại , độ lợi là 0,5 hay 6dB . Điều nay cho thấy độ lợi K sẽ tăng đôi (đến trị 48) để có độ lợi đơn vị, và ở biên ổn định. Do đó, ta nói hệ thống có ngưỡng độ lợi M 6dB . Mặt khác, nếu gọi g là tần số để có độ lợi đơn vị hay 0 dB (tàn số đảo độ lợi: the gain crossover frequency), cho nên , tại tần số này, pha vòng hở là 157,50 . Góc pha phải giảm từ giá trị này xuống 1800 trước khi hệ thống trở thành không ổn định. Do đó, hệ thống độ dự trữ pha 0 M 22,5 . Rõ ràng, độ dự trữ biên độ và độ dự trữ pha đo lường tính ổn định tương đối của hệ thống.
Hình 7.10c vẽ đồ thị Nyquist của KG(s)H(s) đi xuyên qua trục thực tại 0,5 khi K =24. Nếu tăng đôi K đến trị 48, biên độ tại từng điểm cũng tăng đôi, (nhưng góc pha không đổi). Bước này mở rộng đồ thị Nyquist lân gấp 2. Do đó, khi K = 48, đồ thị Nyquist nằm trên trục thực tại – 1: tức là KG( j)H( j) 1 và hệ thống trở thành không ổn định. Khi K > 48, đồ thị xuyên qua và đi qua điểm – 1. Do đó, điểm tới hạn – 1 nằm bên trong đường cong, tức là đường cong bao điểm tới hạn – 1. Khi đồ thị Nyquist của hệ vòng hở bao điển tới hạn – 1, thì hệ vòng kín tương ứng trở thành không ổn định. Điều này là dạng đơn giản của tiêu chuẩn Nyquist. Đồ thị Nyquist vẽ trong hình 7.10b (khi K =24), độ lợi cần phải tăng đôi trước khi hệ thống trở thành không ổn định. Do đó, dự trữ độ lợi trong trường hợp này là 2 (6 dB). Nói chung, nếu đồ thị Nyquist xuyên qua trục thực âm tại m , thì dự trữ độ lợi là 1/ m . Tương tự, nếu m là góc tại đó đồ 0 thị Nyquist xuyên qua vòng tròn đơn vị, thì dự trữ pha là m , trường hợp này m 22,5 . Để bảo vệ hệ thống không bị mất ổn định do thay đổi các tham số hệ thống (hay môi trường), hệ thống cần được thiết kế với độ dự trữ biên độ và độ dự trữ pha hợp lý. Độ dự trữ bé cho thấy các cực của hệ vòng kín nằm bên trái mặt phẳng phức, nhưng rất gần trục j. Đáp ứng quá độ của hệ thống loại này sẽ có độ vọt lố lớn. Mặt khác, độ dự trữ biên độ (dương) và dự trữ pha rất lớn có thể cho thấy hệ đáp ứng chậm. Thường ta nên chọn dự trữ độ lợi cao hơn 6 dB và dự trữ pha vào khoảng 300 đến 600 là được. Các tiêu chí thiết kế cho đặc tính quá độ thường được cho theo độ dự trữ biên độ và pha. 7.3-2 Tìm đặc tính quá độ theo đáp ứng tần số
Với hệ thống bậc hai trong phương trình (6.81), ta đã thấy sự phụ thuộc của đáp ứng quá độ (PO, tr, td và ts) vào vị trí cực chủ yếu. Từ đó, ta đã phát triển trong phần 6.7 phương pháp thiết kế hệ thống điều khiển từ đặc tính quá độ. Để phát triển phương pháp này từ hiểu biết về đáp ứng tần số (thay vì từ hàm truyền), ta cần biết quan hệ giữa đáp ứng tần số và đáp ứng quá độ của hệ thống (phương trình 6.81). Hình 7.11 vẽ đáp ứng tần số của hệ bậc hai trong phương trình (6.81). Đáp ứng tần số đỉnh Mp (trị tối đa của đáp ứng biên độ), xuất hiện tại tần số p , cho thấy độ ổn định tương đối của hệ thống. Đáp ứng đỉnh càng cao thường cho trị  nhỏ (xem hình 7.6a), làm cho cực tiến gần đến trục ảo, làm độ ổn định tương đối giảm. Mp càng lớn tức là độ vọt lố PO càng lớn. Thường trị chấp nhận được của Mp trong thực tế từ 1,1 đến 1,5. Tần số 3dB b của đáp ứng tần số cho thấy tốc độ của hệ thống. Ta có thể chứng tõ là b và tr là tỉ lệ nghịch. Do đó, b càng cao thì tr càng bé (đáp ứng càng nhanh). Đối với hệ bậc hai trong phương trình (6.81), ta có: 2 n T( j) 2 2 ( j) 2 jn n Để tìm Mp , cho d T( j) / d 0. Từ nghiệm của phương trình này, ta tìm được: 1 M p  0,707 2 1  2 2 p n 1   0,707 1 2 4 2 2 b n  1 2 4 4 2 (7.27) Các phương trình này cho phép ta tìm  và n từ Mp và p. KIến thức về  và n giúp ta xác định các tham số quá độ, như độ vọt lố PO, tr và ts theo các phương trình (6.83), (6.84) và (6.85). Ngược lại, nếu ta có được các đặc tính quá độ như độ vọt lố PO, tr và ts, ta có thể xác định được Mp và p cần thiết. Từ đó, vấn đề rút lại thành việc thiết kế hệ thống, có các giá trị Mp và p cần thiết cho đáp ứng tần số hệ vòng kín. Trong thực tế, ta biết đáp ứng tần số hệ vòng hở. Nên bài toán là tìm đáp ứng tần số hệ vòng kín từ đáp ứng hệ vòng hở.
Để thực hiện, ta xét trường hợp hệ phản hồi đơn vị, có hàm truyền phản hồi là H(s) 1. Hàm truyền hệ vòng kín trong trường hợp này là: KG(s) T(s) 1 KG(s) KG( j) T( j) 1 KG( j) Gọi T( j) Me j () và KG( j) x() jy() Do đó x jy Me j () 1 x jy Sắp xếp lại 2 M 2 M 2 x y2 2 2 2 M 1 (M 1) M 2 M Đây là phương trình vòng tròn có tâm tại 2 0 và bán kính 2 trong mặt M 1 M 1 phẳng KG( j). Hình 7.12a vẽ họ các vòng tròn theo các giá trị của M. Do M là đáp ứng biên độ hệ vòng kín, nên các vòng tròn này là các đường mức của đáp ứng biên độ của hệ vòng kín. Thí dụ, điểm A 2 j1,85 nằm trên vòng tròn M 1,3. Tức là tại tần số mà hàm truyền hệ vòng hở là G( j) 2 j1,85 , tương ứng với đáp ứng biên độ của hàm truyền vòng kín là 1,3. Để có đáp ứng tần số vòng kín, ta đặt chồng lên các đường mức đồ thị Nyquist của hàm truyền hệ vòng hở . Với từng điểm của , ta xác định được giá trị tương ứng của M, đáp ứng biên độ hệ vòng kín. Từ đường mức tương tự của hằng số (đáp ứng pha của hệ vòng kín), ta xác định đáp ứng pha của hệ vòng kín. Vậy, tìm được đáp ứng tần số chung của hệ vòng kín từ đồ thị này. Ta chủ yếu quan tâm đến việc tìm Mp, trị đỉnh của M và p , tần số mà Mp xuất hiện. Hình 7.12b cho thấy phương thức xác định các trị này. Vòng tròn mà đồ thị Nyquist tiếp tuyến tương ứng với Mp, và tần số tương ứng là p. Đối với hệ thống có đồ thị Nyquist vẽ trong hình 7.12b, thì Mp = 1,6 và p = 2. Từ các giá trị này, ta ước lượng được  và n, và xác định được các tham số quá độ PO, tr, và ts. Khi thiết kế hệ thống, đầu tiên ta xác định Mp và p cần thiết đạt các đặc tính quá độ từ phương trình (7.27). Đồ thị Nyquist kết hợp với các vòng tròn M gợi ý về phương thức thực hiện Mp và p. Trong nhiều trường hợp, chỉ cần có thay đổi nhỏ về độ lợi K trong hàm truyền vòng hở là đủ. Khi tăng K, ta mở rộng đồ thị Nyquist và thay đổi các giá trị Mp và p tương ứng. Nếu điều này chưa đủ, ta cần xem xét một số dạng bù như mạng trễ và sớm. Dùng máy tính, ta có thể quan sát được ảnh hưởng của các dạng bù đặc thù cho Mp và p.
7.4 Thiết kế mạch lọc dùng phƣơng pháp chỉnh định cực và zêrô của H(s). Trong phần này, ta tìm hiểu về sự phụ thuộc lớn của đáp ứng tần số với vị trí cực và zêrô của H(s). Điểm phụ thuộc này là thủ tục trực giác đơn giản để thiết kế mạch lọc. Thủ tục thiết kế có hệ thống mạch lọc sẽ được bàn trong phần 7.5, 7.6, và 7.7. 7.4-1 Sự phụ thuộc của đáp ứng tần số vào cực và zêrô của H(s). Đáp ứng tần số của hệ thống về cơ bản là thông tín về khả năng lọc của hệ thống. Ta hảy xét quan hệ chặc chẽ tồn tại giữa vị trí cực-zêrô của hàm truyền hệ thống và đáp ứng tần số (hay đặc tính lọc). Hàm truyền hệ thống có thể viết thành P(s) (s z1)(s z2 )(s zn ) H(s) bn (7.28a) Q(s) (s 1)(s 2 )(s n ) Trong đó z1, z2, , zn là các zêrô của H(s) và các nghiệm đặc tính 1, 2, , n là các nghiệm đặc tính của H(s). Trị của hàm truyền H(s) tại tần số s = p là ( p z )( p z )( p z ) H(s) b 1 2 n (7.28b) s p n ( p 1)( p 2 )( p n ) Phương trình này gồm các thừa số có dạng p zi và p i . Thừa số p z là số phức biểu diễn bằng vectơ vẽ từ điểm z đến điểm p trong mặt phẳng phức, vẽ trong hình 7.13a. Độ dài của đoạn đường thẳng là p z , là biên độ của . Góc của đường thẳng có hướng (so với trục ngang) là ( p z) . Để tính H(s) tại s p , ta vẽ đoạn thẳng từ mọi cực và zêrô của H(s) đến điểm p, vẽ trong hình 7.13b. Vectơ nối zêrô zi đến điểm p là . Gọi độ dài của vectơ này là ri , và gọi góc với trục ngang là i . Vậy ji ji p zi rie . Tương tự, vectơ nối cực i với điểm p là p i die , với di và i là độ dài và góc lệch (với trục ngang) của vectơ . Từ phương trình (7.28b) ta có: j1 j2 jn r e r e  r e r r r j         H(s) b 1 2 n b 1 2 n e 1 2 n 1 2 n s p n j1 j2 jn n d1e d2e  dne d1d2 dn Do đó: r r r H(s) b 1 2 n s p n d1d2 dn = bn (tích các độ dài từ zêrô đến p)/ (tích các độ dài từ cực đến p) (7.29a)
Và H(s)         s p 1 2 n 1 2 n = (tổng các góc của zêrô với p) - (tổng các góc của cực với p) (7.29b) Từ phương pháp này, ta xác định dược H(s) với mọi giá trị của s. Đề tính đáp ứng tần số H( j), ta dùng s j (một điểm trên trục ảo), nối mọi cực và zêrô với điểm j , rồi xác định H( j) và H( j) từ phương trình (7.29). Làm lại bước này với mọi giá trị của  từ 0 đến để có đáp ứng tần số. Dùng cực để tăng độ lợi. Để hiểu được ảnh hưởng của các cực và zêrô lên đáp ứng tần số, xét trường hợp giả định là cực đơn j0 , vẽ trong hình 7.14a. Để tìm đáp ứng biên độ cho một giá trị  nào đó, ta nối cực với điểm j (hình 7.14a). Nếu độ dài của đường thẳng này là d, thì tỉ lệ với 1/d. K H( j) (7.30) d Trong đó, giá trị chính xác của hằng số K là không quan trọng trong điểm này. Khi  tăng từ zêrô trở đi, d giảm không ngừng cho đến khi  đạt giá trị 0. Khi  tăng gần 0, d không ngừng giảm. Do đó, theo phương trình (7.30), đáp ứng biên độ tăng từ  0 đến  0 , và giảm liên tục khi  tăng gần 0, như vẽ trong hình 7.14b. Do đó,
cực tại j0 tạo đặc tính chọn lọc tần số làm tăng độ lợi tại tần số 0 (tần số cộng hưởng). Hơn nữa, khi cực di chuyển gần trục ảo (khi giảm), sự tăng (cộng hưởng) này càng trở nên đáng kể. Điều này là do , cự ly giữa cực và j0 (d tương ứng với j0 ) càng giảm nhỏ đi, làm tăng độ lợi K/d. Trong tình huống cực độ, khi 0 (cực trên trục ảo), độ lợi tại tại 0 tiến về vô cùng. Các cực lặp càng tăng cường tính chọn lọc. Tóm lại, Ta có thê tăng độ lợi tại tần số 0 bằng cách đặt cực đối nhau tại điểm j0 . Cực càng gần điểm j0 , độ lợi càng lớn và thay đổi càng nhanh (chọn lọc tần số tốt hơn) ở lân cận tần số . Chú ý là cực phải nằm bên trái mặt phăng phức để hệ thống ổn định. Ta vừa xem xét ảnh hưởng của cực phức đơn trong độ lợi hệ thống. Trong hệ thực, cực phức j0 luôn có liên hợp là j0 . Ta đã chứng minh là sự hiện diện của cực liên hợp không thay đổi đáng kể đặc tính chọn lọc tần số ở lân cận . Điều này do độ lợi trong trường hợp này là K/dd’, trong đó d’ là cự ly từ cực đến điểm . Do cực liên hợp xa điểm , nên không có thay đổi đáng kể trong độ dài d’ khi  tăng, làm tính chọn lọc tần số không thay đổi nhiều. Triệt độ lợi dùng zêrô Lý luận tương tự, ta thấy zêrô tại j0 (hình 7.14d) có ảnh hưởng đối kháng trực tiếp làm giảm độ lợi ở lân cận . Zêrô trên trục ảo tại sẽ triệt hoàn toàn độ lợi (độ lợi zêrô) tại tần số . Các zêrô lặp càng làm tăng ảnh hưởng này. Đồng thời, các cặp cưc và zêrô đặt gần nhau (dipole) có xu hướng triệt tiêu ảnh hưởng lẫn nhau trên đáp ứng tần số. Rõ ràng, chỉnh định đúng vị trí cực và zêrô, có thể tạo các đặc tính chọn lọc tần số rất đa dạng. Từ quan sát này, ta thiết kế được các bộ lọc, thông thấp, thông cao, thông dải và triệt dải (bộ lọc notch). Còn có thể tính đáp ứng pha từ đồ thị. Trong hình 7.14a, góc tạo nên từ cặp cực phức tại  0 (tại gốc) thì bằng nhau và đối dấu nhau. Khi  tăng từ 0, góc 1 giảm độ lớn do cực có giá trị âm tại  = 0; còn góc  2 tăng do cực có giá trị dương tại  = 0. kết quả là, tổng hai góc1 2 , tăng liên tục, tiến về khi  . Sau cùng ta có đáp ứng pha H( j) (1 2 ) vẽ trong hình 7.14c. Lý luận tương tự cho trường hợp zêrô tại . Kết quả ta có đáp ứng pha H( j) (1  2 ) vẽ trong hình 7.14f. Ta tiếp tục khảo sát định tính các dạng mạch lọc đơn giản khác trong phần dưới đây. 7.2-2 Lọc thông thấp Lọc thông thấp tiêu biểu có độ lợi lớn nhất tại  = 0. Do đó, ta cần đặt cực hay (zêrô) trên trục thực đối nghịch với gốc ( j0 0), như vẽ trong hình 7.5a. Hàm truyền của hệ thống là:  H(s) c s c
Ta đã chọn tử số của H(s) là c nhằm chuẩn hóa độ lợi dc H(0) là đơn vị. Nếu gọi d là cự ly từ cực c đến điểm j (hình 7.15a), thì  H( j) c d Với H(0) 1. Khi  tăng. d giảm và H( j) giảm đơn điệu theo , vẽ trong hình 7.15d với n = 1. Đây đúng là mạch thông thấp có độ lợi tăng ở lân cận điểm  = 0. Wall to wall Poles Đặc tính lý tưởng của mạch lọc thông thấp (phần tô bóng) trong hình 7.15d, có độ lợi đơn vị đến tần số c . Độ lợi giảm đột ngột từ 0 đến  c . Để có được đặc tính của mạch thông thấp lý tưởng, ta cần tăng độ lợi trong dải tần số từ 0 đến . Ta biết rằng để tăng độ lợi tại tần số , cần đặt thêm cực đối xứng tại . Để tăng độ lợi trong suốt dải tần từ (0 đến ), ta cần có cực đối xứng tại từng tần số trong dải tần này. Nói cách khác, ta cần có một bức tường liên tục các cực đối diện với trục ảo trong dải tần từ 0 đến (và từ 0 đến - cho các cực liên hợp), như vẽ trong hình 7.15b. Tại điểm này, hình dạng tối ưu của bức tường không rõ ràng do ta đang lập luận một cách trực giác và định tính. Vậy, rõ ràng là để tăng được độ lợi (hằng) tại từng tần số trong tầm này, ta cần có vô số cực trong bức tường. Có thể chứng minh được là để có đáp ứng phẳng tối đa trong dải tần số (0 đến ) , thì bức tường này phải có dạng nửa vòng tròn với vô số cực phân bố đều dọc theo bức tường. Trong thực tế, ta thỏa hiệp bằng cách dùng số cực hữu hạn (n) cho đặc tính dưới lý tưởng. Hình 7.15c cho thấy bố trí các cực trong bộ lọc bậc 5 ( n = 5). Đáp ứng biên độ với nhiều giá trị của n được vẽ trong hình 7.15d. Khi n , đáp ứng biên độ hướng về lý tưởng. Họ các bộ lọc này được gọi là bộ lọc Butterworth. Ngoài ra, còn
có nhiều họ mạch lọc khác. Trong mạch lọc Chebyshev, dạng bức tường là nửa ellipse thay vì là nửa vòng tròn. Đặc tính của bộ lọc Chebyshev thấp hơn so với lọc Butterworth trong dải thông (0, c ), với đặc tính có độ nhấp nhô thay vì phẳng tối đa như đáp ứng Butterworth. Nhưng tại stopband, đáp ứng của Chebyshev tốt hơn theo nghĩa là độ lợi mạch Chebyshev giảm nhanh hơn so với Butterworth. Mạch lọc thông dải Các đặc tính tô bóng trong hình 7.16b vẽ độ lợi mạch lọc thông dải lý tưởng. Trong mạch lọc thông dải, độ lợi được tăng cường trong dải băng thông. Ta đã thấy là có thể thực hiện dùng bức tường các cực đối nhau qua trục ảo từ phía trước dải tần có tần số trung tâm 0. (Còn có bức tường các cực liên hợp đối nhau qua tần số trung tâm - 0). Về mặt lý tưởng, cần có vô số các cực, nhưng trong thực tế ta dùng một số cực hữu hạn và chấp nhận đặc tính thấp hơn lý tưởng (hình 7.16). Mạch lọc triệt dải Đáp ứng mạch lọc triệt dải lý tưởng (vẽ ở phần tô bóng trong hình 7.17b) là phần bù của đáp ứng biên độ mạch lọc thông dải lý tưởng. Độ lợi của mạch là zêrô trong dải tần hẹp có trung tân tại tần số 0 và có độ lợi đơn vị trong vùng tần số còn lại. Thực hiện dạng đặc tính này cần có vô hạn các cực và zêrô. Ta hảy xát trường hợp bộ lọc triệt dải bậc hai để có độ lợi zêrô tại tần số  0 . Từ đó, ta phải có các zêrô tại j0 . Yêu cầu về độ lợi đơn vị tại  đòi hỏi số cực phải bằng số zêrô (m = n). Điều này bảo đảm là với số lượng lớn giá trị , tích của cự ly từ cực đến  sẽ bằng tích cự ly từ zêrô đến . Hơn nữa, độ lợi đơn vị tại  0, đòi hỏi các cực và zêrô tương ứng phải cách gốc đều nhau. Thí dụ, nếu ta dùng hai zêrô (phức liên hợp) ta cần có hai cực; cự ly từ gốc đến cực và đến zêrô phải như nhau. Có thể thực hiện yêu cầu này bằng cách đặt hai cực liên hợp trên nửa vòng tròn có bán kính 0, như vẽ trong hình 7.17a. Cực có thể nằm đâu đó trên nửa vòng tròn để thỏa điều kiện cự ly bằng nhau. Gọi hai cực liên hợp có góc  theo trục ảo âm. Nhắc lại là cực và zêrô ở lân cận nhau có xu hướng triệt ảnh hưởng của nhau. Như thế, khi đặt cực càng gần zêrô (chọn  càng gần /2) khôi phục nhanh độ lợi từ 0
đến 1 khi ta di chuyển khỏi 0, với chiều bất kỳ. Hình 7.17b vẽ độ lợi H( j) với ba giá trị khác nhau của . ■ Thí dụ 7.5: Thiết kế mạch lọc triệt dải để loại tần số nhiễu 60Hz (hum) trong máy thu thanh. Dùng các cực và zêrô trong hình 7.17a với 0 = 120 . Các zêrô là s = j0. Hai cực là 0 cos j0 sin . Hàm truyền là (với 0 = 120 ). (s j )(s j ) H(s) 0 0 (s 0 cos j0 sin)(s 0 cos j0 sin) 2 2 2 s 0 s 142122,3 2 2 2 s (20 cos)s 0 s (753,98cos)s 142122,3  2 142122,3 Và: H( j) (  2 142122,3)2 (753,98 cos)2 Cực càng gần với zêro ( càng gần với /2). Độ lợi càng khôi phục nhanh từ 0 đến 1 ở bên này hay bên kia của 0 = 120 . Hình 7.17b vẽ đáp ứng biên độ với ba giá trị của . Thí dụ này là trường hợp thiết kế rất đơn giản. Để có được độ lợi zêrô trong dải tần, ta cần có vô số cực cũng như zêrô. ■  Thí dụ dùng máy tính C7.3 Vẽ đáp ứng tần số của hàm truyền 2 2 s 0 H(s) 2 2 s (20 cos)s 0 0 0 0 Là hàm triệt dải bậc hai với 0 = 120 và  60 ,80 và 87 . W0=120*pi; Theta=[60 80 87]*(pi/180); for m =1:length(theta) num = [1 0 w0^2];
den=[1 2*wo*cos(theta(m))w0^2]; w=0:.5:1000; w=w’; [mag, phase,w]=bode(num,den,w); plot(w,mag),hold omn, axis([0 1000 0 1.1]) end  Hình 7.16b và 7.17b vẽ đáp ứng tần số của bộ lọc triệt dải (notch – stopband) là bù của đáp ứng tần số của mạch lọc thông dải. Nếu H BP (s) và H Bs (s) là hàm truyền của lọc thông dải và triệt dải (có tần số trung tâm giống nhau) thì HBP (s) 1 H BS (s) Do đó, hàm truyền của mạch lọc thông cao có thể tìm từ hàm truyền mạch lọc hông thấp tương ứng. Bài tập E 7.2 Dùng phương pháp định tính vẽ đồ thị đáp ứng tần số, chứng tõ là hệ thống có cấu hình cực – zêrô trong hình 7.18a là mạch lọc thông cao, và trong hình 7.18b là mạch lọc thông dải.  7.4-5 Mạch lọc thực tế và đặc tính Các mạch lọc lý tưởng cho độ lợi là một hay zêrô một cách rõ ràng trong dải tần công tác. Thực tế ta chỉ có thể thiết lập các mạch lọc có đặc tính gần đúng mạch lọc lý tưởng. Mạch lọc lý tưởng với dải thông (passband) có độ lợi đơn vị, dải triệt (stopband) với độ lợi là zêrô, không có dải tần chuyển tiếp. Các mạch lọc thực tế cần có dải tần chuyển tiếp, tạo thay đổi từ từ từ dải thông sang dải triệt và ngược lại. Ngoài ra, trong các mạch lọc thực tế, độ lợi không thể là zêrô trong một dải tần hữu hạn (điều kiện Paley- Wiener). Như thế không có dải triệt thực trong mạch lọc thực tế. Do đó, cần định nghĩa dải triệt là dải tần mà độ lợi bé hơn một số Gs bé nào đó, như trong hình 7.19. Tương tự, ta định nghĩa dải thông là dải tần mà độ lợi ở giữa 1 và một giá trị G p (Gp 1)như trong hình 7.19. Ta đã chọn độ lợi dải thông đơn vị cho thuận tiện, tuy nhiên giá trị này có thể bất kỳ. Thông thường độ lợi được biểu diễn theo decibel, đó là 20 lần giá trị của logarithm 10 của độ lợi, vậy: ˆ G(dB) 20log10G
Độ lợi đơn vị là 0dB và độ lợi 2 là 3,01dB, thường được tính xấp xỉ là 3 dB. Đôi khi, trị này còn đặc trưng cho yếu tố suy giảm, là trị âm của dB, thí dụ độ lợi 1/ 2 ; tức là 0,707. hay - 3 dB, và độ suy giảm là 3 dB. Trong các bước thiết kế, ta giả sử là đã biết được Gp (độ lợi dải thông bé nhất) và Gs (độ lợi dải triệt lớn nhất). Hình 7.19 vẽ dải thông, dải triệt và dải chuyển tiếp của các mạch lọc thông thấp, thông dải, thông cao và triệt dải. Trong chương này, ta thảo luận về phương pháp thiết kế bốn dạng mạch lọc trên. Điều may mắn là các dạng thông cao, thông dải và triệt dải đều có thể tìm từ mạch lọc thông thấp cơ bản thông qua một số biến đổi tần số đơn giản. Thí dụ, khi thay s bằng c / s trong hàm truyền thông thấp cho ta mạch lọc thông cao. Tương tự, dùng các biến đổi tần số khác, ta có lọc thông dải và triệt dải. Do đó, ta chỉ cần phát triển phương pháp thiết kế cho dạng thông thấp cơ bản. Dùng các biến đổi tần số thích hợp, ta có thể thiết kế các dạng mạch lọc khác. Ta xem xét tiếp hai dạng mạch lọc nổi tiếng: mạch lọc Butterworth và lọc Chebyshev.
7.5 Mạch lọc Butterworth Đáp ứng biên độ H( j) của mạch lọc thông thấp Butterworth bậc n là: 1 H( j) (7.31) 2n  1 c Quan sát thấy tại  0, độ lợi H( j0) 1 và tại  c , độ lợi H( jc ) 1/ 2 hay 3dB . Độ lợi giảm theo 2 tại . Do công suất tỉ lệ với bình phương biên độ, tỉ số công suất (giữa công suất ra trên công suất vào) giảm theo thừa số 2 tại . Nên c được gọi là tần số nửa công suất hay tần số cắt 3dB (tỉ số biên độ là 3dB) Khi thiết kế thì thuận tiện nhất là xét hàm chuẩn hóa H(s), với tần số nửa công suất là 1 rad/s ( =1). Từ đó, đặc tính biên độ giảm thành 1 H(j) = (7.32) 1  2n Ta có thể chuẩn bị bảng hàm chuẩn hóa H(s) để có đáp ứng tần số trong phương trình (7.32) với các giá trị khác nhau của n. Khi đã có hàm truyền chuẩn hóa, ta có thể tìm được hàm truyền mong muốn H(s) với mọi giá trị của dùng phép tỉ lệ tần số đơn giản, khi ta thay s bằng s/ trong hàm chuẩn hóa H(s). Đáp ứng biên độ H(j) của hàm thông thấp Butterworth chuẩn hóa vẽ trong hình 7.20 với các giá trị khác nhau của n. Từ hình 7.20 ta thấy: 1. Đáp ứng biên độ Butterworth giảm đơn điệu. Hơn nữa, (2n – 1) đạo hàm đầu của đáp ứng biên độ là 0 tại . Do đó, đặc tính này được gọi là phẳng tối đa tại . Quan sát thấy đặc tính hằng (lý tưởng) là cực đại với mọi  1. Trong mạch lọc Butterworth ta cố giữa đặc tính này, ít nhất là tại gốc. 2. Độ lợi mạch lọc là 1 (0 dB) tại và 0,707 ( - 3 dB) tại  1 với mọi n. Do đó, băng thông 3 dB hay (nửa công suất ) là 1 rad/s với mọi n. 3. Khi n càng lớn, thì đáp ứng biên độ tiến dần về các đặc tính lý tưởng.
Để xác định hàm truyền H(j) tương ứng, cần nhớ H(-j) là liên hợp của H(j). Do đó 1 H(j) H(-j) = H(j) 2 = 1  2n Thế s = j vào phương trình, ta có : 1 H(j) H(-j) = 1 (s / j)2n Các cực của H(j) H(-j) được cho bởi: s2n ( j)2n Trong kết quả này, ta dùng tính chất 1 e j (2k 1) với trị nguyên của k, và j e j / 2 để có: s2n e j (2k 1 n) k: số nguyên Phương trình này cho các cực của H(j) H(-j) là j (2k n 1) 2n sk e k = 1, 2, 3, , 2n (7.33) Quan sát thấy mọi cực đều có biên độ đơn vị, tức là, đều nằm trên vòng tròn đơn vị trong mặt phẳng s, cách nhau góc /n, vẽ trong hình 7.21 cho các giá trị lẻ và chẵn của n. Do H(s) là ổn định và nhân quả, nên các cực nằm bên trái mặt phẳng phức. Cực của H(-s) là ảnh phản chiếu các cực của H(s) theo trục ngang. Do đó, các cực của H(s) nằm bên trái mặt phẳng phức còn cực của H(- s) nằm bến phải mặt phẳng phức vẽ trong hình 7.21. Các cực tương ứng với H(s) từ phương trình (7.33) khi thay k = 1, 2, 3, , n; tức là: j (2k n 1) s e 2n cos (2k n 1) j sin (2k n 1) k = 1, 2, 3, , n (7.34) k 2n 2n và H(s) được cho bởi 1 H(s) = (7.35) (s s1)(s s2 )(s sn )
Thí dụ, từ phương trình (7.34), ta thấy cực của H(s) khi n = 4 là các góc 5 /8, 7 /8, 9 /8 và 11 /8. Các cực này nằm trên vòng tròn đơn vị, vẽ trong hình 7.22 và cho bởi 0,3827 j0,9239, 0,9239 j0,3827 . Do đó, H(s) có thể viết thành H(s) 1 (s 0,3827 j0,9239)(s 0,3827 j0,9239)(s 0,9239 j0,3817)(s 0,9239 j0,3817) 1 1 (s2 0,7654s 1)(s2 1,8478s 1) s4 2,6131s3 3,4142s2 2,6131s 1 Ta có thể dùng cách này để tìm H(s) với trị bất kỳ của n. Tổng quát 1 1 H(s) = n n 1 (7.36) Bn (s) s an 1s  a1s 1 Trong đó Bn(s) là đa thức Butterworth bậc n. Bảng 7.1 cho các hệ số a1, a2, , an-2, an-1 với nhiều giá trị của n. Bảng 7.2 vẽ Bn(s) dạng thừa số. Từ bảng này, đọc giá trị khi n =4. 1 1 H(s) = s4 2,6131s3 3,4142s2 2,6131s 1 (s2 0,7654s 1)(s2 1,8478s 1) Kết quả này khẳng định lại tính toán trước đây Ta còn có thể tìm hàm truyền chuẩn hóa của mạch lọc Butterworth dùng hàm MATLAB [z, p, k]=buttap(n) để tìm cực, zêrô và độ lợi của hàm Butterworth chuẩn hóa bậc n. n n 1 Bảng 7.1 Các hệ số của đa thức Butterworth Bn (s) s an 1s  a1s a0 n a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 Bảng 7.2 Đa thức Butterworth ở dạng thừa số n Bn (s)  Thí dụ dùng máy tính C7.4
Dùng MATLAB, tìm các cực, zêrô, và thừa số độ lợi của hàm Butterworth chuẩn hóa bậc 4. [z, p, k]=buttap(4) MATLAB cho giá trị các cực, zêrô và thừa số độ lợi k, là đơn vị với mọi bậc.  Tỉ lệ tần số Bảng 7.1 và 7.2 cho giá trị chuẩn hóa của mạch lọc Butterworth với băng thông 3dB là c 1, kết quả này có thể mỡ rộng cho bất kỳ giá trị nào của c bằng cách thay s bằng s /c . Bước này cần thay  bằng /c trong phương trình (7.32). Thí dụ, mạch lọc Butterworth bậc hai với c 100 có thể tìm từ bảng 7.1 bằng cách thay s bằng s/100, cho ta: 1 1 H(s) 2 (7.37) s s s2 100 2s 104 2 1 100 100 Đáp ứng biên độ H( j) của mạch lọc trong phương trình (7.37) giống hàm chuẩn hóa H(j) trong phương trình (7.32), mở rộng với thừa số 100 theo trục ngang () (tỉ lệ tần số). Xác định n, bậc của mạch lọc ˆ Nếu Gx là độ lợi mạch lọc thông thấp tính theo đơn vị dB tại  x , thì theo phương trình (7.31) 2n  Gˆ 20log H( j ) 10log 1 x x 10 x  c ˆ ˆ Thay các đặc tính trong hình 7.19a (độ lợi G p tại  p và Gs tại s ) vào phương trình này, ta có: 2n 2n   Gˆ 10log 1 p và Gˆ 10log 1 s p  s  c c 2n ˆ  p Gp /10 Hay 10 1 (7.38a) c 2n ˆ s Gs /10 10 1 (7.38b) c Chia (7.38b) cho (7.38a), ta có: 2n ˆ 10 Gs /10 1 s ˆ và Gp /10  p 10 1
ˆ Gˆ /10 log 10 Gs /10 1 / 10 p 1 n   (7.39) 2log(s / p ) Ngoài ra, từ phương trình (7.38a)   p (7.40) c ˆ 1/ 2n 10 Gp /10 1 Từ phương trình (7.38b)   s (7.41) c ˆ 1/ 2n 10 Gs /10 1 ■ Thí dụ 7.6: Thiết kế mạch lọc thông thấp Butterworth thỏa các đặc tính trong hình (7.23): ˆ (i) Độ lợi dải thông nằm giữa 1 và Gp 0,794 (Gp 2dB ) với 0  10 . ˆ (ii) Độ lợi dải triệt không vượt quá Gs 0,1 (Gs 20dB ) với  20 . Bƣớc 1: Xác định n Trường hợp này  p 10 , s 20, và . Thay các giá trị này vào phương trình (7.39) n = 3,701 Do n phải là số nguyên, chọn n = 4 Bƣớc 2: Xác định c Thế n =4, vào phương trình (7.40), ta có c 10,693 Mặt khác, khi thế n =4 vào phương trình (7.41), ta có c 11,261 Do đã chọn n = 4 thay vì 3,701 nên ta có hai giá trị của c . Chọn sẽ thỏa được yêu cầu trong dải tần (0, 10), và vượt yêu cầu trong dải triệt  20 . Nói cách khác, chọn sẽ thỏa chính xác yêu cầu về Gs và quá thỏa mãn yêu cầu về Gp . Ta chọn trường hợp đầu ( ). Bƣớc 3: Xác định hàm truyền chuẩn hóa H(s) Hàm truyền chuẩn hoá bậc bốn H(s) tìm trong bảng 7.1 là 1 H(s) = s4 2,6131s3 3,4142s2 2,6131s 1 Bƣớc 3: Xác định hàm truyền sau cùng H(s) Hàm truyền mong muốn với có được từ cách thay s bằng s/10,693 trong hàm truyền chuẩn hóa H(s) là:
1 H(s) 4 3 2 s s s s 2,6131 3,4142 2,6131 1 10,693 10,693 10,693 10,693 13073,7 s4 27,942s3 390.4s2 3194,88s 13073,7 13073,7 (s2 8,1844s 114,34)(s2 19,785s 114,34) Đáp ứng biên độ của mạch lọc này cho bởi phương trình (7.31) với n = 4 và c 10,693 1 H( j) vẽ trong hình 7.23 8  1 10.693 Ta còn có thể dùng giá trị c 11,261. Chọn lựa này cho ta kết quả hơi khác. Tuy nhiên hai thiết kế này đều thỏa các đặc tính cho trước. ■  Thí dụ dùng máy tính C7.5 Giải bài tập 7.6 dùng MATLAB % Bước 1: Xác định n wp=10; ws=20; Gp=-2; Gs=-20; P1=-Gs/10; P2=-Gp/10; Wsp=ws/wp; nc=log()10^P1-1)/(10^P2-1))/(2*log(Wsp)); n = ceil(nc) % Bƣớc 2: Xác định Wc (phần tự chọn thỏa yêu cầu về dải thông thỏa mản hay % quá thỏa mãn các yêu cầu của dải triệt). Wc=wp/(10^P2-1)^(1/2*n));
% Bƣớc 3: Xác định hàm truyền chuẩn hóa H(s) for k=1:n A=(2*(k-1)+n+1)/(2*n); Sk=cos(A*pi)+j*(A*pi); s=[s Sk]; end s=s’ num1=[0 1]; den1=poly([s’]); % Bƣớc 4: Xác định hàm truyền cuối H(s) num2 = [0 Wc^n]; den2=poly(Wc*[s’]); fprintf(‘Bậc của mạch lọc là n = %i\n’,n) fprintf(‘Tần số cắt là Wc = %.4fi\n’,Wc) disp(‘Cực của hàm truyền là’),s disp(‘Hàm truyền chuẩn hoá bậc bốn là’) printsys(abs(num1),abs(den1)) disp(‘Hàm truyền khi thay s bằng s/Wc là’) printsys(abs(num2),abs(den2)) % Bƣớc 5: Đáp ứng biên độ của mach lọc w=0:.01:40; w=w’ [mag, phase, w]=bode(num2, den2,w ); plot(w,mag) Bậc của mạch lọc n =4 Tần số cắt của mạch lọc Wc = 10.6934 Cực của hàm truyền là s = –0.3827 – 0.9239i – 0.9239 – 0.3827i – 0.9239 + 0.3827i –0.3827 + 0.9239i Hàm truyền chuẩn hóa bậc bốn là 1 num / den s^4 2.613s^3 3.414s^2 2.613s 1 Hàm truyền khi thay s bằng s/Wc là 13,000 num / den  s^4 27.94s^3 390.4s^2 3195s 1.3e 004
Dùng m-file trong MATLAB Signal Processing Toolbox Ta cũng có thể tính hàm truyền mạch lọc dùng các m-file thích hợp trong Signal Processing Toolbox như trong các thí dụ dưới đây.  Thí dụ dùng máy tính C7.6 Dùng m-file trong MATLAB, thiết kế bộ lọc thông thấp Butterworth thỏa các đặc tính trong thí dụ 7.6 Wp=10; Ws=20; Gp= - 2; Gs = - 20; [n, Wc]=buttord(Wp, Ws, -Gp, -Gs, ‘s’); [num, den]=butter(n,Wc,;’s’); Trường hợp này num và den là các hệ số của đa thức tử số và mẫu số của bộ lọc cần có. Trong thí dụ này, đáp số của matlab là vectơ với n+1 phần tử là num = 0 0 0 0 16081 và den = 1 29 433 3732 16081; tức là 16081 H(s) s4 29s3 433s2 3732s 16081 Đây là lời giải khác với đặc tính băng thông bị vượt quá, nhưng dải triệt thì thỏa chính xác. Nói cách khác, nghiệm trong thí dụ C7.5 vượt quá các đặc tính dải triệt, nhưng thỏa chính xác các đặc tính dải thông do ta dùng phương trình (7.40) thay phương trình (7.41). Vẽ đồ thị đáp ứng biên độ, dùng ba hàm sau cùng của thí dụ C7.5.  Bài tập E 7.3 Xác định bậc n của mạch lọc thông thấp Butterworth thỏa các đặc tính sau ˆ ˆ Gp 0,5dB , Gs 20dB .  p 100 , s 200. Đáp số: 5.  7.6 Mạch lọc Chebyshev Đáp ứng biên độ của mạch lọc thông thấp Chebyshev chuẩn hóa cho bởi 1 H(j) = (7.42) 2 2 1  Cn () Trong đó Cn () là đa thức Cheebyshev bậc n, cho bởi 1 Cn () cos(ncos ) (7.43a)
Một dạng khác của Cn () là 1 Cn () cosh(ncosh ) (7.43b) Dạng (7.43a) là dạng thích hợp nhất để tính khi  1, và dạng (7.43b) là dạng thích hợp nhất để tính khi  1. Ta có thể chứng minh được là còn có thể biểu diễn thành dạng đa thức, như trong bảng 7.3 với n = 1 đến 10 Đáp ứng biên độ của hàm thông thấp Chebyschev chuẩn hóa (phương trình 7.42) vẽ trong hình 7.24 với n = 6 và n = 7. Ta chú ý một số điểm sau: Bảng 7.3: Đa thức Chebyshev n 1. Đáp ứng biên độ Chebyshev có nhấp nhô trong dải thông và mịn (đơn điệu) trong dải triệt. Dải thông là 0  1, và có tổng là n cực đại và cực tiểu trong dải thông 0  1. 2. Từ bảng 7.3, ta thấy Do đó, độ lợi dc là 3. Tham số  điều khiển cao độ của nhấp nhô. Trong dải thông, r, là tỉ số giữa độ lợi tối đa và tối thiểu là r 1  2 (7.46a) Tỉ số r khi viết theo dB là rˆ 20log 1  2 10log(1  2 ) (7.46b) Do đó:  2 10rˆ/10 1 (7.47) Do mọi nhấp nhô trong dải thông bằng với cao độ, đa thức Chebyshev Cn () được gọi là hàm có độ nhấp nhô bằng nhau (equal-ripple functions).
4. Nhấp nhô chỉ xuất hiện trong dải thông 0  1. Tại  1, đáp ứng biên độ là 1/ 1  2 1/ r . Khi  1, độ lợi giảm đơn điệu. ˆ 5. Bộ lọc Chebyshev, độ nhấp nhô rˆ dB thay cho G p (độ lợi tối thiểu trong dải thông). Thí dụ rˆ 2dB đặc trưng cho sự thay đổi lớn hơn 2dB không được chấp ˆ nhận trong dải thông. Trong mạch lọc Butterworth Gp 2dB có cùng ý nghĩa. 6. Nếu ta giảm độ nhấp nhô, đáp ứng củ dải thông được cải thiện, nhưng phải trả giá cho đáp ứng của dải triệt. Khi r giảm ( được giảm), độ lợi trong dải triệt tăng, và ngược lại. Do đó, có sự thỏa hiệp giữa độ nhấp nhô dải thông cho phép và độ suy giảm cần có trong dải triệt. Chú ý trong trường hợp cực độ  = 0 cho nhấp nhô là zêrô, nhưng bộ lọc trở thành mạch lọc allpass, xem từ phương trình 7.42, bằng cách cho  = 0. 7. Cuối cùng, lọc Chebyshev có tần số cắt sắc cạnh hơn (dải chuyển tiếp thấp hơn) so với bộ lọc Butterworth với cùng bậc, nhưng phài trả giá là có nhấp nhô ở dải thông. Xác định n (bậc của mạch lọc) Trong mạch lọc Chebyshev chuẩn hóa, độ lợi Gˆ tính theo dB (xem phương trình 7.42) là: ˆ 2 2 G 10log[1  Cn ()] Là độ lợi tại tần số s , đo đó: ˆ 2 2 Gs 10log[1  Cn (s )] (7.48) ˆ 2 2 Gs /10  Cn (s ) 10 1 Thay phương trình (7.43b) và (7.47) vào phương trình trên, ta có ˆ 1/ 2 Gs /10 1 10 1 coshncosh (s ) rˆ /10 , vậy 10 1 ˆ 1/ 2 Gs /10 1 1 10 1 n 1 cosh rˆ/10 (7.49a) cosh (s ) 10 1 Chú ý các phương trình trên dùng cho mạch lọc chuẩn hóa, với  p 1. Trường hợp tổng quát, ta thay s bằng (s / p )để có ˆ 1/ 2 Gs /10 1 1 10 1 n 1 cosh rˆ/10 (7.49b) cosh (s / p ) 10 1 Vị trí cực Ta có thể dùng các bước của mạch lọc Butterworth để có được vị trí cực trong mạch lọc Chebyshev. Các bước này tuy đơn giản, nhưng dài dòng và không cho thấy thâm hiểu biết đặc biệt gì để phát triển. Các cực của mạch lọc Butterworth nằm trên nửa vòng tròn. Ta có thể thấy là cực bậc n của lọc Chebyshev chuẩn hóa nằm trên nửa ellip với nữa trục lớn và nửa trục nhỏ lần lượt là cosh x và sinh x, trong đó:
1 1 x sinh 1 (7.50) n  Các cực của bộ lọc Chebyshev là: (2k 1) (2k 1) sk sinh x j cos cosh x k 1,2,,n (7.51) 2n 2n Dùng hình học để xác định vị trí cực được vẽ trong hình 7.25 khi n =3. Phương pháp tương tự dùng khi n là bất kỳ; bao gồm việc vẽ hai nửa vòng tròn có bán kính a sinh x và b cosh x . Ta vẽ đường xuyên tâm dọc theo các góc Butterworth tương ứng và định vị các cực bậc n (theo giao điểm) của hai vòng tròn. Vị trí cực bậc k là giao điểm của hình chiếu trục ngang và hình chiếu trục dọc từ các cực bậc k bên trong và bên ngoài vòng tròn của Butterworth tương ứng. Hàm truyền H(s) của mạch lọc thông thấp Chebyshev chuẩn hóa bậc n là Kn Kn H(s) n n 1 (7.52) C'n (s) s an 1s  a1s a0 Hằng số Kn được chọn lọc để có độ lợi dc thích hợp, như vẽ trong phương trình (7.45), kết quả là Các bước thiết kế được đơn giản đáng kể nhờ các bảng lập sẵn các đa thức C'n (s) trong phương trình (5.72) hay vị trí các cực của H(s). Bảng 7.4 liệt kê các hệ số a0, a1, a2, an-1 của đa thức trong phương trình (7.52) với rˆ = 0,5; 1; 2 và 3 dB độ nhấp nhô tương ứng với các giá trị  = 0,3493, 0,5088, 0,7648 và 0, 9976. Bảng 7.5 liệt kê các giá trị mở rộng của (hay ) thường gặp. Ta cũng có thể dùng các hàm MATLAB trong trường hợp này.
 Thí dụ dùng máy tính C7.7 Dùng MATLAB, tìm các cực, zêrô và thừa số độ lợi của bộ lọc Chebyshev chuẩn hóa bậc 3 với rˆ = 2dB. [z, p, k] = cheblap(3,2)  Bảng 7.4: Các hệ số của đa thứ mẫu số của bộ lọc Chebyshev n 1 n 2 C'n sn an 1s an 2s  a1s a0 n a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 Bảng 7.5 Vị trí cực của mạch lọc Chebyshev rˆ 0,5 rˆ 1 rˆ 2 rˆ 3
■ Thí dụ 7.7: Thiết kế mạch lọc thông thấp thỏa các tiêu chuẩn sau (hình 7.26) ˆ Tỉ số rˆ 2dB trong dải thông 0  10 ( p 10 ). Độ lợi dải triệt là Gs 20dB với  16.5 (s 16,5). Quan sát thấy các đặc tính này giống trường hợp 7.6, trừ trong dải chuyển tiếp. Dải chuyển tiếp này là từ 10 đến 16,5, trong khi trong thí dụ 7.6 là 10 đến 20. Cho dù có các yêu cầu nghiêm ngặt, ta sẽ thấy là Chebyshev cần có bộ lọc bậc thấp hơn bộ lọc Butterworth trong thí dụ 7.6.
Bƣớc 1: Xác định n Từ phương trình (7.49b), ta có: 2 1/ 2 1 1 10 1 n 1 cosh 0,2 2,999 cosh (1.65) 10 1 Do n phải là số nguyên, ta chọn n = 3. Quan sát thấy ngay cả khi có yêu cầu nghiêm ngặt hơn, mạch lọc Chebyshev chỉ yêu cầu n = 3. Tuy nhiên, đáp ứng dải thông của mạch lọc Butterworth là tốt hơn (phẳng tối đa tại  = 3) so với trường hợp Chebyshev, lại có đặc tính dải thông nhấp nhô. Bƣớc 2: Xác định H(s) Ta dùng bảng 7.4 để xác định H(s). Khi n = 3 và rˆ =2 dB, ta đọc các hệ số của đa thức mẫu số của H(s) là a0 0,3269 , a1 1,0222, và a2 0,7378 . Đồng thời trong phương trình (7.53), khi n lẻ, mẫu số được cho bởi Kn a0 0,3269 . Do đó 0,3269 H(s) (7.54) s3 0,7378s2 1,0222s 0,3269 Do có vô số khả năng tổ hợp n và rˆ , bảng 7.4 (hay 7.5) có thể liệt kê giá trị các hệ số của mẫu số chỉ với giá trị tăng của . Với các giá trị của và không liệt kê trong bảng 7.4 (hay 7.5), ta có thể tính vị trí cực từ phương trình (5.71). Để minh họa, ta tính H(s) dùng phương pháp này. Trong trường hợp này giá trị của  là (xem phương trình 7.41)  10rˆ/10 1 100,2 1 1 1 1 x sinh 1 sinh 1(1,3077) 0,3610 n  2 Tiếp tục, từ phương trình (7.51), ta có s1 0,1844 j0,9231, s2 0,3689 , và s3 0,1844 j0,9231. Do đó K H(s) n (s 0,3689)(s 0,1844 j0,9231)(s 0,1844 j0,9231)
K 0,3269 n s3 0,7378s2 1,0222s 0,3269 s3 0,7378s2 1,0222s 0,3269 Điều này giúp khẳng định kết quả trước đây. Bƣớc 3: Xác định H(s) Nhắc lại là  p 1 cho trường hợp hàm truyền chuẩn hóa. Khi  p 10 , thì tìm hàm truyền H(s) có thể tìm từ hàm truyền chuẩn hóa bằng cách thay s thành s /p s /10 . Do đó; 0,3269 H(s) s s s ( 0,3689)( 0,1844 j0,9231)( 0,1844 j0,9231) 10 10 10 326,9 s3 7,378s2 102,22s 326,9 Trường hợp này rˆ = 2dB tức là (xem phương trình 7.47)  2 100,2 1 0,5849 Đáp ứng tần số (xem phương trỉnh 7.42 và bảng 7.3) 1 H(j) = 1 0,5849(43 3)2 Đây là đáp ứng biên độ chuẩn hóa của mạch lọc. Đáp ứng mạch lọc thực thế H( j) có bằng cách thay  bằng (/p); tức là, dùng (/10) trong H(j) 1 103 = 3 2 6 4 2 6   9,3584 1403,76 52640 10 1 0,5849 4 10 10 Quan sát thấy cho dù có các đặc tính nghiêm ngặt hơn sao với thí dụ 7.6, mạch lọc Chebyshev chỉ cần có n = 3 so với trường hợp mạch lọc Butterworth trong thí dụ 7.6, cần n 4. Hình 7.26 vẽ đáp ứng biên độ. ■  Thí dụ dùng máy tính C7.8 Thiết kế mạch lọc thông thấp Chebyshev có các đặc tính của thí dụ 7.7 dùng các hàm trong Signal Proceesing Toolbox trong MATLAB Wp=10; Ws=16.5; r=2; Gs=-20; [n, Wp]=cheb1ord(Wp, Ws, r, -Gs, ‘s’); [num, den]=cheby1(n, r, Wp, ‘s’); MATLAB cho n = 3 và num = 0 0 0 326.8901, den= 1 7.3782 102,219 326.8901; tức là 326,8901 H(s) s3 7,3782s2 102,219s 326,8901
Là kết quả trong thí dụ 7.7. Để vẽ đáp ứng biên độ, ta có thể dùng ba hàm cuối trong thí dụ C7.5.  Bài tập E 7.4 Xác định bậc n của mạch lọc thông thấp Butterworth thỏa các đặc tính sau ˆ ˆ Gp 0,5dB , Gs 20dB .  p 100 , s 200. Đáp số: 5.  Bài tập E 7.4 Xác định bậc n của mạch lọc thông thấp Chebyshev thỏa các đặc tính sau rˆ 2dB , ,  p 10 rad/s và s 28 rad/s. Đáp số: n =2 50,5823 50,5823 H(s) (s 4,0191 j6,8937)(s 4,0191 j6,8937) s2 8,0381s 63,6768 a0 Hướng dẫn: Trong trường hợp này K2 1  2 Mạch lọc Chebyshev nghịch Đáp ứng dải thông của mạch lọc Chebyshev ngăn nhấp nhô và có dải triệt mịn. Thông thường, đáp ứng dải thông quan trọng hơn và ta thường cần có dải thông mịn. Tuy nhiên, độ nhấp nhô có thể được chấp nhận trong dải triệt bao lâu mà chúng còn thỏa được các tiêu chí. Mạch lọc Chebyshev nghịch thực hiện chính xác điều này. Hai dạng lọc Butterworth và Chebyshev đều có hữu hạn cực và không hữu hạn zêrô. Mạch lọc Chebyshev nghịch có số zêrô hữu hạn và số cực hữu hạn. Điều này cho dải thông phẳng tối đa và đáp ứng dải triệt với độ nhấp nhô bằng nhau. Có thể tìm đáp ứng Chebyshev nghịch từ Chebyshev theo hai bước sau: Gọi HC() 2 là đáp ứng biên độ cho từ phương trình (7.42). Bước đầu, ta trừ HC() với 1 để có đặc tính mạch lọc thông cao trong đó dải triệt (từ 0 đến 1) có nhấp nhô và dải thông (từ 1 đến ) là mịn. Bước hai, ta hoán chuyển dải triệt và dải thông bằng phép biến đổi tần số với  được thay bằng 1/. Bước này đảo ngược dải thông từ 1 đến thành từ 0 đến 1, và dải triệt bây giờ là từ 1 đến . Hơn nữa, dải thông bây giờ thành mịn và dải triệt có nhấp nhô. Đây chính xác là đáp ứng biên độ Chebyshev nghịch H() cho bởi 2 2 2 2  Cn (1/) H() = 1- HC() = 2 2 1  Cn (1/) Với C n() là đa thức Chebyshev bậc n được liệt kê trong bảng 7.3. Mạch lọc Chebyshev nghịch thích hợp hơn lọc Chebyshev trong một số cách. Thí dụ, đáp ứng dải thông, đặc biệt với  nhỏ, của lọc Chebyshev nghịch tốt hơn trường hợp Chebyshev và ngay cả lọc Butterworth với cùng bậc. Lọc Chebyshev nghịch còn có dải chuyển tiếp nhỏ nhất trong ba loại mạch lọc. Hơn nữa, đặc tính của hàm pha (hay trễ theo thời gian) của lọc Chebyshev nghịch tốt hơn trường hợp lọc Chebyshev. Hai dạng lọc Chebyshev và Chebyshev nghịch đều cần cùng bậc n để đạt được các đặc tính cho trước. Nhưng khi thực hiện thì lọc Chebyshev nghịch cần nhiều phần tử hơn nên không kinh tế bằng Chebyshev. Tuy nhiên, với cùng tính năng thì Chebyshev nghịch lại cần ít phần tử
hơn so với lọc Butterworth. Xét phương pháp giải bài toán dùng hàm MATLAB từ Signal Processing Toolbox.  Thí dụ dùng máy tính C7.9 Thiết kế mạch lọc thống thấp Chebyshev nghịch với các đặc tính của thí dụ 7.7 dùng các hàm trong Signal Processing Toolbox của MATLAB. Wp=10; Ws=16.5; Gp=-2; GS= -20; [n, Ws]=cheb2ord(Wp, Ws, - Gp, -Gs, ‘s’); [num, den]=cheby2(n, -Gs, Ws, ‘s’) MATLAB xuất các giá trị n = 3 và num= 0 5 0 1805.9, den = 1 23,2 256,4 1805.9; tức là 5s2 1805,9 H(s) s3 23,2s2 256,4s 1805,9 Để vẽ đáp ứng biên độ, dùng ba hàm cuối trong thí dụ C7.5  7.6-2 Lọc dạng ellip Nhắc lại, trong phần 7.4 khi đặt zêrô trên trục ảo (tại s j ) làm độ lợi H( j) tiến về zêrô (infinite attenuation). Ta có thể thực hiện đặc tính với tần số cắt sắc cạnh hơn bằng cách đặt một (hay nhiều) zêrô gần  s . Các mạch lọc Butterworth hay Chebyshev không dùng các zêrô trong H(s). Nhưng bộ lọc ellip thì dùng và đó là lý do làm mạch lọc ellip có tính ưu việt hơn. Mạch lọc Chebyshev có dải chuyển tiếp bé hơn so với lọc Butterworth do lọc Chebyshev cho phép có nhấp nhô trong dải thông (hay dải triệt). Nếu ta cho phép có nhấp nhô trong cả dải thông và dải triệt, ta có giảm thiểu hơn nửa trong dải chuyển tiếp. Đây là trường hợp mạch lọc ellip (hay lọc Cauer), có đáp ứng biên độ chuẩn hóa là: 1 H(j) = 2 2 1  Rn () Với Rn () Là hàm hữu tỉ Chebyshev bậc n được xác định từ đặc tính nhấp nhô cho trước. Tham số  kiểm soát độ nhấp nhô. Độ lợi tại  p ( p =1 trong trường hợp chuẩn 1 hóa) là 1  2 Lọc ellip còn hiệu quả hơn nếu ta cho phép nhấp nhô trong cả dải thông và dải triệt. Với cùng dải chuyển tiếp, nó cung cấp tỉ số dải thông trên dải triệt lớn nhất. hay với cùng tỉ số độ lợi tại dải thông trên độ lợi tại dải triệt, nó cần có dải chuyển tiếp bé nhất. Tuy nhiên, bù lại, ta phải chấp nhận độ nhấp nhô trong cả dải thông và dải triệt. Hơn nửa, do có zêrô ở tử số của H(s), đáp ứng mạch lọc ellip giảm với tốc độ chậm hơn tại các tần số cao hơn s . Thí dụ, đáp ứng biên độ của mạch lọc bậc ba ellip chỉ giảm với tốc độ 6dB / octave tại các tần số rất cao. Điều này là do mạch lọc có hai zêrô và ba cực. Hai
zêrô làm tăng đáp ứng biên độ với tốc độ 12 dB/octave, và hai cực giảm đáp ứng biên độ vối tốc độ 18dB / octave, nên cuối cùng tạo tốc độ giảm 6dB / octave . Trường hợp mạch lọc Butterworth và Chebyshev, không có zêrô trong H(s). Do đó. các đáp ứng biên độ giảm với tốc độ . Tuy nhiên, tốc độ giảm đáp ứng biên độ rất ít quan trọng bao lâu mà ta đạt đúng các chỉ tiêu của Gs tại s. Việc tính toán vị trí của hàm ellip còn phức tạp hơn nhiều so với mạch lọc Butterwrth và nagy cả lọc Chebyshev. Điều này có thể giải quyết dùng các chương trình máy tính hay các bảng tính sẳn. Hàm MTLAB [z, p, k]=ellipap(n, Gp, -Gs) trong Signal Processing Toolbox xác định các cực, zêrô, và thừa số độ lợi của mạch thông thấp analog ellip dạng chuẩn hóa bậc n với độ lợi dải thông tối thiểu Gp dB, và dải triệt tối đa Gs dB. Biên dải thông chuẩn hóa là 1 rad/s.  Thí dụ dùng máy tính C7.10 Thiết kế mach lọc thông thấp ellip dùng đặc tính trong thí dụ 7.7 dùng các hàm trong Signal Processing Toolbox của MATLAB. Wp=10; Ws=16.5; Gp=-2; Gs=-20; [n, Wp]=ellipord(Wp, Ws, - Gp, Gs,’s’); [num, den]=ellip(n, -Gp, -Gs, Wp, ‘s’) MATLAB xuất n =3 và num =0 2.7881 0 148.1626, den =1 7.261 106.9991 481.1626; tức là 2,7881s2 481,1626 H(s) s3 7,261s2 106,9991s 148,1626 Để vẽ đáp ứng biên độ, dùng ba hàm cuối trong thí dụ C7.5  7.7 Biến đổi tần số Ta đã thấy là mạch hàm truyền của mạch thông thấp với đặc tính bất kỳ có thể thể tìm từ mạch lọc thông thấp chuẩn hóa dùng phép tỉ lệ tần số. Dùng phép biến đổi tần số nào đó, ta có thể có được hàm truyền của mạch thông cao, thông dải và triệt dải từ thiết kế của mạch thông thấp cơ bản (mạch lọc nguyên mẫu). Thí dụ, hàm truyền mạch lọc thông cao có thể dùng hàm truyền thông thấp nguyên mẫu bằng cách thay s bằng  p / s . Biến đổi tương tự cho phép ta thiết kế dải thông và dải triệt của mạch lọc từ mạch lọc thông thấp nguyên mẫu thích hợp. Mạch lọc nguyên mẫu có thể có là Butterworth, Chebyshev, ellip , v.v., Đầu tiên, ta thiết kế mạch thông thấp nguyên mẫu H(s). Tiếp đến, ta thay s với biến đổi thích hợp T(s) để có mạch lọc thông cao, thông dải và triệt dải cần thiết. 7.7-1 Mạch thông cao Hình 7.27a vẽ đáp ứng biên độ của mạch thông cao tiêu biểu. Đáp ứng thông thấp nguyên mẫu thích hợp cho thiết kế mạch thông cao trong hình 7.27a được vẽ trong hìh 7.27b, Đầu tiên ta xác định hàm truyền mạch nguyên mẫu Hp(s) với dải thông 0  1 và dải triệt là  p /s . Hàm truyền cần có cho lọc thông cao thỏa được các đặc tính trong hình 7.27a khi thay s bằng T(s) trong Hp(s), với:
 T(s) p (7.55) s ■ Thí dụ 7.8: Thiết kế mạch lọc thông cao Chebyshev có đặc tính đáp ứng biên độ vẽ trong hình 7.28a với s 100 ; p 165,Gs 0,1( 20dB), và Gp 0,794( 2dB) Bƣớc 1: Xác định bộ lọc thông thấp nguyên mẫu Mạch thông thấp nguyên mẫu có ˆ p 1 và ˆs 165/100 1,65 . Tức là mạch lọc nguyên mẫu trong hinh 7.27b có dải thông là 0  1 và dải triệt  1,65, vẽ trong hình 7.28b. Đồng thời, , và . Ta đã thiết kế mạch lọc
Chebyshev với các đặc tính trong thí dụ 7.7. Hàm truyền của mạch lọc là (phương trình 7.54) 0,3269 Hp(s) = s3 0,7378s2 1,0222s 0,3269 Đáp ứng biên độ của mạch lọc nguyên mẫu được vẽ trong hình 7.28b. Bƣớc 2: Thay s bằng T(s) trong Hp(s) Hàm truyền H(s) của mạch lọc thông cao cần được lấy từ Hp(s) khi thay s bằng T(s) P / s 165/ s . Do đó 0,3269 H(s) 3 2 165 165 165 0,7378 1,0222 0,3269 s s s 0,3269 H(s) s3 515,94s2 61445,75s 13742005 Đáp ứng biên độ H( j) của mạch lọc được vẽ trong hình 7.28a ■  Thí dụ dùng máy tính C7.11 Thiết kế mạch thông cao dùng các đặc tính trong thí dụ 7.8 dùng các hàm trong Signal Processing Toolbox trong MATLAB. Ta liệt kê các hàm MATLAB cho mọi loại mạch lọc. Ws=100; Wp=165; Gp=-2; Gs=-20; %Butterworth [n, Wn]=buttord(Wp, Ws, - Gp, -Gs, ‘s’) [num, den]=butter(n, Wn, ‘high’,’s’) %Chebyshev [n, Wn]=cheb1ord(Wp, Ws, - Gp, -Gs, ‘s’) [num, den]=cheby1(n, -Gp,Wn, ‘high’,’s’) %Chebyshev nghịch [n, Wn]=cheb2ord(Wp, Ws, - Gp, -Gs, ‘s’) [num, den]=cheby2(n, -Gs,Wn, ‘high’,’s’) % Ellip [n, Wn]=ellipord(Wp, Ws, - Gp, -Gs, ‘s’) [num, den]=ellip(n, -Gp, -Gs, Wn, ‘high’,’s’) Để vẽ đáp ứng biên độ, dùng ba hàm cuối trong thí dụ C7.5 
7.7-2 Mạch thông dải Hình 7.29a vẽ đáp ứng biên độ của mạch thông dải tiêu biểu. Để thiết kế dạng lọc này, trước hết cần tìm Hp(s), là hàm truyền của mạch lọc thông thấp nguyên mẫu, để đạt các tiêu chí trong hình 7.29b, trong đó s là trị bé nhất của    2  2   p1 p2 s1 hay s2 p1 p2 (7.56)  (  )  (  ) s1 p2 p1 s2 p2 p1 Tiếp đến tìm hàm truyền của mạch lọc thông dải thỏa các đặc tính trong hình 7.29a lấy từ Hp(s) bằng cách thay s bằng T(s), trong đó s2   T(s) p1 p2 (7,57) (  )s p2 p1
■ Thí dụ 7.9 Thiết kế mạch lọc thông dải Chebyshev dùng đặc tính đáp ứng biên độ vẽ trong hình 7.30a với  1000 ,  2000 ,  450,  4000, G 0,1( 20dB), và p1 p2 s1 s2 s Gp 0,891( 1dB) . Quan sát thấy với bộ lọc Chebyshev, Gp 1dB tương đương với rˆ 1dB. Lời giải được thực hiện theo hai bước: bước đầu, xác định hàm truyền bộ lọc thông thấp nguyên mẫu Hp(s). Bước thứ hai, tìm hàm truyền bộ lọc thông dải cần thiết từ Hp(s) bằng cách thay s với T(s), là biến đổi thông dải trong phương trình (7.57) Bƣớc 1: Tìm Hp(s), hàm truyền bộ lọc thông thấp nguyên mẫu Được thực hiện theo ba bước sau: Bƣớc 1.1: Tìm s của bộ lọc nguyên mẫu Tần số s được tìm từ phương trình (7.56), phải nhỏ hơn: (1000)(2000) (450)2 (4000)2 (1000)(2000) 3,99 và 3,5 450(2000 1000) 4000(2000 1000) Nên ta chọn 3,5 Bƣớc 1.2: Xác định n ˆ Ta cần thiết kế mạch lọc thông thấp nguyên mẫu trong hình 7.29b với Gp 1dB , ˆ Gs 20dB ,  p = 1 và =3,5 vẽ trong hình 7.30b. Bậc n của mạch lọc Chebyshev thỏa các đặc tính được lấy từ phương trình (7.49b) hay phương trình (7.49a), do = 1, là: 2 1/ 2 1 1 10 1 n 1 cosh 0,1 1,904 lấy tròn n = 2 cosh (3,5) 10 1 Bƣớc 1.3: Xác định hàm truyền bộ lọc nguyên mẫu Hp(s) Ta có hàm truyền của mạch lọc Chebyshev bậc hai bằng cách tính các cữa khi n =2 và rˆ 1 ( = 0,5088) dùng phương trình (5.72). Tuy nhiên, do bảng 7,4 đã liệt kê đa thức tử số khi và n = 2, ta không cần thực hiện tính toán và tìm ngay được hàm truyền là: 0,9826 Hp(s) (7.48) s2 1,0977s 1,1025 a0 1,1025 Ta đã dùng phương trình (7.53) để tìm tử số Kn 0,9826 1  2 1,2589 Đáp ứng biên độ của mạch lọc nguyên mẫu này vẽ trong hình 7.30b. Bƣớc 2: Tìm hàm truyền thông dải cần thiết H(s) dùng phép biến đổi từ thông thấp sang dải thông Cuối cùng hàm truyền H(s) của mạch lọc thông dải cần được lấy từ Hp(s) từ cách thay s bằng T(s), trong đó (xem phương trình (7.57) s2 2(10)6 T(s) 1000s
Thay s bằng T(s) trong vế phải của phương trình (7.58), ta có hàm truyền thông dải 9,826(10)5 s2 H(s) s4 1097,7s3 5,1025(10)6 s2 2,195(10)9 s 4(10)12 Đáp ứng biên độ H( j) của mạch lọc này được vẽ trong hình 7.30a. ■ Ta có thể dùng các bước tương tự cho mach lọc Butterworth. So sánh với thiết kế Chebyshev, thiết kế mạch lọc Butterworth cần thêm hai bước nữa. Đầu tiên, ta cần tính tần số cắt c của mạch lọc nguyên mẫu. Đối với mạch lọc Chebyshev, tần số tới hạn xuất hiện tại tần số có độ lợi là Gp. Tần số này là  1 trong mạch lọc Butterworth nguyên mẫu. Ngược lại, trong mạch lọc Butterworth, tần số tới hạn c là tần số nửa công suất (hay tần số cắt -3 dB), không nhất thiết là tần số với độ lợi Gp. Đề tìm hàm truyền của bộ lọc Butterworth nguyên mẫu, điều cơ bản là phải tìm . Một khi đã biết được , hàm truyền của bộ lọc nguyên mẫu có thể tìm bằng cách thay s bằng s/c trong hàm truyền chuẩn hóa H (s). Bước này cũng không cần thiết trong thiết kế mạch lọc Chebyshev. Ta minh họa các bước này trong thí dụ dưới đây. ■ Thí dụ 7.10 Thiết kế mạch lọc thông dải Butterworth có đặc tính đáp ứng tần số vẽ trong hình 7.31a với với  1000 ,  2000 ,  450,  4000, G 0,1( 20dB), và p1 p2 s1 s2 s Gp 0,7596( 2,4dB) . Trong thí dụ trước, lời giải được thực hiện trong hai bước: bước đầu, ta xác định hàm truyền của bộ lọc thông thấp nguyên mẫu Hp(s). Trong bước thứ hai, tìm hàm truyền mạch lọc thông thấp nguyên mẫu từ Hp(s) bằng cách thay s với T(s), là biến đổi từ thông thấp sang thông dải trong phương trình (7.57)
Bƣớc 1: Tìm Hp(s), hàm truyền bộ lọc thông thấp nguyên mẫu Mục tiêu này được thực hiện trong 5 bước con dùng thiết kế mạch lọc thông thấp Butterworth (xem thí dụ 7.6) Bƣớc 1.1: Tìm s của bộ lọc nguyên mẫu Trong hàm truyền của mạch lọc thông thấp nguyên mẫu Hp(s) với đáp ứng biên độ cho trong hình 7.31b, thì tần số  p được tìm (từ phương trình 7.56) phải nhỏ hơn: (1000)(2000) (450)2 (4000)2 (1000)(2000) 3,99 và 3,5 450(2000 1000) 4000(2000 1000) Nên ta chọn 3,5 như vẽ trong hình 7.31b Bƣớc 1.2: Xác định n ˆ Ta cần thiết kế mạch lọc thông thấp nguyên mẫu trong hình 7.29b với Gp 2,4dB , ˆ Gs 20dB ,  p = 1 và =3,5.Theo phương trình (7.39), thì bậc n của mạch lọc Chebyshev thỏa các đặc tính này là 1 102 1 n log 0,24 1,955 lấy tròn n = 2 2log 3,5 10 1 Bƣớc 1.3: Xác định c Trong bước này (không cần thiết khi thiết kế mạch lọc Chebyshev), ta xác định tần số cắt 3 dB cho bỗ lọc nguyên mẫu. Dùng phương trình (7.41), ta có: 3,5  1,10958 c (102 1)1/ 4 Bƣớc 1.4: Xác định hàm truyền chuẩn hóa H(s) Hàm truyền chuẩn hóa bộ lọc Butterworth bậc hai lấy từ bảng 7.1 là 1 H(s) = s2 2s 1 Đây là hàm truyền chuẩn hóa của mạch lọc (tức với =1) Bƣớc 1.5: Xác định hàm truyền bộ lọc nguyên mẫu Hp(s) Hàm truyền mạch lọc nguyên mẫu Hp(s) có được bằng cách thay s bằng s /c s /1,10958 vào hàm truyền chuẩn hóa H(s) vừa tìm được trong bước 1.4 là (1,10958)2 1,231 Hp(s) (7.59) s2 2(1,10958)s (1,10958)2 s2 1,5692s 1,2312 Đáp ứng biên độ của mạch lọc nguyên mẫu được vẽ trong hình 7.31b. Bƣớc 2: Tìm hàm truyền thông dải cần thiết H(s) dùng phép biến đổi từ thông thấp sang dải thông Cuối cùng hàm truyền H(s) của mạch lọc thông dải cần được lấy từ Hp(s) từ cách thay s bằng T(s), trong đó (xem phương trình (7.57) s2 2(10)6 T(s) 1000s
Thay s bằng T(s) trong vế phải của phương trình (7.59), ta có hàm truyền thông dải 1,2312(10)6 s2 H(s) s4 1569s3 5,2312(10)6 s2 3,1384(10)9 s 4(10)12 Đáp ứng biên độ H( j) của mạch lọc này được vẽ trong hình 7.31a. ■  Thí dụ dùng máy tính C7.12 Thiết kế mạch thông dải dùng các đặc tính trong thí dụ 7.10 dùng các hàm trong Signal Processing Toolbox trong MATLAB. Ta liệt kê các hàm MATLAB cho bốn loại mạch lọc. Trong mạch lọc thông dải, ta dùng cùng các hàm đã dùng trong mạch lọc thông thấp ở thí dụ C7.6, C7.8, C7.10, chỉ với một điểm khác: Wp và Ws là hai vectơ phần tử Wp = [Wp1 Wp2], Ws = [Ws1 Ws2] Wp=[1000 2000]; Ws=[450 4000]; Gp=-2; Gs=-20; %Butterworth [n, Wn]=buttord(Wp, Ws, -Gp, -Gs, ‘s’) [num, den]=butter(n, Wn, ‘s’) %Chebyshev [n, Wn]=cheb1ord(Wp, Ws, -Gp, -Gs, ‘s’) [num, den]= cheby1 (n, -Gp, Wn, ‘s’) %Chebyshev nghịch [n, Wn]=cheb2ord(Wp, Ws, -Gp, -Gs, ‘s’) [num, den]= cheby2 (n, -Gs, Wn, ‘s’) %Loc ellip [n, Wn]=ellipord(Wp, Ws, -Gp, -Gs, ‘s’) [num, den]= ellip (n, -Gp, -Gs, Wn, ‘s’) Để vẽ đáp ứng biên độ, dùng ba hàm cuối trong thí dụ C7.5  7.7-3 Mạch triệt dải Hình 7.32a vẽ đáp ứng biên độ của mạch lọc triệt dải. Đề thiết kế, đầu tiên ta phải tìm Hp(s) là hàm truyền của bộ lọc thông thấp nguyên mẫu, để đạt được các tiêu chí trong hình 7.32b, trong đó s là trị bé nhất của (  ) (  ) p2 p1 s1 hay p2 p1 s2 (7. 60)    2  2   p1 p2 s1 s2 p2 p1 Hàm truyền mạch triệt dải cần có để thỏa các đặc tính trong hình 7.32a có được từ Hp(s) bằng cách thay s bằng T(s), trong đó (  )s T(s) p2 p1 (7.61) s2   p1 p2
■ Thí dụ 7.10 Thiết kế mạch lọc triệt dải Butterworth có đặc tính đáp ứng tần số vẽ trong hình 7.33a với với  60 ,  260 ,  100 ,  150 , G 0,1( 20dB) , và p1 p2 s1 s2 s Gp 0,776( 2,2dB) . Trong bước đầu, ta xác định hàm truyền của bộ lọc thông thấp nguyên mẫu Hp(s). Trong bước thứ hai, ta dùng biến đổi từ thông thấp sang triệt dải trong phương trình (7.61) để có hàm truyền triệt dải cần có H(s). Bƣớc 1: Tìm Hp(s), hàm truyền bộ lọc thông thấp nguyên mẫu Mục tiêu này được thực hiện trong 5 bước con dùng thiết kế mạch lọc thông thấp Butterworth (xem thí dụ 7.6) Bƣớc 1.1: Tìm s của bộ lọc nguyên mẫu Trong hàm truyền của mạch lọc thông thấp nguyên mẫu Hp(s) với đáp ứng biên độ cho trong hình 7.32b, thì tần số  p được tìm (từ phương trình 7.60) phải nhỏ hơn:
(100)(260 60) 150(260 60) 3,57 và 4,347 (260)(60) 1002 1502 (260)(60) Nên ta chọn 3,57 như vẽ trong hình 7.33b Bƣớc 1.2: Xác định n ˆ Ta cần thiết kế mạch lọc thông thấp nguyên mẫu trong hình 7.33b với Gp 2,2dB , ˆ Gs 20dB ,  p = 1 và s =3,57. Theo phương trình (7.39), thì bậc n của mạch lọc Butterworth thỏa các đặc tính này là 1 102 1 n log 0,22 1,9689 lấy tròn n = 2 2log(3,57) 10 1 Bƣớc 1.3: Xác định c Trong bước này ta xác định tần số cắt 3 dB cho bộ lọc Butterworth nguyên mẫu. Dùng phương trình (7.40), ta có:  p 1 c ˆ 0,22 1/ 4 1,1096 (10 Gp /10 1)1/ 2 (10 1) Bƣớc 1.4: Xác định hàm truyền chuẩn hóa H(s) Hàm truyền chuẩn hóa bộ lọc Butterworth bậc hai lấy từ bảng 7.1 là 1 H(s) = (7.62) s2 2s 1 Bƣớc 1.5: Xác định hàm truyền bộ lọc nguyên mẫu Hp(s) Hàm truyền mạch lọc nguyên mẫu Hp(s) có được bằng cách thay s bằng s /c s /1,1096 vào hàm truyền chuẩn hóa H(s) vừa tìm được trong bước 1.4 là 1 1,2312 Hp(s) 2 2 (7.63) s s s 1,5692s 1,2312 2 1 c c Đáp ứng biên độ của mạch lọc nguyên mẫu được vẽ trong hình 7.33b. Bƣớc 2: Tìm hàm truyền thông dải cần thiết H(s) dùng phép biến đổi từ thông thấp sang dải thông Cuối cùng hàm truyền H(s) của mạch lọc thông dải cần được lấy từ Hp(s) từ cách thay s bằng T(s), trong đó (xem phương trình (7.61) 200s T(s) s2 15.600 Thay s bằng T(s) trong vế phải của phương trình (7.63), ta có hàm truyền thông dải 1,2312 H(s) 2 200s 200s 15692 1,2312 s2 15.600 s2 15.600 (s2 15.600)2 H(s) s4 254,9s3 63690,9s2 3,977(10)6 s 2,433(10)8
Đáp ứng biên độ H( j) của mạch lọc này được vẽ trong hình 7.31a. ■  Thí dụ dùng máy tính C7.13 Thiết kế mạch triệt dải dùng các đặc tính trong thí dụ 7.11 dùng các hàm trong Signal Processing Toolbox trong MATLAB. Ta liệt kê các hàm MATLAB cho bốn loại mạch lọc. Wp=[60 260]; Ws=[100 150]; Gp=-2,2; Gs=-20; %Butterworth [n, Wn]=buttord(Wp, Ws, -Gp, -Gs, ‘s’) [num, den]=butter(n, Wn, ‘s’) %Chebyshev [n, Wn]=cheb1ord(Wp, Ws, -Gp, -Gs, ‘s’) [num, den]= cheby1 (n, -Gp, Wn, ‘s’) %Chebyshev nghịch [n, Wn]=cheb2ord(Wp, Ws, -Gp, -Gs, ‘s’) [num, den]= cheby2 (n, -Gs, Wn, ‘s’) %Loc ellip [n, Wn]=ellipord(Wp, Ws, -Gp, -Gs, ‘s’) [num, den]= ellip (n, -Gp, -Gs, Wn, ‘s’) Để vẽ đáp ứng biên độ, dùng ba hàm cuối trong thí dụ C7.5  7.8 Mạch lọc thỏa điều kiện truyền không méo Mục đích của mạch lọc là loại bỏ các thành phần tần số không mong muốn và truyền không méo các thành phần tần số mong muốn. Trong phần 4.4, ta đã thấy là yêu cầu là đáp ứng biên độ phải là hằng và đáp ứng pha là hàm tuyến tính theo  trong suốt dải thông Từ trước đến nay, các mạch lọc đều được nhấn mạnh đến tính ổn định của đáp ứng biên độ. Độ tuyến tính của đáp ứng pha đã bị bỏ qua. Như đã nói thì tai người nhạy cảm với méo biên độ và trong một chừng mực nào đó, không nhạy cảm với méo pha. Do đó, các thiết bị âm thanh thường chỉ được thiết kế để có đáp ứng biên độ là hằng, và đáp ứng pha chỉ là xem xét phụ. Ta cũng đã thấy là mắt người thì nhạy cảm với méo pha và tương đối không nhạy cảm với méo biên độ. Do đó, trong các thiết bị hình ảnh, ta không thể bỏ qua mép pha. Trong thông tin xung, cả mép biên độ và mép pha đều quan trọng để sửa lổi cho thông tin truyền đi. Ta sẽ thảo luận ngắn gọn về một vài xu hướng và dáng vẽ của các thiết kế mạch lọc dạng này. Ta đã thấy là (xem phương trình 4.59) khi truyền qua mạch lọc, thì thời gian trễ td theo đáp ứng pha H( j) là: d t () H( j) (7.64) d d
Nếu độ dốc của H( j) là hằng trong dải tần mong muốn (tức là nếu tuyến tính với ), thì mọi thành phần đều bị trễ với cùng thời gian td . Trong trường hợp ngõ ra lặp lại ngõ vào, giả sử là tất cả các thành phần đều suy giảm như nhau; tức là H( j) = hằng số trong dải thông. Nếu độ dốc của đáp ứng pha không là hằng số, thì thời gian trễ td thay đổi theo tần số. Thay đổi này có nghĩa là các thành phần tần số khác nhau có thời gian trễ khác nhau, làm cho ngõ ra không thể lặp lại dạng sóng tín hiệu vào ngay cả khi đáp ứng biên độ là hằng trong dải thông. Một phương pháp tốt để xét tính tuyến tính của pha là vẽ td theo tần số. Trong hệ truyền không méo, td (độ dốc âm của ) cần là hằng số trong dải tần công tác. Đây còn là yêu cầu về tính ổn định của đáp ứng biên độ. Nói chung thì có sự xung đột giữa hai yêu cầu về truyền không méo. Khi ta cố tiệm cận với đáp ứng biên độ lý tưởng, là lúc mà đáp ứng pha càng lệch khỏi đáp ứng pha lý tưởng. Tần số cắt càng sắc nét (dải chuyển tiếp càng bé) thì đáp ứng pha càng tăng tính phi tuyến khi ở gần vùng chuyển tiếp. Ta có thể kiểm nghiệm lại từ hình 7.34, vẽ đặc tính trễ của các họ mạch lọc Butterworth và Chebyshev. Mạch lọc Chebyshev có tần số cắt sắc nét hơn so với Butterworth, cho thấy có sự thay đổi lớn về thời gian trễ của nhiều thành phần tần số so với Butterworth. Trong các ứng dụng khi yếu tố tuyến tính về pha là quan trọng, có thể có hai xu hướng: 1. Nếu td = hằng số (pha tuyến tính) là quan trọng nhất, ta thiết kế bộ lọc để td tạo phẳng tối đa quanh  0 và chấp nhận kết quả là đáp ứng biên độ sẽ không phẳng hay tần số cắt không còn sắc nét. Khác với mạch lọc Butterworth, được thiết kế để có biên độ phẳng tối đa tại mà không làm suy giảm đáp ứng pha. Họ các mạch lọc phẳng tối đa td được gọi là mạch lọc Bessel – Thomson, là họ có mẫu số của H(s) bậc n là đa thức Bessel. 2. Nếu cả đáp ứng biên độ và đáp ứng pha đều quan trọng, ta bắt đầu với mạch lọc thỏa các đặc tính về đáp ứng biên độ, bỏ qua các đặc tính về đáp ứng pha. Ta ghép nối tiếp mạch lọc này với mạch lọc khác, mạch cân bằng (equalizer), có đáp ứng biên độ phẳng với mọi tần số (mạch lọc thông hết allpass) với td có đặc tính bù với đặc tính của mạch lọc chính sao cho đặc tính pha tổng là xấp xỉ tuyến tính. Dạng nối đuôi này cho pha tuyến tính và đáp ứng biên độ của mạch lọc chính (theo yêu cầu) Lọc thông hết Lọc thông hết có số cực và zêrô bằng nhau. Tất cả các cực đều nằm bên trái mặt phẳng phức để mạch ổn định. Các zêrô là ảnh phản chiếu của cực qua trục ảo. Nói cách khác, với mỗi cực a jb , ta có zêrô tại a jb . Do đó, các zêrô đều nằm bên phải mặt phẳng phức. Các mạch lọc với cấu hình cực – zêrô này được gọi là mạch lọc thông hết; tức là đáp ứng biên độ là hằng với mọi tần số. Ta có thể kiểm nghiệm qua xem xét hàm truyền có cực tại và zêrô tại : s a jb j a jb a j( b) H(s) và H(s) , do đó: s a jb j a jb a j( b) ( a)2 ( b)2 H( j) 1 (7.65) (a)2 ( b)2
 b  b H( j) tan 1 tan 1 a a  b  b  b H( j) tan 1 tan 1 2 tan 1 (7.66) a a a Ta thấy là dù đáp ứng biên độ là đơn vị bất chấp vị trí cực và zêrô, đáp ứng pha phụ thuộc vào vị trí cực (hay zêrô). Thông qua chỉnh định cực hợp lý, ta có thể có đáp ứng pha cần thiết là bù của đáp ứng pha của mạch lọc chính. 7.9 Tóm tắt Đáp ứng của hệ LT – TT – BB có hàm truyền H(s) với tín hiệu sin không dừng, tần số  cũng là tín hiệu sin có cùng tần số. Biên độ ngõ ra là H( j) nhân với biên độ vào, và sóng sin ra bị dời pha một góc H( j) so với tín hiệu vào. Đồ thị theo  cho thấy độ lợi biên độ của sóng sin với nhiều tần số khác nhau và được gọi là đáp ứng
biên độ của hệ thống. Đồ thị H( j) theo  cho thấy góc dời pha của sóng sin với nhiều tần số khác nhau và được gọi là đáp ứng pha. Vẽ đáp ứng tần số được đơn giản hóa bằng cách dùng đơn vị logarithm cho trục biên độ và trục tần số, và được gọi là giảm đồ Bode. Dùng đơn vị logarithm cho phép thực hiện phép cộng (thay vì nhân) đáp ứng biên độ của bốn dạng thừa số trong hàm truyền là (1) hằng số (2) có cực hay zêrô tại gốc (3) có cực hay zêrô bậc nhất (4) có các cực hay zêrô dạng phức. Vẽ đáp ứng pha thì dùng đơn vị tuyến tính cho cho goác pha và đơn vị logarithm cho trục tần số. Đặc tính tiệm cận của đáp ứng biên độ và pha cho phép vẽ dễ dàng các hàm truyền ngay cả với bậc cao hơn. Đáp ứng tần số của hệ thống được xác định từ vị trí các cực và zêrô của hàm truyền trên mặt phẳng phức. Ta có thể thiết kế bộ lọc có tính tuyển chọn tần số bằng cách sắp xếp thích hợp vị trí các cực và zêrô trong hàm truyền. Sắp xếp vị trí cực (hay zêrô) gần trục j0 trong mặt phẳng phức làm tăng (hay giảm) đáp ứng tần số tại tần số  0 . Từ ý niệm này, kết hợp đúng để đặt thích hợp vị trí các cực và zêrô giúp ta có được đặc tính mạch lọc cần có. Phần này xét hai loại mạch lọc analog là Butterworth và Chebyshev. Mạch lọc Butterworth có đáp ứng biên độ phẳng trong băng thông. Đáp ứng biên độ của lọc Chebyshev có nhấp nhô trong băng thông. Mặt khác, đáp ứng của lọc Chebyshev ở stopband tốt hơn so với lọc Butterworth. Các bước thiết kế lọc thông thấp có thể dùng cho trường hợp thông cao, thông dải và triệt dải thông qua việc dùng các biến đổi tần số thích hợp trong phần 7.7. Mạch lọc allpass có độ lợi là hằng số nhưng pha thay đổi theo tần số. Do đó, khi đặt mạch lọc allpass nối đuôi với hệ thống sẽ làm đáp ứng biên độ không đổi nhưng có pha thay đổi. Do đó, dạng lọc allpass được dùng thay đổi đáp ứng pha của hệ thống. Tham khảo 1. Wai-Kai Chen, Passive and active Filters, Wiley, New York, 1986. 2. Van Valkenberg, M.E., Analog Filter Design, Holt, Rinehart and Winston, New York, 1982. 3. Christian E. Eisenmann, Filter Design Tables and Graphs, Transmission Networks International, Inc., Knightdale, N.C., 1977. Bài tập 7.1-1 Hệ LT – TT – BB mô tả bằng hàm truyền s 2 H(s) s2 5s 4
Tìm đáp ứng với các ngõ vào sin không dừng: (a) 5cos(2t 300 ) (b) 5sin(2t 450 ) (c) 10cos(3t 400 ) . Quan sát thấy chúng đều là sóng sin không dừng. 7.1-2 Hệ LT – TT – BB mô tả bằng hàm truyền s 3 H(s) (s 2)2 Tìm đáp ứng xác lập của hệ thống với các ngõ vào sau: (a) 10u(t) (b) cos(2t 600 )u(t) (c) sin(3t 450 )u(t) (d) e j3tu(t) . 7.1-3 Bộ lọc allpass mô tả bằng hàm truyền (s 10) H(s) s 10 Tìm đáp ứng với các ngõ vào không dừng: (a) e jt (b) cos(t ) (c) cost (d) sìnt (e) cos10t (f) cos100t . Nhận xét về đáp ứng mạch lọc. 7.2-1 Vẽ giản đồ Bode của các hàm truyền sau: s(s 100) (s 10)(s 20) (s 10)(s 200) (a) (b) (c) (s 2)(s 20) s2 (s 100) (s 20)2 (s 1000) 7.2-2 Làm lại bài tập 7.2-1 nếu s2 s (s 10) (a) (b) (c) (s 1)(s2 4s 16) (s 1)(s2 14,14s 100) s(s2 14,14s 100) 7.3-1 Phản hồi có thể dùng để tăng (hay giảm) băng thông của hệ thống. Xét hệ thống  trong hình 7.3-1a có hàm truyền G(s) c . s c (a) Chứng tõ khổ sóng 3 dB của hệ thống là c (b) Để giảm băng thông của hệ thống, dùng phản hồi âm với H(s) 0,9 , như vẽ trong hình P7.3-1c. Chứng tõ băng thông 3dB của hệ thống này là 10c . (c) Để tăng băng thông của hệ thống, dùng phản hồi âm với H(s) 9 , như vẽ trong hình P7.3-1b. Chứng tõ băng thông 3dB của hệ thống này là c /10 . (d) Độ lợi của hệ thống tại dc nhân với băng thông 3dB gọi là tích số độ lợi – băng thông của hệ thống. Chứng tõ là tích này là giống nhau cho ba hệ thống trong hình P7.3-1. Kết quả này cho thấy khi tăng băng thông thì độ lợi giảm và ngược lại.
7.4-1 Dùng phương pháp đồ thị của phần 7.4-1, vẽ đáp ứng biên độ và đáp ứng pha của hệ LT – TT – BB mô tả bởi hàm truyền s2 2s 50 (s 1 j7)(s 1 j7) H(s) s2 2s 50 (s 1 j7)(s 1 j7) Cho biết đây là dạng mạch lọc gì? 7.4-2 Dùng phương pháp đồ thị trong phần 7.4-1, vẽ đáp ứng biên độ và pha của hệ LT –TT – BB có các cực và zêrô vẽ trong hình P7.4-2. 7.4-3 Thiết kế bộ lọc bandpass bậc hai với tần số trung tâm  10 . Độ lợi là zêrô tại  0 và  . Chọn vị trí cực là a j10. Biện luận về ảnh hưởng của a lên đápứng tần số. 7.5-1 Tìm hàm truyền H(s) và đáp ứng biên độ H( j) của mạch lọc Butterworth thông thấp bậc ba có tần số cắt 3dB tại c 100 . Tìm kết quả không dùng bảng 7.1 hay 7.2. Dùng các bảng này để kiểm nghiệm lại kết quả 7.5-2 Xác định bậc n, là bậc của mạch lọc thông thấp Butterworth, tương ứng với tần số cắt c cần thiết thỏa được các tiêu chí của mạch lọc thông thấp. Tìm các giá trị của c , một thỏa mãn quá mức (oversatisfies) các tiêu chí của passband, và một thỏa mãn quá mức (oversatisfies) các tiêu chí của stopband trong các trường hợp: ˆ ˆ (a) Gp 0,5dB , Gs 20dB ,  p 100 rad/s và S 200 rad/s ˆ ˆ 3 (b) Gp 0,9885, Gs 10 , p 1000 rad/s và S 2000 rad/s (c) Độ lợi tại 3 cần lớn hơn 50dB 7.5-3 Tìm hàm truyền H(s) và đáp ứng biên độ H( j) của mạch lọc thông thấp ˆ ˆ Butterworth thỏa các tiêu chí Gp 3dB , Gs 14dB , p 100.000 rad/s và ˆ ˆ S 150.000 rad/s . Cần thỏa quá (nếu có thể) các yêu cầu của Gs . Xác định G p ˆ và Gs của thiết kế. 7.6-1 Làm lại bài tập 7.5-1 cho mạch lọc Chebyshev, không dùng bảng
ˆ 7.6-2 Thiết kế mạch lọc thông thấp Chebyschev thỏa các tiêu chí sau Gp 1dB , ˆ Gs 22dB ,  p 100 rad/s và S 200 rad/s. ˆ 7.6-3 Thiết kế mạch lọc thông thấp Chebyschev thỏa các tiêu chí sau Gp 2dB , ˆ Gs 25dB ,  p 10 rad/s và S 15 rad/s. 7.6-4 Thiết kế mạch lọc thông thấp Chebyschev có tần số cắt 3 dB là c , và độ lợi giảm - 50 dB tại 3 . 7.7-1 Tìm hàm truyền H(s) của mạch lọc thông cao Butterworth thỏa các tiêu chí sau: ˆ ˆ Gp 1dB , Gs 20dB ,  p 20 rad/s và S 10 rad/s. 7.7-2 Tìm hàm truyền của mạch lọc thông cao Butterworth thỏa các tiêu chí sau: ˆ ˆ Gp 1dB , Gs 22dB ,  p 20 rad/s và S 10 rad/s. 7.7-3 Tìm hàm truyền của mạch lọc thông dải Butterworth thỏa các tiêu chí sau: ˆ ˆ Gp 3dB , Gs 17dB , p1 100 rad/s, p2 250 rad/s và S1 40 rad/s, S 2 500 rad/s. 7.7-4 Tìm hàm truyền của mạch lọc thông dải Butterworth thỏa các tiêu chí sau: , rˆ 1dB , p1 100 rad/s, rad/s và S1 40 rad/s, S 2 500 rad/s. 7.7-5 Tìm hàm truyền của mạch lọc triệt dải Butterworth thỏa các tiêu chí sau: ˆ ˆ Gs 24dB , Gp 3dB ,  p1 20 rad/s, p2 60 rad/s và S1 30 rad/s, S 2 38 rad/s.