Bài giảng Tín hiệu và hệ thống - Chương 6: Phân tích hệ thống liên tục theo thời gian dùng biến đổi Laplace

96 trang phuongnguyen 3000

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Tín hiệu và hệ thống - Chương 6: Phân tích hệ thống liên tục theo thời gian dùng biến đổi Laplace", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

bai_giang_tin_hieu_va_he_thong_chuong_6_phan_tich_he_thong_l.pdf

Nội dung text: Bài giảng Tín hiệu và hệ thống - Chương 6: Phân tích hệ thống liên tục theo thời gian dùng biến đổi Laplace

CHƢƠNG 6: PHÂN TÍCH HỆ THỐNG LIÊN TỤC THEO THỜI GIAN DÙNG BIẾN ĐỔI LAPLACE Nội dung 6.1 Biến đổi Laplace 6.2 Đặc tính của biến đổi Laplace 6.3 Tìm nghiệm của phương trình vi phân và phương trình vi-tích phân 6.4 Phân tích mạng điện: sơ đồ toán tử 6.5 Sơ đồ khối 6.6 Thiết lập hệ thống 6.7 Ứng dụng vào phản hồi và điều khiển 6.8 Biến đổi Laplace hai bên 6.9 Phụ chương 6.1: Thực hiện dạng chính tắc thứ hai 6.10 Tóm tắt Tài liệu tham khảo: B.P. Lathi, Signal Processing and Linear Systems, Berkeley-Cambridge Press, 1998 Biến đổi Fourier là công cụ để biểu diễn tín hiệu f (t) thành dạng tổng các hàm mủ dạng e jt , với tần số bị giới hạn trên trục ảo của mặt phẳng phức (s j) . Theo các chương 4 và 5 thì biểu diễn này đã đủ để phân tích và xử lý tín hiệu. Tuy nhiên, điều này chưa đủ khi phân tích hệ thống vì: (1) Biến đổi Fourier chỉ tồn tại trong một số lớp tín hiệu, và không dùng được với các ngõ vào tăng theo dạng hàm mủ. (2) Biến đổi Fourier không phân tích được các hệ thống không ổn định hay ở biên ổn định. 6.1 Biến đổi Laplace Nguyên nhân cơ bản của các khó khăn vừa nêu là do một số tín hiệu, như e tu(t) (a 0) không có biến đổi Fourier do các sóng sin thông thường hay hàm mủ dạng e jt (chỉ quan tâm đến biên độ không đổi) không có khả năng tổng hợp được hàm mủ tăng theo thời gian. Vấn đề này được giải quyết khi dùng tín hiệu cơ bản (nền) dạng est (thay cho hàm ), khi đó tần số phức s không còn phải nằm trên trục ảo (như trường hợp biến đổi Fourier). Điều này thể hiện qua phép biến đổi mở rộng gọi là biến đổi Laplace hai bên, với biến tần số s j được tổng quát thành s  j . Điều này cho phép ta dùng các hàm mủ tăng theo thời gian để tổng hợp tín hiệu f (t) . Trước khi phát triển toán tử của phép mở rộng, ta cần tìm hiểu trực giác về quá trình tổng quat hóa này.
6.1- 1 Hiểu biết trực giác về biến đổi Laplace Tín hiệu f (t) trong hình 6.1d không có biến đổi Fourier, ta lấy biến đổi Fourier bằng cách nhân tín hiệu với hàm mủ giảm dạng e t . Thí dụ, lấy biến đổi Fourier tín hiệu e2ttu(t) bằng cách nhân với hàm e t với  2 . Đặt: (t) f (t)e t Như vẽ ở hình 6.1a. Tín hiệu (t) có được biến đổi Fourier và các thành phần Fourier có dạng e jt với tần số  thay đổi từ  đến . Thành phần mủ và e jt thêm vào phổ tạo sóng sin tần số . Phổ chứa vô hạn các sóng sin, mỗi sóng có biên độ bé. Rất dễ lẫn lộn khi vẽ tất cả các dạng sóng này; do đó, hình 6.1b, chỉ vẽ hai thành phần tiêu biễu. Cộng tất cả các thành phần này (số lượng là vô hạn) cho ta lại , vẽ ở hình 6.1a. Thành phần phổ của hàm mủ của có dạng , với tần số phức j nằm trên trục ảo từ đến , vẽ ở hình 6.1c. Hình 6.1a vẽ tín hiệu (t) f (t)e t . Hình 6.1b vẽ hai trong số vô hạn các thành phần phổ, và hình 6.2c vẽ vị trí tần số của mọi thành phần phổ của (t) trên mặt phẳng phức. Vậy ta tìm lại tín hiệu mong muốn bằng cách nhân với et . Điều này cho phép tổng hợp bằng cách nhân từng thành phần của nhân với et rồi cộng tất cả lại. Nhưng khi nhân thành phần phổ của (sóng sin trong hình 6.1b) với tạo hàm sin tăng theo dạng mủ như vẽ ở hình 6,1e. Khi cộng tất cả các thành phần sóng sin tăng dạng mủ (số lượng là vô hạn) tạo lại trong hình 6.1d. Thành phần phổ của có dạng . Khi nhân các thành phần này với tạo ra thành phần phổ có dạng ete jt e j( j) . Vậy, các thành phần tần số j trong phổ được chuyển sang thành phần tần số  j trong phổ của . Vị trí các tần số  j trong mặt phẳng phức nằm theo đường dọc, vẽ trong hình 6.1f. Rõ ràng là tín hiệu có thể được tổng hợp dùng các hàm mũ tăng không dừng nằm dọc theo , với đến . Giá trị của  rất mềm dẻo. Thí dụ, nếu f (t) e2tu(t) , thì (t) f (t)e t có biển đổi Fourier khi chọn  > 2. Từ đó, có vô số cách chọn  . Điều này tức là phổ của không độc nhất, với vô số khả năng tổng hợp . Tuy nhiên,  có một số giá trị bé nhất  0 cho từng . [ 0 2 cho trường hợp 2t f (t) e u(t) ]. Vùng trong mặt phẳng phức cho   0 gọi là vùng hội tụ (hay vùng tồn tại) cho biến đổi của Các kết luận rút ra từ phương pháp thử và sai sẽ được phân tích một cách giải tích như sau. Tần số j trong biến đổi Fourier sẽ được tổng quát thành s  j . 6.1- 2 Phân tích biến đổi Laplace hai bên Ta đã nhất quán biến đổi Fourier và biến đổi Laplace, nên cần dùng ý niệm F( j) thay cho F() của trường hợp biến đổi Fourier, và được định nghĩa theo: F( j) f (t)e jt dt (6.1)
Và f (t) F( j)e jt d (6.2) Xét biến đổi Fourier của f (t)e t ( số thực) F[ f (t)e t ] f (t)e t e jt dt (6.3) F[ f (t)e t ] f (t)e (t j)t dt (6.4) Theo phương trình (6.1), thì các tích phân trên là F( j) , nên F[ f (t)e t ] F( j) (6.5) Biến đổi Fourier nghịch
1 f (t)e t F( j)e jt d (6.6) 2 Nhân hai vế với et 1 f (t) F( j)e( j)t d (6.7) 2 Lượng ( j) là tần số phức s. Đổi biến tích phân từ  sang s. Do s  j , d (1/ j)ds . Giới hạn của tích phân từ  đến chuyển từ biến s từ ( ) đến ( ). Tuy nhiên, cần nhắc lại là với hàm cho trước f (t),  cần có giá trị tối thiểu  0 , và ta có thể chọn bất kỳ với   0 . Phương trình (6.7) thành 1 c f (t) F(s)estds (6.8a) 2 j c Từ phương trình (6.4) và (6.5), ta có F(s) f (t)e stdt (6.8b) Cặp phương trình trên gọi là cặp biến đổi Laplace hai bên. Biến đổi Laplace hai bên được viết thành công thức F(s) = L[f(t)] và f(t) = L-1[F(s)] Hay đơn giản hơn f (t) F(s) Đáp ứng của hệ thống LT – TT – BB. Phương trình (6.8a) biểu diễn f (t) thành tổng trọng các hàm mủ dạng est . Điều này được thể hiện rõ khi viết tích phân trong phương trình (6.8a) theo dạng tổng 1 F(n s) s f (t) F(s)ds lim e(n s)t (6.9) s 0  2 j n 2 j Rõ ràng, biến đổi Laplace biểu diễn f (t) thành tổng các hàm mủ không dừng có (n s)t dạng e đi từ c j đến c j với c  0 . Đây là các sóng sin với dạng mủ tăng (khi c 0) hay giảm theo dạng mủ (khi c 0). Ta xác định đáp ứng của hệ thống LT – TT – BB với ngõ vào f (t) qua quan sát hàm truyền hệ thống với hàm mủ (không dừng) là H(n s)e(n s)t . Từ phương (6.9), có đáp ứng của hệ thống với ngõ vào là: F(n s)H(n s) s 1 c' j f (t) lim e(n s)t F(s)H(s)estds (6.10) s 0  c' j n 2 j 2 j Hướng lấy tích phân (từ c' j đến c' j ) trong phương trình (6.10) có thể khác với phương trình (6.9). Nếu , theo phương trình(6.10) là Y(s) F(s)H(s) (6.11) Ta đã biểu diễn ngõ vào f (t) là tổng các thành phần hàm mủ dạng est . Từ đó, tìm được đáp ứng của hệ thống bằng cách cộng tất cả đáp ứng với các thành phần mủ này. Phương pháp thực hiện tương tự như trong chương 2 (với ngõ vào được biểu diễn thành tổng nhiều xung) hay trong chương 4 (với ngõ vào được biểu diễn thành tổng các hàm mủ dạng e jt ).
Vậy khi hệ LT – TT – BB có hàm truyền H(s), có ngõ vào là f (t) và ngõ ra y(t) , nếu f (t) F(s) , và y(t) Y(s) , thì Y(s) F(s)H(s) (6.12) Tính tuyến tính của biến đổi Laplace Biến đổi Laplace là toán tử tuyến tính, và theo nguyên lý xếp chồng, nếu f1(t) F1(s) và f2 (t) F2 (s), thì a1 f1(t) a2 f2 (t) a1F1(s) a2F2 (s) (6.13) Phần chứng minh đơn giản và lấy từ định nghĩa của biến đổi Laplace. Kết quả này còn được mở rộng khi có vô hạn các thừa số ngõ vào. Vùng hội tụ Phần trước đã thảo luận một cách trực giác về vùng hội tụ (hay vùng tồn tại) của biến đổi Laplace F(s). Về mặt toán học, vùng hội tụ của F(s) là tập các giá trị của s (vùng nằm trong mặt phẳng phức), trong đó tích phân từ phương trình (6.8b) định nghĩa trực tiếp biến đổi Laplace hội tụ. Xét tiếp thí dụ sau: ■ Thí dụ 6.1: Cho tín hiệu f (t) e atu(t) , tìm biến đổi Laplace F(s) và vùng hội tụ Từ định nghĩa F(s) e atu(t)e stdt Do u(t) 0 khi t 0 và u(t) 1 khi t 0 1 F(s) e ate stdt e (s a)t dt e (s a)t (6.14) 0 0 s a 0 Chú ý do s là biến phức và khi t , thừa số e (s a)t không nhất thiết phải triệt tiêu, nên ta dùng lại ý niệm về số phức z j . e zt e ( j )t e te jt Do e jt 1 với mọi giá trị của t . Do đó. Khi , e zt 0 nếu và chỉ nếu khi 0 , và , e zt nếu 0 , do đó zt 0 Re z 0 lim e (6.15) t Re z 0 Rõ ràng (s a)t 0 Re(s a) 0 lim e t Re(s a) 0 Dùng kết quả từ phương trình (6.14) 1 F(s) Re(s a) 0 (6.16a) s a 1 F(s) Re(s a) 0 (6.16a) s a
1 Hay e atu(t) Re s a (6.16b) s a Vùng hội tụ của F(s) là Re s > – a, vẽ ở phần diện tích tô bóng trong hình 6.2a. Điều này tức là tích phân định nghĩa F(s) trong phương trình (6.14) chỉ tồn tại với giá trị của s trong vùng tô bóng hình 6.2a. Tích phân trong (6.14) không hội tụ với các giá trị khác của s. Do đó vùng tô bóng này được goi là vùng hội tụ (hay vùng tồn tại) của F(s). Nhắc lại là biến đổi Fourier của e atu(t) không tồn tại với các giá trị âm của a. Ngược lại, biến đổi Laplace tồn tại với mọi giá trị của a, và vùng hội tụ là phần bên phải của đường thẳng Re s = -a. ■ Vai trò của vùng hội tụ Vùng hội tụ rất cần để tìm biến đổi Laplace nghịch f (t) như định nghĩa ở phương trình (6.8a). Khi tìm biến đổi nghịch, cần tính tích phân trong mặt phẳng phức, nên cần thêm một số định nghĩa. Đường lấy tích phân dọc theo c j với  thay đổi từ – đến . Hơn nữa. đường lấy tích phân phải nằm trong vùng hội tụ (hay tồn tại) của F(s). Điều này không thực hiện được với tín hiệu e atu(t) nếu c a . Còn một đường lấy tích phân khác (đường chấm) trong hình 6.2a. Như thế, để có được f (t) từ F(s) là phải lấy tích phân theo đường này. Khi lấy tích phân 1/(s a)est dọc theo đường này, cho kết quả e atu(t) . Phương pháp lấy tích phân trong mặt phẳng phức đòi hỏi kiến thức về hàm biến phức. Điều này có thể tránh được bằng cách dùng bảng biến đổi Laplace (bảng 6.1), với đầy đủ các cặp biến đổi Laplace của nhiều dạng tín hiệu khác nhau. Thí dụ, để tìm biến đổi nghịch của biến đổi 1/(s a) , thay vì dùng công thức tính tích phân phức (6.8a), ta nhìn vào bảng để có biến đổi nghịch là e atu(t) . Biến đổi Laplace một bên Để biết nhu cầu của biến đổi Laplace một bên, hảy tìm biến đổi Laplace của tín hiệu f (t) vẽ ở hình 6.2b f (t) e atu( t)
Biến đổi Laplace của tín hiệu này là F(s) e atu( t)e stdt Do u( t) 1 khi t 0 và u( t) 0 khi t 0 0 0 0 1 F(s) e ate stdt e (s a)t dt e (s a)t s a Phương trình (6.15) cho lim e (s a)t 0 Re(s a) 0, nên t 1 F(s) Re s a (6.17) s a Tín hiệu e atu( t) và vùng hội tụ ( Re s a ) được vẽ trong hỉnh 6.2b. Chú ý là biến đổi Laplace của hai tín hiệu e atu(t) và giống nhau trừ với các vùng hội tụ khác nhau. Như thế, với một F(s), có thể có nhiều biến đổi nghịch, tùy theo vùng hội tụ. Nói cách khác không có ánh xạ một – một giữa và f (t) , trừ khi biết được vùng hội tụ. Điều này càng làm phức tạp ứng dụng của biến đổi Laplace. Yếu tố phức tạp này là do mong muốn xử lý tốt được các tín hiệu nhân quả và không nhân quả. Điều này không thể xảy ra khi ta giới hạn tín hiệu là tín hiệu nhân quả. Như thế, chỉ có một biến đổi nghịch của F(s) 1/(s a) , tức là . Để tìm từ , ta cũng không cần đến vùng hội tụ. Tóm lại, nếu mọi tín hiệu đều là nhân quả, thì với một , chỉ có một biến đổi nghịch . Biến đổi Laplace một bên là trường hợp đặc biệt của biến đổi Laplace hai bên, khi các tín hiệu đều bị giới hạn là nhân quả, nên cận lấy tích phân có thể thay đổi từ 0 đến . Do đó, biến đổi Laplace một bên được định nghĩa là F(s)  f (t)e stdt (2.18) 0 Ta chọn 0- (thay vì 0+ như theo một số tài liệu) làm cận dưới tích phân. Qui ước này không chỉ bảo đảm chèn được xung tại t 0 , mà còn cho phép ta dùng được điều kiện đầu tại 0– (thay vì tại 0+) vào nghiệm của phương trình vi phân qua biến đổi Laplace. Thực tế, ta thường biết được điều kiện đầu trước khi có tín hiệu vào (tại 0-), không phải sau khi tín hiệu vào (tại 0+). Biến đổi Laplace một bên đơn giản hóa đáng kể việc phân tích hệ thống, nhưng điều phải trả giá là phân tích không được hệ thống không nhân quả hay dùng với các ngõ vào không nhân quả. Tuy nhiên, trong hầu hết các bài toán thực tế, thì hậu quả này là rất ít. Hảy xét biến đổi Laplace một bên và ứng dụng trong phân tích hệ thống (biến đổi Laplace hai bên sẽ được bàn ở phần 6.8) Ta thấy là về cơ bản thì không có khác biệt giữa biến đổi Laplace hai bên và một bên. Biến đổi Laplace là biến đổi hai bên dùng cho lớp con tín hiệu bắt đầu tại t 0 (tín hiệu nhân quả). Như thế, biểu thức [phương trình (6.8a)] của biến đổi Laplace nghịch vẫn đúng. Trong thực tế, thường thì biến đổi Laplace được hiểu là biến đổi Laplace một bên.
Tồn tại của biến đổi Laplace Biến s trong biến đổi Laplace thường là biến phức, và được viết thành s  j . Từ định nghĩa F(s) f (t)e stdt [ f (t)e t ]e jt dt 0 0 Do e jt 1, tích phân vế phải hội tụ nếu f (t)e t dt (6.19) 0 Như thế biến đổi Laplace tồn tại nếu tích phân (6.19) là hữu hạn với một số giá trị của . 0t Tín hiệu nào tăng chậm hơn tín hiệu mủ Me với một số giá trị của M và  0 , thì f (t) Me0t (6.20) t 2 Ta có thể chọn   0 thỏa (6.19). Ngược lại, tín hiệu e có tốc độ tăng nhanh hơn e 0t nên không có biến đổi Laplace. Điều may mắn là các tín hiệu dạng này (không có biến đổi Laplace) lại ít ảnh hưởng về mặt lý thuyết hay thực tế. Nếu  0 là trị bé nhất của  để tích phân (6.19) hữu hạn, thì  0 được gọi là hoành độ hội tụ và vùng hội tụ của at F(s) là Re s  0 . Hoành độ hội tụ của e u(t) là –a (vùng hội tụ là Re s a ). ■ Thí dụ 6.2: Tìm biến đổi Laplace của (a)  (t) (b) u(t) (c) cos0tu(t) . (a) L[ (t)]  (t)e stdt 0 Từ đặc tính lấy mẫu [phương trình (1.24a)], ta có L[ (t)] 1 với mọi s Tức là  (t) 1 với mọi s (6.21) (b) Để tìm biến đổi Laplace của u(t) , nhắc lại là u(t) 1 khi t 0, nên 1 1 L[u(t)] u(t)e stdt e stdt e st Re s 0 (6.22) 0 0 s 0 s Ngoài ra, còn có thể tìm kết quả từ phương trình (6.16b) khi cho a = 0. 1 (c) Do cos tu(t) [e j0t e j0t ]u(t) (6.23) 0 2 1 L[cos tu(t)]= L[e j0tu(t) e j0tu(t)] 0 2 Từ phương trình (6.16) 1 1 1 L[cos0tu(t)] Re(s j0 Re s 0 2 s j0 s j0 1 2 2 Re s 0 s 0 (6.24) ■
Trong biến đổi Laplace một bên, chỉ có một biến đổi nghịch của F(s) ; nên không cần xác định rõ ràng vùng hội tụ. Vì vậy, ta thường bỏ qua ý niệm vùng hội tụ trong biến đổi Laplace một bên. Nhắc lại là, trong biến đổi Laplace một bên, hiểu ngầm là các tín hiệu đều là zêrô khi t 0, và điều thích hợp là nên nhân tín hiệu này với u(t) . Bài tập E 6.1 Dùng phương pháp tích phân trực tiếp, tìm biến đổi Laplace F(s) và vùng hội tụ của F(s) của tín hiệu trong hình 6.3 1 1 Đáp số: (a) (1 e 2s ) với mọi s (b) (1 e 2s )e 2s với mọi s  s s Quan hệ với biến đổi Fourier Định nghĩa biến đổi Laplace giống với biến đổi Fourier khi thay j bằng s. Ta thấy biến đổi Laplace F(s) của tín hiệu f (t), giống như biến đổi F() của khi thay bằng s. Thí dụ, ta thấy biến đổi Fourier của e atu(t) là 1/( j a). Thay bằng s trong biến đổi Fourier cho kết quả là 1/(s a) , là biến đổi Laplace theo phương trình (6.16b). Điều không may là phương pháp này không đúng với mọi f (t) . Chỉ có thể thực hiện điều này khi vùng hội tụ của bao gồm trục ảo (trục ). Thí dụ, biến đổi Fourier của hàm bước đơn vị là  () (1/ j) . Biến đổi Laplace tương ứng là 1/ s , và vùng hội tụ là Re s 0, không bao gồm trục ảo. Trong trường hợp này thì quan hệ giữa biến đổi Fourier và biến đổi Laplace không đơn giản. Lý do của khó khăn này có liên quan đến tính hội tụ của tích phân Fourier, theo đó đường lấy tích phân là trục ảo. Do hạn chế này, tích phân Fourier của hàm bước không hội tụ theo nghĩa thông thường như đã minh họa trong thí dụ 4.7. Phải dùng hàm tổng quát (xung) cho ý niệm hội tụ. Ngược lại, tích phân Laplace cho u(t) lại hội tụ theo nghĩa thông thường, nhưng chỉ với Re s 0, lại là vùng cấm trong biến đổi Fourier. Điều thú vị nữa là dù biến đổi Laplace là tổng quát hóa của biến đổi Fourier, vẫn còn có tín hiệu (thí dụ tín hiệu điều hòa) không có biến đổi Laplace, nhưng tồn tại biến đổi Fourier (nhưng không theo nghĩa thông thường). 6.1- 3 Tìm biến đổi Laplace nghịch Phương pháp dùng định nghĩa (6.8a) để tìm biến đổi Laplace nghịch đòi hỏi lấy tích phân trong mặt phẳng phức, không được bàn trong tài liệu này. Mục tiêu là dùng biến đổi nghịch từ bảng 6.1. Điều ta cần là biểu diễn F(s) thành tổng nhiều hàm đơn giản được liệt kê trong bảng. Hầu hết các biến đổi trong thực tế có dạng hàm hữu tỉ; tức là tỉ số các đa thức theo s. Hàm dạng này có thể được phân tích thành các hàm đơn giản hơn dùng phép
khai triển đa thức (xem phần B.5). Giá trị s để F(s) 0 được gọi là zêrô của F(s) ; giá trị s để F(s) được gọi là cực của . Khi là hàm hữu tỉ có dạng P(s) /Q(s) , thì nghiệm của P(s) là zêrô và nghiệm của Q(s) là cực của . ■ Thí dụ 6.3: Tìm biến đổi Laplace nghịch của: 7s 6 2s2 5 6(s 34) 8s 10 (a) (b) (c) (d) s2 s 6 s2 3s 2 s(s2 10s 34) (s 1)(s 2)3 Biến đổi nghịch của các hàm không có trong bảng 6.1, cần khai triển thành dạng đa thức như thảo luận ở phần B.5. (a) 7s 6 k k F(s) 1 2 (s 2)(s 3) (s 2) (s 3) Theo phần B.5-2, tính k1 theo 7s 6 14 6 k1 4 ( )(s 3) s 2 2 3 Tương tự 7s 6 21 6 k2 3 (s 2)( ) s 3 3 2 7s 6 4 3 Nên F(s) (6.25a) (s 2)(s 3) s 2 s 3 Kiểm tra kết quả Khi khai triển đa thức, ta có thể bị lỗi, nên có thể kiểm tra bằng cách kiểm lại là F(s) và các đa thức phải bằng nhau với từng giá trị của s nếu ta khai triển đúng. Thí dụ, kiểm tra lại (6.25a) với giá trị, s = 1. Thay s = 1 vào phương trình (6.25a) 1 4 3 1 6 3 2 6 Ta có thể tạm tin được về đáp số của mình. Dùng cặp thứ 5 (bảng 6.1) cho phương trình (6.25a), ta có: 4 3 f (t) L-1 (4e 2t 3e3t )u(t) (6.25b) s 2 s 3 2s2 5 2s2 5 (b) F(s) s2 3s 2 (s 1)(s 2) Ta thấy F(s) có m n . Trường hợp này, ta có thể biểu diễn là tổng của hệ số bn (hệ số của bậc lủy thừa cao nhất của tử số) với các khai triển đa thức tương ứng với các cực của . Trường hợp này, bn 2 , nên k k F(s) 2 1 2 s 1 s 2
2s2 5 2 5 Với k1 7 ( )(s 2) s 1 1 2 2s2 5 8 5 k1 13 (s 1)( ) s 1 2 1 7 13 Và F(s) 2 s 1 s 2 Dùng bảng 6.1, cặp 1 và 5, ta có f (t) 2(t) (7e t 13e 2t )u(t) (6.26) 6(s 34) 6(s 34) k k k (c) (s) 1 2 2 s(s2 10s 34) s(s 5 j3)(s 5 j3) s s 5 j3 s 5 j3 * Chú ý là các hệ số ( k2 và k2 ) của thừa số liên hợp cũng liên hợp 6(s 34) 6x34 k1 2 6 ( )(s 10s 34) s 0 34 6(s 34) 29 j3 k2 3 j4, do đó s( )(s 5 j3) s 5 j3 3 j5 * k2 3 j4 * Dùng cặp 10b (bảng 6.1), với k2 và k2 viết theo dạng cực 1 1 3 j4 32 42 e j tan (4/ 3) 5e j tan (4/ 3) 4 4 Nhận xét tan 1 tan 1 . Điều này được minh chứng trong hình 6.4. 3 3 Hình 6.4, cho ta j126.90 k2 3 j4 5e , nên * j126.90 k2 5e , vậy 0 0 6 5e j126,9 5e j126,9 F(s) s s 5 j3 s 5 j3 Bảng 6.1 (cặp 2 và 10b) cho ta f (t) [6 10e 5t cos(3t 126,90 )]u(t) (6.27)
Bảng biến đổi Laplace (một bên) 1  (t) 1 2 u(t) 1 s 3 tu(t) 1 s 2 4 n n! t u(t) s n 1 5 t 1 e u(t) s  6 t 1 te u(t) (s )2 7 n t n! t e u(t) (s )n 1 8a cosbtu(t) s s2 b2 8b sinbtu(t) b s2 b2 9a at s a e cosbtu(t) (s a)2 b2 9b at b e sinbtu(t) (s a)2 b2 10a at (r cos)s (ar cos br sin) re cos(bt )u(t) s2 2as (a2 b2 ) 10b 0,5re j 0,5re j s a jb s a jb 10c As B s2 2as c 10d B Aa e at Acosbt sin bt u(t) b 2 2 A c B 2ABa 1 Aa B 2 r 2  tan b c a c a A c a2
Một phƣơng pháp tính thừa số bậc hai Phương pháp vừa nêu đòi hỏi tính số phức quá nhiều. Theo cặp 10c (bảng 6.1), biến đổi nghịch thừa số bậc hai (có cực liên hợp) được tìm trực tiếp, không dùng các đa thức bậc một. biểu diễn F(s) thành 6(s 34) k As B F(s) 1 s(s2 10s 34) s s2 10s 34 Đã xác định được k1 6 từ phương pháp Heaviside, nên 6(s 34) 6 As B s(s2 10s 34) s s2 10s 34 Nhân hai vế của phương trình với s(s2 10s 34) 6(s 34) 6(s2 10s 34) s(As B) (6 A)s2 (60s B)s 204 Cân bằng hệ số của s2 và s, ta có 0 (6 A) A 6 6 (60 B) B 54 , và 6 6s 54 F(s) s s2 10s 34 Dùng cặp 2 và 10c để tìm biến đổi Laplace nghịch. Tham số dùng cho cặp 10c là A 6 , B 54 , a 5, c 34, và b c a2 3 , 2 2 A c B 2ABa 1 Aa B 0 r 2 10  tan 126,9 , do đó c a A c a2 f (t) [6 10e 5t cos(3t 126.90 ]u(t) là phù hợp với hết quả trước đây Đƣờng tắt Còn có phương pháp gọn hơn để tính thừa số bậc hai, ta có: 6(s 34) 6 As B F(s) s(s2 10s 34) s s2 10s 34 Ta xác định A bằng cách loại B bên vế phải. Bước này được thực hiện bằng cách nhân hai vế phương trình với s rồi cho s , ta có 0 6 A A 6, do đó
6(s 34) 6 6s B s(s2 10s 34) s s2 10s 34 Tìm B, cho s một giá trị thích hợp, thí dụ cho s = 1 vào phương trình, ta có 210 B 6 6 45 45 210 270 B 6 B 54 , phù hợp với kết quả đã tính 8s 10 k a a a (d) F(s) 1 0 1 2 , với (s 1)(s 2)3 s 1 (s 2)3 (s 2)2 s 2 8s 10 k1 3 2 ( )(s 2) s 1 8s 10 a0 2 (s 1)( ) s 2 d 8s 10 a 2 1 ds (s 1)( ) s 2 1 d 8s 10  a2  2, do đó 2 ds (s 1)( ) s 2 2 6 2 2 F(s) , và s 1 (s 2)3 (s 2)2 s 2 f (t) [2e t (3t 2t 2)e 2t ]u(t) (6.28) Phƣơng pháp khác: kết hợp giữa Heaviside và phƣơng pháp clearing fraction Trong phương pháp này, các hệ số đơn giản như k1 và a0 được xác định dùng phương pháp Heaviside. Để xác định các hệ số còn lại, ta dùng phương pháp clearing fraction (xem B.5-3). Dùng các giá trị k1 2 và a0 6 , ta có 8s 10 2 6 a a 1 2 (s 1)(s 2)3 s 1 (s 2)3 (s 2)2 s 2 Nhân hai vế của phương trình với (s 1)(s 2)3 , ta có 3 2 8s 10 2(s 2) 6(s 1) a1(s 1)(s 2) a2 (s 1)(s 2) 3 2 (2 a2 )s (12 a1 5a2)s (30 3a1 8a2 )s (22 2a14a2 ) Cân bằng các giá trị của s3 và s2 ở hai vế, ta có 0 (2 a2 ) a2 2 0 12 a1 5a2 2 a1 a1 2 Cân bằng các giá trị của s1 và s0 ở hai vế, ta có 8 30 3a1 8a2 10 22 2a1 4a2 Tìm lại, có a1 a2 2
Phƣơng pháp khác: kết hợp giữa Heaviside và short-cut Trong phương pháp này, các hệ số đơn giản như k1 và a0 được xác định từ phương pháp Heaviside. Để xác định các hệ số còn lại, ta dùng phương pháp short-cut. Dùng các giá trị k1 2 và a0 6 , ta có 8s 10 2 6 a a 1 2 (s 1)(s 2)3 s 1 (s 2)3 (s 2)2 s 2 Có hai ẩn, a1 và a2. Nếu nhân hai vế với s rồi cho s , ta loại a1. 0 2 a2 a2 2 , do đó: 8s 10 2 6 a 2 1 (s 1)(s 2)3 s 1 (s 2)3 (s 2)2 s 2 Chỉ còn một ẩn a1 . Giá trị này có thể được xác định bằng cách s một giá trị thích hợp, thí dụ s 0 10 3 a 2 1 1 a 2 ■ 8 4 4 1  Bài tập dùng máy tính C6.1 Tìm biến đổi Laplace nghịch của các hàm sau dùng phương pháp khai triển đa thức: 2s2 5 2s2 7s 4 8s2 21s 19 (a) 2 (b) 2 (c) s 3s 2 (s 1)(s 2) (s 2)(s2 s 7) (a) num=[2 0 5]; den=[1 3 2]; [r,p,k]=residue(num,den) r = -13, 7 p = -2, -1 k = -2, -1 Do đó 13 7 F(s) và f (t) ( 13e 2t 7e t )u(t) 2 (t) s 2 s 1 (b) num=[2 7 4]; den=[con(con([1 1],[1 2]),[1 2])]; [r, p, k] = residue(num.den); r = 3, 2, -1 p = -2, -2, -1 k= [ ] Do đó 3 2 1 F(s) và f (t) (3e 2t 2te 2t e t )u(t) s 2 (s 2)2 s 1 (c) num=[8 21 19]; den=[con([0 1 2],[1 1 7])]; [r, p, k]=residue(num, den) [angle, mag]=cart2pol(real(r), imag(r))
r = 3.5 – 0.4811i, 3.5 + 0.4811i, 1.00 p= - 0.5 + 2.5981i, - 0.5 - 2.5981i, - 2.00 k = [ ] angle = -0.1366, 0.1366. 1.00 mag = 3.5329, 3.5329, 1.00 Do đó 1 3.5329e j0.1366 3.5329e j0.1366 F(s) và s 2 s 0.5 j2.5981 s 0.5 j2.5981 f (t) [e 2t 1.766e 0.5t cos(2.5981t 0/1366)]u(t)   Bài tập dùng máy tính C6.2 Tìm (a) biến đổi Laplace trực tiếp của sin at cosbt (b) biến đổi Laplace nghịch của (as 2 ) /(s2 b2 ) Ta dùng Symbolic Math Toolbox, là tập các hàm Matlab dùng để xử lý và giải các biểu thức symbolic. (a) f=sym(„sin(a*t)+cos(b*t)‟); F=laplace(f) F=(a*s^2+b^2*a+s^3+s*a^2)/(s^2+a^2)/(s^2+b^2) Vậy: s2 as 2 a2s b2a F(s) (s2 a2 )(s2 b2 ) (b) F= sym(„a*s^2)/(s^2+b^2); f=invlaplace(F) F=a*dirac(t)-a*b*sin(b*t) Vậy: f (t) a(t) absin(bt)u(t)  Bài tập E 6.2 6s 14 (i) Chứng tõ là biến đổi Laplace 10e 3t cos(4t 53.130 ) là dùng cặp s2 6s 25 s 17 10a trong bảng 6.1. (ii) Tìm biến đổi Laplace nghịch của (a) s2 4s 5 3s 5 16s 43 (b) (c) (s 1)(s2 2s 5) (s 2)(s 3)2 Đáp số: 5 (a) (3et 2e 5t )u(t) (b) [ 2e t e t cos(2t 36.870 )]u(t) (c) [3e2t (t 3)e 3t ]u(t) . 2
6.2 Một số đặc tính của biến đổi Laplace Khi xem biến đổi Laplace là dạng tổng quát của biến đổi Fourier, ta hy vọng biến đổi Laplace có các đặc tính tương tự như biến đổi Fourier. Tuy nhiên, phần này chỉ bàn chủ yếu một số đặc tính của biến đổi Laplace một bên, có khác so với biến đổi Fourier (là dạng biến đổi hai bên). Đặc tính của biến đổi Laplace không chỉ quan trọng để tìm biến đổi Laplace của các hàm mà còn giúp tìm nghiệm của phương trình vi tích phân. Các phương trình (6.8a) và (6.8b) cho thấy là giống trường hợp biến Fourier, có một số đặc tính đối xứng khi chuyển từ f (t) sang F(s) và ngược lại. Tính đối xứng hay đối ngẫu còn tồn tại trong nhiều đặc tính của biến đổi. 1. Tính dời theo thời gian Nếu f (t) F(s) st0 Thì với t 0 f (t t0 ) F(s)e (6.29) Ta thấy f (t) bằt đầu tại t 0 , do đó f (t t ) bắt đầu tại t t , 0 0 Nếu f (t)u(t) f (s) Thì st0 f (t t0)u(t t0 ) F(s)e t 0 (6.29b) Chứng minh: L[ f (t t )u((t t )] f (t t )u((t t )e stdt 0 0 0 0 0 Cho t t0 x , ta có: L[ f (t t )u((t t )] f (x)u((x)e s(x t0 )t dx 0 0 0 Do u(x) 0 khi x 0 và u(x) 1 khi x 0 , cận lấy tích phần là từ 0 đến . Do đó: L[ f (t t )u((t t )] f (x)u((x)e s(x t0 )t dx e st0 f (x)e sxdx F(x)e st0 0 0 0 0 Chú ý là f (t t0 )u(t t0 ) là tín hiệu f (t) được dời đi t0 giây. Theo đặc tính dời theo thời gian cho rằng khi dời tín hiệu một lượng tương đượng với việc nhân biến đổi với e st0 . Đặc tính này của biến đổi Laplace một bên chỉ đúng khi t0 dương, do khi t0 âm, thì tín hiệu không phải là nhân quả. Bài tập E 6.1chứng minh đặc tính này. Nếu tính hiệu trong hình 6.3a là f (t)u(t) thì tín hiệu trong hình 6.3b là 1 f (t 2)u(t 2) . Biến đổi Laplace của xung trong hình 6.3a là (1 e 2s ) . Như thế, biến s 1 đổi Laplace của xung hình 6.3b là (1 e 2s )e 2s . s Đặc tính dời theo thời gian rất thích hợp để tìm biến đổi Laplace của hàm với nhiều mô tả trong các khoản thời gian khác nhau, như được xét trong thí dụ sau.
■ Thí dụ 6.4: Tìm biến đổi Laplace của hàm f (t) vẽ ở hình 6.5a Phần 1.4 đã cho mô tả toán học của f (t) , và được viết thành tổng hai thành phần, vẽ ở hình 6.5b. Phương trình của thành phần thứ nhất là t 1 trong khoảng 1 t 2 , nên có dạng (t 1)[u(t 1) u(t 2)]. Thành phần thứ hai là [u(t 2) u(t 4)], vậy: f (t) (t 1)[u(t 1) u(t 2)] [u(t 2) u(t 4)] (t 1)u(t 1) (t 1)u(t 2) u(t 2) u(t 4) (6.30a) Thừa số thứ nhất bên vế phải là tín hiệu u(t) làm trễ 1 giây. Các thừa số thứ ba và thứ tư, không thể biểu diễn thành các thành phần dời theo thời gian của các tín hiệu trong bảng 6.1, viết lại: (t 1)u(t 2) (t 2 1)u(t 2) (t 2)u(t 2) u(t 2) Viết thừa số thứ hai theo dạng tu(t)làm trễ 2 giây và tín hiệu được làm trễ 2 giây. Phương trình (6.30a) viết lại thành f (t) (t 1)u(t 1) t(t 2)u(t 2) u(t 4) (6.30b) Dùng đặc tính dời theo thờigian của tu(t) 1/ s2 , ta có 1 1 (t 1)u(t 1) e s và (t 2)u(t 2) e 2s s2 s2 1 1 Đồng thời u(t) và u(t 4) e 4s (6.31) s s Do đó: 1 1 1 F(s) e s e 2s e 4s (6.32) ■ s2 s2 s ■ Thí dụ 6.5: s 3 5e 2s Tìm biến đổi Laplace nghịch của F(s) (s 1)(s 2) Nhận thấy thừa số mủ e 2s trong tử số của F(s) cho thấy có yếu tố dời theo thời gian. Trường hợp này ta nên chia thành các thừa số có và không có thừa số trễ, tức là s 3 5e 2s F(s) = F (s) F (s)e 2s (s 1)(s 2) (s 1)(s 2) 1 2 Với
s 3 2 1 F (s) 1 (s 1)(s 2) (s 1) (s 2) 5 5 5 F(s) (s 1)(s 2) (s 1) (s 2) t 2t Nên f1(t) (2e e )u(t) t 2t f2 (t) 5(e e )u(t) , và do 2s F(s) F1(s) F2 (s)e t 2t (t 2) 2(t 2) f (t) f1(t) f2 (t 2) (2e e )u(t) 5[e e ]u(t 2) ■ Bài tập E 6.3 Tìm biến đổi Laplace của tín hiệu vẽ trong hình 6.6. 1 Đáp số: (1 3e 2s 2e 3s ).  s2 Bài tập E 6.4 Tìm biến đổi Laplace nghịch của 3e 2s F(s) . (s 1)(s 2) Đáp số: [et 2 e 2(t 2) ]u(t) . 2. Đặc tính dời theo tần số. Nếu f (t) F(s) Thì s0t f (t)e F(s s0 ) (6.33) Nhận xét về tính đối xứng (hay đối ngẫu) giữa đặc tính này và đặc tính dờ itheo thời gian (6.29a) Chứng minh: s0t s0t st (s s0 )t L[ f (t)e ] f (t)e e dt f (t)e t F(s s0 ) 0 0 ■ Thí dụ 6.6: Dùng cặp 8a và đặc tính dời theo tần số để tìm cặp 9a trong bảng 6.1 Cặp 8a là s cosbtu(t) s2 b2 Dùng đặc tính dời theo tần số [phương trình (6.33)], thay s0 a s a e at cosbtu(t) ■ (s a)2 b2
Bài tập E 6.5 Chứng tõ là có thể tìm cặp 6 trong bảng 6.1 từ cặp 3 và đặc tính dời theo tần số.  Ta tiếp tục xem xét hai đặc tính quan trọng nhất của biế đổi Laplace: đặc tính vi phân theo thời gian và đặc tính tích phân theo thời gian. 3. Đặc tính vi phân theo tần số. Nếu f (t) F(s) Thì df sF(s) f (0 ) (6.34a) dt Và d 2 f s2 F(s) sf (0 ) f(0 ) (6.34b) dt 2 d n f sn F(s) sn 1 f (0 ) sn 2 f(0 )  f (n 1) (0 ) (6.34c) dt n Trong đó f (r) (0 ) là d r f / dt r tại t 0 . Chứng minh: df df L e stdt dt 0 dt Lấy tích phân từng phần df L f (t)e st s f (t)e stdt dt 0 0 Để tích phân Laplace hội tụ (tức là để F(s)tồn tại), cần có f (t)e st 0 khi t với giá trị của s trong vùng hội tụ của . Tức là df L f (0 ) sF(s) dt ■ Thí dụ 6.7: Tìm biến đổi Laplace của tín hiệu f (t) trong hình 6.7a dùng bảng 6.1 và các đặc tính vi phân theo thời gian và dời theo thời gian của biến đổi Laplace. Hình 6.7b và 6.7c cho thấy hai đạo hàm của . Nhắc lại là đạo hàm tại các điểm không liên túc là xung có cường độ bằng với lượng bước nhảy. d 2 f  (t) 3 (t 2) 2 (t 3) dt 2
Biến đổi Laplace của phương trình này là d 2 f L L[(t) 3(t 2) 2(t 3)] 2 dt Dùng đặc tính vi phân theo thời gian (6.34b), đặc tính dời theo thời gian (6.29a) và điều kiện f (0 ) f(0 ) 0, và  (t) 1, ta có s2F(s) 0 0 1 3e 2s 2e 3s , do đó 1 F(s) (1 3e 2s 2 3s ) như đã khẳng định ở bài tập E 6.3 ■ s2 4. Đặc tính tích phân theo tần số. Nếu f (t) F(s) Thì t F(s) f ( )d (6.35) 0 s Và 0 t F(s) f ( )d f ( )d (6.36) s s Chứng minh: Định nghĩa cho
t g(t)  f ( )d 0 d Để g(t) f (t) và g(0 ) 0 dt F(s) t F(s) Nếu g(t) G(s) thì G(s) hay f ( )d s 0 s Để chứng minh (6.36), nhận thấy t 0 t f ( )d f ( )d f ( )d 0 Chú ý là thừa số thứ nhất của vế phải là hằng số. Lấy biến đổi Laplace của phương trình trên và dùng phương trình (6.35), ta có 0 t f ( )d F(s) f ( )d s s Tính tỉ lệ Nếu f (t) F(s) Thì 1 s f (at) F( ) (6.37) a a Chứng minh tương tự như trường hợp đặc tính tỉ lệ của biến đổi Fourier trong chương 4 [phương trình (4.34)]. Chú ý là a bị giới hạn là một giá trị dương nếu không, khi f (t) là nhân quả, thì f (at) là phản nhân quả (chỉ tồn tại với t < 0) khi a có giá trị âm, và tín hiệu phản nhân quả không dùng được trong biến đổi Laplace (một bên). Nhắc lại nếu f (at) là tín hiệu được nén theo thời gian với thừa số a và a F( ) là F(s) được giãn theo dọc theo s với tỉ lệ a (xem phần 1.3-2). Đặc tính tỉ lệ cho s rằng khi nén tín hiệu theo thời gian với tỉ lệ a, thì làm giãn tín hiệu trong s với cùng tỉ lệ. Tương tự, kho giãn theo thời gian, sẽ tạo sự nén trong với cùng tỉ lệ. 5. Tích phân chập theo thời gian và tích phân chập theo tần số. Nếu f1(t) F1(s) và f2 (t) F2 (s) Thì (đặc tính tích phân chập theo thời gian) f1(t) f1(t) F1(s).F2 (s) (6.38) Và (đặc tính tích phân chập theo tần số 1 f (t) f (t) [F (s) F (s)] (6.39) 1 1 2 j 1 2
Bảng 6.2 Các đặc tính của biến đổi Laplace Phép tính f(t) F(s) Phép cộng f1(t) f2 (t) F1(s) F2 (s) Nhân vô hướng kf(t) kF(s) Vi phân theo thời gian df sF(s) f (0 ) dt d 2 f s2F(s) sf (0 ) f(0 ) dt 2 d 3 f s3F(s) s2 f (0 ) sf(0 ) f(0 ) dt 3 Tích phân theo thởi gian t 1 f ( )d F(s) 0 s t 1 1 0 f ( )d F(s) f (t)dt s s st0 Dời theothởi gian f (t t0 )u(t t0 ) F(s)e t 0 s0t Dời theo tần số f (t)e F(s s0 ) Vi phân theo tần số tf (t) d F(s) ds Tích phân theo tần số f (t) F(z)dz t s Tỉ lệ f (at) a 0 1 s F( ) a a Tích chập theo thời gian f1(t) f2 (t) F1(s)F 2(s) Tích chập theo tần số 1 f1(t) f2 (t) F (s) F (s) 2 j 1 2 Giá trị đầu f (0 ) lim sF(s) (n m) s Giá trị cuối f ( ) lim sF(s) poles LHP s 0 Quan sát tính đối xứng (hay đối ngẫu) giữa hai đặc tính. Chứng minh tương tự như trong chương 4 của biến đổi Fourier. Phương trình (2.48) cho thấy H(s) là hàm truyền của hệ LT – TT – BB, và là biến đổi Laplace của đáp ứng xung h(t) , tức là h(t) H(s) (6.40) Ta có thể dùng đặc tính về tích chập theo thời gian chp quan hệ vào ra y(t) f (t) h(t) của hệ LT – TT – BB để có: Y(s) F(s)H(s) (6.41) Kết quả này giống với trường hợp phương trình (6.11)
■ Thí dụ 6.8: Dùng tích chập theo thời gian của biến đổi Laplace, tìm c(t) eatu(t) ebtu(t). Phương trình (6.38) cho: 1 1 1 1 C(s) (s a)(s b) a b s a s b Lấy biến đổi nghịch 1 c(t) eat ebt u(t) ■ a b 6.3 Tìm nghiệm của phƣơng trình vi phân và phƣơng trình vi tích phân. Đặc tính vi phân theo thời gian của biến đổi Laplace cho phép giải các phương trình vi phân (hay vi – tích phân) tuyến tính có hệ số hằng. Do d k y / dt k skY(s) , nên có thể chuyển phương trình vi phân sang dạng đại số để có Y(s) . Tiếp đến dùng phép biến đổi nghịch để tìm y(t) . Xem thì dụ sau ■ Thí dụ 6.9: Giải phương trình vi phân tuyến tính bậc hai (D2 5D 6)y(t) (D 1) f (t) (6.42a) Nếu điều kiện đầu y(0 ) 2 y(0 ) 1 và ngõ vào f (t) e 4tu(t) Phương trình là d 2 y dy df 5 6y(t) f ( f ) (6.42b) dt 2 dt dt Đặt y(t) Y(s) , thì theo phương trình (6. 34) dy sY(s) y(0 ) sY(s) y(0 ) sY(s) 2 dt d 2 y s2Y(s) sy(0 ) y(0 ) s2Y(s) 2s 1 dt 2 Do f (t) e 4tu(t) 1 df s s F(s) , và sF(s) f (0 ) 0 s 4 dt s 4 s 4 Lấy biến đổi Laplace phương trình (6.42b) s 1 [s2Y(s) 2s 1] 5[sY(s) 2] 6Y(s) (6.43a) s 4 s 4 s 1 s2 5s 6 Y(s) (2s 11) (6.43b) s 4 2s2 20s 45 2s2 20s 45 Y(s) (s2 5s 6)(s 4) (s 2)(s 3)(s 4) 13/ 2 3 3/ 2 Phân tích Y(s) , hay s 2 s 3 s 4 y(t) (13/ 2)e 2t 3e 3t (3/ 2)e 4t u(t) (6.44) ■
Thí dụ trên trình bày phương pháp giải phương trình vi phân tuyến tính, hệ số hằng dùng phương pháp biến đổi Laplace. Phương pháp này còn có thể dùng giải các phương trình vi phân hệ số hằng có bậc cao hơn. Đáp ứng ngõ vào –zêrô và trạng thái – zêro. Phương pháp dùng biến đổi Laplace cho đáp ứng chung, bao gồm đáp ứng ngõ vào – zêrô và đáp ứng trạng thái – zêrô. Nếu muốn, ta có thể tách ra hai thành phần. Thừa số điều kiện đầu trong đáp ứng cho thấy đáp ứng ngõ vào – zêrô. Thí dụ, trong thí dụ 6.9, thừa số do điều kiện đầu y(0 ) 2 và y(0 ) 1 trong phương trình (6.43a) tạo đáp ứng ngõ vào –zêrô. Các điều kiện đầu này là thừa số (2s 11) trong phương trình (6.43b). Thừa số bên phải hoàn toàn do ngõ vào tạo ra. Phương trình (6.43b) được viết lại thành: 2s 11 s 1 Y(s) s2 5s 6 (s 4)(s2 5s 6) = thành phần ngõ vào – zêrô + thảnh phần trạng thái – zêrô 7 5 ( 1/ 2) 2 (3/ 2) s 2 s 3 s 2 s 3 s 4 Lấy biến đổi Laplace nghịch 1 3 y(t) (7e 2t 5e 3t )u(t) ( e 2t 2e 3t e 4t )u(t) 2 2 = đáp ứng ngõ vào –zêrô + đáp ứng trạng thái - zêrô Nhận xét về điều kiện đầu tại 0- và 0+. Các điều kiện đầu trong thí dụ 6.9 là y(0 ) 2 và y(0 ) 1. Khi ta thế t 0 vào đáp ứng chung trong phương trình (6.44), ta có y(0) 2 và y(0) 2, là kỳ lạ với điều kiện đầu. Tại sao? Lý do là điều kiện đầu cho tại t 0 (trước khi có ngõ vào). Đáp ứng trạng thái –zêrô là kết quả của ngõ vào f (t) tại t 0 . Như thế, thành phần này chưa tồn tại ở . Vậy, điều kiện đầu tại chỉ dùng cho đáp ứng ngõ vào –zêrô , chứ không dùng cho đáp ứng chung. Thông thường thì đáp ứng chung có điều kiện đầu tại t 0 , khác với điều kiện đầu tại . Ngoài ra còm có phiên bản L+ của biến đổi Laplace, dùng điều kiện đầu tại t 0 thay vì 0 (như đang thảo luận L- tại đây). Dạng L+, thịnh hành trong nhửng năm sáu + mươi của thế kỹ trước, giống phiên bản L- trừ cận lấy tích phân là từ 0 đến . Do đó, từ định nghĩa thì, gốc t 0 bị loại khỏi vùng làm việc. Phiên bản này, tuy còn dùng trong một số tài liệu toán học, nhưng gặp rất nhiều khó khăn. Thí dụ, trường hợp này sẽ cho biến đổi Laplace của  (t) là zêrô do  (t) 0 tại t 0. Hơn nữa, xu hướng này cũng không dùng được cho nghiên cứu lý thuyết về hệ thống tuyến tính do phương pháp không cho phép chia đáp ứng chung thành hai thành phần đáp ứng ngõ vào – zêro và đáp ứng trạng thái – zêrô. Như đã biết, thì thành phần đáp ứng trạng thái – zêrô biểu diễn đáp ứng của hệ thống theo ngõ vào, tuy chưa biết dạng của ngõ vào, nhưng có thể biết về ảnh
hưởng của ngõ vào lên đáp ứng hệ thống. Phương pháp L+ tuy có thể chia đáp ứng theo đáp ứng tự nhiên và đáp ứng ép, không phải là thành phần đáng được quan tâm là thành phần ngõ vào – zêrô và thành phần trạng thái –zêrô. Chú ý là ta thường tìm được thành phần đáp ứng tự nhiên và thành phần đáp ứng ép từ thành phần ngõ vào – zêrô và thành phần trạng thái – zêrô (xem phương trình (2.51b)), nhiên nhiên, điều ngược lại không thực hiện được. Do đó, các kỹ sư điện đã bắt đầu loại phương pháp này từ sau những năm sáu mươi. Cần chú ý về tính đối ngẫu trong miền thời gian giữa hai phiên bản của biến đổi Laplace. Phương pháp cổ điển là đối ngẫu với phương pháp L+, phương pháp tích phân chập (ngõ vào –zêrô/ trạng thái – zêrô) thì đối ngẫu với phương pháp L-. Cặp đối ngẫu đầu dùng điều kiện đầu tại 0 , cặp thứ hai dùng điều kiện tại 0 . Cặp đối ngẫu đầu (phương pháp cổ điển và phương pháp L+) không dùng được cho nghiên cứu lý thuyết về phân tích hệ thống tuyến tính. Còn trường hợp L- được cộng đồng kỹ sư điện áp dụng ngay khi ý niệm về phân tích không gian – trạng thái được đưa ra (dùng riêng biệt thành phần ngõ vào – zêrô/trạng thái – zêrô). Bài tập E 6.6 d 2 y dy df Giải 4 3y(t) 2 f (t) khi ngõ vào f (t) u(t) và điều kiện đầu dt 2 dt dt y(0 ) 1 y(0 ) 2 1 Đáp số: y(t) (1 9e t 7e 3t )u(t) .  3 ■ Thí dụ 6.10: Trong mạch điện hình 6.8a, chuyền mạch ở vị trí đóng trong thời gian dài trước t 0 , rồi được mở tức thời. Tìm dòng điện qua cuộn dây y(t) khi t 0. Khi chuyển mạch đang ở vị trí đóng (trong thời gian dài), dòng điện qua cuộn dây là 2 ampe và điện áp qua tụ là 10 vôn. Khi chuyển mạch hở, mạch tương đương được vẽ
ở hình 6.8b, với giá trị dòng điện qua cuộn dây ban đầu là y(0 ) 2 và điện áp qua tụ ban đầu là vC (0 ) 10 . Điện áp vào là 10 vôn, bắt đầu từ t 0 , được viết thành 10u(t). Phương trình mạch vòng trong hình 6.8b là dy t 2y(t) 5 y( )d 10u(t) (6.45) dt y(t) Y(s) (6.46a) dy sY(s) y(0 ) sY(s) 2 (6.46b) dt t t Y(s) y( )d y( )d (6.46c) s s 0 y(t) là dòng điện qua tụ, tích phân y( )d là qC (0 ), điện tích tụ tại t 0 0 y( )d qC (0 ) CvC (0 ) (1/ 5)(10) 2 (6.47) (6.46c) cho 0 Y(s) 2 y( )d (6.48) s s Lấy biến đổi Laplace 5Y(s) 10 10 sY(s) 2 2Y(s) s s s 5 2s s 2 Y(s) 2 Y(s) s s2 2s 5 Tìm biến đổi nghịch dùng cặp 10c (bảng 6.1) với A = 2. B = 0, a = 1 và c = 5. 20 2 r 5 b c a2 2  tan 1 26.60 và 4 4 y(t) 5e t cos(2t 26.60 )u(t) vẽ ở hình 6.8c ■ 6.3-1 Đáp ứng trạng thái – zêrô: Hàm truyền của hệ LT – TT – BB Xét hệ LT – TT – BB bậc n đặc trưng bằng phương trình vi phân Q(D)y(t) P(D) f (t) hay n n 1 n n 1 (D an 1D  a1D a0 )y(t) (bnD bn 1D  b1D b0 ) f (t) (6.49) Đáp ứng trạng thái-zêrô y(t) là là đáp ứng của hệ thống đối với tín hiệu vào khi hệ thống đang ở trạng thái – zêrô. Như thế , thỏa phương trình hệ thống (6.49) với điều kiện đầu là zêrô. y(0 ) y(0 ) y(0 )  y(n 1) (0 ) 0 Ngoài ra, do tín hiệu vào là nhân quả, tức là: f (0 ) f(0 ) f(0 )  f (n 1) (0 ) 0
Đặt y(t) Y(s) và f (t) F(s) Do các điều kiện đầu d r Dr y(t) y(t) srY(s) dt r d k Dk f (t) f (t) sk F(s) dt k Phương trình (6.49) có biến đổi Laplace là: n n 1 n n 1 (s an 1s  a1s a0 )Y(s) (bns bn 1s  b1s b0 )F(s) , hay n n 1 bns bn 1s  b0 Y(s) n n 1 F(s) (6.50a) s an 1s  a1s a0 P(s) F(s) (6.50b) Q(s) Nhưng ta đã thấy là trong phương trình (6.41) là Y(s) H(s)F(s), nên P(s) H(s) (6.51) Q(s) Phương trình này đã tìm được trong miền thời gian [phương trình (2.50)], nên Y(s) H(s)F(s) (6.52) Ta đã tìm lại được kết quả này dùng các phương pháp khác, ở đây, ta có thêm định nghĩa nữa về hàm truyền H(s). Hàm truyền là tỉ số giữa Y(s) và F(s) khi các điều kiện đầu là zêrô (khi hệ thống ở trạng thái zêrô). Nên: Ta đã chứng minh là biến đổi Laplace Y(s) của đáp ứng trạng thái-zêrô y(t), là tích của F(s) và H(s), trong đó là biến Laplace của ngõ vào f(t), và H(s) là hàm truyền của hệ thống. Ta thấy mẫu số của H(s) là Q(s), đa thức đặc tính của hệ thống. Do đó, các cực của H(s) là nghiệm đặc tính của hệ thống. Nên, có thể dùng tiêu chuẩn xét ổn định hệ thống theo các cực của hàm truyền, như sau: 1. Hệ thống LT – TT – BB là ổn định tiệm cận nếu và chỉ nếu tất cả các cực của hàm truyền H(s) đều nằm bên trái mặt phẳng phức, các cực có thể là cực đơn hay cực lặp lại. 2. Hệ thống LT – TT – BB là không ổn định nếu tồn tại các điều kiện sau: (i) có ít nhất một cực của H(s) nằm bên phải mặt phẳng phức; (ii) có cực lặp nằm trên trục ảo. 3. Hệ thống LT – TT – BB ở biên ổn định nếu và chỉ nếu không có cực nằm bên phải mặt phẳng phức, và có một số cực đơn nằm trên trục ảo. Ta giới thiệu lại một dạng mới của hệ thống, vẽ ở hình 6.9. Ngõ vào F(s) là biến đổi Laplace của f(t) và ngõ ra Y(s) là biến đổi Laplace của đáp ứng (ngõ vào – zêrô) y(t). Hệ thống được mô tả dùng hàm truyền H(s). Ngõ ra là tích F(s)H(s). Kết quả Y(s)=H(s)F(s) giúp tìm rất nhanh đáp ứng hệ thống với ngõ vào nào đó. Xem tiếp thí dụ sau.
■ Thí dụ 6.11: Tìm đáp ứng y(t) của hệ LT – TT – BB được mô tả bởi phương trình d 2 y dy df 5 6y(t) f (t) dt 2 dt dt Nếu ngõ vào là, f (t) 3e 5tu(t) các điều kiện đầu đều là zêrô; tức là hệ thống ở trạng thái zêrô. Phương trình hệ thống là (D 5D 6)y(t) (D 1) f (t) , do đó P(s) s 1 H(s) , và Q(s) s2 5s 6 s 1 F(s) = L 3e 5tu(t)] , nên s2 5s 6 s 1 3(s 1) 2 1 3 Y(s) F(s)H(s) (s 5)(s2 5s 6) (s 5)(s 2)(s 3) s 5 s 2 s 3 Biến đổi nghịch y(t) 2e 5t e 2t 3e 3t u(t) ■ ■ Thí dụ 6.12: Chứng tỏ hàm truyền của (a) khâu trễ T giây lý tưởng là e sT (b) khâu vi phân lý tưởng là s. (c) khâu tích phân lý tưởng là 1/s. (a) Khâu trễ lý tƣởng Khâu trễ lý tưởng T giây, ngõ vào f(t) và ngõ ra y(t) quan hệ theo y(t) f (t T) hay Y(s) F(s)e sT [xem phương trình (6.29a)], nên Y(s) H(s) e sT (6.54) F(s) (b) Khâu vi phân lý tƣởng Khâu vi phân lý tưởng, ngõ vào f(t) và ngõ ra y(t) quan hệ theo df y(t) Y(s) sF(s) , [ f (0 ) 0 do tín hiệu nhân quả], và dt Y(s) H(s) s (6.55) F(s)
(c) Khâu tích phân lý tƣởng Khâu tích phân lý tưởng, với y(0 ) 0 t 1 y(t) f ( )d Y(s) F(s) , vậy: 0 s 1 H(s) (6.56) ■ s Bài tập E 6.7 Hệ LT – TT – BB có hàm truyền s 5 H(s) s2 4s 3 (a) Tìm phương trình vi phân mô tả quan hệ vào – ra giữa f(t) và ngõ ra y(t) (b) Tìm đáp ứng hệ thống y(t) với ngõ vào f (t) e 2tu(t) nếu hệ thống ban đầu ở trạng thái – zêrô dy dy df Đáp số: (a) 4 3y(t) 5 f (t) (b) y(t) 2e t 3e 2t e 3t u(t) .  dt dt dt 6.4 Phân tích mạng điện: Mạng biến đổi. Thí dụ 6.10 cho thấy phương pháp phân tích mạng điện bằng cách viết phương trình vi – tích phân của hệ thống rồi giải các phương trình này dùng phép biến đổi Laplace. Trong phần này, ta giới thiệu cách phân tích mạng điện mà không cần viết phương trình vi – tích phân. Phương thức này đơn giản hơn do cho phép xử lý mạng điện như mạch thuần trở. Đề thực hiện phương pháp này, ta cần biểu diễn mạng trong “miền tần số” khi mọi điện áp và dòng điện đều được biểu diễn dủng biến đổi Laplace. Để đơn giản, đầu tiên ta xét trường hợp có các điều kiện đầu là zêrô. Gọi v(t) và i(t) là điện áp và dòng điện qua cuộn dây L henry, thì: di v(t) L V (s) LsI(s) với các điều kiện đầu là zêrô. dt Tương tự, với tụ C farad, quan hệ dòng – áp là: dv 1 i(t) C I(s) I(s) dt Cs Trường hợp điện trở R ohm, quan hệ dòng – áp là: v(t) Ri(t) V(s) RI (s) Như thế, trong miền “tần số”, quan hệ dòng – áp của cuộn dây và tụ điện có dạng đại số; các phần tử này hoạt động giống như trường hợp “điện trở” có giá trị lần lượt là Ls và 1/Cs. Khái niệm này gọi là trở kháng và được định nghĩa là V(s)/I(s) (với điều kiện đầu là zêrô). Như vậy trở kháng của điện trở, tụ điện và cuộn dây lần lượt là R, Ls và 1/Cs. Ngoài ra, các luật liên kết mạng (luật Kirchoff) vẫn còn giá trị với dòng điện và điện áp trong miền tần số. Đề minh chứng, gọi v j (t) ( j 1,2,,k) là điện áp qua k phần tử của vòng, gọi i j (t) ( j 1,2,,m) là dòng điện đi vào nút. Thì
k m v j (t) 0 và i j (t) 0 (6.57) j 1 j 1 Vậy, nếu v j (t) Vj (s) và i j (t) I j (s), thì k V j (s) 0 và (6.58) j 1 Kết quả này cho thấy: nếu biểu diễn mọi điện áp và dòng điện trong mạch thành các biến đổi Laplace, thì giải được mạch như chỉ có thành phần “trở” R, Ls hay 1/Cs, tương ứng với điện trở, cuộn dây và tụ điện. Phương trình hệ thống (phương trình vòng hay nút) trở thành phương trình đại số. Ngoài ra, kỹ thuật đơn giản này còn cho phép dùng tất cả các phương pháp giải mạch điện trở như mạch trở kháng tương đương nối tiếp, song song, các luật chia dòng và chia áp, định lý Thevenin và Norton. Xem thí dụ sau: ■ Thí dụ 6.13: Tìm dòng điện i(t) khi tất cả các điều kiện đầu là zêrô. Trong bước đầu, ta viết mạch trong miền tần số, như vẽ ở hình 6.13b. Các điện áp được biểu diễn dùng biến đổi Laplace. Điện áp 10u(t) thành 10 / s và dòng điện (ẩn) i(t) thành I(s) . Các phần tử mạch được viết thành dạng trở kháng tương ứng. Cuộn dây 1 H thành s, điện dung ½ F thành 2 / s và điện trở 3  thành 3. Xét biểu diễn dòng điện và điện áp trong miền tần số với trở kháng tổng trong mạch vòng: 2 s2 3s 2 Z(s) s 3 s s Điện áp ngõ vào V(s) 10 / s , và dòng điện mạch vòng là: V (s) (10 / s) 10 10 10 10 I(s) Z(s) (s2 3s 2) / s s2 3s 2 (s 1)(s 2) s 1 s 2 Biến đổi nghịch cho: i(t) 10(e t e 2t )u(t) ■ Máy phát điều kiện đầu Trong phần trước, ta đã giả sử các điều kiện đầu là zêrô, bây giờ ta mở rộng cho trường hợp các điều kiện đầu khác zêrô do có thể biểu diễn các điều kiện đầu của tụ điện và cuộn dây thành dạng nguồn tương đương. Tụ điện C với điều kiện đầu v(0) (hình 6.11a) được viết trong miền tần số thành tụ có trở kháng 1/ Cs nối tiếp với nguồn áp có
giá trị v(0) / s (hình 6.11b) hay mạch tương đương là tụ mắc song song với nguồn dòng điện Cv(0) (hình 6.11c). Tương tự, cuộn dây L với dòng điện ban đầu i(0) ((hình 6.11d) được biểu diễn trong miền tần số thành cuộn dây có trở kháng Ls nối tiếp với nguồn áp giá trị Li(0) (hình 6.11e) hay cuộn dây mắc song song với nguồn dòng i(0) / s (hình 6.11f). Đề chứng minh, xét quan hệ dòng áp giữa hai đầu tụ dv i(t) C I(s) C[sV(s) v(0)] dt Phương trình được viết lại thành: (hình 6.11a) 1 v(0) V (s) I(s) (6.59a) Cs s Hay (hình 6.11b) 1 V (s) [I(s) Cv(0)] (6.59b) Cs Trường hợp cuộn dây di v(t) L V (s) L[sI(s) i(0)] dt (hình 6.11e) V(s) LsI(s) Li(0) (6.60a) i(0) (hình 6.11f) V (s) Ls[I(s) ] (6.60b) s
Làm lại thí dụ 6.10 dùng các ý tưởng trên. Hình 6.12a vẽ mạch 6.8b với điều kiện đầu y(0) 2 và vC (0) 10 . Hình 6.12b vẽ biểu diễn trong miền tần số (mạch biến đổi) của mạch hình 6.12a. Điện trở chuyển thành điện kháng 2; cuộn dây với dòng điện ban đầu 2A chuyển thành dạng hình 6.11e dùng nguồn áp Ly(0) 2. Tụ với điện áp đầu 10V chuyển thành dạng hình 6.11b dùng nguồn áp nối tiếp v(0) / s 10 / s . Chú ý là trở kháng qua cuộn dây là s và qua tụ là 5/s. Ngõ vào 10u(t) chuyển thành 10 / s 10 10 5 Điện áp mạch vòng là 2 2 , và trở kháng là (s 2 ) , vậy: s s s 2 2s Y(s) phù hợp với kết quả trong thí dụ 6.10. 5 2 s 2 s 2s 5 s
■ Thí dụ 6.14: Chuyển mạch trong hình 6.13a ở vị trí đóng trong thời gian dài trước khi mở mạch tại t 0 . Tìm dòng điện y1(t) và y2 (t) khi t 0. Chế độ xác lập khi chuyển mạch đóng, cho điện áp qua tụ vC 16V và dòng điện qua cuộn dây y2 4A. Nên khi chuyển mạch mở, có điều kiện đầu vC (0 ) 16 và y2 (0 ) 4 . Hình 6.13b vẽ dạng biến đổi của mạch hình 6.13a, với các điều kiện đầu được chuyển thành dạng máy phát điều kiện đầu. Điện áp ban đầu qua tụ thành nguồn điện áp nối tiếp 16 / s và dòng điện ban đầu qua cuộn dây là Ly2 (0) 2. Hình 6.13b cho phép viết các phương trình mạch vòng trong miền tần số: Y (s) 1 4 1 [Y (s) Y (s)] s 5 1 2 s 1 6 s Y (s) Y (s) Y (s) 2 5 1 5 2 2 2 1 1 1 Y (s) 4 / s s 5 5 1 1 6 s 5 5 2 Y2 (s) 2 Dùng luật Cramer: 24(s 2) 24(s 2) 24 48 Y (s) , và: 1 s2 7s 12 (s 3)(s 4) s 3 s 4 3t 4t y1(t) ( 24e 48e )u(t) Tương tự: 4(s 7) 16 12 Y (s) , và: 2 s2 7s 12 s 3 s 4 3t 4t y2 (t) (16e 12e )u(t) Ngoài ra ta còn có thể tính Y1(s) và Y2 (s) dùng định lý Thevenin bằng cách thay mạch bên phải tụ (bên phải hai cực ab) dùng mạch tương đương Thevenin, như vẽ ở hình 6.13c. Hình 6.13c cho trở kháng tương đương Z(s) và nguồn Thevenin tương đương V (s) là: 1 s 1 s 2 1 4 Z(s) 5 2 , V (s) 5 2 1 s 1 s 5 2 1 5s 12 5 2 1 5s 12 Dùng phương trình 6.13c, dòng là: 4 V (s) 24(s 2) Y (s) s , có thể tính theo cách trên. 1 1 2 s Z(s) s 7s 12 Kết quả là phù hợp ■
■ Thí dụ 6.15: Chuyển mạch trong hình 6.14a ở vị trí a trong thời gian dài trước t 0 , được chuyển tức thời sang vị trí b. Xác định dòng điện y1(t) và điện áp ra v0 (t) tại t 0. Trước khi chuyển mạch, giá trị dòng điện mạch vòng lần lượt là 2 và 1; tức là y1(0 ) 2 và y2 (0 ) 1. Mạch tương đương của hai dạng ghép hỗ cảm vẽ ở hình 6.14b và 6.14c. Trường hợp này, ta dùng mạch hình 6.14c. Mạch hình 6.13d vẽ mạch biến đổi sau khi mạch hình 6.14a được chuyển mạch. Chú ý các điện cảm L1 M , L2 M và M lần lượt là 3, 4, và – 1 Henry được chuyển thành trở kháng 3s, 4s, và –s. Điều kiện đầu trong ba nhánh là (L1 M)y1(0) 6 , (L2 M)y2 (0) 4 và M(y1(0) y2 (0)) 1. Phương trình mạch vòng: 10 (2s 3)Y (s) (s 1)Y (s) 5 1 2 s (s 1)Y1(s) (3s 2)Y2 (s) 5 (6.61) 5s 10 2s 3 s 1 Y1(s) s và s 1 3s 2 Y2 (s) 5
2s2 9s 4 4 1 1 Y (s) 1 s(s2 3s 1) s s 0,382 s 2.618 0,382t 2,618t y1(t) 4 e e u(t) Tương tự s2 2s 2 2 1,618 0,618 Y (s) 2 s(s2 3s 1) s s 0,382 s 2.618 0,382t 2,618t y1(t) 2 1,618e 0,618e u(t) 0,382t 2,618t Điện áp ra v0 (t) y2 (t) 2 1,618e 0,618e u(t) ■ Bài tập E 6.8 Mạch RCL vẽ trong hình 6.15, ngõ vào được đóng mạch tại t 0 . Điều kiện đầu là y(0 ) 2 và vC (0 ) 50. Tìm dòng điện vòng y(t) và điện áp tụ vC (t) khi t 0 t 0 0 Đáp số: y(t) 10 2e cos(2t 81.8 )u(t). vC (t) [24 31,62cos(2t 34.7 )u(t) .  6.4-1 Phân tích mạch tích cực
Phương pháp biến đổi Laplace áp dụng không chỉ cho mạch thụ động, mà còn dùng được cho mạch tích cực, bằng cách thay các phần tử tích cực bằng mô hình toán học (hay mạch tương đương) rồi thực hiện tiếp các bước sau: Mạch khuếch đại thuật toán (op – amp) vẽ trong hình 6.16a, gồm có ngõ vào đảo và ngõ vào không đảo. Tức là cực tính của ngõ ra v2 giống cực tính ngõ vào không đảo và trường hợp ngược lại cho ngõ vào đảo. Hình 6.16b vẽ mô hình (mạch tương đương) của mạch khuếch đại thuật toán (op – amp) hình 6.16a. Thông thường, op amp có độ lợi rất lớn. Điện áp ra v2 Av1 , với A thường là 105 đến 106. Trở kháng vào rất lớn (thường từ 106 cho BJT và 1012 cho Bi- FET) , và trở kháng ra rât bé (từ 50 đến 100). Trong hầu hết các ứng dụng, ta thường giả sử độ lợi và trở kháng vào là vô cùng, còn trở kháng ra là zêrô. Từ đó, ta có nguồn áp lý tưởng tại ngõ ra. Xét mạch op amp với hai điện trở Ra và Rb vẽ ở hình 6.16c. Dạng mạch này gọi là mạch khuếch đại không đảo dấu. Cực tính ngõ vào trong dạng mạch này là nghịch so với trường hợp hình 6.16a. Điện áp ra là Ra v2 Kv1 K 1 Rb Đầu tiên ta thấy là do trở kháng vào là vô cùng, nên dòng điện vào ix và điện áp vào vx phải tiến về zêrô. Nguồn phụ thuộc trong trường hợp này là Av x thay vì là Av x do cực tính ngõ vào là đảo. Nguồn phụ thuộc Av x (xem hình 6.16b) tại ngõ ra tạo dòng điện i0 , như vẽ ở hình 6.16c. v2 (Ra Rb )i0 Và do v1 vx Rai0 Rai0 nên v R R R 2 b a 1 b K v1 Ra Ra v2 (t) Kv1(t) , Mạch tương đương của mạch khuếch đại không đảo vẽ ở hình 6.16d ■ Thí dụ 6.16: Mạch hình 6.17a gọi là mạch Sallen-Key, thường được dùng trong thiết kế mạch lọc. Tìm hàm truyền giữa điện áp ra v0 (t) và điện áp ngõ vào vi (t) V (s) Ta cần tìm H(s) 0 với giả sử mọi điều kiện đầu là zêrô. Vi (s) Hình 6.17b vẽ dạng mạch biến đổi của mạch hình 6.17a. Mạch khuếch đạo không đảo được hay bằng mạch tương đương. Các giá trị điện áp được thay bằng biến đổi Laplace và các phần tử mạch thay bằng giá trị trở kháng. Cần có giả sử là các điều kiện đầu là zêrô để tỉm H(s). Dùng phương pháp phân tích nút, có hai điện áp nút ẩn là Va (s) và Vb (s) trong phương trình nút.
Viết phương trình tại nút a Va (s) Vi (s) Va (s) Vb (s) [Va (s) KVb (s)]C1s 0 hay R1 R2 1 1 1 1 C1s Va (s) KC1s Vb (s) V1(s) (6.63a) R1 R2 R2 R1 Tương tự, phương trình tại nút b Vb (s) Va (s) C2sVb (s) 0 hay R2 1 1 Va (s) C2s Vb (s) 0 (6.63b) R2 R2 Dạng ma trận G1 G2 C1s (G2 KC1s) Va (s) G1Vi (s) 1 1 với G1 và G2 G2 (G2 C2s) Vb (s) 0 R1 R2 Dùng luật Cramer 2 Vb (s) G1G2 0 2 2 2 Vi (s) C1C2s [G1G2 G1C2 G2C1(1 K)]s G1G2 s 2 s 0 Rb 2 G1G2 1 Với K 1 và 0 (6.65a) Ra C1C2 R1R2C1C2
G C G C G C (1 K) 1 1 1 2 1 2 2 2 2 1 (1 K) (6.65b) C1C2 R1C1 R1C2 R2C2 V0 (s) KVb (s) 2 V0 (s) Vb (s) K0 H(s) K 2 2 (6.66) ■ Vb (s) Vi (s) s 2 s 0 6.4-2 Giá trị đầu và giá trị cuối Trong một số ứng dụng, ta cần các giá trị của f (t) khi t 0 và t [các giá trị đầu và giá trị cuối của ] từ biến đổi Laplace F(s). Định lý giá trị đầu: nếu và đạo hàm df / dt có biến đổi Laplace thì: f (0 ) lim sF(s) (6.67) s Tức là, tồn tại vế phải của (6.67) Chứng minh: dùng phương trình (6.34a) 0 df st df st df st o df st df st sF(s) f (0 ) e dt e dt e dt f (t) e dt f (0 ) f (0 ) e dt 0 dt 0 dt 0 dt 0 0 dt 0 dt df Nên sF(s) f (0 ) e stdt , và 0 dt df st df st lim sF(s) f (0 ) lim e dt f (0 ) lim e dt f (0 ) s s 0 dt 0 dt s Nhận xét: Định lý giá trị đầu chỉ áp dụng khi F(s) bị giới hạn (m n), lim sF(s) không tồn tại. s Định lý giá trị cuối: nếu và đạo hàm có biến đổi Laplace thì: lim f (0 ) lim sF(s) (6.68) t s 0 Tức là, các cực của sF(s) không nằm bên phải mặt phằng phức (RHP) hay trên trục ảo. Chứng minh: cho s 0 vào phương trình (6.34a), ta có: df st df limsF(s) f (0 ) lim e dt dt f (t) lim f (t) f (0 ) s 0 s 0 0 dt 0 dt 0 t Ta chứng minh được công thức (6.68)
Nhận xét: Định lý giá trị cuối chỉ áp dụng nếu cực của sF(s) nằm bên trái mặt phẳng phức (LHP). Nếu có cực trên trục ảo, thì lim sF(s) không tồn tại. Nếu có cực nằm bên s 0 phải mặt phẳng phức (RHP), thì lim sF(s) không tồn tại. s 0 ■ Thí dụ 6.17: Tìm giá trị đầu và giá trị cuối của y(t) có biến đổi Laplace là: 10(2s 3) Y(s) s(s2 2s 5) Dùng phương trình (6.67) và (6.68), ta có: 10(2s 3) y(0 ) lim sY(s) lim 0 s s s(s2 2s 5) 10(2s 3) y( ) lim sY(s) lim 6 ■ s 0 s 0 s(s2 2s 5) 6.5 Sơ đồ khối. Hệ thống bao gồm số lượng rất lớn các phần tử hay linh kiện. Không thể cùng một lúc phân tích hệ thống này, nên tốt nhất là biểu diễn hệ thống từ kết nối các hệ con, rồi phân tích các hệ con này theo quan hệ vào –ra. Mỗi hệ thống (hệ con) được đặc trưng dùng hàm truyền H(s) và các biểu diễn tần số của ngõ vào F(s)và ngõ ra Y(s) . Các hệ con có thể được kết nối dùng ba dạng kết nối cơ bản (hình 6.18b, 6.18c, 6.18d) là nối tiếp, song song và phản hồi.
Khi hai hàm truyền kết nối nối tiếp, như hình 6.18b, thì hàm truyền chung là tích của hai hàm truyền. Y(s) W(s) Y(s) H (s)H (s) F(s) F(s) W(s) 1 2 Kết quả có thể mở rộng khi có nhiều hàm truyền nối tiếp hơn Tương tự, khi hai hàm truyền H1(s) và H2 (s) kết nối song song, như hình 6.18c, thì hàm truyền chung là tổng của hai hàm truyền H1(s) H2 (s). Kết quả là rõ ràng, và có thể mở rộng cho nhiều hàm truyền mắc song song. Khi ngõ vào nối phản hồi đến ngõ vào, như hình 6.18d, hàm truyền chung được tính là Y(s) / F(s) . Ngõ vào đến bộ cộng là F(s) và H(s)Y(s). Như thế, E(s) ngõ ra của bộ cộng là: E(s) F(s) H(s)Y(s) Nhưng Y(s) G(s)E(s) G(s)[F(s) H(s)Y(s)] Vậy Y(s)[1 G(s)H(s)] G(s)F(s) Nên Y(s) G(s) (6.69) F(s) 1 G(s)H(s) Nên có thể biểu diễn vòng phản hồi dùng một khối có hàm truyền như phương trình (6.69) (xem hình 6.18d) Khi tìm các phương trình trên, ta đã giả sử là khi nối ngõ ra của một hệ con với ngõ vào của hệ con khác, thì không ảnh hưởng lên ngõ vào của hệ con này. Thí dụ, hàm truyền H1(s) trong hình 6.18b được tính với giả sử là hệ con thứ hai H2 (s) chưa kết nối vào. Điều này cũng như giả sử là H2 (s) không gây tải lên . Nói cách khác, quan hệ vào – ra của không thay đổi cho dù H2 (s) có kết nối vào hay không. Trong thực tế, thì các mạch điện tử hiện đại như op amp (trở kháng vào lớn) thỏa được các giả thiết này. Nếu điều kiện không thỏa, thì phải được tính đúng với điều kiện vận hành (tức lả khi có H2 (s) kết nối vào). Bài thí dụ dùng MATLAB C6.3 cho phép ta xác định hàm truyền của hệ phản hồi trong hình 6.18d [phương trình (6.69)], với hàm truyền G(s) và H(s) cho trước:  Bài tập dùng máy tính C6.3 K Tìm hàm truyền của hệ phản hồi hình 6.18d khi G(s) , H(s) 1 s(s 8) và K lần lượt là 7, 16, và 80. 1 Để đơn giản, ta chia G(s) thành hai thành phần G (s) K và G (s) . 1 2 s(s 8) Điều này cho phép viết chương trình cho hai hệ con nối tiếp.
% (c62.m) G1num = [0 0 K]; G1den = [0 0 1]; G2num = [0 0 1]; G2den = [1 8 0]; Hnum= [0 0 1]; Hden = [0 0 1]; [Gnum,Gden]=series(G1num, G1den,G2num,G2den); [ClGnum,ClGden] = feedback(Gnum, Gden, Hnum, Hden); printsys(ClGnum,ClGden) Hàm truyền hệ phàn hồi, khi K = 7, 16, và 80 được tính khi dùng lệnh MATLAB sau: K = 7; c62 num/den = 7 s^2 8s 7 K = 16; c62 num/den = 16 s^2 8s 16 K = 80; c62 num/den = 80 s^2 8s 80 6.6 Thực hiện hệ thống. Phần này phát triển một phương pháp để thực hiện (hay mô phỏng) hệ thống có hàm truyền bậc n bất kỳ. Bài toán thực hiện về cơ bản là bài toán tổng hợp, nên có rất nhiều phương pháp thực hiện. Phần này giới thiệu ba phương pháp: dạng chính tắc, nối tiếp và song song. Dạng chính tắc thứ hai được trình bày trong phụ lục 6.1 ở cuối chương. Hàm truyền H(s) có thể được thực hiện dùng bộ tích phân hay vi phân, cùng các bộ cộng và nhân vô hướng. Thực tế cho thấy nên tránh dùng bộ vi phân, do bộ vi phân là suy giảm tín hiệu tần số cao, nên, từ bản chất, bộ vi phân có tốc độ thay đổi lớn. Tín hiệu thực tế, thường bị nhiễm nhiễu, là tín hiệu có phổ rất rộng, nên bộ vi phân có thể làm gia tăng thành phần nhiễu, làm ảnh hưởng đến tín hiệu mong muốn. Ngoài ra. Khi dùng op amp làm bộ vi phân, thường có xu hướng tạo dao động. Xét hệ LT – TT – BB có hàm truyền m m 1 bms bm 1s  b1s b0 H(s) n n 1 s an 1s  a1s a0 m n Khi s lớn ( s ) H(s)  bms
Như thế, khi m > n, hệ thống hoạt động như bộ vi phân bậc (m – n). Do đó, ta giới hạn m n cho hệ thống thực tế. Từ đó, trường hợp thông thường nhất là hàm truyền với m n với hàm truyền n n 1 bns bn 1s  b1s b0 H(s) n n 1 (6.70) s an 1s  a1s a0 6.6-1 Dạng chính tắc hay dạng trực tiếp Trước khi thực hiện hệ bậc n [theo phương trình (6.70)] ta bắt đầu với hệ bậc ba. Rồi mở rộng lên hệ bậc n. 3 2 b3s b2s b1s b0 H(s) 2 2 (6.71) s a2s a1s a0
Biểu diễn hàm truyền thành hệ nối tiếp hai hàm truyền H1(s) và H2 (s), như vẽ ở hình 6.19. 1 H(s) b s3 b s2 b s b (6.72) 3 2 3 2 1 0 s a1s a1s a0 H1(s) H2 (s) Ngõ ra của là X (s) , vẽ ở hình 6.19b, nên 3 2 Y(s) b3s b2s b1s b0 X (s) (6.73) 1 Và X (s) F(s) (6.74) 3 2 s a1s a1s a0 Đầu tiên, ta tạo . Phương trình (6.74) cho phép ta viết phương trình vi phân của quan hệ giữa x(t) và f (t) : 3 2 (D a2D a1D a0 )x(t) f (t) (6.75a) hay x(t) a2x(t) a1x(t) a0 x(t) f (t) (6.75b) và x(t) a2x(t) a1x(t) a0 x(t) f (t) (6.75c) Nhiệm vụ là thiết kế hệ thống có ngõ vào và ngõ ra thỏa phương trình (6.75c). Giả sử là ta đã có x(t) từ . Khi lấy tích phân liên tiếp của x(t) , ta lần lượt có x(t) , x(t) và x(t) (hình 6.20a). Tạo từ , x(t) , x(t) và x(t) theo phương trình (6.75c) dùng kết nối phản hồi theo hình 6.20b (độc giả có thể chứng minh là hình 6.20b thỏa phương trình (6.75c). Rõ ràng, hàm truyền của hệ thống này (hình 6.20b) là trong phương trình (6.72). Các tín hiệu , và có tại các điểm N1, N2, và N3. Nếu điều kiện đầu x(0) , x(0) và x(0) là khác zêrô, thì chúng sẽ được cộng thêm vào tại các điểm N1, N2, và N3. Hình 6.20c vẽ hệ thống của hình 6,20b rtong miền tần số. Mỗi khâu tích phân biểu diễn hàm truyền 1/ s [xem phương trình (6.56)]. Các tín hiệu , , , và thành các biến đổi Laplace F(s), X (s) , sX(s) , s2 X (s) và s3 X (s) . Hình 6.20c thực hiện hàm truyển trong phương trình (6.72). Để thực hiện H(s) , ta cần tăng sao cho ngõ ra Y(s) được tạo ra từ X (s) theo phương trình (6.73): 3 2 3 2 Y(s) b3s b2s b1s b0 X (s) b3s X (s) b2s X (s) b1sX(s) b0 X (s) Các tín hiệu , , và đã có tại nhiều điểm trong hình 6.20c nên được tạo ra từ kết nối thuận đến ngõ ra bộ cộng, vẽ ở hình 6.21. Như thế, hình 6.21 đã thể hiện được hàm truyền mong muốn của phương trình (6.71).
Tổng quát thực hiện cho hàm truyền bậc n trong phương trình (6.70) được vẽ ở hình 6.22. Đây là một trong hai dạng thực hiện chính tắc (còn được gọi là bộ điều khiển chính tắc hay dạng thực hiện trực tiếp). Dạng thực hiện chính tắc thứ hai (thực hiện bộ quan sát chính tắc) được thảo luận phụ lục 6.1 tại phần cuối của chương. Ta thấy để thực hiện hàm truyền bâc n, ta cần n khâu tích phân. Phương pháp thực hiện chính tắc (trực tiếp) được minh họa trong hình 6.22. Từ đó, ta có thể tóm tắt thành các bước sau: 1. Vẽ bộ cộng các tín hiệu vào và n khâu tích phân nối tiếp 2. Vẽ n kết nối phản hồi từ ngõ ra của n khâu tích phân về bộ cộng tại ngõ vào. Các hệ số phản hồi lần lượt là a0 ,a1,a2 ,,an 1 , và các đường phản hồi có dấu âm (phép trừ) tại bộ cộng tại ngõ vào.
3. Vẽ n 1 đường nối thuận đến bộ cộng từ ngõ ra của n khâu tích phân. ( n 1) đường nối thuận có cac hệ số lần lượt là b0 ,b1,b2 ,,bn , và có giá trị dương (phép cộng) tại bộ cộng ngõ ra. Nhận thấy các kết nối ak và bk đều xuất phát từ một điểm. Nên các kết nối a0 và b0 cũng xuất phát từ một điểm, tương tự cho a1 và b1 , v.v., Chú ý là an được giả sử là đơn vị và không xuất hiện trong thực hiện hàm truyền. Trường hợp an 1, phải thực hiện chuẩn hóa hàm truyền H(s) bằng cách chia tử và mẫu số cho . ■ Thí dụ 6.18: Thực hiện chính tắc cho các hàm truyền sau: 5 s 5 s 4s 28 (a) (b) (c) (d) s 2 s 7 s 7 s2 6s 5 Bốn hàm truyền này đều là dạng đặc biệt của trong phương trình (6.70) (a) Trường hợp này, hàm truyền là bậc một (n = 1); nên ta chỉ dùng một bộ tích phân. Các hệ số phản hồi là a0 2 b0 5 b1 0 Mạch thực hiện được vẽ trong hình 6.23. Do n 1, nên chỉ có một đường phản hồi từ ngõ ra của khâu tích phân đấn ngõ vào bộ cộng với hệ số a0 2 . Khi n 1, ta thường có n 1 2 đường truyền thuận, Tuy nhiên, do b1 0 , nên chỉ có một đường truyền thuận với hệ số b0 5 từ ngõ ra khâu tích phân đến ngõ ra bộ cộng. Do chỉ cần cộng một tín hiệu tại bộ cộng, nên không cần bộ cộng, như trong hình 6.23
s 5 (b) H(s) s 7 Mạch thực hiện trong hình 6.24. Do H(s) là hàm truyền bậc một có a0 7 và b0 5,b1 1. Có một đường phản hồi (với hệ số 7) từ ngõ ra bộ tích phân đền ngõ vào bộ cộng. Có hai đường truyền thẳng từ ngõ ra bộ tích phân và ngõ vào bộ cộng đến ngõ ra bộ cộng. s (c) H(s) s 7 Hàm truyền bậc một tương tự trường hợp (b) trừ trường hợp b0 7 . Thực hiện tương tự như hình 6.24, bỏ đường truyền thẳng nối từ ngõ ra bộ tích phân, vẽ ở hình 6.25a. Không có bộ cộng tại ngõ ra do chỉ có một tín hiệu. Thực hiện hình 6.25a được vẽ lại ở hình 6.25b 4s 28 (d) H(s) s2 6s 5 Đây là hệ bậc hai với b0 28,b1 4,a0 5,a1 6. Hình 6.26 thực hiện dùng hai đường phản hồi và hai đường truyền thẳng. ■ Bài tập E 6.9 2s Thực hiện mạch H(s) .  s2 6s 25
6.6-2 Dạng nối tiếp và song song. Hệ bậc n có hàm truyền H(s) có thể được biểu diễn thành tích hay tổng n hệ có hàm truyền bậc một. Theo đó, ta cũng thực hiện thành dạng nối đuôi (nối tiếp) hay song song của n hàm truyền bậc một này. Thí dụ, xét hàm truyền trong phần (d) của thí dụ trên 4s 28 H(s) , ta có thể viết lại như sau: s2 6s 5 4s 28 4s 28 1 H(s) H1(s)H2 (s) (6.76a) s2 6s 5 s 1 s 5 Ngoài ra còn viết được theo dạng tổng đa thức 4s 28 6 2 H(s) H (s)H (s) (6.76b) s2 6s 5 s 1 s 5 3 4 Phương trình (6.76) cho phép ta lựa chọn thực hiện H(s) theo dạng nối đuôi H1(s) và H2 (s) , như hình 6.27a hay dạng song song của H3 (s) và H4 (s) như hình 6.27b. Các hàm truyền bậc một trong hình 6.27a và 6.27b thực hiện dùng một khâu tích phân, như trong thí dụ 6.18. Ta đã trình bày ba dạng thực hiện (chính tắc, nối đuôi, và song song). Dạng chính tắc thứ hai sẽ được trình bày trong phần phụ lục 6.1. Tuy nhiên, thí dụ trong dạng nối đuôi, có nhiều phương thức khác nhau để nhóm có thừa số ở tử số và mẫu số của , từ đó, có thể thực hiện nhiều dạng mạch nối đuôi. Theo quan điểm thực tế, dạng nối đuôi và song song là phù hợp do hệ song song va một số dạng nối đuôi ít nhạy cảm với sự thay đổi nhỏ của tham số so với trường hợp hệ chính tắc. Vể mặt định tính, sai biệt này có thể được giải thích là trong thực hiện chính tắc các tham số tương tác với nhau, nên một thay đổi nhỏ của tham số này sẽ được khuếch đại với nhiều ảnh hưởng của kết nối phản hồi và truyền thẳng. Còn trong thực hiện nối tiếp hay song song, thay đổi tham số có ảnh hưởng cục bộ. chứ không toàn cục. Trong các thí dụ trên về thức hiện nối đuôi và song song, ta đã chia H(s) thanh nhiều thừa số bậc một. Thí dụ, khi H(s) ở nậc cao, ta có thể nhóm thành thừa số, không nhất thiết là bậc một. Thí dụ, khi là bậc ba, ta có thể dùng tổ hợp khâu bậc hai và khâu bậc một. Thực hiện với cặp cực phức liên hợp Các cực phức trong có thể thực hiện dùng thừa số bậc hai (quân phương) do ta không thể thiết lập pháp nhân với số phức. Thí dụ, xét 10s 50 10s 50 2 1 j2 1 j2 H(s) (s 3)(s2 4s 13) (s 3)(s 2 j3)(s 2 j3) s 3 s 2 j3 s 2 j3
Ta không thể thự hiện hàm truyền bậc nhất riêng biệt với cực 2 j3 , do phải nhân với số phức trên đường phản hồi và đường truyền thẳng. Do đó, ta cần kết hợp các cực phức thành khâu có hàm truyền bậc hai. Trường hợp này, ta biểu diễn H(s) thành: 10 s 5 H(s) (6.77a) s 3 s2 4s 13 2 2s 8 H(s) (6.77b) s 3 s2 4s 13 Ta thực hiện H(s) dạng nối đuôi dùng phương trình (6.77a) hay dùng dạng song song dùng phương trình (6.77b) Thực hiện với các cực lặp Khi có cực lặp, các bước thực hiện dạng chính tắc và nối đuôi đều giống trường hợp trước. Tuy nhiên trong thực hiện song song, khi thực hiện cần một số chú ý đặc biệt, như trong thí dụ 6.19 dưới đây ■ Thí dụ 6.19: Tìm thực hiện song song của 7s2 37s 51 5 2 5 H(s) (s 2)(s 3)2 s 2 s 3 (s 3)2 Hàm truyền bậc ba có thể cần nhiều hơn ba khâu tich phân. Nhưng nếu ta thực hiện thành ba thừa số riêng biệt, ta cần đến bốn khâu tích phân vì có một thừa số bậc hai. Vấn đề này có thể được giải quyết khi thấy thừa số 1/(s 3) và 1/(s 3)2 có thể thực hiện nối đuôi hai hệ thống con, mỗi hệ con với hàm truyền , như vẽ ở hình 6.28. Các khâu bậc một có trong hình 6.28 có thể thực hiện như hình 6.23. ■ Bài tập E 6.10 Thực hiện dạng chính tắc, nối đuôi và sóng song hàm s 3 s 3 1 H(s) .  s2 7s 10 s 2 s 5
6.6-3 Thực hiện hệ thống dùng op amp. Phần này bàn về thiết lập thực tế cách dạng thực hiện đã được mô tả. Như đã biết, các phần tử cơ bản dùng tổng hợp hệ thống LT – TT – BB (hay hàm truyền) là khâu nhân vô hướng, khâu tích phân, và khâu cộng, các khâu này đầu có thể thực hiện dùng op amp, như mô tả dưới đây Mạch khuếch đại dùng op amp Hình 2.29 vẽ mạch op amp trong miền tần số (mạch biến đổi). Do trở kháng ngõ vào của op amp là vô cùng (rất lớn), nên tất cả các dòng điện I(s) đều đi theo đường phản hồi, như hình 6.29. Tuy nhiên, điện áp vào Vx (s), là zêrô (rất bé) do op amp có độ lợi là vô cùng (rất lớn). Như thế, với các mạch thực tế, Y(s) I(s)Z f (s) , và do vx 0 F(s) I(s) , thế vào phương trình đầu Z(s) Z (s) Y(s) f F(s) Z(s) Vậy, mạch op amp có hàm truyền Z (s) H(s) f (6.78) Z(s) Khi chọn thích hợp Z(s) và Z f (s) , ta có nhiều dạng hàm truyền khác nhau, như trình bày ở phần dưới đây: Khâu nhân vô hƣớng Khi dùng điện trở R f làm phản hồi và điện trở R tại ngõ vào (hình (6,30a), thì Z f (s) Rf , Z(s) R , thì R H(s) f (6.79a) R R f Mạch hoạt động như mạch nhân vô hướng (mạch khuếch đại) có độ lợi âm ( R ). Độ lợi dương được thực hiện dùng hai mạch khuếch đại này nối đuôi nhau, hay chỉ dùng một mạch khuếch đại như hình 6.16c. Hình 6.30a còn vẽ ký hiệu khâu nhân vô hướng.
Khâu tích phân Khi dùng tụ C trong đường phản hồi là điện trở R tại ngõ vào (hình 6.30b) thì Z f (s) 1/ Cs , Z(s) R , thì: 1 1 H(S) (6.79b) RC s Hệ thống hoạt động như khâu tích phân lý tưởng với độ lợi là 1/ RC . Hình 6.30b còn vẽ ký hiệu của khâu tích phân dùng trong sơ đồ khối.
Khâu cộng Xét mạch hình 6.31a có r ngõ vào lần lượt là F1(s),F2 (s),, Fr (s). Do điện áp vào thường là Vx 0 , do độ lợi của op amp . Đồng thời, do dòng điện vào op amp cũng rất bé ( 0 ) do trở kháng . Do đó, dòng điện tổng qua điện trở phản hồi R f là I1(s) I2 (s)  Ir (s). Ngoài ra, do Vx 0 Fj (s) I j (s) j 1,2,,r R j R f R f R f Y(s) R f [I1(s) I2 (s)  Ir (s)] F1(s) F2 (s)  Fr (s) R1 R2 Rr k1F1(s) k2F2 (s)  kr Fr (s) (6.80) R f Với ki Ri Rõ ràng, mạch điện hình 6.31 dùng làm khâu cộng và khuếch đại với độ lợi cần thiết cho từng tín hiệu ngõ vào. Hình 6.31b vẽ ký hiệu dùng trong sơ đồ khối của khâu cộng có r ngõ vào. ■ Thí dụ 6.20: 2s 5 Dùng op amp. Thực hiện dạng chính tắc cho hàm truyền H(s) s2 4s 10
Dạng thực hiện chính tắc cơ bản vẽ ở hình 6.32a, trong đó có ghi giá trị tín hiệu tại các điểm. Các phần tử của mạch op amp (khâu nhân, tích phân và cộng) thay đổi cực tính tín hiệu ra. Thay đổi thực hiện chính tắc trong hình 6.32a thành 6.32b. Trong hình 6,32a, các ngõ ra của khâu cộng và tích phân lần lượt là s2 X (s) , sX(s) và X (s) . Mạch op amp có tính đảo dấu, nên các ngõ ra này trong hình 6.32b là s2 X (s) , và X (s) . Do tính đảo cực, nên cần thay đổi dấu trong đường phản hồi và đường truyền thẳng. Theo hình 6,32a: s2 X (s) F(s) 4sX(s) 10X (s) , hay s2 X (s) F(s) 4sX(s) 10X (s) Do ngõ ra khâu cộng luôn luôn âm (xem phương trình (6.31))nên, ta viết lại phương trình s2 X (s) 1[F(s)] 4[ sX(s)] 10[ X (s)] Hình 6.32b vẽ sơ đồ và hình 6.32c vẽ mạch điện thực hiện từ phương trình này. Các khâu tích phân có độ lợi đơn vị nên cần RC = 1. Chọn R 100K và C 10F . Độ lợi 10 của vòng phản hồi bên ngoài cần có điện trở phản hồi của khâu cộng là 100K và điện trở vào là 10K. Tương tự, độ lợi 4 của vòng phản hồi bên trong dùng điện trở phản hồi là và điện trở vào lần lượt là5K và 20K . Mạch op amp trong hình 6.32 chưa phải là dùng ít op amp nhất. Còn có thể không dùng hai op amp đảo dấu (vớ độ lợi là – 1) trong hình 6.32 bằng cách cộng trực tiếp tín hiệu sX(s) tại ngõ vào và ngõ ra của khâu cộng, dùng cấu hình mạch khuếch đại không đảo dấu vẽ ở hình 6.16. Ngoài ra còn có rhể dùng dạng mạch (thí dụ Sallen-Key) để thực hiện hàm truyền bậc một và bậc hai chỉ dùng một op amp. ■ Bài tập E 6.11 Chứng tõ là hàm truyền của mạch op amp trong hình 6.33a và 6.33b lần lượt là R f a 1 C s b 1 1 H1(s) a . H1(s) a b  R s a R f C f C f s a R f C f RC
6.7 Ứng dụng trong phản hồi và điều khiển. Thông thường, hệ thống được thiết kế để tạo ngõ ra mong muốn y(t) khi có tín hiệu vào f (t). Từ tiêu chuẩn về tính năng cho trước, ta thiết kế được hệ thống vẽ ở hình 6.34a. Lý tưởng thì hệ thống vòng hở này có được tính năng cần có. Tuy nhiên, trong thực tế, các đặc tính của hệ thống thay đổi theo thời gian, do lão hóa hay do thay thế một số linh kiện, hay do môi trường chung quanh hệ thống. Do đó, ngõ ra của hệ thống thay đổi theo thời gian khi có tín hiệu vào. Điều này làm mất độ chính xác của hệ thống. Một giải pháp là áp tín hiệu vào là tín hiệu là hàm không xác định trước theo thời gian, nhưng có thể thay đổi để chống lại ảnh hưởng của yếu tố thay đổi tham số hay môi trường. Nói gọn hơn, tức là tạo bộ hiệu chỉnh tại ngõ vào để bổ chính các yếu tố thay đổi không mong muốn. Tuy nhiên, các thay đổi này thường không dự báo được, nên rất khó để lập chương trình hiệu chỉnh ngõ vào.Tuy nhiên, sai biệt giữa ngõ ra thực và ngõ ra mong muốn cho thấy rõ mức hiệu chỉnh thích hợp cho ngõ vào hệ thống. Do đó, ta có thể cho ngõ vào tỉ lệ với ngõ ra mong muốn, và phản hồi ngõ ra thực y(t) vầ ngõ vào để so sánh. Sai biệt này được dùng hiệu chỉnh ngõ vào. Do đó ngõ vào được chỉnh định liên tục để đât được ngõ ra mong muốn. Các hệ thống này (hình 6.34b) được gọi là hệ phản hồi hay hệ vòng kín với nhiều lý do. Hảy quan sát hàng ngàn thí dụ về hệ phản hồi trong cuộc sống chung quanh ta. Hầu hết các hệ thống về xã hội, kinh tế, giáo dục và chính trị, trong thực tế là những hệ phản hồi. Tự thân cơ thể con người cũng là một thí dụ tốt về hệ phản hồi; hầu hết các hành động của chúng ta là sản phẩm của cơ chế phản hồi. Các cảm biến của người như là mắt, tai, mủi, lưởi, và da liên tục giám sát trạng thái hệ thống của chúng ta. Thông tin này được phản hồi về não, hoạt động như bộ điều khiển, tạo ra các ngõ vào được hiệu chỉnh nhằm thực hiện mục tiêu cần thiết.
Khi lái xe, các cảm giác của chúng ta liên tục cung cấp thông tin cho não bộ. Mắt ghi nhận hình ảnh đứa bé trên đường, não lập tức đưa lệnh (ngõ vào) cho tay để lái tránh đứa bé. Khi có đèn đỏ, một lần nữa, não cho lệnh (ngõ vào) đến chân để thắng xe lại, bất thình lình, tai nghe tiếng còi hụ từ xe cấp cứu; não ra lệnh tấp xe tạm thời vào lề. Mủi nghe mùi thối, não laại ra lệnh cho lái xe vượt khỏi nơi này. Trong thí dụ này: đứa bé, đèn đỏ, tiếng còi xe cấp cứu, mùi thối là các thay đổi chưa dự báo trước của môi trường (được phản hồi về do các giác quan của chúng ta). Nhờ phản hồi, các thay đổi từ môi trường đã được hiệu chỉnh để có hành trình đúng, và đây cũng là thí dụ về hệ thống phản hồi nhiều biến. Hệ phản hồi có thể giải quyết được các vấn đề do nhiễu gây nên, thí dụ trường hợp nhiễu trắng trong các hệ thống điện tử, một cơn gió mạnh làm ãnh hưởng lên tính bám theo của anten, thiên thạch va chạm vào tàu vũ trụ. Súng đặt trên tàu hay xe tăng đang di chuyển bị lắc lư. Phản hồi còn có thể dùng giảm thiểu tính phi tuyến của hệ thống hay khống chế thời gian lên (hay băng thông). Phản hồi còn cho phép hệ thống thực hiện được mục tiêu mong muốn trong mọt tầm dung sai cho trước, mặc dù chưa biết hoàn toàn về hệ thống và môi trường. Do đó, một hệ thống phản hồi có khả năng giám sát và tự chỉnh trước các tham đổi của tham số hệ thống và các thay đổi từ môi trường bên ngoài. Xét hệ thống phản hồi trong hình 6.35. Bộ khuếch đại thuận có độ lợi G = 10.000, một phần trăm của ngõ ra được phản hồi về (H = 0,01). Độ lợi T của bộ khuếch đại có phản hồi lấy từ phương trình (6.69). G 10.000 T 99,01 1 GH 1 100 Giả sử do lão hóa hay do thay thế một số transistor, độ lợi G của bộ khuếch đại thay đổi từ 10.000 thành 20.000. Độ lợi mới của hệ phản hồi là G 20.000 T 99,5 1 GH 1 200 Ta thấy khi độ lợi thuận G thay đổi 100% thì độ lợi của bộ khuếch đại có phản hồi T chỉ thay đổi 0,5% mà thôi. Bây giờ, xét xem việc gì xảy ra khi ta thêm (cộng hay trừ) tín hiệu phản hồi về ngõ vào. Điều này làm cho dấu của nối phản hồi là + thay vì – , (tức là cùng chiều với thay đổi dấu của H trong hình 6.35). Do đó G T 1 GH Nếu ta cho G = 10.000 như ban đầu và H = 0,9 x 10– 4 , thì 10.000 T 100.000 1 0,9(104 )(10 4 )
Giả sử do lão hóa hay do thay thế một số transistor, độ lợi G của bộ khuếch đại thay đổi từ 10.000 thành 11.000. Độ lợi mới của hệ phản hồi là 10.000 T 1.100.000 1 0,9(11.000)(10 4 ) Ta thấy khi độ lợi thuận G chỉ thay đổi 10% thì độ lợi của bộ khuếch đại có phản hồi T đã thay đổi 1.000% rồi (từ 100,000 lên 1.100.000). Rõ ràng, bộ khuếch đại rất nhạy với thay đổi của tham số. Hành vi này hoàn toàn trái ngược với điều quan sát trước đây, khi tín hiệu phản hồi được trừ đi tại ngõ vào. Vậy điều khác biệt giữa hai trường hợp trên là gì? Nói sơ lượt thì trường hợp đầu được gọi là phản hồi âm và trường hợp sau được gọi là phản hồi dƣơng. Ta sẽ thấy thường hệ phản hồi dương tăng độ lợi, cũng làm tăng tính nhạy cảm của hệ thống với sự thay đổi của tham số hệ thống, và có thể làm hệ thống mất ổn định. Trong trường hợp trên, khi G = 111.111, GH = 1 và T = . Nguyên nhân của sự mất ổn định là tín hiệu phản hồi trong trường hợp này lại bằng chính tín hiệu vào do GH = 1. Do đó, khi đưa tín hiệu vào, dù nhỏ hay lớn, tồn tại trong thời gian dài hay ngắn, sẽ được tăng cường tại ngõ vào, và khuếch đại tại ngõ ra, quá trình phản hồi cứ tiếp tục nhiều lần, như thế tín hiệu được xem là tồn tại mãi mãi, ngay cả khi ngưng cấp tín hiệu vào, và điều này làm hệ thống mất ổn định. 6.7-1 Phân tích hệ thống điều khiển đơn giản Hình 6.36a vẽ hệ thống điều khiển tự động vị trí, có thể dùng điều khiển góc quay của vật nặng (thí dụ anten bám theo, hệ thống súng phòng không, hay hệ thống định vị cho tàu thủy. Ngõ vào i là vị trí góc của đối tượng, và có thể đặt trước với giá trị bất kỳ. Vị trí góc thực 0 của đối tượng (ngõ ra) được đo bằng một chiết áp có cần gạt đặt tại trục ra. Sai biệt giữa ngõ ra và ngõ vào được khuếch đại; ngõ ra của bộ khuếch đại tỉ lệ với giá trị 0 i được đưa đến ngõ vào của động cơ. Khi 0 i 0 (ngõ ra thực bằng ngõ ra mong muốn), không có tín hiệu vào động cơ, động cơ dừng. Nếu 0 i , có ngõ vào khác zêrô vào động cơ, nên động cơ quay trục cho đến khi 0 i . Rõ ràng là khi đặt chiết áp vào ở vị trí mong muốn, ta có thể điều khiển góc quay của các đối tượng nặng từ xa. Sơ đồ khối của hệ thống được vẽ trong hình 6.36b. Hệ dố khuếch đại là K, chỉnh định được. Hàm truyền của động cơ và tải có liên quan đến góc quay với điện áp ngõ vào lấy từ G(s) [xem phương trình (1.65)]. Cấu trúc này tương tự như hình 6.18 khi H(s) 1. Do đó, hàm truyền T(s) của hệ vòng kín mô tả quan hệ giữa và i là KG(s) T 1 KG(s) Từ phương trình này, ta tiếp tục khảo sát hoạt động của hệ thống điều khiển tự động vị trí trong hình 6.36a với ngõ vào là hàm bước và ngõ vào là hàm dốc.
Ngõ vào là hàm bƣớc. Khi muốn thay đổi tức thời vị trí của góc quay đối tượng, ta cần đưa tín hiệu vào là hàm bước. Ta muốn biết thời gian vị trí góc quay đạt vị trí mong muốn, phương các đạt vị trí mong muốn (mịn hay dao động chung quanh vị trí mong muốn) Khi hệ thống dao động, ta cần biết thời gian tồn tại dao động này. Tất cả các vấn đề này được giải quyết bằng cách tìm ngõ ra 0 (t) khi i (t) u(t) . Đáp ứng bước cho thấy thay đổi tức thời của góc quay. Ngõ vào dạng này là một trong những tín hiệu khó đáp ứng; nếu hệ thống đáp ứng tốt với ngõ vào dạng này, thì sẽ hoạt động tốt trong những tình huống mong muốn khác. Do đó, ta cần thử hệ thống với tín hiệu hàm bước.
Khi tín hiệu hàm bước vào i (t) u(t) i (s) 1/ s nên 1 KG(s)  (s) T(s) 0 s s[1 KG(s)] Cho hàm truyền (có tải) của động cơ quan hệ giữa góc quay tải 0 (t) với điện áp vào là 1 G(s) [xem phương trình (1.65)], tức là s(s 8) K s(s 8) K  (s) 0 K s(s2 8s K) s 1 s(s 8) Khảo sát đáp ứng của hệ thống với ba giá trị khác nhau của K 1. K = 7 7 7 1 (7 / 6) (1/ 6)  (s) và 0 s(s2 8s 7) s(s 1)(s 7) s s 1 s 7  (t) 1 (7 / 6)e t (1/ 6)e 7t u(t) 0 Đáp ứng vẽ ở hình 6.36c cho đáp ứng chậm. Để tăng tốc, hảy thử tăng độ lợi lên, thí dụ là 80. 2. K = 80 0 0 80 80 1 ( 5 / 4)e j153 ( 5 / 4)e j153  (s) 0 s(s2 8s 80) s(s 4 j8)(s 4 j8) s s 4 j8 s 4 j8 4t 0 0 (t) 1 ( 5 / 2)e cos(8t 153 )u(t)
Đáp ứng này được vẽ trong hình 6.36c, rõ ràng nhanh hơn trường hợp trước (K 7) , như lại xuất hiện yếu tố dao động với các điểm vọt lố cao. Trong trường hợp này thì phần trăm vọt lố là 21% (PO: percentage overshoot). Đáp ứng đạt giá trị đỉnh tại thời gian đỉnh t p 0,393 giây. Thời gian lên, là thời gian cần để đáp ứng tăng từ 10% đến 90% giá trị xác lập, cho thấy tốc độ đáp ứng. Trường hợp này tr 0,175 giây. Giá trị xác lập của đáp ứng là đơn vị nên sai số xác lập là zêrô. Về mặt lý thuyết thì cần thời gian vô hạn để đáp ứng đạt giá trị đơn vị. Trong thực tế, ta có thể xem đáp ứng được thiết lập giá trị cuối khi tiệm cận với giá trị cuối. Giá trị này được chấp nhận là trong tầm 2% của giá trị cuối. Thời gian cần cho đáp ứng đạt và giữ trong tầm 2% của giá trị cuối được gọi là thời gian thiết lập ts . Hình 6.36c, ta thấy ts 1 giây. Hệ thống tốt có độ vọt lố thấp, các giá trị tr ,ts thấp và có giá trị sai số xác lập bé. Hệ thống có độ vọt lố cao, thí dụ trong trường hợp này, không được chấp nhận trong một số trường hợp. Ta hảy thử xác định K (độ lợi) tạo đáp ứng nhanh nhưng không có dao động. Các nghiệm đặc tính phức dẫn đến dao động, để tránh dao động, các nghiệm phải là thực. Trong trưởng hợp này đa thức đặc tính là s2 8s K . Khi K > 16, ta có nghiệm thực. Đáp ứng nhanh nhất không có dao động có được khi chọn K = 16. 3. K = 16 16 16 1 1 4  (s) 0 s(s2 8s 16) s(s 4)2 s s 4 (s 4)2 4t 0 (t) 1 (4t 1)e u(t) Đáp ứng được vẽ trong hình 6.36c. Hệ thống khi K > 16 được gọi là giảm chấn thiếu (dao động -underdamped), khi K < 16 được gọi là giảm chấn lố (overdamped), còn khi K = 16 được gọi là giảm chấn tới hạn (critically damped). Có sự thỏa hiệp giữa yếu tố vọt lố và thời gian lên. Giảm vọt lố làm tăng thời gian lên (hệ thống tác động chậm). Trong thực tế, có thể chấp nhận vọt lố bé, vẫn đáp ứng nhanh hơn trường hợp giảm chấn tới hạn. Chú ý là phần trăm vọt lố PO và thời gian đỉnh t p không có nghĩa với trường hợp giảm chấn lố hay giảm chấn tới hạn. Hơn nữa, khi chỉnh định K, ta cần hỗ trợ hệ thống dùng một số khâu bù, khi cần có các tiêu chí nghiêm ngặt về độ vọt lố hay tốc độ đáp ứng. Ngõ vào là hàm dốc. Khi súng phòng không trong hình 6.36a bám theo máy bay địch di chuyển với vận tốc đều, vị trí góc của súng phải tăng tuyến tính theo t. Do đó, ngõ vào trong trường hợp này là hàm dốc; tức là i (t) tu(t) . Hảy tìm đáp ứng của hệ thống với đáp ứng này và 2 với K = 80. Trường hợp này i (s) 1/ s , và 80 0,1 1 0,1(s 2)  (s) 0 s2 (s2 8s 80) s s2 s2 8s 80 Dùng bảng 6.1, ta có
1 y(t) 0,1 t cos(8t 36,870 ) u(t) 8 Đáp ứng được vẽ ở hình 6.36d, cho thấy hệ thống có sai số xác lập er 0,1 radian. Trong một số trường hợp, cho phép có sai số xác lập bé. Tuy nhiên, cần có sai số xác lập của đáp ứng dốc là zêrô, vậy là đáp ứng của trường hợp này là không đạt. Ta cần có thêm khâu bù cho hệ thống này.  Bài tập dùng máy tính C6.4 Tìm đáp ứng bước của hệ phản hồi trong hình 6.36b với G(s) 1/ s(s 8) khi K = 7, 16 và 80. Tìm đáp ứng với hàm dốc khi K = 80. Trong thí dụ dùng máy tính C6.3, ta có được hàm truyền của hệ thống phản hồi này. Ta làm lại và dùng lệnh „conv‟ khi mẫu số gồm hai thừa số D1(s) và D2 (s) . Lệnh „conv‟ nhân D1(s) với D2 (s) và cho các hệ số của tích D1(s)D2 (s) . Để tìm đáp ứng hàm bước và đáp ứng hàm dốc , ta tạo m-file c64a.m như sau: %(c64a.m) Gnum=[0 0 K]; Gden=conv([0 1 0],[0 1 8]); Hnum=[0 0 1]; Hden=[0 0 1]; [NumTF, DenTF]=feedback(Gnum, Gden, Hnum, Hden); Step(NumTF, DenTF) Để vẽ đáp ứng bước (như hình 6.36c) dùng tập tin c64b.m như sau: K = 7; c64a;hold on, K=16; c64a; K=80; c64a; Đáp ứng dốc đơn vị của hệ thống này giống như đáp ứng bước của hệ thống với hàm truyền T(s)/s. Ta dùng c64a để tìm đáp ứng dốc. Để vẽ, khi K =80, tạo c64c.m như sau: K=80; c64a; NumTFr=NumTF; DenTFr=conv([0 1 0], DenTF); Printsys(NumTFr, DenTFr); step(NumTFr, DenTFr) 
Các đặc tính thiết kế. Phần này cung cấp cho độc giả một số ý tưởng về các dạng đặc tính dùng trong hệ thống điều khiển cần thiết. Thông thường, khi thiết kế hệ thống điều khiển ta cần thỏa một trong số các đặc tính sau: 1. Đáp ứng quá độ (a) Định rõ độ vọt lố với ngõ vào là hàm bước (b) Định rõ thời gian lên tr và/hay thời gian trễ td . (c) Định rõ thời gian thiết lập ts 2. Sai số xác lập Định rõ sai số xác lập đối với một số ngõ vào như hàm bước. hàm dốc. hay hàm parabol. Trong hệ thống điều khiển. đáp ứng quá độ là được đặc trưng với ngõ vào hàm bước, điều này do hàm bước biểu diễn bước nhảy gián đoạn. Do đó, nếu hệ thống có được đáp ứng quá độ chấp nhận được với hàm bước, thì sẽ có đáp ứng chấp nhận được với nhiều dạng tín hiệu vào khác. Tuy nhiên, sai số xác lập lại cần được xác định cho từng dạng ngõ vào. Đối với từng hệ thống, ta cần xem xét dạng tín hiệu vào (bước, dốc, v.v, ) nào có thể xuất hiện, để định các yêu cầu về sai số xác lập của từng ngõ vào. 3. Độ nhạy Hệ thống cần thỏa mãn các đặc tính về độ nhạy đặc trưng khi tham số hệ thống thay đổi, hay với một số nhiễu loạn. Phân tích độ nhạy không được đề cập ở đây. 6.7–2 Phân tích hệ thống bậc hai Đáp ứng quá độ tùy thuộc vào vị trí các điểm cực và điểm zêrô của hàm truyền T(s). Thông thường, không có con đường ngắn để dự đoán các tham số của đáp ứng quá độ (PO, , ) từ hiểu biết về cực và zêrô của T(s). Tuy nhiên với hệ bậc hai không có điểm zêrô, lại có quan hệ trực tiếp giữa vị trí cực và đáp ứng quá độ. Trong trường hợp này, vị trí cực có thể được xác định từ kiến thức về đặc tính của tham số quá độ. Ta sẽ thấy là việc nghiên cứu về hệ bậc hai có thể giúp nghiên cứu tố hơn về các hệ bậc cao hơn. Do đó, phần này ta nghiên cứu chi tiết về hệ bậc hai.
Xét hệ bậc hai có hàm truyền 2 n T(s) 2 2 (6.81) s 2ns n 2 Các cực của T(s) là n jn 1  , vẽ ở hình 6.37. Các cực là phức khi tỉ số giảm chấn  1 (trường hợp giảm chấn thiếu). và là thực khi  1. Trường hợp  1 là trường hợp giảm chấn tới hạn, khi  1 là trường hợp giảm chấn lố. Giá trị  càng bé thì giảm chấn càng thấp, tạo độ vọt lố càng cao, và thời gian đáp ứng càng nhanh. Khi ngõ vào là hàm bước đơn vị F(s) 1/ s và 2 n 1 s 2n Y(s) 2 2 2 2 s(s 2ns n ) s s 2ns n Tra bảng 6.1 (cặp 1 và 10c), ta có 1 nt 2 1 y(t) 1 e sin n 1  t cos  u(t) (6.82) 2 1  Hình 6.38 cho thấy bản chất của trường hợp giảm chấn thiếu ( ). Đáp ứng nt giảm. Đáp ứng giảm theo hàm mủ e . Do đó, hằng số thời gian của đáp ứng là 1/n . Cần bốn hằng số thời gian để hàm mủ giảm còn 2% so với giá trị đầu. Thời gian thiết lập ts là: 4 ts (6.83) n Để xác định phần trăm vọt lố PO, cần tìm thời gian đỉnh t p là thời gian có độ vọt lố lớn nhất. Tại t t p , dy / dt 0. Nghiệm của phương trình là:
t , và p 2 n 1  y(t ) 1 2 PO p x100% 100e  1  (6.84) 1 Hình 6.39 vẽ PO là hàm theo . Trong hệ bậc hai, thì PO quan hệ trực tiếp với tỉ số giảm chấn . Dùng phương pháp tương tự, ta tìm tr và td . Tuy nhiên, điều này đòi hỏi phải giải phương trình siêu việt, nên cần được giải trên máy tính số. Kết qua cho trong hình 6.39. Khi chưa tính chính xác, có thể dùng phương pháp xấp xỉ để tính và như sau: 1 0,4167 2,917 2 1,1 0,125 0,469 2 tr td (6.85) n n
Rõ ràng trong hệ bậc hai, vị trí cực xác định đáp ứng quá độ của hệ thống. Ta thấy các cực càng gần trục j , giá trị  càng bé, và giá trị vọt lố PO càng lớn. Nói chung thì, cực không nên quá gần trục , là vị trí gần biên ổn định, làm hệ thống càng nhạy với sử thay đổi của tham số. Do đó, nên dùng giá trị  lớn (độ vọt lố PO nhỏ). Đề hệ thống đáp ứng nhanh thì cần có các giá trị tr ,ts ,t p và td bé. Phần này cho thấy hệ bậc hai trong phương trình 6.81, có các tham số quá độ (PO, và ) có liên quan đến vị trí cực của T(s). Theo quan điểm thiết kế hệ thống. ta nên vẽ các đường đồng mức biểu diễn các giá trị khác nhau của tham số quá độ trên mặt phẳng – s . Thí dụ, mỗi đường viền đồng tâm trong mặt phẳng – s biểu diễn các đường giá trị hằng của  (xem hình 6.37). Do PQ có liên quan trực tiếp với  (hình 6.39), nên mỗi đường đồng tâm biểu diễn đường các giá trị hằng của PO, vẽ ở hình 6.40. Tương tự, mỗi đường dọc biểu diễn các giá trị hằng n (phương trình 6.37). Do ts 4/n , các đưởng biểu diễn các giá trị hằng của thời gian thiết lập là đường dọc vẽ ở hình 6.40. Hình này còn cho thấy các đường đồng mức của hằng số tr . Các đường đồng mức cho phép ta xem xét để xác định các tham số quá độ quan trọng (PO, và ts ) của hệ bậc hai khi biết vị trí các cực. Hơn nữa, nếu ta muốn tổng hợp hệ bậc hai nhằm đạt được một số đặc tính quá độ cho trước, ta có thể tìm được T(s) cần có từ hình này. Thí dụ, xét hệ thống điều khiển vị trí trong hình 6.36a. Cho các đặc tính quá độ của hệ thống là PO 16%, tr 0,5 giây, ts 2 giây (6,86). Ta phát họa sơ các đường đồng mức trong hình 6.40 để có được các đặc trưng nói trên. Vùng tô bóng do giới hạn bởi các đường đồng mức trong hình 6.41 thỏa cả ba yêu cầu trên. Hàm truyền T(s) phải được chọn để tất cả các cực đều nằm trong vùng này, Hàm truyên cho hệ thống vòng kín trong hình 6.36a là KG(s) K T(s) (6.87a) 1 KG(s) s2 8s K Điều này cho thấy vị trí các cực của có thể được chỉnh định bằng cách thay đổi độ lợi K. Ta cần chọn K để các cực nằm trong vùng tô bóng trong hình 6.41. Các cực của là nghiệm của phương trình đặc tính s2 8s K 0 (8.87b) Nên các cực là s1,2 4 16 K (8.87c) Các cực s1 và s2 (nghiệm của phương trình đặc tính) di chuyển dọc theo một đường trong mặt phẳng – s khi K thay đổi từ 0 đến . Khi K 0 , các cực là - 8, 0. Khi K 16, các cực là thực là các cực di chuyển về giá trị - 4 khi K thay đổi từ 0 đến 16 (giảm chấn lố). Khi K 16 , hai cực trùng lặp tại -4 (giảm chấn tới hạn). Khi K 16 , các cực trở thành cực phức với giá trị 4 j K 16 (giảm chấn thiếu). Phần thực của cực là – 4 khi , các cực di chuyển theo đường dọc như vẽ ở hình 6.41. Một cự di chuyển lên và cực còn lại (liên hợp) di chuyển xuống theo đường dọc qua - 4. Ta có thể
dán nhản cho các giá trị K tại nhiều điểm dọc theo các đường này, như trong hình 6,41. Mỗi đường biểu diễn quĩ đạo cực của T(s) hay quĩ đạo nghiệm của phương trình đặc tính của khi K thay đổi từ 0 đến . Do đó, tập của đường này được gọi là quĩ đạo nghiệm. Quĩ đạo nghiệm cho ta thông tin về phương thức di chuyển của các cực trong hàm truyền vòng kín khi độ lợi K thay đổi từ 0 đến . Trong bài toán thiết kế của mình, ta phải chọn giá trị của K sao cho các cực của trong vùng được tô bóng như hình 6.41. Hình này cho thấy hệ thống đạt các tiêu chuẩn cho trước [phương trình (6.86)] khi 25 K 64. Thí dụ khi K 64 , 4 ta có PO 16%, t 0,2 giây, t 1 giây (6.88) r s 4
Hệ bậc cao Ta mới chỉ bàn về hàm truyền hệ bậc hai T(s) . Nếu T(s) có thêm các cực nằm xa về bên trái trục j , chúng chỉ ảnh hưởng không đáng kể lên đáp ứng quá độ của hệ thống. Lý do là các hằng số thời gian của các cực này rất nhỏ khi so với hằng số thời gian của các cực phức liên hợp ở gần trục . Nên có hướng tăng dạng mủ do cực nằm gần trục . Hơn nữa, hệ số của các thừa số trên còn nhỏ hơn đơn vị. Vậy, chúng tăng rất ít và giảm nhanh. Các cực nằm gần trục được gọi là cực chủ yếu (dominant poles). Tiêu chuẩn thường dùng là khi cực cách xa trục năm lần so với cực chủ yếu, thì đóng góp không đáng kể lên đáp ứng bước, và đáp ứng quá độ của hệ bậc cao giảm thành hệ bậc hai. Hơn nữa, cặp cực-zêrô gần nhau (dipole) ảnh hưởng không đáng kể lên đáp ứng quá độ. Do đó, nhiều cấu hình cực – zêrô trong thực tế rút gọn thành hai hay ba cực với một hay hai zêrô. Người ta đã chuẩn bị các biểu đồ về đáp ứng quá độ của các hệ thống dạng này với rất nhiều tổ hợp cực – zêrô, và được dùng trong thiết kế hầu hết các hệ thống bậc cao.
6.7–3 Quĩ đạo nghiệm Thí dụ trong phần 6.7-2 cho ta ý tưởng tốt về tiện ích của quĩ đạo nghiệm khi thiết kế hệ thống điều khiển. Bắt đầu với hệ phản hồi vẽ trong hình 6.42, tương tự hình 6.18d, trừ độ lợi K. Hệ thống trong hình 6.36a là trường hợp đặc biệt với H(s) 1. Hệ thống trong hình 6.42 có KG(s) T(s) (6.89a) 1 KG(s)H(s) Phương trình đặc tính của hệ thống 1 KG(s)H(s) 0 (6.89b) Xem xét đường đi của nghiệm của khi K thay đổi từ 0 đến . Khi vòng hở, hàm truyền là KG(s)H(s) . Do đó, ta gọi KG(s)H(s) là hàm truyền vòng hở. Qui tắc phác họa quĩ đạo nghiệm là: 1. Quĩ đạo nghiệm bắt đầu (K = 0) tại các cực của vòng hỡ và chấm dứt tại các đểm zêrô của vòng hở. Điều này có nghĩa là số cực chính xác bằng n, bậc của hàm truyền vòng hở. Đặt G(s)H(s) N(s) / D(s) , với N(s) và D(s) lần lượt là các đa thức bậc m và bậc n. Do đó, đòi hỏi D(s) KN(s) 0 . Nên D(s) 0 khi K = 0. Trong trường hợp này, nghiệm là các cực của G(s)H(s) tức là các cực của vòng hở. Tương tự, khi K , D(s) KN(s) 0 , tức là N(s) 0 , tức là nghiệm là các zêrô của vòng hở. Đối với hệ trong hình 6.36a, hàm truyền vòng hở là K / s(s 8). Các cực vòng hở là 0 và – 8 và các zêrô (khi K / s(s 8) đều là . Có thể kiểm tra lại trên hình 6.41 là quị đạo nghiệm bắt đầu từ 0 và – 8 rồi chấm dứt tại . 2. Đoạn trục thực là phần của quĩ đạo nghiệm nếu tổng của các cực và zêrô trên trục thực là nằm bên phải của đoạn là lẻ. Hơn nữa, quĩ đạo nghiệm đối xứng qua trục thực. Ta đã kiểm tra trong hình 6.41 là đoạn trục thực nằm bên phải – 8 chỉ có một cực (và không có zêrô). Do đó, đoạn này là phần của quĩ đạo nghiệm. 3. Có n – m quĩ đạo chấm dứt tại với góc k /(n m) với k 1,3,5, Chú ý là theo qui tắc 1, m quĩ đạ chấm dứt tại các zêrô của vòng hở, và (n – m ) quĩ đạo còn lại chấm dứt tại theo qui tắc này. Trong hình 6.41, ta thấy (n – m ) = 3 quĩ đạo chấm dứt tại với góc k / 2 với k = 1 và 3. Ta tiếp tục với một quan sát thú vị. Nếu hàm m/ sn n m truyền G(s) có m (hữu hạn) zêrô và n cực, thì lim s G(s) s 1/ s . Do đó, G(s) có n – m zêrô tại . Điều này cho thấy là dù G(s) chỉ có m hữu hạn zêrô, thì cũng còn n – m zêrô tại . Theo qui tắc 1, m cực chấm dứt tại m hữu hạn zêrô, và theo qui tắc này thì còn có n – m cực còn lại chấm dứt tại , và đó cũng là các zêrô
của G(s) . Kết quả này có nghĩa là mọi quĩ đạo bắt đầu tại cực của vòng hở và chấm dứt tại các zêrô vòng hở. 4. Trọng tâm của các tiệm cận (điểm hội tụ của các tiệm cận) của (n – m) quĩ đạo chấm dứt tại là ( p p  p ) (z z  z )  1 2 n 1 2 m (n m) Với p1, p2 ,, pn là các cực và z1, z2 ,, zm là các zêrô của hàm truyền vòng hở. Hình 6.41 cho thấy là trọng tâm của quĩ đạo là [( 8 0) 0]/ 2 4 5. Có thêm một số qui tắc, cho phép ta tính các điểm nới quĩ đạo nghiệm giao và cắt và đi qua trục j để va2o bên phải mặt phẳng phức. Các qui tắc này cho phép ta vẽ nhanh và phác họa sơ các quĩ đạo nghiệm. Tuy ngày nay đã có sẳn các chương trình và phần mềm cho phép vẽ nhanh các quĩ đạo nghiệm, nhưng bốn qui tắc đầu tiên này vẫn còn rất hữu ích khi phát họa nhanh quĩ đạo nghiệm. Hiểu biết về các qui tắc này rất hữu ích khi thiết kế hệ thống điều khiển, do chúng giúp ta xác định đâu là thay đổi cần thực hiện (dạng khâu bù nào phải thêm vào hệ thống) cho hàm truyền vòng hở nhằm giúp thiết kết đạt các tiêu chuẩn yêu cầu. ■ Thí dụ 6.21:
Dùng bốn qui tắc của quĩ đạo nghiệm. vẽ quĩ đạo nghiệm của hệ thống có hàm truyền vòng hở k KG(s)H(s) s(s 2)(s 4) 1. Qui tắc 1: Với G(s)H(s), n 3 , có ba quĩ đạo nghiệm, bắt đầu từ các cực của G(s)H(s) ; tức là tại 0, - 2 và - 4 2. Qui tắc 2: Có tổng số cực lẻ bên phải đoạn trục thực s 4 và 2 s 0. Do đó, các đoạn này là phần của quĩ đạo nghiệm. Nói cách khác, toàn bộ trục thực bên trái mặt phẳng phức, trừ đoạn giữa – 2 và – 4, là quĩ đạo nghiệm. 3. Qui tắc 3: n m 3 . Do đó (cả) ba quĩ đạo nghiệm chấm dứt lại theo tiệm cận với góc k / 3 với k = 1, 3 và 5. Nên, góc các tiệm cận là 600, 1200 và 1800. 4. Qui tắc 4: Trọng tâm (giao điểm của ba tiệm cận) là (0 – 2 – 4)/3 = - 2. Ta vẽ ba tiệm cận bắt đầu từ - 2 với các góc là 600, 1200 và 1800, như vẽ ở hình 6.43. Thông tin này cho ta đủ ý tưởng về quĩ đạo nghiệm. Quĩ đạo nghiệm thực cũng được vẽ trong hình 6.43. Hai tiệm cận xuyên qua bên phải mặt phẳng phức, đáp ứng này với một số giá trị của K, có thể làm hệ thống không ổn định. ■  Bài tập dùng máy tính C6.5 Giải thí dụ 6.21 dùng MATLAB Các lệnh dùng tìm quĩ đạo nghiệm của MATLAB trong trường hợp này là: num=[0 0 0 1]; den=conv(conv[1 0],[1 2]),[1 4]); rlocus(num, den), grid  6.7–4 Các sai số xác lập Các đặc tính xác lập đặt ra thêm ràng cuộc cho hàm truyền vòng kín T(s). Sai số xác lập là sai biệt giữa ngõ ra mong muốn [tham chiếu f (t)] với ngõ ra thực y(t) . Vậy e(t) f (t) y(t), và Y(s) E(s) F(s) Y(s) F(s) 1 F(s)[1 T(s)] (6.90) F(s) Sai số xác lập là giá trị ess là giá trị của e(t) khi t . Giá trị nàycó thể có dùng định lý giá trị cuối [phương trình (6.68)]: ess lim sE(s) lim sF(s)[1 T(s)] (6.91) s 0 s 0 1. Trường hợp tín hiệu vào là hàm bước đơn vị, sai số xác lập es là ess lim[1 T(s)] 1 T(0) (6.92) s 0 Khi T(0) = 1, sai số xác lập với ngõ vào bước đơn vị là zêrô. 2 2. Khi tín hiệu vào là hàm dốc, F(s) 1/ s , và sai số xác lập er là 1 T(s) ess lim (6.93) s 0 s Nếu T(0) 1,er . Như thế, điều kiện cần để sai số xác lập ngõ vào hàm dốc hữu hạn là T(0) 1, làm sai số xác lập với tín hiệu vào bước là zêrô. Giả sử
T(0) 1, áp dụng qui tắc L‟Hopital vào phương trình (6.93), ta có:   ess lim[ T(s)] T(0) (6.94) s 0 3. Tương tự, ta có thể chứng tõ là khi ngõ vào là hàm parabol t (t 2 / 2)u(t) với 3 F(s) 1/ s , và sai số xác lập ep là T(0) e (6.95) p 2 Giả sử T(0) 0 và T(0) 0 . Trong thực tế, nhiều hệ thống dùng phản hồi đơn vị như vẽ ở hình 6.44. Trong các trường hợp này, việc phân tích sai số xác lập rất đơn giản. Định nghĩa hằng số sai số vị trí K p , hằng số sai số vận tốc Kv , và hằng số sai số gia tốc Ka là 2 K p lim[KG(s)], K p lim s[KG(s)], K p lim s [KG(s)], (6.96) s0 s0 s0 Do T(s) KG(s) /(1 KG(s)), phương trình (6.90) chi 1 E(s) F(s) 1 KG(s) Các sai số xác lập được cho bởi: 1/ s 1 1 es lim s (6.97a) s 0 1 KG(s) 1 lim s 0[KG(s)] 1 K p 1/ s2 1 1 er lim s (6.97b) s 0 1 KG(s) 1 lim s 0 s[KG(s)] Kv 1/ s3 1 1 ep lim s (6.97c) s 0 2 1 KG(s) 1 lim s 0 s [KG(s)] Ka Trường hợp hình 6.36a 1 G(s) , từ phương trình (6.96) ta có: s(s 8) K K K K 0 (6.98) p v 8 a Thay các giá trị này vào phương trình (6.97) 8 e 0, e , e , s r K p