Bài giảng Tín hiệu và hệ thống - Chương 4: Phân tích tín hiệu liên tục theo thời gian biến đổi Fourier

73 trang phuongnguyen 2720

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Tín hiệu và hệ thống - Chương 4: Phân tích tín hiệu liên tục theo thời gian biến đổi Fourier", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

bai_giang_tin_hieu_va_he_thong_chuong_4_phan_tich_tin_hieu_l.pdf

Nội dung text: Bài giảng Tín hiệu và hệ thống - Chương 4: Phân tích tín hiệu liên tục theo thời gian biến đổi Fourier

CHƢƠNG 4: PHÂN TÍCH TÍN HIỆU LIÊN TỤC THEO THỜI GIAN BIẾN ĐỔI FOURIER Nội dung 4.1 Biểu diễn tín hiệu không tuần hoàn dùng tích phân Fourier 4.2 Một số dạng biến đổi 4.3 Một số đặc tính của biến đổi Fourier 4.4 Truyền tín hiệu qua hệ thống liên tục, tuyến tính, bất biến (LT-TT-BB) 4.5 Mạch lọc lý tưởng và mach lọc thực tế 4.6 Năng lượng tín hiệu 4.7 Ứng dụng trong thông tin: Điều chế biên độ 4.8 Điều chế góc 4.9 Giới hạn dữ liệu: Hàm cửa sổ 4.10 Tóm tắt Tài liệu tham khảo: B.P. Lathi, Signal Processing and Linear Systems, Berkeley-Cambridge Press, 1998 Trong chương 3, ta đã biểu diễn tín hiệu tuần hoàn thành dạng tổng các thành phần sin hay dạng mũ (không dừng). Chương này biểu diễn dạng phổ cho các tín hiệu không tuần hoàn. 4.1 Biểu diễn tín hiệu không tuần hoàn dùng tích phân Fourier Phép tính giới hạn chứng tõ tín hiệu không tuần hoàn biểu diễn được thành tổng liên tục (tích phân) của các hàm mũ không dừng. Để biểu diễn tín hiệu không tuần hoàn f (t) trong hình 4.1 dùng các hàm mũ không dừng, ta tạo một tín hiệu tuần hoàn f (t) bằng cách lặp lại nhiều lần tín T0 hiệu f (t) tại các thời khoảng T0 giây như hình 4.1b. Chu kỳ T0 cần đủ lớn để tránh trùng lắp các tín hiệu. Tín hiệu tuần hoàn biểu diễn được bằng chuỗi Fourier mũ. Khi cho T0 , các xung trong tín hiệu tuần hoàn lặp lại sau một thời khoảng vô hạn, do đó: lim f (t) f (t) T0 T0 Vậy, chuỗi Fourier biểu diễn cũng biểu diễn f(t) trong giới hạn . Chuỗi hàm mũ Fourier của được cho bởi: f (t) D e jn0t (4.1) T0  n n T0 / 2 1 jn0t Với Dn fT (t)e dt (4.2a) T / 2 0 T0 0 2 Và 0 (4.2b) T0
T0 T0 Ta thấy tích phân fT (t) trong khoảng , giống tích phân của f(t) trong khoảng 0 2 2 ( , ) . Viết lại phương trình (4.2a) 1 jn0t Dn f (t)e dt (4.2c) T0 Xét bản chất thay đổi của phổ khi tăng giá trị T0 , định nghĩa F() là hàm liên tục theo  : F() f (t)e jt (4.3) Các phương trình (4.2c) và (4.3) cho: 1 Dn F(n0 ) (4.4) T0 Điều này có nghĩa là các hệ số Dn là tích của (1/T0 ) với các mẩu của , phân bố đều tại các khoảng 0 , vẽ ở hình 4.2a. Như thế, (1/T0 )F() là đường biên của các hệ số . Khi cho T0 bằng cách bước lặp đôi T0 . Khi tăng hai lần T0 thì tần số cơ bản 0 giảm còn 1/2 [phương trình (4.2b)], nên không nhân đôi như một số thành phần (các mẫu) trong phổ. Tuy nhiên, khi nhân đôi T0 , thì đường bao (1/T0 )F() giảm nửa, vẽ ở hình 4.2b. Nếu ta tiếp tục lần lượt tăng đôi nhiều lần, phổ càng dày hơn, và biên độ giảm nhỏ đi. Tuy nhiên, cần chú ý là hình dạng tương đối của đường bao vẫn giữ như củ [tăng tỉ lệ với F() theo phương trình (4.3)]. Trong giới hạn T0 , 0 0 và Dn 0. Kết quả này có nghĩa là phổ rất đặc nên có thành phần phổ chỉ cách nhau khoảng zêrô (vô cùng bé). Trong thời gian này, biên độ của các thành phần là zêrô (vô cùng bé).
Thay phương trình (4.4) vào phương trình (4.1) F(n ) f (t) 0 e jn0t (4.5) T0  n T0 Khi T0 , 0 trở thành vô cùng bé (0 0 ). Nên ta sẽ thay 0 bằng một ý niệm thích hợp, . Từ đó, viết lại phương trình (4.2b) 2  và phương trình (4.5) viết lại thành: T0 F(n )  f (t) e( jn )t (4.6a) T0  n 2 Phương trình (4.6a) cho thấy f (t) viết được thành tổng của các hàm mũ không dừng có tần số T0 0, , 2 , 3 ,, (chuỗi Fourier). Số lượng các thành phần tần số n  là F(n )/ 2 . Khi ,  0 và f (t) f (t) . Do đó: T0 1 f (t) lim F(n )e( jn )t  (4.6b) T 0  0 2 n Tổng bên vế phải của phương trình (4.6b) có thể được xem là vùng diện tích của hàm F()e jt , trong hình 4.3. Vậy 1 f (t) F()e jt d (4.7) 2 Tích phân bên vế phải được gọi là tích phân Fourier. Về cơ bản thì tích phân này là chuỗi Fourier (trong giới hạn) với tần số cơ bản  0, như trong phương trình (4.6). Số lượng các hàm mũ e jn t là F(n )/ 2 . Nên hàm F() trong phương trình (4.3) hoạt động như hàm phổ.
Ta gọi F() là biến đổi Fourier trực tiếp của f (t) và f (t) là biến đổi Fourier nghịch của . Ta còn gọi và là cặp biến đổi Fourier và được viết theo: F() F[f(t)] và f(t) = F-1[F()] f (t) F() Tóm lại F() f (t)e jt dt (4.8a) 1 f (t) F()e jt d (4.8b) 2 Cần nhớ là tích phân Fourier trong phương trình (4.8b) là bản chất của chuỗi Fourier với tần số cơ bản  0(phương trình (4.6b). Do đó, hầu hết các tính chất của chuỗi Fourier đều dùng được cho biến đổi Fourier. Có thể vẽ phổ F() theo  . Do F() là phức, ta có phổ biên độ và phổ pha theo F() F()e jF () (4.9) Trong đó F() là phổ biên độ và F() là góc (hay pha) của . Từ phương trình (4.8a), ta có: F( ) f (t)e jt dt Vậy khi là hàm thực theo t, thì và F( ) là liên hợp. Do đó: F( ) F() (4.10a)  F( ) F() (4.10b) Do đó, với hàm thực , thì phổ biên độ là hàm chẵn, và phổ pha là hàm lẻ theo . Đặc tính này (đặc tính đối xứng liên hợp) chỉ đúng cho hàm thực . Các kết quả này đã tìm được trong phần phổ Fourier của tín hiệu tuần hoàn (phương trình 3.77), vậy biến đổi là đặc tính tần số của .
■ Thí dụ 4.1: Tìm biến đổi Fourier của e atu(t) ? Từ định nghĩa [phương trình (4.8a)] 1 F() e atu(t)e jt dt e (at j)t dt e (at j)t a j 0 Do e jt 1, nên khi t , e (a j)t e ate jt 0 nếu a 0, do đó: 1 F() a 0 (4.11a) a j Dạng cực  1 j tan 1( ) F() e a (4.11b) a2  2 Vậy: 1  F() và F() tan 1 (4.12) a2  2 a Phổ biên độ và phổ pha được vẽ trong hình 4.4b. Ta thấy phổ biên độ là hàm chẵn và phổ pha là hàm lẻ theo tần số  . ■ Tồn tại của biến đổi Fourier. Trong thí dụ 4.1, ta thấy là khi a < 0, biến đổi Fourier của e atu(t) không hội tụ. Do đó, biến đổi Fourier của e atu(t) không hội tụ nếu a < 0 (hàm mũ tăng). Tức là không phải mọi tín hiệu đều có biến đổi Fourier. Tồn tại của biến đổi Fourier cho hàm f (t) được bảo đãm nhờ điều kiện Dirichlet. Điều kiện đầu tiên là f (t) dt (4.13) Do e jt 1, từ phương trình (4.8a) ta có F() f (t) dt Bất đẳng thức này cho thấy biến đổi Fourier tồn tại nếu thỏa điều kiện (4.13). Ngược lại thì không bảo đãm. Thí dụ 4.1 cho thấy biến đổi Fourier không tồn tại với tín hiệu hàm mũ tăng (đã vi phạm điều kiện này). Mặc dù đây là điều kiện đủ, chứ không là điều kiện cần cho tồn tại biến đổi Fourier của tín hiệu. Thí dụ, tín hiệu sin(at) / t vi phạm điều kiện (3.13), nhưng có biến đổi Fourier. Các
tín hiệu thực tế thường thỏa điều kiện Dirichlet nên có biến đổi Fourier. Như thế, tồn tại thực tế của tín hiệu là điều kiện đủ để tồn tại biến đổi Fourier. Tính tuyến tính của biến đổi Fourier. Biến đổi Fourier là biến đổi tuyến tính, tức là nếu f1(t) F1() và f2 (t) F2 () thì a1 f1(t) a2 f2 (t) a1F1() a2F2 () (4.14) Chứng minh đơn giản và lấy từ phương trình (4.8a). Kết quả mở rộng được khi có nhiều thừa số hơn nũa. 4.1-1 Đánh giá thực tế về biến đổi Fourier. Để hiểu được các nét của biến đổi Fourier, ta cần nhớ là biểu diễn Fourier là phương thức biểu diễn tín hiệu thành các tín hiệu sin (hay mũ) không dừng. Phổ Fourier của tín hiệu chỉ ra các biên độ và pha tương đối của các sóng sin cần thiết để tổng hợp tín hiệu này. Phổ Fourier của tín hiệu tuần hoàn có các biên độ hữu hạn và tồn tại các tần số rời rạc (0 và các bội tần), phổ dạng này dễ nhận thấy, nhưng phổ tín hiệu không tuần hoàn không dễ nhìn thấy do có dạng phổ liên tục. Ý niệm phổ liên tục có thể hiễu được qua xem xét một hiện tượng tương đồng, hữu hình. Một thí dụ về phân phối liên tục là tải của xà ngang. Xét một xà ngang với tải là các đơn vị trọng lượng D1, D2 , D3, , Dn , tại các điểm cách đều nhau x1, x2 , x3, , xn , vẽ trong hình 4.5a. Tải chung WT đặt vào xà ngang là tổng của từng tải tại n điểm: n WT  Di i 1 Xét trường hợp tải liên tục trên xà ngang, vẽ trong hình 4.5b. Trường hợp này, dù có vẻ là tải xuất hiện tại các điểm, nhưng tải tại từng điểm lại là zêrô. Điều này không có nghĩa là không có tải trên xà. Trường hợp này thì đo lường thích hợp nhất là không là tải tại từng điểm, mà nên là mật độ tải trên đơn vị dài của xà ngang. Gọi F(x) là mật độ tải trên đơn vị dài của xà. Theo đó thì tải trên chiều dài xà ngang là x ( x 0) tại một điểm x là F(x) x . Để tìm tải trên xà ngang, ta chia xà ngang thành các khoảng cách nhau x ( x 0). Tải của n đoạn có chiều dài x là F(n x) x . Tải chung WT là: x n x n WT lim F(n x) x F(x)dx  x x 0 1 x1 Trường hợp tải rời rạc trong hình 4.5a, tải chỉ tồn tại ở n điểm rời rạc. Các điểm khác không có tải. Nói cách khác, trong trường hợp tải liên tục, tải có tại mỗi điểm nhưng tại một điểm cụ thể x, thì tải là zêrô. Tuy nhiên, tải tại môt đoạn nhỏ x là (hình 4.5b). Do đó, dù tải tại một điểm x là zêrô thì tải tương đối tại đó là F(x).
Lập luận tương tự cho trường hợp phổ tín hiệu. Khi f (t) tuần hoàn thì phổ là rời rạc, và có thể viết f (t) thành tổng các hàm mũ rời rạc có biên độ hữu hạn: jn0t f (t)  Dne n Khi tín hiệu không tuần hoàn, phổ trở thành liên tục; tức là phổ tồn tại cho từng giá trị của , nhưng biên độ của mỗi thành phần trong phổ là zêrô. Đo lường có nghĩa trong trường hợp này không phải là biên độ của thành phần tại một số tần số mà là mật độ phổ trên đơn vị băng thông. Phương trình (4.6b) cho thấy là được tổng hợp bằng cách cộng các hàm mũ dạng e jn t , theo đó đóng góp của một thành phần mũ là zêrô. Nhưng đóng góp của hàm mũ trong dải tần vô cùng bé  tại vị trí  n  là (1/ 2 )F(n )  , và việc lấy tổng mọi thành phần cho có dạng: 1 1 f (t) lim F(n )e( jn )t  F()d (4.15)  0  2 n 2 1 Đóng góp của thành phần trong dải tần d là F()d F()dF , với dF là băng thông 2 tính theo Hertz. Rõ ràng, F() là mật độ phổ trên đơn vị băng thông (Hertz). Cũng cần thấy là cho dù biên độ của một thành phần nào đó là zêrô, thì lượng tương đối của thành phần tại tần số  là F(). Mặc dù F() là mật độ phổ, nhưng trong thực tế lại thường đươc gọi là phổ của thay vì là mật độ phổ của . Do đó, gọi F() là phổ Fourier (hay biến đổi Fourier) của . Sự hài hòa kỳ diệu Điểm quan trọng cần nhớ ở đây là được biểu diễn (hay tổng hợp) dùng các hàm mũ (hay sin) là hàm không dừng (hay không nhân quả). Xét việc tổng hợp tín hiệu xung tồn tại trong thời gian giới hạn (hình 4.6) bằng các thành phần sóng sin trong phổ Fourier. Tín hiệu chỉ tồn tại trong khoảng (a,b) và là zêrô ở ngoài khoảng này. Phổ của chứa vô hạn các hàm mũ (hay sin) bắt đầu tại t và tiếp tục mãi mãi. Biên độ và pha của các thành phần này phải hợp lại thành đúng trong khoảng giới hạn, và là zêrô ngoài khoảng này. Sắp xếp biên độ và pha của vô số thành phần này đòi hỏi sự hài hòa và trí tưởng tưởng tinh tế của con người, nhưng biến đổi Fourier lại thực hiện được việc này theo trình tự , không phải suy nghĩ gì. Một vài ý niệm Trong chương 2, ta định nghĩa hàm truyền H(s) là
H(s) h(t)e stdt (4.16) Cho s = j H( j) h(t)e jt dt (4.17) Vế phải là biến đổi Fourier của h(t) , và theo ý niệm từ phương trình (4.3) thì đó là H() , trong khi có ý niệm tương tự là H( j) trong chương 2. Do đó, trung thành với ý niệm trước, ta gọi biến đổi Fourier là F( j) thay vì F() trong phương trình (4.3). Thực ra, ý niệm cho biến đổi Fourier thường dùng trong nhiều tài liệu. Do đó, ta tiếp tục dùng hai ý niệm, với ghi nhớ là và biểu diễn cùng đặc tính. Điều này chỉ quan trọng khi ta bàn về biến đổi Laplace và tính lọc trong các chương kế, như thế cần nhớ là H() và H( j)biểu diễn cùng đặc tính. 4.1-2 Khảo sát đáp ứng của hệ LT – TT – BB dùng biến đổi Fourier. Để biểu diễn tín hiệu f (t) thành tổng các hàm mũ (không dừng) nhằm tìm đáp ứng hệ thống f (t) là tổng của các đáp ứng thành phần mũ của . Xét hệ LT – TT – BB ổn định tiệm cận có hàm truyền H(s). Đáp ứng của hệ thống này với hàm mũ không dừng e jt là H()e jt . Cặp vào– ra này được biểu diễn như sau: e jt H()e jt Vậy e j(n )t H(n )e j(n )t Và F n   F(n )H(n )  e j(n )t e j(n )t 2 2 Do tính tuyến tính F n   F n  H n   lim e j(n )t lim e j(n )t  0   0  n 2 n 2 Ngõ vào f (t) Ngõ ra y(t) Vế phải là ngõ vào [xem phương trình (4.6a) và (4.6b)], và vế phải là đáp ứng y(t) . Nên: 1 1 y(t) lim F(n )H(n )e j(n )t  F()H()e jt d  0  2 n 2 1 y(t) Y()e jt d (4.18) 2 Với Y() là biến đổi Fourier của y(t) , cho bởi Y() F()H() (4.19) Gút lại, khi hệ LT – TT – BB có hàm truyền là H(s) có ngõ vào là f (t) , và ngõ ra là thì nếu f (t) F() thì y(t) Y()
Các bước trong phương pháp miền tần số giống hệt trường hợp trong miền thời gian. Trong miền thời gian ta biểu diễn f (t) thành tổng các thành phần xung; còn trong miền tần số, ngõ vào được viết thành tổng các hàm mũ (hay sin) không dừng. Trong trường hợp đầu, đáp ứng y(t) là tổng của các đáp ứng thành phần xung từ phép tích phân chập; còn trong miền tần số thì đáp ứng là tổng các đáp ứng hệ thống thành phần của hàm không dừng dạng mũ lấy từ tích phân Fourier. Ý tưởng này được diễn đạt một cách toán học như sau: 1. Trong miền thời gian  (t) h(t) đáp ứng xung của hệ thống là h(t) f (t) f (x) (t x)dx biểu diễn f (t) thành tổng các thành phần xung, và y(t) f (x)h(t x)dx biểu diễn y(t) thành tổng các đáp ứng thành phần xung 2. Trong miền tần số e jt H()e jt đáp ứng hệ thống của e jt là H()e jt 1 f (t) F()e jt d ; thành tổng các thành phần hàm mũ không dừng, và 2 1 y(t) F()H()e jt d ; là tổng đáp ứng các thành phần hàm mũ 2 Quan điểm miền tần số nhìn nhận hệ thống theo đáp ứng tần số (đáp ứng hệ thống với nhiều dạng thành phần sóng sin). Khi xem tín hiệu là tổng của nhiều thành phần sóng sin. Truyền tín hiệu qua hệ (tuyến tính) được xem là truyền nhiều thành phần sóng sín của tín hiệu qua hệ thống. 4.2 Biến đổi Fourier của một số hàm hữu ích Để tiện, ta giới thiệu các ý niệm cô đọng về một số hàm hữu ích như xung vuông góc, xung tam giác, và các hàm nội suy. Xung vuông góc đơn vị Được định nghĩa là hàm rect(x) là xung vuông góc có chiều cao đơn vị và độ rộng đơn vị, nằm cách đều gốc, vẽ ở hình 4.7a;
0 x 1/ 2 rect 1/ 2 x 1/ 2 (4.20) 1 x 1/ 2 Xung cổng trong hình 4.7b là xung cổng đơn vị rect (x) mở rộng theo thừa số  và có thể viết thành rect (x/) (xem phần 1.3-2). Ta thấy là , mẫu số của (x/), cho thấy độ rộng của xung. Xung tam giác đơn vị Xung tam giác đơn vị (x) là xung tam giác có độ cao đơn vị và độ rộng đơn vị, nằm cách đều gốc, vẽ ở hình 4.8a 0 x 1/ 2 (x) (4.21) 1 2 x x 1/ 2 Xung hình 4.8b là (x / ) . Ta thấy là trường hợp này giống trường hợp xung cổng, mẫu số  của (x / ) chỉ độ rộng xung. Hàm nội suy sinc(x) Hàm sinx/x còn gọi là sinc(x), là hàm có vai trò quan trọng trong xử lý tín hiệu, còn gọi là hàm lọc hay hàm nội suy. Định nghĩa: sin x sin c(x) (4.22) x Xét phương trình (4.22) ta thấy: 1. sinc(x) là hàm chẵn theo x. 2. sin(x) = 0 khi sin x = 0 trừ giá trị x = 0 (xuất hiện dạng vô định), tức là sin x = 0 khi x , 2 , 3 , 3. Dùng định L’Hopital, ta có sin (0) =1. 4. sin(x) là tích của sóng dao động sin x (có chu kỳ 2 ) và hàm đơn điệu giảm 1/x. Như thế, hàm sinc (x) là dao động sin với chu kỳ 2 , có biên đô giảm liên tục theo 1/x. Hình 4.9a vẽ tín hiệu sinc (x). Ta thấy sinc (x) = 0 tại các giá trị x dương và âm với bội số của . Hình 4.9b vẽ sinc (3/7). Đối số (3/7) = khi  = 7 /3. Do đó, zêrô đầu tiên của hàm xuất hiện tại  = 7 /3.
Bài tập E 4.1  3  t Vẽ (a) rect( ) (b) (c) sin c (d) sin c(t)rect .  8 10 2 4 ■ Thí dụ 4.2: t Tìm biến đổi Fourier của f (t) rect (hình 4.10a)  t F() rect e jt dt  t   Do hàm rect 1 khi t và là 0 khi t  2 2   2sin sin  / 2 jt 1 j/ 2 j/ 2    F() e dt (e e )   sin c  / 2 j   2  Do đó t  rect  sin c (4.23)  2
  Nhắc lại là sinc (x) = 0 khi x = n . Do đó, sin c 0 khi n ; tức là khi 2 2 2n  , ( n = 1, 2, 3, ) vẽ trong hình 4.10b. Biến đổi Fourier F() vẽ trong hình 4.10b cho  thấy các giá trị dương và âm. Các biên độ âm có thể xem là giá trị dương với pha là – hay .  Dùng quan sát này để vẽ phổ biên độ F() sin c trong hình 4.10c và phổ pha F() 2 trong hình 4.10d. Phổ pha phải là hàm lẻ theo , có thể vẽ theo nhiều cách khác nhau do giá trị âm có thể được tính bằng góc pha n , với n là số dương lẻ bất kỳ. Các biểu diễn này đều tương đương nhau. t Băng thông của rect( )  t Phổ F() trong hình 4.10 có đỉnh tại  0 và giảm theo tần số cao. Do đó, hàm rect( ) là  hàm thông thấp tín hiệu với hầu hết năng lượng tín hiệu nằm trong thành phần tần số thấp hơn. Nói một cách nghiêm ngặt hơn, do phổ mở rộng từ 0 đến , nên băng thông là . Hơn nữa, nhiều phổ 2 tập trung trong búp thứ nhất (từ  0 đến  ). Do đó, có thể tính gần đúng băng thông của  2 1 xung vuông với độ rộng  giây là rad/s, hay Hz. Chú ý vể quan hệ tương hỗ giữa độ rộng   xung và băng thông, ta sẽ xem xét kết quả này.
■ Thí dụ 4.3: Tìm biến đổi Fourier của xung đơn vị  (t) Từ đặc tính lấy mẩu của xung [phương trình (1.24)], ta có F (t)  (t)e jt dt 1 (4.24a) Hay  (t) 1 (4.24b) Hình 4.11 vẽ  (t) và phổ ■ ■ Thí dụ 4.4: Tìm biến đổi nghịch của  () Dùng phương trình (4.8b) và đặc tính lấy mẩu của hàm xung 1 1 F- -1  ()  ()e jt d 2 2 1 Vậy  () (4.25a) 2 Hay 1 2  () (4.25b) Kết quả này cho thấy phổ của tín hiệu hằng f (t) 1 là xung 2  () , vẽ trong hình 4.12. Nhắc lại biến đổi Fourier của f (t) là biểu diễn phổ của f (t) theo thành phần hàm mủ không dừng dạng e jt . Để biểu diễn một tín hiệu hằng f (t) 1, ta chỉ cần hàm không dừng với  = 0. Một cách khác để quan sát tình huống này là là tín hiệu là tín hiệu dc chỉ có một tần số  = 0 (dc). ■ Nếu xung tại  = 0 là phổ của tín hiệu dc, thì xung tại  0 biểu diễn gì? Thí dụ sau sẽ trả lời câu hỏi này. ■ Thí dụ 4.5: Tìm biến đổi nghịch của  ( 0 ) Dùng đặc tính lấy mẩu của hàm xung - -1 1 jt 1 j0t F  ( 0 )  ( 0 )e d e 2 2 1 Vậy e j0t  (  ) 2 0 j0t Hay e 2  ( 0 ) (4.26a)
j0t Kết quả này cho thấy phổ của tín hiệu không dừng e là một xung tại  0 . Để biểu diễn tín hiệu mủ không dừng e j0t , ta chỉ cần một hàm mủ không dùng với , đo đó, phổ chỉ gồm một thành phần tần số tại . Từ phương trình (4.26a), ta có j0t e 2  ( 0 ) (4.26b) ■ ■ Thí dụ 4.6: Tìm biến đổi biến đổi Fourier của tín hiệu sin không dừng cos0t . Từ công thức Euler 1 cos t (e j0t e j0t ) 0 2 Dùng hai phương trình (4.26a) và (4.26b), ta có cos0t [ ( 0 )  ( 0 )] (4.27) Phổ của gồm hai xung tại 0 và 0 , vẽ trong hình 4.13. Kết quả cho thấy tín hiệu không dừng có thể được tổng hợp từ hai hàm mủ không dừng và e j0t . Do đó, phổ Fourier chỉ gồm hai thành phần tại tần số và . ■ ■ Thí dụ 4.7: Tìm biến đổi Fourier của hàm bước đơn vị u(t) . Thử tìm biến đổi Fourier của u(t) bằng phương pháp tích phân trực tếp sẽ dẫn đến kết quả không xác định, do: 1 U() u(t)e jt dt e jt dt e jt 0 j 0
Ta thấy cận trên của e jt khi t là không xác định, do đó, ta nên xem u(t) là hàm mủ giảm e atu(t) với giới hạn a 0(hình 4.14a). Vậy u(t) lim e at u(t) , và a 0 1 U() lim F{e atu(t)} lim (4.28a) a 0 a 0 a j Viết lại theo các thành phần thực và ảo a  a 1 U() lim j lim (4.28b) a 0 a2  2 a2  2 a 0 a2  2 j Hàm a /(a2 2 ) có đặc tính rất thú vị. Thứ nhất, hàm có diện tích (hình 4.14b) là bất chấp giá trị của a. a  d tan 1 a2  2 a Thứ hai, khi , hàm tiến về zêrô với mọi  0, và tất cả phần diện tích ( ) sẽ tập trung tại một điểm  0. Rõ ràng, khi , hàm trở thành xem có cường độ là , vậy: 1 U()  () (4.29) j Chú ý là không phải là tín hiệu dc (thực) do không là hằng số trong suốt khoảng từ - đến . Để tổng hợp tín hiệu dc (thực) ta chỉ cần một hàm mủ không dừng với (xung tại ). Tín hiệu có bước nhảy gián đoạn tại t 0 , nên không thể tổng hợp tín hiệu dạng này chỉ dùng một hàm mủ không dừng e jt . Để tổng hợp tín hiệu này dùng hàm mủ không dừng, ta cần có thểm xung tại , các thành phần tần số, do 1/ j trong phương trình (4.29). ■ Bài tập E 4.2 Chứng minh biến đổi Fourier của tín hiệu hàm dấu sgn(t) vẽ trong hình 4.15a là 2 / j . Hướng dẫn: chú ý là hàm sgn(t) dời đi giá trị 1 là 2u(t) .  Bài tập E 4.3  Chứng minh biến đổi Fourier nghịch của F() vẽ trong hình 4.15b là f (t) 0 sin c( t) . 0 Vẽ f (t). Bài tập E 4.4 j j Chứng minh: cos(0t ) [( 0 )e ( 0 )e ] 1 Hướng dẫn: . cos( t ) [e j(0t  ) e j(0t  ) ] 0 2
4.3 Một số đặc tính của biến đổi Fourier. Ta nghiên cứu một số đặc tính quan trọng của biến đổi Fourier với các hàm ý và ứng dụng. Trước hết, ta cần giải thích một số dáng vẽ quan trọng và nổi tiếng của biến đổi Fourier: tính đối ngẫu thời gian – tần số: Bảng 4.1 Bảng biến đổi Fourier f (t) f F() 1 at 1 e u(t) a 0 a j 2 at 1 e u( t) a 0 a j 3 a t 2a e a2  2 4 at 1 te u(t) (a j)2 5 n at n! t e u(t) (a j)n 1 6  (t) 1 7 1 2  () 0t 8 e 2  ( 0 ) 9 cos0t [ ( 0 )  ( 0 )] 10 sin0t j [ ( 0 )  ( 0 )] 11 u(t) 1  () j 12 sgn(t) 2 j 13 cos0tu(t) j [ ( 0 )  ( 0 )] 2 2 + 0  14 sin0tu(t) 0 [ ( 0 )  ( 0 )] 2 2 2 j 0  15 at e sin0tu(t) 0 2 2 (a j) 0
16 at e cos0tu(t) a j 2 2 a 0 (a j) 0 17 rect( t )    sin c 2 18 W  sin c(Wt) rect 2W 19 t   sin c2  2 4 20 W   sin 2 2 2W 2W 21 2  (t nT) 0  ( n0 ) 0 n n T 2 2 2 2 22 e t / 2  2 e   / 2 4.3-1 Tính đối xứng giữa toán tử thuận và nghịch: Đối ngẫu thời gian - tần số Phương trình (4.8) cho thấy một vấn đề rất thú vị: các toán tử thuận và nghịch đều rất giống nhau. Các toán tử này cần thiết để biến f (t) thành F(), được vẽ trong hình 4.16. Chỉ có hai khác biệt nhỏ: thừa số 2 chỉ xuất hiện trong toán tử nghịch, và chỉ số mủ trong hai toán tử có dấu đối nhau. Nói cách khác, hai toán tử này đối xứng. Quan sát này có ảnh hưởng lớn đến nghiên cứu về biến đổi Fourier. Đây là cơ sở của cái gọi là tính đối ngẫu thời gian – tần số. Với các quan hệ giữa và , ta có kết quả đối ngẫu nhau, từ cách thay đổi vai trò của và trong kết quả gốc (đôi khi cần có thay đổi nhỏ do yếu tố có thừa số 2 hay đảo dấu). Thí dụ, trong tính dời theo thời gian, nếu ta có f (t) F() , thì jt0 f (t t0 ) F()e (4.30a) Đối ngẫu của tính chất này (tính dời theo tần số) cho rằng j0t f (t)e F( 0 ) (4.30b) Quan sát tính hoán vị giữa thời gian và tần số trong hai phương trình (với thay đổi nhỏ là sự đảo dấu trong chỉ số mủ). Giá trị của nguyên lý này dựa trên sự kiện là bao giờ ta tìm ra một kết quả, thì luôn tồn tại kết quả đối ngẫu. Khả năng này cho ta nhìn thấy trước được một số đặc tính và kết quả khi xử lý tín hiệu. Các đặc tính của biến đổi Fourier không chỉ hữu ích để tìm biến đồi thuận và nghịch của các hàm, mà còn giúp tìm nhiều kết quả có giá trị khi xử lý tín hiệu. Ta bắt đầu với đặc tính đối xứng, là một trong những hệ quả của nguyên lý đối ngẫu vừa nói trên.
4.3-2 Tính đối xứng, nếu f (t) F() , thì F(t) 2 f ( ) (4.31) Chứng minh: theo phương trình (4.8b) 1 f (t) F(x)e jxt dx , do đó 2 f ( t) F(x)e jxt dx 2 Thay đổi t thành  , có lại phương trình (4.31). ■ Thí dụ 4.8: Thí dụ này dùng tính đối xứng [phương trình (4.31)] với cặp biến đồi trong hình 4.17a. Từ phương trình (4.23), ta có: t  rect  sin c (4.32)    2 f (t) F () Ngoài ra, F(t) giống F() khi thay  bằng t, và f ( ) là f (t) khi thay t bằng  . Dùng tính đối xứng (4.31), ta có: t    sin c 2 rect = 2 rect (4.33)  2    F (t) 2 f ( ) Trong phương trình (4.33) ta cho rect( x) rect(x) do rect là hàm chẵn. Hình 4.17b vẽ cặp biến đổi này. Quan sát việc hoán vị giữa t và  (với thay đổi nhỏ là thừa số 2 ). Kết quả này xuất hiện trong cặp biến đổi thứ 18 trong bảng 4.1 (với /2 = W) Độc giả nên tạo tính đối ngẫu của các cặp trong bảng 4.1 dùng tính đối xứng. ■
4.3-3 Tính tỉ lệ 1  Nếu f (t) F() thì với số thực a bất kỳ f (at) F (4.34) a a Chứng minh Với số thực dương a, 1 1  Ff (at) f (at)e jt dt f (x)e( j / a)xdx F a a a Tương tự, có thể chứng tõ là nếu a < 0, 1  f (at) F a a là phương trình (3.34).
Ý nghĩa vủa tính tỉ lệ Hàm f (at) biểu diễn hai hàm f (t) nén theo thời gian với tỉ lệ a (xem phần 1.3-2). Tương  tự, hàm F biểu diễn hàm F() giãn theo tần số với thừa số a. Theo tính tỉ lệ thì nén tín hiệu a theo thời gian làm giãn phổ tín hiệu, và giãn theo thời gian tức là nén theo phổ. Một cách trực giác thì nén theo thời gian với thừa số a tức là tín hiệu thay đổi nhanh hơn với cùng thừa số này. Để tổng hợp tín hiệu dạng này, tần số của sóng sin phải tăng với thừa số a, và phổ tần số phải giãn với thừa số a. Tương tự, tín hiệu giãn theo thời gian thay đổi chậm hơn, nên tần số các thành phần tần số thấp xuống; do đó, phổ tần số bị nén lại. Thí dụ, tín hiệu cos 20t là tín hiệu cos0t nén theo thời gian với tỉ lệ 2. Rõ ràng thì, phổ của tín hiệu đầu (xung tại 20 ). Ảnh hưởng của tỉ lệ này được mô tả trong hình 4.18. Tính tƣơng hỗ giữa độ rộng tín hiệu và băng thông. Theo tính tỉ lệ, nếu f (t) càng rộng, thì phổ hẹp lại, và ngược lại. Độ rộng tín hiệu tăng hai lần làm băng thông giảm nửa. Tức là băng thông tín hiệu tăng tỉ lệ nghịch với độ rộng tín hiệu (tình bằng giây). Ta kiểm nghiệm lại là trong trường hợp xung cổng, khi băng thông với độ rộng  giây là (1/) Hz. Khi cho a 1 trong phương trình (4.34), ta có đặc tính nghịch chuyển giữa thời gian và tần số. f ( t) F( ) (4.35) ■ Thí dụ 4.9 Tìm biến đổi Fourier của eatu( t) và ea t Dùng phương trình (4.35) vào cặp biến đổi 1 (bảng 4.1), ta có: 1 eatu( t) , và ea t e atu(t) eatu( t) , do đó a j 1 1 2a ea t (4.36) a j a j a2  2 Tín hiệu e a t và phổ được vẽ ở hình 4.19. ■
4.3-4 Tính dời theo thời gian jt0 Nếu f (t)  F() thì f (t t0 )  F()e (4.37a) Từ định nghĩa jt Ff (t t0 ) f (t t0 )e dt . Đặt t t0 x, ta có j(x t0 ) jt0 jx jt0 Ff (t t0 ) f (x)e dx e f (x)e dx F()e (3.47b) Kết quả này cho thấy là khi dời tín hiệu đi t0 giây thì không làm thay đổi phổ biên độ. Tuy nhiên, phổ pha bị thay đổi t0 . Giải thích thực tế về pha tuyến tính Trễ theo thời gian trong tín hiệu là nguyên nhân tạo dời pha tuyến tính trong phổ. Kết quả này còn được tìm ra từ luận chứng thực tế. Tưởng tượng là f (t) được tổng hợp từ các thành phần Fourier, là các sóng sin với biên độ và pha nào đó. Tín hiệu f (t t0 ) có thể được tổng hợp với các thành phần sóng sin này mỗi thành phần được dời đi t0 giây. Biên độ các thành phần vẫn giữ không đổi. Do đó, phổ biên độ của giống hệt . Mỗi thành phần sóng sin được dời theo , điều này làm thay đổi pha của mỗi thành phần. Xét sóng cost được dời đi được cho bởi cos(t t0 ) cos(t t0 ) Do đó, khi dời sóng sin có tần số  đi theo thời gian tạo ra độ dời pha t0 . Đây là hàm tuyến tính theo , tức là các thành phần tần số cao hơn phải có độ dời pha cao hơn nhằm có được cùng thời gian trễ. Hiện tượng này được vẽ trong hình 4.20 với hai sóng sin, tần số sóng vẽ bên dưới có tần số gấp đôi sóng vẽ phía trên. Với cùng thời gian trễ tạo độ dời pha là /2 cho sóng phía trên và dời
pha cho sóng phía dưới. Điều này cho thấy một thực tế là để đạt được cùng thời gian trễ, các sóng sin tần số cao phải có độ dời pha cao hơn. Nguyên tắc về dời pha tuyến tính rất quan trọng và ta sẽ khảo sát lại trong ứng dụng truyền tín hiệu không méo và lọc. ■ Thí dụ 4.10 Tìm biến đổi Fourier của e a t t0 . Hàm được vẽ trong hình 4.21a, là dạng dời theo thời gian của e a t (vẽ trong hình 4.19a). Từ phương trình (4.36) và (4.37), ta có a t t 2a e 0 e jt0 (4.38) a2  2 a t t0 Phổ của e (hình 4.19b), trừ việc có thêm độ dời pha t0 . Quan sát thấy thời gian trễ tạo phổ pha tuyến tính t0 . Thí dụ này làm rõ thêm ảnh hưởng của dời theo thời gian. ■ ■ Thí dụ 4.10 Tìm biến đổi Fourier của . Hàm vẽ trong hình 4.21a, là dạng dời theo thời gian của (vẽ trong hình 4.19a). Từ phương trình (4.36) và (4.37), ta có (4.38) Phổ của (hình 4.19b), trừ việc có thêm độ dời pha . Quan sát thấy thời gian trễ tạo phổ pha tuyến tính . Thí dụ này làm rõ thêm ảnh hưởng của dời theo thời gian. ■ ■ Thí dụ 4.11 Tìm biến đổi Fourier của xung cổng f (t) vẽ trong hình 4.22a t Xung f (t) là xung cổng rect trong hình 4.10a được làm trễ /2 giây. Vậy, theo phương   j trình (4.37a) có biến đổi là biến đổi Fourier của nhân với e 2 , nên:
  j F()  sin c e 2 2 Phổ biên độ F() (vẽ trong hình 4.22b) của xung giống với trường hợp vẽ ở hình 4.10c. Nhưng phổ pha có thêm thừa số /2. Do đó, phổ pha của f (t) giống trường hợp trong hình 4.10b cộng thêm thừa số tuyến tính  / 2 , và vẽ ở hình 4.22c. ■ Bài tập E 4.6 Dùng đặc tính dời theo thời gian vào các cặp 18, chứng minh là biến đổi Fourier của  jT sin c[0 (t T)] là rect e . Vẽ phổ biên độ và phổ pha của biến đổi Fourier.  0 20 4.3-5 Tính dời theo tần số. j0t Nếu f (t) F() thì f (t)e F( 0 ) (4.39) Chứng minh: từ định nghĩa j0t j0t jt j( 0 )t Ff (t)e  f (t)e e dt f (t)e dt F( 0 ) j0t Từ đặc tính này, phép nhân tín hiệu với thừa số e dời phổ tín hiệu lên  0 . Chú ý tính đối ngẫu giữa dời theo thời gian và dời theo tần số. Thay đổi  thành 0 , ta có j0t f (t)e F( 0 ) (4.40) Do là hàm không dễ tạo ra trong thực tế, nên thường ta nhân f (t) với sóng sin để tại dời tần số. Do 1 f (t)cos t  f (t)e j0t f (t)e j0t  0 2 Từ hai phương trình (4.39) và (4.40), ta có 1 f (t)cos t F (  ) F (  ) (4.41) 0 2 0 0
Điều này cho thấy là phép nhân tín hiệu f (t) với sóng sin có tần số 0 , dời phổ F() giá trị 0 , như vẽ trong hình 4.23. Nhân hàm cos0t với tạo điều chế biên độ, và dạng điều chế này được gọi là điều chế biên độ. Hàm gọi là sóng mang, tín hiệu được gọi là tín hiệu điều chế và f (t)cos0t gọi là tín hiệu đƣợc điều chế. Phần 4.7 và 4.8 sẽ thảo luận sâu hơn về vấn đề này. Để vẽ tín hiệu , ta nhận thấy: f (t) khi cos0t 1 f (t)cos0t f (t) khi cos0t 1 Do đó, dính với khi ở vị trí đỉnh dương và là f (t) khi ở vị trí định âm. Tức là và f (t) hoạt động như đường bao của tín hiệu (xem hình 4.23). Tín hiệu là ảnh của qua trục ngang. Hình 4.23 vẽ các tín hiệu , và phổ tương ứng. ■ Thí dụ 4.12 Tìm và vẽ biến đổi Fourier của tín hiệu được điều chế f (t)cos10t với f (t) là xung cổng  rect vẽ trong hình 4.24a 4 t Dùng cặp biến sđổi 17 (bảng 4.1), ta có rect 3sin c(2) , vẽ ở trong hình 4.24b. 4 Phương trình (4.41) cho 1 f (t)cos10t F( 10) F( 10) 2 Trường hợp này, F() 4sin c(2) , do đó:
f (t)cos10t 2sin c[2( 10)] 2sin c[2( 10)] Phổ của tín hiệu f (t)cos10t có được bằng cách dời F() trong hình 4.24b sang trái 10 và đồng thời dời sang phải là 10, rồi nhân với (1/2), như vẽ trong hình 4.24d. ■ Bài tập E 4.7 Vẽ tín hiệu e t cos10t. Tìm biến đổi Fourier của tín hiệu này và vẽ phổ tín hiệu. 1 1 Đáp số: F() . Phổ có dạng hình 4.19b (với a =1), dời đi ( 10)2 1 ( 10)2 1 10 và nhân với (1/2).  Ứng dụng vào điều chế Điều chế được dùng để dời phổ tín hiệu. Một số trường hợp cần dời phổ tín hiệu là: 1. Khi có nhiều tín hiệu, mỗi tín hiệu chiếm cùng dải tần số, được truyền đồng thời trong cùng môi trường, chúng sẽ gây nhiễu lên nhau. Tại máy thu, ta không thể tách hay khôi phục lại tín hiệu. Thí dụ, nếu tất cả các đài phát thanh quyết định phát đồng thời các tín hiệu âm tần, thì các máy thu không thể nào tách chúng ra được. Vấn đề này được giải quyết dùng phương pháp điều chế, theo đó, mỗi đài phát thanh dùng tần số mang riêng biệt. Mỗi trạm phát tín hiệu được điều chế. Phương pháp này dời phổ tín hiệu đến các dải tần số của đài mình, không vi phạm đến các đài khác. Máy thu chỉ việc giải điều chế (làm ngược lại quá trình điều chế). Giải điều chế bao gồm các phổ dời khác cần thiết để khôi phục lại tín hiệu của băng tần gốc. Chú ý là cả quá trình điều chế và giải điều chế đều thực hiện dời tần số; do đó, quá trình giải điều chế là tương tư quá trình điều chế (xem phần 4.7). Phương pháp truyền đồng thời nhiều tín hiệu trong một kênh truyền bằng cách chia sẻ dải tần số được gọi là FDM (ghép kênh bằng cách phân chia theo tần số: frequency-division multiplexing) 2. Để có công suất phát sóng hiệu quả, thì kích thước anten phải ở bước sóng của tín hiệu được phát. Tín hiệu âm tần rất thấp (bước sóng rất dài) nên không thề thiết lập anten phát sóng trong thực tế. Do đó, khi dời phổ tín hiệu đến tần số cao hơn (bước sóng ngắn hơn) bằng cách điều chế giải quyết được vấn đề này.
4.3-6 Tích phân chập. Đặc tính tích phân chập theo thời gian cùng đối ngẫu là đặc tính tích phân chập theo tần số, cho rằng, nếu: f1(t) F1() và f2 (t) F2 () thì: Tích phân chập theo thời gian f1(t) f 2(t) F1()F2 () (4.42) Tích phân chập theo tân số 1 f (t) f 2(t) F () F () (4.43) 1 2 1 2 Chứng minh: từ định nghĩa jt jt F f1(t) f2 (t) e f1( ) f2 (t )d dt f1( ) e f2 (t )dt d Tích phân bên trong của biến đổi Fourier là f2 (t  ) , cho bởi đặc tính dời theo thời gian trong phương trình (4.37) là F()e jt . Do đó: jt jt F f1(t) f2 (t) f1( )e F 2()d F 2() f1( )e d F1()F 2() Ta đã chứng minh trong phương trình (2.48) là hàm truyền H() là biến đổi Fourier của đáp ứng xung h(t) , vậy h(t) H() (4.44a) Áp dụng đặc tính tích phân chập theo thời gian cho y(t) f (t) h(t) (với giả sử là f (t) và h(t) đều có biến đổi Fourier) , ta có. Y() F()H() (4.44b) Đây chính xác là điều đã chứng minh trong phương trình (4.19) Đặc tính tích phân chập theo tần số (4.43) có thể được chứng minh tương tự bằng cách thay đổi vai trò của và F(). ■ Thí dụ 4.13 Dùng đặc tính tích phân chập theo thời gian, chứng minh nếu t F() f (t) F() thì f ( )d F(0) () (4.45) j Do 1  t u(t  ) nên 0  t t f (t) u(t) f ( )u(t  )d f ( )d Dùng đặc tính tích phân chập theo thời gian [phương trình (4.42)]
t 1 f (t) u(t) f ( )d F()  () j Để tìm kết quả này, ta dùng phương trình (1.23a) ■ Bài tập E 4.8 Dùng đặc tính tích phân chập theo thời gian, chứng tõ là f (t)(t) f (t) .  Bài tập E 4.9 Dùng đặc tính tích phân chập theo thời gian, chứng tõ là 1 e atu(t) e btu(t) e at e bt u(t) b a Hướng dẫn: Dùng đặc tính (4.42) để tìm biến đổi Fourier của e atu(t) e btu(t) . Rồi dùng khai triển đa thức để tìm biến đổi Fourier nghịch. 4.3-7 Vi phân và Tích phân theo thời gian. Nếu f (t) F() , thì Vi phân theo thời gian df jF() (4.46) dt Tích phân theo thời gian t F() f ( )d F(0) () (4.47) j Chứng minh: Lấy vi phân hai vế của phương trình (4.8b), ta có df 1 df jF()e jt d , tức là jF() dt 2 dt Lặp lại nhiều lần đặc tính này, ta có d n f ( j)n F() (4.48) dt n Đặc tính về tích phân theo thời gian [phương trình (4.47)] được chứng minh trong thí dụ 4.13. Bảng 4.2 Các toán tử của biến đổi Fourier Toán tử f (t) F() Phép cộng f1(t) f2 (t) F1() F2 () Phép nhân vô hướng kf(t) kF() Phép đối xứng F(t) 2 f ( ) Tỉ lệ (a: số thực) f (at) 1  F( ) a a jt0 Dời theo thời gian f (t t0 ) F()e j0t Dời theo tân số (0 số thực) f (t)e F( 0 )
Tích chập theo thời gian f1(t) f2 (t) F1()F2 () Tích chập theo tần số f (t) f (t) 1 1 2 F () F () 2 1 2 Vi phân theo thời gian d n f ( j)n F() dt n Tích phân theo thời gian t F() f (x)dx F(0) () j ■ Thí dụ 4.14 t Dùng đặc tính vi phân theo thời gian, tìm biến đổi Fourier của xung tam giác  Vẽ trong hình 4.25a. Để tìm biến đổi Fourier của xung này, ta lấy vi phân nhiều lần, như trong hình 4.25b và 4.25c. Do df / dt là hằng, nên có đạo hàm d 2 f / dt 2 là zêrô. Nhưng do df / dt có bước nhảy dương gián đoạn 2/ tại t = (/2) và bước nhảy âm gián đoạn 4/ tại t =0. Nhắc lại là đạo hàm của tín hiệu có bước nhảy gián đoạn là xung tại điểm gián đoạn có cường độ bằng với lượng bước nhảy. Do đó, , đạo hàm của , gồm chuỗi các xung, vẽ trong hình 4.25c, tức là: d 2 f 2    (t ) 2 (t)  (t ) (4.49) dt 2  2 2 Từ tính vi phân theo thời gian (4.48) d 2 f ( j)2 F()  2 F() (4.50a) dt 2 Đồng thời, từ tính dời theo thời gian (4.37)
jt0  (t t0 ) e (4.50b) Lấy biến đổi Fourier của phương trình (4.49) và sùng kết quả trong phương trình (4.50), ta có   j j 2 2 4  8 2   F() e 2 2 e 2 cos 1 sin   2  4 Và 2  sin 8 2   4  2  F() sin sin (4.51)  2 4 2  2 4 4 Phổ F() vẽ trong hình 4.25d. Phương pháp tìm biến đổi Fourier này có thể dùng cho hàm f (t) bất kỳ dùng phép tuyến tính hóa từng đoạn với f (t) 0 khi t . Đạo hàm bậc hai của các tín hiệu này là chuỗi các xung có biến đổi Fourier tìm bằng cách kiểm tra. Thí dụ này gợi ra phương pháp số để tìm biến đổi Fourier của hàm bất kỳ bằng cách xấp xỉ tín hiệu bằng những đoạn đường thẳng. ■ Bài tập E 4.8 t Dùng tính vi phân theo thời gian, tìm biến đổi Fourier của rect .   4.4 Truyền tín hiệu qua hệ thống LT – TT – BB. Nếu f (t) và y(t) là ngõ vào và ngõ ra của hệ LT – TT – BB có hàm truyền H() , thì theo phương trình (4.44b) Y() H()F() (4.52) Kết quả này chỉ dùng được khi hệ thống ổn định tiệm cận (và ở biên ổn định). Ngoài ra, còn có yêu cầu là phải có biến đổi Fourier. Do đó, các ngõ vào là hàm mủ tăng thì không dùng được phương pháp này. Trong chương 6, ta sẽ thấy là biến đổi Laplace, có dạng tổng quát hơn biến đổi Fourier, có tính đa năng hơn và phân tích được mọi dạng hệ thống LT – TT – BB từ ổn định, khoông ổn định, hay ở biên ổn định. Biến đổi Laplace còn dùng được với ngõ vào có dạng hàm mủ tăng. Khi phân tích hệ thống thì biến đổi Laplace vượt trội hơn biến đổi Fourier. Do đó, biến đổi Laplace thích hợp hơn khi phân tích hệ thống LT – TT – BB, nên ta cần mất công sức để ứng dụng biến đổi Fourier trong phân tích hệ thống LT – TT – BB. Xem thí dụ sau ■ Thí dụ 4.15 Tìm đáp ứng trạng thái – zêrô của hệ thống LT – TT – BB ổn định có hàm truyền 1 H(s) (4,53) s 2 1 1 với ngõ vào f (t) e tu(t) F() và H() H(s) j 1 s j j 2 1 Do đó Y() H()F() ( j 2)( j 1)
Dùng khai triển đa thức (xem phần B.5) 1 1 Y() , và ( j 1) ( j 2) y(t) (e t e 2t )u(t) ■ Bài tập E 4.11 Trong hệ thống ở thí dụ 4.15, chứng minh là đáp ứng ngõ vào –zêrô của ngõ vào etu( t) là 1 y(t) etu( t) e 2tu(t) 3 Hướng dẫn: Dùng cặp biến đổi 2 (bảng 4.1) để tìm biến đổi Fourier của .  4.4-1 Méo tín hiệu khi truyền Hệ thống có hàm truyền H() , nếu F() và Y() là phổ của các tín hiệu ngõ vào và ngõ ra, thì: Y() F()H() (4.55) Truyền tín hiệu vào f (t) qua hệ thống là biến đổi tín hiệu thành ngõ ra y(t) . Phương trình (4.55) cho thấy bản chất của thay đổi này. Trường hợp này với và là phổ của các tín hiệu ngõ vào và ngõ ra, thì là đáp ứng phổ của hệ thống. Phương trình (4.55) cho ta thấy rõ về vấn đề định dạng phổ (hay thay đổi) của tín hiệu từ hệ thống, được viết theo dạng cực là Y()eY () F() H ()eF() H () Do đó Y() F() H () (4.56a) Và Y() F() H() (4.56b) Trong quá trình truyền, phổ tín hiệu vào F() được đổi thành F() H() . Tương tự, phổ pha tín hiệu vào F() được đổi thành F() H(). Thành phần phổ tần số  được thay đổi biên độ với tỉ lệ H() và dời pha một góc H() . Như thế, H() là đáp ứng biên độ và H() là đáp ứng pha của hệ thống. Đồ thị của H() và H() theo  cho biết phương thức hệ thống thay đổi biên độ và pha của tín hiệu vào sin. Do đó, là đáp ứng tần số của hệ thống. Trong quá trình truyền qua hệ thống, một số thành phần tần số được gia tăng biên độ, và một số khác bị suy giảm. Pha tương đối của nhiều thành phần cũng bị thay đổi. Thông thường, dạng sóng ra sẽ khác dạng sóng vào Biến đổi Fourier của phương trình này là Y() kF()e jtd , nhưng Y() F()H() nên H() ke jtd Đây là hàm truyền cần cho việc truyền không méo. Phương trình trên cho ta H() k (4.58a)  H() td (4.58b)
Kết quả này cho thấy khi truyền không méo, đáp ứng biên độ H() phải là hằng số và đáp ứng pha H() phải là hàm tuyến tính theo  với độ dốc t d với t d là thời gian trễ của ngõ ra theo ngõ vào (hình 4.26). Giải thích một cách trực giác về điều kiện truyền không méo Cũng nên tìm hiểu một cách trực giác về điều kiện truyền không méo. Một lần nữa, tưởng tượng f (t) bao gồm nhiều thành phần sóng sin (các thành phần phổ), đi qua hệ thống không méo. Trường hợp không méo, thì tín hiệu ngõ ra là tín hiệu vào nhân với k và làm trễ đi . Để tổng hợp tín hiệu này, ta cần có các thành phần chính xác của , với từng thành phần được nhân với k và làm trễ đi . Như thế, hàm truyền hệ thống H() có mỗi thành phần sóng sin phải chịu sự suy giảm k và thời gian trễ giây. Điều kiện đầu tiên là H() k Ta thấy là để có cùng thời gian trễ với mỗi thành phần tần số thì cần trễ pha tuyến tính là t d (hình 4.20). Do đó:  H() td Phương trình này cho thấy thời gian trễ do truyền tín hiệu qua hệ thống với đáp ứng pha có độ dốc , tức là d t () H() (4.59) d d Nếu độ dốc của là hằng số (tức là là tuyến tính theo ), mọi thành phần bị trễ với cùng khoảng thời gian . Nhưng nếu độ dốc là hằng, thì thời gian trễ thay đổi theo tần số. Thay đổi này tức là các thành phần tần số khác nhau sẽ có lượng thời gian trễ thay đổi khác nhau, do đó các sóng ra sẽ không là bản sao của tín hiệu vào. Để quan sát được tính tuyến tính của pha ta nên vẽ là hàm theo tần số. Trong hệ thống không méo, nên là hằng trong dải tần số công tác. Thường có suy nghĩ (tuy không đúng) là chỉ cần có đáp ứng biên độ phẳng (flatness) là đủ bảo đảm được chất lượng tín hiệu. Tuy nhiên, ghi nhận được là hệ thống có đáp ứng biên độ phẳng vẫn bị méo nếu đáp ứng pha không tuyến tính ( không là hằng số) Bản chất méo dạng tín hiệu auđiô và viđêo Nói chung, tai người có thể cảm nhận nhanh méo biên độ, dù tương đối không nhạy cảm với méo pha. Trường hợp ghi nhận được méo pha, thì thay đổi của thời gian trễ
[thay đổi với độ dốc của H() ] cần so sánh được với độ rộng của tín hiệu (hay độ rộng cảm nhận thực tế, khi tín hiệu tự thân đã là dài). Trường hợp tín hiệu auđiô, từng âm tiết được xem là từng tín hiệu riêng biệt. Độ rộng trung bình của âm tiết là từ 0,01 đến 0,1 giây. Hệ thống auđiô có thể có pha phi tuyến, nhưng độ méo tín hiệu do các hệ thống auđiô thực tế ghi nhận được với độ thay đổi lớn nhất của độ dốc thường chỉ là vài phần của miligiây. Đây là lý do để kết luận là “tai người tương đối không nhạy cảm với méo pha” . Kết quả là các nhà sản xuất thiết bị auđiô thường chỉ chú tâm hoàn thiện các đặc tính H() của thiết bị. Ngược lại, trong trường tín hiệu viđêo thì mắt người nhạy cảm với méo pha nhưng tương đối không nhạy cảm với méo biên độ. Méo biên độ trong tín hiệu truyền hình cho thấy phá hỏng nửa tông giá trị của hình ảnh có được, không dễ được mắt người nhận ra. Méo pha (pha phi tuyến), thì làm tạo các thời gian trễ khác nhau trong các phần tử ảnh. Kết quả này làm hình ảnh bị lem luốt, nên mắt người dễ nhận ra. Méo pha cũng rất quan trọng trong thông tin số do đặc tính pha phi tuyến của kênh truyền làm xung bị tán xạ (phân bố ra), là, xung gây nhiễu lên các xung lân cận, tao sai số cho máy thu: bit 1 sẽ được đọc là 0, và ngược lại. 4.5 Mạch lọc lý tƣởng và mạch lọc thực tế. Mạch lọc lý tưởng truyền không méo một dải tần số và triệt mọi thành phần tần số còn lại. Thí dụ, mạch lọc thông thấp lý tưởng (hình 4.27), truyền không méo các thành phần tần số thấp hơn  = W radian/giây và triệt mọi thành phần tần số lớn hơn  = W. Hình 2.28 vẽ các đặc tính và băng thông của mạch lọc thông cao. Mạch lọc thông thấp lý tưởng trong hình 4.27a có pha tuyến tính với độ dốc t d , tạo thời gian trễ t d cho mọi thành phần tần số tín hiệu vào thấp hơn W radian/giây. Do đó, nếu tín hiệu vào f (t) có băng thông giới hạn W radian/giây, ngõ ra y(t) là tín hiệu bị trễ , tức là y(t) f (t td ) Tín hiệu f (t) được hệ thống truyền không méo, nhưng có thời gian trễ là . Với bộ lọc này  jt H() rect và H() e d , nên 2W  jt H() ret e d (4.60a) 2W Đáp ứng xung h(t) của bộ lọc có được từ cặp biến đổi 18 (bảng 4.1) và đặc tính dời theo thời gian
 jt W - -1 rect e d sin c W(t t ) h(t) F  d  (4.60b) 2W Nhắc lại h(t) là đáp ứng của hệ thống với xung vào  (t) , áp vào tại t 0 . Hình 4.27b vẽ thực tế là: đáp ứng bắt đầu trước khi đưa tín hiệu vào ( ). Rõ ràng, bộ lọc là không nhân quả và không thực hiện được trong thực tế. Tương tự, ta chứng mih được là các mạch lọc lý tưởng khác (như lọc thông cao lý tưởng hay thông dải lý tưởng) đều không thực hiện được trong thực tế. Đối với các hệ thống thực hiện được trong thực tế, thì phải là nhân quả, tức là h(t) 0 khi t 0 Trong miền tần số, điều kiện này tương đương với tiêu chuẩn nổi tiếng Paley-Wiener, theo đó điều kiện cần và đủ để đáp ứng biên độ H() thực hiện được là ln H() d (4.61) 1  2 Nếu không thỏa điều kiện này, thì không thực hiện được. Chú ý là nếu H() 0 trong một dải tần số giới hạn, ln H() trong dải tần số này, và điều kiện (4.61) bị vi phạm. Tuy nhiên, nếu H() 0 tai một tần số (hay tập các tần số rời rạc), thì tích phân trong phương trình (4.61) có thể vẫn còn hữu hạn dù thành phần lấy tích phân là vô hạn. Do đó, thực hiện được trong thực tế, H() có thể bằng zêrô tại một số tần số rời rạc nhưng không thể là zêrô trong một khoảng tần hữu hạn. Từ tiêu chuẩn này, các bộ lọc lý tưởng trong hình (4.27) và (4.28) là không thực hiện được. Đáp ứng xung trong hình 4.27 là không thực hiện được. Hướng thực tế để thiết kế bộ lọc là cắt bớt khi t 0. Điều này tạo đáp ứng xung nhân quả hˆ(t) , với
hˆ(t) h(t)u(t) ˆ thực hiện được do là nhân quả (hình 4.29). Nếu t d là đủ lớn, h(t) sẽ xấp xỉ gần đúng h(t) , kết quả là bộ lọc Hˆ () sẽ xấp xỉ tốt bộ lọc lý tưởng. Điều này thực hiện được do tăng giá trị của thời gian trễ . Quan sát này cho thấy giá phải trả cho xấp xỉ gần đúng là phải có thời gian trễ lớn; đây là điều thường gặp trong các hệ thống không nhân quả. Về mặt lý thuyết, thì thời gian trễ t d cần cho việc thực hiện bộ lọc lý tưởng. Trong hình 4.27b thì thời gian trễ là từ 3 đến 4 lần giá trị ( /W) là đủ cho xấp xỉ hợp lý h(t td ). Thí dụ, bộ lọc tín hiệu auđiô cần hoạt động với tần số đến 20 kHz (W = 40.000 ). Trường hợp này thì vào khoảng 0,1ms là một lựa chọn hợp lý. Tác động cắt bớt (cắt phần đuôi để h(t) trở thành nhân quả), tuy nhiên điều này cũng tạo ra một số vấn đề. Ta sẽ thảo luận tiếp về vấn đề này trong phần 4.9. Trong thực tế, ta có thể thực hiện bộ lọc có đặc tính gần lý tưởng. Các đặc tính bộ lọc lý tưởng tăng dần, không có bước nhảy gián đoạn trong đáp ứng biên độ. Ta sẽ nghiên cứu các bộ lọc họ này (Butterworth và Chebyshev) trong phần 7.4 và 7.5. Hình 7.17 vẽ đáp ứng biên độ của mạch lọc Butterworth. Bài tập E 4.12 2 Chứng tõ là bộ lọc có hàm truyền H() e  là không thực hiện được. Làm với hai phương pháp: đầu tiên bằng cách chứng minh là đáp ứng xung là không nhân quả, rồi chứng tõ là H() vi phạm tiêu chuẩn Paley-Wiener. Hướng dẫn: Dùng cặp biến đổi 22 trong bảng 4.1.  Suy nghĩ về miền thời gian và miền tần số: Quan điểm hai chiều của tín hiệu và hệ thống. Cả tín hiệu và hệ thống đều có hai tính cách đối ngẫu; miền thời gian và miền tần số. Để hiểu rõ hơn, ta hảy xem xét và tìm hiểu cả hai tính cách này do chúng cung cấp kiến thức bổ sung nhau. Thí dụ trong tín hiệu dạng mủ, được đặc trưng bằng mô tả trong miền thời gian là e 2tu(t) hay bằng biến đổi Fourier (mô tả trong miền tần số) là 1/( j 2) . Mô tả trong miền thời gian cho thấy dạng sóng tín hiệu. Mô tả trong miền tần số cho thấy các thành phần phổ (các thành phần biên độ tương đối và pha của sóng sin (hay hàm mủ)). Thí dụ, tín hiệu e 2t miền thời gian miêu tả tín hiệu giảm theo dạng mủ với hằng số thời gian là 0,5. Mô tả trong miền tần số cho tấy đây là mạch lọc thông thấp, có thể được tổng hợp dùng các sóng sin có biên độ giảm tại tần số chừng 1/. Hàm truyền H() đặc trưng cho đáp ứng tần số; tức là đáp ứng của hệ thống với ngõ vào dạng mủ hay sin với nhiều tần số khác nhau. Đây rõ ràng là đặc tính lọc của hệ thống. Các kỹ sư có kinh nghiệm thường có xu hướng suy nghĩ trực giác về cả hai miền (thời gian và tần số) khi có thể được. Khi họ nhìn vào tín hiệu, họ đều xem xét dạng sóng, độ rộng tín hiệu, và tốc độ tại đó dạng sóng giảm. Đây là quan điểm trong miền thời gian. Họ còn suy nghĩ về tín hiệu theo phổ tần số tức là theo các thành phần sin cùng biên độ tương đối và pha. Đây là quan điểm trong miền tần số.
Nói đến hệ thống, họ nghĩ đến đáp ứng xung h(t) . Độ rộng của cho thấy hằng số thời gian (thời gian đáp ứng); tức là, hệ thống có thể đáp ứng với ngõ vào nhanh đến đâu, và tạo tán xạ tín hiệu đến đâu. Đây là quan điểm trong miền thời gian. Theo quan điểm miền tần số, các kỹ sư này xem hệ thống là mạch lọc, với tính truyền chọn lọc một số thành phần tần số và loại trừ các tần số khác [đáp ứng tần số H() ]. Khi biết được phổ tín hiệu vào và đáp ứng tần số của hệ thống, họ có được hình ảnh về phổ tín hiệu ra. Ý niệm này được biểu diễn chính xác là Y() F()H(). Ta có thể phân tích hệ thống TT – BB dùng kỹ thuật miền thời gian hay dùng miền tần số. Nhưng tại sao phải nghiên cứu cả hai? Lý do là hai miền này bổ sung kiến thức cho nhau về hoạt động của hệ thống. Một số nét dễ nắm bắt trong một miền; các nét khác lại dễ thấy được trong miền khác. Cả miền thời gian và miền tần số đều cần cho nghiên cứu tín hiệu và hệ thống như người ta phải có hai mắt để cảm nhận tốt tín hiệu thực, con người có thể nhìm với một mắt, nhưng để cảm nhận đúng ãnh thực ba chiều thì đòi hỏi phải dùng hai mắt. Điều quan trọng là phải giữa hai miền này riêng biệt, và không nên trộn lẫn chúng lại. Nếu ta dùng miền tần số để xác định đáp ứng của hệ thống, ta cần các tín hiệu được biểu diễn theo phổ (biến đôi Fourier) và mọi hệ thống được viết theo hàm truyền. Thí dụ, để xác định đáp ứng hệ thống y(t) theo ngõ vào f (t), đầu tiên ta chuyển đổi tín hiệu vào thành môt tả trong miền tần số F(). Mô tả hệ thống còn phải trong miền tần số; tức là hàm truyền là H() . Phổ tín hiệu ra Y() F()H(), vậy kết quả (tín hiệu ra) cũng là trong miền tần số. Đề xác định được đáp số cuối , ta cần lấy biến đổi nghịch của Y() . 4.6 Năng lƣợng tín hiệu. Năng lượng tín hiệu E f của tín hiệu được định nghĩa trong chương 1 là: 2 E f f (t) dt (4.62) Năng lượng tín hiệu có thể quan hệ với phổ tín hiệu bằng cách thay phương trình (4.8b) vào phương trình trên: * 1 jt E f f (t) f (t)dt f (t) F()e d dt 2 Ta dùng f * (t) , là liên hợp của f (t) , có thể biểu diễn thành phần liên hợp của vế phải phương trình (4.8b). Thay đổi thứ tự lấy tích phân, ta có: 1 * jt 1 * 1 2 E f F () f (t)e dt d F()F ()d F() d (4.63) 2 2 2 Do đó
1 2 E f f (t) dt F() d (4.64) 2 2 Đây là công thức nổi tiếng Parseval (dùng cho biến đổi Fourier). Kết quả tương tự có được trong phương trình (3.42) và (3.82) của tín hiệu tuần hoàn và chuỗi Fourier tương ứng. Kết quả này cho phép ta xác định năng lượng tín hiệu từ đặc tính miền thời gian f (t) hay đặc tính trong miền tần số F() của cùng tín hiệu. Phương trình (4.63) có thể biểu diễn theo năng lượng tín hiệu là kết quả từ năng lượng đóng góp bởi mọi thành phần phổ của tín hiệu . Năng lượng chung là vủng diện tích F() 2 (chia cho 2 ). Nếu ta xét một đoạn nhỏ  (  0 ), vẽ trong hình 4.30, thì năng lượng E f của thành phần phổ của đoạn này là diện tích của đoạn này (chia cho 2 ) : 1 2 2  E F()  F() F F Hz (4.65) f 2 2 Do đó, năng lượng đóng góp từ các thành phần trong đoạn này là F (tính bằng Hz) là F() 2 F . Năng lượng tổng là tổng các năng lượng từ các đoạn này và được cho bởi vùng diện tích theo phương trình (4.63). Như thế là mật độ phổ năng lƣợng (theo đơn vị băng thông là Hz) Đối với tín hiệu thực, và F( ) là liên hợp, nên là hàm chẵn theo , do F() 2 F()F *() F()F( ) Do đó, phương trình (4.63) viết lại 1 2 E f F() d (4.66) 0 Năng lượng tín hiệu E f , là kết quả từ các đóng góp của mọi thành phần tần số từ  0 đến , được cho bởi phần diện tích của (chia cho 1/ ) khi đến . Vậy năng lượng đóng góp từ các thành phần tần số giữa 1 và 2 là 1 2 2 E f F() d (6.67) 1 ■ Thí dụ 4.16 Tìm năng lượng tín hiệu f (t) e atu(t) . Xác định tần số W (rad/s) để năng lượng đóng góp từ các thành phần phổ của các tần số thấp hơn W là 95% năng lượng tín hiệu Ef. Ta có at 2at 1 E f e u(t)dt e dt 0 2a Có thể kiểm nghiệm kết quả dùng định lý Parseval. Với tín hiệu 1 F() và j a 1 2 1 1 1 1  1 E f F() d d tan 0 0 2 2  a a a 0 2a
Dải tần  0 đến  W chứa 95% năng lượng tín hiệu, tức là 0,95/2a, nên từ phương trình (4.67) với 1 0 và 2 W , ta có W 0,95 1 d 1  1 W tan 1 tan 1 0 2 2 2a  a a a 0 a a 0,95 W tan 1 W 12,706a rad/s 2a a Kết quả này cho thấy là thành phần phổ của f (t) trong dải tần từ 0 (dc) đến 12,706a rad/s (2,02a Hz) đóng góp 95% năng lượng tổng; các thành phần phổ còn lại (trong dải từ 12,706a rad/s đến ) chỉ đóng góp 5% của năng lượng tín hiệu. ■ Bài tập E 4.13 Dùng định lý Parseval, chứng tõ là năng lượng tín hiệu 2a 2 f (t) là t 2 a2 a Hướng dẫn: Tìm F() dùng cặp biến đổi 3 và đặc tính đối xứng.  Băng thông chủ yếu của tín hiệu Phổ của nhiều tín hiệu mở rộng đến vô cùng. Tuy nhiên, do năng lượng của các tín hiệu thực tế là hữu hạn, nên phổ tín hiệu phải tiến về 0 khi  . Hầu hết năng lượng tín hiệu nằm trong băng thông B Hz, và năng lượng đóng góp từ các thành phần phổ cao hơn B Hz là không đáng kể. Ta có thể loại phổ tín hiệu lớn hơn B Hz mà không ảnh hưởng đến hình dạng và năng lượng tín hiệu. Băng thông B được gọi là băng thông chủ yếu của tín hiệu. Tiêu chuẩn chọn lựa B phụ thuộc vào dung sai cho phép của từng ứng dụng cụ thể. Thí dụ, ta có thể chọn B là dải tần chứa 95% năng lượng tín hiệu. Chọn lựa này có thể thấp hơn 95% tùy theo độ chính xác mong muốn. Dùng tiêu chuẩn này, ta có thể xác định bằng thông chủ yếu của tín hiệu. Băng thông chủ yếu B của tín hiệu e atu(t) , theo tiêu chuẩn 95%, đã được xác định trong thí dụ 4.16 là 2,02a Hz. Triệt mọi thành phần phổ của f (t) cao hơn băng thông chủ yếu tạo tín hiệu fˆ(t) , là xấp xỉ gần đúng của f (t) . Nếu dùng tiêu chuẩn 95% cho băng thông chủ yếu, năng lượng của sai biệt ˆ giữa f (t) f (t) là 5% của E f . Tìm mật độ phổ năng lƣợng từ hàm tự tƣơng quan Tương quan giữa hàm với chính nó được gọi là hàm tự tƣơng quan  f (t), khi là hàm thực, thì [xem phương trình (3.32)]:  f (t) f (x) f (x t)dx (4.68a) Đồng thời từ phương trình (3.31) khi g(t) f (t), thì  f (t) f (t)* f ( t) (4.68b) Từ phương trình (4.68b)  f ( t) f ( t)* f (t)  f (t) Như thế, khi hàm thực, thì hàm tự tương quan là hàm chẵn theo t. Biến đổi Fourier của phương trình (4.68b) cho
2  f (t) F() (4.69) Do đó, biến đổi Fourier của hàm tự tương quan là mật độ phổ năng lượng F() 2 . Rõ ràng là  f (t) cung cấp trực tiếp thông tin phổ cho f (t) . Quan hệ trực tiếp giữa hàm tự tương quan với thông tin phổ có thể được giải thích một cách trực giác như sau. Hàm tự tương quan là tương quan của tín hiệu với chính nó được làm trể đi t giây. Tín hiệu tương quan hoàn toàn với chính nó khi thời gian trễ là zêrô. Nhưng khi thời gian trễ tăng, tính tương đồng giảm đi. Do đó, hàm tự tương quan là hàm không tăng theo t. Nếu là tín hiệu thay đổi chậm (tín hiệu có tần số thấp), là tín hiệu thay đổi chậm theo t. Do đó, các tín hiệu này có thể là tương đồng hay tương quan với chính nó ngay cả khi có thời gian trễ lớn. Hàm tự tương quan giảm chậm theo t và có độ rộng dài. Nói cách khác, khi tín hiệu thay đổi nhanh, tín hiệu tương đồng sẽ giảm nhanh với thời gian trễ t và có độ rộng hẹp lại. Như thế, hình dạng của có quan hệ trực tiếp với thông tin phổ của . 4.7 Ứng dụng trong thông tin: Điều chế biên độ. Điều chế làm dời phổ tín hiệu và được dùng để có các ưu điểm như trong phần 4.3-5. Nói rộng hơn, có hai dạng điều chế: Điều chế biên độ (tuyến tính) và điều chế góc (phi tuyến), là nội dung của hai phần kế tiếp. Phần này, ta thảo luận một số dạng thực tế của điều chế biên độ. 4.7-1 Điều chế hai biên triệt sóng mang (DSB – SC: Double Sideband, Suppressed Carrier) Khi điều chế biên độ, biên độ A của sóng mang Acos ct c thay theo tín hiệu nền (tin tức) m(t) (được gọi là tín hiệu điều chế). Tần số c và pha c là hằng số. Nếu biên độ sóng mang A thay đổi tỉ lệ với tín hiệu điều chế , tín hiệu sau điều chế là m(t)cosct (hình 4.31a). Theo
phương trình (4.41) dạng điều chế này chỉ đơn giản dời phổ của m(t) đến tần số`sóng mang (hình 4.31c). Do đó, nếu m(t) M() , thì 1 m(t)cos t M (  ) M (  ) (4.70) c 2 c c Nhắc lại M ( c ) là M () dời phải đi c và M ( c ) là M () dời trái đi c . Do đó, quá trình điều chế dời phổ tín hiệu điều chế sang phải và sang trái một lượng . Chú ý là nếu băng thông của là B Hz. Ta cũng thấy là phổ tín hiệu điều chế tập trung tại gồm hai phần: một phần nằm trên , được gọi là biên tần trên (USB: upper side band), và phần nằm dưới được gọi là biên tần dưới (LSB: lower side band). Tương tự, phổ tập trung tại c cũng có biên tần trên và biên tần dưới. Dạng điều chế này được gọi là điều chế hai biên (DSB: double side band). Quan hệ giữa B và rất thú vị. Hình 4.31c cho thấy c 2 B nhằm tránh trùng lắp và mất thông tin của trong quá trình điều chế, tổn thất này làm không thể khôi phục lại thông tin từ tín hiệu m(t)cosct . ■ Thí dụ 4.17 Tín hiệu điều chế m(t) cosmt , tìm tín hiệu DSB, và vẽ phổ. Nhận dạng biên tần trên và biên tần dưới. Ta sẽ giải bài toán trong miền tần số và miền thời gian nhằm làm rõ ý niệm về DSB-SC. Theo hướng miền tần số, ta khảo sát phổ tín hiệu. Phổ của tín hiệu điều chế được cho bởi: M() [ ( m ) ( m )] Phổ gồm hai xung tại vị trí m , vẽ trong hình 4.32a. Phồ của DSB-SC, vẽ theo phương trinh (4.40), là tín hiệu điều chế trong hình 4.32a dời phải (nhân ½), vẽ trong hình 4.32b. Phổ này gồm các xung tại (c m ) và (c m ) . Phổ bên trên gọi là biên tần trên (USB) và phổ nằm ben dưới gọi là biên tần dưới (LSB). Quan sát rằng phổ DSB – SC không chứa thành phần tần số sóng mang . Do đó phương thức này còn gọi là điều chế hai biên triệt sóng mang.
Theo hướng miền thời gian, ta xử lý trực tiếp tín hiệu trong miền thời gian. Với tín hiệu điều chế (tín hiệu nền) m(t) cosmt , tín hiệu DSB – SC DSB SC là 1 m(t)cos t cos t cos t cos(  )t cos(  )t (4.71) DSB SC c m c 2 c m c m Kết quả này cho thấy là khi tín hiệu tần số nền (tin tức) là một sóng sin có tần số m , tín hiệu được điều chế gồm hai thành phần sòng sin: thành phần tần số c m (biên tần trên) và thành phần tần số c m (biên tần dưới). Hình 4.32b vẽ chính xác phổ của tín hiệu . Do đó, từng thành phần tần số trong tín hiệu điều chế tạo hai thành phần tần số và trong tín hiệu được điều chế. Đây là trường hợp của điều chế DSB – SC (triệt sóng mang), không có thành phần sóng mang tần số c trong vế phải của phương trình trên. Giải điều chế DSB – SC Điều chế DSB – SC chuyển hay dời phổ tần số sang trái hay phải của (tức + và – ), theo phương trình (4.70). Để khôi phục tín hiệu gốc m(t) từ tín hiệu được điều chế, ta phải chuyển lại phổ về vị trí ban đầu. Quá trình khôi phục tín hiệu từ tín hiệu được điều chế (dời ngược lại phổ về vị trí ban đầu) được gọi là giải điều chế hay tách sóng. Quan sát thấy nếu phổ của tín hiệu được điều chế trong hình 4.31c, có chứa các thành phần phổ nền (baseband) mong muốn và thành phần phần phổ không mong muốn tại 2c , và có thể loại dùng mạch lọc thông thấp. Như thế, giải điều chế hầu như giống với quá trình điều chế, bao gồm phép nhân tín hiệu được điều chế m(t)cosct với sóng mang cosct rồi qua lạch lọc thông thấp, vẽ trong hình 4.33a. Ta có thể kiểm tra trực tiếp kết luận này trong miền thời gian thông qua quan sát tín hiệu e(t) trong hình 4.33a là 1 e(t) m(t)cos2  t [m(t) m(t)cos 2 t] (4.72a) c 2 c Biến đổi Fourier của tín hiệu : 1 1 E() M () [M ( 2 ) M ( 2 )] (4.72b) 2 4 c c
1 1 Do đó, e(t) gồm hai thành phần m(t) và m(t)cos 2 t , và phổ tương ứng, như vẽ trong hình 2 2 c 4.33b. Phổ của thành phần thứ hai, được điều chế với sóng mang tần số 2c , tập trung tại 2c . 1 Do đó, thành phần này bị loại bằng mạch lọc trong hình 4.33a. Thành phần mong muốn M () , 2 1 là phổ thông thấp (tập trung tại  0), đi qua mạch lọc, tạo sóng ra m(t) . 2 Dạng đặc tính có thể có của mạch lọc thông thấp vẽ (đường chấm) trong hình 4.33b. Phương pháp khôi phục tín hiệu băng thông nền được gọi là tách sóng đồng bộ, hay tách sóng coherent, theo đó ta dùng chính xác cùng tần số (và pha) của sóng mang dùng khi điều chế. Nên để giải điều chế ta cần tạo sóng mang tại máy thu với tần số và pha đồng bộ với sóng mang dùng khi điều chế. Thí dụ 4.18 minh họa để thấy tầm quan trọng của vấn đề về đồng bộ tần số và pha. ■ Thí dụ 4.18 Thảo luận về ảnh hưởng khi thiếu đồng bộ (coherent) của tần số và pha giữa sóng mang tại bộ điều chế (máy phát) và bộ giải điều chế (máy thu) trong DSB – SC . Gọi sóng mang tại bộ điều chế là cosct (hình 4.31a). Tại bộ giải điều chế trong hình 4.33a, ta xem xét hai trường hợp: (1) trường hợp đầu với sóng mang cos(ct ) (sai số pha ) và (2) trường hợp thứ 2 với sóng mang cos(c )t (sai số tần số ). (a) Khi tần số sóng mang tại bộ giải điều chế là (thay vì cosct ), ngõ ra của bộ 2 nhân là e(t) m(t)cosct cos(ct ) thay vì là m(t)cos ct . Dùng đẳng thức lượng giác, ta có: 1 e(t) m(t)cos  tcos( t ) m(t)[cos cos(2 t )] c c 2 c 1 Phổ của thành phần m(t)[cos cos(2 t )] tập trung tại 2 . Do đó, bị bộ lọc 2 c c 1 thông thấp triệt bỏ tại ngõ ra bộ giải điều chế. Thành phần m(t)cos là tín hiệu m(t) nhân 2 1 với hằng số cos . Phổ của thành phần này tập trung tại  0 (phổ thông thấp) và sẽ đi 2 qua mạch lọc thông thấp tại ngõ ra, có được . Nếu  là hằng số, pha không đồng bộ chỉ đơn thuần bị suy giảm tại ngõ ra (với thừa số cos. Điều khoông may là trong thực tế  thường là sai biệt về pha giữa sóng mang do hai máy phát khác nhau tạo ra, thay đổi ngẫu nhiên theo thời gian. Thay đổi này sẽ tạo ngõ ra với độ lợi thay đổi ngẫu nhiên theo thời gian. (b) Trường hợp sai tần số, sóng mang tại bộ giải điều chế là . Tình trạng này rất giống như trường hợp sai pha trong trường hợp (a) với  được thay bằng ( )t . Dùng cách phân tích ở phần (a), biểu diễn được tích tại bộ giải điều chế e(t) là 1 e(t) m(t)cos  tcos( )t m(t)[cos( )t cos(2 )t] c c 2 c
1 Phổ của thành phần m(t)cos(2 )t tập trung tại (2 ). Do đó, bị bộ lọc 2 c c 1 thông thấp triệt bỏ tại ngõ ra bộ giải điều chế. Thành phần m(t)cos( )t là tín hiệu m(t) 2 nhân với sóng mang tần số thấp . Phổ của thành phần này tập trung tại . Trong thực tế, sai biệt tần số ( ) thường rất bé. Do đó, tín hiệu (có phổ tập trung tại ) là tín hiệu thông thấp và qua bộ lọc thông thấp, tạo ngõ ra . Ngõ ra là tín hiệu mong muốn m(t) nhân với sóng sin tần số rất bé cos( )t . Thí dụ, nếu tần số sóng mang tại máy phát và máy thu chỉ sai nhau 1 Hz, thì ngõ ra là tín hiệu mong muốn nhân với tín hiệu thay đổi theo thời gian có độ lợi từ tối đa đến 0 từng nửa giây. ■ 4.7-2 Điều chế biên độ (AM: Amplitude Modulation) Trong sơ đồ triệt sóng mang vừa rồi, máy thu phải tạo được tần số sóng mang đồng bộ về biên độ và pha với sóng mang tại máy phát được đặt cách đó hàng ngàn dậm. Tình trạng này cần có máy thu phức tạp, nên rất tốn kém. Một phương thức khác là máy phát, phát sóng mang Acosct [cùng với tín hiệu được điều chế m(t)cosct ] do đó máy thu không cần tạo sóng mang. Trường hợp này máy phát cần phát công suất lớn hơn, với chi phí tốn kém hơn. Tuy nhiên, trong hệ thống thông tin quãng bá, dùng một máy phát cho rất nhiều máy thu, nên tiêu tốn chi phí cho một máy phát với công suất lớn, đắc tiền, còn máy thu thì đơn giản, rẻ tiền là điều hợp lý. Trường
hợp này thì lựa chọn truyền sóng mang với máy phát là hợp lý. Phương thức truyền này được gọi là điều chế biên độ (điều chế AM: Amplitude Modulation), theo đó tín hiệu truyền AM (t) là: AM (t) Acosct m(t)cosct (4.73a) AM (t) [A m(t)]cosct (4.73b) Nhắc lại: tín hiệu DSB – SC là m(t)cosct . Theo phương trình (4.73b), thì tín hiệu AM giống với tín hiệu DSB – SC với tín hiệu điều chế là A m(t) [thay vì m(t) ]. Do đó, để vẽ , ta vẽ và – [ ] rồi cho vào sóng sin tần số sóng mang. Xét hai trường hợp trong hình 4.34. Trường hợp đầu, A đủ lớn để 0 (là không âm) với mọi giá trị của t. Trường hợp thứ hai, A không đủ lớn để thỏa mãn điều kiện này. Trong trường hợp đầu, đường bao trong hỉnh (4.34d) có cùng hình dạng của . Trường hợp thứ hai, dạng đường bao không giống , một số phần bị nắn đi (hình 4.34e). Do đó, ta có thể khôi phục tín hiệu mong muốn dùng cách tách lấy đường bao trong trường hợp đầu. Trường hợp thứ hai, phương thức tách đường bao như trên không thực hiện được. Ta sẽ thấy là việc tách lấy đường bao là cực kỳ đơn giản và rẽ tiền, do không cần tạo sóng mang cục bộ tại phần giải điều chế. Nhưng ta biết là đường bao của AM chỉ có thông tin về khi tín hiệu AM [A m(t)]cosct thỏa điều kiện > 0 với mọi giá trị của t. Vậy điều kiện cho tách sóng AM là 0 với mọi t (4.74) Nếu mp là biên độ đỉnh (dương hay âm) của m(t) (xem hình 4.34), thì m(t) mp (t) , vậy điều kiện (4.74) tương đương với A (4.75) Vậy biên độ tối thiểu cần cho tách sóng được là , như minh họa trong hình 4.34. Định nghĩa chỉ số điều chế  là m  p (4.76) A Trong đó A là biên độ sóng mang. Chú ý là hằng với tín hiệu . Do A mp và do A không có giới hạn đường bao trên, nên 0  1 (4.77) Là điều kiện cần để giải điều chế AM được từ phương pháp tách sóng đường bao. Khi A mp , phương trình (4.76) cho  1 (quá điều chế). Trường hợp này không dùng được phép tách sóng đường bao Ta phải dùng phương pháp tách sóng đổng bộ. Chú ý là phương pháp tách sóng đồng bộ có thể dùng với mọi giá trị của  (xem bài tập 4.7-4). Phương pháp tách sóng đuuờng bao, được xem là đơn giản và rẻ tiền hơn so với phương pháp tách sóng đồng bộ, chỉ dùng được khi  1. ■ Thí dụ 4.19 Vẽ khi tín hiệu điều chế là  0,5 (điều chế 50%) và  1 (điều chế 100%) khi m(t) Bcosmt . Trường hợp này còn gọi là điều chế tone (tone modulation) do tín hiệu điều chế là tín hiệu thuần sin (hay tone).
Trường hợp này mp B và chỉ số điều chế (theo phương trình 4.76) là B  A Do đó, B A và m(t) Bcos mt Acosmt Vậy AM (t) [A m(t)]cosct A[1  cosmt]cosct (4.78) Hình 4.35a và b vẽ tín hiệu được điều chế tương ứng với  = 0,5 và  = 1. ■ Giải điều chế AM: Tách sóng đƣờng bao Tín hiệu AM có thể được giải điều chế đồng bộ bằng cách tạo ra sóng mang cục bộ (xem bài tập 4.7-4). Tuy nhiên phương thức giải điều chế AM đồng bộ (với  1) có thể làm mất tính tiên dụng của giải điều chế AM, nên ít được dùng trong thực tế. Ta tiếp tục khảo sát phương thức giải điều chế AM không đồng bộ, phương pháp tách sóng đường bao. Trong phương thức tách sóng đường bao, ngõ ra của bộ tách sóng đi theo đường bao của tín hiệu được điều chế ngõ vào. Mạch hình 4.36a là mạch tách sóng đường bao. Trong chu kù dượng của tín hiệu vào, điốđ dẫn và tụ C nạp đến trị đỉnh của điện áp vào (hình 4.36b). Khi tín hiệu vào giảm thấp hơn giá trị đỉnh, điốđ tắt, do điện áp qua tụ (gần giá trị đỉnh) lớn hơn tín hiệu vào, làm điốđ tắt, tụ phóng điện qua điện trở R với hằng số thời gian RC. Trong chu kỳ dương tiếp theo, quá trình tiếp tục: khi tín hiệu vào lớn hơn điện áp tụ, điốđ tiếp tục dẫn, tụ nạp đến trị định của chu kỳ này. Khi điện áp vào thấp hơn trị đỉnh mới, điốđ lại tắt và tụ xả điện từ từ. Do đó, điện áp ra qua tụ vC (t) bám theo đường bao của tín hiệu vào. Quá trình nạp và xả điện của tụ tao tín hiệu nhấp nhô (ripple signal) với tần số tại ngõ ra. Độ nhấp nhô có thể được giảm thiểu bằng cách tăng hằng số thời gian RC ( RC 1/c ). Khi RC quá lớn, tụ không b1m theo được đường bao (xem hình 4,36b). Nên RC cần lớn so với 1/c , nhưng nên nhỏ hơn 1/ 2 B, với B là tần số cao nhất của m(t) . Như thế, hai điều kiện này cần có c 2 B , điều kiện cần để khôi phục được đường bao. Ngõ ra bộ tách sóng đường bao là A m(t) cộng với thành phần nhấp nhô tần số c > Thành phần dc A được loại dùng tụ hay mạch lọc thông cao RC đơn giản. Sóng nhấp nhô
giảm thiểu được từ bộ lọc (thông thấp) RC khác. Trường hợp tín hiệu auđiô, loa không thể đáp ứng với tần số nhấp nhô cao, và tự thân là mạch lọc thông thấp. 4.7-3 Điều chế đơn biên (SSB: Single Side Modulation) Hình 4.37a và 4.37b vẽ phổ sóng băng nền M () , và phổ của tín hiệu được điều chế DSB – SC m(t)cosct . Phổ của DSB trong hình 4.37b có hai biên tần: biên tần trên (USB: Upper Side Band) và biên tần dưới (LSB: Lower Side Band), cả hai đều chứa thông tin về [xem phương trình (4.10)]. Rõ ràng sẽ là thừa khi truyền cả hai biên tần, đòi hỏi hai băng thông của tín hiệu băng nền (baseband). Sơ đồ chỉ truyền một biên tần gọi là truyền đơn biên (SSB: Single Side Band), chỉ cần một nửa khổ sóng của của tín hiệu DSB. Do đó, ta có thể chỉ truyền biên tần trên (hình 4.37c) hay truyền biên tần dưới (hình 4.37d). Tín hiệu SSB cần được giải điều chế đồng bộ. Thí dụ, nhân tín hiệu SSB (hình 4.37c) với cosct làm dời phổ sang trái và sang phải lượng c , có phổ vẽ trong hình 4.37e. Lọc thông thấp tín hiệu này cho ta lại tín hiệu baseband gốc. Tương tự cho trường hợp LSB. Do đó, giải điều chế SSB rất giống với giải điều chế DSB – SC, dùng bộ giải điều chế đồng bộ như vẽ trong hình 4.33a. Chú ý là ta chỉ lấy tín hiệu SSB và không có thêm sóng mang, nên còn được gọi là SSB – SC (triệt sóng mang).
■ Thí dụ 4.20 Tìm các tín hiệu USB (biên tần trên) và LSB (biên tần dưới) khi m(t) cos mt . Vẽ phổ, và chứng tõ các tín hiệu SSB có thể được giải điều chế dùng bộ giải điều chế trong hình 4.33a. Tín hiệu DSB – SC trong trường hợp này là 1 (t) m(t) cos t cos t cos t cos(  )t cos(  )t (4.79) DSB SC c m c 2 c m c m 1 1 Thí dụ 4.17 cho thấy các thừa số cos(  )t và cos(  )t lần lượt biểu diễn biên tần 2 c m 2 c m trên và biên tần dưới. Hình 4.38a và b vẽ phổ của USB và LSB. Quan sát thấy các phổ này có được từ phổ của DSB – SC trong hình 4.32b bằng cách loại bỏ biên tần không mong muốn dùng mạch lọc thích hợp. Thí dụ, tín hiệu USB trong hình 4.38a có được bằng cách cho tín hiệu DSB – SC (hình 4.32b) qua mạch lọc thông cao với tần số cắt c . Tương tự, tín hiệu LSB trong hình 4.38b có được bằng cách cho tín hiệu DSB – SC (hình 4.32b) qua mạch lọc thông thấp với tần số cắt c .
1 Nếu ta cho tín hiệu LSB cos(  )t đến bộ giải điều chế trong hình 4.33a, ngõ ra bộ 2 c m nhân là: 1 1 e(t) cos(  )tcos t [cos t cos(2  )t] 2 c m c 4 m c m 1 Thừa số cos(2  )t bị triệt dùng mạch lọc thông thấp, kết quả là tín hiệu mong muốn 4 c m 1 cos  t (chính là m(t) / 4). Phổ của thừa số này là ( / 4)[ (  )  (  )] vẽ trong hình 4 m 0 0 4.38c. Tương tự có thấy là tín hiệu USB có thể được giải điều chế dùng bộ tách sóng đồng bộ. Trong miền tần số, giải điều chế (nhân với cosct để dời phổ LSB (hình 4.38b) sang trái lượng c (nhân với ½) rồi triệt tần số cao, như vẽ trong hình 4.38c). Phổ biểu diễn tín hiệu mong 1 muốn m(t) . 4
Tạo tín hiệu SSB Hai phương pháp thường dùng để tạo tín hiệu SSB. Phương pháp đầu tiên là phƣơng phá p lọc – chọn dùng bộ lọc với độ chọn lọc cao để loại các biên tần không mong muốn, và phương pháp thứ hai dùng mạng dịch pha để thực hiện mục tiêu trên. Phần này chỉ khảo sát phương pháp thứ nhất. Phương pháp lọc - chọn là phương pháp được dùng nhiều nhất để tạo tín hiệu SSB. Trong phương pháp này, tín hiệu DSB – SC được đi qua bộ lọc (sharp cutoff filter) để triệt biên tần không mong muốn. Để có tín hiệu USB, bộ lọc cho qua mọi thành phần có tần số cao hơn c , và triệt hoàn toàn các thần số thấp hơn . Điều này cần phải có bộ lọc lý tưởng, tức là không thực hiện được. Tuy nhiên, có thể thực hiện gần đúng nếu có một số phân cách giữa passband và stopband. May mắn là tín hiệu thoại (tiếng nói) cung cấp được điều kiện này, do có phổ vẽ ở hình 4.39 cho thấy là các thành phần có tần số thấp hơn 300 Hz là không quan trọng, tức là ta có thể triệt các thành phần tần số âm thoại thấp hơn 300 HZ mà không làm ảnh hưởng đến thông tin. Nhờ vậy, việc lọc biên tần không mong muốn rất dễ cho tín hiệu thoại do ta còn có vùng chuyển tiếp 600Hz quanh tần số cắt . Trường hợp các tín hiệu tần số thấp (có công suất tương đối tập trung quanh  0 ) thì phương pháp SSB tạo méo dạng tín hiệu lơn. Thí dụ trường hợp tín hiệu vieđêo. Do đó, thay vì dùng SSB, ta dùng kỹ thuật VSB (vestigal sideband), kết hợp các ưu điểm của SSB và DSB và bỏ đi các yếu điểm của hai phương pháp này. Tín hiệu VSB tương đối dễ tạo ra, còn băng thông thì chỉ hơi lớn hơn trường hợp SSB (khoảng 25%). Trong tín hiệu VSB, thay vì loại hoàn toàn một biên tần (như trong SSB) ta chấp nhấp cắt dần dần một biên tần. 4.8 Điều chế góc. Sóng sin được đặc trưng bằng biên độ và góc (bao gồm tần số và pha). Trong các tín hiệu được điều chế biên độ, thông tin chứa trong tín hiệu baseband (tin tức) m(t) xuất hiện trong độ thay đổi cũa sóng mang. Trong phƣơng pháp điều chế góc, thông tin chứa trong m(t) do góc của sóng mang truyền đi. Điều chế góc còn được gọi là điều chế dạng mủ. Sóng mang được điều chế góc (điều chế hàm mủ) thường được mô tả theo EM (t) Acos[ct k (t)] (4.80) Trong đó k là hằng số bất kỳ và  (t) là đo lường của m(t) , có được từ toán tử tuyến tính khả nghịch lên . Nói cách khác, là ngõ ra của hệ thống tuyến tính nào đó, có ngõ vào là và hàm truyền H(s) , như vẽ trong hình 4.40. Nếu h(t) là đáp ứng xung đơn vị của hệ thống, tức là nếu h(t) H(s) , thì t  (t) m m( )h(t )d (4.81) Nếu chọn thích hợp, ta có thể có nhiều lớp con điều chế góc. Thí dụ, nếu chọn h(t) u(t) , thì kết quả ta có dạng điều chế nổi tiếng là điều chế tần số (FM: Frequency Modulation). Ngược lại, khi chọn h(t)  (t) ta có điều chế pha (PM: Phase Modulation). Ngoài ra còn có thể còn nhiều khả năng khác. Mặc dù, trong thông tin số, kỹ thuật điều chế tần số và điều chế pha rất thường gặp,
tuy nhiên, trong thông tin quảng bá FM, thì đây không phải là dạng FM truyền thống, mà là dạng tổng quát của điều chế pha và có thêm mạch lọc nâng trƣớc (preemphasis filter) dùng cải thiện khả năng triệt nhiễu, do đó có sự cải tiến trong kỹ thuật FM để có tính năng tốt hơn. Trong điều chế biên độ, tần số sóng mang là hằng số và biên độ thì tay đổi theo m(t) . Ngược lại, trong điều chế góc, biên độ sóng mang thường là không đổi, nhưng tần số sóng mang thay đổi liên tục theo tin tức . Từ định nghĩa, sóng sin cần có tần số không đổi; do đó, sự thay đổi tần số theo thời gian có vẽ là nghịch lý so với định nghĩa truyền thống về tần số sóng sin. Do đó, ta cần tổng quát ý niệm sóng sin nhằm tạo ý niệm về thay đổi tần số theo thời gian. Điều này. dẫn đến ý niệm về tần số tức thời. 4.8-1 Ý niệm về tần số tức thời Như đã thấy, tần số sóng mang thay đổi liên tục theo từng thời điểm trong FM. Thoạt nhìn, điêu này có vẽ vô lý vì theo định nghĩa của tần số, ta phải có tín hiệu sin với ít nhất một chu kỳ tần số giống nhau. Ta không thể tưởng tượng sóng sin mà tần số lại thay đổi theo từng chu kỳ. Vấn đề này nhắc nhở ta phải quan tâm đến ý niệm về vận tốc tức thời trong giáo trình nhập môn về cơ học. Cho đến lúc này, ta chỉ nghĩ là vận tốc là hằng số trong khoảng thời gian, và ta không nghĩ là vận tốc có thể thay đổi theo thời gian. Xét tín hiệu sóng sin tổng quát (t) cho bởi (t) Acos(t) (4.82) Trong đó (t) là góc tổng quát, là hàm theo thời gian t. Hình 4.41 minh họa một trường hợp của (t) . Góc tổng quát của sóng sin truyền thống Acos(ct 0 ) là ct 0 và được vẽ là đường thẳng có độ dốc c là cắt 0 trong hình 4.41. Hình vẽ (t) trong trường hợp giả định là tiệm cận với góc ( ), tại thời điểm t. Điểm mấu chốt là trong khoảng nhỏ t 0, tín hiệu (t) Acos(t) và sóng sin là giống nhau, tức là: (t) Acos(ct 0 ) t1 t t2
Có thể nói rằng trong khoảng thời gian bé t này, tần số của (t) là c . Do (ct 0 ) tiếp tuyến với là độ dốc của góc (t) trong thời gian bé. Ta có thể tổng quát ý niệm này tại mỗi thời điểm và nói rằng tần số tức thời i tại thời điểm t là độ dốc của tại t. Vậy trong phương trình (4.82), tần số tức thời i (t) là d  (t) (4.83a) i dt t (t) i ( )d (4.83b) Đối với sóng sin truyền thống Acos(ct 0 ) , ta có (t) ct 0 và i (t) d / dt c là hằng số, như mong muốn. Rõ ràng thò định nghĩa tổng quát về tần số tức thời không xung đột với ý niệm truyền thống về tần số. Bây giờ, ta xem xét khả năng truyền thông tin của m(t) bằng cách thay đổi góc  của sóng mang. Có hai khả năng là điều chế pha PM (phase modulation) và điều chế tần số FM (frequency modulation). Trong trường hợp PM, góc thay đổi tuyến tính theo : (t) ct k pm(t) (4.84a) Trong đó k p là hằng số và c là tần số sóng mang. Sóng PM có được là: PM (t) Acos[ct k pm(t)] (4.84b) Tần số tức thời i (t) trong trường hợp này là d  (t)  k m(t) (4.84c) i dt c p Vậy trong điều chế pha, tần số tức thời thay đổi tuyến tính theo đạo hàm của tín hiệu điều chế. Nếu tần số tức thời thay đổi tuyến tính theo tín hiệu điều chế, ta có phương pháp điều chế tần số. Do đó, trong FM. Tần số tức thời là i (t) c k f m(t) (4.85a) Với k f là hằng số. Phương trình (4.83b) cho ta góc (t) là: t t (t) [c k f m( )d ] ct k f m( )d (4.85b) Trường hợp này, ta giả thiết là thừa số hằng trong là zêrô mà không làm mất đi tính tổng quát. Vậy, sóng FM là t (t) Acos[ t k m( )d (4.85c) FM c f Quan sát là cả PM và FM là các trường hợp của tín hiệu được điều chế hàm mủ EM (t) trong phương trình (4.80). Nếu h(t)  (t) trong phương trình (4.81), rồi dùng đặc tính lấy mẩu của xung trong phương trình (4.81), ta có  (t) m(t) , và phương trình (4.80) giảm thành PM trong phương trình (4.84b). Tương tự, nếu h(t) u(t) , và sự kiện u(t ) 1 trong khoảng t ta có m( )h(t )d m( )d , và phương trình (4.80) giảm thành FM trong phương trình (4.85c).
Tất cả trong một Phương trình (4.84b) và (4.85c) cho thấy PM và FM không chỉ giống nhau mà còn không thể t tách rời nhau được. Thay m(t) trong phương trình (4.84b) bằng m( )d làm thay đổi từ PM thành FM. Tương tự, sóng PM tương ứng với là sóng FM tương ứng với m (t) (hình 4.42b). Ta kết luận là khi mới nhìn vào sóng điều chế góc, thì không thể biết đó là FM hay PM, thực ra, điều này không cần thiết để biết sóng điều chế góc là PM hay FM. Ta đã thấy là PM hay FM không phải là các dạng điều chế khác, nhưng là hai trường hợp đặc biệt của phương pháp điều chế góc tổng quát. Điều này rất hữu ích do ta có thể hoán chuyển từ một dạng điều chế góc này (thí dụ PM) sang một dạng điều chế góc khác (thí dụ FM). Việc hoán chuyển này được minh họa trong hình 4.42. Thí dụ, ta thấy là băng thông của FM xấp xỉ là 2k f mp , với mp là biên độ đỉnh của . Ta có thể tìm ra kết quả tương tự cho PM từ hình 4.42b, Cho thấy PM chính là FM khi tín hiệu điều chế là . Rõ ràng, băng thông của PM xấp xỉ là 2k f m' p , với m' p là biên độ đỉnh của . Điều này cho thấy là nếu ta phân tích một dạng điều chế góc (thí dụ FM) ta có thể dễ dàng mở rộng sang một dạng điều chế góc khác. Về mặt lịch sử, ý niệm về điều chế góc bắt đầu với FM. Do đó, thường ta bắt đầu phân tích sóng FM rồi mới chuyển kết quả sang các dạng điều chế góc khác. Tuy nhiên, điều này không có nghĩa là FM có ưu điểm hơn so với các dạng điều chế góc khác. Ngược lại, PM có ưu điểm hơn so với FM trong hầu hết các tín hiệu analog như là tín hiệu auđiô và viđêo. Thực ra, tính ưu việt không từ PM hay FM, nhưng lại phụ thuộc vào bản chất của tín hiệu tin tức (băng nền). Phần trên cho thấy là không nhất thiết phải thảo luận phương pháp tạo lập và giải điều chế từng loại điều chế. Hình 4.42 cho thấy là có thể tạo PM từ máy phát FM, và ngược lại có thể tạo FM từ máy phát PM. Một trong những phương pháp tạo sóng FM trong thực tế (hệ thống FM không trực tiếp Armstrong) là tích hợp và dùng trong điều chế pha cho sóng mang. Chú ý tương tự khi giải điều chế FM và PM.
■ Thí dụ 4.21 Vẽ sóng FM và PM cho tín hiệu điều chế m(t) vẽ trong hình 4.43a. Các hằng số k f và k p 5 lần lượt là 2 (10 ) và 10 , và tần số sóng mang Fc là 100 MHz. Trƣờng hợp FM (xem phương trình 4.85a) i (t) c k f m(t) . Chia cho 2 , ta có phương trình theo biến Fc (tần số tính theo Hz). Tần số tức thời Fi là k F F f m(t) 108 105 m(t) i c 2 8 5 (Fi )min 10 10 [m(t)]min 99,9MHz 8 5 (Fi )max 10 10 [m(t)]min 100,1MHz Do tăng và giảm tuyến tính theo thời gian, tần số tức thời tăng tuyến tính từ 99,9 và 100,1 MHZ trong nửa chu kỳ và giảm tuyến tính từ 100,1 đến 99,9 MHz trong nửa chu kỳ còn lại của tín hiệu điều chế (hình 4.43b). Trƣờng hợp PM PM cho là FM cho m (t) . Điều này thể hiện từ phương trình (4.84c) hay hình 4.42c. k F F p m (t) 108 5m (t) i c 2 8 8 5 (Fi )min 10 5[m (t)]min 10 10 99,9MHz 8 8 5 (Fi )max 10 5[m (t)]min 10 10 100,1MHz Do m (t) chuyển tới và lui từ giá trị - 20.000 đến 20.000, tần số sóng mang chuyển tới và lui từ 99,9 và 100,1 MHZ trong nửa chu kỳ của như vẽ trong (hình 4.43d). Phương pháp gián tiếp để vẽ PM (dùng để điều chế tần số sóng mang) hoạt động bao lâu mà còn là liên tục. Nếu là gián đoạn, chứa các xung, và phương pháp này không còn thích hợp. Trong trường hợp này, nên dùng phương pháp trực tiếp như trong thí dụ kế.
4.8-2 Băng thông của các tín hiệu điều chế góc Khác với phương pháp điều chế biên độ, không có quan hệ đơn giản cho sóng tín hiệu băng nền (tin tức) với sóng điều chế góc tương ứng. Điều này cũng đúng cho phổ của chúng. Từ bản chất phi tuyến trong điều chế góc, việc tìm phổ tần số EM () của tín hiệu điều chế góc là cực kỳ phức tạp và chỉ có thể có được trong một số trường hợp đặc biệt. Thông thường, băng thông của tín hiệu đều chế góc là vô hạn ngay khi băng thông của tín hiệu tin tức là có giới hạn. Ta sẽ thử tính băng thông chủ yếu của một tín hiệu điều chế góc. Hảy bắt đầu với tín hiệu điều chế góc trong phương trình (4.80), và xem xét trường hợp đẩu tiên của k ( k 0). EM (t) Acos[ct k (t)] Acosct cos[k (t)] Asinct sin[k (t)] Acosct Ak (t)sinct (4.86) So sánh vế phải của biểu thức với AM (t) trong phương trình (4.73a) cho thấy hai biểu thức tương tự nhau. Thừa số thứ nhất là sóng mang, và thừa số thứ hai biểu diễn các biên tần, có cùng dạng với tín hiệu DSB – SC tương ứng với tín hiệu băng nền Ak (t) . Khác biệt cơ bản là sóng mang là sin thay vì là cos. Điều này tức là pha của sóng mang cách nhau / 2 . Do đó, băng thông của tín hiệu điều chế góc giống với tín hiệu AM tương ứng có tín hiệu băng nên là  (t) . Nếu m(t) có băng thông giới hạn là B Hz, thì băng thông của  (t) cũng là B Hz. Vậy, băng thông của EM (t) là 2B Hz, giống như trường hợp AM. Tuy nhiên, điều này chỉ đúng khi . Ta hảu xem xét trường hợp tổng quát hơn. Trong điều chế góc, tần số sóng mang thay đổi từ giá trị đứng nghĩ c . Gọi độ dời tần tối đa của tần số sóng mang là  . Nói khác, tần số sóng mang thay đổi từ c  đến c  . Do tần số sóng mang luôn duy trì trong băng tần có độ rộng là 2  radian/s, ta có thể nói là phổ có được là năm trong băng tần này và băng thông của tín hiệu điều chế góc là không? Điều này khẳng định là khi sóng sin có tần số tức thời là x , thì phổ có được chỉ tập trung tại x . Điều này chỉ đúng khi sóng mang có độ rộng hữu hạn. Khi tín hiệu sin có tần số hữu hạn , thì phổ không chỉ tập trung trung tại , nhưng trải ra hai bên của , như vẽ trong hình 4.24d của thí dụ 4.12. Trong tín hiệu điều chế góc tiêu biểu thì tần số sóng mang tỉ lệ trực tiếp với m(t) là hàm theo t. Do đó, tần số tức thời cũng sẽ thay đổi liên tục theo t. Tính dời liên tục theo tần số sẽ tạo phổ trải ra quanh . Rõ ràng, băng thông của tín hiệu điều chế góc sẽ lớn hơn rad/s. Nhưng lơn hơn bao nhiêu? Xem lại kết quả có từ trường hợp . Trước hết, ta cần xác định  . Từ phương trình (4.80), ta có i (t) c k f(t) (4.87) Nếu biên độ đỉnh của (t) là  ' p t) , thì tần số sóng mang thay đổi từ c k ' p đến c k ' p . Do đó:  k ' p (4.88a) Độ dời tần số sóng mang F tính theo Hz là:  k F  ' (4.88b) 2 2 p
Như đã trình bày, do phổ rải, nên băng thông tín hiệu điều chế góc hơi lớn hơn 2 F . Gọi băng thông thực BEM (Hz) là k B 2 F X  ' X (4.89) EM 2 p Với X là ẩn, và để xác định, ta hảy trở về trường hợp k 0, ta thấy băng thông là 2B . Nhưng theo phương trình (4.89) thì đây là băng thông của X khi . Vậy X 2B , và BEM 2( F B) Hz (4.90) Chú ý là khi , F 0 và F B. Nói cách khác khi k rất lớn, F B . Trường hợp đầu gọi là điều chế góc băng hẹp, còn trường hợp thứ hai gọi là điều chế góc băng rộng. Nhắc lại với FM, (t) m(t) và  ' p (t) mp , với mp là biên độ đỉnh của m(t) . Tương tự, với PM,  (t) m(t) . Do đó,  ' p m' p với m' p là biên độ đỉnh của m (t) . Vậy: k k F f m và F p m' (4.91) FM p PM p Ta thấy đươc điều thú vị trong điều chế góc. Băng thông của tín hiệu điều chế góc được điều chỉnh thông qua việc chọn thích hợp giá trị của F hay các hằng số k ( k f cho FM, và k p cho PM). Điều chế biên độ không có tính chất này. Băng thông của từng sơ đồ AM là cố định. Đây là nguyên lý tổng quát trong lý thuyết thông tin khi mở rộng băng thông của tín hiệu làm tăng tính chống nhiễu khi truyền dẫn. Do đó, khi tăng băng thông truyền dẫn làm tín hiệu điều chế góc càng tăng tính chống nhiễu. Hơn nữa, tính chất này cho phép giảm công suất tín hiệu với củng chất lượng truyền dẩn. Vậy, điều chế góc cho phép ta giảm công suất khi tăng băng thông. Ngoài ra, do có biên độ không đổi nên phương pháp điều chế góc có ưu điểm lớn so với điều chế biên độ, do ít bị ảnh hưởng của méo phi tuyến. Ta sẽ thấy trong phần 4.8-3 là không có méo khi ta cho tín hiệu điều chế góc qua linh kiện phi tuyến với quan hệ vào –ra là y(t) x2 (t) n [trường hợp tổng quát y(t) an x (t) ]. Yếu tố phi tuyến này rất nguy hiểm trong hệ thống điều chế biên độ. Đây là lý do cơ bản làm cho phương thức điều chế góc được dùng trong các hệ thống chuyển tiếp vi ba, trong đó không thể tránh mạch khuếch đại và các linh kiện có tính phi tuyến, và cần có mức công suất cao. Hơn nữa, biên độ không đổi của FM cho phép chống được nhiễu do pha đing nhanh. Ảnh hưởng của sự thay đổi biên độ do yếu tố pha định nhanh có thể tránh được dùng hệ thống tự điều khuếch và phương pháp băng thông giới hạn. Điều chế góc còn ít bị ảnh hưởng của nhiễu giao thoa giữa các kênh kề cận. Nhưng cái giá phải trả là phải tăng băng thông. Ta se chứngminh được là với cùng băng thông, phương pháp điều chê xung mã (PCM) sẽ trình bày trong chương 5, có tính ưu việt hơn so với điều chế góc. 4.8-3 Tạo và giải điều chế tin hiệu điều chế góc Trong phương trình (4.86), ta thấy tín hiệu điều chế góc băng hẹp (hay hàm mủ) (NBEM: narrowband angle (exponential) modulated) gồm thừa số sóng mang và thừa số DSB – SC có sóng mang dời pha /2. Do đó, ta có thể tạo tín hiệu này theo các bước ở phần 4.7. Điều chế băng rộng (WBEM : wideband) có thể tạo từ NBEM bằng cách cho tín hiệu NBEM qua linh kiện phi tuyến. Thí dụ, xét linh kiện phi tuyến có ngõ vào x(t) và ngõ ra y(t) theo quan hệ y(t) x2 (t) . Nếu ngõ vào là tín hiệu điều chế góc cos[ct k (t)], thì ngõ ra là: 1 1 y(t) cos2[ t k (t)] cos[2 t 2k (t)] c 2 2 c
Khi cho tín hiệu này qua mạch lọc thông dải có tần số trung tâm là 2c , ngõ ra sẽ là: 1 z(t) cos[2 t 2k (t)] 2 c Nhận thấy thành phần phi tuyến bậc hai đã nhân đôi tần số sóng mang cùng với giá trị hiệu dụng của k mà không làm méo dạng nào. Tương tự, ta chứng minh được là phi tuyến bậc n tăng n lần tần số sóng mang cùng giá trị hiệu dụng của k. Điều này cho phép chuyển từ tín hiệu điều chế góc băng hẹp NBEM sang tín hiệu điều chế góc băng rộng WBEM. Ta còn có thể tạo tín hiệu điều chế góc dùng phương pháp gián tiếp, bằng cách dùng bộ dao động điều khiển bằng điện áp (VCO: voltage controlled oscillator). Ngõ ra của bộ VCO là tín hiệu sin có biên độ không đổi, có tần số tức thời thay đổi trực tiếp với điện áp vào m(t) . Rõ ràng, bộ VCO là máy phát FM. Như đã thảo luận trước đây thì máy phát FM, qua một số thay đổi nhỏ, thì có thể tạo nên bất kỳ dạng điều chế góc nào. Giải điều chế Phần này thảo luận phương pháp giải điều chế FM. Như đã giải thích, bộ giải điều chế FM, qua một số thay đổi nhỏ, thì có thể được dùng giải mã bất kỳ dạng điều chế góc nào. Do tần số tức thời của sóng FM tăng tuyến tính với tín hiẹu băng nền , và bộ giải điều chế FM là linh kiện có ngõ ra tỉ lệ với tần số tín hiệu vào. Do đó, độ lợi H() của bộ giải điều chế FM phải có dạng c1 c2 . Bộ vi phân lý tưởng có được đặc tính này. Nếu ngõ vào của bộ vi phân lý tưởng là tín hiệu điều chế góc x(t) cos[ct k (t)] , thì ngõ ra là: dx(t) y(t) [ k(t)]sin[ t k (t)] [ k(t)]sin[ t k (t) ] dt c c c c Ngõ ra cũng là tín hiệu điều chế góc, với đường bao là ct k(t). Do đó, bộ vi phân lý tưởng bám theo bằng bộ tách đường bao sẽ tạo được ngõ ra . Sau khi loại phần phần dc, ta t có được ngõ ra mong muốn là k(t) . Nhắc lại là với FM,  (t) m( )d . Do đó, (t) m(t) . Một linh kiện khác có thể dùng giài điều chế FM là mạch điều hợp (tuned circuit) có tần số cộng hưởng được chọn trên hay dưới tần số sóng mang của tín hiệu FM cần giải điều chế. Đáp ứng tần số của mạch điều hợp chỉnh lệch (dưới tần số cộng hưởng) là xấp xỉ tuyến tính với tần số vào (ít nhất trong một dải tần nhỏ). Sơ đồ dạng này do chịu ảnh hưởng độ dốc của của mạch điều hợp chỉ tuyến tính trong một dải tần nhỏ nên ngõ ra bị méo dạng. Có thể sửa chửa một phần dùng bộ tách sóng cân bằng (balanced discriminator) dùng hai mạch cộng hưởng, một chỉnh ở tần số trên c và một được chỉnh ở tần số thấp hơn c . Hiện nay, vòng khóa pha (PLL: phase - locked loop) ưu việt hơn so với các phương pháp đã thảo luận trước đây (đặc biệt trong điều kiện môi trường có nhiều nhiễu) càng trở nên phổ biến trong bộ giải điều chế góc do có giá thành ngày càng thấp. Đọc thêm phần tham khảo 4 về các phương pháp điều chế và giải điều chế góc.
4.8-4 Ghép kênh bằng cách phân chia theo thời gian FDM: Ghép kênh tín hiệu cho phép truyền đồng thời nhiều tín hiệu trên cùng kênh truyền. Trong chương 5, ta sẽ thảo luận về phương pháp ghép kênh dùng cách phân chia theo thời gian (TDM), với nhiều tín hiệu được truyền theo cách phân phối thời gian trên một kênh truyền, như cáp hay cáp quang. Trong phương pháp ghép kênh dùng cách phân chia theo tần số (FDM: Frequency Division Multiplexing), qua việc dùng phương pháp điều chế với nhiều tín hiệu, mỗi tín hiệu đượ điều chế với tần số sóng mang khác nhau, để chia sẻ băng thông của kênh truyền như vẽ trong hình 4.45. Các sóng mang khác nhau được phân cách đủ để không bị trùng lắp (giao thoa) giữa phổ của các tín hiệu được điều chế. Các sóng mang được gọi là sóng mang phụ. Mỗi tín hiệu có thể dùng nhiều dạng điều chế khác nhau (thí dụ DSB – SC, AM, SSB – SC, VSB – SC hay ngay cả FM hay PM). Phổ các tín hiệu được điều chế có thể được phân cách dùng một dải bảo vể để tránh giao thoa và giúp máy thu chọn lọc dễ dàng hơn. Khi tất cả các phổ tín hiệu được điều chế được thêm vào, ta có tín hiệu hỗn hợp được xem như tín hiệu băng nền. Đôi khi, tín hiệu hôõn hợp này có thể được dùng cho điều chế khác ở tần số sóng mang cao hơn (tần số rađiô, hay RF) để truyền đi. Tại máy thu, tín hiệu thu trước hết được giải điều chế dùng sóng mang RF để khôi phục tín hiệu hỗn hợp băng nền, rổi đưa qua bộ lọc thông dải để tách từng tín hiệu được điều chế. Sau đó, các tín hiệu này được giải điều chế riêng biệt với sóng mang thích hợp để có được các tín hiệu băng nền gốc.
4.9 Giới hạn tín hiệu: Hàm cửa sổ. Ta thường cần giới hạn tín hiệu trong nhiều trường hợp khác nhau, từ việc tính toán số học hay thiết kế mạch lọc. Thí dụ, khi cần tính toán số của biến đổi Fourier của một số tín hiệu, thí dụ e tu(t) trên máy tính, ta sẽ phân tín hiệu e tu(t) với giá trị đủ lớn của t (thường là năm lần hằng số thời gian). Lý do là khi tính toán số, ta cần xử lý dữ liệu có chiều dài hữu hạn. Tương tự, đáp ứng xung h(t) của bộ lọc lý tưởng là không nhân quả, và tiệm cận về zêrô khi t . Để thiết kế thực tế, ta cần giới hạn trong tầm giá trị đủ lớn của t để làm cho thành nhân quả. Khi lấy mẩu tín hiệu, để tránh trùm phổ (aliasing) ta cần giới hạn phổ tín hiệu trong nửa tần số lấy mẩu s / 2, dùng bộ lọc chống trùm phổ. Một lần nũa, khi ta muốn tổng hợp tín hiệu tuần hoàn bằng cách cộng n sóng hài đầu tiên và giới hạn các sóng hài bậc cao hơn, Các thí dụ này cho thấy việc giới hạm dữ liệu có thể xuất hiện trong cả miền thời gian và miền tần số. Trên mắt phẳng thì việc giới hạn có vẽ như là bài toán đơn giản bằng cách cắt bớt dữ liệu tại điểm được cho là đủ nhỏ. Điều không may là thực tế không phải như vậy, phương pháp giới hạn đơn giản có thể tạo ra thêm rắc rối. Hàm cửa sổ Tác động giới hạn có thể được xem là việc nhân tín hiệu có độ rộng lớn với hàm cửa sổ có chiều rộng bé hơn. Giới hạn đơn giản thường dùng hàm cửa số vuông wR (t) (hình 4.48a) trong đó, ta đặt trọng số là đơn vị cho mọi dữ liệu trong cửa số có chiều rộng t T / 2 , và cho trọng số là zêrô các dữ liệu nằm ngoải cửa số t T / 2 . Ngoải ra còn có thể dùng cửa số theo đó dữ liệu bên trong cửa sổ có thể không là hằng số. Thí dụ, trong cửa số tam giác wT (t) , theo đó, trọng số giảm tuyến tính theo chiều rộng cửa số (hình 4.48b). Xét tín hiệu f (t) và hàm cửa số w(t) . Nếu f (t) F() , và w(t) W() , và nếu hàm qua cửa sổ (bị giới hạn) fw (t) Fw () thì 1 f (t) f (t)w(t) và F () F() W() w w 2 Dùng đặc tính về độ rộng của phép tích phân chập, ta thấy độ rộng của Fw () bằng tổng của độ rộng của F() và W() . Do đó, giới hạn tín hiệu làm tăng băng thông một lượng là băng thông của w(t) . Rõ ràng giới hạn tín hiệu làm làm phổ trải ra một lượng bằng băng thông của w(t) . Nhắc lại là băng thông tín hiệu là tỉ lệ nghịch với độ rộng tín hiệu. Do đó, cửa sổ càng rộng thì băng thông càng hẹp, và trải phổ càng hẹp. Kết quả này là dự báo được do cửa sổ càng rộng tức là ta chấp nhận them dữ liệu (xấp xỉ càng đúng), càng làm giảm méo (độ trải phổ càng bé đi)/ CỬa sổ càng hẹp (xấp xỉ xấu hơn) làm độ trải phổ càng tăng (méo tăng lên). Ngoài ra còn có thêm tác động do W() thực ra không phải là băng thông được giới hạn nghiêm ngặt, và phổ chỉ 0 một cách tiệm cận. Điều này cũng làm cho phổ Fw () 0 một cách tiệm cận với cùng tốc độ của , ngay cả khi có phổ được giới hạn nghiêm ngặt. Như thế, tạo cửa sổ làm cho phổ của bị rò ở dải tần được gia sử là zêrô. Hiện tượng này được gọi là rò phổ. Hai ảnh hưởng này, trải phổ và rò phổ, sẽ được thí dụ sau làm rõ.
t Thí dụ, xét f (t) cos0t và hàm cửa sổ vuông wR (t) rect , trong hình 4.46b. Lý do T chọn f (t) là sin do có phổ gồm nhiều đường phổ có độ rộng là zêrô (hình 4.46a). Chọn lựa này cho phép thấy được ảnh hưởng của phổ rải và yếu tố rò phổ. Phổ của tín hiệu giới hạn fw (t) là tích phân chập của hai xung của F() với phổ sinc của hàm cửa sổ. Do phép tích phân chập của hàm bất kỳ với xung là chính hàm này (dời đến vị trí của xung), phổ có được từ tín hiệu bị giới hạn là hai xung sinc (nhân với 1/2 ) tại 0 , vẽ trong hình 4.46c. So sánh phổ của và Fw () cho thấy ảnh hưởng của giới hạn. Đó là: 1. Các đường phổ của có độ rộng zêrô. Nhưng tín hiệu được giới có phổ trải ra 4 /T quanh mỗi đường phổ. Lượng rải bằng với độ rộng của búp chính (mainlobe) của phổ cửa sổ. Một ảnh hưởng là yếu tố rải phổ, tức là nếu f (t) có hai thành phần phổ tần số cách nhau ít hơn 4 /T rad/s (2/T Hz), nên không thể phân biệt được chúng khi tín hiệu có giới hạn. Kết quả là độ phân giải phổ bị mất đi. Ta cần có rải phổ (độ rộng của búp chính) càng bé càng tốt. 2. Bên cạnh vấn đề rải của búp chính, tín hiệu có giới hạn còn có các búp biên (sidelobes), suy giảm chậm theo thời gian. Phổ của f (t) là zêrô tại mọi nơi khác . Mặt khác, phổ
của tín hiệu có giới hạn Fw () là không còn là zêrô do có búp biên. Các búp biên nay giảm theo 1/ . Do đó, giới hạn tạo rò phổ trong dải tần mà phổ của f (t) là zêrô. Đỉnh của búp biên là 0,217 lần biên độ búp chính (13,3 dB dưới biên độ đỉnh búp chính. Đồng thời, búp biên giảm theo , tức là – 6dB/octave (hay – 20 dB/decade). Đây là tốc độ rolloff của búp biên. Ta cần có búp biên nhỏ hơn và tốc độ giảm nhanh hơn (tốc độ rolloff lớn hơn). Hình 4.46d vẽ WR () (tính theo dB) là hàm theo . Hình này cho thấy rõ tính năng của búp chính và búp biên, với biên độ cũa búp biên là – 13,3 dB dưới biên độ búp chính, và tốc độ giảm của búp biên là – 6 dB/octave (hay – 20 dB/decade). Ta chỉ mới thảo luận về tín hiệu có giới hạn (giới hạn trong miền thời gian) của phổ tín hiệu. Nhờ tính đối ngẫu thời gian –tần số, ảnh hưởng của giới hạn phổ (giới hạn trong miền tần số) của hình dạng tín hiệu cũng tương tự. Khắc phục ảnh hƣơng phụ của giới hạn Để có kết quả tốt hơn, ta phải tìm cách giảm thiểu hai ảnh hưởng của tác dụng phụ là rải phổ (của búp chính) và rò phổ (búp biên). Hảy xét từng yếu điểm này. 1. Rải phổ (độ rộng búp chính) của tín hiệu giới hạn là bằng với băng thông của hàm cửa số w(t) . Ta biết là băng thông của tín hiệu tỉ lệ nghịch với độ rộng của tín hiệu (thời gian tồn tại). Do đó, để giảm rải phổ (độ rộng búp chính), ta cần tăng độ rộng cứa số. 2. Để cải thiện yếu tố rò phổ, ta phải tìm kiếm nguyên nhân làm búp biên giảm chậm. Trong chương 3, ta đã biết là phổ Fourier giảm theo 1/ cho tín hiệu có bước nhảy gián đoạn, và giảm theo 1/ 2 với tín hiệu có đạo hàm bậc nhất gián đoạn, v.v ,. Độ mịn (smoothness) của tín hiệu được đo từ số đạo hàm liên tục của tín hiệu. Tín hiệu càng mịn, thì phổ giảm càng nhanh. Do đó, ta có thể giảm tác động rò phổ bằng cách chọn hàm cửa sổ có độ mịn thích hợp. 3. Với cùng độ rộng cửa sổ, các cách khác phục của hai ảnh hưởng lại không tương thích nhau. Khi ta có cải thiện yếu tố này, thì lại làm xấu đi yếu tố khác. Thí dụ, trong các độ rộng cửa sổ, thì cửa sổ vuông có rải phổ bé nhất (độ rộng búp chính), nhưng lại có búp biên độ có biên độ cao nhất và giảm chậm nhất. Loại cửa số hình nón (mịn) có cùng độ rộng nhưng lại có búp biên bé va giảm nhanh nhất, nhưng búp chính lại rộng hơn. Nhưng ta có thể tăng độ rộng cửa sổ để giảm biên độ búp chính. Vậy ta có thể khắc phục cả hai yếu điểm của giới hạn bằng cách chọn cửa sổ đủ mịn và độ rộng đủ lớn. Có nhiều dạng hàm cửa sổ hình hình nón nổi tiếng như cửa sổ Bartlett (tam giác). Hanning (von Hann), Hamming, Bleckman và Kaiser, có cách giới hạn dần dần dữ liệu. Các cửa sổ cho nhiều chọn lựa giữa rải phổ (độ rộng búp chính) biên độ đỉnh búp biên, và tốc độ giảm rò phổ như trong bảng 4.3. Quan sát thấy mọi cửa số là đối xứng quanh gốc (hàm chẵn theo t). Từ đặc tính này, W() là hàm thực theo ; và W() là 0 hay . Do đó, hàm pha của tín hiệu có giới hạn đã giảm thiểu được méo dạng. HÌnh 4.47 vẽ hai dạng hàm cửa sổ nổi tiếng, là hàm cửa sổ von Hann (hay Hanning) wHAN (x) và hàm cửa sổ Hamming wHAM (x) . Ta chủ định chọn biến x do giới hạn cửa sổ có thể thực hiện trong miền thời gian cũng như trong miền tần số; nên x có thể là t hay , tùy theo ứng dụng.