Bài giảng Tín hiệu và hệ thống - Chương 3: Biểu diễn tín hiệu dùng chuỗi fourier

Nội dung text: Bài giảng Tín hiệu và hệ thống - Chương 3: Biểu diễn tín hiệu dùng chuỗi fourier

1. CHƢƠNG 3: BIỂU DIỄN TÍN HIỆU DÙNG CHUỖI FOURIER Nội dung 3.1 Tín hiệu và vectơ 3.2 So sánh tín hiệu: Tương quan 3.3 Biểu diễn tín hiệu dùng tập tín hiệu trực giao 3.4 Chuỗi Fourier lượng giác 3.5 Chuỗi Fourier dạng mủ 3.6 Tính toán giá trị Dn 3.7 Đáp ứng của hệ LT-TT-BB với tín hiệu tuần hoàn 3.8 Phụ chương 3.9 Tóm tắt Tài liệu tham khảo: B.P. Lathi, Signal Processing and Linear Systems, Berkeley-Cambridge Press, 1998 Chương quan trọng, tạo kiến thức cơ bản để biểu diễn tín hiệu và so sánh tín hiệu. Trong chương 2, ta đã viết ngõ vào bất kỳ f(t) thành tổng của các thành phần xung. Đáp ứng (trạng thái zêrô) của hệ TT-BB khi có ngõ vào f(t) là tổng các thành phần đáp ứng hệ thống dưới dạng tính tích phân chập (convolution). Có nhiều phương thức nhằm biểu diễn ngõ vào f(t) theo các dạng tín hiệu khác. Do đó, vấn đề biểu diễn tín hiệu dùng tập các tín hiệu là rất quan trọng khi nghiên cứu tín hiệu và hệ thống. Chương này đề cập đến phương thức biểu diễn tín hiệu thành tổng của nhiều thành phần. Bài toán này tương tự như vấn đề biểu diễn vectơ theo các thành phần. Tín hiệu và vectơ Có sự tương đồng hoàn hảo giữa tín hiệu và vectơ. Tuy nhiên tín hiệu không chỉ giống vectơ, mà tín hiệu là vectơ! Một vectơ có thể được biểu diễn thành tổng các thành phần theo nhiều phương thức khác nhau, tùy theo cách chọn hệ trục. Một tín hiệu cũng có thể được biểu diễn thành tổng các thành phẩn theo nhiều cách khác nhau. Ta hảy bắt đầu với một số ý niệm vectơ cơ bản rồi áp dụng vào các tín hiệu. 3.1-1 Thành phần của vectơ Vectơ được đặc trưng bởi biên độ và chiều. Ta viết các vectơ ở dạng chử in đậm. Thí dụ, x là một vectơ nào đó có biên độ hay chiều dài là x . Trong hình 3.1, với hai vectơ f và x, định nghĩa phép dot (tích trong hay tích vô hướng) là: f.x f x cos (3.1) với  là góc giữa hai vectơ. Từ đó, biểu diễn độ dài của vectơ x là x theo: x 2 = x.x (3.2)
2. Gọi thành phần của f dọc theo x là cx vẽ trong hình 3.1. Thành phần f dọc theo x là ánh xạ của f theo x , và có được bằng cách vẽ đường thẳng góc từ đỉnh của f xuống x, vẽ trong hình 3.1. Như thế thì ý nghĩa toán học của một thành phần vectơ theo một vectơ khác là gì? Xem trong hình 3.1, vectơ f có thể viết theo vectơ x là f cx e (3.3) Tuy nhiên, đây không phải là phương pháp duy nhất biểu diễn f theo x. Hình 3.2 vẽ hai trong vô số các phương pháp khác. Từ hình 3.2a và 3.2b, ta có f c1x e1 c2 x e2 (3.4) Trong từng phương pháp thì f được biểu diễn theo x cộng vơói một vectơ gọi là vectơ sai số. Nếu ta xấp xỉ f bằng cx f  cx (3.5) Sai số trong phép xấp xỉ này là vectơ e f cx . Tương tự, sai số trong phép xấp xỉ trong hình 3.2a và 3.2b là e1 và e2 . Như thế phép xấp xỉ nào trong hình 3.1 cho ta vectơ sai số bé nhất. Định nghĩa thành phần của vectơ f theo vectơ x là cx với c được chọn sao cho vectơ sai số là bé nhất. Gọi độ dài của thành phần của f theo x là f cos nhưng cũng đồng thời là c x như vẽ trong hình 3.1, đo đó c x f cos Nhân hai vế cho x c x 2 f x cos f .x , do đó f .x 1 2 c f .x (3.6) x.x x Hình 3.1 cho thấy có vẽ như là khi f và x thẳng góc, hay trực giao, thì f có thành phần theo x là zêrô, do đó c 0. Từ phương trình (3.6), ta định nghĩa f và x là trực giao nhau nếu tích trong (tích vô hướng hay tích chấm) của hai vectơ là zêrô, nếu
3. f .x 0 (3.7) 3.1-2 Thành phần của tín hiệu Ý niệm về thành phần của vectơ là tính trực giao có thể được mở rộng cho tín hiệu. Xét bài toán xấp xỉ một tín hiệu thực f (t) theo một tín hiệu thực x(t) trong khoảng [t1,t2 ] là f (t)  cx(t) t1 t t2 (3.8) Sai số e(t) trong phép xấp xỉ này là: f (t) cx(t) t1 t t2 e(t) (3.9) 0 các _ giá _ tri _ khác Chọn một số tiêu chí cho phép “xấp xỉ tốt nhất”. Ta biết là năng lượng tín hiệu là một khả năng đo lường kích thước của tín hiệu. Để xấp xỉ tốt nhất, ta cần tối thiểu sai số tín hiệu, tức là, tối thiểu kích thước của nó, nhằm tối thiểu hóa năng lượng Ee trong khoảng , cho bởi: t t 2 2 2 2 Ee e (t)dt [ f (t) cx(t)] dt t t 1 1 Chú ý là vế bên phải là tích phân xác định với t là biến giả. Do đó, Ee là hàm theo biến c (không phải t) và Ee tối thiểu theo lựa chọn của c. Để tối thiểu Ee, điều kiện cần là: dE e 0 (3.10) dt Hay 2 d t2 [ f (t) cx(t)] dt 0 t dc 1 Khai triển thừa số bậc hai, ta có: d t2 d t2 d t2 f 2 (t)dt 2c f (t)x(t)dt c2 x2 (t)dt 0 dc t1 dc t1 dc t1 Từ đó t t 2 2 f (t)x(t)dt 2c 2 x2 (t)dt 0 t t 1 1 Và t 2 f (t)x(t)dt t 1 t2 1 c t f (t)x(t)dt (3.11) 2 2 t x (t)dt Ex 1 t 1 Ta thấy có sự tương đồng đáng kể giữa hoạt động của vectơ và tín hiệu, từ các phương trình (3.6) và (3.11). Rõ ràng từ hai biểu thức song song này, thì phần diện tích của tích hai tín hiệu tương đương với tích trong (tích vô hướng) của hai vectơ. Trong thực tế, phần diện tích của tích f(t) và x(t) được gọi là tích hai vectơ. Thực ra, diện tích của tích f(t) và x(t) được gọi là tích trong của f(t) và x(t), được viết là f , x . Năng lượng của tín hiệu là tích trong của tín hiệu với chính nó, và tương đương với bình phương độ dài (chính là tích trong của vectơ với chính nó).
4. Tóm lại, nếu tín hiệu f (t) được xấp xỉ bằng một tín hiệu x(t) khác thì f (t)  cx(t) Thì giá trị tối ưu của c làm tối thiểu năng lượng của tín hiệu sai số trong xấp xỉ này cho bởi phương trình (3.11). Từ ý niệm vectơ, chúng ta nói là tín hiệu chứa thành phần cx(t) , với c cho bởi phương trình (3.11). Chú ý là trong thuật ngữ của vectơ thì cx(t) là ánh xạ của lên x(t) . Tiếp tục, ta nói là nếu thành phần của tín hiệu của dạng x(t) là zêrô (tức là c 0) thì tín hiệu và trực giao nhau trong khoảng [t1,t2 ]. Do đó, ta định nghĩa tín hiệu thực và trực giao nhau trong khoảng nếu t 2 f (t)x(t)dt 0 (3.12) t 1 Thí dụ 3.1 Từ tín hiệu f(t) vẽ trong hình 3.3, tìm thành phần sint có trong f(t). Nói cách khác, ta xấp xỉ f(t) theo sint. f (t)  csint 0 t 2 để năng lượng tín hiệu sai số là tối thiểu. Trường hợp này 2 2 x(t) sint và Ex sin (t) 0 Từ phương trình (3.11) ta có 1 2 1 4 c f (t)sin tdt sin tdt sin tdt (3.13) 0 0 0 Do đó: 4 f (t)  sin t (3.14) Biểu diễn phép xấp xỉ tốt nhất của f (t) dùng hàm sin t , và tối thiểu hóa được sai số. Thành phần sin của f (t) là phần tô bóng trong hình 3.3. Từ tính tương đồng với vectơm ta nói hàm vuông mô tả trong hình 3.3 có thành phần sóng và biên độ là 4/ . Bài tập E3.1
5. Chứng tõ là khoảng ( t ), xấp xỉ “tốt nhất” của tín hiệu f (t) t theo hàm sin t là 2sin t . Kiểm nghiệm lại là tín hiệu sai số e(t) t 2sint là trực giao với tín hiệu trong khoảng . Vẽ đồ thị t và trong khoảng .  3.1-3 Tính trực giao trong tính hiệu phức Ta chỉ mới giới hạn trong trường hợp hàm thực của t. Nhằm tổng quát kết quả cho hàm phức của t, xét lần nửa bài toán xấp xỉ hàm f (t) bằng hàm x(t) trong khoảng thời gian (t1 t t2 ): f (t)  cx(t) (3.15) Trong đó và là hàm phức theo t. Nhắc lại là năng lượng Ex của tín hiệu phức trong khoảng [ t1,t2 ] là t2 2 Ex x(t) dt t 1 Trường hợp này, thường hệ số c và sai số là số phức e(t) f (t) cx(t) (3.16) Để xấp xỉ “tốt nhất”, ta cần chọn c để năng lượng Ec của tín hiệu sai số e(t) là tối thiểu t2 2 Ee f (t) cx(t) dt (3.17) t 1 Nhắc lại u v 2 (u v)(u * v*) u 2 v 2 u *v uv * (3.18) Tiếp tục, sắp xếp phương trình (3.17) 2 2 t2 2 1 t2 1 t2 Ee f (t) dt f (t)x *(t)dt c Ex f (t)x *(t)dt t 0 t 1 1 Ex Ex Do hai thừa số đầu tiên của vế phải không phụ thuộc vào c, rõ ràng là Ee được tối thiểu hóa bằng cách chọn c sao cho thừa số thứ ba của vế phải là zêrô, tức là 1 t2 c f (t)x *(t)dt (3.19) t Ex 1 Từ kết quả trên, ta cần định nghĩa lại tính trực giao trong trường hợp số phức như sau: Hai hàm phức x1(t) và x2 (t) trực giao trong khoảng ( t1 t t2 ) nếu t t 2 * 2 * x1(t)x2 (t)dt 0 hay x1 (t)x2 (t)dt 0 (3.20) t t 1 1 Đây là định nghĩa tổng quát về tính trực giao, làm phương trình trở thành phương trình (3.12) khi hàm là thực. Bài tập E3.2 Chứng tõ là khoảng ( 0 t 2 ), xấp xỉ “tốt nhất” của tín hiệu vuông f (t) trong hình 2 2 3.3 theo tính hiệu e jt là e jt . Kiểm nghiệm lại là tín hiệu sai số e(t) f (t) e jt là j jt trực giao với tín hiệu e jt . 
6. Năng lƣợng của tổng tính hiệu trực giao Ta biết là bình phương độ dài của tổng hai vectơ trực giao là bằng tổng của độ dài hai vectơ. Do đó, nếu x và y trực giao, thì z = x + y, thì z 2 x 2 y 2 Tương tự, cho trường hợp tín hiệu. Năng lượng của tổng hai tín hiệu trực giao thì bằng tổng năng lượng của hai tín hiệu. Do đó, nếu tín hiệu x(t) và y(t) trực giao trong khoảng [t1,t2 ], và nếu z(t) x(t) y(t) , thì Ez Ex Ey (3.21) Ta chứng minh kết quả cho tín hiệu phức mà tín hiệu thực là một trường hợp đặc biệt. Từ phương trình (3.18): t t t t t 2 x(t) y(t) 2 dt 2 x(t) 2 dt 2 y(t) 2 dt 2 x(t)y *(t)dt 2 x*(t)y(t)dt t t t t t 1 1 1 1 1 t t 2 x(t) 2 dt 2 y(t) 2 dt (3.22) t t 1 1 Do tính trực giao, hai tích phân của các tích x(t)y *(t) và x*(t)y(t) là zêrô. Kết quả này có thể được mở rộng với tổng của một số tín hiệu trực giao tương hỗ. 3.2 So sánh tín hiệu: tính tƣơng quan Phần 3.1 đã chuẩn bị cơ sở để so sánh tín hiệu. Một lần nữa, ta có dùng lại ý niệm của phép so sánh vectơ. Hai vectơ f và x là tương đồng khi f có thành phần lớn theo x. Nói cách khác, nếu c trong phương trình (3.6) lớn, thì hai vectơ f và x là tương đồng. Ta có thể xem c là phép đo định lượng tính tương đồng giữa f và x. Tuy nhiên, đo lường này có nhược điểm. Mức tương đồng giữa f và x cần độc lập với độ dài của f và x. Thí dụ, khi tăng đôi độ dài của f, mức tương đồng giữa f và x là không thay đổi. Tuy nhiên, từ phương trình (3.6), ta thấy là khi tăng đôi f, thì cũng tăng đôi giá trị c (trong khi tăng đôi x làm giảm nửa giá trị c). Đo lường của ta rõ ràng là sai. Tính tương đồng giữa hai vectơ được cho từ góc  giữa hai vectơ. Góc  càng bé thì tính tương đồng càng cao, và ngược lại. Do đó, có thể dùng cos để đo mức tương đồng. Cos càng lớn, thì tính tương đồng giữa hai vectơ càng cao. Vật, đo lường hợp lý sẽ là cn = cos, được cho bởi f .x c cos (3.23) n f x Có thể kiểm nghiệm lại về tính độc lập của đo lường này với độ dài của f và x . Tương đồng này đo lường cn được gọi là hệ số tƣơng quan. Quan sát thấy: 1 cn 1 (3.24) Do đó, biên độ của cn không bao giờ lớn hơn đơn vị. Hai vectơ thẳng hàng có tính tương đồng lớn nhất (cn = 1). Hai vectơ thẳng hàng đối chiều có tính không tương đồng cao nhất (cn = - 1). Hai vectơ trực giao có tính tương đồng là zêrô. Dùng phương pháp tương tự để định nghĩa chỉ số tương đồng (hệ số tương tương quan) của tín hiệu. Xét các tín hiệu trong khoảng từ - đến . Muốn c trong phương trình (3.11) độc lập với năng lượng (kích thước) của f(t) và x(t), ta cần chuẩn hóa c bằng cách hai tín hiệu về năng lượng đơn vị. Do đó, chỉ số tương đồng thích hợp cn cho phương trình (3.23) là
7. 1 cn f (t)x(t)dt (3.25) E f Ex Nhận thấy khi nhân f(t) hay x(t) với hằng số bất kỳ không ảnh hường đến chỉ số này, nên chỉ số độc lập với kích thước (năng lượng) của f(t) và x(t). Dùng bất đẳng thức Schwarz, ta chứng minh được là biên độ của cn không bao giờ lớn hơn 1. 1 cn 1 (3.26) The Best Friends, Worst Enemies, and Complete Strangers Ta có thể chứng tõ là nếu f (t) Kx(t) thì cn = 1 khi K là hằng số dương bất kỳ, và cn = - 1 khi K là hằng số âm bất kỳ. Đồng thời cn = 0 nếu f(t) và x(t) trực giao. Đo đó, tương đồng lớn nhất [khi ] được cho bởi cn = 1, không tương đồng lớn nhất [khi f (t) Kx(t) ] được cho bởi cn = - 1. Khi hai tín hiệu trực giao, tương đồng là zêrô. Một cách định lượng, ta có thể xem tín hiệu trực giao là tín hiệu không tương quan. Chú ý, địng lượng thì tính không tương đồng khác với tính không tương quan. Thí dụ, ta có bạn tốt (cn = 1), kẻ thù xấu nhất (cn = -1), và kẻ lạ hoàn toàn, không cần quan tâm là ta có tồn tại hay không (cn = 0). Kẻ thù không phải là người lạ, nhưng trong một số trường hợp người ta có thể nghĩ giống chúng ta, nhưng ngược lại?!!. Mở rộng ý niệm khi so sánh tín hiệu phức, định nghĩa cn lúc này là. 1 cn f (t)x *(t)dt (3.27) E f Ex Thí dụ 3.2 Tìm hệ số tương quan C giữa xung x(t) và xung fi(t), i = 1, 2, 3, 4, 5 và 6 vẽ trong hình 3.4. Ta tính cn dùng phương trình (3.25) cho từng trường hợp. Đầu tiên ta tính năng lượng của mọi tín hiệu. 5 5 2 Ex x (t)dt dt 5 (3.28) 0 0 Dùng phương pháp này, ta tìm được Ef1 = 5, Ef2 = 1,25, và Ef3 = 5. Để tìm Ef4 và Ef5 , ta tìm năng lượng E của e-atu(t) trong khoảng thời gian từ t = 0 đến T: T 2 T 1 E e at dt e 2atdt 1 e 2aT 0 0 2a
8. Trường hợp f4(t), a = 1/5 và T = 5. Do đó Ef4 =2,1617. Trường hợp f5(t), a = 1 và T = . Do đó Ef5 =0,5. Năng lượng Ef6 cho bởi 5 2 E f 6 sin 2 tdt 2,5 0 Dùng phương trình (3.25), hệ số tương quan của sáu trường hợp được tìm là: 1 5 1 5 (1) dt 1 (2) (0,5)dt 1 (5)(5) 0 (1,25)(5) 0 1 5 1 5 (3) ( 1)dt 1 (4) e t /5dt 0.961 (5)(5) 0 (2,1617)(5) 0 1 5 1 5 (5) e t dt 0,628 (6) sin 2 tdt 0 (0,5)(5) 0 (2,5)(5) 0 Nhận xét về kết quả: Do f1(t) = x(t), hai tín hiệu có khả năng tương đồng tối đa và cn = 1. Tuy nhiên, tín hiệu f2(t) còn cho thấy khả năng tương đồng tối đa với cn = 1. Lý do từ định nghĩa cn dùng đo lường tính tương đồng của dạng sóng; và độc lập với biên độ (cường độ) của các tín hiệu so sánh. Tín hiệu f2(t) giống hệt x(t) về hình dạng; chỉ có biên độ (cường độ) là khác nhau. Do đó, cn = 1. Mặt khác, tín hiệu f3(t) cho thấy khả năng không tương đồng tối đa với x(t) do bằng với - x(t). Trường hợp f4(t), cn = 0,961, cho thấy có độ tương đồng cao với x(t). Điều này hợp lý do f4(t) rất giống với x(t) trong thời gian tồn tại của x(t) (từ 0 t 5). Qua kiểm tra, ta chú ý là là độ biến thiên hay thay đổi trong x(t) và f4(t) có tốc độ giống nhau. Đây không phải là trường hợp của f5(t), khi ta nhận thấy là tốc độ thay đổi của f5(t) thường cao hơn của x(t). Hai tín hiệu vẫn còn tương đồng nhau, đều còn giữa giá trị dương, và chưa có dao động. Hai tín hiệu đều có giá trị zêrô hay cường độ rất bé khi t > 5. Như thế, f5(t) tương đồng với x(t), nhưng không tương đồng như f4(t). Điều này giải thích tại sao f5(t) có cn = 0,628. Tín hiệu f6(t) thì trực giao với x(t), nên có cn = 0. Điều này cho thấy sự không tương đồng trong trường hợp này không mạnh như như trường hợp f3(t) có cn = – 1. Kết luận này có vẽ kỳ cục do f3(t) có vẽ như tương đồng với x(t) nhiều hơn so với f6(t). Tính không tương đồng giữa x(t) và f6(t) có bản chất từ sự không ưa nhau (worst enemy); đó là chúng rất tương đồng nhau, nhưng theo hướng ngược lại. Nói khác đi, tính không tương đồng giữa x(t) và f6(t) bắt nguồn từ việc chúng có không giống nhau. Do đó tính không tương đồng giữa x(t) và f3(t) có mức độ thấp hơn. Bài tập E3.3 Chứng tõ là cn của tín hiệu f2(t) và f3(t) trong hình 3.4 là – 1; của f2(t) và f4(t) là 0,961, và của f3(t) và f6(t) là zêrô.  3.2-1 Ứng dụng để phát hiện tín hiệu Tính tương quan giữa hai tín hiệu là ý niệm cực kỳ quan trọng nhằm đo lường mức tương đồng giữa hai tín hiệu. Ý niệm này được dùng rộng rải để xử lý tín hiệu radar, sonar, thông tin số, quân sự và nhiều ứng dụng khác. Ta giải thích ý niệm này dùng thí dụ trong radar khi tín hiệu xung được phát đi nhằm phát hiện các mục tiêu khả nghi. Khi mục tiêu xuất hiện, xung được nó phản xạ lại, khi không có mục tiêu thì không có tín hiệu phản xạ, mà chỉ có nhiễu.
9. Sự hiện diện hay không hiện diện của xung phản xạ xác nhận sự hiện diện hay không hiện diện của mục tiêu. Vấn đề cốt lõi ở đây là để phát hiện được xung phản xạ bị suy giảm rất nhiều (dạng sóng đã biết) bị nhiễu che lấp. Trong trường hợp này, yếu tố tương quan giữa xung nhận được và xung phát đi là trợ giúp quan trọng. Tình huống tương tự tồn tại trong thông tin số khi ta cần phát hiện sự hiện diện của một trong hai dạng sóng đã biết với sự hiện diện của nhiễu. Ta bắt đầu giải thích phương thức phát hiện tín hiệu dùng kỹ thuật tương quan. Xét trường hợp thông tin nhị phân (hai bit), trong đó hai dạng sóng đã được biết được nhận theo trình tự ngẫu nhiên.Trong mỗi thời điểm, ta nhận một xung và nhiệm vụ của ta là xác định xem đã nhận xung nào trong hai dạng xung đã biết. Để phát hiện dễ dàng hơn, ta cần làm cho hai xung này không tương đồng càng nhiều càng tốt. Do đó, ta nên chọn xung âm so với xung kia. Lựa chọn này cho ta tính không tương đồng lớn nhất (cn = – 1). Sơ đồ này đôi khi còn được gọi là sơ đồ đối cực (antipodal). Ta cũng có thể chọn xung trực giao để có cn = 0. Trong thực tế thường dùng cả hai lựa chọn này, cho dù sơ đồ đối cực cho phép phân biệt hai xung tốt nhất. Xét tiếp sơ đồ đối cực trong đó hai xung là p(t) và – p(t). Hệ số tương quan cn của các xung này là –1. Giả sử không có nhiễu và truyền dẫn là hoàn hảo. Máy thu có bộ tương quan để tính tương quan giữa p(t) và xung thu được. Nếu tương quan là 1, ta khẳng định thu được p(t), và nếu tương quan là –1, ta khẳng định thu được – p(t). Nhờ có khả năng không tương đồng lớn nhất giữa hai xung, nên việc tách xung dễ dàng. Tuy nhiên trong thực tế, quá trình truyền thường không hoàn hảo, có nhiễu len vào tín hiệu thu. Đồng thời, khi truyền, tín hiệu còn bị méo dạng và có thể bị trùng lắp nhau, làm thay đổi hình dạng tín hiệu thu được nên hệ số tương quan không còn là 1, có biên độ bé, làm giảm khả năng phân biệt xung. Ta dùng bộ tách xung theo ngưỡng, nhằm quyết định là nếu hệ số tương quan là dương (cn > 0), thì xung thu được là p(t), và nếu tương quan là âm (cn < 0), thì xung là – p(t). Thí dụ, giả sử ta truyền p(t). Trong trường hợp lý tưởng, tương quan giữa xung này tại máy thu là 1, là khả năng tối đa. Do ảnh hưởng của nhiễu và các yếu tố không hoàn hảo khác, tương quan sẽ nhỏ hơn 1. Trong một số trường hợp tới hạn, yếu tố nhiễu và trùng lắp với các xung khác làm xung này rất khác với xung p(t) và tương quan có giá trị âm. Trong trường hợp này thì bộ tách xung theo ngưỡng lại khẳng định xung nhận được là – p(t), làm quá trình tách xung bị sai. Tương tự, khi truyền – p(t), thì yếu tố nhiễu trong kênh truyền, yếu tố méo dạng xung và trùng lắp xung có thể làm tương quan là dương, làm quá trình tách xung bị sai. Nhiệm vụ của ta là đảm bảo xung truyền có năng lượng đủ lớn nhằm giữa cho các tổn thất do nhiễu nằm trong một giới hạn và sai số nằm trong biên cho phép. Trong trường hợp lý tưởng, biên này do tương quan cn cung cấp nhằm phân biệt được hai xung là 2 (từ 1 đến –1 và ngược lại). Yếu tố nhiễu và tính không hoàn hảo khi truyền làm giảm biên này. Điều này, giải thích tại sao yếu tố quan trọng nhất vẫn là bắt đầu với biên càng lớn càng tốt. Do đó, sơ đồ đối cực có tính năng tốt nhất nhằm để chống nhiễu và các yếu tố không hoàn hảo khi truyền. Tuy nhiên, như đã nói ở trên, do còn có các lý do khác, nên nhiều sơ đồ, thí dụ sơ đồ trực giao với cn = 0 cũng được dùng dù có biên nhỏ hơn (từ 0 đến 1 và ngược lại) nhằm phân biệt các xung. Một số dạng tán xạ xung đã được thảo luận trong phần 2.7-5 và 2.7-6. Trong chương 4, ta sẽ thảo luận về méo dạng xung khi truyền. Tính toán xác suất sai số khi có
10. nhiễu và các yếu tố không hoàn hảo khác nằm ngoài phạm vi tài liệu này, độc giả có thể tham khảo thêm tài liệu. 3.2-2 Hàm tƣơng quan Xét ứng dụng tương quan để phát hiện tín hiệu trong radar, trong đó xung được phát đi nhằm phát hiện các mục tiêu khả nghi. Khi mục tiêu xuất hiện, xung được nó phản xạ lại, khi không có mục tiêu thì không có tín hiệu phản xạ, mà chỉ có nhiễu. Bằng cách phát hiện sự tồn tại hay không tồn tại của xung phản xạ ta khẳng định được sự tồn tại hay không tồn tại của mục tiêu. Bằng cách đo thời gian trễ giữa xung truyền và xung nhận được (phản xạ) ta xác định được cự ly của mục tiêu. Gọi xung truyền và xung phản xạ lần lượt là g(t) và f(t), như vẽ trong hình 3.5. Nếu ta đã dùng trực tiếp phương trình (3.25) để đo hệ số tương quan cn, ta có: 1 cn f (t)g(t)dt 0 (3.29) E f Eg Tương quan là zêrô do các xung này tách biệt theo thời gian. Tích phân (3.29) có giá trị zêrô ngay khi các xung giống hệt nhau nhưng có dời theo thời gian. Để giải quyết vấn đề này, ta so sánh xung nhận được f(t) với xung bị trễ theo thời gian g(t) với nhiều giá trị trễ. Nếu với một số tham số trễ làm tương quan mạnh hơn, ta không chỉ phát hiện được xung mà cỏn phát hiện được thời gian dời của f(t) theo g(t). Do đó, thay vì dùng tích phân bên vế phải, ta dùng một tích phân fg(t) được gọi là hàm tƣơng quan chéo của hai tín hiệu thực f(t) và g(t), được định nghĩa theo:  fg (t) f ( )g( t)d (3.30) Với  là biến phụ, và xung g( – t) là xung g() dời đi t giây theo xung f(). Do đó, fg(t) chỉ thị tính tương đồng (tương quan) giứa xung f và xung g dời đi t giây. Do đó, fg(t) đo lường tính tương đồng của xung kể cả khi chúng tách biệt nhau. Trong trường hợp tín hiệu trong hình 3.5, fg(t) cho thấy tương quan đáng kể chung quanh t = T. Quan sát này cho phép ta không chỉ phát hiện sự hiện hữu của mục tiêu mà còn tính được cự ly của mục tiêu. Tích chập và tƣơng quan Ta xem xét quan hệ khắn khít giữa tích chập và tương quan của f(t) và g(t) (từ phương trình 3.30). Chú ý là xung g( – t) là xung g() dời đi t giây. Do đó, fg(t) là vùng diện tích do tích giữa xung f và xung g dời t theo thời gian (không có đảo). Tương tự, ta thấy trong phép tính tích chập cũng theo các bước tương tự, trừ việc xung g được
11. đảo trước khi dời t theo thời gian. Quan sát này gợi đến ý fg(t) bằng f(t)*g(–t) [tích chập của f(t) với g(t) đảo theo thời gian), tức là:  fg (t) f (t)* g( t) (3.31) Phần chứng minh như sau: Đặt g( – t) = w(t) f (t)* g( t) f (t)*w(t) f ( )w(t  )d f ( )g( t)d  fg (t) Nhắc lại, fg(t) là vùng diện tích do tích giữa xung f và xung g dời t theo thời gian (không có đảo), và cho bởi tích chập của f(t) và g(–t). Bài tập E 3.4 Chứng minh là fg(t), hàm tương quan của f(t) và g(t) trong hình 2.11 cho bởi c(t) trong hình 2.12.  Bài tập E 3.5 Chứng minh fg(t), hàm tương quan của f(t) và g(t) trong hình 2.12 cho bởi c(t) trong hình 2.12.  Hàm tự tƣơng quan Tương quan giữa tín hiệu với chính nó được gọi là tự tƣơng quan. Hàm tự tương quan f(t) của tín hiệu f(t) được định nghĩa là  f (t)  f ( ) f ( t)d (3.32) Trong chương 4, ta sẽ chứng minh là hàm tự tương quan cung cấp thông tin phổ rất có giá trị về tín hiệu. 3.3 Biểu diễn tín hiệu dùng tập tín hiệu trực giao Phần này trình bày phương pháp biểu diễn tín hiệu theo tổng các tín hiệu trực giao. Dùng ý niệm vectơ, ta biết là có thể biểu diễn vectơ thành tổng các vectơ trực giao, nhằm tạo hệ trục trong không gian vectơ. Vấn đề này tương tự trong tín hiệu với kết quả là tín hiệu song song với trường hợp của vectơ. Hảy xét lại trường hợp biểu diễn dùng vectơ.
12. 3.3-1 Không gian vectơ trực giao Xét không gian vectơ 3 chiều Cartesian mô tả dùng ba vectơ trực giao tương hỗ x1, x2, x3 vẽ trong hình 3. 6. Đầu tiên, ta tìm cách xấp xỉ vectơ ba chiều f theo hai vectơ trực giao tương hỗ x1 và x2: f  c1x1 c2 x2 Sai số e của xấp xỉ này là e f (c1x1 c2 x2 ) Hay f (c1x1 c2 x2 ) e Dùng các phương pháp hình học, ta thấy trong hình 3.6 là độ dài của e tối thiểu khi e vuông góc với mặt phẳng x1 – x2, và c1x1 và c2x2 là lần lượt là hình chiếu (các thành phần) của f lên x1 và x2. Do đó, các hằng số c1 và c2 được cho bởi phương trình (3.6). Quan sát thấy vectơ sai số trực giao với cả hai vectơ x1 và x2. Tiếp tục xác định xấp xỉ “tốt nhất” cho f theo mọi thành phần vectơ trực giao tương hỗ x1, x2, và x3: f  c1x1 c2 x2 c3x3 (3.33) Hình 3.6 vẽ chọn lựa duy nhất của tồn tại c1, c2, và c3, theo đó phương trình (3.33) không còn là phép xấp xỉ mà là đẳng thức: f c1x1 c2 x2 c3x3 (3.34) Trong trường hợp này, c1x1 , c2x2 và c3x3 lần lượt là ánh xạ (thành phần) của f lên x1, x2, và x3; tức là f .xi ci (3.35a) xi .xi 1 ci 2 f .xi i 1,2,3 (3.35b) xi Chú ý là sai số trong phép xấp xỉ là zêrô khi f được xấp xỉ theo ba vectơ trực giao tương hỗ: x1, x2, và x3. Lý do là f là vectơ ba chiều, và các vectơ x1, x2, và x3 biểu diễn tập đầy đủ của vectơ trực giao trong không gian ba chiều. Tính đầy đủ ở đây tức là không thể tìm vectơ x4 khác trong không gian này, và trực giao được với tất cả ba vectơ x1, x2, và x3. Mọi vectơ trong không gian này đều có thể được biểu diễn (với sai số zêrô) theo ba vectơ trên. Các vectơ này được gọi là các vectơ cơ sở. Nếu tập các vectơ {xi} không đầy đủ, sai số xấp xỉ thường khác zêrô. Do đó, trong trường hợp không gian ba chiều vừa thảo luận, thường không thể biểu diễn vectơ f chỉ với hai vectơ cơ sở mà không bị sai số. Có nhiều cách lựa chọn vectơ cơ sở. Trong thực tế, tập các vectơ cơ sở tương ứng với chọn lựa đặc thù của hệ trục tọa độ. Do đó, vectơ ba chiều f có thể được biểu diễn với nhiều cách khác nhau, tùy theo hệ trục được dùng. 3.3-2 Không gian tín hiệu trực giao Đàu tiên, ta khảo sát tín hiệu thực, rồi mở rộng sang trường hợp tín hiệu phức. Dùng ý niệm về xấp xỉ tín hiệu hiệu phát triển từ phương pháp xấp xỉ vectơ. Ta định nghĩa tính trực giao ta tập tín hiệu thực x1(t), x2(t), . . . , xN(t), trong khoảng [t1, t2] là t2 0 m n xm (t)xn (t)dt (3.36) t 1 En m n
13. Nếu năng lượng En = 1 với mọi n, thì tập là chuẩn và được gọi là tập trực giao. Tập trực giao có thể chuẩn hóa bằng cách chia xn(t) cho En với mọi n. Xét phép xấp xỉ tín hiệu f(t) trong khoảng [t1, t2] dùng tập thực N, gồm các tín hiệu trực giao tương hỗ x1(t), x2(t), . . . , xN(t) là f (t)  c1x1(t) c2 x2 (t)  cN xN (t) (3.37a) N f (t)  cn xn (t) (3.37b) n 1 Sai số e(t) trong xấp xỉ (3.37) là N e(t) f (t)  cn xn (t) (3.38) n 1 Trong phụ lục 3A sẽ chứng minh là năng lượng Ee của tín hiệu sai số e(t), được tối thiểu hóa nếu chọn t1 f (t)xn (t)dt t 1 cn t (3.39a) 1 2 xn (t)dt t 1 1 t1 cn f (t)xn (t)dt n 1,2,, N (3.39b) t En 1 Trong phụ lục 3A cho thấy khi lựa chọn cn, thì năng lượng Ee của tín hiệu sai số e(t) sẽ là t N 1 2 2 Ee f (t)dt cn En (3.40) t  1 n 1 Ta thấy thường năng lượng sai số Ee giảm theo số lượng thừa số N, nhưng trường hợp 2 này lại tăng do thừa số ck Ek là không âm. Vậy, năng lượng sai số có thể 0 khi N  . Trường hợp này, tập tín hiệu trực giao được gọi là tập đầy đủ. Phương trình (3.37a) không còn là xấp xỉ mà là đẳng thức. f (t) c1x1(t) c2 x2 (t)  cN xN (t) f (t)  cn xn (t) t1 t t2 (3.41) n 1 Trong đó các hệ số cn lấy từ phương trình (3.39). Do năng lượng tín hiệu sai số tiến về zêrô, nên năng lượng của f(t) bằng với tổng của năng lượng các thành phần trực giao c1x1(t), c2x2(t), c3x3(t) . . . , . Chuỗi bên vế phải của phương trình (3.41) được gọi là chuỗi Fourier tổng quát của f(t) theo tập {xn(t)}. Khi tập {xn(t)} có năng lượng sai số Ee 0 khi N  với mọi thành phần của một lớp tín hiệu đặc thù, ta nói là tập {xn(t)} là tập đầy đủ trong [t1, t2] với lớp tín hiệu f(t), và tập {xn(t)} được gọi là hàm cơ sở hay tín hiệu cơ sở. Ngoài những ghi chú riêng, từ đây về sau, tài liệu này chỉ khảo sát tín hiệu năng lượng. Vậy, khi tập {xn(t)} là đầy đủ, ta có đẳng thức (3.41). Một điểm nhỏ cần được làm rõ là ý nghĩa của đẳng thức trong phương trình (3.41). Đẳng thức trong trường hợp này không phải là đẳng thức theo nghĩa thông thường, mà theo ý nghĩa của năng lượng sai số, tức là, năng lượng của sai biệt giữa hai vế của phương trình (3.41) tiến về zêrô.
14. Nếu hiểu theo nghĩa thông thường thì năng lượng sai số phải luôn là zêrô, nhưng ngược lại là không đúng. Năng lượng sai số có thể tiến về zêrô ngay cả khi sai biệt hai vế e(t) là khác zêrô trong một khỏng thời gian tách biệt nào đó. Lý do là nagy cả khi e(t) khác zêrô trong các khoảng thời gian này, thì phần diện tích e2(t) vẫn là zêrô; nên chuỗi Fourier bên vế phải phương trình (3.41) có thể khác f(t) tại một số hữu hạn các điểm. Trong thực tế, khi f(t) có bước nhảy gián đoạn tại t = t0, chuỗi Fourier tương ứng tại hội tụ về trị trung + - bình của f(t0 ) và f(t0 ). Trong phương trình (3.41), năng lượng vế trái là Ef, và năng lượng của vế phải là tổng năng lượng các thành phần trực giao. Do đó t 2 2 2 2 2 f (t)dt c1 E1 c2 E2  cn En (3.42) t  1 n 1 Phương trình này được gọi là định lý Parseval. Nhắc lại là năng lượng tín hiệu (vùng diện tích của trị bình phương tín hiệu) thì tương tự như độ dài của vectơ trong phép tương đồng vectơ – tín hiệu. Trong không gian vectơ ta biết là bình phương của vectơ thì bằng với tổng các bình phương của độ dài và các thành phần trực giao. Phương trình (3.42) khẳng định điều áp dụng cho các tín hiệu. Tổng quát cho tín hiệu phức Kết quả trên có thể dùng cho các tín hiệu phức: Tập các hàm x1(t), x2(t), . . . , xN(t) là trực giao tương hỗ trong khoảng [t1, t2] khi t2 0 m n xm (t)xn *(t)dt (3.43) t 1 En m n Nếu tập là đầy đủ trong một số lớp tín hiệu, thì hàm f(t) trong lớp này có thể viết thành f (t) c1x1(t) c2 x2 (t)  ci xi (t)  (3.44) 1 t2 cn f (t)xn *(t)dt (3.45) t En 1 Phương trình (3.39) hay phương trình (3.45) cho thấy một tính chất quan trọng của hệ số c1, c2, . . . , cN; giá trị tối ưu của các hệ số trog phép xấp xỉ (3.37) là độc lập với số lượng thừa số dùng trong phép xấp xỉ. Thí dụ, nếu ta chỉ dùng một thừa số (N=1) hay hai thừa số (N=2) hay với bất kỳ thừa số nào, trị tối ưu của hệ số c1 là như nhau (như trong phương trình (3.39). Ưu điểm của phép xấp xỉ tín hiệu f(t) dùng các tín hiệu trực giao tương hỗ là việc ta có thể tiếp tục thêm các thừa số vào phép xấp xỉ mà không làm ảnh hưởng đến các thừa số trước đó. Đặc tính về tính finality các giá trị của các hệ số là rất quan trọng trong thực tế. Một số thí dụ về chuỗi Fourier tổng quát Tín hiệu là vectơ theo mọi ý nghĩa. Tương tự vectơ, một tín hiệu có thể được biểu diễn thành tổng các thành phần theo nhiều cách khác nhau. Giống như hệ trục tọa độ vectơ được tạo nên từ các vectơ trực giao tương hỗ (hệ vuông góc, hệ trụ, hệ cầu), ta cũng có hệ tọa độ tín hiệu (tín hiệu cơ sở) tạo nên từ nhiều tập tín hiệu trực giao tương hỗ. Có rất nhiều tập tín hiệu trực giao có thể dùng như tín hiệu cơ sở trong chuỗi Fourier tổng quát. Một số tập tín hiệu nổi tiếng là hàm lượng giác (sin), hàm mủ, hàm Waish, hàm Bessel, đa thức Legendre, hàm Laguerre, đa thức Jacobi, đa thức Hermite, và đa thức Chebyshev. Tài liệu này chỉ quan tâm đến các tập hàm lượng giác và hàm mủ.
15. Đôi dòng lịch sử: Nam tƣớc Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768 – 1830) 3.4 Chuỗi Fourier lƣợng giác Xét tập tín hiệu {1, cos0t, cos20t, . . . , cosn0t, , . . .; sin0t, sin20t, . . . , sinn0t, . . . } (3.46) Sóng sin với tần số n0 đươc gọi là hài bậc n của sóng sin tần số 0 khi n là số nguyên. Trong tập này sóng sin tần số 0 được gọi là thành phần cơ bản. Chú ý là thừa số hằng 1 là hài bậc 0 trong tập do cos(0 x 0t) = 1. Phụ lục 3B chứng minh đây là tập trực giao trong mọi khoảng tồn tại T0 = 2 /0, gọi là chu kỳ cơ bản. Đặc biệt, cũng chứng minh là 0 n m cos n0t cos m0t (3.47a) T 0 T0 / 2 n m 0 0 n m sin n0t sin m0t (3.47b) T 0 T0 / 2 n m 0 sin n0t cos m0t 0 với mọi n và m (3.47c) T 0 Ý niệm fT0 là tích phân trong khoảng từ t = t1 đến t1 + T0 với mọi giá trị của t1. Phương trình này cho thấy tập (3.46) là trực giao trong mọi khoảng kề nhau của thời gian tồn tại T0. Đây là tập lƣợng giác, có thể chứng minh là tập đủ. Do đó, có thể biểu diễn tín hiệu f(t) thành chuỗi Fourier lượng giác trong thời gian T0 giây theo f(t) = a0 + a1cos0t + a2cos20t + . . . + b1sin0t + b2sin20t + . . . t1 t t1+T0 (3.48a) Hay f (t) a0  an cos n0t bn sin n0t t1 t t1+T0 (3.48b) n 1 Với 2 0 (3.49) T0 Từ phương trình (3.39), ta xác định các hệ số Fourier a0, an, và bn. Do đó t1 T0 f (t)cos n0tdt t 1 an t T n = 1, 2, 3, (3.50) 1 0 2 cos n0tdt t 1 Tích phân trong mẫu số của phương trình (3.50) theo phương trình (3.47a) (với m = n) là T0/2 khi n 0. Hơn nữa, khi n = 0 thì mẫu số là T0. Do đó t1 T0 a0 f (t)cos n0tdt n = 1, 2, 3, (3.51a) t 1 Và 2 t1 T0 an f (t)cos n0tdt n = 1, 2, 3, (3.51b) t T0 1 Tương tự
16. 2 t1 T0 bn f (t)sin n0tdt n = 1, 2, 3, (3.51c) t T0 1 Dạng gọn của chuỗi Fourier Chuỗi Fourier lượng giác trong phương trình (3.48) chứa các thừa số sin và cos với cùng tần số. Có thể kết hợp lại thành một dạng sin với dùng tần số dùng đẳng thức lượng giác ancos n0t + bnsin n0t = Cncos(n0t + n) (3.52) với 2 2 Cn an bn (3.53a) b 1 n n tan (3.53b) an Để thống nhất, ta viết thừa số dc a0 theo C0, tức là C0 = a0 (3.53c) Dùng đẳng thức (3.52), chuỗi Fourier lượng giác trong phương trình (3.48) có thể viết thành dạng gọn của chuỗi Fourier theo f (t) C0 Cn cos(n0t n ) t1 t t1+T0 (3.54) n 1 Các hệ số Cn và n được tính từ an và bn dùng phương trình (3.53). Phương trình 3.51a cho thấy a0 (hay C0) là trị trung bình của f(t) (lấy trung bình trong một chu kỳ). Giá trị này thường được xác định bằng cách kiểm tra f(t). Thí dụ 3.3 Tìm dạng gọn của chuỗi Fourier của hàm mủ e-t/2 vẽ trong hình 3.7a trong khoảng tô bóng 0 t . Do chỉ biểu diễn f(t) thành dạng chuỗi Fourier lượng giác trong khoảng 0 t , T0 = , và tần số cơ bản là 2 0 2 , do đó T0 f (t) a0  an cos 2nt bn sin 2nt 0 t . n 1 Với (từ phương trình (3.51a)
17. 1 t / 2 a0 e dt 0,504 0 2 t / 2 2 an e cos 2ntdt 0,504 0 1 16n2 2 t / 2 8n bn e sin 2ntdt 0,504 0 1 16n2 Do đó 2 f (t) 0,504 1  2 (cos 2nt 4nsin 2nt) 0 t n 1 1 16n Để tìm dạng chuỗi Fourier gọn, tính các hệ số từ phương trình (3.53) theo C0 a0 0,504 2 2 2 4 64n 2 Cn an bn 0,504 2 2 2 2 0,504 (1 16n ) (1 16n ) 1 16n2 b 1 n 1 1 n tan tan ( 4n) tan 4n (3.55) an Các giá trị Cn và n cho trường hợp dc và bảy hài đầu được tính tứ các phương trình trên và vẽ trong bảng 3.1. Từ các giá trị này, ta biểu diễn f(t) theo dạng chuỗi Fourier gọn
18. 2 1 0 t (3.56a) f (t) 0,504 0,504 2 cos(2nt tan 4n) n 1 1 16n = 0,504 + 0,244cos(2t - 75,960) + 0,125cos(4t - 82,870) + 0,084cos(6t - 85,240) + 0,063cos(6t - 86, 420) + (3.56b) Nhắc lại vế phải chỉ biểu diễn e – t/2 trong khoảng từ 0 đến . Ngoài khoảng này, hai vế không nhất thiết phải bằng nhau. Bảng 3.1 n 0 1 2 3 4 5 6 7 Cn 0,504 0,244 0,125 0,084 0,063 0,0504 0,042 0,036 n 0 -75,96 - 82,87 -85,24 -86,42 -87,14 -87,61 -87,95 Tính tuần hoàn của chuỗi Fourier lƣợng giác Ta đã chứng minh phương thức biểu diễn một tín hiệu bất kỳ f(t) thành chuổi – t/2 Fourier lượng giác trong các khoảng T0 giây. Trong thí dụ 3.3, ta chỉ biểu diễn e trong một khoảng từ 0 đến /2. Chuỗi Fourier tính từ phương trình (3.56) chỉ bằng e – t/2 trong khoảng này thôi. Bên ngoài khoảng này chuỗi không nhất thiết phải bằng e – t/2. Cũng cần xem bên ngoài khoảng này thì chuỗi Fourier ra sao. Ta sẽ chứng minh là chuỗi Fourier lượng giác là hàm tuần hoàn với chu kỳ T0 (chu kỳ cơ bản). Gọi chuỗi Fourier bên vế phải của phương trình (3.54) là (t), thì (t) C0 Cn cos(n0t n ) với mọi t n 1 Và (t T0 ) C0 Cn cos[n0 (t T0 ) n ] n 1 C0 Cn cos[n0 (t 2n ) n ] n 1 C0 Cn cos(n0t n ) (t) với mọi t (3.57) n 1 Kết quả này chứng tõ là chuỗi Fourier lượng giác là hàm tuần hoàn với chu kỳ T0 (chu kỳ cơ bản). Thí dụ, (t) là chuỗi Fourier bên vế phải của phương trình (3.56), là hàm tuần hoàn với các thời đoạn của f(t) trong khoảng (0 t ) lập lại tuần hoàn theo từng giây, vẽ trong hình 3.7b. Do đó, khi ta biểu diễn tín hiệu f(t) dùng chuỗi lượng giác trong một thời khoảng T0 nào đó, thì hàm f(t) và chuỗi Fourier tương ứng (t) chỉ cần bằng nhau trong khoảng T0 này thôi. Ngoài khoảng này, chuỗi Fourier lặp lại một cách tuần hoàn với chu kỳ T0. Nếu khi f(t) tự thân đã là hàm tuần hoàn với chu kỳ T0, thì chuỗi Fourier biểu diễn f(t) trong khoảng T0 cũng biểu diễn f(t) với mọi t (không chỉ trong khoảng T0). Một điều thú vị nữa, là theo hình 1.7 thì tín hiệu tuần hoàn f(t) có thể được sinh ra từ việc lặp lại có chu kỳ các thời đoạn có độ rộng là T0. Do đó, chuỗi Fourier lượng giác biểu diễn một thời đoạn của f(t) tại thời điểm bắt đầu bất kỳ cũng biểu diễn f(t) với mọi t. Do đó, khi tính toán các hệ số a0, an và bn, ta có thể dùng giá trị t1 bất kỳ trong phương trình (3.51). Nói cách khác, ta có thể lấy tích phân này trong mọi khoảng T0. Vậy các hệ số của chuỗi Fourier biểu diễn tín hiệu tuần hoàn f(t) (với mọi t) có thể viết thành.
19. 1 a0 f (t)dt (3.58a) T T0 0 2 an f (t)cos n0tdt n = 1, 2, 3, (3.58b) T T0 0 2 bn f (t)sin n0tdt n = 1, 2, 3, (3.58c) T T0 0 Với là tích phân trong khoảng T0 giây T 0 Phổ Fourier Chuỗi Fourier gọn trong phương trình (3.54) cho thấy là tín hiệu tuần hoàn f(t) có thể được viết thành tổng các sóng sin có tần số 0 (dc), 0, 20, . . . , n0, với các biên độ lần lượt là C0, C1, C2, . . . , Cn, . . . và có pha là 0, 1, 2, . . . , n, . . . Ta vẽ đồ thị biên độ Cn theo  (phổ biên độ) và n theo  (phổ pha). Hai đồ thị này gọi chung là phổ tần số của f(t). Hình 3.7c và 3.7d vẽ phổ biên độ và phổ pha của tín hiệu tuần hoàn (t); tức là biên độ và pha của nhiều thành phần sóng sin của (t). Khi biết được phổ tần số, ta có thể tái tạo hay tổng hợp (t), như trong vế phải của phương trình (3.56). Do đó, phổ tần số trong hình 3.7c và 3.7d cung cấp dạng mô tả khác là dạng mô tả trong miền tần số của (t). Mô tả trong miền thời gian của (t) vẽ trong hình 3.7b. Do đó, một tín hiệu có hai dạng: mô tả trong miền thời gian (t) và mô tả trong miền tần số (phổ Fourier). Hai dạng này bổ sung cho nhau, giúp hiểu rõ hơn bản chất của tín hiệu. Hội tụ của chuỗi và các bƣớc nhảy gián đoạn Điều thú vị trong chuỗi Fourier là khi f(t) có bước nhảy gián đoạn, chuỗi tại điểm gián đoạn lại hội tụ về trung bình của vế trái và giới hạn của vế phải của f(t) tại thời điểm gián đoạn. Thí dụ, hình 3.7b, (t) gián đoạn tại t = 0 với (0+) = 1 và (0 -) = e- /2 = 0,208. Chuỗi Fourier tương ứng hội tụ về giá trị (1+0,02008)/2 = 0,604 tại t = 0. Có thể kiểm nghiệm dễ dàng từ hình 3.56b bằng cách cho t = 0. Tồn tại của chuỗi Fourier: Điều kiện Dirichlet Hai điều kiện cơ bản cho tồn tại của chuỗi Fourier là: 1. Để chuỗi tồn tại thì các hệ số a0, an, và bn trong phương trình (3.51) phải hữu hạn. Từ các phương trình (3.51a), (3.51b), và (3.51c) thì các hệ số này tồn tại nếu f(t) là tích phân tuyệt đối trong một chu kỳ, tức là: f (t) dt (3.59) T 0 Điều kiện này gọi là điều kiện Dirichlet yếu. Nếu hàm f(t) thỏa điều kiện Dirichlet yếu, thì điều kiện tồn tại của chuỗi Fourier được thỏa, nhưnh chuỗi có thể không hội tụ tại mọi điểm. Thí dụ, nếu hàm f(t) là không hữu hạn tại một số điểm, thì rõ ràng chuỗi biểu diễn hàm sẽ không hội tụ tại các điểm này. Tương tự, nếu hàm có vô số điểm cực đại và cực tiểu trong một chu kỳ, thì hàm chứa lượng đáng kể các thành phần tần số tiến về vô cùng. Do đó, các hệ số của chuỗi tại tần số cao không suy giảm nhanh, nên chuỗi không hội tụ
20. đều và nhanh. Vậy, để chuỗi Fourier hội tụ, ngoài điều kiện (3.59), cần có thêm điều kiện sau 2. Hàm f(t) chỉ có hữu hạn các điểm cực đại và cực tiểu trong một chu kỳ, và chỉ có một số hữu hạn các điểm gián đoạn trong một chu kỳ. Hai điều kiện này được gọi là điều kiện Dirichlet mạnh. Cần chú ý là các tín hiệu tuần hoàn từ các phòng thí nghiệm thỏa điều kiện Dirichlet, nên đều có chuỗi Fourier hội tụ. Vậy, các tín hiệu tuần hoàn trong thực tế đều thỏa điều kiện đủ để chuỗi hội tụ. Thí dụ 3.4 Tỉm chuỗi Fourier lượng giác dạng gọn của sóng vuông tuần hoàn f(t) vẽ trong hình 3.8a, rồi vẽ phổ biên độ và phổ pha. Trường hợp này, T0 = 2 và 0 = 2 / T0 = 1. Do đó f (t) a0  an cos nt bn sin nt , với n 1 1 a0 f (t)dt T T0 0 Trong các phương trình trên, ta có thể lấy tích phân f(t) trong các khoảng thời gian T0 = 2 . Hình 3.8 cho thấy chọn lựa tốt nhất để lấy tích phân là từ - đến . Do f(t) chỉ bằng 1 trong khoảng , và f(t) = 0 trong đoạn còn lại, 2 2 1 / 2 1 a dt (3.60a) 0 2 / 2 2 Ngoài ra, từ hình 3.8a, ta cũng có thể tìm được trị trung bình của f(t) là a0 là ½. Đồng thời 1 / 2 2 n an cos ntdt sin / 2 n 2
21. 0 n _ even 2 n 1,5,9,13, (3.60b) n 2 n 3,7,11,15, n 1 / 2 bn sin ntdt 0 (3.60c) / 2 Do đó 1 2 1 1 1 f (t) cost cos3t cos5t cos 7t  (3.61) 2 3 5 7 Nhận thấy bn 0 và các thừa số sin đều bằng zêrô. Chỉ có thừa số cosin xuất hiện trong chuỗi lượng giác. Do đó, chuỗi tự thân đã ở dạng gọn trừ việc biên độ của các sóng hài luân phiên là âm. Từ định nghĩa, các biên độ Cn luôn dương (phương trình (3.53a). Các dấu âm có thể được xử lý dùng góc pha trong biểu thức lượng giác. cos x cos(x ) Viết lại (3.61) thành 1 2 1 1 1 1 f (t) cost cos(3t ) cos5t cos(7t ) cos9t  2 3 5 7 9 Đây đúng là chuỗi Fourier lượng giác dạng gọn. Biên độ là 1 C 0 2 0 n _ even C 2 n n _ odd n 0 n 3,7,11,15, n n 3,7,11,15, Dùng các giá trị trên ta vẽ được đồ thị phổ biên độ và phổ pha. Tuy nhiên, để đơn giản, ta cho phép Cn tồn tại các giá trị âm luân phiên nhau. Chưa cần thêm - để loại giá trị âm. Nói cách khác, các pha của mọi thành thành là zêrô, nên ta có thể bỏ qua phổ pha và chỉ xử lý phổ biên độ, như trong hình 3.8b. Quan sát là phương pháp này đơn giản hơn mà không làm mất thông tin và phổ biên độ trong hình 3.8 có đầy đủ thông tín về chuỗi Fourier trong (3.61). Do đó, khi các thành phần sin triệt tiêu (bn = 0), nên cho phép Cn có các giá trị âm. Phương pháp này cho phép thông tin về phổ được chuyển sang một dạng phổ - phổ biên độ. Thí dụ 3.5 Tỉm chuỗi Fourier lượng giác dạng gọn của sóng vuông tuần hoàn f(t) vẽ trong hình 3.9a, rồi vẽ phổ biên độ và phổ pha của f(t).
22. Trường hợp này, chu kỳ T0 = 2, vậy 2  , và 0 2 f (t) a0  an cos n t bn sin n t n 1 Với 2At t 1/ 2 f (t) 2A(1 t) (1/ 2) t (3/ 2) Trường hợp này nên chọn khoảng tích phân từ (-1/2) đến (3/2) thay vì từ 0 đến 2. Hình 3.9a cho thấy trị trung bình (dc) của f(t) là zêrô, nên a0 = 0, và 2 3/ 2 1/ 2 3/ 2 an f (t)cos n tdt 2Atcos n tdt 2A(1 t)cos n tdt 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 Tính các tích phân này cho giá trị an = 0 (3.62a) 1/ 2 3/ 2 bn 2Atsin n tdt 2A(1 t)sin n tdt 1/ 2 1/ 2 Tính các tích phân này, cho ta 0 n _ even 8A n 8A bn 2 2 sin 2 2 n 1,5,9,13, (3.62b) n 2 n 8A n 3,7,11,15, n2 2
23. Vậy 8A 1 1 1 f (t) sin t sin 3 t sin 5 t sin 7 t  (3.63) 2 9 25 49 Để vẽ phổ Fourier, cần chuyển chuỗi thành dạng lượng giác gọn như trong phương trình (3.54), Trong trường hợp này, thừa số sin đã được chuyển thành dạng cosin dùng phép dời pha thích hợp. Thí dụ sin kt cos(kt  900 ) Dùng đặng thức này, phương trình (3.63) viết thành 8A 1 1 1 f (t) cos( t 900 ) cos(3 t 900 ) cos(5 t 900 ) cos(7 t 900 )  2 9 25 49 (3.64) Trong chuỗi này, các hài bậc chẵn triệt tiêu. Pha các hài bậc lẻ luân phiên thay đổi từ -900 sang 900. Hình 3.9 vẽ phổ biên độ và phổ pha của f(t). 3.4-1 Ảnh hƣởng của tính đối xứng Chuỗi Fourier của tín hiệu tuần hoàn trong hình 3.7a (thí dụ 3.3) gồm các thừa số sin và cosin, nhưng chuỗi của tín hiệu f(t) trong hình 3.8a (thí dụ 3.4) chỉ chứa các thừa số cosin, và chuỗi của tín hiệu f(t) trong hình 3.9a (thí dụ 3.5) chỉ chứa các thừa số sin. Đây không phải là điều gì bất thường. Ta có thể chứng minh là chuỗi Fourier của hàm chẵn f(t) chỉ gồm các thừa số cosin và chuỗi Fourier của hàm lẻ f(t) chỉ gồm các thừa số sin. Tuy nhiên, từ tính đối xứng (chẵn hay lẻ), thông tin trong một chu kỳ của f(t) chỉ là ẩn trong nữa chu kỳ, như trong hình 3.8a và 3.9a. Trong các trường hợp này, khi biết được tín hiệu trong nữa chu kỳ và tùy theo dạng đối xứng (chẵn hay lẻ), ta xác định được dạng sóng tín hiệu trong toàn chu kỳ. Do đó, các hệ số Fourier trong các trường hợp này có thể được tính bằng cách chỉ lấy tích phân trong nữa chu kỳ thay vì toàn chu kỳ. Để chứng minh, hảy xem lại là 1 T0 / 2 a0 f (t)dt (3.65a) T / 2 T0 0 1 T0 / 2 an f (t)cos n0tdt (3.65b) T / 2 T0 0 1 T0 / 2 bn f (t)sin n0tdt (3.65c) T / 2 T0 0 Đồng thời, cũng cần nhớ là cosn0t là hàm chẵn và sinn0t là hàm lẻ theo t. Nếu f(t) là hàm chẵn theo t, thì f(t)cosn0t cũng là hàm chẵn và f(t)sinn0t là hàm lẻ theo t (xem phần 1.5-1), do đó dùng các phương trình (1.33a) và (1.33b) ta có: 2 T0 / 2 a0 f (t)dt (3.66a) 0 T0 4 T0 / 2 an f (t)cos n0tdt (3.65b) 0 T0 bn 0 (3.66c)
24. Tương tự, nếu f(t) là hàm lẻ theo t, thì f(t)cosn0t là hàm lẻ theo t và f(t)sinn0t là hàm chẵn theo t. Do đó a0 an 0 (3.67a) 4 T0 / 2 bn f (t)sin n0tdt (3.67b) 0 T0 Nhờ tính đối xứng nên khi tính các hệ số chỉ cần tính tích phân trong nữa chu kỳ. Nếu tín hiệu tuần hoàn f(t), dời đi nữa chu kỳ, thì vẫn giữa nguyên trừ việc có dấu – 1, tức là, nếu T f t 0 f (t) 2 thì tín hiệu được gọi đối xứng nửa sóng. Có thể chứng minh là tín hiệu đối xứng nửa sóng, thì có các thành phần sóng hài bậc chẵn triệt tiêu (xem bài tập 3.4-7). Tín hiệu trong hình 3.9a là thí dụ về dạng đối xứng này. Dạng đối xứng này cũng có trong tín hiệu hình 3.8a nhưng ở dạng khó phát hiện hơn. Tuy nhiên, dạng đối xứng nửa sóng càng rõ ràng khi ta trừ thành phần dc 0,5 khỏi tín hiệu. Chú ý là tín hiệu có thành phần dc 0,5 và chỉ có hài bậc lẻ. Bài tập E3.6 Tìm chuỗi Fourier lượng giác dạng gọn của các tín hiệu tuần hoàn trong hình 3.10a và 3.10b. Vẽ đồ thị phổ biên độ và phổ pha. Cho phép Cn có các giá trị âm nếu bn = 0 sao cho có thể loại được phổ pha. Hướng dẩn: dùng phương trình (3.66) và (3.67) cho tính đối xứng. Đáp số: 1 4 1 1 1 (a) f (t) cos t cos 2 t cos3 t cos 4 t  3 2 4 9 16 1 4 1 1 cos( t ) cos 2 t cos(3 t )  3 2 4 9 2A 1 1 1 (b) f (t) sin t sin 2 t sin 3 t sin 4 t  2 3 4 2A 1 1 cos( t 900 ) cos(2 t 900 ) cos(3 t 900 )   2 3
25. 3.4-2 Tìm tần số cơ bản và chu kỳ Ta đã thấy là các tín hiệu tuần hoàn có thể được biểu diễn thành tổng các sóng sin có tần số cơ bản 0 và các sóng hài của nó. Như thế, phương thức xác định tần số cơ bản là như thế nào? Xét ba hàm sau: 1 2 7 f1(t) 2 7cos( 2 t 1) 3cos( 3 t 2 ) 5cos( 6 t 3 ) f2 (t) 2cos(2t 1) 5sin( t 2 ) f3 (t) 3sin(3 2t ) 7cos(6 2t ) Nhắc lại là mỗi tần số trong tín hiệu tuần hoàn là bội số nguyên của tần số cơ bản 0. Do đó, tỉ số của hai tần số có dạng m/n trong đó m và n là các số nguyên. Tức là tỉ số giữa hai tần số là số hữu tỷ. Khi tỉ số giữa hai tần số là số hữu tỷ, thì chúng được gọi là có quan hệ sóng hài (harmonically related). Số dương lớn nhất mà mọi tần số đều là bội số nhân được gọi là tần số cơ bản. Các tần số trong phổ của f1(t) là ½, 2/3 , và 7/6 (ta không xét thành phần dc). Tỉ số giữa các tần số liên tiếp lần lượt là ¾ và 4/7. Do các số đều là hữu tỷ, ba tần số trong phổ được gọi là có quan hệ hài nên tín hiệu f1(t) là tuần hoàn. Số lớn nhất của các bội số ½, 2/3 và 7/6 là 1/6. Hơn nữa, 3(1/6) = ½, 4(1/6)= 2/3, và 7(1/6) = 7/6. Do đó tần số cơ bàn là 1/6. Ba tần số trong phổ là các hài bậc ba, bậc bốn và bậc bảy. Quan sát thấy không có thành phần tần số cơ bản trong chuỗi Fourier này. Tín hiệu f2(t) là không tuần hoàn do tỉ số giữa hai tần số trong phổ là 2/ , không phải là số hữu tỷ. Tín hiệu f3(t) là tuần hoàn do tỉ số giữa các tần số 3 2 và 6 2 là ½, là số hữu tỷ. Do đó, tần số cơ bản là 0 3 2 , và chu kỳ 2 2 T 0 (3 2) 3 Bài tập E3.7 Tìm tính chu kỳ của tín hiệu 2 4 f (t) cos t 300 sin t 450 3 5 Nếu là tín hiệu tuần hoàn, tìm tần số cơ bản và chu kỳ. Tìm các hài hiện diện trong f(t)? 2 Đáp số: Tín hiệu tuần hoàn với  và chu kỳ T0 = 15 . Hài bậc năm và bậc sáu  0 15 3.4-3 Vai trò của phổ biên độ và phổ pha trong dạng sóng Chuỗi Fourier lượng giác của tín hiệu f(t) cho thấy tính tường minh của các thành phần sóng sin trong f(t). Ta có thể tổng hợp f(t) bằng cách cộng các sóng sin trong phổ của f(t). Để tổng hợp xung vuông tuần hoàn f(t) trong hình 3.8a, ta cộng liên tiếp từng bước các sóng hài và xem xét tính tương đồng với giữa tín hiệu có được và f(t). Chuỗi Fourier của hàm này tìm được trong thí dụ 3.4 là: 1 2 1 1 1 f (t) cost cos3t cos5t cos 7t  2 3 5 7 Bắt đầu tổng hợp chỉ dùng thừa số thứ nhất trong chuỗi (n = 0), là thành phần hằng ½ (dc); đây là phép xấp xỉ thô của sóng vuông, vẽ trong hình 3.11a. Bước kế. ta cộng thành phần dc với hài bậc một (cơ bản), tạo tín hiệu vẽ trong hình 3.11b. Ta thấy tín hiệu tổng
26. hợp có vẽ giống f(t). Đây là dạng không mịn của tín hiệu f(t). Tín hiệu này không có các góc cạnh của dạng tín hiệu f(t), do các góc cạnh tương ứng với thay đổi nhanh và muốn tái tạo thì cần tạo thay đổi nhanh (tức là thành phẩn tần số cao), vẫn chưa có trong bước này. HÌnh 3.11c vẽ tổng của dc, hài bậc một và bậc ba (chưa có hài bậc chẵn). Khi tiếp tục tăng số lượng sóng hài, như trong hình 3.11d (tổng đến thành phần hài bậc năm) và hình 3.11e (tổng đến hài bậc chín), góc cạnh của xung trở nên sắc nét hơn và tín hiệu càng giống với f(t). Tốc độ suy giảm tiệm cận của phổ biên độ Phổ biên độ cho thấy lượng (biên độ) của nhiều thành phần tần số của f(t). Nếu f(t) là hàm mịn, các thay đổi này ít nhanh. Tổng hợp các hàm này cần có thành phần sóng sin tần số thấp chủ đạo và lượng nhỏ các sóng sin thay đổi nhanh (tần số cao). Phổ biên độ của các hàm dạng này sẽ giảm tức thời theo tần số. Để tổng hợp các hàm này ta chỉ cần ít thừa số trong chuỗi Fourier để xấp xỉ tốt tín hiệu. Ngược lại, tín hiệu có dạng thay đổi nhanh, thí dụ có các bước nhảy gián đoạn, chứa nhiều thay đổi nhanh, nên khi tổng hợp cần lượng tương đối lớn các thành phần tần số cao. Phổ biên độ của các tín hiệu dạng này giảm chậm theo tần số, vè để tổng hợp các tín hiệu này, ta cần nhiều thừa số trong chuỗi Fourier để xấp xỉ được tốt. Sóng vuông f(t) là hàm không liên tục với bước nhảy gián đoạn, nên phổ biên độ giảm hơi nhanh, theo 1/n (xem phương trình 3.61). Mặt khác, xung
27. tuần hoàn tam giác trong hình 3.9a là hàm mịn do do hàm liên tục (không có bước nhảy gín đoạn). Phổ giảm nhanh theo tần số với 1/n2 ( xem phương trình 3.63). Ta có thể chứng minh là nếu tín hiệu tuần hoàn f(t) có (k – 1) đạo hàm đầu tiên liên tục và đạo hàm thứ k là gián đoạn, thì phổ biên độ Cn giảm theo tần số ít nhất là với tốc độ 1/nk+1. Điều này cung cấp một phương pháp đơn giản và hữu dụng để dự đoán về tốc độ tiệm cận của chuỗi Fourier. Trường hợp tín hiệu vuông (hình 3.8a), đạo hàm bậc zêrô của tín hiệu (chính là tín hiệu) là không liên tục, nên k = 0. Trường hợp tín hiệu tuần hoàn tam giác trong hình 3.9a, đạo hàm bậc nhất là không liên tục; tức là k = 1. Do đó, phổ của các tín hiệu này giảm lần lượt theo 1/n và 1/n2. Vai trò của phổ pha Quan hệ giữa phổ biên độ và dạng sóng f(t) tương đối rõ ràng. Tuy nhiên, quan hệ giữa phổ pha và dạng sóng tín hiệu tuần hoàn lại không trực tiếp như thế. Phổ pha cũng giữa vai trò quan trọng trong định hình dạng tín hiệu. Có thể giải thích vai trò này thông qua xem xét tín hiệu f(t) có thay đổi nhanh thí dụ như có bước nhảy gián đoạn. Để tổng hợp các thay đổi tức thời tại các điểm gián đoạn, pha của các thành phần sóng sin trong phổ phải làm cho mọi (hay hầu hết) các biên độ sóng hài có cùng dấu trước điểm gián đoạn và có dấu ngược lại sau điểm gián đoạn. Điều này làm f(t) thay đổi hình dạng nhanh tại điểm giám đoạn. Ta có thể kiểm nghiệm lại điều này với một số dạng sóng có bước gián đoạn. Thí dụ, xét dạng sóng tín hiệu trong hình 3.10b. Dạng sóng này có gián đoạn tại t =1. Chuỗi Fourier của dạng sóng này được cho trong bài tập E3.6b là
28. 2A 1 1 1 f (t) cos( t 900 ) cos(2 t 900 ) cos(3 t 900 ) cos(4 t 900 )  2 3 4 (3.68) Hình 3.12 vẽ ba thành phần đầu của chuỗi này. Pha của mọi (vô hạn) thành phần làm cho các biên độ là dương ngay trước khi t = 1 và chuyển thành âm ngay sau khi t = 1, là điểm gián đoạn. Tương tự, cho điểm gián đoạn t = - 1. Việc đảo dấu trong mọi thành phần sóng hài được cộng dồn để tạo bước nhảy gián đoạn. Để thực hiện được thay đổi đột ngột trong dạng sóng, thì phổ pha đóng vai trò chủ yếu. Nếu ta cố tái tạo tín hiệu này mà không cần biết đến phổ pha, tín hiệu sẽ bị xấu và bị dãn ra. Thường phổ pha cũng quan trọng như phổ biên độ trong định hình dạng tín hiệu. Việc tổng hợp các tín hiệu f(t) được thực hiện dùng một tổ hợp thích hợp nhất về biên độ và pha của nhiều sóng sin khác nhau. Tổ hợp duy nhất này được gọi là phổ Fourier của f(t). Tổng hợp Fourier cho hàm không liên tục: Hiện tƣợng Gibbs. Hình 3.11 vẽ hàm vuông f(t) và các xấp xỉ dùng chuỗi Fourier lượng giác rút gọn chỉ gồm các hài bậc n đầu tiên với n = 1. 3. 5, và 19. Đồ thị của chuỗi xấp xỉ rút gọn càng giống f(t) khi n càng tăng, và ta mong muốn chuỗi sẽ hội tụ về đúng f(t) khi n  . Điều này là do (xem phần 3.3), năng lượng của sai biệt giữa f(t) và chuỗi Fourier trong một chu lỳ (năng lượng sai số)  0 khi n  . Điều lạ là (như trong hình 3.11), là ngay khi n lớn, chuỗi rút gọn cho thấy dáng điệu của dao động và có vọt lố xuất hiện khi ở khoảng 9% lân cận điểm gián đoạn tại đỉnh dao động đầu tiên. Bất chấp giá trị của n, độ vọt lố vẫn duy trì mức khoảng 9%. Đáp ứng kỳ lạ này xuất hiện làm mâu thuẩn với kết quả toán học tìm được trong phần 3.3-2, là năng lượng sai số 0 khi n  . Thực ra, điều có vẽ mâu thuẩn này làm khó xử nhiều người. Josiad Willard Gibbs đã chứng minh toán học được về dáng điệu này (nay gọi là hiện tượng Gibbs). Ta có thể hóa giải điều mâu thuẩn này bằng cách quan sát từ hình 3.11 rằng tần số dao động của tín hiệu được tổng hợp có giá trị n, nên độ rộng của gai nhọn với độ vọt lố 9% xấp xỉ là 1/2n. Khi ta tăng n, số lượng các thừa số trong chuỗi, thì tần số dao động tăng và độ rộng 1/2n của gai nhọn giảm đi. Khi n  , năng lượng sai số n 0 do sai số gồm hầu hết là gai nhọn, với độ rộng 0. Do đó, khi n  , chuỗi Fourier tương ứng khác với f(t) vào khoảng 9% tại phần lân cận bên phải và bên trái của điểm gián đoạn, nên năng lượng sai số 0. Khi ta chỉ dùng n thừa số đầu tiên trong chuỗi Fourier để tổng hợp tín hiệu, ta đã đột ngột kết thúc chuỗi, làm n thừa số đầu tiên có trọng lượng là đơn vị và các thành phần hài còn lại lớn hơn n có trọng lượng là zêrô. Kết thúc chuỗi đột ngột tạo hiện tượng Gibbs khi tổng hợp các hàm không liên tục. Phần 4.9 sẽ thảo luận kỹ hơn về hiện tượng Gibbs như việc phân nhánh (ramification) và cách khắc phục. Hiện tượng Gibbs chỉ xuất hiện khi có bước nhảy gián đoạn trong f(t). Khi tổng hợp hàm liên tục f(t) dùng n thừa số đầu tiên của chuỗi Fourier, thì hàm tổng hợp tiệm cận f(t) với mọi t khi n  , và không xuất hiện hiện tượng Gibbs. Chú ý là không có hiện tượng Gibbs trong hình 3.13, khi tổng hợp tín hiệu liên tục dùng 19 hài đầu tiên. So sánh tình huống tương tự khi tín hiệu không liên tục trong hình 3.11.
29. Bài tập E3.8 Khi xem xét tín hiệu trong hình 3.7b, 3.10a và 3.10b, hảy xác định tốc độ suy giảm tiệm cận của các phổ biên độ. Đáp số: 1/n, 1/n2, và 1/n.  3.5 Chuỗi Fourier dạng mủ Phần phụ lục 3C cho thấy tập các hàm mủ e jn0t (n = 0, 1, 2, . . . ) là trực giao trong khoảng thời gian T0 = 2 /0, tức là: * 0 m n e jm0t e jn0t dt e j(m n)0t dt (3.69) T T 0 0 T0 m n Hơn nữa, tập này còn là tập đủ. Từ phương trình (3.44) và (3.45) thì tín hiệu f(t) có thể được biểu diễn thành chuỗi Fourier dạng hàm mủ trong khoảng thời gian T0 giây. jn0t f (t)  Dne (3.70) n Với (xem phương trình 3.45) 1 jn0t Dn f (t)e dt (3.71) T T0 0 Chuỗi Fourier dạng mủ về cơ bản là một dạng khác của chuỗi Fourier lượng giác. Các tín hiệu sin với tần số  có thể được viết thành tổng của hai hàm mủ ejt và e- jt. Như thế chuỗi Fourier dạng mủ có dạng e jn0t với n thay đổi từ - đến . Chuỗi Fourier dạng mủ trong phương trình (3.70) là tuần hoàn với chu kỳ T0. Để thấy được quan hệ chặt chẽ với chuỗi Fourier lượng giác, ta tìm lại chuỗi Fourier dạng mủ từ chuỗi Fourier lượng giác. Tín hiệu sin trong chuỗi lượng giác có thể được viết thành tổng hai hàm mủ dùng công thức Euler: Cn j(n0t n ) j(n0t n ) Cn jn jn0t Cn jn jn0t Cn cos(n0t n ) e e  e e e e 2 2 2 jn0t jn0t Dne D ne (3.72) Chuỗi Fourier lượng giác dạng gọn của tín hiệu tuần hoàn f(t) được cho bởi:
30. f (t) C0 Cn cos(n0t n ) n 1 Dùng phương trình (3.72) vào phương trình trên (cho C0 = D0) ta có jn0t jn0t jn0t f (t) D0  Dne  D ne  Dne n 1 n 1 n Đây chính xác là phương trình (3.70) đã tìm được trước đây. Ta thấy tính gọn (compact) của các biểu thức (3.70) và (3.71) rồi so sánh chúng với biểu thức tương ứng của chuỗi Fourier lượng giác. Hai phương trình trên rõ ràng đã chứng tõ ưu điểm của chuỗi Fourier dạng mủ. Đầu tiên, dạng chuỗi có tính gọn hơn. Thứ hai, biểu thức toán học để tìm các hệ số trong chuỗi cũng gọn hơn. Chuỗi dạng mủ tiện hơn nhiều so với chuỗi lượng giác. Đồng thời, kho phân tích hệ thống, thì dạng mủ thích hợp hơn dạng lượng giác. Do đó, ta dùng ý niệm chuỗi dạng mủ (thay vì chuỗi lượng giác) cho phần còn lại của tài liệu. Quan hệ giữa hệ số của chuỗi lượng giác và hàm mủ được trình bày rõ trong phương trình (3.72): 1 D C e jn n 2 n 1 D C e jn (3.73) n 2 n Quan hệ giữa chuỗi lượng giác và hàm mủ được trình bày rõ trong phương trình (3.71) khi thày e jt cost j sint : 1 D (a jb ) (3.74) n 2 n n Thí dụ 3.6 Tìm chuỗi Fourier dạng mủ của tín hiệu trong hình 3.7b (thí dụ 3.3). Trường hợp này T0 = , 0 = 2 / T0 = 2, và j2nt (t)  Dne , với n 1 j2nt 1 t / 2 j2nt 1 (1/ 2 j2n)t Dn (t)e dt e e dt e dt T 0 0 T0 0 1 ( 1 j2n)t 0,504 e 2 (3.75) 1 0 2 j2n 1 j4n 1 Và (t) 0,504  e j2nt (3.76a) n 1 j4n 1 j 2t 1 j 4t 1 j 6t 0,504 1 e e e  1 j4 1 j8 1 j12 1 j2t 1 j4t 1 j6t e e e  (3.76b) 1 j4 1 j8 1 j12 Quan sát thấy các hệ số Dn là phức. Hơn nữa, Dn và D-n là liên hợp (xem phương trình (3.73).
31. 3.5-1 Phổ Fourier dạng mủ Trong phổ hàm mủ, ta vẽ các hệ số Dn là hàm theo . Nhưng do Dn thường là phức, ta cần vẽ hai đồ thị: phần thực và phần ảo của Dn, hay biên độ và góc pha của Dn. Ta thường dùng dạng thứ hai do có quan hệ chặt chẽ giữa biên độ và pha với các thành phần này của chuỗi Fourier lượng giác. Do đó ta vẽ Dn theo  và Dn theo . Điều jDn này đòi hỏi các hệ số Dn phải viết theo dạng cực Dn e . So sánh phương trình (3.51a) và (3.71) (với n = 0), ta thấy D0 = a0 = C0 (3.77a) Phương trình (3.73) cho thấy, khi f(t) thực, thì cặp hệ số Dn và D-n là liên hợp, và 1 D D C n 0 (3.77b) n n 2 n Dn n và D n n (3.77c) Do đó j n j n Dn Dn e và D n Dn e (3.77d) Trong đó là biên độ và là góc pha của nhiều thành phần hàm mủ. Từ phương trình (3.77) ta thấy phở biên độ ( theo ) là hàm chẵn theo  và phổ góc ( theo ) là hàm lẻ theo  khi f(t) là tín hiệu thực. Thí dụ với chuỗi trong thí dụ 3.6 (phương trình (3.76b)) D0 0,504 0,504 0 D 0,122e j75,96 D 0,122,  D 75,960 1 1 j4 1 1 0,504 0 D 0,122e j75,96 D 0,122,  D 75,960 1 1 j4 1 1 và 0,504 0 D 0,0625e j82,87 D 0,0625,  D 82,870 2 1 j8 2 2 0,504 0 D 0,0625e j82,87 D 0,0625,  D 82,870 2 1 j8 2 2 Và tiếp tục. Chú ý Dn và D-n là liên hợp, theo phương trình (3.77) Hình 3.14 vẽ phổ tần số (biên độ và góc) của chuỗi Fourier dạng mủ của tín hiệu tuần hoàn (t) trong hình 3.7b. Ta ghi nhận một số đặc tính thú vị của các phổ này. Đầu tiên, phổ tồn tại với các giá trị dương và âm của  (tần số). Thứ hai, biên độ phổ là hàm chẵn theo , và phổ góc là hàm lẻ theo . Cuối cùng, ta thấy quan hệ chặt chẻ giữa các phổ này với phổ tương ứng của chuỗi Fourier lượng giác của (t) (hình 3.7c và d). Tần số âm là gì? Tồn tại của phổ tại các tần số âm có vẽ khó hiểu do, từ định nghĩa thì tần số (số lần lặp lại trong một giây) là đại lượng dương. Như thế tại sao ta lại dùng tần số âm? Dùng đẳng thức lượng giác, viết sóng sin có tần số âm tại - 0 là cos( 0t ) cos0t )
32. Phương trình này chỉ rõ là tần số của sóng cos(0t + ) là 0 , là đại lượng dương. Ta có cùng kết luận khi thấy j0t e cos0t sin0t Do đó, tần số của hàm mủ e j0t cũng là . Như thế ta biểu diễn đồ thị phổ với giá trị âm của  như thế nào? Một phương pháp hợp lý trong trường hợp này là gọi phổ hàm mủ là biểu diễn đồ thị các hệ số Dn là hàm theo . Tồn tại phổ tại  = - n0 chỉ đơn thuần cho thấy thành phần hàm mủ e j0t tồn tại trong chuỗi. Ta biết là (xem phương j0t trình 3.72) là sóng sin có tần số n0 có thể được biểu diễn theo cặp các hàm mủ e và . Phương trình (3.77) cho thấy quan hệ chặt chẽ giữa phổ chuỗi lượng giác (Cn và n) với phổ hàm mủ ( Dn và Dn ). Thành phần dc D0 và C0 giống nhau trong hai dạng phổ. Hơn nữa, phổ biên độ hàm mủ là phân nửa của phổ biên độ lượng giác Cn khi n 1. Phổ góc của hàm mủ thì giống hệt với phổ pha n khi n 0. Do đó, ta có thể tạo phổ hàm mủ từ phổ chuỗi lượng giác và ngược lại. Thi dụ dưới đây minh học tính chất này. Thí dụ 3.7 Phổ của chuỗi Fourier lượng giác của tín hiệu tuần hoàn f(t) vẽ trong hình 3.15. Bằng cách xem xét các phổ này, vẽ phổ của chuổi Fourier mủ tương ứng và kiểm nghiệm lại kết quả. Thành phần phổ lượng giác hiện diện tại các tần số 0, 3, 6 và 9. Thành phần phổ mủ xuất hiện tại các tần số 0, 3, 6, 9 và – 3, – 6, – 9. Ta xét phổ biên độ trước, thành phần dc giữ không đổi, tức là D0 = C0 =16. Do Dn là hàm chẵn theo  và Dn = D n =Cn/2. Do đó, mọi phổ còn lại của vớ n dương là phân nửa của phổ biên
33. độ lượng giác Cn, và phổ Dn khi n âm là phần phản chiếu của phổ khi n dương qua trục dọc, như vẽ trong hình 3.15b. Phổ góc Dn n khi n dương và là – n khi n âm, được vẽ trong hình 3.15b. Ta tiếp tục kiểm tra xem tại sao hai tập phổ này biểu diễn được cùng tín hiệu. Tín hiệu f(t) có phổ lượng giác được vẽ trong hình 3.15a, có bốn thành phần phổ tần số tại 0, 3, 6, và 9. Thành phần dc là 16. Thành phần biên độ và pha của tần số 3 lần lượt là 12 và – /4. Do đó, thành phần được được viết thành 12cos(3t / 4) . Tiếp tục dùng cách này, ta viết được chuỗi Fourier của f(t) thành f (t) 16 12cos(3t / 4) 8cod(6t / 2) 4cos(9t / 4) Tiếp tục xét chuỗi hàm mủ trong hình 3.15b, với các thành phần tại tần số 0 (dc), j3t 3, 6, và 9. Thành phần dc là D0 =16. Thành phần e (tần số 3) có biên độ là 6 và góc là – /4. Do đó, cường độ của thành phần là 6e j / 4 , và được viết thành 6e j / 4 e j3t . Tương tự, thành phần tại tần số –3 là 6e j / 4 e j3t . Tiếp tục với phương pháp này, ta có fˆ(t) , tín hiệu tương ứng với phổ trong hình 3.15b là: j t j t j t j t j t j t fˆ(t) 16 [6e 4 e j3t 6e 4 e j3t ] [4e 2 e j6t 4e 2 e j6t ] [2e 4 e j9t 2e 4 e j9t ] j(3t ) j(3t ) j(6t ) j(6t ) j(9t ) j(9t ) 16 6[e 4 e 4 ] 4[e 2 e 2 ] 2[e 4 e 4 ] 16 12cos 3t 8cos 6t 4cos 9t 4 2 4 Rõ ràng hai tập phổ biểu diễn dùng một tín hiệu tuần hoàn.
34. Băng thông của tín hiệu Sai biệt giữa các tần số cao nhất và thấp nhất của các thành phần phổ của tín hiệu được gọi là băng thông của tín hiệu. Băng thông của tín hiệu có phổ hàm mủ vẽ trong hình 3.15b là 9 (tính theo radian). Tần số cao nhất và thấp nhất lần lượt là 9 và 0. Chú ý là thành phần tần số 12 có biên độ là zêrô và không tồn tại. Hơn nữa, tần số thấp nhất là 0, không phải là – 9. Nhắc lại là các tần số (theo nghĩa truyền thống) của thành phần phổ tại  = – 3, – 6 và – 9 trong thực tế là 3, 6 và 9. Băng thông có thể thấy được từ phổ lượng giác trong hình 3.15a. Thí dụ 3.8 Tìm chuỗi Fourier mủ và vẽ phổ tương ứng cho chuỗi xung  (t) vẽ trong hình T0 3.16a. Từ kết quả này vẽ phổ lượng giác rồi biết biểu thức chuỗi Fourier lượng giác cho . Chuỗi Fourier mủ cho bởi 2  (t) D e jn0t  (3.78) T0  n 0 n T0 Trong đó 1 jn0t Dn T (t)e dt T 0 T0 0 T0 T0 Chọn khoảng lấy tích phân là , và ghi nhận là trong khoảng này T (t)  (t) , 2 2 0 T0 / 2 1 jn0t Dn  (t)e dt T / 2 T0 0 Trong tích phân này, xung ở vị trí t = 0. Theo đặc tính lấy mẫu (1.24a), tích phân bên vế phải có giá trị e jn0t tại t = 0 (vị trí của xung). Do đó 1 Dn (3.79) T0 Thế giá trị này vào phương trình (3.78), ta có chuỗi Fourier dạng mủ 1 2  (t) e jn0t  (3.80) T0  0 T0 n T0 Phương trình (3.79) cho thấy phổ hàm mủ là đồng đều (Dn = 1/T0) với mọi tần số, được vẽ trong hình 3.16b. Phổ là thực, chỉ cần vẽ biên độ. Các pha đều là zêrô. Để vẽ phổ lượng giác, ta dùng phương trình (3.77) để có 1 C0 D0 T0 2 Cn 2 Dn n = 1, 2, 3, . . . T0 n 0
35. Hình 3.16c vẽ chuỗi Fourier lượng giác. Từ chuỗi này ta có thể biểu diễn  (t) thành T0 1 2  (t) [1 2(cos t cos 2 t cos3 t )]  (3.81) T0 0 0 0 0 T0 T0 Bài tập E3.9 Phổ Fourier mủ của một số tín hiệu tuần hoàn f(t) được vẽ trong hình 3.17. Xác định và vẽ phổ Fourier lượng giác của f(t) qua xem xét hình 3.17. Viết chuỗi Fourier lượng giác dạng gọn của f(t). Đáp số f (t) 4 6cos(3t 6 ) 2cos(6t 4 ) 4cos(9t 2 )  Bài tập E3.10 Tìm chuỗi Fourier và vẽ phổ Fourier Dn theo  của tín hiệu sin được nắn toàn kỳ vẽ trong hình 3.18. 2 1 Đáp số j2nt  f (t)  2 e n 1 4n
36. Định lý Parseval Chuỗi Fourier lượng giác của tín hiệu tuần hoàn f(t) là f (t) C0 Cn cos(n0t n ) n 1 Mỗi thừa số bên vế phải phương trình là tín hiệu năng lượng. Hơn nữa, tất cả các thành phần Fourier bêm vế phải là trực giao trong một chu kỳ. Do đó, công suất của f(t) bằng với tổng công suất của tất cả các thành phần sin bên vế phải. Thí dụ 1.2 đã cho thấy công suất của tổng các sóng sin thì bằng với tổng công suất của tất cả sóng sin. Hơn nữa, công 2 suất của sóng sin có biên độ Cn là Cn /2 bấp chấp giá trị của các pha tần số, và công suất 2 của thừa số dc C0 là C0 . Vậy công suất của f(t) là 2 2 Pf C0 Cn (3.82) n 1 Kết quả này cho ta một dạng khác của phương trình (3.42), được gọi là định lý Parseval (cho chuỗi Fourier), và khẳng định là công suất của tín hiệu tuần hoàn bằng với tổng của công của của các thành phần Fourier của chúng. Ta có thể áp ứng cùng phương pháp này cho chuỗi Fourier mủ, cũng được tạo nên từ các thành phần trực giao. Do đó, công suất của tín hiệu tuần hoàn f(t) có thể được biểu diễn thành tổng công suất của các thành phần mủ. Trong phương trình (1.5d), ta đã chứng minh là công suất của hàm mủ De j0t là D2 . Dùng kết quả này ta có thể biểu diễn công suất của tín hiệu tuần hoàn f(t) theo các hệ số chuỗi Fourier dạng mủ là 2 Pf  Dn (3.83a) n Khi tín hiệu f(t) thực, D n = Dn , do đó 2 2 Pf D0 2 Dn (3.83b) n 1
37. Thí dụ 3.9 Tín hiệu vào của mạch khuếch đại âm thanh có độ lợi 100 có dạng x(t) = 0,1cos0t. Do đó, ngõ ra là 10cos0t. Tuy nhiên, bộ khuếch đại là phi tuyến tại mức biên độ cao, xén mọi tín hiệu ở mức 8 vôn như vẽ trong hình 3.19a. Ta sẽ xác định các sóng hàu do méo gấy ra khi hoạt động. Ngõ ra y(t) là tín hiệu bị xén trong hình 3.19a. Tín hiệu méo yd(t), vẽ trong hình 3.19b, là sai biệt giữa tín hiệu không méo 10cos0t và tín hiệu ra y(t). Tín hiệu yd(t) có chu kỳ T0 [giống như của y(t)] có thể được mô tả trong một chu kỳ là 10cos0t 8 t 0,1024T0 T0 T0 yd (t) 10cos0t 8 2 0,1024T0 t 2 0,1024T0 0 các _ giá _ tri _ khác Quan sát thấy yd(t) là hàm chẵn theo t, có trị trung bình là zêrô. Hơn nữa bn = 0, và Cn an . Do đó, chuỗi Fourier là yd (t) Cn cos n0t n 1 Thông thường, ta có thể tính các hệ số Cn (bằng với an) bằng cách lấy tích phân yd (t)cos n0t trong một chu kỳ (rồi chia cho 2/T0). Do yd(t) có tính đối xứng, ta tìm an bằng cách lấy tích phân biểu thức chỉ trong nửa chu kỳ dùng phương trình (3.66). Phép ước lượng để xấp xỉ tích phân này là 20 sin[0,6435(n 1)] sin[0,6435(n 1)] 32 sin(0,6435n)  n 1 n 1  n n _ chan Cn 0 n _ le Tính các hệ số C1, C2, C3, . . . từ biểu thức này, ta viết được yd (t) 1,04cos0t 0,733cos30t 0,311cos50t  Tính các hài do méo Trong trường hợp này, ta có thể tính số lượng méo của tín hiệu ra bằng cách tính công suất của thành phần méo yd(t). Do yd(t) là hàm chẵn theo t và do công suất trong nửa chu kỳ là giống với công suất của bán kỳ thứ hai, ta có thể tính công suất bằng cách lấy trung bình năng lượng trong một phần tư chu kỳ. Do đó, T / 2 T / 4 0,1024T 1 0 2 1 0 2 4 0 2 Pyd yd (t)dt yd (t)dt (10cos0t 8) dt 0,865 T / 2 0 0 T0 0 T0 / 4 T0 2 Côn suất của tín hiệu mong muốn 10cos0t là (10) /2. Do đó, hài do méo tổng là 0,865 D x100 1,73% tot 50 2 Các công suất của thành phần hài bậc một và bậc ba của yd(t) là (1,04) /2 = 0,5408 và (0,726)2/2 = 0,235. Do đó, thành phần méo hài bậc một và bậc ba là 0,5408 0,2635 D x100 1,08% và D x100 0,527% 1 50 3 50
38. 3.6 Tính toán Dn Ta có thể tính Dn dùng phương pháp số với DFT (biến đổi Fourier rời rạc trong phần 5.2), dùng các mẩu của tín hiệu tuần hoàn f(t) trong một chu kỳ. Thởi gian lấy mẩu là T giây. Do đó, ta có N0 = T0/T là số mẩu trong một chu kỳ T0. Để tìm quan hệ giữa Dn và số mẩu của f(t), xét phương trình (3.71) N0 1 N0 1 1 jn0t 1 jn0kT 1 jn0k Dn f (t)e lim f (kT)e T lim f (kT)e (3.84) T T 0  T 0  T0 0 T0 k 0 N0 k 0 Trong đó f(kT) là mẩu thứ k của f(t) và T0 2 N0 , 0 0T (3.85) T N0 Trong thực tế, không thể làm cho T  0 khi tính toán vế phải của phương trình (3.84). Ta có thể làm T nhỏ, nhưng không là zêrô, điều làm cho dữ liệu tăng không giới hạn. Vậy, ta nên bỏ qua giới hạn của T trong phương trình (3.84) với ngầm hiểu là T là nhỏ một cách hợp lý. Giá trị T khác không tạo sai số tính toán, là điều không tránh được khi tính toán số tích phân. Sai số do T khác zêrô được gọ là sai số trùm phổ (aliasing error), sẽ được thảo luận chi tiết trong chương 5. Do đó, ta có thể viết (3.84) thành N0 1 1 jn0k Dn  f (kT)e (3.86a) N0 k 0 jn0 (k N0 ) jn0k Từ phương trình (3.85), 0N0 = 2 . Do đó, e e và từ phương trình (3.86a), ta có Dn+No = Dn (3,86b) Rõ ràng, phổ Fourier Dn lặp lại theo chu lỳ N0, làm phổ bị trùng lắp khi chu kỳ được lặp lại. Để hiểu được bản chất của trùng lắp này, xem hình 5.12f. Thông thường, Dn giảm theo n và việc trùng phổ do việc lặp lại có chu kỳ sẽ có ảnh hưởng không đáng kể nếu ta dùng N0 (chu kỳ) đủ lớn. Chu kỳ đầu giao với chu kỳ thứ hai tại n = N0/2. Do đó, để trùng lắp không đáng kể nếu cho Dn rất nhỏ với n N0/2. Do tính chu kỳ của Dn, ta chỉ cần tính Dn với N0 giá trị trong tầm n = – N0/2 đến N0/2 – 1. Tuy nhiên, dùng DFT (hay FFT) để tính Dn với n = 0 đến N0 – 1. Đăc tính tuần hoàn Dn+No = Dn có nghĩa là, bên ngoài giá trị n = N0/2, các hệ số biểu diễn các giá trị n âm. Thí dụ, khi N0 = 32, D17 = D –15, D17 = D–14, . . . , D31 = D – 1. Chu kỳ lặp lại từ n = 32. Ta có thể dùng phép tính FFT (biến đổi Fourier nhanh thảo luận trong phần 5.3) để tính vế phải của phương trình trên. Ta nên dùng MATLAB để thiết lập thuật toán FFT. Nhằm mục đích này, ta cần lấy mẫu f(t) trong mọt chu kỳ bắt đầu từ t = 0. Trong thuật m toán này, nên cho N0 theo dạng lủy thừa bậc 2, tức là N0 = 2 , với m là số nguyên (mặc dù có thể không cần thiết). .  Thí dụ dùng máy tính C3.1 Tính toán và vẽ phổ lượng giác và phổ mủ cho tín hiệu tuần hoản trong hình 3.7b (thí dụ 3.3). Các mẩu của f(t) bắt đầu từ t = 0 và mẩu cuối (thứ N0) tại t = T0 – T (mẩu cuối không phải tại t = T0 do mẩu tại t = 0 giống hệt mẩu tại t = T0, và chu kỳ kế bắt đầu tại t = T0). Tại điểm gián đoạn, giá trị mẩu được lấy từ trung bình các giá trị hàm ở hai bên điểm
39. gián đ;oạn. Do đó, trong trường hợp hiện tại, mẩu thứ nhất (tại t = 0) không phải tại 1, – /2 nhưng (e +1)/2 = 0,604. Đẻ xác định N0, ta cần giá trị Dn có thể bỏ qua được với n N0/2. Do f(t) có bước nhảy gián đoạn, Dn giảm chậm theo 1/n. Do đó, chọn N0 = 200 là chấp nhận được do(N0/2) có hài thứ 100 vào khoảng 0,01 (vào khoảng 1%) so với thành phần cơ bản. Tuy nhiên, ta cũng cần N0 theo dạng mủ lủy thừa 2. Do đó, ta nên chọn 8 N0 256 2 . Ta viết và lưu trữ file MATLAB (hay chương trình) c31.m để tính và vẽ các hệ số Fourier mủ. %(c31.m) % M là số hệ số cần tính T0 = pi; N0 = 256; T = T0/N0; M =10; t = 0:T:T*(N0 – 1); t = t’; f = exp(-t/2); f(1) = 0,604; %fft(f) là phép tính FFT [ tổng vế phải của phương trình (3.86)] Dn = fft(f)/N0 [Dnangle, Dnmag]=cart2pol(real(Dn),imag(Dn)); k = 0:length(Dn) – 1; k = k’; subplot(211), stem(k,Dnmag) subplot(212), stem(k,Dnangle) ans = Amplitudes Angles 0.5043 0 0.2446 - 75.9622 0.1251 - 82.8719 0.837 - 86.4175 0.0503 - 87.1299 0.0419 - 87.6048 0.0359 - 87.9437 0.0314 - 88.1977 0.0279 - 88.3949  3.6 Đáp ứng của hệ LT – TT – BB với ngõ vào tuần hoàn Tín hiệu tuần hoàn có thể được biểu diễn thành tổng của các hàm mủ (hay sin) không dừng. Ta cũng đã biết được phương pháp tìm đáp ứng của hệ thống LT – TT – BB đối với ngõ vào là hàm mủ không dừng. Từ thông tin này ta đã sẵn sàng để xác định đáp ứng của hệ thống LT – TT – BB với ngõ vào tuần hoàn. Một tín hiệu tuần hoàn f(t) với chu kỳ T0 có thể viết thành chuỗi Fourier mủ
40. jn0t 2 f (t)  Dne 0 n T0 Trong phần 2.4-3, ta đã chứng tõ là đáp ứng của hệ thống LT – TT – BB có hàm truyền H(s) khi ngõ vào là tín hiệu hàm mủ không dừng est cũng là hàm mủ không dừng H(s)est. Do đó, đáp ứng của hệ thống với hàm mủ không dừng ejt là hàm mủ không dừng H(j)ejt. Cặp vào ra có thể viết thành e jt H( j)e jt Ngõ vào  Ngõ ra Do đó, từ tính tuyến tính j0t j0t  Dne  Dn H( j0 )e n n Ngõ vào f(t)  Ngõ ra y(t) (3.87) Đáp ứng y(t) tìm được có dạng chuỗi Fourier mủ, và do đó là tín hiệu tuần hoàn có cùng chu kỳ với ngõ vào. Ta sẽ chứng minh tính hữu dụng của các kết quả này từ thí dụ sau Thí dụ 3.9 Bộ nắn điện toàn kỳ (hình 3.20a) được dùng để có tín hiệu dc từ sóng sint. Tín hiệu nắn điện là f(t), vẽ trong hình 3.18, được cho qua mạch lọc thông thấp RC, nhằm loại các thành phần thay đổi theo thời gian và có được thành phần dc với một số nhấp nhô còn sót lại. Tìm ngõ ra của bộ lọc y(t). Tìm biên độ ngõ ra dc, và trị rms của điện áp nhấp nhô.
41. Đầu tiên, ta tìm chuỗi Fourier của tín hiệu đã nắn điện f(t), có chu kỳ T0 = . Do đó, 0 = 2, và j2nt f (t)  Dne , trong đó n 1 j2nt 2 Dn sin te dt (3.88) 0 (1 4n2 ) Do đó: 2 j2nt f (t)  2 e n (1 4n ) Tiếp đến, ta tìm hàm truyền của mạch lọc RC trong hình 3.20. Mạch lọc này giống hệt mạch RC trong thí dụ 1.11 (hình 1.32) với phương trình vi phân mô tả quan hệ của ngõ ra (điện áp qua tụ) với ngõ vào f(t) cho bởi phương trình (1.60) là (3D + 1) y(t) =f(t) Hàm truyền H(s) của hệ này tìm từ phương trình (2.50) là 1 H(s) và 3s 1 1 H( j) (3.89) 3 j 1 Từ phương trình (3.87), ngõ ra y(t) có thể viết thành (với 0 =2) jn0t j2nt y(t)  Dn H( jn0t)e  Dn H( j2nt)e n n Thay Dn và H(j2n) từ phương trình (3.88) và (3.89) vào phương trình trên, ta có 2 j2nt (3.90) y(t)  2 e n (1 4n )( j6n 1) Chú ý là ngõ ra y(t) cũng là tín hiệu tuần hoàn do chuỗi Fourier mủ bên vế phải. Ngõ ra có thể tính toán số học từ phương trình trên và vẽ trong hình 3.20b. Các hệ số của chuỗi Fourier ngõ ra tương ứng với n = 0 là thành phẩn dc của ngõ ra, có giá trị là 2/ . Các thừa số còn lại của chuỗi Fourier bào gồm các thành phần không mong muốn được gọi là độ nhấp nhô. Ta có thể xác định được giá trị rms của điện áp nhấp nhô bằng cách tính công suất của thành phần nhấp nhô dùng công thức (3.83). Công suất của nhấp nhô là công suất của mọi thành phần trừ thành phần dc (n =0). Chú ý là ˆ Dn , hệ số của chuỗi Fourier mủ của ngõ ra y(t) là 2 Dˆ n (1 4n2 )( j6n 1) Do đó, từ phương trình (3.83b), ta có 2 2 2 8 1 Pripple 2 Dn 2 2 2  2 2 2 n 1 n 1 (1 4n )( j6n 1) n 1 (1 4n ) (36n 1) Tính toán số học vế phải phương trình, ta có Pripple = 0,0025 và trị rms của nhấp nhô là = Pripple = 0,05 Điều này cho thấy điện áp nhấp nhô là 5% của biên độ sóng vào.
42. Tại sao phải dùng hàm mủ Chuỗi Fourier mủ đúng là một phương pháp khác để biểu diễn chuỗi Fourier lượng giác (hay ngược lại). Hai dạng này mang đến cùng một thông tin, không hơn, không kém. Lý do về việc dạng mủ được ưu chuộng hơn đã được đề cập: do dang mủ gọn hơn, đáp ứng của hệ thống với tín hiệu mũ cũng đơn giản (gọn hơn) so với đáp ứng với tín hiệu sin. Hơn nữa, xử lý toán học của dạng mủ cho thấy dễ hơn so với dạng lượng giác trong lĩnh vực tín hiệu cũng như hệ thống. Do đó, trong các phần tiếp theo, ta chỉ dùng dạng mủ thôi. Nhược điểm nhỏ của dạng mủ là ta không dễ dàng quan sát như trong dạng sóng sin. Để hiểu được một cách trực giác và định tính, thì phương pháp sóng sin có ưu điểm hơn. May mắn là khó khăn này có thể được khắc phục nhờ quan hệ chặt chẽ giữa hàm mủ và phổ Fourier. Để phân tích toán học, ta nên tiếp tục dùng tín hiệu và phổ dang mủ, nhưng để hiệu các tình huống vật lý một cách trực giác và định tính, ta nên dùng tín hiệu và phổ sin. Do đó, trong phần thảo luận tiếp theo, ta dùng dạng mủ khi xử lý toán học, và khi tìm hiểu trực giác hay định tính, ta thay đổi với cách dùng dạng tín hiệu sin. Đây là điều quan trọng; độc giả nên cố làm quen với cả hai dạng này, quan hệ cũng như tính chuyển đổi qua lại của chúng. Hai tính cách đối ngẫu của tín hiệu Thảo luận trước đây cho thấy tín hiệu tuần hoàn có hai tính cách đối ngẫu – trong miền thời gian và trong miền tần số. Tín hiệu có thể được biểu diễn dùng dạng sóng hay bằng phổ Fourier. Mô tả trong miền thời gian và miền tần số cung cấp các hiểu biết bổ trợ nhau về tín hiệu. Để hiểu rõ tín hiệu, ta cần hiểu cả hai tính chất này. Các độc giả cần tìm hiểu để suy nghĩ về tín hiệu theo hai hướng này. Trong chương tiếp, ta sẽ thấy là tín hiệu không tuần hoàn cũng có hai tính cách này. Hơn nữa, ta sẽ chứng minh được ngay cả hệ LT – TT – BB cũng có hai tính cách đối ngẫu này, nhằm giúp hiểu biết tốt hơn về đáp ứng của hệ thống. Hạn chế của phƣơng pháp phân tích dùng chuỗi Fourier Ta đã phát triển phương pháp biểu diễn tín hiệu tuần hoàn như là tổng (weighted sum) của các hàm mủ không dừng với tần số nằm dọc theo trục j trong mặt phẳng s. Cách biểu diễn dùng chuỗi Fourier này có giá trị trong nhiều ứng dụng. Tuy nhiên, phương pháp lại gặp nhiều hạn chế khi được dùng phân tích hệ thống tuyến tính, do: 1. Chuỗi Fourier chỉ có thể dùng cho tín hiệu có các ngõ vào tuần hoàn. Tất cả các ngõ vào trong thực tế đề là không tuần hoàn. (xin nhớ là tính hiệu tuần hoàn bắt đầu tại thời điểm t = - ). 2. Kỹ thuật này chỉ dùng được khi hệ thống là ổn định tiệm cận. Không dùng dễ dàng khi hệ thống không ổn định hay ở biên ổn định. Hạn chế đầu có thể khắc phục bằng cách biểu diễn tín hiệu không tuần hoàn thành hàm mủ không dừng. Cách biểu diễn này được thực hiện dùng tích phân Fourier, được xem là dạng mở rộng của chuỗi Fourier. Ta bên xem chuỗi Fourier là bước đầu để phát triển tích phân Fourier trong chương sau. Hạn chế thứ hai được khắc phục dùng hàm mủ est trong đó s không bị giới hạn nằm trên trục ảo, mà có giá trị phức bất kỳ. Điều tổng quát hóa này dẫn đến tích phân Laplace, sẽ được thảo luận trong chương 6 (biến đổi Laplace).
43. 3.8 Phụ chƣơng Phụ chƣơng 3A: Tìm phƣơng trình (3.39) Sai số e(t) trong phép xấp xỉ (3.37) là N e(t) f (t) cn xn (t) (3.91) n 1 Năng lượng sai số Ee là 2 t t N 2 2 2 Ee e (t)dt f (t) cn xn (t) dt (3.92) t t  1 1 n 1 Do Ee là hàm theo N tham số c1, c2, . . ., cN, nên để tối thiểu hóa Ee, cần điều kiện 2 t N Ee  2 f (t) cn xn (t) dt 0 i 1,2,, N (3.93) t  ci ci 1 n 1 Khi khai triển tích phân, ta thấy mại thừa số nhân chéo (cross-product) xuất hiện trong các tín hiệu trực giao là zerô do tính trực giao; tức là mọi thừa số có dạng x (t)x (t)dt m n triệt tiêu với mọi m n. Tương tự, đạo hàm theo ci của các thừa số có chứa ci đều là zêrô. Với từng chỉ số i, quan sát này chỉ có hai thừa số khác không trong phương trình (3.93) t  2 2 2  2ci f (t)x (t) ci xi (t)dt 0 t i ci 1 t t 2 2 2 2 f (t)x (t)dt 2ci xi (t)dt 0 i 1,2,,n t i t 1 1 Do đó t2 f (t)xi (t)dt t 1 t2 1 ci t f (t)xi (t)dt i 1,2,, N (3.94) 2 2 t Ei 1 xi (t)dt t 1 Tìm phƣơng trình (3.40) 2 t N t N t N t 2 2 2 2 2 2 2 Ee f (t) cn xn (t) dt f (t)dt cn xn (t)dt 2 cn f (t)xn (t)dt t  t  t  t 1 n 1 1 n 1 1 n 1 1 Thay phương trình (3.36) và (3.94) vào phương trình này, ta có t N N t N 2 2 2 2 2 2 2 Ee f (t)dt cn En 2 cn En f (t)dt cn En (3.95) t   t  1 n 1 n 1 1 n 1 Khi N của tập đầy đủ, Ee 0, và năng lượng của f(t) bằng với tổng năng lượng của mọi thành phần trực giao c1x1(t), c2x2(t), c3x3(t), . . . . Phụ chƣơng 3B: Tính trực giao của tập tín hiệu lƣợng giác Xét tích phân I được định nghĩa là I cos n0t cos m0tdt (3.96a) T 0 Với là tích phân trong khoảng liền kề bất kỳ T0 giây. Dùng hằng đẳng thức lượng T 0 giác (xem phần B.7-6), phương trình (3.96a) viết lại thành
44. 1 I cos(n m)0tdt cos(n m)0tdt (3.96b) 2 T0 T0 Do cos0t thực hiện một chu kỳ đầy đủ với mọi khoảngT0, cos(n+m)0t thực hiện (m+n) chu kỳ đầy đủ với mọi khoảngT0. Do đó, tích phân đầu tiên trong phương trình (3.96b), biểu diễn phần diện tích trong (m+n) chu kỳ sóng sin, bằng zêrô. Tương tự, tích phần thứ hai trong phương trình (3.96b) cũng bằng zêrô, trừ khi n = m. Do đó, I trong phương trình (3.96) là zêrô với mọi m n, tích phân thứ nhất vẫn là zêrô, còn tích phân thứ hai là 1 T I dt 0 , vậy 2 T0 2 0 n m cos n0t cos m0t (3.97a) T T0 0 2 n m 0 Tương tự: 0 n m sin n0t sin m0t (3.97b) T T0 0 2 n m 0 và sin n0t cos m0t 0 với mọi n và m (3.97c) T 0 Phụ chƣơng 3C: Tính trực giao của tập tín hiệu mủ jn0t Tập hàm mủ e (n = 0, 1, 2, . . . ) là trực giao trong khoảng T0 bất kỳ, tức là: * 0 m n e jm0t e jn0t dt e j(m n)0t dt (3.98) T T 0 0 T0 m n Gọi tích phân bên vếp trái của (3.98) là I. * I e jm0t e jn0t dt e j(m n)0t dt (3.99) T T 0 0 Trường hợp m = n là ít quan trọng. Trong trường hợp này hàm dưới dấu tích phân là đơn vị, và I = T0. Khi m n: 1 t1 T0 1 I e j(m n)0t e j(m n)0t1{e j(m n)0T0 1} 0 t j(m n)0 1 j(m n)0 j2 k Kết quả sau cùng cho thấy là 0T0 = 2 , và e = 1 với mọi giá trị tích phân của k.
45. 3.9 Tóm tắt Chương này thảo luận về cơ sở để biểu diễn tín hiệu theo các thành phần của chúng. Có một sự tương đồng hoàn hảo giữa ý niệm về vectơ và tín hiệu; tính tương đồng này mạnh đến khi nói đến tín hiệu giống vectơ thì thực ra, tín hiệu là vectơ. Tích trong hay tích vô hướng là phần diện tích của tích hai vectơ. Khi tích vô hướng của hai tín hiệu (thực) là zêrô, thì hai tín hiệu này trực giao. Tín hiệu f(t) có thành phần cx(t), trong đó c là tích trong của f(t) và x(t) chia cho Ex, năng lượng của x(t). Một đo lường tốt cho tính tương đồng của hai tín hiệu f(t) và x(t) là hệ số tương quan cn, chính là tích trong của f(t) và x(t) chia cho E f Ex , với 1 cn 1. Tương đồng lớn nhất (cn =1) chỉ xuất hiện khi hai tín hiệu có cùng dạng sóng cách nhau trong khoảng hằng số nhân (dương), tức là f(t) = Kx(t). Không tương đồng lớn nhất khi (cn = – 1) chỉ xuất hiện khi f(t) = – Kx(t). Tương đồng là zêrô (cn = 0) xuất hiện khi các tín hiệu trực giao. Trong thông tin nhị phân, khi ta cần phân biệt hai dạng sóng đã biết trong sự hiện diện của nhiễu và méo dạng, việc lựa chọn hai dạng sóng dùng tính không tương đồng lớn nhất (cn = – 1) cho phép ta phân biệt được tối đa. Giống như việc có thể biểu diễn thành tổng các thành phần trực giao trong không gian vectơ trực giao đầy đủ, thì một tín hiệu cũng được biểu diễn thành tổng các thành phần trực giao trong không gian tín hiệu trực giao đầy đủ. Phép biểu diễn này được gọi là cách biểu diễn theo chuỗi Fourier tổng quát. Một vectơ có thể biểu diễn thành các thành phần trực giao theo nhiều phương thức khác nhau. Tương tự, tín hiệu cũng được biểu diễn theo nhiều tập tín hiệu trực giao khác nhau, thí dụ như tập tín hiệu lượng giác bà tập tín hiệu hàm mủ. Ta đã chứng minh là chuỗi Fourier lượng giác và hàm mủ là tuần hoàn với chu kỳ bằng với chu kỳ cơ bản của tập. Trong chương này, ta đã chứng minh là tín hiệu tuần hoàn có thể được biểu diễn thành tổng các hàm sin hay mủ (không dừng). Nếu tần số của tín hiệu tuần hoàn là 0, thì có thể viết tín hiệu thành tổng của các sóng sin có tần số 0 và các hài (trong chuỗi Fourier lượng giác). Ta có thể tái tạo tín hiệu tuần hoàn từ hiểu biết về biên độ và pha của các thành phần sóng sin (phổ biên độ và phổ pha). Nếu tín hiệu tuần hoàn là đối xứng chẵn, chuỗi Fourier chỉ chứa các thành phần cosin. Ngược lại, nếu tín hiệu có tính tuần hoàn lẻ, thì chuỗi Fourier chỉ chứa thành phần sin. Khi tín hiệu có bước nhảy gián đoạn, thì hiệu là không mịn và cần có các thành phần tần số cao để tổng hợp được bước nhảy. Do đó, các phổ biên độ giảm chậm theo tần số với giá trị 1/n. Nếu tín hiệu không có bước nhảy gián đoạn, nhưng đạo hàm bậc nhất có bước nhảy gián đoạn, thì tín hiệu mịn hơn, và phổ biên độ giảm nhanh hơn theo 1/n2. Khi tín hiệu không có đạo hàm bậc một là bước nhảy gián đoạn nhưng đạo hàm bậc hai có bước nhảy gián đoạn, thì tín hiệu mịn hơn nửa, và phổ biện độ giảm nhanh hơn theo 1/n3, và tiếp tục, Tín hiệu sin có thể viết theo thừa số hàm mủ. DO đó, chuỗi Fourier của tín hiệu tuần hoàn còn có thể biểu diễn thành tổng các hàm mủ (chuỗi Fourier mủ). Dạng mủ của chuỗi Fourier và các biểu thức cho hệ số chuỗi còn gọn hơn so với trường hợp chuỗi lượng giác. Đồng thời, đáp ứng của hệ LT – TT – BB với ngõ vào là hàm mủ cũng đơn giản hơn so với ngõ vào sin. Hơn nữa, dạng mủ còn cho phép dễ xử lý toán học hơn so với dạng lượng giác. Do đó, dang mủ được ưa chuộng hơn trong lĩnh vực tín hiệu và hệ thống hiện đại.
46. Vẽ đồ thị biên độ và góc của các thành phần hàm mủ cuỗi chuỗi Fourier theo tần số được gọi là phổ Fourier (phổ biên độ và phổ góc) của tín hiệu. Do hàm cos0t có thể viết thành tổng của hai hàm mủ, e j0t và e j0t , các tần số trong phổ hàm mủ có tần từ – đến . Từ định nghĩa, tần số của tín hiệu là đại lượng dương. Sự hiện diện của các thành phẩn phổ với tần số âm – n0 đơn thuần chỉ cho thấy chuỗi Fourier chứa các thừa số có dạng . Phổ của chuỗi Fourier lượng giác và mủ có quan hệ rất chặt chẽ, có thể tìm được dạng này từ thông tin của dang kia. Các hệ số Cn và Dn của chuỗi Fourier có thể được tính toán số học dùng biến đổi Fourier rời rạc (DFT), có thể đươc thiết lập bằng thuật toán FFT (biến đổi Fourier nhanh). Phương pháp này dùng N0 mẩu đồng đều của f(t) trong một chu kỳ, bắt đầu từ t = 0. Trong hình 3.7, ta thảo luận về phương pháp tìm đáp ứng của hệ LT – TT – BB với tín hiệu tuần hoàn vào. Ngõ vào tuần hoàn được biểu diễn thành chuỗi Fourier mủ, gồm các thành phần hàm mủ không dừng e jn0t . Ta cũng biết là đáp ứng của hệ LT – TT – BB với hàm mủ không dừng vào là H(jn0) . Đáp ứng hệ thống là tổng của từng đáp ứng hệ thống với mọi thành phần mủ của chuỗi Fourier tại ngõ vào. Do đó, đáp ứng còn là tín hiệu tuần hoàn với cùng chu kỳ của ngõ vào. Tham khảo 1. Lathi, B.P,, Modern Digital and Analog Communication Systems, 2nd Ed., Holt. Rinehart and Winston, New York, 1989. 2. Bell, E. T., Men of Mathematics, Simon and Schuster, New York, 1937. 3. Durand, Will and Ariel, The Age of Napoleon, History of Cilivization, Part XI, Simon and Schuster, New York, 1975. 4. Calinger, R., 4th Ed., Classics of Mathematics, Moore Publishing Co., Oak Park, II., 1982. 5. Lanczos, C., Discourse on Fourier Series, Oliver Boyd Ltd., London, 1966. 6. Walker, P.L., The Theory of Fourier Series and Integrals, Wiley-Interscience, New York, 1966. 7. Churchill. R. V., and J. W. Brown, Fourier Series and Boundary Value Ploblems, 3rd Ed., McGraw-Hill, New York, 1978. 8. Guillemin, E. A., Theory of Linear Physical Systems, Wiley, New York, 1963. 9. Gibbs, W. J., Nature, vol 59, p.606. April 1899. 10. Bôcher, M. J., Annals of Mathematics (2), vol. 7. 1906. 11. Carslaw, H. S., Bulletin, American Mathematical Society, vol. 31. pp. 420-424, Oct. 1925.
47. Bài tập 3.1-1 Tìm phương trình (3.6) bằng phương pháp khác với quan sa t là e = (f - cx) và e 2 ( f cx).( f cx) f 2 c2 x 2 2cf .x Hướng dẫn: Tìm giá trị của c để tối thiểu hóa e 2 3.1-2 (a) Với tín hiệu f(t) và x(t) vẽ trong hình P3.1-2, tìm thành phần có dạng x(t) chứa trong f(t). Nói cách khác là tìm giá trị tối ưu của c trong phép xấp xỉ f(t) cx(t) để tối thiểu hóa năng lượng tín hiệu. (b) Tìn tín hiệu sai số e(t) và năng lượng Ee tương ứng. Chứng tõ là tín hiệu sai số 2 trực giao với x(t), và Ef = c Ex + Ee. Giải thích kết quả dùng ý niệm vectơ. 3.1-3 Với tín hiệu f(t) và x(t) vẽ trong hình P3.1-2, tìm thành phần có dạng f(t) chứa trong x(t). Nói cách khác là tìm giá trị tối ưu của c trong phép xấp xỉ x(t) cf(t) để tối thiểu hóa năng lượng tín hiệu. Tìm năng lượng của tín hiệu sai số. 3.1-4 Làm lại bài tập 3.1-2 khi x(t) là sóng sin vẽ trong hình P3.1-4. 3.1-5 Nếu x(t) và y(t) trực giao nhau, chứng tõ năng lượng của tín hiệu x(t) + y(t) giống hệt năng lượng của tín hiệu x(t) - y(t) và cho bởi Ex + Ey. Giải thích kết quả dùng ý niệm vectơ. Tổng quát hơn, hảy chứng tõ là tín hiệu trực giao x(t) và y(t) và với cặp hằng số bất kỳ c1 và c2, và năng lượng của c1x(t) + c2y(t) giống hệt trường 2 2 hợp c1x(t) - c2y(t), và cho bởi c1 Ex c2 Ey .
48. 3.2-1 Tìm hệ số tương quan cn của tín hiệu x(t) và với từng xung f1(t), f2(t), f3(t) và f4(t) vẽ trong hình P3.2-1. Cho biết bạn sẽ chọn cặp xung nào trong thông tin nhị phân nhằm cung cấp ngưỡng chống nhiễu lớn nhất trong đường truyền? 3.3-1 Cho x1(t) và x2(t) là hai tín hiệu trực giao (tức là có các năng lượng là đơn vị) trong khoảng từ t = t1 đến t2. Xét tín hiệu f(t) với f (t) = c1x1(t) + c2x2(t) t1 t t2 Tín hiệu này được biểu diễn bằng vectơ hai chiều f(c1, c2). (a) Xác định vectơ biểu diễn sáu tín hiệu sau trong không gian vectơ hai chiều: (i) f1(t) 2x1(t) x2 (t) (iv) f4 (t) x1(t) 2x2 (t) (ii) f2 (t) x1(t) 2x2 (t) (v) f5 (t) 2x1(t) x2 (t) (iii) f1(t) 2x1(t) x2 (t) (vi) f6 (t) 3x1(t) (b) Cho biết cặp các vectơ trực giao tương hỗ trong sáu vectơ trên. Chứng tõ là cặp các tín hiệu tương ứng với các vectơ trực giao cũng trực giao. 3.4-1 (a) Vẽ tín hiệu f (t) t 2 với mọi t và tìm chuỗi Fourier lượng giác (t) để biểu diễn f (t) trong khoảng ( - 1, 1). (b) Vẽ (t) với mọi giá trị của t. 3.4-2 (a) Vẽ tín hiệu f (t) t với mọi t và tìm chuỗi Fourier lượng giác để biểu diễn trong khoảng ( - , ). (b) Vẽ với mọi giá trị của t.
49. 3.4-3 Với từng tín hiệu tuần hoàn vẽ trong hình P4.4-3, tìm chuỗi Fourier lượng giác dạng gọn và vẽ phổ biên độ và phổ pha. Khi thiếu các thừa số sin hay cosin trong chuỗi Fourier, hảy giải thích tại sao? 3.4-4 (a) Tìm chuỗi Fourier lượng giác của x(t) vẽ trong hình P3.3-1 (b) Tín hiệu x(t) là tín hiệu nghịch theo thời gian của (t) trong hình 3.7b. Do đó, x(t) ( t) . Vậy có thể tìm chuỗi Fourier của x(t) bằng cách thay t bằng - t trong chuỗi Fourier (phương trình 3.56) của . Kiểm nghiệm là chuỗi Fourier có được giống với chuỗi trong phần (a) (c) Chứng tõ là thường thì nghịch theo thời gian của tín hiệu tuần hoàn không gây ảnh hưởng đến phổ biên độ và phổ pha không không thay đổi trừ việc đảo dấu. 3.4-5 (a) Tìm chuỗi Fourier lượng giác của tín hiệu tuần hoàn x(t) vẽ trong hình P3.4-5. (b) Tín hiệu x(t) là tín hiệu được nén theo thời gian với hệ số 2 vẽ trong hình 3.7b. Như thế x(t) (2t) . Vậy, chuỗi Fourier của x(t) có thể tìm bằng cách thay t bằng 2t trong chuỗi Fourier (phương trình 3.56) của . Kiểm nghiệm là chuỗi Fourier có được giống với chuỗi trong phần (a). (c) Chứng tõ là thường thì phép nén theo thời gian của tín hiệu tuần hoàn với thừa số a mở rộng phổ với cùng thừa số a. Nói cách khác C0 , Cn và  n không thay đổi, nhưng tần số cơ bản tăng theo thừa số a, lam mở rộng phổ. Tương tự khi dãn theo thời gian của tín hiệu tuần hoàn theo thừa số a làm nén phổ Fourier của chúng theo thừa số a. 3.4-6 (a) Tìm chuỗi Fourier lượng giác của tín hiệu tuần hoàn g(t) trong hình P3.4-6. Sử dụng đặc tính đối xứng. (b) Quan sát thấy g(t) giống hệt f(t) trong hình 3.9 được dời đi 0,5 giây. Do đó, g(t) = f(t+0,5), và chuỗi Fourier cho g(t) có thể tìm bằng cách thay t bằng t +0,5 trong phương trình (3.63) [chuỗi Fourier của f(t)]. Kiểm nghiệm là chuỗi Fourier có được giống hệt chuỗi có được trong phần (a). (c) Chứng minh là, thông thường , khi dời theo chu kỳ tín hiệu với thời gian T giây thì không ảnh hưởng đến phổ biên độ. Tuy nhiện, pha của hài bậc n thì giảm (tăng) theo n0T khi trể (sớm) T giây.
50. 3.4-7 Nếu hai nửa bán kỷ của tín hiệu tuần hoàn giống nhau về hình dạng nhưng một là phần âm của tín hiệu kia, tín hiệu tuần hoàn được gọi là có tính đối xứng nửa sóng. Nếu tín hiệu tuần hoàn f(t) với chu kỳ T0 thỏa điều kiện vầ tính đố icứng nửa sóng, thì T0 f (t 2 ) f (t) Trong trường hợp nàym chứng tõ là mọi hệ số hài bậc chẵn đều triệt tiêu, và các hệ số của thành phần hài bậc lẻ được cho bởi 4 T0 / 2 4 T0 / 2 an f (t)cos n0tdt và bn f (t)sin n0tdt 0 0 T0 T0 Dùng kết quả này, tìm chuỗi Fourier của các tín hiệu tuần hoàn trong hình P3.4-7. 3.4-8 Trong một khoảng hữu hạn, tín hiệu có thể được biểu diễn bằng chuỗi Fourier lượng giác (hay dạng mủ). Thí cụ, nếu ta muốn biểu diễn f(t) = t trong khoảng 0 t 1 dùng chuỗi Fourier có tần số cơ bản là 0 = 2, ta có thể vẽ xung f(t) = t trong khoảng và lặp lại xung mỗi giấy để T0 = và 0 = 2. Nếu ta muốn chuỗi chỉ chứa thừa số cosin với 0 = 2, ta tạo xung f(t) = t trong khoảng , và lặp lại mỗi giây (hình 3.4-8). Tín hiệu có được là hàm chẵn với chu kỳ . Do đóm chuỗi Fourier sẽ chỉ có thừa số cosin với 0 = 2. Chuỗi Fourier biểu diễn f(t) = t trong khoảng mong muốn . Ta không quan tâm đến những gì xuất hiện bên ngoải khoảng này. Biểu diễn f(t) = t trong khoảng dùng chuỗi Fourier có: (a) 0 4 và chứa mọi thành phần sóng hài, chỉ với thừa số sin. (b) 0 2 và chứa mọi thành phần sóng hài, chỉ với thừa số sin. (c) 0 2 chứa mọi thành phần sóng hài, chỉ có thừa số một trong hai thừa số sin hay cosin. (d) 0 1 và chỉ có các hài lẻ và thừa số cosin. (e) 0 2 và chỉ có hài lẻ và thừa số sin. (f) và chỉ có các hài lẻ và một trong hai thừa số sin hay cosin.
51. Hướng dẫn: trong các phần d, e và f, cần dùng tính đối xứng nửa sóng đã thảo luận trong bài tập 3.4-7, Thừa số cosin cho thấy có khả năng có thành phần dc. 3.4-9 Xét tính tuần hoàn hay không tuần hoàn của các tín hiệu sau. Nếu tín hiệu là tuần hoàn, tìm chu kỳ và cho phép hài hiện diện trong chuỗi. 5t 6t t 0 (a) 3sint 2sin3t (f) sin 2 3cos 5 3sin( 7 30 ) 15t (b) 2 5sin 4t 4cos7t (g) sin3t 3cos 4 (c) 2sin3t 7cos t (h) 3sin 2t sin 5t 2 (d) 7cos t 5sin 2 t (i) 5sin 2t 3 (e) 3cos 2t 5cos 2t 3.4-10 Tìm chuỗi Fourier lượng giác của f(t) vẽ trong hình P3.4-10 trong khoảng [0, 1]. Dùng 0 = 2 . Vẽ chuỗi Fourier (t)với mọi t. Tính năng lượng của tín hiệu sai số e(t) nếu số thừa số trong chuỗi Fourier là N với N = 1, 2, 3, và 4. Hướng dẫn: Dùng phương trình (3.40) để tính năng lượng sai sô
52. 3.4-11 Hàm Walsh có thể chỉ lấy hai giá trị biên độ, tạo nên một tập đầy đủ các hàm trực giao và có tầm rất quan trọng trong ứng dụng số thực tế do có thể dễ dàng tạo ra chúng dùng mạch lọgic và do phép nhân các hàm này có thể được thiết lập một cách đơn giản dùng chuyển mạch đảo dấu. Hình P3.4-11 vẽ tám hàm đầu tiên trong tập này. Biểu diễn f(t) trong hình P3.4-11 trong khoảng [0, 1] với chuỗi Fourier Walsh dùng 8 hàm cơ bản này. Tình năng lượng e(t), sai số phép xấp xỉ dùng N thừa số khác không đầu tiên trong chuỗi với N = 1, 2, 3 và 4. So sánh chuỗi Walsh với chuỗi Fourier lượng giác trong bài tập 3.4-10 theo quan điểm năng lượng sai số với số N cho trước? 3.4-12 Tập đa thức Legendre Pn(t), (n = 0, 1, 2, 3, . . .) tạo ra tập đầy đủ các hàm trực giao trong khoảng – 1< t < 1. Các đa thức này được định nghĩa là 1 d n P (t) (t 2 1)n n = 0, 1, 2, 3, . . . n n!2n dt n Do đó P0(t) = 1 P1(t) = 1 1 1 P (t) (3t 2 1) , P (t) (5t 3 3t) v,v, 2 2 3 2 Đa thức Legendre là trực giao. Độc giả có thể kiểm tra là 2 1 2m 1 m n Pm (t)Pn (t)dt 1 0 m n (a) Biểu diễn f(t) trong hình P3.4-12a dùng chuỗi Fourier Legendre trong khoảng 1 t 1. Chỉ tính hai hệ số khác không đầu tiên trong chuỗi. Tính năng lượng e(t), sai số của phép xấp xỉ với một hay hai thừa số khác không. (b) Biểu diễn f(t) trong hình P3.4-12b dùng chuỗi Fourier Legendre. Tính hai hệ số khác không đầu tiên trong chuỗi. Hướng dẫn: Dù chuỗi chỉ có giá trị trong , ta vẫn có thể mở rộng đến khoảng bất kỳ dùng phép tỉ lệ theo thời gian. 3.5-1 Với từng tín hiệu trong hình P3.4-3, tìm chuỗi Fourier mủ và vẽ phổ tương ứng 3.5-2 Chuỗi Fourier lượng giác của tín hiệu tuần hoản cho bởi 1 f (t) 3 3 cos 2t sin 2t sin3t 2 cos 5t 3 (a) Vẽ phổ Fourier lượng giác (b) Kiểm tra chuỗi trong phần a, vẽ phổ chuỗi Fourier mủ của f(t). (c) Kiểm tra chuỗi trong phần b, viết chuỗi Fourier mủ của f(t). Hướng dẫn: Để viết chuỗi Fourier thành dạng gọn, kết hợp các thừa số sin và cosin cùng tần số. Điều này luôn thực hiện được bằng cách chỉnh pha thích hợp. 3.5-3 Chuỗi Fourier mủ của tín hiệu tuần hoàn được cho bởi f (t) (2 j2)e j3t j2e jt 3 j2e jt (2 j2)e j3t
53. (a) Vẽ phổ Fourier mủ (b) Kiểm tra chuỗi trong phần a, vẽ phổ chuỗi Fourier mủ của f(t). (c) Tìm chuỗi Fourier dạng gọn tử các phổ này (d) Tìm băng thông của tín hiệu 3.5-4 Nếu tín hiệu tuần hoàn f(t) được biểu diễn theo chuỗi Fourier dạng mủ jn0t f (t)  Dne n (a) Chứng tõ là chuỗi Fourier mủ của fˆ(t) f (t T) được cho bởi ˆ ˆ jn0t f (t)  Dne trong đó n ˆ ˆ Dn Dn và Dn Dn n0T Điều này cho thấy là dời tín hiệu tuần hoàn đi T giây chỉ đơn giản là thay đổi phổ pha lượng n0T. Phổ biên độ không đổi. (b) Chứng tõ là chuỗi Fourier mủ của f(t) = f(at) được cho bởi ~ jn(a0 )t f (t)  Dne n Kết quã này cho thấy là nén theo thời gian của tín hiệu tuần hoàn một lượng a thì làm dãn phổ Fourier đi cùng thừa số a. Tương tự, dãn theo thời gian của tín hiệu tuần hoàn một lượng a thì làm nén phổ Fourier đi cùng thừa số a. 3.5-5 (a) Chuỗi Fourier của tín hiệu tuần hoàn trong hình 3.10a được cho trong bài tập E3.6. Kiểm tra lại định lý Parseval cho chuỗi này, với 1 4  4 n 1 n 90 (b) Nếu xấp xỉ f(t) dùng N thừa số đầu tiên trong chuỗi, tìm N để công suất của tín hiệu sai số nhỏ hơn 1% Pf. 3.5-6 (a) Chuỗi Fourier của tín hiệu tuần hoàn trong hình 3.10b được cho trong bài tập E3.6. Kiểm tra lại định lý Parseval cho chuỗi này, với 1 2  2 n 1 n 6 (b) Nếu xấp xỉ f(t) dùng N thừa số đầu tiên trong chuỗi, tìm N để công suất của Tín hiệu sai số nhỏ hơn 10% Pf. 3.5-7 Tín hiệu f(t) trong hình 3.18 được xấp xỉ dùng 2N+1 thừa số (từ n = – N đến N) trong chuỗi Fourier mủ cho trong bài tập E3.10. Xác định giá trị của N nếu công suất của chuỗi (2N+1) thừa số này không bé hơn 99,75% công suất của f(t). 3.6-1 Tìm đáp ứng của hệ LT – TT – BB với hàm truyền s H(s) khi ngõ vào là tín hiệu tuần hoàn vẽ trong hình 3.7b. s2 2s 3