Bài giảng Tín hiệu và hệ thống - Chương 2: Phân tích hệ thống liên tục trong miền thời gian

65 trang phuongnguyen 3240

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Tín hiệu và hệ thống - Chương 2: Phân tích hệ thống liên tục trong miền thời gian", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

bai_giang_tin_hieu_va_he_thong_chuong_2_phan_tich_he_thong_l.pdf

Nội dung text: Bài giảng Tín hiệu và hệ thống - Chương 2: Phân tích hệ thống liên tục trong miền thời gian

CHƢƠNG 2: PHÂN TÍCH HỆ THỐNG LIÊN TỤC TRONG MIỀN THỜI GIAN Nội dung 2.1 Mở đầu 2.2 Đáp ứng nội tại của hệ thống: Đáp ứng khi ngõ vào là zêrô 2.3 Đáp ứng xung h(t) 2.4 Đáp ứng với ngõ vào: Đáp ứng trạng thái zêrô 2.5 Giải phương trình vi phân bằng phương pháp truyền thống 2.6 Ổn định của hệ thống 2.7 Dự đoán về đáp ứng của hệ thống 2.8 Phụ chương 2.9 Tóm tắt Tài liệu tham khảo: B.P. Lathi, Signal Processing and Linear Systems, Berkeley-Cambridge Press, 1998 Tài liệu xem xét hai phương pháp phân tích hệ thống tuyến tính –bất biến (TT- BB) hay (LTI). Phương pháp miền thời gian và phương pháp miền tần số. Chương này khảo sát phương pháp phân tích trong miền thời gian của hệ thống tuyến tính, bất biến, và liên tục (hệ LTIC). 2.1 Mở đầu Xét hệ phương trinh vi phân tuyến tính, đây là dạng tuyến tính, bất biến, liên tục đã trình bày trong chương 1, theo đó quan hệ giữa ngõ vào f(t) và ngõ ra y(t) có dạng phương trình vi phân tuyến tính: d n y d n 1 y dy d m f d m 1 y df a  a a y(t) b b  b b f (t) (2.1a) dt n n 1 dt n 1 1 dt 0 m dt m m 1 dt m 1 1 dt 0) Các hệ số ai và bi là hằng số. Dùng toán tử D thay cho d / dt để viết lại phương trình n n 1 m m 1 (D an 1D  a1D a0 )y(t) (bm D bm 1D  b0 ) f (t) (2.1b) hay: Q(D)y(t) P(D) f (t) (2.1c) Các đa thức Q(D) và P(D) là: n n 1 Q(D) D an 1D  a1D a0 (2.2a) m m 1 P(D) bmD bm 1D  b1D b0 (2.2a) Về mặt lý thuyết, các giá trị lũy thừa m và n trong các phương trình trên có thể có là bất kỳ. Tuy nhiên, trong thực tế, do tác động của nhiễu, nên cần có m n. Nhiễu là
dạng tín hiệu không mong muốn, có nguyên nhân tự nhiên hay nhân tạo, làm nhiễu loạn lên tín hiệu mong muốn. Một số nguồn nhiễu là: bức xạ điện từ các vì sao, dịch chuyển hỗn loạn của điện tử trong các linh kiện của hệ thống, nhiễu từ các trạm phát thanh và phát hình, từ hệ thống đánh lửa trên xe ôtô, đèn huỳnh quang, v.v, Chương 6 sẽ chứng minh là hệ đặc trưng bởi phương trình (2.1) sẽ hoạt động như bộ vi phân bậc (m-n) ở tần số cao, nếu m > n. Điều không may là nhiễu là tín hiệu có băng thông rộng chứa đủ các thành phần tần số từ 0 đến . Như thế, nhiễu chứa đựng phần lớn các thành phần thay đổi nhanh, do đó đạo hàm của chúng sẽ có giá trị rất lớn. Do đó, hệ thống với phương trình (2.1) có m > n khuếch đại các thành phần tần số cao của nhiễu khi tạo vi phân, ảnh hưởng xấu đến chất lượng tín hiệu có ích. Trong tài liệu này, ta mặc định là m n. Để dễ khảo sát, cho điều kiện m = n trong trong phương trình (2.1). Chương 1 đã chứng tỏ được hệ thống đặc trưng bởi phương trình (2.1) là hệ tuyến tính, nên đáp ứng có thể được viết thành tổng của hai thành phần: thành phần đáp ứng với ngõ vào zêrô và thành phần trạng thái zêrô. Vậy: Đáp ứng tổng = đáp ứng với ngõ vào zêrô + đáp ứng trạng thái zêrô Thành phần đáp ứng với ngõ vào zêrô là đáp ứng của hệ thống khi ngõ vào f (t) 0 , nên kết quả chỉ phụ thuộc các điều kiện bên trong của hệ thống (như việc tích lũy năng lượng, các điều kiện đầu) và độc lập với ngõ vào bên ngoài f (t) . Ngược lại, thành phần trạng thái zêrô là đáp ứng của hệ thống với ngõ vào bên ngoài khi hệ thống đang ở trạnh thái zêrô, không tồn tại vấn đề tích chức năng lượng nội tại; tức là mọi điều kiện đầu đều bằng zêrô. 2.2 Đáp ứng của hệ thống với điều kiện nội tại: Đáp ứng khi ngõ vào là zêrô. Đáp ứng ngõ vào zêrô y0 (t) là nghiệm của phương trình (2.1) khi ngõ vào f (t) 0 , Vậy: Q(D)y0 (t) 0 (2.4a) Hay: n n 1 1 D an 1D  a1D a0 )y0 (t) 0 (2.4b) Nghiệm của phương trình có thể tìm theo phương pháp cổ điển. Ở đây, ta thử làm tắt dùng suy diễn heuristic. Phương trình (2.4b) cho thấy tổ hợp tuyến tính giữa và n đạo hàm liên tiếp của là bằng zêrô, không phải với một số giá trị của t, mà là với mọi t. Kết quả này có được nếu và chỉ nếu và n đạo hàm liên tiếp của đều có cùng dạng. Chỉ hàm dạng mủ et là có được tính chất này. Giả sử: t y0 (t) ce Là nghiệm của phương trình (2.4b), thì dy Dy (t) 0 cet 0 dt d 2 y D2 y (t) 0 c2et 0 dt 2 
d n y Dn y (t) 0 cnet 0 dt n Thay vào phương trình (2.4b), có được: n n 1 t c( an 1  a1 a0)e 0 Các nghiệm không tầm thường (nontrivial) có n n 1  an 1  a1 a0 0 (2.5a) Kết quả này cho thấy ce t đã là nghiệm của phương trình (2.4), và  thỏa phương trình (2.5a). Chú ý, đa thức trong phương trình (2.5a) giống đa thức Q(D) trong (2.4b), khi thay  cho D. Viết lại (2.5a) Q() 0 (2.5b) Chuyển Q() thành dạng thừa số, viết lại phương trình (2.5b): Q() ( 1)( 2 )( n ) 0 (2.5c) Rõ ràng,  có n nghiệm: 1,2 , ,n . Nên phương trình (2.4) có khả năng có n nghiệm 1t 2t nt là: c1e ,c2e , ,cne trong đó c1,c2 , ,cn là các hằng số bất kỳ. Nghiệm tổng quát là tổng của n nghiệm, nên: 1t 2t nt y0 (t) c1e c2e  cne (2.6) là các hằng số bất kỳ, xác định từ n ràng buộc của nghiệm (điều kiện phụ). Do đa thức mang đặc tính của hệ thống, không liên quan gì đến các ngõ vào, nên phương trình (2.7) Được gọi là phƣơng trình đặc tính của hệ thống. Phương trình (2.5c) chứng tỏ 1,2 ,,n là nghiệm của phương trình đặc tính; được gọi là nghiệm đặc tính của hệ thống. Ngoài ra nghiệm đặc tính còn được gọi là giá trị đặc tính, nghiệm riêng, và tần số tự nhiên. Hàm mũ eit (i 1,2,,n) trong đáp ứng ngõ vào - zêrô là các chế độ đặc tính (characteristic modes) còn được gọi là chế độ (modes) hay chế độ tự nhiên (natural modes) của hệ thống. Mỗi nghiệm đặc tính của từng hệ thống có chế độ đặc tính, và đáp ứng ngõ vào –zêrô là tổ hợp tuyến tính các chế độ đặc tính của hệ thống. Thuộc tính quan trọng nhất của hệ LT-TT-BB (liên tục, tuyến tính, bất biến) là các chế độ đặc tính. Chế độ đặc tính không chỉ xác định đáp ứng ngõ vào - zêrô mà còn quan trọng khi xác định đáp ứng trạng thái – zêrô. Nói cách khác, chế độ đặc tính quyết định dạng đáp ứng chung của hệ thống. Phần còn lại của chương cho thấy ảnh hưởng của các độ đặc tính đối với mọi dáng vẽ hoạt động của hệ thống. Nghiệm lặp lại Nghiệm phương trình (2.4) cho ở (2.6) là các nghiệm đặc tính 1,2 ,,n được giả sử là phân biệt. Trường hợp có nghiệm lặp lại, dạng của nghiệm có thay đổi một ít. Dùng phép thế trực tiếp, nghiệm cùa phương trình 2 t (D ) y0 (t) 0 là y(t) (c1 c2t)e
Trường hợp này nghiệm  được lặp lại hai lần, nên chế độ đặc tính là et và te t . Từ đó, chứng minh được là với phương trình vi phân r (D ) y0 (t) 0 (2.8) Các chế độ đặc tính là et ,te t ,t 2et ,,t r 1et và nghiệm của phương trình vi phân là: r 1 t y0 (t) (c1 c2t  crt )e (2.9) Vậy, khi hệ thống có đa thức đặc tính r Q() ( 1) ( r 1)( n ) Có các chế độ đặc tính là e1t ,te1t ,,tr 1e1t ,er 1t ,,ent và nghiệm là r 1 t r 1t nt y0 (t) (c1 c2t  crt )e cr 1e  cne Nghiệm phức Phương thức xử lý các nghiệm phức tương tự như trường hợp các nghiệm thực, với các chế độ phức và dạng nghiệm phức. Tuy nhiên, có thể tránh được dạng phức nói chung thông qua cách chọn dạng thực của nghiệm, như sau: Trong hệ thực, nghiệm phức phải có dạng cặp nghiệm phức liên hợp khi các hệ số của đa thức đặc tính Q() là thực. Như thế, nếu nghiệm đặc tính là j , thì j cũng là nghiệm. Đáp ứng ngõ vào – zêrô tương ứng cặp nghiệm phức liên hợp là: ( j )t ( j )t y0 (t) c1e c2e (2.10a) Trong hệ thực, đáp ứng y0 (t) phải là thực. Điều này đúng khi c1 và c2 là liên hợp. Đặt c c c e j và c e j , thì 1 2 2 2 c c c y (t) e j e( j )t e j e( j )t e t[e j(t  ) e j(t  ) ] ce t cos(t ) (2.10b) 0 2 2 2 Do đó, đáp ứng ngõ vào–zêrô tương ứng với cặp nghiệm phức liên hợp j có thể biểu diễn theo dạng phức (2.10a) hay dạng thực (2.10b). Dạng thứ hai thích hợp hơn khi tính toán do không dùng dạng số phức.
■ Thí dụ 2.1: (a) Tìm thành phần đáp ứng ngõ vào – zêrô y0 (t) của hệ LT – TT – BB mô tả bởi phương trình vi phân: (D2 3D 2)y(t) Df (t) Với điều kiện đầu y0 (0) 0, y0 0 5 . Ghi chú: là thành phần ngõ vào – zêrô 2 f (t) 0 là nghiệm của (D 3D 2)y0 (t) 0. Đa thức đặc tính của hệ thống là 2 3 2. Phương trình đặc tính của hệ thống 2 là  3 2 ( 1)( 2) 0 . Các nghiệm đặc tính của hệ là 1 1 và 2 2 và chế độ đặc tính của hệ là e t và e 2t . Do đó, thành phần ngõ vào- zêrô của dòng điện mạch vòng là t 2t y0 (t) c1e c2e (2.11a) Muốn xác định hằng số c1 và c2, đạo hàm hai vế của phương trình (2.11a): t 2t y0 (t) c1e 2c2e (2.11b) Cho t 0 trong phương trình (2.11a) và (2.11b), thay điều kiện đầu y0 (0) 0 và y0 (0) 5, ta có 0 c1 c2 5 c1 2c2 t 2t Vậy y0 (t) 5e 5e là thành phần ngõ vào –zêrô của y(t) khi t 0 . (b) Tương tự, cho trường hợp nghiệm lặp. Thí dụ, hệ đặc trưng bởi (D2 6D 9)y(t) (3D 5) f (t) Xác định y0 (t) là thành phần ngõ vào – zêrô của đáp ứng khi các điều kiện đầu là y0 (0) 3, y0 0 7 Đa thức đặc tính của hệ thống là 2 6 9. Phương trình đặc tính của hệ thống 2 2 là  6 9 ( 3) 0. Các nghiệm đặc tính của hệ là 1 3 và 2 3 (nghiệm lặp) và chế độ đặc tính của hệ là e 3t và te 3t . Do đó, thành phần ngõ vào- zêrô của dòng điện mạch vòng là 3t y0 (t) (c1 tc2 )e
Muốn xác định hằng số c1 và c2, từ điều kiện đầu y0 (0) 3, y0 0 7 theo các bước đã thực hiện ở phần (a), tìm được c1 3 và c2 2 : t 2t y0 (t) c1e 2c2e (2.11b) 3t Vậy y0 (t) (3 21)e là thành phần ngõ vào –zêrô của y(t) khi t 0 . (c) Trường hợp nghiệm phức, xét thí dụ: tìm thành phần đáp ứng ngõ vào – zêrô y0 (t) của hệ LT – TT – BB mô tả bởi phương trình vi phân: (D2 4D 40)y(t) (D 2) f (t) khi các điều kiện đầu là y0 (0) 2, y0 0 16,78 Đa thức đặc tính của hệ thống là 2 4 40 . Phương trình đặc tính của hệ thống là 2 4 40 ( 2 j6)( 2 j6) 0 . Các nghiệm đặc tính của hệ có thể viết thành dạng phức (2.10a) hay dạng thực (2.10b). Dạng phức là 1t 2t y0 (t) c1e c2 e , trong đó 1 2 j6 và 2 2 j6 và dạng thực là 2t y0 (t) ce cos(6t ) (2.12a) Trong đó c và  là các hằng số xác định từ điều kiện đầu y0 (0) 2 và y0 (0) 16,78 . Đạo hàm phương trình (2.12a), ta có 2t 2t y0 (t) 2ce cos(6t ) 6ce sin(6t ) (2.12b) Cho t 0 trong phương trình (2.12a) và (2.12b), rồi thay điều kiện đầu vào, ta có 2 cos 16,78 2ccos 6csin Hay ccos 2 (2.13a) csin 3,463 (2.13b) Hay c2 (2)2 ( 3,464)2 16 c 4 Chia (2.13b) cho (2.13b) 3,463 3,463 tan  tan 1 2 2 3
2t y0 (t) 4e cos 6t và được vẽ ở hình B.11c ■ 3  Thí dụ C2.1 dùng máy tính Tìm nghiệm của đa thức 2 4 40 a=[1 4 40]; r=roots(a) r = 2.0000 + 6.0000i 2.0000 - 6.0000i   Thí dụ C2.2 dùng máy tính Hệ LT – TT – BB đặc trưng bằng phương trình vi phân (D2 4D k)y(t) (3D 5) f (t) Xác định đáp ứng thành phần ngõ vào – zêrô với các điều kiện đầu y0 (0) 3 và y0 (0) 7 với hai giá trị của k: (a) 3 (b) 40 (a) y0=dsolve(‘D2y+4*Dy+3*y=0’, ‘y(0)=3’,’Dy(0)=-7’,t’) y0=2*exp(-3*t)+exp(-t) (b) y0=dsolve(‘D2y+4*Dy+4*y=0’,’y(0)=3’.Dy(0)=-7.’t’) y0=3*exp(-2*t) - exp(-2t)*t (c) y0=dsolve(‘D2y+4*Dy+40*y=0’,’y(0)=3’.Dy(0)=-7.’t’) y0=3*exp(-2*t)*cos(6*t)-1/6*exp (-2t)*sin(6*t)  Bài tập E 2.1 Tìm đáp ứng ngõ vào - zêrô của hệ thống LT – TT – BB được mô tả bằng phương trình (D + 5)y(t) =f(t) khi với điều kiện đầu y(0) = 5. 5t Đáp số: y0 (t) 5e t 0 .  Bài tập E 2.2 2 Giải phương trình (D +2D)y0(t) =f(t) khi với điều kiện đầu y0(0) = 1 và y0 (t) 4 . 2t Đáp số: y0 (t) 3 2e t 0 .
Các điều kiện đầu thực tế và ý nghĩa của 0- và 0+ Thí dụ 2.1, có các điều kiện đầu y0 (0) và y0 (0) được cho trước. Trong bài toán thực tế, ta phải tìm điều kiện này từ các trạng thái vật lý. Thí dụ, trong mạch RCL, thường ta có các điều kiện như điện áp ban đầu của tụ, dòng điện đầu cùa cuộn dây, v.v, Từ thông tin này, tìm ra được y(0), y(0), của S các biến như thí dụ tiếp đây. Trong phần lớn tài liệu, ngõ vào được giả định là bắt đầu tại t 0 , trừ khi có định nghĩa khác. Như thế, t 0 là điểm tham chiếu. Các điều kiện ngay tức thời trước (ngay trước khi áp tín hiệu ngõ vào) là điều kiện tại t 0 , và điều kiện ngay tức thời sau (ngay sau khi áp tín hiệu ngõ vào) là các điều kiện t 0 . Trong thực tế, ta thường cần các điều kiện đầu tại thay vì tại . Thông thường hai tập giá trị điều kiện này khác nhau, mặt dù trong một số trường hợp, chúng có thể giống nhau. Ta đang khảo sát đáp ứng tổng y(t) , bao gồm hai thành phần; thành phần ngõ vào –zêrô y0 (t) (đáp ứng do điều kiện đầu tạo nên và ngõ vào f (t) 0 ) và thành phần trạng thái – zêrô do tác động của ngõ vào với các điều kiện đầu là zêrô. Tại , đáp ứng chỉ gồm thành phần ngõ vào – zêrô do lúc này chưa có tín hiệu vào. Nên các điều kiện đầu của giống trường hợp y0 (t) . Vậy, y(0 ) y0 (0 ), y(0 ) y0 (0 ), v.v , Hơn nữa, là đáp ứng chỉ do điều kiện đầu và không phụ thuộc ngõ vào f (t), nên khi áp tín hiệu hiệu vào tại không ảnh hưởng lên . Điều này có nghĩa là điều kiện đầu tác động lên tại tại và là như nhau; tức là y0 (0 ), y0 (0 ) , , lần lượt giống với y0 (0 ), y0 (0 ). Rõ ràng là với , không có sự phân biệt giữa t 0 ,0 vả 0 , chúng đều được xem là giống nhau. Điều này không đúng cho đáp ứng tổng y(t) , đáp ứng này gồm các thành phần ngõ vào – zêrô và thành phần trạng thái – zêrô. Như thế, thường thì y(0 ) y(0 ) , y(0 ) y(0 ) , v,v, . ■ Thí dụ 2.2: Áp nguồn áp tại ngõ vào của mạch RCL ở hình 2.1a. Tìm dòng điện vòng y(t) khi t 0 nếu dòng điện ban đầu qua cuộn dây là zêrô, tức là y(0 ) 0 và điện áp ban đầu qua tụ là 5 vôn, tức là vC (0 ) 5. Phương trình vi phân (phương trình vòng) mô tả quan hệ giữa và f (t) là: (D2 3D 2)y(t) Df (t) Thành phần trạng thái – zêrô của y(t) có nguồn gốc từ f (t), với giả sử là mọi điều kiện đầu đầu là zêrô, tức là y(0 ) vC (0 ) 0 , sẽ được tính trong thí dụ 2.5. Thí dụ này nhằm tìm thành phần ngõ vào – zêrô y0 (t) , nên cần hai điều kiện đầu là y0 (0) và
y0 (0) . Các điều kiện này tính từ điều kiện đầu y(0 ) 0 và vC (0 ) 5. Nhắc lại là y0 (t) là dòng điện vòng khi hai đầu vào bị ngắn mạch tại t 0 , nên f (t) 0 (ngõ vào – zêrô) như vẽ ở hình 2.1b. Tính y0 (0) và y0 (0) là giá trị dòng điện vòng và đạo hàm tại từ điều kiện đầu của dòng điện qua cuộn dây và điện áp qua tụ. Cần nhớ rằng dòng điện qua cuộn dây và điện áp qua tụ không thay đổi tức thời khi chưa có xung dòng điện. Như thế, khi đầu vào bị ngắn mạch tại , thì dòng điện qua cuộn dây vẫn giữ nguyên là zêrô và điện áp qua tụ vẫn là 5 vôn. Như thế, y0(0) 0 Nhằm xác định y0 (t) , dùng phương trình vòng trong mạch hình 2.1b. Điện áp qua cuộn cảm là L(dy0 / dt) hay y0 (t) , viết được phương trình: y0 (t) 3y0 (t) vC (t) 0 Cho , ta có y0 (0) 3y0 (0) vC (0) 0 Do y0 (0) và vC (0) 5 nên y0 (0) 5 Tìm được điều kiện đầu là y0 (0) 0 và y0 (0) 5 Nên bài toán rút gọn để tìm thành phần ngõ vào – zêrô y0 (t) của y(t) trong hệ đặc trưng bởi phương trình (D2 3D 2)y(t) Df (t) khi các điều kiện đầu là và . Bài toán này đã được giải trong thí dụ 2.1a, ta tìm được: t 2t y0 (t) 5e 5e t 0 (2.15) Đó chính là thành phần ngõ vào – zêrô của dòng điện vòng y(t) . Tìm điều kiện đầu tại t 0 và 0 nhằm xác định đáp ứng tổng y(t) . Viết cặp phương trình vòng vẽ ở hình 2.1a tại thời điểm và tại t 0 . Chỉ có một khác biệt giữa hai tình huống là tại thì ngõ vào f (t) 0 , trong khi tại t 0 , ngõ vào f (t) 10 (do f (t) 10e 3t ), do đó cặp phương trình trên được viết thành y(0 ) 3y(0 ) vC (0 ) 0
y(0 ) 3y(0 ) vC (0 ) 10 Phương trình vòng y(0 ) y(0 ) 0 do không thay đổi tức thời kh không có xung điện áp. Tương tự cho trường hợp điện áp qua tụ, nên vC (0 ) vC (0 ) 5. Thay các giá trị đầu này vào cặp phương trình trên, ta có y(0 ) 5 và y(0 ) 5, vậy: y(0 ) 0, y(0 ) 0 và y(0 ) 0, y(0 ) 5 (2.16) ■ Bài tập E 2.3 Trong mạch hình 2.1a, điện cảm L = 0 và điện áp ban đầu qua tụ là vC (0) 30 vôn. Chứng tỏ thành phần ngõ vào – zêrô của dòng điện vòng được cho bởi 2t / 3 y0 (t) 10e khi t 0 .  Sự độc lập giữa đáp ứng ngõ vào – zêrô và trạng thái – zêrô. Trong thí dụ này ta tính thành phần ngõ vào – zêrô không dùng ngõ vào f (t) . Thành phần trạng thái – zêrô được tính chỉ dùng kiến thức ngõ vào f (t) ; các điều kiện đầu được giả sử là zêrô (hệ ở trạng thái zêrô). Hai thành phần của đáp ứng hệ thống (thành phần ngõ vào – zêrô và thành phần trang thái – zêrô) là độc lập với nhau. Vai trò của điều kiện phụ khi giải phƣơng trình vi phân Nghiệm của phương trình vi phân đòi hỏi phải có thêm một phần thông tin (các điều kiện phụ). Tại sao? Ta sẽ chứng minh là thường phương trình vi phân cần thêm ràng buộc (điều kiện) để tính được nghiệm duy nhất. Lý do, như đã thảo luận về tính khả nghịch thì phương trình vi phân không khả nghịch trừ khi một phần thông tin về y(t) . Từ đó, phép tính vi phân là phép tính không khả nghịch khi mất một phần thông tin. Do đó, cần có thêm thông tin về để tái tạo lại gốc. Lý luận tương tự, ta chứng minh được là từ giá trị d 2 y / dt 2 , ta tìm được nghiệm duy nhất nếu có thêm hai thông tin (ràng buộc) về . Thông thường, để xác định trị duy nhất từ đạo hàm thứ n, ta cần có n thông tin phụ về . Các thông tin này còn được gọi là các điều kiện phụ. Khi các điều kiện này cho tại t 0 , thì được gọi là điều kiện đầu. 2.2-1 Một số hiểu biết về hoạt động của đáp ứng ngõ vào – zêrô của hệ thống Từ định nghĩa, đáp ứng ngõ vào – zêrô là đáp ứng của hệ thống đối với điều kiện nội tại với giả sử các ngõ vào là zêrô. Hiểu biết được hiện tượng này cung cấp hiểu biết thú vị về hoạt động của hệ thống. Nếu hệ thống tạm thời bị xáo trộn khỏi vị trí cân bằng tức thời và nếu khi đã loại nhiễu, hệ thống không thể tức thời về vị trí cân bằng. Thông thường, hệ thống sẽ về vị trí này sau một khoảng thời gian và chỉ qua một dạng vận động đặc trưng bởi hệ thống. Thí dụ, nếu ta đẩy nhẹ vào chắn bùn của xe ô tô và buông ra tại thời điểm t 0, như thế không còn lực tác động bên ngoài vào xe tại thời điểm t 0 .
Thân xe cuối cùng trở về vị trí cân bằng, nhưng không cần một vận động bất kỳ nào. Điều này thực hiện chỉ nhờ vào dạng đáp ứng mà hệ thống duy trì được, không cần lực tác động từ ngoài, do lực vào là zêrô. Chỉ có các chế độ đặc tính là thỏa được điều kiện này. Hệ thống tự tổ hợp các chế độ đặc tính của mình để trở về vị trí cân bằng trong khi vẫn thỏa mãn các điều kiện biên (điều kiện đầu) thích hợp. Nếu hệ thống nhún (giảm chấn) của xe còn hoạt động tốt ( hệ số giảm chấn cao), thì chế độ đặc tính sẽ giảm đơn điệu theo dạng hàm mủ, và thân xe sẽ nhanh chóng về vị trí cân bằng mà không bị dao động. Ngược lại, trường hợp hệ thống nhún tồi (hệ số giam chấn thấp), các chế độ đặc tính sẽ có dao động tắt dần theo hàm mủ, và thân xe trở về vị trí cân bằng với dịch chuyển có dao động. Khi ngắn mạch, mạch RC nối tiếp có điện tích ban đầu qua tụ, thì tụ sẽ bắt đầu phóng điện theo dạng mủ qua điện trở. Đáp ứng của mạch RC nay hoàn toàn do điều kiện nội tai và được hệ thống duy trì mà không cần có tác động từ ngoài. Dạng sóng dòng điện có dạng hàm mủ này là chế độ đặc tính của mạch RC. Về mặt toán học, ta biết rằng tổ hợp bất kỳ các chế độ đặc tính có thể được hệ thống tự duy trì mà không cần tác động từ ngoài vào. Điều này được minh chứng dùng mạch RL trong hình 2.2. Phương trình vòng của hệ thống là (D 2)y(t) f (t) Có một nghiệm đặc tính  2 và chế độ đặc tính là e 2t . Kiểm nghiệm lại xem dòng điện vòng y(t) ce 2t có thể duy trì mạch mà không cần nguồn điện áp vào. Điện áp vào f (t) cần thiết để vận động cho mạch là được cho bởi dy d f (t) L Ry(t) (ce 2t ) 2ce 2t 2ce 2t 2ce 2t 0 dt dt Rõ ràng dòng điện vòng được mạch RL tự duy trì, không cần có nguồn ngoài vào. Hiện tƣợng cộng hƣởng Ta đã thấy là tín hiệu bao gồm chế độ đặc tính của hệ thống đươc tự duy trì. Thử tưởng tượng việc gì sẽ xảy ra nếu ta cho hệ thống hoạt động với ngõ vào lại là một trong
những chế độ đặc tính. Điều này cũng giống như đổ dầu vào lửa, hay thuê một tay nghiện rượu để nếm rượu. Tay nghiện này sẳn sàng làm việc mà không cần lương, và tưởng tượng xem việc gì xảy ra khi trả lương theo số lượng rượu đã được nếm!. Đáp ứng của hệ thống đối với chế độ đặc tính sẽ rất cao một cách tự nhiên. Hiện tượng này được gọi là hiện tƣợng cộng hƣởng. Hiểu hiện tượng này sẽ giúp ta hiểu sâu hơn về đáp ứng trạng thái –zêrô, nên được dành cho nghiên cứu sau tại phần 2.7-7. 2.3 Đáp ứng xung h(t). Hàm xung  (t) còn được dùng để xác định đáp ứng của hệ thống tuyến tính với ngõ vào bất kỳ f (t). Chương 1 đã giải thích về đáp ứng của hệ thống với ngõ vào f (t) có thể tìm bằng cách cắt ngõ vào này thành nhiều xung vuông hẹp, vẽ ở hình 1.27a, rồi lấy tổng các đáp ứng của các thành phần. Xung vuông trở thành xung khi độ rộng tiến về zêrô. Như thế, đáp ứng của hệ thống là tổng của của các đáp ứng với nhiều thành phần xung vào. Thảo luận này cho thấy khi biết được đáp ứng của hệ thống với xung vào, thì xác định được đáp ứng của hệ thống với ngõ vào bất kỳ . Tiếp tục thảo luận về phương pháp xác định đáp ứng xung h(t) của hệ LT – TT – BB mô tả từ từ phương trình vi phân bậc n Q(D)y(t) P(D) f (t) (2.17a) Trong đó Q(D) và P(D) là các đa thức cho bởi phương trình (2.2). Nhắc lại, để giảm ảnh hưởng của nhiễu, ta cần có hệ thống thực tế với m n . Từ ràng buộc này, thường chọn trường hợp m n . Phương trình (2.17a) có thể viết thành n n 1 n n 1 (D an 1D  a1D a0 )y(t) (bnD bn 1D  b1D b0 ) f (t) (2.17b) Trước khi tìm biểu thức tổng quát cho đáp ứng xung đơn vị h(t) , ta cần hiểu thêm một cách định tính về bản chất của h(t) . Đáp ứng xung là đáp ứng của hệ thống khi áp tại ngõ vào xung đơn vị  (t) tại thời điểm t 0 . Xung ngõ vào  (t) , tương tự như tia chớp, lóe lên và tắt ngay tức thời. Nhưng ngay trong thời điểm kích thích này, tia chớp sắp xếp lại lại mọi việc được tác động. Tương tự, xung ngõ vào xuất hiện tức thời tại , rồi ra đi vĩnh viễn. Nhưng ngay trong thời điểm này, xung tạo năng lượng tồn trữ; tức là tạo các điều kiện đầu khác zêrô tại thời gian t 0 . Cho dù ngõ vào có triệt tiêu khi t 0 , tức là khi hê thống không còn tín hiệu vào sau khi xung được áp vào, thì hệ thống vẫn còn đáp ứng được tạo ra từ các điều kiện đầu vừa được sản sinh ra. Như thế, đáp ứng xung h(t) phải chứa các chế độ đặc tính của hệ thống khi t 0 . Kết quả là h(t) = các thừa số chế độ đặc tính t 0 Đáp ứng này tồn tại khi . Nhưng việc gì xảy ra tại ? Ngay tại thời điểm , đáp ứng này hầu như là xung, nên đáp ứng xung đầy đủ là
h(t) = A0 (t) + các thừa số chế độ đặc tính t 0 (2.18) Nghiên cứu sâu hơn về quá trình tìm đáp ứng xung được trình bày trong phụ lục 2.1 ở cuối chương. Hệ LT – TT – BB đặc trưng từ phương trình (2.17), có đáp ứng xung h(t) là: h(t) bn (t) [P(D)yn (t)]u(t) (2.19) Trong đó bn là hệ số của thừa số bậc n trong P(D), [xem phương trình (2.17b)], và yn(t) là tổ hợp tuyến tính các chế độ đặc tính của hệ thống chịu ảnh hưởng của các điều kiện đầu sau: (n 1) (n 2) yn (0) 1, và yn (0) yn (0) yn (0)  yn (0) 0 (2.20) (k) Với yn (0) là giá trị của đạo hàm bậc k của yn (t) tại t 0 . Ta có thể viết điều kiện này cho nhiều dạng giá trị của n (bậc của hệ thống) như sau: n 1: yn (0) 1 n 2 : yn (0) 0 và y n(0) 1 n 3: yn (0) yn (0) 0 và yn (0) 1 n 4: yn (0) yn (0) yn (0) 0 và yn (0) 1 (2.21) v.v, , Khi bậc của P(D) nhỏ hơn bậc của Q(D), bn 0 và thừa số xung bn (t) trong h(t) là zêrô. ■ Thí dụ 2.3: Tìm đáp ứng xung h(t) của hệ thống đặc trưng bằng phương trình vi phân (D2 3D 2)y(t) Df (t) (2.22) Đây là hệ thống bậc hai (n = 2) có đa thức đặc tính (2 3 2) ( 1)( 2) Các nghiệm đặc tính của hệ thống là  1 và  2 , nên t 2t yn (t) c1e c2e (2.23a)
Lấy đạo hàm phương trình t 2t yn (t) c1e 2c2e (2.23b) Các điều kiện đầu [xem phương trình (2.21) với n = 2] yn (0) 1 và yn (0) 0 Trong phương trình (2.23a) và (2.23b) cho t = 0, thế các điều kiện đầu vào, ta có 0 c1 c2 1 c1 2c2 (2.24) Nghiệm của hai phương trình đồng thời cho c1 1 và c2 1, vậy t 2t yn (t) e e (2.25) Hơn nữa, theo (2.22), P(D)=D, vậy t 2t P(D)yn (t) Dyn (t) yn (t) e 2e Trường hợp này, bn b2 0 [không có thừa số bậc hai trong P(D)]. Nên t 2t h(t) bn (t) [P(D)yn (t)]u(t) ( e 2e )u(t) (2.26) ■ Nhận xét Trong phần trên, ta đã giả sử m n , như trong phương trình (2.17b). Phụ lục 2.1 trình bày biểu thức h(t) dùng với mọi trường hợp của m và n là h(t) P(D)[yn (t)u(t)] Với yn (t) là tổ hợp tuyến tính các chế độ đặc tính của hệ thống có điều kiện đầu (2.20). Biểu thức này thành (2.19) khi . Việc xác định đáp ứng xung h(t) theo phương pháp trình bày trong chương này tương đối đơn giản. Tuy nhiên, trong chương 6, phương pháp còn đơn giản hơn khi dùng biến đổi Laplace.
Bài tập E 2.4 Xác định đáp ứng xung của các hệ LT – TT – BB mô tả bởi các phương trình vi phân sau: (a) (D 2)y(t) (3D 5) f (t) (b) D(D 2)y(t) (D 4) f (t) (c) (D2 2D 1)y(t) Df (t) Đáp số: (a) 3 (t) e 2tu(t) (b) (2 e 2t )u(t) (c) (1 t)e tu(t) .   Thí dụ C2.3 dùng máy tính Tìm đáp ứng xung h(t) của hệ thống LT – TT – BB mô tả bởi phương trình vi phân (D2 3D 2)y(t) Df (t) Đây là hệ bậc hai với bn b2 0 . Đầu tiên, tìm thành phân ngõ vào – zêrô dùng các điều kiện đầu yn (0 ) 1 và yn (0 ) 0 Yzi = dsolve(‘D2y+3*Dy+2*y=0’,’y(0)=0’.’Dy(0)=1’.’t’) Yzi = -exp(-2*t)+exp(-t) Do P(D) = D, ta lấy vi phân đáp ứng ngõ vào – zêrô: PYzi = sumdiff(Yzi) Pyzi = 2*exp(-2*t)-exp(-t) Do đó 2t t h(t) b2 (t) [Dy0 (t)]u(t) (2e e )u(t)  Đáp ứng của hệ thống với xung trễ Nếu h(t) là đáp ứng của hệ LT – TT – BB với ngõ vào  (t) , thì h(t T) là đáp ứng của cùng hệ thống với ngõ vào  (t T) . Kết luận này có được nhờ đặc tính bất biến theo thời gian của hệ LT – TT – BB . Như thế, khi biết được đáp ứng xung h(t) , ta có thể tìm được đáp ứng của hệ thống với xung trễ . 2.4 Đáp ứng của hệ thống với ngõ vào ngoài: Đáp ứng trạng thái - zêrô. Phần này nhằm xác định đáp ứng trạng thái-zêrô của hệ LT – TT – BB. Đây là đáp ứng y(t) của hệ thống với tín hiệu vào f (t) khi hệ thống ở trạng thái zêrô; tức là khi mọi điều kiện đầu đều là zêrô. Ta giả sử là hệ thống được thảo luận trong phần này là trạng thái zêrô trừ khi có ghi chú khác. Do đó, đáp ứng trạng thái – zêrô là đáp ứng chung của hệ thống. Dùng nguyên lý xếp chồng để tìm đáp ứng của hệ thống tuyến tính với một số ngõ vào bất kỳ f (t) , và biểu diễn f (t) thành các xung. Ta bắt đầu xấp xỉ f (t) dùng các xung vuông hẹp, vẽ ở hình 2.3a. Phương pháp này cho thấy phép xấp xỉ bậc thang của càng được cải thiện khi độ rộng xung thu hẹp lại. Khi cho độ rộng xung tiến về zêrô, phép biểu diễn này trở nên chính xác. Đáp ứng hệ thống với ngõ vào là tổng các đáp ứng của hệ thống đối với từng thành phần xung (bị trễ) của . Nói khác đi, ta
có thể xác định đáp ứng hệ thống y(t) với ngõ vào bất kỳ f (t) , nếu ta biết được đáp ứng xung của hệ thống. Để có tính tổng quát, ta không đặt hạn chế nào cho như điểm bắt đầu và điểm kết thúc. Tức là tín hiệu được giả sử là tồn tại với mọi t, bắt đầu từ t . Đáp ứng chung của hệ thống đối với tín hiệu này được tính từ tổng các đáp ứng với tửng thành phần xung của tín hiệu. Phương pháp này được vẽ ở hình 2.3. Hình 2.3a vẽ f (t) là tổng của các xung vuông, mỗi xung có độ rộng  . Khi cho  0, các xung vuông này trở thành xung (impulse) có cường độ bằng với phần diện tích của xung. Thí dụ, khi , phần xung vuông tô bóng tại vị trí t n  trong hình 2.3a sẽ biến thành xung tại vị trí này và có cường độ là f (n )  (vùng diện tích của xung vuông). Xung này được biểu diễn là [ f (n ) ](t n ) , như vẽ ở hình 2.3d. Nếu đáp ứng của hệ thống với xung đơn vị  (t) là h(t) (hình 2.3b), các đáp ứng với từng xung trễ  (t n ) là h(t n  ) (hình 2.3c). Do đó, đáp ứng của hệ thống với ngõ vào sẽ là [ f (n ) ]h(t n ) như vẽ ở hình 2.3d. Kết quả này có thể được vẽ thành các cặp vào – ra với chiều mũi tên. Phần bên phải biểu diễn ngõ vào, và phần bên trái biểu diễn đáp ứng tương ứng của hệ thống.  (t) h(t) (t n ) h(t n ) Ngõ vào:[ f (n ) ](t n ) [ f (n ) ]h(t n ) : ngõ ra (2.27)
Hình vẽ lần lượt các cặp vào – ra trong hình 2.3b, c, và d. Cặp cuối biểu diễn đáp ứng hệ thống chỉ với một thành phần xung của f (t) . Đáp ứng tổng y(t) được tính bằng cách lấy tổng các thành phần và vẽ ở hình 2.3e. Lấy tổng hai vế (và với  0) lim f (n  ) (t n  )  lim f (n  )h(t n  )   0   0  n n ngõ vào f (t) ngõ ra y(t) Vế bên trái là ngõ vào f (t) biểu diễn thành tổng của tất cả các thành phầ xung theo phương pháp mô tả ở hình 2.3a. Vế bên trái là ngõ ra là tổng của các thành phần ra vẽ ở hình 2.3e. Hai vế phải và trái là tích phân cho bởi f ( ) (t  )d f ( )h(t  )d (2.28) Tóm lại, đáp ứng (trạng thái – zêrô) của y(t) với ngõ vào f (t) là y(t) f ( )h(t  )d (2.29) Từ đây, ta có được đáp ứng hệ thống với ngõ vào theo đáp ứng xung h(t) . Khi biết được h(t) ta xác định được đáp ứng y(t) với các ngõ vào bất kỳ. Quan sát một lần nữa về bản chất của các chế độ đặc tính, thì khi đáp ứng xung có thể dùng đáp ứng hệ thống với ngõ vào bất kỳ, thì đáp ứng xung còn tạo ra các chế độ đặc tính của hệ thống. Điều quan trọng cần ghi nhớ về các giả sử dùng tìm phương trình (2.29). Ta đã giả sử là hệ thống là TT – BB. Tuyến tính cho phép ta dùng nguyên lý xếp chồng, và tính bất biến cho phép biểu diễn đáp ứng hệ thống theo  (t n  ) là h(t n  ) . 2.4-1 Tích phân chập Đáp ứng trạng thái –zêrô y(t) lấy từ phương trình (2.29) là dạng tích phân thường gặp trong khoa học vật lý, kỹ thuật và toán học và được gọi là tích phân chập (convolution integral). Tích phân chập giữa hai hàm f1(t) và f2 (t) được viết thành f1(t) f2 (t) và được định nghĩa là: f1(t) f2 (t)  f1( ) f2 (t  )d (2.30)
Một số đặc tính của tích phân chập 1. Tính giao hoán f1(t) f2 (t) f2 (t) f1(t) Chứng minh bằng cách thay biến trong phương trình (2.30), nếu đặt x t  thì  t x và d dx , ta có: f1(t) f2 (t)  f2 (x) f1(t x)dx f2 (x) f1(t x)dx f2 (t) f1(t) (2.31) 2. Tính phân phối f1(t) [ f2 (t) f3 (t)] f1(t) f2 (t) f1(t) f3 (t) (2.32) 3. Tính kết hợp f1(t) [ f2 (t) f3 (t)] [ f1(t) f2 (t)] f3 (t) (2.3) Phần chứng minhj (2.32) và (2.33) dùng trực tiếp định nghĩa của tích phân chập và xem là bài tập cho độc giả. 4. Tính dời Nếu f1(t) f2 (t) c(t) Thì f1(t) f2 (t T) c(t T) (2.34a) f1(t T) f2 (t) c(t T) (2.34b) Và f1(t T1) f2 (t T2 ) c(t T1 T2 ) (2.34c) Chứng minh: f1(t) f2 (t) f1( ) f2 (t  )d c(t) Nên f1(t) f2 (t T) f1( ) f2 (t T  )d c(t T) Phương trình (2.34b) lấy từ (2.34a) và đặc tính giao hoán của phép tích phân chập; phương trình (2.34c) lấy từ (2.34a) và (2.34b) 5. Tích chập với xung đơn vị f1(t)  (t) f1( ) (t  )d (2.35)
Do  (t  ) là xung tồn tại ở vị trí  t , theo đặc tính lấy mẫu của xung [phương trình (1.24), tích phân của phương trình trên là giá trị của f ( ) tại  t , chính là f (t) . Do đó f1(t)  (t) f (t) (2.36) 6. Đặc tính độ rộng Nếu thời gian tồn tại (độ rộng) của f1(t) và f2 (t) lần lượt là T1 và T2, thì thời gian tồn tại (độ rộng) của f1(t) f2 (t) là T1 + T2 (hình 2.4). Phần chứng minh về đặc tính này sẽ được thảo luận từ đồ thị trong phần 2.4-2. Tuy nhiên, luật này có thể bị vi phạm trong một số trường hợp đặc biệt được thảo luận sau. Đáp ứng trạng thái – zêrô và tính nhân quả Đáp ứng (trạng thái – zêrô) y(t) của hệ LT – TT – BB là y(t) f (t)*h(t) f ( )h(t  )d (2.37) Khi tìm phương trình (2.37), ta giả sử hệ thống là tuyến tính và bất biến theo thời gian. Không có thêm hạn chế nào cho hệ thống hay cho tín hiệu vào f (t) . Trong thực tế, hầu hết các hệ thống đều là nhân quả, nên đáp ứng ra không thể bắt đầu trước khi có tín hiệu vào. Hơn nữa, hầu hết tín hiệu vào là nhân quả, tức là đều bắt đầu tại t 0 . Các hạn chế của cả tín hiệu và hệ thống giúp đơn giản hóa giới hạn của tích phân trong phương trình (2.37). Do định nghĩa nên đáp ứng của hệ nhân quả không thể bắt đầu trước khi có tín hiệu vào. Do đó, đáp ứng của hệ nhân quả đối với xung đơn vị  (t) (tồn tại ở t 0) không thể bắt đầu trước t 0 . Như thế, đáp ứng xung đơn vị của hệ nhân quả h(t) là tín hiệu nhân quả. Điều quan trọng cần nhớ là tích phân trong phương trình (2.37) được thực hiện theo  (chứ không theo t). Nếu ngõ vào f (t) là nhân quả, f ( ) 0 khi  0 . Như thế, f ( ) 0 khi  0 , vẽ ở hình 2.5a. Tương tự, nếu h(t) là nhân quả, thì khi t  0; tức là với  t , như vẽ ở hình 2.5a. Do đó, tích f ()h(t ) 0 tại mọi nơi trừ vùng
không tô bóng 0  t vẽ ở hình 2.5a (giả sử t 0). Nhận thấy khi t có giá trị âm, f ()h(t ) 0 với mọi  như vẽ ở hình 2.5b. Như thế, phương trình (2.37) rút gọn thành t f ( )h(t  )d t 0 y(t) f (t) h(t) 0 (2.38) 0 t 0 Cận dưới của tích phân trong phương trình (2.38) được lấy từ 0 nhằm tránh khó khăn khi lấy tích phân với f(t) có chứa xung tại gốc. Trong thảo luận tiếp theo, cận dưới có thể là 0 và phải được hiểu là . Kết quả này cho thấy là nếu cả f(t) và h(t) đều là nhân quả thì đáp ứng y(t) cũng là nhân quả. Từ đặc tính giao hoán của phép tích chập [phương trình (2.31)], ta viết được phương trình (2.38) thành [giả sử là f(t) và h(t) đều là nhân quả] t y(t) h( ) f (t  )d t 0 (2.39) 0 Tương tự phương trình (2.38), kết quả này giả sử là cả ngõ vào và hệ thống đều là nhân quả. ■ Thí dụ 2.4: Hệ LT – TT – BB có đáp ứng xung là h(t) e 2tu(t) , tìm y(t) khi tín hiệu vào là f (t) e tu(t) (2.40) Trường hợp này, cả f(t) và h(t) đều là nhân quả, nên chỉ cần lấy tích phân chập trong tầm từ (0, t) [xem phương trình (2.38)]. Đáp ứng của hệ thống là t y(t) h( ) f (t  )d 0 Do và
f ( ) e  u( ) và h(t ) e 2(t  )u(t ) Cần nhớ là tích phân được thực hiện theo  (không theo t), và khoảng lấy tích phân là 0  t . Nói cách khác,  nằm giữa 0 và t. Như thế, nếu t 0, thì  0 và t  0, nên u( ) 1 và u(t ) 1, do đó t y(t) e  e 2(t  )d 0 Do tích phân này được lấy theo , ta có thể đưa e 2t ra ngoài dấu tích phân, và t y(t) e 2t e  d e 2t (et 1) e t e 2t (2.41) 0 Đồng thời y(t) 0 khi t 0 [xem phương trình (2.38)], kết hợp kết quả này với phương trình (2.41), có y(t) (e t e 2t )u(t) (2.42) Đáp ứng được vẽ ở hình 2.6c. ■ Bài tập E 2.5 Hệ LT – TT – BB có đáp ứng xung h(t) 6e tu(t) , tìm đáp ứng của hệ thống khi có tín hiệu vào: (a) 2u(t) (b) 3e 3tu(t) Đáp số: (a) 12(1 e t )u(t) (b) 9(e t e 3t )u(t)  Bài tập E 2.5 Làm lại bài E 2.5 khi tín hiệu vào f (t) e tu(t) , Đáp số: 6te tu(t)
Bảng các tích phân chập Việc tính tích chập được đơn giản hóa đáng kể khi dùng bảng (bảng 2.1), bảng cho phép tìm được đáp ứng y(t) từ tín hiệu vào f (t) mà không cần tính toán tích phân. Thí dụ, ta có thể tìm tích phân chập trong thí dụ 2.4 dùng căp thứ 4 ( 1 1 và t 2t 2 2 ) là (e e )u(t) . Thí dụ tiếp theo đây minh họa hiệu quả của bảng. Bảng 2.1: Bảng tích phân chập ST f (t) f (t) f (t) f (t) f (t) f (t) T 1 2 1 2 2 1 1 f (t)  (t T) f (t T) 2 etu(t) u(t) 1 et u(t)  3 tu(t)  t  t 4 e 1 u(t) e 2 u(t) e1t e2t u(t) 1 2 5 etu(t) etu(t) te tu(t) t 6 1 2 t te u(t) t e u(t) 2 7 t nu(t) 8 t mu(t) 9 te 1tu(t) 10 t metu(t) t netu(t)
11 t me1tu(t) t ne2tu(t) 12 etu(t) 13 etu(t) e2tu( t) 14 e1tu( t) e2tu( t) ■ Thí dụ 2.4: Tìm dòng điện vòng y(t) của mạch RCL trong thí dụ 2.2 khi ngõ vào f (t) 10e 3tu(t) khi các điều kiện đầu đều bằng zêrô. Phương trình vòng cho mạch [xem thí dụ 1.11 hay phương trình (1.55)] là (D2 3D 2)y(t) Df (t) Đáp ứng xung h(t) của hệ thống, đã tìm được từ thí dụ 2.3, là h(t) (2e 2t e t )u(t) Khi ngõ vào , đáp ứng ra y(t) là y(t) f (t) h(t) 10e 3tu(t) [(2e 2t e t )u(t)] Từ tính phân phối của phép tích chập [phương trình (2.32)], ta có: y(t) 10e 3tu(t) 2e 2tu(t) 10e 3tu(t) e tu(t) 20[e 3tu(t) e 2tu(t)] 10e 3tu(t) e tu(t)
Dùng cặp thứ 4 trong bảng 2.1 , thì 20 10 y(t) [e 3t e t ]u(t) [e 2t e t ]u(t) 3 ( 2) 3 ( 1) 20(e 3t e t )u(t) 5(e 2t e t )u(t) ( 5e t 20e 2t 15e 3t )u(t) (2.43) ■ Bài tập E 2.7 Làm lại bài E 2.5 và 2.6 dùng bảng tí ch phân chập  Bài tập E 2.8 Dùng bảng tích phân chập, xác định e 2tu(t) (1 e t )u(t) 1 1 Đáp số: ( e 2t e 2t )u(t) 2 2 Bài tập E 2.9 Hệ LT – TT – BB có đáp ứng xung h(t) e 2tu(t) , xác định đáp ứng trạng thái – zerô y(t) khi ngõ vào là f (t) sin3tu(t) : Gợi ý: Dùng bảng tích phân chập, cặp thứ 12 với các giá trị xác định thích hợp của , ,  và . 1 1 Đáp số: [3e 2t 13 cos(3t 146,320 )]u(t) hay [3e 2t 13 cos(3t 33,680 )]u(t) 13 13 Trƣờng hợp nhiều ngõ vào Có thể xử lý nhiều ngõ vào của hệ TT – BB dùng nguyên lý xếp chồng, xem xếp riêng biết từng ngõ vào, khi cho tất cả các ngõ vào còn lại là zêrô. Tổng của các đáp ứng riêng biệt tạo ngõ ra chung khi áp đồng thời các ngõ vào. 2.4-2 Tìm hiểu tích phân chập từ đồ thị Để hiểu hoạt động của phép tích phân chập, ta cần hiểu biết ý nghĩa tích phân chập dùng biểu diễn dạng đồ thị, điều này giúp ta ước lượng tích phân chập của các tín hiệu phức tạp hơn nhiều. Hơn nữa, tích chập trên đồ thị còn cho phép ta cảm nhận và nhìn thấy được kết quả, giúp ta hiểu được các vấn đề về lấy mẫu, lọc, và nhiều vấn đề khác. Cuối cùng, khi có nhiều tín hiệu không có được mô tả toan học chính xác, mà chỉ được minh họa trên đồ thị. Trường hợp này thì phải dùng phương pháp đồ thị khi tính tích phân chập. Ta hảy giải thích phương pháp tích phân chập của hai tín hiệu f(t) và g(t), vẽ ở hình 2.7a và 2.7b. gọi c(t) là tích phân chập của f(t) và g(t), thì: c(t) f ( )g(t  )d (2.44)
Một trong những điểm quan trọng cần nhớ là trong trường hợp này ta lấy tích phân theo , nên t được xem là tham số (tương tự như hằng số). Điều này rất quan trọng khi biểu diễn trên đồ thị f() và g(t-) xuất hiện trong phương trình (2.44). Hai hàm này được vẽ theo , không theo t. Hàm f() giống f(t), với  thay thế t (hình 2.7c). Do đó, f(t) và f() có cùng dạng đồ thị. Tương tự, cho trường hợp g(t) và g() (hình 2.7d) Hảm g(t-) không thực dễ hiểu. Để tìm hiểu, hảy bắt đầu với g() (hình 2.7d). Gọi () là hàm nghịch theo thời gian của g() (phản chiếu qua trục dọc  = 0), tức là hàm g(-) Hình (2.7e), với () g( ) Hàm () dời một khoảng t giây là ( - t), cho bởi ( t) g[ ( t)] g(t ) Vậy, đầu tiên ta lấy phép nghịch theo thời gian của g() để có g(-) rồi dời g(- ) theo t để có g(t - ). Khi t dương, có phép dời phải (hình 2.7f) và khi t âm, có phép dời trái (hình 2.7g). Phần trên đã trình bày về biểu diễn f() và g(t - ). Tích phân chập c(t) là diện tích của tích hai hàm này. Như thế, để tính c(t) tại thời điểm t = t1, trước hết ta lấy nghịch của g() để có g( -). Tiếp đến, dời g( -) thời gian t1 để có g(t1 -) (hình 2.7f), rồi nhân hàm này với f(), tạo tích f()g(t1 - ) (hình 2.7f). Diện tích A1 của tích này là c1(t) tại t = t1. Ta vẽ được c1(t)=A1 trên đường cong mô tả c(t) như hình 2.7i. Nhận thấy phần diện tích tương ứng với tích f()g(- ) trên hình 2.7e chính là giá trị c(0), là giá trị của tích phân chất tại t = 0 (tại gốc). Tương tự, khi tính giá trị của c(t), tại t = t2, khi t2 âm (hình 2.7g). Trường hợp này hàm g( -) dời một lượng âm (dời trái) để có g( t2-). Nhân hàm này với f(), có tích f()g(t2 - ). Vùng diện tích tương ứng là c2(t)=A2 cho ta một điểm khác trên đường cong c(t) tại t = t2 (hình 2.7i). Phương pháp này được thực hiện lặp lại nhiều lần với mọi giá trị của t, từ - đến . Kết quả có được là đường cong mô tả c(t) với mọi thời gian. Chú ý là khi t 3, f() và g(t - ) không bị trùng lắp (xem hình (2.7h); như thế c(t) = 0 khi
Tóm tắt về phƣơng pháp đồ thị Phương pháp tính tích phân chập dùng đồ thị được tóm tắt như sau: 1. Giữ f ( ) không đổi 2. Xem hàm g( ) như một khung dây cứnng, và xoay (hay đảo) khung quanh trục dọc ( 0) để có g(  ). 3. Dời khung đảo dọc theo trục  một khoảng t0 giây, khung dời này biểu diễn g(t0  ) . 4. Diện tích tương ứng với tích của và g(t0  ) là c(t0 ) , giá trị của tích phân chập tại t t0 . 5. Lặp lại bước này, dời khung với nhiều giá trị khác nhau (dương và âm) để có c(t) với mọi giá trị của t. Trong phương pháp đồ thị, ta cần xác định diện tích tương ứng với tích f ( )g(t0  ) với mọi giá trị của t từ - đến . Tuy nhiên, mô tả toán học thường chỉ có giá trị trong một tầm của t. Như thế, lặp lại phương pháp cho từng giá trị của lượng t chỉ là lặp lại trong vài thời gian trong các tầm khác nhau của t. Ta còn có thể dùng tính giao hoán của tích phân chập để tính f (t) g(t) hay g(t) f (t) , đơn giản hóa được phép tính. Theo kinh nghiệm thì tính tích chập sẽ đơn giản hơn khi ta chọn lấy đảo hàm đơn giản hơn trong hai hàm. Thí dụ, nếu mô tả toán học của g(t) đơn giản hơn so với f (t), thì tính sẽ dễ hơn tính , và ngược lại. Ta minh họa phương pháp tính tích chập bằng đồ thị với các thí dụ sau. Bước đầu, làm lại thí dụ 2.4 dùng phương pháp đồ thị. ■ Thí dụ 2.4 Dùng đồ thị, xác định y(t) f (t) h(t) với f (t) e tu(t) và h(t) e 2tu(t) . Hình 2.8a và 2.8b lần lượt vẽ f (t) và h(t) , hình 2.8c vẽ f ( ) và h(  ) là hàm theo . Tìm hàm h(t  ) bằng cách dời h(  ) một khoảng t thời gian, khi t dương, có dời phải (làm trễ) và khi t âm, ta có dời phải (làm sớm). Hình 2.9d cho thấ, y là khi t âm, có tử phép dời trái h(  ) không trùng lắp , và tích f ()h(t ) 0, nên y(t) 0 t 0 Hình 2.8e vẽ tình trạng khi t 0. Ở đây, và h(t  ) trùng lắp, nhưng chỉ có tích khác zêrô trong khoảng 0  t (khoảng có tô bóng), như thế t y(t) f ( )h(t  )d t 0 0
Điều cần thiết là phải thế đúng biểu thức của f ( ) và h(t  ) trong tích phân. Hình 2.8a và 2.8b rõ ràng cho thấy các phân đoạn của f (t) và g(t) dùng trong tích phân chập được mô tả bởi: f (t) e t và h(t) e 2t , nên f () e  và h(t  ) e 2(t  ) , do đó t t y(t) e  e 2(t  )d e 2t e d e t e 2t t 0 0 0 Hơn nữa, y(t) 0 khi t 0, nên y(t) (e t e 2t )u(t) ■
■ Thí dụ 2.7 Tìm c(t) f (t) g(t) của tín hiệu vẽ trong hình 2.9a và 2.9b. Do f (t) đơn giản hơn g(t), nên tính g(t) f (t) dễ hơn tính f (t) g(t) Tuy nhiên, ta chọn hướng tính khó f (t) g(t) , nhằm làm rõ hơn các điểm tinh tế cỉa tích phân chập. Hình 2.9a và 2.9b lần lượt vẽ và . Nhận thấy gồm hai đoạn A và B, được mô tả theo 2e t A g(t) 2t 2e B Vậy 2e (t  ) A g(t  ) 2(t  ) (2.45) 2e B Đoạn của dùng trong tích chập là f (t) 1, nên f ( ) 1. Hình 2.9c vẽ f ( ) và g(  ). Để tính c(t) khi t 0, ta dời phải để có g(t  ), như vẽ ở hình 2.9d. Rõ ràng, g(t  ) trùng lắp với trong vùng tô bóng; tức là, trong tầm  0 . Đoạn A trùng lắp với trong khoảng (0,t) , trong khi đoạn B trùng lắp với trong tầm (t, ) . Nhắc lại là f ( ) 1, ta có: t c(t) f ( )g(t  )d 2e (t  )d 2e2(t  )d 2(1 e 1) 1 1 2e t t 0 0 0 t Hình 2.9 vẽ tình trạng khi t 0, phần trùng lắp là phần được to bóng, tức là trong tầm  0 và chỉ gồm đoạn B trong g(t) . Như thế, c(t) f ( )g(t  )d g(t  )d 2e2(t  )d e2t t 0 0 0 0 1 2e 2t t 0 c(t) Vậy 2t e t 0 Và được vẽ ở hình 2.9f ■
■ Thí dụ 2.8 Tìm f (t) g(t) của hàm f (t) và g(t) vẽ ở hình 2.10a và 2.10b. Trường hợp này, f (t) có mô tả toán học đơn giản hơn so với g(t) , nên tốt nhất là lấy đảo . Như thế, cần xác định g(t) f (t) thay vì , do đó c(t) g(t) f (t) g( ) f (t  )d Đầu tiên, xác định biểu thức các đoạn của f (t) và g(t) dùng tìm c(t) Từ hình 2.10a và 2.10b, các đoạn này được viết thành 1 f (t) 1 và g(t) t , do đó 3 1 f (t  ) 1 và g( )  , 3 Hình 2.10c vẽ g( ) và f (  ), còn hình 2.10d vẽ g( ) và f (t  ), là f (  ) dời một khoảng t. Do hai biên của f (  ) là  1 và 1, còn biên của f (t  ) lần lượt là -1 +t và 1 + t. Hai hàm này trùng lắp trong khoảng (0, 1+t) (phần tô bóng), tức là 1 t 1 t 1 1 c(t) g( ) f (t  )d d (t 1)2 1 t 1 (2.46a) 0 0 3 6 Phần này được vẽ ở hình 2.10d, chỉ có giá trị trong 1 t 1. Khi t 1 nhưng <2, ta có hình 2.10e. Hai hàm này chỉ trùng lắp trong tầm -1 +t và 1 + t (vùng tô bóng). Chú ý biểu thức của g( ) và f (t  ) không thay đổi, chỉ tầm lấy tích phân là thay đổi, vậy: 1 t 1 2 c(t) d t 1 t 2 (2.46b) 1 t 3 3 Chú ý thêm là biểu thức trong phương trình (2.46a) và (2.46b) đều áp dụng tại t = 1, điểm chuyển tiếp giữa các tầm, Ta cũng thấy là cả hai biểu thức trên đều có giá trị là 2/3 tại t = 1, nên c(1) = 2/3. Tính liên tục của c(t) tại các điểm chuyển tiếp cho thấy xác suất để có kết quả đúng là rất cao. Hình 2.10f vẽ khi t 2 nhưng <4, hàm và trùng lắp trong khoảng từ - 1 + t đến 3 (vùng tô bóng), nên 3 1 1 c(t) d (t 2 2t 8) (2.46c) 1 t 3 6 Một lần nữa, dùng phương trình (2.46b) và (2.46c) tại điểm chuyển tiếp t = 2. Ta thấy hai phương trình đều cho kết quả c(2) = 4/3. Khi t 4 , được dời về phải nên không còn trùng lắp với g( )như vẽ ở hình 2.10g, do đó: c(t) 0 t 4 (2.26d) Xem xét với các giá trị âm của t. Đã xác định được c(t) khi t = -1. Khi t < -1 thì hai hàm này không trùng lắp nhau, như hình 2.10h, nên t 1 (2.26e) Hình 2.10i vẽ c(t) từ các phương trình từ (2.46a) đến (2.46e) ■
Độ rộng của hàm chập Độ rộng (thời gian tồn tại) của f (t) , g(t) và c(t) trong thí dụ 2.8 (hình 2.10) lần lượt là 2, 3, và 5. Chú ý, trong trường hợp này, độ rộng của c(t) là tổng của và . Đây không phải là sự trùng hợp. Từ ý niệm của phương pháp tính tích phân chập dùng đồ thị, ta thấy là nếu và có độ rộng hữu hạn lần lượt là T1 và T2, thì độ rộng của c(t) thường là T1 + T2. Lý do là thời gian để tín hiệu có độ rộng T1 qua hoàn toàn tín hiệu có độ rộng T2 và để chúng không bị trùng lắp là T1 T2 . Khi hai tín hiệu không trùng lắp, thì tích phân chập tiến về zêrô. Tuy nhiên, có trường hợp khi hai tín hiệu hai tín hiệu f ( ) và g(t  ) trùng lắp, có phân diện tích của tích lại triệt tiêu. Đó là trường hợp các tín hiệu trong hình P2.4-14 khi  2 . Trường hợp này thì đặc tính về độ rộng hoàn toàn bị vi phạm. Bài tập E 2.10 Làm lại bài thí dụ 2.7 dùng cách tính g(t) f (t)  Bài tập E 2.11 Trong hình 2.11, dùng phương pháp tính tích phân chập trên đồ thị chứng minh f (t) g(t) g(t) f (t) c(t) Bài tập E 2.12 Làm lại bài tập E2.11 cho hàm trong hình 2.12 Bài tập E 2.13 Làm lại bài tập E2.11 cho hàm trong hình 2.13  Thí dụ C2.4 dùng máy tính Tìm c(t) f (t) g(t) của các tín hiệu trong hình 2.9. t1=-10:.01:0; t1 = t1’; g1 = -2*exp(2*t1); t1= 0::.01:10; t2 = t2’; g2 = -2*exp(-t2);
t = [t1; t2]; g = [g1; g2]; f = [zeros(size(g1)); ones(size(g2))]; t = - 20:.01:5; t = t’; plot(t, c (length(t)))  Một số suy nghĩ về hàm xung Khi nghiên cứu về tín hiệu và hệ thống, ta thường chuyển tín hiệu thành dạng xung, lại không dễ tạo được trong thực tế. Điều ngạc nghiên là tại sao lại xem xét tín hiệu này. Điều này sẽ được giải thích trong chương này. Ngay cả khi không tạo được xung trong thực tế, thì ta vẫn tính được đáp ứng xung h(t) từ tín hiệu này theo phương pháp tại chương 2.3, và khi biết được h(t) thì tính được đáp ứng hệ thống với tín hiệu vào bất kỳ. Hơn nữa, tự thân đáp ứng xung đã cung cấp nhiều thông tin về hoạt động của hệ thống. Trong phần 2.7 ta chứng minh là hiểu biết về đáp ứng xung cung cấp các thông tin quan trọng, như đáp ứng theo thời gian, sự phân tán của xung, và các đặc tính lọc của hệ thống. Khi xem xét đáp ứng xung , ta hiểu biết sâu thêm về hoạt động của hệ thống. Tương tự, khi phân tích hệ thống trong miền tần số (trong chương kế) khi ta dùng các hàm không dừng dạng mủ (hay sin) tuy không tồn tại trong thực tế, nhưng cung cấp được một phương tiện hiệu quả để tính toán đáp ứng của hệ thống với tín hiệu vào bất kỳ. Ngoài ra, đáp ứng hệ thống với tín hiệu không dừng mủ (hay sin) cung cấp thông tin đầy giá trị và hiểu biết sâu hơn về hoạt động của hệ thống. 2.4-3 Trƣờng hợp rất đặc biệt của hệ TT – BB: Hàm mũ không dừng est Có một trường hợp rất đặc biệt khi của hệ thống TT – BB với hàm mũ không dừng est . Ta chứng minh là đáp ứng của hệ thống TT – BB (trạng thái – zêrô) đối với ngõ vào mủ không dừng thì chính là hàm mủ không dừng (có hệ số là hằng số). Hơn nữa, không có dạng hàm nào khác có tính chất này. Các ngõ vào tạo đáp ứng hệ thống như trên được gọi là hàm đặc tính (còn gọi là hàm riêng: eigenfunction). Do hàm sin là một dạng của hàm mủ, nên tín hiệu sin không dừng cũng là hàm đặc tính của hệ TT – BB. Chú ý là trường hợp này thì các hàm mủ không dừng (hay hàm sin không dừng) được bắt đầu tại t . Nếu là đáp ứng xung đơn vị của hệ thống, thì đáp ứng y(t) của hệ thống đối với tín hiệu hàm mủ không dừng là: y(t) h(t) est h( )es(t  )d est h( )es d Tích phân vế phải là hàm theo s. Định nghĩa H(s) theo: y(t) H(s)sst (2.47) Với H(s) h()e std (2.48)
Chú ý là H(s) là hằng số đối với s. Như thế, ngõ vào và ngõ ra là giống nhau (có hệ số là hằng số) đối với tín hiệu mủ không dừng. được gọi là hàm truyền của hệ thống, là hàm theo biến phức s. Định nghĩa hàm truyền của hệ thống TT – BB từ phương trình (2.47) là (2.49) Hàm truyền chỉ được định nghĩa và chỉ có ý nghĩa đối với hệ TT – BB, và thường không tồn tại cho các hệ phi tuyến hay hay hệ thống thay đổi theo thời gian, Trong phần này, chỉ thảo luận về hàm mủ không dừng, túc là bắt đầu từ t , chứ không dùng tín hiệu mủ nhân quả estu(t) , bắt đầu từ t 0 . Đối với hệ đặc trưng từ phương trình (2.1), thì hàm truyền là P(s) H(s) (2.50) Q(s) Tiếp đến xét trường hợp ngõ vào f (t) est . Từ phương trình (2.47), ngõ ra là y(t) H(s)est . Thay f (t) và y(t) vào phương trình (2.1), ta có H(s)[Q(D)est ] P(D)est . Hơn nữa, Drest d rest / dt r srest . Vậy, P(D)est P(s)est và Q(D)est Q(s)est . Vậy H(s) P(s) / Q(s) . Bài tập E 2.14 Chứng minh hàm truyền khâu tích phân lý tưởng là H(s) 1/ s và khâu vi phân lý tưởng là H(s) s . Tìm đáp số với hai cách: dùng phương trình (2.49) và (2.50) . 2.4-4 Đáp ứng chung Đáp ứng chung của hệ thống tuyến tính có thể viết thành tổng của các thành phần đáp ứng ngõ vào – zêrô và đáp ứng trạng thái – zêrô. Trường hợp nghiệm lặp, thành phần đáp ứng ngõ vào – zêrô có thay đổi một ít. Xét mạch RCL nối tiếp trong thí dụ 2,2 khi ngõ vào là f (t) 10e 3tu(t) và điều kiện đầu là y(0) 0,vC (0 ) 5, ta xác định thành phần ngõ vào – zêrô trong thí dụ 2.2
[phương trình (2.15)]. Ta tìm thành phần trạng thái – zêrô trong thí dụ 2.5. Dùng kết quả trong thí dụ 2.2 và 2.5, ta có Đáp ứng tổng = ( 5e t 5e 2t ) ( 5e t 20e 2t 15e 3t ) t 0 = Dòng ngõ vào – zêrô + dòng điện trạng thái – zêrô (2.51a) Hình 2.14a vẽ đáp ứng ngõ vào –zêrô, trạng thái –zêrô, và đáp ứng chung. Đáp ứng tự nhiên và đáp ứng ép Trong mạch RCL của thí dụ 2.2, tìm được chế độ đặc tính là e t và e 2t . Như ta mong muốn, đáp ứng ngõ vào –zêrô chỉ bao gồm các chế độ đặc tính. Tuy nhiên, cần chú ý là đáp ứng trạng thái – zêrô [phương trình (2.51a)] cũng có chứa các thừa số chế độ đặc tính. Điều này, thường đúng cho hệ TT – BB. Ta có thể gom lại tất cả các chế độ đặc tính trong đáp ứng chung, cho ta thành phần được gọi là đáp ứng tự nhiên yn (t) . Phần còn lại, bao gồm hoàn toàn các thừa số không đặc tính , được gọi là đáp ứng ép y (t) . Đáp ứng chung của mạch RCL trong thí dụ 2.2 có thể viết theo thành phần tự nhiên và thành phần ép bằng cách gom lại các thừa số trong phương trình (2.51a) Đáp ứng tổng = ( 10e t 25e 2t ) ( 15e 3t ) =Đáp ứng tự nhiên + Đáp ứng ép (2.51b) Hình 2.14b vẽ đáp ứng tự nhiên, đáp ứng ép và đáp ứng chung 2.5 Giải phƣơng trình vi phân bằng phƣơng pháp cổ điển. Trong phương pháp cổ điển, ta giải phương trình vi phân để tìm thành phần tự nhiên và thành phần ép chứ không tìm thành phần ngõ vào –zêrô hay thành phần trạng thái – zêrô. Phương pháp này tuy đơn giản hơn so với phương pháp trước, nhưng cũng có nhiều yếu điểm. Trong phần 2.4-1, ta biết là khi tất cả các thừa số chế độ đặc tính của đáp ứng chung của hệ thống được tính gộp lại, tạo ra đáp ứng tự nhiên của hệ thống yn (t) (còn gọi là nghiệm thuần nhất hay nghiệm phụ). Phần còn lại của đáp ứng gồm tất cả các thừa số không đặc tính và được gọi là đáp ứng ép y (t) (còn gọi là nghiệm riêng). Phương trình (2.51b) cho thấy hai thành phần của dòng điện vóng trong mạch RCL ở hình 2.1a.
Đáp ứng chung của hệ thống là y(t) yn (t) y (t) . Do y(t) phải thỏa phương trình hệ thống [phương trình (2.1)]. Q(D)[yn (t) y (t)] P(D) f (t) Hay Q(D)yn (t) Q(D)y (t) P(D) f (t) Nhưng yn (t) gồm toàn bộ các chế độ đặc tính, nên Q(D)yn (t) 0 Nên Q(D)y (t) P(D) f (t) (2.52) Đáp ứng tự nhiên là tổ hợp tuyến tính các chế độ đặc tính của hệ thống, có cùng dạng với đáp ứng ngõ vào – zêrô, chỉ khác các hệ số hằng. Các hằng số này được xác định từ điều kiện phụ, như đã giải thích trước đây. Ta tiếp tục trình bày phương pháp xác định đáp ứng ép. 2.5-1 Đáp ứng ép: phƣơng pháp hệ số bất định Việc xác định đáp ứng ép y (t) của hệ TT – BB sẽ tương đối đơn giản khi ngõ vào f (t) có một số hữu hạn đạo hàm độc lập, như các ngõ vào có dạng et hay t r .Thí dụ chỉ có một đạo hàm độc lập, việc lấy đạo hàm liên tiếp cho ta cùng dạng với ngõ vào, tức là . Tương tự, khi liên tiếp lấy đạo hàm của t r ta chỉ có r đạo hàm độc lập. Đáp ứng ép đối với các ngõ vào dạng này là 2at + b và 2a. Trong trường hợp này, ngõ vào chỉ có hai đạo hàm độc lập. Như thế, đáp ứng ép có thể được giả sử là tổ hợp tuyến tính của và hai đạo hàm của nó. Dạng thích hợp cho trong trường hợp này là 2 y (t) 2t 1t 0 Các hệ số chưa xác định 0 , 1 và 2 được xác định bằng cách thay biểu thức này vào trong phương trình (2.52) Q(D)y (t) P(D) f (t) Rồi cân bằng hệ số tương tự trong hai vế của biểu thức sau cùng Ghi chú: Từ định nghĩa, không thể có bất kỳ thừa số đặc tính nào. Nếu có thừa số xuất hiện trong cột bên tay phải của đáp ứng ép, thì thừa số này cũng là chế độ đặc i tính của hệ thống, dạng đúng của đáp ứng ép phải chuyển thành t y (t) , với i là số nguyên bé nhất có thể được dìng và còn có thể ngăn khỏi có thừa số chế độ đặc tính. Thí dụ, khi ngõ vào là , đáp ứng ép (cột tay phải) sẽ có dạng et . Nhưng nếu trở thành chế độ đặc tính của hệ thống, thì dạng đúng của đáp ứng ép là tet (xem cặp 2). Nếu tet cũng trở thànhchế độ đặc tính của hệ thống, thì dạng đúng của đáp ứng ép là t 2et , v.v,
Cho dù phương pháp này chỉ có thể dùng cho ngõ vào với có đạo hàm hữu hạn, dạng ngõ vào còn bao gồm rất nhiều tín hiệu được dùng rất nhiều trong thực tế. Bảng 2.2 minh họa nhiều dạng tín hiệu vào và dạng đáp ứng ép tương ứng. Ta sẽ trình bày phương pháp này bằng thí dụ BẢNG 2.2 Ngõ vào f (t) Đáp ứng ép 1 T t e  i (i 1,2,,n) e 2 t  i te 3 k  4 cos(t )  cos(t ) 5 r r 1 t r r 1 t (t r 1t  1t 0 )e (rt r 1t  1t 0 )e ■ Thí dụ 2.9 Giải phương trình vi phân (D2 3D 2)y(t) Df (t) Khi tín hiệu vào f (t) t 2 5t 3 Và điều kiện đầu là y(0 ) 2 và y(0 ) 3 Đa thức đặc tính của hệ thống 2 3 2 ( 1)( 2) Các chế độ đặc tính là e t và e 2t . Đáp ứng tự nhiên là tổ hợp tuyến tính các chế độ này, tức là t 2t yn (t) K1e K2e t 0 Các giá trị K1 và K2 được xác định từ điều kiện đầu Thay kết quả vào phương trình (2.53) 2 22 3(22 1) 2(2t 1t 0 ) 2t 5 2 Hay 22t (21 62 ) (20 21 22 ) 2t 5 Cân bằng các hệ số cùng bậc lũy thừa 22 0 21 62 2 20 31 22 5 Giải ba phương trình, ta có 0 1, 1 1 và 2 0, nên y (t) t 1 t 0 Đáp ứng chung y(t) là tổng của nghiệm tự nhiên và nghiệm ép, nên t 2t y(t) yn (t) y (t) K1e K2e t 1 t 2t Vậy y(t) K1e 2K2e 1 Cho t 0 rồi thế y(0) 2 và y(0) 3 vào các phương trình trên, ta có
2 K1 K2 1 3 K1 2K2 1 Từ đó K1 4 và K2 3, do đó y(t) 4e t 3e 2t t 1 t 0 ■ Nhận xét về điều kiện đầu Trong phương pháp cổ điển, cần có điều kiện đầu tại t 0 . Lý do là tại t 0 , chỉ tồn tại thành phần ngõ vào – zêrô, và điều kiện đầu tại t 0 có thể áp dụng cho thành phần ngõ vào –zêrô mà thôi. Trong phương pháp cổ điển, ta không thể tính riêng biệt thành phần ngõ vào –zêrô và thành phần trạng thái – zêrô. Từ đó, điều kiện đầu phải được áp dụng cho đáp ứng chung, được bắt đầu tại . Bài tập E 2.15 Hệ thống LT – TT – BB đặc trưng bởi phương trình (D2 5D 6)y(t) (D 1) f (t) 2 Ngõ vào là f (t) 6t . Tìm (a) đáp ứng ép y (t) (b) đáp ứng chung y(t) khi điều kiện 25 2 đầu y(0 ) và y(0 ) . 18 3 1 11 1 11 Đáp số: (a) y (t) t 2 t (b) y(t) 5e 2t 3e 3t (t 2 t )   3 18 3 18 Ngõ vào hàm mủ et Tín hiệu hàm mủ là tín hiệu quan trọng nhất khi nghiên cứu hệ TT – BB. Điều thú vị là đáp ứng ép của ngõ vào hàm mủ trở thành rất đơn giản. Từ bảng 2.2 ta thấy đáp ứng ép của ngõ vào et có dạng et . Ta sẽ chứng minh là  Q() / P() . Để xác định hằng t số , ta thay y (t) e vào phương trình hệ thống [phương trình (2.52)] để có Q(D)[et ] P(D)et (2.54) Ta thấy d Det (et ) et dt d 2 D2et (et )  2et dt 2 . Dret  ret Do đó Q(D)et Q()et và P(D)et P()et Phương trình (2.52) thành Q( )et P()et , và
P( )  , Q( ) Nên khi ngõ vào là f (t) etu(t), đáp ứng ép là t y (t) H( )e (2.55) Với P( ) H() (2.56) Q( ) Đây là kết quả thú vị và đầy ý nghĩa khi cho rằng ngõ vào hàm mủ et thì đáp ứng ép y (t) là cùng hàm mủ nhân với H() P() / Q() . Đáp ứng chung y(t) của hệ thống khi hàm mủ vào được cho bởi: n  jt t y(t)  K je H( )e (2.57) j 1 Trong đó các hằng số K1, K2, , Kn được xác định từ điều kiện phụ. Nhắc lại là tín hiệu hàm mủ bao gồm nhiều dạng tín hiệu, như tín hiệu hằng ( 0), tín hiệu sin ( j ), và hàm sin tăng dần hay giảm dần (  j ). Xét một số trường hợp. Tín hiệu vào là hằng số f (t) C Do C Ce0t , ngõ vào hằng số là trường hợp đặc biệt của hàm mủ Cet khi  0. Trường hợp này, đáp ứng ép là t y (t) CH ()e CH (0) khi (2.58) Tín hiệu vào là hàm mủ e jt Khi  j thì jt y (t) H( j)e (2.59) Tín hiệu vào là hàm mủ f (t) cos0t Ta biết đáp ứng ép khi ngõ vào e jt là H( j)e jt . Do cost (e jt e jt ) / 2 , nên đáp ứng ép to cost là 1 y (t) [H( j)e jt H( j)e jt ]  2 Hai thừa số của vế phải là liên hợp nhau, nên jt y (t) Re[H( j)e ] Do H( j) H( j)e jH (t) , nên j[t H ( j)] y (t) Re H( j)e  H( j) cos[t H( j)] (2.60)
Kết quả có thể tổng quát cho ngõ vào f (t) cos(t ) cho đáp ứng ép y (t) H( j) cos[t  H( j)] (2.61) ■ Thí dụ 2.10 Giải phương trình vi phân (D2 3D 2)y(t) Df (t) Có các điều kiện đầu y(0 ) 2 và y(0 ) 3 và ngõ vào (a) 10e 3t (b) 5 (c) e 2t (d) 10cos(3t 300 ) . Từ thí dụ 2.9, đáp ứng tự nhiên trong trường hợp này là t 2t yn (t) K1e K2e Trường hợp này P( )  H( ) Q( )  2 3 2 (a) Khi ngõ vào f (t) 10e 3t , 3 và 3t 3 3t 3t y (t) 10H( 3)e 10 2 e 15e t 0 ( 3) 3( 3) 2 Nghiệm chung (tổng của đáp ứng xung và đáp ứng ép) là t 2t 3t y(t) K1e K2e 45e Và t 2t 3t y(t) K1e 2K2e 45e Các điều kiện đầu và . Cho t 0 vào các phương trình trên và thay điều kiện đầu vào, ta có K1 K2 15 2 và K1 2K2 45 3 Cho K1 8 và K2 25 , do đó y(t) 8e t 25e 2t 15e 3t (b) Khi ngõ vào f (t) 5 5e0t , 0 y (t) 5H(0) 0 t 2t Nghiệm chung là K1e K2e . Từ điều kiện đầu, xác định K1 và K2 như phần (a) (c) Trường hợp này  2 cũng là nghiệm đặc tính của hệ thống. Nên (xem cặp 2, bảng 2.2, hay nhận xét ở phần trên) 2t y (t) te Tìm  bằng cách thay y (t) trong phương trình hệ thống 2 (D 3D 2)y (t) Df (t) Hay (D2 3D 2)[te 2t ] De 2t , Vậy D[te 2t ] (1 2t)e 2t
D2[te 2t ] 4(1 2t)e 2t D 2t ] 2e 2t Nên (4t 4 3 6t)e 2t 2e 2t Hay e 2t 2e 2t , có  2 và 2t y (t) 2te t 2t 2t Nghiệm chung K1e K2e 2te . Từ điều kiện đầu, xác định K1 và K2 như phần (a) (d) khi ngõ vào là f (t) 10cos(3t 300 ) , thì đáp ứng ép [xem phương trình (2.61)] là 0 y (t) 10[H( j3)]cos[3t 30 H( j3)] P( j3) j3 j3 27 j21 0 H( j3) 0,263e j37,9 Q( j3) ( j3)2 3( j3) 2 7 j9 130 Do đó: H( j3) 0,263 H( j3) 37,90 Và 0 0 0 y (t) 10(0,263)cos(3t 30 37,9 ) 2,63cos(3t 7,2 ) t 2t 0 Nghiệm chung là K1e K2e 2,63cos(3t 7,2 ) . Từ điều kiện đầu, xác định và như phần (a) ■ ■ Thí dụ 2.11 Dùng phương pháp cổ điển, tìm dòng điện vòng y(t) trong mạch RCL hình 2.1, thí 3t dụ 2.2 khi điện áp vào f (t) 10e và các điều kiện đầu y(0 ) 0 và vC (0 ) 5. Các đáp ứng ngõ vào –zêrô và trạng thái – zêrô đã được tìm trong thí dụ 2.2 và 2.5. Đáp ứng tự nhiên và đáp ứng ép xuất hiện trong phương trình 2.51b. Ở đây, ta giải bài toán này dùng phương pháp cổ điển, cần có điều kiện đầu tại t 0 , Các điều kiện này đã có trong phương trình (2.16) là y(0 ) 0 và y(0 ) 5 Phương trình vòng cho hệ thống [xem thí dụ 2.2 hay phương trình (1.55)] là (D2 3D 2)y(t) Df (t) Đa thức đặc tính là 2 3 2 ( 1)( 2). Do đó, đáp ứng tự nhiên là t 2t yn (t) K1e K2e Đáp ứng ép, tìm từ thí dụ 2.10(a) là 3t y (t) 15e Đáp ứng chung là t 2t 3t y(t) K1e K2e 15e Đạo hàm phương trình, cho ta t 2t 3t y(t) K1e 2K2e 45e
Cho t 0 và thay điều kiện đầu y(0 ) 0 và y(0 ) 5 vào các phương trình trên vào, ta có: 0 K1 K2 15  K1 10  5 K1 2K2 45 K2 25 Như thế y(t) 10e t 25e 2t 15e 3t Giống nghiệm đã tìm được trong phương trình 2.51b ■  Thí dụ C2.5 dùng máy tính Giải phương trình vi phân (D2 3D 2)yt) f (t) với tín hiệu vào f (t) 5t 3 f = ‘5*t+3’; mpa(‘f’,f) yt=dsolve(‘D2y+3*Dy+2*y=f’,’y(0)=2,’Dy(0)=3’,’t’) yt=-9/4+5/2*t-19/4*exp(-2*t)+9*exp(-t)  Đánh giá về phƣơng pháp cổ điển Phẩn này cho thấy phương pháp cổ điển tương đối đơn giản so với phương pháp tìm đáp ứng bằng cách lấy tổng của thành phần đáp ứng ngõ vào – zêrô và thành phần trạng thái – zêrô. Điều không may là phương pháp cổ điển có yếu điểm rất lớn do cách tính đáp ứng tổng khi không cho phép tách thành phần do yếu tố nội tại và thành phần do ngõ vào. Khi nghiên cứu hệ thống, quan trọng nhất là biểu diễn được đáp ứng hệ thống theo ngõ vào f (t) thành hàm tường minh theo f (t) . Phương pháp cổ điển không cho phép thực hiện điều này. Mặt khác, phương pháp cổ điển còn giới hạn với một số dạng ngõ vào, không dùng được cho mọi dạng tín hiệu vào. Một vấn đề nhỏ nữa là do phương pháp cổ điển tìm đáp ứng chung, nên cần có điều kiện phụ tồn tại tại t 0 . Trong thực tế ta thường chỉ biết các điều kiện tại t 0 (trước khi có tín hiệu ngõ vào). Như thế. Ta cần tìm thêm tập các điều kiện phụ tại t 0 từ điều đã biết tại t 0 . Khi cần giải tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân hay khi cần tìm đáp ứng của hệ thống TT – BB đặc thù, thì phương pháp cổ điển là phương pháp tốt nhất, Tuy nhiên, khi nghiên cứu lý thuyết về hệ thống TT – BB , thì phương pháp cổ điển không dùng được. 2.6 Ồn định của hệ thống. Do hệ thống có nhiều phương thức hoạt động khác nhau, nên cũng có nhiều định nghĩa về tính ổn định. Ở đây, ta xem xét định nghĩa thích hợp cho hệ nhân quả, tuyến tính và bất biến theo thời gian (TT – BB). Để có thể hiểu một cách trực giác về tính ổn định của hệ thống, ta xem xét ý niệm ổn định với ba trạng thái cân bằng khác nhau. - Cân bằng ổn định - Cân bằng không ổn định
- Cân bằng bình ổn (neutral equilibrium) Áp dụng điều này để quan sát hệ thống. Nếu, khi chưa có tín hiệu từ ngoài vào, hệ thống duy trì ở trạng thái đặc thù (hay điều kiện) không rõ ràng, thì trạng thái này được gọi là trạng thái cân bằng của hệ thống. Trong hệ TT – BB thì trạng thái cân bằng này là trạng thái –zêrô, với mọi điều kiện đầu đều là zêrô. Giả sử hệ TT – BB ở trạng thái cân bằng (trạng thái – zêrô) và ta thay đổi trạng thái này bằng cách tạo ra một số điều kiện đầu khác zêrô. Nếu hệ thống ổn định, hệ thống sẽ trở về trạng thái zêrô. Nói cách khác, tự thân ngõ ra của hệ thống với điều kiện đầu khác zêrô sẽ 0 , khi t . Tuy nhiên, đáp ứng ra của hệ thống dưới ảnh hưởng của điều kiện đầu (đáp ứng ngõ vào – zêrô) lại phụ thuộc vào các chế độ đặc tính. Do đó, ta định nghĩa 63n định như sau: hệ thống là ổn định (tiệm cận) nếu và chỉ nếu, mọi chế độ đặc tính , khi . Nếu có chế độ đặc tính tăng vô hạn khi , hệ thống được gọi là không ổn định. Ngoài ra, còn có tình trạng biên khi đó đáp ứng ngõ vào – zêrô bị chặn (không tiến về zêrô hay vô cùng), tiến về hằng số hay dao động với biên độ không đổi khi , tình trạng này được gọi là ở biên giới ổn định. Hệ LT – TT – BB có n nghiệm phân biệt 1,2 , ,n thì đáp ứng ngõ vào – zêrô là n ,t y0 (t) c je (2.62) j 1 Ta đã chứng minh được [xem phương trình (B.14)] t 0 Re  0 lim e (2.63) t Re  0 Điều này rất hữu ích khi ta xét ổn định của hệ thống theo vị trí của nghiệm đặc tính trong mặt phẳng phức. Trước hết giả sử hệ thống chỉ có nghiệm phân biệt. Nếu nghiệm đặc tính  nằm bên trái mặt phẳng phức (LHP), có phần thực âm (Re 0) . Tương tự nếu  nằm bên phải mặt phẳng phức (RHP), thì có phần thực dương (Re 0) . Dọc theo trục ảo, phần thực là zêrô (Re 0) . Các vùng này được mô tả ở hình 2.15. Phương trình (2.63) cho thấy các chế độ đặc tính tương ứng nghiệm trong LHP triệt tiêu khi , còn các chế độ tương ứng với nghiệm trong RHP tăng vô hạn khi . Tuy nhiên, các chế độ tương ứng với nghiệm đơn giản (không lặp lại) trên trục ảo có dạng e jt ; được chặn (không triệt tiêu hay tiến về vô hạn) khi . Từ thảo luận trên, thì hệ thống ổn định tiệm cận nếu và chỉ nếu, tất cả các nghiệm đặc tính đều nằm bên trái mặt phẳng phức. Nếu chỉ cần có một nghiệm nằm bên phải mặt phẳng phức, thì hệ thống không ổn định. Nếu không có nghiệm nằm bên phải mặt phẳng phức, nhưng có một số nghiệm phức đơn nằm trên trục ảo, thì hệ thống gọi là ở biên ổn định. Sau khi khảo sát trường hợp nghiệm đơn, ta xét tiếp trường hợp nghiệm lặp. Các chế độ tương ứng nghiệm  lặp lại r lần là et ,te t ,t 2et ,,t r 1et . Nhưng khi , t k et 0 . Như thế, các nghiệm lặp trong nữa trái mặt phẳng phức (LHP) không làm hệ thống mất ổn định. Nhưng khi nghiệm lặp nằm trên trục ảo ( j) , thì chế độ tương ứng t ke jt khi . Như thế, nghiệm lặp trên trục ảo làm hệ thống mất ổn định. Hình 2.16 vẽ các chế độ đặc tính tương ứng với vị trí khác nhau của nghiệm đặc tính trên
mặt phẳng phức. Nhận xét là nghiệm hay chế độ đặc tính đóng vai trò quan trọng nhằm xác định tính ổn định của hệ thống. Tóm tắt: 1. Hệ LT – TT – BB là tiệm cận ổn định nếu và chỉ nếu tất cả các nghiệm đặc tính nằm bên trái mặt phẳng phức (LHP) 2. Hệ LT – TT – BB là không ổn định nếu và chỉ nếu có các điều kiện sau: (i) Có ít nhất một nghiệm nằm bên phải mặt phẳng phức (RHP) (ii) có nghiệm lặp trên trục ảo. 3. Hệ LT – TT – BB ở biên ổn định nếu và chỉ nếu, không có nghiệm nằm bên phải mặt phảng phức (RHP), và có một số nghiệm đơn trên trục ảo. ■ Thí dụ 2.12 Tìm ổn định của hệ LT – TT – BB mô tả bởi các phương trình sau: (a) (D 1)(D2 4D 8)y(t) (D 3) f (t) (b) (D 1)(D2 4D 8)y(t) (D 2) f (t) (c) (D 2)(D2 4)y(t) (D2 D 1) f (t) (d) (D 1)(D2 4)2 y(t) (D2 2D 8) f (t) Các đa thức đặc tính là (a) ( 1)(2 4 8) ( 1)  2 j2)( 2 j2) (b) ( 1)(2 4 8) ( 1)  2 j2)( 2 j2) (c) ( 1)(2 4) ( 2)  2 j)( j2) 2 (d) ( 1)(2 4)2 ( 2)  2 j)2 ( j2)
Do đó, các nghiệm đặc tính của hệ thống là (xem hình 2.17) (a) 1, 2 j2 (b) 1, 2 j2 (c) 2, j2 (d) 1, j2, j2. Hệ thống (a) là ổn định tiệm cận (tất cả nghiệm nằm bên trái mặt phẳng phức, (b) bất ổn (có một nghiệm bên phải mặt phẳng phức, (c) Biên ổn định (nghiệm phức đơn trên trục ảo) và không có nghiệm bên phải mặt phẳng phức, và (d) Không ổn định (có nghiệm lặp trên trục ảo. ■
Bài tập E 2.16 Các hệ thống đặc trựng bởi các phương trình sau, vẽ vị trí nghiệm đặc tính trên mặt phẳng phức và xác định tính ổn định (ổn định tiệm cận, biên ổn định, hay không ổn định) (a) D(D 2)y(t) 3 f (t) (b) D2 (D 3)y(t) (2D 5) f (t) (c) (D 1)(D2 2)y(t) (2D 3) f (t) (d) (D2 1)(D2 9)y(t) (D2 2D 4) f (t) (e) (D 1)(D2 4D 9)y(t) (D 7) f (t) Đáp số: (a) biên ổn định (b) không ổn định (c) ổn định (d) biên ổn định (e) không ổn định.  2.6-1 Đáp ứng của hê thống với ngõ vào bị chặn Ta đã biết là khi hệ thống ở vị trí cân bằng ổn định, khi áp vào một lực bé, tạo đáp ứng bé. Ngược lại, khi hệ thống không cân bằng ổn định, khi áp một lực bé vào tạo đáp ứng không bị chặn. Một cách trực giác ta cảm thấy là từng ngõ vào bị chặn sẽ tạo đáp ứng ứng bị chặn khi hệ thống là ổn định, ngược lại thì không đúng với hệ không ổn định. Ta sẽ kiểm nghiệm lại tính đúng đắn của cảm giác này. Nhắc lại, trong hệ thống LT – TT – BB thì y(t) h(t) f (t) h( ) f (t  )d (2.64) Do đó y(t) h( ) f (t  ) d Hơn nữa nếu f (t) bị chặn, tức là f (t  ) K1 , và y(t) K1 h( ) d Do h(t) chứa các thừa số có dạng e jt hayt k e jt , thì suy giảm theo dạng mủ theo thời gian nếu Re  j 0. Do đó, đối với hệ thống ổn định tiệm cận: h( ) d K2 (2.65) Và y(t) K1K2 Vậy, khi hệ thống ổn định tiệm cận, tín hiệu vào bị chặn thường tạo ngõ ra bị chặn. Hơn nữa, ta cũng chứng minh được là hệ ở biên ổn định, ngõ ra y(t) lại không bị chặn đối với một số ngõ vào bị chặn (xem bài tập 2.6-4). Các kết quả này đưa đến cách định
nghĩa khác về ổn định gọi là ổn định khi ngõ vào bị chặn, ngõ ra bị chặn BIBO (bounded- input, bounded output): một hệ thống BIBO là ổn định néu khi tín hiệu vào bị chặn, tạo tín hiệu ra bị chặn. Nhận thấy là hệ thống ổn định tiệm cận thường là ổn định BIBO. Tuy nhiên, hệ ở biên ổn định là hệ BIBO không ổn định. Hàm ý của ổn định Mọi hệ thống xử lý tín hiệu thực tế cần phải ổn định. Hệ thống không ổn định thì không dùng được theo quan điểm xử lý tín hiệu do các giá trị đầu mong muốn hay không mong muốn có thể làm đáp ứng ra không bị chặn, có thể pháp hủy hệ thống (hay thường gặp) là dẫn đến một số điều kiện bảo hòa làm thay đổi bản chất của hệ thống. Ngay cả khi các điều kiện đầu được biết là bằng zêrô thì yếu tố điện áp rỉ hay nhiễu nhiệt được tạo ra từ bên trong hệ thống sẽ tác động được như là điều kiện đầu. Do tính chất tăng theo hàm mủ, điện áp rỉ, dù nhỏ đến đâu đi nữa, cũng thường tạo ngõ ra không bị chặn trong hệ thống không ổn định. Ổn định biên có một ứng dụng quan trọng trong bộ tạo dao động, là hệ thống tạo tự tín hiệu không cần tạc động tử ngõ vào bên ngoài. Do đó, ngõ ra bộ dao động là đáp ứng ngõ vào –zêrô. Nếu đáp ứng tạo sóng sin tần số 0 , thì hệ thống ổn định biên với nghệm đặc tính là j0 . Vậy, muốn thiết kế bộ dao động tại tần số , ta cần lấy hệ thống có 2 2 đa thức đặc tính là ( j0 )( j0 ) ( 0 ) và được mô tả từ phương trình vi phân 2 2 (D 0 )y(t) f (t) 2.7 Tìm hiểu trực giác về hoạt động của hệ thống. Phần này nhằm cung cấp kiến thức về hoạt động của hệ thống. Do dùng yếu tố trực giác, nên trong phần này quan tâm đến phần định tính. Ta sẽ chứng minh là thuộc tính quan trọng của hệ thống là nghiệm đặc tính hay các chế độ đặc tính do chúng xác định không chỉ đáp ứng ngõ vào – zêrô mà còn cả toàn hoạt động của hệ thống. 2.7-1 Sự phụ thuộc của hoạt động hệ thống vào các chế độ đặc tính Nhắc lại là đáp ứng ngõ vào –zêrô của hệ thống gồm các chế độ đặc tính của hệ thống. Khi hệ thống ổn định, các chế độ đặc tính này giảm theo hàm mủ và thường là triệt tiêu. Điều này tạo cảm giác là các chế độ này không thực sự ảnh hưởng lên hoạt động tổng quát hay đặc thù của hệ thống. Cảm giác này hoàn toàn sai! Ta sẽ thấy là các chế độ đặc tính tính này để lại dấu ấn trên từng dáng vẽ của hoạt động hệ thống. Ta có thể so sánh các chế độ đặc tính của hệ thống (hay nghiệm) với hạt giống được rải trên mặt đất; tuy nhiên, cây mọc lên lại tùy thuộc vào hạt giống. Dấu ấn của hạt giống tồn tại trong từng tế bào của cây. Để hiểu được hiện tượng thú vị này, nhắc lại là các chế độ đặc tính của hệ thống là rất đặc biệt với hệ thống do chúng duy trì các tín hiệu mà không cần có tín hiệu từ ngoài vào. Nói cách khác, hệ thống chấp nhận và sẳn sàng nhận các tín hiệu này. Thử tưởng tượng việc gì xảy ra khi ta đưa vào hệ thống tín hiệu có cùng dạng với chế độ đặc tính! Ta hy vọng là hệ thống đáp ứng mạnh mẽ hơn (điều này, tức là hiện tượng cộng hưởng sẽ được thảo luận sau trong chương này). Khi tín hiệu không giống hoàn toàn chế độ đặc tính nhưng lại rất gần với các chế độ này, ta vẫn còn hy vọng là hệ thống sẽ đáp ứng
mạnh mẽ. Tuy nhiên, khi ngõ vào rất khác so với các chế độ đặc tính, ta phải hy vọng là đáp ứng yếu hơn. Bây giờ, ta sẽ chứng tỏ là yếu tố diễn dịch trực giác này là đúng. Dù ta đã nghĩ ra cách đo lường tính tương đồng của tín hiệu (tương quan) trong chương 3, ta cũng sẽ tiếp cận sơ với vấn đề này. Giới hạn ngõ vào của hệ thống là hàm mủ có dạng et , tong đó  thường là số phức. Tính tương đồng giữa hai tín hiệu mủ và et được đo bằng độ gần gủi giữa  và . Khi sai biệt  -  nhỏ, các tín hiệu này giống nhau, nếu  -  lớn, hai tín hiệu không giống nhau. Xét hệ bậc nhất có một chế độ đặc tính và ngõ vào . Đáp ứng xung của hệ thống là Ae t , theo đó trị chính xác của A không quan trọng do ta chỉ khảo sát định tính. Đáp ứng y(t) của hệ thống cho bởi y(t) h(t) f (t) Ae tu(t) etu(t) Từ bảng tích phân chập (bảng 2.1), ta có A y(t) [et et ]u(t) (2.66)   Rõ ràng, nếu ngõ vào tương đồng với ,  -  nhỏ, và đáp ứng hệ thống là lớn. Tín hiệu vào f(t) càng gần với chế độ đặc tính, đáp ứng của hệ thống càng lớn. Ngược lại, nếu tín hiệu vào rất khác chế độ tự nhiên,  -  lớn, thì đáp ứng của hệ thống càng yếu. Điều này này càng minh chứng được điều ta cần. Ta đã chứng minh được với hệ có chế độ đơn (bậc nhất). Điều này còn có thể được tổng quát cho hệ bậc n, có n chế độ đặc tính. Đáp ứng xung h(t) của hệ này là tổ hợp của n chế độ. Vậy, nếu f(t) tương tự một trong số các chế độ này, thì đáp ứng tương ứng sẽ cao; nếu không giống với bầt kỳ chế độ nào, đáp ứng sẽ bé. Rõ ràng, các chế độ đặc tínhcó ảnh hưởng rất lớn để xác định đáp ứng của hệ thống với một tín hiệu vào. Dùng phương trình (2.66) để kết luận là nếu tín hiệu vào giống với chế độ đặc tính, tức là khi  = , thì đáp ứng tiến về vô cùng. Tuy nhiên, cần nhớ là nếu  =  thì mẫu số trong vế phải phương trình(2.66) là zêrô. Phần nghiên cứu về hoạt động phức (hiện tượng cộng hưởng) sẽ được trình bày ở phần sau. Ta sẽ chứng minh là khi xem xét kỹ đáp ứng xung h(t) ( bao gồm các chế độ đặc tính), cũng làm lộ ra nhiều vấn đề về hoạt động của hệ thống. 2.7-2 Đáp ứng theo thời gian của hệ thống: Hằng số thời gian của hệ thống Giống con người, hệ thống cũng có một số đáp ứng thời gian. Nói cách khác, khi ngõ vào(kích thích) vào hệ thống, cần có một khoảng thời gian để hệ thống đáp ứng hoàn toàn với ngõ vào này. Thời gian trễ hay đáp ứng thời gian được gọi là hằng số thời gian. Ta sẽ thấy là hằng số thời gian của hệ thống là bằng với độ rộng của đáp ứng xung h(t) . Ngõ vào  (t) của hệ thống là tức thời (có độ rộng bằng zêrô) nhưng đáp ứng xung thì có độ rộng là Th . Như thế, hệ thống cần có thời gian Th để đáp ứng hoàn toàn với ngõ vào này, và ta sẽ chứng tỏ là đáp ứng thời gian hay hằng số thời gian. Ta cũng kết luận dùng phương pháp khác. Ngõ ra là tích phân chập của tín hiệu vào với . Nếu ngõ vào là xung có độ rộng T f , thì xung đáp ứng có độ rộng Tf Th , tùy thuộc vào đặc tính độ rộng của tích phân chập. kết luận này cho thấy, hệ thống cần Th giây để đáp ứng hoàn toàn với bất kỳ tín hiệu vào. Hằng số thời gian của hệ thống chỉ thị tốc độ hoạt động của hệ thống. Hệ thống có hằng số thời gian bé hơn sẽ hoạt động nhanh
hơn với tín hiệu vào. Hệ thống có hằng số thời gian lớn hơn sẽ đáp ứng chậm hơn với tín hiệu vào. Nói một cách chặc chẽ hơn, thì độ rộng của đáp ứng xung h(t) là do các chế độ đặc tính tiếm cận về zêrô khi t . Tuy nhiên, khi vượt quá một số giá trị của t, có thể được bỏ qua. Do đó, cần dùng một số đo lường thích hợp cho độ rộng hiệu quả của đáp ứng xung Không có một định nghĩa nào về độ rộng hiệu quả của tín hiệu là thỏa mãn được cho mọi tình huống. Trong trường hợp hình 2.18, định nghĩa hợp lý nhất cho độ rộng h(t) là ˆ Th , độ rộng của xung vuông h(t) là xung có diện tích giống với diện tích của h(t) và cao độ giống với trường hợp tại một thời điểm thích hợp t t0 . Trong hình 2.18, t0 được chọn là thời điểm mà cực đại. Từ định nghĩa này: Thh(t0 ) h(t)dt Hay h(t)dt Th (2.67) h(t0 ) Khi hệ thống là chế độ đơn h(t) Ae tu(t) Với  là thực và âm, thì h(t) là cực đại tại t 0 với giá trị h(0) A . Như thế, theo phương trình (2.67) 1 t 1 Th Ae dt (2.68) A 0 
Như thế, thời hằng trong trường hợp này thì đơn giản (là phần âm của) là phần tương hỗ của nghiệm đặc tính. Trong trường hợp nhiều chế độ, h(t) là tổng trọng các hằng số thời gian có liên quan đến n chế độ của hệ thống. 2.7-3 Hằng số thời gian và thời gian lên của hệ thống. Hằng số thời gian của hệ thống còn có thể được nhỉn theo một quan điểm khác. Đáp ứng bước y(t) của hệ thống là tích phân chập giữa u(t) và h(t) . Đặt đáp ứng xung h(t) là xung vuông có độ rộng Th như vẽ ở hình 2.19. Giả sử này nhằm đơn giản hóa thảo luận theo dạng định tính. Kết quả của tích phân chập này vẽ ở hình 2.19. Chú ý là ngõ ra không tăng từ zêrô đến giá trị tức thời sau cùng như trường hợp của tín hiệu ngõ vào, mà ngõ ra cần có thời gian giây để hoàn tất. Như thế, thời gian lên Tr của hệ thống là bằn với hằng số thời gian của hệ thống. Tr Th (2.69) Kết quả và hình 2.19 chứng tỏ là hệ thống không thể đáp ứng tức thời với ngõ vào. Như thế, hệ thống cần có thời gian Th để đáp ứng hoàn toàn. 2.7-4 Hằng số thời gian và tính lọc. Hằng số thời gian lớn làm hệ thống tác động chậm do hệ thống cần nhiều thời gian hơn để đáp ứng hoàn toàn với ngõ vào. Các hệ thống này không thể đáp ứng hiệu quả với thay đổi nhanh của tín hiệu vào. Ngược lại, hằng số thời gian nhỏ hơn cho thấy hệ thống có khả năng đáp ứng được với thay đổi nhanh của tín hiệu vào. Như thế, có quan hệ trực tiếp giữa hằng số thời gian của hệ thống với đặc tính lọc. Xem xét tín hiệu sin cao tần thay đổi nhanh theo thời gian. Hệ thống có hằng số thời gian lớn sẽ không đáp ứng được với tín hiệu này. Từ đó, hệ thống này sẽ loại trừ các sóng sin có tần số cao và các tín hiệu tần số cao khác, nên đã hoạt động như mạch lọc thông thấp (mạch lọc chỉ cho tín hiệu tần số thấp đi qua), Ta sẽ chứng minh là hệ thống có hằng số thời gian hoạt động như mạch lọc thông thấp có tần số cắt là FC 1/Th Hz, nên các sóng sin có tần số thấp hơn FC được truyền qua và loại trừ các sóng có tần số cao hơn FC. Để minh họa tính chất này, ta xác định đáp ứng của hệ thống với ngõ vào sin f (t) bằng cách lấy tích phân chập ngõ vào với đáp ứng xung hiệu quả h(t) trong hỉnh 2.20a. Hình 2.20b và 2.20c vẽ quá trình tích phân chập giữa h(t) và tín hiệu vào sin có hai tần số khác nhau. Sóng sin ở hình 2.20b có tần số tương đối cao, trong khi tần số sóng sin ở hình 2.20c thì thấp. Nhắc lại là tích phân chập của f (t) và bằng với phần diện tích tương ứng với tích f ()h(t ) . Đây là vùng diện tích được tô bóng trong hình 2.20b và 2.20c cho hai trường hợp. Trường hợp sóng sin tần số cao, thì hình 2.20b cho thấy là diện tích tương ứng này rất bé do phần dương và phân âm hầu như triệt tiêu nhau. Trong trường hợp này, thì ngõ ra y(t) vẫn còn là tuần hoàn nhưng biên độ giảm nhỏ đi. Điều này xảy ra khi chu kỳ của sóng sin là rất nhỏ so với hằng số thời gian Th của hệ thống. Ngược lại, đối với sóng sin tần số thấp, có chu kỳ lớn hơn Th , nên vùng diện tích tương ứng ít bị triệt tiêu nhau. Do đó, ngõ ra y(t) lớn hơn, như vẽ ở hình 2.20c.
Giữa hai hoạt động khác nhau của hệ thống, có điểm chuyển tiếp khi chu kỳ của sóng sin bằng với hằng số thời gian Th . Tần số này gọi là tần số cắt FC của hệ thống. Do là chu kỳ của tần số cắt FC nên 1 FC (2.70) Th Tần số FC cũng còn được gọi là băng thông của hệ thống do hệ thống truyền hay cho qua thành phần sóng sin có tần số thấp hơn FC . Dĩ nhiên là quá trình chuyển tiếp trong hệ thống được thực hiện từ từ. Hệ thống không thay đổi đột ngột tại FC 1/Th . Hơn nữa, các kết quả này dựa trên đáp ứng xung lý tưởng (xung vuông); trong thực tế thì các kết quả này co thay đổi một ít, tùy thuộc hình dạng chính xác của h(t) . Cần nhớ là trong phần thảo luận định tính này thì yếu tố cảm nhận quan trọng hơn là đáp ứng chính xác của hệ thống. Do hằng số thời gian của hệ thống bằng với thời gian lên, nên 1 1 Tr hay FC (2.71a) FC Tr Do đó, khi băng thông tỉ lệ nghịch với thời gian lên của hệ thống. Mặc dù phương trình (2.71a) được viết cho trường hợp đáp ứng xung lý tưởng (xung vuông), nhưng ý tưởng này cũng dùng được cho các mạch lọc LT – TT – BB nói chung. Trong trường hợp tổng quát, ta chứng minh được là: k FC (2.71b) Tr
Trong đó, trị chính xác của k tùy thuộc vào bản chất của h(t) . Một kỹ sư lành nghề thường có thể ước lượng nhanh được băng thông của hệ thống chưa biết chỉ đơn giản là quan sát đáp ứng của hệ thống với ngõ vào bước trên dao động ký. 2.7-5 Hằng số thời gian và tính phân tán của xung (rải xung). Thông thường, truyền xung qua hệ thống làm xung bị phân tán (hay rải xung). Như thế, xung ra thường rộng hơn xung vào. Tính chất này của hệ thống tạo nhưng hệ quả nghiêm trọng trong hệ thống thông tin, khi truyền biên độ xung. Tính phân tán xung gây nhiễu hay trùng lặp với các xung kề cận, làm méo dạng xung và tạo sai số tại thông tin nhận. Ta đã biết là khi tín hiệu vào f (t) là xung có độ rộng T f và gọi Ty là độ rộng của xung ra, thì Ty Tf Th (2.72) Kết quả này cho thấy là khi xung vào đã bị phân tán khi đi qua hệ thống. Do Th còn là hằng số thời gian hay thời gian lên của hệ thống, nên lượng phân tán của xung là bằng với hằng số thời gian (hay thời gian lên) của hệ thống. 2.7-6 Hằng số thời gian và tốc độ truyền thông tin. Trong hệ thống thông tin xung, khi thông tin được truyền bằng biên độ xung, tốc độ truyền thông tin tỉ lệ với tốc độ truyền xung. Ta chứng minh là để tránh phá hỏng thông tin do ảnh hưởng của xung phân tán khi qua kênh truyền (môi trường truyền dẫn), thì tốc độ truyền tin không nên vượt qua băng thông của kênh thông tin. Do xung vào phân tán Th giây, các xung liên tiếp nên cách nhau Th giây để tránh giao thoa giữa các xung. Do đó, tốc độ truyền tin không vượt quá 1/Th xung/giây. Nhưng 1/Th FC , là băng thông của kênh truyền, nên ta có thể truyền xung qua kênh thông tin với tốc độ FC xung/giây và tránh đáng kể được giao thoa giữa các xung. Do đó, tốc độ truyền tin là tỉ lệ với băng thông kênh truyền (hay tương hỗ với hằng số thời gian) Phần thảo luận trên (từ 2.7-2 đến 2.7-6) trình bày ảnh hưởng lớn của hằng số thời gian lên hoạt động của hệ thống; như đặc tính lọc, thời gian lên, phân tán xung, v.v, Ngược lại, hằng số thời gian lại được xác định từ nghiệm đặc tính của hệ thống. Rõ ràng nghiệm đặc tính và các lượng tương đối trong đáp ứng xung h(t) xác định hoạt động của hệ thống. 2.7-7 Hiện tƣợng cộng hƣởng. Cuối cùng, ta cũng bàn đến hiện tượng cộng hưởng thú vị. Như đã nói nhiều lần trước đây, hiện tượng này được quan sát khi tín hiệu vào giống hay rất gần với chế độ đặc tính của hệ thống. Đễ đơn giản và rõ ràng, ta xem xét hệ thống bậc một chỉ có một chế độ, et . Cho đáp ứng xung của hệ thống là h(t) Ae t (2.73) Và cho ngõ vào là f (t) e(  )t Đáp ứng của hệ thống y(t) là y(t) Ae t e(  )t
Từ bảng tích phân chập, ta có t A t (  )t t 1 e y(t) e e  Ae (2.74)   Khi  0, thì tử số và mẫu số đề tiến về zêrô. Dùng luật L’Hôpital: lim y(t) Ate t (2.75)  0 Rõ ràng, đáp ứng không về vô cùng khi , nhưng lại có thêm thừa số t, nên tiến về vô cùng khi t . Nếu  có phần thực âm (nên nằm bên trái mặt phẳng phức), et giảm nhanh hơn t và y(t) 0 khi . Hiện tượng cộng hưởng xuất hiện, nhưng không phát triển được do tín hiệu mủ tự suy giảm. Thảo luận trên cho thấy hiện tượng cộng hưởng là hiện tượng tích lũy, chứ không tức thời. Hiện tượng này được tích tụ tỉ lẹ theo thời gian t. Khi chế độ suy giảm theo hàm mủ, tín hiệu suy gảm theo với tốc độ rất nhanh về cộng hưởng làm mất tác dung của suy giảm; và kết quả là tín hiệu triệt tiêu trước khi có cơ hội được thiết lập. Tuy nhiên, nếu chế độ giảm với tốc độ 1/ t , ta sẽ thấy rõ hơn về hiện tượng cộng hưởng. Điều kiện đặc biệt này xuất hiện nếu Re  0. Thí dụ, khi Re  0, thì  nằm trên trục ảo của mặt phẳng phức, và:  j Phương trình (2.75) thành y(t) Ate jt (2.76) Trường hợp này, đáp ứng tăng tỉ lệ với t và tiến về vô cùng Trong hệ thống thực, nếu có nghiệm thì  j cũng là nghiệm; đáp ứng xung có dạng Ae jt Ae jt 2Acost . Đáp ứng của hệ thống khi có ngõ vào Acost là 2Acost cost . Độc giả có thể chứng minh là tích phân chập này có chứa các thừa số có dạng At cost . Hiện tượng cộng hưởng được thấy rõ. Đáp ứng của hệ thống với chế độ đặc tính này tăng tỉ lệ theo thời gian, có thể về vô cùng, như vẽ ở hình 2.21.
Nhắc lại là khi  j , hệ thống ở biên ổn định. Như đã nói, thì ảnh hưởng của hiệu ứng cộng hưởng không xuất hiện trong hệ thống ổn định tiệm cận, mà chỉ trong các hệ ở biên ổn định thì hiện tượng cộng hưởng làm tăng cường mạnh đáp ứng hệ thống về vô cùng khi ngõ vào là chế độ đặc tính. Nhưng ngay cả trong hệ ổn định tiêm cận, ta thấy biểu hiện của hiện tượng cộng hưởng khi các nghiệm đặc tính kề cận trục ảo, tức là Re là rất bé. Ta cũng chứng minh được là khi nghiệm đặc tính của hệ thống là  j , thì j0t đáp ứng hệ thống với tín hiệu vào e hay dạng là tín hiệu sin có dạng cos0t lớn so với . Đáp ứng giảm rất nhanh khi tần số tín hiệu vào vượt khỏi 0 . Tính chọn lọc tần số rât cần cho nghiên cứu đáp ứng của hẹ thống theo tần số, nên dành phần này cho chương 7. Sự quan trọng của hiện tƣợng cộng hƣởng Hiện tượng cộng hưởng rất quan trọng khi cho phép ta thiết kế các hệ thống có tính chọn lọc –tần số qua việc chọn đúng các nghiệm đặc tính của hệ. Lọc thông thấp, thông dải, thông cao, và triệt dải là các thí dụ về mạch chọn lọc tần số. Trong hệ thống cơ khí, sự hiện diện không báo trước của cộng hưởng có thể làm tín hiệu tăng cực lớn biên độ và làm hỏng thiết bị. Một nốt nhạc (rung động điều hòa) với tần số thích hợp có thể làm bể kính nếu tần số khớp với nghiệm đặc tính của gương, được xem là hệ thống cơ khí. Tương tự, một đại đội lính khi cùng nhịp bước qua cầu thì đã đặt vào cầu một lực có tính điều hòa. Nếu lực vào này càng gần với nghiệm đặc tính của cầu, cầu sẽ đáp ứng lại (rung) mạnh và đổ sập. Đó là trường hợp sập cầu Tacoma Narrow Bridge năm 1940. Cầu được đưa vào lưu thông vào tháng bảy năm 1940. Sau bốn tháng hoạt động (ngày 7 tháng 10 năm 1940) cầu sập, không do cường độ mạnh của gió mà từ yếu tố cộng hưởng giữa tần số của gió xoáy trùng với tần số tự nhiên (nghiệm đặc tính) của cầu tạo hiện tượng cộng hưởng. Từ đó, khi thiết kế, các kỹ sư đều quan tâm tránh hiện tượng cộng hưởng trong các hệ thống cơ khí với nhiều biện pháp khác nhau. 2.8 Phụ chƣơng 2.1: Cách xác định đáp ứng xung. Phần này nêu cách tìm đáp ứng xung của hệ LT – TT – BB của hệ thống S, đặc trưng bởi phương trình vi phân bậc n Q(D)y(t) P(D) f (t) (2.77a) Hay n n 1 n n 1 (D an 1D  1 aD a0 )y(t) (bnD bn 1D  b1D b0 ) f (t) (2.77b) Phần 2.3 cho đáp ứng xung h(t) là h(t) A0 (t) + các chế độ đặc tính (2.78) h(t) bn (t) + các chế độ đặc tính (2.79) Để xác định các thừa số chế độ đặc tính trong phương trình trên, ta xét hệ S0 , có ngõ vào f (t) và ngõ ra tương ứng là x(t) theo Q(D)x(t) f (t) (2.80) Thấy rằng cả hai hệ thống S và đầu có cùng đa thức đặc tính; là Q() , nên có cùng các chế độ đặc tính. Hơn nữa, giống với khi P(D) 1, tức là khi bn 1. Như
thế, theo phương trình (2.79), đáp ứng xung của S0 chỉ chứa các thừa số chế độ đặc tính với xung tại t 0 . Gọi đáp ứng xung này của là yn (t) . Ta thấy yn (t) gồm các chế độ đặc tính của S . Với yn (t) là đáp ứng của với ngõ vào  (t) , nên theo phương trình (2.80). Q(D)yn (t)  (t) (2.81a) n n 1 (D an 1D  a1D a0 )yn (t)  (t) (2.81b) Hay (n) (n 1) (1) yn (t) an 1 yn (t)  a1 yn (t) a0 yn (t)  (t) (2.81c) (k) Trong đó yn (t) là đạo hàm bậc k của yn (t) . Vế phải chỉ chứa thừa số xung đơn vị (n 1)  (t) . Điều này chỉ xảy ra nếu yn (t) có bước nhảy đơn vị gián đoạn tại t 0 , nên (n) yn (t)  (t) . Hơn nữa, thừa số bậc thấp không thể có bước nhảy gián đoạn do điều này tức là có yếu tố đạo hàm của . Thí dụ, giả sử có bước nhảy gián đoạn, thì đạo hàm yn (t) chứa đạo hàm bậc nhất của xung , và v.v, Nhưng, điều này là không thể do vế phải của phương trình (2.81c) chỉ chứa mỗi một . Do đó chỉ có là (n) có được bước nhảy gián đoạn nên yn (t) là . Không có bước nhả gián đoạn tại các biến còn lại do điều này sẽ tạo các đạo hàm bậc cao của trong vế phải. Như thế (1) (n 2) yn (0) yn (0)  yn (0) 0 (không có gián đoạn tại ). Như thế, n điều kiện đầu của là (n 1) yn (0) 1 (1) (n 2) yn (0) yn (0)  yn (0) 0 (2.82) Điều này, tức là là đáp ứng ngõ vào – zêrô của hệ thống S với các điều kiện đầu (2.82). Ta chứng minh tiếp là với cùng tín hiệu vào f (t) cho hai hệ thống và , các ngõ ra lần lượt là y(t) và x(t) là y(t) P(D)x(t) (2.83) Để chứng minh, nhân hai vế của (2.83) cho P(D) Q(D)P(D)x(t) P(D) f (t) So sánh phương trình này với phương trình (2.77a) ta có ngay phương trình (2.83). Bây giờ, nếu ngõ vào là f (t)  (t) , ngõ ra của là , và ngõ ra của , theo phương trình (2.83) là P(D)yn (t) . Ngõ ra này là h(t) , đáp ứng xung của . Tuy vậy, do là đáp ứng xung của hệ nhân quả , nên hàm là nhân quả. Để dễ thể hiện, nên chọn hàm này là yn (t)u(t) . Do đó, , đáp ứng xung của hệ thống là h(t) P(D)[yn (t)u(t)] (2.84) Trong đó, là tổ hợp tuyến tính các chế độ đặc tính của hệ thống với điều kiện đầu (2.82).
Vế phải của phương trình (2.84) là tổ hợp tuyến tính các đạo hàm của yn (t)u(t) . Việc ước lượng các đạo hàm này thường rắc rối và không thích hợp do có sự hiện diện của u(t) . Các đạo hàm này sẽ tạo ra xung là các đạo hàm của xung tại gốc. May mắn là khi m n [phương trình (2.84)], ta tránh được khó khăn này dùng quan sát trong phương trình (2.79), khẳng định là tại t 0 (tại gốc), h(t) bn (t) . Như thế, ta không cần bỏ công tìm h(t) tại gốc. Yếu tố lượt giản tức là thay vì tìm P(D)[yn (t)u(t)] , ta chỉ cần tính P(D)yn (t) rồi cộng với thừa số bn (t) : h(t) bn (t) P(D)yn (t) t 0 bn (t) [P(D)yn (t)]u(t) (2.85) Biểu thức này có giá trị khi [dạng cho bởi phương trình (2.77b)]. Khi m n , dùng phương trình (2.84) 2.9 Tóm tắt. Chương này bàn về phân tích hệ thống LT – TT – BB . Đáp ứng chung của hệ thống tuyến tính là tổng của đáp ứng ngõ vào- zêrô và đáp ứng trạng thái – zêrô. Đáp ứng ngõ vào –zêrô là đáp ứng cũa hệ thống chỉ do điều kiện nội tại (điều kiện đầu) của hệ thống tạo ra, với giả sử là mọi tác động bên ngoài là zêrô. Đáp ứng trạng thái –zêrô là đáp ứng do tác động từ ngõ vào bên ngoài, với giả sử là mọi điều kiện đầu là zêrô, tức là hệ thống ở trạng thái zêrô. Hàm xung đơn vị là dạng mô hình toán học lý tưởng của tín hiệu không tạo được trong thực tế. Tuy nhiên, tín hiệu dạng này lại là phương tiện rất hữu ích khi phân tích tín hiệu và hệ thống. Đáp ứng xung của hệ thống là tổ hợp các chế độ đặc tính của hệ thống do xung  (t) 0 khi t 0 . Do đó, đáp ứng khi t 0 phải là đáp ứng ngõ vào –zêrô, như đã nới, chính là các chế độ đặc tính. Đáp ứng trạng thái –zêrô (đáp ứng với ngõ vào bên ngoài) của hệ thống tuyến tính có được bằng cách chia ngõ vào thành nhiều thành phần đơn giản hơn rồi thực hiện phép cộng tất cả các đáp ứng thành phần. Trong chương này, ta cho các ngõ vào bất kỳ thành tổng của nhiều xung vuông độ rộng hẹp [phương pháp xấp xỉ bậc thang cho f (t) ]. Khi cho độ rộng xung 0 , xung vuông biến thành xung. Khi biết được đáp ứng xung của hệ thống, ta tìm được đáp ứng hệ thống của tất cả các xung thành phần và rồi cộng chúng lại để có đáp ứng hệ thống với ngõ vào f (t) . Tổng các đáp ứng các xung thành phần có dạng một tích phân, được gọi là tích phân chập. Đáp ứng hệ thống có được bằng cách lấy tích phân chập của tín hiệu vào với đáp ứng xung h(t) . Như thế, biết được đáp ứng xung cho phép ta xác định đáp ứng hệ thống với ngõ vào bất kỳ. Hệ LT – TT –BB có quan hệ rất đặc biệt vớ itín hiệu không dừng mủ est do đáp ứng của hệ LT – TT – BB với tín hiệu dạng này chính là cùng tín hiệu nhân với hằng số. Đáp ứng của hệ thống LT – TT –BB với ngõ vào là tín hiệu không dừng dạng mủ là H(s)est , với H(s) là hàm truyền của hệ thống. Các phương trình vi phân mô tả hệ LT – TT – BB có thể được giải dùng phương pháp cổ điển, theo đó đáp ứng có được là tổng của đáp ứng tự nhiên và đáp ứng ép, điều này không giống với đáp ứng thành phần ngõ vào –zêrô và trạng thái – zêrô, cho dù
chúng đều thỏa cùng phương trình. Phương pháp này tuy đơn giản nhưng có nhiểu yếu điểm do chỉ áp dụng được cho một số dạng tín hiệu vào, và đáp ứng hệ thống không biểu diễn được theo hàm tường minh của ngõ vào. Hạn chế này làm phương pháp không dùng được khi nghiên cứu lý thuyết về hệ thống. Hệ thống tuyến tính ở trạng thái zêrô khi mọi điều kiện đầu là zêrô. Hệ thống ở trạng thái zêrô không có khả năng tạo ra bất kỳ đáp ứng nào khi chưa có tín hiệu vào. Khi một số điều kiện đầu được đưa vào hệ thống, nếu hệ thống có xu hướng về zêrô khi không có tín hiệu ngõ vào, thì được gọi là ổn định tiệm cận. Ngược lại, nếu đáp ứng của hệ thống tăng vô hạn, thì hệ thống là không ổn định, ngoài ra còn có trường hợp hệ thống ở biên ổn định. Các tiêu chuẩn ổn định theo vị trí nghiệm đặc tính của hệ thống được tóm tắt thành: 1. Hệ LT – TT – BB là ổn định tiệm cận nếu và chỉ nếu mọi nghiệm nằm bên trái mặt phẳng phức. Các nghiệm này có thể là nghiệm đơn hay nghiệm lặp. 2. Hệ LT – TT – BB là không ổn định nếu và chỉ nếu mọi nghiệm nằm bên phải mặt phẳng phức. Các nghiệm này có thể là nghiệm đơn hay nghiệm lặp. 3. Hệ LT – TT – BB là ở biên ổn định tiệm cận nếu và chỉ nếu, không có nghiệm nằm bên phải mặt phẳng phức, và có một số nghiệm lặp trên trục ảo của mặt phẳng phức. Dựa vào định nghĩa khác về ổn định là: ổn định BIBO (bounded-input, bounded output), tức là hệ thống ổn định nếu các ngõ vào bị chặn tạo các ngõ ra bị chặn. Ngược lại là hệ BIBO không ổn định. Hệ BIBO ở biên ổn định luôn là hệ BIBO ổn định, tuy nhiên, điều ngược lại không đúng. Hoạt động đặc tính của hệ thống là cực kỳ quan trọng do không chỉ xác định đáp ứng hệ thống với điều kiện nội tại (hoạt động ngõ vào – zêrô) mà còn xác định đáp ứng với ngõ vào (hoạt động trạng thái – zêrô) và tín hổn định của hệ thống. Đáp ứng của hệ thống với tín hiệu từ ngoài được xác định dùng đáp ứng xung, mà tự thân đáp ứng xung đã bao gồm các chế độ đặc tính. Độ rộng của đáp ứng xung được gọi là hằng số thời gian của hệ thống, chỉ thị tốc độ đáp ứng của hệ thống với tín hiệu vào. Hằng số thời gian giữ vai trò quan trọng để xác định nhiều hoạt động khác nhau của hệ thống như đáp ứng theo thời gian và tính lọc của hệ thống, sự phân tán của xung, và tốc độ truyền xung qua hệ thống. Tài liệu tham khảo 1. Lathi, B.P., Signals and Systems, Berkeley-Cambridge Press, Carmichael, California, 1987. 2. Kailath, T., Linear Systems, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1980. 3. Lathi, B.P., Modern Digital and Analog Communication Systems, Third Ed,.Oxford University Press, New York, 1998. Bài tập 2.2-1 Hệ LT – TT –BB đặc trưng bởi phương trình
(D2 5D 6)y(t) (D 1) f (t) (a) Tìm đa thức đặc tính, phương trình đặc tính, nghiệm đặc tính, và các chế độ đặc tính của hệ thốn gnày (b) Tìm y0 (t), thành phần ngõ vào – zêrô của đáp ứng y(t) khi t 0, nếu điều kiện đầu là y0 (0) 2 và y0 (0) 1 2.2-2 Làm lại bài tập 2.2-1 khi 2 (D 4D 4)y(t) Df (t) , điều kiện đầu là y0 (0) 3 và y0 (0) 4 2.2-3 Làm lại bài tập 2.2-1 khi D(D 1)y(t) (D 2) f (t), điều kiện đầu là y0 (0) 1 và y0 (0) 1 2.2-4 Làm lại bài tập 2.2-1 khi 2 (D 9)y(t) (3D 2) f (t) , điều kiện đầu là y0 (0) 0 và y0 (0) 6 2.2-5 Làm lại bài tập 2.2-1 khi 2 (D 4D 13)y(t) 4(D 2) f (t) , điều kiện đầu là y0 (0) 5 và y0 (0) 15,59 2.2-6 Làm lại bài tập 2.2-1 khi 2 2 D (D 1)y(t) (D 2) f (t), điều kiện đầu là y0 (0) 4 và y0 (0) 1 2.2-7 Làm lại bài tập 2.2-1 khi 2 (D 1)(D 5D 6)y(t) Df (t) , điều kiện đầu là y0 (0) 2 , y0 (0) 1 và y0 (0) 5 2.3-1 Tìm đáp ứng xung của hệ thống đặc trưng bởi phương trình (D2 4D 3)y(t) (D 5) f (t) 2.3-2 Làm lại bài tập 2.3-1 nếu (D2 5D 6)y(t) (D2 7D 11) f (t) 2.3-3 Làm lại bài tập 2.3-1 với bộ lọc bậc một (D 1)y(t) (D 1) f (t)X 2.3-4 Tìm đáp ứng xung của hệ LT – TT BB đặc trưng bởi phương trình (D2 6D 9)y(t) (2D 9) f (t) 2.4-1 Nếu c(t) f (t) g(t) , chứng minh là Ac Af Ag , với Af , Ag và Ac là diện tích tương ứng lần lượt là f (t), g(t) và c(t) . Kiểm tra đặc tính diện tích của tích phân chập trong thí dụ 2.6 và 2.8. 1 2.4-2 Nếu f (t) g(t) c(t) , chứng minh là f (at) g(at) c(at) . Đặc tính tỉ lệ a thời gian của tích phân chập cho là cả f (t) và g(t) đều được tỉ lệ theo a, tích phân chập của chúng cũng được tỉ lệ theo a (và nhân với 1/ a ). 2.4-3 C hứng tỏ là tích phân chập của hàm chẵn và hàm lẻ là hàm lẻ và tích phân chập giữa hai hàm lẻ hay hai hàm chẵn là hàm chẵn. Hướng dẫn: dùng đặc tính tỉ lệ theo thời gian của tích phân chập trong bài tập 2.4-2. 2.4-4 Dùng phương pháp tích phân trực tiếp, tính e atu(t) e btu(t) .
2.4-5 Dùng phương pháp tích phân trực tiếp, tính u(t) u(t) , e atu(t) e atu(t) và tu(t) u(t). 2.4-6 Dùng phương pháp tích phân trực tiếp, tính sint.u(t) u(t) , và cost.u(t) u(t) 2.4-7 Đáp ứng xung đơn vị của hệ LT- TT –BB là h(t) e tu(t) . Tìm đáp ứng (trạng thái – zêrô) y(t) khi tín hiệu vào f (t)là (a) u(t) (b) e tu(t) (c) e 2tu(t) (d) sin3t.u(t) 2.4-8 Làm lại bài tập 2.4-7 nếu h(t) [2e 3t e 2t ]u(t) khi tín hiệu vào là (a) (b) (c) 2.4-9 Làm lại bài tập 2.4-7 nếu h(t) (1 2t)e 2tu(t) khi tín hiệu vào f (t) u(t) 2.4-10 Làm lại bài tập 2.4-7 nếu h(t) 4e 2t cos3t.u(t) khi tín hiệu vào là (a) (b) 2.4-11 Làm lại bài tập 2.4-7 nếu h(t) e tu(t) khi tín hiệu vào là (a) e 2tu(t) , (b) e 2(t 3)u(t) (c) e 2tu(t 3) (d) xung vuông vẽ ở hình P2.4-11, và vẽ y(t) trong trường hợp (d). Hướng dẫn: ngõ vào tại (d) có thể được viết thành u(t) u(t 1) . Trường hợp (c) và (d), dùng tính dời theo thời gian (2.34) của tích phân chập. (Ngoài ra, còn có thể dùng tính bất biến và tính xếp chồng) 2.4-12 Hệ thống lọc bậc nhất có đáp ứng xung h(t)  (t) 2e tu(t) (a) Tìm đáp ứng trạng thái –zêrô của bộ lọc khi có tín hiệu vào e tu(t) (b) Vẽ ngõ vào và đáp ứng trạng thái – zêrô tương ứng 1 2.4-13 Vẽ hàm f (t) và u(t) . Tìm f (t) u(t) và vẽ kết quả. t 2 1 2.4-14 Hình P2.4-14 vẽ f (t) và g(t). Tìm và vẽ c(t) f (t) g(t)
2.4-15 Tìm và vẽ c(t) f (t) g(t) vẽ ở hình P2.4-15 2.4-16 Tìm và vẽ c(t) f1(t) f2 (t) trong cặp hàm vẽ ở hình P2.4-16 2.4-17 Hệ LT – TT – BB, nếu đáp ứng (trạng thái – zêrô) của ngõ vào f (t) là y(t) , chứng minh là đáp ứng đáp ứng (trạng thái – zêrô) của ngõ vào f(t) là y(t) , t t và đáp ứng khi ngõ vào f ( )d là y( )d . 2.4-18 Nếu f (t) g(t) c(t) , chứng minh f(t) g(t) f (t) g(t) c(t) Mở rộng kết quả để chứng minh là f (m) (t) g (n) (t) c m n) (t) Trong đó x(m) (t) là đạo hàm của x(t) , và mọi đạo hàm của f (t) và g(t) tồn tại Hướng dẫn: Dùng phần đầu trong hướng dẫn trong bài tập 2.4-17 và đặc tính dời theo thời gian của tích phân chập.