Bài giảng Sức bền vật liệu - Chương 8: Chuyển vị dầm chịu uốn - ThS. Lê Hoàng Tuấn

Nội dung text: Bài giảng Sức bền vật liệu - Chương 8: Chuyển vị dầm chịu uốn - ThS. Lê Hoàng Tuấn

1. CHƯƠNG 8- CHUYỂN VỊ DẦM CHỊU UỐN GVC. Th.s. Lê Hoàng Tuấn
2. 1. KHÁI NIỆM Đường đàn hồi- K z Trục cong của dầm P v=y K'  KK'- Chuyển vị Đường u thẳng của m/c K y đàn hồi  v- Chuyển vị đứng ( độ võng)  u- Chuyển vị ngang  -Chuyển vị góc (góc xoay) của m/c K
3. 1. KHÁI NIỆM (z) Trong điều kiện z P chuyển vị bé thì (z) K z v=y(z) u << v P KK’  v= y(z) Đường K' . y đàn hồi K’ sau khi biến dạng nằm trên đường vuông góc với trục dầm trước biến dạng . dv Góc xoay có thể lấy gần đúng: tg dz
4. 1. KHÁI NIỆM (z) Giải tích hóa các z P chuyển vị: (z) K z Trong hệ trục (y,z): P v=y(z)  P/t Đường đàn hồi Đường K' y = y(z) y  Độ võng điểm có đàn hồi hoành độ z: y  Góc xoay m/c hoành độ z: = (z) tg (z) = y' (z) Phương trình của góc xoay là đạo hàm của phương trình đường đàn hồi.
5. 1. KHÁI NIỆM  Quy ước dương của chuyển vị: - Độ võng y dương nếu hướng xuống. - Góc xoay dương nếu mặt cắt quay thuận chiều kim đồng hồ. f 1 1  Điều kiện cứng:  L 300 1000 trong đó: L - chiều dài nhịp dầm f - độ võng lớn nhất của dầm , ymax
6. 2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CỦA ĐƯỜNG ĐÀN HỒI Xét điểm bất kỳ K hoành độ z trên dầm. (z) Sau khi chịu lực K K'. z P (z) K z 1 M Chương 7: x P y(z) EI x K' 1 y Đường HH giải tích : 3 y 2 đàn hồi 1 y 2 y M x 3 EI 1 y'2 2 x
7. 2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CỦA ĐƯỜNG ĐÀN HỒI y M x z z 3 2 2 EI x 1 y' Mx Mx Mx Vì y'= = góc xoay bé Mx Và Mx luôn trái dấu y" y M > 0 y M 0 M Phương trình vi phân của Đường đàn hồi: y' ' x EI x Tích số EIx là độ cứng khi uốn của dầm
8. 3. LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐĐH BẰNG PP TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH M Từ phương trình y' ' x EI x Tích phân lần 1 P/t góc xoay: M y' x dz C EI x Tích phân lần 2 P/t ĐĐH hay P/t độ võng: M x y dz C dz D EI x C và D là hai hằng số tích phân, tìm được từ các điều kiện biên
9. 3. LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐĐH BẰNG PP TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH Các điều kiện biên: A A C B y tr y ph yA = A = 0 C C y = 0 yA = 0 tr ph B C C
10. 3. LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐĐH BẰNG PP TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH Thí dụ 1: P B z Viết p/t đường đàn hồi A A yA và góc xoay cho dầm z yB = B 0 công son (console). L y Suy ra độ võng và EIx = hằng số. góc xoay lớn nhất. Giải: Phương trình mômen uốn tại mặt cắt có hoành độ z là: Mx = –Pz
11. 3. LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐĐH BẰNG PP TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH P B z P/t vi phân ĐĐH : A A yA M Pz z y = 0 y'' x L B B EIx EIx y Tích phân 2 lần : EIx = hằng số. Pz 2 y' C 2EJ x Pz3 y Cz D 6EJ PL2 x C 2EI Điều kiện biên: z=L ; =0 và y=0 x PL3 D 3EIx
12. 3. LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐĐH BẰNG PP TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH P B z P/t ĐĐH: A A 3 2 3 yA Pz PL PL z y = 0 y z L B B 6EIx 2EIx 3EIx y EI = hằng số. Pz2 PL2 x P/t góc xoay: 2EIx 2EIx Độ võng và góc xoay ở A PL2 PL3 A và yA ứng với z=0: 2EIx 3EIx Dấu - chỉ góc xoay ngược kim đồng hồ; Dấu + chỉ độ võng hướng xuống.
13. 3. LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐĐH BẰNG PP TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH Thí dụ 2: z Viết p/t đường đàn hồi q và góc xoay cho dầm A B z đơn chịu tải đều. L/2 C VA L Suy ra độ võng và VB góc xoay lớn nhất. EIx = hằng số. Giải: Phản lực: VA = qL/2 Phương trình mômen uốn 2 tại mặt cắt có hoành độ z là: Mx = VA .z - q.z / 2
14. 3. LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐĐH BẰNG PP TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH q P/t vi phân ĐĐH : y'' Lz z2 2EI x q Lz2 z3 y' C 2EIx 2 3 Tích phân 2 lần : q Lz3 z4 y Cz D 2EIx 6 12 z=L ; y=0 Điều kiện biên: z=0 ; y=0 qL3 D 0; C 24EI x
15. 3. LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐĐH BẰNG PP TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH z q P/t ĐĐH: B A 3 2 3 z qL z z L/2 C y z 1 2 VA 2 3 L VB 24EIx L L EIx = hằng số. qL3 z2 z3 y' 1 6 4 P/t góc xoay: 2 3 24EIx L L 4 Độ võng y =y =y : 5qL max C (z=L/2) ymax y L z 384EI 2 x Góc xoay A= y'A=y' (z=0) : qL3 qL3 y y Góc xoay B= y'B=y'(z=L) : A A B B 24EIx 24EIx
16. 4. TÍNH ĐỘ VÕNG, GÓC XOAY BẰNG PP TẢI TRỌNG GIẢ TẠO Các liên hệ trong dầm Dầm giả tạo (DGT) thực (DT): M q y'' x của DT M q gt x EIx y'' dQ EIx q Q y' của DT y' dz gt dM Q M y của DT y dz gt
17. 4. TÍNH ĐỘ VÕNG, GÓC XOAY BẰNG PP TẢI TRỌNG GIẢ TẠO Muốn tính góc xoay y’ và độ võng y của một dầm thực (DT) thì chỉ cần tính lực cắt Qgt và mômen uốn Mgt do tải trong giả tạo qgt tác dụng trên DGT gây ra.  Dầm giả tạo: + Có chiều dài bằng chiều dài DT + Có liên kết tương ứng với chuyển vị của DT M  Lực giả tạo q : x gt qgt EIx + Trị số = MX chia EIx + Chiều hướng theo thớ căng của DT
18. DẦM GIẢ TẠO VÀ DẦM THỰC TƯƠNG ỨNG DT DGT A A M =0 y= 0 B y=0 Mgt=0 B gt 0 0 Qgt 0 Qgt 0 B A Mgt 0 y = 0 A B y 0 Mgt=0 Qgt 0 = 0 0 Qgt=0 A C B A C B Tại C : Mgt=0; Qgt 0; Qtr = Qph Tại C :y = 0; 0; tr= ph
19. THÍ DỤ 3 Tính độ võng và góc xoay đầu B EIx = const q Giải: A B Dầm thực- hình a) a) L 2 Biểu dồ mômen uốn- qL 2 M hình b) b) x Dầm giả tạo- hình c) qL 2 2EI Tính chuyển vị: x DGT c) 2 3 B 1 qL qL Q   L 2 B gt qL Qgt 3 2EI x 6EI x 2EI x 1 qL2 3 qL4 B Mgt y B M gt   L  L d) 3 2EI x 4 8EI x
20. THÍ DỤ 4 Tính độ võng ở giữa nhịp và góc xoay 2 đầu A,B ; EI = const x P A B Giải: C Dầm thực L/2 L/2 Biểu đồ mômen uốn L Dầm giả tạo Mx PL Tính chuyển vị: 4 DGT 1 L PL PL2 V gt   PL 2 2 4EI 16EI 4EI PL2 V Mgt A gt 16EI L 1 L PL 1 L PL3 y V      Vgt C gt 2 2 2 4EI 3 2 48EI PL L/2 4EI
21. 5. DẦM SIÊU TĨNH Định nghĩa: Đó là các dầm mà ta không thể xác định toàn bộ phản lực liên kết chỉ với các p/t cân bằng tĩnh học ( bài toán phẳng có nhiều nhất 3 p/t cân bằng tĩnh học). Cách giải: Phải tìm thêm một số phương trình phụ dựa vào điều kiện biến dạng hay xchuyển vị của dầm.
22. THÍ DỤ 5 Vẽ biểu đồ nội lực cho dầm AB ; EIx = const Giải: q A B Dầm siêu tĩnh - hình a) a) L Dầm thay thế - hình b) q A B P/t đ/k chuyển vị: yB =0 b) L VB Tính chuyển vị y bằng B qL 2 pp dầm giả tạo: 2 c) Mx V B L Biểu đồ mômen uốn -hình c)
23. THÍ DỤ 5 (TT) q A B Dầm thực- hình b) b) L VB Biểu đồ mômen uốn qL 2 c) 2 -hình c) Mx V B L 2 Dầm giả tạo- hình d) qL 2EI d) DGT Tính chuyển vị- hình e) V B L EI 2 qL 2 B 1 qL 3L 1 VBL 2L yB Mgt L  L  2EI B 3 2EI 4 2 EI 3 e) V L B Q Mgt EI gt
24. THÍ DỤ 5 (TT) q A B b) V Cho yB=0 L B q 3 A VB qL - hình h) B 8 h) L V =3qL/8 Vẽ biểu đồ nội lực B 5qL với V - hình i,j) 3qL B 8 Q 8 y qL2 Đây cũng là biểu M 8 x đồ nội lực của dầm 9qL2 siêu tĩnh 128