›
›

Bài giảng Phương pháp số trong tính toán kết cấu - Chương III: Tính hệ thanh chịu uốn và kéo nén - TS. Nguyễn Ngọc Tuyển

pdf 44 trang phuongnguyen 5610
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Phương pháp số trong tính toán kết cấu - Chương III: Tính hệ thanh chịu uốn và kéo nén - TS. Nguyễn Ngọc Tuyển", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfbai_giang_phuong_phap_so_trong_tinh_toan_ket_cau_chuong_iii.pdf

Nội dung text: Bài giảng Phương pháp số trong tính toán kết cấu - Chương III: Tính hệ thanh chịu uốn và kéo nén - TS. Nguyễn Ngọc Tuyển

  1. 5/30/2015 TRƯỜNG ĐẠI HỌC XÂY DỰNG Bộ môn Cầu và Công trình ngầm Website: Website: PHƯƠNG PHÁP SỐ TRONG TÍNH TOÁN KẾT CẤU TS. NGUYỄN NGỌC TUYỂN Website môn học: Link dự phòng: ‐in‐ vietnamese/phuong‐phap‐so‐trong‐tinh‐toan‐ket‐cau Hà Nội, 5‐2015 CHƯƠNG III Tính hệ thanh chịuuốnvàkéonén 109 1
  2. 5/30/2015 Nội dung chương 3 • 3.1. Các ký hiệu và quy ước • 3.2. Phầntử dầm(Beam) • 3.3. Phầntử khung phẳng (Frame‐2D) • 3.4. Phầntử khung không gian (Frame‐3D) 110 3.1. Các ký hiệu và quy ước • Các ký hiệu địaphương 2 – Hệ trụctọa độ địaphương: o123 3 – Biếnsố trong các trục1, 2, và 3 lầnlượtlàx, y, và z 1 – Các chuyểnvị thẳng tại“Núti" i i i theo hệ tọa độ địaphương u 1 , u 2 , và u 3 – Các chuyểnvị xoay tại“Núti" i i i theo hệ tọa độ địaphương u 11 , u 22 , và u 33 – Các lựctácdụng tại“Núti” củaphầntử theo phương củacác i i i trục1, 2, và 3 lầnlượtlà: f 1 , f 2 , và f 3 – Các lựclàmômen tác dụng tại“Núti” củaphầntử theo i i i phương củacáctrục1, 2, và 3 lầnlượtlà: f 11 , f 22 , và f 33 111 2
  3. 5/30/2015 Các ký hiệu và quy ước (t.theo) – Ma trận độ cứng củaphầntử theo hệ tọa độ địaphương: [k] – Véc tơ chuyểnvị nút tại“Nútj” củaphầntử: {uj} – Véc tơ lực nút tại“Nútj” củaphầntử: {fj} – Véc tơ chuyểnvị nút củaphầntử: {u} – Véc tơ lực nút củaphầntử: {f} • Các ký hiệutổng thể – Hệ trụctọa độ tổng thể: OXYZ – Các chuyểnvị thẳng tại“Nútn" theo hệ tọa độ tổng thể bao n n n gồm: U X , U Y , và U Z – Các chuyểnvị xoay tại“Nútn" theo hệ tọa độ tổng thể bao n n n gồm: U XX , U YY , và U ZZ 112 Các ký hiệu và quy ước (t.theo) n – Các lựctácdụng tại“Nútn” theo hệ tọa độ tổng thể gồm: F X , n n F Y , và F Z – Các lựclàmômen tác dụng tại“Nútn” theo hệ tọa độ tổng n n n thể gồm: F XX , F YY ,vàF ZZ – Ma trận độ cứng củaphầntử theo hệ tọa độ tổng thể: [K] 1 j – Véc tơ chuyểnvị nút của“Nútn” : {Un} Y – Véc tơ lực nút của“Nútn” : {Fn} O – Véc tơ chuyểnvị nút củaphầntử: {U} i X – Véc tơ lực nút củaphầntử: {F} Z 113 3
  4. 5/30/2015 Các ký hiệu và quy ước (t.theo) – Ma trận độ cứng tổng thể củacả hệ kếtcấuchưakể tới điều kiệnbiên: [Ks] – Véc tơ chuyểnvị nút tổng thể củacả hệ kếtcấuchưakể tới điềukiệnbiên: {Us} – Véc tơ lực nút tổng thể củacả hệ kếtcấuchưakể tới điềukiện biên: {Fs} – Ma trận độ cứng tổng thể củacả hệ kếtcấu đãkể tới điềukiện biên: [Ko] – Véc tơ chuyểnvị nút tổng thể củacả hệ kếtcấu đãkể tới điều kiệnbiên: {Uo} – Véc tơ lực nút tổng thể củacả hệ kếtcấu đãkể tới điềukiện biên: {Fo} 114 3.2. Phầntử dầm • Chọn đathứcxấpxỉ và ma trậnhàmdạng j θj = u 33 2 – Khi bỏ qua biếndạng dọc j i vj = u 2 θi = u 33 trục, mọi điểmtrênphần i vi = u 2 J, E tử chỉ tồntại chuyểnvị i j 1 thẳng theo trục2 và L i chuyểnvị xoay quanh u 33 uj trụcsong song vớitrục3. 33 i j u 2 u 2 – Một điểmbấtkỳ có tọa độ x (0 ≤ x ≤ L) trên phầntử sẽ có chuyểnvị thẳng v(x) theo trục2 và chuyểnvị xoay tương ứng quanh trục3 là θ(x) = dv/dx 115 4
  5. 5/30/2015 Phầntử dầm (t.theo) – Số bậctự do củaphầntử j là 4, do đósố phầntử của θj = u 33 2 véc tơ tham số {a} cũng j i vj = u 2 là 4 và đathứcxấpxỉ là θi = u 33 v = ui bậc3. i 2 J, E i j 1 L i – Ta chọn đathứcxấpxỉ u 33 uj để biểudiễn hàm chuyển 33 i j vị trong phầntử như sau: u 2 u 2 2 3 v(x) = a1 + a2x + a3x + a4x Góc xoay củamặtcắtngangbấtkỳ chính là đạohàmcủav(x) 2 θ(x) = 0 + a2 + 2a3x + 3a4x 116 Phầntử dầm (t.theo) – Thựchiện đồng nhất hàm chuyểnvị tại các chuyểnvị nút: uvvi a ui uj Tại nút i: 21i x 0 33 33 i j dv i ui uj ua33 i 2 2 2 dx x 0 Tại nút j: uj v v a aL aL23 aL 21234j xL j dv 2 uaaLaL33  j 223 3 4 dx xL 117 5
  6. 5/30/2015 Phầntử dầm (t.theo) i θj = q4 Nếu đặt: qu12 y i qu233 vj = q3 θi = q2 j J, E qu32 vi = q1 j i j x qu433 L q2 q4 thì: qa11 q1 q3 qa22 23 q312 a aL aL 3 aL 4 2 qa42 23 aLaL 3 4 118 Phầntử dầm (t.theo) – Hoặcviếtdướidạng ma trận qa11 10 0 0  qa2201 0 0   hay: qAa    23 e qa331 LL L 2 qa44 012LL 3  Trong đó: 1000 10 0 0 0100 01 0 0 1 3231 A và A 23 22 1 LL L LLLL 2 012LL 3 21 21 LLLL3232 119 6
  7. 5/30/2015 Phầntử dầm (t.theo) qAa aAq 1 ee      – Hàm chuyểnvị v(x) củadầmcóthểđượcviếtlạinhư sau: vx Px a Px A 1 q Nx q    ee e  trong đó[N(x)]e là ma trậncáchàmdạng củaphầntử dầm: Nx Px A 1 e  1000 0100 23 323 1 Nx 1 x x x N1234 N N N e 22 LLLL 21 21 LLLL3232 120 Phầntử dầm (t.theo) – Như vậy, hàm chuyểnvị v(x) củaphầntử dầmchịuuốnlà: 4 vx  N q N x q e e  ii i 1 x23x trong đó: N 13 2 1 LL23 x23x Nx 2 2 LL2 xx23 N 32 3 LL23 xx23 N 4 LL2 121 7
  8. 5/30/2015 Phầntử dầm (t.theo) – Vớigiả thiếtmặtphẳng dầmvẫnphẳng và chỉ bị xoay đigócθ dv  dx do đó, chuyểnvị dọctrụclàu có dv dx quan hệ với độ võng v như sau: dv dv dx uy sin  y dx v y dv uy dx 122 Phầntử dầm (t.theo) – Biếndạng dọctrục du d2 v  y dx dx2 vx N q – Hàm chuyểnvị  e e , do đóbiếndạng có thể đượcviếtlạinhư sau: x23x 2 N 13 2 dN 1 LL23  yqBqe 2 ee  dx x23x Nx 2 2 LL2 trong đó: xx23 N 32 3 LL23 dN2 e By xx23  2 N dx 4 LL2 123 8
  9. 5/30/2015 Phầntử dầm (t.theo) khai triểnma trậntínhbiếndạng [B]: 612x 46xxx 612 26 By 23 2 23 2 L L LL L L LL – Ứng suấttạimọi điểmtrêndầmchịuuốn  EEBq  e – Ma trận độ cứng củaphầntử dầm đượcxácđịnh như sau: kBEBdVEBBdFdx  TT      VLFe 124 Phầntử dầm (t.theo) khai triểnma trận độ cứng phầntử [k] như sau: ii jj uu233233 uu i 12 6LL 12 6 u2 22i 462LLL u33 EI 33 k 3 j L 12 6L u2 Đốixứng 2 u j 4L 33 2 ui ui uj j 33 2 2 u 33 1 i j IydF 2 trong đó: 33 là mô men quántínhcủamặtcắtngang F lấy đốivớitrục3 (là trụcz vuông góc vớimặtphẳng chứadầm) 125 9
  10. 5/30/2015 Phầntử dầm (t.theo) – Do hệ tọa độ tổng thể trùng vớihệ tọa độ địaphương nên: ii jj UUYZZYZZ UU i 12 6LL 12 6 UY 22 EI 462LLL U i Kk 33 ZZ  3 j L 12 6L UY Đốixứng 2 j 4L U ZZ Y Ui Ui Uj j ZZ Y Y U ZZ X i j 126 Phầntử dầm (t.theo) • Ví dụ 3.1. Cho kếtcấudầm liên tụcnhư hình vẽ: P w Eo = 200000MPa 4 Io = 20000mm 1 2 E , 2I 3 1 Eo, Io 2 o o Lo = 4000mm P = 15000N Lo/2 Lo/2 L o w = 4N/mm – Tìm các chuyểnvị và góc xoay tạicácgối – Vẽ biểu đồ mô men uốntronghệ 127 10
  11. 5/30/2015 Phầntử dầm (t.theo) Hệ có 6 bậctự do: – Bốnbậctự do bằng 0 đãbiếtlà: θ1, v1, v2 và v3 – Hai bậctự do chưabiếtlà: θ2 và θ3 v1 = 0 v2 = 0v3 = 0 θ θ3 θ1 = 0 2 – Quy ướcdấu: 128 Phầntử dầm (t.theo) u ẫ m ử nt ầ ph ố ts ộ ng tra mômen cho m ả B 129 11
  12. 5/30/2015 Phầntử dầm (t.theo) Xác định lực nút phầntử dựatrênbảng tra nộilựcphầntử mẫu: – Phầntử 1 PL1 P M PL1 g PL 8 8 1 M M g g 8 2 PL M 1 1 P P 1 2 0.5 8 M 0.5 2 2 – Phầntử 2 2 2 w wL wL2 2 2 wL2 M g 12 12 12 3 M g M g 2 2 wL wL wL2 M 0.5 2 2 2 3 24 M 0.5 130 131 12
  13. 5/30/2015 132 133 13
  14. 5/30/2015 134 135 14
  15. 5/30/2015 136 137 15
  16. 5/30/2015 138 139 16
  17. 5/30/2015 140 141 17
  18. 5/30/2015 142 143 18
  19. 5/30/2015 Phầntử dầm (t.theo) 75N 200Nm 2367N m 1925N 1 2 2 3 100Nm 75N 1925N 5333Nm w P 7500N m 7500N m 5333Nm 5333Nm 1 2 2 3 M 0.5 M 0.5 7500N 7500N 8000N 8000N 144 Thuậttoánsử dụng ma trậnchỉ số [b] để thiếtlậpma trận độ cứng tổng thể [Ko] (1). Tạoma trậnchỉ số nút [b] (2). Xác định sốẩnsố Sas. Begin (3). Tạoma trậnsố không [k] có kích thước là [Sas*Sas] t := t + 1 i := 1 c t := j x := 1 [Ko] := [k] ‐ i <= Spt + t := 0 i := i + 1 x<= t ‐ Đưara[Ko] + {c} := [0,0,0,0] T [kk] := [K] kkkk: i bicc,,, bi bi cc bi c xt c End T xt xt {bi} := [b] (i) x< t ‐ j:= 1 + ‐ kkkkbi,,, bi: bi bi c c j <= 4 cctx cc tx tx + j:= j + 1 ‐ bi j = 0 x := x + 1 + 145 19
  20. 5/30/2015 Phầntử dầm (t.theo) • Bài tập3.1. Cho kếtcấudầm liên tụcnhư hình vẽ: P w Eo = 200000MPa 4 Io = 20000mm 1 2 E , 2I 3 1 Eo, Io 2 o o Lo = 4000mm P = 15000N Lo/2 Lo/2 L o w = 4N/mm – Tìm các chuyểnvị và góc xoay tạicácgối – Vẽ biểu đồ mô men uốntronghệ 146 Phầntử dầm (t.theo) • Bài tập3.2. Cho kếtcấudầm liên tụcnhư hình vẽ: P w Eo = 200000MPa 4 Io = 20000mm 1 2 E , 2I 3 k 1 Eo, Io 2 o o o Lo = 4000mm ko = 10kN/m Lo/2 Lo/2 L o P = 15000N w = 4N/mm – Tìm các chuyểnvị và góc xoay tạicácgối – Vẽ biểu đồ mô men uốntronghệ 147 20
  21. 5/30/2015 Phầntử dầm (t.theo) • Trường hợpphầntử Beam có xét đếnbiếndạng dọc: – Nếukểđếnbiếndạng dọctrục trong phầntử dầmthìmỗi nút thuộcphầntử có số bậctự do là 3 => số bậctự do củaphầntử là 6. – Ma trận độ cứng củaphầntử dầmcóxétbiếndạng dọc được kếthợpgiữama trận độ cứng củaphầntử thanh dàn (chỉ chịu nén) và ma trận độ cứng củaphầntử dầm(chỉ chịuuốn) KK truss K beam 148 Phầntử dầm (t.theo) Y Ui Ui Uj j ZZ Y Y U ZZ KK truss K beam   i U X Uj X i j X ij UUXX i trus s AE 11 U X K  U j L 11 X ii jj UUYZZYZZ UU i 12 6LL 12 6 UY 22 i beam EI 462LLL U K 33 ZZ  3 j L 12 6L UY Đốixứng 2 j 4L U ZZ 149 21
  22. 5/30/2015 Phầntử dầm (t.theo) Ma trận độ cứng củaphầntử dầm(tronghệ tọa độ địaphương, OXY ≡ o12) có xét đếnbiếndạng dọctrục: iii jj j UUUUUUX Y ZZ X Y ZZ EA EA 00 0 0 U i LL X 12EIEI 6 12 EIEI 6 0 U i L32LLL 32Y 462EIEIEI 0 U i LLL2 ZZ K EA j 00U X L 12EIEI 6 j 32UY LL 4EI Đốixứng U j L ZZ 150 3.3. Phầntử khung phẳng 2D‐Frame • Xét phầntử dầmchỉ chịuuốn trong hệ tọa độ phẳng – Trong hệ tọa độ địaphương o12, chuyểnvị v(x) củaphần tử dầmchịuuốn đượcbiểu diễn qua véc tơ chuyểnvị nút như sau: vx Nx q trong đó: T T qv ii v j j  qqqq1234 151 22
  23. 5/30/2015 Phầntử khung phẳng 2D‐Frame (t.theo) – Trong hệ tọa độ tổng thể OXY j U Y = Q5 các chuyểnvị nút vi và vj có thểđược phân tích thành các thành phầntheo j U X = Q4 hai phương X và Y. i U Y = Q2 Khi đó, nếugọivéc α tơ chuyểnvị nút i X U X = Q1 phầntử trong hệ tọa độ OXY là {Q} thì: iii jjjT QUUUUUU XYZZXYZZ T Q QQQQQQ123456  152 Phầntử khung phẳng 2D‐Frame (t.theo) – Quan hệ giữa{q} và {Q} như sau: qQQmQlQ11212 sin cos   qQ23 qQQmQlQ34545 sin cos   qQ46 j U Y = Q5 j U X = Q4 trong đó: i U Y = Q2 α là góc nghiêng giữa α i X trụcphầntử o1 với U X = Q1 trụcnằmngangOX. 153 23
  24. 5/30/2015 Phầntử khung phẳng 2D‐Frame (t.theo) Hoặcbiểudiễn quan hệ {q}e và {Q}e dướidạng ma trận: Q1 ml0000 Q 2 qTQ  001000 Q3     qTQ   000 ml 0 Q4 41 46 61 000001q '5  q '6 [T] đượcgọilàma trậnbiến đổitrụctọa độ, trong đó l và m là các cosin chỉ phương củatrụcphầntử o1 trong hệ tọa độ tổng thể. ml0000 sincos0 0 0 0 001000 0 0 1 0 0 0 T 000 ml 0 0 0 0 sincos0 000001 0 0 0 0 0 1 154 Phầntử khung phẳng 2D‐Frame (t.theo) Tương tự, quan hệ giữalực nút trong hệ tọa độ địaphương {f}e và lực nút trong hệ tọa độ tổng thể {F}e dướidạng ma trận: f  TF   41 46 61 – Xét phương trình cân bằng PT trong hệ tọa độ địaphương: kq  f kT  Q  T F TkTQTTFTT         T TkTQFT      KTkT      155 24
  25. 5/30/2015 Phầntử khung phẳng 2D‐Frame (t.theo) – Ma trận độ cứng phầntử dầmtronghệ tọa độ tổng thể OXY là [K]beam đượcxácđịnh như sau: K beam TkT T   trong đó: [k] là ma trận độ cứng phầntử dầmtrongtọa độ o12 ii jj uu233233 uu i 2 12 6LL 12 6 u2 i j 22i u 2 u 2 j 462LLL u u 33 EI 33 33 k 3 j L 12 6L u2 i 1 u 33 i j Đốixứng 2 j 4L u33 156 Phầntử khung phẳng 2D‐Frame (t.theo) Thựchiện các phép nhân ma trận: K beam TkT T    Ta đượcma trận độ cứng củaphầntử dầmtronghệ tọa độ tổng thể OXY như sau: ii i j j j UUX YZZX U U U YZZ U 22i 12mlmLmmlmLm 12 6 12 12 6 U X 12lLllmlLl22 6 12 12 6 i UY 22i beam EI 46LLmLlL 6 2U ZZ K 3 2 j L 12mlmLm 12 6 U X 2 j 12lLl 6 UY Đốixứng 2 j 4L U ZZ 157 25
  26. 5/30/2015 Phầntử khung phẳng 2D‐Frame (t.theo) – Nhớ lạima trận độ cứng tổng thể củaphầntử thanh dàn trong hệ tọa độ tổng thể OXY: ii jj UUUUX YXY 22i llmllm UX 22i truss EA lm m lm m U l cos K Y L llmllm22U j m sin X lm m22 lm m j UY 158 Phầntử khung phẳng 2D‐Frame (t.theo) hoặcviếtlạidướidạng tổng quát như sau: iii j jj UUUX YZZX U UU YZZ 22 i llm00 l lm U X i 22U mlmm00 Y i truss EA 00 00U K ZZ  2 j L llm0 U X m 2 0 U j Y Đốixứng j 0 U ZZ j U Y j U X i l cos U Y m sin α X i U X 159 26
  27. 5/30/2015 Phầntử khung phẳng 2D‐Frame (t.theo) • Phầntử khung phẳng (2D‐Frame) – Là phầntử chịu kéo (nén) và uốn đồng thời; • Mỗiphầntử khung phẳng có 2 nút; • Mỗi nút thuộcphầntử có 3 bậctự do j U Y Trong hệ tọa độ tổng thể OXY các chuyểnvị nút bao gồm: Uj i X + Chuyểnvị ngang U X i Ui + Chuyểnvịđứng U Y Y i + Chuyểnvị xoay U ZZ = θi Ui Trong hệ tọa độ địaphương o12 X các chuyểnvị nút bao gồm: i + Chuyểnvị dọctrục thanh: u 1 i + Chuyểnvị thẳng góc vớitrục thanh: u 2 i + Chuyểnvị xoay u 33 = θi 160 Phầntử khung phẳng 2D‐Frame (t.theo) – Các chuyểnvị tại nút củaphầntử sẽ gây ra 2 nhóm biếndạng độclập trong phầntử, cụ thể như sau: j U Y • Phầntử bị biếndạng dọctrụcbởi các chuyểnvị dọctrục thanh: j U X i j T {u 1 , u 1} (truss) i U Y • Phầntử bị biếndạng uốnbởicác i chuyểnvị thẳng góc vớitrục thanh U X và các chuyểnvị xoay: i j T {u 2 , θi ,u2 , θj} (beam) – Do vậy, ma trận độ cứng phầntử khung phẳng (2D‐Frame) trong hệ tọa độ tổng thể OXY là [K] đượcxácđịnh như sau: KK  truss K beam 161 27
  28. 5/30/2015 Phầntử khung phẳng 2D‐Frame (t.theo) – Ma trận độ cứng phầntử khung phẳng 2D‐Frame trong hệ tọa độ tổng thể OXY là : iiij jj UUUUUUX YZZX Y ZZ 12IIII 12 6 12 12 II 6 22 22 U i AlmAlmmAlm 22 2 Almm 2 X LLLL LL 2212II 6 12 I 22 12 II 6 U i Aml 222 l AlmAml l Y LL L LL 66II U i E 42Im lI ZZ K LL L j 2212I 12II 6 U X Al 2 m A 2 lm m L LL j 2212II 6 UY Aml 2 l Đốixứng LL U j 4I ZZ 162 Phầntử khung phẳng 2D‐Frame (t.theo) 12I Hoặccóthể viếtgọnhơnbằng cách đặt B L2 iiij jj UUUUUUX YZZX Y ZZ 22 BL 22 BL i Al Bm A B lm m Al Bm A B lm m U X 22 22 BL 22 BL U i AmBl l ABlmAmBl l Y 22 BL BL U i E 42ImlI ZZ K 22 L j 22 BL U X AlBm ABlm m 2 j BL UY AmBl22 l 2 Đốixứng U j 4I ZZ 163 28
  29. 5/30/2015 Phầntử khung phẳng 2D‐Frame (t.theo) • Trình tự giải bài toán khung phẳng – (B1). Tính các ma trận độ cứng phầntử (theo hệ tọa độ tổng thể) cho từng phầntử [K]e – (B2). Xây dựng ma trậnchỉ số nút [b] – (B3). Sử dụng ma trậnchỉ số nút [b] để thiếtlậpma trận độ cứng tổng thể củahệđãkể tới điềukiệnbiên[Ko] – (B4). Tính các véc tơ lực nút {F}e cho từng phầntử theo hệ tọa độ tổng thể – (B5). Sử dụng ma trậnchỉ số nút [b] để thiếtlậpvéctơ lực nút tổng thể {Fo} đãkể tới điềukiệnbiên 164 Phầntử khung phẳng 2D‐Frame (t.theo) – (B6). Giảihệ phương trình: [Ko] {Uo} = {Fo} để tìm các chuyểnvị nút chưabiết{Uo} theo hệ tọa độ tổng thể – (B7). Từ các chuyểnvị nút {Uo} và các chuyểnvị nút bằng 0 đã biết(theođiềukiệnbiêncủa bài toán), thiếtlậpvéctơ chuyển vị nút củatừng phầntử theo hệ tọa độ tổng thể {Q}e – (B8). Tính các giá trị nộilựctại nút củaphầntử (do riêng các chuyểnvị nút gây ra) theo công thứcsau: {Fu}e = [K]e{Q}e – (B9). Tính các giá trị nộilựctại nút củaphầntử do riêng tải trọng cụcbộ tác dụng lên các phầntử củahệ cơ bảngâyra: {Fp}e = ‐ {F}e 165 29
  30. 5/30/2015 Phầntử khung phẳng 2D‐Frame (t.theo) – (B10). Các giá trị nộilựccuối cùng tại nút củaphầntử (theo hệ tọa đôtổng thể) là tổng của2 nguyên nhân trên và bằng: {MV}e = {Fu}e + {Fp}e Các giá trị củavéctơ {MV}e thựcchấtchỉ là các lựcngang, lực đứng và mô men tại2 nút củaphầntử theo hệ tọa độ tổng thể i FX  i FY i FZZ MV e j  FX F j Y j FZZ 166 Phầntử khung phẳng 2D‐Frame (t.theo) – (B11). Vẽ biểu đồ mô men và lựccắttrongcácphầntử Do các giá trị củavéctơ {MV}e là các nộilựctại các nút của phầntử trong hệ tọa độ tổng thể => Để vẽđượccácbiểu đồ nộilựccần quy đổicácgiátrị nộilựctrênvề hệ tọa độ địa phương củaphầntử. Tiến hành làm như sau: ii N lF XY mF  i V ii i mFXY  lF M i i FZZ mv e  jj  N j lF XY mF j j V j mF  lF XY M j j FZZ 167 30
  31. 5/30/2015 Phầntử khung phẳng 2D‐Frame (t.theo) Hoặccóthể biểudiễndướidạng véc tơ như sau: mv T MV ee  trong đó, [T] là ma trận chuyểntừ hệ tọa độ tổng thể sang hệ tọa độ địaphương: lm00 00 ml00 00 X XYY 001000 lm j iji; T LL 000lm 0 22 L XXji YY ji 000 ml 0 000001 168 Phầntử khung phẳng 2D‐Frame (t.theo) w “Nộilực trong khung” bằng “Nộilựcdo tảitrọng cụcbộ tác dụng lên khung bị chốttại nút” cộng với“Nộilực trong khung do các chuyểnvị nút gây ra” 169 31
  32. 5/30/2015 Phầntử khung phẳng 2D‐Frame (t.theo) • Ví dụ 3.2. w P Cho hệ khung phẳng như hình vẽ 2 2 E 3 2Io – Phầntử 1 và 2 có cùng chiều Lo 1 E dài Lo và mô đun đàn hồiEo Io – Mô men quántínhcủaphần 1 tử 1 là Io, củaphầntử 2 là 2Io Lo Yêu cầu: Eo = 200000MPa 2 1. Tìm các chuyểnvị nút và các phản Ao = 6000mm I = 500000mm4 lựctại nút. o Lo = 4000mm 2. Vẽ biểu đồ mô men uốn. P = 15000N w = 3N/mm 170 171 32
  33. 5/30/2015 172 173 33
  34. 5/30/2015 174 175 34
  35. 5/30/2015 Xem giải thích ở cuốivídụ ! 176 177 35
  36. 5/30/2015 178 179 36
  37. 5/30/2015 180 181 37
  38. 5/30/2015 182 183 38
  39. 5/30/2015 184 Giảithíchcáchtạoma trậnKof iiij jj UUUUUUX YZZX Y ZZ 12IIII 12 6 12 12 II 6 22 22 U i AlmAlmmAlm 22 2 Almm 2 X LLLL LL 2212II 6 12 I 22 12 II 6 U i Aml 222 l AlmAml l Y LL L LL 66II U i E 42Im lI ZZ K LL L j 2212I 12II 6 U X Al 2 m A 2 lm m L LL j 2212II 6 UY Aml 2 l Đốixứng LL U j 4I ZZ 185 39
  40. 5/30/2015 Giảithíchcáchtạoma trậnKof Nmm/ 2 N dd 11 1 mm2 ij mm mm Nmm/ 2 N dd 12 2 mm2 ij mm mm Nmmmm/ 24 dd 13333 N ij mm mm Nmm/ 2 N dd 22 4 mm2 ij mm mm Nmmmm/ 24 dd 23366 N ij mm mm Nmm/ 2 dd 33 33 1089 mmNmm4  ij mm 186 Phầntử khung phẳng 2D‐Frame (t.theo) • Bài tập3.3. Cho hệ khung phẳng như hình vẽ 4 Yêu cầu: Eo o 1. Tìm các chuyểnvị nút và các phản Io 60 lựctại nút. P 2. Vẽ biểu đồ mô men uốn. w 2 Eo 3 2Io Eo = 200000MPa L A = 6000mm2 o Eo o I 4 o Io = 500000mm 1 Lo = 4000mm P = 15000N w = 3N/mm Lo 187 40
  41. 5/30/2015 3.4. Phầntử khung không gian 3D‐Frame • Định nghĩaphầntử khung không gian 3D‐Frame – Là phầntử dầmthẳng có tiếtdiện không đổimàtrênmặtcắt ngang củanócóthể tồntại các thành phầnnộilựcsau: • LựcdọcN1 • Mô men uốntrong2 mặtphẳng quán tính chính là M22 và M33 • Mô men xoắntheotrụccủadầmM11 • Lựccắttheo2 trục chính củamặtcắtnganglàV22 và V33. • Chú ý: Do ảnh hưởng củabiếndạng cắtlàtương đốinhỏ nên thường đượcbỏ qua => khi đó, trong ma trận độ cứng củaphầntử sẽ không có thành phần liên quan đếnbiến dạng cắt. 188 Phầntử khung không gian 3D‐Frame (t.theo) – Các thành phầnnộilực trong phầntử khung không gian theo hệ tọa độ địaphương 2 1 V22 2 M11 3 M33 1 M22 N11 V33 M33 3 V22 i j f111 N f111 N i j N11 fV222 f222 V i j fV333 f333 V M11 i j f11 M 11 f11 M 11 V33 f i M f j M M22 22 22 22 22 i j f33 M 33 f33 M 33 189 41
  42. 5/30/2015 Phầntử khung không gian 3D‐Frame (t.theo) – Các chuyểnvị nút củaphầntử theo hệ tọa độ địaphương j 2 u 2 j u 11 1 j u 33 3 j j u j u 3 1 u 22 i u 2 i j i uq11 uq17 u 1 i j uq22 uq28 i i u 11 u 33 i j uq33 uq39 ui 3 i j i uq uq u 22 11 4 11 10 uqi uqj 22 5 22 11 i j uq33 6 uq33 12 190 Phầntử khung không gian 3D‐Frame (t.theo) • Véc tơ chuyểnvị nút củaphầntử 3D‐Frame – Mỗi nút thuộcphầntử có 6 bậctự do => phầntử 3D‐Frame có 12 bậctự do. – Véc tơ chuyểnvị nút phầntử theo hệ tọa độ địaphương {q}e q qqqqqqqqqq q q T e 123456789101112  trong đó: • q1 và q7: là các chuyểnvị dọctrụcphầntử (trục1) và chỉ gây biếndạng dọctrục thanh • q4 và q10: là các góc xoắn quanh trụccủaphầntử (trục 11) và chỉ gây biếndạng xoắn trong thanh • q2 và q8: là các chuyểnvị thẳng theo phương trục2 => gây uốntrongmặtphẳng o12 191 42
  43. 5/30/2015 Phầntử khung không gian 3D‐Frame (t.theo) • q6 và q12: là các góc xoay quanh trục33 => gây uốntrong mặtphẳng o12 • q3 và q9: là các chuyểnvị thẳng theo phương trục3=> gây uốntrongmặtphẳng o13 • q5 và q11: là các góc xoay quanh trục 22=> gây uốntrong mặtphẳng o13 – Như vậy, 12 chuyểnvị nút này gây ra 4 nhóm biếndạng độc lập nhau • Có thể xét riêng rẽ các nhóm biếndạng • Ma trận độ cứng [k]e củaphầntử 3D‐Frame có kích thước (12x12) sẽđượcthiếtlậptừ 4 ma trậncon tương ứng với4 nhóm biếndạng kể trên. 192 Phầntử khung không gian 3D‐Frame (t.theo) • Xây dựng ma trận độ cứng phầntử khung không gian [k]e theo hệ tọa độ địaphương  Ma trận độ cứng của bài toán biếndạng dọctrục: Là ma trận độ cứng củaphầntử dàn (Truss) trong tọa độ trục: qq17 AE 11 K e L 11  Ma trận độ cứng của bài toán biếndạng xoắn: Tương tự nhưđốivới bài toán biếndạng dọctrụcta có • Phầntử chịuxoắncũng chỉ có 2 bậctự do => có thể giả thiếthàmgócxoắnlàđathứcbậcnhất θx(x) = a1 + a2x 193 43
  44. 5/30/2015 Phầntử khung không gian 3D‐Frame (t.theo) • Hàm góc xoắn đượcnộisuytheocácbậctự do q4 và q10 q  x NNq4 x    x q10 trong đó: [N] = ma trậncáchàmdạng x x N 1 L L • Trên mặtcắtngangcủaphầntử chỉ tồntạibiếndạng góc γyz và ứng suấttiếp τyz d  r x (r = khoảng cách từ tâm yz dx đến điểmkhảosát)  yz G  yz 194 44