›
›

Bài giảng Phương pháp lập trình - Bài 8: Đệ quy

pdf 43 trang phuongnguyen 3801
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Phương pháp lập trình - Bài 8: Đệ quy", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfbai_giang_phuong_phap_lap_trinh_bai_8_de_quy.pdf

Nội dung text: Bài giảng Phương pháp lập trình - Bài 8: Đệ quy

  1. TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Phương pháp lập trình Đệ quy TS. Ngô Hữu Dũng
  2. Bài toán  Cho S(n) = 1 + 2 + 3 + + n =>S(10)? S(11)? S(10) = 1 + 2 + + 10 = 55 S(11) = 1 + 2 + + 10 + 11 = 66 = S(10) + 11 = 55 + 11 = 66 Phương pháp lập trình - Đệ quy
  3. 2 bước giải bài toán Bước 2. Thế ngược . Xác định kết quả bài toán đồng dạng từ đơn giản đến S(n) = S(n-1) + n phức tạp Kết quả cuối cùng. S(n-1) = S(n-2) + n-1 = + Bước 1. Phân tích S(1) = S(0) + 1 . Phân tích thành bài toán đồng dạng nhưng đơn giản hơn. . Dừng lại ở bài toán đồng S(0) = 0 dạng đơn giản nhất có thể xác định ngay kết quả. Phương pháp lập trình - Đệ quy
  4. Khái niệm đệ quy Khái niệm Vấn đề đệ quy là vấn đề được định nghĩa bằng chính nó. Ví dụ Tổng S(n) được tính thông qua tổng S(n-1). 2 điều kiện quan trọng  Tồn tại bước đệ quy.  Điều kiện dừng. Phương pháp lập trình - Đệ quy
  5. Hàm đệ quy trong NNLT C  Khái niệm  Một hàm được gọi là đệ quy nếu bên trong thân của hàm đó có lời gọi hàm lại chính nó một cách trực tiếp hay gián tiếp. Hàm( ) Hàm1( ) Hàm2( ) { { { Lời gọi Hàm Lời gọi Hàm2 Lời gọi Hàmx } } } ĐQ trực tiếp ĐQ gián tiếp Phương pháp lập trình - Đệ quy
  6. Cấu trúc hàm đệ quy (TS) { Phần dừng if ( )(Base step) { • Phần khởi tính toán hoặc điểm kết thúc của thuật toán • Không chứa phần đang được định return nghĩa; } Phần đệ quy (Recursion step) Lời gọi Hàm• Có sử dụng thuật toán đang được định nghĩa. } Phương pháp lập trình - Đệ quy
  7. Phân loại Trong thân hàm có duy nhất một TUYẾN TÍNH 1 lời gọi hàm gọi lại chính nó một cách tường minh. Trong thân hàm có hai lời gọi NHỊ PHÂN 2 hàm gọi lại chính nó một cách tường minh. HỖ TƯƠNG Trong thân hàm này có lời gọi hàm tới PHI TUYẾN 3 hàm kia và bên trong thân hàm kia có lời gọi hàm tới hàm này. 4 Trong thân hàm có lời gọi hàm lại chính nó được đặt bên trong thân vòng lặp. Phương pháp lập trình - Đệ quy
  8. Đệ quy tuyến tính Ví dụ Tính S(n) = 1 + 2 + + n S(n) = S(n – 1) + n ĐK dừng: S(0) = 0 .: Chương trình :. Cấu trúc chương trình long Tong(int n) { TênHàm( ) { if (n == 0) if ( ) { return 0; return Tong(n–1) + n; return ; } } TênHàm( ); } Phương pháp lập trình - Đệ quy
  9. Đệ quy nhị phân Ví dụ Tính số hạng thứ n của dãy Fibonacy: f(0) = f(1) = 1 f(n) = f(n – 1) + f(n – 2) n > 1 Cấu trúc chương trình ĐK dừng: f(0) = 1 và f(1) = 1 TênHàm( ) { .: Chương trình :. if ( ) { long Fibo(int n) { return ; if (n == 0 || n == 1) } return 1; TênHàm( ); return Fibo(n–1)+Fibo(n–2); } TênHàm( ); } Phương pháp lập trình - Đệ quy
  10. Đệ quy hỗ tương Ví dụ Tính số hạng thứ n của dãy: x(0) = 1, y(0) = 0 x(n) = x(n – 1) + y(n – 1) y(n) = 3*x(n – 1) + 2*y(n – 1) Cấu trúc chương trình ĐK dừng: x(0) = 1, y(0) = 0 .: Chương trình :. TênHàm1( ) { long yn(int n); if ( ) long xn(int n) { return ; if (n == 0) return 1; TênHàm2( ); return xn(n-1)+yn(n-1); } } TênHàm2( ) { long yn(int n) { if ( ) if (n == 0) return 0; return ; return 3*xn(n-1)+2*yn(n-1); TênHàm1( ); } } Phương pháp lập trình - Đệ quy
  11. Đệ quy phi tuyến Ví dụ Tính số hạng thứ n của dãy: x(0) = 1 x(n) = n2x(0) + (n-1)2x(1) + + 22x(n – 2) + 12x(n – 1) Cấu trúc chương trình ĐK dừng: x(0) = 1 TênHàm( ) { .: Chương trình :. if ( ) { long xn(int n) { return ; if (n == 0) return 1; } long s = 0; Vòng lặp { for (int i=1; i ); s = s + i*i*xn(n–i); } return s; } } Phương pháp lập trình - Đệ quy
  12. Các bước xây dựng hàm đệ quy . Tổng quát hóa bài toán cụ thể thành bài toán tổng quát. Thông số hóa . Thông số hóa cho bài toán tổng quát bài toán . VD: n trong hàm tính tổng S(n), . Chia bài toán tổng quát ra thành: . Phần không đệ quy. Tìm thuật giải . Phần như bài toán trên nhưng tổng quát kích thước nhỏ hơn. . VD: S(n) = S(n – 1) + n, . Các trường hợp suy biến của bài toán. Tìm các trường . Kích thước bài toán trong trường hợp này là nhỏ nhất. hợp suy biến (neo) . VD: S(0) = 0 Phương pháp lập trình - Đệ quy
  13. Cơ chế gọi hàm và STACK main() B() main { { ; ; A(); D(); ; ; D(); } A D ; } C() A() { ; C { } B ; B(); D() D ; B B B C C(); { STACK ; ; D A A A A A A A D } } M M M M M M M M M M M Thời gian Phương pháp lập trình - Đệ quy
  14. Nhận xét  Cơ chế gọi hàm dùng STACK trong C phù hợp cho giải thuật đệ quy vì:  Lưu thông tin trạng thái còn dở dang mỗi khi gọi đệ quy.  Thực hiện xong một lần gọi cần khôi phục thông tin trạng thái trước khi gọi.  Lệnh gọi cuối cùng sẽ hoàn tất đầu tiên. Phương pháp lập trình - Đệ quy
  15. Ví dụ gọi hàm đệ quy  Tính số hạng thứ 4 của dãy Fibonacy F(4)5 F(3)3 5+ F(2)2 2 3 1 F(2) + F(1) F(1)1 2+ F(0)1 F(1)1 2+ F(0)1 Phương pháp lập trình - Đệ quy
  16. Một số lỗi thường gặp  Công thức đệ quy chưa đúng, không tìm được bài toán đồng dạng đơn giản hơn (không hội tụ) nên không giải quyết được vấn đề.  Không xác định các trường hợp suy biến – neo (điều kiện dừng).  Thông điệp thường gặp là StackOverflow do:  Thuật giải đệ quy đúng nhưng số lần gọi đệ quy quá lớn làm tràn STACK.  Thuật giải đệ quy sai do không hội tụ hoặc không có điều kiện dừng. Phương pháp lập trình - Đệ quy
  17. Các vấn đề đệ quy thông dụng Đệ quy?? Phương pháp lập trình - Đệ quy
  18. 1.Hệ thức truy hồi  Khái niệm  Hệ thức truy hồi của 1 dãy An là công thức biểu diễn phần tử An thông qua 1 hoặc nhiều số hạng trước của dãy. A0 A1 An-2 An-1 Hàm truyAn hồi A0 A1 An-2 An-1 Hàm truyAn hồi Phương pháp lập trình - Đệ quy
  19. 1.Hệ thức truy hồi  Ví dụ 1  Vi trùng cứ 1 giờ lại nhân đôi. Vậy sau 5 giờ sẽ có mấy con vi trùng nếu ban đầu có 2 con?  Giải pháp  Gọi Vh là số vi trùng tại thời điểm h.  Ta có:  Vh = 2Vh-1  V0 = 2 Đệ quy tuyến tính với V(h)=2*V(h-1) và điều kiện dừng V(0) = 2 Phương pháp lập trình - Đệ quy
  20. 1.Hệ thức truy hồi  Ví dụ 2  Gửi ngân hàng 1000 USD, lãi suất 12%/năm. Số tiền có được sau 30 năm là bao nhiêu?  Giải pháp  Gọi Tn là số tiền có được sau n năm.  Ta có:  Tn = Tn-1 + 0.12Tn-1 = 1.12Tn-1  V(0) = 1000 Đệ quy tuyến tính với T(n)=1.12*T(n-1) và điều kiện dừng V(0) = 1000 Phương pháp lập trình - Đệ quy
  21. 2.Chia để trị (divide & conquer)  Khái niệm  Chia bài toán thành nhiều bài toán con.  Giải quyết từng bài toán con.  Tổng hợp kết quả từng bài toán con để ra lời giải. Phương pháp lập trình - Đệ quy
  22. 2.Chia để trị (divide & conquer)  Ví dụ 1  Cho dãy A đã sắp xếp thứ tự tăng. Tìm vị trí phần tử x trong dãy (nếu có)  Giải pháp  mid = (l + r) / 2;  Nếu A[mid] = x trả về mid.  Ngược lại  Nếu x < A[mid] tìm trong đoạn [l, mid – 1]  Ngược lại tìm trong đoạn [mid + 1, r] Sử dụng đệ quy nhị phân. Phương pháp lập trình - Đệ quy
  23. 2.Chia để trị (divide & conquer)  Ví dụ 2  Tính tích 2 chuỗi số cực lớn X và Y  Giải pháp  X = X2n-1 XnXn-1 X0, Y = Y2n-1 YnYn-1 Y0 n  Đặt XL=X2n-1 Xn, XN=Xn-1 X0 X=10 XL+XN n  Đặt YL=Y2n-1 Yn, YN=Yn-1 Y0 Y=10 YL+YN 2n n  X*Y = 10 XLYL + 10 (XLYL+XNYN)+XNYN  và XLYL+XNYN = (XL-XN)(YN-YL)+XLYL+XNYN Nhân 3 số nhỏ hơn (độ dài ½) đến khi có thể nhân được ngay. Phương pháp lập trình - Đệ quy
  24. 2.Chia để trị (divide & conquer)  Một số bài toán khác  Bài toán tháp Hà Nội  Các giải thuật sắp xếp: QuickSort, MergeSort  Các giải thuật tìm kiếm trên cây nhị phân tìm kiếm, cây nhị phân nhiều nhánh tìm kiếm.  Lưu ý  Khi bài toán lớn được chia thành các bài toán nhỏ hơn mà những bài toán nhỏ hơn này không đơn giản nhiều so với bài toán gốc thì không nên dùng kỹ thuật chia để trị. Phương pháp lập trình - Đệ quy
  25. 3.Lần ngược (Backtracking)  Khái niệm  Tại bước có nhiều lựa chọn, ta chọn thử 1 bước để đi tiếp.  Nếu không thành công thì “lần ngược” chọn bước khác.  Nếu đã thành công thì ghi nhận lời giải này đồng thời “lần ngược” để truy tìm lời giải mới.  Thích hợp giải các bài toán kinh điển như bài toán 8 hậu và bài toán mã đi tuần. Phương pháp lập trình - Đệ quy
  26. 3.Lần ngược (Backtracking)  Ví dụ  Tìm đường đi từ X đến Y. A D B Y X C Phương pháp lập trình - Đệ quy
  27. Một số bài toán kinh điển THÁP HÀ NỘI TÁM HẬU # $ @ 1 2 3 1 3 2 MÃ ĐI TUẦN PHÁT SINH HOÁN VỊ Phương pháp lập trình - Đệ quy
  28. Tháp Hà Nội  Mô tả bài toán  Có 3 cột A, B và C và cột A hiện có N đĩa.  Tìm cách chuyển N đĩa từ cột A sang cột C sao cho:  Một lần chuyển 1 đĩa  Đĩa lớn hơn phải nằm dưới.  Có thể sử dụng các cột A, B, C làm cột trung gian. Phương pháp lập trình - Đệ quy
  29. Tháp Hà Nội N đĩa A C = N?-1 đĩa A B + Đĩa N A C + N-1 đĩa B C 1 N-1 N Cột nguồn A Cột trung gian B Cột đích C Phương pháp lập trình - Đệ quy
  30. Tám hậu  Mô tả bài toán  Cho bàn cờ vua kích thước 8x8  Hãy đặt 8 hoàng hậu lên bàn cờ này sao cho không có hoàng hậu nào “ăn” nhau:  Không nằm trên cùng dòng, cùng cột  Không nằm trên cùng đường chéo xuôi, ngược. Phương pháp lập trình - Đệ quy
  31. Tám hậu – Các dòng 0 1 n đường 2 3 4 5 6 7 Phương pháp lập trình - Đệ quy
  32. Tám hậu – Các cột 0 1 2 3 4 5 6 7 n đường Phương pháp lập trình - Đệ quy
  33. Tám hậu – Các đường chéo xuôi 2n-1 đường 0 1 2 3 4 5 6 14 13 Phương12 11 pháp lập10 trình9 - Đệ quy8 7
  34. Tám hậu – Các đường chéo ngược 2n-1 đường 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Phương12 pháp13 lập14 trình - Đệ quy
  35. Tám hậu – Các dòng i = 2 j = 3 j+i=5 Phương pháp lập trình - Đệ quy j-i+n-1=8
  36. Mã đi tuần  Mô tả bài toán  Cho bàn cờ vua kích thước 8x8 (64 ô)  Hãy đi con mã 64 nước sao cho mỗi ô chỉ đi qua 1 lần (xuất phát từ ô bất kỳ) theo luật: 5 6 4 7 3 8 2 1 Phương pháp lập trình - Đệ quy
  37. Phân tích giải thuật đệ quy  Sử dụng cây đệ quy (recursive tree)  Giúp hình dung bước phân tích và thế ngược.  Bước phân tích: đi từ trên xuống dưới.  Bước thế ngược đi từ trái sang phải, từ dưới lên trên.  Ý nghĩa  Chiều cao của cây  Độ lớn trong STACK.  Số nút  Số lời gọi hàm. Phương pháp lập trình - Đệ quy
  38. Nhận xét  Ưu điểm  Sáng sủa, dễ hiểu, nêu rõ bản chất vấn đề.  Tiết kiệm thời gian thực hiện mã nguồn.  Một số bài toán rất khó giải nếu không dùng đệ qui.  Khuyết điểm  Tốn nhiều bộ nhớ, thời gian thực thi lâu.  Một số tính toán có thể bị lặp lại nhiều lần.  Một số bài toán không có lời giải đệ quy. Phương pháp lập trình - Đệ quy
  39. Ví dụ cây đệ quy Fibonacy F(4) F(3) F(2) F(2) F(1) F(1) F(0) F(1) F(0) Lặp lại Phương pháp lập trình - Đệ quy
  40. Khử đệ quy (Tham khảo)  Khái niệm  Đưa các bài toán đệ quy về các bài toán không sử dụng đệ quy.  Thường sử dụng vòng lặp hoặc STACK tự tạo.  Phương pháp lập trình - Đệ quy
  41. Tổng kết  Nhận xét  Chỉ nên dùng phương pháp đệ quy để giải các bài toán kinh điển như giải các vấn đề “chia để trị”, “lần ngược”.  Vấn đề đệ quy không nhất thiết phải giải bằng phương pháp đệ quy, có thể sử dụng phương pháp khác thay thế (khử đệ quy)  Tiện cho người lập trình nhưng không tối ưu khi chạy trên máy.  Bước đầu nên giải bằng đệ quy nhưng từng bước khử đệ quy để nâng cao hiệu quả. Phương pháp lập trình - Đệ quy
  42. Bài tập thực hành  Bài 1: Các bài tập trên mảng sử dụng đệ quy.  Bài 2: Viết hàm xác định chiều dài chuỗi.  Bài 3: Hiển thị n dòng của tam giác Pascal.  a[i][0] = a[i][i] = 1  a[i][k] = a[i-1][k-1] + a[i-1][k]  Bài 4: Viết hàm đệ quy tính C(n, k) biết  C(n, k) = 1 nếu k = 0 hoặc k = n  C(n, k) = 0 nếu k > n  C(n ,k) = C(n-1, k) + C(n-1, k-1) nếu 0<k<n Phương pháp lập trình - Đệ quy
  43. Bài tập thực hành  Bài 5: Đổi 1 số thập phân sang cơ số khác.  Bài 6: Bài toán 8 hậu  Bài 7: Bài toán mã đi tuần  Bài 8: Tính các tổng truy hồi. Phương pháp lập trình - Đệ quy