›
›

Bài giảng môn học Xử lý tín hiệu số - Chương 3: Biểu diễn tín hiệu & hệ thống trong miền tần số liên tục

ppt 33 trang phuongnguyen 2850
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng môn học Xử lý tín hiệu số - Chương 3: Biểu diễn tín hiệu & hệ thống trong miền tần số liên tục", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pptbai_giang_mon_hoc_xu_ly_tin_hieu_so_chuong_3_bieu_dien_tin_h.ppt

Nội dung text: Bài giảng môn học Xử lý tín hiệu số - Chương 3: Biểu diễn tín hiệu & hệ thống trong miền tần số liên tục

  1. Chương 3: BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG TRONG MIỀN TẦN SỐ LIÊN TỤC Bài 1 BIẾN ĐỔI FOURIER Bài 2 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI FOURIER Bài 3 QUAN HỆ GIỮA BIẾN ĐỔI Z & F Bài 4 BIỂU DIỄN HỆ THỐNG TRONG MIỀN TẦN SỐ Bài 5 LẤY MẪU & KHƠI PHỤC TÍN HIỆU
  2. BÀI 1 BIẾN ĐỔI FOURIER 1. ĐỊNH NGHĨA BIẾN ĐỔI FOURIER: Biến đổi Fourier của x(n): X () =  x(n)e− jn n=− Trong đĩ:  - tần số của tín hiệu rời rạc,  =  Ts  - tần số của tín hiệu liên tục Ts - chu kỳ lấy mẫu Ký hiệu: x(n)  ⎯ F → X() hay X() = F{x(n)} −1 X()  ⎯ F⎯ → x(n) hay x(n) = F-1{X()}
  3. X() biểu diễn dưới dạng modun & argument: X ( ) = X () e j ( ) X() - phổ biên độ của x(n) Trong đĩ: () = arg[X()] - phổ pha của x(n) Nhận thấy X() tuần hồn với chu kỳ 2 , thật vậy: X ( + 2 ) =  x(n)e− j(+2 )n =  x(n)e− jn = X () n=− n=− Áp dụng kết quả: Biểu thức biến đổi F ngược: jk 2 : k = 0 1 e dk = x(n) = X()e jnd 0 : k 0 − 2 −
  4. Ví dụ 1: Tìm biến đổi F của các dãy: n n x1(n) = a u(n) : a 1 x2 (n) = −a u(−n − 1) : a 1 Giải: n 1 X () = anu(n)e− jn = ae− j 1   ( ) = − j n=− n=0 1 − ae − n − jn −1 j −n X 2 () = − a u(−n − 1)e = −  (a e ) n=− n=−1 m m = −  (a−1e j ) = −  (a−1e j ) + 1 m=1 m=0 1 1 = 1 − = 1 − a−1e j 1 − ae− j
  5. 2. ĐIỀU KIỆN TỒN TẠI BIẾN ĐỔI FOURIER X () =  x(n)e− jn  x(n) e− jn =  x(n) n=− n=− n=− Vậy, để X() hội tụ thì điều kiện cần là:  x(n) n=− Các tín hiệu thỏa điều kiện hội tụ là tín hiệu năng lượng, thật vậy: 2 2 E x =  x(n)  x(n) n=− n=− x(n) 2 Nếu:  Ex =  x(n) n=− n=−
  6. Ví dụ 2: Xét sự tồn tại biến đổi F của các dãy: n n x1(n) = (0.5) u(n) x2(n) = 2 u(n) x3 (n) = u(n) x4 (n) = rectN (n) Giải: n n 1  x1(n) =  (0.5) u(n) = (0.5) = = 2 n=− n=− n=0 1 − 0.5 n n  x2 (n) =  2 u(n) =  2 = X2() khơng tồn tại n=− n=− n=0 X () khơng tồn tại  x3 (n) =  u(n) =  u(n) = 3 n=− n=− n=0 N −1  x4 (n) =  rectN (n) =  rectN (n) = N n=− n=− n=0
  7. BÀI 2 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI FOURIER a) Tuyến tính F F Nếu: x1 (n)⎯ → X1() x2 (n)⎯ → X2() F Thì: a1 x1 (n)+ a2 x2 (n)⎯ →a1 X1() + a2 X2() b) Dịch theo thời gian Nếu: x(n)⎯F→ X() F -jn0 Thì: x(n− n0 )⎯ →e X()
  8. Ví dụ 1: Tìm biến đổi F của dãy:  (n); (n − 2) Giải: x(n) =  (n)⎯F → X() =  (n)e− jn = 1 n=− Áp dụng tính chất dịch theo thời gian:  (n − 2) = x(n − 2)⎯F→e− j2 X() = 1e− j2 c) Liên hiệp phức F Nếu: x(n)⎯ → X() F Thì: x*(n)⎯ → X *(−)
  9. d) Đảo biến số Nếu: x(n)⎯F→ X() Thì: x(−n)⎯F→ X(−) Ví dụ 2: Tìm biến đổi F của dãy: y(n) = 2n u(−n) Giải: Theo ví dụ 1 Bài 1, cĩ kết quả: n 1 F 1 x(n) = u(n) ⎯ → X() = − j suy ra: 2 1− (1/ 2)e 1 y(n) = x(−n) = (2)n u(−n)⎯F → X(−) = 1− (1/ 2)e j
  10. e) Vi phân trong miền tần số Nếu: x(n)⎯F→ X() dX() Thì: nx(n)⎯F → j d Ví dụ 3: Tìm biến đổi F của: g(n) = na nu(n); a 1 Giải: Theo ví dụ 1 Bài 1: 1 x(n) = anu(n)⎯F → X() = ; a 1 1 − ae− j Suy ra: − j F dX() ae g(n) = nx(n) ⎯ →G() = j = 2 ; a 1 d (1− ae− j )
  11. f) Dịch theo tần số Nếu: x(n)⎯F→ X() j0n F Thì: e x(n)⎯ → X( -0 ) n Ví dụ 4: Tìm biến đổi F của: y(n) = a cos(0n)u(n); a 1 Giải: Theo ví dụ 1 Bài 1: 1 x(n) = anu(n)⎯F → X() = ; a 1 1 − ae− j 1 y(n) = anu(n)cos( n) = anu(n) e j0n + e− j0n  0 2 1 = x(n)e j0n + e− j0n  2
  12. 1 ⎯F→ Y() = X( −  ) + X( +  ) 2 0 0 1 1 1 Y() = − j(− ) + − j(+ ) 2 (1− ae 0 ) (1− ae 0 ) g) Tích 2 dãy F F Nếu: x1 (n)⎯ → X1() x2 (n)⎯ → X2 () 1 Thì: x (n).x (n)⎯F → X (')X ( − ')d' 1 2 2 − 1 2 1 = X (')X ( − ')d' 2 − 2 1
  13. g) Tổng chập 2 dãy Nếu: F F x1 (n)⎯ → X1() x2 (n)⎯ → X2 () F Thì: x1(n)* x2(n)⎯ → X1()X2() Ví dụ 5: Tìm y(n)=x(n)*h(n), biết: x(n)=h(n)=(n+2)+(n-2) Giải: Theo ví dụ 1, cĩ kết quả: X() = H() = e j2 + e− j2 Y() = X()H() = (e j2 + e− j2 )2 = e j4 + 2 + e− j4 y(n) = x(n)*h(n) = F −1[Y()] y(n) =  (n + 4) + 2 (n) +  (n − 4)
  14. g) Quan hệ Parseval F F Nếu: x1 (n)⎯ → X1() x2 (n)⎯ → X2 () * 1 * Thì: x (n)x (n) = X ()X ()d (*)  1 2 − 1 2 n=− 2 Biểu thức (*) cịn gọi là quan hệ Parseval Nhận xét: Nếu: x1 (n) = x2 (n) = x(n) Theo quan hệ Parseval, ta cĩ: 2 1 2 x(n) = X() d  − n=− 2 Với: 2 - gọi là phổ mật độ năng lượng Sxx() = X ()
  15. TỔNG KẾT CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI F x(n) X() a1x1(n)+a2x2(n) a1X1()+a2X2() -jn0 x(n-n0) e X() j0n e x(n) X(- 0) nx(n) jdX()/d x(-n) X(- ) x*(n) X*(- ) 1 ' ' ' x (n)x (n) X1( )X 2 ( −  )d 1 2 2 j C 1 x (n)x*(n) = X ()X *()d  1 2 − 1 2 n=− 2 x1(n)*x2(n) X1()X2()
  16. BÀI 3 QUAN HỆ GIỮA BIẾN ĐỔI FOURIER & Z x(n)⎯Z→ X(z) =  x(n)z−n n=− X () = X (z) j z=e F −jn x(n)⎯ →X() = x(n)e Im(z) n=− ROC X(z) Hay biến đổi Fourier chính là biến /z/=1 đổi Z được lấy trên vịng trịn đơn /z/=1 Re(z) vị theo biến số   • Nếu ROC[X(z)] cĩ chứa /z/=1 X()=X(z) với z=ej • Nếu ROC[X(z)] khơng chứa /z/=1 X() khơng hội tụ
  17. Ví dụ 1: Tìm biến đổi Z & F của các dãy: n n x1(n) = (0.5) u(n) x2(n) = 2 u(n) Giải: 1 X (z) = ; z 0.5 1 1− 0.5z−1 Do ROC[X1(z)] cĩ chứa /z/=1, nên: 1 X () = X (z) j = 1 1 z=e 1 − 0.5e− j 1 X (z) = ; z 2 2 1− 2z−1 Do ROC[X2(z)] khơng chứa /z/=1, nên X2() khơng tồn tại
  18. BÀI 4. BIỂU DIỄN HỆ THỐNG TTBB RỜI RẠC TRONG MIỀN TẦN SỐ 1. Định nghĩa đáp ứng tần số Miền n: x(n) h(n) y(n)=x(n)*h(n) F Miền : X() H() Y()=X()H() h(n) F H()=Y()/X(): gọi là đáp ứng tần số hệ thống Nếu H() biểu diễn dạng mơdun và pha: H() - Đáp ứng biên độ H() = H()ej() () - Đáp ứng pha
  19. Ví dụ: 1: Tìm H(), vẽ đáp ứng biên độ & pha, biết: h(n)=rect (n) Giải: 3 Biến đổi Fourier của h(n): 2 − j3 − jn − jn 1− e H() =  rect3 (n)e = e = − j n=− n=0 1− e e− j3 / 2(e j3 / 2 − e− j3 / 2 ) sin(3 / 2) = = e− j e− j / 2 (e j / 2 − e− j / 2 ) sin( / 2) sin(3 / 2) H() = sin( / 2) −  : A() 0 sin(3 / 2) () = Với A() = −  + : A() 0 sin( / 2)
  20. /H()/ argH() 1 /2 - -2 /3 0 2 /3  - /2 - -2 /3 0 2 /3 
  21. 2. Đáp ứng tấn số của các hệ thống ghép nối a. Ghép nối tiếp x(n) h1(n) h2(n) y(n)  ▪ Miền n: x(n) h(n)=h1(n)*h2(n) y(n) F Theo tính chất tổng chập: h1(n)*h2(n) H1()H2() X() H1() H2() Y()  ▪ Miền  : X() H()=H1()H2() Y()
  22. b. Ghép song song h1(n) x(n) + y(n) h2(n) ▪ Miền n:  x(n) h1(n)+h2(n) y(n) H1() X() + Y() H2() ▪ Miền :  X() H1()+H2() Y()
  23. 3. Đáp ứng ra hệ thống với tín hiệu vào hàm mũ phức Xét tín hiệu vào cĩ dạng mũ phức: x(n)=Aejn y(n) = x(n)* h(n) = h(n)* x(n) =  h(m)x(n − m) m=− y(n) =  h(m)Ae j (n−m) = Ae jn h( m )e− jm = x( n )H(  ) m=− m=− n j n 1 3 h(n) = u(n) Ví dụ: 2: Tìm y(n) biết: x(n) = 2e 2 j n 3 j n 1 e 3 y(n) = x(n)H() = 2e = 2 1 − j − j 1 − e 1 3 2  = 1− e 3 2
  24. 4. Đáp ứng ra hệ thống với tín hiệu vào hàm cos,sin Xét tín hiệu vào cĩ dạng hàm cos: A x(n) = Acos( n) = (ej0n + e−j0n ) 0 2 Biểu diễn đáp ứng tần số dưới dạng mơđun & pha: H() = H()ej() A y(n) = x(n)H( ) = H( )ej0n + H(− )e−j0n  0 2 0 0 A y(n) = H( )ej0n + H*( )e−j0n = A.Re H( )ej0n  2 0 0 0
  25. j0n y(n) = A.Re H(0 )e = A H(0 ) cos0n + (0 ) Tương tự với tín hiệu vào cĩ dạng hàm sin: A x(n) = Asin( n) = (ej0n − e−j0n ) 0 2j Ta cũng được kết quả: j0n y(n) = A.Im H(0 )e = A H(0 ) sin0n + (0 )
  26. BÀI 5. LẤY MẪU & KHƠI PHỤC TÍN HiỆU 1. Khái niệm lấy mẫu tín hiệu Rời rạc x(n) Lượng x (n) x (t) q Mã hĩa x (n) a hĩa tử hĩa d Quá trình lấy mẫu tín hiệu xs(t) Chuyển xung x (nTs) x (t) X a a -> mẫu = x(n) sa(t)
  27. xa(t) sa (t) =  (t − nTs ) n=− t t 0 0 Ts 2Ts Tín hiệu tương tự Chuỗi xung lấy mẫu xs(t) xa(nTs) n n 0 Ts 2Ts 0 Ts 2Ts Tín hiệu được lấy mẫu Tín hiệu rời rạc Tốc độ lấy mẫu càng lớn -> khơi phục tín hiệu càng chính xác
  28. 2. Quan hệ giữa tần số tín hiệu rời rạc và tương tự Lấy mẫu xa (t) = Acost xa (nTs ) = Acos(nTs ) t = nTs x(n) = xa (nTs ) = Acos(nTs ) = Acos(n)  = Ts Trong đĩ:  - tần số của tín hiệu rời rạc  - tần số của tín hiệu tương tự Ts - chu kỳ lấy mẫu
  29. 3. Quan hệ giữa phổ tín hiệu rời rạc và phổ tín hiệu tương tự F + X ( f ) = X = Fs  X a ( F − mF s ) Fs m=− Trong đĩ: X(f) – phổ của tín hiệu rời rạc Xa(F) – phổ của tín hiệu tương tự /X (F)/ Ví dụ: 1: Hãy vẽ phổ biên độ tín hiệu a rời rạc, biết phổ biên độ tín hiệu 1 tương tự cho như hình vẽ, với các tốc độ lấy mẫu: F a)Fs>2FM b) Fs=2FM c) Fs<2FM -FM 0 FM
  30. /X(F/Fs)/ Fs a) F 0 -Fs -FM FM Fs /X(F/Fs)/ Fs b) F 0 -Fs -FM FM Fs /X(F/Fs)/ Fs c) F 0 -2Fs -Fs -FM FM Fs 2Fs
  31. xa (t) = 3cos2000 t + 5sin6000 t +10cos12000 t 4. Định lý lấy mẫu “Tín hiệu tương tự xa(t) cĩ dải phổ hữu hạn (-FM ,FM) chỉ cĩ thể khơi phục 1 cách chính xác từ các mẫu xa(nTs) nếu tốc độ lấy mẫu thỏa Fs ≥ 2FM” Fs =2FM=FN: Tốc độ (tần số) Nyquist Ví dụ 2: Xác định tốc độ Nyquist của tín hiệu tương tự: xa (t) = 3cos2000 t + 5sin6000 t + 10cos12000 t Giải: Tín hiệu cĩ các tần số: F1=1 kHz, F2=3 kHz, F3=6 kHz FM=max{F1, F2, F3}=6 kHz FN =2FM = 12 kHz
  32. 5. Khơi phục lại tín hiệu tương tự Để khơi phục lại tín hiệu tương tự xa(t) thì phổ của tín hiệu được khơi phục phải giống với phổ ban đầu của xa(t). Vì phổ của tín hiệu lấy mẫu là sự lặp lại vơ hạn của phổ tín hiệu tương tự, nên cần phải giới hạn lại bằng cách người ta cho các mẫu xa(nTs) đi qua mạch lọc thơng thấp lý tưởng trong điều kiện thỏa định lý lấy mẫu cĩ đáp ứng tần số: fs fs Ts : - f Hlp ( f ) = 2 2 0 : ở các tần số còn lại
  33. 1 jt j2 ft sin( fst) hlp (t) = Hlp ()e d = Hlp ( f )e df = 2 − − fst Low pass Filter xa(nTs) xa(t)=xa(nTs)*hlp(t) hlp(t) sin[ Fs (t − nTs )] xa (t) = xa (nTs ) hlp (t) =  xa (nTs) n=− Fs (t − nTs ) Cơng thức nội suy, cho phép khơi phục xa(t) từ xa(nTs)