Bài giảng môn học Sức bền vật liệu - Nguyễn Phú Bình

Nội dung text: Bài giảng môn học Sức bền vật liệu - Nguyễn Phú Bình

1. TRƯỜNG TRUNG CẤP CẦU ĐƯỜNG VÀ DẠY NGHỀ KHOA CẦU ĐƯỜNG    BÀI GIẢNG MÔN HỌC : SỨC BỀN VẬT LIỆU Giáo viên : Nguyễn Phú Bình Bộ môn : Cơ sở Hệ đào tạo : Trung cấp Cầu đường Thời gian : 24 tháng Số tiết : 40 tiết Chương 1 NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ SỨC BỀN VẬT LIỆU
2. Sức bền vật liệu là một môn học nghiên cứu các phương pháp tính toán về độ bền, độ cứng và độ ổn định của các bộ phận công trình hay chi tiết máy dưới tác dụng của ngoại lực, sự thay đổi nhiệt độ Ở môn học Cơ học lý thuyết, ta mới xét sự cân bằng của vật thể (xem là rắn tuyệt đối) dưới tác dụng của hệ lực phẳng. Nhưng thực tế,các vật thể mà ta khảo sát, nghiên cứu đều là vật rắn thực, điều đó bắt buộc ta phải xét đến sự biến dạng của vật thể trong quá trình chịu tác dụng của hệ lực (bên ngoài). Trong phạm vi môn học này, sẽ giới thiệu một số khái niệm cơ bản về ngoại lực, nội lực và các giả thiết nhằm đơn giản cho việc nghiên cứu và tính toán. 1.1. Những khái niệm cơ bản về ngoại lực, nội lực, ứng suất, biến dạng 1.1.1. Các giả thiết đối với vật liệu Môn học Sức bền vật liệu, đối tượng mà ta nghiên cứu khảo sát vật rắn thực: đó là một thanh, một cấu kiện hay một bộ phận công trình nào đó. Thường hình dạng của vật rắn thực được nghiên cứu có dạng thanh thẳng, thanh cong hoặc thanh bất kỳ (hình 1.1). Vật liệu cấu tạo nên thanh có thể là thép, gang Tuy vậy, khi nghiên cứu nếu xét đến mọi tính chất thực của vật thể sẽ phức tạp, do đó để đơn giản chúng ta chỉ những tính chất cơ bản và lược bỏ đi những tính chất thứ yếu không có ảnh hưởng lớn đến kết quả nghiên cứu và tính toán. Muốn vậy, chúng ta phải đề ra các giả thiết cơ bản, nêu lên một số H×nh 1.1 tính chất chung cho vật liệu. Các giả thuyết về vật liệu là: a) Giả thiết 1: Vật liệu có tính liên tục, đồng chất và đẳng hướng. Một vật liệu được xem là liên tục và đồng chất khi trong thể tích của vật thể đều có vật liệu (hoàn toàn không có khe hở) và tính chất của vật liệu ở mọi điểm trong vật thể đều như nhau. Tính đẳng hướng của vật liệu nghĩa là tính chất của vật liệu theo mọi phương đều như nhau. Giả thiết này phù hợp với thép, đồng còn với gạch, đá, gỗ thì không hoàn toàn phù hợp. b) Giả thiết 2: Giả thuyết vật liệu làm việc trong giai đoạn đàn hồi và tính đàn hồi của vật liệu xem là đàn hồi tuyệt đối. Trong thực tế, dù lực bé đến đâu, vật liệu cũng không có tính đàn hồi tuyệt đối. Song qua thực nghiệm cho thấy: khi lực chưa vượt quá một giới hạn nhất định thì biến dạng dư trong vật thể là bé nên có thể bỏ qua được và biến dạng của vật thể được xem là tỷ lệ thuận với lực gây ra biến dạng đó. Giả thuyết này chính là nội dung định luật Húc. Thực tế giả thuyết này chỉ phù hợp với vật liệu là thép, đồng c) Giả thiết 3: Biến dạng của vật thể do ngoại lực gây ra được xem là bé. Giả thiết này thừa nhận được vì trong thực tế biến dạng của vật thể so với kích thước của chúng nói chung là rất nhỏ. Từ giả thiết 3 này, trong quá trình chịu lực, trong nhiều trường hợp, ta có thể xem điểm đặt của ngoại lực là không thay đổi khi vật thể bị biến dạng. 1.1.2. Các khái niệm về ngoại lực, nội lực, phương pháp mặt cắt
3. T¶i träng a) Ngoại lực: Ngoại lực là lực tác động từ những vật thể khác hoặc môi trường xung quanh P m q lên vật thể đang xét. Ngoại lực bao gồm: Lực tác động (còn gọi là tải trọng) và phản lực liên kết (xem hình 1.2). Ph¶n lùc Có thể phân loại ngoại lực theo nhiều cách, ở đây ta phân loại ngoại lực theo hai cách: H×nh 1.2 - Theo cách tác dụng của các ngoại lực: có P M«men tËp trung m Lùc tËp trung thể chia ngoại lực thành hai loại: tập trung và lực phân bố. + Lực tập trung: là lực tác dụng lên vật thể trên một diện tích truyền lực rất bé so với kích H×nh 1.3 thước của vật thể, nên ta coi như một điểm trên q=const vật. Ví dụ: Áp lực của bánh xe lửa trên đường a) ray là một lực tập trung. Lực tập trung có thể là lực đơn vị Niutơn (N), hoặc ngẫu lực (hay q=f(z) mômen tập trung), đơn vị của mômen tập trung là Niutơn mét (Nm). b) Cách biểu diễn lực tập trung và mômen tập trung (xem hình 1.3). H×nh 1.4 + Lực phân bố: là lực tác dụng liên tục trên một đoạn dài hay trên một diện tích truyền lực nhất định trên vật thể. Ví dụ: Áp lực gió lên tường biên của nhà là phân bố theo diện tích. Lực phân bố theo chiều dài có đơn vị N/m. Lực phân bố theo diện tích có đơn vị N/m2. Lực phân bố có trị số bằng nhau tại mọi điểm (được gọi là lực phân bố đều – hình 1.4a) hoặc không bằng nhau (được gọi là lực phân bố không đều) (hình 1. 4b). - Theo tính chất tác dụng (về thời gian) của tải trọng có thể chia ngoại lực thành hai loại: tải trọng tĩnh và tải trọng động. + Tải trọng tĩnh là tải trọng khi tác dụng lên vật thể có trị số tăng dần từ không đến một giá trị nhất định và sau đó không thay đổi (hoặc thay đổi rất ít). Ví dụ: Trọng lượng của mái nhà, áp lực của nước lên thành bể. +Tải trọng động là loại tải trọng, hoặc có giá trị thay đổi trong thời gian rất ngắn từ giá trị không đến giá trị cuối cùng hoặc làm cho vật thể bị dao động. Ví dụ: Lực của búa máy đóng vào đầu cọc, động đất b) Nội lực: Trong một vật thể giữa các phân tử có các lực liên kết để giữ cho vật thể có hình dạng nhất định. Khi ngoại lực tác dụng, các lực liên kết đó sẽ tăng lên để chống lại sự biến dạng do ngoại lực gây ra. Độ tăng đó của lực liên kết được gọi là nội lực. Như vậy, nội lực chỉ xuất hiện khi có ngoại lực đó. Nhưng do tính chất cơ học của vật liệu, nội lực chỉ tăng đến một trị số nhất định nếu ngoại lực tăng quá lớn, nội lực không tăng được nữa, lúc này vật liệu bị biến dạng quá mức và bị phá hỏng. Vì vậy, việc xác định nội lực phát sinh trong vật thể khi chịu tác dụng của ngoại lực là một vấn đề cơ bản của SBVL. c) Phương pháp mặt cắt: Giả sử có một vật thể cân bằng dưới tác dụng ngoại lực, tưởng tượng dùng một mặt phẳng cắt vật thể đó ra hai phần A và B (hình 1.5a). Giả sử bỏ đi phần B, giữ lại phần A để xét. Rõ ràng để phần A được cân bằng, thì trên mặt cắt phải có hệ lực phân bố. Hệ lực này chính là những nội lực cần tìm (hình 1.5b).
4. Hệ nội lực đó chính là của phần B tác dụng lên phần A. Từ đây ta có thể suy rộng ý nghĩa của nội lực là: “Nội lực là lực tác động của bộ phận này lên bộ phận kia của vật thể”. a) b) c) P1 P6 P1 P6 P2 P5 P2 P5 AB A B P3 P4 P3 P4 H×nh 1.5 Dựa vào khái niệm đó và căn cứ vào nguyên lý tác dụng và phản tác dụng, trên mặt cắt phần B cũng có nội lực: đó chính là lực tác dụng của phần A lên phần B. Nội lực trên mặt cắt phần A và phần B có trị số bằng nhau, cùng phương nhưng ngược chiều, vì vậy khi tính nội lực, tùy ý có thể xét một trong hai phần vật thể. Mặt khác, vì phần A (hoặc phần B) cân bằng nên nội lực và ngoại lực tác dụng lên phần đó tạo thành một hệ lực cân bằng. Căn cứ vào điều kiện cân bằng tĩnh học của phần đang xét ta có thể tính được nội lực đó. Trong trường hợp vật thể đàn hồi là một thanh, mặt cắt được xét là mặt cắt ngang thì khi ta thu gọn hợp lực của hệ nội lực về trọng tâm O của mặt cắt, sẽ cho ta một lực R và một mômen Mo. Nói chung R và Mo có phương, chiều bất kỳ trong không gian. Ta phân tích R thành ba thành phần (hình 1.6), thành phần trên trục z gọi là lực dọc và ký hiệu là Nz, các thành phần trên trục x và y gọi là lực cắt và ký hiệu là Qx, Qy; mômen MO cũng được phân tích thành ba thành phần quay chung quanh ba trục là Mx, My, Mz. Các mômen: Mx, My được gọi là mômen uốn và Mz được gọi là mômen xoắn. Sáu thành phần đó được gọi là sáu thành phần của nội lực. Dùng các phương trình cân bằng tĩnh học ta có thể xác định được các thành phần nội lực đó theo các ngoại lực. Với các phương trình hình chiếu lên các trục toạ độ: P1 P6 z = 0; y =0; x = 0 P2 P5 ta tìm được Nz , Qy, Qx. a) B Với các phương trình mômen đối với các trục A toạ độ: P3 P4 y Mz = 0; Mx = 0; My = 0 ta tìm được Mz, Mx, My. Qy P1 Ta thường gặp tải trọng nằm trong mặt Mz Mx phẳng đối xứng yOz. Khi đó các thành phần P2 z b) z nội lực: Qx = 0, Mz = 0, My = 0. Như vậy trên A My N các mặt cắt lúc này chỉ còn 3 thành phần nội P3 Qx lực Nz ,Qy và Mx. Như vậy phương pháp mặt x cắt cho phép ta xác định được các thành phần nội lực trên mặt cắt ngang bất H×nh 1.6 kỳ của thanh khi thanh chịu tác dụng của ngoại lực. Cần chú ý rằng nếu ta xét sự cân bằng của một phần nào đó thì nội lực trên mặt cắt có thể coi như ngoại lực tác dụng lên phần đó. 1.1.3 Ứng suất Căn cứ vào giả thuyết cơ bản 1 về sự liên tục của vật liệu, ta có thể giả định nội lực phân bố liên tục trên toàn mặt cắt, để biết sự phân bố nội lực ta hãy đi tìm trị số của nội lực tại một điểm nào đó trong vật thể.
5. Giả sử tại điểm K chẳng hạn, xung quanh điểm K lấy một diện tích khá nhỏ F. Hợp lực ΔP của nội lực trên diện tích F là P. Ta có tỷ số: Ptb ΔF Ptb được gọi là ứng suất trung bình tại K. Khi cho F  0 thì Ptb P và P được gọi là ứng suất tại K, còn gọi là ứng suất toàn phần. Như vậy: ứng suất toàn phần tại P tại điểm bất kỳ trên mặt cắt là tỷ số giữa trị số nội lực tác dụng trên phân tố diện tích bao quanh điểm K đó với chính diện tích đó. Đơn vị của ứng suất P là: N/m2; kN/m2; MN/m2. Từ định nghĩa trên ta có thể xem ứng suất toàn phần P là trị số nội lực trên một đơn vị diện tích. Biểu diễn ứng suất toàn phần P bằng một véc tơ đi qua điểm đang xét trên mặt cắt:  - Phân ứng suất toàn phần P ra thành hai thành phần: ứng suất P thành phần có phương tiếp tuyến với mặt cắt được gọi là ứng suất tiếp, ứng suất thành phần có phương vuông góc với mặt cắt được gọi  là ứng suất pháp (hình 1.7). Ứng suất tiếp ký hiệu là  (đọc là tô). Ứng suất pháp ký hiệu là  (đọc là xích ma). Nếu là góc hợp bởi H×nh 1.7 ứng suất toàn phần P và phương pháp tuyến thì:  = P.cos ; P P  = P sin ; 1.1.4. Các loại biến dạng: a) Vật thể khảo sát (dưới dạng thanh) là vật rắn thực. Dưới tác dụng của ngoại lực, vật rắn có biến P P dạng ít hay nhiều. Trong mục này ta xét các biến dạng của vật rắn thực (thanh) khi chịu tác dụng b) của lực. Khi thanh chịu tác dụng của những lực đặt dọc H×nh 1.8 theo trục thanh thì thanh bị giãn ra hay co lại. Ta P P gọi thanh chịu kéo hay nén (hình 1.8). Trong quá trình biến dạng trục thanh vẫn thẳng (đường đứt nét biểu diễn hình dạng của thanh sau khi biến dạng). P P Khi thanh chịu tác dụng của các lực vuông H×nh 1.9 góc với trục thanh, trục thanh bị uốn cong, ta gọi thanh chịu uốn (hình 1.9). a) Có trường hợp, dưới tác dụng của ngoại lực, một phần này của thanh có xu hướng trượt trên phần khác. Biến dạng trong trường hợp này gọi là biến dạng trượt. Ví dụ: Trường hợp chịu lực của P P đinh tán (hình 1.10). b) Khi ngoại lực nằm trong mặt phẳng vuông góc với trục thanh và tạo thành các ngẫu lực H×nh 1.10 trong mặt phẳng đó thì làm cho thanh bị xoắn m m (hình 1.11). Sau biến dạng các đường sinh ở bề mặt ngoài trở thành các đường xoắn ốc. Ngoài các trường đơn giản đó, trong thực tế H×nh 1.11 còn gặp nhiều trường hợp chịu lực phức tạp. Biến dạng của thanh có thể vừa kéo đồng thời vừa uốn, dx vừa xoắn. Xét biến dạng một phân tố trên một thanh  biến dạng, tách ra khỏi thanh một phân tố hình a) b) dx+ dx  H×nh 1.12
6. hộp rất bé. Biến dạng của phân tố có thể ở một trong các dạng sau: - Nếu trong quá trình biến dạng mà góc vuông của phân tố không thay đổi, chỉ có các cạnh của phân tố bị co giãn, ta nói phân tố có biến dạng kéo hoặc nén (hình 1.12a). - Nếu trong quá trình biến dạng, các cạnh của phân tố không thay đổi nhưng các góc vuông của phân tố bị thay đổi không vuông góc nữa, ta nói phân tố có biến dạng trượt (hình 1.12b). Gọi  là độ thay đổi của góc vuông thì  được gọi là góc trượt. Với một vật thể bị biến dạng dưới tác dụng của ngoại lực, nói chung các điểm trong lòng vật thể không còn ở vị trí cũ nữa, mà chúng dời đến một vị trí mới nào đó. Độ chuyển dời đó gọi là chuyển vị. 1.2. Nguyên lý độc lập tác dụng Nội dung của nguyên lý độc lập tác dụng: “Kết quả tác dụng gây ra do một hệ lực thì bằng tổng kết quả gây ra do từng lực trong hệ đó tác dụng một cách riêng biệt”. Thí dụ: Xét dầm AB trên hình 1.13. Dưới tác ’ dụng của lực P1, P2 điểm C có độ chuyển dời CC . Sơ đồ a) P1 P2 chịu lực của dầm AB có thể phân thành hai sơ đồ chịu C lực: AB - Với sơ đồ dầm chỉ chịu tác dụng của P1 thì độ C dịch chuyển của điểm C là CC1. a b c - Với sơ đồ dầm chỉ chịu tác dụng của P2 thì độ b) P1 dịch chuyển của điểm C là CC2. C Theo nguyên lý độc lập tác dụng thì: ’ A B CC = CC1 + CC2. C1 * Chú ý: Nguyên lý độc lập tác dụng của các lực c) P2 C chỉ sử dụng được trong điều kiện vật liệu tuân theo giả A B thiết 2 và 3. C2 H×nh 1.13 CÂU HỎI CHƯƠNG 1 1. Nêu những giả thiết cơ bản về vật liệu của môn học SBVL? Nguyên lý độc lập tác dụng của lực? 2. Ngoại lực, nội lực là gì? Phân loại chúng như thế nào? 3. Ứng suất là gì? Có mấy loại ứng suất? Đơn vị của ứng suất? 4. Trình bày phương pháp mặt cắt để xác định nội lực?
7. Chương 2 ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC CỦA TIẾT DIỆN 2.1. Khái niệm ban đầu Xét hai trường hợp chịu uốn của một thanh như trên hình vẽ (hình 2.1). Bằng trực giác ta dễ dàng a) nhận thấy rằng: nếu tác dụng lực như hình vẽ 2.1a thanh sẽ có khả năng chịu lực lớn hơn cách tác dụng P lực như trường hợp trên hình vẽ 2.1b. Như vậy ở đây khả năng chịu lực của thanh còn tuỳ thuộc vào phương tác dụng của lực đối với mặt cắt Do vậy, x ngoài đặc trưng hình học là diện tích mặt cắt F của z thanh, còn có những đặc trưng hình học khác của mặt cắt ngang. Trong chương này chúng ta sẽ y nghiên cứu các đặc trưng hình học nói trên. b) P 2.2 Mômen tĩnh của hình phẳng x Giả sử có một hình phẳng có diện tích F nằm z y H×nh 2.1 trong mặt phẳng của hệ trục toạ độ xOy (hình 2.2). Xét một vi phân diện tích dF có toạ độ là x, y. Nếu lấy tích phân biểu thức ydF và xdF trên toàn bộ diện tích F ta được: S ydF x y F  (2.1) S xdF F y F  x dF Sx, Sy gọi là mômen tĩnh của hình phẳng có diện tích F đối với trục Ox, Oy. Nếu dùng đơn vị diện tích là m2, chiều dài là m thì đơn vị y x của mômen tĩnh là m3. O Nếu biết được diện tích của hình và toạ độ trọng tâm của nó đối H×nh 2.2 với hệ trục xOy ta có: ydF y F c F  (2.2) xdF x F c F  Trong đó: yc, xc là toạ độ trọng tâm C của hình phẳng hay khoảng cách (có mang dấu) từ trọng tâm C của hình đến các trục toạ độ Ox, Oy. F - là diện tích của hình. Do đó ta có thể viết: Sx y C F  (2.3) Sy x C F
8. Từ (2.3) có thể rút ra công thức xác định toạ độ trọng tâm C của hình phẳng: Sy  xc F  (2.4) S y x c F  Khi xC = yC = 0 tức là trục x và trục y đi qua trọng tâm của hình thì Sx = Sy = 0. Cho nên mômen tĩnh của diện tích hình phẳng đối với trục bất kỳ đi qua trọng tâm của nó luôn bằng không. Người ta gọi trục đi qua trọng tâm của hình là trục trung tâm. Giao điểm của hai trục trung tâm thì được gọi là trọng tâm của mặt cắt. Mômen tĩnh của hình phẳng có thể có dấu (+) hoặc (-) tuỳ thuộc vào dấu của toạ độ trong các công thức (2.1), (2.4). Chú ý: Khi tính mômen tĩnh của hình phẳng có dạng phức tạp, ta chia hình đó ra thành nhiều hình đơn giản, sau đó lấy tổng đại số các mô men tĩnh của các hình đơn giản hợp thành. 2.3. Mômen quán tính của hình phẳng 2.3.1. Các định nghĩa về mômen quán tính Giả sử có một hình phẳng có diện tích F, một hệ trục Oxy đi qua trọng tâm của hình (hình 2.2). - Nếu lấy tích phân biểu thức y2dF, x2dF trên toàn bộ diện tích F của hình ta được: J y2 dF x F  (2.5) J x 2 dF y F  Jx, Jy gọi là mômen quán tính của hình phẳng có diện tích F đối với trục Ox và Oy. - Nếu lấy tích phân biểu thức x.y.dF trên toàn bộ diện tích của hình, ta có: J x y dF xy (2. 6) F Jxy gọi là mômen quán tính ly tâm của hình phẳng có diện tích F đối với hệ trục Oxy. Gọi là khoảng cách từ vi phân diện tích dF đến điểm O (gốc toạ độ) nằm trong mặt phẳng của hình (hình 2.2). Lấy tích phân biểu thức ρ2dF trên toàn bộ diện tích, ta được: J ρ2 dF 0 (2 7) F J0 gọi là mômen quán tính độc cực của hình phẳng đối với điểm O. Theo hình 2.2 ta có: ρ2 x 2 y2 (2.8) J ρ2dF (x 2 y2 )dF y2dF x 2dF Thay 2.8 vào 2.7 ta có: 0 FF FF Hay là: J0 J x J y (2.9) Vậy: Mômen quán tính độc cực của hình phẳng bằng tổng các mômen quán tính của hình phẳng đối với hai trục vuông góc giao nhau tại điểm đó. Đơn vị của các loại mômen quán tính kể trên là m4. Các loại mômen quán tính đối với một trục (Jx, Jy) hay đối với một điểm (J0) luôn luôn có dấu dương vì trong các biểu thức định nghĩa của chúng ta có các bình phương khoảng cách x, y và . Còn mômen quán tính ly tâm (Jxy) có thể có dấu dương hoặc âm tuỳ thuộc vào dấu các toạ độ x, y và do đó có thể bằng 0.
9. Chú ý: Khi xác định mômen quán tính của các hình có dạng phức tạp, ta cũng chia hình thành các hình đơn giản để tính, sau đó cộng các mômen quán tính của hình đơn giản hợp thành. 2.3.2. Trục quán tính chính trung tâm Nếu mômen quán tính ly tâm của một hình đối với một hệ trục Oxy bằng không thì ta gọi hệ trục Oxy là hệ trục quán tính chính, gọi tắt là hệ trục chính: Jxy = 0 Người ta cũng chứng minh được rằng với hệ trục quán tính chính Oxy, mômen quán tính của hình phẳng đối với một trong hai trục đó là cực đại (Jmax) còn đối với trục kia là cực tiểu (Jmin) so với bất kỳ trục nào khác, đi qua gốc O của hệ trục. Nếu hệ trục chính có gốc trùng với trọng tâm hình phẳng thì được gọi là hệ trục quán tính chính trung tâm. Hệ trục quán tính chính trung tâm là hệ trục mômen tĩnh và mômen quán tính ly tâm luôn bằng không: Sx Sy 0 J xy 0 Mômen quán tính của hình phẳng đối với hệ trục chính trung tâm gọi là mômen quán tính chính trung tâm. Các hình phẳng có ít nhất một trục đối xứng thì rất dễ dàng xác định được hệ trục quán tính chính trung tâm. Hệ trục chính trung tâm đó gồm trục đối xứng và trục trung tâm vuông góc với trục đối xứng. Ta chứng minh điều y này: x x Giả sử có hình chữ T (hình 2.3) có trục đối xứng y, trục trung tâm x vuông góc với y đi qua trọng tâm O của hình. Nếu xem hình đã cho ghép bởi hai hình A và B thì mômen quán dF dF tính ly tâm của toàn hình là: y AB A B x J xy J xy J xy A B O Trong đó: J xy , J xy là mômen quán tính ly tâm của hình A và B FABF đối với hệ trục Oxy. Ta xét phân tố đối xứng dF. Trên mỗi phần A và B, tung độ y của phân tố có cùng trị số và dấu. Hoành độ x của phân tố có cùng trị số dấu nhưng ngược dấu. Do đó sau khi thực hiện tích H×nh 2.3 phân x.y.dF theo công thức (2.6) trong mỗi phần A và B được: A B B A J xy J xy . Vậy: J xy J xy J xy 0 Mặt khác trọng tâm O của mặt cắt nằm trên trục đối xứng y nên từ O nếu vẽ trục x vuông góc với trục y, ta sẽ có hệ trục Oxy là hệ trục quán tính chính trung tâm của hình chữ T. Đó là điều phải chứng minh. Nếu một hình phẳng có hai hoặc nhiều trục đối xứng thì từ kết quả ta có thể suy ra rằng hai trục đối xứng vuông góc với nhau tạo thành một hệ trục quán tính chính trung tâm. Để giải quyết các bài toán sau này về chịu lực của thanh ta cần phải biết các trục quán tính chính trung tâm của mặt cắt thanh. Trong thực tế thường gặp những mặt cắt có trục đối xứng, còn mặt cắt không trục đối xứng thì ít gặp, nên việc xác định hệ trục quán tính chính trung tâm của mặt cắt thường dễ dàng hơn. 2.3. 3. Mômen quán tính của một số hình đơn giản a. Hình chữ nhật:
10. Một hình chữ nhật có chiều dài là h, chiều rộng là b. Hệ trục quán tính chính trung tâm là Oxy, trong đó trục x song song với cạnh b, trục y song y song với cạnh h (hình 2.4). Ta tính mômen quán tính trung tâm Jx. Theo công thức định nghĩa, ta có: dy J y2dF x h/2 F dF y x Xét một vi phân diện tích dF giới hạn bởi hai đường song h song với trục y và cách nhau bởi một đoạn dy. Diện tích của nó O là: h/2 dF b.dy Áp dụng công thức 2.5, ta được: b h 2 y3 H×nh 2.4 J y2dF y2bdy b h/2 x = h/2 . Vậy: h 3 F 2 bh3 J (2.11) x 12 Đó là công thức tính mômen quán tính chính trung tâm của hình chữ nhật đối với trục trung tâm x. Bằng phương pháp tương tự, ta tính được mômen quán tính của hình chữ nhật đối với trục trung tâm y: hb3 Jy = (2.12) 12 b. Hình tam giác: Có một hình tam giác, cạnh đáy là b, chiều cao h, b y hệ trục Oxy, trong đó trục x song song với cạnh đáy b và đi qua trọng tâm C của tam giác (hình 2.5). Để tính dy 2h/3 y Jx ta lấy vi phân diện tích dF là dải phân tố song song dF x h với trục x, có chiều dày dy, với: C h/3 dF = by.dy b 2 h y H×nh 2.5 b y 3 b 2h Trongđó : b y y . b h h 3 b 2h Thay vào, ta có: dF = bydy = y dy h 3 Áp dụng công thức 2.5 ta được : 2h 3 4 2h 2 b 2h 2 b 2h 3 y 3 J x y dF y y dy y h F h h 3 h 9 4 3 3 bh3 J (2.13) x 36 y Đó là công thức tính mômen quán tính của hình tam giác đối với trục trung tâm x song song với cạnh đáy b. dF d c. Hình tròn: x O d D H×nh 2.6
11. Để đơn giản, ta tính mômen quán tính của hình tròn đối với điểm C (chính là trọng tâm J ρ2dF mặt cắt), theo định nghĩa : 0 F Trong đó chọn dF là hình được giới hạn bởi hai đường tròn có bán kính: , ( + d ) và hai đường bán kính lập với trục x góc , ( d ) như hình 2.6. Ta có: dF ρ.d .dρ ρ.dρ.d R 2π J ρ 2 .ρdρ.d 0 0 0 Khai triển biểu thức tích phân, ta có: πD4 J 0,1D4 (2.14) 0 32 Vì tính đối xứng của hình tròn, ta có Jx = Jy. Ta có: J0 = Jx + Jy 4 4 D R 4 Suy ra: Jx = Jy= 0,05D (2.15) 64 4 Do đó, khi trục trung tâm y thẳng góc với trục x, ta có: Jx = Jy. Vậy theo công thức (4.9): J0 = Jx + Jy = 2Jx 4 4 R D 4 J0 = 0,1D (2.16) 2 32 (2.16) là công thức tính mômen quán tính độc cực của hình tròn. d. Hình vành khăn Mômen quán tính của hình vành khăn đối với trục trung tâm bất kỳ x của hình bằng hiệu của mômen quán tính của hình tròn có đường kính lớn với mômen quán tính của hình tròn có đường kính nhỏ, tức là: R4 r 4 y Jx= 4 4 π R 4 π D4 J (1 η4 ) (1 η4 ) x 4 64 4 4 x 0,05 D (1 η ) (2.17) O Trong đó:  là tỷ số giữa hai bán kính hoặc tỷ số giữa hai đường r d kính nhỏ và lớn:  R D d=2r Bằng phương pháp tương tự như trên, ta chứng minh được công D=2R thức tính mômen độc cực của hình vành khăn đối với trọng tâm của hình: H×nh 2.7 4 4 R 4 D 4 4 J0 = (1  ) (1  ) 0,1 (1  ) 2 32 (2.18) 2.3.4. Mômen quán tính với các trục song song Ở đây ta sẽ nghiên cứu cách tính mômen quán tính của hình phẳng đối với trục song song với trục trung tâm của hình, mà đối với trục đó, ta đã biết trước mômen quán tính của hình. Xét một hình phẳng có diện tích F. Hệ trục Ox, Oy vuông góc đi qua trọng tâm O của hình.
12. Hệ trục O1x1y1 song song với hệ trục Oxy. Khoảng cách giữa các trục song song x và x1 là a, giữa y và y1 là b. Xét vi phân diện tích dF có toạ độ x, y và x1, y1 (hình 2.8). Các toạ độ có liên hệ sau: x1 x b y1 y (2.19) y1 y a Theo công thức định nghĩa của mômen quán tính (2.5) đối với hệ trục O1x1y1 ta có: bx 2 dF J y dF (2.20) y x1 1 x F y1 O a Thay y1 bằng biểu thức của nó trong (2.20) và lấy tích phân x1 : O1 x1 J (y a)2 dF (y2 a 2 2ay)dF (2.21) x1 FF H×nh 2.8 J y2dF a 2 dF 2a ydF x1 FFF (2.22) Căn cứ vào công thức (2.21) và (2.22), ta có thể viết: J J a 2F 2aS (2.23) y1 x x Vì trục x là trục trung tâm, do đó Sx = 0, do đó : J J a 2F (2.24) x1 x Với phương pháp tương tự như trên, ta sẽ được: J J b2F (2.25) y1 y * Chú ý Các công thức (2.24) và (2.25) chỉ dùng được khi trục x và y đi qua trọng tâm của hình. Từ (2.24) và (2.25) ta có thể phát biểu như sau:“Mô men quán tính của một hình phẳng đối với một trục bất kỳ bằng mô men quán tính của hình đối với trục trung tâm song song với nó cộng với tích của diện tích F của hình với bình phương khoảng cách hai trục”. Các công thức (2.24) và (2.25) gọi là công thức chuyển trục song song Chúng rất tiện dùng để tính mômen quán tính của các hình phức tạp do bởi nhiều hình đơn giản (chữ nhật, tròn ) ghép lại. * Chú ý: Ta thấy J luôn luôn lớn hơn Jx vì số hạng thứ hai trong công thức bao giờ cũng x1 mang dấu dương, cho nên đối với một hệ trục song song mômen quán tính của hình phẳng đối với trục trung tâm là mômen quán tính nhỏ nhất. 2.4. Bán kính quán tính Bán kính quán tính của hình phẳng F đối với trục x, trục y được định nghĩa bằng biểu thức: J x ix F (2.26) J y iy F Trong đó: ix, iy là bán kính quán tính của hình phẳng F đối với trục Ox, Oy. Jx, Jy là mômen quán tính của hình phẳng F đối với trục Ox, Oy F - là diện tích của hình phẳng. Nếu xOy là hệ trục chính trung tâm của hình phẳng thì ix, iy gọi là bán kính chính trung tâm của hình đó. Đơn vị của ix, iy là cm, dm, m.
13. Trên đây ta đã có công thức tính mômen quán tính của các hình đơn giản nếu chia các mômen quán tính đó cho các diện tích tương ứng của mỗi hình, ta được bán kính quán tính của: - Hình chữ nhật đối với các trục chính trung tâm x, y: J bh3 12 i x h 0,289h (2,27) x F 12bh 12 J b3h 12 i y b 0,289b y F 12bh 12 - Hình tròn với các trục chính trung tâm x: πR 4 R D i (2.28) x 4ππ 2 2 4 2.5. Môđuyn chống uốn của mặt cắt Môđuyn chống uốn của mặt cắt đối với trục x và y được định nghĩa bằng biểu thức : J x Wx ymax (2.29) J W y y x max Trong đó : Wx, Wy là mô đuyn chống uốn đối với các trục x và y. Jx, Jy là mô men quán tính của mặt cắt F đối với hai trục x và y xmax, ymax là khoảng cách từ những điểm xa nhất ở về hai phía của mặt cắt đối với trục x và y. Đơn vị của môđuyn chống uốn là m3. Dưới đây là trị số môđuyn chống uốn của một số mặt cắt thường gặp: 2.5.1. Mặt cắt hình chữ nhật - Mô đuyn chống uốn đối với trục x: y Ta thấy những điểm thuộc cạnh AD và BC có khoảng cách BC tới trục x lớn nhất: 3 3 2 h bh J x bh bh y với J nên: W h/2 max x x h 2 12 ymax 6 x 12 h 2 O bh 2 W (2.30) h/2 x 6 D - Mô đuyn chống uốn với trục y: A b/2 b/2 Ta cũng thấy các điểm thuộc cạnh AB và CD có khoảng cách tới trục y lớn nhất, nghĩa là: b b hb3 x và J . H×nh 2.9 max 2 y 12 J hb3 hb2 hb2 Do đó ta cũng có : W y W (2.31) y x b 6 y 6 max 12 2 2. 5.2. Mặt cắt hình tròn: Đối với mặt cắt hình tròn ta có :
14. πD4 D J x và ymax 64 2 x J π πD3 Nên: W x D4 O x y D 32 max 64 2 πD3 W W 0,1D3 (2.32) D x y 32 Ở cuối giáo trình này có giới thiệu những đặc trưng hình H×nh 2.10 học của các loại thép hình (thép dát) sản xuất theo quy phạm. 2.6. Thí dụ tính toán - Ví dụ 1: Xác định hệ trục quán tính chính trung tâm và mômen quán tính chính trung tâm của mặt cắt trên hình 2.11. Các kích thước trên hình vẽ tính bằng milimet (mm). - Bài giải: Trước hết ta phải xác định trọng tâm C của mặt cắt. Ta thấy mặt cắt có một trục đối xứng y, do đó trọng tâm C của mặt cắt sẽ nằm trên y. Ta chia mặt cắt ra làm 3 hình chữ nhật I, II, III và chọn trục xo nằm ngang đi qua trọng tâm của hình I. Từ công thức 4.4: I II III Sx Sx Sx Sx y I y 0 0 0 0 . Ta có: c F F I x0 Mômen tĩnh của hình I là S xo= 0. O Mômen tĩnh của hình II và III là: yC II III 3 S xo = S xo = 14x3x(-9) = -378 (cm ). x - Diện tích mặt cắt: F = FI + FII + FIII C 2 = 12x4 + 2x14x3 = 132 (cm ). 140 40 II III - Tung độ yc của trọng tâm C bằng: 2 ( 378) yC 5,72 cm . 132 30 30 Tung độ yc có dấu (-) nghĩa là trọng tâm C của mặt cắt 120 nằm trên trục y, về phía dưới trục xo cách trục xo một khoảng yc = 5,72 cm. H×nh 2.11 Qua C kẻ trục x thẳng góc với trục y hệ trục xCy là hệ trục quán tính trung tâm cần tìm. Mô men quán tính chính trung tâm của mặt cắt là Jx và Jy. I II III Ta có: Jx= J x+ J x+ J x I II III Trong đó: J x, J x, J x là mômen quán tính của hình I, II, III đối với trục x. Vì trục x không đi qua trọng tâm hình I, II, III nên áp dụng công thức chuyển trục song song, ta được: 12 43 JI (-5,72)2 12 4 1635 cm4 x 12 3 143 JII JIII (9 5,72)2 3 14 1138 cm4 x x 12 Do đó mômen quán tính của toàn bộ mặt cắt đối với trục trung tâm x là: 4 Jx = 1635 + 2x1138 = 3911 cm Tính toán tương tự như trên đối với trục trung tâm y, ta cũng có: I II III Jy = Jy + Jy + Jy 4 123 Trong đó: JI 576 cm4 y 12
15. 14 33 JII JIII (1,5 3)2 14 3 882 cm4 y y y 12 B C 4 Do đó: Jy = 576 + 2x882 = 2340 cm * Ta cũng có thể tính Jy bằng phương pháp khác: F G Coi mặt cắt gồm một hình chữ nhật ABCD và một hình chữ nhật rỗng I II EFGH (hình 2.12). Ta tính được: Jy = J y - Jy I J y là mômen quán tính của hình chữ nhật ABCD. 18 123 J I 2592 cm4 y 12 II J y là mômen quán tính của hình chữ nhật EFGH A EHD 3 II (18 4) (12 6) 4 H×nh 2.12 J 252 cm y 12 4 Do đó: J y 2592 252 2340 cm 4 4 Vậy: Jmax = Jx = 3911 cm ; Jmin = Jy = 2340 cm - Thí dụ 2: Tính mômen quán tính chính trung tâm của mặt cắt ghép bởi hai thép hình chữ [ số hiệu 16 như hình 2.13. Biết khoảng cách giữa hai thép [ là 2d = 4 cm. - Bài giải: Thép N016 tra bảng phụ lục ta có: y y - Toạ độ trọng tâm zo = 1,79 cm. 0 - Diện tích mặt cắt là 18 cm2. - Mômen quán tính đối với trục trung tâm x0 4 4 I II là 741 cm và đối với trục yo là 62,6 cm . Mô men quán tính chính trung tâm đối với trục x là J . x x Đây là hình ghép nên ta có: C O I II Jx = J x + J x Vì hình I và hình II đều là thép chữ số hiệu như nhau và trục x đi qua trọng tâm hình I và hình II, do đó ta có: I ĩI 4 J x = J x = Jxo = 741 cm 2d z0 4 Jx = 2Jxo = 2 741 = 1482 cm I II H×nh 2.13 Tương tự như trên ta cũng có: Jy = J y + J y I II 2 4 2 4 J y = J y = Jyo + b F 62,6 ( 1,79) 18 321cm . 2 Vậy mômen quán tính chính trung tâm của toàn mặt cắt đối với trục y là: 4 Jy = 2x321 = 642 cm y - Thí dụ 3: Hãy tính bán kính quán tính và môđuyn chống uốn đối với trục x của mặt cắt chữ I trên hình 2.14. Kích thước trên 2 II hình lấy bằng cm. - Bài giải: Trước hết ta tính mômen quán tính của mặt cắt đối I với trục x: x Chia mặt cắt ra làm ba hình: I, II, III, ta có: 36 C J = JI + JII + JIII x x x x 1.2 1,2 (36)3 + Mômen quán tính của I: J 4665,6 cm4 x 12 2 III + Mômen quán tính của hình II và III: 18 18 Từ hình vẽ ta thấy hình II và III đối xứng nên có diện II III tích bằng nhau, vì vậy: J x = J x H×nh 2.14 36 (2)3 = (18 1)2 36 2 26016 cm4 . 12
16. 4 Do đó: Jx = 4665,6 + 2x26016 = 56697,6 cm . - Bán kính quán tính của mặt cắt đối với trục x. Áp dụng công thức: J x 2 i , với: F = F1 + F2 + F3 = 36x1,2 + 2x36x2 = 187,2 cm . x F J x 56697,6 Do đó : i 17,4 cm hay ix = 0,174 m. x F 187,2 - Môđuyn chống uốn đối với trục x: J x 40 Áp dụng công thức: Wx , trong đó: ymax 20 cm . ymax 2 J x 56697,6 3 Do đó: Wx 2834,88 cm . ymax 20 CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP CHƯƠNG 2 1. Nêu đặc trưng hình học của hình phẳng. Viết công thức định nghĩa của chúng và cho biết các đơn vị thường dùng của các đại lượng Jx, Jy, J0, Sx, Sy. 2. Thế nào là trục trung tâm, trục chính, hệ trục chính trung tâm? Cho ví dụ? 3. Mô men quán tính trung tâm là gì? 4. Chứng minh công thức chuyển trục song song để xác định mô men quán tính Jx của hình phẳng. y y 5. Tính mômen quán tính chính trung tâm của các mặt cắt cho như hình vẽ 75 30 2.15. Biết kích thước trên hình vẽ là mm. 75 x C 6. Một mặt cắt có hình dạng và kích 300 x 75 thước (mm) như hình 2.16. Hãy xác 120 định: - Mô men quán tính và mô men tĩnh với 75 trục y. 100 20 20 - Mô men quán tính chính trung tâm J , x 200 40 Jy? 7. Cho mặt cắt ngang hình chữ T, kích H×nh 2.15 H×nh 2.16 thước (cm) như hình vẽ 2.17. Xác định hệ trục quán tính trung tâm của hình phẳng Cxy. Xác định mô men quán tính Jx. Xác định mô men tĩnh của hình phẳng Sx. 8. Thanh ghép gồm hai thép [30 (hình 2.18). Xác định khoảng cách a để mặt cắt có hai mô men quán tính chính trung tâm bằng nhau (Jx = Jy). y y y x a) b) x x 20 4 8 4 8 a a H×nh 2.17 H×nh 2.18
17. Chương 3. KÉO (NÉN) ĐÚNG TÂM 3.1. Khái niệm về kéo (nén) đúng tâm, lực dọc và biểu đồ lực dọc 3.1.1. Khái niệm về kéo ( nén) đúng tâm Trong chương này ta sẽ nghiên cứu trường P P hợp chịu lực đơn giản nhất của thanh thẳng là khi a) thanh chịu kéo hoặc nén đúng tâm. P P Khi ta tác dụng vào các đầu thanh hai lực song song ngược chiều, có phương trùng với b) phương của trục thanh và có trị số giống nhau, ta H×nh 3.1 sẽ có: - Hoặc thanh chịu kéo đúng tâm nếu lực hướng ra khỏi mặt cắt (hình 3.1a). - Hoặc thanh chịu nén đúng tâm nếu lực hướng vào mặt cắt hình (3.1b). Từ đó ta có định nghĩa: “Thanh chịu kéo (nén) đúng tâm khi trên mọi mặt cắt ngang của thanh chỉ có một thành phần lực dọc Nz”. Dưới đây ta sẽ nghiên cứu nội lực phát sinh trong thanh chịu kéo (nén) đúng tâm. 3.1.2. Lực dọc - biểu đồ lực dọc a). Lực dọc: Giả sử xét một thanh chịu kéo đúng tâm bởi lực P. Để tính nội lực tại mặt cắt bất kỳ của thanh ta thường dùng phương pháp mặt cắt (hình 3.2). Tưởng tượng cắt thanh tại mặt cắt 1-1, xét cân bằng phần A. Muốn cho phần A cân bằng, thì hợp các nội lực trên mặt phải là nội lực N đặt tại trọng tâm mặt cắt và trùng với trục thanh. Lực N 1 đó gọi là lực dọc. P P Trị số lực dọc N được xác định từ điều kiện cân a) AB bằng tĩnh học của phần A (hoặc phần B), là tổng 1 hình chiếu của các lực tác dụng lên phần đang xét xuống phương trục thanh (trục z) phải bằng không: P Nz z A F b) H×nh 3.2
18. z = - P + N = 0 hay N = P. Dấu của lực dọc được quy ước như sau: - N mang dấu dương (+) khi nó là lực kéo (N có chiều hướng ra ngoài mặt cắt). - N mang dấu âm (-) khi nó là lực nén (N có chiều đi vào mặt cắt). Từ trường hợp xét trên ta có trình tự xác định lực dọc Nz theo phương pháp mặt cắt như sau: + Dùng mặt cắt tưởng tưởng cắt thanh thành hai phần, giữ lại phần đơn giản để xét. + Từ điều kiện cân bằng tĩnh học chiếu các lực đang xét xuống theo phương trục thanh (trục z) phải bằng 0. Từ đó ta xác định được Nz. Nếu kết quả tính được là dương thì đó là lực kéo ngược lại là lực nén. b). Biểu đồ lực dọc: Để biểu diễn sự biến thiên lực dọc tại các mặt cắt dọc theo trục thanh, ta vẽ một đồ thị gọi là biểu đồ lực dọc N. Vậy: “Biểu đồ lực dọc là đường biểu diễn sự biến thiên lực dọc tại các mặt cắt dọc theo trục thanh”. Sau khi đã tính được lực dọc tại các mặt cắt khác nhau ta tiến hành vẽ biểu đồ lực dọc. Để vẽ biểu đồ lực dọc thường chọn trục hoành song song với trục thanh (hay còn gọi là đường chuẩn), còn nội lực biểu thị bằng đường vuông góc với trục hoành (trục z). Trình tự, cách vẽ biểu đồ lực dọc như sau: - Chia thanh thành các đoạn bằng cách lấy điểm đặt lực tập trung, điểm đầu và cuối tải trọng phân bố làm ranh giới phân chia đoạn. - Trên mỗi đoạn viết một biểu thức xác định nội lực theo hoành độ z: Nz=f(z), căn cứ vào các biểu thức trên ta vẽ được biểu đồ cho từng đoạn. Nếu: Nz= const biểu đồ là đoạn thẳng song song với trục z, Nz là hàm bậc nhất (khi q= const) thì biểu đồ là đường thẳng xiên. 3.2. Ứng suất trên mặt cắt ngang 3.2.1 Ứng suất trên mặt cắt ngang Để tính ứng suất trên mặt cắt, trước hết ta khảo sát biến dạng của thanh khi chịu kéo hoặc nén đúng tâm. a) b) Xét một thanh chịu kéo đúng tâm, trước khi thanh chịu lực, ta kẻ trên bề mặt ngoài của thanh những đường thẳng vuông góc với trục của thanh biểu thị cho các mặt cắt của thanh và những đường thẳng song song với trục của thanh biểu thị cho các thớ dọc của thanh (hình 3.3a). 11 Sau khi tác dụng lực kéo P, ta thấy những đoạn thẳng vuông góc với trục thanh di chuyển xuống phía 11 dưới, nhưng vẫn thẳng và vuông góc trục, còn những đường thẳng song song với trục thanh thì dịch lại gần với nhau, nhưng vẫn thẳng và song song với trục của thanh (hình 3.3b). Với giả thiết biến dạng xảy ra bên trong thanh tương tự như biến dạng quan sát được bên mặt ngoài thanh, ta có thể kết luận: P 1. Các mặt cắt của thanh vẫn phẳng và vuông góc F với trục thanh. 2. Các thớ dọc của thanh vẫn thẳng và song song với H×nh 3.3 trục thanh. Dựa vào hai kết luận trên, ta có thể thấy nội lực phân bố trên mặt cắt phải có phương song song với trục thanh, tức là có phương vuông góc với mặt cắt. Vậy trên mặt cắt của thanh chịu kéo (hoặc nén) chỉ có ứng suất pháp .
19. Mặt khác dựa vào kết luận thứ nhất, ta thấy: khi bị biến dạng các thớ dọc bị chắn bởi cùng một mặt cắt (ví dụ mặt cắt 1-1) đều có độ giãn dài bằng nhau, do đó theo định luật Húc, nội lực phải phân bố đều trên mặt cắt, tức là ứng suất pháp tại mọi điểm trên mặt cắt phải có trị số bằng nhau. Vậy ta có thể viết được biểu thức liên hệ giữa những nội lực  phân bố trên mặt cắt với lực N của chúng như sau: N = F N Từ đó rút ra: σ F N Tổng quát ta có thể viết: σ (3.1) F Công thức (3.1) cho phép tính ứng suất pháp  nếu biết được lực dọc N và diện tích F của mặt cắt. Trong công thức (3.1) thì N là trị số tuyệt đối của lực dọc tại mặt cắt cần tìm ứng suất, lấy dấu dương (+) khi lực dọc là lực kéo, lấy dấu (-) khi lực dọc là lực nén. Công thức (3.1) có thể phát biểu như sau: ((Trị số ứng suất pháp trên mặt cắt thanh chịu kéo hay nén đúng tâm bằng tỷ số giữa lực dọc ở mặt cắt đó với diện tích mặt cắt đó )). Người ta chứng minh được rằng ứng suất pháp  trên mặt cắt vuông góc với trục thanh đạt trị số lớn nhất so với ứng suất pháp trên bất cứ mặt cắt nghiêng nào. Ở đây ta thấy được ứng suất pháp phân bố đều trên mặt cắt của thanh, nhưng điều này chỉ đúng với những mặt cắt không nằm gần nơi có mặt cắt thay đổi đột ngột hoặc gần nơi có điểm đặt lực. Trong thực tế ở những mặt cắt rất gần điểm đặt lực cũng như gần nơi có mặt cắt thay đổi đột ngột thì ứng suất phân bố không đều, mà ở đó xuất hiện ứng suất tập trung . Ví dụ: Tại mặt cắt 1-1 của P P thanh chịu kéo như hình 3.4 thì d) ứng suất phân bố đều trái lại ở mặt cắt 2-2 ứng suất phân bố không 22 2 2 đều mà tại mép lỗ ứng suất có trị c) số lớn hơn ứng suất ở mặt cắt 1-1. 1 1 1 1 1 1 Tỷ số giữa ứng suất lớn nhất với ứng suất trung bình  (xem như ứng suất phân bố đều trên b) mặt cắt qua lỗ) gọi là hệ số tập a) P P P P trung ứng suất, ký hiệu tt: H×nh 3.4 σ α tt : tt σ thường trị số tt nằm trong khoảng (1,2 3). 3.2.1. Biến dạng dọc và biến dạng ngang Khi chịu kéo chiều dài thanh sẽ dài thêm ra, nhưng chiều ngang co bớt lại (hình 3.5). Hoặc khi chịu nén thì chiều dài thanh ngắn lại nhưng chiều ngang thanh rộng ra (hình 3.6). Thanh bị biến dạng được vẽ bằng nét đứt. Chiều dài thanh thay đổi một đoạn l = l1 - l, l gọi là biến dạng dọc tuyệt đối. Nếu chiều dài thanh dài ra, l có trị số dương. Nếu chiều dài thanh ngắn đi, l có trị số âm, l gọi là độ giãn dọc tuyệt đối (khi l > 0), hoặc độ co dọc tuyệt đối (khi l < 0 ). Để so sánh biến dạng dọc của thanh có chiều dài khác nhau, người ta đưa ra khái niệm biến dạng dọc tương đối  (epxilon) tức là biến dạng dọc tuyệt đối trên một đơn vị chiều dài thanh và được tính bằng công thức:
20. Δl ε (3.2) l Trong đó  là một hư số cùng dấu với l. Như đã nói ở trên P P 1 b dưới tác dụng của lực kéo P, b chiều dài thanh dài ra nhưng chiều ngang hẹp lại một đoạn l b = b1- b, b gọi là biến dạng l1=l+ l ngang tuyệt đối, b mang trị số H×nh 3.5 dương nếu chiều ngang tăng thêm: b mang trị số âm nếu P P 1 chiều ngang hẹp lại. Để so sánh b b biến dạng ngang của những thanh có kích thước ngang khác nhau, người ta dùng khái niệm l1=l- l l biến dạng ngang tương đối 1, H×nh 3.6 tức là biến dạng ngang tuyệt đối trên một đơn vị chiều ngang thanh, và được tính theo công thức: Δb ε (3.3) l b Trong đó 1 là một hư số có cùng dấu với b. Nhiều thí nghiệm cho thấy giữa  và 1 có một liên hệ với nhau như sau: ε μ l hay ε με (3.4) ε l Dấu (-) trước tỷ số 1 và  chứng tỏ chúng luôn ngược dấu nhau, nghĩa là nếu chiều dài thanh dài thêm thì chiều ngang thanh hẹp bớt lại và ngược lại. Trong biểu thức (3.4),  (muy) là hệ số Poátxông hay hệ số biến dạng ngang, nó đặc trưng cho tính đàn hồi của vật liệu. Trị số  được xác định bằng thí nghiệm, hệ số này là một hư số, tuỳ từng loại vật liệu khác nhau trị số  cũng khác nhau và nằm trong khoảng từ 0 đến 0,5. Biến dạng dọc tuyệt đối l được tính như sau: Qua thí nghiệm kéo nén những mẫu vật liệu khác nhau, nhà vật lý Rôbe Húc đã tìm thấy: Khi lực tác động P chưa vượt qua một giới hạn nào đó (giới hạn này tuỳ theo từng loại vật liệu) thì biến dạng dọc tuyệt đối l của mẫu thí nghiệm luôn luôn tỷ lệ thuận với lực P và biểu thức của nó có dạng: Pl Δl (*) , nếu chú ý rằng N = P thì ta có thể viết: EF Nl Δl ( ) EF Trong đó: E gọi là mô đuyn đàn hồi khi kéo (nén) của vật liệu. Nó là một hằng số vật lý đặc trưng cho khả năng chống lại sự biến dạng khi chịu lực kéo hay nén của từng loại vật liệu trong phạm vi biến dạng đàn hồi. Trị số E được xác định bằng thí nghiệm. Đơn vị tính: MN/m2. Trị số E của một số vật liệu thông thường cho trong bảng (3.2). Tích số EF gọi là độ cứng khi kéo (nén) đúng tâm. Nếu thanh có độ cứng EF lớn thì biến dạng dọc tuyệt đối l nhỏ và ngược lại. Trị số l có thể mang dấu (+) hoặc (-) tuỳ thuộc vào dấu của lực dọc N. Δl N Biểu thức (*) và ( ) có thể viết thành : (3.5) l EF
21. N l σ Ta đã biết : σ và  thay vào (3.5), ta có: ε . F l E Hay : σ ε.E (3.6) Biểu thức 3.6 chính là nội dung của định luật Húc trong kéo nén đúng tâm. Ta có thể phát biểu định lý như sau: “ Trong kéo (nén) đúng tâm, ứng suất pháp  tỷ lệ thuận với biến dạng dọc tương đối  “. Bảng 3.1 Hệ số  của một số vật liệu thông thường Vật liệu  Vật liệu  Thép 0,25 ÷ 0,33 Bạc 0,39 Đồng 0,31 ÷ 0,34 Thuỷ tinh 0,25 Đồng đen 0,32 ÷ 0,35 Đáhộc 0,16 ÷ 0,34 Gang 0,23 ÷ 0,27 Bê tông 0,08 ÷ 0,18 Chì 0,45 Gỗ dán 0,07 Nhôm 0,32 ÷ 0,36 Cao su 0,47 Kẽm 0,21 Nến0,5 Vàng 0,42 Bảng 3.2 Môđuyn đàn hồi E của một số vật liệu Vật liệu E (tính bằng MN/m2 ) Thép 2,1x105 Gang (xám,trắng) (1,151,6)x105 Đồng, hợp kim đồng (đồng vàng, đồng đen) 1,0x105 Nhôm và đuyara 0,7x105 Khối xây: -Bằng đá vôi 0,6x105 -Bằng gạch 0,03x105 Bê tông nặng (khô cứng tự nhiên) (0,21 0,38)x105 Gỗ dọc thớ 0,1x105 Cao su 0,00008x105 Thí dụ tính toán: - Thí dụ 3.1: Cho một thanh chịu lực trên hình 3.7a. Cho biết trọng lượng vật liệu làm thanh là , diện tích mặt cắt ngang của thanh là F, l1 = 1,5 m, l 2 = 1 m. Hãy vẽ biểu đồ lực dọc cho thanh. Biết P = 2F. - Bài giải: Dựa vào phương pháp mặt cắt, ta thiết lập biểu thức lực dọc tại các mặt cắt bất kỳ của thanh. + Trong đoạn AB: tưởng tượng cắt thanh tại các mặt cắt 1-1, giữ lại phần thanh bên dưới mặt cắt (hình 3.7b), ta có: z = -Fz1 + N1 = 0. Trong đó: Fz1 là trọng lượng phần thanh đang xét. Rút ra: N1 = Fz1 (N1 > 0, do đó N1 là lực kéo) - với (0  z1  1,5 ).
22. + Trong đoạn BC: z tưởng tượng cắt thanh C N1 0.5F tại mặt cắt 2-2, giữ lại 2 l 2 2 phần thanh bên dưới z + 1.5F mặt cắt (hình 3.7c), ta B B 0.5F có: N1 + P 2 P z 1 1 1 z =-Fz2 +P+N2 = 0. l 1 z Trong đó: Fz là trọng 2 A A A N lượng phần thanh có chiều dài z2, với (1,5 a) b)Fz1 c)Fz2 d) z2  2,5 ). Rút ra: N2 H×nh 3.7 = Fz2 - P = Fz2-2F N2 = F(z2 -2). Biểu thức N1 biểu thị cho lực dọc tại mặt cắt bất kỳ trong đoạn AB, còn biểu thức N2 biểu thị cho lực dọc tại mặt cắt bất kỳ trong đoạn BC. Vì các biểu thức N1, N2 khác nhau, nên ta không thể biểu diễn sự biến thiên của lực dọc trong toàn thanh bởi cùng một biểu thức N. Sự khác nhau đó xảy ra tại các mặt cắt có lực tập trung đặt trùng với trục thanh, hoặc có sự thanh đổi đột ngột của cường độ lực phân bố dọc theo trục thanh. Để vẽ biểu đồ N, ta lấy một đường chuẩn (trục chuẩn song song với trục thanh có chiều dài bằng chiều dài trục thanh). Trên trục chuẩn z đặt những đoạn thẳng vuông góc có độ dài biểu thị (theo một tỷ lệ xích đã chọn) cho trị số của lực dọc N tại các mặt cắt tương ứng (hình 3.7d). Trong trường hợp này lực dọc trong mỗi đoạn thanh là hàm bậc nhất theo z1, nên biểu đồ N là đường thẳng xiên. Để vẽ biểu đồ N cho từng đoạn thanh, ta khảo sát các biểu thức N1 và N2. Tại z1 = 0 (mặt cắt A): N1 = 0 Tại z1 = 1,5 m (mặt cắt sát B về phía dưới): N1 = 1,5F Tại z2 = 1,5 m (mặt cắt sát B về phía trên): N2 = F(1,5 -2) = -0,5F Tại z2 = 2,5 m (mặt cắt C ): N2 = F(2,5 - 2) N2 = 0,5F Tại mặt cắt B có lực tập trung P, biểu đồ có sự thay đổi đột ngột, ta nói biểu đồ có bước nhảy. Trị số tuyệt đối của bước nhảy đúng bằng trị số của lực P và bằng 2F. - Thí dụ 3.2: Dọc theo trục của một thanh thép tròn gồm hai đoạn có đường kính khác nhau, có các lực P1 = 40 kN, P2 = 60 kN và P3 = 80 kN tác dụng như hình 3.8a. Diện tích 2 2 mặt cắt ngang của thanh trong đoạn một là F1 = 2,5 cm , trong đoạn hai là F2 = 4 cm . Vẽ biểu đồ lực dọc, tìm ứng suất trong các đoạn thanh và biến dạng dọc tuyệt đối của thanh, khi tính không kể đến trọng lượng thanh. - Bài giải: Để tính ứng suất trên mỗi đoạn thanh và biến dạng dọc tuyệt đối của toàn thanh ta phải tìm lực dọc trong mỗi đoạn thanh. + Trên đoạn AB: dùng mặt cắt bất kỳ 1-1 xét 60kN sự cân bằng phần thanh bên dưới mặt cắt ta có: D z = N1-P1 = 0 33 0.6m P3 + N1 = P1 = 40 kN F 2 20kN (với giả thiết N1 có chiều đi ra mặt cắt). Do đó N1 C = 40 kN (lực kéo) và không thay đổi trong đoạn 2 2 AB. 2 - N 0.5m P + Trên đoạn BC: dùng mặt cắt bất kỳ 2-2, xét B 40kN sự cân bằng phần thanh bên dưới mặt cắt ta có: 11 + 0.3m A F1 a)P1 b) H×nh 3.8
23. z = N2-P1 + P2 = 0 N2 = P1 – P2 = - 20 kN Do đó N2 = -20 kN (nén) và N2 không thay đổi trong đoạn BC. + Trên đoạn CD: tương tự ta cũng dùng mặt cắt bất kỳ 3-3, xét cân bằng phần thanh bên dưới mặt cắt ta có: z =0 N3 = P1 + P3 - P2 = 40 + 80 - 60 = 60 kN. Do đó N3 = 60 kN (kéo) và không thay đổi suốt đoạn CD. Sau khi tìm được lực dọc trong các đoạn thanh ta vẽ được biểu đồ lực dọc như hình (3.8b). Dựa vào biểu đồ lực dọc, áp dụng công thức (3.1) ta tính ứng suất trong các đoạn thanh: - Đoạn AB: Lực dọc N1 = 40 kN, vậy ứng suất trong đoạn AB là: N1 40 4 2 2 σ1 -4 16.10 kN/m 160 MN/m . F1 2,5.10 - Đoạn BC: Lực dọc N2 = - 20 kN, vậy ứng suất trong đoạn BC là: N2 20 4 2 2 σ2 4 5.10 kN/m 50 MN/m . F2 4.10 - Đoạn CD: Lực dọc N3 = 60 kN, vậy ứng suất trong đoạn CD là: N3 60 4 2 2 σ3 4 15.10 kN/m 150 MN/m . F3 4.10 Biến dạng dọc tuyệt đối của thanh sẽ bằng tổng đại số biến dạng dọc tuyệt đối của các đoạn thanh AB, BC và CD. Do vậy, ta phải tính biến dạng dọc tuyệt đối trong từng đoạn thanh có: trị số lực dọc không thay đổi, diện tích mặt cắt cũng không thay đổi, nên ta áp dụng công thức (3.5) để tính biến dạng dọc tuyệt đối cho các đoạn: N1l1 40 0,3 4 - Đoạn AB : Δl1 8 4 2,4 10 (m) EF1 2.10 2,5 10 N2l2 20 0,5 4 - Đoạn BC : Δl2 8 4 1,25 10 (m) EF2 2.10 4.10 N3l3 60 0,6 4 - Đoạn CD: Δl3 8 4 4,5 10 (m) EF3 2.10 4.10 Vậy biến dạng dọc tuyệt đối của toàn thanh: -4 -4 l = l 1 + l 2+ l 3 = (2,4-1,25 + 4,5)x10 = 5,65x10 (m) l = 0,565 mm ≈ 0,6 mm Vậy sau khi chịu tác dụng của lực chiều dài thanh dài thêm ra ≈ 0,6 mm. 3.3. Thí nghiệm kéo ( nén) vật liệu 200 Muốn biết rõ tính chất cơ học của vật liệu, ta 220 phải đem vật liệu ra thí nghiệm, để nghiên cứu 35 những hiện tượng xảy ra trong quá trình biến dạng 20 của nó cho tới khi bị phá hỏng. Thí nghiệm thường 340 dùng là thí nghiệm kéo và nén, vì kết quả của thí 390 nghiệm này có thể dùng cho nhiều trường hợp biến P dạng khác (uốn). Trong điều kiện thông thường, H×nh 3.9 người ta phân vật liệu ra làm hai loại: vật liệu dẻo như Pb thép, đồng, nhôm vật liệu giòn như gang, đá, bê tông P® D Dưới đây, ta lần lượt thí nghiệm kéo và nén mẫu của từng Pch B E loại vật liệu để rút ra các đặc trưng cơ học của chúng. C Ptl A 3.3.1 Thí nghiệm kéo vật liệu dẻo l O H×nh 3.10
24. Mẫu thí nghiệm là một thanh thép non có hình dạng và kích thước theo mẫu quy định (hình 3.9). Gọi l là phần chiều dài làm việc của mẫu. Đặt mẫu vào máy kéo rồi cho lực kéo P tăng dần từ 0. Ta thấy chiều dài thanh tăng dần lên, chiều ngang thanh hẹp bớt cho đến khi lực kéo P đạt trị số cực đại Pb thì một chỗ nào đó trên thanh bị thắt lại, sau đó kéo giảm dần cho đến một trị số Pd và thanh bị đứt tại chỗ thắt. Tương quan giữa l và trị số của lực kéo P được thể hiện bằng đồ thị (hình 3.10). Trong đó trục hoành biểu diễn trị số của l và trục tung biểu diễn các trị số của lực kéo P. Đồ thị đó gọi là biểu đồ kéo của vật liệu dẻo. Đồ thị đó cho biết vật liệu khi chịu kéo đã qua 3 giai đoạn chính:  a) Giai đoạn thứ nhất: Giai đoạn tỷ lệ. Vì trong giai đoạn này vật liệu có tính chất đàn hồi b và tuân theo định luật Húc. Trên đồ thị giai đoạn này biểu thị bằng đường thẳng OA. Lực lớn nhất trong giai ch đoạn tỷ lệ là Ptl (P tỷ lệ). Gọi F0 là diện tích ban đầu của tl mẫu thí nghiệm ta có:  N Ptl σtl F 0 Ứng suất tl gọi là giới hạn tỷ lệ, thường giới hạn này  khó xác định. O  2 Đối với thép số 3 thì ơtl = 200 MN/m . H×nh 3.11 b) Giai đoạn thứ hai: Giai đoạn chảy dẻo. Vì giai đoạn AB thường rất ngắn nên người ta bỏ qua không khảo sát, sau giai đoạn này từ điểm B đồ thị bắt đầu có đoạn nằm ngang BC. Lúc này biến dạng của thanh tăng lên rõ rệt nhưng lực không tăng. Ta gọi giai đoạn này là giai đoạn chảy dẻo. Lực bắt đầu làm cho vật liệu chảy dẻo, ký hiệu Pch. Gọi ứng suất tương ứng với giai đoạn này là giới hạn chảy: Pch 2 σch Đối với thép số 3, ch = 240 MN/m . F0 Đoạn nằm ngang trên đồ thị gọi là diện chảy dẻo. c) Giai đoạn thứ 3: Giai đoạn củng cố. Vật liệu tự củng cố để chống lại biến dạng. Khi lực đạt đến trị số cực đại Pb (Pbền) thì có một chỗ nào đó trên mẫu thử bị thắt lại. Sau đó lực P giảm xuống dần nhưng biến dạng vẫn tăng, cho đến lúc lực P giảm đến trị số Pđ (Pđứt) thì thanh bị đứt tại chỗ thắt.  b Gọi giới hạn bền là b ta có: b = . F0 2 Đối với thép số 3, b = 420 MN/m Khi ứng suất trong mẫu đạt đến trị số b ta xem như mẫu bị phá hỏng mặc dù thực tế nó chưa bị phá hỏng. Giới hạn tỷ lệ (tl), giới hạn chảy (ch), giới hạn bền (b) đặc trưng cho tính chất chịu lực của vật liệu. Ta thấy ứng suất pháp tính theo các công thức trên không phải là ứng suất thật phát sinh trong mẫu thí nghiệm, vì diện tích mặt cắt thanh thay đổi liên tục suốt thời gian thí nghiệm, nên ta gọi ứng suất này là ứng suất quy ước. Để biểu diễn mối liên hệ ứng suất và biến dạng, ta có thể vẽ đồ thị  -  (hình 3.12); đồ thị này không phụ thuộc vào kích thước mẫu và có dạng tương tự như đồ thị biểu diễn mối liên hệ giữa P và l (hình 3.11). Thật vậy, muốn có đồ thị  -  ta chỉ việc chia tung độ và hoành độ của đồ thị quan hệ P và l cho F0 là l 0.
25. Đồ thị  -  cho ta thấy các trị số của tl, ch và b. Nếu lập quan hệ giữa hệ số góc của đoạn thẳng xiên trong đồ thị  -  với các toạ độ của một điểm bất kỳ N trong giới hạn của đoạn thẳng đó, ta có: σ tgα . ε σ Mặt khác theo định luật Húc: E . ε Vậy tg = E tức trị số môđuyn đàn hồi E khi kéo (nén) của vật liệu chính bằng hệ số góc của đoạn thẳng xiên trong đồ thị  - . Ngoài các đặc trưng tính chịu lực của vật liệu ta còn hai đặc trưng khác để chỉ tính dẻo của vật liệu, đó là: - Độ giãn dài tương đối khi đứt: tính theo phần trăm, ký hiệu  (đọc là đen ta nhỏ): l l δ 1 100% l Trong đó: l1 - chiều dài phần làm việc của mẫu sau khi bị đứt. l - chiều dài phần làm việc của mẫu khi chưa làm việc. - Độ thắt tương đối khi đứt tính: theo phần trăm ký hiệu là  (đọc là cờ xi): F F ψ 0 1 100% F0 Trong đó: F0 - diện tích mặt cắt của mẫu lúc đầu khi chưa chịu lực. F1 - diện tích mặt cắt của mẫu ở chỗ bị thắt, sau khi bị đứt. Với một loại vật liệu nào đó  và  càng lớn thì vật liệu đó càng dẻo và ngược lại. Đối với thép số 3 thì  ≈30% và  ≈ 60%. 3.3.2 Thí nghiệm nén vật liệu dẻo P Khi nén các vật liệu dẻo các mẫu thí P nghiệm thường là hình trụ tròn có chiều cao lớn hơn đường kính một chút (hình 3.12a). Biểu đồ quan hệ giữa l và P như hình Pch (3.12b). Qua biểu đồ ta thấy, vật liệu dẻo khi Ptl A chịu nén cũng có giới hạn tỷ lệ, giới hạn chảy dẻo nhưng không có giới hạn bền vì lực càng tăng mẫu thí nghiệm càng xẹp xuống và đường kính của nó càng tăng lên (hình 3.12a). l Cần chú ý đến đặc điểm của vật liệu dẻo: giới O hạn tỷ lệ (kể cả giới hạn chảy nếu vật liệu là a)P b) thép) và môđuyn đàn hồi đều có trị số khi kéo H×nh 3.12 và khi nén xấp xỉ bằng nhau. 3.3.3. Thí nghiệm kéo vật liệu giòn Vật liệu giòn chịu kéo kém nên bị phá hỏng đột ngột khi độ giãn dài và độ thắt tương đối còn rất nhỏ. Biểu đồ có dạng đường cong ngay từ khi ứng suất còn rất nhỏ. Nhìn vào biểu đồ ta thấy vật liệu không có giai đoạn tỷ lệ, giai đoạn chảy dẻo. Như vậy đối với vật liệu giòn chỉ có giới hạn bền: Pb P σb F0 Pb Trị số giới hạn bền này so với trị số giới hạn bền của vật liệu dẻo là rất thấp, tuy vật liệu không có giai đoạn tỷ lệ nhưng trong l O H×nh 3.13
26. giới hạn làm việc thông thường đối với một số vật liệu giòn ta vẫn có thể áp dụng định luật Húc được. Tùy theo mức độ chính xác khi tính toán ta có thể thay đoạn cong trong một phần nào đó của đồ thị bằng một đoạn thẳng (nét đứt ở hình 3.13) thể hiện biểu đồ kéo vật liệu giòn. 3.3.4. Thí nghiệm nén vật liệu giòn Đối với vật liệu giòn khi chịu nén cũng bị phá hỏng ngay từ khi P biến dạng còn rất nhỏ. Biểu đồ quan hệ l và P như hình 3.14, từ biểu đồ ta thấy vật liệu giòn khi chịu nén chỉ có giới hạn bền mà thôi, nhưng Pb giới hạn bền này có trị số lớn hơn giới hạn bền khi kéo. Qua các thí nghiệm trên đây, ta có thể nêu lên những điểm khác nhau giữa vật liệu dẻo và vật liệu giòn: vật liệu dẻo phát sinh biến dạng nhiều mới hỏng, vật liệu giòn biến dạng ít đã hỏng; vật liệu dẻo chịu kéo và nén như nhau, vật liệu giòn chịu nén tốt hơn chịu kéo rất nhiều. l 3.4. Tính toán trong kéo (nén) đúng tâm O H×nh 3.14 3.4.1. Khái niệm về ứng suất cho phép - hệ số an toàn Ở trên đã nghiên cứu các giới hạn của vật liệu khi chịu lực, ta cần dựa vào các giới hạn này để tính toán các cấu kiện tuỳ theo chúng làm bằng vật liệu nào, để đảm bảo sao cho an toàn và tiết kiệm nhất. Với vật liệu dẻo thường chọn ứng suất nguy hiểm ký hiệu o là giới hạn chảy, để đảm bảo cấu kiện khi chịu lực không có biến dạng lớn, còn với vật liệu giòn chọn ứng suất nguy hiểm là giới hạn bền. Để đảm bảo cho cấu kiện làm việc được an toàn, ta phải hạn chế ứng suất lớn nhất phát sinh trong cấu kiện, sao cho nó không vượt quá một trị số chỉ bằng một phần ứng suất nguy hiểm. Trị số này gọi là ứng suất cho phép, ký hiệu là [ ] và tính theo công thức: σ σ 0 , với n là hệ số an toàn. n Việc lựa chọn hệ số an toàn có ý nghĩa về mặt kỹ thuật cũng như về kinh tế. Thường hệ số an toàn do Nhà nước quy định dựa vào một số điều kiện sau: -Tính chất của vật liệu: vật liệu dẻo hay vật liệu giòn, đồng chất hay không đồng chất. - Điều kiện làm việc của cấu kiện. - Tính chất quan trọng, thời gian sử dụng của cấu kiện (vĩnh viễn hay tạm thời). - Mức độ chính xác của các giả thuyết khi tính toán và thiết kế - trình độ và phương pháp gia công (hay thi công). - Tính chất của lực tác dụng lên cấu kiện (lực động, lực tĩnh, va chạm ). Bảng 3.3. Ứng suất cho phép của một số vật liệu thông thường. [ ] tính bằng MN/m2 Vật liệu Kéo Nén Thép xây dựng số 3 1,6x102 1,6x102 Thép xây dựng số 5 1,4x102 1,4x102 Đồng (0,3  1,2)x102 Nhôm (0,3  0,8)x102 Đuyara (0,8  1,5)x102 Gang xám (0,28  0,8)x102 (1,2  1,5)x102 3.4.2. Điều kiện cường độ-ba bài toán cơ bản
27. Thanh chịu kéo (nén) đúng tâm đảm bảo điều kiện cường độ khi ứng suất pháp lớn nhất phát sinh trong thanh phải nhỏ hơn hay tối đa bằng ứng suất pháp cho phép, nghĩa là: N σ σ (3.7) max F Từ điều kiện cường độ (3.7) ta có thể gặp ba loại bài toán cơ bản sau: a) Bài toán kiểm tra cường độ: Khi biết lực dọc trong thanh N, diện tích mặt cắt là F và ứng suất cho phép []. Thanh đảm bảo cường độ khi thoả mãn điều kiện: N σ σ max F b) Bài toán chọn diện tích mặt cắt F của thanh khi biết lực dọc N và ứng suất cho phép []: Ta có công thức xác định diện tích mặt cắt F của thanh: N F F σ c) Bài toán xác định trị số lớn nhất của tải trọng mà thanh có thể chịu được theo công thức: N F[] =[ N ] Dưới đây ta sẽ nghiên cứu một ví dụ để làm sáng tỏ các vấn đề đã nêu trên. - Ví dụ 3.3: Kiểm tra cường độ của một thanh gỗ. Trên thanh có các lỗ khuyết như ở hình 3.15. Lỗ tròn đường kính d = 8 cm, lỗ chữ nhật kích thước (4x6) cm Thanh chịu lực nén P 2 = 96 kN, ứng suất cho phép về nén của gỗ là []n = 10 MN/m . - Bài giải: Ta phải kiểm tra cường độ của thanh ở mặt cắt có diện tích nhỏ nhất vì tại mặt cắt đó sẽ phát sinh ứng suất pháp lớn nhất. Trong các mặt cắt 1-1 và 2-2 đi qua các lỗ khuyết, thì mặt cắt 1-1 nguy hiểm hơn vì diện tích chịu lực của thanh ở đây nhỏ hơn, diện tích mặt cắt này là: F = (0,18 x 0,12) – (0,08 x 0,12) = 0,012 m2. 1 2 P P 8 6 8 18 4 1 2 12 H×nh 3.15 96 Ứng suất tại mặt cắt nguy hiểm là: σ 8000 kN/m2 8 MN/m2 0,012 Ứng suất lớn nhất trong thanh:  = 8 MN/m2 < [ ] =10 MN/m2. Vậy thanh đảm bảo cường độ. - Thí dụ 3.4: Một thanh thép tròn chịu lực kéo đúng tâm P=1,2x102 kN. Tính đường kính tối thiểu của thanh, biết ứng suất cho phép []=1,4x102 MN/m2. N - Bài giải: Dựa vào công thức (3.8) ta có: F σ πd2 1,2 102 Ở đây: N = P = 1,2x102 kN, hay: d 3,3x10 2 (m). 4 105 Vậy chọn đường kính tối thiểu của thanh là d =3,3x10-2 m = 3,3 cm.
28. - Thí dụ 3.5: Một thanh tuyệt đối cứng AB. Đầu A được bắt bản lề cố định vào tường, đầu kia chịu tác dụng của lực P. Thanh được giữ cân bằng nhờ thanh thép tròn CB nằm ngang có đường kính d=16 mm (hình 3.16). Hãy xác định trị số lớn nhất của lực P theo điều kiện cường độ thanh CB biết ứng suất cho phép của thanh CB là: [] =1,6x102 MN/m2. - Bài giải: Thay bản lề A bằng các phản lực XA,YA. Tưởng tượng cắt 1.4m thanh BC bởi mặt cắt 1-1 trên C 1 NBC B B thanh BC xuất hiện lực dọc NBC ta 1 có: P P 0.8m YA MA =-1,4P + 0,8NBC = 0 XA 1,4P A a)A b) NBC 1,75P 0,8 H×nh 3.16 Từ công thức (3.9) ta có: (0,016)2 3,14 1,6 103 N F σ 32,15 kN BC 4 N 32,15 Do đó lực P cho phép là: P BC 18,37 kN . 1,75 1,75 Vậy trị số lớn nhất của lực P là 18,37kN. 3.4.3. Tính ứng suất có kể đến trọng lượng bản thân Trong các công thức tính toán về kéo (nén) đúng tâm đã trình bày ở trên, ta bỏ qua ảnh hưởng của trọng lượng cấu kiện, vì trọng lượng này thường rất nhỏ so với độ lớn của lực tác dụng lên cấu kiện. Nhưng trong trường hợp tính những thanh dài, trụ lớn, tường nặng, đập, bệ máy thì ảnh hưởng của trọng lượng cấu kiện cũng rất đáng kể. Dưới đây ta sẽ xét trường hợp cụ thể đó. a) Thanh có mặt cắt không đổi: P+Fl Giả sử có thanh thẳng đứng chiều dài l, diện tích mặt cắt không đổi là F. Ở đầu tự do có lực kéo đúng tâm P tác dụng (hình z 3.17a). Thanh làm bằng vật liệu có trọng + lượng riêng . Tìm ứng suất phát sinh trong l N thanh 1 1 Trước hết ta tìm lực dọc trong thanh. Fz Tại mặt cắt bất kỳ 1-1 (hình 3.17b): z N N = P + Fz Biểu đồ N như hình 3.18c. P Ứng suất phát sinh trên mặt cắt 1-1 là: a) b) P c) P γFz P σ hay: σ γz H×nh 3.17 3 3 F F D Do đó ứng suất phát sinh trên thanh cũng biến thiên dọc theo chiều 3 F3 dài thanh và có giá trị lớn nhất ở ngàm. Điều kiện cường độ trong l C trường hợp này là: 2 2 P 2 F2 σ γl σ l max F Diện tích tối thiểu của thanh tính theo công thức: 1 B 1 P 1 F F l F1   .l A P H×nh 3.18
29. Ngoại lực lớn nhất cho phép tính theo công thức: P P F (   .l) . b) Khi thanh có mặt cắt thay đổi từng nấc: Trong phần trên ta thấy: nếu kể đến trọng lượng bản thân thanh thì ứng suất thay đổi dọc theo chiều dài thanh. Nếu ta dùng thanh có mặt cắt không thay đổi thì ở đầu thanh vật liệu chưa dùng hết khả năng. Do đó để cho ứng suất ở các mặt cắt không chênh lệch nhau lắm để dùng hết khả năng của vật liệu người ta làm những thanh có mặt cắt thay đổi từng nấc (hình 3.18). Ứng suất phát sinh trên các mặt cắt 1-1, 2-2 và 3-3 của các đoạn thanh AB, BC và CD có giá trị là: P P γ1l1F1 P γ1l1F1 γ2l2F2 σ1 γ1l1 ; σ2 γ2l2 ; σ3 γ3l3 F1 F2 F2 F3 F3 F3 Ta cũng chọn các mặt cắt F1, F2, F3 sao cho thoả mãn điều kiện là ứng suất trên các mặt cắt đó tối đa là bằng ứng suất cho phép: 1 = 2 = 3 = [ ]. Muốn vậy chỉ việc thay các trị số [] vào các đẳng thức trên ta sẽ được F1, F2 và F3 nhỏ nhất. Ta có: P P γ1l1F1 P γ1l1F1 γ2l2F2 F1 ; F2 ; F3 . σ γ1l1 σ γ2l2 σ γ3l3 2 - Thí dụ 3.6: Một cột bê tông cốt thép gồm hai đoạn, đoạn một có diện tích là F1= 0,04 m , 2 đoạn hai có diện tích là mặt cắt là F2= 0,0625 m . Cột chịu lực nén đúng tâm P = 20kN. Hãy tính ứng suất lớn nhất trong từng đoạn cột biết trọng lượng riêng của bê tông  = 2500 kG/m3 (hình3.19a). - P b) Bài giải: Trước hết ta tính lực dọc N. a) P Bằng phương pháp mặt cắt vẽ được biểu đồ C lực dọc cho cột như trên hình 3.19b. F1 N - Ứng suất lớn nhất trên đoạn BC (tại B): B P+Fl1 P 20 2 σ1 γl1 25 3,6 590 kN/m F2 F1 0,04 3 3 ( = 2500 kG/m = 25 kN/m ). 4m 3.6m - - Ứng suất lớn nhất đoạn AB (tại chân cột): A P γF1l1 20 25 0,04 3,6 2 P+F1l1+F2l2 σ1 γl2 25 4 477,6 kN/m F1 F2 0,04 0,0625 H×nh 3.19 CÂU HỎI ÔN TẬP CHƯƠNG 3 1. Thế nào là thanh chịu kéo nén đúng tâm? 2. Nêu cách tính nội lực trên mặt cắt ngang của thanh chịu kéo (nén) đúng tâm. 3. Biểu đồ nội lực là gì? Cách vẽ biểu đồ nội lực? 4. Viết và giải thích công thức tính ứng suất trên mặt cắt ngang? 5. Thế nào là biến dạng dọc, biến dạng ngang tuyệt đối và tương đối? Viết và giải thích công thức tính biến dạng dọc tuyệt đối. 6. Giải thích ba giai đoạn khi thí nghiệm kéo vật liệu dẻo?
30. BÀI TẬP CHƯƠNG 3 1. Vẽ biểu đồ lực dọc, biểu đồ ứng suất và tính biến dạng dài tuyệt đối của các thanh ở hình 3.20, xem như khi bị nén các thanh không bị cong đi. Biết E = 2.102 daN/cm2. Bỏ qua trọng lượng của các thanh. P 1 =20kN C C C D A 1m 1m 1m 1m 1,2m P 1 =15kN C P 2 =50kN BBP 1 =10 T P 1 =40kN BP 1 =10kN B 2 2 2m F=4cm 2 F=3cm2 F=2cm F=3cm2 1,2m F=4cm 2m 2m 2m B P 3 =80kN P 2 =20kN C 1,2m A A A 1m A D P 2 =5 T P 2 =40kN P 2 =5kN P 3 =30kN H1 H2 H3 H4 H5 P 1 =10kN P 1 =20kN D D E C D 2 a F=10cm 0,2m P 2 =20kN P a C 1,2m D 1,2m P 2 =60kN B 2a EF C C P 3 =680daN 0,4m P1 C P kN 2 B P 3 =30kN 1,2m F=4cm 1,2m b P 2 =500daN B P 3 =70kN 2a B B EF 0,4m F=2cm2 2P 1,2m 1,2m A A a A A A P P2 kN P 1 =200daN H6 H7 H8 H9 H10 B C C C C q=20 kN/m q=20 kN/m q=5 kN/m q=3T/m 1m B 2 2 2 4m 2m EF 4m F=5cm F=4cm F=10cm P 2 =20kN l F=4cm 2 q B B B P 2 =40kN P 2 =20kN P=2T 2m 2m 1m 2m A A A A A P 1 =10kN P 1 =40kN P 1 =40kN H11 H12 H13 H14 H15
31. P 1 =3T P=2kN P 1 =60kN P 1 =30kN C A A A A q=15 kN/m q=10 kN/m q=1 T/m 2m F=4cm2 1m 0,5m B F=4cm2 P 2 =40kN 3m 3m q=1T/m B B 2m F=20cm 2 F=4cm 2 F=2cm 2 C P 3 =60kN B P 2 =3T B P 2 =40kN 1,5m 0,5m q=4kN/m 2m 1m 1m A C C D C P=2T H16 H17 H18 H19 H20 H×nh 3.20 2. Giá ABC (hình 3.21a) thanh AB có F = 10 cm2, thanh BC có F = 6,5 cm2. Cả hai thanh 2 2 đều bằng gang có:  n 900daN / cm  K 300daN / cm . Xác định Q theo điều kiện bền (khi kéo và nén). 2 3. Giá ABC (hình 3.21b) thanh AB bằng thép tròn đường kính d có σ k 1400 daN/cm , 2 thanh gỗ vuông cạnh a có σ n 130 daN/cm . Tại A treo vật nặng P = 50 kN. Xác định d và a theo điều kiện bền. 4. Cho hệ thanh chịu lực như hình vẽ 3.21c. Hãy kiểm tra điều kiên bền cho các thanh biết: 2 2 thanh AB có diện tích mặt cắt ngang F1 = 15 cm ; [k] = 16 kN/cm . Thanh BC có diện 2 2 tích mặt cắt ngang F2 = 8 cm , [n] = 14 kN/cm . Biết P = 190 kN. A B B A 6 0 0 P 0 0 A 3 C b) a) P 0 6 B C C c) P H×nh 3.21
32. Chương 4 UỐN NGANG PHẲNG 4.1. Khái niệm 4.1.1. Định nghĩa về uốn phẳng Ta sẽ xét những thanh thẳng mặt cắt có trục đối q xứng. Trục đối xứng và trục thanh tạo thành mặt phẳng đối P1 xứng. Những thanh đó sẽ chịu uốn phẳng khi thanh cân bằng dưới tác dụng của các lực nằm trong mặt phẳng đối m xứng của thanh, có phương vuông góc với trục của thanh. Những lực này là ngẫu lực, lực tập trung hoặc phân bố. Mx x Thanh chịu uốn phẳng được gọi là dầm. Mặt phẳng chứa O các lực và trục dầm gọi là mặt phẳng tải trọng (mặt phẳng z P2 Oyz trên hình 4.1). Giao tuyến giữa mặt phẳng tải trọng và Qy m mặt cắt ngang gọi là đường tải trọng (đường Oy trên hình y H×nh 4.1 4.1). Nếu trục dầm sau khi bị uốn là một đường cong nằm trong mặt phẳng quán tính chính trung tâm thì sự uốn đó gọi là uốn phẳng. Hình 4.1 cho ta một ví dụ về dầm chịu uốn phẳng. Như vậy: Khi trên mặt cắt ngang nội lực chỉ có hai thành phần: Mx, Qy hoặc My, Qx ta gọi thanh chịu uốn ngang phẳng. Từ định nghĩa trên ta có thể nhận biết được thanh chịu uốn phẳng dựa vào ngoại lực như sau: khi ngoại lực có phương vuông góc với trục của thanh và trùng với một trục đối xứng của mặt cắt thì thanh chịu uốn phẳng. 4.1.2. Gối tựa và phản lực gối tựa Dầm được tựa trên các bộ phận đỡ, những bộ phận V V R V R đỡ này gọi là gối tựa hay liên kết. Có ba loại liên kết m thường gặp là: bản lề di động, bản lề cố định và ngàm. Hình HH 4.2 biểu thị sơ đồ tính toán và phản lực của ba loại liên kết H×nh 4.2 trên. Để xác định phản lực gối tựa, ta dùng các phương trình cân bằng tĩnh học trong môn CHLT. Nếu số phản lực gối tựa đúng bằng số phương trình cân bằng thì ta dễ dàng tìm được các phản lực, dầm đó gọi là dầm tĩnh định. Nếu dầm có số phản lực nhiều hơn số phương trình cân bằng tĩnh học, ta có dầm siêu tĩnh. Trong chương này, ta chỉ nghiên cứu dầm tĩnh định. 4.2. Nội lực trong dầm chịu uốn ngang phẳng 4.2.1. Khái niệm Như đã nêu ở trên, trong thanh chịu uốn phẳng ngoại lực nằm trong mặt phẳng đối xứng yOz, do đó trên mặt cắt các thành phần nội lực là Qx = 0, My = 0 và Mz = 0. Mặt khác ngoại lực có phương vuông góc với trục thanh nên từ phương trình hình chiếu: z = 0 Nz = 0. Như vậy: trên mặt cắt ngang của thanh chịu uốn phẳng chỉ tồn tại hai thành phần nội lực. Đó là lực cắt Qy và mômen uốn Mx. Để đơn giản, trong phần tìm nội lực của thanh chịu uốn phẳng ta dùng ký hiệu Q và M thay cho ký hiệu Qy và Mx. y P=4kN V a) B VA 1 HB 4.2.2. Phương pháp xác định Q và M: A Sau khi đã xác định thì toàn bộ ngoại lực tác C B 1 3m 1m dụng lên dầm đã được xác định. Ta sẽ đi xác định nội lực. y P b) c) VA Q A z m z H×nh 4.3
33. Giả sử có một dầm mặt cắt có trục đối xứng và chịu tác dụng của lực thẳng đứng P (hình 4.3a). Trị số lực P và kích thước của dầm cho trên hình vẽ. Hãy xác định nội lực tại mặt cắt bất kỳ của dầm. Trước hết ta xác định phản lực tại các gối tựa A và B. Vì các ngoại lực bao gồm tải trọng P và các phản lực liên kết VA,VB và HB là hệ lực cân bằng nên ta có: mA = 4VB - 4.3 = 0 VB = 3 kN. mB = -4VA + 4.1 = 0 VA = 1 kN. z = 0 cho thấy phản lực nằm ngang HB = 0. Từ đây ta nhớ rằng phản lực dọc trục (nằm ngang) của dầm chịu uốn luôn bằng không. Để tính nội lực trong dầm ta dùng phương pháp mặt cắt. Tưởng tượng cắt dầm tại mặt cắt 1-1 cách gối A một đoạn z. Ta giữ lại một phần dầm để nghiên cứu. Giả sử ta giữ lại phần dầm bên trái mặt cắt 1-1 (hình 4.3b). Để phần dầm giữ lại được cân bằng thì ta phải đặt vào mặt cắt 1-1 những nội lực. Những nội lực này phân bố trên toàn bộ mặt cắt. Quy luật phân bố của chúng ta sẽ nghiên cứu ở phần sau. Như đã nêu ở trên, khi thu gọn hệ nội lực về trọng tâm mặt cắt ta sẽ được hai thành phần nội lực, đó là lực cắt Q (đơn vị: N) và mômen uốn M (đơn vị: Nm). Phần dầm giữ lại cân bằng, nên nội lực và ngoại lực tạo thành hệ lực cân bằng. Từ điều kiện cân bằng tĩnh học của phần dầm đó ta có: Q = VA = 1 (kN). M = VA z = z (kNm). Như vậy trị số lực cắt Q bằng trị số hình chiếu của ngoại lực VA tác dụng lên phần dầm phía trái mặt cắt 1-1 lên mặt cắt đó, trị số mômen uốn M bằng trị số mômen của ngoại lực VA lấy với trọng trọng tâm mặt cắt 1-1. Như ta đã biết ở chương 1 nội lực trên cùng một mặt cắt ở hai phần dầm (nằm bên phải và bên trái mặt cắt) thì bằng nhau về trị số nhưng ngược chiều nhau. Do đó tại mặt cắt 1-1 trên phần dầm bên phải của mặt cắt cũng có các nội lực Q và M bằng nhau về trị số nhưng ngược chiều với với Q và M ở mặt cắt 1-1 trên phần dầm bên trái. Nếu trên phần dầm đang xét có nhiều ngoại lực tác dụng thì lực cắt Q và mômen uốn M tại mặt cắt nào đó sẽ bằng tổng đại số lực cắt Q, mômen uốn M tại mặt cắt đó do từng ngoại lực tác dụng lên phần dầm đang xét gây ra. Từ phương pháp mặt cắt ta rút ra quy tắc tính Q và M tại mặt cắt bất kỳ của dầm chịu uốn phẳng như sau: - Về trị số: + Lực cắt Q tại một mặt cắt nào đó sẽ bằng tổng đại số hình chiếu của các ngoại lực về một phía của mặt cắt lên mặt cắt đó: Q  Pi qi 1phÝa 1phÝa + Mômen uốn M tại một mặt cắt nào đó sẽ bằng tổng đại số mômen của các ngoại lực ở về một phía của mặt cắt đối với trọng tâm mặt cắt đó: M m m m  Pi  qi  i Q>0 R 1phÝa 1phÝa 1phÝa a, - Về dấu: R Q>0 + Lực cắt Q có dấu dương tại một mặt cắt nào đó, nếu ngoại lực tác dụng lên phần dầm xét giữ có khuynh R Q 0 Ngược lại lực cắt Q có dấu âm (hình 4.4b). c, + Mômen uốn M có dấu dương tại một mặt cắt nào M>0 đó, nếu ngoại lực ở phần dầm xét giữ khuynh hướng làm M 0 M>0 e, M>0 Q>0 H×nh 4.5
34. Tổng hợp các trường hợp trên hình 4.5a,b,c,d ta được trường hợp nội lực mang dấu dương trên mặt cắt của dầm chịu uốn ngang phẳng (hình 4.5e). 4.2.3. Vẽ biểu đồ Q và M bằng phương pháp lập biểu thức Thường trên những mặt cắt khác nhau của dầm lực cắt Q và mômen uốn M có trị số và dấu khác nhau. Điều đó có nghĩa là M và Q biến đổi theo vị trí mặt cắt trên trục dầm. Gọi z là hoành độ của mặt cắt thì M và Q là những hàm số biến thiên theo z, ký hiệu Qz, Mz. Đồ thị biểu diễn sự biến thiên của Q và M dọc theo trục của dầm được gọi là biểu đồ nội lực Q, M. Vẽ biểu đồ nội lực Q, M là một bước quan trọng trong qúa trình tính toán dầm chịu uốn phẳng vì qua biểu đồ nội lực ta dễ dàng xác định được các vị trí có trị số lực cắt lớn nhất Qmax và mômen uốn lớn nhất Mmax là những mặt cắt nguy hiểm nhất. Để vẽ biểu đồ nội lực Q và M ta tiến hành các bước sau đây: a) Xác định phản lực. b) Chia dầm ra làm nhiều đoạn: tại mỗi đoạn phải đảm bảo nội lực không thay đổi đột ngột. Muốn vậy ta phải dựa vào những mặt cắt có đặt lực hay mômen tập trung hoặc có sự thay đổi đột ngột của lực phân bố để phân đoạn. Sau đó, bằng phương pháp mặt cắt lập biểu thức nội lực Q và M cho một mặt cắt bất kỳ trong từng đoạn . c) Vẽ biểu đồ Q và M: Đặt trục hoành (còn gọi là trục chuẩn) song song với trục dầm. Trên trục chuẩn dựng những tung độ có độ lớn biểu thị giá trị của Q hoặc M theo tỷ lệ xích nhất định. Dùng các biểu thức Q và M đã lập ở trên để vẽ biểu đồ của chúng. Ta qui ước: - Các tung độ dương của biểu đồ Q đặt phía trên trục chuẩn, tung độ âm đặt phía dưới trục chuẩn. - Tung độ dương của biểu đồ M đạt phía dưới trục chuẩn còn tung độ âm đặt phía trên trục chuẩn. Như vậy cũng có nghĩa là tung độ của biểu đồ M luôn đặt về phía thớ bị giãn của dầm. Sau đây ta sẽ nghiên cứu một vài ví dụ về vẽ biểu đồ Q, M của các dạng dầm cơ bản chịu tải trọng tập trung, mômen tập trung, chịu lực phân bố. - Ví dụ 4.1: Vẽ biểu đồ lực cắt Q và mômen uốn M cho dầm tựa trên hai gối bản lề A và B chịu tải trọng P như hình 4.6a. - Bài giải: a) Xác định phản lực: P V B VA 1 2 Ngoại lực tác dụng gồm tải trọng P đã biết cùng các a) HB A phản lực VA,VB chưa biết và thành phần nằm ngang 1 C 2 B HB = 0, các phản lực giả thiết có chiều hướng lên như a b hình vẽ (hình 4.6a). Từ điều kiện cân bằng tĩnh học y y của dầm ta có: b) Pa VA Q1 Q2 V B mA = VBl - Pa = 0 VB A z z l M1 M2 B Pb z1 z2 mB = -VAl + Pb = 0 VA l Q b) Phân đoạn và thiết lập biểu thức nội lực Q và M : Pb/l + Căn cứ vào ngoại lực tác dụng, ta phân dầm làm hai c) - Pa/l đoạn AC và BC (C là điểm đặt của lực P): - Biểu thức nội lực trong đoạn AC: Để lập biểu thức Q, M tại mặt cắt bất kỳ trong đoạn AC, ta cắt dầm bằng mặt cắt 1-1 cách gối A một đoạn d) Pab/l M z1 (hình 4.6b), xét phần dầm bên trái mặt cắt (0 z1 a): H×nh 4.6
35. Pb + Lực cắt Q: Q V (1) 1 A l Q1 có dấu dương vì ngoại lực VA làm cho dầm bền trái mặt cắt quay cùng chiều kim đồng hồ quanh trọng tâm mặt cắt đang xét. + Mômen uốn tại mặt cắt 1-1: Pb M V .z z (2) 1 A 1 l 1 M1 có dấu dương vì ngoại lực VA làm cho thớ dưới của dầm bị giãn. Khi z1 > a tức là mặt cắt đã vượt qua điểm C lúc này ngoại lực trên mặt cắt không chỉ có VA mà còn có lực P, do đó biểu thức (1) và (2) không dùng được nữa và tại điểm C nội lực trong dầm thay đổi đột ngột. Chính vì vậy mà ta phải chia dầm ra làm hai đoạn và điểm C là ranh giới giữa hai đoạn. - Biểu thức nội lực trong đoạn CB: Để tính nội lực tại mặt cắt bất kỳ 2-2 cách gối B một đoạn z2 (0 z2 b). Xét phần dầm bên phải mặt cắt (hình 4.7b), ta tìm được: Pa + Lực cắt Q tại mặt cắt 2-2: Q2 = -VB = (3) l Lực cắt Q2 có dấu âm vì ngoại lực VB làm cho phần dầm đang xét quay ngược chiều kim đồng hồ. Pa + Mômen uốn tại mặt cắt 2-2: M2 = VB.z2 = z (4) l 2 M2 cũng có dấu dương. c) Vẽ biểu đồ Q và M: -Trong đoạn AC: Khi mặt cắt 1-1 thay đổi từ vị trí A đến C nghĩa là 0 z1 a thì: theo (1) lực cắt Q1 là hằng số, do đó biểu đồ Q1 là đường thẳng song song với trục chuẩn (trục z) có tung độ bằng tung độ này đặt phía trên trục chuẩn vì Q1 > 0 (hình 4.6c). Theo (2) mômen uốn M1 là hàm bậc nhất của z1, do đó đường biểu diễn là đường thẳng xiên, được xác định bằng 2 điểm với: z1 = 0 (ứng với điểm A) M = 0. a b z1 = a (ứng với điểm C) M P . l Và tung độ của điểm M đặt phía dưới trục chuẩn (hình 4.7d). - Trong đoạn CB: Theo (3) lực cắt Q(z2) là hằng số nên đường biểu diễn là đường thẳng song song với trục chuẩn. Các tung độ của biểu đồ đặt phía dưới trục chuẩn vì Q2 a). max l + Mômen uốn lớn nhất taị mặt cắt C có trị số:
36. ab M P max l * Chú ý: 1. Tại mặt cắt có lực tập trung VA,VB và P biểu đồ Q có bước nhảy, hướng của bước nhảy cùng chiều hướng lực tập trung nếu xét từ trái sang và ngược lại. Trị số tuyệt đối của các bước nhảy này bằng trị số của các lực VA,VB, P và tại đó biểu đồ M gãy khúc. 2. Nếu lực tập trung đặt tại giữa dầm (a =b= l/2) thì lực cắt lớn nhất: P Qmax = 2 Và mômen lớn nhất tại giữa dầm (z = l/2) là : l Mmax = P 4 - Thí dụ 4.2: Vẽ biểu đồ lực cắt Q và mômen uốn M cho dầm chịu tải trọng phân bố đều với cường độ phân bố q như hình 4.7a. - Bài giải: a) Xác định phản lực: VA 1 R q V B Ta xác định phản lực tại gối A và B của a) A dầm, phản lực tại gối A là VA, phản lực tại gối B là VB. B z 1 Hợp lực của tải trọng phân bố đều: R = ql đặt tại chính l giữa dầm. Viết các phương trình cân bằng tĩnh học cho dầm ta có: ql/2 + Q l ql CD mA VBl ql 0 VB b) -  2 2 ql/2 l ql mB VAl ql 0 VA E I  2 2 c) ql F H ql 2/8 G M (ta dễ dàng nhận thấy phản lực VA = VB = vì dầm 2 H×nh 4.7 chịu tải trọng đối xứng). b) Phân đoạn và thiết lập biểu thức Q và M: Ta thấy trong suốt chiều dài dầm, từ A đến B ngoại lực không thay đổi đột ngột do đó dầm chỉ có một đoạn. Để xác định nội lực cho dầm ta cắt dầm tại mặt cắt 1-1 cách gối A một đoạn z, phần dầm bên trái mặt cắt chịu tác dụng của các ngoại lực là phản lực VA và lực phân bố đều trên chiều dài z có hợp lực là qz. Do đó, ta có: ql l Q(z) = VA - qz = qz q( z) 2 2 z ql qz2 M(z) = VAz - q z z 2 2 2 c) Vẽ biểu đồ nội lực Q và M: - Lực cắt Q là hàm bậc nhất theo z nên đường biểu diễn là đường thẳng (hình 4.7b) được xác định bởi 2 điểm: ql ql Tại z = 0 (điểm C): Q = . Tại z = l (điểm D): Q = . 2 2 - Mômen uốn M là hàm bậc hai theo z nên biểu đồ M là đường Parabol bậc 2 (hình 4.7c). Để vẽ biểu đồ cần xác định một số điểm sau: l 3ql 2 Tại z = 0 (điểm E): M = 0; Tại z = (điểm F): M 4 32 l ql2 3 3ql 2 Tại z = (điểm H): M ; Tại z = .l (điểm G): M 2 8 4 32 Tại z = l (điểm I): M = 0.
37. * Căn cứ vào biểu đồ Q và M. Ta nhận thấy: l - Tại mặt cắt chính giữa dầm (z = ) ta có lực cắt Q = 0 và mômen đạt trị số lớn nhất : 2 ql 2 Mmax = 8 ql - Mặt cắt tại gối A và B lực cắt đạt trị số lớn nhất: Q . max 2 - Thí dụ 4.3: Vẽ biểu đồ lực cắt và mômen uốn cho dầm chịu lực tác dụng của mômen tập trung như hình vẽ (hình 4.8a). - Bài giải: a) Xác định phản lực: Để xác định phản lực V , V tại gối A và m V B A B a) VA 1 2 B ta dựa vào các phương trình cân bằng tĩnh học sau: A m 1 C 2 B mA = - VBl + m = 0 VB = . a b l l m b) mB = - VAl + m = 0 VA = . l m/l b) Phân đoạn và viết biểu thức nội lực cho các + đoạn: Q -Ta chia dầm làm hai đoạn AC và CB (điểm C là M mb c) l ranh giới giữa hai đoạn) vì tại C có mômen tập trung: Hình 4.9ma + Biểu thức nội lực Q, M cho đoạn AC: l Cắt dầm tại mặt cắt 1-1 cách gối A một đoạn z1, H×nh 4.8 xét phần dầm bên trái mặt cắt ta có: m m z1 Q(z1) = VA = ; M(z1) =VAxz1 = . l l Mặt cắt 1-1 thay đổi từ A đến C, hay là hoành độ z1 biến thiên: 0 z1 a. + Biểu thức nội lực Q, M cho đoạn CB: cắt dầm tại mặt cắt 2-2 cách gối B một khoảng z2 (hình 4.8a), xét dầm bên phải mặt cắt ta có: m m z Q(z ) = V = ; M(z ) = -V xz = - 2 2 B l 2 B 2 l Hoành độ z2 của mặt cắt di chuyển từ B đến C nghĩa là 0 z2 b. c) Vẽ biểu đồ nội lực: Từ các biểu thức nội lực của hai đoạn ta thấy: trong hai đoạn AC và CB, lực cắt Q là hằng số, biểu đồ là đường thẳng song song với trục chuẩn (hình 4.9b) với tung độ bằng m . Biểu đồ mômen trong từng đoạn là hàm bậc nhất theo z. Biểu đồ M là đường xiên cụ l thể là: Khi z1 = 0 (tại điểm A): M = 0. ma Khi z = a (tại bên trái điểm C): M = . 1 l Khi z2 = 0 (tại điểm B): M = 0. mb Khi z = b (tại bên trái điểm C): M = - . 2 l Biểu đồ được vẽ trên hình 4.8c. Nhìn vào biểu đồ Q, M ta thấy: m + Lực cắt lớn nhất: Q = . max l ma +Trị số mômen uốn lớn nhất: M nếu a > b. max l
38. * Chú ý: Ở mặt cắt có mômen tập trung biểu đồ mômen có bước nhảy. Nếu xét từ trái qua phải gặp mômen quay thuận chiều kim đồng hồ thì bước nhảy đi hướng xuống và ngược lại. Nếu xét từ phải qua trái thì ngược lại. Trị số tuyệt đối của bước nhảy đúng bằng trị số mômen tập trung. Nhưng tại mặt cắt có mômen tập trung biểu đồ lực cắt không có gì thay đổi. - Ví dụ 4.4: Vẽ biểu đồ nội lực Q, M cho dầm chịu tác dụng của lực phân bố như hình vẽ (hình 4.9a). - Bài giải: a) Xác định phản lực: 2l/3 l/3 Để xác định phản lực ta thay thế lực 1 R q ql a) A phân bố tam giác bằng hợp lực R = đặt tại trọng 1 B 2 l tâm C của tam giác. Từ phương trình cân bằng, ta có: VA VB ql 2l ql y m = V l 0 . qz Qz A B VB 2 3 3 b) A z ql l ql Mz mB = - V l 0 . z A VA 2 3 6 VA b) Phân đoạn và lập biểu thức nội lực Q, M: Q Ở đây dầm chỉ có một đoạn, để tìm nội lực tại ql/6 + mặt cắt bất kỳ ta cắt dầm tại mặt cắt cách A một c) 3l/3 - ql/3 đoạn z. Phần dầm bên trái mặt cắt chịu tác dụng của các ngoại lực là phản lực VA và hợp lực của lực phân bố trong đoạn z có trị số bằng diện tích tam giác All (hình 4.10b) đi qua trọng tâm tam giác đó. Nội lực tại d) 2 mặt cắt 1-1 là: 0.0641ql M z H×nh 4.9 Q(z) = V q và M(z) = A z 2 z z V z q A z 2 3 Cường độ của lực phân bố q(z), biến thiên bậc nhất theo z ta có thể tính q(z) dựa vào tam q z qz giác đồng dạng: z q q l z l Thay trị số q(z) vào biểu thức Q và M ta được: ql qz 2  Q z 6 2l  (0 z l) ql q M z z 3 z 6 6l  c) Vẽ biểu đồ Q và M: Từ biểu đồ nội lực trên ta thấy biểu đồ Q là hàm bậc 2 và biểu đồ M là hàm bậc 3 theo z. Để vẽ ta dựa vào một số điểm: ql Khi z = 0 (tại A) thì: Q = ; M = 0. 6 l ql Khi z = thì: Q ; M = 0,025ql2 2 24 3 Khi z = l thì: Q = 0; M = 0,0641ql2 3 ql Khi z =1 thì: Q ; M = 0. 3
39. Biểu đồ Q và M được vẽ trên hình 4.9c,d. 3 Hoành độ z = l ứng với mặt cắt Q = 0 và mômen uốn M đạt cực đại. 3 Hoành độ được xác định như sau: dM ql qz 2 3 0 z = l có Q = 0. dz 6 2l 3 2 Như vậy mômen uốn lớn nhất: Mmax = M l 3 0,0641ql . (z ) 3 3 Tại mặt cắt z = l có Q = 0 3 l 2 Tại mặt cắt z = (giữa dầm) mômen uốn: M l 0,0625ql (z ) 2 2 Trị số mômen uốn này chỉ kém trị số cực đại là 2,4%. Do đó để tiện cho việc tính toán, ta có thể coi mặt cắt giữa dầm có giá trị mômen lớn nhất và bằng 0,0625q/l2. - Thí dụ 4.5: Vẽ biểu đồ lực cắt Q và mômen uốn M của dầm côngxon chịu tải trọng phân bố đều dọc theo trục dầm (hình 4.10a). - Bài giải: Dùng mặt cắt 1-1 cách mút tự do một đoạn z (hình 4.10a) xét phần dầm bên trái mặt cắt, nội lực trên mặt cắt là: Q(z) = -qz; z qz 2 1 q M(z) = qz với ( 0 z l ). 2 2 a) Nhìn vào biểu thức nội lực ta thấy: lực cắt Q là hàm z 1 l bậc nhất theo z còn mômen uốn M là hàm bậc 2 theo z. Ta đi tính trị số Q và M tại các mặt cắt sau: b) - ql Khi z = 0 Q = 0; M = 0. Q l ql ql 2 Khi z = Q ; M . 2 2 8 ql2 2 M Khi z = l Q = - ql ; M = - ql /2 . c) 2 Biểu đồ Q và M được vẽ trên hình 4.10b,c. Tại mặt cắt ngàm có nội lực lớn nhất: Q max ql ; H×nh 4.10 ql 2 M . max 2 Từ bài toán này rút ra nhận xét: Khi vẽ biểu đồ Q và M của dầm côngxon ta không cần xác định phản lực mà xét từ phía đầu tự do vào. 4.3. Định lý Giurapxki và ứng dụng của nó Trong một dầm chịu uốn, giữa lực cắt Q, mômen uốn M và cường độ tải trọng phân bố q có một mối liên hệ toán học. Ta sẽ nghiên cứu mối liên hệ đó: 4.3.1 Định lý 1 2 q(z) 1 P2 Cho một dầm đặt trên hai gối A và B, chịu tải P trọng bất kỳ như hình 4.11a. a) A B Ta qui ước cường độ tải trọng phân bố q(z) sẽ có 1 2 z dz dấu dương nếu nó hướng từ dưới lên trên và có dấu âm trong trường hợp ngược lại. Trên hình 4.11a giả y thiết q(z) hướng lên. Trong đoạn dầm chịu lực phân q(z) bố, xét hai mặt cắt bất kỳ 1-1 và 2-2 cách gối A một MM+dM z b) O Q dz Q+dQ H×nh 4.11
40. đoạn là z và (z + dz). Ta tách đoạn dz ra khỏi dầm (hình 4.11b). Trên mặt cắt 1-1 có nội lực là Q, M; trên mặt cắt 2-2 có nội lực là Q + dQ và M + dM. Vì đoạn dầm dz rất ngắn ta có thể xem q(z) phân bố đều trên dz và có hợp lực q(z)dz Gọi y là trục thẳng đứng, viết phương trình cân bằng cho đoạn thanh này, ta được: y = Q - (Q + dQ) + q(z)dz = 0 dz dz m M (M dM) Q (Q dQ) 0  0 2 2 dQ Từ phương trình thứ nhất ta rút ra được: q (4.1) dz (z) dz Từ phương trình thứ hai, sau khi bỏ qua lượng VCB bậc hai: dQ , ta được: 2 dM Q (4.2) dz dM 2 Từ (4.1) và (4.2) ta suy ra được: q(z) (4.3) dz 2 Các công thức (4.1), (4.2) và (4.3) có một ý nghĩa rất quan trọng, đó cũng là các công thức biểu thị nội dung định lý Giurapxki. Định lý Giurapxki phát biểu như sau: - Đạo hàm cấp một đối với z của lực cắt Q tại một mặt cắt nào đó bằng cường độ của dQ tải trọng phân bố: q dz (z) - Đạo hàm cấp một đối với z của mômen uốn M tại một mặt cắt nào đó bằng lực cắt Q dM tại mặt cắt đó: Q dz - Đạo hàm cấp hai đối với z của mômen uốn M tại một mặt cắt nào đó bằng cường độ dM 2 tải trọng phân bố q(z) tại mặt cắt đó: q(z) dz 2 4.3.2. Ứng dụng của định lý Các liên hệ nêu trên giữ một vai trò quan trọng trong việc vẽ và kiểm tra các biểu đồ Q và M. Thực vậy, dựa vào các liên hệ trên ta có thể phát biểu một số tính chất quan trọng sau: dQ a) Nếu trên một đoạn dầm không có tải trọng phân bố [q(z) = 0] nghĩa là 0 ; dz dM2 0 thì lực cắt Q sẽ là một hằng số và môn men uốn M sẽ là một hàm bậc nhất trong dz2 đoạn đó. Do đó biểu đồ Q là đường thẳng song song với trục chuẩn và biểu đồ mômen sẽ là đường thẳng xiên so với trục chuẩn. Ví dụ như biểu đồ ở (hình 4.6c,d). Trong trường hợp đăc biệt, nếu Q = 0 thì M là hằng số và biểu đồ M là đường thẳng song song với trục chuẩn. b) Nếu trên đoạn dầm có lực phân bố đều [q(z) = const], thì trong đoạn đó, lực cắt sẽ là hàm bậc nhất, còn mômen uốn M sẽ là hàm bậc hai. Do đó, biểu đồ Q là đường thẳng xiên, biểu đồ M là một Parabol bậc hai. Ví dụ như biểu đồ ở (hình 4.7b,c). Trong trường hợp này, tại mặt cắt có Q = 0 thì M sẽ qua cực trị. Nếu Q đổi dấu từ dương sang âm, M sẽ qua cực đại và nếu Q đổi dấu từ âm sang dương, M sẽ qua cực tiểu. c) Nếu trên đoạn dầm có lực phân bố theo đường bậc nhất, thì lực cắt Q là hàm bậc hai, mômen uốn M là hàm bậc ba (hình 4.9). Tại mặt cắt có q =0 thì Q qua cực trị và M qua điểm uốn. Tại mặt cắt có Q = 0 thì M qua cực trị.
41. 4.4. Vẽ biểu đồ nội lực Q và M bằng phương pháp nhận xét và phương pháp cộng tác dụng 4.4.1 Vẽ biểu đồ Q và M bằng phương pháp nhận xét Khi vẽ biểu đồ nội lực, người ta làm theo các bước đã nói trong phần 4.2. Tức là sau khi xác định phản lực, lập biểu thức Q(z), M(z) và căn cứ vào đó để vẽ biểu đồ. Tuy nhiên, có thể dựa vào các nhận xét rút ra ở các ví dụ trong 4.2 và dựa vào các tính chất đã nói ở trong 4.3 (định lý Giurapxki) để tìm ra phương pháp vẽ biểu đồ Q, M nhanh nhất. Đó là phương pháp vẽ biểu đồ Q, M theo những điểm đặc biệt (còn gọi là phương pháp vẽ nhanh). Sau đây, ta sẽ trình bày cụ thể phương pháp đó. Muốn vẽ biểu đồ Q, M theo những điểm đặc biệt, ta cần theo các quy tắc sau đây: vẽ biểu đồ từ nút trái sang nút phải của dầm, đường biểu diễn bao giờ cũng xuất phát từ trục chuẩn (trục hoành) và cuối cùng cũng trở về trục chuẩn. 1. Khi vẽ biểu đồ Q: - Tại mặt cắt có lực tập trung thì biểu đồ Q có bước nhảy. Trị số tuyệt đối của bước nhảy bằng trị số của lực tập trung, hướng của bước nhảy trùng với hướng của lực tập trung. - Tại mặt cắt có mômen tập trung biểu đồ Q không có gì thay đổi. - Nếu trên đoạn dầm không có lực phân bố (q = 0) thì biểu đồ Q là một đường thẳng song song với trục z (trục chuẩn) trong đoạn đó. - Nếu trên đoạn dầm có lực phân bố đều (q = hằng số) thì biểu đồ Q là một đường thẳng xiên theo hướng tải trọng q trong đoạn đó. Trị số lực cắt Q trong đoạn đó sẽ biến đổi, lượng biến đổi của lực cắt giữa hai mặt cắt bất kỳ bằng hợp lực của tải trọng phân bố trong đoạn dầm giới hạn bởi hai mặt cắt đó. Ví dụ, ở hình 4.12: trong đoạn dầm chịu tải trọng phân bố đều hướng xuống nên biểu đồ Q là đường thẳng xiên hướng xuống (kể từ trái sang phải) lượng biến đổi của lực cắt Q giữa hai mặt cắt cuối và đầu đoạn a là: Q 2 Q1 qa Lượng biến đổi lực cắt trong đoạn b là: 0 Q1 qb Q Do đó: b 1 (4.4) q Hoặc ta có thể tính giá trị lực cắt theo công thức: Qph = Qtr + Fq (*) Trong đó: Qph, Qtr – lực cắt bên phải và bên trái đoạn đang xét. Fq - diện tích tải trọng phân bố trong đoạn đang xét. Dấu của Fq được quy định như sau: Fq > 0 khi lực phân bố hướng lên trên và ngược lại Fq < 0 khi lực phân bố hướng xuống dưới. * Chú ý: Tại vị trí có lực tập trung cần tính Qph và Qtr ở điểm đó. 2. Khi vẽ biểu đồ mômen: q Để vẽ biểu đồ mômen ta tính trị số mômen uốn M tại các a) mặt cắt giới hạn những đoạn dầm mà ta đã phân chia để vẽ biểu đồ nội lực. Riêng vị trí có mômen tập trung thì cần tính a mômen M tại hai mặt cắt bên trái và bên phải vị trí đó. Ngoài b) ra cần có những chú ý sau: Q1 - Tại mặt cắt có lực tập trung biểu đồ mômen M bị gãy Q 2 khúc. b - Tại mặt cắt có mômen tập trung biểu đồ mômen M có c) bước nhảy. Trị số tuyệt đối của bước nhảy bằng trị số của mômen tập trung. Hướng bước nhảy sẽ đi xuống nếu mômen tập trung quay thuận chiều kim đồng hồ và hướng bước nhảy Mmax đi lên trong trường hợp ngược lại. - Trong đoạn dầm không có lực phân bố (q = 0) biểu đồ H×nh 4.12 M là đường thẳng nằm ngang (nếu Q = 0) hoặc đường thẳng xiên (nếu Q 0).
42. - Trong đoạn dầm có lực phân bố đều (q = const) biểu đồ M là một đường Parabol bậc hai. Đường cong này sẽ lồi về phía dưới nếu q hướng xuống dưới và ngược lại. Điểm cực trị của Parabol ứng với điểm mà biểu đồ Q cắt trục hoành, tức là với mặt cắt có Q = 0 (hình 4.12c) và có vị trí xác định bởi biểu thức (4.4). Ở đây, ta có thể nêu ra cách tính trị số mômen M tại các mặt cắt giới hạn các đoạn dầm mà ta đã phân chia theo cách sau: + Trị số mômen uốn M tại một mặt cắt nào đó sẽ bằng tổng diện tích biểu đồ Q ở về một phía của mặt cắt, cộng hoặc trừ mômen tập trung (nếu có): M = FQ ± mo + Nếu lấy diện tích biểu đồ Q ở về phía trái mặt cắt thì dấu của mômen cùng dấu với lực cắt, nếu lấy diện tích biểu đồ Q ở về phải mặt cắt thì dấu của mômen ngược dấu với lực cắt. Cộng với mômen tập trung nếu mômen tập trung quay thuận chiều kim đồng hồ, trừ đi mômen tập trung trong trường hợp ngược lại. Hoặc ta có thể tính giá trị mômen theo công thức: Mph = Mtr + FQ ( ) Trong đó: Mph, Mtr – mômen ở bên phải và bên trái đoạn đang xét. FQ - diện tích biểu đồ lực cắt trong đoạn đang xét. Dấu của FQ được lấy theo dấu biểu đồ lực cắt. * Chú ý: Tại vị trí có mômen tập trung cần tính Mph và Mtr ở điểm đó. Sau đây là ví dụ để làm sáng tỏ các vấn đề đã nêu ở trên. - Ví dụ 4.6: Cho một dầm chịu tác dụng của tải trọng như hình vẽ (4.13a). Vẽ biểu đồ nội 2 lực Q, M theo các điểm đặc biệt. Biết q = 10 kN/m, mo = qa = 40 kNm, khoảng cách AC = 2a, CB = a; với a = 2m. - Giải: a) Xác định phản lực: q m0 Từ điều kiện cân bằng của dầm AB, ta VA V B a) dễ dàng tìm được phản lực VA,VB: A C B 2a 2a a mA = 2qa m 3aV 0 2 0 B A1 2 2 2a qa 20 Q VB = qa 20 kN + E C B 3a b) A 20 2a - mB = 2qa a m 0 3aVA 0 M C1 B1 2a E 2 2 2 2 A C B 4qa m 0 4qa qa VA = qa 20 kN c) 3a 3a 20 40 b) Phân đoạn và vẽ biểu đồ nội lực Q, M cho từng C3 đoạn: H×nh 4.13 Trong trường hợp này ta phân dầm thành hai đoạn AC và CB. Để vẽ biểu đồ Q, M kẻ các trục chuẩn song song với trục thanh z, hạ các đường gióng phân chia ranh giới các đoạn. - Vẽ biểu đồ Q: Ta vẽ từ nút trái sang nút phải của dầm. Ta thấy tại A có lực tập trung là phản lực VA hướng lên trên, nên từ A trên trục chuẩn (trục hoành) ta dựng đoạn AA1 hướng từ dưới lên. Độ lớn AA1 biểu thị lực cắt Q tại mặt cắt A và có giá trị bằng VA = 20 kN. Trong đoạn AC dầm chịu tải trọng phân bố đều hướng xuống nên biểu đồ Q là đường thẳng xiên A1C1 hướng xuống.Vì hợp lực của lực phân bố trong đoạn AC là 10 4 = 40 kN mà tung độ của điểm A1 là 20 kN nên tung độ của C1 là 20 kN. Tại điểm C có mômen tập trung mo nhưng biểu đồ Q không thay đổi vì mômen tập trung không ảnh hưởng tới biểu đồ lực cắt. Trong đoạn CB không có tải trọng phân bố nên biểu đồ Q là đoạn thẳng C1B1 song song với trục chuẩn. Tại B dầm chịu lực tập trung là phản lực VB = 20 kN hướng lên trên
43. nên biểu đồ Q có bước nhảy từ dưới lên trên là đoạn B1B và B1B = 20 kN. Biểu đồ Q trên hình 4.13b. - Vẽ biểu đồ M: + Trong đoạn AC biểu đồ M là Parabol bậc 2 lồi về phía dưới. Ta tính trị số mômen uốn trong đoạn này. Tại mặt cắt A: mA = 0 ta có điểm A với tung độ bằng 0 trên biểu đồ M. Tại mặt cắt E biểu đồ M cực đại vì tại điểm đó có Q = 0. Theo (4.4) ta tính được 20 chiều dài đoạn b: b 2m .Vậy trị số mô men tại E là: 10 1 M 20 2 20 kNm. E 2 Ta lấy diện tích biểu đồ Q bên trái E, lực cắt Q có dấu dương nên mômen ME mang dấu dương trị số ME đúng bằng diện tích tam giác AA1E. Tung độ EE1 = 20 kNm đặt dưới trục chuẩn. Độ lớn EE1 biểu thị mômen ở mặt cắt E. Tại mặt cắt sát bên trái điểm C ta có: tr 1 1 Mc = 20 2 20 2 0 2 2 tr (Mc = diện tích tam giác AA1E = diện tích tam giác EC1C ). Ta có điểm Cz với tung độ bằng 0 trên biểu đồ M. Với 3 điểm đặc biệt A, E1 và C2 ta cũng đủ để vẽ đường Parapol bậc 2 biểu diễn đồ thị M trong đoạn AC. + Trong đoạn CB: tại mặt cắt sát bên phải C có mômen tập trung mo = 40 kNm quay thuận chiều kim đồng hồ, do đó biểu đồ M có bước nhảy từ trên xuống, trị số tuyệt đối của bước nhảy đúng bằng 40 kNm, độ lớn C2C3 biểu thị cho bước nhảy của mo và bằng: ph 1 1 Mc = 20 2 20 2 40 40 kNm 2 2 Tại mặt cắt B có mômen MB = 0. Điểm B ứng với tung độ bằng 0 trên biểu đồ M. Nối C3 với B bằng đường thẳng ta được biểu đồ M trong đoạn CB. Biểu đồ M như trên hình 4.13c. 4.4.2. Vẽ biểu đồ Q, M bằng phương pháp cộng tác dụng Khi dầm chịu tác dụng của nhiều tải trọng, nếu dùng phương pháp như đã nêu ở trên, ta hoàn toàn vẽ được biểu đồ nội lực cho dầm. Nhưng trong trường hợp này, nếu ta dùng phương pháp cộng tác dụng thì việc vẽ biểu đồ sẽ đơn giản hơn. Ta hãy xét một thí dụ sau đây: - Thí dụ 4.7: Vẽ biểu đồ nội lực cho dầm chịu tải trọng như hình 4.15a. - Bài giải: Ta có thể coi tác dụng của lực phân bố và lực tập trung đối với dầm (hình 4.14a) bằng tổng các tác dụng riêng biệt của lực phân bố (hình 4.14b) và lực tập trung (hình 4.14c) đối với dầm đó. - Đối với dầm chịu lực phân bố đều ta đã vẽ biểu đồ nội lực ở thí dụ 4.2 (hình 4.7b, c).
44. - Đối với dầm chịu lực tập trung ta đã vẽ được P=50kN biểu đồ nội lực ở thí dụ 4.1 (hình 4.6c,d). Để có được q=10kN/m tung độ của biểu đồ nội lực (Q hoặc M) của dầm hình a) A B 4.14a ta cộng đại số các tung độ tương ứng của biểu 4m 4m đồ nội lực của dầm hình 4.14b và 4.14c. Đó là nội q dung của phương pháp cộng tác dụng. Do đó, ta cộng b) biểu đồ ở hình 4.7b với biểu đồ ở hình 4.6c, ta được A B biểu đồ lực cắt Q của dầm đã cho (hình 4.14d). Với P biểu đồ mômen uốn M ta cũng làm tương tự như vậy. c) A B Cộng biểu đồ ở hình 4.7c với biểu đồ ở hình 4.6d ta sẽ được biểu đồ mômen uốn M của dầm cho trên ql/2 hình 4.14e. Như vậy lực cắt Q lớn nhất phát sinh tại Q mặt cắt ở hai đầu dầm: P/2 + P q.l d) - ql/2 Q max 2 2 P/2 Và mômen uốn lớn nhất phát sinh tại mặt cắt giữa Pl/4 nhịp: 2 Pl ql e) 2 M ql /8 M max 4 8 H×nh 4.14 - Thí dụ 4.8: Xác định nội lực lớn nhất Mmax, Qmax trong dầm chịu lực phân bố ở hình 4.16a. - Bài giải: Đối với tác dụng của lực phân bố hình thang (hình 4.15a) ta có thể xem bằng tổng tác dụng của lực phân bố đều (hình 4.15b) với lực phân bố tam giác (hình 4.15c). Với mỗi loại dầm đó, ta đã vẽ được biểu đồ nội lực ở thí dụ 4.2 và thí dụ 4.4 - Với dầm chịu lực phân bố đều mặt cắt có lực cắt lớn nhất tại hai đầu dầm: ql 2q QA = QB = q 2 a) A Và mặt cắt có mômen lớn nhất tại giữa nhịp: B 2 l ql q Mmax = 8 b) A - Với dầm chịu lực phân bố tam giác mặt cắt có B lực cắt lớn nhất tại gối B: l ql q QB = c) 3 A B Và mặt cắt có mômen lớn nhất tại giữa nhịp: Mmax l ql 2 H×nh 4.15 16 Do đó dùng phương pháp cộng tác dụng ta thấy với dầm chịu lực phân bố hình thang mặt ql ql 5 cắt có lực cắt lớn nhất tại gối B: Qmax = ql 2 3 6 Và mômen uốn phát sinh tại mặt cắt giữa nhịp: P P V B ql 2 ql 2 3ql 2 a) VA M = A 8 16 16 C C B z a a 4.5. Ứng suất pháp trên mặt cắt ngang của dầm l chịu uốn phẳng b) Qy 4.5.1. Khái niệm về uốn thuần tuý P + - P c) Pa Mx H×nh 4.16
45. Ta nghiên cứu một dầm chịu tải trọng như hình vẽ (hình 4.16a). Sau khi vẽ biểu đồ lực cắt Q(z) và mômen uốn M(z), ta thấy giá trị lực cắt và mômen uốn tại một mặt cắt bất kỳ trong đoạn CD là: Q(z) = 0 M(z) = P a = const. Nếu trong một đoạn dầm lực cắt bằng không và mômen uốn bằng hằng số thì người ta nói đoạn dầm đó chịu uốn thuần tuý. Như vậy: Dầm chịu uốn thuần tuý phẳng khi trên mọi mặt cắt ngang của dầm lực cắt bằng không còn mômen uốn là một hằng số. Vậy đoạn dầm CD chịu uốn thuần tuý. 4.5.2. Ứng suất trong dầm chịu uốn thuần tuý. a) Quan sát biến dạng: Để tiện cho việc quan sát biến dạng ta xét một đoạn thanh thẳng chịu uốn hình chữ nhật nằm giữa hai mặt cắt 1-1 và 2-2 (hình 4.17a). Ở mặt bên của thanh vẽ những đường thẳng song song với trục thanh biểu thị cho những thớ dọc và những đường thẳng vuông góc với trục thanh biểu thị cho các mặt cắt, những đường này tạo thành những lưới ô chữ nhật nhỏ (hình 4.18a). Sau khi thanh bị uốn, ta thấy: - Những đường thẳng đã vẽ vuông P P góc với trục thanh vẫn là đường thẳng và 1 2 vuông góc với trục thanh bị uốn cong. - Những đường thẳng đã kẻ song song với trục thanh trở thành những đường a) A B cong đồng dạng với trục thanh bị uốn 1 2 cong. Từ đó, nếu giả thiết biến dạng bên trong 1 2 thanh tương tự như những biến dạng trên Mx Mx mặt ngoài thì ta đi đến kết luận sau: b) 2 1. Các mặt cắt của dầm trước và 1 sau khi bị uốn đều phẳng và vuông góc với trục dầm. H×nh 4.17 2. Khi dầm bị uốn, do các thớ dọc của thanh thay đổi chiều dài một cách liên tục từ mặt lõm đến mặt lồi của dầm, nên từ những thớ bị co dần đến những thớ bị giãn thế nào cũng qua một lớp thớ có chiều dài không thay đổi, lớp thớ này gọi là lớp trung hoà. Lớp trung hoà phân cách phần kéo vào phần nén của dầm. Giao tuyến của lớp trung hoà với mặt cắt là một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng tải trọng. Giao tuyến đó gọi là đường trung hoà hay trục trung hoà của mặt cắt khi dầm bị uốn mặt cắt của nó sẽ quay quanh trục trung hoà (hình 4.18). 3. Vì các góc vuông của mỗi hình chữ m MÆt c¾t nhật nhỏ kẻ trên mặt bên của dầm vẫn giữ là góc vuông, nên rõ ràng không phát sinh biến dạng trượt trên mặt cắt. Do đó trên mặt cắt của dầm chịu uốn thuần tuý chỉ có ứng suất pháp, không m có ứng suất tiếp. Líp trung hoµ Trôc trung hoµ b) Công thức tính ứng suất pháp tại một điểm bất kỳ trên mặt cắt: H×nh 4.18 Ta xét một phần dầm được giới hạn bởi hai mặt cắt m-m và n-n cách nhau một khoảng dz (hình 4.19a). Theo nhận xét về mặt cắt phẳng thì sau khi dầm chịu uốn thuần tuý các mặt cắt m-m và n-n vẫn phẳng nhưng xoay đi quanh các trục trung hoà tương ứng và hợp với nhau một góc d (hình 4.19b). Xét AB nằm trên lớp trung hoà và thớ IK cách lớp trung hoà một khoảng y. Sau khi dầm bị uốn, thớ trung hoà AB dù bị uốn cong với bán kính vẫn không thay đổi chiều dài:
46. AB = dz = d Còn thớ IK trở thành I 'K ' và có chiều dài bằng I'K ' (ρ y)dθ . Trước khi biến dạng chiều dài thớ IK bằng chiều dài thớ AB (hình 4.19a) nên biến dạng dài tuyệt đối của thớ IK là: ’ ’ (IK) = I K - IK = ( + y)d - d mn (IK) = yd Biến dạng dài tương đối của thớ IK là: AB y Δ(IK) ydθ y a) IK ε mn IK ρdθ ρ dz Theo định luật Húc, ta có:  =  E Trong đó: E là môđuyn đàn hồi khi kéo (hoặc nén) của vật liệu. y E d Nhưng: ε , nên σ y (4.5) ρ ρ b) Công thức (4.5) cho ta thấy ứng suất pháp tỷ lệ thuận với y. Hình 4.20 biểu thị sự phân bố suất pháp trên mặt m n cắt chữ nhật của dầm chịu uốn thuần tuý (với M > 0). A B MM Những điểm trên trục trung hoà có ứng suất  = 0. Tuy I y K nhiên công thức (4.5) mới cho ta thấy sự phân bố ứng m n suất pháp trên mặt cắt, mà chưa tính được trị số  vì H×nh 4.19 chưa biết bán kính cong . Muốn tính được trị số ứng suất pháp  tại một điểm bất kỳ ta cần tìm mối liên hệ giữa  và mômen uốn M. Trên mặt cắt m-m, lấy giao tuyến của mặt phẳng đối xứng của dầm với mặt cắt làm trục y (chiều dương MÆt c¾t hướng từ dưới lên), lấy trục trung hoà làm trục x (vị trí trục này xem như chưa biết) và trục z thẳng góc với mặt phẳng xOy (hình 4.21b). Ta lấy một vi phân diện tích dF xung quanh một điểm bất kỳ có khoảng cách đến hai trục là x và y. Trôc trung hoµ Ta xem ứng suất  phân bố đều trên dF. Hợp lực sinh H×nh 4.20 ra trên dF là dF. Vì dầm chịu uốn thuần tuý (trên mặt cắt chỉ có mômen uốn) nên tổng những phân tố nội lực dF trên toàn bộ mặt cắt phải bằng không. Tức là: σdF 0 (4.6) F E Thay  theo (4.5) ta được: ydF 0 . F ρ E E Vì là hằng số khi lấy tích phân trên toàn bộ mặt cắt F ta có: ydF 0 ρ ρ F Biểu thức ydF là mômen tĩnh Sx của mặt cắt đối với trục trung hoà x, nên đẳng thức có E E dạng: S 0 . Ta thấy: 0 nên Sx = 0. ρ x ρ Điều đó có nghĩa là mômen tĩnh của mặt cắt đối với trục trung hoà x bằng không. Vậy trục trung hoà đi qua trọng tâm của mặt cắt.Vì trục trung hoà x vuông góc với mặt mặt phẳng tải trọng, tức là vuông góc với trục đối xứng y của mặt cắt nên xOy là hệ trục quán tính chính trung tâm của mặt cắt. Mặt khác phân tố nội lực xdF gây mômen uốn đối với trục x là: dMx = dF y.
47. Nên nội lực phân bố trên toàn bộ mặt cắt F m sẽ gây ra: z z Mx = σydF (4.7) F z m y Thay  theo (4.5) ta được: Trôc trung hoµ y E x M y 2dF (4.8) x z F ρ x y M chính là mômen uốn tại mặt cắt đang xét x dF đưa các hằng số ra ngoài dấu tích phân ta có: MÆt ph¼ng ®èi xøng x E M y 2dF (4.9) H×nh 4.21 x ρ F 2 Vì y dF là mômen quán tính Jx của mặt cắt đối với trục trung hoà nên: F E M J (4.10) x ρ x 1 M Do đó: x (4.11) ρ EJ x 1 Tỷ số gọi là độ cong của trục dầm. ρ Từ (4.11) ta thấy độ cong của dầm chịu uốn thuần tuý tỷ lệ thuận với mômen uốn và tỷ lệ nghịch với EJx. Nếu EJx càng lớn thì độ cong càng bé, nên người ta gọi EJx là độ cứng khi uốn của dầm. 1 M Thay giá trị ở (4.11) và (4.5) ta được: σ x y ρ J x Khi dầm chịu uốn, những điểm bất kỳ trên mặt cắt có thể nằm trong miền chịu kéo hoặc trong miền chịu nén, nên công thức tổng quát để xác định ứng suất cho một điểm bất kỳ của dầm chịu uốn thuần tuý là: M σ x y (4.12) J x Trong công thức (4.12): - Mx là trị số tuyệt đối của mômen uốn tác dụng lên mặt cắt đang xét. - Jx là mômen quán tính của mặt cắt đối với trục trung hoà x. - y là khoảng cách từ điểm tính  đến trục trung hoà của mặt cắt. Công thức lấy dấu (+) nếu điểm tính ứng suất nằm trong miền chịu kéo, lấy dấu (-) nếu điểm tính ứng suát nằm trong miền chịu nén. Từ kết quả trên ta có thể kết luận: Ứng suất pháp ở một điểm bất kỳ trên mặt cắt của dầm chịu uốn, tỷ lệ thuận với mômen uốn và khoảng cách từ điểm đến trục trung hoà và tỷ lệ nghịch với mômen quán tính của mặt cắt đối với trục trung hoà. c) Công thức tính ứng suất pháp lớn nhất: Trước hết ta phải vẽ biểu đồ phân bố ứng suất pháp y trên mặt cắt. Theo công thức (4.12) ứng suất pháp chỉ phụ nmax thuộc y mà không phụ thuộc x (mọi điểm của mặt cắt nằm - nmax trên đường thẳng song song với trục trung hoà đều có ứng y x O suất pháp bằng nhau) nên ta có thể vẽ biểu đồ phân bố ứng kmax suất trong mặt phẳng xOy. Thí dụ với dầm mặt cắt chữ T y nếu mômen uốn dương thì biểu đồ  biểu thị trên hình 4.22, + kmax H×nh 4.22