Bài giảng Mạch điện - Chương 6: Phân tích mạch trong miền thời gian

Nội dung text: Bài giảng Mạch điện - Chương 6: Phân tích mạch trong miền thời gian

1. 11/9/2009 Chöông 6: Phaân tích maïch trong mieàn thôøi gian 6.1 Giôùi thieäu Khaùi nieäm veà baøi toaùn xaùc laäp vaø quaù ñoä cuûa  6.1 Giôùi thieäu maïch 6.2 Phöông phaùp tích phaân kinh ñieån Caùc baøi toaùn quaù ñoä thöôøng gaëp  6.3 Phöông phaùp toaùn töû Laplace Caùc phöông phaùp phaân tích quaù ñoä  6.4 Phöông phaùp bieán traïng thaùi 6.5 Haøm truyeàn ñaït . Khaùi nieäm veà baøi toaùn xaùc laäp vaø quaù ñoä cuûa maïch . Baøi toaùn xaùc laäp AC : Baøi toaùn xaùc laäp DC: Baøi toaùn xaùc laäp AC :   U = 12 V. Töø maïch phöùc : 1 106 cxl 2 K j j2 K j C 250.2 2 K + Neân : + + + 12 V 2 F u  j2 K 2 F u _ o cxl _ cxl UVCxl 12 6 2  45 ( ) - 2K j 2 K - Vaø bieåu thöùc xaùc laäp : 12cos(250t) V o ucxl 6 2cos(250 t 45 ) V . Baøi toaùn quaù ñoä : . Caùc baøi toaùn quaù ñoä thöôøng gaëp Baøi toaùn quaù ñoä : 2 K K Baøi toaùn quaù ñoä do 2 K K   Tröôùc khi ñoùng khoùa K: + t=0 + t=0 thoâng soá maïch thay + + u (t) maïch xaùc laäp vaø ta coù : 12 V 2 F c u _ 12 V 2 F cxl _ ñoåi (Baøi toaùn coù - 2 K U = 12 V - 2 K cxl1 khoùa) 2 K + Sau khi ñoùng khoùa vaø maïch + u (t) e(t) 2 F c xaùc laäp : Ucxl2 = 6 V. Baøi toaùn quaù ñoä do _ - 2 K  taùc ñoäng leân maïch e(t) Daïng tín hieäu u (t) khi t > 0 12 V c bieán thieân ñoät ngoät t laø lôøi giaûi cuûa chöông 6 (Baøi toaùn xung). 0 1 ms 1
2. 11/9/2009 . Caùc phöông phaùp phaân tích quaù ñoä 6.2 Phöông phaùp tích phaân kinh ñieån Phöông phaùp tích phaân kinh ñieån 6.2.1 Phöông trình maïch vaø nghieäm phöông trình vi  Phöông phaùp toaùn töû Laplace phaân  6.2.2 Ñieàu kieän ñaàu (Sô kieän) Phöông phaùp bieán traïng thaùi  6.2.3 Phöông trình ñaëc tröng cuûa maïch quaù ñoä Phöông phaùp tích phaân Duhamel vaø haøm  6.2.4 Khaûo saùt quaù ñoä baèng tích phaân kinh ñieån treân Green moät soá maïch ñôn giaûn Phöông phaùp hình aûnh pha 6.2.5 Moät soá ví duï khaùc.  Phöông phaùp soá  6.2.1 Phöông trình maïch vaø nghieäm phöông trình vi phaân . Nghieäm theo tích phaân kinh ñieån Heä phöông trình vi tích phaân vieát theo caùc luaät Nghieäm cuûa phöông trình (1) theo caùch giaûi   Kirchhoff cho maïch (heä phöông trình moâ taû maïch) taïi phöông trình vi phaân coå ñieån coù daïng : moät thôøi ñieåm baát kyø. Ruùt goïn heä phöông trình moâ taû maïch theo moät bieán  y(t) = y (t) + y (t) y(t) naøo ñoù , ta coù phöông trình vi phaân toång quaùt baäc cb td n nhö sau : Trong ñoù : dn y d n 1 y dy y (t) : nghieäm cöôõng böùc (nghieäm xaùc laäp y (t) ) a a a a y f ( t ) (1) . cb xl nn n 1 n 1 1 0 y (t) : nghieäm phöông trình thuaàn nhaát (nghieäm dt dt dt . td töï do). Xaùc ñònh nghieäm xaùc laäp y (t) Xaùc ñònh nghieäm töï do y (t) . xl . td Vôùi veá phaûi cuûa phöông trình vi phaân (1) coù daïng baát Veà maët toaùn hoïc , nghieäm naøy ñöôïc xaùc ñònh töø   kyø, nghieäm naøy thöôøng xaùc ñònh theo phöông phaùp heä phöông trình ñaëc tröng cuûa maïch . Phöông trình ñaëc soá baát ñònh . tröng (PTÑT) xaùc ñònh töø (1) coù daïng : Vôùi taùc ñoäng leân maïch laø tín hieäu DC, AC hay xeáp  choàng cuûa chuùng : ta coù theå aùp duïng caùc phöông phaùp n n 1 (2) giaûi maïch xaùc laäp ñaõ hoïc trong moân hoïc Maïch ñieän I. an p a n 1 p a 1 p a 0 0 Caùc tröôøng hôïp nghieäm cuûa phöông trình ñaëc tröng seõ cho ta bieåu thöùc cuûa nghieäm töï do. Caùc tröôøng hôïp ñoù laø : 2
3. 11/9/2009 . Caùc tröôøng hôïp nghieäm PTÑT 6.2.2 Ñieàu kieän ñaàu (Sô kieän) Nghieäm thöïc , phaân bieät : n Vôùi phöông trình ñaëc tröng baäc n, caùc heä soá K coù theå  y() t K e pi t  i td i xaùc ñònh neáu ta bieát ñöôïc caùc ñieàu kieän ñaàu (sô kieän) : p1,p2 , pn i 1 y(0+) ; y’(0+) ; ; y(n-1)(0+) ø. Nghieäm boäi : p1 boäi r , coøn laïi laø thöïc, ñôn.  Sô kieän coù hai loaïi: n  r 1 p t p t y( t ) ( K K t K t ) e1 K e i Sô kieän ñoäc laäp : u (0+) vaø i (0+) td1 2 r i  c L i r 1 Sô kieän phuï thuoäc : caùc sô kieän coøn laïi. Nghieäm phöùc: p = - j , coøn laïi laø thöïc, ñôn.   1,2  n t pi t ytd( t ) Ke cos( t )  K i e i 3 n t pi t ytd() t e K1 cos( t ) K 2 sin(  t )  K i e i 3 . Xaùc ñònh sô kieän ñoäc laäp : Baøi toaùn . Xaùc ñònh sô kieän ñoäc laäp : Baøi toaùn chænh khoâng chænh Baøi toaùn chænh : duøng luaät lieân tuïc cuûa doøng qua cuoän Xuaát hieän “voøng ñieän dung” hay “taäp caét caûm” : duøng luaät   daây vaø aùp treân tuï , coøn goïi laø luaät ñoùng môû (switching lieân tuïc cuûa töø thoâng (loop) vaø ñieän tích (node) : laws) : uCC(0 ) u (0 ) Lk i Lk(0 )  L k i Lk (0 ) loop loop iLL(0 ) i (0 ) Ck u Ck(0 )  C k u Ck (0 ) Caùc giaù trò taïi t = 0- ñöôïc xaùc ñònh töø vieäc giaûi maïch khi t  node node < 0 : Xuaát hieän hoã caûm vôùi k = 1 , duøng 1 trong hai phöông trình:  uCC(0 ) lim u ( t )  khi : t 0 t 0 L1 iLLLL 1(0) M i 2 (0) L 1 i 1 (0) M i 2 (0) iLL(0 ) lim i ( t )  khi : t 0 t 0 L2 iLLLL 2(0) M i 1 (0) L 2 i 2 (0) M i 1 (0) . Xaùc ñònh sô kieän phuï thuoäc . Quan heä giöõa caùc sô kieän phuï thuoäc Thoâng thöôøng xaùc ñònh töø ba cô sôû :    u(0 ) KVL ( loop ) iC (0 ) KCL ( node ) j() t Sô kieän ñoäc laäp.  Giaù trò taùc ñoäng taïi t = 0+ . ' u (0 )   u(0 ) KVL ( loop )  L L iL (0 ) Heä phöông trình moâ taû maïch taïi t = 0+ .  L u (0 ) i (0 ) Quan heä caùc sô kieän phuï thuoäc vaø ñoäc laäp.  R  ' C  iR (0 ) KCL ( node )  uC (0 ) Sô ñoà töông ñöông maïch taïi t = 0+ duøng ñeå tính R C  Caùc sô kieän ñaïo haøm sô kieän.  u(0 ) KVL ( loop )  Ri (0 )  RR coøn laïi chuû yeáu ñaïo haøm caùc pt KCL vaø KVL.  ie() t (0 ) KCL ( node ) 3
4. 11/9/2009 . Baøi toaùn xaùc ñònh sô kieän 6.2.3 Phöông trình ñaëc tröng maïch 1. Döïa vaøo ñieàu kieän laøm vieäc cuûa maïch ôû t pL ; M -> pM ; C -> 1/pC duøng cho aùp hay doøng ñoù.  Neáu PTÑT coù baäc baèng baäc quaù ñoä maïch : duøng Do taùc ñoäng cuûa sô ñoà ñaïi soá laø 0, nhöng nghieäm töï   ñöôïc cho taát caû caùc tín hieäu trong maïch . do phaûi khaùc khoâng , neân ñoøi hoûi: Khoâng duøng cho caùc maïch coù khôùp noái vaø khoâng Z (p) cuûa moät nhaùnh baèng 0 : ñoái vôùi doøng ñieän.   v töông hoã (do khoâng thoûa maõn nguyeân lyù laäp luaän Y (p) giöõa hai nuùt baèng 0 : ñoái vôùi ñieän aùp.  v cuûa phöông phaùp naøy) . Zml(p) hay Yn(p) baèng 0 : ñoái vôùi caùc doøng maéc löôùi hay  Khoâng duøng cho caùc tín hieäu : doøng qua daây daãn  theá nuùt. hoaëc aùp treân cöûa. Ñaây chính laø phöông trình ñaëc tröng. 6.2.4 Khaûo saùt quaù ñoä baèng tích phaân kinh ñieån treân moät soá maïch ñôn giaûn . Maïch quaù ñoä caáp I – RC (tt) Nghieäm töï do : Ñaïi soá hoùa sô ñoà , tìm  R 1. Maïch quaù ñoä caáp I - RC Yv(p), ta coù PTÑT : Ñoùng nguoàn aùp DC , giaù trò E , taïi t K R pC + 1/R = 0 -> p = -1/RC Y (p) = 0 , vaøo tuï ñieän C thoâng qua ñieän (-t/RC) v t=0 uCtd (t) = K1e 1/pC iC(t) + trôû R. Tìm ñieän aùp treân tuï uC(t) vaø (-t/RC) uC(t) = E + K1e u (t) doøng qua tuï i (t) khi t > 0 ? + C C uC(t) E C Sô kieän : u (0+) = u (0-) = 0 Giaûi _  C C E - Tìm K : u (0+) = E + K = 0 -> K = -E t Khi t 0 : uC(t) = E - Ee  E/R Nghieäm xaùc laäp : t  (-t/RC) uCxl = E iC(t) = C.duC/dt = (E/R)e 0 4
5. 11/9/2009 . Nhaän xeùt treân maïch caáp I - RC 2. Maïch quaù ñoä caáp I - RL K R Haèng soá thôøi gian (thôøi haèng) uC(t) Ñoùng nguoàn aùp DC , giaù trò E    0 ? p1 t p 2 t uC () t E K1 e K 2 e Giaûi - Sô kieän : Khi t 0 : C  CC Nghieäm xaùc laäp : Tìm K , K : u (0+) = E + K + K = 0   1 2 C 1 2 u ’(0+) = K p + K p = 0 uCxl = E C 1 1 2 2 . Daïng tín hieäu ôû maïch quaù ñoä caáp II . Nhaän xeùt treân maïch caáp II - RLC Ta giaûi ra : Ñieän trôû tôùi haïn Rth ( ):    Ep Ep KK 2; 1 L 1 2 R 2 2 ' 2 ' th C Nghieäm baøi toaùn quaù ñoä :  Caùc cheá ñoä cuûa maïch caáp II  E p t p t Cheá ñoä khoâng dao ñoäng (R > 1 2  uC () t E p2 e p 1 e 2 ' Rth) du E Cheá ñoä tôùi haïn (R = R ) i() t CC ep1 t e p 2 t  th C Cheá ñoä dao ñoäng (R < R ) dt 2L '  th 1 p2 t0 ln 2 ' p1 5
6. 11/9/2009 Ño ñieän trôû tôùi haïn R 6.2.5 Moät soá ví duï khaùc . th Ví duï 1: Cho maïch ñieän nhö Duøng maïch nhö hình Maùy phaùt Dao ñoäng   treân hình ,khoùa K ñoùng luùc t beân: soùng kyù 0 ? ñoäng. Giaûi C Taêng daàn daàn VR ñeå coù Khi t 0 : trò ñieän trôû tôùi haïn :  Nghieäm xaùc laäp:  Rth = VR ucxl = 0 . PP TPKÑ : Ví duï 1 (tieáp theo 1) . PP TPKÑ : Ví duï 2 Nghieäm töï do : PTÑT Ví duï 2: Cho maïch ñieän nhö   1/pC + 6 + 4 = 0 , vôùi C = 0,02 F treân hình , khoùa K môû luùc t p = -1/(0,02.10) = -5 (1/s) vaø veõ daïng ñieän aùp uc(t) khi t > -5t uctd = K1e 0 ? -5t uc(t) = ucxl + uctd = K1e Giaûi Sô kieän: Khi t 0 : Xaùc ñònh K :   1 Nghieäm xaùc laäp: K = 30  1 ucxl = 1 (V) -5t uc(t) = 30e (v). . PP TPKÑ : Ví duï 2 (tieáp theo 1) . PP TPKÑ : Ví duï 2 (tieáp theo 2) Nghieäm töï do : PTÑT laø Sô kieän:   p 1 u (0+) = u (0-) = 0 1 0 c c u ’(0+) = i (0+)/C 2p 5 c c = (i (0+) -u (0+)/1) / C p2 5 p 2 p 10 2 0 L c = i (0-)/C = 1/0,5 = 2 (v/s) 2 L p 7 p 12 0 Tìm K , K : N  1 2 ghieäm : p1 = - 3 ; p2 = -4 (1/s) + uc(0 ) = 1 + K1 + K2 = 0 Nghieäm töï do coù daïng : + uc’(0 ) = – 3K1 -4 K2 = 2 u = K e-3t + K e-4t ctd 1 2 K = -2 ; K = 1  1 2 Nghieäm quaù ñoä toaøn phaàn seõ laø : Vaäy : u (t) = 1-2 e-3t + e-4t (V) -3t -4t c uc(t) = 1+ K1 e + K2e 6
7. 11/9/2009 . PP TPKÑ : Ví duï 3 . PP TPKÑ : Ví duï 3 (tieáp theo 1) Cho khoùa K môû luùc t 0 ? + 120 V (0,2p 60) 0,1 p 0,2 p 120 * 0,1p * Giaûi * 0,1 H * _ PTÑT: Khi t 0: 2 4  p 800 p 12.10 0 Nghieäm xaùc laäp : 200t 600 t  i1( t ) 2 K 1 e K 2 e i = i = 2 (A) p1 200 1xl 2xl Vaäy nghieäm: 200t 600 t p2 600 i2( t ) 2 K 3 e K 4 e . PP TPKÑ : Ví duï 3 (tieáp theo 2) . PP TPKÑ : Ví duï 3 (tieáp theo 3) Sô kieän : Tìm K :  + +  i i1(0 ) i2(0 ) + - i1(0 ) = i1(0 ) = 2 A. 60  60  2 KK1 2 2 + - i2(0 ) = i12(0 ) = 0 A. + 120 V * 0,1 H * 200KK1 600 2 400 _ '' 2 KK3 4 0 60i1 0,2 i 1 0,1 i 2 120 0,2 H 0,2 H '' 200KK3 600 4 800 60i2 0,2 i 2 0,1 i 1 120 ' K 1 1 '' i1 (0 ) 400( A / s ) 0,2i1 0,1 i 2 120 60.2 0 K 2 1 200t 600 t ' '' i(0 ) 800( A / s ) i1( t ) 2 e e 0,1i1 0,2 i 2 120 60.0 120 2 K 1 3 200t 600 t i2 ( t ) 2 e e K 4 1 . PP TPKÑ : Ví duï 4 . PP TPKÑ : Ví duï 4 (tieáp theo 1) Cho K1 chuyeån taïi t = 0 vaø 1  K 5  Khi 0,4s > t > 0: 1  K 5   2  2 K2 ñoùng laïi t = 0,4(s) ,xaùc Nghieäm xaùc laäp : i = 2 A t=0,4 s K1 i2(t)  2xl t=0,4 s i2(t) t=0 Nghieäm töï do : i = K e-2,5t ñònh uC1(t) vaø i2(t) khi t > 0 ?  2td 1 Bieát uC1(0,4s) = -5 V vaø : + 0,5 F 2 H 2,5t + 0,5 F 2 H + i2( t ) 2 K 1 e ( A ) + 1 F 1 F _ o u (t) _ Sô kieän : i (0+) = i (0-) = 4 A u (t) e() t 20 2sin( t 45) V C1 + 10 V  2 2 C1 + 10 V e(t) e(t) _ _ Vaäy : -  - Giaûi 2,5t i2 ( t ) 2 2 e ( A ) Khi t 0,4 s: 20 2 45 o 2  I2 4 2  45 uC1xl = 10 V ; i2xl = 2 A. 5 j 2 j 2 i2 (0 ) 4( A ) 7
8. 11/9/2009 . PP TPKÑ : Ví duï 4 (tieáp theo 2) . PP TPKÑ : Ví duï 5 Nghieäm töï do : Maïch RC vaø maïch Tìm ñieän aùp treân tuï u (t) , t > 0 ? 1 K i(t)   C RL . + 1  5  Giaûi + 2,5(t 0,4) e(t) 2 F u (t) i( t ) 2 K e ( A ) Khi t t > 0 :  1 F  5 + - -1 Nghieäm xaùc laäp : i2(0,4 ) = i2(0,4 ) = 2 + 2.e A  t(ms) u = 2,5 V. u (0,4+) = u (0,4-) = -5 V Cxl 0 10 C1 C1 Nghieäm töï do : Maïch RC Vaäy :  -5  1 1 2,5(t 0,4) u = Ke-1000t i2 ( t ) 2 2. e e ( A ) Ctd K1 2. e 1000t (t 0,4 ) uC ( t ) 2,5 Ke ( V ) K 2 15 uC1 ( t ) 10 15 e ( V ) . PP TPKÑ : Ví duï 5 (tieáp theo 1) . PP TPKÑ : Ví duï 5 (tieáp theo 2) Sô kieän : u (0+) = u (0-) = - 2,5 V 1 K i(t) Sô kieän :  C C  + + - Vaäy : uC(10ms ) = uC(10ms ) 2,5 V  + 1000t e(t) 2 F u (t) _ C Vaäy : u( t ) 2,5 5 e ( V )  C 1 K 1000(t 10 ms ) - -10 - u( t ) 2,5 e ( V ) uC(10ms ) = 2,5 - 5e V C Khi t > 10ms : e(t) Doøng i(t) = Cdu /dt :  5  c Nghieäm xaùc laäp :  1000t t(ms) uC ()2,55 t e () V  0 t 10 ms uCxl = 0 . 1000(t 10 ms ) Nghieäm töï do : Maïch RC 0 10 u( t ) 2,5 e ( V )  10 ms t  C u = Ke-1000(t-10 ms) -5 Ctd i( t ) 10 e 1000t ( mA )  0 t 10 ms 1000(t 10 ms ) u()() t Ke V 1000(t 10 ms ) C i( t ) 5 e ( mA )  10 ms t . PP TPKÑ : Ví duï 6 . PP TPKÑ : Ví duï 6 (tieáp theo 1) Tìm u (t) khi t > 0 , bieát Vaäy nghieäm xaùc laäp: I I  C K i 5 K 1 K 5 K 5 1 K o t=0 + o e() t 100 2sin(500 t 45)( V ) uCxl () t 100sin(500 t 90 )( V ) + + Nghieäm töï do : Ñaïi soá hoùa sô ñoà : Giaûi e(t) 4i 1 F u (t)  _ Zv(p) C I U 4I 6 106/p Khi t 0 : + U 5.10  + . . . Zv ( p ) 10 K Nghieäm xaùc laäp : Giaûi maïch phöùc E 4I U I p _ C  -j2 K    500t o - u() t Ke 5.K I 5(1 I K j 2) K E 1002  45 p 500(1/ s ) Ctd  o   o 500 t 100 2 45 o I 0, 01 UC 5 I ( j 2 K ) 100  90 uC ( t ) 100sin(500 t 90 ) Ke ( V ) 10K (1 j ) 8
9. 11/9/2009 . PP TPKÑ : Ví duï 6 (tieáp theo 2) . PP TPKÑ : Ví duï 7 Sô kieän : u (0+) = u (0-) = 0 Tìm doøng i (t) khi t > 0 , bieát :  C C  1 500  t=0 Xaùc ñònh K : K = 100 4 i (t) 40 mH i (t)  e() t 200sin(10 t ) V 1 2 o Giaûi + e(t) 10 mH 1 F u() t 100sin(500 t 90 ) _ C Khi t 0 : 500  Sô kieän : Baøi toaùn khoâng chænh do   . coù taäp caét caûm. Nghieäm xaùc laäp : Töø maïch phöùc I j400   1 L i(0) L i (0) L i (0) L i (0)  1 1 2 2 1 1 2 2 200 2 o + 200 0o I1xl  45 j100  Vaø : 500 j 500 5 _ 500  L i1(0 ) i 2 (0 ) 1 500  i (0+) 0,04 H i (0+) 2 4 o L2 i 2 (0 ) 1 2 i1xl () t sin(10 t 45) V i1 (0 ) 5 0,04p LL + Nghieäm töï do : maïch RL 1 2 +  e(0 ) 0,01 H L _ 2 104 t 0,01p 0, 01( 2) i1td () t Ke 0, 4(A ) Vaäy : 0,05 2 4  4o 10 t 2 4o 104 t i1 () t sin(10 t 45) Ke i() t sin(10 t 45) 0,2 e () A 5 1 5 . PP TPKÑ : Ví duï 8 . PP TPKÑ : Ví duï 8 (tieáp theo 1) K I. Tìm i1(t) bieát k = 1 vaø : 100  t=0 Khi t > 0ø : 100   k=1  1 Nghieäm xaùc laäp: Maïch phöùc j141  3 o i1(t) t=0  e() t 50sin(10 t 30 )( V ) L * L 1 2 Duøng coâng thöùc : o * + 50  50 30 Giaûi + e(t) 0,1 H 0,2 H 2 j200  50  _ ()j M j100  . i (t) _ Khi t < 0 : Maïch phöùc 2 Z R j L I  * V 1 1 1 R j L 2 o . 2 2 *  100  I 50 30 1 o 1 I1  15 j141  j5000 100 j 500 100 j 100 2 2 ZV 1 100 1 30o * 50 j 200 1 j 4 3 o + 50 j200  i1 () t sin(10 t 15)( A ) j100   o o _ 50 30 50  30 (1 j 4) o 2 2 I1 0,4  27,3 * ZV1 100(1 j 5) i1 (0 ) 0,0915( A ) i() t 0,4sin(103 t 27,3o )( A ) i2 (0 ) 0 1 9
10. 11/9/2009 . PP TPKÑ : Ví duï 8 (tieáp theo 2) . PP TPKÑ : Ví duï 8 (tieáp theo 3) Nghieäm töï do : Ñaïi soá hoùa sñ 100  Sô kieän: Baøi toaùn khoâng 100   pM  k=1 chænh do heä soá hoã caûm k = 1 + i1(0 ) 0,1p 100 pM * L1 * L2 ml '' + Z 0,1p 50  100i L i M i e + e(0 ) 50  1 1 1 2 0,1 H 0,2 H pM0,2 p 50 0,2p _ '' i (0+) 50i L i M i 0 2 PTÑT : * 2 2 2 1 *  LLL 25p 5000 0 1 ''' 1 2 100i1 M i 1 L 2 i 2 M i 2 e p 200(1/ s ) MM M i'' L i 50 i 20 0 t 1 2 2 2 i1td (). t K e L1 Vaø: 100(0)i1 [50 i 2 (0)] e (0) 3o 200 t M i1 () t 0,4sin(10 t 27,3) K . e ( A ) L1 i 1(0) Mi 2 (0) L 1 i 1 (0) Mi 2 (0) . PP TPKÑ : Ví duï 8 (tieáp theo 4) 6.3 Phöông phaùp toaùn töû Laplace 4i1 (0 ) 2 i 2 (0 ) 1 6.3.1 Giôùi thieäu phöông phaùp 6.3.2 Bieán ñoåi Laplace vaø tính chaát i1(0 ) 2 i 2 (0 ) i 1 (0 ) 1 i (0 ) 6.3.3 Daïng toaùn töû ñònh luaät maïch i(0) 1 0,1817() A 1 5 6.3.4 Bieán ñoåi ngöôïc Laplace Vaäy :  6.3.5 Aùp duïng cho baøi toaùn quaù ñoä i1 (0) 0,183 K 0,1817 6.3.6 PP toaùn töû vaø baøi toaùn khoâng chænh K 0,0013 6.3.7 PP toaùn töû cho thaønh phaàn töï do. 3o 2 00 t i1 () t 0,4sin(10 t 27,3) 0,0013. e ( A ) 6.3.1 Giôùi thieäu phöông phaùp 6.3.2 Bieán ñoåi Laplace vaø tính chaát Bieán ñoåi Laplace: Bieán ñoåi ngöôïc Laplace: Nghieäm . . xaùc laäp  j  st 1 Baøi toaùn Heä PTVP st y(t) = y (t) + y (t) F()() s f t e dt f()() t F s e ds quaù ñoä PTVP (1) xl td 0 2 j  j  Nghieäm F(s) = £{f(t)} = aûnh Laplace cuûa f(t) = £-1{F(s)} = haøm goác cuûa F(s) töï do f(t) (Duøng baûng tra goác aûnh &ñònh lyù Toaùn töû Bieán ñoåi tröïc tieáp (Duøng baûng tra goác aûnh) Heavyside ) Laplace u (0-) Sô sô ñoà c i (0-) kieän maïch L Haøm ñôn vò 1(t) : Haøm treã 1(t-t ) : Bieán ñoåi . . 0 ngöôïc Phöông trình AÛnh Laplace cuûa tín y(t) toaùn töû (bieán s) hieäu caàn tìm Y(s) 1khi : t 0 1khi : t t0 Giaûi phöông 1(t ) 1(t t0 ) trình ñaïi soá 0khi : t 0 0khi : t t0 10
11. 11/9/2009 . Caùc haøm cô baûn vaø aûnh Laplace . Baûng tính chaát cuûa bieán ñoåi Laplace Haøm xung Dirac (impulse -st0  1. £{f(t).1(t)} = £{f(t)} 6. £{f(t-t0).1(t-t0)} = F(s).e func.) (t) vaø haøm treã cuûa noù: 0khi : t 0 2. £{f1(t) f2(t)} = F1(s) 7. £{df(t)/dt} = sF(s)- f(0-) ()t F (s) khi: t 0 2 t F() s 0khi : t t 8. £{()}f t dt 0 3. £{k.f(t)} = k.F(s) s ()t t0 0 khi: t t0 Ta coù : -at  d1( t ) 4. £{e f(t)} = F(s+a) 9. limf ( t ) f (0 ) lim[ s . F ( s )]  ()t t 0 s d t dF() s Vaø : £{(t)} = 1 ; £{’(t)} = s 5. £{t.f(t)} = 10. limf ( t ) f ( ) lim[ s . F ( s )] ds t s 0 .Xaùc ñònh aûnh Laplace cuûa caùc haøm .AÛnh Laplace cuûa caùc haøm xung 1. f(t) = 1(t) 5. f(t) = E.1(t-t0) 9. Do f(t) = E[1(t) – 1(t - T)] f(t) = E[1(t) - 1(t - T)] -st F(s) = 1/s F(s) = (E/s).e E 0 E 6. f(t) = Asin( t) F( s ) 1 e sT 2. f(t) = 1(t – t0)  s t 1  10. Bieán ñoåi : 0 T st0 F() s A F() s e s2  2 s 7. f(t) = Asin( t + ) (nguoàn ACõ) EE 3. f(t) = E (nguoàn DC)  ft( ) tt .1() ( tTtTEtT ).1( ) .1( ) f(t) = (Et/T)[1(t) - 1(t - T)] TT E  s F(s) = E/s F( s ) A cos( ) sin( ) s2  2 s 2  2 EE1 t 4. f(t) = E.e-at sT sT 8. f(t) = At + B F( s ) 2 1 e e T s s 0 T F(s) = E/(s+a) F(s) = A/s2 + B/s 6.3.3 Daïng toaùn töû caùc luaät cuûa maïch . Luaät Ohm daïng toaùn töû (tieáp theo) I (s) 1. Luaät Ohm daïng toaùn töû : R R R I (s) I (s) d) Hoã caûm : i1(t) i2(t) 1 2 + U (s) - a) Ñieän trôû: ÔÛmieàn s , giöõ R * * - sM = caûm khaùng hoã caûm toaùn M sL sM sL LiL(0 ) 1 2 nguyeân laø ñieän trôû sL + * * _ töû ( ) _ _ I (s) L1 L2 L  - - L L1i1(0 ) L2i2(0 ) iL(t) + + i (0-)/s b) Ñieän caûm: hai sô ñoà L 1/sL _ _ - - e) Nguoàn : chæ thay theá baèng Mi2(0 ) Mi1(0 ) + + sL = caûm khaùng toaùn töû ( ) -  uC(0 )/s 1/sC aûnh Laplace töông öùng. + _ e(t) E(s) c) Tuï ñieän : Hai sô ñoà C + + _ + _ U (s) sC C f) Caùc phaàn töû khaùc khoâng ñoåi. 1/sC = dung khaùng toaùn töû - + uC(t) - C.uC(0 ) j(t) J(s) - () 11
12. 11/9/2009 . Luaät Ohm daïng toaùn töû (tieáp theo) 2. Luaät Kirchhoff daïng toaùn töû Treân moät nhaùnh baát kyø cuûa sô Luaät K1 :  I(s)  I( s ) 0 ñoà toaùn töû , ta coù :  k + node U(s) = Z(s).I(s) U(s) Z(s) Luaät K2 : Hay:   Uk ( s ) 0 - I(s) = Y(s).I(s) loop a a Vieäc xeùt daáu nhö ñoái vôùi maïch ñieän trôû. Z(s) = trôû khaùng toaùn töû () 0,5s  2 = Z(s) Do caùc luaät Ohm vaø Kirchhoff vieát cho maïch toaùn töû cuõng Y(s) = daãn naïp toaùn töû (S) 1/0,5s  b b töông töï vieát cho maïch phöùc neân ta coù theå aùp duïng caùc phöông phaùp phaân tích maïch xaùc laäp ñaõ hoïc cho sô ñoà Z(s) vaø Y(s) ñeàu tuaân theo caùc  Z(s) = 0,5s+(2/0,5s)/(2+1/0,5s) toaùn töû khi tìm aûnh Laplace baát kyø. pheùp bieán ñoåi töông ñöông nhö = 0,5s+2/(s+1) ñieän trôû vaø ñieän daãn. 6.3.4 Bieán ñoåi ngöôïc Laplace . Bieán ñoåi ngöôïc Laplace (tieáp theo) Ruùt goïn aûnh Laplace Y(s) veà phaân thöùc höõu tæ toái giaûn: 2. PTÑT coù nghieäm boäi : s boäi r . Ta bieán ñoåi :  1 m m 1 B() s b s b s b s b B() sKKK1,1 1,2 1,r Kr 1 Kn Y() s m m 1 1 0 n n 1 Asssss()()()() 2 ss r ss ss A( s ) an s a n 1 s a 1 s a 0 1 1 1r 1 n Phöông trình A(s) = 0 vaãn goïi laø PTÑT. Caùc tröôøng hôïp : Trong ñoù :  1. PTÑT coù nghieäm thöïc , ñôn: s : i = 1 n . 1dr k B ( s ) i  r K1,k r k () s s 1 n ()!()r k ds A s s s1 ; k 1  r si t y( t )  Ki e .1( t ) Khi tìm haøm goác ta duøng coâng thöùc : i 1 Vôùi caùc heä soá : B()() s B s  11 1 r 1 s1 t Ki lim ( s s i ) L  t e.1( t ) s s r i A( s ) A '( s ) (s s1 ) ( r 1)! s si  . Bieán ñoåi ngöôïc Laplace (tieáp theo) 6.3.5 Aùp duïng cho baøi toaùn quaù ñoä 3. PTÑT coù nghieäm phöùc : s = - + j , caùc nghieäm coøn laïi Caùc böôùc aùp duïng cho baøi toaùn quaù ñoä : 1,2  laø thöïc , phaân bieät : Xaùc ñònh u (0-) vaø i (0-) . n  C L B() s s t  s t y( t ) 2 Re 1 e1  K e i Xaây döïng sô ñoà toaùn töû cho maïch taïi t > 0 .Chuù yù xaùc ñònh A'( s )  i  1  i 3 aûnh Laplace cuûa taùc ñoäng vaø cuûa tín hieäu caàn tìm. Löu yù : Caùc heä soá K trong phaàn 2. vaø 3. xaùc ñònh nhö cho Aùp duïng caùc phöông phaùp phaân tích maïch ñeå xaùc ñònh  i  nghieäm thöïc , ñôn trong phaàn 1. . aûnh Laplace Y(s) cuûa tín hieäu caàn tìm. (P2 bñtñ; P2 doøng nhaùnh; P2 theá nuùt; P2 doøng maéc löôùi ) Bieán ñoåi ngöôïc Laplace tìm y(t) töø Y(s).  12
13. 11/9/2009 . Phöông phaùp toaùn töû : Ví duï 1 . Phöông phaùp toaùn töû : Ví duï 2 Khoùa K môû ra taïi t = 0 , Cho maïch ñieän nhö hình beân ,   tìm aùp u(t) khi t > 0 ? khoùa K ñoùng laïi taïi t = 0 , bieát i (0-) = 0 vaø u (0-) = 0 , xaùc ñònh Giaûi L C Khi t 0 ?  C Sô ñoà toaùn töû nhö hình beân. Giaûi  Sô ñoà toaùn töû nhö hình beân. Tìm U(s) baèng theá nuùt.   Aùp duïng phöông phaùp doøng 8 / 3  U() s maéc löôùi : s 0,5 8 4 8 Vaø : 1 6 s I ( s ) 2 0,5 U ( s )  8 t u()() t L 1 U s e 2 s s s 3 . Ví duï 2 (tieáp theo) . Phöông phaùp toaùn töû : Ví duï 3 Maø : 2 Cho maïch nhö hình beân, bieát U( s ) I ( s ) 2  i (0-) = 0 vaø u (0-) = 0 ; xaùc s L C ñònh u(t) taïi t > 0 theo phöông Vaäy: 8(s 2) I() s phaùp toaùn töû Laplace ? s( s2 8 s 16) Giaûi KK1,2 1,1 K3 Sô ñoà toaùn töû nhö hình beân. 2  (s 4) ( s 4) s Aùp duïng phöông phaùp doøng  Bieán ñoåi ngöôïc: maéc löôùi :  K = 4 ; K = -1; K = 1 1,2 1,1 3 4 1 12 -4t i(t) = (-1 + 4t)e + 1 (A) s 2 s I2 ( s ) s s s . Ví duï 3 (tieáp theo) . Phöông phaùp toaùn töû : Ví duï 4 Coù : 12 4s 24 8s  Cho maïch nhö hình beân, xaùc I2() s U() s  s 1 2 s 1 2 ñònh u(t) taïi t > 0 ? Heavyside:  Giaûi KK Khi t < 0 : U() s 1, 2 1,1  2 i (0-) = 1 A vaø u (0-) = 1 V. s 1 s 1 L C Sô ñoà toaùn töû vaø theá nuùt: K 24 8 s ) 16  1, 2 s 1 d(24 8 s ) 1 4 1 K 8 2 1 1,1 s 1 s s ds s 1 Vaäy: u(t) = [(16t + 8)e-t].1(t) V s 1  1 1 2 2 2 13
14. 11/9/2009 . Ví duï 4 (tieáp theo) . Phöông phaùp toaùn töû : Ví duï 5 (2s 1) s 3 2s 1 6 2 s 7 Cho maïch nhö hình beân, xaùc 1 2 U() s  2 (s 2)(2 s 1) 2 s 2 s2 3 s 2 ñònh u(t) taïi t > 0 ? 2 1 (s 2) 2 1 Tìm u(t) : nghieäm phöùc Giaûi  Khi t 0 ? s2 s 2 I() s 2 2 Giaûi 4s 12 Khi t < 0 : I1() s 1 2s 2 s  s 2 i (0-) = 2 A ; i (0-) = 0 . I2 () s 3s 8 s 4 s2 s 2 L1 L2 2 Sô ñoà toaùn töû : nhö hình beân  8 8 8 1 Löu yù : I() s U( s ) 1. I ( s ) 2 3s2 8 s 4 2 3s2 8 s 4 3 2 L i (0+) = 4 (s 2)( s ) 1 L1 3 Mi (0+) = 2 Vaäy : u(t) = 2(e-2/3t – e-2t).1(t) V L1  14
15. 11/9/2009 . Phöông phaùp toaùn töû : Ví duï 7 . Phöông phaùp toaùn töû : Ví duï 8 Cho maïch nhö hình beân, xaùc Cho maïch nhö hình beân, xaùc   ñònh u(t) taïi t > 0 ? ñònh u(t) taïi t > 0 ? Giaûi Giaûi Sô ñoà toaùn töû : nhö hình beân  Sô ñoà toaùn töû : duøng qui ñoåi U(s) = - I(s) . Ztñ ,  Vôùi Ztñ = (2 // 8/s) = 8 / ( s + 4) Zth = 4(2 + 1/s) Maø I(s) = (1/s)/4 , nhö vaäy : 24 4 24 U() s 2 0,5 0,5 4 U() s sZth 4 4 4 s 8 s( s 4) s s 4 s Vaäy : u(t) = 6e-2t .1(t) V. Vaäy u(t) = [ - 0,5 + 0,5e-4t ].1(t) V  6.4 Phöông phaùp bieán traïng thaùi 6.4.1 Giôùi thieäu phöông phaùp Quaù trình ñieän töø treân maïch ñieän taïi moät thôøi ñieåm baát 6.4.1 Giôùi thieäu .  kyø phuï thuoäc vaøo naêng löôïng beân trong maïch , töùc laø 6.4.2 Phöông trình traïng thaùi cuûa maïch . doøng qua cuoän caûm vaø aùp treân tuï ñieän. Hai ñaïi löôïng naøy 6.4.3 Phaân tích quaù ñoä baèng PP bieán traïng thaùi . ñöôïc goïi laø bieán traïng thaùi cuûa maïch. Taát caû caùc ñaïi löôïng doøng aùp khaùc treân maïch ñeàu coù theå 6.4.4 Höôùng aùp duïng .  bieåu dieãn thoâng qua caùc bieán traïng thaùi. Phöông phaùp bieán traïng thaùi döïa treân vieäc xaùc ñònh tröôùc  caùc bieán traïng thaùi . Sau ñoù suy ra caùc ñaïi löôïng khaùc. 6.4.2 Phöông trình traïng thaùi cuûa maïch Giaûi phöông trình traïng thaùi Nghieäm cuûa (1) theo TPKÑ coù daïng : x(t) = x + x Traïng thaùi cuûa maïch taïi moät thôøi ñieåm baát kyø luoân thoûa  tn rieâng  t maõn phöông trình : x’(t) = A*x(t) + B*u(t) (1) x( t ) eAt . x (0) e A t e A B . u ( ) d  Vôùi x(t) laø bieán traïng thaùi vaø u(t) laø taùc ñoäng leân maïch. 0 At At 1 Moät tín hieäu y(t) baát kyø luoân coù theå bieåu dieãn bôûi : x() t e .(0)( x e 1) A B .() u t  Phöông phaùp naøy chuyeån veà tìm eAt : y(t) = C*x(t) + D*u(t) (2)  eAt = [1] + A + A2 + + A(n-1) Heä phöông trình goàm hai phöông trình treân ñöôïc goïi laø heä 0 1 2 (n-1)  1 phöông trình traïng thaùi cuûa maïch . 1 2 n 1 e1t 0 1 1 1 A (ma traän traïng thaùi , n x n ); B (ma traän kích thích, n x m ), 2n 1 2t  1 12  2  2 e C ( ma traän ñaùp öùng , p x n ), D ( ma traän truyeàn ñaït, p x m ) det  .[1] A 0 n : soá bieán traïng thaùi , m = soá nguoàn , p : soá ñaùp öùng.  2n 1 nt n 1 1n  n  n e 15
16. 11/9/2009 6.4.3 Phaân tích quaù ñoä baèng PP bieán traïng thaùi . Ñaëc ñieåm cuûa PP bieán traïng thaùi Xaùc ñònh sô kieän : x(0-)  Xaùc ñònh A, B, C, D töø heä phöông trình Kirchhoff ñoøi hoûi Xaùc ñònh A, B, C, D : Nhôø heä phöông trình Kirchhoff   caùc kyõ naêng bieán ñoåi heä phöông trình vi tích phaân. Giaûi PTÑT : det( .[1] – A) = 0 coù n nghieäm .   Xaùc ñònh haøm muõ ma traän eAt coù khoái löôïng tính toaùn Xaùc ñònh [ ]T   0 1 2 (n-1) lôùn. Maëc duø phöông phaùp ñaõ ñöa ra pheùp tính gaàn ñuùng: Xaùc ñònh eAt (ñònh lyù Cayley-Hamilton) : mtraän (n x n)  eAt = [1] + A + A2 + + A(n-1) eAt = [1] + A + A2 + + A(n-1) 0 1 2 (n-1) 0 1 2 (n-1) Nhaän xeùt : Do quaù trình tính toaùn khaù chuaån neân caùc Xaùc ñònh ma traän bieán traïng thaùi :   phaàn meàm phaân tích maïch ñeàu coù hoã trôï caùc haøm giaûi x() t eAt .(0)( x e At 1) A 1 B .() u t phöông trình traïng thaùi. Phöông phaùp naøy duøng ñöôïc cho maïch phi tuyeán (hôn 2 Xaùc ñònh ma traän y(t) caàn tìm.   PP tröôùc). . PP bieán traïng thaùi : Ví duï 1 . Ví duï 1 (tieáp theo 1) Tìm u(t) khi t > 0 ? 1 H 1/3 F Giaûi ra : Vaø:  t=0 Giaûi i (t) i(t) i (t) du L C C 1,2u 0, 6 i 1 du + dt CL u 0,5 i 0,5( i C ) Khi t 0): dt  ' 1 du uCC 1,2 0,6 u 0 u C i C i E L 1 du di u 0, 2 0, 4  3 dt C L iLL 0,2 0,4 i 1 i 2 iL 2 E L di di 3 dt dt L 0, 5i E i 2 E 2 L x' Ax Bu y C x D 0 dt dt 2 du di C L u E u (0 ) 2 1 du C C u 2C 0, 5 i 3 dt dt x(0) C 4 3 dt iL(0 ) . Ví duï 1 (tieáp theo 2) . Ví duï 1 (tieáp theo 3) Giaûi PTÑT: det( .[1] – A) = 0 Xaùc ñònh caùc giaù trò :    0 1 n-1 1 1 1t t  0 1,2 0,6  1,2 0,6 0 1 1 e 1 1 e det 0 det 0 1   2 t1 0, 6 0 ,6 t 0 0,2 0,4 0,2 0,4 1 2 e e 2 1, 6  0, 6 0 1,5 2,5 e t 1,5 e t 2,5 e 0,6 t 1 1 0  0, 6 0,6t t 0,6 t 2 1 2,5 2,5 e 2,5 e 2,5 e 16
17. 11/9/2009 . Ví duï 1 (tieáp theo 4) . Ví duï 1 (tieáp theo 5) Xaùc ñònh : eAt = .[1] + .A Xaùc ñònh ma traän bieán traïng thaùi x :  0 1  At At 1 A t 1 0 1, 2 0, 6 x() t e .(0)( x e 1) A B .() u t e 0 1 0 1 0, 2 0, 4 2 1 uC At 2 At 1 0 3 0 e e E 1, 2 0, 6 iL 4 0 1 1 2 1 At 0 1 1 3 e t 0,6 t 0, 2 1 0 0, 4 1 uC 3e 5 e t 0,6 t t 0,6 t t 0,6 t 1,5e 0,5 e 1,5 e 1,5 e iL e 5 e e At t 0,6 t t 0,6 t t 0,6 t t 0,6 t 0,5e 0,5 e 0,5 e 1,5 e 1,5e 0,5 e 1 1,5 e 1,5 e 3 t 0,6 t t 0,6 t 0,5e 0,5 e 0,5 e 1,5 e 1 6 . Ví duï 1 (tieáp theo 6) . PP bieán traïng thaùi : Ví duï 2 Tìm i , i , i khi t > 0 ? 100  K t 0,6 t  1 2 3 uC 3 1,5e 2,5 e Giaûi R1 t=0 i2(t) t 0,6 t i (t) iL 6 0,5e 2,5 e Khi t 0): E C L  - 100  200 V i (t) R t 0,6 t 3 2 3 1,5e 2,5 e i1 i 2 i 3 J 0 u( t )  0,2 0,4 duC 1 1 1 1 t 0,6 t R1 i 1 uC E u i E J 6 0,5e 2,5 e dt R CC C2 R C C di2 1 1 t 0,6 t L R2 i 2 uC 0 u( t ) 3 0,5 e 1,5 e dt diL 1 R2 du uC i2 NX: i C C dt L L 3 dt . Ví duï 2 (tieáp theo 1) . Ví duï 2 (tieáp theo 2) Theá soá : ' Giaûi PTÑT: det( .[1] – A) = 0 uCC 25 2500 u 25 2500 E   i2 2 200 i 2 0 0 J x' Ax Bu  0 25 2500  25 2500 det 0 det 0 0 2 200 2 200 uC (0 ) 200 Bieát: x(0) 1 Vaø: i2(0 ) 2 225  10 4 0 1 1 i u E i1 0,01 0 uC 0,01 0 E  61 1 C 1 RR1 1 i3 0,01 1 i2 0,01 1 J  2 164 1 1 i3 uC i 2 E J y Cx Du RR1 1 17
18. 11/9/2009 . Ví duï 2 (tieáp theo 3) . Ví duï 2 (tieáp theo 4) At Xaùc ñònh caùc giaù trò : Xaùc ñònh : e = 0.[1] + 1.A  0 1 n-1  1 1 1 0 2 5 2 5 00 1t 61t A t 0 1 1 e 1 61 e e 0 1 0 1 2 20 0 2 t 164 t 1 1  2 e 1 16 4 e At 0 25 1 2500 1 e 61t 164 t 2 1 0 200 1 0 1,592e 0,5922 e 1,35e 61t 0,3495 e 164 t 24,27 e 61 t 24,27 e 164 t 3 61t 3 164 t eAt 1 9,7.10e 9,7.10 e 2 61t 2 164 t 61 t 164 t 1,942.10e 1,942.10 e 0,3495 e 1,35 e . Ví duï 2 (tieáp theo 5) . Ví duï 2 (tieáp theo 6) Xaùc ñònh ma traän bieán traïng thaùi x : Xaùc ñònh y = C.x + D.u :   x() t eAt .(0)( x e At 1) A 1 B .() u t i 0,01 0 u 0,01 0 E 1 C i 0,01 1 i 0,01 1 J uC At 200 At 1 0 150 3 2 e e i2 1 0 1 1,5 61t 164 t i1 0,5 0,7961e 0,2961 e 61t 164 t 61t 164 t uC 150 79,61e 29,61 e i3 1,942e 1,942 e 61t 164 t i2 1,5 1,146e 1,646 e 6.4.4 Höôùng aùp duïng Söû duïng haøm lsim() cuûa MATLAB :  [y,x] = lsim(A,B,C,D,u,t); [y,x] = lsim(A,B,C,D,u,t,x0); [y,x] = lsim(num,den,u,t); Trong ñoù ta qui öôùc : goïi n laø soá bieán traïng thaùi , m laø soá tín  hieäu taùc ñoäng , p laø soá tín hieäu ra quan taâm. Caùc haøng cuûa x vaø y töông öùng caùc haøng cuûa u , laø giaù trò  caùc bieán taïi caùc thôøi ñieåm töông öùng cuûa vecto thôøi gian t. Ñeå truy caäp caùc bieán traïng thaùi cuõng nhö caùc bieán ra chuùng ta duøng pheùp toaùn laáy luoân giaù trò moät coät cuûa ma traän : y(:,2) -> laáy coät thöù hai. 18