Bài giảng Lý thuyết mạch - ThS. Vũ Chiến Thắng

201 trang phuongnguyen 4042

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Lý thuyết mạch - ThS. Vũ Chiến Thắng", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

bai_giang_ly_thuyet_mach_ths_vu_chien_thang.doc

Nội dung text: Bài giảng Lý thuyết mạch - ThS. Vũ Chiến Thắng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN ~~~~~ ~~~~~ BÀI GIẢNG: LÝ THUYẾT MẠCH Người biên soạn : ThS. Vũ Chiến Thắng. 1
MỤC LỤC MỤC LỤC 1 LỜI GIỚI THIỆU 3 CHƯƠNG I: CÁC KHÁI NIỆM VÀ NGUYÊN LÝ CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT MẠCH 4 GIỚI THIỆU 4 NỘI DUNG 4 1.1. KHÁI NIỆM TÍN HIỆU 4 1.2. CÁC THÔNG SỐ TÁC ĐỘNG VÀ THỤ ĐỘNG CỦA MẠCH 10 1.3. BIỂU DIỄN MẠCH TRONG MIỀN TẦN SỐ 16 1.4 CÁC YẾU TỐ HÌNH HỌC CỦA MẠCH 20 1.5 TÍNH CHẤT TUYẾN TÍNH, BẤT BIẾN VÀ NHÂN QUẢ CỦA MẠCH ĐIỆN 21 1.6 KHÁI NIỆM VỀ TÍNH TƯƠNG HỖ CỦA MẠCH ĐIỆN 23 1.7 CÔNG SUẤT TRONG MẠCH ĐIỆN ĐIỀU HÒA 24 1.8 KỸ THUẬT TÍNH TOÁN TRONG LÝ THUYẾT MẠCH 26 CÁC THÍ DỤ MINH HỌA 28 TỔNG HỢP NỘI DUNG CHƯƠNG I 36 CHƯƠNG II: CÁC PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN PHÂN TÍCH MẠCH ĐIỆN 38 GIỚI THIỆU 38 NỘI DUNG 38 2.1 CƠ SỞ CỦA CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH MẠCH 38 2.2 CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH MẠCH CƠ BẢN 41 2.3 PHƯƠNG PHÁP NGUỒN TƯƠNG ĐƯƠNG 59 2.4 PHÂN TÍCH MẠCH TUYẾN TÍNH BẰNG NGUYÊN LÝ XẾP CHỒNG 66 CHƯƠNG III: HIỆN TƯỢNG QUÁ ĐỘ TRONG CÁC MẠCH RLC 71 GIỚI THIỆU 71 NỘI DUNG 71 3.1 BIẾN ĐỔI LAPLACE 71 3.2 CÁC THÔNG SỐ CỦA MẠCH ĐIỆN TRONG MIỀN P 83 3.3 ỨNG DỤNG BIẾN ĐỔI LAPLACE ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN MẠCH QUÁ ĐỘ RLC 85 TỔNG HỢP NỘI DUNG CHƯƠNG III 102 CHƯƠNG IV: HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐÁP ỨNG TẦN SỐ CỦA MẠCH 103 GIỚI THIỆU 103 NỘI DUNG 103 4.1 HÀM TRUYỀN ĐẠT CỦA HỆ THỐNG 103 4.2 ĐÁP ỨNG TẦN SỐ CỦA HỆ THỐNG 105 4.3 ĐỒ THỊ BODE 107 4.4 ỨNG DỤNG ĐỒ THỊ BODE ĐỂ KHẢO SÁT MẠCH ĐIỆN 119 TỔNG HỢP NỘI DUNG CHƯƠNG IV 125 CHƯƠNG V: MẠNG BỐN CỰC VÀ ỨNG DỤNG 126 GIỚI THIỆU 126 2
5.1 MẠNG BỐN CỰC TUYẾN TÍNH, BẤT BIẾN, TƯƠNG HỖ 126 5.2 MẠNG BỐN CỰC TUYẾN TÍNH KHÔNG TƯƠNG HỖ 156 5.3 MẠNG BỐN CỰC CÓ PHẢN HỒI 166 5.4 MỘT SỐ ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT MẠNG BỐN CỰC 168 TỔNG HỢP NỘI DUNG CHƯƠNG V 199 LỜI GIỚI THIỆU Lý thuyết mạch là một trong số các môn cơ sở của kỹ thuật điện tử, viễn thông, tự động hoá, nhằm cung cấp cho sinh viên khả năng nghiên cứu các mạch tương tự, đồng thời nó là cơ sở lý thuyết để phân tích các mạch số. Với ý nghĩa là một môn học nghiên cứu các hệ thống tạo và biến đổi tín hiệu, nội dung cơ sở lý thuyết mạch (basic circuits theory) chủ yếu đi sâu vào các phương pháp biểu diễn, phân tích, tính toán và tổng hợp các hệ thống điện tạo và biến đổi tín hiệu dựa trên mô hình các các thông số & các phần tử hợp thành điển hình. Tập bài giảng này chủ yếu đề cập tới lý thuyết các phương pháp biểu diễn và phân tích mạch kinh điển, dựa trên các loại phần tử mạch tương tự, tuyến tính có thông số tập trung, cụ thể là: - Các phần tử & mạng hai cực: Hai cực thụ động, có hoặc không có quán tính như phần tử thuần trở, thuần dung, thuần cảm và các mạch cộng hưởng; hai cực tích cực như các nguồn điện áp & nguồn dòng điện lý tưởng. - Các phần tử & mạng bốn cực: Bốn cực tương hỗ thụ động chứa RLC hoặc biến áp lý tưởng; bốn cực tích cực như các nguồn phụ thuộc (nguồn có điều khiển), transistor, mạch khuếch đại thuật toán Công cụ nghiên cứu lý thuyết mạch là những công cụ toán học như phương trình vi phân, phương trình ma trận, phép biến đổi Laplace, biến đổi Fourier Các công cụ, khái niệm & định luật vật lý. Mặc dù có rất nhiều cố gắng nhưng cũng không thể tránh khỏi những sai sót. Xin chân thành cảm ơn các ý kiến đóng góp của bạn đọc và đồng nghiệp. Người biên soạn 3
CHƯƠNG I: CÁC KHÁI NIỆM VÀ NGUYÊN LÝ CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT MẠCH GIỚI THIỆU Chương này đề cập đến các khái niệm, các thông số và các nguyên lý cơ bản nhất của lý thuyết mạch truyền thống. Đồng thời, đưa ra cách nhìn tổng quan những vấn đề mà môn học này quan tâm cùng với các phương pháp và các loại công cụ cần thiết để tiếp cận và giải quyết các vấn đề đó. NỘI DUNG Thảo luận quan điểm hệ thống về các mạch điện xử lý tín hiệu. Thảo luận các loại thông số tác động và thụ động của mạch dưới góc độ năng lượng. Cách chuyển mô hình mạch điện từ miền thời gian sang miền tần số và ngược lại. Các thông số của mạch trong miền tần số. Ứng dụng miền tần số trong phân tích mạch, so sánh với việc phân tích mạch trong miền thời gian. 1.1. KHÁI NIỆM TÍN HIỆU Tín hiệu Tín hiệu là dạng biểu hiện vật lý của thông tin. Thí dụ, một trong những biểu hiện vật lý của các tín hiệu tiếng nói (speech), âm nhạc (music), hoặc hình ảnh (image) có thể là điện áp và dòng điện trong các mạch điện. Về mặt toán học, tín hiệu được biểu diễn chính xác hoặc gần đúng bởi hàm của các biến độc lập. Xét dưới góc độ thời gian, mặc dù trong các tài liệu là không giống nhau, nhưng trong tài liệu này chúng ta sẽ thống nhất về mặt định nghĩa cho một số loại tín hiệu chủ yếu liên quan đến hai khái niệm liên tục và rời rạc. Tín hiệu liên tục 4
Khái niệm tín hiệu liên tục là cách gọi thông thường của loại tín hiệu liên tục về mặt thời gian. Nó còn được gọi là tín hiệu tương tự. Một tín hiệu x(t) được gọi là liên tục về mặt thời gian khi miền xác định của biến thời gian t là liên tục. Hình 1.1 mô tả một số dạng tín hiệu liên tục về mặt thời gian, trong đó: Hình 1.1a mô tả một tín hiệu bất kỳ; tín hiệu tiếng nói là một thí dụ điển hình về dạng tín hiệu này. Hình 1.1b mô tả dạng tín hiệu điều hòa. Hình 1.1c mô tả một dãy xung chữ nhật tuần hoàn. Hình 1.1d mô tả tín hiệu dạng hàm bước nhảy đơn vị, ký hiệu là u(t) hoặc 1(t): Còn hình 1.1e mô tả tín hiệu dạng hàm xung đơn vị, còn gọi hàm delta. Hàm này có phân bố Dirac và ký hiệu là δ(t): Cần lưu ý rằng, về mặt biên độ, tín hiệu liên tục về mặt thời gian chưa chắc đã nhận các giá trị liên tục. Nếu biên độ của loại tín hiệu này là liên tục tại mọi thời điểm, thì tín hiệu đó mới là tín hiệu liên tục thực sự. Hình 1.1. Một số dạng tín hiệu liên tục theo thời gian. Tín hiệu rời rạc Về mặt toán học, tín hiệu rời rạc là một hàm trong đó biến thời gian chỉ nhận các giá trị rời rạc. Thông thường, loại tín hiệu rời rạc đơn giản nhất chỉ được định nghĩa các giá trị tại các điểm thời gian rời rạc t =n.Ts, trong đó n nguyên; do đó trong các tài liệu, tín hiệu rời rạc x(nTs) thường được ký hiệu là x(n). Hình 1.2a mô tả dạng một tín hiệu rời rạc về mặt thời gian. 5
Hình 1.2a. Minh họa tín hiệu rời Hình 1.2b. Minh họa tín hiệu số nhị phân Tín hiệu số Tín hiệu số là loại tín hiệu rời rạc chỉ nhận các giá trị trong một tập hữu hạn xác định. Nếu tập giá trị của tín hiệu số chỉ là hai giá trị (0 hoặc 1) thì tín hiệu đó chính là tín hiệu số nhị phân. Hình 1.2b là một thí dụ minh họa cho trường hợp này. Sự lấy mẫu Lấy mẫu là thuật ngữ để chỉ quá trình rời rạc hóa tín hiệu liên tục. Nói cách khác, đây là quá trình chuyển đổi tín hiệu liên tục s(t) thành tín hiệu rời rạc s(n) tương ứng. Ta gọi s(n) là phiên bản được mẫu hóa từ tín hiệu gốc s(t). Nếu s(n) quan hệ với tín hiệu gốc s(t) theo biểu thức: thì người ta gọi đây là quá trình lấy mẫu đều, trong đó Ts được gọi là bước lấy mẫu hay chu kỳ lấy mẫu. Có thể mô hình hóa quá trình lấy mẫu này thành bộ lấy mẫu như hình 1.3. Trong đó, phần tử hạt nhân là một chuyển mạch hoạt động đóng/ngắt theo chu kỳ Ts. Hình 1.3. Mô hình hóa quá trình lấy mẫu Chuyển đổi AD/DA Chuyển đổi AD là quá trình số hóa tín hiệu liên tục. Nói cách khác, đây là quá trình chuyển đổi tín hiệu liên tục s(t) thành tín hiệu số tương ứng. Thông thường, trong các hệ thống điện tử, quá trình này bao gồm ba công đoạn: Trước tiên là công đoạn rời rạc hóa tín hiệu về mặt thời gian. Kế tiếp là công đoạn làm tròn các giá trị đã lấy mẫu thành các giá trị mới thuộc một tập hữu hạn; công đoạn này còn gọi là công đoạn lượng tử hóa. Cuối cùng, tùy thuộc vào hệ thống số được sử dụng mà các giá trị đã được lượng tử hóa sẽ được mã hóa tương thích với thiết bị xử lý và môi trường truyền dẫn. 6
Ngược lại quá trình chuyển đổi AD là quá trình chuyển đổi DA. Đây là quá trình phục hồi tín hiệu liên tục s(t) từ tín hiệu số tương ứng. Xử lý tín hiệu Xử lý tín hiệu là một khái niệm rộng để chỉ các quá trình biến đổi, phân tích, tổng hợp tín hiệu nhằm đưa ra các thông tin phục vụ cho các mục đích khác nhau. Các hệ thống khuếch đại và chọn lọc tín hiệu; Các hệ thống điều chế và giải điều chế tín hiệu; các hệ thống phân tích, nhận dạng và tổng hợp thông tin phục vụ các lĩnh vực an ninh-quốc phòng, chẩn đoán bệnh, dự báo thời tiết hoặc động đất là những thí dụ điển hình về xử lý tín hiệu. Mạch điện Sự tạo ra, tiếp thu và xử lý tín hiệu là những quá trình phức tạp xảy ra trong các thiết bị & hệ thống khác nhau. Việc phân tích trực tiếp các thiết bị và hệ thống điện thường gặp một số khó khăn nhất định. Vì vậy, về mặt lý thuyết, các hệ thống điện thường được biểu diễn thông qua một mô hình thay thế. Hình 1.4. Mạch tích phân. Trên quan điểm hệ thống, mạch điện là mô hình toán học chính xác hoặc gần đúng của một hệ thống điện, nhằm thực hiện một toán tử nào đó lên các tác động ở đầu vào, nhằm tạo ra các đáp ứng mong muốn ở đầu ra. Mô hình đó thường được đặc trưng bởi một hệ phương trình mô tả mối quan hệ giữa các tín hiệu xuất hiện bên trong hệ thống. Trong miền thời gian, các hệ thống mạch liên tục được đặc trưng bởi một hệ phương trình vi tích phân, còn các hệ thống mạch rời rạc được đặc trưng bởi một hệ phương trình sai phân. Về mặt vật lý, mạch điện là một mô hình tương đương biểu diển sự kết nối các thông số và các phần tử của hệ thống theo một trật tự logic nhất định nhằm tạo và biến đổi tín hiệu. Mô hình đó phải phản ánh chính xác nhất & cho phép phân tích được các hiện 7
tượng vật lý xảy ra, đồng thời là cơ sở để tính toán & thiết kế hệ thống. Thí dụ hình 1.4 là mô hình một mạch điện liên tục thực hiện toán tử tích phân, trong đó mối quan hệ vào/ra thỏa mãn đẳng thức: ura = k ∫u v dt . Hình 1.5 là một trong những mô hình tương đương của biến áp thường. Trong mô hình tương đương của phần tử này có sự có mặt của các thông số điện trở R, điện cảm L và hỗ cảm M. Những thông số đó đặc trưng cho những tính chất vật lý khác nhau cùng tồn tại trên phần tử này và sự phát huy tác dụng của chúng phụ thuộc vào các điều kiện làm việc khác nhau. Hình 1.5. Một mô hình tương đương của biến áp thường. Cần phân biệt sự khác nhau của hai khái niệm phầntử và thông số. Phần tử (trong tài liệu này) là mô hình vật lý của các vật liệu linh kiện cụ thể như dây dẫn, tụ điện, cuộn dây, biến áp, diode, transistor Thông số là đại lượng vật lý đặc trưng cho tính chất của phần tử. Một phần tử có thể có nhiều thông số. Về mặt điện, vẽ mạch tương đương của các phần tử có nghĩa là biểu diễn các tính chất về điện của phần tử đó thông qua các thông số e, i, r, C, L, M, Z, Y nối với nhau theo một cách nào đó. Cuối cùng để biểu diễn cách đấu nối tiếp nhiều thông số người ta vẽ các ký hiệu của chúng đầu nọ nối với đầu kia tạo thành một chuỗi liên tiếp, còn trong cách đấu nối song song thì các cặp đầu tương ứng được nối với nhau. Trong sơ đồ mạch điện các đoạn liền nét nối các ký hiệu thông số đặc trưng cho các dây nối có tính chất dẫn điện lý tưởng. Cũng nên lưu ý, về mặt hình thức, sơ đồ mạch điện trong lý thuyết mạch khác với sơ đồ chi tiết của một thiết bị. Sơ đồ mạch điện (trong lý thuyết mạch) là một phương tiện lý thuyết cho phép biểu diễn và phân tích hệ thống thông qua các thông số và các phần tử hợp thành, còn sơ đồ chi tiết của thết bị là một phương tiện kỹ thuật biểu diễn sự ghép nối các linh kiện của thiết bị thông qua các ký hiệu của các linh kiện đó. Mạch tương tự & mạch rời rạc Xét trên phương diện xử lý tín hiệu thì các hệ thống mạch là mô hình tạo và biến đổi tín hiệu chủ yếu thông qua ba con đường, đó là: 8
- Xử lý tín hiệu bằng mạch tương tự (analog circuits). - Xử lý tín hiệu bằng mạch rời rạc (discrete circuits). - Xử lý tín hiệu bằng mạch số (digital circuits), gọi là xử lý số tín hiệu. Như vậy, cách thức xử lý tín hiệu sẽ qui định tính chất và kết cấu của các hệ thống mạch. Trên hình 1.6 là sự phân loại mạch điện xử lý tín hiệu liên tục. Hình 1.6. Các hệ thống mạch điện xử lý tín hiệu liên tục Mạch có thông số tập trung & mạch có thông số phân bố Một hệ thống mạch được cấu thành từ phần lớn các phần tử mạch tuyến tính & không tuyến tính. Trong đó, mạch tuyến tính lại được chia thành mạch có thông số phân bố (như dây dẫn, ống dẫn sóng, dụng cụ phát năng lượng ) và mạch có thông số tập trung. Ở dải tần số thấp, khi kích thước của các phần tử cũng như khoảng cách vật lý từ phần tử này tới các phần tử lân cận là rất nhỏ so với bước sóng của tín hiệu, các mạch điện được phân tích như tập hợp các thông số tập trung. Lúc này khái niệm dòng dịch trong hệ phương trình Maxwell là không đáng kể so với dòng dẫn (dòng chuyển động có hướng của các điện tích trong dây dẫn và các phần tử mạch, quy ước chảy trên tải từ điểm có điện thế cao đến điểm có điện thế thấp), những biến thiên của từ trường và điện trường trong không gian có thể bỏ qua được. Ở tần số rất cao, kích thước của các phần tử cũng như khoảng cách vật lý từ phần tử này tới các phần tử lân cận có thể so sánh với bước sóng của tín hiệu truyền lan, các mạch điện được xem như có thông số phân bố. Lúc này năng lượng từ trường tích trữ được liên kết với điện cảm phân bố trong cấu trúc, năng lượng điện trường tích trữ được liên kết với điện dung phân bố, và sự tổn hao năng lượng được liên kết với điện trở phân bố trong cấu trúc Lúc này khái niệm dòng dịch (những biến thiên của từ trường và điện trường phân bố trong không gian) trở nên có ý nghĩa. Nhiều trường hợp các vi mạch 9
được coi là có các tham số phân bố dù nó làm việc ở dải tần thấp vì giới hạn kích thước của nó. Các trạng thái hoạt động của mạch Khi mạch ở trạng thái làm việc cân bằng & ổn định, ta nói rằng mạch đang ở Trạng thái xác lập. Khi trong mạch xảy ra đột biến, thường gặp khi đóng/ngắt mạch hoặc nguồn tác động có dạng xung, trong mạch sẽ xảy ra quá trình thiết lập lại sự cân bằng mới, lúc này mạch ở trạng thái quá độ. Hình 1.7. Mạch điện có khóa đóng ngắt. Các bài toán mạch Có hai lớp bài toán về mạch điện: phân tích và tổng hợp mạch. Phân tích mạch có thể hiểu ở hai góc độ, với một kết cấu hệ thống sẵn có thì: - Các quá trình năng lượng trong mạch, quan hệ điện áp & dòng điện trên các phần tử xảy ra như thế nào? Nguyên lý hoạt động của mạch ra sao? Đây là các vấn đề của lý thuyết mạch thuần tuý. - Ứng với mỗi tác động ở đầu vào, chúng ta cần phải xác định đáp ứng ra của hệ thống trong miền thời gian cũng như trong miền tần số là gì? Quá trình biến đổi tín hiệu khi đi qua mạch ra sao? Ngược lại, tổng hợp mạch là chúng ta phải xác định kết cấu hệ thống sao cho ứng với mỗi tác động ở đầu vào sẽ tương ứng với một đáp ứng mong muốn ở đầu ra thỏa mãn các yêu cầu về kinh tế và kỹ thuật. Chú ý rằng phân tích mạch là bài toán đơn trị, còn tổng hợp mạch là bài toán đa trị. 1.2. CÁC THÔNG SỐ TÁC ĐỘNG VÀ THỤ ĐỘNG CỦA MẠCH Xét về mặt phản ứng của phần tử khi chịu tác động kích thích, các thông số thụ động đặc trưng cho phản ứng thụ động của phần tử đối với tác động kích thích của nguồn và thể hiện qua mối quan hệ giữa điện áp và dòng điện chạy trong nó. Người ta phân các thông số thụ động này thành hai loại thông số quán tính và thông số không quán tính. 10
Hình 1.9. Kí hiệu điện trở. a. Thông số không quán tính (điện trở): Thông số không quán tính đặc trưng cho tính chất của phần tử khi điện áp và dòng điện trên nó tỉ lệ trực tiếp với nhau. Nó được gọi là điện trở (r), thường có hai kiểu kí hiệu như hình 1.9 và thỏa mãn đẳng thức: 1 r có thứ nguyên vôn/ampe, đo bằng đơn vị ôm (Ω). Thông số g= gọi là điện dẫn, có thứ nguyên 1/Ω, đơn vị là Simen(S). Về mặt thời gian, dòng điện và điện áp trên phần tử thuần trở là trùng pha nên năng lượng nhận được trên phần tử thuần trở là luôn luôn dương, r đặc trưng cho sự tiêu tán năng lượng dưới dạng nhiệt. b. Các thông số quán tính: Các thông số quán tính trong mạch gồm có điện dung, điện cảm và hỗ cảm. Hình 1.10. Kí hiệu điện dung Điện dung là thông số đặc trưng cho tính chất của phần tử khi dòng điện trong nó tỉ lệ với tốc độ biến thiên của điện áp, có thứ nguyên ampe.giây/vôn, đo bằng đơn vị fara (F), kí hiệu như hình 1.10 và được xác định theo công thức: 11
Trong đó: là điện tích tích luỹ được trên phần tử ở thời điểm t và năng lượng tích luỹ trên C: Xét về mặt năng lượng, thông số C đặc trưng cho sự tích luỹ năng lượng điện trường, thông số này không gây đột biến điện áp trên phần tử và thuộc loại thông số quán tính . Xét về mặt thời gian điện áp trên phần tử thuần dung chậm pha so với dòng điện là π/2. - Thông số điện cảm (L): Điện cảm đặc trưng cho tính chất của phần tử khi điện áp trên nó tỉ lệ với tốc độ biến thiên của dòng điện, có thứ nguyên vôn x giây/ampe, đo bằng đơn vị hery(H), kí hiệu như hình 1.11 và được xác định theo công thức: Hình 1.11. Kí hiệu điện cảm. và năng lượng tích luỹ trên L: Xét về mặt năng lượng, thông số L đặc trưng cho sự tích luỹ năng lượng từ trường, thông số này không gây đột biến dòng điện trên phần tử và thuộc loại thông số quán tính. Xét về mặt thời gian, điện áp trên phần tử thuần cảm nhanh pha so với dòng điện là π/2. -Thông số hỗ cảm (M): Hỗ cảm là thông số có cùng bản chất vật lý với điện cảm, nhưng nó đặc trưng cho sự ảnh hưởng qua lại của hai phần 12
Hình 1.12. Hai cuộn dây ghép hỗ cảm. tử đặt gần nhau khi có dòng điện chạy trong chúng, nối hoặc không nối về điện. Ví dụ như trên hình 1.12 ta thấy dòng điện i1 chạy trong phần tử điện cảm thứ nhất sẽ gây ra trên phần tử thứ hai một điện áp hỗ cảm là: Ngược lại, dòng điện i2 chạy trong phần tử điện cảm thứ hai sẽ gây ra trên phần tử thứ nhất một điện áp hỗ cảm là: Như vậy do tác dụng đồng thời của các thông số điện cảm và hỗ cảm, trên mỗi phần tử sẽ có tương ứng một điện áp tự cảm và một điện áp hỗ cảm. Tổng hợp ta có hệ phương trình: Trong đó: M = k L1L2 (k là hệ số ghép, thường có giá trị nhỏ hơn 1). Nếu các dòng điện cùng chảy vào hoặc cùng chảy ra khỏi các đầu cùng tên thì điện áp hỗ cảm lấy dấu ‘+’, nếu ngược lại lấy dấu ‘-’. Trong các sơ đồ, các đầu cùng tên thường được ký hiệu bằng các dấu *. c. Thông số cuả các phần tử mắc nối tiếp và song song: Trong trường hợp có một số các phần tử cùng loại mắc nối tiếp hoặc song song với nhau thì các thông số được tính theo các công thức ghi trong bảng 1.1. 13
Cách mắc Thông số điện trở Thông số điện cảm Thông số điện dung Nối tiếp r = r L = L 1 1  k  k = k k  C k Ck Song song 1 1 1 1 C = C = =  k   k r k rk L k Lk Bảng 1.1. Thông số của các phần tử mắc nối tiếp và song song. 1.2.2 Các thông số tác động cuả mạch điện Thông số tác động còn gọi là thông số tạo nguồn, nó đặc trưng cho phần tử có khả năng tự nó (hoặc khi nó được kích thích bởi các tác nhân không điện bên ngoài) có thể tạo ra và cung cấp năng lượng điện tác động tới các cấu kiện khác của mạch, phần tử đó gọi là nguồn điện. Thông số tác động đặc trưng cho nguồn có thể là: + Sức điện động của nguồn (eng): một đại lượng vật lý có giá trị là điện áp hở mạch của nguồn, đo bằng đơn vị “vôn” và được ký hiệu là V. + Dòng điện nguồn (ing): một đại lượng vật lý có giá trị là dòng điện ngắn mạch của nguồn, đo bằng đơn vị “ampe” và được ký hiệu là A. 1.2.3 Mô hình nguồn điện Sự xác định các thông số tạo nguồn dẫn đến sự phân loại nguồn tác động thành hai loại sau: + Nguồn điện áp, bao gồm nguồn áp độc lập & nguồn áp phụ thuộc (tức là nguồn áp có điều khiển). + Nguồn dòng điện, bao gồm nguồn dòng độc lập & nguồn dòng phụ thuộc (tức là nguồn dòng có điều khiển). Nguồn điện lý tưởng là không có tổn hao năng lượng. Nhưng trong thực tế phải tính đến tổn hao, có nghĩa là còn phải tính đến sự tồn tại nội trở trong của nguồn (Rng). Trong tài liệu này, qui ước chiều dương sức điện động của nguồn ngược lại với chiều dương dòng điện chạy trong nguồn. a. Nguồn độc lập • Nguồn áp độc lập: ký hiệu nguồn áp độc lập có hai kiểu như hình 1.13. 14
Hình 1.13. Nguồn áp độc lập Hình 1.14. Nguồn áp nối với tải Bây giờ ta xét điện áp mà nguồn này cung cấp cho mạch ngoài (hình 1.14): Eng Uab = Ri Rt Như vậy ta thấy rằng trong trường hợp nguồn áp lý tưởng, tức nội trở nguồn bằng không, điện áp mà nguồn cung cấp cho mạch ngoài sẽ không phụ thuộc vào tải. • Nguồn dòng độc lập: ký hiệu nguồn dòng độc lập có hai kiểu như hình 1.15. Hình 1.15. Nguồn dòng độc lập Hình 1.16. Nguồn dòng nối với tải Bây giờ ta xét dòng điện mà nguồn này cung cấp cho mạch ngoài (hình 1.16): Ing Iab = Ri Ri Rt Như vậy ta thấy rằng trong trường hợp nguồn dòng lý tưởng, tức nội trở nguồn bằng vô hạn, dòng điện mà nguồn cung cấp cho mạch ngoài sẽ không phụ thuộc vào tải. Trong các ứng dụng cụ thể, các nguồn tác động có thể được ký hiệu một cách rõ ràng hơn như nguồn một chiều, nguồn xoay chiều, nguồn xung Cũng cần chú ý rằng, trừ trường hợp nguồn lý tưởng, nguồn áp có thể chuyển đổi thành nguồn dòng và ngược lại. Bạn đọc hoàn toàn có thể tự minh chứng điều này. b. Nguồn phụ thuộc Nguồn phụ thuộc còn được gọi là nguồn có điều khiển và nó được phân thành các loại sau: 15
Hình 1.17. Nguồn A-A. + Nguồn áp được điều khiển bằng áp (A-A), biểu diễn trong hình 1.17. Trong đó Sức điện động của nguồn Eng liên hệ với điện áp điều khiển U1 theo công thức: Eng = k U1 (k: Là hệ số tỷ lệ). Trong trường hợp lý tưởng thì R1=∞, R2=0 và khi đó I1=0, U2 = Eng = KU1. + Nguồn áp được điều khiển bằng dòng (A-D), biểu diễn trong hình 1.18. Trong đó suất điện động của nguồn Eng liên hệ với dòng điện điều khiển I1 theo công thức: Hình 1.18. Nguồn A-D. Eng = rI1 (r là hệ số tỷ lệ) Trong trường hợp lý tưởng thì R1=0, R2=0, khi đó U1 =0 và U2 =Eng = rI1. + Nguồn dòng được điều khiển bằng áp (D-A), biểu diễn trong hình 1.19. Trong đó dòng điện nguồn Ing liên hệ với điện áp điều khiển U1 theo công thức: Hình 1.19. Nguồn D-A. Trong trường hợp lý tưởng thì R1=∞, R2=∞ và khi đó I1 = 0 ; | I2 | = Ing = gU1. + Nguồn dòng được điều khiển bằng dòng (D-D), biểu diễn trong hình 1.20. Trong đó dòng điện nguồn Ing liên hệ với dòng điều khiển I1 theo công thức: 16
Hình 1.20. Nguồn D – D. Ing = αI1 (α là hệ số tỷ lệ) Trong trường hợp lý tưởng thì R1=0, R2=∞ và khi đó : U1 = 0, | I2 | = Ing = αI1 1.3. BIỂU DIỄN MẠCH TRONG MIỀN TẦN SỐ Trong các phương pháp phân tích mạch điện, có một phương pháp rất có hiệu quả dựa trên cách biểu diễn phức, vì vậy trước khi bước vào phần này sinh viên cần nắm chắc các kiến thức toán về số phức. 1.3.1 Cách biểu diễn phức các tác động điều hoà Theo lý thuyết chuỗi và tích phân Fourier, các tín hiệu ngẫu nhiên theo thời gian và hữu hạn về biên độ đều có thể phân tích thành các các thành phần dao động điều hoà. Bởi vậy việc phân tích sự hoạt động của mạch, đặc biệt là mạch tuyến tính, dưới tác động bất kỳ, có thể được quy về việc phân tích phản ứng của mạch dưới các tác động điều hòa. Ở một góc độ khác, xuất phát từ công thức của nhà toán học Euler: exp(jϕ) = cosϕ + jsinϕ (1.20) bất kỳ một dao động điều hoà x(t) trong miền thời gian với biên độ X m , tần số góc và pha đầu là ϕ0 [rad], đều có thể biểu diễn dưới dạng phức trong miền tần số. trong đó biên độ phức của x(t) được định nghĩa: Thí dụ, một nguồn sức điện động điều hoà có biểu diễn phức 17
thì biểu thức thời gian của nó sẽ là: Việc phân tích nguồn tác động thành các thành phần điều hoà và biểu diễn chúng dưới dạng phức làm cho sự tính toán các thông số trong mạch điện trở nên thuận lợi dựa trên các phép toán về số phức. Đặc biệt khi các nguồn tác động là điều hòa có cùng tần số, thì thành phần exp(jωt) trở nên không còn cần thiết phải viết trong các biểu thức tính toán nữa, lúc này biên độ phức hoàn toàn đặc trưng cho các thành phần dòng và áp trong mạch. 1.3.2 Trở kháng và dẫn nạp Bây giờ hãy nói đến định luật ôm tổng quát viết dưới dạng phức: trong đó Z chính là một toán tử có nhiệm vụ biến đổi dòng điện phức thành điện áp phức và gọi là trở kháng của mạch, đơn vị đo bằng ôm (Ω), còn là một toán tử có nhiệm vụ biến đổi điện áp phức thành dòng điện phức và gọi là dẫn nạp của mạch, đơn vị đo bằng Siemen (S). Chúng được biểu diễn dưới dạng phức: trong đó : R là điện trở,X là điện kháng,G là điện dẫn và B là điện nạp. Mặt khác:  U Um exp j(t u ) Um Z exp( u i ) (1.27) I Im exp j(t i ) Im 18
I Im exp j(t i ) Im Y  exp( i u ) (1.28) U Um exp j(t u ) Um Như vậy, từ các biểu thức trên ta có thể rút ra: Sau đây ta xét trở kháng và dẫn nạp của các phần tử lý tưởng tương ứng với các tham số thụ động: -Đối với phần tử thuần trở: -Đối với phần tử thuần dung: - với phần tử thuần cảm: Trong đó: 19
Như vậy nhờ có cách biểu diễn phức, ta đã thay thế các phép lấy đạo hàm bằng toán tử nhân p, còn phép lấy tích phân được thay thế bằng toán tử nhân 1/p (trong trường hợp cụ thể này thì p=jω). Tổng quát hơn, với p là một biến nằm trên mặt phẳng phức, sẽ được đề cập chi tiết trong các chương sau. -Trở kháng tương đương của nhiều phần tử: +Trường hợp mắc nối tiếp (hình 1.24): Vậy: +Trường hợp mắc song song (hình 1.25): Vậy I UY U Y U Y ab ab  k k  k k k 1.3.3 Đặc trưng của mạch điện trong miền tần số Khi phức hóa mạch điện sang miền tần số, tất cả các thông số của mạch đều được phức hóa. Mạch được đặc trưng bởi dòng điện phức, điện áp phức và các thành phần trở kháng hay dẫn nạp tương ứng với các thông số thụ động của mạch. Ý nghĩa của việc phức hóa mạch điện liên tục trong miền thời gian (còn gọi là mạch điện truyền thống) chính là chuyển các hệ phương trình vi tích phân thành hệ phương trình đại 20
số (trong miền tần số). 1.4 CÁC YẾU TỐ HÌNH HỌC CỦA MẠCH Một khi mạch tương đương của một hệ thống đã được xây dựng, việc phân tích nó được tiến hành dựa trên một số các định luật cơ bản và các định luật này lại đưọc xây dựng theo các yếu tố hình học của sơ đồ mạch. Đây là những khái niệm mang tính chất hình học, tạo cơ sở cho việc phân tích mạch được thuận tiện, chúng bao gồm: + Nhánh: là phần mạch gồm các phần tử mắc nối tiếp trong đó có cùng một dòng điện chảy từ một đầu tới đầu còn lại của nhánh. + Nút: là giao điểm của các nhánh mạch. + Cây: là phần mạch bao gồm một số nhánh đi qua toàn bộ các nút, nhưng không tạo thành vòng kín. Xét một cây cụ thể, nhánh thuộc cây đang xét gọi là nhánh cây và nhánh không thuộc cây gọi là nhánh bù cây. + Vòng: bao gồm các nhánh và các nút tạo thành một vòng khép kín. Vòng cơ bản (ứng với một cây) là vòng chỉ chứa một nhánh bù cây. Nếu mạch điện có số nhánh Nnh, số nút Nn, ứng với một cây có số nhánh bù cây là Nb và số vòng cơ bản là Nv thì ta có: Để minh họa, ta xét mạch điện hình 1.26. Mạch điện này có các nút A, B, C, O (tức Nn =4); có các nhánh Z1, Z2, Z3 Z4, Z5, Z6 (tức Nnh =6). Các nhánh Z1, Z3, Z5 tạo thành một cây có ba nhánh, gốc tại O, các nhánh còn lại là các nhánh bù cây. Ứng với cây có gốc O, các vòng V1, V2, V3, là các vòng cơ bản; còn vòng V4, chứa 2 nhánh bù cây, nên không phải vòng cơ bản. 21
1.5 TÍNH CHẤT TUYẾN TÍNH, BẤT BIẾN VÀ NHÂN QUẢ CỦA MẠCH ĐIỆN Tính tuyến tính Một phần tử được gọi là tuyến tính khi các thông số của nó không phụ thuộc vào điện áp và dòng điện chạy qua nó, nếu không thoả mãn điều này thì phần tử đó thuộc loại không tuyến tính. Mạch điện được gọi là tuyến tính khi các thông số hợp thành của nó không phụ thuộc vào điện áp và dòng điện chạy trong mạch. Như vậy, trước hết mạch tuyến tính phải gồm các phần tử tuyến tính, chỉ cần trong mạch có một phần tử không tuyến tính thì mạch đó cũng không phải là mạch tuyến tính. Để hiểu rõ khía cạnh này, ta xét ngay đối với các phần tử thụ động: +Điện trở là phần tử tuyến tính nếu đặc tuyến Vôn-Ampe của nó là một đường thẳng như trường hợp (a) trên hình 1.27 quan hệ giữa điện áp và dòng điện trên nó có dạng: và nó sẽ là không tuyến tính (phi tuyến) nếu đặc tuyến Vôn-Ampe của nó không phải là một đường thẳng mà là một đường cong như trường hợp (b) trên hình 1.27, quan hệ giữa điện áp và dòng điện trên nó có dạng một hàm: +Tương tự như vậy, một tụ điện được gọi là tuyến tính nếu có quan hệ: và nó sẽ là phần tử phi tuyến nếu có quan hệ hàm số: +Cũng như thế, một cuộn cảm được gọi là tuyến tính nếu có quan hệ: 22
và nó sẽ là phần tử phi tuyến nếu có quan hệ hàm số: * Các tính chất của các phần tử và mạch tuyến tính bao gồm: +Có thể áp dụng nguyên lý xếp chồng +Đặc tuyến đặc trưng cho phần tử là một đường thẳng +Phương trình của mạch là phương trình vi phân tuyến tính +Dưới tác động với tần số bất kỳ, trong mạch không phát sinh ra các hài mới * Đối với mạch không tuyến tính, thì các tính chất nói trên không còn đúng nữa: -Không áp dụng được nguyên lý xếp chồng -Đặc tuyến đặc trưng cho phần tử không là đường thẳng -Phương trình của mạch là phương trình vi phân không tuyến tính -Dưới tác động với tần số bất kỳ, trong mạch có thể phát sinh ra các hài mới. Tính bất biến Một mạch được gọi là bất biến nếu các thông số của mạch không phụ thuộc thời gian, khi một trong các thông số của nó chịu ảnh hưởng của thời gian thì mạch đó là mạch không bất biến (mạch thông số). Với mạch bất biến, giả thiết mạch không có năng lượng ban đầu, nếu y(t) là đáp ứng của mạch tương ứng với tác động x(t), thì y(t-t 1) sẽ là đáp ứng của mạch tương ứng với tác động x(t-t1). Tính nhân quả Mạch điện (với giả thiết không có năng lượng ban đầu) được gọi là có tính nhân quả nếu đáp ứng ra của mạch không thể có trước khi có tác động ở đầu vào. Cũng cần phải nhắc rằng tính chất tuyến tính và bất biến của mạch điện chỉ đúng trong điều kiện làm việc nhất định, khi điều kiện làm việc bị thay đổi thì các tính chất đó có thể không còn đúng nữa. Việc phân chia tính tuyến tính /không tuyến tính và bất biến /không bất biến chỉ mang tính chất tương đối. 1.6 KHÁI NIỆM VỀ TÍNH TƯƠNG HỖ CỦA MẠCH ĐIỆN Phần tử tương hỗ là phần tử có tính chất dẫn điện hai chiều, thoả mãn điều kiện: Zab Zba . Mạch điện tương hỗ là mạch điện bao gồm các phần tử tương hỗ. Nói một cách tổng quát nó thoả mãn điều kiện: trong đó: 23
Zlk: trở kháng chung giữa vòng l và vòng k, Zkl: trở kháng chung giữa vòng k và vòng l, YMN: dẫn nạp chung giữa nút M và nút N, YNM: dẫn nạp chung giữa nút N và nút M. Như vậy trong mạch tương hỗ, dòng điện trong vòng l (sinh ra bởi các nguồn đặt trong vòng k) bằng dòng điện trong vòng k (sinh ra bởi chính nguồn đó chuyển sang vòng l). Hay nói một cách khác, dòng điện trong nhánh i (sinh ra bởi nguồn E đặt trong nhánh j) bằng dòng điện trong nhánh j (sinh ra bởi chính nguồn đó chuyển sang nhánh i). Các phần tử và mạch tuyến tính có tính chất tương hỗ (như các phần tử thụ động dẫn điện hai chiều R, L, C ) đã làm cho việc phân tích mạch trong các phần đã đề cập trở nên thuận lợi. Đối với các phần tử và mạch không tương hỗ (như đèn điện tử, tranzito, điốt ) thì việc phân tích khá phức tạp, khi đó cần phải có thêm các thông số mới. 1.7 CÔNG SUẤT TRONG MẠCH ĐIỆN ĐIỀU HÒA Xét một đoạn mạch như hình 1.28. Ở chế độ xác lập điều hòa, dòng điện và điện áp trên mạch được biểu diễn dưới dạng: -công suất tức thời trên đoạn mạch tại thời điểm t là: Trong khoảng thời gian T = t2 – t1, năng lượng mà đoạn mạch nhận được là: t 2 W p(t)dt r t1 -Công suất trung bình, còn gọi là công suất tác dụng trên mạch này là: 24
trong đó U,I là các giá trị hiệu dụng của điện áp và dòng điện, còn ϕ là góc lệch pha giữa điện áp và dòng điện trong đoạn mạch. Công suất tác dụng có ý nghĩa thực tiễn hơn so với công suất tức thì. Trong mạch thụ động, sự lệch pha của áp và dòng luôn nằm trong giới hạn nên P luôn luôn dương. 2 Thực chất P chính là tổng công suất trên các thành phần điện trở của đoạn mạch. Đơn vị công suất tác dụng tính bằng W. -Công suất phản kháng trên đoạn mạch này được tính theo công thức: Trong mạch thụ động, công suất phản kháng có thể có giá trị dương hoặc âm. Nếu mạch có tính cảm kháng, tức điện áp nhanh pha hơn so với dòng điện, thì q sẽ có giá trị dương. Nếu mạch có tính dung kháng, tức điện áp chậm pha hơn so với dòng điện, thì Qr sẽ có giá trị âm.Thực chất Qr chính là công suất luân chuyển từ nguồn tới tích lũy trong các thành phần điện kháng của mạch và sau đó lại được phóng trả về nguồn mà không bị tiêu tán. Nó có giá trị bằng hiệu đại số giữa công suất trên các thành phần điện cảm và công suất trên các thành phần điện dung. Khi Q r bằng không, có nghĩa là công suất trên các thành phần điện cảm cân bằng với công suất trên các thành phần điện dung, hay lúc đó mạch là thuần trở. Đơn vị công suất phản kháng tính bằng VAR. -Công suất biểu kiến, còn gọi là công suất toàn phần trên đoạn mạch này được tính theo công thức: Đơn vị công suất toàn phần tính bằng VA. Công suất toàn phần mang tính chất hình thức về công suất trong mạch khi các đại lượng dòng và áp được đo riêng rẽ mà không chú ý tới sự lệch pha giữa chúng. Tổng quát công suất trong mạch còn được biểu diễn dưới dạng phức: -Hệ số công suất là tỉ số giữa P và S: 25
Về mặt lý thuyết, mặc dù Qr không phải là công suất tiêu tán, nhưng trong thực tế dòng điện luân chuyển năng lượng giữa các thành phần điện kháng và nguồn lại gây ra sự tiêu hao công suất nguồn do nội trở trên các đường dây dài tải điện. Vì vậy trong kỹ thuật điện, để nâng cao hiệu suất truyền tải điện năng (giảm dòng điện trên đường dây) người ta thường phải sử dụng biện pháp đặc biệt để nâng cao hệ số công suất. 1.7.2 Điều kiện để công suất trên tải đạt cực đại Xét một nguồn điều hòa có sức điện động E (giá trị hiệu dụng). Giả thiết rằng nội trở trong của nguồn là Zng R ng jXng . Trong trường hợp không chú trọng đến hiệu suất của nguồn, nếu trở kháng tải nối với nguồn thỏa mãn điều kiện: * Zt Zng Rng -jXt (1.48) khi đó công suất trên tải sẽ đạt cực đại và có giá trị bằng: 1.8 KỸ THUẬT TÍNH TOÁN TRONG LÝ THUYẾT MẠCH 1.8.1 Kỹ thuật chuẩn hóa qua các giá trị tương đối Ta biết rằng giá trị của các phần tử và các thông số trong mạch điện thường nằm trong một khoảng rất rộng và liên quan tới các giá trị mũ của 10, điều này gây khó khăn nhiều làm ảnh hưởng đến tốc độ tính toán. Để khắc phục nhược điểm này trong lý thuyết mạch thường sử dụng một số kỹ thuật tính toán, đặc biệt là sử dụng các giá trị đã được chuẩn hoá. Nguyên tắc: Bằng việc chọn các giá trị chuẩn thích hợp, người ta thay việc phải tính toán trên các giá trị thực tế bằng việc tính toán qua các giá trị tương đối, điều đó cho phép giảm độ phức tạp trong biểu thức tính toán. Sau khi đã tính toán xong, người ta lại trả kết quả về giá trị thực của nó. = / . Sau đây ta xét trường hợp mạch điện tuyến tính chứa các thông số R,L,C, và ω. Như vậy cần phải lựa chọn bốn giá trị chuẩn. Bốn giá trị chuẩn đó có mối liên hệ: 26
Như vậy trong bốn giá trị chuẩn, có hai giá trị được chọn tự do và hai giá trị chuẩn còn lại được suy ra từ hệ thức trên. Thí dụ: để chuẩn hóa các thông số của mạch điện hình 1.29, ta có thể chọn hai giá trị chuẩn một cách tuỳ ý, chẳng hạn ta chọn: Rch = 100Ω; Lch = 4mH, và ta có hai giá trị chuẩn còn lại: Từ hệ đơn vị chuẩn vừa tính được, ta có thể biểu diễn giá trị các phần tử của mạch điện theo các giá trị đã được chuẩn hoá, tức là theo các giá trị tương đối như hình 1.30. Rõ ràng việc tính toán trên các giá trị tương đối được đơn giản đi khá nhiều. 1.8.2 Các đại lượng lôgarit Trong lý thuyết mạch ta luôn gặp những đại lượng có giá trị nằm trong một khoảng rất rộng, hơn nữa các khâu khuếch đại thường được nối ghép theo kiểu dây chuyền. Việc dùng các đơn vị lôgarit sẽ giúp cho sự tính toán và biểu diễn các đặc tuyến được thuận lợi. Sau đây là một số đại lượng logarit thường dùng: -Đối với tỉ số công suất: -Đối với tỉ số điện áp: xuất phát từ hai công thức trên, người ta định nghĩa: 27
Quan hệ giữa dB và Np: -Đối với tỉ số của tần số: Quan hệ giữa [oct] và [D]: CÁC THÍ DỤ MINH HỌA Thí dụ 1.1: Tính điện cảm tương đương của của hai phần tử điện cảm L 1 và L2 trong hai trường hợp mắc nối tiếp và mắc song song (giả sử giữa chúng có hỗ cảm M). Giải: a. Trong trường hợp mắc nối tiếp (hình 1.31): di di mặt khác: u u u L (L L 2M ) L 1 2 td 1 2 dt td dt Vậy Ltd L1 L2 2M (1.59) Dấu ‘-’ lấy khi đầu nối chung giữa hai phần tử là cùng cực tính, ngược lại thì lấy dấu ‘+’. b. Trong trường hợp mắc song song (hình 1.32): Ta xét trong cách biểu diễn phức: 28
Từ các phương trình trên rút ra: trong đó: Z1=jωL1, Z2=jωL2 là trở kháng của hai phần tử trong cách biểu diễn phức. ZM=jωM là trở kháng hỗ cảm giữa hai phần tử. Z td =jωLtđ là trở kháng tương đương của hai phần tử. Dấu ‘-‘ được lấy khi dòng điện cùng chảy vào hoặc cùng chảy ra khỏi các đầu có ký hiệu ‘*’, nếu ngược lại thì biểu thức lấy dấu ‘+’. Thí dụ 1.2: Tính trở kháng của đoạn mạch hình 1.33, biết R=100Ω, X L=20Ω, XC=5Ω (lấy theo giá trị môđun) Giải: thay số ta có: 29
Thí dụ 1.3 : Cho mạch điện hình 1.34, trong đó: Z1 1 5j ; Z2 3 3j ; Z3 6 6j . Điện áp vào có biên độ phức: a. Xác định U1(t), i1(t), i2(t) và i3(t). b. Tính công suất tác dụng của đoạn mạch. Hình 1.34 Giải: Ta có : Z2Z3 Ztd Z1 3 3 j Z2 Z3   I1m j150 I3m Z2 1.e Z2 Z3   U 0 I 1m 3.e j15 1m Z td  I1m j150 I2m Z3 2.e Z2 Z3 -Vậy: 0 u1(t) 9 2 sin(t 30 ) 0 0 0 i1(t) 3sin(t 15 ) i2 (t) 2sin(t 15 ) i3 (t) sin(t 15 ) b.Công suất tác dụng P U.I cos 13,5W. Thí dụ 1.4: Cho mạch điện như hình 1.35, với các số liệu viết dưới dạng phức: Z1 2.4 5j ; Z2 5 j ; Z3 j ; Z5 2 j4 ; Z4 2 j4  . a. Vẽ sơ đồ tương đương chi tiết theo các tham số r, XL, XCb. Đặt lên mạch điện áp điều hòa có giá trị hiệu dụng là 5V, viết biểu thức thời gian của dòng điện chạy trong mạch. 30
Giải: a. Sơ đồ tương đương chi tiết theo các tham số r, Xl, Xc có dạng như hình 1.36, lấy đơn vị là Ω. b. Ta có: Vậy biểu thức thời gian của điện áp và dòng điện trong mạch là: Thí dụ 1.5: Cho mạch điện như hình 1.37, với các số liệu dưới dạng phức (đơn vị là Siemen): 31
a. Vẽ sơ đồ tương đương chi tiết theo các tham số g, BL, BC b. Cho dòng điện điều hòa chạy qua mạch có giá trị hiệu dụng là 5A, hãy viết biểu thức thời gian của điện áp đặt trên hai đầu mạch điện. Giải: a. Sơ đồ tương đương chi tiết của mạch theo các tham số g, B L, BC có dạng như hình 1.38, (đơn vị là Siemen). b. Ta có: Y45 Y4 Y5 1 j Y3.Y45 Y345 1 Y3 Y45 Vậy biểu thức thời gian của điện áp và dòng điện trong mạch là: 32
Thí dụ 1.6: Hãy xét các đặc tính về điện (theo tần số) ở chế độ xác lập của mạch RLC nối tiếp như hình 1.39. Giải: Trở kháng của mạch: Mối tương quan của các thành phần trở kháng của mạch được biểu diễn trên mặt phẳng phức như hình 1.40a. Còn hình 1.40b mô tả đặc tính các thành phần điện kháng của mạch theo tần số. Khi tần số nhỏ hơn f0, XC lớn hơn XL, khi đó X có giá trị âm, mạch có tính điện dung, điện áp chậm pha hơn so với dòng điện. Khi tần số lớn hơn f0, XC nhỏ hơn XL, khi đó X có giá trị dương, mạch có tính điện cảm, điện áp nhanh pha hơn so với dòng điện. 33
1 Tại tần số cộng hưởng của mạch f , cân bằng với XC, thành phần điện kháng 0 2 LC X của mạch bị triệt tiêu, trở kháng của mạch là bé nhất và thuần trở, dòng điện trên mạch đạt cực đại và đồng pha với điện áp. Khi tần số lệch khỏi giá trị cộng hưởng, phần điện kháng X của mạch sẽ tăng, tức là trở kháng của mạch tăng, nghĩa là dòng trong mạch sẽ giảm. Sự phụ thuộc của biên độ dòng điện vào tần số dẫn đến tính chọn lọc tần số của mạch. Hình 1.41 mô tả tính chọn lọc tần số của mạch (với nguồn tác động là nguồn áp lý tưởng). -Dải thông của mạch: trong đó f1, f2 là các tần số biên của dải thông, còn gọi là tần số cắt, được xác định tại vị trí mà biên độ đặc tuyến bị giảm đi 3dB (tức bằng 0,7I0); còn Q là đại lượng đặc trưng cho tính chọn lọc tần số của mạch và gọi là phẩm chất của mạch (tại tần số cộng hưởng). Khi Q tăng thì dải thông của mạch càng hẹp, độ chọn lọc càng cao. -Tại tần số cộng hưởng, điện áp trên L và C ngược pha nhau và đều gấp Q lần điện áp tác động: 34
Chú ý rằng, thực tế, tại tần số cộng hưởng, điện áp tổng U sẽ đạt cực tiểu, nhưng trong L và C tồn tại các điện áp ngược pha nhau với độ lớn bằng nhau và gấp Q lần điện áp tổng. Vì vậy người ta nói mạch RLC nối tiếp là mạch cộng hưởng điện áp. Thí dụ 1.7: Hãy xét các đặc tính về điện (theo tần số) ở chế độ xác lập của mạch RLC song song như hình 1.42. Giải: Dẫn nạp của mạch: Mối tương quan của các thành phần dẫn nạp của mạch được biểu diễn trên mặt phẳng phức như hình 1.43a.Còn hình 1.43b mô tả đặc tính các thành phần điện nạp của mạch theo tần số. Khi tần số nhỏ hơn f 0, BL lớn hơn B C, khi đó B có giá trị âm, mạch có tính điện cảm, điện áp nhanh pha hơn so với dòng điện. Khi tần số lớn hơn f 0, BL nhỏ hơn BC, khi đó B có giá trị dương, mạch có tính điện dung, điện áp chậm pha hơn so với dòng 1 điện. Tại tần số cộng hưởng của mạch f , BL cân bằng với BC, thành phần điện 0 2 LC nạp B của mạch bị triệt tiêu, trở kháng của mạch là lớn nhất và thuần trở, điện áp trên 35
mạch đạt cực đại và đồng pha với dòng điện. Khi tần số lệch khỏi giá trị cộng hưởng, phần điện nạp B của mạch sẽ tăng, tức là trở kháng của mạch giảm, nghĩa là điện áp trên mạch sẽ giảm. Hình 1.44 mô tả tính chọn lọc tần số của mạch (với nguồn tác động là nguồn dòng lý tưởng). - Dải thông của mạch: - Phẩm chất của mạch (tại tần số cộng hưởng): Khi Q tăng thì dải thông càng hẹp, độ chọn lọc của mạch càng cao. - Tại tần số cộng hưởng, dòng điện trên các thành phần của mạch đều đạt cực đại, trong đó dòng trên L và C ngược pha nhau và đều gấp Q lần dòng điện tác động: Chú ý rằng, thực tế, tại tần số cộng hưởng, dòng điện tổng I qua mạch sẽ đạt cực tiểu, nhưng tồn tại một dòng điện luân chuyển và khép kín trong LC với độ lớn gấp Q lần dòng điện tổng. Vì vậy người ta nói mạch RLC song song là mạch cộng hưởng dòng điện. Các đặc tính đầy đủ về điện ở chế độ xác lập điều hòa của các mạch dao động đơn có thể tìm thấy trong phần phụ lục. TỔNG HỢP NỘI DUNG CHƯƠNG I • Mạch điện là một mô hình chính xác hoặc gần đúng của một hệ thống điện, nhằm thực hiện một toán tử nào đó lên các tác động ở đầu vào, nhằm tạo ra các đáp ứng mong muốn ở đầu ra. • Mạch điện bao gồm các thông số tác động và thụ động. Mỗi loại thông số đặc trưng cho một tính chất nhất định của các phần tử nói riêng và mạch điện nói chung. • Điện trở thuộc loại thông số thụ động không quán tính, đặc trưng cho sự tiêu tán năng lượng, trên đó dòng điện và điện áp đồng pha. 36
• Điện dung thuộc loại thông số quán tính, đặc trưng cho sự phóng và nạp năng lượng điện trường. Trong chế độ AC, trên điện dung dòng điện nhanh pha hơn 900 so với điện áp. • Điện cảm cũng thuộc loại thông số quán tính, đặc trưng cho sự phóng và nạp năng lượng từ trường. Trong chế độ AC, trên điện cảm dòng điện chậm pha 900 so với điện áp. • Nguồn điện ở chế độ phát thuộc loại phần tử tích cực, nhưng bản thân nó cũng có tổn hao đặc trưng bởi nội trở của nguồn. • Khi phân tích mạch, thường triển khai nguồn thành sơ đồ tương đương nguồn áp hoặc nguồn dòng. Khi Rng rất nhỏ hơn so với Rtải thì sự lựa chọn nguồn áp là thích hợp nhất, ngược lại thì lựa chọn nguồn dòng lại có ý nghĩa thực tiễn hơn. • Sự phức hóa các dao động điều hòa có bản chất khai triển tín hiệu thành chuỗi Fourier hoặc tích phân Fourier. Nó cho phép chuyển mạch điện và tín hiệu từ miền thời gian sang miền tần số. • Mạch điện truyền thống trong miền thời gian đặc trưng bởi một hệ phương trình vi phân, còn trong miền tần số đặc trưng bởi một hệ phương trình đại số. • Trở kháng và dẫn nạp của một đoạn mạch hoàn toàn đặc trưng cho tính chất của đoạn mạch đó trong miền tần số tại tần số làm việc xác định. Trở kháng đại diện cho sơ đồ tương đương nối tiếp, còn dẫn nạp đại diện cho sơ đồ tương đương song song của đoạn mạch. • Việc phân tích nguồn tác động thành các thành phần điều hoà và biểu diễn chúng dưới dạng phức làm cho sự tính toán các thông số trong mạch điện trở nên thuận lợi dựa trên các phép toán về số phức, đặc biệt là khi các nguồn tác động là điều hòa có cùng tần số. • Từ miền thời gian, bằng cách phức hóa mạch điện, bạn có thể chuyển mạch điện sang miền tần số để tính toán đáp ứng của mạch theo các phép tính đại số đơn giản, sau đó, nếu cần thiết, bạn có thể chuyển đổi ngược kết quả về miền thời gian. • Công suất tác dụng P của mạch chính là công suất tỏa nhiệt trên các thành phần điện trở của mạch. • Công suất phản kháng của mạch không phải đặc trưng cho sự tiêu tán năng lượng, nó đặc trưng cho sự chuyển hóa năng lượng giữa các thành phần điện kháng của mạch và nguồn. 37
• Tại tần số cộng hưởng, mạch cộng hưởng LC nối tiếp cho trở kháng bé nhất và thuần trở, đồng thời làm cho điện áp trên các thành phần điện kháng gấp Q lần điện áp lối vào nhưng ngược pha nhau. • Tại tần số cộng hưởng, mạch cộng hưởng LC song song cho trở kháng lớn nhất và thuần trở, đồng thời làm cho dòng điện trên các thành phần điện kháng gấp Q lần dòng điện lối vào nhưng ngược pha nhau. • Hệ số phẩm chất Q của các mạch LC liên quan đến nội trở R gây ra sự tổn hao năng lượng của mạch; nó quy định tính chất chọn lọc tần số của mạch. CHƯƠNG II: CÁC PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN PHÂN TÍCH MẠCH ĐIỆN GIỚI THIỆU Trong chương một chúng ta đã xét các khái niệm cơ bản của mạch điện, trong đó chủ yếu dựa vào hai thông số trạng thái cơ bản là điện áp và dòng điện. Sang chương này sẽ đi sâu vào nghiên cứu mối quan hệ của các thông số trạng thái đó, mối quan hệ này được quy định bởi các định luật cơ bản và chúng là căn cứ để xây dựng các phương pháp phân tích mạch điện. Cụ thể là: • Giới thiệu hai định luật cơ bản về dòng điện và điện áp trong mạch. • Thảo luận các phương pháp phân tích mạch kinh điển, bao gồm phương pháp dòng điện nhánh, phương pháp dòng điện vòng, phương pháp điện áp nút. Cơ sở của các phương pháp phân tích mạch là các định luật Kirchhoff. • Áp dụng các biến đổi tương đương để tìm đáp ứng trên một nhánh mạch. • Vận dụng nguyên lý xếp chồng trong phân tích mạch tuyến tính. NỘI DUNG 2.1 CƠ SỞ CỦA CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH MẠCH Bao trùm lên hầu hết các hiện tượng cơ bản trong mạch điện là các định luật Kirchhoff, các định luật này liên quan tới dòng điện tại các nút và sụt áp trong các vòng kín. 38
2.1.1 Định luật Kirchhoff I Định luật này phát biểu về dòng điện, nội dung của nó là: “ Tổng các dòng điện đi vào một nút bằng tổng các dòng điện đi ra khỏi nút đó ”. Hoặc là: “Tổng đại số các dòng điện tại một nút bằng không”:  akik 0 (2-1) k Trong đó: ak 1 nếu dòng điện nhánh đi ra khỏi nút đang xét ak 1 nếu dòng điện nhánh đi vào nút đang xét ak 0 nếu nhánh không thuộc nút đang xét. Như vậy định luật I có thể mô tả dưới dạng ma trận: trong đó A là ma trận hệ số có kích cỡ tối đa N N gọi là ma trận nút, và I có kích  n nh  nh cõNnh 1 gọi là ma trận dòng điện nhánh. Trong khi phân tích mạch điện, có thể quy ước chiều dương dòng điện trong các nhánh một cách tuỳ ý, sau khi áp dụng định luật I thì kết quả phân tích sẽ cho chúng ta biết chiều thực của các dòng điện đó. Nếu dòng điện sau khi phân tích tại thời điểm t có kết quả dương thì chiều thực của dòng điện tại thời điểm đó chính là chiều mà chúng ta đã chọn, ngược lại, nếu giá trị là âm thì chiều thực của dòng điện ngược chiều quy ước. Chúng ta có thể thấy mặc dù từ định luậtKirchhoff 1 có thể viết được Nn phương trình, nhưng chỉ có Nnh 1 phương trình độc lập. Như vậy sẽ có Nnh Nn 1 dòng điện nhánh coi như những giá trị tự do. 2.1.2 Định luật Kirchhoff II Định luật này phát biểu về điện áp, nội dung của nó là: “ Tổng đại số các sụt áp trên các phần tử thụ động của một vòng kín bằng tổng đại số các sức điện động có trong vòng kín đó ”. Hoặc là: “Tổng đại số các sụt áp của các nhánh trong một vòng kín bằng không”: trong đó: bk 1 nếu chiều điện áp trên nhánh cùng chiều vòng quy ước , bk 1 nếu chiều điện áp trên nhánh ngược chiều vòng quy ước , bk 0 nếu nhánh đó không thuộc vòng đang xét . 39
Khi phân tích mạch điện, để việc áp dụng định luật II được thuận tiện, nếu trong mạch chứa nguồn dòng thì cần phải chuyển nó về dạng nguồn áp. Ta có thể chọn các vòng cơ bản hoặc không cơ bản với chiều vòng kín tuỳ ý. Nhưng mặc dù có thể viết định luật II cho nhiều vòng thì cũng nên chú ý rằng không phải tất cả các phương trình đó đều độc lập với nhau. Chúng ta cũng có thể chứng minh được từ định luật kirchhoff 2 chỉ có thể viết được hươngNnh N trìnhn 1 độc lập (tương ứng với số nhánh bù cây, hay số vòng cơ bản tương ứng với mỗi cây được lựa chọn). Như vậy định luật Kirchhof 2 có thể mô tả dưới dạng ma trận: trong đó B là ma trận hệ số thường có kích cỡ Nb x Nnh  gọi là ma trận mạch, và U nhcó kích cỡ Nnh 1 ọi là ma trận điện áp nhánh. Thí dụ, xét mạch điện như hình 2-1a. Với qui ước chiều các dòng điện nhánh như hình vẽ, theo định luật Kirchhoff I ta có thể viết được bốn phương trình, nhưng trong đó có một phương trình phụ thuộc: Viết dưới dạng ma trận: 40
Trở lại mạch điện đã nêu ở trên, nếu áp dụng định luật Kirchhoff II cho các vòng cơ bản ứng với cây gốc tại O (hình 2-1b) thì ta có thể viết được các phương trình tương ứng: Viết dưới dạng ma trận: Chú ý: Kết hợp cả hai định luật Kirchhoff ta sẽ viết được Nnh phương trình độc lập. 41
2.2 CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH MẠCH CƠ BẢN Xét bài toán tổng quát: Cho mạch điện với số nút mạch là N n, số nhánh mạch là Nnh. Hãy tìm dòng điện chạy trong các nhánh. Các thông số nguồn giả thiết cho dưới dạng hiệu dụng phức. - Trong mạch hình 2.2, ta có: như vậy tương ứng sẽ có 8 biến số (là 8 dòng điện chạy trong 8 nhánh tương ứng). Để giải bài toán này, có một số phương pháp cơ bản sau đây: 2.2.1 Phương pháp dòng điện nhánh Cơ sở: áp dụng trực tiếp 2 định luật kirchhof để lập hệ phương trình trạng thái của mạch, ẩn số là các dòng điện nhánh. Chú ý rằng sẽ có Nn 1 hương trình theo định luật 1, và Nnh Nn 1 phương trình theo định luật 2. Cụ thể như sau: Bước 1: Đặt tên cho các nút của mạch (A, B,C,D,O), chọn một nút bất kỳ làm gốc (cụ thể ta chọn O làm nút gốc) như hình 2.2b. Chú ý rằng cây tương ứng với nút gốc O sẽ chứa các nhánh lẻ, các nhánh chẵn là các nhánh bù cây. 42
Bước 2: Giả định chiều dòng trong các nhánh một cách tùy ý (cụ thể ta chọn chiều dòng trong 8 nhánh như hình 2.2b). Chú ý rằng việc chọn chiều dòng trong các nhánh chỉ ảnh hưởng tới việc viết phương trình, còn dấu của kết quả cuối cùng mới cho ta biết chiều thực tế của dòng trong các nhánh. Bước 3: thành lập các vòng cho mạch (mỗi vòng chứa 1 nhánh mới). Số vòng phải thành lập là Nnh Nn 1 . Thường vòng lựa chọn là các vòng cơ bản ứng với một cây nào đó. Chiều vòng có thể lựa chọn tùy ý. Cụ thể ta thành lập 4 vòng như hình 2.2c. Bước 4: thành lập hệ có Nnh phương trình dòng điện nhánh, bao gồm: + (Nn -1) pương trình theo định luật I (viết cho các nút, trừ nút gốc), cụ thể như sau: 43
+ Nnh Nn 1 hương trình theo định luật 2 (viết cho các vòng đã lập). Cụ thể như sau: p.trình cho V1 : Z2.I2 Z3.I3 ( E1 Z1.I1) 0 p.trình cho V2 : Z4.I4 (Z5.I5 E5 ) Z3.I3 0 p.trình cho V3 : Z6.I6 (Z7 .I7 E7 ) ( E5 Z5.I5 ) 0 p.trình cho V4 : (Z8.I8 E8 ) (Z7 .I7 E7 ) ( E1 Z1.I1) 0 Bước 5: giải hệ phương trình đã thành lập để tính dòng điện trong các nhánh. Thí dụ 2.1:Tính dòng trong các nhánh của mạch điện như hình 2.3a bằng phương pháp dòng điện nhánh (giả thiết nguồn tác động là một chiều có giá trị 10V). Giải: ạch có Nn 2, Nnh 3 . +Đặt tên các nút là A, O. Chọn O làm gốc. +Giả định chiều dương dòng trong các nhánh và thành lập 2 vòng của mạch như hình 2.3b. 44
+Viết hệ phương trình: Thay số liệu của mạch ta được: Giải hệ ta có : Điều này chức tỏ dòng I3 thực tế chạy ngược lại 2.2.2 Phương pháp dòng điện vòng Ta đã biết từ hai định luật Kirchhoff có thể lập được các phương trình của mạch, trong đó định luật Kirchhoff 1 cho Nn 1 phương trình độc lập, định luật Kirchhoff 2 cho Nnh Nn 1 phương trình độc lập. Trên cơ sở các phương trình đó, người ta đã tìm cách biến đổi từ các mối quan hệ giữa dòng điện và điện áp trong các nhánh để đưa các phương trình này về dạng có thể giải theo các ẩn số mới, đó chính là ý tưởng cho các phương pháp phân tích mạch điện. Điện áp nút hay dòng điện vòng là những phương pháp đổi ẩn số điển hình. Trở lại bài toán tổng quát hình 2.2, bây giờ ta sẽ tìm dòng điện chạy trong các nhánh bằng một phương pháp khác, trong đó ta thay các ẩn số thực là dòng trong các nhánh bằng các ẩn số trung gian là dòng điện vòng giả định chạy trong các vòng kín. 45
Bước 1: Thành lập các vòng cho mạch như hình 2.4 (mỗi vòng tương ứng với một dòng điện vòng giả định). Chú ý rằng vòng thành lập sau phải chứa tối thiểu một nhánh mới so với các vòng đã thành lập trước. Các vòng cơ bản ứng với mỗi cây sẽ thỏa mãn điều kiện này. Số vòng phải thành lập là Nnh Nn 1 . Cụ thể, ta thành lập bốn dòng điện vòng của mạch làI , I , I , I . V1 V2 V3 V4 Bước 2: Thành lập hệ gồm Nnh Nn 1 phương trình cho mạch tương ứng với các vòng kín,trong đó ẩn số là các dòng điện vòng giả định, dựa trên cơ sở chỉ áp dụng định luật kirchhof 2. Để làm rõ quy luật thành lập hệ phương trình, ta hãy xét một vòng cụ thể, chẳng hạn ta xét vòng thứ tư (IV4). Định luật 2 áp dụng cho vòng bốn, nguyên thủy theo ẩn số thực (là dòng điện nhánh) được viết như sau: Chú ý rằng: I8 IV4 ; I7 IV4 IV3; và I1 ( IV1 IV4 ). Khi đó, phương trình của vòng bốn được viết lại theo các ẩn số mới (là dòng điện vòng giả định) như sau: Từ đó ta thấy quy luật thành lập vế trái và vế phải của phương trình viết cho vòng đang xét (IV4 ) : 46
Từ quy luật đó, ta viết được hệ phương trình dòng điện vòng cho mạch như sau : Bước 3: giải hệ phương trình dòng điện vòng để tìm giá trị các dòng điện vòng giả định. Bước 4: chuyển kết quả trung gian về dòng điện trong các nhánh, cụ thể là: I1 (IV1 IV 4 ) I2 IV1 I3 IV1 IV 2 I4 IV 2 I5 IV 2 IV 3 I6 IV 3 I7 IV 4 IV 3 I8 IV 4 Chú ý: Hệ phương trình dòng điện vòng có thể viết dưới dạng phương trình ma trận trong đó ta gọi ma trận: 47
là ma trận trở kháng vòng. Ma trận vuông này có đặc điểm là: -Nằm trên đường chéo chính là các trở kháng vòng. -Hai bên đường chéo là trở kháng chung đối xứng nhau qua đường chéo chính. Thídụ 2.2: Tính dòng trong các nhánh của mạch điện trong thí dụ 2.1 bằng phương pháp dòng điện vòng. Giải: Thành lập 2 vòng, tương ứng IV1 và IV2 như hình 2.5. Hệ phương trình được viết thành: Thay số liệu, ta có: Giải hệ ta được: Vậy dòng trong các nhánh là: Các kết quả này hoàn toàn trùng với kết quả trong cách giải bằng phương pháp dòng điện nhánh. 48
Thí dụ 2.3: Cho mạch điện hình 2.6. a. Viết hệ phương trình dòng điện vòng khi không tính đến hỗ cảm giữa các cuộn cảm. b. Tính dòng điện chạy qua các nhánh trong trường hợp có tính đến ghép hỗ cảm, cho biết các giá trị: R1 1; R 2 1; XL1 1; XL2 2; XM 1; E 1V. Giải: a. Các phương trình dòng điện vòng khi không tính đến hỗ cảm: b. Các phương trình dòng điện vòng khi có tính đến hỗ cảm: trong đó thành phần jXMIv2 là điện áp hỗ cảm do dòng điện Iv2 chạy trong XL2 gây ra trên XL1 , còn thành phần jXMIv1 là điện áp hỗ cảm do dòng điện Iv1 chạy trong XL1 gây ra trên XL2 . Thay số ta có: áp dụng quy tắc Crame ta tính được: Theo công thức biến đổi vòng: Thí dụ 2.4: hãy tính các dòng điện nhánh của mach điện hình 2.7. 49
Giải: Trước hết ta phải chuyển nguồn dòng Ing2 về dạng nguồn áp: E2 Ing2.R 2 , và mạch điện được vẽ lại như hình 2.8. Bây giờ ta viết hệ phương trình dòng điện vòng cho mạch mới: Theo quy tắc Crame ta có: Các công thức biến đổi vòng của mạch điện: Chú ý rằng dòng điện trong R2 của mạch điện ban đầu sẽ được tính theo công thức: 50
Thí dụ 2.5: Tính dòng các điện nhánh của mạch điện hình 2.9 với các số liệu nguồn dưới dạng hiệu dụng phức: Giải: Ta sẽ sử dụng phương pháp dòng điện vòng để giải bài toán này: Thay số: Giải hệ phương trình này theo phương pháp định thức: Tính được: 51
Theo các công thức biến đổi vòng của mạch điện ta tính được các dòng điện hiệu dụng phức: 2.2.3 Phương pháp điện áp nút Trở lại xét bài toán tổng quát hình 2.10a. Bây giờ ta sẽ tìm dòng điện chạy trong các nhánh bằng một phương pháp khác, trong đó ta thay các ẩn số thực bằng các ẩn số trung gian là điện áp của các nút. Trong bài toán này có một sự thay đổi nhỏ đó là biểu diễn các nhánh mạch theo dẫn nạp. Bước 1: đánh ký hiệu cho các nút A,B,C,D,O và chọn một nút làm gốc như hình 2.10b. Nút gốc sẽ có điện thế quy ước là điểm chung (0V). Điện thế các nút còn lại chính là điện áp của nó so với gốc. Trong trường hợp cụ thể này ta chọn gốc là nút O. Bước 2: thành lập hệ phương trình điện áp nút cho mạch. Hệ phương trình viết cho Nn 1 nút, trừ nút gốc. Cơ sở là định luật Kirchhoff 1. Để tìm quy luật thành lập, ta hãy xuất phát từ phương trình gốc của nút A: 52
Chú ý rằng các dòng này có thể tính từ điện áp của các nút: khi đó, phương trình của nút A được viết lại theo các ẩn số mới (là điện áp các nút) như sau: nhóm số hạng và chuyển vế ta được: trong đó, các dòng điện nguồn được tính theo biểu thức: Ta rút ra quy luật thành lập các vế trái và phải của phương trình viết cho nút A: Từ quy luật đó, ta viết được hệ phương trình điện áp nút cho mạch như sau: 53
Bước 3: giải hệ phương trình để tìm ra điện áp các nút. Bước 4: Chuyển đổi kết quả trung gian về dòng trong các nhánh, cụ thể là: Chú ý: Hệ phương trình trên có thể viết dưới dạng phương trình ma trận: Chú ý: Hệ phương trình trên có thể viết dưới dạng phương trình ma trận: là ma trận dẫn nạp nút, nó có đặc điểm là: 54
-Nằm trên đường chéo chính là các dẫn nạp nút. -Hai bên đường chéo là dẫn nạp chung đối xứng nhau qua đường chéo chính. Thí dụ 2.6: Tính dòng trong các nhánh của mạch điện hình 2.11 bằng phương pháp điện áp nút. Giải: đặt tên các nút mạch là A,O. Chọn nút O làm gốc. Mạch chỉ có 1 phương trình cho nút A: Thay số ta được: Cuối cùng, đổi kết quả trung gian về dòng trong các nhánh: Dấu ‘- ‘ của I1 có nghĩa là dòng thực tế của I1 chạy vào nút A. Thí dụ 2.7: Hãy viết hệ phương trình điện áp nút cho mạch điện hình 2.12. 55
Giải: Ký hiệu các nút là A, B, C, O và chọn nút O làm gốc. Như vậy ta sẽ có hệ ba phương trình, ba ẩn số U A ,U B ,UC Thí dụ 2.8: Cho mạch điện hình 2.13. Hãy tính các dòng điện chạy qua R1 và XL bằng phương pháp điện áp nút. Giải: Chọn nút gốc là O, khi đó hệ hai phương trình điện áp nút là: Theo qui tắc Crame ta có: 56
Theo công thức biến đổi nút của mạch ta tính được: Thí dụ 2.9: Cho mạch điện điều hòa hình 2.14 với các số liệu dưới dạng phức: E1 1V; E6 jV; Z1 1; Z2 j; Z3 j; Z4 1;Z5 j; Z6 1. Tính các dòng điện nhánh bằng phương pháp điện áp nút. Giải: Chọn nút B làm gốc, khi đó: Hình 2.14 Thay số ta có: Dùng qui tắc Crame: 57
Và dòng điện nhánh sẽ là: Thí dụ 2.10: Cho mạch điện hình 2.15. a. Thành lập hệ phương trình điện áp nút cho mạch. b. Dựa vào câu a, hãy viết công thức tính dòng trong các nhánh theo điện áp các nút. Giải: -Chọn 0 làm gốc: a. Hệ phương trình điện áp nút: 58
b. Dòng trong các nhánh: Thí dụ 2.11: Mạch điện như hình 2.16a, với các số liệu: R1 R 2 R3 2; E1 1,5V; E2 3V. Hãy tính dòng điện trong các nhánh bằng phương pháp dòng điện vòng và phương pháp điện áp nút? Giải: a. Theo phương pháp dòng điện vòng: -Giả thiết chọn chiều các vòng như hình 2.16b: -Dòng trong các nhánh: 59
b. Theo phương pháp điện áp nút: -Chọn 0 làm gốc như hình 2.16c. -Phương trình điện áp nút: UA (G1 +G2 +G3 ) = Ing1-Ing2 -Thay số tính được: UA = -0,5V. -Với chiều dương của dòng trong các nhánh chọn như hình 2.16c, ta c 2.3 PHƯƠNG PHÁP NGUỒN TƯƠNG ĐƯƠNG Trong một số trường hợp, nhiệm vụ phân tích mạch không đòi hỏi phải tính tất cả dòng và áp của tất cả các nhánh, mà chỉ đòi hỏi tính toán trên một nhánh hay một phần mạch nào đó. Lúc đó việc vận dụng các phương pháp nêu trên sẽ dẫn đến các phép tính không cần thiết và các kết quả thừa. Phương pháp nguồn tương đương mà cơ sở của nó là định lý Thevenine-Norton cho phép chúng ta giải các bài toán như vậy một cách đơn giản hơn bằng cách thay thế phần mạch có chứa nguồn bởi một nguồn áp hay nguồn dòng tương đương. Nội dung định lý Thevenine-Norton Trong mạch điện, phần mạch AB có chứa nguồn (và nối với phần còn lại Z của mạch tại cặp điểm AB, đồng thời giữa hai phần không có ghép hỗ cảm với nhau), có thể được thay 60
thế tương đương bằng một nguồn áp có sức điện động bằng điện áp hở mạch trên cặp điểm AB (hay một nguồn dòng có dòng điện nguồn bằng dòng điện ngắn mạch trên cặp điểm AB), còn trở kháng trong của nguồn bằng trở kháng tương đương nhìn từ cặp điểm AB với nguyên tắc ngắn mạch các nguồn sức điện động và hở mạch các nguồn dòng có trong phần mạch này. Nội dung định lý được mô tả như hình 2.17. Định lý này có thể suy ra trực tiếp từ sự mở rộng định nghĩa của nguồn điện và nếu phần mạch gốc chỉ chứa các phần tử tuyến tính thì nguồn tương đương của nó cũng là nguồn tuyến tính. Như vậy, định lý Thevenine-Norton cho phép biến đổi phần mạch điện có chứa nguồn thành 2 sơ đồ tương đương: sơ đồ tương đương nguồn áp (còn gọi là sơ đồ Thevenine), và sơ đồ tương đương nguồn dòng (còn gọi là sơ đồ Norton). NortonHình 2.17: Minh họa định lý Thevenine-Norton Thí dụ 2.12: Cho mạch điện như hình 2.18a, hãy tính dòng điện chạy qua Z3 . 61
Giải: Ta thấy ở đây chỉ tính dòng chạy qua một nhánh, do đó để đơn giản hãy áp dụng phương pháp nguồn tương đương. -Trước hết cắt bỏ Z 3, phần mạch còn lại chính là phần mạch có chứa nguồn như hình 2.18b. -Xác định điện áp hở mạch trên cặp điểm AB: Hình 2.18 b -Xác định ZtđAB nhìn từ cặp điểm AB, ngắn mạch nguồn sđđ E1 & E5 như hình 2.18c: -Từ đó suy ra được dòng điện ngắn mạch trên cặp điểm AB là: Sơ đồ tương đương Thevenine và Norton có dạng như hình 2.18d. 62
Rõ ràng việc tính dòng trên Z3 lúc này trở nên đơn giản hơn nhiều: Thí dụ 2.13: Cho mạch điện hình 2.19a, với các số liệu: R1 R 2 10; R3 R 4 20; Ing1 3A; Eng4 30V. Hãy tính dòng điện iR2 bằng nguyên lý nguồn tương đương. Giải: Biến đổi tương đương thành sơ đồ Thevenine hoặc Norton: - Tính điện áp hở mạch tại cặp điểm AB như hình 2.19b. - Ta có: Vậy suy ra: 63
- Tính dòng điện ngắn mạch trên cặp điểm AB như hình 2.19c, ta có: - Tính điện trở tương đương nhìn tại cặp điểm AB như hình 2.19d, ta được: Rtd=20Ω. - Tổng hợp, sơ đồ tương đương Thevenine và Norton có dạng như hình 2.19e: Hình 2.19e Vậy ta tính được: IR 2 = 0.5A (A sang B). Thí dụ 2.14: Cho mạch điện hình 2.20, hãy tính dòng I0 bằng phương pháp nguồn tương đương. 64
Giải: -Ngắt R0 và X0 ra khỏi mạch. Để tính UhmAB , thì trước hết ta tính dòng điện vòng Iv chạy trong mạch theo công thức: Mặt khác: Vậy: -Bây giờ ta phải tính ZtđAB . Sau khi ngắn mạch hai nguồn sđđ, nhìn từ cặp điểm AB có hai nhánh mạch như hình 2.21a. Do có tính đến ghép hỗ cảm nên ta không thể tính ZtđAB theo quan niệm hai nhánh mạch ghép song song với nhau mà phải áp dụng phương pháp dòng điện vòng, đặt: 65
khi đó sơ đồ hình 2.21a có thể vẽ lại như hình 2.21b: Hình 2.21b theo kết quả của thí dụ đã xét trong chương I, áp dụng trong trường hợp cụ thể này ta có: Như vậy theo sơ đồ tương đương Thevenine ở hình 2.21c ta tính được kết quả cuối cùng: Thí dụ 2.15 Cho mạch điện như hình 2.22. Hãy xác định các thông số của mạch Thevenine. Giải: -Hở mạch tải Z5, ta xác định được sức điện động của nguồn tương đương là điện áp UAB hở mạch: 66
Ngắn mạch nguồn E, nhìn từ cặp điểm AB ta xác định được nội trở của nguồn tương đương: 2.4 PHÂN TÍCH MẠCH TUYẾN TÍNH BẰNG NGUYÊN LÝ XẾP CHỒNG Trong chương I chúng ta đã có dịp bàn đến khái niệm phần tử tuyến tính và mạch tuyến tính. Một trong những tính chất quan trọng nhất của loại mạch này là có thể áp dụng nguyên lý xếp chồng để phân tích các đáp ứng và các quá trình năng lượng xảy ra trong hệ thống. Nội dung nguyên lý xếp chồng Trong hệ thống tuyến tính, nếu yi là đáp ứng tương ứng với tác động xi, thì a.y1 b.y2 sẽ là đáp ứng tương ứng với tác động a.x1 b.x2 . Cụ thể, nếu một mạch điện tuyến tính có chứa nhiều nguồn tác động, thì dòng điện vòng sinh ra trong vòng l bởi tất cả các nguồn của mạch bằng tổng các dòng điện vòng sinh ra trong vòng l bởi riêng các nguồn đặt trong mỗi vòng k của mạch. Hay nói một cách khác, dòng điện vòng sinh ra trong vòng l nào đó của mạch, bởi tất cả các nguồn của mạch bằng tổng các dòng điện vòng sinh ra trong vòng l đó bởi mỗi nguồn riêng rẽ của mạch ( 67
khi đó các nguồn không làm việc sẽ ngắn mạch nếu nó là nguồn sức điện động và hở mạch nếu nó là nguồn dòng ). Nguyên lý xếp chồng hoàn toàn đúng cho dòng điện nhánh, dòng điện vòng và cả điện áp nút. Việc mô tả nguyên lý này sẽ thông qua một số thí dụ minh hoạ dưới đây. Thí dụ 2.16: Cho mạch điện tuyến tính như hình 2.23a, hãy tính dòng điện chạy qua Z3 bằng cách áp dụng nguyên lý xếp chồng. Giải: Nếu nguồn E1 gây nên trong Z3 một dòng điện I3E1 nguồn E5 gây nên trong Z3 một dòng điện I3E5 thì dòng tổng qua Z3 sẽ là sự xếp chồng của I3E1 và I3E5 . -Để tính dòngI3E1 trước hết ta ngắn mạch nguồn E5, khi đó mạch trở thành như hình 2.23b: E1 Z2 Và như vậy :I3E1 = (từ A sang B) Ztd1 Z2 Z345 -Để tính dòng I3E5 ta phải loại bỏ nguồn E 1, khi đó mạch trở thành như hình 2.23c. Với cách tính tương tự ta sẽ tính được: 68
và ta có: Như vậy nếu tính đến chiều dòng điện ta sẽ có: Thí dụ 2.17: Cho mạch điện như hình 2.24a với các số liệu: R1 R 2 4; R3 R 4 2. Eng1 6V (nguồn một chiều). Ing4 3A (nguồn một chiều). Hãy tính dòng điện IR3. Hình 2.24a Giải: Mạch là tuyến tính, nên có thể vận dụng nguyên lý xếp chồng: - Khi E1 tác động, Ing4 bị hở mạch, lúc này mạch có dạng như hình 2.24b: 69
Sau một vài phép tính đơn giản, ta có dòng điện trên R3 là I3.1 =0,5A (chiều từ A sang B). - Khi Ing4 tác động, E1 bị ngắn mạch, lúc này mạch có dạng như hình 2.24c. Ta cũng dễ dàng tìm được dòng điện trên R3 là I3.2 1A (chiều từ B sang A). - Vậy khi cả hai nguồn đồng thời tác động, ta có dòng điện tổng hợp trên R3 là: I3 = I3.2 - I3.1 = 0,5A (chiều từ B sang A) TỔNG HỢP NỘI DUNG CHƯƠNG II • Phương pháp dòng điện nhánh, dòng điện vòng và điện áp nút là các phương pháp cơ bản để phân tích mạch. • Phương pháp dòng điện nhánh vận dụng cả hai định luật Kirchhoff với ẩn số là các dòng điện nhánh, vì vậy số phương trình của mạch chính là số nhánh mạch. Phương pháp này không thuận lợi khi số nhánh của mạch tăng lên. • Để giảm số phương trình của mạch, có thể sử dụng các phương pháp khác bằng cách đưa vào các ẩn số trung gian: - Nếu ẩn trung gian là các dòng điện giả định chạy trong các vòng kín, thì hệ gồm Nnh Nn 1 phương trình. Cơ sở là định luật kirchhof 2. Phương pháp này không thuận lợi đối với mạch có chứa nguồn dòng. - Nếu ẩn trung gian là điện áp các nút, thì hệ gồm N n-1 phương trình. Cơ sở là định luật kirchhof 1. Phương pháp này không thuận lợi đối với mạch có ghép hỗ cảm. • Phương pháp biến đổi tương đương mạch điện (như phương pháp nguồn tương đương) có thể chuyển mạch điện có cấu trúc phức tạp về dạng cấu trúc cơ bản. Phương pháp này không thích hợp trong một số trường hợp ghép hỗ cảm. • Với mạch tuyến tính chịu các tác động phức tạp, thì việc vận dụng nguyên lý xếp chồng cũng là một phương pháp làm đơn giản hóa quá trình phân tích và tính toán mạch. Khái niệm tuyến tính là mang tính tương đối. • Việc vận dụng định lý Thevenine-Norton hoặc nguyên lý xếp chồng rất thích hợp để tìm đáp ứng trên một nhánh mạch đơn lẻ. 70
• Nói chung, việc vận dụng phương pháp phân tích nào để đạt được hiệu quả tối ưu là tùy thuộc vào từng mạch và yêu cầu của từng bài toán cụ thể. • Có những bài toán, nếu cần thiết, có thể phải vận dụng nhiều phương pháp để đạt được kết quả nhanh nhất. 71
CHƯƠNG III: HIỆN TƯỢNG QUÁ ĐỘ TRONG CÁC MẠCH RLC GIỚI THIỆU Trong chương II chúng ta đã xét các phương pháp cơ bản phân tích mạch điện ở chế độ xác lập, trong đó chủ yếu dựa vào hai định luật Kirchhoff về điện áp và dòng điện. Sang chương này sẽ đi sâu vào nghiên cứu phương pháp phân tích mạch điện ở chế độ quá độ. Cụ thể là các nội dung sau: • Nhắc lại cơ bản về biến đổi Laplace của các tín hiệu liên tục, đặc biệt nhấn mạnh phương pháp biến đổi Laplace ngược. • Rèn luyện kỹ năng phân tích các quá trình quá độ của mạch bằng phương pháp toán tử dựa trên cặp biến đổi Laplace. • Đi sâu phân tích một số bài toán quá độ với các mạch RLC dưới tác động một chiều và xoay chiều. NỘI DUNG 3.1 BIẾN ĐỔI LAPLACE Như chúng ta đã biết, việc phân tích mạch điện trong miền thời gian đã gây nên những khó khăn về tính toán cho các phương trình vi phân và tích phân. Nhờ có cách biểu diễn trong miền tần số ω mà xuất phát của nó là cặp biến đổi Fourier, ta đã thay thế được các phép lấy tích phân và vi phân bằng các phép toán đại số: d j dt 1 dt j Như vậy thực chất ở đây là người ta đã thực hiện toán tử hóa mạch điện bằng biến đổi Fourier. Trong mục này chúng ta sẽ xét phương pháp toán tử hóa mạch điện một cách tổng quát hơn, thông qua biến đổi Laplace. Các nội dung dưới đây sẽ được đề cập một cách ngắn gọn. 3.1.1 Biến đổi Laplace thuận Biến đổi Laplace thuận (viết tắt là LT) của hàm gốc f(t) trong miền thời gian sẽ tương ứng là một ảnh F(p) trong miền tần số phức p, được tính theo công thức: 72
trong đó p là một đại lượng phức được định nghĩa: p= σ+jω và nó được biểu diễn trên mặt phẳng phức như hình 3.1. Như vậy F(p) là một hàm phức của biến phức p. Có nghĩa là với mỗi giá trị phức p j  j jj ta sẽ có F p j a j jb j tổng quát cũng là một số phức. Biến đổi Laplace một phía của f(t) đươc định nghĩa: trong đó F(p) chỉ phụ thuộc vào giá trị của f(t) với t≥0, bắt đầu từ lân cận trái 0 Khác. với biến đổi hai phía, biến đổi Laplace một phía cho phép tổ hợp một cách rõ ràng các giá trị đầu của f(t) và các đạo hàm của nó vào trong miền làm việc p, do đó nó đặc biệt hữu dụng khi giải quyết các bài toán liên quan đến phương trình vi phân có điều kiện đầu. Vì vậy trong tài liệu này chỉ đề cập tới Biến đổi Laplace một phía. Chú ý rằng mặc dù với mỗi hàm gốc x(t), ảnh F(p) tương ứng chỉ được định nghĩa cho các giá trị của biến phức p nằm trong vùng hội tụ ( tức là vùng giá trị của p mà tại đó tích phân trong công thức trên tồn tại), nhưng trong hầu hết các áp dụng không cần thiết phải cân nhắc tới vùng hội tụ, vì vậy trừ trường hợp đặc biệt, vùng hội tụ của các biến đổi Laplace trong tài liệu này sẽ không được nhắc tới. Mặt khác, biến đổi Laplace là sự tổng quát hóa của biến đổi Fourier. Mặc dù một số trường hợp hàm số tồn tại biến đổi Laplace nhưng không tồn tại biến đổi Fourier, nhưng nói chung, có thể tính toán trực tiếp biến đổi Fourier từ biến đổi Laplace bằng cách thay thế p =j ω: 3.1.2 Các tính chất của biến đổi Laplace Ngoại trừ một vài tính chất, nói chung các tính chất của biến đổi Fourier cũng là tính chất của biến đổi Laplace. Sau đây là mô tả một số tính chất chủ yếu của biến đổi Laplace: +Tính tuyến tính: Nếu LT[x1(t)]=X1(p) và LT[x2 (t)]=X2 (p), ta có : LT[ax1(t) bx2 (t)] aX1( p) bX 2 ( p) (3.4) +Dịch phải trong miền thời gian: Nếu LT[x(t)]=X(p) thì với số thực dương a bất kỳ, ta có: 73
LT[x(t-a).u(t-a)] e ap .X ( p) (3.5) chú ý rằng không có kết quả cho trường hợp dịch trái trong miền thời gian +Thay đổi thang tỉ lệ trong miền thời gian: Nếu LT[x(t)]=X(p) thì với số thực dương a, ta có: 1 p LT[x(t)] .X ( ) (3.6) a a +Nhân với hàm mũ: Nếu LT[x(t)]=X(p) thì với số a thực hoặc phức bất kỳ, ta có: +Nhân với hàm điều hòa: Nếu LT[x(t)]=X(p) thì với số thực ω bất kỳ, ta có: +Vi phân trong miền thời gian: Nếu LT[x(t)]=X(p) thì ta có: +Tích phân trong miền thời gian: Nếu LT[x(t)]=X(p) thì ta có: +Giá trị đầu: Nếu LT[x(t)]=X(p) thì ta có: +Giá trị cuối: cần cẩn thận khi áp dụng định lý này, bởi vì có tồn tại giới hạn bên vế phải nhưng chưa hẳn đã tồn giới hạn bên vế trái. 3.1.3 Biến đổi Laplace của một số hàm thường dùng 74
Đây là bảng biến đổi Laplace của một số hàm thường gặp. Trong bảng, trừ trường hợp đầu tiên, việc sử dụng hàm bước nhảy đơn vị u(t) thực chất là để loại bỏ phần ứng với t<0 của tín hiệu. 3.1.4 Biến đổi Laplace ngược, phương pháp Heaviside 3.1.4.1 Biến đổi Laplace ngược Từ ảnh F(p), ta có thể tìm lại hàm gốc trong miền thời gian theo công thức biến đổi Laplace ngược ( viết tắt là LT-1 ): trong đó c là một số thực bất kỳ sao cho tích phân trên theo đường p=c+jω (từ c-j∞ đến c+j∞)nằm trong vùng hội tụ. Việc tính trực tiếp f(t) theo công thức tích phân LT -1 thường rất khó khăn, vì vậy phần sau ta sẽ chỉ tập trung nghiên cứu một giải pháp đại số để thay thế cho việc tính tích phân, đó là phương pháp Heaviside. Phương pháp này áp 75
dụng cho trường hợp F(p) có dạng phân thức hữu tỉ. Trước hết ta cần bắt đầu từ một số khái niệm liên quan. 3.1.4.2 Dạng phân thức của ảnh F(p) Một lớp nhiều trường hợp các biến đổi Laplace của tín hiệu sẽ cho ảnh F(p) là một phân thức hữu tỷ và thường được đưa về dạng chuẩn tắc: trong đó an=1 và bậc của mẫu số lớn hơn bậc của tử số (n >m). Điểm không của F(p) là các điểm pi là nghiệm của đa thức H 1(p) và đương nhiên tại đó F(pi)=0. Điểm cực của hàm mạch là các điểm pk là nghiệm của đa thức H 2(p) và tại đó F(pk)=∞. Các giá trị pi và pk có thể là nghiệm đơn hay nghiệm bội, có thể là nghiệm thực hay các cặp nghiệm phức liên hợp, và sẽ phức tạp hơn nếu có tổ hợp nhiều loại nghiệm. 3.1.4.3 Phương pháp Heaviside Ý tưởng của Heaviside là xuất phát từ hàm mạch F(p) có dạng phân thức hữu tỷ, để tìm ra hàm gốc f(t) trước hết phải phân tích F(p) thành những phân thức tối giản. Sau đó dựa vào bảng các hàm gốc - ảnh cơ bản đã biết để xác định các hàm gốc thành phần, sau đó sử dụng tính chất tuyến tính của biến đổi Laplace để tổng hợp. Để phân tích thành các phân thức tối giản, ta sẽ phải xét tới các điểm cực pk là nghiệm của H2(p). Sau đây là một số trường hợp thường gặp: a. Trường hợp H2(p) chỉ có các nghiệm đơn: Viết lại H2(p) dưới dạng tích: H2(p)=(p-p1)(p-p2) (p-pn) Khi đó có thể khai triển: Theo hàm gốc - ảnh (trường hợp số 6): Vậy khi F(p) chỉ có các nghiệm đơn ta có: Trong đó các hệ số Ak được tính theo biểu thức: 76
Để chứng minh Ak có dạng (3.19) ta nhân cả hai vế của (3.19) với (p-pk): khi cho p →pk thì vế phải của biểu thức trên chỉ còn lại Ak do đó: giới hạn trên có dạng , áp dụng quy tắc lôpital ta có: vậy công thức đã được chứng minh. Thí dụ 3.1: Tìm hàm gốc khi biết 3p 6 F( p) p3 4 p2 3p Giải: Phân tích Như vậy H2(p) có 3 nghiệm đơn p1= 0, p2= -1, p3= -3. Do đó: Vậy ta có: Thí dụ 3.2: Tính u(t) nếu biết ảnh của nó là: 77
Giải: Trước hết ta xử lý đưa mẫu số về dạng chuẩn với các hệ số bằng 1 và đặt hàm mạch: Nghiệm của H2(p) là các nghiệm đơn nằm bên trái mặt phẳng phức: p1 = 0, p2 = - 2, p3 = - 3, p4 = - 4. Từ công thức Heaviside cho trường hợp nghiệm đơn ta có: Thay số ta được: b. Trường hợp H2(p) có cặp nghiệm phức liên hợp: khi đó H2(p) có thể viết dưới dạng: Coi như trường hợp hai nghiệm đơn, ta có: Do đó, ta có: Trong đó: Thí dụ 3.3: Tính u(t) nếu biết ảnh của nó là : 78
Giải: Đặt hàm mạch có dạng: có nghiệm phức liên hợp: Vậy : c.Trường hợp H2(p) có nghiệm bội pl (bội r): r H2(p) có thể viết dưới dạng: H2(p)=(p-pl) Lúc đó F(p) có thể khai triển dưới dạng: Viết lại ta có: Nếu pl là số thực, từ bảng hàm gốc - ảnh ta suy ra được: r Cách xác định Ak : Nhân cả hai vế của (3.24) với (p pl ) khi đó: 79
Tổng quát hoá ta có: Thí dụ 3.4: Tính u(t) nếu biết ảnh của nó là Giải: H2(p) = p2 có nghiệm p1=0 (bội r = 2), do đó có thể triển khai: suy ra trong đó Vậy -Chú ý: Trong trường hợp H 2(p) có nhiều loại nghiệm thì hàm gốc cần tìm chính là sự xếp chồng của các hàm gốc thành phần. Thí dụ 3.5: Tính hàm gốc nếu biết ảnh của nó: p2 2 p 1 F( p) ( p2 2P 2)( p 1) Giải: H2(p) có cặp nghiệm phức p k=-1+j, pk* = -1-j, và nghiệm đơn p 3= -1 nên có thể khai triển: 80
Vậy ta có: Trong đó các hệ số được tính theo biểu thức: Thay số ta có: Thí dụ 3.6: Tính i(t) nếu biết ảnh của nó: Giải: Đặt hàm mạch: Nghiệm của H2(p)=(p+2)(p2+9) là: Vậy trong đó Và 81
Thay số: Thí dụ 3.7: Tính f(t) nếu biết ảnh của nó: Giải: Trong đó: Vậy: Thí dụ 3.8: Tính i(t) nếu biết ảnh của nó là: Giải: đặt hàm mạch: p H1 p I( p) 2 ( p 1)( p 3) H2 p H2(p) có nghiệm đơn p 1= -1 và nghiệm bội p 2= -3 (bội r=2). Vậy theo tính chất xếp chồng ta có: 82
trong đó: Vậy: 3.1.5 Mối quan hệ giữa vị trí các điểm cực và tính xác lập của hàm gốc Hình 3.2: Minh họa vị trí điểm cực Giới hạn khi t→∞ của f(t) có thể tính được từ vị trí các điểm cực của F(p) trên mặt phẳng phức hình 3.2. Về mặt toán học, ta có thể chứngminh được rằng: Điều kiện cần để f(t) không tiến tới vô hạn khi t→∞ là các điểm cực phải nằm bên nửa trái mặt phẳng phức, cùng lắm là trên trục ảo. Hàm gốc f(t) sẽ hội tụ về 0 khi t→∞ khi và chỉ khi mọi điểm cực nằm trên nửa trái mặt phẳng phức, tức là Re[pk]<0, k=1,2, ,n. Tồn tại giới hạn f(t) khi t→∞ khi và chỉ khi mọi điểm cực nằm trên nửa trái mặt phẳng phức, ngoại trừ có một điểm cực đơn nằm tại gốc. Giới hạn đó chính là hệ số tương ứng với điểm cực tại gốc và được tính theo công thức tính giá trị cuối đã biết: Thí dụ, ảnh đã xét trong mục trước: 3p 6 A A A F(P) 1 2 3 p( p 1)( p 3) p p 1 p 3 F(p) có một điểm cực nằm tại gốc (p 1=0), các điểm cực còn lại nằm trên nửa mặt phẳng trái (p2=-1, p3 = -3), do đó tồn tại giới hạn f(t) khi t→∞. Giới hạn đó chính bằng: 83
Bạn có thể kiểm chứng lại trên hàm gốc của nó: 3.2 CÁC THÔNG SỐ CỦA MẠCH ĐIỆN TRONG MIỀN P 3.2.1 Mô hình các phần tử thụ động trong miền p Bây giờ ta xét tới mô hình của các phần tử thụ động và cách biểu diễn trở kháng và dẫn nạp của chúng trong miền tần số phức p. Việc chuyển mô hình một phần tử từ miền thời gian sang miền p được khởi đầu từ việc Laplace hóa phương trình trạng thái của nó trong miền thời gian. -Đối với phần tử thuần trở: Laplace hóa phương trình từ miền thời gian: Vậy mô hình của điện trở trong miền thời gian và miền p có dạng như hình 3.3. Trở kháng và dẫn nạp của điện trở trong miền p có dạng: - Đối với phần tử thuần cảm: Phương trình và mô hình phần tử điện cảm trong miền thời gian và miền p có dạng như hình 3.4. Trong đó i(0) là dòng điện tại thời điểm ban đầu và gọi là điều kiện đầu, còn thành phần L.i(0) đóng vai trò là một nguồn sđđ được sinh ra do điều kiện đầu của phần tử thuần cảm, ngược chiều U(p). 84
Hình 3.4 : Laplace hoá mô hình điện cảm Trở kháng và dẫn nạp của điện cảm trong miền p có dạng: - Đối với phần tử thuần dung: Phương trình và mô hình phần tử điện dung trong miền thời gian và miền p có dạng như hình 3.5. Trong đó uc(0) là điện áp tại thời điểm ban đầu u (0) và gọi là điều kiện đầu, còn thành phần c đóng vai trò là một nguồn sđđ được sinh ra p do điều kiện đầu của phần tử thuần dung, cùng chiều U(p) . Hình 3.5: Laplace hoá mô hình điện dung Trở kháng và dẫn nạp của điện dung trong miền p có dạng: -Chú ý : Trở kháng và dẫn nạp của các phần tử thụ động trong miền tần số thường ω hoàn toàn có thể suy ra từ cách biểu diễn trong miền tần số phức p bằng sự thay thế p =jω. Trở kháng của các phần tử quán tính thụ động trong miền tần số phức p chỉ được tính bằng biểu thức Z=U(p)/I(p) khi năng lượng ban đầu trong phần tử đó bằng không. 85
3.2.2 Nguyên tắc chuyển các thông số của mạch từ miền thời gian sang miền p -Lấy biến đổi Laplace hệ phương trình đặc trưng của mạch trong miền thời gian, chú ý tới trạng thái ban đầu trong các phần tử quán tính thụ động . - Chuyển mô hình các thông số của mạch sang miền p. Thí dụ 3.9: Xét mạch điện hình 3.6. Phương trình đặc trưng của mạch trong miền thời gian khi xét tới điều kiện đầu iL(0) và uC(0) được viết dưới dạng: Lấy biến đổi Laplace phương trình của mạch trong miền thời gian: Hình 3.7 Sau khi thực hiện Laplace hóa các thông số dòng điện và điện áp trong mạch, mô hình mạch điện trong miền p có dạng như hình 3.7. 3.3 ỨNG DỤNG BIẾN ĐỔI LAPLACE ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN MẠCH QUÁ ĐỘ RLC 3.3.1 Khái niệm chung a-Quá trình quá độ: Quá trình quá độ trong mạch điện là quá trình mạch chuyển từ trạng thái ban đầu này tới một trạng thái xác lập khác dưới một tác động kích thích nào đó. Bài toán quá độ là bài toán tìm các quá trình quá độ xảy ra trong mạch điện. Về mặt lý thuyết, thời gian quá độ 86
của mạch là vô cùng lớn, song trong thực tế thường chỉ tính bằng đơn vị nano giây đến mili giây. Thông thường loại bài toán này gắn liền với một khoá đóng ngắt các nhánh mạch hoặc là nguồn tác động làm việc ở chế độ đột biến. Thời điểm trong mạch xảy ra đột biến thường được quy ước làm gốc (t=0). Về mặt hình thức, quá trình quá độ trong mạch có thể coi như sự xếp chồng của dao động tự do và dao động cưỡng bức. Đối với các hệ ổn định tĩnh, dao động tự do không có nguồn duy trì nên tắt dần theo thời gian. Khi dao động tự do tắt hẳn, trong mạch chỉ còn lại dao động cưỡng bức và khi đó mạch đạt đến trạng thái xác lập mới. Đối với các hệ không ổn định tĩnh, dao động tự do có thể tăng dần theo thời gian và trong mạch xuất hiện hiện tượng tự kích. Có nhiều phương pháp phân tích mạch quá độ. Đầu tiên, cần phải nhắc đến là phương pháp kinh điển. Việc giải quyết bài toán quá độ bằng phương pháp này đồng nghĩa với việc giải một hệ phương trình vi tích phân có điều kiện đầu, trong đó các thông số nguồn tác động thường được xếp sang vế phải. Thành phần dao động tự do chính là nghiệm của hệ phương trình vi tích phân thuần nhất (ứng với nguồn tác động vào mạch bị loại bỏ). Thành phần dao động cưỡng bức chính là nghiệm riêng của hệ phương trình không thuần nhất và nó phụ thuộc vào nguồn tác động. b -Luật đóng ngắt: Khi giải các bài toán quá độ, đặc biệt theo phương pháp tích phân kinh điển, có một điều quan trọng là phải xác định được các điều kiện đầu. Điều kiện đầu nói lên có tồn tại năng lượng ban đầu trong các phần tử quán tính thể hiện dưới dạng dòng điện i 0 hay điện áp u0 tại thời điểm đóng ngắt mạch điện hay không. Các điều kiện đầu này tuân theo luật đóng ngắt của các phần tử quán tính, cụ thể như sau: +Luật đóng ngắt của phần tử thuần cảm: “trong cuộn dây không có đột biến dòng điện, kể cả tại thời điểm đóng ngắt mạch”. iL (0+) = iL (0-) = iL (0) +Luật đóng ngắt của phần tử thuần dung: “trong tụ điện không có đột biến điện áp, kể cả tại thời điểm đóng ngắt mạch”. uc (0+) = uc (0-) = uc (0) Tuy nhiên, trong một số trường hợp đặc biệt (trường hợp không chỉnh) thì phát biểu trên không áp dụng được. Khi đó ta phải áp dụng luật đóng ngắt tổng quát: “Tổng từ thông móc vòng trong một vòng kín phải liên tục, kể cả tại thời điểm có đột biến trong vòng. 87
Tổng điện tích tại một nút của mạch phải liên tục, kể cả tại thời điểm có đột biến trong các nhánh nối vào nút đó”. c- Sử dụng phép biến đổi Laplace để giải các bài toán quá độ: Việc sử dụng phép biến đổi Laplace để giải các bài toán quá độ là một giải pháp hữu hiệu vì nó cho phép biến hệ phương trình vi tích phân thành hệ phương trình đại số. Các bước cơ bản để giải mạch điện quá độ bao gồm: b1: Xác định điều kiện đầu của bài toán ( chính là xác định gốc thời gian, cùng với các giá trị ban đầu của các phần tử quán tính). Cũng cần chú ý rằng, với phương pháp toán tử, giá trị ban đầu của các phần tử quán tính trong tất cả các dạng các bài toán quá độ đều được quy về tại lân cận bên trái thời điểm không uc (0 ) và iL (0 ) b2: Chuyển mô hình mạch điện sang miền p (tức là Laplace hóa mạch điện). b3: Sử dụng các phương pháp phân tích mạch đã biết để tìm ảnh F(p) của đáp ứng. b4: Biến đổi Laplace ngược để tìm hàm gốc f(t) của đáp ứng trong miền thời gian. 3.3.2 Thí dụ với các mạch RL, RC Sau đây ta xét một số thí dụ cụ thể trên các mạch RL, RC dưới các tác động một chiều, hoặc các tác động dưới dạng xung. Người ta đã rút ra được một kết quả mang ý nghĩa vật lý quan trọng: Đáp ứng f(t) của các mạch RL & RC dưới tác động một chiều bao giờ cũng có dạng: f(0)=f(t) t 0 là giá trị ban đầu của đáp ứng . f( )=f(t) t 0 giá trị xác lập của đáp ứng . t A.e  đặc trưng cho giai đoạn quá độ xảy ra trong mạch . rtđ là điện trở tương đương nhìn từ cặp đầu của C hoặc L, khi đó các nguồn suất điện động bị ngắn mạch còn các nguồn dòng bị hở mạch. Thí dụ 3.10: 88
Cho mạch điện như hình 3.8a, với các số liệu R=150  L=0,15H Hãy tính dòng điện i(t) chạy qua mạch nếu đặt vào hai đầu nó một điện áp e(t)=300V, cho biết i(0)=1,5A. Giải: Vì có dòng i(0) nên ban đầu cuộn dây có tích trữ năng lượng. Khi chuyển sang miền p mạch sẽ có dạng như hình 3.8b. H2(p) có hai nghiệm đơn là Vậy Thay số Kiểm tra lại kết quả đã tính trên bằng công thức (3.31) ta thấy kết quả hoàn toàn trùng nhau, trong đó: 89
Đồ thị thời gian của i(t) là một đường cong tăng từ 1,5A đến 2A theo quy luật hàm số mũ như hình 3.9. Tại T đủ lớn, i(t) tiến đến giá trị xác lập. Giá trị này thường được quy định là τ 3 = T với td RL= τ gọi là hằng số thời gian của mạch RL, trong đó Rtđ là điện trở tương đương của mạch nhìn từ cặp đầu L. Thí dụ 3.11: Cho mạch điện như hình 3.10a, với các số liệu: R1 =30 R 2 =20 C=50F e(t)=300V Tại t=0 đóng khoá K, hãy xác định uc(t) Giải: Xác định điều kiện đầu của bài toán: 90
Đóng khoá K, khi đó mô hình mạch trong miền p như hình 3.10b cùng với nguồn 300 u 0 E sẽ có thêm thành phần c ( p) p p . Áp dụng phương pháp điện áp nút: thay số: H2(p) có hai nghiệm đơn Vậy Ta có thể kiểm tra lại kết quả với các số liêu sau: trong đó: 91
Đồ thị thời gian của u c(t) là một đường cong giảm (C phóng điện) từ 300V xuống 120V theo quy luật hàm số mũ như hình 3.11. Tại T đủ lớn, u c(t) tiến đến giá trị xác lập. Giá trị này thường được quy định là τ 3 = T , với Crtd . = τ gọi là hằng số thời gian của mạch RC. trong đó Rtđ là điện trở tương đương của mạch nhìn từ cặp đầu C. trong mạch cụ thể này ta có: R1R2 rtd R1 //R2 R1 R2 Thí dụ 3.12: Cho mạch điện như hình 3.12a, với các số liệu: Tại t=0 đóng khoá K, hãy xác định uA(t) Giải: 92
Xác định điều kiện đầu của bài toán: Khi đóng K, trong miền p mô hình mạch có dạng như hình 3.12b. Bằng các phương pháp phân tích mạch đã biết ta có thể dễ dàng tìm được: Và : Chú ý rằng kết quả trên cho thấy uC1(0+) = uC2(0+)=0,25V, tức là điện áp trên C1 và C2 không thỏa mãn tính liên tục tại thời điểm đóng mạch. Bài toán này thuộc loại không chỉnh. Nếu áp dụng luật đóng ngắt tổng quát: tổng điện tích tại một nút của mạch phải liên tục, kể cả tại thời điểm có đột biến trong các nhánh nối vào nút đó, ta sẽ có tại nút A: trong đó : Điều này chứng tỏ kết quả tính toán trên là đúng đắn. Thí dụ 3.13: Mạch điện với: C=1μF, R1=R2=200Ω, nguồn điện áp tuần hoàn e(t) như hình 3.13. Xác định uC(t). Giả thiết các điều kiện đầu của mạch bằng không. Giải: a. Trong khoảng 0 t  x ( x 100s) -Nguồn tác động: e(t)=2.105t. -Nguồn tác động: UC (0)=0. 2.105 -Sử dụng phương pháp toán tử, với E( p) , mạch có dạng như hình 3.14a: p2 93
Lập phương trình cho mạch: Biến đổi dẫn đến: -Tại tx=100μs: b. Trong khoảng 0 t T -Gốc thời gian tại tx -Nguồn tác động: e(t’)=0 -Điều kiện đầu: UC(0)=U0. -Sử dụng phương pháp toán tử, mạch có dạng như hình 3.14b: Lập phương trình cho mạch: 94
-Tại t=T=1000μs: Nhận xét: kết thúc một chu kỳ mạch trở về trạng thái ban đầu. Chu kỳ sau đáp ứng của mạch lại lặp lại giống chu kỳ trước. 3.3.3 Thí dụ với các mạch dao động đơn Có một dạng mô hình mạch rất quan trọng trong thực tế, đó là các mạch dao động đơn. Mạch dao động đơn đầy đủ là các mạch gồm có ba thông số thụ động r, L, C mắc nối tiếp hoặc song song với nhau. Trong chương I ta đã xét tới một số đặc điểm của các mạch dao động đơn ở chế độ xác lập điều hòa. Trong phần này, tổng quát hơn, ta sẽ ứng dụng phương pháp toán tử trong miền tần số phức p để xét quá trình quá độ của các mạch dao động này dưới các tác động điều hoà và đột biến một chiều. Thí dụ 3.14: Xét mạch dao động đơn nối tiếp như hình 3.15, giả thiết rằng nguồn tác động có dạng hàm: Bây giờ ta sẽ tìm dòng điện chạy trong mạch, với điều kiện đầu bằng không.áp dụng phương pháp toán tử: 95
Trong đó: Giả thiết rằng tổn hao trong mạch rất nhỏ, tức là r rất nhỏ, sao cho: như vậy dẫn đến H2(p) sẽ có các nghiệm phức: Nếu đặt : trong đó ωr là tần số riêng của mạch LC, ta sẽ có r ch Ta có thể viết lại: Theo công thức Heaviside ta có: trong đó Thay số và tính đến các yếu tố liên quan đến các giả thiết ở trên ta có: (1): là thành phần cưỡng bức (xác lập) (2): là thành phần tự do Δω là độ lệch cộng hưởng tuyệt đối 96
Từ (3.36) ta thấy dòng điện i(t) gồm có hai thành phần: + Thành phần cưỡng bức (xác lập) với tần số ω0. Độ dịch pha phụ thuộc vào độ lệch cộng hưởng Δω giữa ω 0 đặc trưng cho nguồn cưỡng bức và ω ch đặc trưng cho các thông số của mạch. + Thành phần tự do, dao động gần điều hoà với tần số dao động riêng của mạch ω r, biên độ giảm dần theo hàm mũ, độ dịch pha cũng phụ thuộc vào độ lệch cộng hưởng Δω. Sau đây ta xét chi tiết từng thành phần. a. Dòng điện tự do (hình 3.16): +Thời gian tắt ( t ): là thời gian mà dòng quá độ chỉ còn bằng 0,1.Im : + Lượng giảm logarit (δ): đặc trưng cho tốc độ suy giảm của dòng điện quá độ, đo bằng ln của tỉ số biên độ ở hai chu kỳ kế tiếp nhau: 97
+ Điện trở tới hạn (rth ): Đặc điểm quan trọng nhất của ith là nó được xác định chủ yếu bởi các thông số của mạch. Nguồn tác động ở đây chỉ có tác dụng kích thích để dao động tự do trong mạch hình thành, nên nó chỉ ảnh hưởng đến các giá trị ban đầu như Im, ϕ. Về mặt vật lý, iqđ được sinh ra nhờ sự chuyển đổi năng lượng điện và năng lượng từ tích luỹ trong các thông số L, C. Năng lượng đó chính là năng lượng ban đầu do nguồn tác động cung cấp tại thời điểm đóng mạch. Trong quá trình trao đổi năng lượng, nó bị thông số r làm tiêu hao nên giảm dần. Tốc độ suy giảm phụ thuộc vào giá trị của r, nếu nó tăng quá lớn thì biểu thức: sẽ bị giảm dần về 0 và có thể biến thành ảo, lúc đó nó không còn ý nghĩa tần số nữa mà trở thành một hệ số suy giảm. Điện trở tới hạn là giá trị tại đó nó làm triệt tiêu tần số dao động tự do (ωr=0), tức là: Như vậy nếu tổn hao trong mạch càng ít thì biên độ và thời gian của dao động tự do sẽ tăng lên. b. Dòng điện cưỡng bức Thành phần cưỡng bức là dao động điều hoà với tần số của nguồn tác động ω0. Biên độ và pha đầu phụ thuộc chủ yếu vào độ lệch cộng hưởng  0  c.h Hình 3.17a biểu diễn sự phụ thuộc của Im vào độ lệch cộng hưởng. 98
-Nếu   , tức Δω=0 thì I sẽ bằng I 0 ch m mch như vậy mạch tổn hao càng ít (r càng nhỏ) thì biên độ cộng hưởng càng lớn. Sự phụ thuộc của Im vào Δω dẫn đến tính chọn lọc tần số của mạch: tần số nào càng gần ωch thì cho đi qua mạch, tần số càng xa ωch thì sẽ bị chặn lại. Để đánh giá độ chọn lọc tần số của mạch, người ta dùng khái niệm dải thông: giả sử các tín hiệu có cùng biên độ tác động, tần số nào sinh ra dòng điện có biên độ: thì tần số đó nằm trong dải thông (xem hình 3.17b). Biên của dải thông thỏa mãn: 1 1 1 2 2 2 2L 2L d 1 1 Hay 2 2 2 d 2 r  d 2L 99
Vậy dải thông: Khi r giảm thì dải thông càng hẹp, độ chọn lọc càng cao. Dòng điện cưỡng bức khác với dòng điện tự do ở chỗ nó tồn tại lâu dài, còn dòng điện tự do chỉ tồn tại trong giai đoạn đầu, về sau này trong mạch chỉ còn lại dòng điện cưỡng bức. c. Dòng điện tổng hợp trong mạch Dòng điện trong mạch được phân ra thành giai đoạn quá độ và giai đoạn xác lập. Dòng điện tổng hợp trong giai đoạn quá độ là tổng dòng điện tự do và dòng điện cưỡng bức, kéo dài trong suốt thời gian τt. Khi hai vectơ thành phần dao động theo những tần số khác nhau sẽ dẫn đến hiện tượng phách, nội dung của hiện tượng này như sau: + Khi hai vectơ thành phần cùng phương & chiều (tức cùng pha) thì biên độ vectơ tổng hợp sẽ đạt giá trị max (bằng tổng đại số của hai thành phần). + Khi hai vectơ thành phần cùng phương nhưng ngược chiều (tức ngược pha) thì biên độ vectơ tổng hợp sẽ đạt giá trị min (bằng hiệu đại số của hai thành phần). Nhưng trong trường hợp phách cụ thể này có một điều cần lưu ý là vectơ dòng điện tự do giảm dần, làm cho giá trị max giảm dần, giá trị min tăng dần. Cuối cùng khi dao động tự do tắt hẳn, giá trị max trùng với giá trị min thì hiện tượng phách không còn nữa và mạch chuyển sang giai đoạn xác lập. Hiện tượng phách nói trên gây ra trong mạch dòng điện tổng hợp có biên độ biến thiên theo tần số phách (hình 3.18). 100
Với giả thiết mạch tổn hao ít và làm việc ở chế độ lệch cộng hưởng nhỏ, tần số phách được tính theo biểu thức: Khi độ lệch cộng hưởng bằng 0, thì dòng điện tổng hợp không còn biến thiên nữa. Nghĩa là tại cộng hưởng không xảy ra phách p 0 . Kết luận: - Trong trường hợp lệch cộng hưởng: biên độ dòng điện tổng hợp ở giai đoạn quá độ sẽ dao động theo ωp trong khoảng thời gian  t Tần số dòng điện tổng hợp được xác định bởi góc θ (có thể tính theo phương pháp vectơ dựa vào hai tần số thành phần): Ta có thể biểu diễn đồ thị thời gian của dòng điện trong trường hợp lệch cộng hưởng như hình 3.19: - Trong trường hợp cộng hưởng (Δω =0), tức là 0 ch T khi đó biểu thức (3.36) có thể viết lại: 101
Như vậy dòng tổng hợp sẽ có tần số ωth=ωo, biên độ của nó biến thiên theo quy luật hàm mũ và tiến tới giá trị xác lập là 1/r (tại thời điểm τt). Đồ thị thời gian của nó biểu diễn trên hình 3.20. Chú ý: 1. Nếu ta thay đổi nguồn tác động là một chiều, thí dụ như e(t)=E0, khi đó áp dụng lại công thức Heaviside thì dòng điện trong mạch chỉ là thành phần dao động tự do tắt dần: 2. Nếu nguồn tác động là một dãy xung (thí dụ dãy xung vuông tuần hoàn như hình 3.21), khi đó một trong những phương pháp giải là ta xét trong từng khoảng thời gian, cụ thể như sau: -Trong khoảng 0-t1: gốc thời gian tại 0, nguồn tác động e(t)=E0, uc(0)=0, iL(0)=0. Với các điều kiện như vậy ta sẽ tìm được đáp ứng i(t) và uc(t) tương ứng. -Trong khoảng t1-T: gốc thời gian dịch đến t 1, nguồn tác động e(t)=0 tức đầu vào bị ngắn mạch, uc(0) và iL(0) chính là các giá trị tính được trong giai đoạn trước đó tại thời điểm t1. 102
-Xét tương tự cho các khoảng kế tiếp. Cần lưu ý rằng, nếu kết thúc một chu kỳ mà mạch trở về trạng thái ban đầu thì chu kỳ sau có đáp ứng lặp lại như chu kỳ trước đó. 3. Mạch dao động đơn song song là mạch đối ngẫu của mạch dao động đơn nối tiếp, do đó ta có thể áp dụng tính chất đối ngẫu để suy ra kết quả của mạch dao động đơn song song từ mạch dao động đơn nối tiếp hoặc ngược lại. Lý thuyết đối ngẫu có thể tìm thấy trong phần phụ lục. TỔNG HỢP NỘI DUNG CHƯƠNG III • Việc giải bài toán quá độ có thể bắt đầu bằng hệ phương trình vi phân mô tả trạng thái mạch điện trong miền thời gian và việc giải nó thường là gặp khó khăn. Để giải dễ dàng, người ta thường dùng phương pháp toán tử, tức là biến đổi hệ phương trình vi phân thành hệ phương trình đại số. Một trong những công cụ thường dùng trong phương pháp toán tử là biến đổ Laplace một phía. Về mặt toán học, biến đổi Laplace tổng quát hơn biến đổi Fourier, vì vậy thích hợp để giải các lớp mạch quá độ. • Các bài toán quá độ thường rất đa dạng. Nhưng luôn tuân thủ 4 bước cơ bản đã nêu trong bài học, trong đó cần tuần tự lưu ý các điều kiện đầu của mạch, bao gồm cả việc quy định gốc thời gian; Laplace hóa mạch và áp dụng các phương pháp phân tích mạch để tìm ra ảnh F(p) của đáp ứng; cuối cùng là biến đổi Laplace ngược để lấy lại đáp ứng gốc f(t) trong miền thời gian. • Để giải quyết tốt bài toán quá độ, điều cốt lõi là phải nắm chắc biến đổi Laplace, đặc biệt là biến đổi Laplace ngược. Phương pháp Heaviside là một phương pháp hữu hiệu để tính biến đổi Laplace ngược, phương pháp này triệt để lợi dụng tính chất tuyến tính (xếp chồng) của biến đổi Laplace để khai triển F(p) thành tổng của các thành phần ảnh ảnh đơn giản. Việc khai triển này hoàn toàn dựa trên tính chất các điểm cực của F(p). • Mạch dao động đơn có quá trình quá độ phức tạp. Dù tác động là một chiều thì trên mạch vẫn có thể nảy sinh các dao động tự do sinh bởi sự áp đặt năng lượng ban đầu trên mạch. Thời gian tồn tại dao động tự do tùy thuộc vào phẩm chất Q của mạch. Thông số điện trở (r) sẽ quy định sự tổn hao năng lượng, phẩm chất (Q) và tính chất chọn lọc tần số (dải thông) của mạch. • Mạch điện sẽ ổn định nếu các điểm cực nằm bên nửa trái mặt phẳng phức. 103
CHƯƠNG IV: HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐÁP ỨNG TẦN SỐ CỦA MẠCH GIỚI THIỆU Các phương pháp phân tích và tổng hợp hệ thống có một tầm quan trọng đặc biệt trong kỹ thuật điện tử. Nội dung được đề cập trong chương này bao gồm: • Khái niệm hàm truyền đạt và một số yếu tố liên quan đến hàm truyền đạt của các hệ thống liên tục, tuyến tính, bất biến và nhân quả. • Phương pháp phân tích mạch trên quan điểm hệ thống qua việc xác định đáp ứng tần số của mạch. • Cách vẽ đặc tuyến tần số của mạch theo phương pháp đồ thị Bode. NỘI DUNG 4.1 HÀM TRUYỀN ĐẠT CỦA HỆ THỐNG 4.1.1 Biểu diễn hệ thống liên tục, tuyến tính, bất biến và nhân quả Xét hệ thống liên tục, tuyến tính, bất biến và nhân quả (bậc hữu hạn n) trong miền thời gian như hình vẽ: Quan hệ giữa đáp ứng ra và tác động vào có thể tồn tại dưới hình thức là một phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng (bậc n) chuẩn hóa: 4.1.2 Hàm truyền đạt của hệ thống Với điều kiện đầu của hệ thống bằng không, khi Laplace hóa hệ thống cùng các phương trình tương ứng sang miền p (bằng biến đổi Laplace (LT)) ta có hàm truyền đạt của hệ thống: Chú ý rằng: 104
Dạng tổng quát của hàm truyền đạt thường là một phân thức hữu tỷ, có thể xác định trực tiếp từ các hệ số của phương trình vi phân đã nói ở trên: Điểm không của hệ thống là các điểm pi mà tại đó. H1 pi 0 Điểm cực của hệ thống là các điểm pk mà tại đó.H2 (pk ) 0 Khi đó H(p) có thể biểu diễn dưới dạng tích: Nếu các nghiệm khác không, dạng tích còn được biểu diễn theo một cách khác: 4.1.3 Tính ổn định của hệ thống Tính ổn định của hệ thống liên quan tới vị trí của các điểm không và các điểm cực của H(p) trên mặt phẳng phức như hình 4.2. Chúng là một cơ sở quan trọng để xác định đặc trưng của hệ thống. + Trên các hệ thống ổn định, với mọi tác động hữu hạn thì đáp ứng cũng phải hữu hạn. Hệ thống là ổn định khi và chỉ khi mọi điểm cực của H(p) nằm bên nửa trái của mặt phẳng phức, tức là Re[pk ] 0 , với mọi k=1,2, ,n. + Hệ thống nằm ở biên giới ổn định nếu khi và chỉ khi các điểm cực của H(p) nằm bên nửa trái mặt phẳng phức, ngoại trừ có thể tồn tại các điểm cực không lặp nằm trên trục ảo. 105
+ Hệ thống là không ổn định khi tồn tại điểm cực của H(p) nằm bên nửa phải mặt phẳng phức, hoặc tồn tại điểm cực lặp nằm trên trục ảo. Điều kiện ổn định của các mạch điện tuyến tính, bất biến, có thông số tập trung là mọi điểm cực của H(p) nằm bên nửa trái của mặt phẳng phức. Đối với các mạch thụ động, có thể tồn tại các điểm cực (không lặp) nằm trên trục ảo mà mạch vẫn ổn định bởi vì mạch không bao giờ bị tự kích với bất kỳ sự thay đổi nào của các thông số. Còn đối với các mạch tích cực, nếu tồn tại các điểm cực nằm trên trục ảo, thì dưới tác động của bất kỳ sự thay đổi nhỏ nào của các thông số mạch, các điểm cực hoàn toàn có thể nhảy sang nửa mặt phẳng phải và mạch sẽ bị tự kích. 4.2 ĐÁP ỨNG TẦN SỐ CỦA HỆ THỐNG 4.2.1 Khái niệm Khi Fourier hóa hệ thống (cùng các phương trình tương ứng) sang miền tần số ta có khái niệm đáp ứng tần số của hệ thống: trong đó H ( j) là đáp ứng biên độ và argH ( j) là đáp ứng pha của hệ thống. Từ đặc tuyến tần số, ta có thể nhận biết được đặc trưng của hệ thống trong miền tần số và phản ứng của hệ thống khi các tác động đầu vào có dạng điều hòa. 4.2.2 Mối quan hệ giữa đáp ứng tần số và hàm truyền đạt 106