Bài giảng Lý thuyết mạch

183 trang phuongnguyen 5920

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Lý thuyết mạch", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

bai_giang_ly_thuyet_mach.pdf

Nội dung text: Bài giảng Lý thuyết mạch

HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG NGUYỄN QUỐC DINH – BÙI THỊ DÂN TÀI LIỆU LÝ THUYẾT MẠCH (Dùng cho hệ đào tạo đại học) Chủ biên PTIT NGUYỄN QUỐC DINH HÀ NỘI 2013
LỜI GIỚI THIỆU Lý thuyết mạch là một trong số các môn cơ sở của kỹ thuật điện tử, viễn thông, tự động hoá, nhằm cung cấp cho sinh viên khả năng nghiên cứu các mạch tương tự, đồng thời nó là cơ sở lý thuyết để phân tích các mạch số. Nội dung chính của học phần này đề cập tới các loại bài toán mạch kinh điển và các phương pháp phân tích-tổng hợp chúng. Học liệu này gồm có sáu chương. Chương I đề cập đến các khái niệm, các thông số cơ bản của lý thuyết mạch, đồng thời giúp sinh viên có một cách nhìn tổng quan những vấn đề mà môn học này quan tâm. Chương II nghiên cứu mối quan hệ giữa các thông số trạng thái của mạch điện, các nguyên lý và các phương pháp cơ bản phân tích mạch điện. Chương III đi sâu nghiên cứu phương pháp phân tích các quá trình quá độ trong mạch. Chương IV trình bày các cách biểu diễn hàm mạch và phương pháp vẽ đặc tuyến tần số của hàm mạch. Chương V đề cập tới lý thuyết mạng bốn cực và ứng dụng trong nghiên cứu một số hệ thống. Chương VI giới thiệu các vấn đề cơ bản trong tổng hợp mạch tuyến tính. Cuối cùng là một số phụ lục và tài liệu tham khảo cho công việc biên soạn. Đây là lần soạn thảo thứ tư. Tác giả đã có nhiều cố gắng cấu trúc lại nội dung nhưng cũng không thể tránh khỏi những sai sót. Xin chân thành cảm ơn các ý kiến đóng góp của bạn đọc và đồng nghiệp. Các ý kiến đóng góp xin gửi về địa chỉ dinhptit@gmail.com. Nguyễn Quốc Dinh PTIT
MỤC LỤC Lời nói đầu Từ và thuật ngữ viết tắt Chương I: Các khái niệm cơ bản 3 1.1. Mạch điện trong miền thời gian 3 1.1.1 Tín hiệu liên tục 3 1.1.2 Mô hình mạch điện 4 1.1.3 Thông số tác động và thụ động của mạch 7 1.2. Mạch điện trong miền tần số 15 1.2.1 Các dạng biểu diễn của số phức 15 1.2.2 Phức hóa dao động điều hòa 16 1.2.3 Trở kháng và dẫn nạp 16 1.3. Cấu trúc hình học của mạch 24 1.4. Tính chất tuyến tính, bất biến, nhân quả và tương hỗ của mạch 25 1.4.1 Tính tuyến tính, bất biến và nhân quả 25 1.4.2 Tính tương hỗ của mạch 27 1.5. Công suất PTIT 27 1.5.1 Các thành phần công suất 27 1.5.2 Điều kiện để công suất tải đạt cực đại 29 1.6. Các định luật Kirchhoff 29 1.6.1 Định luật Kirchhoff 1 29 1.6.2 Định luật Kirchhoff 2 30 1.7. Kỹ thuật tính toán trong lý thuyết mạch 32 1.7.1 Chuẩn hóa giá trị 32
1.7.2 Các đại lượng logarit 32 Câu hỏi và bài tập chương I 33 Chương II: Các phương pháp cơ bản phân tích mạch 38 2.1. Phương pháp dòng điện nhánh 38 2.2. Phương pháp dòng điện vòng 40 2.3. Phương pháp điện áp nút 44 2.4. Định lý nguồn tương đương 49 2.5. Nguyên lý xếp chồng 53 Câu hỏi và bài tập chương II 55 Chương III: Đáp ứng quá độ trong các mạch RLC 60 3.1. Các phương pháp phân tích mạch quá độ 60 3.2. Biến đổi Laplace 62 3.2.1 Biến đổi Laplace thuận 62 3.2.2 Các tính chất của biến đổi Laplace 63 3.2.3 Biến đổi Laplace của một số hàm thường dùng 64 3.2.4 Biến đổi Laplace ngược, phương pháp Heaviside 64 3.2.5 Mối quan hệ giữa vị trí các điểm cực và tính xác lập của hàm gốc 68 3.3. Ứng dụng biến đổi Laplace đểPTIT giải mạch quá độ 69 3.3.1 Các bước cơ bản để giải mạch điện quá độ 69 3.3.2 Laplace hóa các phần tử thụ động 69 3.3.3 Ứng dụng giải mạch quá độ RL 70 3.3.4 Ứng dụng giải mạch quá độ RC 73 3.3.5 Ứng dụng giải mạch quá độ RLC 76 Câu hỏi và bài tập chương III 83 Chương IV: Đáp ứng tần số của mạch 89
4.1. Hệ thống và đáp ứng tần số của hệ thống mạch 89 4.1.1 Các đặc trưng của hệ thống 89 4.1.2 Các phương pháp vẽ đáp ứng tần số của hệ thống mạch 90 4.2. Đồ thị Bode 91 4.2.1 Nguyên tắc đồ thị Bode 91 4.2.2 Đồ thị của thành phần hệ số K 93 4.2.3 Đồ thị của thành phần ứng với điểm không ở gốc tọa độ 93 4.2.4 Đồ thị của thành phần ứng với điểm không nằm trên trục σ 94 4.2.5 Đồ thị của thành phần ứng với cặp điểm không phức liên hiệp 95 4.2.6 Đồ thị của thành phần ứng với điểm không nằm trên trục ảo 97 4.2.7 Đồ thị của thành phần ứng với các điểm cực 98 4.3. Ứng dụng đồ thị Bode để khảo sát mạch điện 100 Câu hỏi và bài tập chương IV 104 Chương V: Mạng bốn cực 107 5.1. Các hệ phương trình đặc tính và sơ đồ tương đương mạng bốn cực tương hỗ 107 5.1.1 Các hệ phương trình đặc tính 107 5.1.2 Điều kiện tương hỗ của bốn cực 112 5.1.3 Sơ đồ tương đương của bốnPTIT cực tuyến tính, thụ động, tương hỗ 112 5.1.4 Các phương pháp ghép nối bốn cực 113 5.2. Mạng bốn cực đối xứng 118 5.2.1 Khái niệm bốn cực đối xứng 118 5.2.2 Định lý Bartlett-Brune 120 5.3. Các thông số sóng của mạng bốn cực 122 5.3.1 Trở kháng vào mạng bốn cực 123 5.3.2 Hàm truyền đạt điện áp của mạng bốn cực 123
5.3.3 Hệ số truyền đạt, lượng truyền đạt của bốn cực 124 5.3.4 Các thông số sóng của mạng bốn cực 125 5.3.5 Mối quan hệ giữa các loại thông số của bốn cực 126 5.3.6 Các thông số sóng của mạng bốn cực đối xứng 126 5.4. Mạng bốn cực tuyến tính không tương hỗ 129 5.4.1 Sơ đồ tương đương của mạng bốn cực không tương hỗ, tích cực 130 5.4.2 Một số bốn cực không tương hỗ, tích cực thường gặp 131 5.4.3 Mạng bốn cực có phản hồi 136 5.5. Một số ứng dụng lý thuyết mạng bốn cực 138 5.5.1 Mạng bốn cực suy giảm 138 5.5.2 Mạng bốn cực phối hợp trở kháng 139 5.5.3 Mạch lọc thụ động LC loại k 140 5.5.4 Mạch lọc thụ động LC loại m 149 5.5.5 Bộ lọc thụ động LC đầy đủ 154 5.5.6 Mạch lọc tích cực 160 Câu hỏi và bài tập chương V 162 Chương VI: Tổng hợp mạch tuyến tính 166 6.1. Khái niệm chung PTIT 166 6.1.1 Tính chất của bài toán tổng hợp mạch 166 6.1.2 Điểm cực và điểm không đặc trưng cho mạch điện 167 6.2. Tổng hợp mạng hai cực tuyến tính thụ động 168 6.2.1 Điều kiện trở kháng của mạng hai cực 168 6.2.2 Tổng hợp mạch hai cực LC, RC theo phương pháp Foster 169 6.2.3 Tổng hợp mạch hai cực LC, RC theo phương pháp Cauer 171 6.2.4 Tổng hợp mạch hai cực RLC theo phương pháp Brune 173
6.3. Tổng hợp hàm truyền đạt bốn cực thụ động 177 6.3.1 Các hàm truyền đạt cho phép 177 6.3.2 Vấn đề xấp xỉ trong tổng hợp mạch 178 6.3.3 Xác định các thông số của bốn cực 180 6.3.4 Thực hiện hàm mạch 180 6.4. Tổng hợp mạch tích cực RC 183 6.4.1 Các bước chính của quá trình tổng hợp mạch tích cực 183 6.4.2 Phương pháp tổng quát tổng hợp mạch tích cực RC 183 6.4.3 Ứng dụng phép biến đổi RC-CR 186 Câu hỏi và bài tập chương VI 187 Phụ lục 1: Mạch điện đối ngẫu 189 Phụ lục 2: Các thông số của mạch dao động đơn 190 Phụ lục 3: MatLab-Công cụ hỗ trợ 196 Tài liệu tham khảo 206 PTIT
THUẬT NGỮ VIẾT TẮT AC (Alternating Current) chế độ dòng xoay chiều. ADC (Analog Digital Converter) bộ chuyển đổi tương tự -số. DC (Direct Current) chế độ dòng một chiều. FT (Fourier transform) biến đổi Fourier KĐTT Bộ khuếch đại thuật toán. LT (Laplace transform) biến đổi Laplace M4C Mạng bốn cực. PTIT
CHƯƠNG 1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN Chương này đề cập đến các khái niệm, các thông số và các nguyên lý cơ bản nhất của lý thuyết mạch truyền thống. Đồng thời, đưa ra cách nhìn tổng quan những vấn đề mà môn học này quan tâm. 1.1 MẠCH ĐIỆN TRONG MIỀN THỜI GIAN 1.1.1 Tín hiệu liên tục Về mặt toán học, tín hiệu được biểu diễn chính xác hoặc gần đúng bởi hàm của các biến độc lập. Thí dụ: Tín hiệu âm thanh x(t) là hàm của một biến độc lập, trong đó x là hàm, còn t là biến. Tín hiệu ảnh x(i,j) là hàm của hai biến độc lập. Chúng ta chỉ tập trung nghiên cứu đối với các tín hiệu là hàm của một biến độc lâp. Tín hiệu Tín hiệu liên tục Tín hiệu rời rạc Tín hiệu tương Tín hiệu lượng Tín hiệu lấy mẫu Tín hiệu số tự tử hoá Hình 1.1. Phân loại tín hiệu Xét dưới góc độ thời gian, mặcPTIT dù trong các tài liệu là không giống nhau, nhưng trong tài liệu này chúng ta sẽ thống nhất về mặt phân loại cho các tín hiệu chủ yếu liên quan đến hai khái niệm liên tục và rời rạc như hình 1.1. Khái niệm tín hiệu liên tục là cách gọi thông thường của loại tín hiệu liên tục về mặt thời gian. Một tín hiệu x(t) được gọi là liên tục về mặt thời gian khi miền xác định của biến thời gian t là liên tục. Hình 1.2 mô tả một số dạng tín hiệu liên tục về mặt thời gian, trong đó: Hình 1.2a mô tả một tín hiệu bất kỳ; tín hiệu tiếng nói là một thí dụ điển hình về dạng tín hiệu này. Hình 1.2b mô tả dạng tín hiệu điều hòa. Hình 1.2c mô tả một dãy xung chữ nhật tuần hoàn. Hình 1.2d mô tả tín hiệu dạng hàm bước nhảy đơn vị, ký hiệu là u(t) hoặc 1(t): 1, t 0 u(t) (1.1) 0, t 0 Khoa KTĐT-Học viện BCVT 3
Còn hình 1.2e mô tả tín hiệu dạng hàm xung đơn vị, còn gọi hàm delta. Hàm này có phân bố Dirac và ký hiệu là (t):  (t) 0, t 0 và  (t)dt 1 (1.2) t t t (a) (b) (c) u(t) (t) 1 0 t 0 t (e) (d) Hình 1.2: một số dạng tín hiệu liên tục về mặt thời gian Cần lưu ý rằng, về mặt biên độ, tín hiệu liên tục về mặt thời gian chưa chắc đã nhận các giá trị liên tục. Nếu biên độ của loại tín hiệu này là liên tục tại mọi thời điểm trong miền hữu hạn đang xét, thì tín hiệu đó mới là tín hiệu liên tục thực sự, còn được gọi là tín hiệu tương tự. Xử lý tín hiệu là một khái niệm rộng để chỉ các quá trình biến đổi, phân tích, tổng hợp tín hiệu nhằm đưa ra các thông tin phục vụ cho các mục đích khác nhau. Các hệ thống khuếch đại và chọn lọc tín hiệu; Các hệ thống điều chế và giải điều chế tín hiệu; các hệ thống phân tích, nhận dạng PTITvà tổng hợp thông tin phục vụ các lĩnh vực an ninh-quốc phòng, chẩn đoán bệnh, dự báo thời tiết hoặc động đất là những thí dụ điển hình về xử lý tín hiệu. 1.1.2 Mô hình mạch điện Mạch điện (circuit) tổng quát là một hệ thống gồm các thiết bị và linh kiện điện, điện tử ghép lại thành các vòng kín để dòng điện có thể phát sinh, trong đó xảy ra các quá trình truyền đạt và biến đổi năng lượng. Trong các hệ thống này, sự tạo ra, tiếp thu và xử lý tín hiệu là những quá trình phức tạp. Việc phân tích trực tiếp các thiết bị và hệ thống điện thường gặp một số khó khăn nhất định. Vì vậy, về mặt lý thuyết, các hệ thống điện thường được nghiên cứu thông qua một mô hình toán học thay thế căn cứ vào các phương trình trạng thái của hiện tượng vật lý xảy ra trong hệ thống. Mô hình đó gọi là mô hình mạch điện, hay là mạch điện lý thuyết. Trong tài liệu này, thuật ngữ Khoa KTĐT-Học viện BCVT 4
“ mạch điện” được ngầm hiểu là mạch điện lý thuyết. Về mặt cấu trúc, mạch điện lý thuyết được xây dựng từ các phần tử và các thông số của mạch. Cần phân biệt sự khác nhau của hai khái niệm phần tử và thông số. Khái niệm Phần tử tổng quát (general elements) trong tài liệu này là mô hình toán học thay thế của các vật liệu linh kiện vật lý thực tế. Các vật liệu linh kiện thực có thể liệt kê ra ở đây như dây dẫn, tụ điện, cuộn dây, biến áp, diode, transistor, vi mạch Thông số (parameters) của một phần tử là đại lượng vật lý đặc trưng cho tính chất của phần tử nói riêng hay của mạch điện nói chung. Thường được ký hiệu bằng các ký tự và có thể nhận nhiều giá trị. Các thông số vật lý thụ động được đề cập ở đây là điện trở R, điện dung C, điện cảm L và hỗ cảm M; còn các thông số tác động bao gồm sức điện động của nguồn và dòng điện động của nguồn. Một linh kiện có thể có nhiều thông số. Hình 1.3 là một trong những mô hình tương đương của một chiếc điện trở thực. Trong mô hình tương đương của cấu kiện này có sự có mặt của các thông số điện trở, điện cảm Hình 1.3: Một minh họa linh kiện thực và điện dung. Những thông số đó và các thông số có thể có đặc trưng cho những tính chất vật lý khác nhau cùng tồn tại trên linh kiện này và sự phát huy tác dụng của chúng phụ thuộc vào các điều kiện làm việc khác nhau. Phần tử đơn (simple element), còn gọi là phần tử cơ bản, là loại phần tử đơn giản nhất, chỉ chứa một loại thông số, nó không thể chia nhỏ thành các phần tử bé hơn. Các phần tử cơ bản bao gồm: phần tử điện trở, phần tử điện dung, phần tử điện cảm, nguồn áp lý tưởng và nguồn dòng lý tưởng. Bộ khuếch đại thuật toán không phải là một phần tử cơ bản vì nó có thể phân tách thành các phần tử bé hơn. PTIT C Trên quan điểm lý thuyết hệ thống, mạch điện là mô hình toán học chính xác hoặc +E Uv R gần đúng của một hệ thống điện, thực hiện - Ura + một toán tử nào đó lên các tác động ở đầu -E vào, nhằm tạo ra các đáp ứng mong muốn 0 ở đầu ra. Mô hình mạch điện thường được Hình 1.4: Mạch tích phân tích cực đặc trưng bởi một hệ phương trình mô tả mối quan hệ giữa các tín hiệu xuất hiện bên trong hệ thống. Trong miền thời gian, các hệ thống mạch liên tục được đặc trưng bởi một hệ phương trình vi tích phân, còn các hệ thống mạch rời rạc được đặc trưng bởi một hệ phương trình sai phân. Thí dụ hình Khoa KTĐT-Học viện BCVT 5
1.4 là một mạch điện liên tục thực hiện toán tử tích phân, trong đó mối quan hệ vào/ra u k u dt thỏa mãn đẳng thức: ra v . Về mặt hình học, mô hình mạch điện được mô tả bởi một sơ đồ kết nối các kí hiệu của các phần tử và các thông số của hệ thống thành các vòng kín theo một trật tự logic nhất định nhằm tạo và biến đổi tín hiệu. Sơ đồ đó phải phản ánh chính xác nhất & cho phép phân tích được các hiện tượng vật lý xảy ra, đồng thời là cơ sở để tính toán & thiết kế hệ thống. Sự lựa chọn mô hình mạch cụ thể của một hệ thống phải dựa trên cơ sở dữ liệu thực nghiệm và kinh nghiệm. Sự ghép nối của hai phần tử trở lên tạo nên một Mạng. Một mạng điện sẽ được gọi là một mạch điện nếu trong cấu trúc của mạng đó tạo nên tối thiểu một đường khép kín để tạo nên dòng điện. Mạch đương nhiên là mạng, nhưng mạng chưa chắc đã là mạch. Một hệ thống mạch được cấu thành từ phần lớn các phần tử mạch tuyến tính & không tuyến tính. Mạch tuyến tính lại được chia thành mạch có thông số phân bố (như dây dẫn, ống dẫn sóng, dụng cụ phát năng lượng ) và mạch có thông số tập trung. Trong mô hình mạch tập trung, bản chất quá trình điện từ được mô tả thông qua các đại lượng dòng điện, điện áp, và các hệ phương trình kirchhoff Có hai lớp bài toán về mạch điện: phân tích và tổng hợp mạch. Phân tích mạch có thể hiểu ở hai góc độ, với một kết cấu hệ thống sẵn có thì: +Các quá trình năng lượng trong mạch, quan hệ điện áp & dòng điện trên các phần tử xảy ra như thế nào? Nguyên lý hoạt động của mạch ra sao? Đây là các vấn đề của lý thuyết mạch thuần tuý. +Ứng với mỗi tác động ở đầu vào, chúng ta cần phải xác định đáp ứng ra của hệ thống trong miền thời gian cũng như trong miền tần số là gì? Quá trình biến đổi tín hiệu khi đi qua mạch ra sao? Ngược lại, tổng hợp mạch làPTIT chúng ta phải xác định kết cấu hệ thống sao cho ứng với mỗi tác động ở đầu vào sẽ tương ứng với một đáp ứng mong muốn ở đầu ra thỏa mãn các yêu cầu về kinh tế và kỹ thuật. Chú ý rằng phân tích mạch là bài toán đơn trị, còn tổng hợp mạch là bài toán đa trị. Các bài toán mạch lại được phân thành bài toán mạch xác lập và mạch quá độ. Khi mạch ở trạng thái làm việc cân bằng & ổn định, ta nói rằng mạch đang ở Trạng thái xác lập. Ở chế độ xác lập, dòng điện, điện áp trên các nhánh biến thiên theo qui luật giống với qui luật biến thiên của các nguồn điện: đối với mạch điện một chiều (DC), dòng điện và điện áp là không đổi; đối với mạch điện xoay chiều sin, dòng điện và điện áp biến thiên theo qui luật sin với thời gian. Khoa KTĐT-Học viện BCVT 6
Khi trong mạch xảy ra đột biến, thường gặp khi đóng/ngắt mạch hoặc nguồn tác động có dạng xung, trong mạch sẽ xảy ra quá trình thiết lập lại sự cân bằng mới, lúc này mạch ở Trạng thái quá độ. 1.1.3 Thông số tác động và thụ động của mạch Dưới góc độ năng lượng, ta hãy xem xét một phần tử đơn, hay còn gọi là phần tử cơ bản (chỉ chứa một thông số) như hình 1.5. Nếu ta chọn chiều dương dòng điện i(t) là cùng chiều dương của điện áp u(t) trên phần tử là từ cực A sang cực B. Công suất tiêu thụ tức thời trên phần tử tại thời điểm t là: i(t) p(t) u(t).i(t) A Trong khoảng thời gian T = t2 – t1, năng u(t) Phần tử lượng có trên phần tử là: t 2 B W p(t)dt T t1 Hình 1.5: Minh họa để xác định tính chất của phần tử + Nếu p(t) có giá trị âm, tức chiều thực của u(t) và i(t) ngược nhau, thì tại thời điểm t phần tử cung cấp năng lượng, hay phần tử là tác động ở thời điểm đang xét, nghĩa là nó có thông số tác động (thông số tạo nguồn). + Nếu p(t) có giá trị dương, tức u(t) và i(t) cùng chiều, thì tại thời điểm t phần tử nhận năng lượng, hay phần tử là thụ động tại thời điểm đang xét, nghĩa là nó có thông số thụ động. Lượng năng lượng nhận được đó có thể được tích luỹ tồn tại dưới dạng năng lượng điện trường hay năng lượng từ trường, mà cũng có thể bị tiêu tán dưới dạng nhiệt hoặc dạng bức xạ điện từ. Các thông số thụ động đặc trưng cho sự tiêu tán và tích luỹ năng lượng. a. Các thông số thụ động Người ta phân các thông số thụ động r thành hai loại thông số quánPTIT tính và thông số không quán tính. i(t) r Điện trở u(t) Thông số không quán tính r đặc trưng cho tính chất của phần tử thụ động khi điện áp Hình 1.6: Kí hiệu phần tử điện trở và dòng điện trên nó tỉ lệ trực tiếp với nhau. Nó được gọi là điện trở (r). Phần tử điện trở cơ bản là phần tử thuần trở, thường có hai kiểu kí hiệu như hình 1.6 và thỏa mãn đẳng thức: u(t) = r.i(t), hay 1 i(t) u(t) g.u(t) (1.3) r Khoa KTĐT-Học viện BCVT 7
1 r có thứ nguyên vôn/ampe, đo bằng đơn vị ôm (). Thông số g= gọi là điện dẫn, có r thứ nguyên 1/, đơn vị là Siemen(S). Về mặt thời gian, dòng điện và điện áp trên phần tử thuần trở là trùng pha nên năng lượng nhận được trên phần tử thuần trở là luôn luôn dương, r đặc trưng cho sự tiêu tán năng lượng dưới dạng nhiệt. Các thông số quán tính trong mạch gồm có điện dung, điện cảm và hỗ cảm. - Thông số điện dung (C): Điện dung là thông số đặc trưng cho tính chất i(t) C của phần tử thụ động khi dòng điện trong nó tỉ lệ với tốc độ biến thiên của điện áp, có thứ u(t) nguyên ampe.giây/vôn, đo bằng đơn vị fara (F). Phần tử điện dung cơ bản là phần tử thuần Hình 1.7: Kí hiệu phần tử điện dung dung, kí hiệu như hình 1.7 và được xác định theo công thức: du(t) i(t) C (1.4) dt 1 t hay u(t) i(t)dt u(t0 ) (1.5) t C 0 Trong thực tế, có thể chọn t0 và u( ) 0 , khi đó có thể viết: 1 t u(t) i(t)dt C Cũng có thể viết lại đẳng thức trên dưới dạng tích phân bất định: 1 u(t) i(t)dt k CPTIT Mặt khác, điện tích tích luỹ được trên phần tử ở thời điểm t có thể viết thành: t q(t) i(t)dt Nên ta còn có công thức: q C.u và năng lượng tích luỹ trên C: du 1 W p(t)dt C. .u(t).dt Cu 2 (1.6) E dt 2 Xét về mặt năng lượng, thông số C đặc trưng cho sự tích luỹ năng lượng điện trường. Nhận xét: Khoa KTĐT-Học viện BCVT 8
-Thông số điện dung không gây đột biến điện áp trên phần tử và thuộc loại thông số quán tính . -Xét về thời gian, điện áp trên phần tử thuần dung chậm pha so với dòng một góc /2. -Ở chế độ DC, phần tử điện dung coi như hở mạch. Dòng điện trên nó bằng không. - Thông số điện cảm (L): Điện cảm đặc trưng cho tính chất của phần i(t) L tử thụ động khi điện áp trên nó tỉ lệ với tốc độ biến thiên của dòng điện, có thứ nguyên u(t) vôn*giây/ampe, đo bằng đơn vị hery(H). Phần tử điện cảm cơ bản là phần tử thuần Hình 1.8: Kí hiệu phần tử điện cảm cảm, kí hiệu như hình 1.8 và được xác định theo công thức: di(t) u(t) L (1.7) dt 1 t hay i(t) u(t)dt i(t0 ) (1.8) L t0 Trong thực tế, có thể chọn t0 và u( ) 0 , khi đó có thể viết: 1 t i(t) u(t)dt L Cũng có thể viết lại đẳng thức trên dưới dạng tích phân bất định: 1 i(t) u(t)dt k L và năng lượng tích luỹ trên L: di 1 W L i(t)dt Li2 (1.9) H dPTITt 2 Xét về mặt năng lượng, thông số L đặc trưng cho sự tích luỹ năng lượng từ trường. Nhận xét: - Thông số điện cảm không gây đột biến dòng điện trên phần tử và thuộc loại thông số quán tính. -Xét về mặt thời gian, ở chế độ ac, điện áp trên phần tử thuần cảm nhanh pha so với dòng điện một góc là /2. -Ở chế độ DC, phần tử điện cảm coi như ngắn mạch. Điện áp trên nó bằng không. -Thông số hỗ cảm (M): Hỗ cảm là thông số có cùng bản chất vật lý với điện cảm, nhưng nó đặc trưng cho sự ảnh hưởng qua lại của hai phần tử đặt gần nhau khi có dòng điện chạy trong chúng. Khoa KTĐT-Học viện BCVT 9
M Các phần tử này có thể nối hoặc không nối với i1 i2 nhau về điện. Cũng cần chú ý rằng, không có phần tử hỗ cảm, mà chỉ có các phần tử ghép hỗ u cảm. u1 L1 L2 2 Thí dụ như trên hình 1.9, với chiều dương quy ước của dòng và áp trên L1 và L2 như hình vẽ, Hình 1.9: Mô hình ghép hỗ cảm giả thiết hệ số hỗ cảm giữa hai điện cảm là bằng nhau và bằng M, khi đó dòng điện i1 chạy trong phần tử điện cảm thứ nhất sẽ gây ra trên phần tử thứ hai một điện áp hỗ cảm là: di u M 1 (1.10) 21 dt Ngược lại, dòng điện i2 chạy trong phần tử điện cảm thứ hai sẽ gây ra trên phần tử thứ nhất một điện áp hỗ cảm là: di u M 2 (1.11) 12 dt Như vậy do tác dụng đồng thời của các thông số điện cảm và hỗ cảm, trên mỗi phần tử sẽ có tương ứng một điện áp tự cảm và một điện áp hỗ cảm. Tổng hợp ta có hệ phương trình: di di u L 1 M 2 1 1 dt dt (1.12) di1 di2 u M L 2 dt 2 dt trong đó M k L1L2 (k là hệ số ghép, có giá trị trong khoảng từ 0 đến 1). Nếu các dòng điện cùng chảy vào hoPTITặc cùng chảy ra khỏi các đầu cùng tính thì điện áp hỗ cảm lấy dấu ‘+’, nếu ngược lại sẽ lấy dấu ‘-’. Trong các sơ đồ, các đầu cùng tính thường được ký hiệu bằng các dấu (*). B1 Quy tắc đánh dấu cực cùng tính: Xét hai cuộn dây i1 * cuốn trên lõi sắt hình 1.10. Dòng điện i1 chạy qua B cuộn dây, tạo ra trên lõi sắt từ một cảm ứng từ B1. B 2 Dòng điện i2 chạy qua cuộn dây, tạo ra trên lõi sắt từ i 2 một cảm ứng từ B2. Hai dòng điện chạy vào hai cuộn * dây, chúng sẽ tạo lên lõi sắt từ một cảm ứng từ tổng Hình 1.10: Minh họa hợp: các cực cùng tên B = B1 ± B2 Khoa KTĐT-Học viện BCVT 10
Nếu dòng điện i1 và i2 cùng chạy vào hoặc cùng chạy ra các cực tính của hai cuộn dây để B1 cùng chiều B2 thì các cực đó gọi là cực cùng tính, được đánh dấu bằng ký tự (*). Trong trường hợp có một số các phần tử cùng loại mắc nối tiếp hoặc song song với nhau thì các thông số được tính theo các công thức ghi trong bảng 1.1. Cách mắc Thông số điện trở Thông số điện cảm Thông số điện dung Nối tiếp r r L L 1 1  k  k k k  C k Ck Song song 1 1 1 1 C C  k   k r k rk L k Lk Bảng 1.1 Thí dụ 1.1: Minh họa công thức tính điện cảm tương đương của của hai phần tử điện cảm L1 và L2 trong hai trường hợp mắc nối tiếp và mắc song song. Giải: a. Trong trường hợp mắc nối tiếp (hình 1.11): M di di Ta có: u L ; và u L 1 1 dt 2 2 dt L di di L1 2 Mặt khác: u u1 u2 (L1 L2 ) Ltd dt dt Hình 1.11 Vậy Ltd = L1 L2 b. Trong trường hợp mắc song song (hình 1.12): L Ta xét trong cách biểu diễn phức: 1 i(t) i1 i2 i(t) i1 di di1 di2 u L L L i2 td dt 1 dt 2 dt PTIT L2 Từ các phương trình trên rút ra: _ + u 1 1 1 Ltđ L1 L2 Hình 1.12 b. Các thông số tác động Thông số tác động còn gọi là thông số tạo nguồn, nó là thông số đặc trưng của phần tử nguồn có khả năng tự nó (hoặc khi nó được kích thích bởi các tác nhân bên ngoài) có thể tạo ra và cung cấp năng lượng điện tác động tới các cấu kiện khác của mạch. Thông số tác động có thể là: + Sức điện động (eng) của phần tử nguồn áp: là một đại lượng vật lý có giá trị là điện áp hở mạch của nguồn, đo bằng đơn vị “vôn” và được ký hiệu là V. Khoa KTĐT-Học viện BCVT 11
+ Dòng điện động (Jng) của phần tử nguồn dòng: là một đại lượng vật lý có giá trị là dòng điện ngắn mạch của nguồn, đo bằng đơn vị “ampe” và được ký hiệu là A. Sự xác định các thông số tạo nguồn dẫn đến khái niệm các phần tử nguồn cơ bản, đó là nguồn áp lý tưởng và nguồn dòng lý tưởng. Nguồn áp lý tưởng là phần tử có điện áp trên hai cực của nó cấp cho tải ngoài không phụ thuộc vào giá trị của tải. Nguồn dòng lý tưởng là phần tử có dòng điện cấp cho mạch ngoài không phụ thuộc vào giá trị của tải. + + + e - ng e(t) Edc - Hình 1.13: Các kiểu ký hiệu nguồn áp độc lập lý tưởng Hình 1.13 là một số kiểu ký hiệu của nguồn áp độc lập, còn hình 1.14 là một số kiểu ký hiệu của nguồn dòng độc lập. J J ng Jng ng Hình 1.14: Các kiểu ký hiệu nguồn dòng độc lập lý tưởng Hình 1.15 là ký hiệu của nguồn áp phụ thuộc, còn hình 1.16 là ký hiệu của nguồn dòng phụ thuộc. Nguồn phụ thuộc còn gọi là nguồn có điều khiển, bởi nó được điều khiển bởi một biến khác trong mạch. + + e eng Jng - ng Jng -PTIT Hình 1.15: Các kiểu ký hiệu Hình 1.16: Các kiểu ký hiệu nguồn áp phụ thuộc nguồn dòng phụ thuộc Theo các quy ước trong tài liệu này, chiều dương sức điện động của phần tử nguồn sẽ ngược lại với chiều dương dòng điện chạy trong nguồn, và công suất của phần tử nguồn sẽ mang dấu âm. Thí dụ 1.2: Mô hình hóa lại các phần tử quán tính thụ động khi cần nhấn mạnh đến năng lượng ban đầu tồn tại trong chúng tại thời điểm t=0. Giải: Khoa KTĐT-Học viện BCVT 12
1 t 1 t Xuất phát từ phương trình: iL (t) u(t)dt i(0) , uc (t) i(t)dt u(0) , ta có thể vẽ L 0 C 0 lại mô hình hóa các phần tử khi có tính đến điều kiện đầu như hình 1.17. + i(t) C L u(t) + iL(0-) uc(0-) - - Hình 1.17: Mô hình hóa các phần tử L và C khi cần tách biệt điều kiện đầu c. Mô hình hóa nguồn điện thực Nguồn điện lý tưởng là phần tử không có tổn hao năng lượng trên chính bản thân nguồn. Nhưng trong thực tế không tồn tại loại nguồn như vậy, nghĩa là phải tính đến tổn hao. Sự tổn hao trong các bộ nguồn thực là do có sự tồn tại nội trở trong hay còn gọi là điện trở ra của nguồn (Ri). Nguồn áp độc lập thực tế có thể mô hình hóa gồm hai phần tử cơ bản là nguồn áp lý tưởng và điện trở đại diện cho nội trở trong của nguồn, mắc nối tiếp như hình 1.18. Ri +a Ri +a Nguồn áp +đ ộc lập + e e - thựcng - ng - b - b Hình 1.18: Mô hình nguồn áp độc lập thực PTIT Nguồn dòng độc lập thực tế có thể mô hình hóa gồm hai phần tử cơ bản là nguồn dòng lý tưởng và điện trở đại diện cho nội trở trong của nguồn, mắc song song như hình 1.19. +a +a Nguồn dòng R R độcJng lập i Jng i thực - b - b Hình 1.19: Mô hình nguồn dòng độc lập thực Khoa KTĐT-Học viện BCVT 13
Nguồn áp phụ thuộc thực tế có thể mô hình hóa gồm hai phần tử cơ bản là nguồn áp lý tưởng và nội trở trong của nguồn, mắc nối tiếp như hình 1.20. R i +a Ri +a Nguồn áp + phụ + eng e -thu ộc - ng thực - b - b Hình 1.20: Mô hình nguồn áp phụ thuộc thực Nguồn dòng phụ thuộc thực tế có thể mô hình hóa gồm hai phần tử cơ bản là nguồn dòng lý tưởng và điện trở đại diện cho nội trở trong của nguồn, mắc song song như hình 1.21. R i +a +a Nguồn +dòng eng J Ri ph- ụ thuộc ng thực - b - b Hình 1.21: Mô hình nguồn dòng phụ thuộc thực Nguồn phụ thuộc còn được gọi là nguồn có điều khiển. Do thông số tác động của nguồn chịu sự điều khiển bởi một dòng hoặc một điện áp nào đó, nên có thể phân loại chi tiết nguồn phụ thuộc thành bốn mô hình như hình 1.22, bao gồm: R i + Ri + + + + Ri Ri PTITgus i ku ri s - s - s - - - - A-A A-D D-A D-D Hình 1.22: Mô hình của bốn loại nguồn có điều khiển + Nguồn áp được điều khiển bằng áp (A-A), trong đó Sức điện động của nguồn eng liên hệ với điện áp điều khiển us theo công thức: eng =kus (1.13) (với k là hệ số tỷ lệ ) Khoa KTĐT-Học viện BCVT 14
+ Nguồn áp được điều khiển bằng dòng (A-D), trong đó suất điện động của nguồn eng liên hệ với dòng điện điều khiển is theo công thức: eng =ris (1.14) ( r là hệ số tỷ lệ ) + Nguồn dòng được điều khiển bằng áp (D-A), trong đó dòng điện nguồn Jng liên hệ với điện áp điều khiển us theo công thức: Jng =gus (1.15) ( g là hệ số tỷ lệ ) + Nguồn dòng được điều khiển bằng dòng (D-D), trong đó dòng điện nguồn Jng liên hệ với dòng điều khiển is theo công thức: Jng = is (1.16) ( là hệ số tỷ lệ ) Trong các ứng dụng cụ thể, các nguồn tác động có thể được ký hiệu một cách rõ ràng hơn như nguồn một chiều, nguồn xoay chiều, nguồn xung Hai nguồn được gọi là tương đương nếu chúng cùng tác động lên một tải bất kỳ với các giá trị điện áp và dòng điện như nhau. Với định nghĩa như vậy, trừ trường hợp nguồn lý tưởng, nguồn áp thực sẽ tương đương với nguồn dòng thực và ngược lại nếu chúng có nội trở bằng nhau và thỏa mãn mối quan hệ: eng =RiJng (1.17) 1.2 MẠCH ĐIỆN TRONG MIỀN TẦN SỐ Trong các phương pháp phân tích mạch điện, có một phương pháp rất có hiệu quả dựa trên cách biểu diễn phức. {Im} 1.2.1 Các dạng biểu diễn củaPTIT số phức +j b Số phức được xác định trên mặt phẳng phức như hình C 1.23. Nó có các dạng biểu diễn sau: ϕ {Re} o a Dạng nhị thức: C a jb ; với j là đơn vị ảo, Hình 1.23 j 1; j 2 1; j 3 j; j 4 1; b Dạng hàm mũ ảo: C Ce j ; trong đó C C a 2 b 2 ; arg C tan 1 a Dạng cực: C C Các phép tính về số phức có thể tham khảo trong các tài liệu toán học. Khoa KTĐT-Học viện BCVT 15
1.2.2 Phức hóa dao động điều hoà Theo lý thuyết chuỗi và tích phân Fourier, các tín hiệu ngẫu nhiên theo thời gian và hữu hạn về biên x(t) độ đều có thể phân tích thành các các thành phần Xm dao động điều hoà. Bởi vậy việc phân tích sự hoạt động của mạch, đặc biệt là mạch tuyến tính, dưới tác t động bất kỳ, có thể được quy về việc phân tích phản ứng của mạch dưới các tác động điều hòa. Ở một góc độ khác, xuất phát từ công thức của nhà Hình 1.24 toán học Euler: exp(j ) = cos + jsin (1.18) Bất kỳ một dao động điều hoà x(t) trong miền thời gian với biên độ Xm , tần số góc = 2 [rad / s], và pha đầu là 0[rad] (hình 1.24), đều có thể biểu diễn dưới dạng phức T trong miền tần số: X X m .exp( jt 0 ) X m .exp( jt) (1.19) trong đó biên độ phức của x(t) được định nghĩa: X m X m .exp( j 0 ) X m o (1.20) Biểu diễn X m X m o trong hệ tọa độ cực được gọi là phasor của hàm điều hòa x(t)=Xmcos(t + o), nó là một phép biến đổi từ miền thời gian sang miền tần số. Ngược lại, một hàm điều hoà có biểu diễn phasor là X m X m o , thì biểu thức thời gian của nó sẽ là: x(t)PTIT =Xmcos(t + u) Re[ X ] Cần nhấn mạnh rằng, việc phân tích nguồn tác động thành các thành phần điều hoà và biểu diễn chúng dưới dạng phức làm cho sự tính toán các thông số trong mạch điện trở nên thuận lợi dựa trên các phép toán về số phức. Thông qua quá trình biến đổi này mà các phương trình vi tích phân biến thành phương trình đại số. Đặc biệt khi các nguồn tác động là điều hòa có cùng tần số, thì thành phần exp(jt) trở nên không còn cần thiết phải viết trong các biểu thức tính toán nữa, lúc này biên độ phức hoàn toàn đặc trưng cho các thành phần dòng và áp trong mạch. 1.2.3 Trở kháng và dẫn nạp Bây giờ hãy nói đến định luật ôm tổng quát viết dưới dạng phức: U Z.I (1.21) Khoa KTĐT-Học viện BCVT 16
1 hay I U Y.U (1.22) Z trong đó Z chính là một toán tử có nhiệm vụ biến đổi dòng điện phức thành điện áp 1 phức và gọi là trở kháng của mạch, đơn vị đo bằng ôm (), còn Y = là một toán tử Z có nhiệm vụ biến đổi điện áp phức thành dòng điện phức và gọi là dẫn nạp của mạch, đơn vị đo bằng Siemen (S). Chúng được biểu diễn dưới dạng phức: Z =R + jX = Z exp( j arg Z) Z exp( j Z ) (1.23) Y =G + jB = Y exp( j argY) Y exp( j Y ) (1.24) trong đó R là điện trở, X là điện kháng, G là điện dẫn và B là điện nạp. Mặt khác: U U exp[ j(t )] U Z m u m exp[ j( )] (1.25) I I exp[ j(t )] I u i m i m I I exp[j( t )] I Y m i m exp[j( )] (1.26) i u U U m exp[j( t u )] U m Như vậy, từ các biểu thức trên ta có thể rút ra: U X Z R2 X2 m ; arg Z arctg (1.27) I Z R u i m I 2 2 m B và: Y G B ; arg Y arctg (1.28) U Y G i u Z m Sau đây ta xét trở kháng và dẫn nạp của các phần tử lý tưởng tương ứng với các tham số thụ động: PTIT -Đối với phần tử thuần trở: U Z .I r.I r r vậy Zr =r và Yr =1/r (1.29) -Đối với phần tử thuần dung: 1 1 1 1 U Idt I exp[j(t )]dt I exp[j(t )] I Z I C C C m jC m jC C 1 vậy Z j X (1.30) c jC C YC = jC =jBC (1.31) Khoa KTĐT-Học viện BCVT 17
1 trong đó X ; BC = C (1.32) C C -Đối với phần tử thuần cảm: di d I exp[ j(t )] U L L m jLI exp[ j(t )] jLI Z I L dt dt m L vậy ZL = jL = jXL (1.33) 1 Y j B (1.34) L L jL 1 trong đó XL =L ; B (1.35) L L Như vậy nhờ có cách biểu diễn phức, ta đã thay thế các phép lấy đạo hàm bằng toán tử nhân p, còn phép lấy tích phân được thay thế bằng toán tử nhân 1/p (trong trường hợp cụ thể này thì p=j). Tổng quát hơn, với p là một biến nằm trên mặt phẳng phức, sẽ được đề cập chi tiết trong các chương sau. Trở kháng và dẫn nạp của các phần tử mắc nối tiếp và song song cho trong bảng 1.2. Cách mắc Trở kháng Dẫn nạp nối tiếp Z Z 1 1 td  k k  Ytd k Yk song song 1 1 Y Y td  k  k Ztd k Z k bảng 1.2 Ý nghĩa của việc phức hóa mạch điện liên tục trong miền thời gian (còn gọi là mạch điện truyền thống) chính là PTITchuyển các hệ phương trình vi tích phân thành hệ phương trình đại số (trong miền tần số). Thí dụ 1.3: Tính điện cảm tương đương của của hai phần tử điện cảm L1 và L2 trong hai trường hợp mắc nối tiếp và mắc song song (giả sử giữa chúng có hỗ cảm M). Giải: a. Trong trường hợp mắc nối tiếp (hình 1.25): M di di di di Ta có: u L M ; và u L M L 1 1 dt dt 2 2 dt dt L1 2 Hình 1.25 di di Mặt khác: u u u (L L 2M) L 1 2 1 2 dt td dt Khoa KTĐT-Học viện BCVT 18
Vậy Ltd = L1 L2 2M (1.36) Dấu ‘-’ lấy khi đầu nối chung giữa hai phần tử là cùng cực tính, ngược lại lấy dấu ‘+’. b. Trong trường hợp mắc song song (hình 1.26): Ta xét trong cách biểu diễn phức: L1 I I1 I2 M  U Z1.I1 ZM I2 ZM I1 Z2 I2 L2 Từ các phương trình trên rút ra: Hình 1.26 2 U Z1.Z 2 Z M Z td jLtd (1.37) I Z1 Z 2 2Z M Z Vậy L td (1.38) td j trong đó: Z1=jL1, Z2=jL2 là trở kháng của hai phần tử trong cách biểu diễn phức. ZM=jM là trở kháng hỗ cảm giữa hai phần tử. Ztd =jLtđ là trở kháng tương đương của hai phần tử. Dấu ‘-‘ được lấy khi dòng điện cùng chảy vào hoặc cùng chảy ra khỏi các đầu có ký hiệu ‘*’, nếu ngược lại thì biểu thức lấy dấu ‘+’. Thí dụ 1.4: Tính trở kháng của đoạn mạch hình 1.27, biết R=100, XL=20, XC=5 (lấy theo giá trị môđun) Giải: R XL XC a Zab = ZR + ZL + ZC = R jX L jX C b hình 1.27 thay số ta có: Z 100 j20 j5 (100 j15)  ab PTIT Thí dụ 1.5: Cho mạch điện như hình 1.28, với các số liệu viết dưới dạng phức: Z1=(2.4 + 5j) ; Z2=(5-j) ; Z3=j ; Z5=(2 - j4) ; Z4=(2 + j4) . a. Vẽ sơ đồ tương đương chi tiết theo các Z 1 Z3 Z5 tham số r, XL, XC b. Đặt lên mạch điện áp điều hòa có giá trị Z2 Z4 hiệu dụng là 5V, viết biểu thức thời gian của dòng điện chạy trong mạch. Giải: Hình 1.28 a. Sơ đồ tương đương chi tiết theo các tham số r, Xl, Xc có dạng như hình 1.29, lấy đơn vị là . Khoa KTĐT-Học viện BCVT 19
b. Ta có: Z4Z5 20 r =2.4 XL=5 XL=1 Z45 5  Z4 Z5 4 r =2 r =2 r =5 Z345 Z3 Z45 (5 j)  XC=1 XL=4 XC=4 Z2Z345 26 Z2345 2.6  Z2 Z345 10 Hình 1.29 ZV =Z1 + Z2345 = (5 + 5j) . U m 5 2 I m exp[ j(t )] ZV 5(1 j) 4 Vậy biểu thức thời gian của điện áp và dòng điện trong mạch là: u(t) 5 2.cost i(t) cos(t ) 4 Thí dụ 1.6: Cho mạch điện như hình 1.30, với Y1 Y các số liệu dưới dạng phức (đơn vị là Siemen): Y3 5 Y1=5 + 5j Y4= 0.5 + 4j Y2 Y4 Y2=4 + 5j Y5= 0.5 - 3j Y3=1 - j Hình 1.30 a. Vẽ sơ đồ tương đương chi tiết theo các tham số g, BL, BC b. Cho dòng điện điều hòa chạy qua mạch có giá trị hiệu dụng là 5A, hãy viết biểu thức thời gian của điện áp đặt trên hai đầu mạch điện. Giải: PTIT a. Sơ đồ tương đương chi tiết của mạch theo các tham số g, BL, BC có dạng như hình 1.31, (đơn vị là Siemen). b. Ta có: Y Y Y 1 j 45 4 5 g=5 g=1 g=0.5 Y3.Y45 Y345 1 Y Y BL=3 3 45 BC=5 BL=1 Y2345 Y2 Y345 5 5j BC=5 g=4 BC=4 g=0.5 Y1.Y2345 Hình 1.31 YV 2.5 2.5j Y1 Y2345 Khoa KTĐT-Học viện BCVT 20
I m 5 2 U m 2exp[ j(t )] YV 2.5(1 j) 4 Vậy biểu thức thời gian của điện áp và dòng điện trong mạch là: i(t) 5 2 cost u(t) 2 cos(t ) 4 Thí dụ 1.7: Hãy xét các đặc tính về điện (theo tần số) ở chế độ xác lập của mạch RLC nối tiếp như hình 1.32. Giải: Trở kháng của mạch: R L I U Z R j(X X ) R jX I L C U C X L L nằm ở nửa dương của trục ảo; 1 X nằm nửa âm của trục ảo. Hình 1.32 C C X X L X C là thành phần điện kháng của mạch. X Z R 2 (X X )2 R 2 X 2 ; arg[Z] arctg L C R Mối tương quan của các thành phần trở kháng của mạch được biểu diễn trên mặt phẳng phức như hình 1.33a. Còn hình 1.33b mô tả đặc tính các thành phần điện kháng của mạch theo tần số. Khi tần số nhỏ hơn f0, XC lớn hơn XL, khi đó X có giá trị âm, mạch có tính điện dung, điện áp chậm pha hơn so với dòng điện. Khi tần số lớn hơn f0, XC nhỏ hơn XL, khi đó X có giá trị dương, mạch có tính điện cảm, điện áp nhanh pha hơn so với dòng điện. XL PTIT XL X Z X=XL-XC R 0 f0 f XC (a) (b) XC Hình 1.33 1 Tại tần số cộng hưởng của mạch f 0 , XL cân bằng với XC, thành phần điện 2 LC kháng X của mạch bị triệt tiêu, trở kháng của mạch là bé nhất và thuần trở, dòng điện Khoa KTĐT-Học viện BCVT 21
trên mạch đạt cực đại và đồng pha với điện áp. Khi tần số lệch khỏi giá trị cộng hưởng, phần điện kháng X của mạch sẽ tăng, tức là trở kháng của mạch I tăng, nghĩa là dòng trong mạch U I sẽ giảm. Sự phụ thuộc của biên 0 R 0,7I độ dòng điện vào tần số dẫn đến 0 tính chọn lọc tần số của mạch. f f f2 f Hình 1.34 mô tả tính chọn lọc 1 0 BW tần số của mạch (với nguồn tác động là nguồn áp lý tưởng). Hình 1.34 -Dải thông của mạch: f BW f f 0 (1.39) 2 1 Q trong đó f1, f2 là các tần số biên của dải thông, còn gọi là tần số cắt, được xác định tại vị trí mà biên độ đặc tuyến bị giảm đi 3dB (tức bằng 0,7I0); còn Q là đại lượng đặc trưng cho tính chọn lọc tần số của mạch và gọi là phẩm chất của mạch (tại tần số cộng hưởng). Khi Q tăng thì dải thông của mạch càng hẹp, độ chọn lọc càng cao. 1 L Q . (1.40) R C -Tại tần số cộng hưởng, điện áp trên L và C ngược pha nhau và đều gấp Q lần điện áp tác động: U r U (điện áp trên R bằng điện áp tác động cả về biên độ và pha). U c jQU điện áp trên C chậm pha /2 so với U. U jQU điện áp trên L nhanh pha /2 so với U. L PTIT Chú ý rằng, thực tế, tại tần số cộng hưởng, điện áp tổng U sẽ đạt cực tiểu, nhưng trong L và C tồn tại các điện áp ngược pha nhau với độ lớn bằng nhau và gấp Q lần điện áp tổng. Vì vậy người ta nói mạch RLC nối tiếp là mạch cộng hưởng điện áp. Thí dụ 1.8: Hãy xét các đặc tính về điện (theo tần số) ở chế độ xác lập của mạch RLC song song như hình 1.35. Giải: Dẫn nạp của mạch: I I 1 1 Y j(B B ) G jB U R L C U Z R C L 1 BC C nằm ở nửa dương của trục ảo; X C Hình 1.35 Khoa KTĐT-Học viện BCVT 22
1 1 BL nằm nửa âm của trục ảo. L X L B BC BL là thành phần điện nạp của mạch. 1 1 B Y (B B ) 2 G 2 B 2 ; arg[Y] arctg Z R 2 C L G Mối tương quan của các thành phần dẫn nạp của mạch được biểu diễn trên mặt phẳng phức như hình 1.36a. BC BC B Y B=BC-BL G 0 f0 f BL (a) (b) BL Hình 1.36 Còn hình 1.36b mô tả đặc tính các thành phần điện nạp của mạch theo tần số. Khi tần số nhỏ hơn f0, BL lớn hơn BC, khi đó B có giá trị âm, mạch có tính điện cảm, điện áp nhanh pha hơn so với dòng điện. U Khi tần số lớn hơn f0, BL nhỏ hơn BC, khi đó B có giá trị dương, mạch U 0 IR có tính điện dung, điện áp chậm 0,7U 0 pha hơn so với dòng điện. Tại tần số cộng hưởng của mạch f1 f0 f2 f 1 BW f 0 , BL cân bằng với BC, 2 LC PTIT thành phần điện nạp B của mạch bị Hình 1.37 triệt tiêu, trở kháng của mạch là lớn nhất và thuần trở, điện áp trên mạch đạt cực đại và đồng pha với dòng điện. Khi tần số lệch khỏi giá trị cộng hưởng, phần điện nạp B của mạch sẽ tăng, tức là trở kháng của mạch giảm, nghĩa là điện áp trên mạch sẽ giảm. Hình 1.37 mô tả tính chọn lọc tần số của mạch (với nguồn tác động là nguồn dòng lý tưởng). - Dải thông của mạch: f BW f f 0 (1.41) 2 1 Q - Phẩm chất của mạch (tại tần số cộng hưởng): Khoa KTĐT-Học viện BCVT 23
C Q R. (1.42) L Khi Q tăng thì dải thông càng hẹp, độ chọn lọc của mạch càng cao. -Tại tần số cộng hưởng, dòng điện trên các thành phần của mạch đều đạt cực đại, trong đó dòng trên L và C ngược pha nhau và đều gấp Q lần dòng điện tác động: I R I (dòng điện trên R bằng dòng tác động cả về biên độ và pha). I L jQI dòng trên L chậm pha /2 so với I. I C jQI dòng trên C nhanh pha /2 so với I. Chú ý rằng, thực tế, tại tần số cộng hưởng, dòng điện tổng I qua mạch sẽ đạt cực tiểu, nhưng tồn tại một dòng điện luân chuyển và khép kín trong LC với độ lớn gấp Q lần dòng điện tổng. Vì vậy người ta nói mạch RLC song song là mạch cộng hưởng dòng điện. Các đặc tính đầy đủ về điện ở chế độ xác lập điều hòa của các mạch dao động đơn có thể tìm thấy trong phần sau. 1.3 CẤU TRÚC HÌNH HỌC CỦA MẠCH Một khi mạch tương đương của một hệ thống đã được xây dựng, việc phân tích nó được tiến hành dựa trên một số các định luật cơ bản và các định luật này lại đưọc xây dựng theo các yếu tố hình học của sơ đồ mạch. Đây là những khái niệm mang thuần ý nghĩa hình học, tạo cơ sở cho việc phân tích mạch được thuận tiện, chúng bao gồm: + Nhánh: là phần mạch gồm các phần tử mắc nối tiếp trong đó có cùng một dòng điện chảy từ một đầu tới đầu còn lại của nhánh. + Nút: là giao điểm của các nhánh mạch. + Cây: là phần mạch bao gồm một số nhánh đi qua toàn bộ các nút, nhưng không tạo thành vòng kín. Xét một cây cụ thể, nhánh thuộc cây đang xét gọi là nhánh cây và nhánh không thuộc cây gọi lPTITà nhánh bù cây. + Vòng: bao gồm các nhánh và các nút tạo thành một vòng khép kín. Vòng cơ bản (ứng với một cây) là vòng chỉ chứa một nhánh bù cây. Nếu mạch điện có số nhánh Nnh, số nút Nn, ứng với một cây có số nhánh bù cây là Nb và số vòng cơ bản là Nv thì ta có: Nb = NV = Nnh - Nn + 1 (1.43) + Mắt lưới: Là vòng kín không chứa vòng nào bên trong nó. Để minh họa, ta xét mạch điện hình 1.38. Mạch điện này có các nút A, B, C, O (tức Nn =4); có các nhánh Z1, Z2, Z3 Z4, Z5, Z6 (tức Nnh =6). Các nhánh Z1, Z3, Z5 tạo thành một cây có ba nhánh, gốc tại O, các nhánh còn lại là các nhánh bù cây. Ứng với cây có gốc O, các vòng V1, V2, V3, là các vòng cơ bản; còn vòng V4, chứa 2 nhánh bù cây, Khoa KTĐT-Học viện BCVT 24
nên không phải vòng cơ bản. Vòng V1 và V2 là mắt lưới, còn V4 không phải là mắt lưới. V3 Z6 Z6 Z Z Z2 Z 2 B 4 B 4 A C A C Z Z5 Z1 Z3 5 Z1 Z3 O O V1 V2 V4 Hình 1.38: Minh họa các yếu tố hình học của mạch 1.4 TÍNH CHẤT TUYẾN TÍNH, BẤT BIẾN, NHÂN QUẢ VÀ TƯƠNG HỖ CỦA MẠCH ĐIỆN 1.4.1 Tính tuyến tính, bất biến và nhân quả Tính tuyến tính Một phần tử được gọi là tuyến tính khi các thông số của nó không phụ thuộc vào điện áp và dòng điện chạy qua nó, nếu không thoả mãn điều này thì phần tử đó thuộc loại không tuyến tính. Mạch điện được gọi là tuyến tính khi các thông số hợp thành của nó không phụ thuộc vào điện áp và dòng điện chạy trong mạch. Như vậy, trước hết mạch tuyến tính phải gồm các phần tử tuyến tính, chỉ cần trong mạch có một phần tử không tuyến tính thì mạch đó cũng không phải là mạch tuyến tính. Để hiểu rõ khía cạnh này, ta xét ngay đối với các phần tử thụ động:PTIT +Điện trở là phần tử tuyến tính nếu đặc i[mA] (a) tuyến Vôn-Ampe của nó là một đường thẳng như trường hợp (a) trên hình 1.39, quan hệ giữa điện áp và dòng điện trên nó theo định luật Ôm, có (b) dạng: U u[V] U =R.I hay R (với R là một I hằng số), và nó sẽ là không tuyến tính Hình 1.39: Minh họa tính tuyến tính (phi tuyến) nếu đặc tuyến Vôn-Ampe của nó không phải là một đường thẳng mà là một đường cong như trường hợp (b) trên hình 1.39, quan hệ giữa điện áp và dòng điện trên nó có dạng một hàm: Khoa KTĐT-Học viện BCVT 25
U=f(I) hay R=f(U,I) +Tương tự như vậy, một tụ điện được gọi là tuyến tính nếu có quan hệ: q q =C.U hay C (với C là một hằng số) U và nó sẽ là phần tử phi tuyến nếu có quan hệ hàm số: q =f(U) hay C=f(U,I) +Cũng như thế, một cuộn cảm được gọi là tuyến tính nếu có quan hệ:   L.I hay L (với L là một hằng số) I và nó sẽ là phần tử phi tuyến nếu có quan hệ hàm số:  f(I) hay L=f(U,I) * Các tính chất của các phần tử và mạch tuyến tính bao gồm: +Có thể áp dụng nguyên lý xếp chồng. +Đặc tuyến đặc trưng cho phần tử là một đường thẳng. +Phương trình của mạch là phương trình vi phân tuyến tính. +Dưới tác động với tần số bất kỳ, trong mạch không phát sinh ra các hài mới. * Đối với mạch không tuyến tính, thì các tính chất nói trên không còn đúng nữa: -Không áp dụng được nguyên lý xếp chồng. -Đặc tuyến đặc trưng cho phần tử không là đường thẳng. -Phương trình của mạch là phương trình vi phân không tuyến tính. -Dưới tác động với tần số bất kỳ, trong mạch có thể phát sinh ra các hài mới. Tính bất biến Một mạch được gọi là bất biếnPTIT nếu các thông số của mạch không phụ thuộc thời gian, khi một trong các thông số của nó chịu ảnh hưởng của thời gian thì mạch đó là mạch không bất biến (mạch thông số). Với mạch bất biến, giả thiết mạch không có năng lượng ban đầu, nếu y(t) là đáp ứng của mạch tương ứng với tác động x(t), thì y(t-t1) sẽ là đáp ứng của mạch tương ứng với tác động x(t-t1). Tính nhân quả Mạch điện (với giả thiết không có năng lượng ban đầu) được gọi là có tính nhân quả nếu đáp ứng ra của mạch không thể có trước khi có tác động ở đầu vào. Cũng cần phải nhắc rằng tính chất tuyến tính và bất biến của mạch điện chỉ đúng trong điều kiện làm việc nhất định, khi điều kiện làm việc bị thay đổi thì các tính chất đó có thể không còn đúng nữa. Việc phân chia tính tuyến tính /không tuyến tính và bất biến /không bất biến chỉ mang tính chất tương đối. Khoa KTĐT-Học viện BCVT 26
1.4.2 Tính tương hỗ của mạch điện Phần tử tương hỗ là phần tử có tính chất dẫn điện hai chiều. Mạch điện tương hỗ là mạch điện bao gồm các phần tử tương hỗ. Sang phần sau, khi đã nắm được khái niệm trở kháng Z và dẫn nạp Y, thì có thể tổng quát: Một phần tử được gọi là có tính tương hỗ nếu thoả mãn điều kiện: Zab = Zba. Trong mạch tương hỗ, nó thoả mãn điều kiện: Zlk = Zkl hay YMN = YNM (1.44) trong đó: Zlk: trở kháng chung giữa vòng l và vòng k, Zkl: trở kháng chung giữa vòng k và vòng l, YMN: dẫn nạp chung giữa nút M và nút N, YNM: dẫn nạp chung giữa nút N và nút M. Như vậy trong mạch tương hỗ, dòng điện trong vòng l (sinh ra bởi các nguồn đặt trong vòng k) bằng dòng điện trong vòng k (sinh ra bởi chính nguồn đó chuyển sang vòng l). Hay nói một cách khác, dòng điện trong nhánh i (sinh ra bởi nguồn E đặt trong nhánh j) bằng dòng điện trong nhánh j (sinh ra bởi chính nguồn đó chuyển sang nhánh i). 1.5 CÔNG SUẤT 1.5.1 Các thành phần công suất Xét một đoạn mạch như hình 1.40. Ở chế độ xác lập i(t) điều hòa, dòng điện và điện áp trên mạch được biểu diễn dưới dạng: Đoạn u(t) mạch u(t) =Umcos(t + u) i(t) =I cos(t + ) m i Hình 1.40 -công suất tức thời trên đoạn mạch tại thời điểm t là: p(t) u(tPTIT).i(t) (1.45) Trong khoảng thời gian T = t2 – t1, năng lượng mà đoạn mạch nhận được là: t 2 W p(t)dt T t1 -Công suất trung bình, còn gọi là công suất tác dụng trên mạch này là: 1 t 2 1 P p(t)dt U I .cos( ) UI .cos (1.46) m m u i T t1 2 trong đó U,I là các giá trị hiệu dụng của điện áp và dòng điện, còn là góc lệch pha giữa điện áp và dòng điện trong đoạn mạch. Công suất tác dụng có ý nghĩa thực tiễn hơn so với công suất tức thì. Trong mạch thụ động, sự lệch pha của áp và dòng luôn Khoa KTĐT-Học viện BCVT 27
nằm trong giới hạn nên P luôn luôn dương. Thực chất P chính là tổng công suất 2 trên các thành phần điện trở của đoạn mạch. Đơn vị công suất tác dụng tính bằng W. -Công suất phản kháng trên đoạn mạch này được tính theo công thức: 1 Q U I .sin( ) UI .sin (1.47) r 2 m m u i Trong mạch thụ động, công suất phản kháng có thể có giá trị dương hoặc âm. Nếu mạch có tính cảm kháng, tức điện áp nhanh pha hơn so với dòng điện, thì q sẽ có giá trị dương. Nếu mạch có tính dung kháng, tức điện áp chậm pha hơn so với dòng điện, thì Qr sẽ có giá trị âm. Thực chất Qr chính là công suất luân chuyển từ nguồn tới tích lũy trong các thành phần điện kháng của mạch và sau đó lại được phóng trả về nguồn mà không bị tiêu tán. Nó có giá trị bằng hiệu đại số giữa công suất trên các thành phần điện cảm và công suất trên các thành phần điện dung. Khi Qr bằng không, có nghĩa là công suất trên các thành phần điện cảm cân bằng với công suất trên các thành phần điện dung, hay lúc đó mạch là thuần trở. Đơn vị công suất phản kháng tính bằng VAR. -Công suất biểu kiến, còn gọi là công suất toàn phần trên đoạn mạch này được tính theo công thức: 1 S P 2 Q 2 U I UI (1.48) r 2 m m Đơn vị công suất toàn phần tính bằng VA. Công suất toàn phần mang tính chất hình thức về công suất trong mạch khi các đại lượng dòng và áp được đo riêng rẽ mà không chú ý tới sự lệch pha giữa chúng. Tổng quát công suất trong mạch còn được biểu diễn dưới dạng phức: S P jQ r (1.49) -Hệ số công suất là tỉ số giữa P và S: P PTIT cos (1.50) S Về mặt lý thuyết, mặc dù Qr không phải là công suất tiêu tán, nhưng trong thực tế dòng điện luân chuyển năng lượng giữa các thành phần điện kháng và nguồn lại gây ra sự tiêu hao công suất nguồn do nội trở trên các đường dây dài tải điện. Vì vậy trong kỹ thuật điện, để nâng cao hiệu suất truyền tải điện năng (giảm dòng điện trên đường dây) người ta thường phải sử dụng biện pháp đặc biệt để nâng cao hệ số công suất. Thí dụ 1.9 : Cho mạch điện hình 1.41, trong đó: Z1 = 1-5j ; Z2 = 3+3j ; Z3= 6+6j j30o . Điện áp vào có biên độ phức: U1m 9 2.e V. a. Xác định U1(t), i1(t), i2(t) và i3(t). b. Tính công suất tác dụng của đoạn mạch. Khoa KTĐT-Học viện BCVT 28
Giải: Z 2 Z3 Z1 a.Ta có: Ztd Z1 3 3 j Z 2 Z3 U1 U1m j150 Z2 Z3 I1m 3.e Z td I1m j150 Hình 1.41 I 2m Z 3 2.e Z 2 Z 3 I1m j150 I 3m Z 2 1.e Z 2 Z 3 o -Vậy: u1 (t) 9 2 cos(t 30 ) o o o i1(t) =3cos(t + 15 ) i2(t) =2cos(t + 15 ) i3(t) =cos(t + 15 ) b. Công suất tác dụng: P = U.I cos = 13,5W. 1.5.2 Điều kiện để công suất trên tải đạt cực đại Xét một nguồn điều hòa có sức điện động E (giá trị hiệu dụng). Giả thiết rằng nội trở trong của nguồn là Zng =Rng+jXng. Trong trường hợp không chú trọng đến hiệu suất của nguồn, nếu trở kháng tải nối với nguồn thỏa mãn điều kiện: * Z t Z ng R ng jX t (1.51) khi đó công suất trên tải sẽ đạt cực đại và có giá trị bằng: E 2 P0 (1.52) 4R ng Tổng quát, với một nguồn ápPTIT hoặc một nguồn dòng, điều kiện để tải nhận được công suất cực đại là trở kháng của nó bằng liên hợp trở kháng của nguồn. 1.6. CÁC ĐỊNH LUẬT KIRCHHOFF Bao trùm lên hầu hết các hiện tượng cơ bản trong mạch điện là các định luật Kirchhoff, các định luật này liên quan tới dòng điện tại các nút và sụt áp trong các vòng kín. 1.6.1 Định luật Kirchhoff I Định luật này phát biểu về dòng điện, nội dung của nó là: “ Tổng các dòng điện đi vào một nút bằng tổng các dòng điện đi ra khỏi nút đó ”. Hoặc là: “Tổng đại số các dòng điện tại một nút bằng không”: Khoa KTĐT-Học viện BCVT 29
 ak ik 0 (1.53) k trong đó: ak = 1 nếu dòng điện nhánh đi ra khỏi nút đang xét ak = -1 nếu dòng điện nhánh đi vào nút đang xét ak = 0 nếu nhánh không thuộc nút đang xét. Như vậy định luật I có thể mô tả dưới dạng ma trận: A.I 0 nh (1.54) trong đó A là ma trận hệ số có kích cỡ tối đa [N x N ] gọi là ma trận nút, và I có n nh nh kích cõ [Nnh x 1] gọi là ma trận dòng điện nhánh. Chúng ta có thể thấy mặc dù từ định luật Kirchhoff 1 có thể viết được Nn phương trình, nhưng chỉ có Nn -1 phương trình độc lập. Như vậy sẽ có Nnh- Nn+1 dòng điện nhánh coi như những giá trị tự do. 1.6.2 Định luật Kirchhoff II Định luật này phát biểu về điện áp, nội dung của nó là: “ Tổng đại số các sụt áp trên các phần tử thụ động của một vòng kín bằng tổng đại số các sức điện động có trong vòng kín đó ”. Hoặc là: “Tổng đại số các sụt áp của các nhánh trong một vòng kín bằng không”:  bk uk 0 (1.55) k trong đó: bk = 1 nếu chiều điện áp trên nhánh cùng chiều vòng quy ước, bk = -1 nếu chiều điện áp trên nhánh ngược chiều vòng quy ước, bk = 0 nếu nhánh đó không thuộc vòng đang xét. Chúng ta cũng có thể chứng minh được từ định luật kirchhoff 2 chỉ có thể viết được (Nnh - Nn + 1) phương trìnhPTIT độc lập (tương ứng với số nhánh bù cây, hay số vòng cơ bản tương ứng với mỗi cây được lựa chọn). Như vậy định luật Kirchhof 2 có thể mô tả dưới dạng ma trận: B.U 0 nh (1.56) trong đó B là ma trận hệ số thường có kích cỡ [N x N ] gọi là ma trận mạch, và U b nh nh có kích cỡ [Nnh x 1] gọi là ma trận điện áp nhánh. Thí dụ 1.10: Thành lập các phương trình cần thiết cho mạch điện như hình 1.42 theo các định luật kirchhoff. Giải: Khoa KTĐT-Học viện BCVT 30
Mạch điện có 6 nhánh và 4 nút mạch. Ký hiệu tên các nút là ABCO. Z6 Z6 Z2 Z4 Z2 Z4 A B C Z Z1 Z3 5 Z Z1 Z3 5 O Hình 1.42: Mạch điện của thí dụ 1.1 Hình 1.43 Với qui ước chiều các dòng điện nhánh như hình vẽ 1.43, theo định luật Kirchhoff I ta có thể viết được bốn phương trình, nhưng trong đó có một phương trình phụ thuộc: Nút A: i1 +i2 +i6 =0 Nút B: -i2 +i3 +i4 =0 Nút C: -i4 +i5 -i6 =0 Nút O -i1 -i3 -i5 =0 Viết dưới dạng ma trận: i1 Z6 1 1 0 0 0 1 i2 0 1 1 1 0 0 i 3 Z2 IV Z4 . 0 A C 0 0 0 1 1 1 i4 B 1 0 1 0 1 0 i5 II Z Z1 I Z3 5 i6 III Trở lại thành lập các vòng cơ bản cho mạch O điện đã nêu ở trên, nếu áp dụng định luật Hình 1.44 Kirchhoff II cho các vòng PTITcơ bản ứng với cây gốc tại O (hình 1.44) thì ta có thể viết được các phương trình tương ứng: Vòng I: -u1 +u2 +u3 =0 Vòng II: -u3 +u4 +u5 =0 Vòng III: -u1 +u5 +u6 =0 u1 u 1 1 1 0 0 0 2 u 0 0 1 1 1 0 . 3 0 Viết dưới dạng ma trận: u 4 1 0 0 0 1 1 u5 u6 Khoa KTĐT-Học viện BCVT 31
1.7 KỸ THUẬT TÍNH TOÁN TRONG LÝ THUYẾT MẠCH 1.7.1 Chuẩn hóa giá trị Ta biết rằng giá trị của các phần tử và các thông số trong mạch điện thường nằm trong một khoảng rất rộng và liên quan tới các giá trị mũ của 10, điều này gây khó khăn nhiều làm ảnh hưởng đến tốc độ tính toán. Để khắc phục nhược điểm này trong lý thuyết mạch thường sử dụng một số kỹ thuật tính toán, đặc biệt là sử dụng các giá trị đã được chuẩn hoá. Nguyên tắc: Bằng việc chọn các giá trị chuẩn thích hợp, người ta thay việc phải tính toán trên các giá trị thực tế bằng việc tính toán qua các giá trị tương đối, điều đó cho phép giảm độ phức tạp trong biểu thức tính toán. Sau khi đã tính toán xong, người ta lại trả kết quả về giá trị thực của nó. = / . Sau đây ta xét trường hợp mạch điện tuyến tính chứa các thông số R,L,C, và . Như vậy cần phải lựa chọn bốn giá trị chuẩn. Bốn giá trị chuẩn đó có mối liên hệ: R ch  ch .L ch 1 (1.57) R ch  ch .C ch Như vậy trong bốn giá trị chuẩn, có hai giá trị được chọn tự do và hai giá trị chuẩn còn lại được suy ra từ hệ thức trên. Thí dụ 1.11: để chuẩn hóa các 16mH 200 thông số của mạch điện hình 1.45, 0,8F 350 0,4F ta có thể chọn hai giá trị chuẩn một cách tuỳ ý, chẳng hạn ta chọn: Rch = 4mH 100 100; L = 4mH, và ta có hai giá ch Hình 1.45 trị chuẩn còn lại: PTIT R ch 100  ch 3 25 Krad / s L ch 4.10 4 2 2 1 1 3,5 1 C ch 3 0.4 F  ch .R ch 25.10 .100 1 1 Từ đó, ta có thể biểu diễn giá trị các Hình 1.46 phần tử của mạch theo các giá trị đã được chuẩn hoá, tức là theo các giá trị tương đối như hình 1.46. 1.7.2 Các đại lượng lôgarit Trong lý thuyết mạch ta luôn gặp những đại lượng có giá trị nằm trong một khoảng rất rộng, hơn nữa các khâu khuếch đại thường được nối ghép theo kiểu dây chuyền. Việc Khoa KTĐT-Học viện BCVT 32
dùng các đơn vị lôgarit sẽ giúp cho sự tính toán và biểu diễn các đặc tuyến được thuận lợi. Sau đây là một số đại lượng logarit thường dùng: -Đối với tỉ số công suất: P a 10.log 1 , dB (1.58) P0 1 P hoặc a .ln 1 , Np (1.59) 2 P0 -Đối với tỉ số điện áp: xuất phát từ hai công thức trên, người ta định nghĩa: U a 20.log 1 , dB (1.60) U0 U hoặc a ln 1 , Np (1.61) U 0 Quan hệ giữa dB và Np: 1Np=8,7dB hay 1dB=0,115Np (1.62) -Đối với tỉ số của tần số:   log 2 [oct] (1.63)  0  hoặc  lg [D] (1.64)  0 Quan hệ giữa [oct] và [D]: 1oct=0,3D hay 1D=3,33oct (1.65) CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP CHƯƠNG I 1.1 Phần tử cơ bản (phần tử đơn) có bao nhiêu thông số? 1.2 Khái niệm phần tử thụ độngPTIT ? 1.3 Đặc điểm phần tử nguồn ? 1.4 Đặc trưng của mô hình toán học của mạch điện trong miền thời gian ? 1.5 Hiệu quả khi chuyển một mạch điện analog từ miền thời gian sang miền tần số ? 1.6 Mạch điện hình 1.47 có mấy mắt lưới? R1 R3 A R1 C R2 R2 + + I e1 L R e2 V 3 1 V2 - - O Hình 1.47 Hình 1.48 Khoa KTĐT-Học viện BCVT 33
1.7 Mạch điện hình 1.48 có (nhiều nhất) bao nhiêu nút và nhánh ? 1.8 Chứng minh rằng từ một mạng hình sao có thể biến đổi tuơng đương thành mạng hình tam giác, hoặc ngược lại (hình 1.49). A A Ra Rca Rab R Rc b C B C B Rbc Hình 1.49 Trong đó, các điện trở liên hệ với nhau theo các công thức sau: Rca Rab Rbc Rab Rca Rbc Ra ; Rb ; Rc (1.66) Rca Rab Rbc Rca Rab Rbc Rca Rab Rbc Ra Rb Rc Rb Rc Ra Rab Ra Rb ; Rbc Rc Rb ; Rca Rc Ra (1.67) Rc Ra Rb 1.9 Hình 1.50 diễn tả điều gì? a 1Ω a i(t) b 1Ω 1Ω 2Ω 2Ω b 0,8Ω 1Ω 2Ω 2Ω 0,4Ω 0,4Ω f c 1Ω f c e(t) f c 2Ω 1Ω 2Ω 1Ω 2Ω 1Ω d d d (a) (b) (c) a PTIT a 1,8Ω a i(t) a 1,8Ω 2,68Ω 2,68Ω 2,4Ω 1,4Ω 0,88Ω e(t) d d d (d) d (e) (f) (g) Hình 1.50 1.10 Chọn biểu thức đúng cho nguồn tổ hợp E, hình 1.51. 1.11 Chọn biểu thức đúng cho nguồn tổ hợp J, hình 1.52. Khoa KTĐT-Học viện BCVT 34
E1 J1 J2 J3 J E2 E E3 Hình 1.51 Hình 1.52 1.12 Viết mối quan hệ dòng và áp trên các mạch ghép hỗ cảm hình 1.53 i1 i2 i1 i2 M + * M * * + + + u u1 L L 2 u1 L1 L2 u2 1 2 * - - - - Hình 1.53a Hình 1.53b 1.13 Xác định Ux và Ix trên mạch hình 1.54. 2A 6Ω I4 2Ω I5 2A 6Ω 4Ω 1Ω I1 I2 1Ω I3 Ux 3Ω 2Ω + - + 48V - 40V 10V + 1A I - 3A x Hình 1.54 Hình 1.55 1.14 Cho mạch điện như hình 1.55. Biết I1 =1A, xác 2Ω định dòng điện trong các nhánh và công suất cung cấp 4A + 1Ω - 16V bởi nguồn dòng 2A. PTIT 1Ω 1.15 Xác định E để nguồn áp 16V cung cấp công suất 3Ω + 9Ω 3Ω 32W trong mạch điện hình 1.56. - E 1.16 Tìm dòng điện trong các nhánh ở mạch điện hình Hình 1.56 1.57. 10Ω 40Ω 2A I2 I1 4Ω 1Ω + + 20Ω - 1V - 3Ω I3 5A 0.4V + 0,03A - 38V Hình 1.57 Hình 1.58 Khoa KTĐT-Học viện BCVT 35
1.17 Tính dòng, áp và công suất trên các phần tử ở mạch điện hình 1.58. Từ đó rút ra kết luận về sự cân bằng công suất trong mạch. 1.18 Xác định u1 và công suất tiêu tán trên điện trở 8Ω ở mạch điện hình 1.59. 1.19 Tìm hệ số khuếch đại uo/E của mạch điện hình 1.60. 6Ω 4Ω i1 i2 - + - u1 + 10Ω 1000i 3u1 + + + (I) (II) 1kΩ uO - - 20V 5V + - - i E 8Ω Hình 1.60 Hình 1.59 1.20 Tìm áp u trên mạch điện hình 1.61. 1.21 Xác định uo ở mạch hình 1.62. i1 6Ω 2Ω i2 + 2Ω + 4A + u u u1 u 6Ω 0 + + 4Ω 1 24Ω u 6Ω 2 - - 3 - uo 1Ω 5V - - Hình 1.61 Hình 1.62 1.22 Dùng các phép biến đổi tương đương để tìm dòng I ở mạch hình 1.63. 1.23 Tìm u0 ở mạch điện hình 1.64. I 3Ω 12Ω 6Ω + 3A uo 4Ω I 12Ω 12Ω - x 4Ω 4Ω PTIT6A 12Ω 4Ix 4Ω Hình 1.63 Hình 1.64 1.24 Xét mạch điện hình 1.65. Xác định uc và iL ở chế độ DC xác lập. 2Ω 4Ω i 1Ω +- 2i + + 5V - uc 4F 5H 10F 2Ω - 2A iL Hình 1.65 Khoa KTĐT-Học viện BCVT 36
1.25 Cho mạch điện AC như hình 1.66 với Z1=1.5-2j(); Y2=1+j (s); Y3= 1-j (s). Điện j30o áp tác động có biên độ phức: U1m 6 2.e . a. Xác định U1(t), i1(t), i2(t) và i3(t). b. Vẽ sơ đồ tương đương đoạn mạch theo tính chất các Z1 thông số thụ động. U1 c. Tính công suất tác dụng của đoạn mạch. Y2 Y3 Hình 1.66 1.26 Đoạn mạch điện như hình 1.67, trong đó: Z1 = 1+5j; Z2=3-3j; Z3= 6-6j . Điện áp vào có biên độ phức: Z1 j60o U1m 6 2.e U1 a. Xác định U1(t), i1(t), i2(t) và i3(t). Z2 Z3 b. Vẽ sơ đồ tương đương đoạn mạch theo tính chất các thông số thụ động. Hình 1.67 c. Tính công suất tác dụng của đoạn mạch. 1.27 Mạch ab như hình 1.68. Biết r1=1, r2=6, r3=12, XC1=9, XL2=6, XL3=12. Điện áp tác j30o động có biên độ phức: U abm 5 2.e a. Xác định trở kháng tương đương của mạch b. Xác định biểu thức Uab(t), ir1(t), ir2(t), ir3(t) c. Xác định công suất tác dụngPTIT trên đoạn mạch. Hình 1.68 5Ω j10Ω 1.28 Cho mạch điện như hình 1.69. Xác định giá trị Z để công suất trên nó cực đại, tìm PZ 0 + E =20∠0 (V) max? - Z Hình 1.69
CHƯƠNG II CÁC PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN PHÂN TÍCH MẠCH Trong chương một chúng ta đã xét các khái niệm cơ bản của mạch điện, trong đó chủ yếu dựa vào hai thông số trạng thái cơ bản là điện áp và dòng điện và mối quan hệ của các thông số trạng thái đó. Mối quan hệ này được quy định bởi các định luật cơ bản và chúng là căn cứ để xây dựng các phương pháp phân tích mạch điện. 2.1 PHƯƠNG PHÁP DÒNG ĐIỆN NHÁNH Bài toán tổng quát: Cho mạch điện với số nút mạch là Nn, E Z 8 số nhánh mạch là Nnh. Hãy tìm dòng 8 - + điện chạy trong các nhánh. Các thông Z số nguồn AC giả thiết cho dưới dạng Z2 4 Z6 hiệu dụng phức. Z Z7 Z1 5 - Trong mạch hình 2.1, ta có: Z 3 + + E1 + E E7 - 5 - - Nn=5, Nnh=8 như vậy tương ứng sẽ có 8 biến số (là 8 dòng điện chạy trong 8 nhánh tương Hình 2.1 ứng). Để giải bài toán này, phương pháp dòng điện nhánh có các bước: Bước 1: Đặt tên cho các nút của mạch (A, B,C,D,O), chọn một nút bất kỳ làm gốc (cụ thể ta chọn O làm nút gốc) như hình 2.2. Chú ý rằng cây tương ứng với nút gốc O sẽ chứa các nhánh lẻ, các nhánh chẵn là E Z 8 các nhánh bù cây. 8 - + Bước 2: Giả định chiều dòng trong các PTITZ2 Z4 Z6 nhánh một cách tùy ý (cụ thể ta chọn A B C D chiều dòng trong 8 nhánh như hình Z Z7 Z1 5 2.2). Chú ý rằng việc chọn chiều dòng Z 3 + E + + E7 trong các nhánh chỉ ảnh hưởng tới việc 1 - E5 - - viết phương trình, còn dấu của kết quả cuối cùng mới cho ta biết chiều thực tế O của dòng trong các nhánh. V1 V2 V4 V3 Bước 3: thành lập các vòng cho mạch Hình 2.2 (mỗi vòng chứa 1 nhánh mới). Số vòng phải thành lập là Nnh-Nn+1. Thường vòng lựa chọn là các vòng cơ bản ứng với một cây nào đó. Chiều vòng có thể lựa chọn tùy ý. Cụ thể ta thành lập 4 vòng như hình 2.22. Khoa KTĐT-Học viện BCVT 38
Bước 4: thành lập hệ có Nnh phương trình dòng điện nhánh, bao gồm: + (Nn-1) phương trình theo định luật I (viết cho các nút, trừ nút gốc), cụ thể như sau: Nút A: I1+I2+I8 =0 Nút B: I2-I3-I4 =0 Nút C: I4-I5-I6 =0 Nút D: I6-I7+I8 =0 + (Nnh-Nn+1) phương trình theo định luật 2 (viết cho các vòng đã lập). Cụ thể như sau: p.trình cho V1: Z2.I2 + Z3.I3 + (-E1-Z1.I1) = 0 p.trình cho V2: Z4.I4 + (Z5.I5 + E5) - Z3.I3 = 0 p.trình cho V3: Z6.I6 + (Z7.I7+E7) + (-E5 - Z5.I5) = 0 p.trình cho V4: ( Z8.I8 -E8 )+(Z7.I7+E7)+(-E1 - Z1.I1) = 0 Bước 5: giải hệ phương trình đã thành lập để tính dòng điện trong các nhánh. Thí dụ 2.1: Tính dòng trong các nhánh của R1=5  R3=10  mạch điện như hình 2.3 bằng A phương pháp dòng điện nhánh (giả E R thiết nguồn tác động là một chiều có 10V 2 10  giá trị 10V). O Giải: mạch có Nn=2, Nnh=3. Hình 2.3 +Đặt tên các nút là A, O. Chọn O làm gốc. +Giả định chiều dương dòng trong các nhánh và thành lập 2 vòng như hình 2.4. +Viết hệ phương trình: PTIT I +I =I R1=5  R3=10  1 3 2 A R I +R I -E=0 1 1 2 2 E =10V DC R -R3I3- R2I2=0 2 V1 10  V2 Thay số liệu của mạch ta được: O I1+I3=I2 Hình 2.4 I1+2I2=2 I3-I2=0 Giải hệ ta có: I1= 1A, I2= 0,5A, I3= -0,5A. Điều này chức tỏ dòng I3 thực tế chạy ngược lại Khoa KTĐT-Học viện BCVT 39
2.2 PHƯƠNG PHÁP DÒNG ĐIỆN VÒNG Trở lại bài toán tổng quát hình 2.5, bây giờ ta sẽ tìm dòng điện chạy trong các nhánh bằng một phương pháp khác, trong đó thay các ẩn số thực là dòng trong các nhánh bằng các ẩn số trung gian là dòng điện E vòng giả định trong các vòng kín. Z 8 8 - + Bước 1: Thành lập các vòng cho mạch Z2 Z4 Z6 như hình 2.5 (mỗi vòng tương ứng với A B C D một dòng điện vòng giả định). Chú ý Z Z7 Z1 5 rằng vòng thành lập sau phải chứa tối Z 3 + E + + E7 thiểu một nhánh mới so với các vòng 1 - E5 - - đã thành lập trước. Các vòng cơ bản ứng với mỗi cây sẽ thỏa mãn điều kiện O I I I I này. Số vòng phải thành lập là Nnh- V1 V2 V4 V3 Nn+1. Cụ thể, ta thành lập bốn dòng Hình 2.5 điện vòng của mạch là IV1, IV2, IV3, IV4. Bước 2: Thành lập hệ gồm Nnh-Nn+1 phương trình cho mạch tương ứng với các vòng kín, trong đó ẩn số là các dòng điện vòng giả định, dựa trên cơ sở chỉ áp dụng định luật kirchhof 2. Hệ phương trình dòng điện vòng cho mạch như sau: V1: (Z1+Z2+Z3).Iv1 -Z3.Iv2 +0.Iv3 +Z1.Iv4 = E1 V2: -Z3.Iv1 +(Z3+Z4+Z5).Iv2+ Z5.Iv3 + 0.Iv4 = -E5 V3: 0.Iv1 +Z5.Iv2 + (Z5+Z6+Z7).Iv3- Z7.Iv4 = E7-E5 V4: Z1.Iv1 +0.Iv2 -Z7.Iv3 + (Z1+Z7+Z8).Iv4= E1 +E8 -E7 Để làm rõ quy luật thành lập hệ phương trình, ta xét một vòng cụ thể, chẳng hạn IV4: Các dòng điện vòng lân cận Dòng điện vòng PTITđang xét Vế phải = Z1.Iv1 +0.Iv2 -Z7.Iv3 + (Z1+Z7+Z8).Iv4 E1 +E8 -E7 Trở kháng chung giữa các Tổng các trở Vế phải là tổng đại số các sức điện động có vòng lân cận và vòng đang kháng trong trong vòng đang xét, lấy dấu dương khi xét (lấy dấu dương nếu vòng đang vòng lân cận cùng chiều xét chiều dòng của nguồn cùng chiều vòng vòng đang xét, lấy dấu âm đang xét, lấy dấu âm khi chiều dòng của nếu hai vòng đó ngược nguồn ngược chiều vòng đang xét chiều nhau). Khoa KTĐT-Học viện BCVT 40
Định luật 2 áp dụng cho vòng bốn, nguyên thủy theo ẩn số thực (là dòng điện nhánh) được viết như sau: ( Z8.I8 -E8 )+(Z7.I7+E7)+(-E1 - Z1.I1) = 0 Chú ý rằng: I8=IV4; I7= IV4-IV3; và I1= -( IV1+ IV4). Khi đó, phương trình của vòng bốn được viết lại theo các ẩn số mới (là dòng điện vòng giả định) như sau: Z1.Iv1 +0.Iv2 -Z7.Iv3 + (Z1+Z7+Z8).Iv4 = E1 +E8 -E7 Các vòng còn lại dễ dàng được viết dựa trên quy luật này. Bước 3: giải hệ phương trình để tìm giá trị các dòng điện vòng giả định. Bước 4: chuyển kết quả trung gian về dòng điện trong các nhánh, cụ thể là: I1=-(Iv1+Iv4) I2=Iv1 I3=Iv1-Iv2 I4=Iv2 I5=Iv2+Iv3 I6=-Iv3 I7=Iv4-Iv3 I8=Iv4 Chú ý: Hệ phương trình dòng điện vòng có thể viết dưới dạng phương trình ma trận Z1 Z 2 Z 3 Z 3 0 Z1 I v1 E1 Z Z Z Z Z 0 I E 3 3 4 5 5 . v2 5 0 Z 5 Z 5 Z 6 Z 7 Z 7 I v3 E7 E5 Z1 0 Z 7 Z1 Z 7 Z8 I v4 E1 E8 E7 trong đó ta gọi ma trận: Z1 Z2 Z3 Z3 0 Z1 Z Z Z Z Z 0 3 3 4 5 5 ZV  0 Z5 Z5 Z6 Z7 Z7 PTIT Z1 0 Z7 Z1 Z7 Z8 là ma trận trở kháng vòng. Ma trận vuông này có đặc điểm là: -Nằm trên đường chéo chính là các trở kháng vòng. -Hai bên đường chéo là trở kháng chung đối xứng nhau qua đường chéo chính. Thídụ 2.2: Tính dòng trong các nhánh của mạch điện trong thí dụ trước bằng phương pháp dòng điện vòng. Giải: Thành lập 2 vòng, tương ứng IV1 và IV2 như hình 2.6. Hệ phương trình được viết thành: Khoa KTĐT-Học viện BCVT 41
(R1+R2) IV1-R2IV2= E -R2IV1+(R2+R3) IV2=0 R1=5  R3=10  A Thay số liệu, ta có: E =10V 15 IV1-10IV2= 10 DC R2 V1 10  V2 -10IV1+20 IV2=0 Giải hệ ta được: O Hình 2.6 IV1=1A, IV2=0,5A. Vậy dòng trong các nhánh là: I1= IV1=1A, I2=IV1- IV2=0,5A, I3=IV2=0,5A. Các kết quả này hoàn toàn trùng với kết quả trong cách giải bằng phương pháp dòng điện nhánh. Thí dụ 2.3: Cho mạch điện hình 2.7. XL1 a. Viết hệ phương trình dòng điện vòng khi * không tính đến hỗ cảm giữa các cuộn cảm. Iv1 * R1 I R b. Tính dòng điện chạy qua các nhánh trong XL2 v2 2 + trường hợp có tính đến ghép hỗ cảm, cho biết - E các giá trị: R1=1; R2=1; XL1=1; XL2=2; XM=1; E=1V. Hình 2.7 Giải: a. Các phương trình dòng điện vòng khi không tính đến hỗ cảm: (R1+jXL1+R2)Iv1 -R2Iv2 = E -R2Iv1 +(jXL2+R2)Iv2PTIT = 0 b. Các phương trình dòng điện vòng khi có tính đến hỗ cảm: (R1+jXL1+R2)Iv1 -(R2 +jXM)Iv2 = E -(R2+jXM)Iv1 +(jXL2+R2)Iv2 = 0 trong đó thành phần -jXMIv2 là điện áp hỗ cảm do dòng điện Iv2 chạy trong XL2 gây ra trên XL1, còn thành phần -jXMIv1 là điện áp hỗ cảm do dòng điện Iv1 chạy trong XL1 gây ra trên XL2. Thay số ta có: (2 j)Iv1 (1 j)Iv2 1 (1 j)Iv1 (1 2 j)Iv2 0 áp dụng quy tắc Crame ta tính được: Khoa KTĐT-Học viện BCVT 42
2 j 1 j I A I A v1 3 v2 3 Theo công thức biến đổi vòng: 2 j 1 j 1 i I A ; i I A ; i I I A X L1 v1 3 XL2 v2 3 R 2 v1 v2 3 Thí dụ 2.4: hãy tính các dòng điện nhánh của mach điện hình 2.8. Giải: Trước hết ta phải chuyển nguồn dòng Ing2 về dạng nguồn áp: E2 = Ing2.R2, và mạch điện được vẽ lại như hình 2.9. Bây giờ ta viết hệ phương trình dòng điện vòng cho mạch mới: (R1 jXL1 jXc )Iv1 ( jXc jXM )Iv2 E1 ( jXc jXM )Iv1 (R2 jXL2 jXc )Iv2 E2 Theo quy tắc Crame ta có: XM XL1 XL2 E1 j(X c X M ) E2 R2 j(X L2 X c ) R1 I v1 Xc R2 Z Ing2 v + E - 1 R1 j(X L1 X c ) E1 j(X c X M ) E2 I v2 Hình 2.8 Z v Các công thức biến đổi vòng của mạch điện: XM IL1 = Iv1; IL2= Iv2; IC= Iv1 + Iv2. XL1 XL2 Chú ý rằng dòng điện trong R2 của mạch Iv1 R1 R2 điện ban đầu sẽ được tính theo công thức: Xc Iv2 + E1 + E2 - - IR2= Ing2 - Iv2. PTITHình 2.9 Thí dụ 2.5: Tính dòng các điện nhánh của mạch điện hình 2.10 với các số liệu nguồn dưới dạng hiệu dụng phức: E1=1V; E6=j V; Z1=1; Z2=-j; Z3=j; Z4=1; Z5=j; Z6=1. Giải: Ta sẽ sử dụng phương pháp dòng điện vòng để giải bài toán này: (Z1 Z2 Z4 )Iv1 Z2Iv2 Z4Iv3 E1 Z2Iv1 (Z2 Z3 Z5 )Iv2 Z5Iv3 0 Z4Iv1 Z5Iv2 (Z4 Z5 Z6 )Iv3 E6 Khoa KTĐT-Học viện BCVT 43
(2 j)I jI I 1 v1 v2 v3 Z6 E6 Thay số: jIv1 jIv2 jIv3 0 - + Iv3 Iv1 jIv2 (2 j)Iv3 j Z4 B Z5 A C Giải hệ phương trình này theo phương Z1 Z pháp định thức: Z2 Iv2 3 - Iv1 + E1 2 j j 1 D Zv j j j 2 4 j 1 j 2 j Hình 2.10 Tính được: 1 j 1 2 j 1 1 2 j j 1 0 j j j 0 j j j 0 j j 2 j 3 j 1 j 2 j 1 3j 1 j j 1 7 j I ; I ; I v1 2 4 j 10 v2 2 4 j 5 v3 2 4 j 10 Theo các công thức biến đổi vòng ta tính được các dòng điện hiệu dụng phức: 3 j 1 j 1 3 j 1 3 j I I ; I I I ; I I ; I I I 1 v1 10 2 v1 v2 2 3 v2 5 4 v3 v1 5 3 j 1 7 j I I I ; I I 5 v3 v2 10 6 v3 10 E Y 8 8 - + 2.3 PHƯƠNG PHÁP ĐIỆN ÁP NÚT Y2 Y4 Y6 Trở lại xét bài toán tổng quát hình Y Y7 2.11. Bây giờ ta sẽ tìm dòng điện Y1 5 Y chạy trong các nhánh bằng một 3 + E + + E7 1 E5 - - phương pháp khác, trong đóPTIT ta thay - các ẩn số thực bằng các ẩn số trung gian là điện áp của các nút. Trong bài Hình 2.11 toán này có một sự thay đổi nhỏ đó là E8 biểu diễn các nhánh theo dẫn nạp. Y8 Bước 1: đánh ký hiệu cho các nút Y2 Y4 Y6 A,B,C,D,O và chọn một nút làm gốc A B C D như hình 2.12. Nút gốc sẽ có điện thế Y7 Y1 Y5 quy ước là điểm chung (0V). Điện Y3 E E7 thế các nút còn lại chính là điện áp 1 Y5 của nó so với gốc. Trong trường hợp O cụ thể này ta chọn gốc là nút O. Hình 2.12 Khoa KTĐT-Học viện BCVT 44
Bước 2: Thành lập hệ phương trình điện áp nút cho mạch. Hệ phương trình viết cho Nn-1 nút, trừ nút gốc. Cơ sở là định luật Kirchhoff 1. Ta viết được hệ phương trình điện áp nút cho mạch như sau: A: (Y1+Y2+Y8).UA - Y2.UB - 0.UC - Y8.UD = Ing1 - Ing8 B: -Y2.UA +(Y2+Y3+Y4).UB - Y4.UC - 0.UD = 0 C: 0.UA -Y4.UB + (Y4+Y5+Y6).UC - Y6.UD = Ing5 D: -Y8.UA -0.UB -Y6.UC + (Y6+Y7+Y8).UD = Ing7 + Ing8 Để tìm quy luật thành lập, ta hãy xuất phát từ phương trình gốc của nút A: I1 + I2 + I8 = 0 khi đó, phương trình của nút A được viết lại theo các ẩn số mới (là điện áp các nút) như sau: U E U U U U E A 1 A B A D 8 0 1/Y1 1/Y2 1/Y8 nhóm số hạng và chuyển vế ta được: (Y +Y +Y ).U - Y .U - 0.U - Y .U = I -I 1 2 8 A 2 B C 8 D ng1 ng8 Ta rút ra quy luật thành lập các vế trái và phải của phương trình viết cho nút A: Các dẫn nạp chung giữa Nút các nút lân cận so với nút đang đang xét. Tất cả đều lấy dấu âm. xét A: (Y +Y +Y ).U - Y .U - 0.U - Y .U = I -I 1 2 8 A 2 B C 8 D ng1 ng8 PTIT Tổng các dẫn Các nút lân cận Vế phải là tổng đại số các Ing nối vào nút đang xét. Lấy dấu + nếu nạp nối vào nút chiều của I đi vào nút đang đang xét ng xét, ngược lại thì lấy dấu - trong đó, các dòng điện nguồn được tính theo biểu thức: E1 E8 Ing1 E1Y1, Ing8 E8Y8 . Z1 Z8 Bước 3: giải hệ phương trình để tìm ra điện áp các nút. Bước 4: Chuyển đổi kết quả trung gian về dòng trong các nhánh, cụ thể là: Khoa KTĐT-Học viện BCVT 45
U A E1 U B UC E5 U D E7 U A U B I1 ; I3 ; I5 ; I7 ; I 2 ; Z1 Z3 Z5 Z7 Z 2 U B U C UC U D U A U D E8 I 4 ; I6 ; I8 Z 4 Z6 Z8 Chú ý: Hệ phương trình trên có thể viết dưới dạng phương trình ma trận: Y1 Y2 Y8 Y2 0 Y8 U A I ng1 I ng8 Y Y Y Y Y 0 U 0 2 2 3 4 4 . B 0 Y4 Y4 Y5 Y6 Y6 U C I ng5 I I Y8 0 Y6 Y6 Y7 Y8 U D ng7 ng8 trong đó, ta gọi ma trận: Y1 Y2 Y8 Y2 0 Y8 Y Y Y Y Y 0 2 2 3 4 4 0 Y4 Y4 Y5 Y6 Y6 Y8 0 Y6 Y6 Y7 Y8 là ma trận dẫn nạp nút, nó có đặc điểm là: -Nằm trên đường chéo chính là các dẫn nạp nút. -Hai bên đường chéo là dẫn nạp chung đối xứng R1=5  R3=10  A nhau qua đường chéo chính. Thí dụ 2.6: Tính dòng trong các nhánh của E R mạch điện hình 2.13 bằng phương pháp điện áp 10V 2 10  nút. O Giải: đặt tên các nút mạch là A,O. Chọn nút O Hình 2.13 làm gốc. Mạch chỉ có 1 phương trình cho nút A: 1 1 1 EPTIT ( ).U A R1 R2 R3 R1 Thay số ta được: 1 1 1 10 ( ).U U 5V 5 10 10 A 5 A Cuối cùng, đổi kết quả trung gian về dòng trong các nhánh: U A E U A U A I1 1A, I2 0.5A I3 0.5A R1 R2 R3 Dấu ‘- ‘ của I1 có nghĩa là dòng thực tế của I1 chạy vào nút A. Khoa KTĐT-Học viện BCVT 46
Thí dụ 2.7: Hãy viết hệ phương trình E2 R2 + - điện áp nút cho mạch điện hình 2.14. XL1 XL2 Giải: A B C R1 Ký hiệu các nút là A, B, C, O và chọn X R3 I + E c ng3 nút O làm gốc. Như vậy ta sẽ có hệ ba - 1 phương trình, ba ẩn số UA, UB, UC: O Hình 2.14 1 1 1 1 1 E1 E 2 ( )U A U B U C R 1 R 2 jX L1 jX L1 R 2 R1 R 2 1 1 1 1 1 U A ( )U B U C 0 jX L1 jX L1 jX L2 jXc jX L2 1 1 1 1 1 E 2 U A U B ( )U C I ng3 R 2 jX L2 jX L2 R 2 R 3 R 2 Thí dụ 2.8: Cho mạch điện hình 2.15. Hãy tính các dòng điện chạy qua R1 và XL bằng phương pháp điện áp nút. Giải: R XL 1 A B Chọn nút gốc là O, khi đó hệ hai phương R2 trình điện áp nút là: + X - E1 c R3 + - E2 1 1 1 1 E1 ( )U A U B O R1 jX c jX L jX L R1 1 1 1 1 E U + ( )U = 2 Hình 2.15 A B jX L R2 R3 jX L R 2 Theo qui tắc Crame ta có: PTIT E 1 1 1 1 E 1 - 1 R1 jX L R1 jX c jX L R1 E 1 1 1 1 E 2 2 R R R jX jX R U 2 2 3 L U L 2 A 1 1 1 1 B 1 1 1 1 R1 jX c jX L jX L R1 jX c jX L jX L 1 1 1 1 1 1 1 1 U A U A jX L R 2 R3 jX L jX L R 2 R 3 jX L Theo công thức biến đổi nút của mạch ta tính được: U E U U I A 1 I A B R1 XL R1 jX L Khoa KTĐT-Học viện BCVT 47
Thí dụ 2.9: Cho mạch điện điều hòa hình 2.16 với các số liệu dưới dạng phức: E1=1V; E6=jV; Z1=1; Z2=-j; Z3=j; Z4=1; Z5=j; Z6=1. Tính các dòng điện nhánh bằng phương pháp điện áp nút. Giải: Chọn nút B làm gốc, khi đó: 1 1 1 1 1 E1 E6 ( )UA Uc UD Z Z Z Z Z Z Z 1 4 6 6 1 1 6 1 1 1 1 1 E6 UA ( )Uc UD Z6 Z3 Z5 Z6 Z3 Z6 1 1 1 1 1 E1 UA Uc ( )UD Z1 Z3 Z1 Z2 Z3 Z1 Thay số ta có: 3UA Uc UD 1 j Z1 E1 UA (1 2 j)Uc jUD j - + U jU U 1 A c D Z E Z A 6 - + 6 C 3 D Dùng qui tắc Crame ta tính được: Z4 Z5 Z2 1 3 j U A 5 B U c 3 j Hình 2.16 I 5 Z 5 10 U D 1 j I 2 Z 2 2 Và dòng điện nhánh sẽ là: U A 1 3 j U c 3 j U D 1 j I 4 ; I5 ; I 2 Z 4 5 Z 5 10 Z 2 2 U U E PTIT A D 1 3 j I1 Z1 10 U U 1 3 j c D I 3 Z 3 5 U A U c E6 1 7 j I 6 R1 R3 L3 Z 6 10 A B Thí dụ 2.10: Cho mạch điện hình 2.17. C2 R4 E1 a. Viết hệ phương trình điện áp nút. Ing4 b. Dựa vào câu a, hãy viết công thức 0 tính dòng trong các nhánh theo điện áp các nút. Hình 2.17 Khoa KTĐT-Học viện BCVT 48
Giải: a. Chọn 0 làm gốc. Hệ phương trình điện áp nút: UA(Y1+Y2+Y3) - UB.Y3 = Ing1 -UA.Y3 + UB(Y3+Y4) = -Ing4 b. Dòng trong các nhánh: I1=(UA-E1)/R1; I2=UA/ZC2; I3=(UA – UB)/(R3+ZL3); I4=UB/R4. Thí dụ 2.11: Mạch điện như hình 2.18, với các số liệu: R1= R2=R3= 2; E1= 1,5V; E2= 3V. Hãy tính dòng điện trong các nhánh bằng phương pháp dòng điện vòng và phương pháp điện áp nút? Giải: R R2 a. Theo phương pháp dòng điện vòng: 1 -Giả thiết chọn chiều các vòng như hình 2.19: + - R E Xét vòng 1: I (R +R ) - I .R = E . E1 3 2 V1 1 3 V2 3 1 - + Xét vòng 2: -IV1R3 + IV2(R2+R3) = E2. Hình 2.18 -Dòng trong các nhánh: I = I = 1A. R R1 V1 R1 2 IL2 = IV2= 1,25A. + - I = I – I = 0,25A. E R3 V2 V1 1 I I E2 - V1 R3 V2 b. Theo phương pháp điện áp nút: + -Chọn 0 làm gốc như hình 2.20. Hình 2.19 -Phương trình điện áp nút: R R2 1 A UA(G1+G2+G3) = Ing1PTIT-Ing2 -Thay số tính được: + - E1 R E2 U = -0,5V. 3 A - + -Với chiều dương của dòng trong các 0 nhánh chọn như hình vẽ, ta có: Hình 2.20 I1= 1,0 A; I2= 1,25 A; I3= -0,25A. 2.4 ĐỊNH LÝ NGUỒN TƯƠNG ĐƯƠNG Trong một số trường hợp, nhiệm vụ phân tích mạch không đòi hỏi phải tính tất cả dòng và áp của tất cả các nhánh, mà chỉ đòi hỏi tính toán trên một nhánh hay một phần mạch nào đó. Lúc đó việc vận dụng các phương pháp nêu trên sẽ dẫn đến các phép Khoa KTĐT-Học viện BCVT 49
tính không cần thiết và các kết quả thừa. Phương pháp nguồn tương đương mà cơ sở của nó là định lý Thevenine-Norton cho phép chúng ta giải các bài toán như vậy một cách đơn giản hơn bằng cách thay thế phần mạch có chứa nguồn bởi một nguồn áp hay nguồn dòng tương đương. Nội dung định lý Thevenine-Norton Xét mạch điện gồm phần mạch AB có chứa nguồn, nối với phần còn lại Z của mạch tại cặp điểm AB. Giả thiết giữa hai phần mạch không có ghép hỗ cảm với nhau, thì phần mạch AB có thể được thay thế tương đương bằng một nguồn áp có sức điện động bằng điện áp hở mạch trên cặp điểm AB (hay một nguồn dòng có dòng điện nguồn bằng dòng điện ngắn mạch trên cặp điểm AB). Nếu mạch ban đầu chỉ chứa nguồn độc lập thì trở kháng của nguồn tương đương Zi bằng trở kháng tương đương nhìn từ cặp điểm AB với nguyên tắc ngắn mạch các nguồn sức điện động và hở mạch các nguồn dòng có trong phần mạch này. Nội dung định lý được mô tả như hình 2.21. Sơ đồ tương đương Thevenine Zi A E=Uhm AB Z Phần mạch có B chứa nguồn A Z B A Z Ing=Inm AB Zi B Sơ đồ tương đương Norton PTIT Hình 2.21 Định lý này có thể suy ra trực tiếp từ sự mở rộng định nghĩa của nguồn điện và nếu phần mạch gốc chỉ chứa các phần tử tuyến tính thì nguồn tương đương của nó cũng là nguồn tuyến tính. Như vậy, định lý Thevenine-Norton cho phép biến đổi phần mạch điện có chứa nguồn thành 2 sơ đồ tương đương: sơ đồ tương đương nguồn áp (còn gọi là sơ đồ Thevenine), và sơ đồ tương đương nguồn dòng (còn gọi là sơ đồ Norton). Thí dụ 2.12: Cho mạch điện như hình 2.22a, hãy tính dòng điện chạy qua Z3. Giải: Ta thấy ở đây chỉ tính dòng chạy qua một nhánh, do đó để đơn giản hãy áp dụng phương pháp nguồn tương đương. Khoa KTĐT-Học viện BCVT 50
Z A Z3 B A 3 B Z Z Z1 Z5 1 5 + Z2 Z4 + Z2 Z4 + E1 E5 E1 E5 Hình 2.22b Hình 2.22a -Trước hết cắt bỏ Z3, phần mạch còn lại chính là phần mạch có chứa nguồn như hình 2.22b. -Xác định điện áp hở mạch trên cặp điểm AB: E E U U U 1 Z 5 Z hmAB A B Z Z 2 Z Z 4 1 2 4 5 A Z3 B -Xác định ZtđAB nhìn từ cặp điểm AB, ngắn Z1 Z5 mạch nguồn sđđ E1 & E5 như hình 2.23: Z2 Z4 Z1Z2 Z4Z5 ZtdAB Z1 Z2 Z4 Z5 Hình 2.23 -Từ đó suy ra được dòng điện ngắn mạch trên cặp điểm AB là: U hmAB I nm.AB ZtdAB Sơ đồ tương đương Thevenine và Norton có dạng như hình 2.24. Ztđ AB A + A Z3 Z3 Ztđ AB Uhm AB Inm AB B B PTIT Sơ đồ Thevenine Sơ đồ Norton Hình 2.24 Rõ ràng việc tính dòng trên Z3 lúc này trở nên đơn giản hơn nhiều: U hmAB I nm.AB I 3 ZtdAB Z tdAB Z 3 Z tdAB Z 3 Thí dụ 2.13: Cho mạch điện hình 2.25, hãy tính dòng I0 bằng phương pháp nguồn tương đương. Giải: Khoa KTĐT-Học viện BCVT 51
-Ngắt R0 và X0 ra khỏi mạch. Để tính UhmAB, thì trước hết ta tính dòng điện vòng Iv chạy trong mạch theo công thức: Iv R1 E1 E2 I v + R1 R2 j(X 1 X 2 2X M ) E1 X1 * R0 X0 Mặt khác: (R1 jX1 jXM )Iv UhmAB E1 A B XM Vậy: U E (R jX jX )I E2 hmAB 1 1 1 M v X2 * + R2 Bây giờ ta phải tính ZtđAB. Sau khi ngắn mạch hai nguồn sđđ, nhìn từ cặp điểm AB Hình 2.25 có hai nhánh mạch như hình 2.26a. * I1 Z1 * ZM I1 R1 X1 XM I2 I Z2 I2 R X2 * I 2 * A B A U B U Hình 2.26a Hình 2.26b Do có tính đến ghép hỗ cảm nên ta không thể tính ZtđAB theo quan niệm hai nhánh mạch ghép song song với nhau mà phải áp dụng phương pháp dòng điện vòng, đặt: Z1 = R1 + jX1 R =Z I0 Z2 = R 2 + jX 2 i tđ AB Z jX A R0 M M + E=Uhm AB X0 khi đó sơ đồ hình 2.26a có thể vẽ lại như B hình 2.26b: U PTITHình 2.27 Z tdAB I Theo kết quả của thí dụ đã xét trong chương I, áp dụng trường hợp cụ thể này ta có: 2 Z1Z 2 Z M Z tdAB Z1 Z 2 2Z M Như vậy theo sơ đồ tương đương Thevenine ở hình 2.27 ta tính được kết quả: U hmAB I 0 ZtdAB R0 jX 0 Thí dụ 2.14 Cho mạch điện như hình 2.28. Hãy xác định các thông số của mạch Thevenine. Khoa KTĐT-Học viện BCVT 52
Giải: -Hở mạch tải Z5, ta xác định được sức điện động A Z của nguồn tương đương là điện áp UAB hở mạch: 1 Z2 Z Z Z 5 E E 1 4 td Z4 Z3 Z1 Z2 Z3 Z4 B E Z Z3 2 - hay Etd E + Z1 Z2 Z3 Z4 Hình 2.28 Ngắn mạch nguồn E, nhìn từ cặp điểm AB ta xác định được nội trở của nguồn tương đương: Z1Z2 Z3Z4 Ztd Z1 Z2 Z3 Z4 2.5 NGUYÊN LÝ XẾP CHỒNG Trong chương I chúng ta đã có dịp bàn đến khái niệm phần tử tuyến tính và mạch tuyến tính. Một trong những tính chất quan trọng nhất của loại mạch này là có thể áp dụng nguyên lý xếp chồng để phân tích các đáp ứng và các quá trình năng lượng xảy ra trong hệ thống. Nội dung nguyên lý xếp chồng Trong hệ thống tuyến tính, nếu yi là đáp ứng tương ứng với tác động xi, thì a.y1+b.y2 sẽ là đáp ứng tương ứng với tác động a.x1+b.x2. Cụ thể, nếu một mạch điện tuyến tính có chứa nhiều nguồn tác động, thì dòng điện vòng sinh ra trong vòng l bởi tất cả các nguồn của mạch bằng tổng các dòng điện vòng sinh ra trong vòng l bởi riêng các nguồn đặt trong mỗi vòng k của mạch. Hay nói một cách khác, dòng điện vòng sinh ra trong vòng l nào đó của mạch, bởi tất cả các nguồn của mạch bằng tổng các dòngPTIT điện vòng sinh ra trong vòng l đó bởi mỗi nguồn riêng rẽ của mạch ( khi đó các nguồn không làm việc sẽ ngắn mạch nếu nó là nguồn sức điện động và hở mạch nếu nó là nguồn dòng ). Nguyên lý xếp chồng hoàn toàn đúng cho dòng điện nhánh, dòng điện vòng và cả điện áp nút. Việc mô tả nguyên lý này sẽ thông qua một số thí dụ minh hoạ dưới đây. Thí dụ 2.15: Cho mạch điện tuyến tính Z3 như hình 2.29, hãy tính dòng điện chạy qua A B Z Z Z3 bằng cách áp dụng nguyên lý xếp chồng. 1 5 + Z2 Z4 + Giải: Nếu nguồn E1 gây nên trong Z3 một E1 E5 - - dòng điện I3E1 và nguồn E5 gây nên trong Z3 một dòng điện I3E5 thì dòng tổng qua Z3 Hình 2.29 Khoa KTĐT-Học viện BCVT 53
sẽ là sự xếp chồng của I3E1 và I3E5. A Z3 B -Để tính dòng I3E1 trước hết ta ngắn mạch Z1 Z5 nguồn E , khi đó mạch như hình 2.30: 5 + Z2 Z4 E Z4Z5 1 Z45 ; Z345 = Z3 + Z45; Z4 Z5 Hình 2.30 Z2Z345 Z2345 ; Ztd1 = Z1 + Z2345 Z2 Z345 E1 Z 2 và như vậy: I 3E1 (từ A sang B) Ztd1 Z 2 Z345 -Để tính dòng I3E5 ta phải loại bỏ nguồn E1, khi đó mạch trở thành như hình 2.31. Với cách tính tương tự ta sẽ tính được: Z1Z2 A Z3 B Z12 ; Z123 =Z3 + Z12 Z1 Z2 Z1 Z5 Z2 Z4 + Z4Z123 Z1234 ; Ztđ5 = Z5 + Z1234 E5 Z4 Z123 E5 Z 4 Hình 2.31 và: I 3E5 (từ B sang A). Ztd 5 Z 4 Z123 Như vậy nếu tính đến chiều dòng điện ta sẽ có: I 3 I 3E1 I 3E5 Thí dụ 2.16: cho mạch điện như hình 2.32 với các số liệu: R1= R2= 4; R3=R4 = 2. Eng1 = 6V (nguồn một chiều). Ing4= 3A (nguồn một chiều). Hãy tính dòng điện IR3. Giải: Mạch là tuyến tính, nên có thể vận dụng nguyên lý xếp chồng: R1 R3 + -Khi E1 tác động, Ing4 bị hở mạch, lúc R E R2 4 Ing4 này mạch có dạng như hình PTIT2.33: ng1 Sau một vài phép tính đơn giản, dòng Hình 2.32 điện trên R3 là I3.1 =0,5A (chiều từ A sang B). -Khi Ing4 tác động, E1 bị ngắn mạch, lúc này mạch có dạng như hình 2.34. Ta cũng dễ dàng tìm được dòng điện trên R3 là I3.2 =1A (chiều từ B sang A). R R R R 1 A 3 B 1 A 3 B + R R4 R2 R4 I Eng1 2 ng4 Hình 2.33 Hình 2.34 Khoa KTĐT-Học viện BCVT 54
- Vậy khi cả hai nguồn đồng thời tác động, ta có dòng điện tổng hợp trên R3 là: I3 = I3.2 - I3.1 = 0,5A (chiều từ B sang A). CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP CHƯƠNG II R1 R2 2.1 Cho mạch điện hình 2.35, chọn chiều dòng điện trong các vòng như hình vẽ. Hãy viết các + E E2 1 I R3 IV2 biểu thức dòng điện vòng cho mạch. V1 + 2.2 Cho mạch điện và chiều dòng điện trong các vòng như hình 2.36. Hãy viết các phương Hình 2.35 trình vòng theo phương pháp dòng điện vòng. 2.3 Cho mạch như hình 2.37: L1 L2 R1 R2 a. Thành lập hệ phương trình dòng điện vòng cho mạch. So + + sánh với bài tập hình 2.36 trước C I E2 E1 IV1 V2 để có nhận xét về ảnh hưởng của chiều vòng trong hệ phương trình. Hình 2.36 b. Dựa vào câu a, viết công thức tính dòng trong các nhánh theo các dòng điện vòng. R1 R2 R1 L1 L2 R 2 + + I + E1 IV1 C V2 E2 E1 I R3 IV2 V1 E2 + Hình 2.37 PTITHình 2.38 2.4 Cho mạch điện hình 2.38, chọn chiều dòng điện trong các XM vòng như hình vẽ. R1=R2=R3=2; * * E1=10 V; E2=4 V. Hãy xác định dòng điện trên các nhánh theo X R1 L1 XL2 R2 phương pháp dòng điện vòng ? + XC ++ E I IIV2 2.5 Cho mạch điện hình 2.39, 1 V1 E2 chọn chiều dòng điện trong các - vòng như hình vẽ. Hãy viết các Hình 2.39 biểu thức dòng điện vòng ? Khoa KTĐT-Học viện BCVT 55
2.6 Mạch điện hình 2.40 với các số liệu: R R1 2 R1= R2=R3= 20. E = 3V. + 1 E1 R3 E2 E2 = 6V. + Hãy tính dòng điện trong các nhánh bằng Hình 2.40 phương pháp điện áp nút. 2.7 Cho mạch điện như hình 2.41. Chọn nút O là nút gốc, hãy viết các phương trình nút theo phương pháp điện áp nút ? R1 XC R2 + + E E 1 XL R3 2 - - Hình 2.41 2.8 Cho mạch điện như hình 2.42. Chọn nút O làm nút gốc. Hãy viết các phương trình nút cho mạch theo phương pháp điện áp nút. R2 L2 R4 A B + R1 C3 Ing1 Eng4 O PTITHình 2.42 2.9 Cho mạch điện như hình 2.43. Tính điện áp Etđ và nội trở trong Rtđ của nguồn tương đương khi chuyển sang mạch Thevenine. R1 1010 + Tải 10V R2 2020 R3 2200  Hình 2.43 2.10 Xét mạch điện như hình 2.44. Tính điện áp Etđ và nội trở trong Rtđ của nguồn tương đương khi chuyển sang mạch Thevenine. Khoa KTĐT-Học viện BCVT 56
R1 R3 A + 10V R2 Tải 10V + B Hình 2.44 2.11 Cho mạch điện hình 2.45. Hãy tính dòng điện IR4 theo phương pháp nguồn tương đương với các số liệu Ing= 4A; Eng =6V; R1=R2=R3=R4=R5=R6=2. R1 R3 R5 + R R 2 R4 6 Ing Eng Hình 2.45 2.12 Cho mạch điện như hình 2.46 với các số liệu: R1=R2= 5. A B R3= R4 = 10. R R 2 4 + Ing1= 6A. R Eng4 Ing1 R1 3 Eng4 = 15V. Hãy tính dòng điện iR2 Hình 2.46 bằng nguyên lý xếp chồng. 2.13 Mạch điện ở chế độ xác lập (hình 2.47) biết: R =R =100, L =1mH, C =C =0,1F. 1 4 3 2 3 R1 PTIT C a. Tính các tần số làm mạch phát sinh cộng 3 hưởng trên các nhánh thuần kháng. U1(t) C2 R4 b. Tìm giá trị tức thời của dòng trong các L3 nhánh mạch khi điện áp tác động: 5 o U1(t) 100[1 cos(10 t 30 )] c. Tìm giá trị tức thời của dòng trong các Hình 2.47 nhánh mạch khi điện áp tác động: 5 U1(t) 100[1 sin( 2.10 t)] 2.14 Cho mạch điện như hình 2.48 ở trạng thái xác lập, biết e(t) = 10cos100t V; J=5 A (nguồn DC). Hãy tìm dòng điện qua điện trở 2 . Khoa KTĐT-Học viện BCVT 57
0.01 H 1  0.02 H 0.03 H e(t) 1  2  J Hình 2.48 2.15 Cho mạch điện như hình 2.49 ở trạng thái xác lập, biết e(t) = 15cos100t V; J=8 A (nguồn DC). Hãy tìm dòng điện qua điện trở 3 . 10mH 3  20mH 5mF e(t) 5mF J 2  Hình 2.49 2.16 Cho mạch điện như hình 2.50 ở trạng thái xác lập, biết E1=10V (nguồn DC); e2(t)=20cos100tV; R1=R2=2; R3=4; L1=L2= 40mH; L3=M=20mH. Hãy tìm dòng điện qua điện trở R3 và công suất tiêu thụ trung bình trên điện trở đó. 2.17 Tìm áp uc(t) ở chế độ xác lập của mạch điện hình 2.51. M 5Ω R1 R2 10mH L L 1 2 + ux - + R E1 3 u e2(t) x 100μF uC(t) L 10 - 3 PTIT20cos1000t(V) Hình 2.50 Hình 2.51 2.18 Cho mạch điện như hình 2.52. Xác định giá trị Z để công suất trên nó cực đại, tìm PZ max? 10Ω 5Ω j10Ω a 0 10∠0 (V) 10Ω Z (hiệu dụng) b Hình 2.52 2.19 Cho mạch điện như hình 2.53, biết: j(t)=2 sin100t A, e(t)=12sin(100t+900) V, R1=R2=2, L=20mH. Khoa KTĐT-Học viện BCVT 58
a. Hãy xác định các thông số trong sơ đồ tương đương Thevenin bên trái ab. a R1 R2 j(t) Zt b. Với giá trị nào của Zt thì công suất tác dụng lên Z lớn nhất? Hãy tính giá trị công suất đó. L e(t) t b Hình 2.53 2.20 Cho mạch điện như hình 2.54, biết: R=10 , L=200mH, C=1mF, e(t)=10 cos R a 100t V. i1 a. Hãy xác định các thông số trong sơ đồ C e(t) 3i Z tương đương Thevenin bên trái ab. L 1 t b b. Với giá trị nào của Zt thì công suất tác dụng lên Zt lớn nhất? Hãy tính giá trị công Hình 2.54 suất đó. M 2.21 Cho mạch điện như hình 2.55, biết: a e(t)=40sin(100t) V, R1=4, Rt=3, L1 L2 C L1=L2= 40mH, M=20mH, C =10/3 mF . e(t) R1 Rt a. Hãy xác định các thông số trong sơ đồ tương đương Thevenin bên trái ab. b b. Hãy tìm công suất tiêu thụ trên Rt . Hình 2.55 2.22 Cho mạch điện xác lập như hình 2.56, biết: 4 u( t ) 120(1 cos10 t ) [V] ; R1 R3 RRR1 3 4 10  ; R5 5  ; L1 u() t L5 R5 L1 L 5 1 mH ; CF2 10 ; Hãy tính dòng điện qua điện trở R . PTIT5 R4 C2 2.23 Cho mạng hình thang R-2R như hình 2.57. Hãy tính Vout theo n điện áp tác động tại các Hình 2.56 điểm a0, a1, ,an-1. Hình 2.57 Khoa KTĐT-Học viện BCVT
CHƯƠNG IV ĐÁP ỨNG TẦN SỐ CỦA MẠCH Các phương pháp phân tích và tổng hợp hệ thống có một tầm quan trọng đặc biệt trong kỹ thuật điện tử. Nội dung được đề cập trong chương này bao gồm phương pháp phân tích mạch trên quan điểm hệ thống qua việc xác định đáp ứng tần số của mạch. 4.1 HỆ THỐNG VÀ ĐÁP ỨNG TẦN SỐ CỦA HỆ THỐNG MẠCH 4.1.1 Các đặc trưng của hệ thống Xét hệ thống liên tục, tuyến tính, bất biến và nhân quả (bậc hữu hạn n) trong miền thời gian như hình vẽ 4.1: Hệ thống Tác động x(t) LT.TT.BB.NQ Đáp ứng y(t) Hình 4.1 Quan hệ giữa đáp ứng ra và tác động vào có thể tồn tại dưới hình thức là một phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng (bậc n) chuẩn hóa: d n y(t) n 1 d i y(t) m d i x(t) a b n  i i  i i (4.1) dt i 0 dt i 0 dt Khi năng lượng đầu của hệ thống bằng không, đáp ứng xung h(t) của hệ được định nghĩa: h(t) y(t) x(t)  (t) (4.2) Còn trong miền tần số phức, hàm truyền đạt H(p) của hệ thống được định nghĩa: Y( p) H ( p) LT[h(t)] (4.3) X ( p) Dạng tổng quát của hàm truyPTITền đạt thường là một phân thức hữu tỷ, có thể xác định trực tiếp từ các hệ số của phương trình vi phân đã nói ở trên: m-1 m b0 b1 p b m-1p + b m p H1 ( p) H ( p) n-1 n (4.4) a0 a1 p + a n-1p p H 2 ( p) Ký hiệu Điểm không của hệ thống là các điểm pi mà tại đó H1(pi)=0. Điểm cực của hệ thống là các điểm pk mà tại đó H2(pk)=0. Khi đó H(p) có thể biểu diễn dưới dạng tích: m ( p pi ) i 1 H ( p) bm n (4.5) ( p pk ) k 1 Nếu các nghiệm khác không, dạng tích còn được biểu diễn theo một cách khác: Khoa KTĐT-Học viện BCVT 89
m p (1 )  p H ( p) k i 1 i (4.6) 0 n p (1 ) k 1 pk Khi Fourier hóa hệ thống sang miền tần số ta có khái niệm đáp ứng tần số H ( j) của hệ thống: Y ( j) H ( j) FTh(t) H ( j).e j arg H ( j ) (4.7) X ( j) trong đó H( j) là đáp ứng biên độ và arg H ( j) là đáp ứng pha của hệ thống. Từ kết quả của chương trước, ta thấy rằng nếu vùng hội tụ của H(p) bao hàm cả điều kiện tồn tại biến đổi Fourier thì ta có mối quan hệ: H ( j) H ( p) (4.8) p j Đối với các hệ thống nhân quả và ổn định, luôn tồn tại H ( j) . Tính ổn định của hệ thống liên quan tới vị trí của các điểm không và các điểm cực của H(p) trên mặt phẳng phức như hình 4.2. Chúng là một cơ sở quan trọng để xác định đặc trưng của hệ thống. Im[p] + Trên các hệ thống ổn định, với k/hiệu điểm cực mọi tác động hữu hạn thì đáp ứng k/hiệu điểm không cũng phải hữu hạn. Hệ thống là ổn định khi và chỉ khi mọi điểm cực của H(p) nằm bên nửa trái =Re[p] của mặt phẳng phức, tức là Re[pk]<0, với mọi k=1,2, ,n. + Hệ thống nằm ở biên giới ổn định nếu khi và chỉ khi các điểm Hình 4.2 cực của H(p) nằm bên nửaPTIT trái mặt phẳng phức, ngoại trừ có thể tồn tại các điểm cực không lặp nằm trên trục ảo. + Hệ thống là không ổn định khi tồn tại điểm cực của H(p) nằm bên nửa phải mặt phẳng phức, hoặc tồn tại điểm cực lặp nằm trên trục ảo. Đối với các mạch thụ động, có thể tồn tại các điểm cực (không lặp) nằm trên trục ảo mà mạch vẫn ổn định bởi vì mạch không bao giờ bị tự kích với bất kỳ sự thay đổi nào của các thông số. Còn đối với các mạch tích cực, nếu tồn tại các điểm cực nằm trên trục ảo, thì dưới tác động của bất kỳ sự thay đổi nhỏ nào của các thông số mạch, các điểm cực hoàn toàn có thể nhảy sang nửa mặt phẳng phải và mạch sẽ bị tự kích. 4.1.2 Các phương pháp vẽ đáp ứng tần số của hệ thống mạch Để vẽ đáp ứng biên độ và đáp ứng pha của hệ thống mạch, có hai phương pháp cơ bản: Sử dụng hệ trục tọa độ tuyến tính, còn gọi là phương pháp vẽ trực tiếp. Khoa KTĐT-Học viện BCVT 90
Sử dụng hệ trục tọa độ logarit ( phương pháp vẽ gián tiếp). Thí dụ 4.1 Xét mạch điện như hình 4.3. Khi đó mối giữa i(t) là dòng điện tác động, và u(t) là đáp ứng ra sẽ là pt vi phân cấp 1: dy(t) 1 1 y(t) x(t) dt CR C x(t) =i(t) y(t)=u(t) -Hàm truyền đạt tương ứng với C R các hệ số của phương trình là: U ( p) 1/ C H ( p) Hình 4.3 I( p) 1 p CR Hệ thống tuyến tính, bất biến và nhân quả này là ổn định vì chỉ có một điểm cực là nghiệm đơn pk=-1/RC nằm bên nửa mặt phẳng trái. -Do hệ nhân quả ổn định nên tồn tại đáp ứng tần số: 1/ C 1/ C H ( j) H ( p) .e jarctgRC p j 1 1 j  2 CR C 2 R 2 argH(j) /H(j)/ R 0   - /2 0 Hình 4.4 Cho tần số biến thiên từ 0 đến vô cùng, đặc tuyến tần số của hệ gồm đặc tuyến biên độ và đặc tuyến pha có thể vẽ PTITđịnh tính như hình 4.4. Đặc tuyến này mô tả mối tương quan về biên độ và pha của điện áp ra đối với dòng điện vào theo tần số. Trong thí dụ trên, ta đã ngẫu nhiên đề cập tới phương pháp vẽ định tính đặc tuyến tần số của hệ thống một cách trực tiếp. 4.2 ĐỒ THỊ BODE Trong mục này, chúng ta sẽ nói đến một phương pháp vẽ định tính đặc tuyến tần số của mạch theo phương pháp vẽ gián tiếp. 4.2.1 Nguyên tắc đồ thị Bode Nguyên tắc đồ thị Bode là vẽ đáp ứng tần số (biên độ & pha) của mạch bằng cách tổng hợp trực tiếp các đặc tuyến tần số thành phần ứng với các điểm cực và điểm không của H(p), cụ thể như sau: Khoa KTĐT-Học viện BCVT 91
-Đặc tuyến biên độ: a() ln F( j) Np (4.9) hoặc a() 20.lg F(j) dB (4.10) -Đặc tuyến pha: b() = arg[F(j)] rad (4.11) Các đặc tuyến này được thực hiện trên thang tỉ lệ logarit đối với , ký hiệu là trục , đơn vị Decade:   lg [D] (4.12)  0  hoặc đơn vị octave:  log 2 [oct] (4.13)  0 trong đó 0 là tần số chuẩn dùng để chuẩn hoá giá trị cho . Trong tài liệu này, ta quy ước các thí dụ về đồ thị Bode được thực hiện trên hệ trục tọa độ logarit như hình 4.5. a(), dB b(), rad  [D]  [D] Đặc tuyến biên độ Đặc tuyến pha Hình 4.5 Đồ thị Bode là một công cụ đắc lực đặc biệt để vẽ định tính đặc tuyến tần số của hệ thống. Điều đó thể hiện qua sự phân tích về hệ đo lường của phương pháp này: m  H i ( p) PTITi 1 Tổng quát: H ( p) K n (4.14)  H k ( p) k 1 Khi đó, với sự thay thế p=j, ta sẽ có: m  H i ( j) i 1 H ( j) K n (4.15)  H k ( j) k 1 -Vậy đáp ứng pha sẽ là: m n b() arg[H ( j)] arg[K] arg[H i ( j)]  arg[H k ( j)] (4.16) i 1 k 1 -Còn đáp ứng biên độ sẽ là: Khoa KTĐT-Học viện BCVT 92
m n a() 20log H( j) K H ( j) H ( j) (4.17) dB dB  i  k dB i 1 dB k 1 Về mặt toán học, việc sử dụng đơn vị dB cho phép phân giải tích các thừa số thành tổng đại số của các đại lượng thành phần, làm đơn giản hoá phép nhân đồ thị bằng phép cộng các thành phần đồ thị Bode cơ bản. Ngoài ra sự lôgarit hoá còn làm đơn giản việc phân tích các khâu mắc dây chuyền (mắc chuỗi xích) trong hệ thống. Trục Decade giúp cho việc biểu diễn các vùng tần số dễ dàng hơn dù nó biến thiên trong một khoảng rất rộng. Đồng thời cho phép các đường phi tuyến trên trục  (dạng  a() dB A.lg ) biến thành đường thẳng trên trục  (dạng a() dB A. ) và do đó  0 việc tổng hợp các đường cong sẽ được đơn giản hóa thành việc tổng hợp các đoạn thẳng tiệm cận gần đúng của các đồ thị thành phần cơ bản. Như vậy đồ thị Bode của đáp ứng tần số H(j) dựa trên các thành phần thừa số K, Hk(p) và Hi(p) của hàm truyền đạt. Ngoại trừ thành phần hệ số K, dạng của các thành phần còn lại phụ thuộc hoàn toàn vào vị trí của các điểm không pi ( nghiệm của thừa số Hi(p) ) và vị trí của các điểm cực pk ( nghiệm của thừa số Hk(p) ). 4.2.2. Đồ thị của thành phần hệ số K: a() 20.lg K dB 0 khi K > 0 b() arg K khi K 0 [D] [D] 0 PTIT0 Hình 4.6 Đồ thị Bode của thành phần này được minh hoạ trên hình 4.6. 4.2.3 Đồ thị của thành phần ứng với điểm không ở gốc toạ độ: Trên hình 4.7 mô tả một điểm không ở gốc, p =0, khi i Im đó hàm truyền đạt thành phần sẽ có dạng: H ( p) p i =Re suy ra: Hi(j)=j + Xét đặc tuyến biên độ: Hình 4.7 a() 20.lg j 20.lg 20 [dB] Khoa KTĐT-Học viện BCVT 93
Lưu ý rằng  viết ở đây đã được chuẩn hoá, tức là tỉ số của tần số đang xét và tần số chuẩn. Như vậy a() là một đường thẳng đi qua gốc và có độ dốc 20dB/D. + Bây giờ ta xét sang đặc tuyến pha: b() arg( j) [rad] 2 Đồ thị pha là một đường thẳng song song với trục hoành. Đồ thị Bode của thành phần này được minh hoạ trên hình 4.8. a()[dB] b()[rad] 20dB/D /2 20 [D] [D] 0 1 0 Hình 4.8 4.2.4 Đồ thị của thành phần ứng với điểm không (khác 0) nằm trên trục : Nếu điểm không nằm trên nửa trái trục : Im Trên hình 4.9 mô tả một điểm không pi =- h trên nửa trái của trục , với h là một hằng số dương, khi đó hàm truyền đạt thành phần sẽ có =Re dạng: -h h p H i ( p) 1 Hình 4.9  h + Xét đặc tuyến biên độ: j  a() 20.lg1 10.lg[1 ( ) 2 ] [dB]   h PTITh 0 khi  0.1 h a()[dB] 20dB/D a() 3dB khi   h  20lg khi  10 h 20  h 3 [D] a() có thể được xấp xỉ là một đường -1  1 10 h h 10 h gẫy khúc tại tần số gãy h trên trục D, độ dốc bằng 20dB/D như hình 4.10. Hình 4.10 Đường chính xác của a() sẽ là một đường cong tiệm cận với đường gãy khúc nói trên và đi qua giá trị 3dB tại điểm h. + Bây giờ ta xét sang đặc tuyến pha: Khoa KTĐT-Học viện BCVT 94
j  b() arg(1 ) arctg b()[rad]  h  h /2 /4 0 khi  0.1 h [D] -1  1 b() khi   h 10 h h 10 h 4 khi  10 Hình 4.11 2 h Vậy đặc tuyến pha cũng có thể xấp xỉ bằng một đường gãy khúc như hình vẽ: Đường chính xác của b() sẽ là một đường cong tiệm cận với đường gãy khúc nói trên và có giá trị là /4 tại điểm h. Nếu điểm không nằm trên nửa phải trục : Im Khi điểm không nằm trên nửa phải của trục  như hình 4.12, hàm truyền đạt thành phần sẽ có =Re dạng: h p Hình 4.12 H i ( p) 1  h với h là một hằng số dương. b()[rad] a()[dB] 20dB/D -1 1 10 h h 10 h [D] 20 - /4 3 [D] -1  1 - /2 10 h h 10 h Hình 4.13 PTIT Đồ thị Bode trong trường hợp này có dạng như hình 4.13. p p So với trường hợp H i ( p) 1 , đồ thị biên độ của thành phần H i ( p) 1 có  h  h dạng không thay đổi, nhưng đồ thị pha có dạng lấy đối xứng qua trục hoành. Im 4.2.5 Đồ thị của thành phần ứng với cặp điểm i không phức liên hợp: i =Re Nếu điểm không là cặp nghiệm phức liên hợp -i nằm trên nửa trái mặt phẳng phức: Hình 4.14 dưới đây minh hoạ giá trị môđun và Hình 4.14 argumen của điểm không là cặp nghiệm phức liên Khoa KTĐT-Học viện BCVT 95
hợp nằm trên nửa trái mặt phẳng phức. Lúc đó tích hai thừa số tương ứng với cặp nghiệm này trong miền tần số phức có dạng: p p p p 2 H i ( p) (1 )(1 ) = 1- 2cosi ji ji 2 i .e i .e i i p p 2 Hay: H i ( p) 1 2 2 , trong đó  = - cosi , 0  1, và i>0: i i + Đặc tuyến biên độ: 2 2    2 2  2 a() 20.lg1 j2 2 10.lg[(1 2 ) 4 ( ) ] [dB]  i  i  i  i 0 khi  0.1 i 2 a() 10lg 4 khi   i  40lg khi  10 i  i a() có dạng là các đoạn cong và đoạn gẫy khúc tuỳ thuộc vào giá trị của  ( với 0<<1) được mô tả như hình 4.15. a()[dB] 40dB/D 40 =1 =0,5 [D] -1 i 1 10 i 10 i -6 =0,25 Hình 4.15 + Bây giờ ta xét sang đặc tuyếnPTIT pha:  2 b()[rad]  i b() arctg  <   2 1 2 1 2  i /2 0 khi  0.1 i [D] -1 i 1 10 i 10 i b() khi   i 2 Hình 4.16 khi  10 i Đặc tuyến pha cũng có thể xấp xỉ bằng các đoạn cong và gẫy khúc tuỳ thuộc vào giá trị của  ( với 0<<1) như hình 4.16. Khoa KTĐT-Học viện BCVT 96