Bài giảng Lý thuyết điều khiển tự động - Chương 6: Mô tả toán học hệ thống điều khiển rời rạc

51 trang phuongnguyen 4120

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Lý thuyết điều khiển tự động - Chương 6: Mô tả toán học hệ thống điều khiển rời rạc", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

bai_giang_ly_thuyet_dieu_khien_tu_dong_chuong_6_mo_ta_toan_h.pdf

Nội dung text: Bài giảng Lý thuyết điều khiển tự động - Chương 6: Mô tả toán học hệ thống điều khiển rời rạc

Môn học LÝLÝ THUYẾTTHUYẾT ĐIỀUĐIỀU KHIỂNKHIỂN TỰTỰ ĐỘNGĐỘNG Giảng viên: Huỳnh Thái Hoàng Bộ môn Điều Khiển Tự Động Khoa Điện – Điện Tử Đại học Bách Khoa TP.HCM Email: hthoang@dee.hcmut.edu.vn 11 April 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 1
Chương 6 MÔMÔ TẢTẢ TOÁNTOÁN HỌCHỌC HỆHỆ THỐNGTHỐNG ĐIỀUĐIỀU KHIỂNKHIỂN RỜIRỜI RẠCRẠC 11 April 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 2
Hệ thống điều khiển dùng máy tính số r(kT) u(kT) uR(t) c(t) Máy tính số D/A Đối tượng cht(kT) A/D Cảm biến “Máy tính số” = thiết bị tính toán dựa trên cơ sở kỹ thuật vi xử lý (vi xử lý, vi điều khiển, máy tính PC, DSP, ). Ưu điểm của hệ thống điều khiển số: Linh hoạt Dễ dàng áp dụng các thuật toán điều khiển phức tạp Máy tính số có thể điều khiển nhiều đối tượng cùng một lúc 11 April 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 5
Hệ thống điều khiển rời rạc r(kT) u(kT) uR(t) c(t) Xử lý rời rạc Khâu giữ Đối tượng cht(kT) Lấy mẫu Cảm biến Hệ thống điều khiển rời rạc là hệ thống điều khiển trong đó có tín hiệu tại một hoặc nhiều điểm là (các) chuỗi xung. 11 April 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 6
Lấy mẫu dữ liệu Lấy mẫu là biến đổi tín hiệu liên tục theo thời gian thành tín hiệu rời rạc theo thời gian. x(t) x*(t) Biểu thức toán học mô tả quá T trình lấy mẫu: x(t) +∞ * −kTs X (s) = ∑ x(kT)e t k =0 0 Định lý Shannon x*(t) 1 t f = ≥ 2 fc T 0 Nếu có thể bỏ qua được sai số lượng tử hóa thì các khâu chuyển đổi A/D chính là các khâu lấy mẫu. 11 April 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 7
Khâu giữ dữ liệu Khâu giữ dữ liệu là khâu chuyển tín hiệu rời rạc theo thời gian thành tín hiệu liên tục theo thời gian * Khâu giữ bậc 0 (ZOH): giữ tín x (t) xR (t) ZOH hiệu bằng hằng số trong thời x*(t) gian giữa hai lần lấy mẫu. t 0 Hàm truyền khâu giữ bậc 0. xR(t) 1− e−Ts G (s) = ZOH s t 0 Nếu có thể bỏ qua được sai số lượng tử hóa thì các khâu chuyển đổi D/A chính là các khâu giữ bậc 0 (ZOH). 11 April 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 8
Định nghĩa phép biến đổi Z Cho x(k) là chuỗi tín hiệu rời rạc, biến đổi Z của x(k) là: +∞ X (z) = Z {}x(k) = ∑ x(k)z −k k =−∞ Trong đó: − z = eTs (s là biến Laplace) Z − X(z) : biến đổi Z của chuỗi x(k). Ký hiệu: x(k) ←→ X (z) Nếu x(k) = 0, ∀ k < 0: +∞ X (z) = Z {}x(k) = ∑ x(k)z −k k =0 Miền hội tụ (Region Of Convergence – ROC) ROC là tập hợp tất cả các giá trị z sao cho X(z) hữu hạn. 11 April 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 10
Ý nghĩa của phép biến đổi Z Giả sử x(t) là tín hiệu liên tục trong miền thời gian, lấy mẫu x(t) với chu kỳ lấy mẫu T ta được chuổi rời rạc x(k) = x(kT). Biểu thức lấy mẫu tín hiệu x(t) +∞ X * (s) = ∑ x(kT)e−kTs k =0 Biểu thức biến đổi Z chuỗi x(k) = x(kT). +∞ X (z) = ∑ x(k)z −k k=0 Ts Do z = e nên vế phải của hai biểu thức lấy mẫu và biến đổi Z là như nhau, do đó bản chất của việc biến đổi Z một tín hiệu chính là rời rạc hóa tín hiệu đó . 11 April 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 11
Tính chất của phép biến đổi Z Cho x(k) và y(k) là hai chuỗi tín hiệu rời rạc có biến đổi Z là: Z {}x(k) = X (z) Z {y(k)}= Y (z) Tính tuyến tính: Z {ax(k) + by(k)}= aX (z) + bY (z) −k0 Tính dời trong miền thời gian: Z {x(k − k0 )}= z X (z) k −1 Tỉ lệ trong miền Z: Z {a x(k)}= X (a z) dX (z) Đạo hàm trong miền Z: Z {}kx(k) = −z dz Định lý giá trị đầu: x(0) = lim X (z) z→∞ −1 Định lý giá trị cuối: x(∞) = lim(1− z )X (z) z→1 11 April 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 12
Biến đổi Z của các hàm cơ bản Hàm dirac: δ(k) 1 nếu k = 0 1 δ (k) =  0 nếu k ≠ 0 k 0 Z {}δ (k) = 1 Hàm nấc đơn vị: u(k) 1 nếu k ≥ 0 1 u(k) =  0 nếu k < 0 k 0 z Z {}u(k) = z −1 11 April 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 13
Biến đổi Z của các hàm cơ bản r(k) Hàm dốc đơn vị: 1 kT nếu k ≥ 0 r(k) =  k 0 nếu k < 0  0 Tz Z {}u(k) = ()z −1 2 Hàm mũ: x(k) e-akT nếu k ≥ 0 1 x(k) =  0 nếu k < 0 k 0 z Z {}x(k) = z − e−aT 11 April 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 14
Tính hàm truyền từ phương trình sai phân r(k) c(k) Hệ rời rạc Quan hệ vào ra của hệ rời rạc có thể mô tả bằng phương trình sai phân a0c(k + n) + a1c(k + n −1) + + an−1c(k +1) + anc(k) = b0r(k + m) + b1r(k + m −1) + + bm−1r(k +1) + bmr(k) trong đó n>m, n gọi là bậc của hệ thống rời rạc Biến đổi Z hai vế phương trình trên ta được: n n−1 a0z C(z) + a1z C(z) + + an−1zC(z) + anC(z) = m m−1 b0z R(z) + b1z R(z) + + bm−1zR(z) + bmR(z) 11 April 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 16
Tính hàm truyền từ phương trình sai phân Lập tỉ số C(z)/R(z) , ta được hàm truyền của hệ rời rạc: m m−1 C(z) b0z + b1z + + bm−1z + bm G(z) = = n n−1 R(z) a0z + a1z + + an−1z + an Hàm truyền trên có thể biến đổi tương đương về dạng: −(n−m) −1 −m+1 −m C(z) z [b0 + b1z + + bm−1z + bm z ] G(z) = = −1 −n+1 −n R(z) a0 + a1z + + an−1z + an z 11 April 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 17
Tính hàm truyền từ phương trình sai phân - Thí dụ Tính hàm truyền của hệ rời rạc mô tả bởi phương trình sai phân: c(k + 3) + 2c(k + 2) − 5c(k +1) + 3c(k) = 2r(k + 2) + r(k) Giải: Biến đổi Z hai vế phương trình sai phân ta được: z3C(z) + 2z2C(z) − 5zC(z) + 3C(z) = 2z2R(z) + R(z) C(z) 2z2 +1 ⇒ G(z) = = R(z) z3 + 2z2 − 5z + 3 C(z) z−1(2 + z−2 ) ⇔ G(z) = = R(z) 1+ 2z−1 − 5z−2 + 3z−3 11 April 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 18
Tính hàm truyền của hệ rời rạc từ sơ đồ khối Cấu hình thường gặp của các hệ thống điều khiển rời rạc: R(s) C(s) + G (z) ZOH G(s) − T C H(s) C(z) G (z)G(z) Hàm truyền kín của hệ thống: G (z) = = C k R(z) 1+ G (z)GH (z) trong đó: C GC (z) : hàm truyền của bộ điều khiển, tính từ phương trình sai phân −1 G(s) −1 G(s)H (s) G(z) = (1− z )Z   GH (z) = (1− z )Z    s   s  11 April 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 19
Tính hàm truyền của hệ rời rạc từ sơ đồ khối. Thí dụ 1 Tính hàm truyền kín của hệ thống: R(s) C(s) + ZOH G(s) − T = 0.5 3 G(s) = s + 2 −1 G(s) −1  3  Giải: G(z) = (1− z )Z   = (1− z )Z    s  s(s + 2) 3 z(1− e−2×0.5 ) = (1− z−1) 2 (z −1)(z − e−2×0.5 ) 0.948 −aT ⇒ G(z) =  a  z(1− e ) z − 0.368 Z   = −aT s(s + a) (z −1)(z − e ) 11 April 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 20
Tính hàm truyền của hệ rời rạc từ sơ đồ khối. Thí dụ 1 Hàm truyền kín của hệ thống: 0.948 G(z) G (z) = = z − 0.368 k 0.948 1+ G(z) 1+ z − 0.368 0.948 ⇒ G (z) = k z + 0.580 11 April 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 21
Tính hàm truyền của hệ rời rạc từ sơ đồ khối. Thí dụ 2 Tính hàm truyền kín của hệ thống: R(s) C(s) + ZOH G(s) − T = 0.5 H(s) 3e−s 1 Biết rằng: G(s) = H (s) = s + 3 s +1 Giải: Hàm truyền kín của hệ thống: G(z) G (z) = k 1+ GH (z) 11 April 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 22
Tính hàm truyền của hệ rời rạc từ sơ đồ khối. Thí dụ 2 −s −1 G(s) 3e • G(z) = (1− z )Z   G(s) =  s  (s + 3) −s −1  3e  = (1− z )Z   s(s + 3) z(1− e−3×0.5 ) = (1− z−1)z−2 (z −1)(z − e−3×0.5 ) 0.777 ⇒ G(z) = z2 (z − 0.223)  a  z(1− e−aT ) Z   = −aT s(s + a) (z −1)(z − e ) z = eTs = e0.5s 11 April 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 23
Tính hàm truyền của hệ rời rạc từ sơ đồ khối. Thí dụ 2 −s −1 G(s)H (s) 3e • GH (z) = (1− z )Z   G(s) =  s  (s + 3) −s −1  3e  1 = (1− z )Z   H (s) = s(s + 3)(s +1) (s +1) z(Az + B) = 3(1− z−1)z−2 (z −1)(z − e−3×0.5 )(z − e−1×0.5 ) (1− e−3×0.5 ) − 3(1− e−0.5 ) A = = 0.0673 3(1− 3)  1  z(Az + B) Z   = s(s + a)(s + b) (z −1)(z − e−aT )(z − e−bT ) 3e−3×0.5 (1− e−0.5 ) − e−0.5 (1− e−3×0.5 )  B = b(1− e−=aT0).−0346a(1− e−bT ) 3(1− 3) A = ab(b − a) 0.202z + 0.104 ⇒ ae−aT (1− e−bT ) − be−bT (1− e−aT ) GH (z) = 2 B = z (z − 0.223)(z − 0.607) ab(b − a) 11 April 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 24
Tính hàm truyền của hệ rời rạc từ sơ đồ khối. Thí dụ 2 Hàm truyền kín của hệ thống: 0.777 G(z) z2 (z − 0.223) G (z) = = k 1+ GH (z) 0.202z + 0.104 1+ z2 (z − 0.223)(z − 0.607) 0.777(z − 0.607) ⇒ G (z) = k z4 − 0.83z3 + 0.135z2 + 0.202z + 0.104 0.777 G(z) = z2 (z − 0.223) 0.202z + 0.104 GH (z) = z2 (z − 0.223)(z − 0.607) 11 April 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 25
Tính hàm truyền của hệ rời rạc từ sơ đồ khối. Thí dụ 3 Tính hàm truyền kín của hệ thống: R(s) e(k) u(k) C(s) + G (z) ZOH G(s) − T=0.2 C H(s) 5e−0.2s Biết rằng: G(s) = H (s) = 0.1 s2 Bộ điều khiển Gc(z) có quan hệ vào – ra mô tả bởi phương trình: u(k) =10e(k) − 2e(k −1) 11 April 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 26
Tính hàm truyền của hệ rời rạc từ sơ đồ khối. Thí dụ 3 Giải: Hàm truyền kín của hệ thống: GC (z)G(z) Gk (z) = 1+ GC (z)GH (z) Ta có: u(k) =10e(k) − 2e(k −1) ⇒ U (z) =10E(z) − 2z−1E(z) U (z) ⇒ G (z) = =10 − 2z−1 C E(z) 11 April 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 27
Tính hàm truyền của hệ rời rạc từ sơ đồ khối. Thí dụ 3 −1 G(s) 5e−0.2s • G(z) = (1− z )Z   G(s) =  s  s2 −0.2s 2 −1 5e  −1 −1 (0.2) z(z +1) = (1− z )Z  3  = 5(1− z )z 3  s  2(z −1) 0.1(z +1) ⇒ G(z) = z(z −1)2 −1 G(s)H (s) • GH (z) = (1− z )Z   H (s) = 0.1  s  −1 G(s) = 0.1(1− z )Z   1 T 2z(z +1) s     Z  3  = 3 0.01(z +1) s  2(z −1) ⇒ GH(z) = Ts 0.2s z(z −1)2 z = e = e 11 April 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 28
Tính hàm truyền của hệ rời rạc từ sơ đồ khối. Thí dụ 3 Hàm truyền kín của hệ thống: 10z − 2 0.1(z +1) .    2  GC (z)G(z)  z   z(z −1)  Gk (z) = = 1+ GC (z)GH (z) 10z − 2 0.01(z +1) 1+ .    2   z   z(z −1)  2 ⇒ z + 0.8z − 0.2 Gk (z) = z4 − 2z3 +1.1z2 + 0.08z − 0.02 −1 GC (z) =10 − 2z 0.1(z +1) G(z) = z(z −1)2 0.01(z +1) GH (z) = z(z −1)2 11 April 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 29
Khái niệm Phương trình trạng thái (PTTT) của hệ rời rạc là hệ phương trình sai phân bậc 1 có dạng: x(k +1) = Ad x(k) + Bd r(k)  c(k) = Cd x(k) trong đó:  x1(k) a11 a12 K a1n  b1    x (k) a a a b   2   21 22 K 2n   2  x(k) = Ad = Bd =  M   M M M   M        xn (k) an1 an2 K ann  bn  Cd = [c1 c2 K cn ] 11 April 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 31
Thành lập PTTT từ phương trình sai phân (PTSP) Trường hợp 1: Vế phải của PTSP không chứa sai phân của tín hiệu vào a0c(k + n) + a1c(k + n −1) + + an−1c(k +1) + anc(k) = b0r(k) Đặt biến trạng thái theo qui tắc: Biến đầu tiên đặt bằng tín hiệu ra: x1(k) = c(k) Biến thứ i (i=2 n) đặt bằng cách làm x2 (k) = x1(k +1) sớm biến thứ i−1 một chu kỳ lấy mẫu x3(k) = x2 (k +1) M xn (k) = xn−1(k +1) 11 April 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 32
Thành lập PTTT từ PTSP Trường hợp 1 (tt) x(k +1) = Ad x(k) + Bd r(k) Phương trình trạng thái:  c(k) = Cd x(k) trong đó:  0 1 0 K 0   0     x1(k) 0 0 1 0  0   K    x (k)  2  A =  M M M M  B =  M  x(k) = d   d    M  0 0 0 1 0    K    an an−1 an−2 a1 b0 xn (k) − − − K −     a0 a0 a0 a0  a0  Cd = [1 0 K 0 0] 11 April 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 33
Thành lập PTTT từ PTSP Thí dụ trường hợp 1 Viết PTTT mô tả hệ thống có quan hệ vào ra cho bởi PTSP sau: 2c(k + 3) + c(k + 2) + 5c(k +1) + 4c(k) = 3r(k) x1(k) = c(k)  Đặt các biến trạng thái: x2 (k) = x1(k +1)  x3(k) = x2 (k +1) x(k +1) = Ad x(k) + Bd r(k) Phương trình trạng thái:  c(k) = Cd x(k) trong đó:    0   0        Bd = 0 = 0  0 1 0   0 1 0  b         0  1.5 Ad = 0 0 1 = 0 0 1 a   a a a     0  − 3 − 2 − 1  − 2 − 2.5 − 0.5 a a a  0 0 0  Cd = [1 0 0] 11 April 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 34
Thành lập PTTT từ PTSP Trường hợp 2: Vế phải của PTSP có chứa sai phân của tín hiệu vào a0c(k + n) + a1c(k + n −1) + + an−1c(k +1) + anc(k) = b0r(k + n −1) + b1r(k + n − 2) + + bn−2r(k +1) + bn−1r(k) Đặt biến trạng thái theo qui tắc: Biến đầu tiên đặt bằng tín x1(k) = c(k) hiệu ra x2 (k) = x1(k +1) − β1r(k) Biến thứ i (i=2 n) đặt bằng cách làm sớm biến thứ i−1 x3(k) = x2 (k +1) − β2r(k) một chu kỳ lấy mẫu và trừ 1 M lượng tỉ lệ với tính hiệu vào xn (k) = xn−1(k +1) − βn−1r(k) 11 April 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 35
Thành lập PTTT từ PTSP Trường hợp 2 (tt) x(k +1) = Ad x(k) + Bd r(k) Phương trình trạng thái:  c(k) = Cd x(k) trong đó:  0 1 0 K 0  β    1   x1(k) 0 0 1 0  K   β  x (k)  2  x(k) =  2  A =  M M M M  B =     d   d M M 0 0 0 K 1     βn−1   an an−1 an−2 a1   xn (k) − − − K −     βn   a0 a0 a0 a0  Cd = [1 0 K 0 0] 11 April 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 36
Thành lập PTTT từ PTSP Trường hợp 2 (tt) Các hệ số β trong vector Bd xác định như sau: b0 β1 = a0 b1 − a1β1 β2 = a0 b2 − a1β2 − a2β1 β3 = a0 M bn−1 − a1βn−1 − a2βn−2 −K− an−1β1 βn = a0 11 April 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 37
Thành lập PTTT từ PTSP Thí dụ trường hợp 2 Viết PTTT mô tả hệ thống có quan hệ vào ra cho bởi PTSP sau: 2c(k + 3) + c(k + 2) + 5c(k +1) + 4c(k) = r(k + 2) + 3r(k) x1(k) = c(k)  Đặt các biến trạng thái: x2 (k) = x1(k +1) − β1r(k)  x3(k) = x2 (k +1) − β2r(k) x(k +1) = Ad x(k) + Bd r(k) Phương trình trạng thái:  c(k) = Cd x(k) trong đó: β    1 0 1 0 0 1 0 B = β      d  2      Ad = 0 0 1 = 0 0 1 β3   a a a    − 3 − 2 − 1  − 2 − 2.5 − 0.5 a a a  0 0 0  Cd = [1 0 0] 11 April 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 38
Thành lập PTTT từ PTSP Thí dụ trường hợp 2 (tt) Các hệ số của vector Bd xác định như sau:  b 1 β = 0 = = 0.5  1 2  a0  b1 − a1β1 0 −1× 0.5 β2 = = = −0.25  a0 2 b − a β − a β 3 −1× (−0.25) − 5× 0.5 β = 2 1 2 2 1 = = 0.375  3  a0 2  0.5  ⇒ B = − 0.25 d   0.375 11 April 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 39
Thành lập PTTT từ PTSP dùng phương pháp tọa độ pha Xét hệ rời rạc mô tả bởi phương trình sai phân a0c(k + n) + a1c(k + n −1) + + an−1c(k +1) + anc(k) = b0r(k + m) + b1r(k + m −1) + + bm−1r(k +1) + bmr(k) Đặt biến trạng thái theo qui tắc: Biến trạng thái đầu tiên là nghiệm của phương trình: a1 an−1 an x1(k + n) + x1(k + n −1) +L + x1(k +1) + x1(k) = r(k) a0 a0 a0 Biến thứ i (i=2 n) đặt bằng cách làm sớm biến thứ i−1 một chu kỳ lấy mẫu: x2 (k) = x1(k +1) x3(k) = x2 (k +1) M xn (k) = xn−1(k +1) 11 April 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 40
Thành lập PTTT từ PTSP dùng phương pháp tọa độ pha x(k +1) = Ad x(k) + Bd r(k) Phương trình trạng thái:  c(k) = Cd x(k) trong đó:  0 1 0 K 0  0 x (k)    1  0 0 1 0 0    K    x2 (k)   x(k) =   A = M M M M Bd = M d      M  0 0 0 1 0    K     an an−1 an−2 a1  xn (k) − − − K − 1  a0 a0 a0 a0  bm bm−1 b0  Cd =  K 0 K 0  a0 a0 a0  11 April 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 41
Thí dụ thành lập PTTT từ PTSP dùng PP tọa độ pha Viết PTTT mô tả hệ thống có quan hệ vào ra cho bởi PTSP sau: 2c(k + 3) + c(k + 2) + 5c(k +1) + 4c(k) = r(k + 2) + 3r(k) Đặt biến trạng thái theo phương pháp tọa độ pha, ta được phương trình trạng thái: x(k +1) = Ad x(k) + Bd r(k)  c(k) = Cd x(k) trong đó:    0 1 0   0 1 0  0   A =  0 0 1  = 0 0 1 B = 0 d     d   a3 a2 a1 − − −  − 2 − 2.5 − 0.5 1  a0 a0 a0  b2 b1 b0  Cd =   = []1.5 0 0.5 a0 a0 a0  11 April 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 42
Thành lập PTTT hệ rời rạc từ PTTT hệ liên tục Thành lập PTTT mô tả hệ rời rạc có sơ đồ khối: r(t) e(t) e(kT) eR(t) c(t) + ZOH G(s) − T Bước 1: Thành lập PTTT mô tả hệ liên tục (hở): eR(t) c(t) x&(t) = Ax(t) + BeR (t) G(s)  c(t) = Cx(t) Bước 2: Tính ma trận quá độ Φ(t) = L −1[Φ(s)] với Φ(s) = (sI − A)-1 11 April 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 43
Thành lập PTTT hệ rời rạc từ PTTT hệ liên tục Bước 3: Rời rạc hóa PTTT mô tả hệ liên tục (hở): e(kT) c(kT) ZOH G(s) Ad = Φ(T ) T x[(k +1)T] = Ad x(kT) + Bd eR (kT)   với Bd = ∫Φ(τ )Bdτ c(kT) = Dd x(kT)  0 Cd = C Bước 4: Viết PTTT mô tả hệ rời rạc kín (với tín hiệu vào là r(kT)) x[(k +1)T ] = [Ad − Bd Cd ]x(kT ) + Bd r(kT )  c(kT ) = Cd x(kT ) 11 April 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 44
Thí dụ thành lập PTTT hệ rời rạc từ PTTT hệ liên tục Thành lập PTTT mô tả hệ rời rạc có sơ đồ khối: r(t) e(t) e(kT) eR(t) 1 x2 1 x1 c(t) + ZOH K − T s + a s Với a = 2, T = 0.5, K = 10 11 April 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 45
Thí dụ thành lập PTTT hệ rời rạc từ PTTT hệ liên tục Giải: eR(t) 1 x2 1 x1 c(t) Bước 1: 10 s + 2 s X (s) X (s) = 2 ⇒ sX (s) =X (s) ⇒ x (t) =x (t) 1 s 1 2 &1 2 E R(s) X 2 (s) = ⇒ (s + a)X 2 (s) =E R(s) ⇒ x&2 (t) = −2x2 (t) +eR (t) s + 2  x&1(t) 0 1  x1(t) 0   =    +  eR (t) x&2 (t) 0 − 2x2 (t) 1 142 43 { ⇒ A B  x1(t) c(t) =10x1(t) = []10 0   123x2 (t) C 11 April 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 46
Thí dụ thành lập PTTT hệ rời rạc từ PTTT hệ liên tục Bước 2: Tính ma trận quá độ −1 −1  1 0 0 1   s −1  -1     Φ(s) = ()sI − A =  s  −   =     0 1 0 − 2  0 s + 2 1 1  1 s + 2 1 s s(s + 2) = =   s(s + 2)  0 s 1   0   s + 2  1 1   −11 −1 1    L   L   −1 −1 s s(s + 2)  s s(s + 2) Φ(t) = L [Φ(s)] = L   =    1 1 0   −1    0 L     s + 2   s + 2   1  1 (1− e−2t ) ⇒ Φ(t) =  2   −2t  0 e  11 April 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 47
Thí dụ thành lập PTTT hệ rời rạc từ PTTT hệ liên tục Bước 3: Rời rạc hóa x[(k +1)T] = Ad x(kT) + Bd eR (kT)  PTTT của hệ liên tục c(kT) = Cd x(kT)  1 −2t   1 −2×0.5  1 0.316 1 (1− e ) 1 (1− e )   Ad = Φ(T) = 2 = 2 =    −2t   −2×0.5  0 0.368 0 e t=T 0 e  T T  1 −2τ  0  T 1 −2τ   1 (1− e )    (1− e )  Bd = ∫Φ(τ )Bdτ = ∫  2  dτ  = ∫  2 dτ  0 0  −2τ 1 0  −2τ  0 e    e   T τ e−2τ   0.5 e−2×0.5 1   +   + −   2   2 2  0.092  2 2   2 2 2    =   =   =    e−2τ   e−2×0.5 1  0.316  −   − +   2 0  2 2  Cd = C = []10 0 11 April 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 48
Thí dụ thành lập PTTT hệ rời rạc từ PTTT hệ liên tục Bước 4: PTTT rời rạc mô tả hệ kín x[(k +1)T ] = [Ad − Bd Cd ]x(kT) + Bd r(kT)  c(kT) = Cd x(kT) 1 0.316 0.092  0.080 0.316 với []Ad − Bd Cd =   −   []10 0 =   0 0.368 0.316 − 3.160 0.368 Vậy phương trình trạng thái của hệ rời rạc cần tìm là:  x1(k +1)  0.080 0.316 x1(k) 0.092   =    +  r(k) x2 (k +1) − 3.160 0.368x2 (k) 0.316 x1(k) c(k) = []10 0 .  x2 (k) 11 April 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 49
Tính hàm truyền từ PTTT Cho hệ rời rạc mô tả bởi PTTT x(k +1) = Ad x(k) + Bd r(k)  c(k) = Cd x(k) Hàm truyền của hệ rời rạc là: C(z) G(z) = = C (zI − A )−1 B R(z) d d d 11 April 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 50
Thí dụ tính hàm truyền từ PTTT Tính hàm truyền của hệ rời rạc mô tả bởi PTTT x(k +1) = Ad x(k) + Bd r(k)  c(k) = Cd x(k)  0 1 0 C = [1 0] Ad =   Bd =   d − 0.7 − 0.1 2 Giải: Hàm truyền cần tìm là −1 G(z) = Cd (zI − Ad ) Bd −1  1 0  0 1 0   = []1 0  z  −      0 1 − 0.7 − 0.1 2 2 ⇒ G(z) = z 2 + 0.1z + 0.7 11 April 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 51