›
›

Bài giảng Lý thuyết điều khiển tự động - Chương 6: Hệ thống điều khiển phi tuyến

pdf 77 trang phuongnguyen 6890
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Lý thuyết điều khiển tự động - Chương 6: Hệ thống điều khiển phi tuyến", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfbai_giang_ly_thuyet_dieu_khien_tu_dong_chuong_6_he_thong_die.pdf

Nội dung text: Bài giảng Lý thuyết điều khiển tự động - Chương 6: Hệ thống điều khiển phi tuyến

  1. Moân hoïc LYÙLYÙ THUYEÁTTHUYEÁT ÑIEÀUÑIEÀU KHIEÅNKHIEÅN TÖÏTÖÏ ÑOÄNGÑOÄNG Giaûng vieân: Huyønh Thaùi Hoaøng Boä moân Ñieàu Khieån Töï Ñoäng Khoa Ñieän – Ñieän Töû Ñaïi hoïc Baùch Khoa TP.HCM Email: hthoang@dee.hcmut.edu.vn 8 May 2006 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 1
  2. Chöông 8 HEÄHEÄ THOÁNGTHOÁNG ÑIEÀUÑIEÀU KHIEÅNKHIEÅN PHIPHI TUYEÁNTUYEÁN 8 May 2006 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 2
  3. Noäi dung chöông 9 ‘ Khaùi nieäm Ž Ñònh nghóa Ž Ñaëc ñieåm cuûa heä phi tuyeán Ž Caùc khaâu phi tuyeán ñôn giaûn Ž Moâ taû toaùn hoïc heä phi tuyeán Ž Caùc phöông phaùp khaûo saùt heä phi tuyeán ‘ Phöông phaùp tuyeán tính hoùa ‘ Phöông phaùp haøm moâ taû ‘ Phöông phaùp Lyapunov 8 May 2006 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 3
  4. KhaùiKhaùi nieämnieäm 8 May 2006 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 4
  5. Khaùi nieäm veà heä phi tuyeán ‘ Heä phi tuyeán laø heä thoáng trong ñoù quan heä vaøo – ra khoâng theå moâ taû baèng phöông trình vi phaân/sai phaân tuyeán tính. ‘ Phaàn lôùn caùc ñoái töôïng trong töï nhieân mang tính phi tuyeán. Ž Heä thoáng thuûy khí (TD: boàn chöùa chaát loûng, ), Ž Heä thoáng nhieät ñoäng hoïc (TD: loø nhieät, ), Ž Heä thoáng cô khí (TD: caùnh tay maùy, .), Ž Heä thoáng ñieän – töø (TD: ñoäng cô, maïch khueách ñaïi, ) Ž Heä thoáng vaät lyù coù caáu truùc hoãn hôïp, ‘ Tuøy theo daïng tín hieäu trong heä thoáng maø heä phi tuyeán coù theå chia laøm hai loaïi: Ž Heä phi tuyeán lieân tuïc Ž Heä phi tuyeán rôøi raïc. Noäi dung moân hoïc chæ ñeà caäp ñeán heä phi tuyeán lieân tuïc. 8 May 2006 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 5
  6. Tính chaát cuûa heä phi tuyeán ‘ Heä phi tuyeán khoâng thoûa maõn nguyeân lyù xeáp choàng. ‘ Tính oån ñònh cuûa heä phi tuyeán khoâng chæ phuï thuoäc vaøo caáu truùc, thoâng soá cuûa heä thoáng maø coøn phuï thuoäc vaøo tín hieäu vaøo. ‘ Neáu tín hieäu vaøo heä phi tuyeán laø tín hieäu hình sin thì tín hieäu ra ngoaøi thaønh phaàn taàn soá cô baûn (baèng taàn soá tín hieäu vaøo) coøn coù caùc thaønh phaàn haøi baäc cao (laø boäi soá cuûa taàn soá tín hieäu vaøo). ‘ Heä phi tuyeán coù theå xaûy ra hieän töôïng dao ñoäng töï kích. 8 May 2006 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 6
  7. Caùc khaâu phi tuyeán cô baûn Khaâu relay 2 vò trí Khaâu relay 3 vò trí y y Ym Ym u −DDu −Ym −Ym Ym sgn(u) (neáu| u |≥ D) y = Ym sgn(u) y =  0 (neáu | u |< D) 8 May 2006 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 7
  8. Caùc khaâu phi tuyeán cô baûn Khaâu khueách ñaïi baõo hoøa Khaâu khueách ñaïi coù mieàn cheát y y Y m K −D u −D u D D −Ym Ym sgn(u) (neáu| u |> D) K(u − Dsgn(u)) (neáu| u |≥ D) y =  y =  Ku (neáu | u |≤ D)  0 (neáu | u |< D) (K = Ym / D) 8 May 2006 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 8
  9. Caùc khaâu phi tuyeán cô baûn Khaâu relay 2 vò trí coù treå Khaâu relay 3 vò trí coù treå y y Ym Ym u −D u -D D D −Ym −Ym Ym sgn(u) (neáu| u |≥ D) y =  −Ym sgn(u&) (neáu | u |< D) 8 May 2006 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 9
  10. Caùc khaâu phi tuyeán cô baûn Khaâu khueách ñaïi baõo hoøa coù treå y Ym −D u D −Ym 8 May 2006 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 10
  11. Moâ taû toaùn hoïc heä phi tuyeán duøng phöông trình vi phaân ‘ Quan heä vaøo – ra cuûa heä phi tuyeán lieân tuïc coù theå bieåu dieãn döôùi daïng phöông trình vi phaân phi tuyeán baäc n: d n y(t)  d n−1y(t) dy(t) d mu(t) du(t)  = g , , , y(t), , , ,u(t) n  n−1 L m L  dt  dt dt dt dt  trong ñoù: u(t) laø tín hieäu vaøo, y(t) laø tín hieäu ra, g(.) laø haøm phi tuyeán 8 May 2006 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 11
  12. Moâ taû heä phi tuyeán duøng phöông trình vi phaân – Thí duï 1 a: tieát dieän van xaû qin A: tieát dieän ngang cuûa boàn u(t) g: gia toác troïng tröôøng y(t) qout k: heä soá tæ leä vôùi coâng suaát bôm CD: heä soá xaû ‘ Phöông trình caân baèng: Ay&(t) = qin (t) − qout (t) trong ñoù: qin (t) = ku(t) qout (t) = aCD 2gy(t) 1 ⇒ y&(t) = (ku(t) − aCD 2gy(t)) (heä phi tuyeán baäc 1) A 8 May 2006 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 12
  13. Moâ taû heä phi tuyeán duøng phöông trình vi phaân – Thí duï 2 J: moment quaùn tính cuûa caùnh tay maùy M: khoái löôïng cuûa caùnh tay maùy m: khoái löôïng vaät naëng l m l: chieàu daøi caùnh tay maùy l : khoaûng caùch töø troïng taâm tay maùy ñeán truïc quay u θ C B: heä soá ma saùt nhôùt g: gia toác troïng tröôøng u(t): moment taùc ñoäng leân truïc quay cuûa caùnh tay maùy θ(t): goùc quay (vò trí) cuûa caùnh tay maùy ‘ Theo ñònh luaät Newton 2 (J + ml )θ&&(t) + Bθ&(t) + (ml + MlC )g cosθ = u(t) B (ml + Ml ) 1 ⇒ θ&&(t) = − θ&(t) − C g cosθ + u(t) (J + ml2 ) (J + ml2 ) (J + ml2 ) (heä phi tuyeán baäc 2) 8 May 2006 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 13
  14. Moâ taû heä phi tuyeán duøng phöông trình vi phaân – Thí duï 3 δ: goùc baùnh laùi ψ: höôùng chuyeån ñoäng Höôùng chuyeån ñoäng cuûa taøu δ(t) k: heä soá ψ(t) τi: heä soá ‘ Phöông trình vi phaân moâ taû ñaëc tính ñoäng hoïc heä thoáng laùi taøu  1 1   1  3  k  ψ&&&(t) = − + ψ&&(t) −  ()ψ& (t) +ψ&(t) +  ()τ 3δ&(t) + δ (t) τ1 τ 2  τ1τ 2  τ1τ 2  (heä phi tuyeán baäc 3) 8 May 2006 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 14
  15. Moâ taû toaùn hoïc heä phi tuyeán duøng phöông trình traïng thaùi ‘ Heä phi tuyeán lieân tuïc coù theå moâ taû baèng phöông trình traïng thaùi: x&(t) = f (x(t),u(t))  y(t) = h(x(t),u(t)) trong ñoù: u(t) laø tín hieäu vaøo, y(t) laø tín hieäu ra, x(t) laø vector traïng thaùi, T x(t) = [x1(t), x2(t), ,xn(t)] f(.), h(.) laø caùc haøm phi tuyeán 8 May 2006 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 15
  16. Moâ taû heä phi tuyeán duøng phöông trình traïng thaùi – Thí duï 1 ‘ PTVP: q in 1 u(t) y&(t) = (ku(t) − aCD 2gy(t)) A y(t) qout ‘ Ñaët bieán traïng thaùi: x1(t) = y(t) x&(t) = f (x(t),u(t)) ‘ PTTT:  y(t) = h(x(t),u(t)) trong ñoù: aC 2gx (t) k f (x,u) = − D 1 + u(t) A A h(x(t),u(t)) = x1(t) 8 May 2006 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 16
  17. Moâ taû heä phi tuyeán duøng phöông trình traïng thaùi – Thí duï 2 ‘ PTVP: B (ml + Ml ) 1 l θ&&(t) = − θ&(t) − C g cosθ + u(t) m (J + ml2 ) (J + ml2 ) (J + ml2 ) u θ x1(t) = θ (t) ‘ Ñaët bieán traïng thaùi:  x2 (t) = θ&(t) x&(t) = f (x(t),u(t)) ‘ PTTT:  y(t) = h(x(t),u(t)) trong ñoù: x2 (t)  f (x,u) =  (ml + MlC )g B 1  − 2 cos x1(t) − 2 x2 (t) + 2 u(t)  (J + ml ) (J + ml ) (J + ml )  h(x(t),u(t)) = x1(t) 8 May 2006 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 17
  18. Caùc phöông phaùp khaûo saùt heä phi tuyeán ‘ Khoâng coù phöông phaùp naøo coù theå aùp duïng hieäu quaû cho moïi heä phi tuyeán. ‘ Moân hoïc ñeà caäp ñeán moät soá phöông phaùp thöôøng duøng sau ñaây: Ž Phöông phaùp tuyeán tính hoùa Ž Phöông phaùp haøm moâ taû Ž Phöông phaùp Lyapunov 8 May 2006 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 18
  19. PhöôngPhöông phaùpphaùp tuyeántuyeán tínhtính hoùahoùa 8 May 2006 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 19
  20. Ñieåm döøng cuûa heä phi tuyeán x&(t) = f (x(t),u(t)) ‘ Xeùt heä phi tuyeán moâ taû bôûi PTTT phi tuyeán:  y(t) = h(x(t),u(t)) ‘ Ñieåm traïng thaùi x ñöôïc goïi laø ñieåm döøng cuûa heä phi tuyeán neáu nhö heä ñang ôû traïng thaùi x vaø vôùi taùc ñoäng ñieàu khieån u coá ñònh, khoâng ñoåi cho tröôùc thì heä seõ naèm nguyeân taïi traïng thaùi ñoù. ‘ Neáu ( x , u ) laø ñieåm döøng cuûa heä phi tuyeán thì: f (x(t),u(t)) 0 x=x,u=u = ‘ Ñieåm döøng coøn ñöôïc goïi laø ñieåm laøm vieäc tónh cuûa heä phi tuyeán 8 May 2006 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 20
  21. Ñieåm döøng cuûa heä phi tuyeán – Thí dụ  x&1(t) x1(t).x2 (t) + u ‘ Cho heä phi tuyeán moâ taû bôûi PTTT:   =   x&2 (t)  x1(t) + 2x2 (t) Xaùc ñònh ñieåm döøng cuûa heä thoáng khi u(t) = u =1 ‘ Giaûi: Ñieåm döøng laø nghieäm cuûa phöông trình: f (x(t),u(t)) 0 x=x,u=u = x1.x2 +1= 0 ⇔  x1 + 2x2 = 0 x = 2 x = − 2  1  1 ⇔  2 hoaëc  2 x = − x = +  2 2  2 2 8 May 2006 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 21
  22. Tuyeán tính hoùa heä phi tuyeán xung quanh ñieåm laøm vieäc tónh ‘ Xeùt heä phi tuyeán moâ taû bôûi PTTT phi tuyeán: x&(t) = f (x(t),u(t))  y(t) = h(x(t),u(t)) ‘ Khai trieån Taylor f(x,u) vaø h(x,u) xung quanh ñieåm laøm vieäc tónh (x,u) ta coù theå moâ taû heä thoáng baèng PTTT tuyeán tính: x~& (t) = Ax~(t) + Bu~(t) ~ ~ ~ (*) y(t) = Cx(t) + Du (t) ~ trong ñoù: x(t) = x(t) − x u~(t) = u(t) − u ~y(t) = y(t) − y (y = h(x,u)) 8 May 2006 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 22
  23. Tuyeán tính hoùa heä phi tuyeán xung quanh ñieåm laøm vieäc tónh ‘ Caùc ma traän traïng thaùi cuûa heä tuyeán tính quanh ñieåm laøm vieäc tónh ñöôïc tính nhö sau:  ∂f1 ∂f1 ∂f1   ∂f  L 1 ∂x ∂x ∂x   ∂u   1 2 n    ∂f ∂f ∂f ∂f2  2 2 2  B =   A = L  ∂u  ∂x1 ∂x2 ∂xn     M   M M O M  ∂fn  ∂fn ∂fn ∂fn    K   ∂u ( x,u ) ∂x1 ∂x2 ∂xn ( x,u )  ∂h ∂h ∂h  ∂h C = D =  K  ∂u  ∂x1 ∂x2 ∂xn ( x,u )  ( x,u ) 8 May 2006 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 23
  24. Tuyeán tính hoùa heä phi tuyeán – Thí duï 1 Thoâng soá heä boàn chöùa : 2 2 qin a =1cm , A =100cm u(t) 3 k =150cm /sec.V , CD = 0.8 y(t) q out g = 981cm/sec2 x&(t) = f (x(t),u(t)) ‘ PTTT:  y(t) = h(x(t),u(t)) trong ñoù: aC 2gx (t) k f (x,u) = − D 1 + u(t) = −0.3544 x (t) + 0.9465u(t) A A 1 h(x(t),u(t)) = x1(t) 8 May 2006 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 24
  25. Tuyeán tính hoùa heä phi tuyeán – Thí duï 1 (tt) Tuyeán tính hoùa heä boàn chöùa quanh ñieåm y = 20cm: ‘ Xaùc ñònh ñieåm laøm vieäc tónh: x1 = 20 f (x,u) = −0.3544 x1 +1.5u = 0 ⇒ u = 0.9465 8 May 2006 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 25
  26. Tuyeán tính hoùa heä phi tuyeán – Thí duï 1 (tt) ‘ Xaùc ñònh caùc ma traän traïng thaùi taïi ñieåm laøm vieäc tónh: ∂f aC 2g ∂f k A = 1 = − D = −0.0396 B = 1 = =1.5 ∂x 2A x ∂u A 1 ( x,u ) 1 ( x,u ) ( x,u ) ( x,u ) ∂h ∂h C = =1 D = = 0 ∂u ∂x1 ( x,u ) ( x,u ) ‘ Vaäy PTTT moâ taû heä boàn chöùa quanh ñieåm laøm vieäc y=20cm laø: ~x& (t) = −0.0396x~(t) +1.5u~(t) ~ ~ y(t) = x(t) aC 2gx (t) k f (x,u) = − D 1 + u(t) A A h(x(t),u(t)) = x1(t) 8 May 2006 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 26
  27. Tuyeán tính hoùa heä phi tuyeán – Thí duï 2 Thoâng soá caùnh tay maùy : l l = 0.5m, lC = 0.2m,m = 0.1kg m M = 0.5kg, J = 0.02kg.m2 u θ B = 0.005, g = 9.81m/sec2 x&(t) = f (x(t),u(t)) ‘ PTTT:  y(t) = h(x(t),u(t)) trong ñoù: x2 (t)  f (x,u) =  (ml + MlC )g B 1  − 2 cos x1(t) − 2 x2 (t) + 2 u(t)  (J + ml ) (J + ml ) (J + ml )  h(x(t),u(t)) = x1(t) 8 May 2006 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 27
  28. Tuyeán tính hoùa heä phi tuyeán – Thí duï 2 (tt) Tuyeán tính hoùa heä tay maùy quanh ñieåm laøm vieäc y = π/6 (rad): ‘ Xaùc ñònh ñieåm laøm vieäc tónh: x1 = π / 6 x2  x2 = 0 f (x,u) =  (ml + MlC )g B 1  = 0 ⇒  − 2 cos x1 − 2 x2 + 2 u  u =1.2744  (J + ml ) (J + ml ) (J + ml )  Do ñoù ñieåm laøm vieäc tónh caàn xaùc ñònh laø:  x1  π / 6 x =   =   x2   0  u =1.2744 8 May 2006 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 28
  29. Tuyeán tính hoùa heä phi tuyeán – Thí duï 2 (tt) ‘ Xaùc ñònh caùc ma traän traïng thaùi taïi ñieåm laøm vieäc tónh: a11 a12  A =   a21 a22  ∂f a = 1 = 0 ∂f1 11 a12 = =1 ∂x1 ( x,u ) ∂x2 ( x,u ) ∂f2 (ml + MlC ) a21 = = 2 sin x1(t) ∂x1 ( x,u ) (J + ml ) ( x,u ) ∂f2 B a22 = = − 2 ∂x2 ( x,u ) (J + ml ) ( x,u ) x2 (t)  f (x,u) =  (ml + MlC )g B 1  − 2 cos x1(t) − 2 x2 (t) + 2 u(t)  (J + ml ) (J + ml ) (J + ml )  8 May 2006 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 29
  30. Tuyeán tính hoùa heä phi tuyeán – Thí duï 2 (tt) ‘ Xaùc ñònh caùc ma traän traïng thaùi taïi ñieåm laøm vieäc tónh: b1  B =   b2  ∂f1 b1 = = 0 ∂u ( x,u ) ∂f2 1 b2 = = 2 ∂u ( x,u ) J + ml x2 (t)  f (x,u) =  (ml + MlC )g B 1  − 2 cos x1(t) − 2 x2 (t) + 2 u(t)  (J + ml ) (J + ml ) (J + ml )  8 May 2006 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 30
  31. Tuyeán tính hoùa heä phi tuyeán – Thí duï 2 (tt) ‘ Xaùc ñònh caùc ma traän traïng thaùi taïi ñieåm laøm vieäc tónh: ∂h ∂h c = = 0 C = []c1 c2 c1 = =1 2 ∂x2 ∂x1 ( x,u ) ( x,u ) ∂h D = d1 d1 = = 0 ∂u ( x,u ) x~& (t) = Ax~(t) + Bu~(t) ‘ Vaäy phöông trình traïng thaùi caàn tìm laø: ~ ~ ~ y(t) = Cx(t) + Du (t)  0 1   0  A =   B =   C = [1 0] D = 0 a21 a22  b2  h(x,u) = x1(t) 8 May 2006 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 31
  32. Ñieàu khieån oån ñònh hoùa heä phi tuyeán quanh ñieåm laøm vieäc tónh ‘ Ñöa heä phi tuyeán veà mieàn xung quanh ñieåm laøm vieäc tónh (ñôn giaûn nhaát coù theå duøng boä ñieàu khieån ON-OFF) ‘ Xung quanh ñieåm laøm vieäc, duøng boä ñieàu khieån kinh ñieån thieát keá döïa vaøo moâ hình tuyeán tính (phoå bieán nhaát laø boä ñieàu khieån PID). PID r(t) e(t) u(t) Ñoái töôïng y(t) + − phi tuyeán ON-OFF Choïn boä ÑK 8 May 2006 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 32
  33. Ñieàu khieån oån ñònh hoùa heä phi tuyeán quanh ñieåm laøm vieäc tónh PID r(t) e(t) u(t) Ñoái töôïng y(t) + − phi tuyeán ON-OFF Choïn boä ÑK ‘ Thuaät toaùn choïn boä ñieàu khieån: Neáu e(t) > emax hoaëc e(t) < emin choïn boä ñieàu khieån ON - OFF  Neáu emin ≤ e(t) ≤ emax choïn boä ñieàu khieån PID 8 May 2006 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 33
  34. Ñieàu khieån oån ñònh hoùa heä phi tuyeán quanh ñieåm laøm vieäc tónh PID r(t) e(t) u(t) Ñoái töôïng y(t) + − phi tuyeán ON-OFF Choïn boä ÑK ‘ Thuaät toaùn ñieàu khieån ON-OFF: Neáu e(t) > emax thì u(t) = umax  Neáu e(t) < emin thì u(t) = umin 8 May 2006 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 34
  35. Ñieàu khieån oån ñònh hoùa heä phi tuyeán quanh ñieåm laøm vieäc tónh PID r(t) e(t) u(t) Ñoái töôïng y(t) + − phi tuyeán ON-OFF Choïn boä ÑK ‘ Thuaät toaùn ñieàu khieån PID: t de(t) u(t) = KPe(t) + KI ∫e(τ )dτ + KD 0 dt 8 May 2006 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 35
  36. PhöôngPhöông phaùpphaùp haømhaøm moâmoâ taûtaû (Phöông(Phöông phaùpphaùp tuyeántuyeán tínhtính hoùahoùa ñieàuñieàu hoøa)hoøa) 8 May 2006 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 36
  37. Phöông phaùp haøm moâ taû ‘ Phöông phaùp haøm moâ taû môû roäng gaàn ñuùng haøm truyeàn ñaït cuûa heä tuyeán tính sang heä phi tuyeán. ‘ Phöông phaùp haøm moâ taû laø phöông phaùp khaûo saùt trong mieàn taàn soá coù theå aùp duïng cho caùc heä phi tuyeán baäc cao (n>2) do deã thöïc hieän vaø töông ñoái gioáng tieâu chuaån Nyquist. ‘ Chæ aùp duïng ñöôïc ñeå khaûo saùt cheá ñoä dao ñoäng trong heä phi tuyeán goàm coù khaâu phi tuyeán noái tieáp vôùi khaâu tuyeán tính theo sô ñoà khoái nhö sau: 8 May 2006 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 37
  38. Ñaùp öùng cuûa heä phi tuyeán khi tín hieäu vaøo hình sin e(t) = M sin(ωt) u(t) = u1(t) + u2 (t) + y(t) ≈ Y1 sin(ωt +ϕ1) ‘ Ñeå khaûo khaû naêng toàn taïi dao ñoäng tuaàn hoaøn khoâng taét trong heä, ôû ñaàu vaøo khaâu phi tuyeán ta cho taùc ñoäng soùng ñieàu hoøa: e(t) = M sin(ωt) ‘ Tín hieäu ra khaâu phi tuyeán khoâng phaûi laø tín hieäu hình sin. Phaân tích Fourier ta thaáy u(t) chöùa thaønh phaàn taàn soá cô baûn ω vaø caùc thaønh phaàn haøi baäc cao 2ω, 3ω ∞ A0 u(t) = + ∑[Ak sin(kωt) + Bk cos(kωt)] 2 k=1 8 May 2006 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 38
  39. Ñaùp öùng cuûa heä phi tuyeán khi tín hieäu vaøo hình sin Caùc heä soá Fourier xaùc ñònh theo caùc coâng thöùc sau: 1 π A0 = ∫u(t)d(ωt) π −π 1 π Ak = ∫u(t)sin(kωt)d(ωt) π −π 1 π Bk = ∫u(t)cos(nωt)d(ωt) π −π ‘ Giaû thieát G(s) laø boä loïc thoâng thaáp, caùc thaønh phaàn haøi baäc cao ôû ngoõ ra cuûa khaâu tuyeán tính khoâng ñaùng keå so vôùi thaønh phaàn taàn soá cô baûn, khi ñoù tín hieäu ra cuûa khaâu tuyeán tính gaàn ñuùng baèng: y(t) ≈ Y1 sin(ωt +ϕ1) 8 May 2006 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 39
  40. Ñieàu kieän coù dao ñoäng oån ñònh trong heä phi tuyeán e(t) = M sin(ωt) u(t) = u1(t) + u2 (t) + y(t) ≈ Y1 sin(ωt +ϕ1) ‘ Ñieàu kieän ñeå trong heä coù dao ñoäng oån ñònh vôùi taàn soá ω laø: M sin(ωt) = e(t) = −y(t) ≈ −Y1 sin(ωt +ϕ1) ‘ Suy ra: Y1 = M Phöông trình caân baèng bieân ñoä  ϕ1 = π Phöông trình caân baèng pha 8 May 2006 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 40
  41. Khaùi nieäm haøm moâ taû ‘ Xeùt khaâu phi tuyeán : ‘ Do khi tín hieäu vaøo cuûa khaâu phi tuyeán laø tín hieäu hình sin: e(t) = M sin(ωt) tín hieäu ra u(t) xaáp xæ thaønh phaàn taàn soá cô baûn (do ta boû qua caùc thaønh phaàn haøi baäc cao) u(t) ≈ u1(t) = A1 sin(ωt) + B1 cos(ωt) neân ta coù theå coi khaâu phi tuyeán nhö laø moät khaâu khueách ñaïi coù heä soá khueách ñaïi laø: A + jB N(M ) = 1 1 M ‘ Toång quaùt N(M) laø moät haøm phöùc neân ta goïi laø heä soá khueách ñaïi phöùc cuûa khaâu phi tuyeán. Vì quan heä vaøo ra cuûa khaâu phi tuyeán coù theå moâ taû gaàn ñuùng baèng heä soá khueách ñaïi phöùc N(M) neân N(M) coøn ñöôïc goïi laø haøm moâ taû cuûa khaâu phi tuyeán. 8 May 2006 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 41
  42. Ñònh nghóa haøm moâ taû ‘ Haøm moâ taû (hay coøn goïi laø heä soá khueách ñaïi phöùc) laø tæ soá giöõa thaønh phaàn soùng haøi cô baûn cuûa tín hieäu ra cuûa khaâu phi tuyeán vaø tín hieäu vaøo hình sin. A + jB N(M ) = 1 1 M 1 π 1 π A = u(t)sin(ωt)d(ωt) B = u(t)cos(ωt)d(ωt) 1 π ∫ 1 ∫ −π π −π ‘ Trong caùc coâng thöùc treân u(t) laø tín hieäu ra cuûa khaâu phi tuyeán khi tín hieäu vaøo laø Msin(ωt). Neáu u(t) laø haøm leû thì: 2 π A1 = ∫u(t)sin(ωt)d(ωt) B1 = 0 π 0 8 May 2006 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 42
  43. Haøm moâ taû cuûa caùc khaâu phi tuyeán cô baûn Khaâu relay 2 vò trí 8 May 2006 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 43
  44. Haøm moâ taû cuûa caùc khaâu phi tuyeán cô baûn Khaâu relay 2 vò trí (tt) Do u(t) laø haøm leû neân: π π π 2 2 2Vm 4Vm A1 = ∫u(t)sin(ωt)d(ωt) = ∫Vm sin(ωt)d(ωt) = cos(ωt) = π 0 π 0 π ωt=0 π B1 = 0 Do ñoù haøm moâ taû cuûa khaâu relay 2 vò trí laø: A + jB 4V N(M ) = 1 1 = m M πM 8 May 2006 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 44
  45. Haøm moâ taû cuûa caùc khaâu phi tuyeán cô baûn Khaâu relay 3 vò trí 8 May 2006 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 45
  46. Haøm moâ taû cuûa caùc khaâu phi tuyeán cô baûn Khaâu relay 3 vò trí Do u(t) laø haøm leû neân B1 = 0 π π −α π −α 2 2 2Vm 4Vm A1 = ∫u(t)sin(ωt)d(ωt) = ∫Vm sin(ωt)d(ωt) = cos(ωt) = cosα π 0 π α π ωt=α π D D2 Theo ñoà thò ta coù: D = M sinα ⇒ sinα = ⇒ cosα = 1− M M 2 2 4Vm D ⇒ A1 = 1− π M 2 Do ñoù haøm moâ taû cuûa khaâu relay 3 vò trí laø: A + jB 4V D2 N(M ) = 1 1 = m 1− M πM M 2 8 May 2006 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 46
  47. Haøm moâ taû cuûa caùc khaâu phi tuyeán cô baûn Khaâu khueáách ñaïïi baõo hoøøa 8 May 2006 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 47
  48. Haøm moâ taû cuûa caùc khaâu phi tuyeán cô baûn Khaâu khueáách ñaïïi baõo hoøøa (tt) Do u(t) laø haøm leû neân B1 = 0 2 π 4 π / 2 A1 = ∫u(t)sin(ωt)d(ωt) = ∫u(t)sin(ωt)d(ωt) π 0 π 0 α π / 2 4  VmM 2  = ∫ sin (ωt)d(ωt) + ∫Vm sin(ωt)d(ωt) π 0 D α  α π / 2 4 VmM  sin(2ωt)   =  ωt −  −Vm cos(ωt)d(ωt)  π  2D  2  ωt=0 ωt=α  4 VmM  sin(2α)   M Vm  =  α −  +Vm cosα  =  ()2α + sin(2α)  π  2D  2   π  D  Do ñoù haøm moâ taû cuûa khaâu khueách ñaïi baõo hoøa laø: A + jB V  D  N(M ) = 1 1 = m []2α + sin(2α) sinα =  M πD  M  8 May 2006 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 48
  49. Haøm moâ taû cuûa caùc khaâu phi tuyeán cô baûn Khaâu khueáách ñaïïi coùù vuøøng cheátá 8 May 2006 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 49
  50. Haøm moâ taû cuûa caùc khaâu phi tuyeán cô baûn Khaâu khueáách ñaïïi coùù vuøøng cheátá (tt) Do u(t) laø haøm leû neân B1 = 0 2 π 4 π / 2 = K[M sin(ωt) − D]sin(ωt)d(ωt) A1 = ∫u(t)sin(ωt)d(ωt) ∫ π 0 π α π / 2 4KM  sin(2ωt)  D  = ωt −  + cos(ωt) π  2  M α  2α + sin(2α)  = KM 1−   π  Do ñoù haøm moâ taû cuûa khaâu khueách ñaïi coù vuøng cheát laø: A + jB  2α + sin 2α   D  N(M ) = 1 1 = K1−  sinα =  M  π   M  8 May 2006 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 50
  51. Haøm moâ taû cuûa caùc khaâu phi tuyeán cô baûn Khaâu relay 2 vò trí coùù treåå 8 May 2006 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 51
  52. Haøm moâ taû cuûa caùc khaâu phi tuyeán cô baûn Khaâu relay 2 vò trí coùù treåå (tt) 2π +α π +α 1 2 4Vm A1 = ∫u(t)sin(ωt)d(ωt) = ∫Vm sin(ωt)d(ωt) = cosα π α π α π 1 2π +α 2 π +α 4V B = u(t)cos(ωt)d(ωt) m 1 ∫ = ∫Vm cos(ωt)d(ωt) = − sinα π α π α π Do ñoù haøm moâ taû cuûa khaâu relay 2 vò trí coù treå laø: A + jB 4V  D  N(M ) = 1 1 = m (cosα − j sinα) sinα =  M πM  M  8 May 2006 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 52
  53. Khaûo saùt cheá ñoä dao ñoäng ñeàu hoøa trong heä phi tuyeán ‘ Xeùt heä phi tuyeán coù sô ñoà nhö sau: ‘ Phöông trình ñaëc tröng cuûa heä thoáng laø: 1 1+ N(M )G( jω) = 0 ⇔ G( jω) = − (*) N(M ) ‘ Phöông trình treân ñöôïc goïi laø phöông trình caân baèng ñieàu hoøa. Phöông trình naøy seõ ñöôïc duøng ñeå xaùc ñònh bieân ñoä vaø taàn soá cuûa dao ñoäng ñieàu hoøa trong heä phi tuyeán. ‘ Neáu (M*, ω*) laø nghieäm cuûa phöông trình (*) thì trong heä phi tuyeán coù dao ñoäng vôùi taàn soá ω* , bieân ñoä M*. 8 May 2006 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 53
  54. Khaûo saùt cheá ñoä dao ñoäng ñeàu hoøa trong heä phi tuyeán (tt) ‘ Veà maët hình hoïc, nghieäm (M*, ω*) laø nghieäm cuûa phöông trình (*) chính laø giao ñieåm cuûa ñöôøng cong Nyquist G(jω) cuûa khaâu tuyeán tính vaø ñöôøng ñaëc tính −1/N(M) cuûa khaâu phi tuyeán. ‘ Dao ñoäng trong heä phi tuyeán laø oån ñònh neáu ñi theo chieàu taêng cuûa ñaëc tính − 1/N(M) cuûa khaâu phi tuyeán, chuyeån töø vuøng khoâng oån ñònh sang vuøng oån ñònh cuûa khaâu tuyeán tính G(jω) . 8 May 2006 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 54
  55. Trình töï khaûo saùt cheá ñoä dao ñoäng trong heä phi tuyeán B1: Xaùc ñònh haøm moâ taû cuûa khaâu phi tuyeán (neáu khaâu phi tuyeán khoâng phaûi laø caùc khaâu cô baûn). B2: Ñieàu kieän toàn taïi dao ñoäng trong heä: ñöôøng cong Nyquist G(jω) vaø ñöôøng ñaëc tính −1/N(M) phaûi caét nhau. B3: Bieân ñoä, taàn soá dao ñoäng (neáu coù) laø nghieäm cuûa phöông trình: 1 G( jω) = − (*) N(M ) Neáu N(M) laø haøm thöïc thì: • Taàn soá dao ñoäng chính laø taàn soá caét pha ω−π cuûa khaâu tuyeán tính G(jω). ∠G( jω−π ) = −π • Bieân ñoä dao ñoäng laø nghieäm cuûa phöông trình: 1 = G( jω ) N(M ) −π 8 May 2006 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 55
  56. Khaûo saùt cheá ñoä dao ñoäng trong heä phi tuyeán - Thí duï 1 ‘ Xeùt heä phi tuyeán coù sô ñoà nhö sau: Haøm truyeàn cuûa khaâu tuyeán tính laø 10 G(s) = f(e) s(0.2s +1)(2s +1) Vm e Khaâu phi tuyeán laø khaâu relay 2 vò trí coù Vm=6. −Vm Haõy xaùc ñònh bieân ñoä vaø taàn soá dao ñoäng töï kích trong heä (neáu coù). 8 May 2006 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 56
  57. Khaûo saùt cheá ñoä dao ñoäng trong heä phi tuyeán - Thí duï 1 Lôøi giaûi 4Vm ‘ Haøm moâ taû cuûa khaâu relay 2 vò trí laø: N(M ) = πM ‘ Do ñöôøng cong Nyquist G(jω) vaø ñöôøng ñaëc tính −1/N(M) luoân luoân caét nhau (xem hình veõ) neân trong heä phi tuyeán luoân luoân coù dao ñoäng. 8 May 2006 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 57
  58. Khaûo saùt cheá ñoä dao ñoäng trong heä phi tuyeán - Thí duï 1 ‘ Taàn soá dao ñoäng laø taàn soá caét pha cuûa G(jω) :  10  ∠G( jω−π ) = arg  = −π  jω−π (0.2 jω−π +1)(2 jω−π +1) π π ⇔ − − arctan(0.2ω) − arctan(2ω) = −π ⇔ arctan(0.2ω) + arctan(2ω) = 2 2 (0.2ω−π ) + (2ω−π ) ⇔ = ∞ ⇔ 1− (0.2ω−π ).(2ω−π ) = 0 ⇔ ω−π = 1.58 (rad /sec) 1− (0.2ω−π ).(2ω−π ) ‘ Bieân ñoä dao ñoäng laø nghieäm cuûa phöông trình: 1 10 = G( jω−π ) = = 1.82 N(M ) 1.58 1+ (0.2×1.58)2 1+ (2×1.58)2 πM ⇒ = 1.82 ⇒ M = 13.90 4Vm ‘ Keát luaän: Trong heä phi tuyeán coù dao ñoäng y(t) =13.90sin(1.58t) 8 May 2006 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 58
  59. Khaûo saùt cheá ñoä dao ñoäng trong heä phi tuyeán - Thí duï 2 ‘ Xeùt heä phi tuyeán coù sô ñoà nhö sau: Haøm truyeàn cuûa khaâu tuyeán tính laø 10 f(e) G(s) = s(0.2s +1)(2s +1) Vm Khaâu phi tuyeán laø khaâu relay 3 vò trí. −D e 1. Haõy tìm ñieàu kieän ñeå trong heä D phi tuyeán coù dao ñoäng. −Vm 2. Haõy xaùc ñònh bieân ñoä vaø taàn soá dao ñoäng khi Vm=6, D=0.1. 8 May 2006 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 59
  60. Khaûo saùt cheá ñoä dao ñoäng trong heä phi tuyeán - Thí duï 2 Lôøi giaûi 4V D2 ‘ Haøm moâ taû cuûa khaâu relay 3 vò trí laø: N(M ) = m 1− πM M 2 ‘ Ñieàu kieän ñeå trong heä thoáng coù dao ñoäng laø ñöôøng cong Nyquist G(jω) vaø ñöôøng ñaëc tính −1/N(M) phaûi caét nhau. Ñieàu naøy xaûy ra khi: 1 − ≤ G( jω ) N(M ) −π 8 May 2006 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 60
  61. Khaûo saùt cheá ñoä dao ñoäng trong heä phi tuyeán - Thí duï 2 ‘ Taàn soá caét pha cuûa G(jω) (xem caùch tính ôû thí duï 1) ω−π = 1.58 (rad / sec) ‘ Ñeå dao ñoäng xaûy ra ta phaûi coù ñieàu kieän: 1 10 − ≤ G( jω−π ) = = 1.82 N(M ) 1.58 1+ (0.2×1.58)2 1+ (2×1.58)2 ⇒ N(M ) ≥ 0.55 (*) ‘ Theo baát ñaúng thöùc Cauchy 2  2  4V D2 2V  D   D2  2V N(M ) = m 1− ≤ m   +  1−   = m πM M 2 πD  M   M 2   πD     8 May 2006 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 61
  62. Khaûo saùt cheá ñoä dao ñoäng trong heä phi tuyeán - Thí duï 2 ‘ Do ñoù ñieàu kieän (*) ñöôïc thoûa maõn khi: 2V V m ≥ 0.55 ⇔ m ≥ 0.864 πD D V ‘ Vaäy ñieàu kieän ñeå trong heä coù dao ñoäng töï kích laø: m ≥ 0.864 D ‘ Bieân ñoä dao ñoäng laø nghieäm cuûa phöông trình: 1 4V D2 − = G( jω ) =1.82 ⇔ N(M ) = 0.55 ⇔ m 1− = 0.55 N(M ) −π πM M 2 ‘ Khi Vm=6, D=0.1, giaûi phöông trình treân ta ñöôïc: M = 13.90 ‘ Vaäy dao ñoäng trong heä laø: y(t) = 13.90sin(1.58t) 8 May 2006 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 62
  63. PhöôngPhöông phaùpphaùp LyapunovLyapunov 8 May 2006 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 63
  64. Phöông phaùp Lyapunov Giôùi thieäu ‘ Phöông phaùp Lyapunov cung caáp ñieàu kieän ñuû ñeå ñaùnh giaù tính oån ñònh cuûa heä phi tuyeán. ‘ Coù theå aùp duïng cho heä phi tuyeán baäc cao baát kyø. ‘ Coù theå duøng phöông phaùp Lyapunov ñeå thieát keá caùc boä ñieàu khieån phi tuyeán. ‘ Hieän nay phöông phaùp Lyapunov laø phöông phaùp ñöôïc söû duïng roäng raõi nhaát ñeå phaân tích vaø thieát keá heä phi tuyeán. 8 May 2006 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 64
  65. Ñieåm caân baèng cuûa heä phi tuyeán ‘ Xeùt heä phi tuyeán moâ taû bôûi phöông trình traïng thaùi sau: x& = f (x,u) ‘ Moät ñieåm traïng thaùi xe ñöôïc goïi laø ñieåm caân baèng neáu nhö heä ñang ôû traïng thaùi xe vaø khoâng coù taùc ñoäng naøo töø beân ngoaøi thì heä seõ naèm nguyeân taïi ñoù. ‘ Deã thaáy ñieåm caân baèng phaûi laø nghieäm cuûa phöông trình: x = f (x,u) = 0 & x=xe ,u=0 ‘ Heä phi tuyeán coù theå coù nhieàu ñieåm caân baèng hoaëc khoâng coù ñieåm caân baèng naøo. Ñieàu naøy hoaøn toaøn khaùc so vôùi heä tuyeán tính , heä tuyeán tính luoân luoân coù 1 ñieåm caân baèng laø xe = 0. 8 May 2006 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 65
  66. Ñieåm caân baèng cuûa heä phi tuyeán – Thí dụ ‘ Xeùt heä con laéc moâ taû bôûi PTVP: u ml 2θ (t) + Bθ (t) + mgl sinθ = u(t) l && & θ ‘ Xaùc ñònh caùc ñieåm caân baèng (neáu coù) − + m 0 x1(t) = θ (t) ‘ Thaønh laäp PTTT. Ñaët:  x2 (t) = θ&(t) ‘ PTTT moâ taû heä con laéc laø: x&(t) = f (x(t),u(t)) x2 (t)  trong ñoù: f (x,u) =  g B 1  − sin x1(t) − x2 (t) + u(t)  l ml 2 ml 2  8 May 2006 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 66
  67. Ñieåm caân baèng cuûa heä phi tuyeán – Thí dụ ‘ Ñieåm caân baèng phaûi laø nghieäm cuûa phöông trình: x = f (x,u) = 0 & x=xe ,u=0 x = 0  2e 2kπ  ⇒ g B  xe =   − sin x1e − x2e = 0 0  l ml 2   x2e = 0 ⇒  x1e = kπ ‘ Keát luaän: Heä con laéc coù voâ soá ñieåm caân baèng: (2k +1)π  xe =   x2 (t)  0  kπ  f (x,u) =  g B 1  xe =   − sin x1(t) − x2 (t) + u(t)  0   l ml 2 ml 2  8 May 2006 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 67
  68. OÅn ñònh taïi ñieåm caân baèng ‘ Ñònh nghóa: Moät heä thoáng ñöôïc goïi laø oån ñònh taïi ñieåm caân baèng xe neáu nhö coù moät taùc ñoäng töùc thôøi ñaùnh baät heä ra khoûi xe vaø ñöa ñeán ñieåm ñöôïc x0 thuoäc laân caän naøo ñoù cuûa xe thì sau ñoù heä coù khaû naêng töï quay ñöôïc veà ñieåm caân baèng xe ban ñaàu. Chuù yù: tính oån ñònh cuûa heä phi tuyeán chæ coù nghóa khi ñi cuøng vôùi ñieåm caân baèng. Coù theå heä oån ñònh taïi ñieåm caân baèng naøy nhöng khoâng oån ñònh taïi ñieåm caân baèng khaùc. ‘ Thí duï: Ñieåm caân baèng oån ñònh Ñieåm caân baèng khoâng oån ñònh 8 May 2006 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 68
  69. OÅÅn ñònh Lyapunov ‘ Cho heä phi tuyeán khoâng kích thích moâ taû bôûi PTTT: x& = f (x,u) u=0 (1) Giaû söû heä thoáng coù ñieåm caân baèng xe = 0. ‘ Heä thoáng ñöôïc goïi laø oån ñònh Lyapunov taïi ñieåm caân baèng xe = 0 neáu vôùi ε > 0 baát kyø bao giôø cuõng toàn taïi δ phuï thuoäc ε sao cho nghieäm x(t) cuûa phöông trình (1) vôùi ñieàu kieän ñaàu x(0) thoûa maõn: x(0) < δ ⇒ x(t) < ε,∀t ≥ 0 8 May 2006 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 69
  70. OÅÅn ñònh tieääm caään Lyapunov ‘ Cho heä phi tuyeán khoâng kích thích moâ taû bôûi PTTT: x& = f (x,u) u=0 (1) Giaû söû heä thoáng coù ñieåm caân baèng xe = 0. ‘ Heä thoáng ñöôïc goïi laø oån ñònh tieäm caän Lyapunov taïi ñieåm caân baèng xe = 0 neáu vôùi ε > 0 baát kyø bao giôø cuõng toàn taïi δ phuï thuoäc ε sao cho nghieäm x(t) cuûa phöông trình (1) vôùi ñieàu kieän ñaàu x(0) thoûa maõn: x(0) < δ ⇒ lim x(t) = 0 t→∞ 8 May 2006 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 70
  71. So saùnhù oåån ñònh Lyapunov vaøø oåån ñònh tieääm caänä Lyapunov OÅn ñònh Lyapunov OÅn ñònh tieäm caän Lyapunov 8 May 2006 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 71
  72. Phöông phaùp tuyeán tính hoùa Lyapunov ‘ Cho heä phi tuyeán phöông trình traïng thaùi: x& = f (x,u) (1) Giaû söû xung quanh ñieåm caân baèng xe , heä thoáng (1) coù theå tuyeán tính hoùa veà daïng: ~x& = A~x + Bu~ (2) ‘ Ñònh lyù: Ž Neáu heä thoáng tuyeán tính hoùa (2) oån ñònh thì heä phi tuyeán (1) oån ñònh tieäm caän taïi ñieåm caân baèng xe. Ž Neáu heä thoáng tuyeán tính hoùa (2) khoâng oån ñònh thì heä phi tuyeán (1) khoâng oån ñònh taïi ñieåm caân baèng xe. Ž Neáu heä thoáng tuyeán tính hoùa (2) ôû bieân giôùi oån ñònh thì khoâng keát luaän ñöôïc gì veà tính oån ñònh cuûa heä phi tuyeán taïi ñieåm caân baèng xe. 8 May 2006 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 72
  73. Phöông phaùp tuyeán tính hoùa Lyapunov – Thí dụ ‘ Xeùt heä con laéc moâ taû bôûi PTTT: u x&(t) = f (x(t),u(t)) l θ trong ñoù: x2 (t)    m f (x,u) = g B 1 − + − sin x1(t) − 2 x2 (t) + 2 u(t) 0  l ml ml  ‘ Xeùt tính oån ñònh cuûa heä thoáng taïi ñieåm caân baèng: 0 π (a) x =   e   (b) xe =   0 0 8 May 2006 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 73
  74. Phöông phaùp tuyeán tính hoùa Lyapunov – Thí dụ (tt) T ‘ Moâ hình tuyeán tính quanh ñieåm caân baèng xe = [0 0] x~& = A~x + Bu~ ∂f ∂f a = 1 = 0 a = 1 =1 11 12 ∂x ∂x1 ( x=0,u=0) 2 ( x=0,u =0) ∂f g g ∂f B a = 2 = − cos x (t) = − a = 2 = − 21 1 22 ∂x ml 2 ∂x1 ( x=0,u=0) l ( x=0,u=0) l 2 ( x=0,u=0)  0 1  ⇒ A =  g B  − −  l ml 2   s −1  2 B g ⇒ PTÑT det(sI − A) = det g B  =x02 (t) s + s + = 0  s + ⇔ ml 2 l  l f (xml,u)2 =  g B 1  − sin x1(t) − x2 (t) + u(t) l ml 2 ml 2 Keát luaän: Heä thoáng oån ñònh (theo heä quaû tieâu chuaån Hurwitz)  8 May 2006 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 74
  75. Phöông phaùp tuyeán tính hoùa Lyapunov – Thí dụ (tt) T ‘ Moâ hình tuyeán tính quanh ñieåm caân baèng xe = [π 0] x~& = A~x + Bu~ ∂f ∂f1 a = 1 =1 a11 = = 0 12 π ∂x π  ∂x1   2 ( x= ,u=0) ( x=  ,u=0)   0   0  ∂f2 g g ∂f2 B a21 = = − cos x1(t) = a22 = = − 2 π π  π  ∂x1   l ( x= ,u=0) l ∂x2 ml ( x=  ,u=0)   ( x=  ,u=0) 0   0   0   0 1  ⇒ A =  g B  −  l ml 2   s −1  2 B g ⇒ PTÑT det(sI − A) = det g B =x02 (t) s + s − = 0  − s + ⇔ ml 2 l  l f (x,mlu)2= g B 1  − sin x1(t) − x2 (t) + u(t) l 2 2 Keát luaän: Heä thoáng khoâng oån ñònh (PTÑT khoâng thoûaml ñieàu kieänml caàn) 8 May 2006 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 75
  76. Phöông phaùp tröïc tieáp Lyapunov – Ñònh lyù oån ñònh ‘ Ñònh lyù oån ñònh Lyapunov: Cho heä phi tuyeán khoâng kích thích moâ taû bôûi phöông trình traïng thaùi: x& = f (x,u) u=0 (1) Giaû söû heä thoáng coù ñieåm caân baèng xe = 0. Neáu toàn taïi haøm V(x) sao cho: i) V (x) ≥ 0, ∀x ii) V (0) = 0 iii) V&(x) < 0, ∀x ≠ 0 Thì heä thoáng (1) oån ñònh Lyapunov taïi ñieåm 0. Chuù yù: Haøm V(x) thöôøng ñöôïc choïn laø haøm toaøn phöông theo bieán traïng thaùi. 8 May 2006 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 76
  77. Phöông phaùp tröïc tieáp Lyapunov – Ñònh lyù khoâng oån ñònh ‘ Ñònh lyù khoâng oån ñònh: Cho heä phi tuyeán khoâng kích thích moâ taû bôûi phöông trình traïng thaùi: x& = f (x,u) u=0 (1) Giaû söû heä thoáng coù ñieåm caân baèng xe = 0. Neáu toàn taïi haøm V(x) sao cho: i) V (x) ≥ 0, ∀x ii) V (0) = 0 iii) V&(x) > 0, ∀x ≠ 0 Thì heä thoáng (1) khoâng oån ñònh taïi ñieåm 0. 8 May 2006 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 77