Bài giảng Kỹ thuật điều khiển tự động

102 trang phuongnguyen 200

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Kỹ thuật điều khiển tự động", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

bai_giang_ky_thuat_dieu_khien_tu_dong.doc

Nội dung text: Bài giảng Kỹ thuật điều khiển tự động

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KỸ THUẬT CÔNG NGHIỆP KHOA CƠ KHÍ BỘ MÔN: CHẾ TẠO MÁY BÀI GIẢNG PHÁT CHO SINH VIÊN (LƯU HÀNH NỘI BỘ) Theo chương trình 150 TC hay 180 TC hoặc tương đương Sử dụng cho năm học 2008 - 2009 Tên bài giảng: Kỹ thuật điều khiển tự động Số tín chỉ: 3 Thái Nguyên, năm 2008
Tên các tác giả:
BÀI GIẢNG PHÁT CHO SINH VIÊN (LƯU HÀNH NỘI BỘ) Theo chương trình 150 TC hay 180 TC hoặc tương đương Sử dụng cho năm học: 2008 - 2009 Tên bài giảng: Kỹ thuật điều khiển tự động Số tín chỉ: 3 Thái Nguyên, ngày . tháng năm 200 Trưởng bộ môn Trưởng khoa (ký và ghi rõ họ tên) (ký và ghi rõ họ tên)
MỤC LỤC I. Phần 1: Phần lý thuyết Chương 1. CÁC VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG 1.1 Các nội dung cơ bản 1.2 Mô hình diễn tả hệ thống điều khiển 1.3 Mô tả toán học các phần tử điều khiển cơ bản 1.4 Phân loại hệ thống điều khiển 1.4.1. Hệ thống điều khiển hở và hệ thống điều khiển kín. 1.4.2. Hệ thống điều khiển liên tục và gián đoạn 1.5 Tuyến tính hóa các hệ thống phi tuyến 1.6 Ứng dụng MatLab Chương 2. HÀM TRUYỀN ĐẠT 2.1 Hàm truyền đạt 2.2 Sơ đồ khối - Đại số sơ đồ khối 2.3 Graph tín hiệu và qui tắc Mason 2.4. Các hệ thống lấy mẫu dữ liệu 2.5 Hàm truyền đạt của hệ thống rời rạc 2.6 Ứng dụng MatLab Chương 3. KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI. 3.1 Các mô hình không gian trạng thái. 3.2 Mô hình không gian trạng thái và các phương trình vi phân 3.3 Xác định biến trạng thái từ hàm truyền 3.4 Xác định hàm đáp ứng từ phương trình trạng thái 3.5 Ứng dụng MatLab Chương 4. ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN TUYẾN TÍNH. 4.1 Khái niệm chung 4.2 Khái niệm ổn định và các định nghĩa chính 4.3 Trị riêng và tính ổn định của hệ thống 4.4 Các tiêu chuẩn ổn định 4.5 Ứng dụng MatLab Chương 5. TÍNH ĐIỀU KHIỂN VÀ QUAN SÁT ĐƯỢC CỦA HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN.
5.1 Tính điều khiển được của các hệ thống liên tục. 5.2 Tính quan sát được của các hệ thống liên tục. 5.3 Tính điều khiển được của các hệ thống gián đoạn. 5.4 Tính quan sát được của các hệ thống gián đoạn. 5.5Ứng dụng MATLAB. Chương 6. THIẾT KẾ HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN. 6.1 Mở đầu. 6.2 Các khâu động học của hệ thống điều khiển. Chương 7. THIẾT KẾ HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN BẰNG THUỶ LỰC. 7.1. Các phần tử cơ bản 7.1.1. Bơm dầu. 7.1.2. Van tràn, van an toàn. 7.1.3. Van giảm áp 7.1.4. Bộ điều chỉnh và ổn định tốc độ. 7.1.5. Van điều khiển. 7.1.6. Cơ cấu chấp hành.
I. Phần 1: Phần lý thuyết I.1. Yêu cầu đối với sinh viên - Mục tiêu: Nội dung cơ bản của hệ thống điều khiển tự động, Phân tích và tổng hợp được một hệ thống điều khiển. - Nhiệm vụ của sinh viên: Dự học lý thuyết: đầy đủ Thảo luận: đầy đủ. - Đánh giá: Chấm điểm Thảo luận : 20% Kiểm tra giữa kỳ: 20% Thi kết thúc học phần : 60% I.2. Các nội dung cụ thể
Chương 1 CÁC VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG 1.1- Các nội dung cơ bản của hệ thống điều khiển. * Điều khiển: Là tác động lên đối tượng để đối tượng làm việc theo một mục đích nào đó. * Hệ thống điều khiển: Là một tập hợp các thành phần vật lý có liên hệ tác động qua lại với nhau để chỉ huy hoặc hiệu chỉnh bản thân đối tượng hay một hệ thống khác. * Xung quanh ta có rất nhiều hệ thống điều khiển nhưng có thể phân chia thành 3 dạng hệ thống điều khiển cơ bản. - Hệ thống điều khiển nhân tạo. - Hệ thống điều khiển tự nhiên (bao gồm điều khiển sinh vật). - Hệ thống điều khiển tự nhiên và nhân tạo. Trong các hệ thống đó đối tượng điều khiển có thể là hệ thống vật lý, thiết bị kỹ thuật, cơ chế sinh vật, hệ thống kinh tế, quá trình v.v đối tượng nghiên cứu là các thiết bị kỹ thuật gọi là điều khiển học kỹ thuật. Mỗi hệ thống (hoặc phần tử của hệ thống) kỹ thuật, đều chịu tác động của bên ngoài và cho ta các đáp ứng. Gọi tác động vào là đầu vào, tác động ra là đầu ra ( hoặc tín hiệu vào, tín hiệu ra). Các tác động vào Các đáp ứng Hệ thống (hoặc phần tử của hệ thống) Hình 1-1 * Nhiệm vụ của lý thuyết điều khiển tự động Lý thuyết điều khiển tự động giải quyết 2 nhiệm vụ chính: - Phân tích hệ thống - Tổng hợp hệ thống Phân tích hệ thống: Nhiệm vụ này nhằm xác định đặc tính đầu ra của hệ sau đó đem so sánh với những chỉ tiêu yêu cầu để đánh giá chất lượng điều khiển của hệ thống đó. Muốn phân tích hệ thống điều khiển tự động người ta dùng phương pháp trực tiếp hoặc gián tiếp để giải quyết 2 vấn đề cơ bản. - Tính ổn định của hệ thống
- Chất lượng của quá trình điều khiển- quá trình xác lập trạng thái tĩnh và trạng thái động (trạng thái quá độ). Để giải quyết vấn đề trên dùng mô hình toán học, tức là các phần tử của hệ thống điều khiển đều được đặc trưng bằng mô hình toán của các phần tử sẽ cho mô hình toán của toàn bộ hệ thống. Có thể xác định đặc tính ổn định của hệ thống qua mô hình toán của hệ thống với việc sử dụng lý thuyết ổn định trong toán học. Tổng hợp hệ thống: Tổng hợp hệ thống là xác định thông số và cấu trúc của thiết bị điều khiển. Giải bài toán này, thực ra là thiết kế hệ thống điều khiển. Trong quá trình tổng hợp này thường kèm theo bài toán phân tích. Đối với các hệ thống điều khiển tối ưu và thích nghi, nhiệm vụ tổng hợp thiết bị điều khiển giữ vai trò rất quan trọng. Trong các hệ thống đó, muốn tổng hợp được hệ thống phải xác định Algorit điều khiển tức là xác định luật điều khiển Đ(t). Hệ thống điều khiển yêu cầu chất lượng cao thì việc tổng hợp càng trở nên phức tạp. Trong một số trường hợp cần đơn giản hoá một số yêu cầu và tìm phương pháp tổng hợp thích hợp để thực hiện. 1.2- Các mô hình diễn tả hệ thống điều khiển. Để tiện việc nghiên cứu về các vấn đề điều khiển cần sử dụng các sơ đồ (mô hình) diễn tả các thành phần của hệ thống sao cho rõ ràng mọi mối quan hệ bên trong và ngoài hệ thống để dễ dàng phân tích, thiết kế và đánh giá hệ thống. Thực tế sử dụng các mô hình sau là phổ biến và thuận tiện: 1) Hệ thống các phương trình vi phân 2) Sơ đồ khối. 3) Graph tín hiệu. 4) Hàm truyền đạt 5) Không gian trạng thái (Sơ đồ khối và Graph tín hiệu là cách biểu diễn bằng đồ hoạ để diễn tả một hệ thống vật lý hoặc một hệ phương trình toán đặc trưng cho các phần tử của hệ thống - Diễn tả một cách trực quan hơn). * Về mặt lý thuyết mỗi hệ thống điều khiển đều có thể diễn tả bằng các phương trình toán. Giải các phương trình này và nghiệm của chúng sẽ diễn tả trạng thái của hệ thống. Tuy nhiên việc giải phương trình thường khó tìm nghiệm (có trường hợp không tìm được) lúc đó cần đặt các giả thiết để đơn giản hoá nhằm dẫn tới các phương trình vi phân tuyến tính thường – Hệ điều khiển tuyến tính liên tục.
* Phần lớn kỹ thuật điều khiển hiện đại, là sự phát triển của các mô hình toán học cho các hiện tượng vật lý. Sau đó dựa vào các mô hình toán học để nghiên cứu các tính chất của hệ thống điều khiển. 1.2.1. Phương trình vi phân Các hệ thống vật lý (hoặc các quá trình) cần được diễn tả chính xác mọi quan hệ giữa những đại lượng biến động bên trong của chúng. Từ đó ta dễ dàng nghiên cứu được các hiện tượng diễn biến của hệ thống; các định luật cơ bản của vật lý có thể giúp ta giải quyết vấn đề đó. Các quan hệ của các đại lượng cơ bản nói chung có thể biểu diễn bằng các phương trình vi phân ( gọi là mô hình toán của hệ thống). Ví dụ: Phương trình của định luật II Newton F = m.a Trong phương trình đại số giá trị các đại lượng không thay đổi theo thời gian, vì thế nó chỉ diễn tả trạng thái ổn định của hệ. Nhưng trong thực tế hệ không tĩnh. Đầu ra thường biến động đối với các thay đổi của đầu vào, thêm vào đó tác động của nhiễu cũng thay đổi theo thời gian, nên hệ không ổn định tức là đầu ra dao động. Vì thế cần phải phân tích hệ trong các điều kiện động lực hoặc gọi là trong trạng thái quá độ, lúc này các biến số không cố định mà thay đổi theo thời gian. Phương trình vi phân mô tả hệ ở trạng thái động lực không chỉ chứa bản thân các biến số mà còn chứa tốc độ thay đổi hoặc gọi là đạo hàm của các biến số đó. * Các nội dung cơ bản của phương trình vi phân: Phương trình dạng: d n y d n 1y dy a . + a . + + a . + a . y = x(t) (1.1) n dt n n-1 dt n 1 1 dt 0 x(t) và y(t) là các biến phụ thuộc, t là biến độc lập. * Các tính chất của phương trình vi phân: Mọi hệ là tuyến tính nếu quan hệ vào- ra của nó có thể biểu thị bằng phương trình vi phân tuyến tính: n d i y d i x a . b .  i i  i i i 0 dt dt Hoặc một hệ là tuyến tính nếu quan hệ vào ra của nó có thể biểu thị bằng tích phân: y(t) = ¦W (t, )x( )d Trong đó W(t, ) là hàm thể hiện các tính chất bên trong của hệ, y(t) là đầu ra và x(t) là đầu vào. Hàm 2 biến W(t, ) là hàm trọng lượng của hệ.
- Đáp ứng y(t) của một hệ tuyến tính do nhiều đầu vào x 1(t), x2(t), , xn(t) tác động đồng thời lên hệ bằng tổng các đáp ứng của mỗi đầu vào tác động riêng biệt (nguyên lý chồng chất) n y(t) =  yi (t) i 0 Ví dụ: Phương trình vi phân thuần nhất: d 2 y(t) dy(t) A. B. + C.y(t) = 0 dt 2 dt Có hai nghiệm y1(t), y2(t). theo nguyên lý chồng chất thì y 1(t) + y2(t) cũng là một nghiệm của phương trình đó. - Toán tử vi phân và phương trình đặc trưng: Xét phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng cấp n d n y d n 1 y dy an + an-1. + + a1. + a0. y = x(t) dt n dt n 1 dt d d n Gọi toán tử vi phân D = , Dn = dt dt n Phương trình trên có thể viết thành: n n 1 D y + an-1 D y + + a1Dy + a0y = x n n 1 (D + an-1 D + + a1D + a0 )y = x (1.2) n n 1 Đa thức D + an-1 D + + a1D + a0 gọi là đa thức đặc trưng. n n 1 Phương trình D + an-1 D + + a1D + a0 = 0 là phương trình đặc trưng. Nghiệm của phương trình đặc trưng rất có ý nghĩa khi xét tính ổn định của hệ thống. 1.2.2- Sơ đồ khối. * Sơ đồ khối được biểu thị bằng các khối liên kết với nhau để diễn tả mối quan hệ đầu vào và đầu ra của một hệ thống vật lý. * Sơ đồ khối thuận tiện để diễn tả mối quan hệ giữa các phần tử của hệ thống điều khiển. Ví dụ: A B C Vào Phần tử Ra G1 G2 A G B dx a)x d y = b) dt dt c)
Hình 1-2 * Các khối có thể là một thiết bị hoặc dụng cụ và có thể là một hàm (chức năng) xảy ra trong hệ thống. Khối: Ký hiệu thuật toán phải thực hiện đầu vào để tạo đầu ra. Đường nối: Đường nối giữa các khối biểu thị đại lượng hoặc biến số trong hệ thống. Mũi tên: Chỉ tiêu của dòng thông tin hoặc tín hiệu “Các khối nối tiếp nhau thì đầu ra của khối trước là đầu vào của khối sau” Điểm tụ: Biểu hiện thuật toán cộng hoặc trừ ký hiệu bằng một vòng tròn đầu ra của điểm tụ là tổng đại số của các đầu vào. x + (x+y) x + (x-y) u + - x + - (x+y-u) y y + y Hình 1-3 * Điểm tán: Cùng một tín hiệu hoặc một biến số phân ra nhiều nhánh tại điểm đó gọi là điểm tán, tức là tại đó đầu ra áp lên nhiều khối khác “ký hiệu là một nốt tròn đen”. x x x C C x C Hình 1-4 Cấu trúc sơ đồ khối của hệ thống điều khiển kín u V R + E M C GV G1 G2 - B H Hình 1-5 Hình (1-5) diễn tả một hệ thống điều khiển kín bằng sơ đồ khối. Các khối mô tả các phần tử trong hệ được nối với nhau theo quan hệ bên trong của hệ thống. * Các biến số của hệ: (1) Giá trị vào V: tín hiệu ngoài áp vào hệ. (2) Tín hiệu vào chuẩn R: rút từ giá trị vào V là tín hiệu ngoài hệ áp lên hệ điều khiển như một lệnh xác định cấp cho đối tượng. R biểu thị cho một đầu vào lý tưởng dùng làm chuẩn để so sánh với tín hiệu phản hồi B.
(3) Biến số điều khiển M (tín hiệu điều chỉnh): là đại lượng hoặc trạng thái mà phần tử điều khiển G 1 áp lên phần từ (đối tượng) điều khiển G 2 (quá trình được điều khiển). (4) Biến số ra C (tín hiệu ra): là đại lượng hoặc trạng thái của đối tượng (hoặc quá trình) đã được điều khiển. (5) Tín hiệu phản hồi B: là một hàm của tín hiệu ra C được cộng đại số với vào chuẩn R để được tín hiệu tác động E. (6) Tín hiệu tác động E (cũng gọi là sai lệch hoặc tác động điều khiển) là tổng đại số (thường là trừ) giữa đầu vào là R với phần tử B là tín hiệu áp lên phần tử điều khiển. (7) Nhiễu u: là tín hiệu vào không mong muốn ảnh hưởng tới tín hiệu ra C. Có thể vào đối tượng theo M hoặc một điểm trung gian nào đó (mong muốn đáp ứng của hệ đối với nhiễu là nhỏ nhất). * Các phần tử của hệ: (1) Phần tử vào chuẩn G V: chuyển đổi giá trị vào V thành tín hiệu vào chuẩn R (thường là một thiết bị chuyển đổi). (2) Phần tử điều khiển G1: là thành phần tác động đối với tín hiệu E tạo ra tín hiệu điều khiển M áp lên đối tượng điều khiển G2 (hoặc quá trình). (3) Đối tượng điều khiển G 2 là vật thể, thiết bị, quá trình mà bộ phận hoặc trạng thái của nó được điều khiển. (4) Phần tử phản hồi H: là thành phần để xác định quan hệ (hàm) giữa tín hiệu phản hồi B và tín hiệu ra C đã được điều khiển (đo hoặc cảm thụ trị số ra C để chuyển thành tín hiệu ra B (phản hồi). (5) Kích thích: là các tín hiệu vào từ bên ngoài ảnh hưởng tới tín hiệu ra C. Ví dụ tín hiệu vào chuẩn R và nhiều u là các kích thích. (6) Phản hồi âm: điểm tụ là một phép trừ E = R - B (7) Phản hồi dương: ở điểm tụ là phép cộng: E = R + B (Điều khiển kín gồm hai tuyến: Tuyến thuận truyền tín hiệu từ tác động E đến tín hiệu ra C. Các phần tử trên tuyến thuận ký hiệu G (G 1 , G2, ) tuyến phản hồi truyền từ tín hiệu ra C đến phản hồi B các phần tử ký hiệu là H (H1 , H2 , ). 1.2.3. Hàm truyền đạt: Hàm truyền đạt của hệ thống. * Hàm truyền đạt của hệ thống đối với hệ thống điều khiển liên tục một đầu vào và một đầu ra được định nghĩa:
- Là tỷ số của biến đổi Laplace của đầu ra với biến đổi Laplace của đầu vào với giả thiết toàn bộ các điều kiện đầu đồng nhất bằng không (điều kiện dừng). m m 1 b mS b m 1.S b1s bo G(s) = n n 1 (1.3) S a n 1.S a1.S a o Đối với hệ thống vật lý thực các chỉ số trong hàm truyền n m. * Trong lĩnh vực thời gian gián đoạn (điều khiển rời rạc) việc biến đổi Z đóng vai trò của biến đổi Laplace: Hàm truyền có dạng sau: m m 1 b m z b m 1.z b1z bo G(z) = n n 1 (1.4) z a n 1.z a1.z a o * Đối với hệ thống nhiều đầu vào nhiều đầu ra với r đầu vào, p đầu ra, các hàm truyền là các phần tử của ma trận cấp p r phần tử , với chỉ số i của phần tử thứ i của đầu vào, chỉ số thứ j của phần tử thứ j đầu ra. G11(s) G12(s) G1r(s) G21(s) G22(s) G2r(s) G(s) = Gji(s) (1.5) GP1(s) GPr(s) Yj (s) Ở đây: Gji(s) = ; các đầu vào khác ui(s) đều coi là bằng không. u i (s) (Nguyên lý độc lập tác dụng). * Một cách tương tự với hệ thống điều khiển gián đoạn ta có hàm truyền của hệ thống nhiều đầu vào nhiều đầu ra. G11(z) G12(z) G1r(z) p r G21(z) G22(z) G2r(z) G(z) = Gji(z) (1.6) GP1(z) GPr(z) Ở đây: s - số phức - biến Laplace. z = eS.T - biến của phép biến đổi z. 1.2.4. Không gian trạng thái
Khi phân tích và thiết kế hệ thống điều khiển tuyến tính thường sử dụng một trong hai hình thức sau: + Đối với lĩnh vực thời gian sử dụng hàm trạng thái . + Trong lĩnh vực tần số dùng hàm truyền đạt. Như ở trên, ta xét hệ phương trình vi phân, sai phân đạo hàm đến bậc n (hệ thống bậc n) ; n thực chất là trạng thái của các biến. Các trạng thái của biến được mô tả như là vectơ x. Các phương trình trạng thái được mô tả dưới dạng sau (hệ thống tuyến tính). . x (t) = A.x(t) + B.u(t) ; x(o) = xo y(t) = C.x(t) + D. u(t) (1.7) và x(k+1) = A. x(k) + B.u(k) ; x(o) = xo y(k) = C.x(k) + D. u(k) (1.8) Ở đây: A, B, C, D là các ma trận hệ số hằng có kích thước. An n , Bn r , CP n , DP r Các hệ phương trình viết dạng (1-11); (1-12) các phương trình trạng thái của hệ thống điều khiển. * Không gian trạng thái: Một hệ thống có r tín hiệu vào u1(t), u2(t), u3(t) ur(t) m tín hiệu ra: y1(t), y2(t), y3(t) ym(t) Xác định n biến trạng thái: x1(t), x2(t) xn(t) Vậy hệ thống được mô tả bởi phương trình không gian trạng thái như sau: . x 1 (t) f1(x1, x2, , xn; u1, u2, , ur; t) . . . . xn (t) fn(x1, x2, , xn; u1, u2, , ur; t) Đại lượng ra: y1(t) = g1(x1, x2, , xn; u1, u2, , ur; t) . . . ym(t) = gm(x1, x2, , xn; u1, u2, , ur; t)
. x1 (t) . f (x ,x , ,x ;u ,u , ,u ;t) x 2 (t) 1 1 2 n 1 2 r . f (x ,x , ,x ;u ,u , ,u ;t) . 2 1 2 n 1 2 r x(t) f(x, u, t) = (1.9) . . fn (x1 ,x 2 , ,x n ;u1 ,u 2 , ,u r ;t) . x n (t) Phương trình trạng thái: . x (t) f(x, u, t) y(t) = g(x, u, t) Hoặc dưới dạng ma trận: . x (t) A(t). x(t) + B(t). u(t) y(t) = C(t). x(t) + D(t). u(t) Sơ đồ khối: D(t) . u(t) + x(t) x(t) + y(t) B(t) dt C(t) + + A(t) Hình 1-6 1.3. Mô tả toán học của các phần tử điều khiển a. Phần tử di động thẳng: PL L 0 PL L K = PL PV= PL R=X X 1/k H×nh 1-8. S¬ ®å khèi O X L H×nh 1-7. §¦ êng ®Æc tÝnh Tác dụng vào lò xo có chiều dài L0 để lò xo di động một lượng X thì cần một lực: PL = k .X (k: là độ cứng lò xo hay là hằng số lò xo) P k = L X
Đối với lò xo thông thường tín hiệu vào là lực PV = PL, tín hiệu ra là lượng di động R = X. Vậy mô hình toán đặc trưng và sơ đồ khối biểu diễn chức năng như hình 1-8 b. Bộ giảm chấn bằng không khí hoặc bằng dầu ép: R PV R PV 1/C.s H×nh 1-10 H×nh 1-9 Để di động piston với vận tốc V, cần tác dụng lực PV có giá trị: dR PV = C.V= C. dt d áp dụng toán tử Laplace: s = dt dR PV = C.V= C. = C.s.R dt Lực PV coi là tín hiệu vào Tín hiệu ra: Lượng di động R. Từ các yếu tố trên thành lập sơ đồ khối thể hiện mô hình toán của bộ giảm chấn. c. Trọng khối Theo định luật II Newton tổng các lực P ở bên ngoài tác dụng vào một trọng khối sẽ có biểu thức: d 2 R P = M.A = M.  dt 2 d Dùng toán tử Laplace: s = nên  P = M. S2.R dt 1 R =  P . M.S 2 Sơ đồ khối thể hiện mô hình toán như sau: P R 1/M.S2 d. Phần tử quay H×nh 1-11 Định luật II Newton: Đối với chuyển động quay gia tốc góc của vật thể quay tỷ lệ thuận với tổng mô men tác dụng lên nó. Dạng toán học của định luật:
d 2  M dt 2 =  . M dt 2  d 2 Trong đó: là góc quay  là momen quán tính của vật thể M là momen bên ngoài tác dụng vào vật thể. Momen bên ngoài được tạo ra từ động cơ, do tải trọng tác dụng lò xo hoặc giảm chấn. Xét một đĩa quay trong chất lỏng và nối với một bánh đà như hình vẽ: Mx Mx 2 1(.S + C.S + k x) M1 Mm  H×nh 1-13 H×nh 1-12 -Phân tích để xây dựng mô hình toán: Quay đĩa được phải tác dụng một momen xoắn Mx, trục quay đi một góc là j tạo mo men của lò xo: M1 = kx. j (1.10) Trục có đường kính D, chiều dài l, hệ số lò xo xoắn là: .D 4 .G kx = (G: Mô đun đàn hồi) 32l Momen cần thiết để thắng lực ma sát của chất lỏng: d Mm = C.w = C. = C. p. j (1.11) dt w: là vận tốc góc C: hệ số ma sát của chất lỏng Nếu quay đĩa với momen xoắn M x (momen xoắn của trục lò xo) và momen ma sát sẽ ngăn cản sự quay của đĩa do đó có thể viết thành: 2 d 2  M = Mx – M1 – Mm = . = q. s . j dt 2 Thay các trị số (1.10) và (1.11) ta có: 2 2 Mx = q. s . j + kx. j + C. s. j = (q. s + kx + C.s). j Từ phương trình trên ta có sơ đồ khối của hệ thống như hình vẽ. e. Các phần tử điện Các phần tử cơ bản của các mạch điện
uR uL uC + + + R L C uR 1 I uL 1 I uC 1 I R Lp Cp H×nh 1-14 1 uR = R. I I = .uR R dI dI d uL= L. = LP. I = p. I = .I dt dt dt 1 1 uC= . I.dt = .I C CP f.Các phần tử thuỷ khí Xét phần tử dầu ép: -Nếu van trượt được đẩy lên phía trên , dầu có áp suất P 0 sẽ vào buồng trên của xi lanh 3 và dầu của buồng dưới sẽ qua van trượt về bể dầu. - Nếu van trượt được đưa xuống phía dưới , dầu sẽ qua buồng dưới của xilanh 1 và dầu ở buồng trên sẽ chảy về bể dầu. Với hiệu áp không đổi được hình thành ở cửa van, tức là tỷ lệ thuận với lượng di động x. Gọi q là lượng dầu chảy vào xilanh, ta có: q = C1.x q đồng thời cũng là sự thay đổi thể tích của xilanh: q = A.Py M 3 2 P0 x =V C1 y = R y A.P b) x 1 H×nh 1-15 (A là diện tích bề mặt của xilanh) A.Py = C1.x
C y = 1 .x A.P Từ phương trình trên tín hiệu vào là x ( lượng di động của xilanh 1) và tín hiệu ra y lượng di động của xilanh 2. g.Phần tử phi tuyến Ta xét một phần tử phi tuyến và trên cơ sở đó tiến hành tuyến tính hoá mô hình toán học đặc trưng cho chức năng của cơ cấu. Xét cơ cấu nâng vuông góc bằng cơ khí: X  B C O Y K H×nh 1-16 Thanh nâng vuông góc tại điểm A (a + b = 90 0) và có thể chuyển động cưỡng bức trong rãnh thẳng đứng. Một nhánh của thanh nâng có thể trượt trên con trượt ở điểm B , con trượt này di động cưỡng bức theo phương ngang. Nhánh kia của thanh nâng có thể di động trong bạc của khớp nối cố định ở điểm C. - Phân tích: Y X X 2 Tam giác AOB luôn đồng dạng tam giác AOC nên: Y X K K ( K = const) Nếu tín hiệu vào là X, thì vị trí của điểm B là tín hiệu ra Y tỷ lệ với bình phương của X. Còn tín hiệu vào là Y và tín hiệu ra là X sẽ tỷ lệ với căn bậc hai của Y: X = K.Y Để viết phương trình toán và xây dựng mô hình toán học ta cần tuyến tính hoá các phương trình phi tuyến trên. Phương pháp như sau. 1.4- Phân loại hệ thống điều khiển. * Việc phân loại hệ thống điều khiển (Controller System) có rất nhiều hình thức tuỳ theo góc độ nhìn nhận đánh giá: phân loại theo tín hiệu vào, theo các lớp phương trình vi phân mô tả quá trình động lực học của hệ thống. Theo số vòng kín trong hệ, v.v Tuy nhiên đây chỉ là tương đối. Xét về tính chất làm việc và nội dung cơ bản của điều khiển thì hệ thống điều khiển có 2 loại làm cơ sở trong phân tích tính năng (Phân biệt tác động vào hệ và đáp ứng ra): Hệ thống kín Hệ thống hở.
*Theo đặc điểm mô tả toán học thì có các hệ thống sau: Hệ thống liên tục Hệ thống gián đoạn Hệ thống tuyến tính Hệ thống phi tuyến Hệ thống tuyến tính hoá * Theo dạng năng lượng tiêu thụ: Hệ thống điều khiển bằng điện Hệ thống điều khiển bằng dầu Hệ thống điều khiển bằng khí ép 1.4.1. Các hệ thống điều khiển hở và hệ thống kín a. Hệ thống điều khiển hở (Open- Loop Control Systems) *Khái niệm: Hệ thống điều khiển hở là hệ thống mà tác động điều khiển độc lập với đầu ra (Hoặc đầu ra không được đo và không được phản hồi so với đầu vào) Ví dụ: Quá trình hoạt động của máy giặt hoàn toàn tự động mà chúng ta chỉ cần tác động trước khi máy hoạt động là đóng điện và nhấn công tắc sau khi máy hoàn thành công việc thì chúng ta lấy sản phẩm ra. Trong máy có diễn ra các quá trình như sau: quá trình làm ướt quần áo (Soaking), quá trình giặt (Washing), quá trình vắt khô (Rinsing) đều làm việc với một thời gian tổng chuẩn (time basic) Và các quá trình này không được đo kết quả (Tức là không được kiểm tra là đã làm sạch quần áo hay chưa) Sơ đồ khối của hệ thống (Control System in Washing Machine) Turn on Finish Soaking Washing Rinsing Cleanliness H×nh 1-17 t = ts + tW + tR = const Từ ví dụ trên ta thấy hệ thống điều khiển hở có dáp ứng ra không so sánh đáp ứng vào. Mỗi tác động vào có trạng thái (hoạt động) ổn định, kết quả của hệ thống có độ chính xác phụ thuộc hệ thống chia độ (hệ thống đo). Trong quá trình có nhiễu, hệ thống không thực hiện nhiệm vụ yêu cầu. * Đặc tính của hệ thống điều khiển hở: - Độ chính xác của hệ quyết định bởi điều chỉnh (căn) và có duy trì độ chính xác đó được lâu hay không.
- Nhạy cảm với các biến đổi xung quanh như: nhiệt độ, dao động, xung lực, điện thế, phụ tải - Đáp ứng chậm khi tín hiệu vào thay đổi. * Ưu điểm: - Đơn giản - Giá thành thấp (Độ chính xác vừa phải) - Vấn đề mất ổn định không nghiêm trọng. b. Hệ thống điều khiển kín Khái niệm: Hệ thống điều khiển kín là hệ thống mà tác động điều khiển phụ thuộc đáp ứng ra. còn gọi là hệ thống điều khiển phản hồi. R + E C - G1 G2 E: Sai lệch điều khiển B E = R – B H R: Tín hiệu vào H×nh 1-18 B: Tín hiệu phản hồi. Trong hệ thống điều khiển kín sai lệch điều khiển là sự chênh lệch giữa tín hiệu vào và tín hiệu phản hồi. Quá trình điều khiển nhằm giảm sai lệch và đáp ứng ra đạt giá trị mong muốn. Ví dụ: Hệ thống điều khiển nhiệt độ trong lò là một hệ thống điều khiển kín. A/D Programming Lß ®iÖn Interface Computer Converter input (E.Furnace) Relay Amplifier Interface H×nh 1-19. Nhiệt độ trong lò điện được đo bởi nhiệt kế ( là thiết bị Analog(tương tự)) Nhiệt độ dưới dạng tín hiệu tương tự được biến đổi thành tín hiệu nhiệt độ dạng số bởi bộ A/D. Tín hiệu nhiệt độ được chuyển về máy tính trung tâm qua Interface. và nhiệt độ được so sánh với tín hiệu nhiệt độ mà chương trình của máy tính đã lập, nếu có bất kỳ sai số nào (discrepancy: sự chênh lệch, sự khác nhau) thì máy tính trung tâm có tín hiệu qua Interface và tín hiệu này được khuếch đại nhờ thiết bị Amplifier và tác động lên Relay làm cho nhiệt độ trong lò tăng hay giảm tuỳ theo yêu cầu của chương trình đã lập.
Ví dụ 2: Để điều khiển một bình nước sao cho mực nước trong bình luôn là hằng số không đổi thì độ cao cột nước trong bình sẽ là một trong những thông số kỹ thuật cần quan tâm của hệ thống. Giá trị về độ cao cột nước tại thời điểm t được đo cảm biến và được biểu diễn thành một đại lượng điện áp dưới dạng hàm số phụ thuộc thời gian u(t) có đơn vị Volt. Đại lượng vật lý ở đây là điện áp đã được sử dụng để truyền tải hàm thời gian u(t) mang thông tin về độ cao cột nước. ( Phần mô hình toán học) * Đặc tính của hệ thống điều khiển kín( hệ thống phản hồi) Đặc trưng của hệ thống điều khiển kín là phản hồi. - Nâng cao độ chính xác có khả năng tạo lại đầu ra - Tốc độ đáp ứng nhanh - Độ chính xác phụ thuộc các điều kiện làm việc - Giảm tính chất phi tuyến và nhiễu - Giảm độ nhạy cảm của tỷ số đầu ra và đầu vào đối với sự thay đổi tính chất của hệ. - Tăng bề rộng dải tần (dãy tần số của đầu vào) - Có khuynh hướng dao động hoặc không ổn định. - Điều khiển mềm . 1.4.2.- Các hệ thống điều khiển liên tục và gián đoạn. Các hệ thống thực được mô tả ở trạng thái tĩnh hoặc động lực học. Các hệ thống tĩnh thường được diễn tả bởi hệ thống các phương trình đại số. Trong điều khiển kỹ thuật các hệ thống tĩnh không diễn tả đầy đủ trạng thái của hệ thống. Vì vậy người ta dùng các phương trình vi phân/sai phân mô tả trạng thái động lực học của hệ thống (được biết như là các hệ thống với các tham số cục bộ hoặc tập trung) hoặc các phương trình vi phân đạo hàm riêng (như là các hệ thống có các tham số phân tán). Trong nội dung giáo trình ta nghiên cứu các hệ thống được mô tả bởi hệ các phương trình vi phân/sai phân tuyến tính, nghĩa là các tham số của hệ thống độc lập tuyến tính. Ví dụ hệ thống động lực học được mô tả dưới dạng các phương trình vi phân/sai phân vô hướng: x (t) = fc(x(t)) , x(to) = xo (1.12) x(k +1) = fd (x(k)) , x (ko) = xo (1.13) Ở đây: t : biến thời gian liên tục. k : biến thời gian gián đoạn. Chỉ số e: (continuous- Time) - thời gian liên tục.
d: (discrete - Time) - thời gian gián đoạn. Nếu hệ thống chịu tác động của ngoại lực, hay các tác động vật lý khác. Ta nói nó chịu tải động điều khiển và phương trình vi phân/sai phân mô tả trạng thái động lực của hệ thống. x (t) = fc (x(t), u(t)) ; x(to) = xo (1.14) x(k+1) = fd (x(k), u(k)) ; x(ko) = xo (1.15) Ở đây: u(t) ; u(k) đóng vai trò biến điều khiển. Với mục đích của điều khiển ta thay đổi biến điều khiển nhận được các đáp ứng của hệ thống kỹ thuật theo yêu cầu như vậy, nhìn chung vấn đề chính của điều khiển có thể mô hình hoá theo dạng sau: tìm biến điều khiển bằng cách giải hệ thống phương trình vi phân đặc trưng của hệ. Nếu các hệ phương trình vi phân (1.12)  (1.15) là tuyến tính ta gọi hệ thống là tuyến tính. Nếu là phi tuyến ta gọi là hệ thống phi tuyến. Việc nghiên cứu hệ thống phi tuyến tương đối khó. Trong thực tế, người ta tìm cách tuyến tính hoá. Trong phạm vi giáo trình này, chúng ta chỉ nghiên cứu hệ thống điều khiển tuyến tính. 1.5- Tuyến tính hoá hệ thống phi tuyến. Trong thực tế không có một hệ thống vật lý nào có thể mô tả tuyệt đối chính xác bằng phương trình vi phân hệ số hằng tuy nhiên nhiều hệ phi tuyến có thể xấp xỉ hoặc coi như tuyến tính trong từng đoạn làm việc. Có nhiều phương pháp được áp dụng cho việc tuyến tính hoá hệ thống phi tuyến. Phương pháp trung bình gần điểm làm việc. Phương pháp tuyến tính hoá điều hoà và phương pháp sai lệch nhỏ. 1.5.1- Phương pháp trung bình gần điểm làm việc. Đây là phương pháp đơn giản được dùng trong thiết kế các hệ thống khi đặc tính trên không thể xấp xỉ hoá được bằng các hàm giải tích. Phương pháp này áp dụng cho các hệ có những phần tử chỉ phi tuyến ở trạng thái tĩnh, quan hệ giữa đầu ra y với đầu vào u là ở trạng thái xác lập (ổn định). Giả thiết trong đoạn: - uM < u < um đặc tính phi tuyến có thể xấp xỉ hoá bằng đường thẳng. y Trong đó: y = K . u ; k = m = tg ; là độ dốc. u m 1.5.2- Phương pháp tuyến tính hoá điều hoà. Phương pháp này được dùng khi hệ có một phần tử tuyến tính nối sau một phần tử phi tuyến làm việc ở chế độ tự dao động. Các tín hiệu trong hệ là làm tuần hoàn theo thời gian.
Phương pháp này dựa trên cơ sở khai triển hàm sóng thành chuỗi hàm dạng sin (chuỗi Fonricr) điều hoà có tần số là , 2, 3, có biên độ và góc pha khác nhau. Giả thiết các hàm điều hoà bậc cao khác (2, 3, ) có biên độ nhỏ bỏ qua chỉ giữ lại thành phần điều hoà bậc nhất () (giả thiết lọc) nghĩa là: u(t) Nonlinear Element y(t) System Linearization Hình 1-20 Trong đó: u(t) = Um . sin (t + ) y(t) = Ym1 . sin (t + ) Trong đó Um = Ym1 và -  = được gọi là điều kiện cân bằng điều hoà. 1.5.3- Phương pháp sai lệch nhỏ. Theo phương pháp này việc tuyến tính hoá được thực hiện bằng cách khai triển hàm phi tuyến thành chuỗi Taylor tại vùng lân cận điểm ổn định (tương ứng với chế độ xác lập). Chỉ khảo sát các sai lệch bậc nhất trong chuỗi đó. Sai lệch so với trạng thái ổn định càng nhỏ thì việc đánh giá các quá trình của phần tử phi tuyến có sai số càng bé sau khi biến đổi tuyến tính. a) Hệ thống (bậc nhất) phi tuyến. x (t) = f(x(t) , u(t) ) (1.16) Giả thiết rằng hệ thống làm việc ở trạng thái xác lập với quĩ đạo x n(t) khi nó được điều khiển bởi tín hiệu vào u n(t). Chúng ta gọi x n(t) và un(t) là quĩ đạo danh nghĩa và đầu vào danh nghĩa theo phương trình (1.16) ta có: x n(t) = f(xn(t) , un(t) ) (1.17) Bây giờ ta giả thiết rằng thay đổi của hệ phi tuyến (1.16) lân cận quĩ đạo danh định một lượng nhỏ (vô cùng bé). x(t) = xn(t) + x(t) (1.18) Lượng biến đổi vô cùng bé này là do thay đổi đầu vào: u(t) = un(t) + u(t) (1.19) Từ các phương trình (1.16), (1.18), (1.19) ta có: x n(t) + x (t) = f(xn(t) + x(t), un(t) + u(t)) (1.20) Sử dụng khai triển Taylor với các đại lượng x(t), u(t) ta sẽ có: f x n(t) + x (t) = f(xn(t), un(t)) + (xn , un) x(t) + x f + (xn , un) u(t) + các thành phần bậc cao. (1.21) u
(Các thành phần bậc cao là các đại lượng vô cùng bé x2 , u2, x. u, x3 ) được bỏ qua, từ đây ta có: f f x (t) = (xn , un) x(t) + (xn , un) u(t) (1.22) x u Như vậy bằng việc trình bày xấp xỉ với x(t) ta đã tiến hành tuyến tính hoá theo sai lệch bậc nhất để được phương trình xấp xỉ bậc nhất (1.22). f f Đặt: ao = - (xn , un); bo = (xn , un) (1.23) x u Ta có phương trình mô tả hệ thống tuyến tính: x (t) + ao(t) x(t) = bo(t). u(t) (1.24) Điều kiện đầu của hệ thống được tuyến tính hoá được xác định. x(to) = x(to) - xn(to) (1.25) b) Hệ phi tuyến bậc 2: x = f( x, x , u, u ) (1.26) Với giả thiết rằng: x(t) = xn(t) + x(t); x (t) = x n(t) + x (t) u(t) = un(t) + u(t); u (t) = u n(t) + u (t) (1.27) Tương tự ta có: x n + x= f (xn + x, x n + x , un + u, u n + u ) (1.40) Áp dụng khai triển Taylor lân cận các điểm danh nghĩa: x n , x n , un , u n và ta có: x(t) + a1 x (t) + ao x(t) = b1 u (t) + bo u(t) (1.28) Các hệ số xác định theo: f f a1 = - (xn , x n , un , u n ), ao = - (xn , x n , un , u n ) x x f f b1 = (xn , x n , un , u n ), bo = (xn , x n , un , u n ) (1.29) u u Các điều kiện đầu được xác định. x(to) = x(to) - xn(to) ; x (to) = x (to) - x n(to) Ví dụ: Cho hệ thống phi tuyến.  = Sin - u.cos = f(, u) Trong đó:  = (t) ; u = u(t) Đây là mô hình toán của thanh thẳng đứng cân bằng, u: lực ngang;  là góc lệch khỏi phương thẳng đứng. Đây là hệ thống động lực học bậc 2. Trạng thái danh định của nó:
  n(t) = n(t) = 0 ; un(t) = 0 ; sử dụng (1-42) ta có: f f a1 = -  = 0, ao = - = - (Cos + Usin) = -1   n n ( t ) 0 Un ( t ) 0 f f b1 = = 0 ; bo = = - Cos = -1 n (t) 0 u u n Vậy phương trình tuyến tính hoá: (1.30)  (t) - (t) = - u(t) Ở dây: (t) = (t) , u(t) = u(t) Đồng thời n(t) = 0, un(t) = 0
CHƯƠNG II HÀM TRUYỀN ĐẠT Trước tiên ôn tập lại kiến thức về số phức và hàm phức. *Biến phức: s =  + jw : Phần thực (Real part) : Phần ảo (Imaginary part) Nếu   là các số thực thì ta gọi là số phức, còn thay đổi s là biến phức. Biểu diễn biến phức s trên đồ thị như sau: j j S  O  Hình 2.1 * Hàm phức: Là hàm của biến phức S G(s) = Gx + j Gy Cũng bao gồm phần thực và phần ảo. 2 2 Độ lớn của G(s) = Gx G y -1 Góc q = tan (Gx/Gy), Chiều dương theo chiều kim đồng hồ tính từ trục thực -Biểu diễn trên đồ thị: j G(s) Gy   O Gx Hình 2.2 Hàm liên hợp của hàm G(s) là: G(s) = Gx - j Gy
Một hàm phức, có biến là s =  + j . Biến phức S phụ thuộc vào 2 đại lượng độc lập: là phần thực và phần ảo của s. Để biểu diễn hàm G(s) cần có 2 đồ thị, mỗi đồ thị có 2 chiều: - Đồ thị của j ứng với s gọi là phẳng S - Đồ thị của phần ảo G(S) (ImG) ứng với phần thực của G(S) (ReG) gọi là phẳng G(S). Sự tương ứng giữa các điểm trong hai phẳng đó gọi là một ánh xạ hay biến đổi . Các điểm trong phẳng S được ánh xạ vào các điểm trong phẳng G(S) bằng hàm G. Ví dụ: 2 Hàm phức G(S) = S + 1. Điểm S0 = 2 +j 4 được ánh xạ vào điểm G(S0) như sau (S0) = G(2 + j 4) = -11 + j 16 ImG j x¹ G ¸nh G(S0) 16 j 4 S0  ReG O 2 -11 O Ph¼ng G(S) Ph¼ng S Hình 2.3 * Phẳng S (mặt phẳng phức) Nếu G(S) là hàm hữu tỉ như sau: m bm (S zi ) i 1 G(S) = n (S pi ) i 1 - Các giá trị của biến phức S = -z i làm cho G(s) = 0 được gọi là các không của G(s) (Zeros) - Các giá trị s = - pi làm cho G(s) được gọi là các cực của G(s) ( Poles) Các cực và các không được xác định bởi: một đại diện phần thực và một đại diện phần ảo của số phức. Biểu diễn các điểm đó trên mặt phẳng phức ( phẳng S) gọi là ánh xạ cực – không của G(s) Ví dụ: 2S 2 2S 4 2(S 1)(S 2) G(s) = S 3 5S 2 8S 6 (S 3)(S 1 j)(S 1 j)
G(s) có các không: s = -1 ; s = 2 và các cực: s = -3; s = -1 – j ; s = -1 +j j j  -3 -1 2 Pole -j Zero Ph¼ng S Hình 2.4 *Phẳng G(s): Được biểu diễn trong mặt phẳng với 2 thành phần. Một là phần thực của G(s) – ReG, và một là phần ảo của G(s)- ImG. ánh xạ từ các điểm s0 sang phẳng G(s) là các điểm G(s0). j ImG ¸nh x¹ G S2 S1 S3 G(S1) G(S2) S4  G(S4) ReG Ph¼ng S G(S3) Ph¼ng G(S) Hình 2.5 * Nhận xét: Mối quan hệ giữa phẳng S ( ánh xạ cực – không) *Phép biến đổi Laplace Biến đổi Laplace là cơ sở của một phương pháp giải tích để tìm cả đáp ứng ổn định và đáp ứng quá độ mà các phương trình vi phân tuyến tính hệ số không đổi. Nên phép biến đổi Laplace chỉ dùng biến đổi cho phương trình vi phân tuyến tính. Biến đổi Laplace chuyển phương trình vi phân thành các phương trình đại số nên tìm nghiệm của phương trình đại số đơn giản hơn và từ nghiệm của phương trình đại số tìm được nghiệm của phương trình vi phân. Một ưu điểm là phương pháp này có thể xử lý trực tiếp các điều kiện đầu của hệ thống như một phần của đáp ứng. - Bản chất của phép biến đổi Laplace: Là các phép tính đạo hàm và tích phân gốc được chuyển thành các phép toán đại số thông thường đối với các ảnh, miền xác định rộng. - Hàm gốc:
Gọi hàm f(t) của biến thực t là hàm gốc nếu nó thoả mãn các điều kiện sau: 1. Hàm f(t) liên tục trên từng đoạn thuộc miền xác định mà t 0. Giải thích: Lấy [a; b] trên t 0, luôn chi được trong [a; b] một số hữu hạn khoảng nhỏ [e; x] sao cho trong mỗi khoảng đó f(t) liên tục và tại các mút của mỗi khoảng nhỏ thì f(t) có giới hạn một phía: lim f (t) t  2. Khi t hàm f(t) không tăng nhanh hơn một hàm mũ. Tồn tại M > 0; a >0 sao cho: f (t) e .t ; mọi t >0 a gọi là chỉ số tăng của f(t). 3.f(t) = 0 khi t 0. Một số ví dụ: a) Hàm h(t) = 0 khi t 0 Là một hàm gốc : (t) 1 thoả mãn điều kiện hàm f(t) không tăng nhanh hơn một hàm mũ. t 0 ta lấy t thuộc trong [-1; 1] thì lim(t) 1 ( thoả mãn điều kiện 1) t 1 h(t) = 0 khi t 0  t).sint (t).sin t 1 M.e t ( M = 1; a = 0) (t).sin t liên tục trên t 0 O t (t).sin t = 0 khi t 0
(t).t 2 2.e t ( M = 2; a = 1)  t).t2 O t Hình 2.8 - Toán tử Laplace: Nếu f(t) là một hàm gốc có chỉ số tăng là a thì yêu cầu của f(t) để chuyển đổi được là: .t f (t).e dt ( a t1 t 1 S 2 tn n! S n 1 e-at 1 S a
t n 1 .e at 1 (n 1)! (S a) n 1 1 .(1 e at ) a S(S a) sinwt Δ S 2 Δ2 coswt S S 2 Δ2 e-at.f(t) F(s + a) dk f(t) skF(s) – sk-1f(0-) – sk-2f’(0-) - – f(k-1)(0-) f(k)(t) = dt k t F(s) 1 0 f(t)dt f(t)dt s s * Lưu ý: d Biến s được coi như phép vi phân: s  dt 1 t Và trong tích phân:  dt s 0 * ứng dụng của toán tử Laplace: - Giải các phương trình vi phân tuyến tính hệ số không đổi - Tìm hàm truyền đạt của hệ thống điều khiển tuyến tính. 2.1. Hàm truyền đạt * Định nghĩa: Hàm truyền đạt (The Transfer function) của một hệ thống tuyến tính được định nghĩa là tỷ số giữa biến đổi Laplace của biếu ra ( đại lượng đáp ứng ra của hệ thống) so với biến đổi Laplace của biến vào ( đại lượng tác động vào hệ thống), Với điều kiện đầu đồng nhất bằng không. Hàm truyền đạt của hệ thống ( phần tử) đặc trưng cho mô tả động lực học của hệ thống. - Một hàm truyền đạt chỉ có thể xác định cho hệ thống tuyến tính, hệ thống bền vững ( tham số không đổi). Một hệ thống không bền vững thường gọi là hệ thống biến thời gian thay đổi, có một hay nhiều tham số thay đổi, và phép biến đổi Laplace không được áp dụng đối với hệ thống này. - Hàm truyền đạt thể hiện tác động vào và đáp ứng ra của trạng thái hệ thống. - Tuy nhiên, hàm truyền đạt không diễn tả thông tin về cấu trúc bên trong của hệ thống và trạng thái hoạt động của hệ thống.
l{y(t)} Output Y(s) G(s) = = = l{u(t)} Input U(s) Để hiểu về cách xây dựng hàm truyền đạt ta có các ví dụ sau: Ví dụ 1: Cho một hệ thống được mô tả bởi phương trình vi phân sau: d 2 y dy 4 3y 2r(t) dt 2 dt dy Điều kiện đầu là: y(0) = 1, (0) 0 , và r(t) = 1, t 0 dt Biến đổi Laplace: [ s2Y(s) – s y(0) ] + 4[ s Y(s) – y(0) ] + 3 Y(s) = 2 R(s) 1 Thay R(s) = và y(0) = 1 ta được: s 2 s2Y(s) – s + 4 s Y(s) – 4 + 3 Y(s) = s 2 s 4 Y(s) = s(s 2 4s 3) (s 2 4s 3) Trong đó: q(s) = s2 +4s + 3 = ( s + 1)(s +3) = 0 là phương trình đặc trưng và d(s) = s 3/2 1/2 1 1/3 2/3 Y(s) = [ ] [ ] = Y1(s) + Y2(s) + Y3(s) (s 1) (s 3) (s 1) (s 3) s Biến đổi Laplace ngược: 3 1 1 2 y(t) = [ .e t .e 3t ] [ 1.e t .e 3t ] 2 2 3 3 2 Trạng thái ổn định là: lim y(t) t 3 Ví dụ 2: Hệ thống cơ khí như hình vẽ ( được mô hình hoá) friction f2 K M2 V2(t) friction f1 M1 V1(t) Hình 2.9 Force r(t)
Trong hình vẽ: K: Độ cứng lò xo ( hằng số lò xo) f1, f2: là các hệ số ma sát V1(t), V2(t): Vận tốc di chuyển của các trọng khối M1 và M2. M1sV1(s) + (f1 + f2)V1(s) – f2V2(s) = R(s) V2 (s) M2sV2(s) + f1(V2(s) – V1(s)) + K = 0 s Tương đương với: (M1(s) + (f1 + f2)) V1(s) + (- f1)V2(s) = R(s) K (-f1)V1(s) + (M2(s) + f1 + ) V2(s) = 0 s Hoặc dưới dạng ma trận sau: (M 1 (s) f1 f2 ( f1 ) V1 (s) R(s) K . V (s) 0 ( f1 ) (M 2 (s) f1 ) 2 s Vận tốc di chuyển của M 1 chính là đại lượng ra, việc tìm V 1(s) bởi ma trận nghịch đảo hoặc nguyên tắc Cramer là: (M 2 s f1 (K/s)).R(s) V1(s) = 2 (M 1s f1 f2 ).(M 2 s f1 (K/s)) f1 Hàm truyền đạt của hệ thống: V1 (s) (M 2 s f1 (K/s)) G(s) = 2 = R(s) (M 1s f1 f2 ).(M 2 s f1 (K/s)) f1 2 (M 2 s f1 s K).R(s) 2 2 (M 1s f1 f2 ).(M 2 s f1 s K) f1 s Tại một thời điểm nào đó mà xác định x1(t), thì hàm truyền đạt là: X (s) V (s) G(s) 1 R(s) sR(s) s Ví dụ 3: Hàm truyền đạt của động cơ dc Động cơ dc là thiết bị phát động mà chuyển từ dạng năng lượng điện sang chuyển động quay. Armature Ra Rf La + Lf Inertia = J - Friction = f if(t) Load Field
Hình 2.10 Ví dụ 4: Cho hệ cơ học gồm một lò xo có hệ số c, một vật với khối lượng m và bộ giảm chấn có hệ số d được nối với nhau như hình vẽ. Xác định hàm truyền đạt cho hệ cơ đó nếu tín hiệu đầu vào u(t) được định nghĩa là lực bên ngoài tác động lên vật và tín hiệu ra y(t) là quãng đường mà vật đi được. Gọi Fc, Fm, Fd là những lực của lò xo, vật và bộ giảm chấn sinh ra khi vật di chuyển nhằm cản sự dịch chuyển đó thì: Fc = c. y(t) d 2 y(t) Fm = m. 2 dt Fc Fm c dy(t) u(t) Fd = d . dt m Theo tiên đề về cân bằng lực ta được: y(t) Fd d 2 y(t) dy(t) d u(t) = Fc + Fm + Fd = c . y(t) + m. + d . dt 2 dt Biến đổi Laplace: U(s) = ( c + ds + ms2 ). Y(s) Hình 2.11 Hàm truyền đạt của hệ thống là: Y(s) 1 G(s) = = U(s) ms 2 ds c Gọi g(t) là hàm gốc của hàm truyền đạt G(s), tức là: g(t) = L-1{G(s)} Theo tính chất của toán tử Laplace ta có: Y(s) = G(s). U(s) y(t) = g(t). u(t) = g( ).u(t  )d = g(t - ).u( )d Hàm g(t) được gọi là hàm trọng lượng của hệ thống. Với u(t) =  (t) Do U(s) = 1 nên ta có y(t) = g(t) * Hàm truyền đạt trong lĩnh vực Laplace Trên đây mới chỉ giới thiệu hàm truyền đạt giới hạn trong quan hệ tỷ lệ vào – ra đơn giản, đó là một hình thức để mô tả đặc trưng của phần tử hoặc hệ thống. Tuy nhiên có nhiều phần tử có đáp ứng thay đổi theo thời gian. Trong lĩnh vực thời gian đặc tính đó được mô tả bằng phương trình vi phân, phương trình này không trực tiếp dùng làm hàm truyền đạt được. Nếu dùng một hàm truyền đạt với biến số Laplace S, diễn tả được đặc tính động lực của phần tử hoặc hệ thống và phương pháp phân tích trong lĩnh vực thời gian ( tức
là quá trình quá độ)sẽ tương đối đơn giản giúp ta xác định đáp ứng của phần tử hoặc hệ thống đối với một tín hiệu vào xác định. Đặc trưng của một hệ thống điều khiển, ta có phương trình vi phân tổng quát sau đây: n n-1 m m-1 (p + bn-1p + + b1p + b0). y(t) = ( amp + am-1p + + a1p + a0 ). x(t) (2.11) m m 1 a m p a m 1 p a 1 p a 0 L m (p) y(t) = n n 1 .x(t) .x(t) p b n 1 p b 1 p b 0 L n (p) Trong đó: a0, , am và b0, , bn là những hằng số x(t) hàm kích thích, nó là tín hiệu tác động vào làm kích thích hệ thống y(t) hàm phản ứng. Nó là hàm chuyển tiếp (tín hiệu ra) dưới tác động của tín hiệu vào x(t). n n-1 Ln(p) = p + bn-1p + + b1p + b0 m m-1 Lm(p) = amp + am-1p + + a1p + a0 Biến đổi Laplace từng số hạng của phương trình (2.11) ta có n n L[p y(t)] = s Y(s) – I(s)n n-1 n-1 bn-1 L[p y(t)] =bn-1. s Y(s) – I(s)n-1 m m am L[p x(t)] = am s X(s) – I(s)m m-1 m-1 am-1 L[p x(t)] =am-1 s Y(s) – I(s)m-1 Với I(s)n, là những điều kiện ban đầu tương ứng với các biến đổi. Thay vào phương trình: m m 1 (a m s a m 1s a 1s a 0 ).X(s) I(s) L m (s).X(s) I(s) Y(s) = n n 1 s b n 1s b 1s b 0 L n (s) I(s) = I(s)n + I(s)n-1 + - I(s)m - I(s)m-1 là tổng những điều kiện đầu. Từ phương trình trên thấy rằng: - các đa thức L m (s); Ln(s) ở trong miền biến đổi s vẫn giữ nguyên như trong miền toán tử p. - Tử số của chúng cũng có dạng giống nhau, chỉ khác là ở miền s có các điều kiện đầu I(s). - Nếu các điều kiện đầu bằng 0 thì ta có thể biến đổi Laplace của phương trình vi phân bằng cách thay s vào vị trí p, thay Y(s) vào vị trí y(t) và X(s) vào vị trí x(t). Tức là: L (s) Y(s) = m .X (s) L n (s) L (s) Và hàm truyền đạt là G(s) = m L n (s)
Vậy có mối quan hệ trong hệ thống điều khiển: “Hàm phản ứng = Hàm truyền đạt x Hàm kích thích” Nếu cho mẫu số của hàm truyền đạt bằng 0 ta sẽ có phương trình đặc trưng: n n-1 s + bn-1s + + b1s + b0 = 0 trên cơ sở phương trình đặc trưng ta suy ra các đặc tính chuyển tiếp của hệ thống. - Hàm phản ứng (hàm chuyển tiếp) y(t) có thể xác định với việc biến đổi ngược hàm Y(s) L (s).X(s) I(s) y(t) = L-1[ Y(s)] = L-1 [m ] L n (s) Tìm y(t) theo 2 cách: 1) Dùng bảng để xác định các hàm thời gian tương ứng 2) Phân tích hàm đã biến đổi thành tổng những hàm đơn giản hơn và sau đó dùng bảng để biến đổi ngược từng số hạng. Thường dùng phương pháp 2 vì ít khi gặp các hàm đơn giản. Vậy ta tìm hiểu phương pháp 2 như sau: L (s).X(s) I(s) Y(s) = m L n (s) Hàm kích thích X(s) hay tín hiệu vào có thể viết dưới dạng sau đây: N X(s) = x D x L (s).N I(s).D A(s) Y(s) = m x x L n (s).D x B(s) ở đây A(s) và B(s) là những đa thức của s. Để có thể chia Y(s) thành các phân thức, ta phân tích mẫu số B(s). Giả sử các nghiệm của B(s) là r1, r2, , rn. Các nghiệm này có thể là nghiệm đơn, nghiệm bội hay là số phức. - Nghiệm đơn: A(s) C C C Y(s) = 1 2 n B(s) s r1 s r2 s rn Xác định C1, C2, , Cn ta dùng phương pháp sau C1 = lim[(s r1 ).Y(s)] s r1 C2 = lim[(s r2 ).Y(s)] s r2 Cn = lim[(s rn ).Y(s)] s rn Biết được C1, C2, , Cn tìm được biến đổi Laplace ngược trong bảng:
C -1 n rnt L [ ] = Cn. e ( t 0 ) s - rn Vậy, -1 r1t r2t rnt y(t) = L [ Y(s)] = C1. e + C2. e + + Cn. e rnt Hàm chuyển tiếp y(t) mong muốn là hàm tắt dần nên từng phần C n. e là hàm tắt dần, tức là tất cả các nghiệm r1, r2, , rn cần phải là số âm. - Nghiệm bội: q B(s) = (s-r) .(s-r1).(s-r2) (s-rn) A(s) K q K q 1 K1 C1 C n Y(s) = q q 1 B(s) (s r) (s r) s r s r1 s rn q Xác định Kq: Kq = lim[(s r) .Y(s)] s r Còn các hệ số còn lại xác định xác định bằng cách: q 1 q d q (s r) (s r) [(s r) Y(s)] K q 1 2K q 2 (s r) qC1 qC n ds (s ri ) (s rn ) d q Kq-1 = lim{ [(s r) Y(s)]} s r ds 2 1 d q Kq-2 = lim{ [(s r) Y(s)]} s r 2 ds2 (k) 1 d q Kq-k = lim{ [(s r) Y(s)]} s r k! ds(k) Vậy: K .t q 1 .e rt K .t q 2 .e rt K .t.e rt q q 1 2 rt r1t r2t y(t) = K .e C1. e + C2. e + + Cn. e (q 1)! (q 2)! 1! 1 rnt -Nghiệm phức liên hợp: A(s) C C C C Y(s) = 0 1 n B(s) s a - jb s a jb s r1 s rn Xác định các hằng số C, C0 tương ứng với các nghiệm phức liên hợp: C = A(s) A(s) lim [(s a jb). ] lim [ ] s a jb s a jb (s a jb).(s a jb).(s r1 ) (s rn ) (2jb).(s r1 ) (s rn ) 1 = .K(a jb) 2jb
4(s) 2 2 2 A/ s K(a+jb) = lim = [(s -2as+a +b . )] S a jb s a jb (s r1) (S rn ) B / s A(s) Co = lim [(s-a+jb) ] s a jb (s a jb).(s a jb).(s r1 ) (s rn ) A(s) 1 = lim [ ] = - .K.(a-jb) s a jb 2a.(s r1 ).(s rn ) 2a A(s) 1 K(a+jb) = lim [ ] = - .K.(a+jb) s a jb (s r1 ).(s rn ) 2a A(s) = [(2 - 2as + a2 +b2 ) ] B(s) s a jb Các trị số k(a+jb) và k(a-jb) là các số phức liên hợp Ta cần thể hiện các số này trên hình vẽ: K(a+jb) = [k(a+jb)]e j K(a+jb) = [k(a+jb)]e j [k(a+jb)] = [k(a-jb)] ( Độ dài của véc tơ ) C và Co cũng là các số phức liên hợp . 1 C = .[k(a+jb)].e j 2 jb Co = -[k(a+jb)]e j Từ bảng laplace ta xác định hàm chuyển tiếp y(t) = c.e(a jb).t +Co.e(a jb).t +C1.er1t + +Cn.e rnt 1 1 y (t) = [k(a+jb)].e(a jb).t .e j + - [k(a-jb).e(a jb).t .e j + 2 jb 2 jb 1 = [k(a+jb)].ea.t .ej(bt ) - e j(bt ) 2 jb 1 e j(bt ) e j(bt ) = [k(a+jb)].eat . b 2 j 1 = [k(a+jb)].eat .sin(( bt) +C1.er1t + +Cn.e rnt b Phương trình trên thể hiện hàm điều hoà sin tắt dần theo hàm mũ, xuất phát từnghiệm phức liên hợp Phần ảo b là tàn số dao động tắt dần . Thời gian của mỗi 2 1 dao động là . Đường bao hình sin là [k(a+jb)].eat . Để hàm mũ giảm dần thì a b b
1 phải là trị số âm . Trường hợp a = 0, ta sẽ có hàm sin có biên độ [k(a+jb)].e at b không đổi. j j (1/b).[K(a+ jb)].eat (1/b).[K(a+ jb)] t t O O a 0 a>0 Hình 2.12 - Nếu các nghiệm nằm ở bên trái trục ảo ( a 0) thì dao động sẽ tăng dần. Cách khác xác định đáp ứng thời gian: Đáp ứng thời gian có thể xác định bằng cách tìm các cực của G(s). X(s) vì Y(s) = G(s). X(s) và ước lượng tìm các hệ số của các phân thức của biểu thức Y(s) tại các cực đó. Các hệ số có thể xác định bằng đồ thị nhờ một ánh xạ cực – không của Y(s). ánh xạ này được dựng từ ánh xạ cực – không của G(s) và cộng thêm các cực- không của X(s). Các bước : m b m .(s z i ) i 1 G(s) = n (s p i ) i 1 Vì G(s) là một hàm phức nên có thể viết dưới dạng cực như sau: G(s) = P(s).e jΔ = P(s) Δ 1 ImG(s)  tan ReG(s)
Mỗi số phức s, z i, pi, ( s + zi) và ( s + pi) có thể diễn tả bằng một vectơ trong mặt phẳng S. Biểu diễn trên đồ thị: j j (s) -zi -p1 -p2 s+zi  -z1  -z2 s -p3 -pi s+pi j a) b) (s) -p1 -p2 -z1  -z2 -p3 c) Hình 2.13 Trong hình a) có một cực –pi và một không – zi và một biến phức S. Vectơ tổng s + zi là vectơ bắt đầu từ không – z i và kết thúc tại s, vectơ s + p i bắt đầu từ cực – p i và kết thúc tại s. m b m . (s z i ) §é lín cña vecto (s zi) i 1 Độ lớn của C = bm. = §é lín cña vecto ( s pi) n  (s p i ) i 1 b m .(s z1 ).(s z 2 ) Trường hợp b): C1 = (s p1 ).(s p 2 ) b m .(s z1 ).(s z 2 ) Trường hợp c): C2 = (s p1 ).(s p 2 ) ji Diễn tả theo dạng cực thì: Ci = Ci .e = Ci i Hoặc theo toạ độ vuông góc: Ci = Ci .cosi j.Ci .sini i = Tổng các góc của các vectơ từ các không đến – p i trừ đi tổng các góc của các vectơ từ các cực tới –pi ( nếu bm > 0) i = Tổng các góc của các vectơ từ các không đến – p i trừ đi tổng các góc của các 0 vectơ từ các cực tới –pi + 180 ( nếu bm < 0) -Phương pháp đồ thị này không áp dụng cho trường hợp có các cực trùng nhau ( nghiệm lặp).
* Hàm truyền đạt trong lĩnh vực tần số Việc phân tích hệ thống nằm trong hai lĩnh vực: Lĩnh vực thời gian và lĩnh vực tần số. -Trong lĩnh vực thời gian: nội dung chủ yếu là các đặc tính động lực của hệ thể hiện trạng thái quá độ (đáp ứng quá độ). Ta đã dùng phương trình vi phân và biến đổi Laplace để nghiên cứu các nghiệm của phương trình ( tức là các đáp ứng của hệ). Áp dụng biến đổi Laplace để giải các phương trình vi phân tuyến tính là phần quan trọng nhất trong nghiên cứu trạng thái quá độ của các hệ tuyến tính thuộc lĩnh vực thời gian. Tuy vậy giải phương trình vi phân để phân tích trạng thái động lực của hệ thống (tức là trong lĩnh vực thời gian) khá phức tạp đối với các hệ không đơn giản. Nhưng phương pháp phân tích đáp ứng tần số ( thuộc lĩnh vực tần số) có thể đánh giá được tính năng của hệ mà không cần giải phương trình vi phân. Phương pháp đáp ứng tần số phân tích các tính năng của hệ xem như một hàm của tần số của tín hiệu vào dạng sin mà không phải là khảo sát đáp ứng thời gian thực tế. Cũng có thể nói phương pháp đáp ứng tần số phân tích đáp ứng dạng sin ổn định của hàm truyền của hệ. Phương pháp này có nhiều ưu điểm: - Cho phép ta ước lượng được dãy tần số ảnh hưởng đến tính năng của hệ - Dễ chỉ cho ta biện pháp thay đổi hệ để đạt các tính năng yêu cầu trong việc thiết kế các hệ thống điều khiển. Bằng đồ thị có thể chỉ cho ta biện pháp phán đoán vấn đề bằng các phương trình vi phân. Nếu các phương trình đã được giải nhưng đáp ứng không đạt yêu cầu thì không dễ quyết định được biện pháp thay đổi hệ thống để đạt chất lượng mong muốn. Phương pháp tần số đã vượt qua được hạn chế đó. - Đáp ứng có thể xác định bằng thực nghiệm cũng tốt không thua kém tính toán giải tích. Ưu điểm này rất quan trọng khi mô tả các phần tử của hệ bằng các phương trình vi phân. 2.2. Đại số sơ đồ khối Sơ đồ khối là một trong các dạng mô hình toán của hệ thống điều khiển, trên sơ đồ thể hiện đại lượng vào – ra của hệ thống và các tính chất của hệ thống. Một số chuyển đổi cơ bản để rút gọn các sơ đồ khối phức tạp. 1. Tổ hợp các khối nối tiếp R C R C G1 G2 G1xG2 Hình 2.14
Chứng minh : C= R.G1.G2 = G1.G2.R 2. Tổ hợp các khối song song R + C R C G1 G1+G2 + R G2 Hình 2.15 Tại điểm tụ C = R.G2 + R.G1 = ( G1+G2).R 3. Di chuyển điểm tụ về bên phải một khối : A + C A + C G G + + G B B Hình 2.16 Tại điểm tụ R = A + B Nên C = G. ( A + B) Sơ đồ tương đương là: C = A. G + B. G = G. ( A + B) 4. Di chuyển điểm tụ về bên trái một khối A C A + C G G + + 1/G B B Hình 2.17 5. Di chuyển điểm tán về bên phải một khối B C B C G G C 1/G B Hình 2.18 6. Di chuyển điểm tán về bên trái một khối B C B C G G C C G Hình 2.19 7. Rút gọn hệ thống
R + E C R C G G 1+GH B - H Hình 2.20 Chứng minh: C Sơ đồ ban đầu: G = C = E. G ; E = R - B ; B = C. H ; E E = R – C. H = R – E. GH E. ( 1 + GH ) = R R E = 1 G.H C R G G Hàm truyền của hệ thống là: = . = R 1 G.H R 1 GH Từ biểu thức ta thấy: Nếu gia lượng tuyến thuận G lớn thì tích GH 1, lúc này gia C 1 lượng mạch kín còn là = R H - Kết luận: Trạng thái của mạch kín phụ thuộc tính chất tuyến tính của phản hồi H và độc lập với tuyến thuận ( về tính chất ). Nếu tuyến thuận có một vài thay đổi do một vài lí do nào đó thì tuyến phản hồi sẽ trừ khử hiệu quả sự thay đổi của đầu ra. Vì thế không cần điều chỉnh hệ thống, nhưng phải điều chỉnh phần tử phản hồi H. - Nếu mạch kín bị cắt đứt như hình vẽ: R + E C G1 G2 + B - H Hình 2.21 Hàm truyền toàn mạch còn G1. G2. H được xem như hàm truyền của mạch hở. B C.H E.G1 .G 2 .H G1. G2. H = E E E * Sơ đồ khối dạng chính tắc: R + E C G + B - ư H Hình 2.22
Các đại lượng sau cần xác định rõ: G: Hàm truyền tuyến thuận H: Hàm truyền tuyến phản hồi GH: Hàm truyền mạch hở. E C B G H Hình 2.23 C : Hàm truyền mạch kín (tỷ số điều khiển) R E : Tỷ số tín hiệu tác động ( tỷ số sai lệch ) R B : Tỷ số phản hồi cơ bản R C G Ta có liên hệ sau: = R 1 GH * Hệ phản hồi đơn vị: Một hệ phản hồi đơn vị là một hệ trong đó tín hiệu phản hồi cơ bản B bằng đầu ra C. Đây là một trường hợp đặc biệt hay gặp trong thực tế và là sự so sánh trực tiếp giữa đầu ra và đầu vào chuẩn. Vì lúc này khối phản hồi có giá trị đơn vị là 1 nên hàm truyền mạch kín là: C G = R 1 G Trường hợp này xảy ra khi đầu ra mô phỏng lại đầu vào chuẩn. Bất kỳ hệ phản hồi nào nếu chỉ có các phần tử tuyến tính trong tuyến phản hồi đều có thể đặt dưới dạng một hệ phản hồi đơn vị bằng cách dùng chuyển đổi 4, ta được sơ đồ khối sau: R + E C R 1 + E C G G.H + H + B - B - H R E = R B E = B H B = C.h B = C Hình 2.24 C G = R 1 GH
C C C R E = E= = C G G.H G.H H 1 R C ( 1) = G.H H * Hệ có nhiều tín hiệu vào ra : Nhiều hệ có nhiễu U, hoặc có nhiều tín hiệu vào ( nhiều kích thích ) đồng thời với tín hiệu vào chuẩn R, chúng áp lên hệ tại các điểm khác nhau và mang lại cho hệ những tính năng khác nhau. Khi trong một hệ tuyến tính có mặt nhiều tín hiệu vào ta phải xử lí từng tín hiệu độc lập với nhau, sau đó dựa trên nguyên lí chồng chất cộng đại số các đáp ứng cá biệt của từng tín hiệu với nhau ta sẽ được tín hiệu ra tổng cộng của hệ khi mọi tín hiệu đồng thời tác động lên hệ. Có nghĩa là ta giả thiết từng tín hiệu vào tác dộng riêng biệt đến hệ ( các tín hiệu vào còn lại giả thiết bằng không ) lần lượt làm như vậy với từng tín hiệu vào, sau đó thực hiện một phép cộng đại số các đáp ứng nói trên, để tìm đáp ứng riêng của từng tín hiệu vào, đôi khi cần đến thủ thuật rút gọn sơ đồ khối về dạng chính tắc bằng cách dùng một trong bảy chuyển đổi trên. * MỘT SỐ VÍ DỤ Ví dụ 1 : Xác định dầu ra C của hệ thống: U R + + + C G1 G2 - B H Hình 2.25 Cho U = 0 hệ thống đơn giản hoà thành : R + C(R) G1 G2 - H Hình 2.26 Xác định đầu ra : G G C = 1. 2 .R (R) 1 G1.G2 + Cho R = 0 , chỉ có đầu vào U ta có sơ đồ sau
U + C G2 + - G1 H Hình 2.27 Tại điểm tụ, trước khối G1 có dấu âm nên phản hồi là phản hồi âm (đổi dấu phản hồi ban đầu) U + C(U) G2 - G1.H Hình 2.28 G2 C = .U (U ) 1 G1.G2.H Vậy đầu ra tổng cộng khi cả 2 tín hiệu vào R, U tác động là: G1.G2 G2 C = C(U ) = C(R) = ( ).R + .U 1 G1.G2 .H 1 G1.G2 .H G 2 * Nhận xét : Từ C(U ) = .U 1 G1.G2 .H 1 Nếu G1.G2 .H 1 thì C(U ) .U G1.H Tác dụng của nhiễu U vào hệ thống bị giảm đáng kể khi hàm truyền của mạch hở tăng . Vì thế với gia lượng G1 lớn có thể cho một đầu ra chính xác ( Đầu ra rất không nhạy cảm với nhiễu) . Ví dụ 2 : Hệ có nhiều đầu vào, nhiều đầu ra Tmà C1 , C2 = ? R1 + C1 G1 - G2 G3 R2 + - C2 G4 Hình 2.29
+ Trước hết bỏ qua C2 , hệ thống chỉ còn một đầu ra C1 Đầu tiên bỏ qua R2 = 0 : R1 + C1 G1 - - G3 G4 G2 + R2 R1 + C1 G1 - - G3.G4 G2 R1 + C1 G1 + G2.G3.G4 Hình 2.30 G1 C11 = .R 1 1 G1 .G 2 .G 3 .G 4 Bỏ qua R1 = 0, hệ thống còn R2 và C12 . R2 + C12 G3 G4 G1 - - G2 R2 + C12 (-G1).G3.G4 - G2 Hình 2.31 G1 .G 3 .G 4 C12 = .R 2 1 G1 .G 2 .G 3 .G 4 G1 Vậy đầu ra C1 do R1 và R2 tác động là: C1 = C11 + C12 = .R1 + 1 G1 .G 2 .G 3 .G 4
G1 .G 3 .G 4 G1 .R1 G1 .G 3 .G 4 .R 2 + .R 2 = 1 G1 .G 2 .G 3 .G 4 1 G1 .G 2 .G 3 .G 4 * Bỏ qua C1 để tìm C2 ta có: R2 R1 + + C2 G1 G2 G4 - - G3 Cho R2 = 0 R1 + C21 G1.G2 G4 - - G3 R1 + C21 G1.G2.(-G4) - G3 Hình 2.32 G1 .G 2 .G 4 C21 = .R1 1 G1 .G 2 .G 3 .G 4 Cho R = 0: 1 R2 + C22 G4 - - G1.G2 G3 R2 + C22 G4 + G1.G2.G3 Hình 2.33 G 4 .R 2 C22 = 1 G1 .G 2 .G 3 .G 4 Vậy đầu ra C2 do R1, R2 tác động là: G1 .G 2 .G 4 G 4 .R 2 G 4 .R 2 G1 .G 2 .G 4 .R1 C2 = C21 + C22 = .R1 + = 1 G1 .G 2 .G 3 .G 4 1 G1 .G 2 .G 3 .G 4 1 G1 .G 2 .G 3 .G 4 Ví dụ 3: Rút gọn sơ đồ khối về dạng chính tắc
H1 R + + - C G4+G1 G2 G3 - H2 H1 R + + - C G4+G1 G2 G3 - H2 G3 R + G2.G3 C G4+G1 - 1 + G2.G3.H1 H2 G3 Hình 2.34 Hàm truyền của hệ thống: C (G G ).G .G .(1 G .G .H ) G 1 4 2 3 2 3 1 R (1 G 2 .G 3 .H1 ).[(1 G 2 .G 3 .H1 ).G 3 (G1 G 4 ).G 2 .G 3 .H 2 ] (G G ).G .G 1 4 2 3 1 G 2 .G 3 .H1 (G1 G 4 ).G 2 .H 2 * Nguyên tắc rút gọn sơ đồ khối phức tạp về dạng sơ đồ chính tắc - Tổ hợp các khối nối tiếp theo chuyển đổi 1 - Tổ hợp các khối song song theo chuyển đổi 2 - Triệt tiêu các mạch phản hồi phụ theo chuyển đổi 7 - Di chuyển điểm tụ sang trái và điểm tán sang phải của mạch chính theo các chuyển đổi 4 và 5. - Làm lại từ bước 1 đến 4 cho đến khi nhận được dạng chính tắc với 1 tín hiệu vào riêng biệt. - Làm lại từ bước 1 đến bước 5 đối với mỗi tín hiệu vào. 2.3. Graph tín hiệu và qui tắc Mason 2.3.1. Graph tín hiệu Các hệ thống điều khiển còn được mô tả bằng mô hình toán là Graph tín hiệu. Graph tín hiệu thể hiện bằng đồ thị sự truyền tín hiệu trong hệ thống, nhưng dễ dàng hơn các dạng mô hình toán khác. Xét phương trình đơn giản: Xi = Aij. Xj Các biến Xi, Xj : là hàm thời gian, hàm biến phức hoặc hằng số, hoặc là hằng số.
Aij là một toán tử ánh xạ X j vào trong Xi nên Aij gọi là hàm truyền ( hàm truyền đạt). Khi Xi, Xj các hàm của biến Laplace S ( biến phức). Mỗi biến số trong Graph được Mỗi biến số trong Graph được kí hiệu bằng một nút mỗi hàm chuyển được ký hiệu bằng một nhánh, các nhánh đều có hướng ký hiệu bằng mũi tên diễn tả dòng tín hiệu. Nót Nh¸nh Nót Xj Aij Xi Hình 2.35 * Quy tắc hội tụ ( cộng vào): Tổng các tín hiệu đi vào một nút bằng giá trị các nút đó. Tổng quát: n Xi =  A ij .X j j 1 X1 Ai1 Ai2 X2 Ain Xi Xn Hình 2.36 *Quy tắc phân kỳ ( chuyển ra): Giá trị của một nút có thể chuyển ra từng nhánh rời khỏi nút đó. Nếu ta có: Xi = Aik ; i = 1,2, , n. Thì Graph như hình vẽ: X1 A1k A2k Xk Ajk X2 Ank Xn Xn Hình 2.37 * Quy tắc nhân: Nhiều nhánh nối tiếp nhau có thể thay bằng một nhánh có hàm chuyển bằng tích các hàm chuyển của các nhánh đó.
Xn = A21. A32. A43 An(n-1) .X1 A21 An(n-1) A21.A21 An(n-1) = X1 X2 Xn-1 Xn X1 Xn Hình 2.38 * Các thành phần trong Graph tín hiệu: Cho một Graph tín hiệu như hình vẽ sau A33 A21 A32 A43 X1 X2 X3 X4 A23 Hình 2.39 - Một tuyến: Là một trình tự nối tiếp, đơn hướng của các nhánh, trong đó không có nút nào bị xuyên qua quá một lần. X1 đến X2 đến X3 đến X4 X2 đến X3 và trở về X2 X1 đến X2 đến X4. - Nút vào: Là một nút chỉ có các nhánh đi khỏi nó ( X1). - Nút ra: là một nút chỉ có các nhánh đi tới nó ( X4) Có thể thêm một nút giả với hàm chuyển bằng 1 để thoả mãn định nghĩa này. A21 A32 A21 A23 1 = X1 X2 X3 X1 X2 X3 X4 A23 A32 X3=X4 Hình 2.40 - Tuyến thuận: là tuyến đi từ nút vào đến nút ra ( bằng bất cứ đường nào) X1 đến X2 đến X3 đến X4; X1 đến X2 đến X4 - Tuyến phản hồi: là tuyến xuất phát và kết thúc tại cùng một nút. X2 đến X3 đến X2 - Tuyến đơn: Là tuyến phản hồi chỉ có một nhánh. - Hai tuyến ( hoặc hai vòng kín) gọi là không chạm nhau nếu chúng không có nút chung. - Hàm truyền của tuyến hoặc của vòng kín bằng tích hàm truyền của các nhánh nằm trong tuyến hoặc vòng kín đó. Tuyến thuận X1 đến X2 đến X3 đến X4 có gia lượng A21. A32. A43 Tuyến phản hồi: X2 đến X3 đến X2 có gia lượng A32. A23
Các ví dụ: Ví dụ 1: Dựng Graph tín hiệu cho hệ thống được mô tả bởi phương trình vi phân sau: 2 d x 2 dx1 x3 = x dt 2 dt 1 Từ phương trình ta thấy có 3 biến số x 1, x2, x3 nên cần có 3 nút ( không kể nút giả). d d2 Các toán tử trong phương trình là và Viết lại phương trình trên: dt dt 2 d2 d x3 = (x ) (x ) x dt 2 2 dt 1 1 Sơ đồ Graph tín hiệu: d2 2 dt x3 1 x2 x3 -1 d dt x1 Hình 2.41 Ví dụ 2: Dựng Graph tín hiệu cho nhóm phương trình xét đồng thời sau: x2 = A21. x1 + A23. x3 x3 = A31. x1 + A32. x2 + A33.x3 A42 x4 = A42. x2 + A43. x3 A33 Nhận xét: Phương trình trên có 4 biến số A23 A21 x2 A43 x4 x1 x1, x2, x3, x4 ta có sơ đồ A32 x3 Graph tín hiệu sau A31 x2 A21 A42 x4 A23 A32 x1 A31 A43 Hình 2.42 x3 2.3.2. Quy tắc Mason A33 Từ sơ đồ Graph tín hiệu có thể rút gọn sơ đồ và tìm hàm truyền đạt của cả hệ thống. Để tìm hiểu về quy tắc Mason ta có ví dụ minh họa sau: G7 G6 u G1 1 G4 G5 y 1 G2 G3 -H1 -H2
Hình 2.43 Bước 1: Xác định tất cả những tuyến thẳng P k có thể có của hệ thống. Đó là những đường nối liền nhau không chứa đường phản hồi đi từ điểm nút nguồn u(t) tới điểm nút đích y(t) và Pk có giá trị bằng tích các giá trị các đường nối có trong Pk. Hệ trên có 3 tuyến thẳng: P1 = G1. 1. G2. G7 P2 = G1. 1. G6. G4. G5 P3 = G1. G2. G3. G4. G5 Bước 2: Xác định tất cả những vòng lặp L k có thể có của hệ thống. Đó là những đường nối liền nhau tạo thành một vòng kín. Hệ trên có 4 vòng lặp: L1 = -1. G4. H1 L2 = -1. G2. G3. G4. G5. H2 L3 = -1. G6. G4. G5. H2 L4 = - 1. G2. G7. H2 Bước 3: Tính Δ 1  L k  L i .L j  L l .L m .L n (2.3.2.1) k i,j l,m,n Trong đó: Li, Lj là những cặp hai vòng lặp không trùng nhau ( không có chung một nhánh nào) Ll, Lm, Ln là bộ 3 vòng lặp không trùng nhau, Hệ trên chỉ có 2 vòng lặp L 1, L2 là không trùng nhau ( không có đoạn nào giống nhau). Δ 1  L k  L i .L j  L l .L m .L n = 1 – ( L1 + L2 + L3 + L4) + L1. L4 = k i,j l,m,n = 1 + G4. H1 + G2. G3. G4. G5. H2 + G6. G4. G5. H2 + G2. G7. H2 Bước 4: Xác định k từ bằng cách trong công thức (2.3.2.1) ta bỏ đi tất cả những vòng lặp có đoạn nối chung với Pk . Tức là: 1= 1 – L1 = 1 + G4. H1 ( tất cả các vòng lặp đều không có đoạn nối chung với P1) 2 = 1 ( tất cả các vòng lặp đều có đoạn nối chung với P2 ( có G1) 3 = 1 ( Vòng lặp có đoạn chung với P3 ) Bước 5: Xác định hàm truyền đạt G(s) theo công thức Mason: 1 G(s) = (Pk .Δk ) Δ k 1 Vậy G(s) = . ( P1. 1 + P2. 2 + P3. 3) = Δ
G .1. G . G .(1 G H ) G .1. G . G . G G . G . G . G . G = 1 2 7 4 1 1 6 4 5 1 2 3 4 5 1 G 4 . H1 G 2 . G 3 . G 4 . G 5 . H 2 G 6 . G 4 . G 5 . H 2 G 2 . G 7 . H 2 Ví dụ 1: Cho hệ thống có sơ đồ khối như sau, sơ đồ Graph tín hiệu tương đương như hình vẽ H2 u - y G1 G2 G3 - H1 -H2 u 1 G1 G2 G3 y H1 -1 Hình 2.44 Hệ chỉ có một tuyến thẳng đó là: P1 = G1. G2. G3 Hệ có 3 vòng lặp từng đôi một có đoạn nối chung: L1 = G1. G2. H1 L2 = -G2. G3. H2 L3 = -G1. G2. G3 Vậy, Δ 1  L k  L i .L j  L l .L m .L n = 1 – ( L1 + L2 + L3) = k i,j l,m,n = 1 - G1. G2. H1 +G2. G3. H2 + G1. G2. G3 Do tất cả các vòng lặp cũng đều có tuyến thẳng P1 nên 1= 1 Hàm truyền của hệ thống là: 1 1 G1.G 2 .G 3 G(s) = (Pk .Δ k ) = . P1. 1 = Δ k Δ 1- G1.G 2 . H1 G 2 .G 3 . H 2 G1.G 2 .G 3 Ví dụ 2: Xét một hệ thống gồm 2 bình chứa chất lỏng như sau u(t) p1 p2 h1 h2 r1 r2 y(t) A1 q A2 Hình 2.45
Chất lỏng được bơm vào bình thứ nhất với lưu lượng u(t). Nếu chất lỏng trong bình thứ nhất có độ cao h 1, áp suất p1, hệ số chuyển đổi áp suất, lưu lượng r 1, hệ số áp suất, độ cao g. lưu lượng chảy sang bình thứ hai là q và h 2, p2, r2 là độ cao, áp suất, hệ số chuyển đổi áp suất, lưu lượng của chất lỏng trong bình thứ 2. Theo các định luật vật lý, giữa những thông số kỹ thuật đó có quan hệ: dh1 A1. = u(t) – q dt 1 q = . (p1 – p2) r1 dh 2 A2. = q – y(t) dt 1 y(t) = . p2 ( áp suất tại đầu ra được xem như bằng 0) r 2 p1 = .h1 p2 = .h2 Trong đó y(t) là lưu lượng chất lỏng chảy ra khỏi bình thứ 2. Từ những hiểu biết lý thuyết ban đầu đó của hệ thống ta có sơ đồ khối và sơ đểu Graph mô tả tín hiệu mô tả hệ thống. y(t) u(t) p1 q 2 p2 1 h1  1 1 h  1 A1s r1 A2s r2 1  1 1  1 u(t) A1s r1 A2s r2 y(t) -1 -1 -1 Hình 2.46 Từ sơ đồ trên ta thấy hệ chỉ có một tuyến thẳng:  2 P1 = 2 r1 .r2 .A1 .A 2 .s Hệ có 3 vòng lặp:  L1 = - r1 .A1 .s  L2 = - r1 .A 2 .s  L3 = - r2 .A 2 .s Trong đó có 2 vòng lặp L1 và L2 không có nhánh nào chung. Nên
Δ 1  L k  L i .L j  L l .L m .L n k i,j l,m,n      = 1 – ( L1 + L2 + L3) + L1.L3 = 1 + ( + + ) + . r1 .A1 .s r1 .A 2 .s r2 .A 2 .s r1 .A1 .s r2 .A 2 .s 2 2 r2 .A1 .r1 .A 2 .s  .(r1 .A1 r2 .A1 r2 .A 2 ).s  = 2 r1 .r2 .A1 .A 2 .s Vì cả 3 vòng lặp trên đều có nhánh nối chung với P1 nên 1 1 Vậy hàm truyền đạt: 2 2 P1 .Δ1  r1 .r2 .A1 .A 2 .s G(s) = = 2 .2 2 = Δ r1 .r2 .A1 .A 2 .s r2 .A1 .r1 .A 2 .s  .(r1 .A1 r2 .A1 r2 .A 2 ).s   2 = 2 2 r2 .A1 .r1 .A 2 .s  .(r1 .A1 r2 .A1 r2 .A 2 ).s  2.4. Các hệ thống lấy mẫu dữ liệu Như đã biết, hệ thống liên tục là hệ có các biến số vào và ra được truyền đi và biến đổi liên tục theo thời gian, có thể quan sát vào bất cứ thời điểm nào. Nhưng trong điều khiển còn có nhiều hệ thống mà các biến số chỉ được đưa vào và xử lý gián đoạn, nó cho đáp ứng tại các thời điểm gián đoạn đó là các hệ thống rời rạc mà các tín hiệu truyền đi không liên tục. Có các dạng hệ thống gián đoạn: - Các hệ thống lấy mẫu gián đoạn từ các hệ liên tục, biến đổi tín hiệu liên tục thành gián đoạn gọi là lượng tử hoá - Các hệ thống làm việc theo chu kỳ - Các hệ thống có cấu trúcc chu kỳ Hệ rời rạc, gián đoạn có những ưu điểm: - Làm việc ít tốn năng lượng, có tính kinh tế - Có thể điều khiển nhiều kênh đồng thời, chống nhiễu tốt - Truyền và giữ tin được lâu - Về lý thuyết không cần phép tính tích phân và vi phân nên đơn giản hơn - Có nhiều tính chất giống như hệ liên tục - Mô hình toán là các phương trình lặp ( phục hồi lại) * Mô hình toán của hệ thống rời rạc Xét hệ xung lấy mẫu gián đoạn: u(t) K K y(t) HÖ thèng Hình 2.47
Đóng và mở bộ ngắt K theo chu kỳ để mạch của nó không liên tục được nữa; ta sẽ được các xung gián đoạn liên tiếp nhau tạo thành một chuỗi tín hiệu xung. Mỗi xung kéo dài một thời gian t . Giả sử thao tác bộ ngắt K sao cho t càng nhỏ ( t 0) với một chu kỳ lấy mẫu cố định T thì các xung càng thu hẹp lại và ta chọn tỷ lệ thời gian sao cho chu kỳ lấy mẫu T = 1, tức là u(kT) = u(k) y(kT) = y(k) k = 0, 1, 2, 3, là các số nguyên Phương trình lặp đại số có dạng sau: any(k+n) + an-1y(k + n -1) + + a1y(k + 1) + a0 y(k) = bm u( k+m) + bm-1u(k + m -1) + + b1 u(k + 1) + b0 u(k) Trong phương trình trên không có vi phân, cũng không có tích phân gọi là phương trình lặp lại để diễn tả hệ rời rạc ( lấy mẫu) tương đương với phương trình vi phân của hệ liên tục. k: là biến độc lập với các giá trị 0, 1, 2, 3, u(k): là một chuỗi rời rạc mô tả tín hiệu vào y(k): là một chuỗi rời rạc khác mô tả tín hiệu ra. TÝn hiÖu vµo TÝn hiÖu ra u(kT)  y(kT)  t t 0 T 2T 3T 4T 5T 0 T 2T 3T 4T 5T b) c) y(3) u(k) u(3) y(k) u(2) y(2) u(4) y(4) y(5) u(1) u(5) y(1) k k 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 Chuçi rêi r¹c Chuçi rêi r¹c e) f) Hình 2.48 * Toán tử gián đoạn: Hệ thống gián đoạn cũng quy định một vài toán tử với hàm cần tìm. - Toán tử cộng thêm 1: E (k) = k + 1
E[f(k)] = f( k+ 1) E Em En f(k) f(k+1) k k+m k+m+n E[f(k)] = f(k+1) Tính chất của toán tử E: Tính lặp lại: En(k) = k + n Tính nghịch đảo: E-n(k) = k – n Tính gộp: Em. En = Em+n E[Cf(k)] = C.f(k+1) = C. E[f(k)] ; C là hằng số E[f1(k) + f2(k)] = f1( k+1) + f2(k + 1) = E[f1(k)] + E[f2(k)] n n E[C1.f1(k) + C2.f2(k) + + Cn. fn(k)] = C i .fi (k 1) C i .E[fi (k)] i 1 i 1 Hàm truyền đạt: Phương trình lặp: any(k+n) + an-1y(k + n -1) + + a1y(k + 1) + a0 y(k) = = bm u( k+m) + bm-1u(k + m -1) + + b1 u(k + 1) + b0 u(k) n n-1 m an.E [y(k)] + an-1.E [ y(k)] + + a1. E[y(k)] + a0 y(k) = bm. E [u(k)] + m-1 + bm-1. E [u(k)] + + b1. E[u(k)] + b0. u(k) Ta có : D(E).y(k) = N(E) u(k) n n-1 Trong đó: D(E) = an.E + an-1.E + + a1. E + a0 m m-1 N(E) = bm. E + bm-1. E + + b1. E + b0 Hàm truyền của hệ thống: m m 1 N(E) b m .E b m 1E b 0 H(E) = = n n 1 D(E) a n E a n 1E a 0 f(k) *Toán tử sai phân [f(k)] = f(k+1) – f(k) f(k+1) f(k) f(k) k 0 k k+1 Hình 2.49 Các tính chất: 1. [Cf(k)] = Cf(k+1) – C f(k) = C f(k) 2. [f1(k) + f2(k)] = [ f1(k+1) + f2(k+1)] – [ f1(k) + f2(k)] = f1(k) - f2(k)
n n n 3. [C1f1(k) + C2f2(k) + + Cnfn(k)] = C i .fi (k 1) C i .fi (k) C i . fi (k) i 1 i 1 i 1 4. [f(k)] = f(k+1) – f(k) = E f(k) – f(k) = ( E – 1)f(k) ; = E – 1 5. [f(k)] = f(k+1) – f(k) 6. 2[f(k)] = [ f(k)] = f(k+1) - f(k) 7. n[f(k)] = [ n-1f(k)] = n-1f(k+1) - n-1f(k) n[f(k)] = (E-1)n [f(k)] = [ En - n n(n 1) n .E n 1 .E n 2 ( 1)r .C r E n r ].f(k) E n [f(k)] E n 1[f(k)] 1! 2! n 1! n r r r r r r ( 1) C n [f(k)] f(k n) nf(k n 1) ( 1) C n f(k n r) ( 1) C n f(k n r) r 0 n! Trong đó: C r n r!.(n r)! 8. mn[f(k)] = m. n[f(k)] = n. m[f(k)] Còn dùng toán tử sai phân ngược: f(k) = f(k) – f( k- 1);  = 1 – E-1 * Biến đổi Z: Trong các hệ tuyến tính liên tục ta đã dùng biến đổi Laplace; các hệ này có tính nhân quả ( tích phân một phía từ 0 đến ); Với định nghĩa biến đổi Laplace của hàm f(t) là: st L {f(t)} = f (t).e dt 0 Giữa biến đổi Laplace của hệ tuyến tính liên tục và biến đổi Z của hệ tuyến tính rời rạc có mối liên quan chặt chẽ. Phép nhân 2 tín hiệu có thể thực hiện được bằng một sự biến điệu (modulation). Các xung lấy mẫu gián đoạn từ một tín hiệu liên tục f(t) có thể xem như kết quả của một sự biến điệu của một chuỗi rời rạc Y(kT) theo biên độ của tín hiệu liên tục và có cùng chu kỳ với chu kỳ lấy mẫu gián đoạn. f(t) y(kT) f(T) f(2T) f(5T) f(0) f(3T) t t 0 0 T 2T 3T 4T 5T y(kT) y(kT) f(t) f(kT) t 0 T 2T 3T 4T 5T
Hình 2.50 Ta có : f(kT) = f(t). Y(kT) Chuỗi rời rạc Y(kT) có thể là chuỗi Kronecker hoặc chuỗi Dirac. Chuỗi Kronecker nhân quả ( 1 phía) là một chuỗi xung có biên độ bằng 1, tác động tại các giá trị bằng 0 hoặc nguyên dương của k ( k 0): Y(kT) =  d(k j)T , với T = 1 ta có chuỗi như hình vẽ sau: j 0 y(k) d(k) d(k-1) d(k-2) d(k-3) d(k-4) d(k-5) 1 k 0 1 2 3 4 5 Hình 2.51 1; nÕu k j Y(k) =  d(k j) Trong đó: d( k-j) = với j là số nguyên, j 0 j 0 0 ;nÕu k j Ta có các xung lấy mẫu gián đoạn của f(t): f(kT) = f(t). Y(kT) – f(t)  f(kT).e-skT f(t).e st dt 0 0 Đặt esT = Z với T = 1 nên Z = es Vậy biến đổi Z của chuỗi f(k). Y(k): Z[f(k).Y(k)] = F(Z) =  f(k).Z-k Với k = 0,1, 2, 3, k 0 Biến đổi Z là một thuật toán qua đó một chuỗi đưa vào f(k) sẽ cho ra một chuỗi vô tận f(k).Z-k. Tức là, nếu f(k) = [ f(0), f(1), f(2), , f(k), ] Z[f(k)] = f(0), f(1).Z-1, f(2). Z-2, Biến đổi Z của một chuỗi f(k) chỉ tồn tại nếu chuỗi biến đổi Z đó tuyệt đối hội tụ: [Z] > Rc : Chuỗi hội tụ [Z] < Rc : Chuỗi phân kỳ. Rc là bán kính của vòng tròn hội tụ ( Tâm của vòng tròn là gốc của mặt phẳng phức. Các điểm ở ngoài vòng tròn diễn tả tính hội tụ của chuỗi F(k), các điểm trong vòng tròn diễn tả tính không hội tụ, còn các điểm nằm trên đường tròn là điểm đặc biệt phải xét riêng. 2.5. Hàm truyền đạt của hệ thống rời rạc a) Đáp ứng xung của hệ rời rạc
Cũng như ở hệ liên tục, đáp ứng xung của hệ rời rạc, vô hướng ( 1 biến) là đáp ứng của hệ đó với xung Dirac ( Kronecker). Hệ lúc đầu ở trạng thái dừng, điều kiện đầu bằng 0 x(0) = 0; tín hiệu xung Dirac áp lên hệ vào thời điểm k 0T và đáp ứng được xét ở thời điểm kT ( k > k0). Đáp ứng xung là một chuỗi [ h(kT, k0T)] Giả sử T = 1: d(k-k0) h(k,k0) HÖ thèng k §iÒu kiÖn k 0 k0 ®Çu b»ng 0 0 k0 k Hình 2.52 Vì vậy với một hệ rời rạc, vô hướng , nhân quả, tuyến tính, hệ số cố định ta có: Tín hiệu vào là xung d( k- j ) thì tín hiệu đầu ra là đáp ứng xung h ( k- j). Tín hiệu vào là chuỗi u(k) =  u (j). d(k j) thì tín hiệu ra là chuỗi j 0 y(k) =  u(j). h(k j) j 0 Do đó: y(k) =  u(j). h(k j) với i, j = 0, 1, 2, 3 , j 0 y(k) = u(k). h(k) Nếu u(k) = d(k) là tín hiệu xung đơn vị ( Dirac hoặc Kronecker) thì đầu ra đáp ứng xung là h(k). “Như vậy đáp ứng của một hệ rời rạc, vô hướng , nhân quả, tuyến tính, bất biến là tích chập của tín hiệu vào u(k) với đáp ứng xung h(k) của hệ đó”. b) Hàm truyền của hệ rời rạc y(k) = u(k). h(k) Ta có biến đổi Z là: Z[y(k)] = Z[h(k)]. Z[u(k)] Y(Z) = H(Z). U(Z) H(Z) là hàm truyền của hệ rời rạc, đó là biến đổi Z của đáp ứng xung h(k) của hệ. Y(Z) H(Z) = U(Z) 2.6. Ứng dụng MatLab Nhập mô hình của hệ thống điều khiển trong MatLab: m m 1 b S b .S b s b num(S) G(S) = m m 1 1 o = n n 1 den(S) S a n 1.S a1.S a o
>> num = [ bm bm-1 . . . b1 b0 ] >> den = [ 1 an-1 . . . a1 a0 ] >> sys = tf (num, den) Kết quả: Tranfer function num(S) den(S) Hoặc: >> S = tf(’s’) num(S) >> G(s) = den(S) Mô hình điểm không - điểm cực: >> [z, p, k] = residue (num, den) >> z = zero (sys) >> [p,z] = pzmap (sys) ( Hiển thị đồ thị cực - không) >> p = pole (sys) Tìm nghiệm mẫu số của hàm truyền đạt: >> c = [ 1 an-1 . . . a1 a0 ] >> p = roots (c) Đồ thị đáp ứng của hệ thống điều khiển: >> impulse (num, den,t) >> Step (num, den, t) >> Lsim (num,den,u, t) Chuyển từ hàm truyền đạt sang phương trình trạng thái: >> [A, B, C, D] = tf2ss (num, den) Và ngược lại: >> [num, den] = ss2tf ( A,B, C, D) Chuyển sang mô hình hệ thống gián đoạn: >> sysd = c2d (sys , Ts) >> sysc = d2c (sysd) Đáp ứng của hệ thống gián đoạn: >> dimpulse (num, den) >> Dstep(num, den) >> dlsim(num, den)
Chương 3 PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI * Đặt vấn đề: - Các hệ thống tuyến tính liên tục được mô tả bởi hệ n phương trình vi phân cấp một mô tả n trạng thái của hệ thống mô hình toán hệ thống viết dưới dạng ma trận. x (t) = A. x(t) + B. u(t) ; xo = x(o) (3-1) và y(t) = C. x(t) + D. u(t) (3-2) Ở đây: x  n, u r, y P tương ứng là các vectơ trạng thái, các đầu vào, các đầu ra. Ma trận hệ số A n n mô tả các mối liên hệ bên trong hệ thống. Các ma trận Bn r , CP n , DP r , đặc trưng cho mối liên hệ với bên ngoài của hệ thống. Nếu không có đường dẫn trực tiếp giữa các đầu vào với đầu ra thì DP r là ma trận zero. * Mô hình không gian trạng thái của hệ thống điều khiển gián đoạn (tuyến tính) là các phương trình sai phân. x(k+1) = Ad . x(k) + Bd.u(k) , x(o) = xo (3-3) y(k) = Cd x(k) + Ddu(k) (3-4) 3.1- Các mô hình không gian trạng thái. Mô hình không gian trạng thái của hệ thống động lực học liên tục đều có thể diễn tả hệ thống trong lĩnh vực thời gian bằng các phương trình vi phân hoặc hàm truyền dưới bốn dạng (form) sau: - Dạng điều khiển (không gian pha). (Controller canonical form). - Dạng quan sát (không gian quan sát). (observer canonical form). - Dạng modal (không gian modal). (Modal canonical form). - Dạng Jordan (không gian Jordan). 3.2- Mô hình không gian trạng thái và các phương trình vi phân. Hệ thống động lực học cấp n được mô tả bằng phương trình vi phân cấp n. d n y(t) d n 1y(t) dy(t) + an-1 + + a1 + aoy(t) = dt n dt n 1 dt d n u(t) d n 1u(t) du(t) = bn + bn-1 + + b1 + bou(t) (3-5) dt n dt n 1 dt Ta giả thiết các điều kiện đầu của hệ thống
dy(o ) d n 1y(o) y(o-) , , , đồng thời bằng không, ta tiến hành biến đổi phương dt dt n 1 trình vi phân cấp n thành hệ n phương trình vi phân cấp 1. + Xét phương trình vi phân cấp n sau: d n y(t) d n 1y(t) dy(t) + an-1 + + a1 + aoy(t) = u(t) (3-6) dt n dt n 1 dt Đổi biến theo: x1(t) = y(t) dy(t) x2(t) = dt d 2 y(t) x3(t) = (3-7) dt 2 . . . . . . . . d n 1y(t) xn(t) = dt n 1 Tiến hành lấy đạo hàm hai vế các phương trình (3-7). dx1 (t) dy(t) = x 1 = = x2(t) dt dt 2 dx 2 (t) d y(t) = x 2 = = x3(t) (3-8) dt dt 2 . . . . . . . . n n 1 dx n (t) d y(t) dy(t) d y(t) = x n = = - ao(y(t) - a1 - - an-1 + u(t) d(t) dt n dt dt n 1 = - aox1(t) - a1x2(t) - - an-1 xn(t) + u(t) Vậy không gian trạng thái (3-8) viết dưới dạng ma trận x 1 0 1 0   0 x1(t) 0 x 2 0 0 1   0 x2(t) 0 x 3          =      0  +  u(t) x n-1 0 0   0 1 xn-1(t) 0 x n -ao -a1    -an-1 xn(t) 1 (3-9) Đầu ra được viết theo (3-7). T y(t) = [1 0 0 0] [x1(t) x2(t) xn(t)] (3-10) (3-9) và (3-10) được gọi là dạng chính tắc của không gian pha.
+ Đối với hệ thống được mô tả bởi phương trình (3-5) ta có: y(t) = [(bo - aobn) (b1-a1bn) (bn-1 - an-1)] T [x1(t) x2(t) xn(t)] + bn u(t) (3-11) Với: bn = 0 ta có: T y(t) = [bo b1 bn-1] [x1(t) x2(t) xn(t)] (3-12) 3.3- Xác định các biến trạng thái từ hàm truyền. Phần này giới thiệu các kỹ thuật hình thành mô hình không gian trạng thái từ hàm truyền của hệ thống thường được áp dụng trong thực tế. Đó là kỹ thuật chương trình trực tiếp và kỹ thuật chương trình song song. Để đơn giản ta xét với hệ thống một đầu vào một đầu ra. 3.3.1- Mô phỏng HT theo dạng điều khiển chính tắc. Kỹ thuật này được sử dụng thuận lợi khi hàm truyền của thiết bị dạng đa thức không phân tích ra thừa số được. n n 1 Y(s) b nS b n 1S b1S bo = n n 1 (3-13) U(s) S a n 1S a1S a o Ở đây ta sử dụng biến phụ V(s). (Tính điều khiển được của hệ thống là với một tác động vào liệu có chuyển được trạng thái của hệ từ thời điểm đầu t o đến thời điểm cuối trong khoảng thời gian hữu hạn không?). Y(s) n n-1 = bnS + bn-1S + + b1S + bo (3-14a) V(s) V (s) 1 = (3-14b) U (s) n n 1 S a n 1S a1S a o Sơ đồ khối mô tả hệ thống có sử dụng biến phụ V(s). U(s) V(s)/U(s) V(s) Y(s)/V(s) Y(s) Hình 3.1 Phương trình (3-14a) được viết lại như sau: n n-1 Y(s) = bnS V(s) + bn-1S V(s) + + b1S.V(s) + boV(s) (3-15) Điều này chỉ ra rằng y(t) là sự chồng chất của V(t) và các đạo hàm của nó vì ta có thể trình bày (3-14a, b) dưới dạng phương trình vi phân khi điều kiện đầu đồng nhất bằng không bằng cách thay: d d i S  ; Si  ; V(s)  v(t), dt dt i
Xây dựng mô hình không gian trạng thái của hệ thống từ các hàm truyền bằng cách sử dụng sơ đồ mô phỏng rất thuận tiện. Trong các trường hợp hệ thống liên tục sơ đồ mô phỏng các máy tính tương tự giải các phương trình vi phân mô tả các hệ thống động lực học sử dụng các bộ tích phân, bộ cộng bộ trừ và nhân được thực hiện như là bộ khuếch đại thuật toán. Số khối tích phân phụ thuộc vào cấp của phương trình vi phân. + Sơ đồ mô phỏng (3-14a, b) như sau: Sử dụng kỹ thuật chương trình trực tiếp: đặt n khối tích phân nối tiếp với đầu vào tương ứng là V(n)(t) , v(n-1)(t) , , V(1)(t) , v(t). i Áp dụng (3-15) xác định y(t) bằng cách nhân đầu vào v (t) với các hệ số b i và cộng bằng bộ cộng  . + Từ (3-14b) ta có: (n) (n-1) (1) v (t) = u(t) - an-1 v (t) - - a1v (t) - aov(t) (3-16) Các phép trừ mô phỏng bằng mối liên hệ ngược trên sơ đồ ta có: bn b2 b1 x n x  y(t) U(t) xn  2 x2 x 1 x1  (n) 1/S 1/S 1/S bo  V V(n-1) v(1) v(0) -an-1 -a1 -ao Hình 3-2: Sơ đồ mô phỏng kỹ thuật chương trình trực tiếp (dạng điều khiển chính tắc). Theo hình 3-2 ta có mô hình không gian trạng thái của hệ thống dạng điều khiển chính tắc. 0 1 0   0 0 0 0 1   0 0 x (t) =       x(t) + 0 u(t)      1  -ao -a1 -a2   -an-1 1
(3-17) Và y(t) = [(bo-aobn) (b1 - a1bn) (bn-1 - an-1 bn)] x(t) + u(t) . bn (3-18) (Để chuyển từ hàm truyền sang dạng không gian trạng thái trong Matlab sử dụng hàm tf2ss). Ví dụ: Cho hàm truyền. 1.65S4 0.331S3 576S2 90.65 19080 G(s) = S6 0.996S5 463S4 97.853 12131S2 811S a) Vẽ sơ đồ mô phỏng hệ thống (dạng điều khiển). b) Dựng mô hình không gian trạng thái của hệ thống. 3.3.2- Mô phỏng HT theo dạng quan sát chính tắc. Cùng với dạng điều khiển, dạng quan sát chính tắc là quan hệ quan trọng đối với lý thuyết điều khiển hiện đại. * Quan sát được của một hệ thống là với các toạ độ đo được ở biến ra y(t) của hệ thống liệu ta có thể khôi phục được các vectơ trạng thái x(t) trong thời gian hữu hạn không? Không gian trạng thái của hệ thống và dạng quan sát chính tắc của nó được xác định có cấu trúc rất đơn giản. Xuất phát từ hàm truyền (3-13) ta có: n n-1 n n-1 Y(s)(S + an-1S + + a1S + ao) = U(s) (bnS + bn-1S + + b1S + bo) (3-18) 1 n-1 1 n Y(s) = - (an-1.S + + a1S + ao) Y(s) + . U(s) (bnS + Sn Sn n-1 + bn-1S + + b1S + bo) (3-19) Khai triển ra ta có: 1 1 1 1 Y(s) = - an-1 . Y(s) - an-2 Y(s) - - a1 Y(s) - ao Y(s) + S S2 Sn 1 S n 1 1 1 + bnU(s) + bn-1 U(s) + + b1 U(s) + bo U(s) S Sn 1 Sn Mối quan hệ (3-20) được thể hiện trên sơ đồ mô phỏng qua n tầng tích phân. 1 Nhãn của các tín hiệu đặt quá tầng tích phân ví dụ một khối chỉ một tầng tích S phân. Tín hiệu an-2 y(t) và bn-2U(t) chỉ vượt qua hai tầng tích phân, a oy(t) và bo u(t) vượt qua n tầng tích phân.
U(s) bo b1 bn-1 bn x 1 x2 x n-1 xn-1 x n xn y(s) + 1/S + 1/S  1/S + 1/S + - ao - a1 - an-1 Hình 3-3: Sơ đồ khối mô phỏng dạng quan sát chính tắc. + Các biến trạng thái như là đầu ra của các khối tích phân quan hệ đầu ra với các biến trạng thái theo sơ đồ trên ta có: Y(t) = xn(t) + bnu(t) (3-21) x 1(t) = - aoy(t) + bou(t) = - aoxn(t) + (bo - aobn) u(t) x 2(t) = - a1y(t) + b1u(t) + x1 = x1(t) - a1xn(t) + (b1 - a1bn) u(t) x 3(t) = - a2y(t) + b2u(t) + x2 = x2(t) - a2xn(t) + (b2 - a2bn) u(t) x n(t) = - a1-1y(t) + bn-1u(t) + xn-1 = = xn-1(t) - an-1xn(t) + (bn-1 - an-1bn) u(t) (3-22) Từ (3-21) và (3-22) ta dễ dàng viết dưới dạng ma trận của dạng quan sát chính tắc: 0 0   -ao bo - aobn 1 0   -a1 b1 - a1bn x (t) = 0 1   -a2 x(t) + b2 - a2bn u(t)  0 1   . 0 0 0  -an-2 . 0 0 0 1 -an-1 bn-1 - an-1bn (3-23) và y(t) = [ 0 0 0 1] x(t) + bn u(t) (3-24) 1,65S4 0,331S3 576S2 90,6S 19080 Ví dụ: G(s) = S6 0,996S5 463S4 94,8S3 12131S2 8,11S Hãy viét dạng quan sát chính tắc dưới dạng ma trận. 3.3.3- Kỹ thuật mô phỏng chương trình song song. Đối với kỹ thuật này ta phân ra làm hai trường hợp: đa thức mẫu có nghiệm thực riêng biệt và có nghiệm lặp.
a) Đa thức mẫu có hàm truyền, có nghiệm riêng biệt. Dạng không gian trạng thái này thuận tiện cho các ứng dụng kiểu này bắt nguồn từ việc khai triển hàm truyền thành tổng các phân thức. Một cách tổng quát m < n thì: Y(s) P (s) = m U(s) (S p1 )(S p 2 ) (S p n ) r r r = 1 + 2 + + n + k (3-25) S p1 S p2 S pn Ở đây p 1 , p2 , , pn các nghiệm riêng biệt (các cực) của đa thức mẫu của hàm truyền. - Sơ đồ khối mô phỏng dạng này như sau: x 1 x1 + 1/S r1 - p1 u(t) x 2 x2 y(t) + 1/S r2  - p2  x n xn + 1/S rn - pn (Dạng modal chính tắc) Hình 3-4: Sơ đồ khối mô phỏng kỹ thuật lập trình song song. Mô hình không gian trạng thái theo sơ đồ khối này như sau: -p1 0   0 1 0 -p2   0 1 x (t) = 0 1    x(t) +  u(t) (3-26)     0  0 0 0 0 -pn 1 y(t) = [ k1 k2 kn ] x(t) (3-27) b) Đa thức mẫu có nghiệm lặp.
Khi hàm truyền có cực thực lặp. Giả thiết cực p1 lặp r lần. Y(s) N(s) = r U(s) (S p1 ) (S p r 1 ) (S p n ) Dạng khai triển của nó là: Y(s) k11 k12 k1r k r 1 k n = +2 + + r + + + U(s) S p1 (S p1 ) (S p1 ) S p r 1 S p n k1r+1 k1r+1 x x 2 x 1 y(t) r xr  x2 x1 + 1/S + 1/S + 1/S k1r  - p1 - p1 - p1 u(t) x r+1 xr+1 + 1/S kr+1 - p1  + 1/S kn - pn Hình 3-5: Sơ đồ mô phỏng dạng Jordan chính tắc. 3.3.4- Các mô hình của hệ thống gián đoạn. 1 (tương tự trong sơ đồ chỉ thay khối  Z-1 ). S 3.4. Xác định hàm đáp ứng từ phương trình trạng thái 3.4.1. Hệ thống điều khiển liên tục Phương trình trạng thái của hệ theo (3.1) và (3.2) Nghiệm của (3.1): t x(t) = eAt. x(0) + e At .B.u( )d (3-28) 0 t y(t) = C. eAt. x(0) + C. e At .B.u( )d + D. u(t) (3-29) 0 y(t) = yqđ(t) + yôđ(t)
Đáp ứng quá độ: Là đáp ứng của hệ thống không phụ thuộc vào kích thích u(t) mà do các điều kiện đầu của hệ ( trạng thái ban đầu). Gọi là dao động tự do của hệ thống. Đáp ứng ổn định: Đáp ứng phụ thuộc vào u(t). Đặc trưng cho quá trình cưỡng bức của u(t) làm cho hệ thống ổn định. 3.4.2. Hệ thống điều khiển gián đoạn Phương trình trạng thái được biểu diễn ở (3-3) và (3-4) Nghiệm của phương trình (3-3): n 1 k-k k j 1 x(k) = A 0. x(k0) +  A .B.u( j) (3-30) j k0 n 1 k-k k j 1 y(k) = C. A 0. x(k0) + C. A .B.u( j) + D.u(k) (3-31) j k0 3.4.3. Các phương pháp tìm đáp ứng Tìm ma trận trạng thái: eAt - Toán tử Laplace: Áp dụng công thức: eAt = l-1 [ (SI - A)-1] - Phương pháp Sylvester: Dựa vào trị riêng của ma trận A: Tìm trị riêng bằng cách tìm nghiệm của phương trình sau det (I - A) = 0, giải phương trình được các nghiệm:    n. At  n Ta có: e =  t   t A  t A  n(t).A Trong đó: Các hệ số  t   t   t   n(t) xác định từ hệ phương trình sau 2 n 1 t1  t  t   t 1  n(t).1 e 2 n 1 t2  t  t   t 2  n(t).2 e . . . 2 n 1 tn  t  t n  t n  n(t).n e
Chương 4 ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG TUYẾN TÍNH 4.1- Khái niệm chung. Các chương II và III đã trình bày mô tả toán học của hệ thống của hệ thống điều khiển truyền động. Chương này sẽ sử dụng các tư liệu của các chương đã trình bày trước đây để giải quyết nhiệm vụ đầu tiên khi phân tích hệ thống điều khiển tự động là xác định tính ổn định của nó. Thực ra việc nói một hệ thống ổn định là nói đến một số đại lượng nào đó được điều khiển ổn định. Một hệ thống thường biểu diễn bằng phương trình vi phân tổng quát: d n y(t) d n 1y(t) dy(t) + an-1 + + a1 + aoy(t) = dt n dt n 1 dt d m u(t) d m 1y(t) du(t) = bm + bm-1 + + b1 + bou(t) (4-1) dt m dt m 1 dt Hoặc phương trình sai phân: y(k+n) + an-1y(k+n-1) + + a1y(k+1) + aoy(k) = = bmu(k+n) + bm-1u(k+m-1) + + b1u(k+1) + bou(k) (4-2) Sẽ bao gồm hai quá trình: Quá trình xác lập và quá trình quá độ. Đặc trưng bằng nghiệm: y(t) = yo(t) + yqđ(t) (4-3) Hoặc y(k) = yo(k) + yqđ(k) (4-4) Trong đó: - yo là nghiệm riêng của (4-1) hoặc (4-2) đặc trưng cho quá trình xác lập. - yqđ là nghiệm tổng quát của (4-1) hoặc (4-2) khi không có vế phải đặc trưng cho quá trình quá độ. Quá trình xác lập là một quá trình ổn định vấn đề chỉ còn xét quá trình quá độ yqđ. 4.2- Khái niệm ổn định và các định nghĩa chính. Đối với hệ thống tuyến tính, ổn định của hệ thống có mối liên hệ tới ma trận A của hệ thống. Có thể nói đại khái rằng ổn định của các hệ thống này là tính chất của ma trận hệ thống A. Đối với hệ thống liên tục hay gián đoạn khi không có đầu vào (đầu vào bằng không). x (t) = A. x(t) ; x(to) = xo (4-5) x(k+1) = A.x(k) ; x(ko) = xo (4-6)
Theo điều kiện biên nghiệm của (4-5) và (4-6): A (t-to) k-ko x(t) = e xo ; x(k) = A xo (4-7) Để hệ thống ổn định đòi hỏi: x(t) Const < (t) x(k) Const < (k) (4-8) n 1 2 2 Ở đây: x = x i i 1 (4-7) đặc trưng cho đáp ứng quá độ của hệ thống ở thời kỳ quá độ khi có đầu vào. Các định nghĩa sau về ổn định của hệ thống đóng vai trò quan trọng nghiên cứu ổn định của hệ thống tuyến tính. Định nghĩa 1: Một hệ thống là ổn định nếu chuyển động của nó được giới hạn, nói một cách khác nếu vectơ trạng thái bị giới hạn bởi hằng số. Định nghĩa 2: Một hệ thống là xu hướng ổn định nếu x(t) 0 khi t . * Đối với hệ thống tuyến tính bất biến. Ổn định của nó quan hệ chặt chẽ với các trị riêng của hệ thống. 4.3- Trị riêng và tính ổn định của hệ thống. 4.3.1- Trị riêng và vectơ riêng. Xét phương trình vectơ: y = A x (4-9) Với x, y là các vectơ cột, còn A là ma trận vuông. Theo quan hệ này ta có vectơ y cùng hướng với vectơ x. Nghĩa là quan hệ giữa x và y là quan hệ tuyến tính với hệ số  . y = A . x =  . x (4-10)  là một đại lượng vô hướng (hệ số tỷ lệ). Đây chính là bài toán trị riêng (eigen values). Các giá trị i để phương trình y = A.x có nghiệm xi 0. i trị riêng. xi vectơ riêng. A.x =  . x hay (A -  . I) . x = 0 Phương trình này có nghiệm không tầm thường khi: det (A -  . I) = 0 (4-11) (4-11) được gọi là phương trình đặc trưng.
3 4 Ví dụ: Cho: A = 1 3 Tìm trị riêng của A và các vectơ riêng ta có: 3 4 x1 x1 1 3 x2 =  x2 det 3 4 -  1 0 = det 3- 4 1 3 0 1 1 3- = (3 - )2 - 4 = 2 - 6 + 5 = 0 1 = 1 ; 2 = 5 Véc tơ riêng ứng với trị riêng 1 = 1. x1 = - 2x2 Vậy x1 = 1 k1 x2 1 -1/2 4.3.2- Ổn định của hệ thống có các trị riêng phân biệt. - Phương trình (4-5) của hệ thống cấp n có thể được viết dưới dạng các trị riêng và vectơ riêng của hệ thống: 1t 2t n t x(t) = C1 e v1 + C2 e v2 + + Cn e vn (4-12) Ở đây: Ci , i = 1, 2, , n ; các hằng số; i , i = 1, 2, , n ; các trị riêng của A; vi , i = 1, 2, , vn; các vectơ riêng của ma trận A. - Theo (4-12) thấy rằng toàn bộ các trị riêng là số thực phân biệt i 0 với một vài i thì (x(t) hệ thống không ổn định.
Re{i} 0 hệ thống ổn định. Định lý 4.1: Hệ thống tuyến tính liên tục, tiền định có các trị riêng phân biệt là ở trong vùng ổn định nếu Re {i} = i 0. + Phân tích tương tự đối với hệ thống gián đoạn: x(k+1) = Ax(k) ; x(ko) = xo (4-14) k.ko Có nghiệm: x(k) = A xn , với k - ko 0 (4-15) Giới hạn: a 1; nếu a 1 hệ thống không ổn định. Định lý 4.2: Đối với hệ thống gián đoạn tiền định có các trị riêng phân biệt là ở trong vùng ổn định nếu |i| 1. 4.3.3- Ổn định của hệ thống có các trị riêng lặp. * Các cực lặp nằm bên trái mặt phẳng phức (nửa mặt phẳng phức trái) là vùng ổn định. Đa thức đặc trưng của hệ thống mới n1 cực lặp. n1 () = ( + a) . 1() , a > 0 , n > n1 > 1 Hàm truyền của hệ thống trong lĩnh vực Laplace. 1 H(s) = . H1(s) (S a)n1 Sử dụng biến đổi ngược Laplace với S = -a. n 1 k n 1 k -1 n1 i n1 i n1-1-i -at L  n =  t . e 1 i 0 (S a) i 0 (n1 1 i)! n1 1 i at Đồng thời: im t e ) 0 , i = 0, 1, 2, , n1 - 1. t + Một cách tương tự nếu các cực lặp là số liên hợp phức ở mặt phẳng trái của mặt phẳng phức. Im(z) Im(s) 1 Nửa mặt phẳng vùng ổn định Re(s) Vùng Re(z) -1 ổn định 1 -1 Hình 4.1 Định lý 3:
Hệ thống tiền định tuyến tính có các trị riêng phân biệt hoặc lặp là thuộc vùng ổn định, nếu toàn bộ các trị riêng của ma trận A ở nửa trái của mặt phẳng phức. Không ổn định nếu có chỉ một trị riêng nằm trên nửa phải của mặt phức. Các trị riêng trên trục ảo là ổn định. Ổn định của các trị riêng lặp trên trục ảo ở giới hạn của ổn định. Trong thực tế để đơn giản, người ta sử dụng các phương pháp gián tiếp để đánh giá ổn định của hệ thống dựa trên các tiêu chuẩn ổn định. Các tiêu chuẩn ổn định gồm hai loại: 1- Các tiêu chuẩn đại số tìm điều kiện ràng buộc giữa các hệ số của phương trình đặc trưng để xét ổn định hệ thống tiêu chuẩn ổn định Routh - Hurwitz. 2- Tiêu chuẩn ổn định tần số thông qua đặc tính tần số của hệ thống để xét ổn định. Tiêu chuẩn Mikhailôv và tiêu chuẩn Nyquyrtz. * Khảo sát nghiệm của phương trình đặc trưng. Hàm truyền của hệ kín dạng chính tắc. Y(S) G(s) U(s) Y(s) (1) G(s) U(S) 1 G(s).H(s) 1 Y(S) .[G(S).U(S)] (2) 1 G(s).H(s) H(s) Y(s) - hàm đáp ứng. Hình 4.2 G(s).U(s) - hàm kích thích. 1 - hàm của hệ. 1 G(s).H(s) * Hàm kích thích chỉ ảnh hưởng tới đáp ứng ổn định của hệ mà không ảnh hưởng tới dạng của đáp ứng quá độ vì thế có thể cho G(s) . U(s) = 0. Hay: Y(s) . (1 + G(s) . H(s)) = 0 (3) 1 + G(s) . H(s)) = 0 (4) (4) phương trình đặc trưng của hệ kín. (sử dụng phương trình này đánh giá ổn định của hệ). Ta đã biết: G(s). H(s) - hàm truyền mạch hở của hệ đó là một tỷ số giữa các đa thức của biến (S). Gọi N(s) : đa thức tử số. D(s) : đa thức mẫu số. N(S) D(s) N(s) Ta có: 1 G(S).H(S) 1 0 (5) D(S) D(s) D(s) + N(s) = 0 (6)
Phân tích phương trình (6) ra thừa số: D(s) + N(s) = (S - r1) (S - r2) (S - rn) = 0 Trong đó: ri nghiệm của phương trình đặc trưng (i = 1, , n) * Để hệ ổn định mọi nghiệm của phương trình đặc trưng đều có phần thực âm. Ví dụ: Một hệ chính tắc có các hàm truyền sau: 3 G(s) = ; H(s) = 1 S(S 4) Xác định phương trình đặc trưng và đánh giá ổn định của hệ: 3 S2 4S 3 1 + G(s) . H(s) = 1 + = = 0 S(S 4) S(S 4) Nghiệm của phương trình đặc trưng là -1 ; -3 nghiệm quá độ chứa các số mũ có hệ số âm hệ ổn định. 4.4. Các tiêu chuẩn ổn định đại số Routh - Hurwith. 4.4.1- Điều kiện cần để hệ thống điều khiển tự động ổn định. Trước khi xét các tiêu chuẩn ổn định ta cần tìm dấu hiệu để phán đoán tính ổn định của hệ thống. “Điều kiện cần để hệ thống điều khiển tự động tuyến tính ổn định là các hệ số của phương trình đặc trưng đều dương”. Từ phương trình (6): D(s) + N(s) = 0. n n-1 Ta có thể viết: ao.S + a1S + + an-1 . S + an = 0 (phương trình đặc trưng viết dưới dạng khai triển). Ta có thể kiểm chứng lại điều kiện trên, nếu giả sử hệ thống ổn định: Như thế nghiệm của phương trình đặc trưng sẽ là: S1 = - 1 ; S2 = - 2 + j2 ; S3 = - 3 - j 3 ; ; Sn = - n Trong đó: i > 0 ( i = 1, 2, , n) Giả sử phương trình có n nghiệm ta có thể viết: ao (S - S1) (S - S2) ( S - S3) (S - Sn) = 0 hay ao (S + 1) (S + 2 - j2) (S + 2 + j2) (S + n) = 0 2 2 ao (S + 1) [(S + 2) +  2 ] (S + n) = 0 Vì các số hạng đều là dương nên ta có thể khải triển thành: n (n-1) a’oS + a’1S + + a’n-1S + a’n = 0 Vì thế khi hệ thống ổn định bắt buộc các hệ số của phương trình đặc trưng phải dương (điều kiện cần). Ví dụ: 1) Hệ thống điều khiển có phương trình đặc trưng:
0,04.S3 + 0,4S2 + S + 50 = 0 Vì ai > 0 nên có thể ổn định. 2) S4 + 2S3 - 0,5 S2 + 3S + 20 = 0 không ổn định. Vì không thoả mãn điều kiện ổn định cần thiết. 4.4.2.Tiêu chuẩn Routh: (không chứng minh). * Điều kiện cần và đủ để hệ thống ổn định (tuyến tính) là tất cả các số hạng trong cột thứ nhất cuả bảng Routh dương. * Giả sử với phương trình đặc trưng bậc 5. 5 4 3 2 aoS + a1S + a2S + a3S + a4S + a5 = 0 Bảng Routh được lập như sau: a o a 2 a 4 a 6 a1 a 3 a 5 a 7 b 2 b2 Error! Not a valid link. b3 b3 c2 co c Error! Not a valid link. c1 3 d o d1 hai hàng đầu được dùng các hệ số của phương trình đặc trưng xếp theo chiều mũi tên. các hàng sau có các số hạng tính theo biểu thức: a a a a o 2 1 3 a1 a 3 a1a 2 a oa 3 bo b 2 boa 3 a1b 2 bo = = ; b1 = = a1 a1 bo bo a a a a o 4 1 5 a1 a 5 a1a 4 a oa 5 bo b 4 boa 5 a1b 4 b2 = = ; b3 = = a1 a1 bo bo a a a a o 6 1 7 a1 a 7 a1a 6 a oa 7 bo 0 b4 = = ; b5 = a1 a1 bo Nhận xét: - Mỗi số hạng trong hàng thứ ba của bảng Routh là một thương số:
+ Tử số: định thức cấp hai mang dấu âm với cột thứ nhất của nó cũng là cột thứ nhất của hai hàng đứng sát trên hàng có số hạng đang tính. Còn cột thứ hai của định thức chính là cột đứng sát bên phải số hạng đang tính của hai hàng trên. + Mẫu số: Trong tất cả số hạng của một hàng có chung mẫu số chính là số hạng đứng ở cột thứ nhất và hàng sát ngay trên hàng đang tính. Ví dụ: 1) Cho phương trình đặc trưng của hệ thống: S4 + 2S3 + 8S2 + 4S + 3 = 0 Lập bảng Routh: 1 8 3 2 4 0 6 3 0 3 0 3 Hệ thống ổn định vì tất cả các số hạng trong cột thứ nhất đều dương. Ví dụ 2: Cho phương trình đặc trưng của hệ thống: S5 + S4 + 3 S3 + 4S2 + S + 2 = 0 Lập bảng Routh: 1 3 1 1 4 2 -1 -1 3 2 1 - 3 2 Hệ thống không ổn định vì các số hạng trong cột thứ nhất không cùng dấu đại số. Ví dụ 3: Cho phương trình đặc trưng của hệ thống. S3 + K.S2 + 2S + 3 = 0 Xác định K để hệ thống ổn định: K > 0 Bảng Routh: 1 2 K 3 (2K-3)/k 2K - 3 > 0
3 3/2 0 ; 1 = a1 > 0 a1 a 3 2 = = a1a2 - aoa3 > 0 a o a 2 a1 a 3 0 3 = a o a 2 0 = 2 . a3 > 0 0 a1 a 3 Nhận xét: 1- Tiêu chuẩn Routh có thể áp dụng xét cho hệ thống bất kỳ. 2- Tiêu chuẩn Hurwitz có thể ứng dụng cho các hệ thống có phương trình đặc trưng bậc thấp. 3- Cả tiêu chuẩn Routh và Hurwitz đều dùng để xét ổn định cho cả hệ thống hở và kín. 4.5. Ứng dụng MatLab Kiểm tra ổn định của hệ thống điều khiển bằng phần mềm MatLab - Theo tiêu chuẩn Routh: Tính định thức cấp 2,3 , để xác định các hệ số trong bảng Routh >> det ( [a0 a2]; [a1 a3 ]) - Theo tiêu chuẩn Hurwitz: Tính các định thức Hurwitz
>> det ( [ a1 a3 a5]; [a0 a2 a4]; [0 a1 a3]) Kết quả: 3 - Theo tiêu chuẩn Nyquist: >> Nyquist (sys) Hoặc >> Nyquist (sys, ) Trong đó: >> sys = tf( num, den) Hoặc: >> sys = zpk ([z], [p], k)
Chương 5 TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC VÀ TÍNH QUAN SÁT ĐƯỢC CỦA HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN Khái niệm về điều khiển được và quan sát được (controllability and Observability) do R - Kalman đưa ra 1961. * Điều khiển được của một hệ thống là với một tác động vào liệu có thể chuyển được trạng thái của hệ từ thời điểm đầu to đến thời điểm cuối t1 trong khoảng thời gian hữu hạn (t1 - to) hay không. * Tính quan sát được của hệ thống là với các toạ độ đo được ở đầu ra của hệ liệu ta có thể khôi phục được (Reconstrucbility) các vectơ trạng thái x trong một khoảng thời gian hữu hạn hay không? 5.1- Tính điều khiển được của hệ thống tuyến tính liên tục. Hệ thống tuyến tính mô tả bởi phương trình trạng thái cấp n. x (t) = A x(t) + B u(t) (5-1) Được gọi là điều khiển được hoàn toàn khi và chỉ khi ma trận sau đây có hạng bằng n. P = [B AB A2B An-1B] (5-2) Rank (P) = n Ví dụ: Cho hệ thống mô tả bởi sơ đồ sau: U(t) + x 2 x 1 x1 Y(t) 10 1/S 1/S x2 0,5 0,2 Hình 5.1 Y(s) 20 Ta có: = U(s) 2S2 S 4 Đặt: x1 = y x 1 = x2 x 2 = - 2x1 - 0,5 x2 + 10 u. Phương trình trạng thái tương ứng.
x 1 0 1 x1 0 = + u x 2 2 0,5 x 2 10 0 0 1 0 10 Ta có: B = ; AB = = 10 2 0,5 10 5 0 10 P = 10 5 det (P) = - 100 0 Rank (P) = 2 Hệ cấp hai trên điều khiển được hoàn toàn. 5.2- Tính quan sát được của hệ thống liên tục. Hệ tuyến tính liên tục được mô tả bởi hệ phương trình: x (t) = A x(t) + Bu(t) y(t) = C x(t) (5-3) Được gọi là quan sát được hoàn toàn khi và chỉ khi ma trận sau có hạng bằng n. L = {C’ A’C’ (A’)2C’ (A’)n-1C’ } (5-4) Rank (L) = n Ví dụ: Cho hệ có phương trình trạng thái: x 1 (t) 0 1 x1 (t) 1  =  + u(t) x 2 (t) 3 2 x 2 (t) 3 x1 (t) y = { 1 0 }  x 2 (t) 1 0 3 C’ =  ; A’ = 0 1 2 0 A’.C’ = 1 1 0 L = ; det (L) = -1 0 0 1 Rank (L) = 2 Hệ thống quan sát được hoàn toàn. 5.3- Tính điều khiển được của hệ điều khiển gián đoạn. Một hệ điều khiển gián đoạn gọi là điều khiển được nếu ta có thể tìm được một vectơ điều khiển u(k) để chuyển hệ thống từ trạng thái ban đầu bất kỳ đến trạng thái cuối bất kỳ trong một khoảng thời gian giới hạn.
Vậy ta cần tìm điều kiện xác định để chuyển hệ thống từ trạng thái x(o) đến trạng thái cuối x(n) đã cho. Giả sử ta có phương trình trạng thái: x(k+1) = Ad x(k) + Bd u(k) y(k) = Cd x(k) (5-5) Ta viết lại (5-5): x(1) = Ad x(o) + Bd u(o) 2 x(2) = Ad x(1) + Bd u(1) = Ad x(o) + AdBd u(o) + Bd u(1) n n 1 x(n) = Adx(n-1)+Bdu(n-1) = Ad x(o)+Ad Bdu(o) + + Bd(u(n-1) hoặc là: u(o)  n n 1 n 2 u(1) x(n) - Ad x(o) = [ Ad Bd Ad Bd Bd ]  (5-6)  u(n 1) Vì: x(o) , x(n) và Ad là đã biết nên (5-6) chỉ tồn tại duy nhất nghiệm u(k) khi hạng của ma trận sau là n. n 1 n 2 M = [Ad Bd Ad Bd Bd ] Rank (M) = n Ví dụ: Cho hệ thống cấp II sau: x1 (k 1) 1 0,488 x1 (k) 0,00123 = + u(k) x 2 (k 1) 0 0,951 x 2 (k) 0,00488 x1 (k) y(k) = [ 1 0 ] x 2 (k) Theo tiêu chuẩn Kalman: 1 0,488 0,00123 0,00361 Ad . Bd = = 0 0,951 0,00488 0,00464 0,00361 0,00123 M = det(M) 0 0,00464 0,00488 Rank(M) = 2 Hệ điều khiển được. 5.4- Tính quan sát được của hệ thống điều khiển gián đoạn.