›
›

Bài giảng Hệ thống điều khiển tự động - Chương 2: Mô tả toán học

ppt 37 trang phuongnguyen 80
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Hệ thống điều khiển tự động - Chương 2: Mô tả toán học", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pptbai_giang_he_thong_dieu_khien_tu_dong_chuong_2_mo_ta_toan_ho.ppt

Nội dung text: Bài giảng Hệ thống điều khiển tự động - Chương 2: Mô tả toán học

  1. Chương 2. Mơ tả tĩan học. I. Hàm truyền và đáp ứng 1. Hàm Truyền d nc(t) d n−1c(t) dc(t) a + a + + a + a c(t) n dt n−1 dt 1 dt 0 d mr(t) d m−1r(t) dr(t) = b + b + + b + b r(t) m dt m−1 dt 1 dt 0 Biến đổi Laplace: n n−1 (an p + an−1 p + + a1 p + a0 )C( p) m m−1 = (bm p + bm−1 p + + b1 p + b0 )R( p) Hàm truyền đạt: C( p) b pm + b pm−1 + + b p + b M( p) = = m m−1 1 0 n n−1 R( p) an p + an−1 p + + a1 p + a0 Điều khiển tự động 1
  2. Chương 2. Mơ tả tĩan học. Khi biết được hàm truyền đạt cĩ thể xác định đáp ứng c(t) đối với kích thích r(t) bằng cách lấy Laplace ngược c(t) = L−1 C( p)= L−1 R( p).M( p) Ví dụ: Tìm hàm truyền đạt của mạch điện sau R 1 U Z( p) = R + Lp + I = i L Cp Z( p) Uo Ui C 1 Ui 1 U0 1 U0 = I = G( p) = = Cp Z(p)Cp Ui Z( p)Cp 2. Đáp ứng + Đáp ứng xung: đáp ứng của hệ thống khi tín hiệu vào là tín hiệu xung khi t = 0 r(t) = (t) = 0 khi t 0 Điều khiển tự động 2
  3. Chương 2. Mơ tả tĩan học. Biến đổi Laplace của r(t) : R(p) = 1. −1 −1 Đáp ứng xung : ci (t) = L C( p)= L M( p) + Đáp ứng bước: đáp ứng của hệ thống khi tín hiệu vào là tín hiệu bước 1 khi t 0 r(t) = 1(t) = 0 khi t 0 Biến đổi Laplace của r(t) : R(p) = 1/p. −1 −1 1  Đáp ứng bước : cs (t) = L C( p)= L M( p) p  1 Áp dụng tính chất của biến đổi L fdt= F( p) Laplace: p dc (t) Ta cĩ c (t) = s hay c (t) = c (t)dt i dt s i Điều khiển tự động 3
  4. Chương 2. Mơ tả tĩan học. II.Sơ đồ khối và Graph tín hiệu. 1. Sơ đồ khối. Sơ đồ khối cơ bản của hệ thống kín cĩ hồi tiếp: R(p) E(p) C(p) G(p) + - B(p) H(p) C( p) = G( p) Hàm truyền đường thuận E( p) C( p) G( p) Hàm truyền vịng kín = R( p) 1+ G( p)H( p) E( p) Hàm truyền vịng hở = G( p)H( p) B( p) Điều khiển tự động 4
  5. Chương 2. Mơ tả tĩan học. Các phép biến đổi khối cơ bản: + Phép giao hĩan các khối nối tiếp G1 Gn Gn G1 G(p)=G1(p).G2(p) .Gn(p) + Phép giao hĩan các khối song song G1 Gn Gn G1 G(p)=G1(p) + G2(p) + + Gn(p) Điều khiển tự động 5
  6. Chương 2. Mơ tả tĩan học. + Phép chuyển khối đằng sau ra đằng trước tổng R R1 C 1 G G C R R2 2 G C(p) = G(p). (R1(p) R2(p)) + Phép chuyển tín hiệu từ trước ra sau R C R1 C 1 G G R1 R1 1/G Điều khiển tự động 6
  7. Chương 2. Mơ tả tĩan học. + Đổi hệ cĩ hồi tiếp H thành hồi tiếp đơn vị R C R C G 1/H G H H G( p) C( p) = 1 G( p)H( p) + Hồi tiếp một vùng R C R C G H Điều khiển tự động 7
  8. Chương 2. Mơ tả tĩan học. Ví dụ: tìm hàm truyền: G1 R + C G + - + 2 G + 3 - G4 GA : G3 và G4 mắc song song GB : G1 mắc song song đường truyền đơn vị GC : Vịng hồi tiếp G2 với GA Hàm truyền tổng quát : GB nối tiếp với GC Điều khiển tự động 8
  9. Chương 2. Mơ tả tĩan học. 2. Graph tín hiệu. + Nút nguồn : Nút chỉ cĩ nhánh đi ra + Nút đích : Nút chỉ cĩ nhánh đi vào + Đường thuận : Đường đi từ nút nguồn đến nút đích mà khơng đi qua nút nào quá 1 lần + Vịng kín : Đường bắt đầu và kết thúc tại một nút mà trên đĩ khơng gặp nút nào quá một lần. + Truyền đạt đường : tích cách truyền đạt nhánh dọc theo đuờng. Các qui tắc biến đổi Graph cũng tương tự như biến đổi sơ đồ khối gồm các nhánh mắc nối tiếp, song song, hồi tiếp G G1G3 Ví dụ: 2 1−G G1 G3 2 x1 x2 x3 x1 x3 Điều khiển tự động 9
  10. Chương 2. Mơ tả tĩan học. M C k k + Cơng thức Mason M = = k R Mk : truyền đạt của đường thuận thứ k i = 1 - Pm1 + Pm2 - Pm3 + + (-1) Pmi Pm1 : truyền đạt các vịng kín cĩ trong Graph Pmr (r ≥ 2) : tích các truyền đạt của r vịng kín khơng dính nhau. k : Được suy ra từ bằng cách cho bằng 0 những vịng kín cĩ dính đến đường thuận thứ k Điều khiển tự động 10
  11. Chương 2. Mơ tả tĩan học. Ví dụ: Tìm hàm truyền của hệ thống Điều khiển tự động 11
  12. Chương 2. Mơ tả tĩan học. Các đường truyền thuận: M1 = G1G2G3 M2 = G1G4 Có 5 vòng kín: L1 = -G1G2G3 L2 = , L3, L4, L5 Pm1 = L1 + L2 + L3 + L4 + L5 = Bài tập 1: Câu hỏi tuần trước và bài 2.12, 2.13 Trang 13 sách BT Điều khiển tự động 12
  13. Chương 2. Mơ tả tĩan học. 3. Biểu diễn hàm truyền. ( p − zl ) B( p) a. Vị trí cực và zero G( p) = = K l A( p) ( p − pi ) i zl : nghiệm của B(p) = 0: gọi là zero của hàm truyền pi : nghiệm của A(p) = 0: gọi là cực của hàm truyền Trên mặt phẳng phức ta định vị zero bằng dấu trịn (o) và cực là dấu chéo (x).  j − zl Biên độ của hàm truyền G( p) = K l  j − pi i Gĩc pha của hàm truyền Arg (G(jω)) = Arg (K) +  Arg ( jω – zl) -  Arg ( jω – pi) Điều khiển tự động 13
  14. Chương 2. Mơ tả tĩan học. b. Biểu đồ cực Biểu diễn sự phụ thuộc của hàm truyền G(jω) theo tần số ω đi từ 0 đến trong mặt phẳng phức. G(p) = G(jω) = P(ω) + j Q(ω) = A(ω) . e jφ(ω) A() = G( j) = P()2 + Q()2 Q() () = Arg(G( j)) = arctg P() Ví dụ: Vẽ biểu đồ cực 10 G( p) = (1+ p)(10 + p) Điều khiển tự động 14
  15. Chương 2. Mơ tả tĩan học. c. Giản đồ Bode Đồ thị logarit biên độ và đồ thị pha của hàm truyền theo logarit tần số + Biên độ : | G(jω) |dB = 20 lg | G(jω) | + Pha : φ = Arg ( G(jω) ) Các bước vẽ giản đồ Bode Bước 1: xác định tần số gãy và sắp xếp theo thứ tự tăng dần Tần số gãy : tần số mà tại đĩ đồ thị logarit biên độ thay đổi đặc tính của nĩ. m  ( p + cl ) l=1 Cho : G( p) = K thì : ω = cl và ω = di n là tần số gãy  ( p + di ) i=1 Điều khiển tự động 15
  16. Chương 2. Mơ tả tĩan học. Bước 2: Xác định | G(jω) |dB tại ω = 0 (nếu G(p) khơng cĩ cực tại 0), hoặc : xác định đường tiệm cận của | G(jω) |dB khi ω →0 (nếu G(p) cĩ cực tại 0) Bước 3: Nếu G(p) khơng cĩ cực tại 0, Giản đồ Bode biên độ sẽ là đường nằm ngang cĩ độ lớn : | G(jω) |dB cho đến tần số gãy nhỏ nhất. Nếu G(p) cĩ r cực (zero) tại 0, giản đồ Bode sẽ là đường tiệm cận cĩ độ dốc –r (+r) cho đến tần số gãy nhỏ nhất. Độ dốc r chính là độ tăng (hay giảm) r.20 dB/dec của giản đồ bode biên độ. Bước 4: Nếu tại tần số gãy là khâu tích phân (1/(p +a)) thì độ dốc của giản đồ Bode biên độ giảm đi 1 (-20 dB/dec) Nếu tại tần số gãy là khâu vi phân (p +a) thì độ dốc của giản đồ Bode biên độ tăng lên 1 (+20 dB/dec) Giản đồ bode được vẽ từ trái sang phải cho đến khi hết các điểm gãy Điều khiển tự động 16
  17. Chương 2. Mơ tả tĩan học. Giản đồ Bode pha được xác định bằng cách xác định hàm φ: m  n  = arctg −arctg l=1 cl i=1 di Vẽ giản đồ Bode pha bằng phương pháp tách rời từng thành phần rồi cộng lại. Giản đồ Bode pha của một số khâu cơ bản: + G = K, K > 0 thì φ = 0o + G = K, K < 0 thì φ = -180o + G = 1/p, thì φ = -90o, G = p, thì φ = 90o 0o + G = 1/(p+a) (khâu tích phân) ω=a - 45o - 90o 1 dec 1 dec Khâu tích phân Điều khiển tự động 17
  18. Chương 2. Mơ tả tĩan học. + G = (p+a) (khâu vi phân) 90o ω=a 45o + Khâu bậc 2: 0o 2  1 dec 1 dec = n G(p) 2 2 Khâu vi phân p + 2np +n Tần số gãy : ωn ω = ωn -90o Điều khiển tự động 18
  19. Chương 2. Mơ tả tĩan học. + Khâu trễ : G(p) = e-Tp Biên độ : |G(p)| = 1 → 20 lg|G(p)| = 0 Pha : Arg(G(p)) = - Tω 20lg|G(p)| Arg (G(p)) lg ω lg ω Giản đồ Bode biên độ Giản đồ Bode pha Điều khiển tự động 19
  20. Chương 2. Mơ tả tĩan học. 105 ( p +100) Ví dụ: Vẽ giản đồ Bode G( p) = ( p +1)( p +10)( p +1000) Tần số gãy : 1, 10, 100, 1000 Giản đồ Bode biên độ: Điều khiển tự động 20
  21. Chương 2. Mơ tả tĩan học. Gĩc pha : Điều khiển tự động 21
  22. Chương 2. Mơ tả tĩan học. Một số lệnh trong Matlab sử dụng để mơ tả hệ thống Hàm tf2zp(num,den): Tìm zero, nghiệm, độ lợi của hàm truyền Hàm zp2tf(z,p,k): Từ zero, nghiệm , độ lợi cho trước tìm hàm truyền. Hàm FEEDBACK: Kết nối hồi tiếp hai hệ thống. >> numg = [nhập các hệ số của tử số G1(p)]; >> deng = [nhập các hệ số của mẫu số G1(p)]; >> sys1 = tf(numg, deng); >> numh = [nhập các hệ số của tử số G2(p)]; >> denh = [nhập các hệ số của mẫu số G2(p)]; >> sys2 = tf(numh, denh); >> sys = feedback(sys1, sys2); Hàm SERIES: Kết nối 2 hệ thống nối tiếp Hàm PARALLEL: Kết nối 2 hệ thống song song Vẽ giản đồ bode, biểu đồ cực: ltiview('bode',sys_tf) Điều khiển tự động 22
  23. Chương 2. Mơ tả tĩan học. III. Mơ tả hệ thống bằng phương trình trạng thái 1. Khái niệm D + x x + + B C r(t) + c(t) A Hệ phương trình vi phân được viết dưới dạng ma trận như sau: x = A.x(t) + B.r(t) c(t) = C.x(t) + D.r(t) x (t) (n x 1): Biến trạng thái Trong đĩ: A (n x n): Ma trận hệ thống B (n x 1): Ma trận ngõ vào C (1 x n): Ma trận ngõ ra D (1 x 1): Ma trận liên hệ trực tiếp ngõ ra – ngõ vào Điều khiển tự động 23
  24. Chương 2. Mơ tả tĩan học. Ngõ vào ue tác động đến ngõ ra ua thơng qua 3 biến trạng thái: u , u , u và du 1 2 3. i = C c c dt 1 1 − 0 R C R C 1 1 1 1 u1 u1(t) 0 1 1 1 1 1 u = − + u (t) + 0 u (t) 2 2 e R1C2 C2 R1 R2 R2C2 u u (t) 1 3 3 1 1 1 1 R C 0 − + 3 3 R2C3 C2 R2 R3 u1(t) u (t) = 1 0 0 u (t) + 0.u (t) a 2 e u3 (t) Điều khiển tự động 24
  25. Chương 2. Mơ tả tĩan học. 2. Thành lập hệ phương trình trạng thái từ PTVP. a. Trường hợp PTVP khơng chứa đạo hàm của ngõ vào. d nc(t) d n−1c(t) dc(t) Từ PT: a + a + + a + a c(t) n dt n−1 dt 1 dt 0 d mr(t) d m−1r(t) dr(t) = b + b + + b + b r(t) m dt m−1 dt 1 dt 0 Đặt biến trạng thái theo nguyên tắc: x1 = c(t) x 2 = x 1  x n = x n−1 Điều khiển tự động 25
  26. Chương 2. Mơ tả tĩan học. Thế vào phương trình vi phân tổng quát ta cĩ: a0x1 + a1x2 + + a n x n = b0r Ta cĩ hệ phương trình trạng thái: x = 0.x + x + 0.x + + 0.x + 0.r 1 1 2 3 n x 2 = 0.x1 + 0.x 2 + x3 + + 0.x n + 0.r  x = 0.x + 0.x + 0.x + + x + 0.r n−1 1 2 3 n − a − a − a − a b x = 0 .x + 1 x + 2 .x + + n−1 .x + 0 .r  n 1 2 3 n a n a n a n a n a n c = x1 + 0.x2 + x3 + + 0.xn Điều khiển tự động 26
  27. Chương 2. Mơ tả tĩan học. Viết dưới dạng phương trình trạng thái: 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 x(t) =  .x(t) +  .r(t) 0 0 0 1 b 0 a a 0 a1 a2 an−1 n − − − − an an an an c = 1 0 0x(t) Điều khiển tự động 27
  28. Chương 2. Mơ tả tĩan học. b. Trường hợp PTVP chứa đạo hàm của ngõ vào (m= n-1). d nc(t) d n−1c(t) dc(t) Từ PT: a + a + + a + a c(t) n dt n−1 dt 1 dt 0 d mr(t) d m−1r(t) dr(t) = b + b + + b + b r(t) m dt m−1 dt 1 dt 0 Đặt biến trạng thái theo nguyên tắc: x1 = c(t) x2 = x1 − B1.r(t)  xn = xn−1 − Bn−1.r(t) Điều khiển tự động 28
  29. Chương 2. Mơ tả tĩan học. Với: B1 = bn-1/an B2 = (bn-2 – an-1.B1)/an B3 = (bn-3 – an-1.B2 – an-2B1)/an Bn = (b0 – an-1Bn-1 - - a1B1)/an Khi đĩ: 0 1 0 0 B 0 0 1 0 1 B x(t) =  .x(t) + 2 .r(t)  0 0 0 1 Bn a a a a − 0 − 1 − 2 − n−1 a n a n a n a n c = 1 0 0x(t) Điều khiển tự động 29
  30. Chương 2. Mơ tả tĩan học. Ví dụ: Cho PTVP, viết hệ phương trình mơ tả biến trạng thái d 3c(t) d 2c(t) dc(t) dr(t) + 5 + 6 +10c(t) = 10 + 20r(t) dt3 dt2 dt dt Đặt các biến trạng thái: x1 = c(t) x2 = x1 − B1.r(t) x3 = x2 − B2.r(t) Trong đĩ: B1 = bn-1/an = 0 / 1 = 0 B2 = (bn-2 – an-1.B1)/an = (10 – 5*0)/1=10 B3 = (bn-3 – an-1.B2 – an-2B1)/an= (20 – 5 *10 – 6*0)= -30 Thay các hệ số vừa tính vào PTTT ta được kết quả Điều khiển tự động 30
  31. Chương 2. Mơ tả tĩan học. 3. Thành lập hệ phương trình trạng thái từ sơ đồ khối. a. Biến đổi hàm truyền thành PTVP Dùng biến đổi Laplace ngược để biến đổi sơ đồ khối thành PTVP rồi dùng Phương pháp ở phần trước để thành lập mơ tả trạng thái b. Phương pháp tọa độ pha. C( p) b pm + b pm−1 + + b p + b M( p) = = m m−1 1 0 Từ hàm truyền: n n−1 R( p) an p + an−1 p + + a1 p + a0 Đặt biến phụ Y(p) sao cho: m m-1 C(p)=(bmp + bm-1p + + b1p + b0).Y(p) n n-1 R(p)=(anp + an-1p + + a1p + a0).Y(p) Biến đổi Laplace ngược và đặt x1(t) = y(t), x2(t) = dx1(t)/dt Điều khiển tự động 31
  32. Chương 2. Mơ tả tĩan học. c. Phương pháp đặt biến trực tiếp trên sơ đồ khối. Ta cĩ: R(p) + 3 X2(p) p + 2 X1(p) C(p) p + 4 p + 5 p + 2 - X ( p) = X ( p) 1 p + 5 2 X3(p) p +1 p + 6 pX1(p)= -5X1(p) + 2X2(p) + pX2(p) 3 X ( p) = (R( p) − X ( p)) 2 p + 4 3 pX2(p)= -4X2(p) - 3X3(p) + 3R(p) p +1 X ( p) = X ( p) 3 p + 6 1 pX3(p)= X1(p) - 6X3 (p) + pX1(p) Thế pX2(p) ở PT2 vào PT1 ta cĩ hệ phương trình mơ tả trạng thái. Điều khiển tự động 32
  33. Chương 2. Mơ tả tĩan học. 4. Tính hàm truyền từ hệ phương trình trạng thái x = A.x(t) + B.r(t) L-1 s.X( p) = A.X( p) + B.R( p) c(t) = C.x(t) C( p) = C.X( p) (p.I – A) . X(p) = B. R(p) X(p) = (p.I – A)-1 . B. R(p) C(p) = C . X(p) = C. (p.I – A)-1 . B. R(p) Hàm truyền : G(p) = C . (p.I – A)-1 . B Ví dụ: Tìm hàm truyền 0 1 0 x(t) = .x(t) + .r(t) c = 1 3 x(t) − 2 −3 1 Điều khiển tự động 33
  34. Chương 2. Mơ tả tĩan học. 5. Nghiệm của phương trình trạng thái x = A.x(t) + B.r(t) -1 s.X( p) − x(0) = A.X( p) + B.R( p) L c(t) = C.x(t) C( p) = C.X( p) X(p) = (p.I – A)-1 . B. R(p) + (p.I – A)-1x(0) Đặt Φ(p) = (p.I – A)-1 biến đối Laplace ngược ta được Φ(t) là ma trận quá độ của hệ thống. Tính theo biến đổi Laplace ngược tương đối khĩ → sử dụng định lý Caley – Hamilton: λt 2 n-1 Φ(t) = e = C0I + C1λ + C2λ + + Cn-1 λ Với λ là vectơ riêng của ma trận A (là vectơ nghiệm của phương trình det(λI – A) = 0. t Đáp ứng của hệ thống: x(t) = (t − ).B.R( )d 0 Điều khiển tự động 34
  35. Chương 2. Mơ tả tĩan học. IV. Một số ví dụ. 1. Chuyển động với lo xo M: Khối lượng vật K: Độ cứng lị xo K B B: Hệ số ma sát nhớt (Hệ số giảm chấn) d 2 x(t) dx(t) f (t) = M + B + K .x(t) M x dt2 dt Biến đổi Laplace: F(p)=(Mp2 + Bp + K) . X(p) X( p) 1 Hàm truyền: = F( p) Mp2 + Bp + K Ví dụ mơ phỏng bằng Matlab với các hệ số M, B, K khác nhau Điều khiển tự động 35
  36. Chương 2. Mơ tả tĩan học. 2. Động cơ DC di(t) R Ke 1 d(t) 1 1 = − i(t) − (t) + u(t) = − K f (t) + Km i(t) dt L L L dt J J R K − − e 1 i(t) L L i(t) i(t) = . + .v (t) c = 0 1 L app (t) (t) K K f (t) m − 0 J J Điều khiển tự động 36
  37. Chương 2. Mơ tả tĩan học. Thay thế các hệ số của một động cơ DC như sau: R= 2.0 Ohms L= 0.5 Henrys Km = .015 Ke = .015 Kf = 0.2 Nms J= 0.02 kg.m^2/s^2 1,5 Ta tìm ra được hàm truyền: G( p) = p2 +14 p + 40 Điều khiển tự động 37