Bài giải dao động - TS Nguyễn Hoài Sơn

Nội dung text: Bài giải dao động - TS Nguyễn Hoài Sơn

1. Bài giải dao động
2. Bài giải Dao động – TS Nguyễn Hoài Sơn ÑAÙP AÙN BAØI TAÄP DAO ÑOÄNG Baøi 1: Xeùt heä dao ñoäng goàm vaät naëng m, loø xo k1, k2 vaø giaûm chaán c Choïn truïc toaï ñoä nhö hình veõ, goác toaï ñoä laø troïng taâm cuûa m khi heä ñang ôû traïng thaùi caân baèng. Aùp duïng ñònh luaät II Newton ta coù phöông trình vi phaân chuyeån ñoäng cuûa heä: mx&&=− k212 x − k x + k y − cx & (1) (1) ñöôïc vieát döôùi daïng chuaån nhö sau: 2 &&x ++=2sinδ xxqt & ωω0 c kk+ ka Vôùi δω==;;2 12q = 2 2mmm0 Baøi 2: Hình 1.1 dao ñoäng heä 1 baäc Hình 1.2. Dao ñoäng heä moät baäc töï do. Xeùt heä dao ñoäng laø khoái truï 1 Choïn truïc toaï ñoä x nhö hình veõ, goác toaï ñoä truøng vôùi troïng taâm cuûa khoái truï 1 khi noù ôû vò trí caân baèng. Ta thaáy raèng neáu khoái truï dòch chuyeån töø vò trí caân baèng moät khoaûng x thì aùp löïc cuûa nöôùc sinh ra taùc duïng leân khoái truï laø: Δ=Pxzgr() + ρ π 2 (1) Vì theå tích khoái truï chieám choå khi dòch chuyeån moät khoaûng baèng vôùi theå tích khoái nöôùc daâng leân neân ta coù: 222 VrxVRrz12===−ππ() r 2 ⇒=zx (2) R22− r Thay (2) vaøo (1) ta ñöôïc: rRr222 Δ=Px() + xgrgρπ2 = ρπ () x R22−−rRr 22 Aùp duïng ñònh luaät II Newton cho khoái truï ta coù phöông trình vi phaân chuyeån ñoäng: Rr22 mx&& =−ρπ g() x (3) Rr22−
3. Bài giải Dao động – TS Nguyễn Hoài Sơn Phöông trình (3) ñöôïc vieát döôùi daïng chuaån nhö sau: 2 &&xx+=ω0 0 ρπgRr22 Vôùi ω 2 = () 0 mRr22− Vaäy chu kì dao ñoäng rieâng cuûa khoái truï laø: 22ππmR (22−− r )2 m π ( R 22 r ) T0 == = ωρπρ0 Rr g Rr g Baøi 3: Xeùt dao ñoäng cuûa ñóa 1 Choïn toaï ñoä suy roäng laø ϕ , laø goùc quay cuûa ñóa so vôùi vò trí ban ñaàu. Aùp duïng ñònh lyù bieán thieân moment ñoäng löôïng cho ñaõi 1 ta coù: dL r = mF0 ()i Hình 1.3. Heä dao ñoäng ñóa vaø truïc dt ∑ 2 ⇔=−−Iϕ&& kcRsϕϕ (1) mR2 Vôùi: I = laø moment quaùn tính cuûa ñóa 1 quanh truïc quay. 2 TTJGDGπ 4 k == = = ñoä cöùng cuûa thanh. s ϕ TL LL32 JG Phöông trình (1) ñöôïc vieát döôùi daïng nhö sau: 4 2 π DG IcRϕϕ&&++ & ϕ =0 32L Phöông trình naøy ñöôïc vieát döôùi daïng chuaån nhö sau: 2 ϕδϕωϕ&&++=20 & 0 (2) cR24π D G Vôùi: δω==; 2 232I 0 IL Baøi 4: Choïn toaï ñoä suy roäng laø ϕ , laø goùc quay cuûa taám 1 so vôùi vò trí naèm ngang ban ñaàu nhö hình veõ. Aùp duïng ñònh lyù bieán thieân moment ñoäng löôïng cho ñaõi 1 ta coù: dL r = mF() dt ∑ 0 i ⇔=Iϕ&& M (1) Hình 1.4. Dao ñoäng 1 baäc töï do cuûa mb2 á Vôùi: I = laø moment quaùn tính cuûa taám 1 quay quanh truïc ñi qua O. 6
4. Bài giải Dao động – TS Nguyễn Hoài Sơn 22 Vaø M =−klϕ − cb ϕ& laø löïc caûn sinh ra bôûi loø xo vaø giaûm chaán. Vaäy (1) ñöôïc vieát nhö sau: 2 mb 22 ϕϕϕ&&++=cb & kl 0 (2) 6 Phöông trình (2) ñöôïc vieát döôùi daïng chuaån nhö sau: 2 ϕδϕωϕ&&++=20 & 0 63kl2 c Vôùi: ωδ2 ==; 0 mb2 m Baøi 5: Choïn truïc toaï ñoä x nhö hình veõ, goác toaï ñoä taïi vò trí heä ñang ôû traïng thaùi caân baèng. Khi truïc cuûa motor quay, do truïc leäch taâm neân sinh ra löïc ly taâm coù giaù trò: Fm= μω 2 Thaønh phaàn löïc naøy theo phöông thaúng ñöùng coù giaù trò: Fm= μωω2 sin t Hình 1.5 Dao ñoäng heä moteur vaø daàm Aùp duïng ñònh luaät II Newton cho heä ta coù phöông trình vi phaân chuyeån ñoäng cuûa motor: 2 M&&xcxkxm++= & μωωsin t (1) 48EI Vôùi: k = laø ñoä cöùng cuûa daàm. l3 Phöông trình (1) ñöôïc vieát döôùi daïng chuaån nhö sau: 2 &&x ++=2sinδ xxqt & ωω0 (2) ckmμω 2 Vôùi: δω===;;2 q 2(M + mMM ) 0 Baøi 6: Hình 1.6 Dao ñoäng heä moät baäc töï do. Aùp duïng ñònh lyù bieán thieân moment ñoäng löôïng cho baùnh xe ta coù: dL r = mF() dt ∑ 0 i
5. Bài giải Dao động – TS Nguyễn Hoài Sơn Ddd2 ⇔=−Iϕϕϕ&&kcy −() & −& 422 cd22 kD dcaω ⇔+Iϕ&&ϕϕ & + = cos ω t (1) 44 2 Phöông trình (1) ñöôïc vieát döôùi daïng chuaån nhö sau: 2 ϕ&&++=2δϕ & ω0 ϕqcos ω t cd22 kD dcaω Vôùi: δω===;;2 q 842I 0 II 1 Dd22 Trong ñoù: IM=−(2) m 24 4 π D2 M ==ρρVL 1 4 Vôùi: π dLl2 − mV==ρρ 2 42 ()DdLdl44−− 4 ⇒=I ρπ 32 Baøi 7: Choïn toaï ñoä suy roäng laø ϕ , laø goùc quay cuûa truï 1 so vôùi vò trí caân baèng. Aùp duïng ñònh lyù bieán thieân moment ñoäng löôïng cho khoái truï 1 ta coù: Jmgl0ϕ&& =− sinϕ (1) Vôùi: 1()mr22+ L J=+ J mL222 = mr + mL = 0 c 22 Vì dao ñoäng cuûa heä beù neân ta laáy gaàn ñuùng: Hình 1.7 Dao ñoäng con laéc sinϕ ≈ ϕ Vaäy ta coù phöông trình vi phaân chuyeån ñoäng cuûa khoái truï laø: Jmgl0ϕ&& +=ϕ 0 (2) Phöông trình (2) ñöôïc vieát döôùi daïng chuaån nhö sau: 2 ϕωϕ&& +=0 0 2 mgl Vôùi: ω0 = J0 Baøi 8: Choïn toaï ñoä suy roäng laø ϕ , laø goùc quay cuûa taámï 1 so vôùi vò trí caân baèng. Aùp duïng ñònh lyù bieán thieân moment ñoäng löôïng cho taámï 1 ta coù: dL r = mF() dt ∑ 0 i 22 ⇔=−−Iϕ&&klϕϕ cb & (1)
6. Bài giải Dao động – TS Nguyễn Hoài Sơn Hình 1.8 Dao ñoäng ñóa ñoàng chaát. mb2 Vôùi: I = laø moment quaùn tính cuûa taám 1 quay quanh truïc ñi qua O. 3 Vaäy (1) ñöôïc vieát nhö sau: 22 Icbklϕϕϕ&&++= & 0 (2) Phöông trình (2) ñöôïc vieát döôùi daïng chuaån nhö sau: 2 ϕδϕωϕ&&++=20 & 0 kl22 cb Vôùi: ωδ2 ==; 0 I 2I Baøi 9: Hình 1.9 Dao ñoäng heä thang maùy vaø toa haøng. * Khaûo saùt chuyeån ñoäng rôi töï do cuûa toa haøng 1 khi daây naâng bò ñöùt Phöông trình chuyeån ñoäng cuûa toa haøng: 1 x =+ABtgt + 2 (Toa haøng chuyeån ñoäng nhanh daàn ñeàu) 2 Vôùi ñieàu kieän ban ñaàu: xx00==0;& 0 ⇒=AB0; = 0
7. Bài giải Dao động – TS Nguyễn Hoài Sơn 1 Vaäy x = gt 2 (1) 2 2H Vaäy thôøi gian ñeå toa haøng chaïm vaøo giaûm chaán laø: t = 0 g Töø (1) ⇒==vxgt& Vaän toác cuûa toa haøng khi chaïm vaøo giaûm chaán laø: vgH0 = 2 * Khaûo saùt chuyeån ñoäng cuûa toa haøng khi chaïm vaøo giaûm chaán: Choïn truïc khaûo saùt y nhö hình veõ, goác toaï ñoä taïi vò trí maø toa haøng baét ñaàu chaïm vaøo giaûm chaán. Phöông trình vi phaân chuyeån ñoäng cuûa toa haøng laø: my&&++= cy & ky mg (2) Phöông trình (2) ñöôïc vieát döôùi daïng chuaån nhö sau: 2 &&y ++=2δωyyg & 0 (3) kc Vôùi ωδ2 ==; 0 mm2 Ta ñaõ bieát raèng nghieäm töøng phaàn cuûa phöông trình khoâng thuaàn nhaát (3) coù daïng: g yp = 2 ω0 Hoaït ñoäng toát nhaát cuûa giaûm chaán ñöôïc mong ñôïi neáu nhö heä soá giaûm chaán ñaït tröôøng hôïp tôùi haïn. Nhö vaäy phöông trình thuaàn nhaát coù nghieäm laø: −−ω00ttω yCeCteg =+12 Vaäy nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình (1) laø: −−ωω00ttg yCe=+12 Cte +2 ω0 Vôùi ñieàu kieän ban ñaàu: y000==0; yv& gg ⇒=−CCv1202 ; =− ω00ω Vaäy ta coù: y =−De(1−−ω00tt ) + Eteω gg Vôùi: DEv==−2 ; 0 ω00ω 22−−ω00ttω ⇒=−&&y (2)DEeEteωω00 − + ω 0 (4) Töø (4) ta thaáy raèng giaù trò lôùn nhaát cuûa gia toác ( &&y ) taïi t=0 2 ⇒==−−aymax&&tn= 0 Dω 0 2 Eω g Neáu v0 > ω0 2 Ta coù: aDmax=+ωωω 022 E 0 = vg 0 0 − 2 Theo ñeà ta coù: aamax<= 0 200( ms / ) ⇒−<2vga00ω 0
8. Bài giải Dao động – TS Nguyễn Hoài Sơn ag+ ω =2 24.5 2.4 ms / ω0 Vò trí, vaän toác, gia toác cuûa toa haøng trong quaù trình va chaïm ñöôïc theå hieän ôû ñoà thò sau: Vò trí Vaän toác Gia toác Baøi 10: Hình 1.10 Dao ñoäng heä 1 baäc töï do. Choïn toaï ñoä suy roäng x laø ñoä dòch chuyeån cuûa vaät m so vôùi vò trí caân baèng. Vì loø xo laù coù maët caét ngang bxh neân ñoä cöùng cuûa loø xo laù laø: 3EI bh3 k = vôùi I = l3 12 Neáu xem vaät naëng m dao ñoäng beù ta coù phöông trình vi phaân chuyeån ñoäng cuûa m laø:
9. Bài giải Dao động – TS Nguyễn Hoài Sơn 2 P0 &&x +Ωxt = sinω (1) m k Vôùi: Ω= m Nghieäm töøng phaàn cuûa phöông trình khoâng thuaàn nhaát (1) laø: P x = 0 sinωt h m()Ω−22ω Nghieäm rieâng cuûa phöông trình thuaàn nhaát coù daïng: xCp =Ω+sin( tγ ) Vaäy nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình (1) laø P x =Ω++Ctsin(γ )0 sinω t m()Ω−22ω P0 ⇒=Ωx& C cos() Ω++ tγ ωω cos t m()Ω−22ω Vôùi ñieàu kieän ban ñaàu: tx===0;00 0; x& 0 P ω ⇒=−C 0 m()Ω−22ω Ω P ⎡⎤ω ⇒=x 0 sinωtt − sin Ω m()Ω−22ω ⎣⎦⎢⎥ Ω Vaäy P0 ⎡⎤1 limx =Ω−Ω⎢⎥ sin ttcost (2) ω→Ω 2mΩΩ⎣⎦ Töø (2) ta thaáy raèng khi taàn soá cuûa löïc cöôõng böùc baèng taàn soá dao ñoäng rieâng cuûa heä thì hieän töôïng coäng höôûng xaûy ra, luùc naøy heä dao ñoäng vôùi bieân ñoä raát lôùn. Dao ñoäng cuûa vaät m ñöôïc theå hieän ôû ñoà thò sau: